1 ingenieria de alimentos I (met numericos)ULCB.doc

INGENIERIA DE LOS ALIMENTOS I

TOPICO: METODOS NUMERICOS

Mg Víctor Terry Calderón

Mg Víctor Manuel Terry Calderón Página 1 de 80

I EMPLEO DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN (Método de los mínimos cuadrados)

CONCEPTOS Y ECUACIONES La regresión se usa para denotar el proceso estadístico de encontrar la mejor ecuación que pueda interpretar la relación entre dos variables (y=f(x)), predecir valores por interpolación e extrapolación

1. El modelo lineal

Donde el valor del intercepto es (A):

El valor de la pendiente (B)

El coeficiente de correlación (R)


A

B

2. Modelo de potencia

Grafica de la curva en papel milimetrado

Ecuacion linealizada:





3. Modelo logarítmico

grafica de la curva en papel milimetrado

Ecuacion linealizada:




4. Modelo


Ecuación Linealizada

Establecer las respectivas ecuaciones para encontrar A, B y R

5. Modelo


Linealizado


6. Modelo: y = A + B.Ln(x)



7. Modelo:

Linealizar la funciónEstablecer las respectivas ecuaciones para encontrar A, B y R


Linealizados:


8. Modelo:



9. Modelo logístico

linealizado:


10.Modelo:


Linealizado:



CASO I. CUANDO NO EXISTE ECUACIÓN Y SE DEBE DETERMINAR UNA ECUACIÓN EMPÍRICA A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES.

Ejemplo 1 y = A +B x

La temperatura de un alimento esta variando durante una operación de calentamiento de acuerdo a los siguientes valores experimentales:

t min T ºc1 13 8,55 14,37 18,59 23,511 30,213 33,515 38,517 45,219 48,521 53,523 60,2ABR

Determinar su ecuación empírica de T =f(t)

Ecuación obtenida

Interpolación:

Describa la ecuación e interprete el problema

Ejemplo 2 y = A +B x


La temperatura de un alimento esta variando durante una operación de calentamiento de acuerdo a los siguientes valores experimentales:

t min T ºc1 753 715 687 639 5911 5213 4815 4417 4119 3821 3323 31ABR

Determinar su ecuación empírica de T =f(t)

Ecuación obtenida

Interpolación


Ejemplo 3 y = A 10B(x)


x y

1 1,5100

3 0,7803

5 0,4001

7 0,2084

9 0,1077

11 0,0601

13 0,0288

15 0,0133

17 0,0077

19 0,0030

21 0,0021

23 0,001

A

B

R

Determinar la ecuación empírica de y = f(x)

Ecuación obtenida

Interpolación:


Ejemplo 4 y = A 10B(x)

x y

1 2,971

3 4,9575


5 8,2723

7 13,803

9 23,033

11 38,433

13 64,13

15 107,01

17 178,56

19 297,95

21 497,16

23 829,57

A

B

R


Ecuación obtenida

Interpolación:


Ejemplo 5 y = A xB

X Y1 41,23 51,3245 56,8457 60,802


9 63,93611 66,55413 68,81515 70,81317 72,60819 74,24221 75,74323 77,133ABR


Ecuación obtenida

Interpolación:


Ejemplo 6 y = A xB

X Y

1 40,3

3 32,350

5 29,209

7 27,308


9 25,969

11 24,947

13 24,128

15 23,447

17 22,867

19 22,364

21 21,921

23 21,526

A

B

R

Determinar la ecuación empírica y = f(x)


Ecuación obtenida

Interpolación:


Ejemplo 7:

Linealizada es:

X Y 1/Y1 1,88683 1,69495 1,5385


7 1,40859 1,298711 1,204813 1,123615 1,052617 0,990119 0,934621 0,88523 0,8403ABR

Encontrar la función y = f(x)


Ecuación obtenida

Interpolación:


Ejemplo 8

Logística


tiempo (t) h Temperatura ºC0 35,82091 45,18042 55,37673 65,84894 75,97335 85,20506 93,18427 99,76808 104,99579 109,0213

10 112,048611 114,284912 115,915213 117,092314 117,936215 118,538216 118,966217 119,269618 119,484419 119,636220 119,743430 119,992250 120,000050 120,000060 120,0000

Yf =A=B=R=

Determinar la ecuación

Interpolación:



Ejemplo 9

x y

0 15,42 1 11,42 2 8,46 3 6,27 4 4,64 5 3,44 6 2,55 7 1,89 8 1,40 9 1,04

10 0,77 11 0,57 12 0,42 13 0,31 14 0,23 15 0,17 16 0,13 17 0,09 18 0,07 19 0,05 20 0,04

yo= yf=

A= B=

R=


yfyo

yfyLn


Interpolación:

Describa la ecuación e interprete

Ejemplo 10 y = A + B.Ln(x)

x y2 9,783 14,044 17,065 19,406 21,317 22,938 24,339 25,57

10 26,68A=B=C=


Interpolación:



Ejemplo 11

x y log(y)1 3,943 6,155 9,617 15,029 23,47

11 36,6713 57,3015 89,5317 139,8919 218,5821 341,5223 533,6325 833,8027 1302,81

A=B=R=


Interpolación:




CASO II. TOMA DE DECISION PARA DETERMINAR LA MEJOR ECUACION

Ejemplo 12DETERMINAR LA MEJOR ECUACION DE ACUERDO AL PARAMETRO R (COEFICIENTE DE REGRESION) Para los siguientes datos:

x y10 0.120 1.630 10.2540 120.3250 900.3560 10000.23

ABRABRABRABR

Escribir la ecuación


CASO III. DETERMINAR LA ECUACION CUANDO SE TIENE REPETICIONES PARA UN MISMO TRATAMIENTO.Ejemplo 13REPETICIONES (YI) POR CADA VARIABLE INDEPENDIENTE (X); toma de decisiones.

X Y1 41 4.51 3.92 10.52 11.32 9.43 19.33 18.43 20.44 40.24 39.74 38.25 60.25 59.95 61.8

Escriba la ecuación


CASO IV. CUANDO SE TIENE VARIOS TRATAMIENTOS, Y SE REQUIERE ENCONTRAR UNA ECUACION DE LA FORMA y= f(x,z)Ejemplo 14ENCONTRAR LA ECUACION QUE INTERPRETA TODO EL FENOMENO.

Datos

Tiempo (t) Tratamiento 1T= 100 ºC

Tratamiento 2T= 110 ºC

Tratamiento 3T = 120 ºC

Concentración C1

Concentración C2

Concentración C3

1 18 18 185 38 30 4510 60 60 7115 80 80 8520 98 109 118

Organizar la tabla

Temperatura (T) Pendiente (B)

Determinar la ecuación y calcular una tabla para una temperatura de 115 ºC


CASO V. CUANDO SE CONOCE LA ECUACIÓN QUE CORRELACIONA LA VARIABLE INDEPENDIENTE Y DE LA DEPENDIENTE, Y SE DEBE DETERMINAR LAS CONSTANTES FÍSICAS O QUÍMICAS

Problema 1El crecimiento de los microorganismos siguen una tendencia logarítmica de la forma

donde N: es el número de microorganismos (ufc) después de un tiempo (t) No: es el número inicial de microorganismos (ufc) k: es la constante de velocidad de crecimiento tiempo-1

La ecuación se representa también de la forma siguiente:

y cuyo modelo matemático es:

dado los siguientes valores experimentales determinar la constante de velocidad de crecimiento (k)

t (min) N1 17,7835 177,839 1778,3

13 1778317 17782821 2E+0625 2E+0729 2E+08A=B=R=

Escriba la ecuació


Problema El crecimiento de microorganismos sigue una tendencia logarítmico de acuerdo a la siguiente expresión, observar en el problema anterior

Los datos experimentales son los siguientes

Tiempo (t)h N1 ufc ; T1 = 30 ºC N2 ufc; T2:40 ºC0 18 185 190 30010 1500 350015 18000 4000020 200000 500000

Construir el modelo matemático, que interprete el problema N = f (T,t)Determinar dos tablas para 20 y 35 ºC.

La muerte Termica de los microorganismos siguen una tendencia logarítmica de acuerdo a la siguiente expresión matemática.

Donde N: numero de u.f.c. en un tiempo (t) No: numero inicial de u.f.c. en tiempo t=0 K: la constante de velocidad de destrucción térmica

Ensayo realizado a 120 ºCTiempo(t)min N (ufc)

0 1 000 000 4 300 000 6 50 0008 9 00010 10012 5

Determine la constante (k) de velocidad de destrucción térmica.


Problema 2Se tiene los siguientes datos referentes a una experiencia de penetración de azúcar en una fruta, donde se mide la concentración de azúcar (c) g/100 g de fruta, en función del tiempo (t) en horas. Se pide determinar la constante de velocidad (k).

La ecuación que correlaciona las variables es:

donde:C: Concentración de azúcar en el fruto g/100 gCf: concentración en el equilibriok: Constante de velocidadt: tiempo

La ecuación linealizada es:

Los datos obtenidos son los siguientes

Tiempo (t) h

Concentración (C)g/ 100 g

0 22 4,24 6,86 8,18 9,610 10,2

ABR

Valor de aValor de k



La penetración de sal en filetes de pescado puede medirse considerando la expresión matemática

Donde:Cf: es la concentración de sal en el equilibrioC : conentracion de sal en un tiempo tal como (t)a : es una constante sin ningún valor físico químicok: constante de velocidad de penetración de salt : tiempo

Evaluar la siguiente tabla de datos:Tiempo (t) horas Concentración de sal %0 2,54 12,58 24,612 31,216 32,320 32,624 33.8

Cf: 35%

Determine la constante de velocidad de penetración de sal


Problema 3La velocidad de un barco (v) en nudos, esta en relación a su potencia (HP), teniendo los siguientes datos experimentales:La ecuación que relaciona esta variables es:

VELOCIDAD ()

HP

5 2907 5609 114411 181012 2300A=B=R=

Determine la ecuación

Si la velocidad del barco es de 10,5 nudos, determine la potencia requerida .Si la potencia del barco es 1200, cual será la velocidad desarrollada.

Problema 4Durante la fermentación de la glucosa a etanol, se tomaron los siguientes datos:

Ecuación

Tiempo (t) días Reducción del sustrato º Brix usando a S. cereviseae.var elipsoide (C )

0 153 136 11.59 10.2212 9.715 8.218 7.0


24 5.8A=B=R=


Problema 5Durante la fermentación alcohólica se genera ETOH en función del tiempo

Tiempo (t) días Etanol formado usando a S. cereviseae.var elipsoide (C )

0 03 06 2.19 3.212 6.215 8.318 9.924 10.3

A=B=R=

Escriba la ecuacion

Problema 6La calibración de un medidor de orificio da las siguientes lecturas mostradas en la tabla, conociendo que el flujo a través de un orificio sigue la siguiente expresión:

donde:V: velocidad del fluido , m/sR: presión en mm de Hgk , n son constantes

R V30,3 3,42


58,0 4,2575,5 5,3193,5 5,83137,5 7,02148,0 7,30261,1 10,05A=B=R=

Determine la ecuación :

Determinar las constantes k y n

Problemas propuestos de análisis de regresión

Objetivos:

Identificar el problema para la aplicación de los siguientes objetivos Lineal izar expresiones matemáticas Dado una serie de puntos experimentales determinar la respectiva ecuación Teniendo la ecuación determinar las respectivas constantes físicas químicas. Efectuar pronósticos

Problema 1Los prestamos warrants del Banco central en miles de millones están dados en la siguiente tabla:

AÑO PRESTAMO1990 25,31991 40,41992 42,61993 62,81994 94,11995 116,11996 140,7

Determine la respectiva ecuación Préstamo = f (año)Para los años 1997 y 1999 cual será la tendencia


Problema 2La gerencia de un fabrica trata de encontrar una medida de correlación entre los años de servicio que tiene su maquinaria y el importe de de la facturas de reparaciones anuales a partir de la siguiente información:

AÑO DE SERVICIO COSTO ANUAL DE REPARACIÓN EN MILES USA $

1 25,002 18,754 31,255 37,508 50,009 50,0013 62,5015 100,00

Problema 3La serie cronológica nos indica la venta en millones de dólares:

AÑO VENTAS1987 8,001988 10,41990 13,51991 17,61992 22,81993 29,31994 39,41995 50,51996 65,01997 84,11998 109,6

Determinar las siguientes ecuaciones: lineal, logarítmica y exponencialEfectué las proyecciones para los siguientes 3 años.

Problema 4La siguiente información sobre importaciones fue obtenida por una empresa, de donde el gerente debe encontrar la correlación que existe entre las importaciones (I) USA $ y el año (A).

AÑO (A) IMPORTACIONES (I) USA $ MILES

85 3,00


86 4,2087 5,7588 8,3089 11,5090 16,0091 22,4092 31,0093 44,694 60,195 84,3096 118,6

Su asesor le manifiesta que utilice la expresión:

Problema 5La siguiente tabla da los resultados de un experimento sobre la determinación del alargamiento E, en pulgadas, de un alambre de acero destemplado cuyo diámetro es de 0,693 pulgadas, debido a una carga W, en libras.

W E0 0,0050 0,0130100 0,0251150 0,0387200 0,0520225 0,0589250 0,0659260 0,0689

Determine la respectiva ecuación matemática

Problema 6Para medir el coeficiente de temperatura de un alambre de cobre de diámetro 0,9314 cm y de longitud 77 cm, se hicieron las siguientes medidas, donde C, es la temperatura en grados Celsius y r, es la resistencia en microhms.

C r19,10 76,3025,00 77,8030,10 79,7536,00 80,8040,00 82,3545,10 83,90


50,00 85,10

Determinar la respectiva ecuación

Problema 7Los experimentos de concentración química (x) en iones de hidrógeno, es una función de la concentración de iones de hidrógeno no disociados (y) en el HCl.

X Y1,22 0,6760,784 0,2160,426 0,0740,092 0,00850,047 0,003150,0096 0,000360,0049 0,000140,00098 0,000018

Determine la respectiva ecuación

Problema 8La velocidad de un barco (v) en nudos, esta en relación a su potencia (HP), teniendo los siguientes datos experimentales:

VELOCIDAD HP5 2907 5609 114411 181012 2300

La ecuación que relaciona esta variables es:

Si la velocidad del barco es de 10,5 nudos, determine la potencia requerida .Si la potencia del barco es 1200, cual será la velocidad desarrollada.

Problema 9La potencia hidráulica (HP) proporcionada en el extremo de una tubería equivale a la potencia entregada en el otro extremo (HPo) de la tubería, de acuerdo a los siguientes datos:

HP HPO

8 1310 1415 15,4


20 16,330 17,240 17,860 18,580 18,8

La ecuación que correlaciona estas dos variables es:

Si la potencia aplicada es HP = 18, determine el valor de HPoSi la potencia recibida es HPo = 17, determine el valor HP

Problema 10La siguiente tabla nos muestra las alturas (H) en pulgadas y los pesos (W) en libras.

H W70 15563 15072 18060 13566 15670 16874 17865 16062 13267 14565 13968 152

Estimar el peso (W) de un estudiante de 63 pulgadasEstimar la altura (H) de un estudiante cuyo peso es 168 libras

Problema 11La siguiente tabla muestra los valores de la presión (P) lb/pulg2, de una masa dada de gas correspondiente a diferentes valores de su volumen (V) en pulg3

De acuerdo a la siguiente expresión

V P54,3 61,2


61,8 49,572,4 37,688,7 28,4118,6 19,2194,0 10,1

Determinar la presión del gas si tiene un volumen V = 75 pulg3

Determine el volumen del gas si se encuentra a una P = 45 lb/pulg2

Problema 12La velocidad de un efluente que se vierte a un río sigue una expresión parabólica, donde (v) m/min, es la velocidad y de (D) pies, es la profundidad del lecho del desagüe.

D v0 3,195

0,1 3,2290,2 3,25320,3 3,26110,4 3,25160,5 3,22820,6 3,18070,7 3,12660,8 3,05940,9 2,9759

Determine la ecuación respectiva

Problema 13La solubilidad el cromato de potasio (s) g /100 g de solución, está relacionado con la temperatura (T), en grados Celsius

T s0 61,510 62,1

27,4 66,342,1 70,3

Determine su ecuaciónCuál será la solubilidad del cromato de potasio a una temperatura de 30 ºC

Problema 14La concentración de ácido ascórbico (C %) varía durante el almacenamiento al aire libre, en función del tiempo (t) min, de acuerdo a la siguiente tabla


t C %0 100

1200 74,12340 59,13600 42,14140 407540 23,18100 15,7

Determinar la ecuación de la experiencia

Problema 15La calibración de un medidor de orificio da las siguientes lecturas mostradas en la tabla, conociendo que el flujo a través de un orificio sigue la siguiente expresión:

donde:V: velocidad del fluido , m/sR: presión en mm de Hgk , n son constantes

R V30,3 3,4258,0 4,2575,5 5,3193,5 5,83137,5 7,02148,0 7,30261,1 10,05

Determinar las constantes k y n

Problema 16La relación peso – longitud en los peces tiene la siguiente expresión:

donde: P : peso en librasL: longitud de peces en cm.c, n. Valores constantes

L P20 0,430 0,9


40 1,850 3,760 6,070 9,580 1490 19100 31

Problema 17

El coeficiente de transferencia de masa en un recipiente agitado se estima por la medida del incremento de la concentración de soluto en el solvente (C), como una función del tiempo (t), de acuerdo a la siguiente expresión:

Si la concentración de soluto Cs = 20%, el volumen del solvente es constante V= 60 pies3, estimar el coeficiente de transferencia de masa (KA) y C es la concentración del soluto en el solvente y t, tiempo.

t (min) C%0 02 34 76 98 1110 1313 1516 1619 17

Problema 18Una fabrica que usa maquinas herramientas produce anualmente un valor (K), en que a medida que incrementa la cantidad de máquinas automáticas (M) aumenta el volumen de producción de acuerdo a la siguiente tabla

M K10 25000015 28000023 35000022 44000035 75000050 1100000


55 115000078 150000095 1700000130 2500000

Determinar la ecuación que correlaciona las dos variables ( k = f(M))

Problema 19

En una planta, en la línea de conservas produce conservas (Cn) de acuerdo a la cantidad de operarios (OP) de acuerdo a los siguientes programas:

PROGRAMA OP CN1 11 2052 15 3016 20 4113 22 4507 24 4935 26 5224 31 6128 36 662

Estimar la producción para 40 y 60 operariosCuantos operarios se requiere para producir 500 cajas

DETERMINAR LA ECUACION QUE CORRELACIONES LAS RESPECTIVAS VARIABLES. X , Y.

Problema 20Los valores de acidez, expresado en % de ácido láctico, NNP expresado en % de nitrógeno y pH , se da para muestra de residuos ensilados a 37 ºC Determinar la respectiva ecuación, e intérprete los resultados.

Jurel% de acido láctico

Día % de acido láctico1 0.562 2.083 2.446 2.929 3.1015 3.02


30 2.91Boletín de investigación Instituto Tecnológico Pesquero Vol 8, 2007-2008

Problema 20a

Día NNP % de nitrógeno1 0.132 0.593 1.736 1.669 1.6915 1.8330 1.93

Boletín de investigación Instituto Tecnológico Pesquero Vol 8, 2007-2008

Problema 20 bDía pH1 6.102 4.733 4.736 4.639 4.5515 4.2730 4.27


Problema 21

Contenido de cloruros % NaCl, en anchoveta grasa antes de adicionar aceiteDetermine la ecuación e interprete los resultados.

Tiempo min % Na Cl a 7 ºC5 1.8410 1.9815 2.5120 2.3325 2.8030 2.8135 2.80


Problema 21.aTiempo min % Na Cl a 0 ºC


5 1.6210 1.8015 1.9020 2.2225 2.3430 2.3635 2.39


Problema 22Variación de los valores AGL%, VP (meq/kg de grasa) TBA mg de MDA/kg de pulpa.AGL: ácidos grasos libresVP: valor de los peróxidosTBA: Acido tiobarbiturico

Anchoveta entera almacenada a -26 ºCDeterminar la ecuación empírica e su interpretación.

Valores de AGL%Días AGL %

0 0.1230 0.4460 0.9090 1.11120 1.70150 2.20180 3.30


Problema 22.aValores de VP

Días VP0 5.0330 3.6560 6.2090 4.10120 6.34150 6.89180 12.42


Problema 22.b


Valores de TBADías TBA

0 0.6030 4.0560 1.0090 0.14120 2.06150 1.79180 0.74


Problema 23Evaluación sensorial de olor y sabor de muestras de hojuelas de pescado almacenadas a 10ºCApariencia Olor y sabor Textura5 Olor y sabor muy agradable, leve sabor a

pescadoMuy crocante

4 Buen olor y sabor, ligeramente a pescado Crocante3 Olor y sabor aceptable, a pescado cocido Poco crocante2 Olor y sabor desagradable, no aceptable,

rancioBlanda, no tiene crocantes

1 Olor y sabor muy desagradable rancio añejo Blanda no presenta crocantes


Tabla de evaluación de olor y sabor de muestra de hojuelas almacenadas a 10ºC

Días Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 40 5 5 5 515 4,04 4.04 4.06 4.0630 4,02 4.02 4.03 4.0445 4 4,01 4.01 4.0360 3,04 3,04 4.00 4.090 3,02 3.02 3.05 3.05120 3 2.05 3.01 3.0


Determinar la ecuación e intérprete los resultados.

Problema 24


Valores de peróxido (mili-equiva de peróxido /kg de muestra) en hojuelas de pescado almacenados a 10ºC

Días Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 40 2.6 3.4 2.4 2.115 8.3 6.3 7.8 8.330 9. 7.4 9.4 10.64560 1090 6.7 11.3 10.3 11.7120


Determine su ecuación e intérprete los resultados.

Problema 25Contenido de humedad %, en muestras de hojuela de pescado

Días Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 40 1.5 1.5 1.5 1.530 1.8 2 1.8 1.660 1.9 2.2 1.9 1.62120 2.9 3.1 2.1 2.2150 4.9 4.8 2.2 2.22

Determinar la ecuación e intérprete los resultados almacenados a 10ºC.Boletín de investigación Instituto Tecnológico Pesquero Vol 8, 2007-2008

Problema 26. En una operación de biodegradación de un efluente orgánico se contabilizo

el caudal (Q) litros /hora, saliendo del bioreactor, conociendo que la carga orgánica inicial

fue de 6001 mg /l.

Tiempohora

Caudal (Q)litro/h

Concentraciónmg/l

1 4500 5003 6500 5615 4350 4507 5321 3259 4698 58511 5331 62513 4610 351


Determinar la ecuación que correlaciona el tiempo el flujo másico Flujo másico= Q.C

Problema 27 .Cada cierto periodo de tiempo (t) un indicador de consumo de petróleo (M, gal/min), indica el flujo másico que se consume de petróleo. Estos valores han sido registrados en la siguiente tabla:

Tiempo (h) Flujo másico gal/h1 45,32 22,23 55,14 35,45 40,26 62,37 55,48 49,19 47,210 55,011 45,9

Determinar la ecuación del gasto acumulado en 11 horas

28. La evolución de producción de etanol en Brasil 1976 -85, millones de litros

año producción76 555,977 664.78 147079 249080 3396.581 3706.482 428083 5822.184 7864.285 9340

Determinar la ecuación de problema y cual será la proyección para el año 1990.


29. En una operación de biodegradación de un efluente orgánico se contabilizo el caudal

(Q) litros /hora, saliendo del bioreactor, conociendo que la carga orgánica inicial fue de

6001 mg /l.

Tiempo hora

Caudal (Q)litro/h

Concentraciónmg/l

1 4500 5003 6500 5615 4350 4507 5321 3259 4698 58511 5331 62513 4610 351

Determinar la ecuación que correlaciona el tiempo el flujo masico Flujo masico= Q.C

30.Cada cierto periodo de tiempo (t) un indicador de consumo de petroleo (M, gal/min), indica el flujo másico que se consume de petróleo. Estos valores han sido registrados en la siguiente tabla:


Determinar la ecuación del gasto acumulado en 11 horas



LAS POLINOMICAS

La cuadrática

X Y0 01 22 33 4,24 4,65 4,76 4,67 4,28 39 2

Use el Excel Escriba la ecuacion

Interpolación


La Cubica

X Y0 01 22 33 4,24 4,65 4,76 4,67 4,28 49 3,310 311 312 313 3

Graficar en Excel Escribir la ecuación

Interpolar


Análisis de regresión multivariables

Ecuaciones multivariables

1 x = f(x1,x2) 2 variables 2 x=f(x1,x2,x3) 3 variables3 x=f(x1,x2,x3,........x16) 16 variables

Seleccione Regresión


Ejemplo para una función y=f(x1,x2)

x1 x2 y 3,00 8 1 6,00 16,4 2 9,00 23,5 3

10,10 30,5 4 15,23 61,4 5

Los resultados aparecen en otra hoja

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0,98663867 Coeficiente de correlación multiple Coeficiente de determinación R^2 0,97345587 R^2 ajustado 0,94691175 Error típico 0,36430842 Observaciones 5

Coeficientes La ecuación lineal multiple

Intercepción-

0,20391138 y= -0.203911+0.4622 x1 - 0.02866 x2

Variable X 1 0,46221122

Variable X 2-

0,02866992


Otro ejemplo para 5 variables

x1 x2 x3 x4 x5 y2,5 5,1 5,1 9,8 15,1 13,8 7,7 7,5 14,2 20,9 24,9 10,1 9,8 18,8 29,4 36,1 12,3 12,5 20,1 32,4 48,7 15,1 14,7 21,9 38,1 510,2 17,8 15,4 25,9 40,2 6

Determinar la ecuación lineal múltiple

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 1

Coeficiente de correlación múltiple

Coeficiente de determinación R^2 1 R^2 ajustado 65535 Error típico 0 Observaciones 6 Intercepción -0,9519651 Variable X 1 -0,3527364 Variable X 2 0,72655235

Variable X 3-

0,04651851

Variable X 4-

0,11823681 Variable X 5 0,03472544

La ecuación múltiple es:

El resultado de un análisis sensorial es: Los ingredientes están en porcentaje

x1 x2 x3 x4

Ingrediente Ingrediente Ingrediente Ingrediente Calidad


50347.041182.03046181.0272655.013527.09519.0 xxxxxx

1 2 3 44 0,1 0,3 5 8 5 0,1 0,3 5 7

4,5 0,05 0,35 6,1 6,3

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 1 Coeficiente de determinación R^2 1 R^2 ajustado -4,6566E-10 Error típico 7,2236E-19 Observaciones 3

CoeficientesIntercepción 3,1281632Variable X 1 -1Variable X 2 34,0075314Variable X 3 43,9538647

Variable X 4-

1,54301515

Otro ejemplo

x1 x2 x3 x4 Ingrediente

1Ingrediente

2Ingrediente

3Ingrediente

4 Calidad 4 0,1 0,3 5 8 Fila 1 5 0,1 0,3 5 7 Fila 2

4,5 0,05 0,35 6,1 6,3 Fila 3

Cual será la calidad del producto se se varia el ingrediente (x2) y los demás se mantienen constantesen la fila 1 Se reemplaza los valores de la fila 1, x1,x3, y x4 que se mantienen contantessiendo variable x2 quedando la ecuación

x2 calidad 0,05 6,313 0,06 6,653


43.54.1395.43200.3411128.3 xxxxx

53.54.13.095.43200.3441128.3 xx

234613.4 xx

0,07 6,993 0,08 7,333


II DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

El siguiente es un método para diferenciar numérica funciones que están definidas mediante datos tabulados o curvas determinadas en forma experimental.

Utilizando el desarrollo de la serie de Taylor

(1)

para la función

(2)

Utilizando solo los 3 miembros de las dos expresiones restamos


x+x x-x

x

despejando:

La ecuación deducida se conoce como la primera aproximación por Diferencias centrales de (dy/dx) para x, representada por la línea dibujada como tangente a la curva x, en la gráfica de arriba.

Caso I: cuando existe una función

Por ejemplo , derivar la función y = 2.x2

la primera derivada será:

Tabulando las dos funciones se obtiene los siguientes valores:

x y = 2.x2

1 1 42 8 83 18 124 32 16


Aplicando la ecuación de diferencias centrales se obtiene la siguiente expresión:

Tabulando para los siguientes valores:

x

1 42 83 124 16

La misma que corresponde la tabla de deducción analítica de la primera derivada

Caso II: Cuando no existe la función

Ejemplo:Los siguientes datos experimentales han sido clasificados en la siguiente tabla

Tiempo (t)dias

Consumo(c) kg

2 2,060901594 3,397852296 5,602111348 9,2363201210 15,228117512 25,106921214 41,394314916 68,247687518 112,52141420 185,51644922 305,86491524 504,285992

Grafica y análisis de regresión, para la determinación de la ecuación respectiva


Diferenciación numérica la función encontrada

y para un , se obtiene los siguientes cálculos

TIEMPO(t) dia

kg /dia

2 0,51524 0,84956 1,40068 2,3091

10 3,807112 6,276914 10,348816 17,062418 28,131120 46,380322 76,468224 126,0748


PARA SER RESUELTO POR EXCEL.

Problema 1

Resolver la , de la siguiente función, empleando el Excel, x=1, hasta x=14, con un

Problema 2

Resolver la , de la siguiente función, empleando el Excel, x=1, hasta x=14, con un

Problema 3El consumo de petróleo Q (galones) por hora se refleja en la tabla siguiente.

TIEMPO (T) HR

Q (GALONES

1 252 563 1204 1705 2706 3107 3608 4509 55010 61011 66012 670

Calcular como varía en función del tiempo.

Problemas propuestos sobre diferenciación numérica


Resolver los siguientes ejercicios

Encontrar la derivada de las siguientes funciones empleando el método numérico, desde los valores x = 1 a x =14, con intervalo de 2, para un

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Resolver los siguientes problemas

8. Determinar la velocidad del movil (ds/dt), cuando recorre un espacio (s) en un tiempo (t).

Tiempo (t),s Espacio (s),m

0,036 10,049 20,059 30,078 40,080 50,095 60,1032 70,110 80,130 9

9. El consumo de vapor en una fabrica (C), esta registrada en función del tiempo(t) y se da en la tabla siguiente, debiendo determinarse la tasa de consumo (dC/dt) en kg/h


Tiempo (t) h Consumo (c) kg1 232 453 624 835 1026 1307 1408 160

10. Determinar la variación de la temperatura con respecto al tiempo (dT/dt), de un cuerpo que esta siendo sometido a una operación de calentamiento a temperatura (T), en función al tiempo.

Tiempo (t) min Temperatura (T) ºC

1 182 253 384 555 706 917 1058 120

11. Contenido de cloruros % NaCl, en anchoveta grasa antes de adicionar aceiteDetermine la razón de cambio e interprete los resultados.

Tiempo min % Na Cl a 7 ºC5 1.8410 1.9815 2.5120 2.3325 2.8030 2.8135 2.80


12. Contenido de cloruros % NaCl, en anchoveta grasa antes de adicionar aceiteDetermine la razón de cambio e interprete los resultados.

Tiempo min % Na Cl a 0 ºC


5 1.6210 1.8015 1.9020 2.2225 2.3430 2.3635 2.39


13. Los siguientes ensayos representan la penetración de cloruro de sodio en filetes de toyo

Tiempo(t) h

Ensayo 1 (C1)g/100 g



0 0,42 0,38 0,324 7,90 6,50 6,308 8,00 7,60 7,9012 12,30 10,80 11,6016 13,00 15,50 12,9020 13,50 13,20 13,3024 14,00 14,00 14,8028 14,13 14,50 15,1032 16,00 15,80 16,3036 17,20 16,80 16,9040 17,30 17,10 17,0044 17,50 17,50 17,4048 17,80 17,60 17,5052 17,80 17,60 17,50

Determinar las respectivas ecuaciones para cada experiencia, y su respectiva velocidad de

penetración de sal en el filete de pescado

14. El Contenido de humedad %, en muestras de hojuela de pescado


Días Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 40 1.5 1.5 1.5 1.530 1.8 2 1.8 1.660 1.9 2.2 1.9 1.62120 2.9 3.1 2.1 2.2150 4.9 4.8 2.2 2.22

Determinar la taza de cambio de la humedad con respecto al tiempo de las hojuelas

. De cada una de las muestras e interprete sus resultados.

15 TENIENDO LAS ECUACIONES DEFINIDAS POR ANALISIS DE REGRESION EN LOS CUATRO CASOS, DETERMINAR LA RESPECTIVAS CURVAS DE PRIMERA DERIVADA dy/dx, PARA CADA PROBLEMA

III INTEGRACIÓN NUMERICA

LA REGLA DE SIMPSON


La regla de Simpson se utiliza para la integración de funciones, determinando el área bajo la curva, asimismo se emplea para integrar valores de datos experimentales provenientes de laboratorio, gabinete o unidad de producción.

La ecuación fundamental de Simpson

Para 5 puntos

Luego


yo

y1

y2

x

Para 7 puntos

Para n puntos (ecuación general)

CASO I. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES, UTILIZANDO LA ECUACIÓN BASE DE SIMPSON

Integrar la siguiente función.

Empleando la ecuación base

Calculo del valor de incremento

Construcción de la tabla para la integración

x


2 21,14,5 53,17 97,6

Aplicar la regla de Simpson

= 275,9166

Comprobando analíticamente

=275,197

Utilizando mayores bandas o puntos se puede lograr una mejor aproximación del valor de la integral

Por ejemplo integrar para 11 puntos la función del ejemplo anterior, 10 bandas.

Tabla de la función a integrar

X2 21,1

2,5 26,53 32,4

3,5 38,84 45,7

4,5 53,15 61

5,5 69,46 78,3

6,5 87,77 97,6

Aplicando la ecuación general se obtiene


= 275,197

CASO II. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ENTRE LIMITES DIFERENTES

Por ejemplo considerando la función anterior integrar entre los siguientes limites:

Para tal fin debe construirse la curva integral y determinar su ecuación por análisis de regresión, de la forma siguiente:

Usando para un

X2 21,1

2,5 26,53 32,4 26,5833333 26,5833333

3,5 38,8 4 45,7 38,8833333 65,4666667

4,5 53,1 5 61 53,1833333 118,65

5,5 69,4 6 78,3 69,4833333 188,133333

6,5 87,7 7 97,6 87,7833333 275,916667

Organizar la tabla x , , de la forma siguiente:

X3 26,58333334 65,46666675 118,656 188,1333337 275,916667


Grafica de la curva integral

CASO III. CUANDO NO EXISTE FUNCIÓN, TENIENDO SOLO DATOS EXPERIMENTALES


Una empresa de alimentos vierte al desague un caudal (Q) de efluente de acuerdo al siguiente registro se pide determinar el volumen vertido por día

Tiempo (t)h

Caudal vertido(Q)m3/h

4 256 328 1510 2912 3214 1416 1818 1620 1822 2624 42

Aplicar la regla de Simpson

Tiempo (t)h

Caudal vertido(Q)

m3/h

4 25 6 32 8 15 112 11210 29 12 32 108,666667 220,66666714 14 16 18 70,6666667 291,33333318 16 20 18 66,6666667 35822 26 24 42 109,333333 467,333333

El volumen vertido de efluente al desague es V = 467,33 m3

La gráfica de la curva integral

Tiempo (t)h3 112,0


5 220,6666677 291,3333339 358,011 467,333333

La concentración del efluente expresado en mg/l se muestra en la siguiente tabla:

Tiempo (t)h

Caudal vertido(Q)m3/h

Concentración ( C )mg/l

4 25 12350


6 32 150008 15 1489010 29 987512 32 1029814 14 1455516 18 1288018 16 1358720 18 1528022 26 1680024 42 12798

Determinar la masa que se envia al desague y la concentración promedio ( )

Solución:t

(h)Q

m3/hQl/h

Cmg/l

mkg/h

Ai

4 25 25000 1235 30,88 6 32 32000 1500 48,00 8 15 15000 1489 22,34 163,473333 163,47333310 29 29000 987,5 28,64 12 32 32000 1029,8 32,95 113,225733 276,69906714 14 14000 1455,5 20,38 16 18 18000 1288 23,18 91,7637333 368,462818 16 16000 1358,7 21,74 20 18 18000 1528 27,50 91,7632 460,22622 26 26000 1680 43,68 24 42 42000 1279,8 53,75 170,6504 630,8764

La masa que se envía al desagüe es 630,87 kg

La concentración promedio del efluente vertido :1,35 kg /m3

Problemas propuestos

1. Integrar y determinar la curva integral para 15 puntos

2. Integrar y determinar la curva integral para 14 bandas




5. Integrar y determinar la curva integral para 12 bandas

6. Se tiene los siguientes valores que correlaciona el volumen (V) ft3/lb y la presión (p) psia de acuerdo a la siguiente expresión:

La Información se encuentra en la siguiente tabla:

V p2 68,74 31,36 19,78 14,310 11,3

Encontrar el trabajo efectuado por el embolo.

7. La velocidad (v) de un movil es esta dado en km/h , se a determinado cada cierto periodo de tiempo (t), en minutos, determine el espacio recorrido y determine la curva integral la información tabulada es la siguiente

Tiempo Velocidad1 1,00643 1,003434 1,004356 1,003318 1,0023310 1,0014912 1,00078

8. El consumo de vapor (m, kg/h) por hora esta registrada en la siguiente tabla:

Tiempo Consumo devapor

2 3254 5606 4508 468


10 27512 82514 32016 31618 345

Determinar la cantidad de vapor consumida, construya la curva integral y determine el consumo de vapor entre la 7 horas y 15 horas.

9. Cada cierto periodo de tiempo (t) un indicador de consumo de petróleo (M, gal/min), indica el flujo másico que se consume de petróleo. Estos valores han sido registrados en la siguiente tabla:


Determine la cantidad de combustible consumido (galones), determine la curva integral y cual será la cantidad de petróleo consumido entre las 6,5 horas y 9 horas.

CASO III: Cuando suceden reacciones químicas

Entrada tiempo (t) t+Flujo másico (M/T) me

me +

Salida Tiempo (t) t+


Flujo másico (M/T) msms+

Acumulación tiempo (t) t+Masa (M) M

M+

Entradas – Salidas = Acumulación

Ejemplo:

La planta de producción de lácteos vierte sus efluentes a un bioreactor donde reduce su carga orgánica antes de ser vertido al desagüe de acuerdo a los siguientes reportes:

Tiempo (t) h

Entradaconcentración g/min

Salidaconcentración

g/min1 35,21 9,132 42,50 8,253 33,12 7,124 31,31 6,975 41,12 8,456 30,13 8,937 33,45 6,418 45,12 6,219 40,13 7,1310 29,92 7,9811 38,54 6,45

Las muestras han sido tomadas directamente de un sensor

a. Determine la masa que ingrese al bioreactorb. Determine la masa que sale del bioreactorc. Determine la masa que ha sido reducidad. Determine el porcentaje de bioconversión


Cálculo de la masa que ingresa al bioreactor

Tiempo (t)hora

Entradag/min

Entradag/h Ai

1 35,21 2112,6 2 42,5 2550 3 33,12 1987,2 4766,6 4766,64 31,31 1878,6 5 41,12 2467,2 3989,6 8756,26 30,13 1807,8 7 33,45 2007 3901,8 126588 45,12 2707,2 9 40,13 2407,8 5081,2 17739,210 29,92 1795,2 11 38,54 2312,4 3967 21706,2

Calculo de masa que sale del bioreactor

Tiempo(t)hora

Entradag/min

Entradag/h Ai

1 9,13 547,82 8,25 4953 7,12 427,2 985 985


Entrada

Salida

4 6,97 418,25 8,45 507 869 18546 8,93 535,87 6,41 384,6 1011,6 2865,68 6,21 372,69 7,13 427,8 767,6 3633,210 7,98 478,811 6,45 387 910 4543,2

a. Masa al ingreso: 21 706,2 gb. Masa a la salida: 4 543,2 gc. Masa reducida: 21 706,2 –4 543,2 = 17 163 gd. Bioconversión (%B)

% B = 79,06

Problemas propuestos

1. En una operación de biodegradación de un efluente orgánico se contabilizo el

caudal (Q) litros /hora, saliendo del bioreactor, conociendo que la carga orgánica

inicial fue de 6001 mg /l.

Tiempo hora

Caudal (Q)litro/h

Concentraciónmg/l


1 4500 5003 6500 5615 4350 4507 5321 3259 4698 58511 5331 62513 4610 351

Determinar el volumen (V) en m3, vertido al desagüe, la masa y concentración del agente orgánico que se vierte al desagüe y él % de bioconversión

2. Un efluente orgánico conteniendo residuales de azúcar es tratado en un bioreactor,

contabilizando los siguientes datos:

Tiempo (h) Caudalm3/s

Concentraciónentrada

g/l

Concentraciónsalida

g/l1 0,210 18 52 0,230 15 3,53 0,240 12 4,24 0,200 15 2,15 0,198 17 4,16 0,177 19 6,27 0,236 15 3,48 0,224 32 8,19 0,180 16 8,9

a. Determinar el volumen del efluente tratadob. Cantidad de azúcar que ingresa y sale del bioreactorc. Material que sé biodegradod. % de bioconversióne. Concentración promedio del efluente que se vierte al desagüef. Determinar la cantidad de etanol formado en la bioconversión

3. Se tiene la siguiente información de salida de un efluente de una planta procesadora de alimentos, hacia un desagüe publico. La medida del caudal se efectúa cada hora, determinando el contenido de sólidos solubles orgánico mediante sensores.

Tiempohora

Caudal (Q)m3/min

Concentraciónmg/l

1 0,04 2002 0,25 2203 0,36 1504 0,41 75


5 0,31 2706 0,21 2217 0,39 798 0,75 859 0,31 0,3110 0,32 0,3211 0,25 0,25

Determine el volumen del efluente que vierte al desagüe, la carga orgánica, y la

concentración promedio del mismo.

4. En un bioreactor se trata un efluente determinándose el flujo másico del agente

contaminante, obteniéndose los siguientes resultados:

Tiempohora

Flujo másicoentrada

kg/h

Flujo másicosalidakg/h

1 45,6 18,32 32,5 10,93 55,3 12,34 53,8 8,255 45,9 9,136 62,4 8,537 44,8 7,238 46,8 10,909 49,6 11,3

Determinar la carga a la entrada y la salida del bioreactor, la carga orgánica se biodegrada

Determinar la cantidad de material de entrada y salida

La cantidad de material biodegradado y su porcentaje de material biodegradado

.

En un bioreactor se ingresan dos flujos con diferentes cantidades de material orgánico, para ser reducidos por bacterias. La información está en diagrama y tabla respectiva

Determinar el Volumen de cada efluenteLa masa orgánica de entradaLa masa orgánica de salida


La masa orgánica reducidaEl % de conversiónConcentración promedio de cada efluente



Documents

1 ingenieria de alimentos I (met numericos)ULCB.doc