LOS VECTORES MOMENTO

eONTENIDOS

1. VECTOR POSICiÓN

2. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES 2.1. Propiedades. 2.2. Cálculo.

3. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO. APLICACiÓN A LAS FUERZAS 3.1. Cambio del centro de

momentos. 3.2. Momento de una fuerza

respecto a un punto.

4. TEOREMA DE VARIGNON 4.1. Aplicación a composición

de fuerzas paralelas.

5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE

6. PAR DE FUERZAS

7. MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS

8. COMPOSICiÓN DE PARES DE FUERZAS 8.1. Composición de pares

de ejes paralelos. 8.2. Composición de pares

situados en planos no paralelos.

9. COMPOSICiÓN DE FUERZAS CUALESQUIERA:

16

RESULTANTE GENERAL Y PAR RESULTANTE

Experiencias tan sencillas y tan frecuentes como son las de abrir o cerrar un grifo, aflojar o apretar una tuerca, girar el volante del automóvil, abrir o cerrar una puerta ... nos demuestran que las fuerzas pueden hacer «algo más» que de­formaciones o cambios de velocidad. Las fuerzas, así nos lo muestra la expe­riencia, también pueden prodUcir giros (rotaciones) en los cuerpos. ¿Por qué una fuerza, o un sistema de fuerzas, puede provocar una rotación? ¿Qué factores condicionan la facilidad o la dificultad de un giro? En más de una ocasión hemos oído hablar de un «par motor», de un «par de frenado» ... ¿Qué significan esas expresiones? Para interpretar la acción de las fuerzas como productoras de giros es preciso definir una magnitud, llamada momento de una fuerza. Y esto solamente es posible basando nuestro estudio en unos conocimientos elementales de cálculo vectorial. Así lo haremos en esta Unidad.

1. VECTOR POSICiÓN

La posición de un punto en el espacio debe entenderse como la situación en la que se encuentra dentro del mismo. En principio hemos de considerar que esta definición expresa un concepto relativo puesto que el conocimien­to de una posición exige la concreción previa de un sistema de referencia. Una vez concretado éste, la posición de un punto viené dada por un vector dirigido desde el sistema de referencia hacia el punto considerado.

Lo más frecuente es que dicho vector se exprese en función de sus componentes cartesianos y éstos como múltiplos de los unitarios 7,], k.

r=r) +ry] +rz k

o también, en forma más simplificada: r (rx' ry. rz )

2. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

Con esta expresión se designa al vector cuyo módulo es el producto de los módulos de los vectores dados por el seno del ángulo que forman sus direcciones; cuya dirección es la de la perpendicular al plano que definen, y cuyo sentido viene dado por la regla de Maxwell (avance del sacacorchos) en el supuesto de que el primer vector vaya hacia el segundo por el camino más corto. Matemáticamente se representa así: P =A A B

2.1. Propiedades

• No posee la propiedad conmutativa (al cambiar el orden de los facto­res se invierte el sentido del giro y se define el vector opuesto).

• Posee la propiedad distributiva: A A (B + C) = (A A B) + (A A C) • El producto vectorial de dos vectores de la misma dirección es nulo

puesto que el módulo de P sería cero. (P = A . B . sen 0° = O)

• El módulo del producto vectorial es máximo si los vectores factor son de direcciones perpendiculares. (P = A . B . sen 90° = A . B)

2.2. Cálculo

Aplicando la propiedad distributiva al producto vectorial de los vectores

A=(Ax 7+Ay]+Az k) Y B=(Bx 7+By]+Bz k) se tiene:

A AB= (Ax 7+Ay ]+Az k) A (Bx T+By ]+Bz k) =

=AxBx 7 A 7+ AXBy T A]+AxBz 7 Ak+AyBx] A 7+ AyBy ] A]+AyBz] Ak+

+ AzBx k A 7+ AzByk A]+AzBzk Ak

Los productos vectoriales que corresponden a dos vectores de la misma dirección son nulos (7 A 7=] A] = k A k = O). Para los demás casos se cumple:

~k~ kA!=} ;)'\ ~ }Ak=! ¡ -l· A k- -_ _ J'7 - J k- '7 '7 _ i AJ= -/

i

Sustituyendo los valores hallados y agrupando términos semejantes:

A A B = (AyBz - AZBy) T + (AzBx - AxBz) ] + (AxBy - AyBx) k

expresión que coincide con el desarrollo del determinante:

í j k

AAB= Ax Ay Az

Bx By Bz

x

Unidad 2

P

o,~--------~--~~ y

P=AAB P=A · B · sena

P=A·B·sena

P=BAA

El producto vectorial no tiene propiedad conmutativa.

17

lOS VECTORES MOMENTO

I Ejemplos

1. Dados los vectores A = 3 7-27+ 4 k y B = 2 7+ 3 7 - 6 k, calcular el producto vectorial A /\ B y comprobar que éste es perpendicular a los vectores A y B. Solución: i j k

a) Resolviendo el determinante 3 -2 4

2 3 -6 se tiene que: P = 12 7+ 87+ 9 k - 12 7+ 187 + 4 k = 267 + 13 k

-b) Bastará comprobar que los productos escalares P·A y p. B son nulos:

P . A = O . 3 + 26 . ( - 2) + 13 . 4 = O

P . B = O . 2 + 26 . 3 + 13 . ( - 6) = O

2. Comprobar en el ejemplo anterior que el producto vectorial B /\ A es el vector opuesto al calculado para P. Solución:

Resolviendo el determinante

i j k

2 3 ~6

3 -2 4

se tiene que: P = B /\ A = = 127- 4 k -187 - 9 k - 12 7- 87= - 267 - 13 k = - P

¿Qué es un determinante?

Un cuadro de números ordenados en filas y columnas recibe el nombre de matriz. Las matrices se representan en­cerrándolas entre paréntesis, entre corchetes, o también entre dos barras verticales.

Ejemplos:

231 612 243

Una matriz de m filas y n columnas se dice que es de orden m x n. Cuando tiene el mismo número de filas que de columnas se denomina matriz cuadrada. Los tres

-ejemplos anteriores corresponden a matrices cuadradas de orden 3 x 3.

Se denomina determinante o módulo de una matriz cuadrada el polinomio que re­sulta al formar con los elementos de la matriz todos los productos posibles, de ma­nera que en cada producto haya un elemento y sólo uno de cada fila y un elemento y sólo uno de cada columna. A cada término de este polinomio es necesario ante­ponerle un signo determinado positivo o negativo.

El determinante de una matriz cuadrada se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales. Así, por ejemplo, el determinante de la matriz

es

456

IAI = 7 8 1 1 3 2

El valor del determinante de una matriz cuadrada de orden 3 x 3 se obtiene aplican­do la llamada regla de Sarrus:

a" a'2 a'3 a2, a22 a 23 = a"a22 a 33 + a2,a 32 a'3 + a'2a23 a3' -

Se puede observar que el desarrollo de este determinante consta de tres térmi­nos positivos y otros tres negativos, que se pueden recordar fácilmente por me­dio de la regla nemotécnica de la figura.

18

Términos positivos.

Términos negativos.

3. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO. APLICACiÓN A LAS FUERZAS

Si consideramos un vector cualquiera A cuyo origen respecto a un siste­ma de referencia (punto O) viene determinado por el vector posición r, se define como momento del vector A respecto al punto O

al producto vectorial del vector posición r por el vector A.

- -i j k

Matemáticamente: M=r AA= rx ry rz

Ax Ay Az

El módulo del vector momento M = r . A . sen a puede expresarse tam­bién como M = A . d donde d representa la distancia mínima que separa el punto de referencia O de la dirección del vector A.

d En la figura se observa que sen a = -

r de donde d=r· sen a

La dirección y el sentido del vector momento se determinan mediante lo explicado anteriormente para el producto vectorial.

Se representa por un vector aplicado en el punto O, o centro de mo­mentos. Según lo explicado en el producto vectorial, el momento de un vector respecto a un punto de su misma línea de acción es nulo, pues coin­ciden las direcciones del vector dado y de su vector posición.

3.1. Cambio del centro de momentos

La elección de un sistema de referencia es siempre arbitraria y por eso al hablar del momento de un vector es preciso referirlo a dicho sistema.

Pero, ¿cómo conocer el momento de un vector respecto a un nuevo sis­tema de referencia O' si se conoce el vector posición del primer sistema re­ferencial O respecto al nuevo O'?

Es decir, ¿cómo se puede conseguir un cambio en el centro de momentos?

Supongamos un vector A cuya posición respecto al sistema de referen­cia O viene determinada por el vector posición r. El momento de A respecto a O viene dado por M = r A A.

Supongamos ahora un nuevo sistema de referencia O'; el momento de A respecto a él será M' = r' A A.

Vemos en la figura que si 0'0 es el vector que determina la posición de O respecto a O', el vector r' es el resultante del sistema formado por 0'0 y r (O'O+r=r').

En consecuencia:

M' = r' A A = (0'0 + r) A A = 0'0 A A + r A A = 0'0 A A + M Lo que nos permite enunciar que:

El momento de un vector A respecto a un nuevo sistema de referen­cia O' es igual al momento de A respecto al primer sistema de referencia O más el momento de un vector equipolente a A, aplicado en O, respecto al sistema de referencia O'.

Unidad 2

M = rAA M=r·A·sena = A · d

19

lOS VECTORES MOMENTO

I Ejemplos

20

1. El vector A (1, - 2, 3) está aplicado en el punto P (2,1,2). Calcula su momento respecto al origen de coor­denadas y el valor del módulo del momento.

Solución:

i j k

Como M = ( /\ A, plantearemos el determinante: M = 2 1 2 cuya resolución conduce a M = 7 7 - 4] - 5 k 1 -2 3

Siendo el valor del módulo: M = ~ 72 + 42 + 52 = 9,5

2. La fuerza F = 2 7 -] + 2 k (SI) está aplicada en el punto (= 7+ 2] + k (SI)

Calcular:

a) El momento de dicha fuerza respecto al origen de coordenadas O.

b) El momento respecto al punto O' ( - 2, - 2,1).

Solución:

i j k - -a) Basta resolver el determinante M = r /\ F = 1 2 1

2 -1 2

cuyo resultado es M = 5 7 - 5 k (SI)

b) La posición de O respecto a O' (vector 0'0) viene dada por O - O'

0-0'= (O, O, O) - (-2, -2,1) = (2,2, -1)

Es decir: 0'0= 2 7+2]-k

El momento del vector F, aplicado en O, respecto a O' es:

i j k - - -

O'O/\F= 2 2 -1 =3i-6j-6k

2 -1 2

En consecuencia:

M'=M +0'O/\F=(57-5k) +(37-6]-6k) =87-6]-11 k (SI)

NOTA. Se hubiera obtenido el mismo resultado aplicando la expresión M' = (' /\ F y recordando que ('=(+0'0

3.2. Momento de una fuerza respecto a un punto

Hay infinidad de casos (abrir o cerrar una puerta, apretar o aflojar una tuerca ... ) en los que se observa cómo una fuerza, aplicada en un punto de un cuerpo, le obliga a girar alrededor de otro punto o de un eje. Por otra parte vemos cómo ese efecto de giro no sólo depende del valor de la fuerza que se aplica, sino también de la distancia de su punto de aplicación al eje de giro. Por ejemplo, es más fácil aflojar una tuerca utilizando una llave de mango largo y ejercer la fuerza en el extremo del mismo.

El momento de una fuerza respecto a un punto O representa la «apti­tud» de esa fuerza para hacer girar a un cuerpo alrededor de ese punto o de un eje que pase por él. Matemáticamente viene definido por:

Mo = ¡: J\ F I

siendo ¡ el vector posición de la masa puntual donde se aplica la fuerza res­pecto al sistema de referencia O.

Como el vector momento de una fuerza refiere una «aptitud de giro» co­rresponsJe entenderlo como un vector axial que mide la tendencia de una fuerza F a hacer girar una masa puntual alrededor de la línea de acción de dicho momento.

Además de ser aplicables en este caso todos los cálculos y propiedades de los vectores momento, hemos de destacar aquí otros aspectos de relati­vo interés:

• El momento de una fuerza respecto a un punto no varía al desli­zarse el vector fuerza a lo largo de su línea de acción.

• El momento resultante con respecto a cualquier punto de dos fuerzas colineales, de igual módulo y sentidos contrarios, es nulo .

Unidad 2

...-_____________________________ Ejemplos I 1. En la figura adjunta, el módulo de la fuerza F tiene un valor ge 5 N Y la

arista del cubo mide 2 m. Calcular el momento de la fuerza F respecto al origen de coordenadas, que se supone el vértice O del cubo.

Solución:

Las coordenadas de los puntos A y B (extremos de la diagonal que constituye la línea de acción de la fuerza) son:

A(2,2,2)

B(0,2,0)

Por lo tanto, el vector Aa vendrá expresado por:

Aa = (O - 2) T + (2 - 2 ) 7 + (O - 2) k = - 2 T - 2 k siendo el vector unitario en su misma dirección y sentido:

Aa -2;-21( -/27-/2 -UAB =-= =--1 --k

Aa 2-/2 2 2

Teniendo esto en cuenta, la expresión vectorial de la fuerza será:

Como el vector posición ¡ viene dado por: ¡ = 2 T + 27 +2 k (SI),

el momento de la fuerza respecto al origen de coordenadas valdrá:

i j k

Mo = ¡: J\F = 2 2 2 = - 5 -/2; + 5 -/2 1( (S 1)

5-/2 O

5-/2 --- ---

2 2

Y su módulo: Mo = ~ (_5-/2)2 + (5-/2)2 = 10 N·m

'x

z: , , ,

C· Actividades -::::::> l. Demuestra que el momen­

to de una fuerza respecto a un punto no varía si el vector fuerza se desliza a lo largo de su línea de acción.

2. SabiendoqueF=T-27+3k y M = 2 T + 4 7 + x k, de­terminar el valor de x.

Resultado: x = 2

21

lOS VECTORES MOMENTO

¿Quién fue Varignon?

El matemático francés Pierre Va­rignon nació en Caen en 1654 y murió en París en 1722. Fue pro­fesor de Matemáticas en el Cole­gio Mazarino (1688), y pasó en 1694 a enseñar en el Colegio de Francia . También fue miembro de la Academia de Ciencias fran- " cesa . Su Nouvelle mécanique ou statique (1725) contiene el enun­ciado del principio de las veloci­dades virtuales y establece las re­gias de composición de fuerzas y la teoría de momentos.

I Ejemplos

4. TEOREMA DE VARIGNON

Si, como se consideró hasta ahora, en vez de un vector (o una fuerza) se trata de un sistema de vectores o de fuerzas concurrentes en un punto P cu­ya posición respecto a un punto de re­ferencia O viene definida por el vector (, ¿cómo calcular el momento del siste­ma respecto al punto O?

~-' A..,: "

_ P R ' o r ,-'

B "

Evidentemente, el sistema de vectores o de fuerzas puede ser sustituido por su resultante, cumpliéndose que:

R=A+B+C+ ...

El momento de R respecto a O vendrá dado por

M = (/\ R = (/\ (A + B + C + ... )

que, al áplicar la propiedad distributiva:

M=( /\ A+( /\ B+( /\ C+ ... =LM¡

Es decir:

El momento del vector resultante de un sistema de vectores concu­rrentes, respecto a un punto, es la suma de los momentos de cada vector componente respecto a dicho punto (teorema de Varignon).

1 . Tres fuerzas F1 = - 3 7+ 27+ k ; F2 = 2 7 - 4 7 ; y F3 = 4 7 -7 + 8 k son concurrentes en el punto P (3, 1, 2).

22

Calcular el momento de cada una de ellas respecto al origen de coordenadas, el momento de la fuerza re­sultante respecto al mismo sistema de referencia, y comprobar que se cumple el teorema de Varignon.

Solución:

; j k ; j k - - - - - -

Mil = 3 1 2 =-3;-9j+9k; MF2 = 3 2 =8;+4j-14k;

-3 2 1 2 -4 O

- -i j k

- - -MF3 = 3 1 2 =10i-16j-7k

4 - 1 8

La fuerza resultante del sistema formado por las tres fuerzas dadas es

Su momento respecto al punto P:

- -i j k

- - -MR = 3 1 2 = 15; -21j -12k

3 -3 9

Este vector es, precisamente, el resultante de los vectores MF1

' MF2 y MF3'

-

4.1. Composición de fuerzas paralelas

a) Del mismo sentido

Sean dos fuerzas cualesquiera F1

y F2 paralelas y del mismo sentido, cuyos puntos de aplicación son, respectivamente, A y B. La fuerza resultante R, aplicada en O, tiene como valor (F1 + F2 ) Y su momento respecto a O es nulo (el momento de un vector respecto a un punto de su línea de acción es cero). To­mando como referencia el punto O habrá de cumplirse que:

MR=MF1+MF3=0

y por tanto: - F1 . OA + F2 . OB = O

de donde: I ~ ~ ~: I Podemos enunciar que:

A o B

;

La resultante de dos fuerzas paralelas del mismo sentido es otra fuerza paralela a ellas y del mismo sentido. Su módulo es la suma de los módulos de las fuerzas componentes y su línea de acción di­vide al segmento que las une en partes inversamente proporciona­les a sus respectivos módulos.

b) De sentido contrario

Procediendo de forma análoga al caso anterior (y recordando que R=F1 -F2 ) se tiene:

M =MF +MF =0 r 1 3

En consecuencia:

- F1 . OA + F2

. OB = O

de donde: I ~ ~ ~: I Lo que permite enunciar que:

o A .-________ -, ______ ~ B

La resultante de dos fuerzas paralelas de sentidos contrarios es otra fuerza paralela a ellas, de sentido el de la mayor y cuyo módulo es la diferencia de los módulos de las componentes. Su línea de ac­ción, exterior al segmento que une las fuerzas, corta a la recta que contiene a este segmento en un punto cuyas distancias a los pun­tos de aplicación de las componentes son inversamente proporcio­nales a los módulos de éstas.

Unidad 2

23

lOS VECTORES MOMENTO

I Ejemplos

24

1. En los extremos de una barra de 1,5 m de longitud se aplican perpendicularmente a ella dos fuerzas para­lelas del mismo sentido, una de doble valor que la otra. Calcular el valor de la resultante y la situación de su punto de aplicación. -

AB = 1,5 m

Solución:

De acuerdo con el diagrama representado en la figura vemos que:

x + y =1,5 } F· x=2F· y

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen estos resultados:

x=1 m y=0,5 m

A O ,-____ ---.-___ -, B x y

2. Los puntos de aplicación de tres fuerzas paralelas se encuentran en línea recta, siendo 210 cm la distancia entre los puntos extremos.

La fuerza situada entre las dos exteriores se encuentra aplicada a 90 cm de uno de los extremos y su valor es 17,5 kp.

Determinar los sentidos y magnitudes de las otras dos fuerzas para que el sistema esté en equilibrio.

Solución:

Como la resultante de las dos fuerzas desconocidas ha de ser igual y de sentido contrario a la de 17,5 kp, Y aplicada en el mismo punto que ella para que la anule, se cumplirá que:

F1 +F2 =17,5 } F1 . 0,9 = F2 ·1,2

La resolución de este sistema conduce a F1 = 10 kp , F2 = 7,5 kp

17,5 kp

A 90cm o ,-__ -+ ____ ----,B

17,5 kp F,

3. En los extremos de una tabla de 6 m de longitud y 30 kg de masa se colocan dos muchachos de 40 y 50 kg, respectivamente. ¿Dónde debe estar situado el punto de apoyo de la tabla para que se consiga el equilibrio?

Solución:

Suponiendo que la tabla sea homogénea y de sección constante, su cen­tro geométrico corresponde al centro de gravedad y en él suponemos aplicado el peso de la tabla, que es 30 kp. Los pesos de los niños, apli­cados en los extremos de la tabla son, respectivamente, 40 kp y 50 kp.

Si llamamos O al punto de apoyo de la tabla, que es donde se aplica la fuerza de «reacción» del suelo que anula a las anteriores, y se pretende que el sistema esté en equilibrio, habrá de cumplirse que éste no gire (mo­mento total nulo) y que todas las fuerzas se anulen (fuerza resultante nula):

'LF¡=O , 'LM¡=O

Por tanto: R - ( 40 + 30 + 50) kp = O , R = 120 kp

Por otra parte, tomando el punto O como referencia de momentos se tiene

40 . (3 + x) + 30 . x-50 . (3 - x) = O

de donde: x = 0,25 m

120 kp

~ o 30 kp

40 kp 50 kp

Es decir, el punto de apoyo ha de estar a 2,75 m del muchacho de mayor peso o a 3,25 m del de menor peso.

NOTA: Obsérvese que los momentos respecto a O de las fuerzas de 40 kp Y 30 kp se han considerado po­sitivos, pues hacen que la tabla tienda a girar en sentido antihorario, mientras que el de la fuerza de 50 kp es negativo, por hacerlo en sentido horario.

Unidad 2

e Actividades ::::> 1. Cuatro fuerzas: Fl = 16 N, F2 = 20 N, F3 = 8 N Y F4 = 4 N se encuentran en el pIa­

no YZ, como indica la figura . Hallar la resultante. z

~ Resultado: La resultante vale 48 N Y dista 3,5 metros del eje OY

2. Dos fuerzas paralelas, Fl y F2, de in­tensidades 5 y 10 N Y de sentidos con-trarios se aplican perpendicularmente a los extremos de una barra de 10m de longitud. Calcular analíticamente el valor de la resultante y su punto de aplicación.

Resultado: La resultante, de valor 5 N, dirigida verticalmente hacia abajo, se-gún el esquema de la figura, tiene su punto de aplicación situado a 10m del punto de aplicación de la fuerza mayor.

~A==;==°1=~==:}B 10 m 10 m

R = 5N

4m F3 2m F2

4m F, O Y

X

3. La resultante de dos fuerzas paralelas de sentidos contrarios tiene de valor 27 N y está situada a 1 m de la fuerza mayor. ¿Cuánto vale la fuerza menor, si la distancia que separa a ambas fuerzas es de 3 m?

5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE

Se define el momento de una fuerza respecto a un eje (y, en general el momento de un vector respecto a un eje) como la magnitud escalar que se obtiene al proyectar sobre el eje el momento de la fuerza respecto a cual­quier punto del mismo.

El valor de esta proyección es independiente del punto escogido en el eje para ser considerado como sistema de referencia de momentos.

Si O Y O' son puntos del eje y aplicamos lo estudiado para el cambio de centro de momentos (apartado 3.1.) se cumplirá que:

Mo' = Mo + 0'0 /\ F Pero el vector 0'0 /\ F es, por definición de producto vectorial, perpendi­

cular a 0'0 y, por tanto, al eje, resultando que:

I Proyección Mo = proyección Mo' I

Recordando la definición de producto escalar (apartado 5, Unidad 1) si designamos por é al vector unitario en el sentido positivo del eje, tendre­mos que:

Resultado: F2 = 9 N

Signos de los momentos

Si varias fuerzas se encuentran si­tuadas en un mismo plano, sus momentos con respecto a un pun­to del plano tienen la misma direc­ción. Por ese motivo, el momento total puede obtenerse sumando algebraicamente los momentos correspondientes a cada una de las fuerzas componentes.

Para llevar a cabo esta suma, se suele seguir el convenio de con­siderar positivos aquellos mo­mentos que tienden a producir un giro en sentido antihorario; y negativos, si el sentido del posi­ble giro fuese el horario. No obs­tante, como en Estática esta su­ma ha de ser igual a cero, se puede adoptar también el criterio opuesto y se obtendrá el mismo resultado.

25

lOS VECTORES MOMENTO

Producto mixto de tres vectores

Dados los vectores:

A=A)+AJ+A){

B = B) + By} + BJ{

e=C) +CJ+CJ

su producto mixto es el resultado de multiplicar escalarmente uno de ellos por el producto vectorial de los otros dos. Se representa de la forma:

(A, B, e) =A · (B"e)

En función de las componentes de los vectores puede expresarse de !a forma siguiente:

(A, B, e) =A. (B" e) =

Ax Ay Az

= Bx By Bz

ex ey ez

Propiedades:

• Es circularmente conmutativo:

(A, B, e) = (B, e,A) = (e,A, B) =

= -(A,e,B)= -(B,A,e)=

= -(e,B, A)

• Es nulo cuando los tres vecto­res son coplanarios.

• Geométricamente, el valor ab­soluto del producto mixto re­presenta el volumen del parale­lepípedo que determinan los tres vectores y las paralelas tra­zadas por sus extremos.

t'-------+-/ --t'/

~0_----.vl/

26

Meje=e · Mo=e o (f IJO)

cuyo valor podemos calcular mediante Mo' resolución del determinante:

ex ey ez Mo

P rx ry rz o~

P'

Fx Fy Fz o "1~

o eje O'

I Ejemplos

1. Con los datos explicitados en el problema del apartado 3.2. cal­cular el momento de la fuerza F a) respecto al eje OX

b) respecto a la recta OC

z

y

x Solución

a) En el apartado 3.2. se dedujo para este problema que el mo­mento de la fuerza F respecto al origen de coordenadas es Mo = - 5-v2 7 + 5-v2 k (SI) Como el vector unitario en el sentido positivo del eje OX es 7, resulta: o

Mox = (7) o (-5-v2 7 + 5-v2k) = -5-v2 N o m

b) El vector OC viene definido por OC = 2 7+ 2 7. El vector unitario en el sentido positivo de OC será:

---->

- OC e=-OC

y como el módulo de OC es: OC = -J4 + 4 = {8 = 2-v2

- 2i +2j 1 -: 1 -; e = 2.J2 =.J2 I + .J2 J

Por tanto:

e Actividades :::::> 1. La fuerza F=37-27+k (SI) actúa en el punto r=7-27+3k (SI).

Hallar su momento respecto a los ejes coordenados.

Resultado' M =4 N·m · M' =8 N·m · M =4 N·m . x I y I Z

2. Hallar el momento de la fuerza F = 7 + 2 7 - 3 k (SI) , aplicada en el punto A (1, 1,2) m, respecto a la recta x= y= z.

1 Resultado: Me = - 13 N· m

3. La fuerza F = a 7+ b 7 + c k está aplicada en el punto P (1, 1, 1 ). Ha­llar los valores de a, b y c para los cuales los momentos de dicha fuer­za respecto a los tres ejes coordenados son nulos.

Resultado: a = b = c

6. PAR DE FUERZAS

Con este nombre se designa al sistema formado por dos fuerzas parale­las, de igual valor y sentidos contrarios aplicadas a un sólido en dos puntos del mismo. El plano que contiene a las líneas de acción de las dos fuerzas se denomina plano del par y a la distancia mínima que las separa, brazo del par.

Como el efecto de un par de fuerzas es la producción de un giro, hemos de admitir que, necesariamente, existe un momento aunque la fuerza resul ­tante del sistema sea nula (véase apartado 4.1.).

Aunque más adelante se ampliará esta cuestión (momentos y giros), con­viene destacar ahora los siguientes aspectos relativos a los pares de fuerzas:

• Todo par puede trasladarse paralelamente a sí mismo siguiendo la di­rección de las fuerzas componentes sin que varíe el efecto producido por él.

• Todo par puede desplazarse a lo largo de la recta a la que pertenece su brazo.

La demostración de este enunciado es sencilla, sin más que conside­rar detalladamente la figura en la que tenemos un par de fuerzas de brazo AB.

Si en la misma recta del brazo consideramos otros dos puntos A' y B' tales que AB = A'B' Y en cada uno de ellos aplicamos dos fuerzas opuestas, de igual valor que F y paralelas a ella, el efecto total no va­riará puesto que la resultante - 2 F de las fuerzas aplicadas en A' y en B es anulada por la resultante 2 F de las aplicadas en A y en B'. El sis­tema, por tanto, queda reducido a las fuerzas F (aplicada en A') y - F (aplicada en B1-

• Un par de fuerzas se transforma en otro equivalente cuando gira alre­dedor del punto medio de su brazo.

Para demostrar esto no hay más que tener en cuenta la figura en la que vemos que el brazo del par que originalmente estaba en la posi-

Unidad 2

A /F /.r------_F

-,/ s

" F

A'r'-----..JS '

S o A: S' ~F HF F Il---A -F -- -- ---- -F -F

- 2F

27

lOS VECTORES MOMENTO

F

F1

F2

A e B

F2

F

28

ción AB ha girado hasta la A'B' y en cada uno de sus extremos tene­mos aplicadas dos fuerzas iguales y opuestas de magnitud F. La composición del sistema conduce, como resultado final, a un par de fuerzas de brazo A'B' pues las resultantes de las demás son dos fuerzas iguales y de sentido contrario, dirigidas según la bisectriz del ángulo que forman los brazos y que, por lo tanto, se anulan mu­tuamente.

• Un par se puede trasladar a otro plano paralelo al suyo, manteniéndo­se constante su efecto.

Para demostrarlo supongamos que en el plano n tenemos un par de brazo AB y fuerzas F y queremos trasladarlo a otro plano paralelo n'. Para ello introduzcamos en este nuevo plano, en los puntos A' y B' ta­les que AB = A'B', dos fuerzas iguales y opuestas a F. Procediendo de esta manera, al hallar la resultante de las fuerzas del mismo sentido aplicadas en A y en B' y las de B y A' obtenemos dos fqerzas 2 F, de sentido contrario, aplicadas ambas en 0 , centro del paralelogramo ABB' A' que se anulan mutuamente, quedando sólo un par de fuerzas en el plano n' y de brazo A'B'.

• Todo par de fuerzas puede sustituirse por otro equivalente cuyas fuer­zas componentes y brazo de par sean diferentes.

Vamos a demostrarlo. Para ello supongamos que tenemos un par de brazo AB y fuerza F. La fuerza aplicada en B la podemos descompo­ner en otras dos paralelas y del mismo sentido F1 y F2 que actúen en A y e, respectivamente, y tales que cumplan las condiciones:

F1 +F2=F

F1 • AB=F2 · Be

que antes hemos deducido para la composición de fuerzas paralelas y del mismo sentido.

De esta forma, en A tenemos aplicadas dos fuerzas de sentido opues­to F y F1 cuya resultante valdrá:

F -F1 =F2

apareciendo así un nuevo par de fuerzas de brazo Ae y fuerzas F2•

Este par de fuerzas es equivalente al primero. Si en la relación F1 • AB = F2 . Be sustituimos F1 por su valor (F1 = F - F2) resulta:

(F - F2) . AB = F2 . BC ; F· AB - F2 . AB = F2 . Be - - - -

F ·AB = F¿ ·(AB+BC) = F¿ ·AC

relación que pone de manifiesto la constancia del producto de la fuer­za por su brazo.

Actividades

1. Cita un ejemplo que demuestre que el siguiente enunciado es falso: /1 Dos fuerzas cualesquiera pueden componerse dando una resultante que produzca el mismo efecto que ellas/l .

2. ¿Es cierto que dos fuerzas iguales y de sentido contrario producen equilibrio? Razona tu respuesta.

7. MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS

El hecho de que el producto del valor de la fuerza componente de un par por el brazo del mismo sea igual al que podría obtenerse con otra fuerza y otro brazo diferentes no significa que ambos pa­res sean equivalentes y, por tanto, puedan sustituirse mutuamente realizando el mismo efecto. '

Por ejemplo, los dos pares de fuerzas representados en la figu­ra generan giros en sentidos contrarios y sin embargo el producto F . d es el mismo en los dos casos.

La interpretación del porqué de este fenómeno se basa en el concepto del vector momento de un par.

Consideremos un par integrado por las fuerzas F1 = F Y F2 = - F cuyas lí­neas de acción pasan por los puntos A y B respectivamente y cuyos vecto­res de posición respecto a un punto arbitrario 0, en el que podemos situar el origen de coordenadas, son, respectivamente r\ y (2 . El momento total de las dos fuerzas respecto al origen de coordenadas, es decir, el momento resultante, recibe el nombre de momento del par, cumpliéndose que:

100 = 101 + 102 = r, J\ F + G J\ (-F) = (r, - G) J\ F = ¡: J\ F = M

siendo ( el vector de posición de A respecto de B, es decir:

El momento de un par de fuerzas es el momento de una cualquiera de las fuerzas componentes respecto al punto de aplicación de la otra.

Del análisis de la expresión anterior y de la consideración de la figura se deduce que el vector momento no depende del centro que elijamos. En consecuencia:

El momento de un par de fuerzas es un vector libre.

Como la dirección del vector momento es perpendicular al plano del par y su sentido viene dado por la regla de Maxwell resulta que:

Dos pares de fuerzas son equivalentes si tienen el mismo momento .

...... __________________ Ejemplos I 1. Hallar el valor del momento del par de fuerzas F1 = - 3 /+2 7 Y

F2 = 3/-27 (SI), aplicadas en los puntos (1 = 27 - 5 k y (2 = -/ + 27 (SI).

Solución

Vaque (=(1-(2=/-5k, y F1=F= -3/+27, resulta:

; j k - - -

M= 1 O -5 = 10; +15j +2k (SI)

-3 2 O

Unidad 2

z

x

29

lOS VECTORES MOMENTO •...............•....••••.............•••.......................................... ..•.•...•.

30

8. COMPOSICiÓN DE PARES DE FUERZAS

Cuando sobre un sólido rígido actúan simultáneamente varios pares de fuerzas siempre se pueden componer para obtener un único par. Se pueden distinguir dos casos.

8.1. Composición de pares de ejes paralelos

En este caso, efectuando las correspondientes traslaciones, podemos conseguir que todos los pares estén en el mismo plano y, además, modifi­cando los valores de las fuerzas se logra que todos los pares tengan el mis­mo brazo común. De esta forma, en cada uno de los extremos de dicho bra­zo tenemos aplicado un sistema de fuerzas de la misma dirección, cuyas resultantes serán iguales y de sentido contrario. Por lo tanto, el momento del par resultante es igual al producto del brazo común por la suma alge­braica de las fuerzas, el cual, de acuerdo con el teorema de Varignon, es igual a la suma algebraica de los momentos parciales:

M=M1 +M2+M3+'"

8.2. Composición de pares situados en planos no paralelos

Consideremos sólo dos pares de fuerzas, uno situado en el plano 1t1 y otro en el 1t2• En este caso, de forma muy parecida al anterior, también se puede trasladar cada par en su propio plano hasta que sus brazos coincidan con la recta de intersección de los planos, y luego modificar el valor de las fuerzas con objeto de que el brazo AB sea común para los dos. Si ahora ha­llamos las resultantes de las fuerzas F1 y F2 aplicadas en A y en B, obtene­mos dos fuerzas F, iguales y de sentidos contrarios, que actúan en A y B; es decir, obtenemos un par de brazo AB y fuerza F. El módulo del momento de este par es M = F . AB, Y los módulos de los momentos de los pares compo­nentes: M¡ = F¡ . AB Y M2 = F2 . AB.

Como los momentos son perpendiculares a las fuerzas respectivas, al comparar los paralelo­gramos BF 1FF2 (formado por las fuerzas) y BM1 MM2 (formado por los momentos), se ve que ambos son semejantes, siendo sus lados propor­cionales. Luego, ya que F es la diagonal del para­lelogramo de las fuerzas, M lo ha de ser del de los momentos, y, por lo tanto, se puede poner: M=M1 +M2•

Generalizando tenemos:

Para un conjunto cualquiera de pares el par único resultante tendrá de valor: _ n _

M=¿Mi i=1

9. COMPOSICiÓN DE FUERZAS CUALESQUIERA: RESULTANTE GENERAL Y PAR RESULTANTE

Consideremos ahora el caso general: el de varias fuerzas que no son concurrentes ni paralelas, sino que se cruzan de cualquier manera y que ac­túan sobre un sólido. Tomemos arbitrariamente un punto ° del sólido como origen de coordenadas. Una fuerza cualquiera F que actúa sobre un punto A del sólido, determinado por su vector de posición r, no se puede trasladar hasta 0, pues, en virtud del principio de transmisibilidad, sólo lo puede ha­cer a lo largo de su línea de acción. Pero si en el punto ° aplicamos dos fuerzas iguales y opuestas, paralelas a la anterior, y de su mismo módulo, que están entre sí en equilibrio, hemos conseguido transformar la fuerza aplicada en A en otra equipolente a ella y aplicada en 0, más un par, cuyo momento vale:

El momento de este par es igual al momento de la fuerza dada respecto de 0, y aunque se trata de un vector libre, lo consideramos aplicado en el punto O. Por lo tanto:

Una fuerza F que actúa sobre un sólido rígido se puede trasladar a un punto arbitrario, 0, sin más que añadir un par, cuyo momento sea igual al de la fuerza dada respecto de O.

Este proceso se puede repetir para todas las fuerzas F1 , F2 , ••• , F;, ... , Fn ,

aplicadas al sólido, con lo que tendremos en el punto ° un sistema de fuer­zas concurrentes equipolentes a las dadas, y cuya resultante valdrá:

_ _ _ -+ _ n_

F=~+~+ ... +F¡+ ... +Fn=LF¡ ;=1

y, además, un sistema de pares, cuya resultante es un solo par, de mo­mento:

-+ _ _ _ -+ n -+ n _

Mo = ~ /\ ~ + (2 /\ F2 + ... + 0 /\ F¡ + ... + (n /\ Fn = L 0 /\ F¡ = L M; ;=1 ;=1

La fuerza resultante recibe el nombre de resultante general del sistema y el momento total, par resultante.

Si sobre un cuerpo rígido actúa un sistema de fuerzas, este sistema se puede sustituir por una fuerza única F, aplicada en un punto arbitrario ° del sólido, y un par, de momento Ñlo respecto al punto O.

La fuerza F resultante no depende del punto ° que elijamos, pero el mo­mento sí. Por lo tanto, se puede concluir diciendo que:

Dos sistemas de fuerzas que tengan la misma resultante general F y el mismo momento resultante Ñlo son equivalentes.

Unidad 2

31 ----

lOS VECTORES MOMENTO

lictiviaaaes ae Síntesis 1. Los vectores A (3,2, -5), B (6, -4, O) Y C (O, 7, 4)

están sometidos a esta operación:

V=2A+B+C Calcular:

a) El módulo de V. b) El producto escalar A . V.

Resultados: a) V=15,133; b)A · V=80

2. Hallar un vector que sea perpendicular a los vectores A = 4 1+ 37+ 2 k y B = 31 + 27+ 2 k, y tal que su módulo sea igual a 6.

Resultado: C = ± (41 -47 - 2 k) 3. Dos vectores tienen como origen común el pun­

to P (1,1,1) Y sus extremos están en A (2, 3, 4) Y B (O, 2, 6). Calcular el área del triángulo PAB.

Resultado: $= -1 122/2

4. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagona­les son: A= 5 1+47+ 7 ky B=I+k.

Resultado: $= 3

5. Los tres vértices de un triángulo están determi­nados por sus vectores de posición A = 1 + 3 k; B = 3 1+ 7 + 5 k; C = 4 1 + 37+ 2 k. Calcular:

a) Las longitudes de sus tres lados.

b) Las tangentes de los ángulos de dicho trián­gulo.

Resultados: a) a = M; b = f19; e = 3;

b) tg A = -112217; tg B = -1 122/2; tg C = "';122 /12

6. Los cinco vértices de un pentágono situado en el plano YZ están determinados por los vecto­res de posición : A =7; B=3 7+k; C=5 7+3 k; jj = 27+ 4 k; E = 2 k. Hallar el área del pentágono.

Resultado: $= 10,5

7. Probar que si A + B + C = O se verifica que: A I\ B=BI\C=C I\ A.

8. La fuerza F = 1 - 27 + 3 k (SI) está aplicada en el punto r= 2 1+ 7 + 2 k (SI). Hallar:

a) El momento de dicha fuerza respecto al ori­gen de coordenadas.

b) El momento respecto al punto O' (1,3, - 4). ....... -+ -+ -+ -

Resultados: a) Mo = 7 i -4 j - 5 k (SI); b) Mo,=6/+37 (SI)

32 __ _

9. Hallar el volumen del paralelepípedo de la figu­ra, sabiendo que los vértices explicitados son: A (2,3, O), B (4,2,3), C (7, -1, 4) Y D (1,1,1), coor­denadas todas ellas expresadas en unidades del Sistema Internacional.

D b

Resultado: V= 25 m 3

10. Los vectores A (2, O, 2) y B (1, - 2, 2) son concu­rrentes en el punto P ( - 2, - 1, O). Calcular sus momentos respecto al origen de coordenadas y el momento de su suma. Comprobar que se cumple el teorema de Varignon.

_ R!!su/~ado~: M.i1 = - 2 '-+ 47_+ 2 k,;. M 8 = - 2 i + 4 j + 5 k; M s = - 4 i + 8 j + 7 k

Se cumple que: MA+M8=Ms 11. ¿Por qué los antiguos carreteros para desatascar

las ruedas de los carros ataban las caballerías a la parte más alta de la rueda?

12. ¿Es cierta la frase: 11 La resultante de dos fuerzas paralelas es una fuerza paralela a ambasll ?

13. Tenemos tres vectores deslizantes en el espacio tridimensional: A B y C. La recta de acción del vector A cuyos cosenos directores son propor­cionales, respectivamente, a 1, 3 y 5, y cuyo mó­dulo es -1140, pasa por el origen de coordena­das. El vector B tiene de componentes (3, 2, - 1) y su momento respecto al origen es 2 1+37 - k. Las componentes de C son (2, 1, 3) y su recta de acción pasa por el punto (3,1,2). Hallar:

a) La resultante de los tres vectores.

b) El momento de la resultante respecto al ori­gen de coordenadas.

Resultados,' a) R= 7 T + 97+ 12 k; b) M Ro = 3 1 - 27

14. Empleando el cálculo vectorial, demostrar los teoremas del seno y del coseno.

Unidad 2

,Llctividades de Síntesis

15. En la figura tenemos dos pares de fuerzas tales que F1 = F2 = 20 N Y F3 = F4 = 30 N. Hallar el mo­mento resultante de ambos pares.

8m

x

z

~ oJr-------~~----~ y

12m

Resultado: M = -1807- 160] (SI)

16. Dado el vector A = 3 7 -] + k, aplicado en P (-2,1,1), hallar:

a) Su momento con respecto al eje az negativo.

b) Su momento respecto a un eje que pasa por a (O, O, O) Y B ( - 2, 2, 2) orientado de B hacia a.

2 Resultados: a) Mz- = 1; b) M-. = --

80 -J3 17. En la figura, los

vectores son la­dos de un hexá- e gono de lado 10-{3. Hallar:

a) Resultante del sistema.

b) Momento en a del sistema.

e) Momento en A del sistema.

y

B

o ~-----------------+ x

Resultados: a) R = 20 -{3 ]; b) M 0= 450 -{3 k; e) M A = 150 -{3 k

18. Sea el vector deslizante A = 27 +] - 2 k que pasa por el punto P (3,1, - 2). Calcular:

a) El momento del vector respecto al punto P1

(1, O, 1).

b) El momento respecto a un eje que pasa por los puntos P1 (1, 0,1) Y P2 (1, 2,1).

Resultados: a) Mp1 =7- 2]; b) Me = - 2

19. En la figura, Ves un vector de 10 unidades de módulo. Hallar:

a) Momento de V respecto al punto C.

b) Momento de V respecto al eje AB.

e) Momento de V respecto al eje BD.

d) Proyección de V sobre CD.

z A

y

Resultados: a) Mc= O;

b) MAB = O;

e) MBD =42,45;

- 80 d) ProYeD V = - r::=

>1689

20. En los puntos A, B y C de la pirámide de la figu­ra hay aplicados tres vectores .3,6 y e que satis­facen las condiciones siguientes:

DA· .3=0

OB·6=0

DA 1\.3= -20 k OB 1\ 6 = 15]

BC· e = 145; BC 1\ e = O

Hallar la resultante del sistema.

z B (0,0,15) .

y

Resultado: R= 3 7+ 2] -3 k

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