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UNAL
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Una simetra extraa observada
en la lgica proposicional clsica
Arnold Oostra
Universidad del Tolima
Simposio de Topologa
Carlos Javier Ruiz Salguero
Como se fue el maestrola luz de esta maaname dijo: Van tres das
que mi hermano () no trabaja.Muri? Slo sabemos
que se nos fue por una senda claradicindonos: Hacedme
un duelo de labores y esperanzas.Sed buenos y no ms, sed lo que he sido
entre vosotros: alma.Vivid, la vida sigue
los muertos mueren y las sombras pasanlleva quien deja y vive el que ha vivido.
Yunques sonad; enmudeced campanas!
Antonio Machado
Simetra extraa
Simetra extraa
1 2 3
4 5 2
6 4 1
Una notacin tipo Federici
cerrar el cuadrante falso C. S. Peirce
Problema 1
Encontrar todas las tautologas
de la forma:
(x x) O (x x)
Preliminar
Clasificacin de los conectivos segn la
forma x x
x x
N VS FW xE x
Solucin al Problema 1
(x x) O (x x)
Expresin ms simtrica
(x x) O (x x)
Problema 2
Encontrar todas las tautologas
de la forma:
(x y) O (x y)
Solucin dada por Peirce
26 de enero 1902(x y) O (x y)
Otra notacin tipo Federici
punto en la esquina verdaderaS. Zellweger
Modelos
Lineales
Slido
El Problema
Encontrar una expresin
matemtica para este tipo de
simetra
Simetra usual
Un grupo G acta sobre un conjunto X
La simetra/invarianza est dada porla igualdad
Dos conjuntos importantes
Xg = { x X | g x = x } g-simtricos
Gx = { g G | g x = x } es subgrupo
g x = x
Primera aproximacin
El grupo D4 de los movimientos rgi-dos del cuadrado acta sobre el
conjunto S
Surgen dos acciones de D4 sobre elconjunto M(S) de las tablas o matricescuadradas:
M = movimiento de cada entrada
M = movimiento de la matriz M
Se nota que ( M ) = (M )
Matriz M es -simtrica1 si M = M
Casos observados
En las tres tablas siguientes se tiene
M = M para cada D4
Caso no contemplado
Segunda aproximacin
Un grupo G acta sobre el conjunto S
Los elementos de un marco M estnrotulados por elementos de S
Un grupo H acta sobre el marco M
Surgen dos acciones sobre el conjuntoM(S) de marcos rotulados:
Mg = movimiento g de cada signo
hM = movimiento h del marco M
De nuevo (hM )g = h(Mg)
M es (g,h)-simtrica2 si hMg = M
La Bsqueda contina
La nocin anterior generaliza laprimera y adems da cuenta de las
simetras en el modelo slido
Sin embargo, no parece muy natural
Se busca una forma de verterla en unadefinicin ms sencilla, como cierta
accin de un solo grupo
Una metfora de Grothendieck