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PROBLEMA 6
Siempre que se tienen dos curvas planas que estando en
movimiento relativo entre s, mantienen contacto, sedenominan
parejas de perfiles conjugados del movimiento.I.-Dentro de los
mecanismos en que intervienen mecanismos planos, desempean un papel
muy importante dentrode la maquinaria moderna, las levas. Consisten
en dos curvas en movimiento relativo y que a la vez
mantienencontacto entre s a lo largo del movimiento, por lo que
constituyen parejas de perfiles conjugados.Los sistemas de leva ,
con frecuencia se conocen simplemente como mecanismos de leva ,
estando constituidospor la leva y un seguidor, disendose de dos
formas:
a) Para conseguir un movimiento prefijado en el seguidor, disear
la leva para que se produzca dicho movimien-to.
b) Partir de la forma de la leva y determinar las caractersticas
de desplazamiento, velocidad y aceleracin queproducir dicho
contorno.
Cuando el seguidor es de cara plana, se tiene que una de las
curvas (perfil) es una recta y la otra curva (perfil), es el
contorno de la leva.
Para conseguir un movimiento plano de traslacin, que sea
movimiento vibratorio armnico simple (m.v.a.s),se suelen utilizar
dos tipos de mecanismos que se representan en esquema:
A) El denominado yugo escocs que se utiliz inicialmente en
bombas de vapor y actualmente como mecan-ismo en mquinas de prueba,
para producir vibraciones.
-
B) El contituido por un seguidor plano al cual se le trata de
dotar del m.v.a.s y una leva con contorno adecuadopara tal fin. As
la leva rota con eje fijo, y su contorno se apoya en un seguidor de
cara plana, en el que la direccinde su eje pasa permanentemente por
el punto fijo de la leva. La distancia entre el punto fijo y la
cara plana delseguidor ha de tener la ley del m.v.a.s. Se pide:
1) Determinar el perfil o contorno de la levaL, para que la
distancia entre su eje fijo y el seguidor de cara planao taqu ,
venga dada por d = |a sen + b|, a > 0, b > 0; siendo , el
ngulo girado por la leva.
2) Base y ruleta del taqu y de la leva respecto al sistema fijo,
/S 1 y L/S 1.3) Base y ruleta del movimiento relativo entre el taqu
y la leva, /L.
II.- Si bien las denominaciones de perfiles conjugados ( fijo y
mvil) son relativas, al serlo las denominaciones decurva fija y
mvil. Tienen nombre definitivo, cuando se define el sistema que se
considera fijo o reciprocamente elque se considera
mvil.Consideraremos el caso ms simple de un perfil conjugado mvil
(P.M) como es el caso de una recta y trataremosde obtener su perfil
conjugado fijo (P.F) para el caso de un movimiento plano
materializado por los mecanismosrepresentados en esquema:
-
A) El P.M es la recta que contiene a la biela de un mecanismo
biela-manivela-corredera, con la particularidadconstructiva de
tener biela y manivela, la misma longitud, a.
B) El P.M. es la recta que contiene al segmento AB = 2a de una
biela y que es arrastrado en su punto medio Cpor una manivela de
longitud a de forma que el extremo A del segmento, recorre el eje x
y el extremo B, el eje y,de una referencia coordenada con origen el
punto fijo de la manivela de arrastre.
C) Sin considerar mecanismos, podemos tomar como P.M. a la recta
que contiene a un segmento AB = 2a,que modeliza a una escalera
cuyos extremos A y B, se apoyan en un suelo horizontal y vertical
respectivamente.
Se pide:4) Determinar las ecuaciones paramtricas del P.F. en
funcin del ngulo , girado por las manivelas de los
casos A) y B) y del ngulo , formado por la escalera con la
vertical descendente del caso C).5) Base y ruleta de los
movimientos de las bielas y de la escalera, respecto al sistema
fijo.
III.- Como caso particular aunque trivial, de la correspondencia
existente entre P.M. y P.F, consiste en determinarla trayectoria de
un determinado punto del plano mvil. En este caso la curva del
plano mvil, est constituidapor un nico punto, que es un punto
concreto de dicho plano. Su P.F. es la trayectoria descrita para el
plano fijo,que es la envolvente o curva tangente al punto (P.M) en
cada instante, parmetro fsico por excelencia en el
cualdesembocaramos a partir de cualquier otro, dada la situacin de
movimiento y estar el punto (P.M.) caracterizadopor ecuaciones x =
cte, y = cte.
6) Trayectoria de un punto del plano mvil de coordenadas P(x0,
y0).
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RESOLUCIN.-
I.-1) Tanto el taqu como la leva son sistemas mviles respecto al
sistema fijo, por lo que estn en movimiento
relativo entre s, pero la distancia entre el eje de la leva y la
cara plana del taqu es independiente del sistema dereferencia.
Al tener que considerar los sistemas de referencia ligados a
taqu y leva, es ms cmodo tomar como fijo elsolidario al taqu, pues
el movimiento de la leva se visualiza rapidamente y a la vez el
movimiento del plano aella solidario es inmediato de matematizar,
pues el punto de su eje se mueve sobre una recta con el
movimientode m.v.a.s.( que queremos que exista) y el ngulo girado
respecto al taqu coincide con el ngulo , al ser elmovimiento del
taqu con respecto al fijo, un movimiento de traslacin. De esta
forma el P.M. ser el perfil ocontorno de la leva que en su
movimiento hace que la distancia entre el eje de la leva y la cara
plana del taqu, seael m.v.a.s.
En este caso adems podemos hacer que el parmetro que sirve para
posicionar la leva a travs del ngulogirado, sea el mismo que el que
sirve para medir la variacin angular del plano mvil respecto al
fijo.
P.F. f1(x1, y1) = 0 pi1 = P.M. f (x, y) = 0 pi
Tomando :
pi/pi1
{O ( = 0, = (a sen + b) )pi/pi1 =
Siendo :
r1 = O1O + r
r1 = x1 i1 + y1 j1{
O1O = i1 + j1r = x i + y j
(ij
)=
(CMF
) ( i1j1
)(i1j1
)=
(CFM
) ( ij
)Con :(C
)
(CMF
)=
(cos sen sen cos
)
(CFM
)=
(C 1
)=
(C T
)La relacin entre las coordenadas o componentes de los dos
sistemas, es:
r1 = O1O + rx1 i1 + y1 j1 = ( i1 + j1 ) + ( x i + y j )
( x1 y1 )(i1j1
)= ( )
(i1j1
)+ ( x y )
(cos sen sen cos
) (i1j1
) =x1 = + x cos y seny1 = + x sen + y cos
f1(x1, y1)=0 f1( x, y, , , ) = 0
f1( x1, y1 ) y1 = 0{ = 0 = (a sen + b)
= 0 = (a sen + b) + x sen + y cos g1(x, y, )Esta constituye la
familia de curvas dependientes del parmetro , para el observador de
pi.La envolvente o curva que es tangente a cada una de las curvas
de la familia se obtiene de:g1(x, y, ) (a sen + b) + x sen + y cos
= 0 (1) g1(x, y, )
a cos + x cos y sen = 0 (2){
(1)(2)
yxx = x ()y = y ()
f (x, y) = 0
Siguiendo el proceso de eliminacin anterior se obtiene:(1) sen +
(2) cos : = x = a + b sen(1) cos (2) sen : = y = b cosY adems se
obtiene:
-
x = a + b seny = b cos
}= x a = b sen
y = b cos
}= (x a)2 + y2 = b2
Se tiene por tanto:a) Ecuaciones paramtricas de la leva o
coordenadas del punto de tangencia entre leva (P.M.) y seguidor
plano
(P.F.) {x = a + b seny = b cos
b) Ecuacin cartesiana (no paramtrica) de la leva.
(x a)2 + y2 = b2 Circunferencia{
Centro : C (a, 0)Radio : R b
2)2-1.- /S 1 :El movimiento del taqu respecto al sistema fijo,
es un movimiento de traslacin permanente (movimiento
rectilneo de ley armnico simple) por lo que es ~/S 1 = ~0, t, y
por tanto no existe I c.i.r y en consecuenciatampoco existe base y
ruleta asociadas a dicho movimiento relativo.
2-2.- L/1 : El movimiento de la leva respecto al sistema fijo,
es un movimiento de rotacin con eje fijo, por loque el c.i.r
coincide permanentemente con el punto del eje del plano de la leva
y en consecuencia la base y laruleta, degeneran en dicho punto.
3) A efectos de base y ruleta, considerar los movimientos
relativos de /L o de L/, es equivalente, pues porlos teoremas de
reciprocidad de velocidades, lo que es base en uno de los
movimientos relativos, es la ruleta delotro movimiento relativo y a
la inversa recprocamente.
Vamos a considerar por tanto la situacin de L/, ya que la
tomamos en el apartado 1) y tenemos preparadoslos datos e
informacin para su tratamiento.
Como ya dijimos, el parmetro tomado, al ser adems el ngulo que
posiciona la orientacin del plano mvilrespecto al fijo, hace que
tengamos que utilizar las ecuaciones paramtrico-angulares de la
base y la ruleta.
Siendo:
BASE:Paramtrico-generales
x1 =
y1 = +
RULETA:Paramtrico-generales
x =
sen cos
y = cos + sen
Tenemos:
BASE:Paramtrico-angulares{
x1 = y1 = +
RULETA:Paramtrico-angulares{
x = sen cosy = cos + sen
Al ser:
pi/pi1
{O ( = 0, = (a sen + b) )pi/pi1 = =
{ = 0 = a cos
Por lo que:
BASE{
x1 = (a cos) = a cosy1 = (a sen + b)
RULETA{
x = (a cos) cos = a cos2 y = (a cos) sen = a cos sen
3-1) BASE{x1 = a cosy1 = (a sen + b) =
{x1 = a cosy1 b = a sen = (y1 b)
2 + x21 = a2
{x1 = a cosy1 = (a sen + b) = (y1 b)
2 + x21 = a2 Circunf.
{Centro : C (0, b)Radio : a
-
3-2) RULETA {x = a cos2 y = a cos sen =
{x = a cos2 y2 = a2 cos2 sen2
=
y2 = a x x2 = y2 +(x a
2
)2=
(a2
)2{
x = a cos2 y = a cos sen = y
2 +
(x a
2
)2=
(a2
)2 Circunf.
Centro :
(a2, 0
)Radio :
a2
II.-4)
P.M. f (x, y) = 0 pi = P.F. f1(x1, y1) = 0 pi1
Tomando :
pi/pi1
( Fig. 1 y 2 )
O A ( = 2a cos , = 0 ) = pi2 = pi/pi1 = =
( Fig. 3 ){
O A ( = 2a sen , = 0 ) = = pi/pi1 = =
Siendo :
r1 = O1O + r
r1 = x1 i1 + y1 j1{
O1O = i1 + j1r = x i + y j
(ij
)=
(CMF
) ( i1j1
)(i1j1
)=
(CFM
) ( ij
)Con :(C
)
(CMF
)=
(cos sen sen cos
)
(CFM
)=
(C 1
)=
(C T
)La relacin entre las coordenadas o componentes de los dos
sistemas, es:
r = r1 O1Ox i + y j = ( x1 i1 + y1 j1 ) ( i1 + j1 )( x y )
(ij
)= ( x1 y1 )
(cos sensen cos
) (ij
) =x = (x1 ) cos + (y1 ) seny = (x1 ) sen + (y1 ) cos
f ( x, y )=0 f ( x1, y1, , , ) = 0
Haciendo el proceso para las figuras 1) y 2), pues el proceso
para la figura 3), sera correspondientementeanlogo.
f ( x, y ) x = 0{ = 2a cos = 0
=0 = (x1 2a cos ) cos + y1 sen= (x1 2a cos ) cos (pi2 ) + y1 sen
(
pi
2 )
= (x1 2a cos ) sen + y1 cos g (x1, y1, )Esta constituye la
familia de curvas dependientes del parmetro , para el observador de
pi1.La envolvente o curva que es tangente a cada una de las curvas
de la familia se obtiene de: g (x1, y1, ) (x1 2a cos ) sen + y1 cos
= 0 (1) g (x1, y1, )
(x1 2a cos ) cos + 2a sen2 y1 sen = 0 (2){
(1)(2)
y1x1x1 = x1 ()y1 = y1 ()
f1 ( x1, y1 ) = 0
Siguiendo el proceso de eliminacin anterior se obtiene:
-
(1) sen + (2) cos : = x1 = 2a cos3 (1) cos (2) sen : = y1 = 2a
sen3 Y adems se obtiene:
x1 = 2a cos3 y1 = 2a sen3
}=
( x12a
)13 = cos ( y1
2a
)13 = sen
= (x1)
23 + (y1)
23 = (2a)
23
Se tiene por tanto:a) Ecuaciones paramtricas del P.F. {
x1 = 2a cos3 y1 = 2a sen3
b) Ecuacin cartesiana (no paramtrica) del P.F.
(x1)23 + (y1)
23 = (2a)
23 Astroide
Simtrica respecto al eje x1Simtrica respecto al eje y1Simtrica
adems respecto al origen O1
5) En este caso, el parmetro tomado, no es el ngulo que
posiciona la orientacin del plano mvil respectoal fijo, por lo que
tendremos que utilizar las ecuaciones paramtrico-angulares de la
base y la ruleta.
Siendo:
BASE:Paramtrico-generales
x1 =
y1 = +
RULETA:Paramtrico-generales
x =
sen cos
y = cos + sen
Al ser (tomamos los casos que hemos considerado en el apartado
4) ):
pi/pi1
O A ( = 2a cos , = 0 ) = pi2 , pi/pi1 = = =
{ = 2a sen = 0
Por lo que:
BASE{
x1 = 2a cos y1 = (2a sen )(1) = 2a sen
RULETA
x =
(2a sen ) cos 1 = 2a sen cos
y =(2a sen ) sen
1 = 2a sen2
5-1) BASE{x1 = 2a cos y1 = 2a sen
=
x12a
= cos y12a
= sen = x21 + y21 = (2a)2{
x1 = 2a cos y1 = 2a sen
= x21 + y21 = (2a)2 Circunf.{
Centro : (0, 0)Radio : 2a
5-2) RULETA {x = 2a sen cos y = 2a sen2
={
x2 = (2a)2 sen2 cos2 y = 2a sen2
=
x2 = 2a y y2 = x2 + (y a)2 = a2
{x = 2a sen cos y = 2a sen2
= x2 + (y a)2 = a2 Circunf.{
Centro : (0, a)Radio : a
-
NOTA.- En este caso tanto la Base como la Ruleta se obtienen
facilmente por consideraciones geomtricas,sin tener que recurrir a
las fmulas generales.
En efecto:El punto I en un instante genrico est en:Casos de fig.
1 y 2.La interseccin de las siguientes rectas:a) La perpendicular
levantada por el punto A de la biela, al seguir A trayectoria
rectilnea.b) La perpendicular a la trayectoria del punto de unin de
la manivela con la biela, que como describe trayec-
toria circular de centro fijo que es el otro extremo de la
manivela, estar sobre la recta que contiene a la
propiamanivela.
Caso de fig. 3.La interseccin de las perpendiculares levantadas
por los puntos A y B, extremos de la escalera que recorren
trayectorias rectilneas coincidentes con los ejes.Tenemos que el
punto I verifica:A) Equidista la distancia 2a del punto fijo de la
manivela o del punto de encuentro del suelo con la pared en el
caso de la escalera.Por lo que la BASE, es un circunferencia de
centro dicho punto y radio 2a.B) Equidista la distancia a del punto
de unin de la manivela con la biela o del punto medio de la
escalera.Por lo que la RULETA, es una circunferencia de centro
dicho punto y radio a.
III.-6)
P.M. f (x, y) = 0 pi = P.F. f1(x1, y1) = 0 pi1Segn los mismos
razonamientos que utilizamos en el apartado 4) se tiene:
x = (x1 ) cos + (y1 ) seny = (x1 ) sen + (y1 ) cos
f ( x, y )=0 f ( x1, y1, , , ) = 0
Independientemente del origen tomado en el plano mvil, es decir
de sus coordenadas ( , ) y de la orientacinde los ejes en l
considerados, o lo que es lo mismo del ngulo se tiene:
f ( x, y ) = 0 P{
x = x0y = y0{
=x0 = (x1 ) cos + (y1 ) sen (1)y0 = (x1 ) sen + (y1 ) cos
(2)
Del sistema{
(1)(2)
se obtienen las ecuaciones paramtricas de la envolvente, que es
la trayectoria del punto P{x1 = x1( x0, y0, , , )y1 = y1( x0, y0, ,
, )
Siguiendo el proceso de eliminacin siguiente, se obtiene:
(1) cos (2) sen : = x1 = + x0 cos y0 sen(1) sen + (2) cos : = y1
= + x0 sen + y0 cos
NOTA:Por otra parte, para esta situacin de P.M. particular, no
haca falta el proceso seguido, pues directamente se
obtiene a partir de:
r1 = O1O + r = ( )(i1j1
)+ ( x0 y0 ) (CMF)
(i1j1
)
x1 i1 + y1 j1 = ( )(i1j1
)+ ( x0 y0 )
(cos sen
sen cos) (
i1j1
)De la que se obtiene igualmente:
x1 = + x0 cos y0 seny1 = + x0 sen + y0 cos
