8/17/2019 04-Modulo Ejercicios - Unidad 6

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1. En un ΔABC cualquiera se trazan las alturas AJ y CH que se interceptan en I.Demostrar que: IA.IJ = IC.IH

GRAFICA 83 

      

  () 

AFIRMACION RAZON

1 °  ̅   2  3    

4    5

 

 

6 () ()()   

2. En una circunferencia C(O,R) se traza un diámetro AB, se toma un punto P tal que A-O-P-B , se levanta PC perpendicular a AB que corta a C(O,R) en E (P-E-C) y se traza AC que

corta a C(O,R) en D (A-D-C). Demostrar que AB . AP = AD . AC

GRAFICA 84

       

  

 

UNIDAD 7

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

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AFIRMACION RAZON

1   2    3  

 

  

 4 ( ) ( ) 

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5. Una persona de 180 cm. de estatura camina hacia un tanque esférico que reposa sobre el piso.

Cuando está a una distancia de 500cm. Del punto de contacto del tanque con el piso, su cabeza chacacon el tanque. ¿Cuánto mide el radio del tanque? 

GRAFICA 87

Podemos observar que AD=DC y representala altura de la persona, mientras que OC

equivale al radio, de donde aplicando elTeorema de Pitágoras obtenemos:

 

 

 

6. Se toma un triángulo ABC y se traza una recta que corta a los lados AC y AB deltriángulo en E y H respectivamente; se trazan AD, BK y CR perpendiculares a la recta y se

prolonga CB hasta cortarla en L. Demostrar que 1CL

 BL

 BH 

 AH 

 AE 

CE  

GRAFICA 88

1. Podemos determinar que los triángulos  y  son semejantes, de donde

2. Podemos determinar que los triángulos  y  son semejantes, de donde 

 

3. Podemos determinar que los triángulos  y  son semejantes, de donde

 

 

4. Si tomamos las tres igualdades correspondientes y multiplicamos lado a lado

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obtenemos

 

   

7. La hipotenusa de un triángulo mide 60u y la altura sobre ella 12u. Calcular la medida de

los catetos y su proyección sobre la hipotenusa.

GRAFICA 89

 ̅  

 ̅  

   

AFIRMACION RAZON

1  2  3  4  5  6  7  

8. En una circunferencia C(O,r), AB = 10u y CD = 6u son cuerdas paralelas y la distancia

entre ellas es de 4u; encuentre el radio de la circunferencia

GRAFICA 90

En este ejercicio podemos trazar elsegmento MN que pase por el centro de lacircunferencia y sea perpendicular a ambossegmentos.Por lo tanto con los dos triángulos isósceles

formados podemos aplicar el teorema dePitágorasY sabiendo que  

Resuélvelo siguiendo el análisis

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9. En un triángulo ABC Isósceles de base BC, se traza CD perpendicular a AB. Demostrarque AB2  + AC2  + BC2  = BD2 + 2AD2  + 5CD2 

GRAFICA 91

 

 ̅ ̅  

    

 

AFIRMACION RAZON

1    2    3    4    5    6    7    

10. Si CD es la bisectriz interior del ángulo C en un triángulo ABC y AC = b, BC = a , AB = c,

 AC      2 . Demuestre que abac     2  

GRAFICA 92

Determina la hipótesis y la tesis delejercicio

Por medio de la información suministrada tenemos que CD=m (¿Por qué?)

Si aplicamos el teorema de la bisectriz obtenemos que

  donde por propiedades de

las proporciones 

 

También podemos concluir que  (¿Por qué?) lo que nos lleva a

 

   

 

 

Retomando

  si sustituimos n obtenemos que  √ 

 

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11. Se tiene un triángulo cualquiera ABC. D y E dividen a BC en tres partes iguales, o es elpunto medio de BC y H el pie de la altura relativa a BC. Si CB = a, CA = b, y AB = c ; hallarAO, HO, AE y AD en función de a, b y c.

GRAFICA 93

 

 

     

Para resolver el siguiente ejercicio podemos establecer que CD=DE=EB=1/3CB=a/3,también tenemos que OD=OE=1/6CB=a/6 y OC=OB=1/2CB=a/2.

1. 

Ahora encontremos el valor de AH por medio del cálculo de la altura en función delsemiperimetro p

     

2. 

Hallemos AO mediana en función de a, b y c

   

3. 

Tomando el  recto en H hallamos OH por Pitágoras ya que AO y AH sonconocidos.

4.  Con todo lo anterior podemos tomar el  rectángulo en H con AH conocido yHE=OE-OH, aplicando el teorema de Pitágoras. Con todo lo anterior halla AD

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12. Demostrar que si se traza un segmento tangente y uno secante a una circunferencia C(O,r) desde

un mismo punto exterior a ella, el segmento tangente es media proporcional entre el segmentosecante y su parte exterior. 

GRAFICA 94 

El siguiente ejercicio es muy fácil de resolver,primero veamos que  (¿Por qué?)Lo que nos lleva a que  (¿Por qué?)De donde

 

 

 

realízalo argumentando cada paso 

13. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base BC inscrito en una circunferencia C(O,r), setraza un segmento AE cualquiera, con E sobre el arco CB y que corta a BC en D demostrarque AB2 = AE . AD

GRAFICA 95

Para demostrar este ejercicio tracemos BE yBC, sabemos que  y podemosobservar también que  (¿Por qué?).Lo anterior nos lleva a que (¿Porqué?).De donde podemos concluir que

 

  

realízalo argumentando cada paso

14. En un Triángulo ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con DE sobre lahipotenusa (A-D-E-B). Demostrar que AD . EB = DG . FE y que DE es mediaproporcional entre AD y EB.

GRAFICA 96

otro ejercicio fácil de realizar estableciendoque

 Luego establecemos las proporciones

correspondientes teniendo presente que  

realízalo argumentando cada paso

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15. Los radios de dos circunferencias concéntricas son 26u y 10u , calcular la longitud de lacuerda de la mayor que es tangente a la menor. 

GRAFICA 97

Observa que  (¿Por qué?).Luego aplicando el teorema de Pitágoras

podemos hallar AP=PB

realízalo argumentando cada paso

16. El diámetro de una circunferencia mide 20u. ¿En cuánto habrá que prolongarlo para que

la tangente trazada desde el punto obtenido tenga igual longitud que el diámetro?

GRAFICA 98

Para resolver este ejercicio recuerda:

Si desde un punto P  exterior a una

circunferencia se trazan una tangente , y una

secante , entonces el segmento tangente es

media proporcional entre la secante completa y

su segmento externo, es decir:

PT 

PAB

2PA x PB PT