1 Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones

Sea Mn×m = Mn×m(R) el espacio vectorial de las matrices reales con n filas y m columnas.

1.1 Operaciones elementales por filas

En una matriz, se consideran operaciones elementales por filas a las siguientes:

1. Intercambiar dos filas.

2. Multiplicar una fila por un numero real no nulo.

3. Sustituir una fila por la suma de ella misma con el producto de otra por un numero real.

Ejemplo

2 1 01 2 −10 1 0

f1↔f3

−−−−→

0 1 01 2 −12 1 0

2f2→f2

−−−−−→

0 1 02 4 −22 1 0

f2−f3→f2

−−−−−−→

0 1 00 3 −22 1 0

1.2 Matrices elementales

Se llaman matrices elementales a aquellas matrices cuadradas que resultan de aplicar unaoperacion elemental a la matriz identidad.

Ejemplo

I =

1 0 00 1 00 0 1

f1↔f2

−−−−→ E =

0 1 01 0 00 0 1

; I =

1 0 00 1 00 0 1

−2f3→f3

−−−−−−→ E =

1 0 00 1 00 0 −2

I =

1 0 00 1 00 0 1

f3−2f2→f3

−−−−−−−→ E =

1 0 00 1 00 −2 1

1.3 Relacion entre operaciones y matrices elementales

El resultado de hacer una operacion elemental a una matriz A ∈ Mn×m coincide con el resultadode multiplicar la matriz elemental E ∈ Mn×n, asociada a dicha operacion elemental, por A.

Ejemplo

A =

1 2 −1 12 −1 1 01 0 3 −2

f2−2f1→f2

−−−−−−−→

1 2 −1 10 −5 3 −21 0 3 −2

=

1 0 0−2 1 00 0 1

· A

A =

1 2 −1 12 −1 1 01 0 3 −2

f1↔f3

−−−−→

1 0 3 −20 −5 3 −21 2 −1 1

=

0 0 10 1 01 0 0

· A

A =

1 2 −1 12 −1 1 01 0 3 −2

−f3→f3

−−−−−→

1 2 −1 12 −1 1 0−1 0 −3 2

=

1 0 00 1 00 0 −1

· A

1.4 Formas escalonada y canonica de una matriz. Rango

Se llama matriz escalonada o reducida de A ∈ Mn×m a cualquier matriz Ar ∈ Mn×m quese obtiene a partir de A mediante operaciones elementales, y en la que el primer elemento nonulo de cada fila se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior. Lasfilas nulas, si las hay, en una matriz escalonada deben estar al final.

Se llama rango de A al numero de filas no nulas de una matriz escalonada de A.Se llama matriz canonica por filas de A ∈ Mn×m a la matriz Ac ∈ Mn×m, que se obtiene

a partir de A mediante operaciones elementales, en la que el primer elemento no nulo de cadafila es un uno, se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior, y porencima de el todos los elementos son nulos.

Observa que si B se obtiene a partir de A ∈ Mn×m despues de p operaciones elementales,entonces

B = Ep · Ep−1 · . . . · E2 · E1 · A

donde Ei es la matriz elemental asociada a la operacion i-esima. Ademas, si I ∈ Mn×n es lamatriz identidad de orden n, se tiene que

(A | I)operaciones elementales−−−−−−−−−−−−−−→ (B |E) con B = E · A

donde E = Ep · Ep−1 · . . . · E2 · E1 se llama matriz de paso de A a B.

Ejemplo

Si se quiere hallar una matriz escalonada, y la matriz de paso asociada, de la matriz

A =

1 1 0 1 12 −1 3 1 31 −1 2 1 11 1 0 0 2

se hacen las operaciones elementales necesarias adosandole la matriz identidad:

(A | I) =

1 1 0 1 12 −1 3 1 31 −1 2 1 11 1 0 0 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

f2−2f1→f2

f3−f1→f3

f4−f1→f4

−−−−−−−→

1 1 0 1 10 −3 3 −1 10 −2 2 0 00 0 0 −1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0 0−2 1 0 0−1 0 1 0−1 0 0 1

f2↔f3

−−−−→

1 1 0 1 10 −2 2 0 00 −3 3 −1 10 0 0 −1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0 0−1 0 1 0−2 1 0 0−1 0 0 1

−1

2f2→f2

3f2−2f3→f3

−−−−−−−−→

1 1 0 1 10 1 −1 0 00 0 0 2 −20 0 0 −1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0 01/2 0 −1/2 01 −2 3 0−1 0 0 1

1

2f3→f3

2f4+f3→f4

−−−−−−−→

1 1 0 1 10 1 −1 0 00 0 0 1 −10 0 0 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0 01/2 0 −1/2 01/2 −1 3/2 0−1 −2 3 2

= (Ar |Er) con Ar = Er · A

Puesto que la matriz escalonada tiene tres filas no nulas, su rango es tres:

rg A = 3

Para hallar la matriz canonica por filas, y la matriz de paso asociada, se continuan las operacioneselementales:

(A | I) → (Ar |E)f1−f2→f1

−−−−−−→

1 0 1 1 10 1 −1 0 00 0 0 1 −10 0 0 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1/2 0 1/2 01/2 0 −1/2 01/2 −1 3/2 0−1 −2 3 2

f1−f3→f1

−−−−−−→

1 0 1 0 20 1 −1 0 00 0 0 1 −10 0 0 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 −1 01/2 0 −1/2 01/2 −1 3/2 0−1 −2 3 2

= (Ae |Ee) con Ae = Ee · A

1.5 Matriz inversa

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A ∈ Mn×n a otra matriz A−1 ∈ Mn×n talque

A · A−1 = A−1 · A = I

No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Una matriz cuadrada A se llama regular sitiene matriz inversa, y se llama singular si no la tiene.

Es facil observar que todas las matrices elementales tienen inversa:

1. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a intercambiar dos filas es ella misma.

2. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a multiplicar una fila por un numero,distinto de cero, es la asociada a multiplicar la misma fila por su inverso.

3. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a sustituir una fila por ella misma masotra multiplicada por un numero es la asociada a la misma operacion pero multiplicandola fila por el numero opuesto.

Es conocido que la existencia de matriz inversa se puede caracterizar, en terminos de deter-minantes, como

A ∈ Mn×n tiene inversa (es regular) ⇐⇒ |A| 6= 0

Tambien se puede caracterizar, en terminos de operaciones elementales, por el siguiente teorema:

Teorema

Una matriz cuadrada es regular si y solo si se puede reducir a la matriz identidad por operacioneselementales de filas.

Ademas, si

(A | I)operaciones elementales−−−−−−−−−−−−−−→ (I |E) con I = E · A

se tiene que A−1 = E.

Algoritmo para el calculo de la matriz inversa

Para hallar la matriz inversa de una matriz cuadrada A se procede ası:

1. Se considera la matriz (A | I).

2. Se obtiene una forma escalonada (Ar |Er).

3. Si Ar tiene algun cero en la diagonal principal, entonces la matriz A es singular (no es

invertible).

4. Si Ar no tiene ceros en la diagonal principal, entonces A es regular (es invertible) y sesiguen haciendo operaciones elementales hasta llegar a (I |E).

5. La matriz inversa es A−1 = E.

Ejemplo

Halla, si existe, la matriz inversa de:

A =

1 −1 12 1 −11 1 1

(A | I) =

1 −1 1 1 0 02 1 −1 0 1 01 1 1 0 0 1

f2−2f1→f2

f3−f1→f3

−−−−−−−→

1 −1 1 1 0 00 3 −3 −2 1 00 2 0 −1 0 1

f2/3→f2

f3−2f2/3→f3

−−−−−−−−→

1 −1 1 1 0 00 1 −1 −2/3 1/3 00 0 2 1/3 −2/3 1

f3/2→f3

f2+f3/2→f2

f1−f3/2→f1

−−−−−−−−→

1 −1 0 5/6 1/3 −1/20 1 0 −1/2 0 1/20 0 1 1/6 −1/3 1/2

f1+f2→f1

−−−−−−→

1 0 0 1/3 1/3 00 1 0 −1/2 0 1/20 0 1 1/6 −1/3 1/2

=(

I |A−1)

de donde

A−1 =

1/3 1/3 0−1/2 0 1/21/6 −1/3 1/2

=1

6

2 2 0−3 0 31 −2 3

1.6 Sistemas lineales

Un sistema lineal de m ecuaciones con n incognitas es

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

con aij , bi ∈ R, que se puede expresar en forma matricial como

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

·

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bm

o tambien como

Ax = b con A ∈ Mm×n, x ∈ Mn×1, y b ∈ Mm×1

Las matrices A ∈ Mm×n y A = (A |b) ∈ Mm×(n+1) se llaman, respectivamente, matriz de

coeficientes y matriz ampliada. Cuando b = 0 el sistema se llama homogeneo.Se llama solucion del sistema Ax = b a cualquier vector x0 = (x0

1, x02, . . . , x

0n)t ∈ Mn×1 tal

que Ax0 = b. Resolver un sistema es hallar todas sus soluciones.Dos sistemas se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Teorema

Si un sistema Ax = b tiene mas de una solucion entonces tiene infinitas soluciones.Demostracion: Si x0,x1 ∈ Mn×1 son dos soluciones distintas del sistema, entonces, para

cualesquiera α, β ∈ R con α+β = 1, se cumple que x = αx0 +βx1 ∈ Mn×1 es tambien solucion:

Ax = A(

αx0 + βx1)

= αAx0 + βAx1 = αb + βb = (α + β)b = b

Luego si el sistema tiene dos soluciones distintas, entonces tiene infinitas soluciones.

Clasificacion de sistemas lineales

Segun el numero de soluciones, los sistemas se clasifican en

Sistema incompatible ⇐⇒ No tiene solucionesSistema compatible determinado ⇐⇒ Tiene solucion unica

Sistema compatible indeterminado ⇐⇒ Tiene infinitas soluciones

Teorema

Si (A′ |b′) es la matriz que se obtiene despues de aplicar un numero finito de operacioneselementales a la matriz (A |b), los sistemas Ax = b y A′x = b′ son equivalentes.

Demostracion: Sea (A′ |b′) = Er · . . . · E2 · E1 · (A |b), es decir

A′ = Er · . . . · E2 · E1 · A y b′ = Er · . . . · E2 · E1 · b

Entonces:

x0 es solucion de A′x = b′ ⇐⇒ A′x0 = b′ ⇐⇒ Er . . . E2E1Ax0 = Er . . . E2E1b

⇐⇒ E−11 E−1

2 . . . E−1r Er . . . E2E1Ax0 = E−1

1 E−12 . . . E−1

r Er . . . E2E1b

⇐⇒ IAx0 = Ib ⇐⇒ Ax0 = b ⇐⇒ x0 es solucion de Ax = b

Es decir, los sistemas Ax = b y A′x = b′ son equivalentes.

1.7 Metodo de Gauss

Todo sistema lineal Ax = b de n ecuaciones con n incognitas y |A| 6= 0 (o rg A = n) escompatible determinado. Se puede resolver por el metodo de Gauss:

1. Se considera la matriz ampliada (A |b).

2. Se obtiene una matriz escalonada (Ar |br).

3. Se resuelve el sistema equivalente Arx = br por el metodo de ascenso.

Ejemplo

Para resolver el sistema

x − y + z = 42x + y − z = −1x + 2y − z = −3

por el metodo de Gauss, se procede ası:

1 −1 1 42 1 −1 −11 2 −1 −3

f2−2f1→f2

f3−f1→f3

−−−−−−−→

1 −1 1 40 3 −3 −90 3 −2 −7

f3−f2→f3

f2/3→f2

−−−−−−→

1 −1 1 40 1 −1 −30 0 1 2

y se resuelve, por el metodo de ascenso, el sistema equivalente:

x − y + z = 4y − z = −3

z = 2=⇒

x = 1y = −1z = 2

1.8 Teorema de Rouche-Frobenius

Si Ax = b es un sistema de m ecuaciones con n incognitas, entonces:

1. Si rg A 6= rg (A |b), el sistema es incompatible.

2. Si rg A = rg (A |b) = n, el sistema es compatible determinado.

3. Si rg A = rg (A |b) = k < n, el sistema es compatible indeterminado, y su solucion dependede n − k parametros.

1.9 Resolucion de sistemas lineales por el metodo de Gauss

Para resolver el sistema lineal Ax = b, de m ecuaciones con n incognitas, se procede como sigue:

1. Se considera la matriz ampliada (A |b).

2. Se obtiene una matriz escalonada (Ar |br).

3. Entonces, se pueden presentar los siguientes casos:

(a) Si rg Ar 6= rg (Ar |br), el sistema es incompatible. No hay soluciones.

(b) Si rg Ar = rg (Ar |br) = n, el sistema es compatible determinado. Sus unica solucionse obtiene resolviendo por el metodo de Gauss el sistema resultante despues de elimi-nar las ecuaciones nulas (si las hay).

(c) Si rg Ar = rg (Ar |br) = k < n, el sistema es compatible indeterminado. Su solucionse obtiene resolviendo por el metodo de ascenso el sistema que se obtiene al pasar alsegundo miembro, como parametros, las n−k incognitas que no son comienzo (primerelemento no nulo) de alguna fila de Ar.

Ejemplo

Para resolver el sistema de 3 ecuaciones con 5 incognitas:

x1 + x2 + x4 = −1x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 0x1 + x2 + x4 + x5 = −1

se obtiene, en primer lugar, la matriz reducida de la ampliada:

(A |b) =

1 1 0 1 0 −11 1 1 2 1 01 1 0 1 1 −1

f2−f1→f2

f3−f1→f3

−−−−−−→

1 1 0 1 0 −10 0 1 1 1 10 0 0 0 1 0

= (Ar |br)

Puesto que rg Ar = rg (Ar |br) = 3 < 5 el sistema es compatible indeterminado. Sus solucionesse obtienen pasando al segundo miembro, como parametros, las incognitas que no son comienzode alguna ecuacion, x2 = λ y x4 = µ, y resolviendo el sistema resultante por el metodo deascenso:

x1 = −1 − λ − µx2 + x5 = 1 − µ

x5 = 0=⇒

x1 = −1 − λ − µx2 = λx3 = 1 − µx4 = µx5 = 0

, λ, µ ∈ R

1.10 Sistemas lineales homogeneos

Puesto que rg A = rg (A |0), el sistema lineal homogeneo Ax = 0, de m ecuaciones con nincognitas, siempre es compatible:

1. Si rg A = n, el sistema homogeneo es compatible determinado, y la unica solucion es lasolucion trivial x1 = x2 = . . . = xn = 0.

2. Si rg A = k < n, el sistema homogeneo es compatible indeterminado, y su solucion dependede n − k parametros.

Ejemplo

Para resolver el sistema lineal homogeneo

2x + 3y − z = 0x − y + z = 0x + 9y − 5z = 0

se calcula una matriz escalonada de la matriz de coeficientes (no es necesario considerar lacolumna de los terminos independientes pues son siempre nulos):

2 3 −11 −1 11 9 −5

f1↔f2

−−−−→

1 −1 12 3 −11 9 −5

f2−2f1→f2

f3−f1→f3

−−−−−−−→

1 −1 10 5 −30 10 −6

f3−2f2→f3

−−−−−−−→

1 −1 10 5 −30 0 0

Puesto que rg A = 2, el sistema es compatible indeterminado con solucion dependiente de3 − 2 = 1 parametro. Pasando x3 = λ al segundo miembro, y resolviendo el sistema resultantepor el metodo de ascenso, se obtiene la solucion:

{

x − y = −λ5y = 3λ

=⇒

x = −2λ5

y = 3λ5

z = λ

=⇒

x = −2λy = 3λz = 5λ

, λ ∈ R

1.11 Eliminacion de parametros

Eliminar parametros en

x1 = b1 + a11λ1 + a12λ2 + . . . + a1rλr

x2 = b2 + a21λ1 + a22λ2 + . . . + a2rλr...

xn = bn + an1λ1 + an2λ2 + . . . + anrλr

es equivalente a encontrar un sistema del que sea solucion, y esto es equivalente a obtener losvalores (x1, x2, . . . , xn) para los que el sistema

a11λ1 + a12λ2 + . . . + a1rλr = x1 − b1

a21λ1 + a22λ2 + . . . + a2rλr = x2 − b2...

an1λ1 + an2λ2 + . . . + anrλr = xn − bn

es compatible, es decir que se verifica:

rg

a11 a12 . . . a1r

a21 a22 . . . a2r...

......

an1 an2 . . . anr

= rg

a11 a12 . . . a1r x1 − b1

a21 a22 . . . a2r x2 − b2...

......

an1 an2 . . . anr xn − bn

Ejemplo

Para eliminar los parametros a, b ∈ R en la expresion:

x1 = a + 2bx2 = a − bx3 = 1 + bx4 = a + b − 1

se impone la condicion de que el sistema

a + 2b = x1

a − b = x2

b = x3 − 1a + b = x4 + 1

tiene solucion (es compatible), para lo que se necesita que:

rg

1 21 −10 11 1

= rg

1 2 x1

1 −1 x2

0 1 x3 − 11 1 x4 + 1

Para imponer esta condicion, se busca una matriz escalonada de ambas matrices, lo que se hacesimultaneamente considerando la segunda matriz:

1 2 x1

1 −1 x2

0 1 x3 − 11 1 x4 + 1

f2−f1→f2

f4−f1→f4

−−−−−−→

1 2 x1

0 −3 x2 − x1

0 1 x3 − 10 −1 x4 − x1 + 1

3f3+f2→f3

3f4−f2→f4

−−−−−−−→

1 2 x1

0 −3 x2 − x1

0 0 3(x3 − 1) + (x2 − x1)0 0 3(x4 − x1 + 1) − (x2 − x1)

Para que las dos matrices tengan el mismo rango, es necesario que en la tercera columna loselementos de las filas tercera y cuarta sean nulos, es decir que:

{

3(x3 − 1) + (x2 − x1) = 03(x4 − x1 + 1) − (x2 − x1) = 0

con lo que se tiene la condicion:

{

x1 − x2 − 3x3 = −32x1 + x2 − 3x4 = 3

Tema 1: Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones

Ejercicios

1. Halla una forma escalonada, el rango, y las matrices canonica por filas y de pasopara cada una de las siguientes matrices:

(a) A =

1 1 00 2 1−1 0 1

; (b) B =

1 −1−2 23 −3

; (c) C =

1 −1 1 2 13 −3 8 10 3−2 2 −1 −3 −4

.

2. Siendo A =

(

1 −1 1−1 0 −1

)

y B =

(

1 2 1−1 −2 −1

)

, ¿que condicion debe verificar

k ∈ R para que rg(A + kB) < 2?

3. Calcula la inversa, si existe, de las siguientes matrices:

(a) A =

1 −1 12 1 20 0 1

; (b) B =

1 −1 22 1 13 0 3

; (c) C =

1 0 0a 1 0b c 1

;

(d) D =

1 0 0 02 1 0 03 3 1 04 4 4 1

; (e) E =

1 0 0 0 11 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 0 0 1 1

; (f) F =

1 2 3 4 50 1 2 3 40 0 1 2 30 0 0 1 20 0 0 0 1

.

4. Calcula la inversa, si existe, de la matriz A =

1 a a2 a3

0 1 a a2

0 0 1 a0 0 0 1

.

5. Calcula, segun los valores de n, el rango de las matrices:

(a) An =

n + 1 1 11 n + 1 11 1 n + 1

; (b) Bn =

n + 1 1 n1 n + 1 10 0 n

.

Obten la matriz inversa en los casos que se pueda.

6. Resuelve, por el metodo de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

(a)

x − 3y + z = −22x + y − z = 6x + 2y + 2z = 2

; (b)

x + y + z + t = −2x − y − z + t = −4x − y + z + t = −6x + y − z + t = 0

;

(c)

3x + y − z = 10x − 2y − z = −2−x + y + z = 02x − y − 3z = 7

; (d)

2x + 3y − z = 0x − y + z = 0x + 9y − 5z = 0

.

7. Discute, segun los valores reales de los parametros, los siguientes sistemas lineales:

(a)

x − 3y + 5z = 22x − 4y + 2z = 15x − 11y + 9z = k

; (b)

x + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1

; (c)

x − 2y + 3z = 12x + ky + 6z = 6−x + 3y + (k − 3)z = 0

;

(d)

y + z = 2x + y + z = ax + y = 2

; (e)

ax + by + z = 1ax + y + bz = 1ax + y + z = b

;(f)

ax + by + z = 1x + aby + z = bx + by + az = 1

;

(g)

ax + by + 2z = 1ax + (2b − 1)y + z = 1ax + by + (b + 3)z = 2b − 1

.

Resuelve, cuando sea posible, los que dependen de un unico parametro.

8. Resuelve la ecuacion matricial Ax = b donde

A =

(

1 −1−1 1

)

y (a) b =

(

−11

)

o (b) b =

(

1−1

)

9. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:

(a)

1 0 12 1 03 1 0

X =

6 4 27 6 510 8 6

(b) X

1 −2 20 1 01 −1 1

=

1 0 1−2 1 01 3 −2

(c)

1 2 −1 −1−1 −1 −2 01 1 1 00 1 1 −1

X =

−4 6 2 2−2 −2 1 40 3 0 −22 0 −1 −2

10. Siendo A =

(

1 23 m

)

, m ∈ R, encuentra todas las matrices B ∈ M2×2 tales que

AB = 0.

11. Obten todas las matrices B ∈ M2×2 que conmutan con la matriz diagonal D =(

x 00 y

)

con x, y ∈ R.

12. Encuentra todos los polinomios p(x) de grado 2, con coeficientes reales, tales que:(a) p(1) = 2, p(−1) = 4 y p(3) = 16; (b) p(1) = p(−1) = 0.

13. Elimina parametros en las siguientes ecuaciones parametricas:

(a)

x = 1 + αy = 2 + αz = 1 − 3α

; (b)

x = 1 − 3α + βy = α − 2βz = 2 + β

; (c)

x = αy = βz = γ

;

(d)

x1 = a + 2b − cx2 = a − bx3 = 3bx4 = b + cx5 = a − b + 2c

; (e)

x1 = a + b + 2cx2 = a + 2b + 3cx3 = a + cx4 = 0x5 = a − b

.

Soluciones

1. (a) Ae =

1 1 00 1 10 0 1

, rg(A) = 3, Ac =

1 0 00 1 00 0 1

, y E =

2 −1 1−1 1 −12 −1 2

;

(b) Be = Bc =

1 −10 00 0

, rg(B) = 1, y E =

1 0 02 1 0−3 0 1

;

(c) Ce =

1 −1 1 2 10 0 1 1 −20 0 0 −1 10

, rg(C) = 3, Cc =

1 −1 0 0 130 0 1 0 80 0 0 1 −10

,

y E =

−14 1 −6−11 1 −413 −1 5

.

2. k = −1.

3. (a) A−1 = 13

1 1 −3−2 1 00 0 3

; (b) No existe B−1; (c) C−1 =

1 0 0−a 1 0

ac − b −c 1

;

(d) D−1 =

1 0 0 0−2 1 0 03 −3 1 0−8 8 −4 1

; (e) E−1 = 12

1 1 −1 1 −1−1 1 1 −1 11 −1 1 1 −1−1 1 −1 1 11 −1 1 −1 1

;

(f) F−1 =

1 −2 1 0 00 1 −2 1 00 0 1 −2 10 0 0 1 −20 0 0 0 1

.

4. A−1 =

1 −a 0 00 1 −a 00 0 1 −a0 0 0 1

.

5. (a)rg(An) =

3 , si n 6= 0 y n 6= −3

2 , si n = −3

1 , si n = 0

; A−1n = 1

n(n+3)

n + 2 −1 −1−1 n + 2 −1−1 −1 n + 2

, si

n 6= 0 y n 6= −3.

(b) rg(Bn) =

{

3 , si n 6= 0 y n 6= −2

2 , si n = 0 o n = −2;

B−1n = 1

n2(n+2)

n(n + 1) −n −n2 − n + 1−n n(n + 1) −10 0 n(n + 2)

, si n 6= 0 y n 6= −2.

6. (a) x = 2, y = 1, z = −1.(b) x = −3 − λ, y = 2, z = −1, t = λ; λ ∈ R.

(c) Sistema incompatible.(d) x = −2λ, y = 3λ, z = 5λ; λ ∈ R.

7. (a) Si k 6= 4 el sistema es incompatible; y si k = 4 es compatible indeterminado(x = −5/2 + 7λ, y = −3/2 + 4λ, z = λ; λ ∈ R).(b) Si a = −2 el sistema es incompatible; si a = 1 es compatible indeterminado(x = 1 − λ − µ, y = λ, z = µ; λ, µ ∈ R); y si a 6= −2 y a 6= 1 es compatibledeterminado(x = y = z = 1

a+2).(c) Si k = −4 el sistema es incompatible; si k = 0 es compatible indeterminado(x = 3 − 3λ, y = 1, z = λ; λ ∈ R); y si k 6= −4 y k 6= 0 es compatible determinado(x = k+9

k+4 , y = 4k+4 , z = 1

k+4).(d) Para cualquier valor de a el sistema es compatible determinado (x = a − 2,y = 4 − a, z = a − 2).(e) Si a = 0 y b = −2 el sistema es compatible indeterminado con un grado deindeterminacion; si b = 1 es compatible indeterminado con dos grados de indetermi-nacion; si a = 0, b 6= −2 y b 6= 1 es incompatible; y si a 6= 0 y b 6= 1 el sistema escompatible determinado.(f) El sistema es incompatible si b = 0, si 0 6= b 6= −2 y a = −2, o si 0 6= b 6= 1y a = 1; es compatible determinado si b 6= 0, a 6= 1 y a 6= −2; y es compatibleindeterminado si a = b = −2 (con un grado de indeterminacion) o a = b = 1 (condos grados de indeterminacion).(g) El sistema es incompatible si b = −1 o si a = 0 y b 6= 1; es compatible indeter-minado con un grado de indeterminacion si b = 1; y es compatible determinado sia 6= 0, b 6= 1 y b 6= −1.

8. (a) x =

(

λ − 1λ

)

, λ ∈ R; (b) x =

(

λ + 1λ

)

, λ ∈ R.

9. (a) X =

3 2 11 2 33 2 1

; (b) X =

0 1 12 1 −4−3 1 4

;

(c) X =

−2 − α 3 − β 1 − γ −δα 1 + β γ δ2 −1 −1 −2α β γ δ

, α, β, γ, δ ∈ R.

10. Si m 6= 6, B = 0; y si m = 6, B =

(

−2α −2βα β

)

, α, β ∈ R.

11. Si x = y, B es arbitraria; y si x 6= y, B =

(

a 00 d

)

con a, d ∈ R.

12. (a) p(x) = 2x2 − x + 1; (b) p(x) = λ(x2 − 1), λ ∈ R.

13. (a)

{

x − y = −13x + z = 4

; (b) x + 3y + 5z = 11;

(c) Al eliminar parametros no aparece ninguna condicion, pues esas ecuaciones

parametricas representan a todo R3;

(d)

{

3x1 − 3x2 − 4x3 + 3x4 = 0x1 − 2x3 + 3x4 − x5 = 0

; (e)

2x1 − x2 − x3 = 03x1 − 2x2 − x5 = 0x4 = 0

.

2 Espacios vectoriales

2.1 Espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V 6= ∅ sobre el quehay definidas dos operaciones:

1. Suma:

+ :V × V −→ V

(u,v) −→ u + v

verificando las siguientes propiedades:

(a) Conmutativa: u + v = v + u, ∀u,v ∈ V .

(b) Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w), ∀u,v,w ∈ V .

(c) Elemento neutro: Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = 0 + u = u, ∀u ∈ V .

(d) Elemento opuesto: Para todo u ∈ V existe −u ∈ V tal que u+(−u) = (−u)+u = 0

2. Producto por un escalar:

· :K× V −→ V

(λ,u) −→ λ · u

verificando las siguientes propiedades:

(a) 1 · u = u, ∀u ∈ V .

(b) λ · (µ · u) = (λµ) · u, ∀λ, µ ∈ K, ∀u ∈ V .

(c) (λ + µ) · u = λ · u + µ · u, ∀λ, µ ∈ K, ∀u ∈ V .

(d) λ · (u + v) = λ · u + λ · v, ∀λ ∈ K, ∀u,v ∈ V .

Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores.Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los numeros reales.

Nota: En lo sucesivo, siempre que no haya confusion se omitira el punto (·) en la operacionproducto por escalar.

Ejemplos

Son espacios vectoriales reales, con las operaciones que se indican, los siguientes:

1. El conjunto de n-uplas de numeros reales:

Rn = {x = (x1, x2, . . . , xn) = (xi)1≤i≤n : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}

con las operaciones:

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

λx = (λx1, λx2, . . . , λxn)

2. El conjunto de matrices de dimension n × m:

Mn×m(R) =

{

A = (aij) 1≤i≤n1≤j≤m

: aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m

}

con las operaciones: suma de matrices y producto por numeros reales.

3. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x:

P(R) =

{

n∑

k=0

akxk : n ∈ N, ak ∈ R

}

con las clasicas operaciones de suma y producto por numeros reales.

4. El conjunto de todos los polinomios, con coeficientes reales en la variable x, de gradomenor o igual que n:

Pn(R) =

{

n∑

k=0

akxk : ak ∈ R

}

con las mismas operaciones anteriores.

5. El conjunto de todas las funciones reales:

F(R) = {f : R −→ R}

con las operaciones: suma de funciones y producto por numeros reales.

6. El conjunto de todas las sucesiones de numeros reales:

S = {(xn)∞n=0 : xn ∈ R, n ≥ 1}

con las operaciones: suma de sucesiones y producto por numeros reales.

7. Si Z2 = {0, 1}, entonces Zn2 es un espacio vectorial sobre el cuerpo Z2, con las operaciones:

0 + 0 = 1 + 1 = 0 , 0 + 1 = 1 + 0 = 1 y 0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0 , 1 · 1 = 1

2.2 Propiedades

Si V es un espacio vectorial, entonces

1. 0 · u = 0.

2. (−1) · u = −u.

para todo u ∈ V .

2.3 Subespacio vectorial

Se llama subespacio vectorial de un espacio vectorial V a cualquier subconjunto no vacıoS ⊂ V que es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V .

2.4 Caracterizacion de subespacios vectoriales

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , S 6= ∅, entonces

S es subespacio vectorial de V ⇐⇒

{

(1) u + v ∈ S, ∀u,v ∈ S

(2) λu ∈ S, ∀λ ∈ K y ∀u ∈ S

Demostracion:(⇒) Evidente, pues S es espacio vectorial.(⇐) (1) y (2) garantizan que las operaciones estan bien definidas sobre S, al ser este un conjuntocerrado respecto de ellas. Ademas, por ser S un subconjunto de V , se verifican todas laspropiedades de la suma y el producto siempre que sea cierto que 0 ∈ S y que el opuesto decualquier elemento de S esta en S. Ahora bien, para cualquier u ∈ S,

0 = 0 · u ∈ S y − u = (−1) · u ∈ S

luego S es un subespacio vectorial de V .

2.5 Corolario

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , S 6= ∅, entonces

S es subespacio vectorial de V ⇐⇒ λu + µv ∈ S , ∀λ, µ ∈ K , ∀u,v ∈ S

Ejemplos

1. En todo espacio vectorial V , el conjunto {0} es un subespacio vectorial llamado subespa-

cio trivial.

2. Sea F(R) = {f : R −→ R} el espacio vectorial de las funciones reales. Son subespaciosvectoriales:

S1 = {f ∈ F(R) : f(0) = 0} S2 = {f ∈ F(R) : f continua}

S3 = {f ∈ F(R) : f acotada} S4 = {f ∈ F(R) : f derivable}

y no lo son

S5 = {f ∈ F(R) : f(x) > 0, ∀x ∈ R} S6 = {f ∈ F(R) : |f(x)| ≤ 1, ∀x ∈ R}

3. Son subespacios vectoriales del espacio vectorial P(R), de todos los polinomios en x concoeficientes reales, los siguientes:

S1 ={

p ∈ P(R) : p′(0) = 0}

S2 = {p ∈ P(R) : a0 = a1 = 0}

donde a0 y a1 son los coeficientes de grado 0 y 1, respectivamente. No son subespaciosvectoriales:

S3 = {p ∈ P(R) : grado(p) = 4} S4 = {p ∈ P(R) : el grado de p es par}

4. En el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden n, el subconjunto de lasmatrices simetricas es un subespacio vectorial, y no lo son el subconjunto de las matricesregulares ni el de las matrices singulares.

5. El conjunto de soluciones del sistema homogeneo Ax = 0, A ∈ Mm×n(R), es un subespaciovectorial de Rn.

6. Son subespacios vectoriales de M2×2(R):

S1 =

{(

0 ab 0

)

: a, b ∈ R

}

S2 =

{(

0 a−a 0

)

: a ∈ R

}

y no lo es

S3 =

{(

0 1a 0

)

: a ∈ R

}

2.6 Combinacion lineal

Sea V un espacio vectorial. Se dice que v ∈ V es combinacion lineal de los vectores{v1,v2, . . . ,vn} ⊂ V , si existen α1, α2, . . . , αn ∈ K tales que

v =n

∑

i=1

αivi

Ejemplos

1. En R3, para averiguar si el vector v = (1, 2, 3) es combinacion lineal de v1 = (1, 1, 1),v2 = (2, 4, 0) y v3 = (0, 0, 1), se plantea la ecuacion vectorial:

(1, 2, 3) = α(1, 1, 1) + β(2, 4, 0) + γ(0, 0, 1)

que equivale al siguiente sistema de ecuaciones, cuyas soluciones son las que se indican:

α + 2β = 1α + 4β = 2α + γ = 3

=⇒

α = 0β = 1/2γ = 3

Luego v = 0v1 + 1

2v2 + 3v3, y el vector v es combinacion lineal de {v1,v2,v3} (y tambien

de {v2,v3}).

2. En M2×2(R), para averiguar si la matriz A =

(

−1 02 4

)

es combinacion lineal de A1 =(

1 12 2

)

y A2 =

(

3 23 5

)

, se plantea la ecuacion matricial:

(

−1 02 4

)

= α

(

1 12 2

)

+ β

(

3 23 5

)

=⇒

α + 3β = −1α + 2β = 02α + 3β = 22α + 5β = 4

Este sistema es incompatible, luego A no es combinacion lineal de {A1, A2}.

2.7 Dependencia e independencia lineal de vectores

Sea V un espacio vectorial. Se dice que el conjunto de vectores {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ V es li-

nealmente dependiente si y solo si existen α1, α2, . . . , αn ∈ K, con algun αi 6= 0, tales que∑n

i=1αivi = 0. En caso contrario, se dice que el conjunto {v1,v2, . . . ,vn} es linealmente

independiente.Para estudiar si un conjunto de vectores {v1,v2, . . . ,vn} es linealmente dependiente o inde-

pendiente, se plantea la ecuacionn

∑

i=1

αivi = 0

y se estudian sus soluciones. Si admite alguna solucion no nula el conjunto de vectores eslinealmente dependiente, y si solo admite la solucion nula es linealmente independiente.

Ejemplos

1. En R4, los vectores v1 = (1, 0,−1, 2), v2 = (1, 1, 0, 1) y v3 = (2, 1,−1, 1) son linealmenteindependientes, pues

αv1 + βv2 + γv3 = 0 =⇒

α + β + 2γ = 0β + γ = 0

−α − γ = 02α + β + γ = 0

=⇒ α = β = γ = 0

2. En R4, los vectores v1, v2, y v3, del ejemplo anterior, y v4 = (1, 0,−1, 4) son linealmentedependientes, pues

αv1 + βv2 + γv3 + δv4 = 0 =⇒

α + β + 2γ + δ = 0β + γ = 0

−α − γ − δ = 02α + β + γ + 4δ = 0

=⇒

α = −2tβ = −tγ = tδ = t

, t ∈ R

que admite soluciones no nulas. Por ejemplo, para t = −1, 2v1 + v2 − v3 − v4 = 0.

2.8 Propiedades

En un espacio vectorial V se cumplen las siguientes propiedades:

1. {v} linealmente dependiente ⇐⇒ v = 0

2. 0 ∈ A ⊂ V =⇒ A es linealmente dependiente

3. {u,v} linealmente dependiente ⇐⇒ u = λv (son proporcionales)

4. A linealmente independiente y B ⊂ A =⇒ B es linealmente independiente

5. A linealmente dependiente y A ⊂ B =⇒ B es linealmente dependiente

6. A linealmente dependiente ⇐⇒ Existe v ∈ A que es combinacion lineal de A \ {v}

7. A linealmente independiente ⇐⇒ No existe v ∈ A que sea combinacion lineal de A \ {v}

2.9 Lema

Si V es un espacio vectorial y A = {v1, . . . ,vm} ⊂ V , entonces

L(A) =

{

m∑

i=1

αivi : αi ∈ K

}

es un subespacio vectorial de V , que se llama subespacio generado por A. El conjunto A sellama sistema de generadores de L(A).Demostracion: Si u =

∑mi=1

αivi ∈ L(A), v =∑m

i=1βivi ∈ L(A), y λ, µ ∈ K, entonces

λu + µv =

m∑

i=1

(λαi + µβi)vi ∈ L(A)

Ejemplos

1. Si V = R3 y A = {v1 = (1, 0, 1),v2 = (1, 1,−1)}, entonces

L(A) = {v = αv1 + βv2 : α, β ∈ R} = {v = (α + β, β, α − β) : α, β ∈ R}

Las ecuaciones

x = α + βy = βz = α − β

; α, β ∈ R

se llaman ecuaciones parametricas de L(A). Las ecuaciones parametricas son utilespara obtener, dando valores reales a los parametros α y β, los diferentes vectores de L(A).Ası, por ejemplo, para α = 2 y β = −1 se obtiene el vector v = (1,−1, 3) ∈ L(A).Eliminando parametros en las ecuaciones parametricas, se obtiene:

x − 2y − z = 0

que se llaman ecuaciones implıcitas de L(A) (en este caso solo una). Las ecuacionesimplıcitas son utiles para comprobar si un determinado vector pertenece a L(A) (el vectordebe verificar todas las ecuaciones). Por ejemplo, el vector (3, 1, 1) ∈ L(A) pues 3−2·1−1 =0, y el vector (−1, 2, 1) 6∈ L(A), pues −1 − 2 · 2 − 1 6= 0.

2. En R4, las ecuaciones parametricas e implıcitas del subespacio generado por

A = {v1 = (1,−1, 1,−1),v2 = (1, 2,−1, 3)}

son

x1 = α + βx2 = −α + 2βx3 = α − βx4 = −α + 3β

; α, β ∈ R =⇒

{

x1 − 2x2 − 3x3 = 0x1 − 2x3 − x4 = 0

2.10 Propiedades

Si A y B son dos subconjuntos finitos de un espacio vectorial V , entonces:

1. A ⊂ B =⇒ L(A) ⊂ L(B).

2. A ⊂ L(B) ⇐⇒ L(A) ⊂ L(B).

3. L(A) = L(B) ⇐⇒ A ⊂ L(B) y B ⊂ L(A).

2.11 Proposicion

Sea V un espacio vectorial y {v1, . . . ,vm} ⊂ V . Si vm es combinacion lineal de {v1, . . . ,vm−1},entonces

L ({v1, . . . ,vm}) = L ({v1, . . . ,vm−1})

Demostracion:(⊃) Si v ∈ L ({v1, . . . ,vm−1}), entonces

v =m−1∑

i=1

αivi =m−1∑

i=1

αivi + 0vm ∈ L ({v1, . . . ,vm})

(⊂) Sea vm =∑m−1

i=1βivi. Si v ∈ L ({v1, . . . ,vm}), entonces

v =m

∑

i=1

αivi =m−1∑

i=1

αivi + αm

m−1∑

i=1

βivi =m−1∑

i=1

(αi + αmβi)vi ∈ L ({v1, . . . ,vm−1})

2.12 Base de un espacio vectorial

Se llama base de un espacio vectorial (o subespacio vectorial) a cualquiera de sus sistemas degeneradores que este formado por vectores linealmente independientes.

2.13 Teorema de la base

Todo espacio vectorial V 6= {0} (o subespacio vectorial) con un sistema de generadores finitoposee al menos una base.Demostracion: Sea Am = {v1, . . . ,vm} un sistema de generadores de V . Si Am es linealmenteindependiente, entonces B = Am es una base de V . En caso contrario habra un vector, que sepuede suponer vm, que es combinacion lineal de los restantes, por lo que

V = L (Am) = L (Am−1) con Am−1 = {v1, . . . ,vm−1}

Si Am−1 es linealmente independiente, entonces B = Am−1 es una base de V . En caso contrario,se repite el razonamiento anterior hasta llegar a algun Ai = {v1, . . . ,vi} que sea linealmenteindependiente y que sera la base.El final del proceso anterior esta asegurado pues, en el peor de los casos, despues de m−1 pasosse llegarıa a A1 = {v1} con v1 6= 0 (pues L(A1) = V 6= {0}), y este serıa la base.

2.14 Coordenadas respecto de una base

Si B = {v1, . . . ,vn} es una base del espacio vectorial V , entonces para todo v ∈ V se tiene que

v = x1v1 + . . . + xnvn =n

∑

i=1

xivi

Se llaman coordenadas de v respecto de la base B a la n-upla (x1, . . . , xn) ∈ Kn, y se indica

v = (x1, . . . , xn)B

2.15 Unicidad de las coordenadas

En un espacio vectorial, las coordenadas de un vector respecto de una base finita son unicas.Demostracion: Si B = {v1, . . . ,vn} es una base de V , y v ∈ V , entonces

{

v = (x1, . . . , xn)B =∑n

i=1xivi

v = (x′1, . . . , x

′n)B =

∑ni=1

x′ivi

=⇒n

∑

i=1

(xi − x′i)vi = 0 =⇒ xi = x′

i , 1 ≤ i ≤ n

ya que los vectores de B son linealmente independientes. Luego las coordenadas de cualquiervector respecto de la base son unicas.

2.16 Bases usuales

En cada uno de los siguientes espacios vectoriales, la base usual es la que se indica:

1. En Rn,

Bc = {e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1)}

que tambien se llama base canonica.

2. En Mn×m(R), B =

=

E1 =

1 0 · · · 00 0 · · · 0...

......

0 0 · · · 0

, E2 =

0 1 · · · 00 0 · · · 0...

......

0 0 · · · 0

, . . . , En·m =

0 0 · · · 00 0 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

3. En Pn(R),B =

{

1, x, x2, . . . , xn}

Siempre que no haya confusion, se suele omitir la indicacion de la base en la expresion de lascoordenadas respecto de las bases usuales.

2.17 Uso de operaciones elementales para obtencion de bases

Sea V = Rn y A = {v1, . . . ,vm} ⊂ V . Si se representa tambien por A la matriz cuyas filas sonlos vectores de A, y Ar es una matriz reducida de A, entonces una base de L(A) esta formada porlos vectores correspondientes a las filas no nulas de Ar. Si la matriz reducida que se consideraes la escalonada, la base que se obtiene es la mas sencilla posible.

Todo lo anterior es igualmente valido cuando V es un espacio vectorial arbitrario con basefinita, y sus vectores vienen expresados por sus coordenadas respecto de dicha base.

Ejemplos

1. Si A = {v1 = (1, 3, 4),v2 = (2,−1, 1),v3 = (3, 2, 5),v4 = (5, 15, 20)} ⊂ R3, entonces

1 3 42 −1 13 2 55 15 20

−→

1 3 40 7 70 7 70 0 0

−→

1 3 40 1 10 0 00 0 0

y B = {u1 = (1, 3, 4),u2 = (0, 1, 1)} es una base de L(A). Para hallar las coordenadas delvector v = (2,−1, 1) respecto de dicha base, se procede ası:

v = αu1 + βu2 =⇒ (2,−1, 1) = α(1, 3, 4) + β(0, 1, 1) =⇒

α = 23α + β = −14α + β = 1

⇒

{

α = 2β = −7

de donde v = 2u1−7u2 = (2,−7)B. En referencia a esta base, las ecuaciones parametricase implıcitas de L(A) son:

x = αy = 3α + βz = 4α + β

; α, β ∈ R =⇒ x + y − z = 0

2. Antes de proceder a hallar una base del subespacio generado por

A ={

p1 = 1 − x3,p2 = x − x3,p3 = 1 − x,p4 = 1 + x − 2x3}

⊂ P3(R)

se expresan los vectores (polinomios) respecto de la base usual:

A = {p1 = (1, 0, 0,−1),p2 = (0, 1, 0,−1),p3 = (1,−1, 0, 0),p4 = (1, 1, 0,−2)}

Entonces

1 0 0 −10 1 0 −11 −1 0 01 1 0 −2

−→

1 0 0 −10 1 0 −10 1 0 −10 1 0 −1

−→

1 0 0 −10 1 0 −10 0 0 00 0 0 0

y una base de L(A) es:

B ={

q1 = (1, 0, 0,−1) = 1 − x3,q2 = (0, 1, 0,−1) = x − x3}

Para hallar las coordenadas del polinomio p = −1 + 2x − x3 = (−1, 2, 0,−1) respecto dedicha base, se procede ası:

p = (−1, 2, 0,−1) = α(1, 0, 0,−1) + β(0, 1, 0,−1) =⇒

α = −1β = 20 = 0

−α − β = −1

⇒

{

α = −1β = 2

de donde p = −q1 + 2q2 = (−1, 2)B. En referencia a esta base, y representando unpolinomio arbitrario por p = a + bx + cx2 + dx3 = (a, b, c, d), las ecuaciones parametricase implıcitas de L(A) son:

a = αb = βc = 0d = −α − β

; α, β ∈ R =⇒

{

a + b + d = 0c = 0

3. Antes de proceder a hallar una base del subespacio generado en M2×2(R) por A =

=

{

M1 =

(

1 −10 −1

)

,M2 =

(

0 01 1

)

,M3 =

(

2 −22 −2

)

,M4 =

(

−3 35 3

)

,M5 =

(

−1 13 1

)}

se expresan los vectores (matrices) respecto de la base usual:

A =

{

M1 = (1,−1, 0,−1), M2 = (0, 0, 1, 1),M3 = (2,−2, 2,−2),M4 = (−3, 3, 5, 3),M5 = (−1, 1, 3, 1)

}

Entonces

1 −1 0 −10 0 1 12 −2 2 −2−3 3 5 3−1 1 3 1

−→

1 −1 0 −10 0 1 10 0 2 00 0 5 00 0 3 0

−→

1 −1 0 −10 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

−→

1 −1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

y una base de L(A) es B =

{

N1 = (1,−1, 0, 0) =

(

1 −10 0

)

, N2 = (0, 0, 1, 0) =

(

0 01 0

)

, N3 = (0, 0, 0, 1) =

(

0 00 1

)}

Puesto que la base se ha obtenido llegando hasta la matriz escalonada, ahora es muchomas facil obtener las coordenadas de una matriz respecto de ella. De esta manera

M =

(

2 −23 −2

)

= (2,−2, 3,−2) = 2N1 + 3N2 − 2N3 = (2, 3,−2)B

En referencia a esta base, y representando una matriz arbitraria por

M =

(

a bc d

)

= (a, b, c, d)

las ecuaciones parametricas e implıcitas de L(A) son:

a = αb = −αc = βd = γ

; α, β, γ ∈ R =⇒ a + b = 0

2.18 Proposicion

Si V 6= {0} es un espacio vectorial con una base formada por n vectores, entonces cualquierconjunto de n + 1 vectores es linealmente dependiente.Demostracion: Sea B = {v1, . . . ,vn} una base de V y A = {u1, . . . ,un,un+1} ⊂ V , con

ui =n

∑

j=1

aijvj = (ai1, ai2, . . . , ain)B , 1 ≤ i ≤ n + 1

Para que una combinacion lineal de los vectores de A sea igual al vector cero, se ha de cumplir:

n+1∑

i=1

αiui =

(

n+1∑

i=1

ai1αi,

n+1∑

i=1

ai2αi, . . . ,

n+1∑

i=1

ainαi

)

= 0 ⇐⇒

∑n+1

i=1ai1αi = 0

∑n+1

i=1ai2αi = 0...

∑n+1

i=1ainαi = 0

que es un sistema lineal homogeneo de n ecuaciones con n + 1 incognitas, y tiene por tantoinfinitas soluciones (α1, α2, . . . , αn+1) 6= (0, 0, . . . , 0). Luego A es linealmente dependiente.

2.19 Teorema del cardinal o de la dimension

Todas las bases de un espacio vectorial V 6= {0} tienen el mismo numero de elementos (cardinal).Demostracion: Sean B1 = {v1, . . . ,vn} y B2 = {u1, . . . ,um} dos bases de V . Puesto que B1

es base y B2 es linealmente independiente, m ≤ n, y puesto que B2 es base y B1 es linealmenteindependiente, n ≤ m. Luego m = n.

2.20 Dimension de un espacio vectorial

Se llama dimension de un espacio vectorial V 6= {0}, que se representa por dimV , al cardinalde una cualquiera de sus bases. La dimension de V = {0} es cero.

Observacion: Una base de un espacio vectorial V 6= {0} de dimension n esta formada porcualesquiera n vectores linealmente independientes.

2.21 Teorema de extension de la base

Sea V 6= {0} un espacio vectorial de dimension n y A = {v1, . . . ,vr} ⊂ V un conjunto li-nealmente independiente de r < n vectores. Entonces existen {vr+1, . . . ,vn} ⊂ V tales que{v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn} es base de V .Demostracion: Puesto que A es linealmente independiente y su cardinal es r < n, A noes sistema de generadores de V , luego existira vr+1 ∈ V tal que vr+1 6∈ L(A). EntoncesA1 = A ∪ {vr+1} es linealmente independiente.Si r + 1 = n, A1 es base. En caso contrario, se repite el proceso anterior para obtener A2

linealmente independiente con r + 2 vectores, y ası sucesivamente.

2.22 Interpretacion geometrica de subespacios

Sean V = Rn y S ⊂ Rn es un subespacio vectorial.

1. Si dimS = 0, S = {0} es un punto (el origen).

2. Si dimS = 1, S = L({u}) es la recta que pasa por el origen con vector de direccion u.

3. Si dimS = 2, S = L({u,v}) es el plano que pasa por el origen con vectores de direccionu y v.

4. Si 2 < k = dimS < n − 1, S es un k-plano que pasa por el origen.

5. Si dimS = n − 1, S es un hiperplano que pasa por el origen.

6. Si dimS = n, S = Rn es todo el espacio.

2.23 Suma e interseccion de subespacios

Si S y T son dos subespacios vectoriales, de un mismo espacio vectorial V , se define su inter-

seccion y suma como

S ∩ T = {v ∈ V : v ∈ S y v ∈ T} y S + T = {u + v ∈ V : u ∈ S y v ∈ T}

respectivamente. Los conjuntos S ∩ T y S + T son subespacios vectoriales.

Ejemplo

Sean S = {(x, y, z) : y = 0} y T = {(x, y, z) : x − z = 0} dos subespacios vectoriales de R3.Los vectores de S ∩ T son aquellos que estan S y T , por lo que sus ecuaciones implıcitas son launion de las de ambos subespacios. Por lo tanto, las ecuaciones y una base de S ∩ T son

{

y = 0x − z = 0

=⇒

x = αy = 0z = α

; α ∈ R =⇒ BS∩T = {(1, 0, 1)}

Un sistema de generadores de S + T es la union de una base de S con otra de T . Puesto queBS = {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} y BT = {(0, 1, 0), (1, 0, 1)}, entonces

1 0 00 0 10 1 01 0 1

−→

1 0 00 1 00 0 10 0 0

=⇒ BS+T = {e1, e2, e3} =⇒ S + T = R3

Se puede observar que la representacion de un vector de S + T como suma de un vector de S yotro de T no es unica. Por ejemplo,

u = (1, 1, 1) = (1, 0, 1) + (0, 1, 0) = (3, 0, 3) + (−2, 1,−2)

siendo, en cada suma, el primer vector de S y el segundo de T .

2.24 Suma directa de subespacios

Si S y T son dos subespacios vectoriales, de un mismo espacio vectorial V , se dice que S + T essuma directa de los subespacios S y T , que se representa por S ⊕ T , si es unica la expresionde cada vector de la suma como un vector de S mas otro de T .

2.25 Caracterizacion de la suma directa

Sean S y T dos subespacios vectoriales de V . Entonces

La suma de S y T es directa ⇐⇒ S ∩ T = {0}

Demostracion:(⇒) Si S ∩ T 6= {0}, entonces existe v 6= 0 con v ∈ S ∩ T , de donde v = v + 0 = 0 + v, y lasuma no serıa directa.(⇐) Si u = v1+w1 = v2+w2, entonces v1−v2 = w2−w1 ∈ S∩T , luego v1−v2 = w2−w1 = 0

de donde v1 = v2 y w1 = w2, y la suma serıa directa.

2.26 Formula de la dimension

Sean S y T subespacios vectoriales de un espacio vectorial V de dimension finita. Entonces

dim(S ∩ T ) + dim(S + T ) = dimS + dimT

Demostracion: Si dimS = n, dimT = m, dim(S ∩T ) = r y {v1, . . . ,vr} es una base de S ∩T ,usando el teorema de extension de la base, sean

BS = {v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn} y BT = {v1, . . . ,vr,wr+1, . . . ,wm}

bases de S y T , respectivamente. Para demostrar la formula de la dimension, es suficientedemostrar que

B = {v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn,wr+1, . . . ,wm}

es una base de S + T . En primer lugar, B es linealmente independiente:

n∑

i=1

αivi +m

∑

j=r+1

βjwj = 0 =⇒m

∑

j=r+1

βjwj = −n

∑

i=1

αivi ∈ S ∩ T =⇒m

∑

j=r+1

βjwj =r

∑

j=1

βjvj

=⇒r

∑

j=1

βjvj −m

∑

j=r+1

βjwj = 0 =⇒ βj = 0 , 1 ≤ j ≤ m =⇒ βj = 0 , r + 1 ≤ j ≤ m

pues BT es base de T , y entonces

n∑

i=1

αivi = 0 =⇒ αi = 0 , 1 ≤ i ≤ n

pues BS es base de S. Finalmente, B es sistema de generadores de S + T , pues si u ∈ S + Tentonces

u =n

∑

i=1

αivi +r

∑

i=1

βivi +m

∑

i=r+1

βiwi =r

∑

i=1

(αi + βi)vi +n

∑

i=r+1

αivi +m

∑

i=r+1

βiwi

Ejemplo

En R4 se consideran los subespacios vectoriales

S = L ({(1, 0,−1, 2), (0, 1, 1, 0)}) y T = L ({(1, 0, 1,−1), (0, 1,−1, 3)})

Puesto que

1 0 −1 20 1 1 01 0 1 −10 1 −1 3

−→

1 0 −1 20 1 1 00 0 2 −30 0 2 −3

−→

1 0 −1 20 1 1 00 0 2 −30 0 0 0

una base de S + T es BS+T = {(1, 0,−1, 2), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 2,−3)}, y sus ecuaciones son:

x1 = αx2 = βx3 = −α + β + 2γx4 = 2α − 3γ

; α, β, γ ∈ R =⇒ x1 + 3x2 − 3x3 − 2x4 = 0

Usando la formula de la dimension, dim(S ∩ T ) = 2 + 2− 3 = 1. Las ecuaciones implıcitas de Sy T son

S ≡

x1 = αx2 = βx3 = −α + βx4 = 2α

;α, β ∈ R =⇒

{

x1 − x2 + x3 = 02x1 − x4 = 0

T ≡

x1 = αx2 = βx3 = α − βx4 = −α + 3β

;α, β ∈ R =⇒

{

x1 − x2 − x3 = 0x1 − 3x2 + x4 = 0

y las ecuaciones y base de S ∩ T son

x1 − x2 + x3 = 02x1 − x4 = 0x1 − x2 − x3 = 0x1 − 3x2 + x4 = 0

=⇒

x1 − x2 = 02x2 − x4 = 0x3 = 0

=⇒

x1 = αx2 = αx3 = 0x4 = 2α

;α ∈ R =⇒ BS∩T = {(1, 1, 0, 2)}

2.27 Subespacios suplementarios

Dos subespacios S y T de un espacio vectorial V se llaman suplementarios si V = S ⊕ T .Si S ⊕ T = U V , se dice que S y T son suplementarios en U .

Si V = S ⊕ T , entonces dimV = dimS + dimT . Ademas,

{

{v1, . . . ,vr} base de S{vr+1, . . . ,vn} base de T

=⇒ {v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn} base de V

y tambien:

{

{v1, . . . ,vr} base de S{v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn} base de V

=⇒ L ({vr+1, . . . ,vn}) es suplementario de S

Tema 2: Espacios vectoriales

Ejercicios

1. En R2 se definen las siguientes operaciones:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) y α ⋆ (x, y) = (αx, y)

¿Es un espacio vectorial?

2. ¿Cuales de los siguientes subconjuntos, de R3 o P3(R), son subespacios vectoriales?

(a) S = {(x, y, z) : y = 0} (e) S = {(x, y, z) : x + z ≤ 0}

(b) S = {(x, y, z) : x + y + z = 0} (f) S = {(x, y, z) : xy = 0}

(c) S = {(x, y, z) : x + z = 1} (g) S ={

p(x) = x3 + ax + b : a, b ∈ R}

(d) S = {(x, y, z) : x + z = 0} (h) S ={

p(x) = ax3 + b : a, b ∈ R}

3. Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectoresen R

3:

(a) {(0, 1, 0), (1, 1,−1), (−1, 0, 1)} (c) {(1, 0, a), (a, 1, 0), (0, a, 1)}

(b) {(0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} (d) {(1, 0, a), (a, 1, 0), (a, 0, 1)}

4. Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectoresen P2(R):

(a){

1, 1 + x, 1 + x + x2}

(c){

1 − x2, 1 + x, x2 − x, x + x2}

(b){

x, x2, x + x2}

(d){

1 + x2, 2 + x2}

5. Sean f, g, h : {a, b, c} −→ R definidas como: f(a) = 0, f(b) = f(c) = 1; g(a) =g(c) = 1, g(b) = 0; h(a) = h(b) = 1, h(c) = 0. Estudia la dependencia o indepen-dencia lineal del conjunto {f, g, h}.

6. Determina si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes oindependientes. En el primer caso, encuentra una combinacion lineal entre ellos yun subconjunto con un numero maximo de vectores linealmente independientes.

(a) {(3, 5, 1), (2, 1, 3)} (c) {(1, 0, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 2, 4, 2)}

(b) {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0,−1, 1)} (d){

1 + 3x + 4x2, 4 + x2, 3 + x + 2x2}

⊂ P2(R)

7. ¿Para que valores de a el conjunto B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)} es base de R3?

Para a = 2, calcula las coordenadas del vector v = (−1, 1, 3) respecto de dicha base.

8. En P3(R) se considera la base B ={

1, 1 − x, (1 − x)2, (1 − x)3}

. Halla las coorde-nadas del polinomio p = 2 − 3x + x2 + 2x3 respecto de dicha base.

9. En P2(R) se considera el conjunto B ={

1, x + 3, (x + 3)2}

. Prueba que es una base,y halla las coordenadas del polinomio p = a + bx + cx2 respecto de dicha base.

10. Averigua si los vectores u = (1,−1, 0) y w = (2,−3, 1) pertenecen al espacio vectorialgenerado por el conjunto de vectores {v1 = (2, 5, 1),v2 = (3, 4, 1),v3 = (5, 9, 2)}.

11. Determina a y b para que el vector (2, a, 3,−b) pertenezca al subespacio generadopor los vectores (2, 3, 1,−5) y (0, 2,−1, 3).

12. Sean los conjuntos: A = {(1, 0,−1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}, B = {(2, 1,−1), (1, 2, 1)} yC = {(2, 1,−1), (1,−1, 0)}. Demuestra que A y B generan el mismo subespacio, yque este no coincide con el generado por C.

13. Halla una base del espacio vectorial generado por el conjunto de vectores:

{v1 = (3, 2, 0, 5),v2 = (−1, 0, 3,−4),v3 = (2, 2, 3, 1),v4 = (0, 2,−9, 17)}

14. Se consideran los vectores de R4: (1 + a, 1, 1, 1), (1, 1 + a, 1, 1), (1, 1, 1 + a, 1) y

(1, 1, 1, 1 + a), a ∈ R. Determina, en funcion de a, la dimension y una base delespacio vectorial S que generan.

15. Halla la dimension y una base del espacio vectorial

M =

{(

a + b + 3c 2a − b

−a − c a + 2b + 5c

)

: a, b, c ∈ R

}

16. Estudia si es subespacio vectorial de R4 el conjunto de soluciones de cada uno de los

siguientes sistemas:

(a)

{

x1 + x2 = 0x3 + x4 = 0

(b)

{

x1 + x2 = 1x3 + x4 = 1

En caso afirmativo, determina una base.

17. Encuentra un sistema de generadores, una base y la dimension del subespacio vec-torial de soluciones del sistema:

x1 + 2x2 − 3x4 + x5 = 0x1 + 2x2 + x3 − 4x4 − x5 = 0x2 + x3 − 2x4 − x5 = 0x1 + x3 − 2x4 − 3x5 = 0

18. Si A =

3 1 10 3 10 0 3

, determina la dimension y una base del espacio vectorial generado

por {An : n ≥ 0}.

19. En R3 se consideran S = {(x, y, z) : x = −z} y T = {(x, y, z) : x = z − y}.

(a) Prueba que S y T son subespacios vectoriales de R3.

(b) Encuentra una base de S, y halla las coordenadas de un vector arbitrario de S

respecto de dicha base.

(c) Prueba que BT = {(0, 1, 1), (−1, 1, 0)} es una base de T , y encuentra las coor-denadas de (−2, 1,−1) ∈ T respecto de dicha base.

20. En R4 se consideran los subespacios vectoriales:

S = L ({(1, 0, 1, 1), (1,−1,−1, 0), (0, 1, 2, 1)})

T = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x3 − x4 = 0, x2 + x3 = 0}

Obten las ecuaciones parametricas e implıcitas y una base de S + T y de S ∩ T .

21. En P3(R) se consideran los conjuntos

S = {p(x) : p(−1) = 0} y T ={

p(x) = ax3 + bx2 + (a + b)x + 2b : a, b ∈ R}

(a) Prueba que S y T son subespacios vectoriales.

(b) Obten las ecuaciones parametricas e implıcitas y una base de S y de T .

(c) Calcula S ∩ T y S + T .

22. En M2×2(R) se consideran los subespacios vectoriales

V1 =

{(

a b

−b a

)

: a, b ∈ R

}

V2 =

{(

a b

c −a

)

: a, b, c ∈ R

}

Halla la dimension y una base de los subespacios V1, V2, V1 + V2 y V1 ∩ V2.

23. En R4 se consideran los subespacios vectoriales:

S ≡

x1 + x2 + x3 + x4 = 02x1 − x2 + 2x3 − x4 = 04x1 + x2 + 4x3 + x4 = 0

T ≡

x1 = α + β + 2γ

x2 = β + γ

x3 = −α + β

x4 = 3β + 3γ

; α, β, γ ∈ R

Halla bases y dimensiones de S, T , S + T y S ∩ T .

24. En R5 se consideran los subespacios vectoriales:

U = L ({(1, 0,−1, 0, 0), (2, 1, 0, 1,−1), (4, 1,−2, 1,−1)})

W = L ({(1,−1, 1,−1, 1), (−2, 0, 0, 0, 3), (0, 1, 2, 1,−1), (0,−2, 2,−2, 5)})

Halla bases de U , W , U + W y U ∩ W .

25. En R3 se consideran los subespacios vectoriales:

U = {(x, y, z) : z = 0} y W = L ({(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, 1, 2)})

Halla un sistema de generadores y las dimensiones de los subespacios U , W , U + W

y U ∩ W .

26. En R4 se consideran los subespacios vectoriales:

S = L ({(1, 0, 2,−1), (0,−1, 2, 0), (2,−1, 6,−2)})

T = L ({(1,−1, 4,−1), (1, 0, 0, 1), (−1,−2, 2, 1)})

Demuestra que dim(S + T ) = 3 y que dim(S ∩ T ) = 2.

27. En R3 se consideran los subespacios:

U = {(a, b, c) : a = c, a, b, c ∈ R}

V = {(0, 0, c) : c ∈ R}

W = {(a, b, c) : a + b + c = 0, a, b, c ∈ R}

Prueba que R3 = U + V = U + W = V + W . ¿Cual de las sumas anteriores es

directa?

28. En R3 se consideran los subespacios vectoriales:

S = L ({(1, 0, 1), (1, 1,−1), (2, 1, 0)}) T = L ({(1, 0, 1), (0, 0, 1), (3, 0,−1)})

Halla un subespacio U tal que R3 = S ⊕ U , y T + U no sea suma directa.

29. En R4 se consideran los subespacios vectoriales:

S1 = L ({(1, 0, 1, 0), (2, 1, 0, 2), (0,−1, 2,−2)})

S2 = L ({(1, 1, 1, 0), (−1,−1, 1,−2)})

¿Es S1 + S2 suma directa? Halla una base de dicha suma.

30. Determina a, b ∈ R para que el vector v = (2, a, b, 1) pertenezca al subespaciovectorial S = L ({(1, 0, 2, 0), (0,−1, 1, 1)}). Obten un subespacio suplementario deS en R

4.

31. En P3(R) se consideran los subespacios vectoriales:

V = L({

1 + x3, 1 + x + x2, 2x − x2, 2 + 3x2})

W = L({

1 + 3x2 − x3, 1 + 4x + x2 − x3, 2x − x2})

Demuestra que W ⊂ V , y halla un suplementario de W en V .

32. En P3(R) se consideran los subespacios vectoriales:

V = L({

x + x2, x − x2, 2x + x2})

W ={

a + bx + cx2 + dx3 : b + c = 0, 2b − c = 0}

T ={

a + bx + cx2 + dx3 : a = 0, b = −µ, c = 0, d = λ + µ, λ, µ ∈ R}

(a) Halla V ∩ W y V + W . ¿Son V y W suplementarios?

(b) Halla una base de W ∩ T y las ecuaciones implıcitas de V + T .

Soluciones

1. No.

2. (a), (b), (d) y (h) Si; (c), (e), (f) y (g) No.

3. (a) l.d.; (b) l.i.; (c) l.d. si a = −1, y l.i. si a 6= −1; (d) l.i. si a 6= ±1, y l.d. sia = ±1.

4. (a) y (d) l.i.; (b) y (c) l.d.

5. Son l.i.

6. (a) l.i.; (b) l.d., {v1 = (1, 2, 3),v2 = (1, 3, 2)} es l.i., y v3 = (0,−1, 1) = v1 − v2;(c) l.d., {v1 = (1, 0, 1, 0),v2 = (0, 1, 1, 1)} es l.i., y v3 = (2, 1, 3, 1) = 2v1 + v2 yv4 = (2, 2, 4, 2) = 2v1 + 2v2; (d) l.d.,

{

p1(x) = 1 + 3x + 4x2, p2(x) = 4 + x2}

es l.i.,y p3(x) = 3 + x + 2x2 = 1

3p1(x) + 2

3p2(x).

7. Es base para a 6= 0 y a2 6= 2. Para a = 2, v =(

−1

2, 0, 3

2

)

B.

8. p = 2 − 3x + x2 + 2x3 = (2,−5, 7,−2)B.

9. p = a + bx + cx2 = (a − 3b + 9c, b − 6c, c)B.

10. u ∈ L ({v1,v2,v3}), siendo u = −v1 + v2, y w 6∈ L ({v1,v2,v3}).

11. a = −1 y b = 11.

12. L(A) = L(B) = L ({(1, 0,−1), (0, 1, 1)}) = S, y L(C) 6= S porque (1,−1, 0) 6∈ S.

13. B = {(3, 2, 0, 5), (0, 2, 9,−7), (0, 0, 3,−4)}.

14. Si a = 0: dimS = 1 y B = {(1, 1, 1, 1)}.Si a = −4: dimS = 3 y B = {(1, 1, 1,−3), (0, 1, 0,−1), (0, 0, 1,−1)}.Si a 6= 0 y a 6= −4: dimS = 4, es decir S = R

4, y una base es la canonica.

15. dimM = 2 y B =

{

E1 =

(

1 2−1 1

)

, E2 =

(

0 3−1 −1

)}

.

16. (a) Sı, es un subespacio vectorial de dimension 2 y base {(−1, 1, 0, 0), (0, 0,−1, 1)}.(b) No es un subespacio vectorial.

17. Un sistema generadores y base es {(1, 1, 1, 1, 0), (1,−1, 2, 0, 1)}. Su dimension es 2.

18. La dimension es 3, y la base

I =

1 0 00 1 00 0 1

, B =

0 1 00 0 10 0 0

, C =

0 0 10 0 00 0 0

19. (b) BS = {(1, 0,−1), (0, 1, 0)} y u = (a, b,−a) = (a, b)BS.

(c) (−2, 1,−1) = (−1, 2)BT

20. S + T :

x1 = α

x2 = β

x3 = α + γ

x4 = α + β

, α, β, γ ∈ R; x1 + x2 − x4 = 0;

y BS+T = {(1, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}.

S ∩ T :

x1 = 3αx2 = −α

x3 = α

x4 = 2α

, α ∈ R;

x1 + 2x2 − x3 = 0x2 − x3 + x4 = 02x3 − x4 = 0

; y BS∩T = {(3,−1, 1, 2)}.

21. (b) Representando p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 = (a0, a1, a2, a3), respecto de labase usual en P3(R), entonces

S:

a0 = α − β + γ

a1 = α

a2 = β

a3 = γ

, α, β, γ ∈ R; a0 − a1 + a2 − a3 = 0;

y BS ={

(1, 1, 0, 0) = 1 + x, (−1, 0, 1, 0) = −1 + x2, (1, 0, 0, 1) = 1 + x3}

.

T :

a0 = 2βa1 = α + β

a2 = β

a3 = α

, α, β ∈ R;

{

a0 − 2a2 = 0a1 − a2 − a3 = 0

;

y BT ={

(0, 1, 0, 1) = x + x3, (2, 1, 1, 0) = 2 + x + x2}

.

(c) S ∩ T :

a0 = 2α

a1 = 2α

a2 = α

a3 = α

, α ∈ R;

a0 − a1 + a2 − a3 = 0a0 − 2a2 = 0a1 − a2 − a3 = 0

;

y BS∩T ={

(2, 2, 1, 1) = 2 + 2x + x2 + x3}

.S + T = P3(R).

22. dimV1 = 2, y BV1=

{(

1 00 1

)

,

(

0 1−1 0

)}

.

dimV2 = 3, y BV2=

{(

1 00 −1

)

,

(

0 10 0

)

,

(

0 01 0

)}

.

dim (V1 + V2) = 4, luego V1 + V2 = M2×2(R) y una base es la usual.

dim (V1 ∩ V2) = 1, y BV1∩V2=

{(

0 −11 0

)}

.

23. dimS = 2, y BS = {(1, 0,−1, 0), (0, 1, 0,−1)}.dimT = 2, y BT = {(2, 1, 0, 3), (−1, 0, 1, 0)}.dim(S + T ) = 3, y BS+T = {(1, 0,−1, 0), (0, 1, 0,−1), (0, 0, 1, 2)}.dim(S ∩ T ) = 1, y BS∩T = {(1, 0,−1, 0)}.

24. BU = {(1, 0,−1, 0, 0), (0, 1, 2, 1,−1)}.BW = {(1,−1, 1,−1, 1), (0, 1, 2, 1,−1), (0, 0, 2, 0, 1)}.BU+W = {(1, 0,−1, 0, 0), (0, 1, 2, 1,−1), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)}.BU∩W = {(0, 1, 2, 1,−1)}.

25. dimU = 2, y BU = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}.dimW = 2, y BW = {(2, 0, 1), (0, 1, 1)}.dim(U + W ) = 3, luego U + W = R

3 y BU+W = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.dim(U ∩ W ) = 1, y BU∩W = {(2,−1, 0)}.

26. dimS = 2, dimT = 3, y dim(S + T ) = 3, de donde dim(S ∩ T ) = 2. Por lo tantoS + T = T y S ∩ T = S, es decir S ⊂ T .

27. R3 = U ⊕ V = V ⊕ W , y la suma U + W no es directa.

28. U = L ({(0, 0, 1)}).

29. La suma S1 + S2 no es directa. BS1+S2= {(1, 0, 1, 0), (0, 1,−2, 2), (0, 0, 1,−1)}.

30. a = −1 y b = 5. R4 = S ⊕ T , con T = L ({(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}).

31. W ⊂ V , y V = W ⊕ U con U = L({

3x2 − 2x3})

.

32. (a) V ∩ W = {0} y V + W = P3(R), luego V y W son suplementarios.(b) BW∩T =

{

x3}

. Las ecuaciones implıcitas de V + T son a = 0. 3 Geometrıa afın

3.1 Variedad o subespacio afın

Se llama variedad afın o subespacio afın de un espacio vectorial V a cualquier conjunto dela forma

u + S = {u + v : v ∈ S} ⊂ V

con u ∈ V y S un subespacio vectorial de V , que se llama subespacio de direcciones.Si S = L ({v1, v2, . . . ,vm}), entonces

u + S =

{

u +m

∑

i=1

αivi : αi ∈ K, 1 ≤ i ≤ m

}

⊂ V

Se llama dimension del subespacio afın u + S a la dimension del subespacio vectorialasociado S:

dim(u + S) = dimS

3.2 Observaciones

1. u ∈ u + S

2. 0 ∈ u + S ⇐⇒ u ∈ S ⇐⇒ u + S = S

3. Si V = Rn, entonces

u + S es

un punto , si dimS = 0

una recta , si dimS = 1

un plano , si 2 ≤ dimS < n − 1

un hiperplano , si dimS = n − 1

el espacio V = Rn , si dimS = n

3.3 Ejemplos

1. En R3, la recta que pasa por P (1,−1, 0) con vector de direccion v = (1, 1, 1) es:

−−→OP + L ({v}) = {(x, y, z) = (1,−1, 0) + α(1, 1, 1) : α ∈ R}

cuyas ecuaciones parametricas e implıcitas son:

x = 1 + αy = −1 + αz = α

; α ∈ R =⇒

{

x − y = 2x − z = 1

2. En R3, la recta que pasa por P (0, 1, 1) y Q(1, 0, 1) es:

−−→OP + L

({−−→PQ

})

= {(x, y, z) = (0, 1, 1) + α(1,−1, 0) : α ∈ R}

cuyas ecuaciones parametricas e implıcitas son:

x = αy = 1 − αz = 1

; α ∈ R =⇒

{

x + y = 1z = 1

3. En R3, el plano que pasa por P (1, 0, 0) con vectores de direccion u = (1, 1, 0) y v = (0, 0, 1)

es:−−→OP + L ({u,v}) = {(x, y, z) = (1, 0, 0) + α(1, 1, 0) + β(0, 0, 1) : α, β ∈ R}

cuyas ecuaciones parametricas e implıcitas son:

x = 1 + αy = αz = β

; α, β ∈ R =⇒ x − y = 1

4. En R4, el hiperplano que pasa por P1(1, 0, 0, 0), P2(0, 1, 0, 0), P3(0, 0, 1, 0) y P4(0, 0, 0, 1)

es:

−−→OP1 + L

({−−−→P1P2,

−−−→P1P3,

−−−→P1P4

})

=

= {(x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 0, 0) + α(−1, 1, 0, 0) + β(−1, 0, 1, 0) + γ(−1, 0, 0, 1) : α, β, γ ∈ R}

cuyas ecuaciones parametricas e implıcitas son:

x1 = 1 − α − β − γx2 = αx3 = βx4 = γ

; α, β, γ ∈ R =⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = 1

3.4 Igualdad de variedades afines

Sean V un espacio vectorial, S y T subespacios vectoriales de V , y u,v ∈ V . Entonces

u + S = v + T ⇐⇒

{

S = Tu − v ∈ S ∩ T

Demostracion:

(⇐) Puesto que S = T y u − v ∈ T :

u + S = (u − v) + v + T = v + T

(⇒)

u + S = v + T =⇒

{

u ∈ v + T =⇒ u − v ∈ Tv ∈ u + S =⇒ v − u ∈ S =⇒ u − v ∈ S

=⇒ u − v ∈ S ∩ T

y ademasS = −u + u + S = −u + v + T = −(u − v) + T = T

3.5 Ejemplo

Para estudiar la igualdad de las variedades afines

A ≡

x1 = 1 + αx2 = −α + βx3 = βx4 = −1 + β

B ≡

x1 = 2 + α + β + γx2 = −α + γx3 = 1 + β + 2γx4 = β + 2γ

C ≡

x1 = −1 + α + βx2 = −α − 2βx3 = −βx4 = −1 − β

se determina un vector y un subespacio de direcciones de cada una de ellas:

A = uA + SA con

{

uA = (1, 0, 0,−1)SA = L ({(1,−1, 0, 0), (0, 1, 1, 1)})

B = uB + SB con

{

uB = (2, 0, 1, 0)SB = L ({(1,−1, 0, 0), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 2, 2)})

C = uC + SC con

{

uC = (−1, 0, 0,−1)SC = L ({(1,−1, 0, 0), (1,−2,−1,−1)})

En primer lugar se comprueba, hallando la matriz escalonada de la matriz asociada a sus vectoresde direccion, si coinciden los subespacios vectoriales asociados:

SA ≡

(

1 −1 0 00 1 1 1

)

−→

(

1 0 1 10 1 1 1

)

SB ≡

1 −1 0 01 0 1 11 1 2 2

−→

1 −1 0 00 1 1 10 2 2 2

−→

1 0 1 10 1 1 10 0 0 0

SC ≡

(

1 −1 0 01 −2 −1 −1

)

−→

(

1 −1 0 00 1 1 1

)

−→

(

1 0 1 10 1 1 1

)

Luego S = SA = SB = SC = L ({v1 = (1, 0, 1, 1), v2 = (0, 1, 1, 1)}) y las tres variedades afinesverifican la primera condicion. Para verificar la segunda se comprueba, mediante operacioneselementales, si las diferencias entre cada dos vectores de los que definen las variedades pertenecenal subespacio vectorial:

v1

v2

. . . . . . . .uA − uB

uA − uC

uB − uC

−→

1 0 1 10 1 1 1

. . . . . . . . . . . . . . . .−1 0 −1 −12 0 0 03 0 1 1

−→

1 0 1 10 1 1 1. . . . . . . . . . . . . .0 0 0 00 0 −2 −20 0 −2 −2

de donde uA − uB ∈ S, uA − uC /∈ S y uB − uC /∈ S. Luego A = B 6= C.

3.6 Posicion relativa de variedades afines

Sean u + S y v + T dos variedades afines en un espacio vectorial V . Entonces, si

• u + S ∩ v + T =

{

u + S, se dice que u + S esta contenida en v + T .v + T , se dice que v + T esta contenida en u + S.

• (u + S) ∩ (v + T ) = ∅, y S ⊂ T o T ⊂ S, se dice que u + S y v + T son paralelas.

• (u + S) ∩ (v + T ) = ∅, y S 6⊂ T y T 6⊂ S, se dice que u + S y v + T se cruzan.

• (u + S) ∩ (v + T ) 6=

∅u + Sv + T

, se dice que u + S y v + T se cortan.

3.7 Posiciones relativas en R2 y R

3

1. Sean r ≡ ur + L ({vr}) y s ≡ us + L ({vs}) dos rectas del plano R2. Entonces si

rg (vr,vs) rg (vr,vs,ur − us) Posicion relativa de r y s

1 1 iguales

1 2 paralelas

2 2 se cortan en un punto

2. Sean r ≡ ur + L ({vr}) y s ≡ us + L ({vs}) dos rectas del espacio R3. Entonces si

rg (vr,vs) rg (vr,vs,ur − us) Posicion relativa de r y s

1 1 iguales

1 2 paralelas

2 2 se cortan en un punto

2 3 se cruzan

3. Sean r ≡ ur + L ({vr}) y π ≡ uπ + L ({vπ,wπ}) una recta y un plano del espacio R3.

Entonces si

rg (vr,vπ,wπ) rg (vr,vπ,wπ,ur − uπ) Posicion relativa de r y π

2 2 la recta esta contenida en el plano

2 3 paralelos

3 3 se cortan en un punto

4. Sean π ≡ uπ + L ({vπ,wπ}) y σ ≡ uσ + L ({vσ,wσ}) dos planos del espacio R3. Entonces

si

rg (vπ,wπ,vσ,wσ) rg (vπ,wπ,vσ,wσ,uπ − uσ) Posicion relativa de π y σ

2 2 iguales

2 3 paralelos

3 3 se cortan en una recta

3.8 Ejemplos

1. En R2, las rectas

r1 ≡ x − y = −1 r2 ≡

{

x = α − 1y = α + 3

r3 ≡

{

x = α − 1y = 3α − 2

verifican: r1 ‖ r2, r1 ∩ r3 = {(0, 1)}, y r2 ∩ r3 = {(3/2, 11/2)}.

2. En R3, la recta r ≡

{

x = 0y + z = 1

corta al plano π1 ≡ y−z = 1 en un punto y esta contenida

en el plano π2 ≡ y + z = 1. Los planos se cortan en una recta. Mas concretamente:

r ∩ π1 = {(0, 1, 0)} y π1 ∩ π2 ≡

{

y − z = 1y + z = 1

≡

x = αy = 1z = 0

; α ∈ R

3. En R3, las rectas

r1 ≡

{

x − y = 0x + z = 1

≡

x = αy = αz = 1 − α

≡ (0, 0, 1) + L ({(1, 1,−1)})

r2 ≡

{

x − 2z = 1y = 1

≡

x = 1 + 2αy = 1z = α

≡ (1, 1, 0) + L ({(2, 0, 1)})

r3 ≡

{

x − y = 0x + z = 4

≡

x = 1 + αy = 1 + αz = 3 − α

≡ (1, 1, 3) + L ({(1, 1,−1)})

verifican: r1 ∩ r2 = {(1, 1, 0)}, r1 y r3 son paralelas, y r2 y r3 se cruzan.

4. En R4, el hiperplano H ≡ x1 − x4 = −1 y el plano π ≡

{

x1 − x2 + x4 = 2x1 − x3 + 2x4 = −1

se cortan

en la recta

H ∩ π ≡

x1 − x4 = −1x1 − x2 + x4 = 2x1 − x3 + 2x4 = −1

≡

x1 = −1 + αx2 = −3 + 2αx3 = 3αx4 = α

≡ (−1,−3, 0, 0) + L ({(1, 2, 3, 1)})

5. En R4, los planos π1 ≡

{

x1 − x3 = −1x1 − x4 = −1

y π2 ≡

{

x2 + x3 + x4 = 1x3 − x4 = 1

se cruzan, pues su

interseccion es vacıa y ninguno de los subespacios de direcciones, L ({(1, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 0)})de π1 y L ({(1, 0, 0, 0), (0, 2,−1,−1)}) de π2, esta contenido en el otro.

6. En R4, los planos π1 ≡

{

x1 − x3 = −1x1 − x4 = −1

y π2 ≡

{

x1 − x4 = 2x3 − x4 = 1

son paralelos, pues su

interseccion es vacıa y sus subespacios de direcciones coinciden.

Tema 3: Geometrıa afın

Ejercicios

1. Sean P (1, 1, 1), Q(0, 1, 2), u = (−1, 2, 0) y v = (1,−1,−1). Halla las ecuacionesparametricas e implıcitas de las siguientes rectas:

(a) Recta que pasa por P con vector de direccion u − v.

(b) Recta que pasa por P y Q.

(c) Recta que pasa por Q con vector de direccion 3v.

2. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 1, 1) y es paralela a la recta

r ≡

{

3x − y + z = 1x + y − 3z = 0

.

3. Sean P (1, 2, 3), Q(−1,−2,−3), R(0, 1,−1), u = (0, 1,−1) y v = (5, 1, 2). Halla lasecuaciones parametricas e implıcitas de los siguientes planos:

(a) Plano que pasa por P , Q y R.

(b) Plano que pasa por P y R, y es paralelo a la recta que pasa por Q con vectorde direccion u − v.

(c) Plano que contiene a R con subespacio de direcciones L ({u + 2v, 2u + v}).

4. Halla las ecuaciones parametricas e implıcitas de las siguientes variedades afines:

(a) Recta que pasa por P (1/2,−1, 2) y es paralela a s ≡ x−2

−1= y+1

2= z−1/2

−3.

(b) Recta paralela a la recta s del apartado anterior y que pasa por el origen.

(c) Plano paralelo al eje OY que pasa por los puntos (2,−1, 4) y (3, 0,−1).

(d) Plano paralelo al plano 3x + 4y + z = −7 que corta al eje OX en el puntox = −2.

(e) Plano paralelo al plano x + y + 3z = 8 que pasa por el punto (2,−1, 0).

(f) Plano paralelo al plano 2x−3y+6z = −7 y que pasa por el punto de interseccionde los planos

x − z = 1 ; y − 2z = 1 ; 3x − y = −2

(g) Recta que pasa por (1,−1, 2) y es paralela a los planos

π ≡ x − 3y + 2z = −1 σ ≡

x = 1 − 3λ + µy = λ − 2µz = 2 + µ

; λ, µ ∈ R

5. Halla la recta que pasa por (1,−1, 0) y (−2, 1, 1), y su punto de interseccion con elplano 3x − y + z = 0.

6. Halla la ecuacion del plano que contiene a la recta r ≡ x = y−1

2= z +3 y es paralelo

a la recta

{

2x + y + z = 1x − y + 2z = 0

.

7. Sea r la recta que para por (−1, 1, 0) y (−3, 2, 1), y s la recta que pasa por (1, 0,−1)con subespacio de direcciones {(x, y, z) : x + y = 0, 2y + z = 0}. Prueba que se cor-tan y halla la ecuacion del plano que determinan.

8. Obten las ecuaciones implıcitas de la recta paralela a t ≡ x = y = z y que se apoya

en las rectas r ≡

{

x − z = −1y + 3z = 2

y s ≡

{

x − 5z = 4y − 4z = −3

.

9. Determina la posicion relativa, y la interseccion en su caso, de los siguientes paresde rectas:

(a) (x, y, z) = (−1, 2, 1) + α(4, 3, 2) y (x, y, z) = (0, 1, 0) + α(1, 3, 2).

(b) x+4

5= y−3

2= z+1

−4y x+9

−5= y−1

3= z−3

2.

(c)

{

2x − 3y − z = 3x − 3y = 4

y

{

x + y = 2y − z = −1

.

10. Halla la interseccion de los siguientes pares de planos:

(a) x − y + z = 1 y 2x + 2y − 3z = 4.

(b) (x, y, z) = α(1, 1,−1)+β(0, 1,−2) y (x, y, z) = (0, 1, 0)+α(0, 1,−1)+β(2, 3, 5).

11. Averigua la posicion relativa de los siguientes planos:

π1 ≡ 2x + 2y − z = −1 π3 ≡ 4y + 7z = 3

π2 ≡ x − y − 4z = −2 π4 ≡ 2x + 2y − z = 3

12. En R4, halla la ecuacion del hiperplano paralelo a x1 − 2x2 +x3 −x4 = 0 y que pasa

por el punto P (0, 1, 1, 1).

13. Halla, segun los valores del parametro a ∈ R, la interseccion de los planos:

π1 ≡

{

x1 + x4 = 0x2 − x3 = 1

π2 ≡ (x1, x2, x3, x4) = (0, 0, 1,−1) + L ({(a, 2, 2,−4), (1, 0, 1, 0)})

14. Halla el valor de a para que los planos

π1 ≡

x1 = a + 3λ + 2µx2 = 1 − λ − µx3 = 4 + λx4 = 6 + 5λ + 2µ

π2 ≡

x1 = 2 + λ + 2µx2 = 1x3 = 1 + λ + µx4 = 3λ

tengan interseccion no vacıa.

15. Halla la ecuacion de un hiperplano que pase por P (1,−1, 0, 0) y Q(−1, 0, 0, 1), y quesea paralelo al plano π ≡ (−1, 0, 1, 0) + L ({(2,−1,−1, 1), (−1, 1, 2, 0)}).

16. Halla la ecuacion de una recta que pase por el punto P (2,−1, 1, 1) y que no corte alplano

π ≡ (x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 0,−1) + L ({(0, 1,−1, 0), (2, 1, 0,−2)})

Halla la ecuacion implıcita de un hiperplano que contenga a π y a la recta.

Soluciones

1. (a)

x = 1 − 2αy = 1 + 3αz = 1 + α

, α ∈ R; y

{

x + 2z = 3y − 3z = −2

(b)

x = 1 − αy = 1z = 1 + α

, α ∈ R; y

{

x + z = 2y = 1

(c)

x = αy = 1 − αz = 2 − α

, α ∈ R; y

{

x + y = 1x + z = 2

2. x = 1 + α, y = 1 + 5α, z = 1 + 2α; α ∈ R.

3. (a)

x = α − βy = 1 + α − 3βz = −1 + 4α − 2β

, α, β ∈ R; y 5x − y − z = 0

(b)

x = α + 5βy = 1 + αz = −1 + 4α + 3β

, α, β ∈ R; y 3x + 17y − 5z = 22

(c)

x = 10α + 5βy = 1 + 3α + 3βz = −1 + 3α

, α, β ∈ R; y 3x − 5y − 5z = 0

4. (a)

x = 1/2 − λy = −1 + 2λz = 2 − 3λ

, λ ∈ R; y

{

2x + y = 03y + 2z = 1

.

(b)

x = −λy = 2λz = −3λ

, λ ∈ R; y

{

2x + y = 03y + 2z = 0

.

(c)

x = 3 + λy = λ + µz = −1 − 5λ

, λ, µ ∈ R; y 5x + z = 14.

(d)

x = λy = µz = −6 − 3λ − 4µ

, λ, µ ∈ R; y 3x + 4y + z = −6.

(e)

x = 1 − λ − 3µy = λz = µ

, λ, µ ∈ R; y x + y + 3z = 1.

(f)

x = 3λy = 3 + 2λ + 2µz = µ

, λ, µ ∈ R; y 2x − 3y + 6z = −9.

(g)

x = 8 − 7λy = −λz = 2λ

, λ ∈ R; y

{

x − 3y + 2z = 8x + 3y + 5z = 8

.

5. x = 1 + 3λ, y = −1 − 2λ, z = −λ, λ ∈ R. P (−1/5,−1/5, 2/5).

6. x − 2y + 3z = −11.

7. r ∩ s = {(1, 0,−1)}. 3x + 5y + z = 2.

8.

{

4x − 4y = 23x − z = −1

.

9. (a) y (c) Se cruzan. (b) Se cortan en el punto (−9, 1, 3).

10. (a) (x, y, z) = (2, 3, 2) + λ(1, 5, 4); (b) (x, y, z) = (0,−1, 2) + λ(1,−3, 7).

11. π1 ∩ π2 ∩ π3 = r ≡ x−1

9= y+1

−7= z−1

4; π4 ‖ π1; y π4 ∩ π2 = s1 y π4 ∩ π3 = s2 con

s1 ‖ s2.

12. x1 − 2x2 + x3 − x4 = −2.

13. π1 ∩ π2 =

{

∅ (se cruzan) , si a = 4

P(

a+8

a−4, 6

a−4, 10−a

a−4, −a−8

a−4

)

, si a 6= 4.

14. a = 6.

15. 3x1 + 7x2 − 2x3 − x4 = −4.

16. Recta: (x1, x2, x3, x4) = (2,−1, 1, 1) + α(0, 1,−1, 0).Hiperplano: 2x1 − 6x2 − 6x3 − x4 = 3.

4 Aplicaciones lineales

4.1 Aplicacion lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K (en general, R o C). Una aplicacionf : V −→ W se llama aplicacion lineal u homomorfismo si

• f(u + v) = f(u) + f(v), ∀u,v ∈ V .

• f(αu) = αf(u), ∀u ∈ V , ∀α ∈ K.

Estas dos condiciones son equivalentes a la unica condicion:

f(αu + βv) = αf(u) + βf(v) , ∀u,v ∈ V , ∀α, β ∈ K

4.2 Ejemplos

1. Las siguientes aplicaciones, f : R2 −→ R

2, son aplicaciones lineales:

(a) Homotecia: f(u) = λu, con λ ∈ R.

(b) Proyeccion: f(x, y) = (x, 0).

(c) Simetrıa: f(x, y) = (x,−y)

2. Si A ∈ Mm×n(R), la aplicacion f : Rn −→ R

m definida por f(u) = Au es una aplicacionlineal (asociada a la matriz A). Obviamente, para que tenga sentido el producto Au, seentiende que el vector u se escribe en columna, como se hara siempre que este implicadoen operaciones matriciales.

3. La aplicacion lineal asociada a la matriz A =

1 −11 0−1 2

es f : R2 −→ R

3 definida por:

f(x, y) =

1 −11 0−1 2

(

x

y

)

=

x − y

x

−x + 2y

=⇒

x′ = x − y

y′ = x

z′ = −x + 2y

4.3 Propiedades

Si f : V −→ W es una aplicacion lineal, se cumple:

1. f(0) = 0.

2. f(−u) = −f(u).

3. S subespacio vectorial de V =⇒ f(S) es subespacio vectorial de W .

4. T subespacio vectorial de W =⇒ f−1(T ) es subespacio vectorial de V .

4.4 Nucleo e imagen de una aplicacion lineal

Si f : V −→ W es una aplicacion lineal, se llama imagen al subespacio vectorial Im f = f(V ),y nucleo al subespacio vectorial Ker f = f−1({0}).

4.5 Definiciones

Una aplicacion lineal (homomorfismo) se llama monomorfismo si es inyectiva, epimorfismo

si es sobreyectiva, e isomorfismo si es biyectiva. Cuando los espacios inicial y final coinci-den, la aplicacion lineal y el isomorfismo se suelen llamar endomorfismo y automorfismo,respectivamente.

4.6 Condicion necesaria y suficiente de monomorfismo

Sea f : V −→ W es una aplicacion lineal. Entonces

f es monomorfismo ⇐⇒ Ker f = {0}

Demostracion:

(⇒) Si f es inyectiva, entonces:

f(u) = 0 =⇒ f(u) = f(0) =⇒ u = 0

luego Ker f = {0}.(⇐) Inversamente, si Ker f = {0}, entonces

f(u) = f(v) =⇒ f(u − v) = 0 =⇒ u − v = 0 =⇒ u = v

luego f es inyectiva.

4.7 Dimension del subespacio imagen

Sea f : V −→ W es una aplicacion lineal. Si B = {v1, v2, . . . ,vn} es una base de V , entonces

Im f = L ({f(v1), f(v2), . . . , f(vn)}) y, en consecuencia dim Im f ≤ dimV

Demostracion: Si w ∈ Im f , existe v = (x1, x2, . . . , xn)B ∈ V tal que

w = f(v) = f

(

n∑

i=1

xivi

)

=

n∑

i=1

xif (vi)

luego w ∈ L ({f(v1), f(v2), . . . , f(vn)}). Inversamente, si w ∈ L ({f(v1), f(v2), . . . , f(vn)}),entonces

w =n

∑

i=1

αif(vi) = f

(

n∑

i=1

αivi

)

y v =n

∑

i=1

αivi ∈ V

luego w ∈ Im f .

4.8 Determinacion de una aplicacion lineal

Si B = {v1, v2, . . . ,vn} es una base de V y {w1, w2, . . . ,wn} son n vectores cualesquiera deW , entonces existe una unica aplicacion lineal f : V −→ W tal que

f(vi) = wi , para 1 ≤ i ≤ n

Demostracion: Para cada v =∑n

i=1xivi ∈ V se define

f(v) =n

∑

i=1

xiwi

Es facil ver que f es aplicacion lineal y que f(vi) = wi, para 1 ≤ i ≤ n. Ademas es unica, puessi g : V −→ W verifica la misma condicion, entonces

g(v) = g

(

n∑

i=1

xivi

)

=n

∑

i=1

xig(vi) =n

∑

i=1

xiwi = f(v)

4.9 Observaciones

Si f : Rn −→ R

m viene definida por f(u) = Au, A ∈ Mm×n(R), entonces

• Ker f son las soluciones del sistema homogeneo Au = 0.

• Si B = {e1, e2, . . . , en} es la base canonica de Rn, entonces

Im f = L ({f(e1), f(e2), . . . , f(en)}) = L ({c1, c2, . . . , cn})

donde ci es la columna i-esima de la matriz A.

4.10 Ejemplo

Si f : R3 −→ R

3 es la aplicacion lineal asociada a la matriz A =

1 0 10 1 01 1 1

, entonces

Im f = L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}) = L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1)})

Ker f = {u : Au = 0} = L ({(1, 0,−1)})

ya que

1 0 10 1 01 1 1

−→

1 0 10 1 00 0 0

=⇒

x = λ

y = 0z = −λ

, λ ∈ R

4.11 Matriz de una aplicacion lineal

Como se ha visto, una aplicacion lineal f : V −→ W queda unıvocamente determinada por lasimagenes de los elementos de una base BV = {v1, v2, . . . ,vn} de V . Si BW = {w1, w2, . . . ,wm}es una base de W , y

f(vj) =m

∑

i=1

aijwi , 1 ≤ j ≤ n

entonces la imagen de cualquier u = (x1, x2, . . . , xn)BV∈ V , expresada en la base BW de W , es

f(u) = f

n∑

j=1

xjvj

=

n∑

j=1

xjf(vj) =

n∑

j=1

xj

m∑

i=1

aijwi =

m∑

i=1

n∑

j=1

aijxj

wi

=

∑nj=1

a1jxj∑n

j=1a2jxj

...∑n

j=1amjxj

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

x1

x2

...xn

= Au

donde las columnas de la matriz A ∈ Mm×n(R), llamada matriz de la aplicacion respectode las bases BV y BW , son las coordenadas en la base BW de las imagenes de los vectores de labase BV . Se suele indicar A = M (f, BV , BW ).Fijadas las bases BV y BW , a cada aplicacion lineal le corresponde una matriz y viceversa.En el caso particular de que V = W y que la base B en ambos es la misma, se indica simplementeA = M(f,B).

4.12 Ejemplo

La expresion matricial de la aplicacion lineal f : R4 −→ R

3 definida, respecto de las basescanonicas, por

f (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x4, x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3)

es

f (x1, x2, x3, x4) =

1 0 0 11 1 1 01 1 1 0

x1

x2

x3

x4

Para hallar el nucleo, se resuelve el sistema:

f(u) = Au = 0 =⇒

{

x1 + x4 = 0x1 + x2 + x3 = 0

=⇒

x1 = α

x2 = β

x3 = −α − β

x4 = −α

, α, β ∈ R

de donde Ker f = {(1, 0,−1,−1), (0, 1,−1, 0)}. La imagen es

Im f = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} = {(1, 0, 0), (0, 1, 1)}

4.13 Dimensiones de la imagen y el nucleo

Si f : V −→ W es una aplicacion lineal, entonces

dim(Ker f) + dim(Im f) = dimV

Demostracion: Sean dimV = n, dim(Ker f) = r ≤ n, y

B1 = {v1, . . . ,vr} una base del Ker f

B = {v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn} una base de V

Entonces B2 = {f(vr+1), . . . , f(vn)} es una base de Im f , ya que

• B2 es un sistema de generadores:

w ∈ Im f =⇒ w = f(v) con v =

n∑

i=1

xivi ∈ V

=⇒ w = f(v) = f

(

n∑

i=1

xivi

)

=n

∑

i=1

xif(vi) =n

∑

i=r+1

xif(vi)

• B2 es linealmente independiente:

n∑

i=r+1

αif(vi) = f

(

n∑

i=r+1

αivi

)

= 0 =⇒n

∑

i=r+1

αivi ∈ Ker f =⇒n

∑

i=r+1

αivi =r

∑

i=1

(−αi)vi

=⇒n

∑

i=1

αivi = 0 =⇒ αi = 0 , 1 ≤ i ≤ n =⇒ αi = 0 , r + 1 ≤ i ≤ n

Por lo tanto dim(Ker f) + dim(Im f) = dimV .

4.14 Rango de una aplicacion lineal

Si A es la matriz asociada a una aplicacion lineal f : V −→ W , respecto de las bases BV y BW ,entonces, puesto que el nucleo es el espacio de soluciones del sistema Au = 0, se ha de cumplirque

dim(Ker f) = dimV − rg A =⇒ dim(Im f) = rg A

Luego el rango de cualquier matriz asociada a f (respecto de bases cualesquiera), que se llamarango de la aplicacion lineal, ha de ser constante e igual a la dimension de la imagen.

4.15 Proposicion

Si f : V −→ W es una aplicacion lineal con dimV = dimW = n < ∞, entonces

f es isomorfismo ⇐⇒ f es monomorfismo ⇐⇒ f es epimorfismo

Demostracion:

f es epimorfismo ⇐⇒ dim(Im f) = dimW = n ⇐⇒ dim(Ker f) = 0 ⇐⇒ f es monomorfismo

4.16 Composicion de aplicaciones lineales

Si f : U −→ V y g : V −→ W son aplicaciones lineales, entonces g ◦f : U −→ W es aplicacionlineal, y

M(g ◦ f,BU , BW ) = M(g,BV , BW ) · M(f, BU , BV )

Demostracion: Sean A = M(g ◦ f,BU , BW ), B = M(g,BV , BW ) y C = M(f, BU , BV ).Entonces

(g ◦ f) (uBU) = g (f (uBU

)) = g(

(Cu)BV

)

= (BCu)BW=⇒ A = BC

4.17 Ejemplo

Si f : R2 −→ R

3 y g : R3 −→ R

2 vienen definidas por

f(x, y) =

1 −10 −1−1 1

(

x

y

)

g(x, y, z) =

(

1 0 10 1 0

)

x

y

z

respecto de las bases canonicas, entonces g ◦ f : R2 −→ R

2 y f ◦ g : R3 −→ R

3 vienen definidaspor

g ◦ f(x, y) =

(

1 0 10 1 0

)

1 −10 −1−1 1

(

x

y

)

=

(

0 00 −1

)(

x

y

)

=

(

0−y

)

f ◦ g(x, y, z) =

1 −10 −1−1 1

(

1 0 10 1 0

)

x

y

z

=

1 −1 10 −1 0−1 1 −1

x

y

z

=

x − y + z

−y

−x + y − z

respecto de las bases canonicas.

4.18 Matriz de un cambio de base

Sea V un espacio vectorial de dimension n y sean

B = {v1, . . . ,vn} y B′ ={

v′

1, . . . ,v′

n

}

dos bases de V . La aplicacion que hace corresponder a cada vector u ∈ V en la base B el mismovector expresado en la base B′ es la apl8icacion identidad:

Id : V B −→ V B′

uB −→ uB′ = AuB

donde A ∈ Mn×n(R) es la matriz cuya columna i-esima es la imagen de vi, es decir las coorde-nadas de vi en la base B′.Puesto que esta aplicacion es un isomorfismo, rg A = n y la matriz A es regular. Su inversa A−1

es la que pasa de las coordenadas respecto de B′ a las coordenadas respecto de B. Resumiendo:

A = M(Id, B,B′) = ((v1)B′ , . . . , (vn)B′) y AuB = uB′

A−1 = M(Id, B′, B) =(

(v′

1)B, . . . , (v′

n)B

)

y A−1uB′ = uB

4.19 Ejemplo

Si en R3 se considera la base canonica Bc = {e1, e2, e3} y la base

B = {v1 = (1, 0,−1),v2 = (0, 1, 2),v3 = (1, 1, 0)}

entonces

A = M(Id, B,Bc) =

1 0 10 1 1−1 2 0

y uBc= AuB

De esta manera, si u = (3, 2,−1)B, entonces

uBc=

1 0 10 1 1−1 2 0

32−1

=

211

es decir u = (2, 1, 1)Bc= (2, 1, 1). Ademas:

A−1 = M(Id, Bc, B) =

2 −2 11 −1 1−1 2 −1

y uB = A−1uBc

de donde e1 = (2, 1,−1)B, e2 = (1,−1, 1)B y e3 = (−1, 2,−1)B.

4.20 Cambios de base en una aplicacion lineal

Sea f : V −→ W una aplicacion lineal cuya matriz, respecto de las bases BV en V y BW enW , es A. ¿Cual es la matriz de f respecto de nuevas bases B′

V en V y B′

W en W?Sean P = M(IdV , B′

V , BV ) y Q = M(IdW , B′

W , BW ) las matrices del cambio de base en V yW , respectivamente. Observando el diagrama

V BVA

−−−−→ WBW

x

P

yQ−1

V B′

VC

−−−−→ WB′

W

se deduce queC = M

(

f,B′

V , B′

W

)

= Q−1AP

4.21 Ejemplo

Sea f : R3 −→ R

3 la aplicacion lineal que respecto de la base canonica Bc tiene asociada lamatriz

A = M (f,Bc, Bc) = M (f, Bc) =

1 0 21 −1 31 1 1

, es decir f(x, y, z) =

1 0 21 −1 31 1 1

x

y

z

1. ¿Cual es la matriz de f respecto de la base

B = {v1 = (1, 0,−1),v2 = (0, 1, 2),v3 = (1, 1, 0)} ?

Se construye el diagrama

(R3)BcA

−−−−→ (R3)Bc

x

P

yP−1

(R3)B C−−−−→ (R3)B

donde P = M (Id, B, Bc) =

1 0 10 1 1−1 2 0

y entonces

C = M(f, B, B) = M(f,B) = P−1AP =

2 1 41 2 3−3 3 −3

es decir, que si u = (x, y, z)B entonces su imagen, tambien expresada en la base B, es

f(x, y, z) =

2 1 41 2 3−3 3 −3

x

y

z

2. ¿Cual es la matriz de f respecto de la base B en el espacio inicial y la base canonica en elespacio final? Siendo I la matriz identidad, el nuevo diagrama, y la matriz buscada, son

(R3)BcA

−−−−→ (R3)Bc

x

P

yI

(R3)B D−−−−→ (R3)Bc

de donde D = M(f, B, Bc) = IAP = AP =

−1 4 1−2 5 00 3 2

Tema 4: Aplicaciones lineales

Ejercicios

1. Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones:

(a) f : R2 −→ R

3, definida por f(x, y) = (x + y, x − y, x).

(b) f : R −→ R2, definida por f(x) = (−3x, 2x).

(c) f : R2 −→ R

2, definida por f(x, y) = (x + y, 1).

(d) f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = xy.

(e) f : R2 −→ R

2, definida por f(x, y) = (x cos φ − y sen φ, x sen φ + y cos φ), con0 ≤ φ < 2π.

(f) f : R3 −→ P2(R), definida por f(a, b, c) = a + bx + cx2.

2. Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones:

(a) f : Mn×n(R) −→{

A ∈ Mn×n(R) : A = At}

, definida por f(A) = A+At

2(At

es la matriz traspuesta de A).

(b) f : M2×2(R) −→{

A ∈ M2×2(R) : A = At}

, definida por f(A) = AAt.

(c) f : Pn(R) −→ Pn(R), definida por f(p(x)) = p(x + 1).

(d) f : Pn(R) −→ Pn(R), definida por f(p(x)) = p(x) + 1.

3. Prueba que las siguientes aplicaciones, definidas sobre el espacio vectorial de lospolinomios P(R), son lineales. Obten la imagen y el nucleo de cada una de ellas.

(a) f(p(x)) = p′(x) (b) g(p(x)) =

∫ x

0

p(t) dt

4. Sean f, g : R3 −→ R

2 definidas por

(a) f(1,−1, 0) = (2, 1), f(0,−1, 2) = (1, 1), f(3, 0, 1) = (0, 3).

(b) g(1,−1, 0) = (2, 1), g(0,−1, 2) = (1, 1), g(1,−2, 2) = (−1, 4), g(3, 0, 1) = (0, 3).

Averigua si son homomorfismos y, en caso afirmativo, si son monomorfismo, epimor-fismo o isomorfismo.

5. Sea f : P3(R) −→ P2(R) definida sobre el conjunto

{

p1 = 1 + x2 + 2x3, p2 = 1 + x, p3 = 1 + x3, p4 = x − x3}

como f(p1) = x − 1, f(p2) = 1 + 3x2, f(p3) = x2 y f(p4) = 1.

(a) ¿Es aplicacion lineal?

(b) ¿Existe una aplicacion lineal g : L ({p1,p2,p3}) −→ P2(R) tal que g(p1) =2x − 3, g(p2) = x2 − 1, g(p3) = 1 + x?

(c) Extiende la aplicacion g a una aplicacion lineal h : P3(R) −→ P2(R) tal queh(pi) = g(pi), i = 1, 2, 3, y Kerh = L(

{

1 + x + x2}

).

6. Halla una aplicacion lineal f : R3 −→ R

3 tal que Ker f = {(x, y, z) : x + z = 0},f(1, 0, 0) sea proporcional a (0, 0, 1) y f ◦ f = f . ¿Es f unica?

7. Halla una aplicacion lineal f : R4 −→ R

3 tal que

Ker f = L ({(2, 1, 0, 1), (0, 1, 3, 0)}) Im f = L ({(0, 1, 2), (1, 1, 0)})

8. Halla una aplicacion lineal f : R3 −→ R

3 tal que

Ker f = L ({(0, 0, 1)}) Im f = L ({(1, 0, 1), (1, 1,−1), (2, 1, 0)})

9. En R3 se consideran los subespacios S = L ({(0, 1, 0), (1, 1, 0)}) y T = L ({(1, 0, 1)}).

(a) Expresa cada vector u = (x, y, z) ∈ R3 como suma de un vector uS ∈ S y otro

uT ∈ T .

(b) Demuestra que la aplicacion f : R3 −→ R

3, definida por f(u) = uS es lineal.

(c) Si L es un subespacio vectorial de R3 de dimension 2, ¿cual es la dimension de

f(L)?

10. (a) Sean f, g : V −→ V aplicaciones lineales. Prueba que Ker(g ◦ f) = f−1(ker g ∩Im f).

(b) Sea f : R3 −→ R

3 definida por f(x, y, z) = (x + 2z, x + 3y, 3y − 2z). Obtenuna base de f−1(ker f ∩ Im f).

11. Sea B = {v1,v2} una base de V , y f y g dos endomorfismos sobre V definidos por

{

f(v1) = −3v1 + v2

f(v2) = v1 − v2

{

g(v1) = v1 + v2

g(v2) = v1

Encuentra las matrices, respecto de la base B, asociadas a f , g, f ◦g, g◦f y 2f2−3g2.

12. Sea f : R3 −→ R

3 la aplicacion lineal cuya matriz, respecto de la base canonica

{e1, e2, e3}, es

1 3 20 1 12 −1 0

. Calcula f(e1), f(e2), f(e3) y f(e1 + 2e2 − e3). ¿Es

un isomorfismo?

13. Sea f : R3 −→ R

3 la aplicacion lineal cuya matriz, respecto de la base canonica es

2 0 −13 1 −1−1 1 1

. Encuentra bases de la imagen y del nucleo.

14. Encuentra la matriz, respecto de las bases usuales en los correspondientes espacios,de las siguientes aplicaciones lineales:

(a) f : M2×2(R) −→ M2×1(R), definida por f(A) = A

(

1−1

)

.

(b) f : M2×2(R) −→ M2×2(R), definida por f(A) = A

(

1 10 1

)

−

(

1 10 1

)

A.

(c) f : P3(R) −→ P3(R), definida por f(1) = x2 + 1, f(x) = x + 2, f(x2) = x3 − xy f(x3) = 1.

(d) f : P3(R) −→ R2, definida por f(p(x)) =

(

p(1),∫

1

0p(x) dx

)

.

15. Sea f : P3(R) −→ M2×2(R) definida por f(a + bx + cx2 + dx3) =

(

a a + bc − d a − b

)

.

Obten la matriz de la aplicacion lineal, su imagen y su nucleo.

16. Sea f : R3 −→ R

4 la aplicacion lineal de ecuaciones

y1 = x + 2zy2 = −x − y − zy3 = 2y − 3zy4 = x − z

(a) Halla las ecuaciones parametricas e implıcitas de Ker f e Im f .

(b) Si T = L ({(1, 1,−1, 0), (0, 1, 1, 2)}), halla las ecuaciones parametricas e implı-citas de f−1(T ).

17. Sean f : R3 −→ M2×2(R) y g : M2×2(R) −→ P3(R) las aplicaciones definidas por

f(x1, x2, x3) =

(

x1 − x2 x2

x2 x2 − x3

)

g(A) =(

1 x)

A

(

xx2

)

(a) Prueba que son aplicaciones lineales.

(b) Halla sus matrices respecto de las bases usuales. ¿Cuales son sus rangos?

(c) Halla sus nucleos e imagenes.

(d) Halla la matriz de g ◦ f , su rango, y su nucleo e imagen.

18. En R3 se define el endomorfismo f cuya matriz, respecto de la base canonica, es

Aa =

a 1 11 a 11 1 a

.

(a) Halla los valores de a para los que f no es automorfismo. En estos casos, hallabases del nucleo y de la imagen.

(b) Para a = 2, encuentra un vector u 6= 0 tal que f(u) ∈ L({u}).

19. Sea M el subespacio vectorial de M2×2(R) definido por

M =

{(

α + β 2α − β−α α + 2β

)

: α, β ∈ R

}

(a) Construye f : M2×2(R) −→ R3 tal que Ker f = M .

(b) ¿Existe f : M2×2(R) −→ R3 que verifique (a) y sea epimorfismo?

20. Sea f : R3 −→ R

3 una aplicacion lineal tal que f(0, 0,−1) = (2,−5,−3) y f(v) =3v, para todo v ∈ S = {(x, y, z) : x + z = 0}. Halla su matriz respecto de la base

canonica y f−1(r) donde r es la recta de ecuaciones

{

2x + 4y + 3z = 0x + 2y + z = 0

.

21. Sea f : R3 −→ R

4 la aplicacion lineal definida por la matriz A =

1 2 10 1 0−1 1 01 −1 −1

.

(a) Halla el valor de a para que (1, a,−a, 0) ∈ Im f .

(b) Halla f−1(1, 0, 0, 0).

(c) En R3 se considera el subespacio vectorial U generado por la base B1 =

{(1, 1, 1), (1, 1, 0)} y en R4 el subespacio vectorial V generado por la base

B2 = {(1, 0, 0,−1), (1, 1, 1,−1), (2, 0,−1, 1)}. Halla la matriz de f : U −→ Vrespecto de las bases dadas.

22. Halla las matrices del cambio de base de B1 a B2 en los siguientes casos:

(a) B1 = {(1,−1), (3, 1)} y B2 = {(1, 0), (0, 1)}.

(b) B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B2 = {(2, 3, 4), (1, 2, 6), (1, 3, 5)}.

23. Sea V un espacio vectorial de dimension 3 sobre R, y sean B = {e1, e2, e3} y B′ ={e′1, e

′

2, e′

3} dos bases de V relacionadas por las ecuaciones:

e′1 = 2e1 − e2 − e3 e′2 = −e2 e′3 = 2e2 + e3

Encuentra los vectores de V que tienen las mismas coordenadas respecto de ambasbases.

24. Sea f : R3 −→ R

3 una aplicacion lineal tal que: f(1, 1, 1) = (1, 1, 0), f(−1, 1, 1) =(0, 0, 1) y f(−1,−2, 1) = (0, 0, 0).

(a) Halla su matriz respecto de la base canonica.

(b) Halla su matriz respecto de la base B = {((1, 1, 1), (−1, 1, 1), (−1,−2, 1)}.

25. Sean A =

(

0 13 1

)

, B =

(

1 02 0

)

, C =

(

4 13 2

)

, D =

(

5 02 1

)

, S = L({A,B,C}) y

g : S −→ P2(R) definida por g(A) = x, g(B) = x2 + 1 y g(C) = x2 + x + 1.

(a) Halla bases del nucleo e imagen de g. Halla las ecuaciones de g respecto delas bases B1 = {A, B,C} y B2 =

{

1, x, x2}

, y respecto de las bases B3 ={

A,B, E =

(

3 0−2 1

)}

y B4 ={

x, x2 + 1, 1}

.

(b) Estudia si existe algun homomorfismo f : S −→ P2(R) tal que f(A) = x,f(B) = x2 + 1, f(C) = x2 + x + 1 y f(D) = 2x2 + x.

26. Sea B = {e1, e2, e3} la base canonica de R3 y f : R

3 −→ R3 definida por

f(e1) + f(e2) = ae1 + (a + 1)e2 + e3

f(e1) + f(e3) = −e1 + ae2 + 2e3

f(e3) = −e1 + e3

(a) Halla la matriz de f respecto de B. ¿Para que valores de a es f biyectiva?

(b) Para a = 1 se considera el subespacio vectorial W = L({(1, 1, 0), (2, 0, 1)}). ¿EsKer f ⊕ W = R

3? ¿Es Im f ⊕ Ker f = R3? Calcula f−1(−2,−2, 0).

(c) Para a = 2, sea B′ = {u1 = e1 − e2,u2 = e3,u3 = 2e2 + e3}. Prueba que B′

es base y halla la matriz de f respecto de B′.

27. Sea f : R3 −→ R

3 una aplicacion lineal tal que dim(Im f) = 1, las ecuacionesdel Ker f respecto de la base B′ = {u1 = (1, 0, 0),u2 = (1, 1, 0),u3 = (1, 1, 1)} son{

x′ + y′ = 0ax′ − y′ + (a + 1)z′ = 0

, y tal que existe v = (b, 0, 0) 6= (0, 0, 0) verificando que

f(v) = f2(v) = u1 +u2 +u3. Halla las ecuaciones de f respecto de la base canonica.

28. Sea fk : R3 −→ R

3 una aplicacion lineal cuya matriz respecto de la base canonica

es

1 0 1−1 k 02 −1 1

, k ∈ R.

(a) ¿Para que valores de k es fk isomorfismo?

(b) Halla, si es posible, bases respecto de las cuales la matriz de f1 es

1 0 00 1 00 0 0

.

(c) Halla f−1(S) donde S = L ({(2, 1,−1), (−3, 2, 1)}).

29. Sea f : R3 −→ R

3 una aplicacion lineal y B = {e1, e2, e3} la base canonica. Sabi-endo que dim(Ker f) = 2, e1 − e2 ∈ Im f , f2 = f y que la matriz de f respecto deB coincide con la matriz de f respecto de B′ = {u1,u2,u3}, siendo B′ la base de R

3

tal que u1 = 2e1 − e2, u2 = −e1 + 2e2 y u3 = e1 + e2 + 2e3.

(a) Halla la matriz de f respecto de B.

(b) Halla las ecuaciones implıcitas de Ker f y de Im f .

30. Sea f : M2×2(R) −→ P2(R) la aplicacion lineal definida por

f

(

a bc d

)

= a(x + x2) + bx + dx2

(a) Halla la matriz de f respecto de las bases usuales.

(b) Halla una base de Im f , y un suplementario de Im f en P2(R).

(c) Halla una base de S = Ker f , un suplementario T de S en M2×2(R), y escribe

la matriz

(

2 46 8

)

como suma de una de S y otra de T .

(d) Comprueba que B =

{

M1 =

(

2 −20 −2

)

,M2 =

(

1 −11 −1

)}

es una base de S y

halla las coordenadas de M3 =

(

2 −23 −2

)

respecto de dicha base.

(e) Amplıa la base B = {M1,M2} a una base de M2×2(R), de forma que las dosprimeras coordenadas de M1, M2 y M3 respecto de dicha base sean nulas.

(f) Halla f−1(

L({

3x + 4x2}))

.

31. Sean U = L ({(1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 1)}), V = L ({(0, 0, 0, 1), (−1, 1,−1, 0)})y f : U −→ V definida por f(1, 1, 1, 0) = (0, 0, 0, 1), f(0, 1, 1, 1) = (−1, 1,−1, 1) yf(1, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0).

(a) Obten bases de U y V de forma que al colocar los vectores de dichas bases comofilas de una matriz, se obtenga una forma canonica por filas.

(b) Halla la matriz de f respecto de las bases obtenidas en el apartado anterior.

Soluciones

1. (a), (b), (e) y (f) son aplicaciones lineales, mientras que (c) y (d) no lo son.

2. (a) y (c) son aplicaciones lineales, mientras que (b) y (d) no lo son.

3. (a) Im f = P(R) y Ker f = P0(R) = R.(b) Im f = {q(x) ∈ P(R) : q(0) = 0} y Ker f = {0}.

4. f es epimorfismo, y g no es homomorfismo.

5. (a) No, pues p4 = p2 − p3 y f(p4) 6= f(p2) − f(p3).(b) Si, pues {p1,p2,p3} es base del subespacio que generan.(c) h viene definida sobre la base B =

{

p1,p2,p3,p4 = x3}

como h(pi) = g(pi),i = 1, 2, 3, y h(p4) = −5 + x + x2.

6. Es unica: f(1, 0,−1) = f(0, 1, 0) = 0 y f(1, 0, 0) = (0, 0, 1).

7. No es unica. Por ejemplo: f(x1, x2, x3, x4) =

−1/2 0 0 11 −3 1 13 −6 2 0

x1

x2

x3

x4

.

8. Respecto de la base canonica: f(x, y, z) =

1 0 00 1 01 −2 0

xyz

.

9. (a) uS = (x − z, y, 0) y uT = (z, 0, z). (b) Es lineal.(c) La dimension de f(L) es 1 (si T ⊂ L) o 2 (si T ∩ L = {0}).

10. (b) {(6,−2,−3)}.

11. M(f) =

(

−3 11 −1

)

, M(g) =

(

1 11 0

)

, M(f ◦g) =

(

−2 −30 1

)

, M(g◦f) =

(

−2 0−3 1

)

y M(2f2 − 3g2) =

(

14 −11−11 1

)

.

12. f(e1) = (1, 0, 2), f(e2) = (3, 1,−1), f(e3) = (2, 1, 0) y f(e1 + 2e2 − e3) = (5, 1, 0).Es un isomorfismo.

13. {(1, 1,−1), (0, 1, 1)} es base de la imagen y {(1,−1, 2)} del nucleo.

14. (a)

(

1 −1 0 00 0 1 −1

)

. (b)

0 0 −1 01 0 0 −10 0 0 00 0 1 0

. (c)

1 2 0 10 1 −1 01 0 0 00 0 1 0

.

(d)

(

1 1 1 11 1/2 1/3 1/4

)

.

15.

1 0 0 01 1 0 00 0 1 −11 −1 0 0

; Im f =

{(

α α + βγ α − β

)

: α, β, γ ∈ R

}

; Ker f = L({

x2 + x3})

.

16. (a) Ker f = {0}.

Im f :

y1 = αy2 = −α + βy3 = −2β + γy4 = α + 3γ

, α, β, γ ∈ R; 7y1 + 6y2 + 3y3 − y4 = 0.

(b) f−1(T ):

x = 11αy = −5αz = −9α

, α ∈ R;

{

3x + 3y + 2z = 05x + 2y + 5z = 0

.

17. (b) M(f) =

1 −1 00 1 00 1 00 1 −1

; M(g) =

0 0 0 01 0 0 00 1 1 00 0 0 1

; rg M(f) = rg M(g) = 3.

(c) Im f = L

({(

1 00 0

)

,

(

0 11 0

)

,

(

0 00 1

)})

; y Ker f = {0}.

Im g = L({

x, x2, x3})

; y Ker g = L

({(

0 1−1 0

)})

.

(d) M(g ◦ f) =

0 0 01 −1 00 2 00 1 −1

; rg M(g ◦ f) = 3; Im(g ◦ f) = L({

x, x2, x3})

; y

Ker(g ◦ f) = {0}.

18. (a) a = 1 y a = −2. Para a = 1, BIm f = {(1, 1, 1)} y BKer f = {(1,−1, 0), (1, 0,−1)}.Para a = −2, BIm f = {(1, 1,−2), (0, 1,−1)} y BKer f = {(1, 1, 1)}. (b) u = (1,−1, 0).

19. (a) No es unica. Por ejemplo: f

(

a bc d

)

=(

0, a+b3

+ c, −5a+b3

+ d)

; (b) No.

20. M(f,Bc) =

1 0 −25 3 50 0 3

; y f−1(r) = L ({(6,−11, 0)}).

21. (a) a = 1/5; (b) f−1(1, 0, 0, 0) = ∅; (c)

1 01 11 1

.

22. (a)

(

1 3−1 1

)

; (b) 1

9

8 −1 −13 −6 3

−10 8 −1

.

23. {u = (0, α, α) : α ∈ R}.

24. (a) 1

6

3 0 33 0 3−3 2 1

; (b) 1

6

3 3 0−1 1 0−2 2 0

.

25. (a) BIm g ={

x, 1 + x2}

y BKer g =

{(

−3 02 −1

)}

.

g : (a, b, c)B1−→ (α, β, γ)B2

con

α = b + cβ = a + cγ = b + c

.

g : (a, b, e)B3−→ (α, β, γ)B4

con

α = aβ = bγ = 0

.

(b) No existe.

26. (a) M(f,B) =

0 a −1a 1 01 0 1

; f es biyectiva si a 6= ±1.

(b) Ker f ⊕ W = R3 y Ker f ⊕ Im f = R

3; f−1(−2,−2, 0) = (0,−2, 0) + Ker f .

(c) M(f, B′) = 1

2

−4 −2 63 3 −3−1 −1 5

.

27. f(x, y, z) =(

3x−3z2

, x − z, x−z2

)

.

28. (a) k 6= 1. (b) B1 = {u1,u2,u3 = (1, 1,−1)} y B2 = {f(u1), f(u2),v3}.(c) f−1(S) = L ({(3, 8, 0), (−5, 0, 8)}).

29. (a) M(f,B) = 1

2

1 −1 0−1 1 00 0 0

.

(b) Im f ≡

{

x + y = 0z = 0

; Ker f ≡ x − y = 0.

30. (a)

0 0 0 01 1 0 01 0 0 1

.

(b) BIm f ={

x, x2}

. L({1}) es suplementario de Im f en P2(R).

(c) BS =

{(

1 −10 −1

)

,

(

0 01 0

)}

y, por ejemplo, BT =

{(

0 10 0

)

,

(

0 00 1

)}

. En este

caso:

(

2 46 8

)

=

(

2 −26 −2

)

+

(

0 60 10

)

.

(d) M3 = −1

2M1 + 3M2 = (−1/2, 3)B.

(e)

{(

0 10 0

)

,

(

0 00 1

)

,M1,M2

}

.

(f) f−1(

L({

3x + 4x2}))

= L

({(

−4 10 0

)

,

(

0 01 0

)

,

(

3 00 1

)})

.

31. (a) BU = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} y BV = {(1,−1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.

(b) M(f, BU , BV ) = 1

2

(

1 −1 −10 2 0

)

.

5 Diagonalizacion de endomorfismos

5.1 Endomorfismo

Se llama endomorfismo a una aplicacion lineal f : V −→ V de un espacio vectorial V en simismo.

5.2 Cambio de base en un endomorfismo

Sea V un espacio vectorial y f : V −→ V un endomorfismo cuya matriz respecto de la base B

(lo usual, en endomorfismos, es considerar la misma base en los espacios inicial y final) es A, esdecir:

f(u) = Au donde A = M(f,B,B) = M(f, B)

¿Cual es la matriz de f respecto de otra base B′? Si P = M(Id, B′, B) es la matriz del cambiode base de B′ a B, es decir la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de B′

en la base B, entonces

V B A−−−−→ V B

x

P

yP−1

V B′ C−−−−→ V B′

de donde C = M(f, B′) = P−1AP

y f(u) = Cu respecto de la base B′.

5.3 Endomorfismo o matriz diagonalizable

Un endomorfismo f sobre un espacio vectorial real V es diagonalizable si existe una baseB∗ respecto de la cual su matriz D = M(f, B∗) es diagonal, es decir si existe B∗ = {v1, . . . ,vn}y {λ1, . . . , λn} ⊂ R tales que f(vi) = λivi, 1 ≤ i ≤ n.Identificando el endomorfismo con su matriz real asociada, una matriz cuadrada A ∈ Mn×n(R)se dice diagonalizable si existe una matriz regular P ∈ Mn×n(R) tal que D = P−1AP esdiagonal.

Nota: Aunque aquı solo se consideran espacios vectoriales y matrices reales, con lo que seobtienen diagonalizaciones reales, todo lo que se diga es igualmente cierto para otro cuerpo K,con lo que se obtienen diagonalizaciones en K.

5.4 Autovalores y autovectores

Sea A la matriz asociada a un endomorfismo f sobre el espacio vectorial real V de dimension n.Se dice que λ ∈ R es autovalor si existe un vector v 6= 0, que se llamara autovector, tal quef(v) = Av = λv. Puesto que

Av = λv ⇐⇒ (A − λI)v = 0

que es un sistema homogeneo, la existencia del vector no nulo (solucion no nula del sistemahomogeneo) viene garantizada si

rg(A − λI) < n lo que equivale a que |A − λI| = 0

Por lo tanto, los autovalores de la matriz A (o endomorfismo asociado) son las raıces reales delpolinomio caracterıstico P (λ) = |A − λI| = 0, y los autovectores asociados son los vectoresno nulos del nucleo de la aplicacion asociada a la matriz A − λI.Se llama espectro de A, que se representa por σ(A), al conjunto de todos sus autovalores, ysubespacio propio asociado al autovalor λ a todos sus autovectores asociados mas el vectornulo, es decir a

S(λ) = {v : (A − λI)v = 0} = Ker(A − λI)

5.5 Ejemplo

Sea f : R3 −→ R

3 el endomorfismo asociado a la matriz A =

0 0 1−4 2 2−2 0 3

, respecto de la base

canonica. El polinomio caracterıstico, y sus raıces, son

P (λ) = |A − λI| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−λ 0 1−4 2 − λ 2−2 0 3 − λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −(λ − 2)2(λ − 1) = 0 =⇒

{

λ = 1, con m(1) = 1λ = 2, con m(2) = 2

donde m(λ) indica la multiplicidad del autovalor λ. El espectro es σ(A) = {1, 2}.Los subespacios propios asociados a estos autovalores son:

S(1) = Ker(A − I) =

v :

−1 0 1−4 1 2−2 0 2

x

y

z

= 0

=

{

v :x − z = 0

y − 2z = 0

}

= L ({(1, 2, 1)})

S(2) = Ker(A − 2I) =

v :

−2 0 1−4 0 2−2 0 1

x

y

z

= 0

= {v : 2x − z = 0}

= L ({(1, 0, 2), (0, 1, 0)})

Es facil comprobar que los autovectores v1 = (1, 2, 1) ∈ S(1), v2 = (1, 0, 2) ∈ S(2), y v3 =(0, 1, 0) ∈ S(2) forman base. Puesto que f(v1) = v1, f(v2) = 2v1 y f(v3) = 2v3, la matrizrespecto de esta base B = {v1,v2,v3} es

D = M(f, B) =

1 0 00 2 00 0 2

que es diagonal, luego el endomorfismo f y la matriz A son diagonalizables. Para relacionar lasmatrices A y D se recurre al diagrama:

(R3)BcA

−−−−→ (R3)Bc

x

P

yP−1

(R3)B D−−−−→ (R3)B

donde P = M(Id, B, Bc) =

1 1 02 0 11 2 0

Es facil comprobar la relacion D = P−1AP .Es inmediato de las definiciones la siguiente caracterizacion:

5.6 Caracterizacion de endomorfismo diagonalizable

Un endomorfismo f sobre un espacio vectorial real V , de dimension n, es diagonalizable si ysolo si existen n autovalores reales (algunos de ellos pueden ser iguales) y una base formada porautovectores.

5.7 Independencia de autovectores asociados a distintos autovalores

Autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes.Demostracion: Sea f un endomorfismo sobre V , y u y v autovectores asociados, respectiva-mente, a los autovalores λ y µ, λ 6= µ. Entonces

αu + βv = 0 =⇒

{

f(αu + βv) = f(0) = 0

λ(αu + βv) = 0=⇒

{

αλu + βµv = 0

αλu + βλv = 0=⇒

=⇒ β(λ − µ)v = 0 =⇒ β = 0 =⇒ α = 0

Luego u y v son linealmente independientes.

5.8 Algoritmo de diagonalizacion

Sea f el endomorfismo sobre V asociado a la matriz A. El algoritmo que hay que seguir paradiagonalizar es:

• Se resuelve la ecuacion P (λ) = |A − λI| = 0. Si alguna de sus raıces no es real, elendomorfismo no es diagonalizable.

• Para cada autovalor λ ∈ σ(A) se halla su subespacio propio S(λ) = Ker(A− λI), compro-bando que

dimS(λ) = m(λ) (multiplicidad de λ)

Si algun autovalor no verifica lo anterior, el endomorfismo no es diagonalizable.

• La base respecto de la que el endomorfismo es diagonal es la formada por la union de todaslas bases de los subespacios propios, y la matriz diagonal es aquella cuyos elementos son,y en el mismo orden, los autovalores asociados a cada autovector de la base.

5.9 Propiedades

1. El polinomio caracterıstico de un endomorfismo, respecto de cualquier base, es siempre elmismo.Demostracion: Si A y C son las matrices de un endomorfismo f respecto de dos basesdistintas, estan relacionadas por la matriz del cambio de base por una relacion del tipoC = P−1AP . Entonces:

|C − λI| =∣

∣P−1AP − λIP−1P∣

∣ =∣

∣P−1(A − λI)P∣

∣ =∣

∣P−1∣

∣ · |A − λI| · |P | = |A − λI|

pues∣

∣P−1∣

∣ = |P |−1.

2. La suma de todos los autovalores de una matriz, contando cada uno de ellos tantas vecescomo indica su multiplicidad, es igual a su traza.Demostracion: Sean λ1, . . . , λn los n autovalores de una matriz cuadrada A = (aij) de

dimension n. Puesto que los autovalores son las raıces del polinomio caracterıstico, se tieneque

|A − λI| = (a11 − λ) · . . . · (ann − λ) + Pn−2(λ) = (λ1 − λ) · . . . · (λn − λ)

donde Pn−2(λ) es un polinomio de grado menor o igual que n − 2 en λ. Igualando loscoeficientes de grado n − 1, en cada una de las dos expresiones anteriores, se obtiene:

(−1)n−1(a11 + . . . + ann) = (−1)n−1(λ1 + . . . + λn)

de dondeλ1 + . . . + λn = a11 + . . . + ann = traza(A)

3. El producto de todos los autovalores de una matriz, contando cada uno de ellos tantasveces como indica su multiplicidad, es igual a su determinante.Demostracion: Sean λ1, . . . , λn los n autovalores de una matriz cuadrada A = (aij) dedimension n. Entonces

|A − λI| = (λ1 − λ) · . . . · (λn − λ)

Haciendo λ = 0 en la expresion anterior, se obtiene:

|A| = λ1 · . . . · λn

5.10 Consecuencias inmediatas de las propiedades anteriores

• Los autovalores de un endomorfismo son los mismos respecto de cualquier base.

• Cualquier matriz de un endomorfismo, respecto de cualquier base, tiene la misma traza yel mismo determinante.

• Una matriz es singular si y solo si λ = 0 es autovalor.

Tema 5: Diagonalizacion de endomorfismos

Ejercicios

1. Halla los subespacios propios de cada una de las siguientes aplicaciones o matrices.¿Que representa geometricamente cada uno de ellos?(a) f(x, y) = (x, 2y); (b) g(x, y) = (x + y, 0); (c) h(x, y) = (2x − y, x − 2y); y

(d) A =

(

1 42 3

)

.

2. Halla los subespacios propios de cada una de las siguientes aplicaciones lineales:

(a) f(x, y, z) = (x, z,−y) ; (c) f(x, y, z) = (x − y + 3z, y − 3z,−z) ;

(b) f(x, y, z) = (x − y + 3z, 2y − 3z,−z) ; (d) f(x, y, z) = (x − y + z, 2y − z, z) .

3. ¿Es diagonalizable en R el endomorfismo f(x, y, z) = (−z, 0, x)?

4. Siendo Bc = {e1, e2, e3} la base canonica, estudia la diagonalizacion del endomor-fismo:

f(e1 − e2) = (−3,−2, 1) ; f(e1 + e3) = (−3,−3, 0) ; f(3e2 − 3e3) = (4, 3, 1)

5. Sea f el endomorfismo sobre R3 de ecuaciones:

x′ = 2x + y − zy′ = −x − yz′ = −x + y + 2z

(a) Halla una base de la imagen y otra del nucleo de f .

(b) Averigua si f es diagonalizable. En caso afirmativo, obten su forma diagonal yla matriz del cambio de base.

6. Sea A =

2 3 3a −1 −2a 0 1

. Estudia para que valores de a la matriz A es diagonalizable.

Calcula para a = 0 la matriz diagonal D y la matriz P tales que D = P−1AP .

7. (a) Determina, segun los valores de a y b, cuando es diagonalizable la matriz:

A =

a b 00 −1 00 0 1

.

(b) Determina, segun los valores de a, cuando los endomorfismos siguientes sondiagonalizables:

i. f(x, y, z) = (x − 2y − (2 + a)z, y + az, z).

ii. f(x, y, z) = (x + a(x − y + z), (a + 2)x − ay + (a − 1)z, 2x − y)

Diagonaliza en los casos posibles.

8. Sea f : R4 −→ R4 definida por f(x1, x2, x3, x4) = (x1, 2x1, x1, x1 + ax2). Calculaa ∈ R para que f sea diagonalizable y, en estos casos, halla una base B respecto dela cual la matriz de f sea diagonal.

9. Diagonaliza el endomorfismo f(a + bx + cx2 + dx3) = d + cx + bx2 + ax3.

10. Halla los autovalores y subespacios propios del endomorfismo f : P3(R) −→ P3(R)definido por f(p(x)) = p(x + 1).

11. Sea f : M2×2(R) −→ M2×2(R) una aplicacion lineal definida por f(A) = AF −FA

siendo F =

(

1 20 3

)

. Se pide:

(a) Ecuaciones de f en la base usual de M2×2(R).

(b) Base y ecuaciones implıcita de Ker f .

(c) Polinomio caracteıstico y espectro de f .

(d) La base de autovectores, si existe, respecto de la que la matriz de f es diagonal.

12. Halla la matriz de f : R3 −→ R3 respecto de la base canonica si sus autovalores son1, 2 y −1, y sus autovectores asociados (1, 1, 1), (0, 1, 2) y (1, 2, 1), respectivamente.

13. Halla la potencia An de cada una de las siguientes matrices:

(a) A =

1 1 00 2 0−2 1 3

; (b) A =

a b bb a bb b a

.

14. Sea f un endomorfismo sobre R3 y B = {e1, e2, e3} una base. Sabiendo que u1 =e1−e3 es un autovector, f(2e1 +e2 +2e3) = 3e1 +6e2 +3e3, f(2e1−e2) = −e1 +e3,y que la suma de sus autovalores es 2, calcula:

(a) Las ecuaciones de f respecto de la base B.

(b) Una base de autovectores de f respecto de la que su matriz sea diagonal.

15. De un endomorfismo sobre R3 se sabe que los vectores (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y(0, 0, 1) son autovectores, y que hay vectores que no lo son. Halla todos los autovec-tores del endomorfismo.

16. Sea f el endomorfismo definido sobre R4 cuya matriz asociada es

1 1 0 01 0 0 10 0 1 00 1 0 1

, y

sea U = L ({(1, 0,−2,−1)}).

(a) Comprueba que f(U) ⊂ U .

(b) Halla otro subespacio V , de R4, tal que f(V ) ⊂ V y {0} U V R4.

17. Se sabe que el endomorfismo f : R2 −→ R2 es diagonalizable, que (1, 2) y (3, 1) sonautovectores y que f(5,−5) = (2,−1). Halla sus autovalores y su matriz en la basecanonica.

18. Sea G =

{(

a bc d

)

: a, b, c, d ≥ 0, a + c = b + d = 1

}

.

(a) Estudia que matrices M ∈ G son diagonalizables.

(b) Para las matrices M ∈ G diagonalizables, obten P regular y D diagonal talesque M = P−1DP .

(c) Para cada M ∈ G, halla Mn.

Soluciones

1. (a) S(1) = L ({(1, 0)}) y S(2) = L ({(0, 1)}).(b) S(1) = L ({(1, 0)}) y S(0) = L ({(1,−1)}).(c) S(

√3) = L

({

(1, 2 −√

3)})

y S(−√

3) = L({

(1, 2 +√

3)})

.(d) S(−1) = L ({(2,−1)}) y S(5) = L ({(1, 1)}).Todos los subespacios propios son rectas que pasan por el origen.

2. (a) S(1) = L ({(1, 0, 0)}).(b) S(−1) = L ({(1,−1,−1)}), S(1) = L ({(1, 0, 0)}) y S(2) = L ({(1,−1, 0)}).(c) S(1) = L ({(1, 0, 0)}) y S(−1) = L ({(3,−6,−4)}).(d) S(1) = L ({(1, 0, 0), (0, 1, 1)}) y S(2) = L ({(1,−1, 0)}).

3. No es diagonalizable, pues tiene autovalores complejos.

4. No es diagonalizable, pues dimS(−1) 6= m(−1).

5. (a) BIm f = {(1, 0,−2), (0, 1,−3)} y BKer f = {(1,−1, 1)}(b) No es diagonalizable, pues dimS(0) 6= m(0).

6. La matriz A es diagonalizable si −3

8< a < −1

3y si a > −1

3.

Si a = 0, D = P−1AP con D =

−1 0 00 1 00 0 2

y P =

1 0 1−1 1 00 −1 0

.

7. (a) A es diagonalizable si si a = −1 y b = 0, caso en que ya es diagonal, y si a 6= −1

y b ∈ R con D =

a 0 00 1 00 0 −1

y P =

1 0 −b0 0 a + 10 1 0

.

(b-i) Para cualquier a ∈ R no es diagonalizable.

(b-ii) Es diagonalizable si a = 0, en cuyo caso D =

−1 0 00 1 00 0 1

y P =

0 1 11 2 01 0 2

.

8. Es diagonalizable si a = 0, y una base respecto de la cual es diagonal es B ={(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 2, 1, 1)}.

9. Si B ={

1 + x3, x + x2, 1 − x3, x − x2}

, la matriz es D =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

.

10. El unico autovalor es λ = 1 con m(1) = 4. S(1) = L({(1, 0, 0, 0)}).

11. (a) f(a, b, c, d) = (−2c, 2a + 2b − 2d,−2c, 2c).

(b) BKer f =

{(

−1 10 0

)

,

(

1 00 1

)}

;

{

a + b − d = 0c = 0

.

(c) P (λ) = λ2(λ − 2)(λ + 2); σ(f) = {−2, 0, 0, 2}.(d) B =

{(

−1 1−1 1

)

,

(

−1 10 0

)

,

(

1 00 1

)

,

(

0 10 0

)}

.

12. M(f,Bc) =

2 −2 13/2 −3 5/20 −2 3

.

13. (a) An =

1 2n − 1 00 2n 0

1 − 3n 2n − 1 3n

;

(b) An = 1

3

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

(a − b)n +

1 1 11 1 11 1 1

(a + 2b)n

.

14. (a) f(x, y, z) = (y + z, x + 2y + z, x + y); (b) B′ = {(1,−1, 1), (1, 0,−1), (1, 2, 1)}.

15. S(λ1) = L ({(1, 0, 0), (0, 1, 0)}) y S(λ2) = L ({(0, 0, 1)}), con λ1 6= λ2.

16. (b) S2 = L ({(1, 0, 0,−1), (0, 0, 1, 0)}).

17. σ(f) ={

1

4, 1

3

}

y M(f, Bc) =

(

7

20− 1

201

30

7

30

)

.

18. (a) Todas.(b) Si a = d = 1, D = M y P = I;

Si a 6= 1 o d 6= 1, D =

(

a + d − 1 00 1

)

y P =

(

1 d − 1−1 a − 1

)

.

(c) Si a = d = 1, Mn = I; y si a 6= 1 o d 6= 1, entonces

Mn =1

a + d − 2

(

(a + d − 1)n(a − 1) + (d − 1) −(a + d − 1)n(d − 1) + (d − 1)−(a + d − 1)n(a − 1) + (a − 1) (a + d − 1)n(d − 1) + (a − 1)

)

6 Espacios euclıdeos

6.1 Producto escalar. Espacio euclıdeo

Se llama producto escalar sobre un espacio vectorial real V a cualquier aplicacion

< · , ·> : V × V −→ R

(u,v) −→<u,v>

que verifica las siguientes propiedades:

• Conmutativa: <u,v>=<v,u>, ∀u,v ∈ V .

• Bilineal:{

<u, λv + µw>= λ <u,v> +µ <u,w>

<λv + µw,u>= λ <v,u> +µ <w,u>, ∀u,v,w ∈ V , ∀λ, µ ∈ R

• Definida positiva:{

<u,u>≥ 0 , ∀u ∈ V

<u,u>= 0⇐⇒ u = 0

Un espacio vectorial con un producto escalar definido sobre el se llama espacio euclıdeo.

6.2 Ejemplos

1. Si u = (x1, . . . , xn) y v = (y1, . . . , yn) son dos vectores de Rn en la base canonica, elproducto

<u,v>=n∑

i=1

xiyi

es un producto escalar, que se llama producto usual y se representa, simplemente, poru · v.

2. En R2, es un producto escalar:

<u,v>= ut

(1 11 2

)v =

(x1 y1

) (1 11 2

)(x2

y2

)

ya que es:

• Conmutativo: <u,v>=<u,v>t=

[ut

(1 11 2

)v

]t

= vt

(1 11 2

)u =<v,u>.

• Bilineal: <u, λv + µw>= ut

(1 11 2

)(λv + µw) = λ <u,v> +µ <u,w>, y por la

propiedad conmutativa se verifica tambien en la primera variable.

• Definido positivo: Si u = (x, y), < u,u >= (x + y)2 + y2 ≥ 0, y es cero solo six = y = 0.

Por el contrario, la aplicacion:

<u,v>= ut

(1 11 −1

)v

no es un producto escalar. Es bilineal y conmutativo pero no es definido positivo pues,por ejemplo, <(0, 1), (0, 1)>= −1 < 0.

3. En Rn la aplicacion definida por

<u,v>= utAv

con A ∈ Mn×n(R) simetrica (A = At) es siempre conmutativo y bilineal, por lo que seraun producto escalar si es definido positivo.

6.3 Matriz de Gram de un producto escalar

Sea V un espacio vectorial real de dimension n, B = {v1, . . . ,vn} una base, y < u,v > unproducto escalar sobre V . Entonces, si u = (x1, x2, . . . , xn)B y v = (y1, y2, . . . , yn)B,

<u,v> =<

n∑

i=1

xivi,

n∑

j=1

yjvj >=

n∑

i=1

xi <vi,

n∑

j=1

yjvj >=

n∑

i=1

xi

n∑

j=1

yj <vi,vj >

=(x1 x2 · · · xn

)

∑nj=1 yj <v1,vj >∑nj=1

yj <v2,vj >...∑n

j=1yj <vn,vj >

=(x1 x2 · · · xn

)

<v1,v1 > <v1,v2 > · · · <v1,vn >

<v2,v1 > <v2,v2 > · · · <v2,vn >...

......

<vn,v1 > <vn,v2 > · · · <vn,vn >

y1

y2

...yn

de donde

<u,v>= utGv con G =

<v1,v1 > <v1,v2 > · · · <v1,vn >

<v2,v1 > <v2,v2 > · · · <v2,vn >...

......

<vn,v1 > <vn,v2 > · · · <vn,vn >

que se llama matriz de Gram del producto escalar respecto de la base B.

6.4 Ejemplo

En Rn, la matriz de Gram del producto escalar usual, respecto de la base canonica, es la matrizidentidad:

u = (x1, x2, . . . , xn)v = (y1, y2, . . . , yn)

}=⇒ u · v =

n∑

i=1

xiyi =(x1 x2 · · · xn

)

1 0 · · · 00 1 · · · 0......

...0 0 · · · 1

y1

y2

...yn

6.5 Matrices de Gram respecto de bases distintas

Sea V un espacio vectorial euclıdeo, y sean G y G′ las matrices de Gram de su producto escalarrespecto de las bases B y B′, respectivamente, es decir:

<u,v>= utBGvB = ut

B′G′vB′

Si P =M(B′, B) es la matriz del cambio de base de B′ a B, entonces:

uB = PuB′

vB = PvB′

}=⇒<u,v>= ut

BGvB = (utB′P t)G(PvB′) = ut

B′(P tGP )vB′ = utB′G′vB′

Luego G′ = P tGP .

6.6 Propiedades de la matriz de Gram

Si G = (aij) ∈ Mn×n(R) es la matriz de Gram de un producto escalar, entonces

• G es simetrica (G = Gt), y

• aii > 0, para 1 ≤ i ≤ n,

por las propiedades conmutativa y definida positiva, respectivamente.

6.7 Normas, angulos y distancias

Sea V un espacio euclıdeo, y sea < · , ·> su producto escalar. Se llama norma, o longitud, delvector u ∈ V a

‖u‖ = √<u,u>

Se llama angulo que forman los vectores u,v ∈ V a

(u,v) = arccos<u,v>

‖u‖ · ‖u‖ , con 0 ≤ (u,v) ≤ 180◦,

que esta bien definido, pues

‖u+ λv‖2 =<u+ λv,u+ λv>= ‖v‖2 λ2 + 2 <u,v> λ+ ‖u‖2 ≥ 0

para cualesquiera u,v ∈ V , y si la ecuacion que se ha obtenido, de segundo grado en λ, essiempre mayor o igual que cero, entonces su discriminante sera menor o igual que cero:

∆ = 4 <u,v>2 −4 ‖u‖2 ‖v‖2 ≤ 0 =⇒ <u,v>2≤ ‖u‖2 ‖v‖2

de donde se obtiene que:

|<u,v>| ≤ ‖u‖ · ‖v‖ (desigualdad de Schwarz)

La distancia entre los vectores u,v ∈ V se define como d(u,v) = ‖u − v‖.

6.8 Ejemplo

La norma usual de Rn, inducida por el producto usual, de u = (x1, . . . , xn) ∈ Rn es

‖u‖ =

√√√√n∑

i=1

x2i

y el angulo que forman u = (x1, . . . , xn),v = (y1, . . . , yn) ∈ Rn es

(u,v) = arccos

∑ni=1 xiyi√∑n

i=1x2

i

√∑ni=1

y2i

que esta bien definido, pues

∣∣∣∣∣n∑

i=1

xiyi

∣∣∣∣∣ ≤

√√√√n∑

i=1

x2i

√√√√n∑

i=1

y2i (desigualdad de Schwarz)

La distancia entre u = (x1, . . . , xn) y v = (y1, . . . , yn) es

d(u,v) =

√√√√n∑

i=1

(xi − yi)2

6.9 Vector unitario, vector normalizado y vectores ortogonales

Sea V un espacio euclıdeo, y sea < · , · > su producto escalar. Se llama vector unitario acualquier vector de norma uno. Si u 6= 0 entonces u

‖u‖ es un vector unitario:

∥∥∥∥u

‖u‖

∥∥∥∥ =<u

‖u‖ ,u

‖u‖ >1/2=

(1

‖u‖2<u,u>

)1/2

=

(‖u‖2

‖u‖2

)1/2

= 1

que se llama vector normalizado de u.Dos vectores no nulos u y v se llaman ortogonales si <u,v>= 0, es decir si (u,v) = 90◦.

6.10 Ejemplos

1. Sean u = (1, 2) y v = (3, 4) vectores de R2, con el producto usual. Puesto que ‖u‖ =√5

y ‖v‖ = 5, ninguno de ellos es unitario, siendo u

‖u‖ =(

1√5, 2√

5

)el vector normalizado de

u. Ademas no son ortogonales, pues u · v = 11, siendo (u,v) = arccos 11

5√

5.

2. En R4 con el producto usual, los vectores normalizados de los siguientes son los que seindican:

u = (1, 0, 1, 0) =⇒ ‖u‖ =√2 =⇒ u

‖u‖ =(1√2, 0,

1√2, 0

)

v = (0, 1, 0, 1) =⇒ ‖v‖ =√2 =⇒ v

‖v‖ =(0,1√2, 0,

1√2

)

w = (1, 1, 1,−1)=⇒ ‖w‖ = 2 =⇒ w

‖w‖ =(1

2,1

2,1

2,−12

)

Los vectores u y v son ortogonales, pues u · v = 0, mientras que u y w no lo son, puesu · w = 2, siendo (u,w) = arccos 1√

2= 45◦.

6.11 Bases ortogonales y ortonormales

Un conjunto de vectores no nulos, de un espacio vectorial euclıdeo V , se llama ortogonal sison ortogonales dos a dos. Si ademas todos son unitarios, el conjunto se llama ortonormal.

Es decir:

{u1, . . . ,um} es ortogonal⇐⇒{

<ui,uj >= 0 , para i 6= j

‖ui‖ 6= 0 , para 1 ≤ i ≤ m

{u1, . . . ,um} es ortonormal⇐⇒{

<ui,uj >= 0 , para i 6= j

‖ui‖ = 1 , para 1 ≤ i ≤ m

Es claro que:

{u1, . . . ,um} ortogonal =⇒{

u1

‖u1‖, . . . ,

um

‖um‖

}ortonormal

Una base ortogonal es una base formada por un conjunto ortogonal, y una base ortonormal

es una base formada por un conjunto ortonormal. Es facil observar que:

• La matriz de Gram de un producto escalar respecto de una base ortogonal es una matrizdiagonal.

• La matriz de Gram de un producto escalar respecto de una base ortonormal es la matrizidentidad. Por lo tanto: <u,v>= utIv = utv.

6.12 Independencia lineal de vectores ortogonales

Todo conjunto ortogonal de vectores es linealmente independiente.Demostracion: Sea {u1, . . . ,um} un conjunto ortogonal de vectores en el espacio vectorialeculıdeo V . Si α1u1 + . . .+ αmum = 0, entonces:

0 =<ui,0>=<ui,

m∑

j=1

αjuj >=

m∑

j=1

αj <ui,uj >= αi ‖ui‖2 =⇒ αi = 0

para cada 0 ≤ i ≤ m. Luego {u1, . . . ,um} es linealmente independiente.

6.13 Ejemplo

En R3, el conjunto de vectores

{u1 = (1, 1, 0), u2 = (1,−1, 0), u3 = (0, 0, 1)}

es linealmente independiente, pues u1 ·u2 = u1 ·u3 = u2 ·u3 = 0, luego forma una base ortogonal.Una base ortonormal es

{v1 =

u1

‖u1‖=

(1√2,1√2, 0

), v2 =

u2

‖u2‖=

(1√2,−1√2, 0

), v3 =

u3

‖u3‖= (0, 0, 1)

}

6.14 Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt

Si {v1, . . . ,vm} son vectores linealmente independientes en el espacio vectorial euclıdeo V , en-tonces existen vectores {u1, . . . ,um} ortogonales tales que

L ({v1, . . . ,vi}) = L ({u1, . . . ,ui}) , 1 ≤ i ≤ m

El metodo para conseguir este conjunto ortogonal, llamado proceso de ortogonalizacion de

Gram-Schmidt, es el siguiente:

• En primer lugar, se elige u1 = v1.

• Ahora se elige u2 = v2 + α21u1 con la condicion de que < u2,u1 >= 0, para lo que senecesita que

<u2,u1 >=<v2,u1 > +α21 <u1,u1 >= 0 =⇒ α21 =− <v2,u1 >

‖u1‖2

Por lo tantou2 = v2 −

<v2,u1 >

‖u1‖2u1

• A continuacion se elige u3 = v3 + α31u1 + α32u2 con la condicion de que < u3,u1 >==<u3,u2 >= 0, para lo que se necesita que

<u3,u1 > =<v3,u1 > +α31 <u1,u1 > +0 = 0 =⇒ α31 =− <v3,u1 >

‖u1‖2

<u3,u2 > =<v3,u2 > +0 + α32 <u2,u2 >= 0 =⇒ α32 =− <v3,u2 >

‖u2‖2

Por lo tantou3 = v3 −

<v3,u1 >

‖u1‖2u1 −

<v3,u2 >

‖u2‖2u2

• Y ası sucesivamente, se obtiene:

uk = vk −k−1∑

j=1

<vk,uj >

‖uj‖2uj

para 2 ≤ k ≤ m.

Para obtener una base ortonormal, se aplica el proceso de normalizacion despues de aplicarGram-Schmidt:

BaseGram-Schmidt−−−−−−−−−→ Base ortogonal

Normalizacion−−−−−−−−−→ Base ortonormal

6.15 Ejemplo

Sea S el subespacio de R4 generado por el conjunto de vectores

B = {v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (1,−1, 1, 1), v3 = (−1, 0, 2, 1)}

que es linealmente independiente (es una base de S). Aplicando el proceso de Gram-Schmidt:

u1 = v1 = (1, 1, 0, 0)

u2 = v2 −v2 · u1

‖u1‖2u1 = v2 −

0

2u1 = (1,−1, 1, 1)

u3 = v3 −v3 · u1

‖u1‖2u1 −

v3 · u2

‖u2‖2u2 = v3 −

−12

u1 −2

4u2 =

(−1, 1, 3

2,1

2

)

Una base ortogonal de S es

BOTG =

{u1 = (1, 1, 0, 0), u2 = (1,−1, 1, 1), u3 =

(−1, 1, 3

2,1

2

)}

y una base ortonormal:

BOTN =

{w1 =

u1

‖u1‖=

(1√2,1√2, 0, 0

), w2 =

u2

‖u2‖=

(1

2,−12

,1

2,1

2

),

w3 =u3

‖u3‖=

(−√2

3,

√2

3,

√2

2,

√2

6

)}

6.16 Coordenadas de un vector respecto de una base ortonormal

Si B = {e1, . . . , en} es una base ortonormal de un espacio vectorial euclıdeo V , entonces:

v =n∑

i=1

<v, ei > ei = (<v, e1 >, . . . , <v, en >)B

6.17 Subespacios ortogonales. Complementario ortogonal

Dos subespacios vectoriales S y T de un espacio vectorial euclıdeo V se llaman subespacios

ortogonales, que se indica S ⊥ T , si <u,v>= 0, ∀u ∈ S y ∀v ∈ T .Se llama complementario ortogonal de S al subespacio vectorial

S⊥ = {v ∈ V :<u,v>= 0, ∀u ∈ S}

6.18 Ejemplo

En R4, con el producto usual, el complementario ortogonal del subespacio

S = L ({u1 = (1,−1, 0, 1), u2 = (1, 1, 1, 0)})

es el subespacio:

S⊥ ={v ∈ R

4 :<u,v>= 0, ∀u ∈ S}= {v = (x1, x2, x3, x4) :<u1,v>=<u2,v>= 0} =

=

{v ∈ R

4 :x1 − x2 + x4 = 0x1 + x2 + x3 = 0

}=

v ∈ R4 :

x1 = α

x2 = β

x3 = −α − β

x4 = −α+ β

, α, β ∈ R

=

= L ({v1 = (1, 0,−1,−1), v2 = (0, 1,−1, 1)})

6.19 Teorema

Si S es un subespacio vectorial del espacio vectorial euclıdeo V , se cumple que

V = S ⊕ S⊥

Como consecuencia: dimS + dimS⊥ = dimV .Demostracion:

• S ∩ S⊥ = {0}:u ∈ S ∩ S⊥ =⇒<u,u>= ‖u‖2 = 0 =⇒ u = 0

• S + S⊥ = V :

– Si S = {0}, entonces S⊥ = V y el resultado es evidente.

– Si S 6= {0}, se amplıa una base ortogonal {v1, . . . ,vk} de S a una base ortogonal{v1, . . . ,vk,vk+1, . . . ,vn} de V , y entonces cualquier vector u ∈ V se puede expresarcomo

u =n∑

i=1

xivi =k∑

i=1

xivi +n∑

i=k+1

xivi = v +w con v ∈ S y w ∈ S⊥

6.20 Proyecciones

Si S un subespacio vectorial del espacio vectorial euclıdeo V , cada vector u ∈ V se descomponede forma unica como suma de un vector de S y otro de S⊥, que se llaman, respectivamente,proyeccion de u sobre S y sobre S⊥, y se representan:

u = v +w con

{v ∈ S

w ∈ S⊥ =⇒{

v = proyS u

w = proyS⊥ uy u = proyS u+ proyS⊥ u

Se define el angulo que forman un vector u ∈ V con un un subespacio S como el angulo queforma con su proyeccion, es decir:

(u, S) = ( u,proyS u) = arccos<u,proyS u>

‖u‖ · ‖proyS u‖

y la distancia entre ellos como la norma de su proyeccion sobre S⊥, es decir:

d(u, S) = ‖proyS⊥ u‖ = ‖u − proyS u‖

6.21 Calculo de la proyeccion

Sea S un subespacio vectorial del espacio vectorial euclıdeo V . Para hallar la proyeccion de unvector u ∈ V sobre S se puede proceder, segun el caso, de cualquiera de las siguientes formas:

• Si u = v +w con v ∈ S y w ∈ S⊥, entonces v = proyS u.

• Si B = {w1, . . . ,wk} es una base ortonormal de S, entonces

proyS u =k∑

i=1

<u,wi > wi

• Si B = {v1, . . . ,vk} es una base arbitraria de S, se buscan {α1, . . . , αk} tales que

u − proyS u = u −k∑

i=1

αivi ∈ S⊥

para lo que se debe cumplir que

<u − ∑ki=1

αivi,v1 >= 0...

<u − ∑ki=1

αivi,vk >= 0

que es un sistema lineal de ecuaciones, cuya solucion {α1, . . . , αk} proporciona la proyeccionu =

∑ki=1

αivi.

6.22 Ejemplo

En R4 con el producto usual, para hallar la proyeccion de u = (0, 2, 1,−1) sobre el subespacioS = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 = 0} hay que hallar una base, a ser posible ortonormal. Puestoque

S =

(x1, x2, x3, x4) :

x1 = α

x2 = −α

x3 = β

x4 = γ

, α, β, γ ∈ R

=

= L ({u1 = (1,−1, 0, 0), u2 = (0, 0, 1, 0), u3 = (0, 0, 0, 1)})

una base ortogonal es {u1,u2,u3}, y una base ortonormal:{w1 =

(1√2,−1√2, 0, 0

), w2 = (0, 0, 1, 0), w3 = (0, 0, 0, 1)

}

La proyeccion de u sobre S es

proyS u = (u · w1)w1 + (u · w2)w2 + (u · w3)w3 =−2√2w1 +w2 − w3 = (−1, 1, 1,−1)

y sobre S⊥ esproyS⊥ u = u − proyS u = (1, 1, 0, 0)

El angulo que forman u y S, y la distancia entre ellos, es:

(u, S) = ( u,proyS u) = arccosu · proyS u

‖u‖ · ‖proyS u‖ = arccos4√6 · 2

= arccos2√6

d(u, S) = ‖proyS⊥ u‖ = ‖u − proyS u‖ = ‖(1, 1, 0, 0)‖ =√2

6.23 Diagonalizacion ortogonal

Una matriz A ∈ Mn×n(R) (o aplicacion lineal asociada) es ortogonalmente diagonalizable

si es diagonalizable respecto de una base ortogonal (u ortonormal), lo que equivale a que existauna base ortogonal (u ortonormal) de autovectores. Se puede probar que:

A es ortogonalmente diagonalizable⇐⇒ A es simetrica

6.24 Ejemplos

1. La matriz A =

0 1 01 0 00 0 1

es simetrica y, por tanto, ortogonalmente diagonalizable. Sus

autovalores son 1, con multiplicidad 2, y −1. Los subespacios propios asociados, y la baseortogonal respecto de la que es diagonalizable, son:

{S(1) = L ({(1, 1, 0), (0, 0, 1)})S(−1) = L ({(1,−1, 0)}) =⇒ B = {(1, 1, 0), (0, 0, 1), (1,−1, 0)}

Las matrices diagonal y de cambio de base son:

D = P−1AP con D =

1 0 00 1 00 0 −1

y P =

1 0 11 0 −10 1 0

2. La matriz A =

−1 2 00 1 0−2 2 1

no es simetrica y, por tanto, no es ortogonalmente diago-

nalizable. Se puede ver que si es diagonalizable, pero respecto de una base que no esortogonal.

Tema 6: Espacios euclıdeos

Ejercicios

1. Demuestra que la aplicacion < A, B >= traza(ABt), ∀A,B ∈ Mm×n(R), es unproducto escalar sobre Mm×n(R). En el caso particular de m = n = 2, halla sumatriz de Gram respecto de la base usual.

2. En CR([−1, 1]) se considera el producto escalar < f, g >=∫

1

−1f(t)g(t) dt. Halla los

angulos del triangulo de vertices x1(t) = 1, x2(t) = t y x3(t) = 1 − t. ¿Son losmismos angulos si el triangulo se considera en el espacio P2(R) con el productoescalar <p,q>= p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)?

3. En Rn con el producto usual, halla los angulos que forma la recta x1 = x2 = . . . = xn

con los ejes de coordenadas.

4. Se define sobre R3 un producto escalar de tal manera que el conjunto de vectores{(−2,−1, 1), (0,−1, 0), (1,−1, 0)} sea una base ortonormal. ¿Cual es su matriz deGram respecto de la base canonica?

5. Sea W = L ({u1 = (1, 2, 0, 0),u2 = (1, 0, 0, 2),u3 = (1,−1,−1, 2)}) en R4 con el pro-ducto usual.

(a) Encuentra una base ortonormal de W .

(b) Completa dicha base hasta una base ortonormal de R4.

6. Halla una base ortonormal, y el subespacio ortogonal, de los siguientes subespacios:

(a) S = {(x, y, z) : x + 2y − z = 0}, en R3 con el producto usual.

(b) T = L ({1 − x, 1 + x}), en P2(R) con el producto <p,q>=∫

1

0p(x)q(x) dx.

(c) U = L ({(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0,−1)}), en R4 con el producto usual.

7. En R3 se considera una base B = {v1,v2,v3} y un producto escalar tal que ‖v1‖ =‖v3‖ = 3, ‖v2‖ = 2, (v1,v2) = (v2,v3) = π

3y (v1,v3) = π

2.

(a) Halla la matriz de Gram respecto de la base B.

(b) Halla la matriz de Gram respecto de la base B′ = {v1 − v3, v2 + v3, −v2 + v3}.(c) Halla una base respecto de la que <u,v>= utv.

8. En R2 con el producto usual, se considera f : R2 −→ R2 tal que u · f(u) = 0, paratodo u ∈ R2. Estudia si f ha de ser la aplicacion nula y, en caso contrario, da unejemplo de una aplicacion no nula que lo verifique.

9. En R4 con el producto usual, halla la proyeccion ortogonal de u = (0, 2, 1,−1) sobreU = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 = 0}.

10. En un espacio vectorial euclıdeo, cuyo producto escalar tiene por matriz de Gram

1 0 00 2 −10 −1 2

en la base B = {u1,u2,u3}, calcula la proyeccion ortogonal de u3

sobre S = L ({u1,u2}).

11. En R3 se considera el producto escalar cuya matriz de Gram, respecto de la base

canonica, es

1 1 11 2 21 2 3

, y sea U = {(x, y, z) : x = −z = y}. Halla:

(a) El angulo que forman los vectores (1, 0, 0) y (0, 1, 0).

(b) Una base de U⊥.

(c) La proyeccion ortogonal de (1,−2, 0) sobre U⊥.

12. En R3 con la base canonica B = {e1, e2, e3}, se considera el producto escalar queverifica: ‖e1‖ = ‖e2‖ = ‖e3‖ = 1 y (ei, ej) = π

3, para 1 ≤ i < j ≤ 3. Halla:

(a) La matriz de Gram respecto de B.

(b) La distancia del punto P (1, 2, 3) al origen.

(c) Las ecuaciones de la proyeccion ortogonal de la recta x = y = z sobre el planoy = 0.

13. En R4 con el producto usual, halla la distancia del vector (1, 0,−1, 0) al subespacio

S ≡{

x1 + x2 = 0x2 + x3 − x4 = 0

. Calcula S⊥.

14. Se considera P2(R) con el producto escalar

<p,q>= p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)

Halla:

(a) Una base ortonormal.

(b) La matriz de Gram respecto de la base usual.

(c) El complementario ortogonal de L ({1}).(d) La proyeccion ortogonal de x2 − 1 sobre L ({1, x}).(e) El vector de L ({1, x}) mas cercano a x2 − 1.

15. En R3 se considera el producto escalar definido por la matriz

1 1 21 2 22 2 3

, respecto

de la base canonica, y se define f : R3 −→ R3 por f(u) =<v,u> w, con v,w ∈ R3

fijos. Halla los autovalores de f y el nucleo e imagen de f . ¿Cual es el plano ortogonalal vector (1, 1, 0)?

16. Sean B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 2, 0)} una base de R3. Estudia si son simetricas lasaplicaciones lineales f, g : R3 −→ R3 cuyas matrices respecto de B son:

M(f, B) = A1 =

1 −4 22 2 30 3 0

M(g, B) = A2 =

−4 −5 −64 2 73 5 4

17. Diagonaliza ortogonalmente las matrices:

(a) A =

0 1 11 0 11 1 0

(c) C =

4 0 4 60 −1 0 04 0 0 26 0 2 5

(e) E =

−1 5 05 −1 00 0 4

(b) B =

a 1 −11 a 1−1 1 a

(d) D =

5 4 −44 5 4−4 4 5

18. Diagonaliza, si es posible, las aplicaciones lineales T1, T2 : M2(R) −→ M2(R)definidas por T1(A) = At y T2(A) = A − At con el producto escalar dado por<A, B>= traza(ABt).

19. Sea A =

α λ µ

λ β γ

µ γ ν

∈ M3(R) tal que α 6= 0, rg(A) = 1 y traza(A) = 1.

¿Es A diagonalizable? En caso afirmativo, halla sus autovalores. ¿Que representageometricamente A?

20. Sea A ∈ M2(R) una matriz simetrica tal que σ(A) = {1, 9} y u = (1, 1) es unautovector asociado al autovalor 1. Halla razonadamente:

(a) Un autovector asociado al autovalor 9.

(b) La matriz A.

(c) Una matriz B tal que B2 = A.

21. Sea f un endomorfismo de R3. Calcula la matriz A = M(f, Bc) sabiendo que:

(a) Ker f = L {(1,−1, 1)}.(b) A es simetrica y sin elementos negativos.

(c) S−1 es la recta de ecuaciones:

{

x + 7y + z = 02x − y + 2z = 0

.

(d) ‖f(0, 1, 0)‖ =√

6.

22. Sabiendo que f(1, 0, 0) = (1, 0, 1), f(1, 1, 0) = (1, 1, 1) y f(1, 1, 1) = (2, 1, 2), estudiasi f es diagonalizable ortogonalmente y, en caso afirmativo, diagonalızala.

23. Halla la matriz A, respecto de la base canonica, de la proyeccion ortogonal de R3

sobre la recta generada por el vector (1, 1, 1).

24. Halla una base ortonormal de vectores propios de la proyeccion ortogonal de R3

sobre el plano x + y + z = 0.

25. Sabiendo que el nucleo de una proyeccion ortogonal f es la recta generada por elvector (1,−1, 1), halla su matriz respecto de la base canonica.

26. Decide cuales de las siguientes matrices corresponden a proyecciones ortogonales:

A =1

2

0 0 00 1 −10 −1 1

B =1

5

1 4 20 5 02 −2 4

C =1

2

−1 −1 0−1 −1 00 0 2

27. Sean f y g las proyecciones ortogonales de R3 sobre los planos x + 2y − z = 0 y−2x + y = 0, respectivamente. ¿Es una proyeccion ortogonal la composicion de f

con g? ¿Y la de g con f?

Soluciones

1. La matriz identidad.

2. En CR([−1, 1]): arccos −1

2= 120◦, arccos 2√

7y arccos 5

2√

7.

En P2(R): arccos −2√10

, arccos 7√55

y arccos 4√22

.

3. arccos 1√n.

4. G =

2 1 51 1 35 3 14

.

5. (a){

w1 = 1√5(1, 2, 0, 0),w2 = 1√

30(2,−1, 0, 5),w3 = 1√

42(2,−1,−6,−1)

}

.

(b){

w1,w2,w3,w4 = 1√7(2,−1, 1,−1)

}

.

6. (a){

1√2(1, 0, 1), 1√

3(−1, 1, 1)

}

; S⊥ = L ({(1, 2,−1)}).(b)

{√3(1 − x), 3x − 1

}

; T⊥ = L({

x2 − x + 1

6

})

.

(c){

1√2(1, 0, 1, 0), 1√

6(−1, 2, 1, 0), 1√

12(1, 1,−1,−3)

}

; U⊥ = L ({(1, 1,−1, 1)}).

7. (a) G(B) =

9 3 03 4 30 3 9

. (b) G(B′) =

18 −9 −9−9 19 5−9 5 7

.

(c){

1

3(1, 0, 0), 1

3(0, 0, 1), −1

3√

2(1,−3, 1)

}

.

8. f(x, y) = (−y, x).

9. proyU u = (−1, 1, 1,−1).

10. proyS u3 = −1

2u2.

11. (a) π4; (b) {(1,−1, 0), (0, 0, 1)}; (c) (3

2, −3

2, −1

2).

12. (a) G(B) = 1

2

2 1 11 2 11 1 2

; (b) d(P,O) = 5; (c)

{

(x, y, z) :x = z

y = 0

}

.

13.√

35

5; S⊥ = L ({(1, 1, 0, 0), (0,−1,−1, 1)}).

14. (a){

1√3, x√

2,√

6

2

(

x2 − 2

3

)

}

; (b) G =

3 0 20 2 02 0 2

; (c) L({

x, x2 − 2

3

})

; (d) −1

3;

(e) −1

3.

15. Si v = 0 o w = 0, entonces f(u) = 0, ∀u ∈ R3, y por tanto Ker f = R3, Im f = {0}y σ(f) = {0}.Si v 6= 0 6= w, entonces Im f = L ({w}), Ker f = L ({v})⊥ y σ(f) = {0, <v,w>}.L ({(1, 1, 0)})⊥ = {(x, y, z) : 2x + 3y + 4z = 0}.

16. f no es simetrica, y g si es simetrica.

17. (a) σ(A) = {−1 doble, 2}; S−1 = L {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)}; S2 = L {(1, 1, 1)}.(b) σ(B) = {a + 1 doble, a − 2}; Sa+1 = L {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)};

Sa−2 = L {(1,−1, 1)}.(c) σ(C) = {0, 12,−1,−3}; S0 = L {(1, 0, 2,−2)}; S12 = L {(2, 0, 1,−2)};

S−1 = L {(0, 1, 0, 0)}; S−3 = L {(−2, 0, 2, 1)}.(d) σ(D) = {9 doble,−3}; S9 = L {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}; S−3 = L {(1,−1, 1)}.(e) σ(E) = {4 doble,−6}; S4 = L {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}; S−6 = L {(−1, 1, 0)}.

18. Las matrices de las aplicaciones lineales respecto de la base usual son:

M(T1, Bu) = A1 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

M(T2, Bu) = A2 =

0 0 0 00 1 −1 00 −1 1 00 0 0 0

σ(A1) = {1 triple,−1}; S1 = L {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)};S−1 = L {(0,−1, 1, 0)}.

σ(A2) = {0 triple, 2}; S0 = L {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)};S2 = L {(0,−1, 1, 0)}.

19. Es ortogonalmente diagonalizable con:σ(A) = {0 doble, 1}; S0 = {(x, y, z) : αx + λy + µz = 0} y S1 = L {(α, λ, µ)}.Geometricamente, A representa una proyeccion sobre S1.

20. (a) v = (1,−1) ∈ S9; (b) A =

(

5 −4−4 5

)

;

(c) Hay cuatro posibles matrices: B = P

(

±1 00 ±3

)

P−1 con P =

(

1 11 −1

)

.

21. A =

0 1 11 2 11 1 0

.

22. Sı es ortogonalmente diagonalizable:σ(A) = {0, 1, 2}, S0 = L {(−1, 0, 1)}, S1 = L {(0, 1, 0)} y S2 = L {(1, 0, 1)}.

23. A = 1

3

1 1 11 1 11 1 1

.

24. B ={

1√2(1, 0,−1), 1√

6(1,−2, 1), 1√

3(1, 1, 1)

}

.

25. M(f,Bc) = 1

3

2 1 −11 2 1−1 1 2

.

26. (a) Sı, corresponde a la proyeccion ortogonal sobre S1 = L {(0, 1,−1)}.(b) No corresponde a una proyeccion ortogonal.(c) No corresponde a una proyeccion ortogonal.

27. Por ser (1, 2,−1) ⊥ (−2, 1, 0), ambas composiciones son la proyeccion ortogonalsobre la recta interseccion de los dos planos: S = L {(1, 2, 5)} y

f ◦ g ≡ g ◦ f ≡ 1

30

1 2 52 4 105 10 25

7 Aplicaciones ortogonales

7.1 Aplicacion ortogonal

Se llama aplicacion ortogonal a un endomorfismo f : V −→ V sobre un espacio vectorialeuclıdeo (V, < · , ·>) que conserva el producto escalar, es decir que

<f(u), f(v)>=<u,v> , ∀u,v ∈ V

7.2 Matriz ortogonal

Una matriz cuadrada A ∈ Mn×n(R) se llama matriz ortogonal si AtA = I.

7.3 Ejemplos

1. La matriz A = 1√2

(

1 −11 1

)

es ortogonal, pues

AtA =1√2

(

1 1−1 1

)

1√2

(

1 −11 1

)

=1

2

(

2 00 2

)

= I

2. La matriz A = 1√2

(

1 −11 2

)

no es ortogonal, pues

AtA =1√2

(

1 1−1 2

)

1√2

(

1 −11 2

)

=1

2

(

2 11 5

)

6= I

7.4 Teorema

Sea A = M(f,B) la matriz de la aplicacion ortogonal f : V −→ V respecto de una baseortonormal B de (V, < · , ·>). Entonces:

La aplicacion f es ortogonal ⇐⇒ La matriz A es ortogonal

Demostracion: Basta observar que

<f(u), f(v)> = (f(u))t f(v) = (Au)tAv = utAtAv

<u,v> = utv

de donde se deduce que f es aplicacion ortogonal si y solo si AtA = I, es decir si y solo si A esuna matriz ortogonal.

7.5 Observacion

Si A = (aij)1≤i,j≤n ∈ Mn×n(R), entonces At = (bij = aji)1≤i,j≤n y AtA = (cij)1≤i,j≤n donde

cij =n

∑

k=1

bikakj =n

∑

k=1

akiakj = ci · cj

donde ci · cj es el producto escalar usual en Rn de las columnas ci y cj de la matriz A. Por

lo tanto, una matriz es ortogonal si sus columnas forman una base ortonormal en Rn con el

producto escalar usual.

7.6 Lema

La matriz de un cambio de base entre bases ortonormales es ortogonal.

7.7 Teorema

Sea f : V −→ V una aplicacion sobre el espacio euclıdeo (V, < · , ·>). Entonces, la aplicacionf es ortogonal si y solo si conserva la norma, es decir:

f es ortogonal ⇐⇒ ‖f(v)‖ = ‖v‖ , ∀v ∈ V

Demostracion:(⇒) Si f es ortogonal, entonces

‖f(v)‖ =√

<f(v), f(v)> =√

<v,v> = ‖v‖

para todo v ∈ V , es decir conserva la norma.(⇐) Si f conserva la norma:

‖f(u − v)‖2 =<f(u − v), f(u − v)>=<f(u) − f(v), f(u) − f(v)>

= ‖f(u)‖2 + ‖f(v)‖2 − 2 <f(u), f(v)>= ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2 <f(u), f(v)>

‖u − v‖2 =<u − v,u − v>= ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2 <u,v>

y, puesto que ‖f(u − v)‖ = ‖u − v‖, entonces

<f(u), f(v)>=<u,v>

para cualesquiera u,v ∈ V , es decir f es ortogonal.

7.8 Observacion

Las aplicaciones ortogonales conservan normas, distancias, angulos.

7.9 Teorema

Sea f : V −→ V una aplicacion sobre el espacio euclıdeo (V, < · , ·>). Entonces, la aplicacionf es ortogonal si y solo si transforma bases ortonormales en bases ortonormales.Demostracion:(⇒) Si f es ortogonal, y B = {e1, e2, . . . , en} es una base ortonormal, entonces:

<f(ei), f(ej)>=<ei, ej >=

{

0 , si i 6= j

1 , si i = j

de donde se deduce que {f(e1), f(e2), . . . , f(en)} es una base ortonormal.(⇐) Si B = {e1, e2, . . . , en} es una base ortonormal, entonces f(B) = {f(e1), f(e2), . . . , f(en)}tambien es una base ortonormal, y si u =

∑ni=1 xiei y v =

∑ni=1 yiei son vectores de V , se

cumple que

<u,v>=<(x1, x2, . . . , xn)B, (y1, y2, . . . , yn)B >=n

∑

i=1

xiyi

y tambien que

<f(u), f(v)> =<

n∑

i=1

xif(ei),

n∑

i=1

yif(ej)>=<(x1, x2, . . . , xn)f(B), (y1, y2, . . . , yn)f(B) >

=n

∑

i=1

xiyi

luego <f(u), f(v)>=<u,v>, y la aplicacion f es ortogonal.

7.10 Ejemplos de aplicaciones ortogonales

Sea Rn con el producto escalar usual respecto de su base canonica.

1. En R2, el giro de centro el origen y angulo α es una aplicacion ortogonal. Usando numeros

complejos, la imagen de x + iy mediante un giro centrado en el origen de angulo α es

eiα(x + iy) = (cosα + i sinα)(x + iy) = (x cos α − y sinα) + i(x sinα + y cos α)

y, volviendo al plano R2, la ecuacion del giro en la base canonica es:

Gα(x, y) =

(

cos α − sinα

sinα cos α

)(

x

y

)

2. En R2, la simetrıa respecto de la recta r ≡ ax + by = 0 (que pasa por el origen) es una

aplicacion ortogonal. Puesto que u1 = (b,−a) es el vector de direccion de la recta yu2 = (a, b) el vector perpendicular, se tiene que Sr(u1) = u1 y Sr(u2) = −u2, luego lamatriz de la simetrıa respecto de la base B = {u1 = (b,−a),u2 = (a, b)} es

A = M(Sr, B) =

(

1 00 −1

)

Teniendo en cuenta el diagrama:

(R2)B A−−−−→ (R2)B

x

P−1

yP

(R2)BcC−−−−→ (R2)Bc

siendo P = M(B, Bc) =

(

b a

−a b

)

se tiene que:

C = M(Sr, Bc) = PAP−1 =1

a2 + b2

(

b2 − a2 −2ab

−2ab a2 − b2

)

Luego la ecuacion de la simetrıa, respecto de la recta r ≡ ax + by = 0, en la base canonicaes:

Sr(x, y) =1

a2 + b2

(

b2 − a2 −2ab

−2ab a2 − b2

)(

x

y

)

3. En R3, un giro cuyo eje pasa por el origen es una aplicacion ortogonal. Sean α y r ≡

L ({u1}), con ‖u1‖ = 1, el angulo y eje de giro. Completando el vector de direcciondel eje hasta formar una base B = {u1,u2,u3} ortonormal que verifique |P | > 0, dondeP = (u1,u2,u3) = M(B, Bc), las matrices del giro respecto de esta base y la canonica son:

M (Gr,α, B) = A =

1 0 00 cosα − sinα

0 sinα cos α

y M (Gr,α, Bc) = PAP−1

4. En R3, la simetrıa respecto del plano π ≡ L ({u1,u2}) (que pasa por el origen) es una

aplicacion ortogonal. Anadiendo a los vectores de direccion del plano un vector u3, quesea ortogonal a ambos, se obtiene una base B = {u1,u2,u3} respecto de la cual la matrizde la simetrıa es

M (Sπ, B) = A =

1 0 00 1 00 0 −1

La matriz respecto de la base canonica sera:

M (Sπ, Bc) = PAP−1 donde P = (u1,u2,u3) = M(B,Bc)

7.11 Teorema

El determinante de una matriz ortogonal es ±1.Demostracion: Si A ∈ Mn×n(R) es una matriz ortogonal se cumple que AtA = I, y tomandodeterminantes:

∣

∣AtA∣

∣ = |A|2 = 1 =⇒ |A| = ±1

7.12 Teorema

Los autovalores reales de una aplicacion ortogonal solo pueden ser 1 o −1.Demostracion: Si λ ∈ R es un autovalor de la aplicacion ortogonal f : V −→ V , existenautovectores no nulos v ∈ V tales que f(v) = λv. Puesto que las aplicaciones ortogonalesconservan la norma:

‖v‖ = ‖f(v)‖ = ‖λv‖ = |λ| · ‖v‖ =⇒ |λ| = 1 =⇒ λ = ±1

7.13 Clasificacion de las aplicaciones ortogonales en R2

Sea f : R2 −→ R

2 una aplicacion ortogonal cuya matriz respecto de una base ortonormal es A,es decir:

f(x, y) = A

(

x

y

)

con A =

(

a b

c d

)

siendo AtA = I y |A| = ±1. Puesto que At = A−1, se ha de cumplir que(

a c

b d

)

=1

|A|

(

d −b

−c a

)

=⇒{

b = −c |A|d = a |A|

Luego la matriz de la aplicacion ortogonal, respecto de una base ortonormal, sera:

A =

(

a −c |A|c a |A|

)

con |A| = ±1

Pueden presentarse dos casos:

1. Si |A| = 1, entonces

A =

(

a −c

c a

)

con |A| = a2 + c2 = 1

luego existe un unico α ∈ [0, 2π) tal que a = cos α y c = sinα de donde

A =

(

cos α − sinα

sinα cos α

)

y la aplicacion ortogonal es un giro, centrado en el origen, de angulo α con

traza(A) = 2a = 2 cosα =⇒ α = arccostraza(A)

2

donde la traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal principal.

2. Si |A| = −1, entonces

A =

(

a c

c −a

)

con |A| = −(a2 + c2) = −1 y P (λ) = λ2 − 1

Sus autovalores son λ = 1 y λ = −1, y existiran autovectores u1 y u2 tales que

{

f(u1) = u1

f(u2) = −u2y u1 · u2 = 0

ya que las aplicaciones ortogonales conservan el producto escalar:

f(u1) · f(u2) = u1 · u2 =⇒ u1 · (−u2) = u1 · u2 =⇒ −(u1 · u2) = u1 · u2 =⇒ u1 · u2 = 0

Luego la aplicacion ortogonal es una simetrıa respecto de la recta r ≡ L ({u1}) = S(1),donde S(1) es el subespacio propio asociado al autovalor λ = 1.

En resumen, se tiene la siguiente clasificacion:

Aplicacion ortogonal

|A| = 1 Giro de centro el origen y angulo α = arccos traza(A)2

|A| = −1 Simetrıa respecto de recta r ≡ S(1)

En el caso particular de un giro de angulo α = 0, la aplicacion ortogonal es la identidad.

7.14 Clasificacion de las aplicaciones ortogonales en R3

Sea f : R3 −→ R

3 una aplicacion ortogonal cuya matriz respecto de una base ortonormal es A,es decir:

f(x, y, z) = A

x

y

z

con AtA = I

Puesto que los autovalores reales de A solo pueden ser ±1, y el polinomio caracterıstico tienegrado 3, alguno de ellos debe ser 1 o −1. Si S(1) = Ker(A− I) es el subespacio propio asociadoa λ = 1, se pueden presentar los siguientes casos:

1. Si dimS(1) = 3, la aplicacion ortogonal es la identidad y A = I.

2. Si dimS(1) = 2, se considera una base ortonormal B = {u1,u2,u3}, siendo S(1) =L ({u1,u2}). Puesto que las aplicaciones ortogonales conservan bases ortonormales:

f(B) = {f(u1), f(u2), f(u3)} = {u1,u2, f(u3)} es ortonormal =⇒ f(u3) = −u3

ya que f(u3) 6= u3 al ser dimS(1) = 2. Luego la aplicacion ortogonal f es una simetrıarespecto del plano π ≡ S(1) y su matriz respecto de la base B es

M(f,B) =

1 0 00 1 00 0 −1

3. Si dimS(1) = 1, se considera una base ortonormal B = {u1,u2,u3}, siendo S(1) =L ({u1}) y |(u1,u2,u3)| > 0. Puesto que las aplicaciones ortogonales conservan basesortonormales:

f(B) = {f(u1), f(u2), f(u3)} = {u1, f(u2), f(u3)}es ortonormal. Por lo tanto

L ({f(u2), f(u3)}) = L ({u2,u3}) = S(1)⊥

y la aplicacion f en el plano S(1)⊥, que no puede ser una simetrıa, es un giro centradoen el origen. Luego la aplicacion ortogonal f es un giro con eje en la recta r ≡ S(1) y sumatriz respecto de la base B es

M(f, B) =

1 0 00 cos α − sinα

0 sinα cos α

Puesto que las matrices asociadas a un endomorfismo respecto de cualquier base tienen lamisma traza, se ha de cumplir que

1 + 2 cosα = traza(A) =⇒ α = arccostraza(A) − 1

2

4. Si dimS(1) = 0, entonces λ = −1 es autovalor, ya que λ = 1 no puede serlo. Se considerauna base ortonormal B = {u1,u2,u3}, siendo u1 ∈ S(−1) y |(u1,u2,u3)| > 0. Puesto quelas aplicaciones ortogonales conservan bases ortonormales:

f(B) = {f(u1), f(u2), f(u3)} = {−u1, f(u2), f(u3)}

es ortonormal. Por lo tanto

L ({f(u2), f(u3)}) = L ({u2,u3}) = L ({u1})⊥

y la aplicacion f en el plano L ({u1})⊥ es un giro centrado en el origen. Luego la aplicacionortogonal f es una simetrıa respecto del plano π ≡ L ({u1})⊥ compuesta con un giro deeje la recta r ≡ L ({u1}), y su matriz respecto de la base B es

M(f, B) =

−1 0 00 cos α − sinα

0 sinα cos α

Puesto que las matrices asociadas a un endomorfismo respecto de cualquier base tienen lamisma traza, se ha de cumplir que

−1 + 2 cosα = traza(A) =⇒ α = arccostraza(A) + 1

2

En el caso particular de que α = π, entonces

M(f,B) =

−1 0 00 −1 00 0 −1

y f es una simetrıa central con centro en el origen. En este caso dimS(−1) = 3.

En resumen, se tiene la siguiente clasificacion:

dimS(1) dimS(−1) Aplicacion ortogonal

3 0 Identidad

2 1 Simetrıa respecto del plano π ≡ S(1)

1 0 o 2 Giro de eje r ≡ S(1) y angulo α = arccos traza(A)−12

0 1Simetrıa respecto del plano π ≡ S(−1)⊥ compuesta con

giro de eje r ≡ S(−1) y angulo α = arccos traza(A)+12

0 3 Simetrıa central, con centro el origen

Tema 7: Aplicaciones ortogonales

Ejercicios

1. En R2, estudia la ortogonalidad de las aplicaciones lineales cuyas matrices, respecto

de la base canonica, son:

(a) A =

(

1 41 5

)

(c) C =

(

1 22 5

)

(e) E =

(√3/2 −1/2

1/2√

3/2

)

(b) B =

(

1 31 2

)

(d) D =

(

1/2√

3/2√3/2 −1/2

)

(f) F =

(√3/2 1/2

1/2 −√

3/2

)

2. En R3, clasifica las aplicaciones ortogonales cuyas matrices, respecto de la base

canonica, son:

(a) A =

1/√

2 0 1/√

20 1 0

1/√

2 0 −1/√

2

(c) C =1

3

1 −2 −22 −1 22 2 −1

(b) B =

0√

3/2 −1/2

0 −1/2 −√

3/2−1 0 0

3. Halla el subespacio complementario ortogonal de F = L ({(−1, 0, 0, 1), (1,−1, 0, 0)})en R

4, y la matriz de la proyeccion ortogonal de R4 sobre F , respecto de la base

canonica. ¿Es una aplicacion ortogonal?

4. Sea f : V −→ V una aplicacion lineal, definida sobre el espacio euclıdeo V , cuyasecuaciones respecto de una base ortonormal B son:

x′ = 1

3(x − 2y − 2z)

y′ = 1

3(−2x + y − 2z)

z′ = 1

3(−2x − 2y + z)

(a) Halla la matriz de f respecto de la base B.

(b) Prueba que f es una aplicacion ortogonal.

(c) Halla el subespacio S de vectores invariantes de f . ¿Es f(S⊥) = S⊥?

(d) ¿Cual es el significado geometrico de la aplicacion f?

5. Halla la matriz, respecto de la base canonica de R2, de cada una de las siguientes

aplicaciones ortogonales:

(a) Simetrıa respecto de la recta x − y = 0.

(b) Simetrıa respecto de la recta x + 2y = 0.

(c) Giro de centro el origen y angulo π/6.

6. Halla la matriz, respecto de la base canonica de R3, de cada una de las siguientes

aplicaciones:

(a) Proyeccion ortogonal sobre la recta r ≡ L ({(2,−1, 0)}).

(b) Simetrıa respecto del plano 2x − y = 0.

(c) Giro de eje L ({(0, 1, 1)}) y angulo π/2.

(d) Composicion de las aplicaciones (b) y (c).

7. Sea f : R3 −→ R

3 una aplicacion lineal respecto de la que son invariantes lossubespacios S = L ({(1, 0, 1)}) y T = {(x, y, z) : x + z = 0}.

(a) ¿Se puede asegurar que f es ortogonal?

(b) ¿Se puede asegurar que f es diagonalizable?

8. Halla la matriz, respecto de la base canonica, de una aplicacion lineal simetricaf : R

3 −→ R3 que conserva la norma de todos los vectores del plano x− z = 0 y tal

que S(−1) = {(x, y, z) : x + 2y + z = 0}.

9. Sea f : R3 −→ R

3 una aplicacion lineal que verifica: (i) su matriz respecto dela base canonica es simetrica, (ii) L ({(2,−2,−1)}) es un subespacio propio, y (iii)f(1, 0, 0) = (3, 2, 2) y f(0, 1, 0) = (2, 2, 0).

(a) ¿Es una aplicacion ortogonal?

(b) Halla sus autovalores y subespacios propios.

(c) Halla una forma diagonal de f y obten, si es posible, una base ortonormalrespecto de la cual sea diagonal.

10. Encuentra todas las aplicaciones ortogonales y simetricas f : R3 −→ R

3 que trans-forman el eje de abscisas y = z = 0 en la recta 4x − 3y = z = 0. Clasifıcalas dandosus subespacios invariantes.

Soluciones

1. No son aplicaciones ortogonales: (a), (b) y (c). Sı son aplicaciones ortogonales: (d)Simetrıa respecto de la recta x−

√3y = 0, (e) Giro de centro el origen y angulo π/6,

y (f) Simetrıa respecto de la recta x − (2 +√

3)y = 0.

2. (a) Simetrıa respecto del plano (2 −√

2)x −√

2z = 0.

(b) Giro de angulo α = arccos −3

4y eje la recta L

({(

1, 1√3,−1

)})

.

(c) Composicion de una simetrıa respecto del plano y − z = 0 con un giro de angulo

α = arccos 1

3y eje

{

x = 0y + z = 0

.

3. F⊥ = L ({(0, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 1)}), y M(proyF , Bc) = 1

3

2 −1 0 −1−1 2 0 −10 0 0 0−1 −1 0 2

. No es

una aplicacion ortogonal.

4. (a) M(f,B) = A = 1

3

1 −2 −2−2 1 −2−2 −2 1

. (b) AtA = I.

(c) S = S(1) = L ({(1, 0,−1), (0, 1,−1)}), y f(S⊥) = S⊥.(d) Simetrıa respecto del plano x + y + z = 0.

5. (a)

(

0 11 0

)

. (b) 1

5

(

3 −4−4 −3

)

. (c)

(√3/2 −1/2

1/2√

3/2

)

.

6. (a)

4/5 −2/5 0−2/5 1/5 0

0 0 0

. (b)

−3/5 4/5 04/5 3/5 00 0 1

. (c)

0 −1/√

2 1/√

2

1/√

2 1/2 1/2

−1/√

2 1/2 1/2

.

(d) c ◦ b =

−2√

2

5

−3√

2

10

√2

24−3

√2

10

3+4√

2

10

1

24+3

√2

10

3−4√

2

10

1

2

y b ◦ c =

2√

2

5

4+3√

2

10

4−3√

2

103√

2

10

3−4√

2

10

3+4√

2

10−1√2

1

2

1

2

.

7. (a) No. (b) No.

8. 1

3

−2 2 12 1 21 2 −2

.

9. (a) No. (b) σ(f) = {0, 3, 6} con S(0) = L ({(2,−2,−1)}), S(3) = L ({(1, 2,−2)}) yS(6) = L ({(2, 1, 2)}).

(c) M(f, B) =

0 0 00 3 00 0 6

con B ={(

2

3, −2

3, −1

3

)

,(

1

3, 2

3, −2

3

)

,(

2

3, 1

3, 2

3

)}

.

10. (a) M(f,Bc) =

3/5 4/5 04/5 −3/5 00 0 1

, con S(1) = L ({(2, 1, 0), (0, 0, 1)}) y

S(−1) = L ({(1,−2, 0)}). Simetrıa respecto del plano S(1).

(b) M(f,Bc) =

3/5 4/5 04/5 −3/5 00 0 −1

, con S(1) = L ({(2, 1, 0)}) y

S(−1) = L ({(1,−2, 0), (0, 0, 1)}). Giro de eje S(1) y angulo π.

(c) M(f,Bc) =

−3/5 −4/5 0−4/5 3/5 0

0 0 1

, con S(1) = L ({(1,−2, 0), (0, 0, 1)}) y

S(−1) = L ({(2, 1, 0)}). Simetrıa respecto del plano S(1).

(d) M(f,Bc) =

−3/5 −4/5 0−4/5 3/5 0

0 0 −1

, con S(1) = L ({(1,−2, 0)}) y

S(−1) = L ({(2, 1, 0), (0, 0, 1)}). Giro de eje S(1) y angulo π.

8 Movimientos

8.1 Movimiento

Se llama movimiento a una aplicacion f : Rn −→ R

n, no necesariamente lineal, que se puedeescribir en la forma:

f(u) = Au + b con

{

A una matriz ortogonal (AtA = I)b ∈ R

n

Obviamente, cuando b = 0 el movimiento es una aplicacion lineal ortogonal, y en caso contrariono es aplicacion lineal.

8.2 Observaciones

1. Un movimiento, f(u) = Au + b, es la composicion de una aplicacion ortogonal con unatraslacion:

Rn A

−→ Rn Tb−→ R

n

u −→ Au −→ Au + b

}

=⇒ f = Tb ◦ A

2. Los movimientos conservan las distancias: Si f(u) = Au + b, entonces

d (f(u), f(v)) = ‖(Au + b) − (Av + b)‖ = ‖A(u − v)‖ = ‖u − v‖ = d(u,v)

ya que las aplicaciones ortogonales conservan la norma.

8.3 Puntos fijos de un movimiento

Se llama punto fijo de un movimiento f(u) = Au + b a cualquier punto w ∈ Rn tal que

f(w) = Aw + b = w.

8.4 Movimientos en R2

1. Traslacion de vector v = (α, β):

Tv(u) = u + v = Iu + v

En forma cartesiana:

Tv(x, y) =

(

1 00 1

)(

xy

)

+

(

αβ

)

=

(

x + αy + β

)

=⇒

{

x′ = x + αy′ = y + β

No tiene puntos fijos, salvo en el caso trivial de que v = 0 (en este caso el movimiento esla identidad y todos los puntos son fijos).

2. Giro de centro c = (x0, y0) y angulo α: Se puede obtener como la composicion de unatraslacion de vector −c (que traslada el centro de giro al origen), con un giro centrado enel origen de angulo α, y con una traslacion de vector c (que devuelve el centro de giro asu posicion inicial). Por lo tanto:

Gc,α(u) = A(u − c) + c = Au + (c − Ac)

donde A es la matriz del giro centrado en el origen de angulo α. En forma cartesiana:

Gc,α(x, y) =

(

cos α − sinαsinα cos α

)(

x − x0

y − y0

)

+

(

x0

y0

)

El unico punto fijo es el centro de giro, salvo en el caso trivial de que α = 0 o α = 2π (enestos casos el movimiento es la identidad y todos los puntos son fijos).

3. Simetrıa respecto de la recta r ≡ ax + by + c = 0: Si c ∈ r es un punto de la recta,esta simetrıa se puede obtener como la composicion de una traslacion de vector −c (quetransforma la recta en otra paralela que pasa por el origen), con una simetrıa respecto dela recta ax + by = 0, y con una traslacion de vector c (que devuelve la recta a su posicioninicial). Por lo tanto:

Sr(u) = A(u − c) + c = Au + (c − Ac)

donde

A =

(

b a−a b

)(

1 00 −1

)(

b a−a b

)−1

=1

a2 + b2

(

b2 − a2 −2ab−2ab a2 − b2

)

es la matriz de la simetrıa respecto de la recta ax + by = 0. Todos los puntos de la rectar son puntos fijos.

4. Simetrıa deslizante respecto de la recta r ≡ ax + by + c = 0 con vector v ‖ r: Esla composicion de una simetrıa respecto de la recta r ≡ ax+ by + c = 0 con una traslacionde vector v. Por lo tanto, si c ∈ r, su ecuacion es:

SDr,v(u) = Tv ◦ Sr(u) = [A(u − c) + c] + v = Au + (v + c − Ac)

donde A es la matriz de la simetrıa respecto de la recta ax + by = 0. No hay puntos fijos,salvo en el caso en que v = 0 (el movimiento es una simetrıa sin deslizamiento y los puntosfijos son los de la recta r).

8.5 Ejemplos

1. Las ecuaciones de la traslacion de vector v = (1,−1) son

Tv(x, y) =

(

1 00 1

)(

xy

)

+

(

1−1

)

=

(

x + 1y − 1

)

=⇒

{

x′ = x + 1y′ = y − 1

2. Las ecuaciones de un giro con centro en c = (1, 2) y angulo α = π2 son:

Gc,α(x, y) =

(

0 −11 0

) (

x − 1y − 2

)

+

(

12

)

=⇒

{

x′ = 3 − yy′ = x + 1

3. Para hallar las ecuaciones de una simetrıa respecto de la recta r ≡ y − x = 1 se considerauno de sus puntos, por ejemplo (0, 1), y la matriz de la simetrıa respecto de su rectaparalela que pasa por el origen (x − y = 0):

A =

(

−1 1−1 −1

)(

1 00 −1

) (

−1 1−1 −1

)−1

=

(

0 11 0

)

Las ecuaciones de la simetrıa son:

Sr(x, y) =

(

0 11 0

)(

xy − 1

)

+

(

01

)

=⇒

{

x′ = y − 1y′ = x + 1

4. Para hallar las ecuaciones de la simetrıa deslizante respecto de la recta r ≡ y − x = 1 convector v = (3, 3) se halla la matriz de la simetrıa respecto de su recta paralela que pasapor el origen (x − y = 0), que es la misma matriz A del ejemplo anterior, y un punto dela recta, por ejemplo (0, 1). Las ecuaciones de la simetrıa deslizante son:

SDr,v(x, y) =

[(

0 11 0

) (

xy − 1

)

+

(

01

)]

+

(

33

)

=⇒

{

x′ = y + 2y′ = x + 4

8.6 Movimientos en R3

1. Traslacion de vector v:Tv(u) = u + v

No tiene puntos fijos, salvo en el caso trivial de que v = 0 (en este caso el movimiento esla identidad y todos los puntos son fijos).

2. Giro de angulo α y eje la recta r ≡ u0+L({u1}): Se puede obtener como la composicionde una traslacion de vector −u0 (que hace pasar el eje de giro por el origen), con un girode eje L({u1}) y angulo α, y con una traslacion de vector u0 (que devuelve el eje de giroa su posicion inicial). Por lo tanto:

Gr,α(u) = A(u − u0) + u0 = Au + (u0 − Au0)

donde A es la matriz del giro de angulo α y eje L({u1}). Los unicos puntos fijos son losdel eje de giro, salvo en el caso trivial de que α = 0 o α = 2π (en estos casos el movimientoes la identidad y todos los puntos son fijos). Si α = π, el giro se suele llamar simetrıa

axial de eje r.

3. Movimiento helicoidal de angulo α, eje r ≡ u0 + L({u1}) y vector de traslacion

v ‖ r: Es la composicion de un giro de angulo α y eje r ≡ u0 +L({u1}) con una traslacionde vector v. Por lo tanto, su ecuacion es:

MHr,α,v(u) = Tv ◦ Gr,α(u) = [A(u − u0) + u0] + v = Au + (v + u0 − Au0)

donde A es la matriz del giro de angulo α y eje L({u1}). En general, no hay puntos fijos.

4. Simetrıa respecto del plano π ≡ u0 + L({u1,u2}): Se puede obtener como la com-posicion de una traslacion de vector −u0 (que hace pasar al plano de simetrıa por elorigen), con una simetrıa respecto del plano L({u1,u2}), y con una traslacion de vectoru0 (que devuelve el plano de simetrıa a su posicion inicial). Por lo tanto:

Sπ(u) = A(u − u0) + u0 = Au + (u0 − Au0)

donde A es la matriz de la simetrıa respecto del plano L({u1,u2}). Todos los puntos delplano π son puntos fijos.

5. Simetrıa deslizante respecto del plano π ≡ u0 + L({u1,u2}) con vector v ‖ π: Esla composicion de una simetrıa respecto del plano π ≡ u0 +L({u1,u2}) con una traslacionde vector v. Por lo tanto, su ecuacion es:

SDπ,v(u) = Tv ◦ Sπ(u) = [A(u − u0) + u0] + v = Au + (v + u0 − Au0)

donde A es la matriz de la simetrıa respecto del plano L({u1,u2}). No hay puntos fijos,salvo en el caso en que v = 0 (el movimiento es una simetrıa sin deslizamiento y los puntosfijos son los del plano π).

6. Simetrıa rotacional: Es la composicion de una simetrıa respecto del plano π ≡ u0 +L({u1,u2}) con un giro de angulo α y eje la recta r ≡ u0 + L({u3}) perpendicular a π(r ∩ π = {u0}). Su ecuacion es:

SR(u) = A(u − u0) + u0 = Au + (u0 − Au0)

donde A es la matriz de la composicion de una simetrıa respecto del plano L({u1,u2}) conun giro de angulo α y eje L({u3}). El unico punto fijo es el punto u0 de interseccion de larecta y el plano, salvo en el caso de que α = 0 o α = 2π en que la simetrıa rotacional sereduce a la simetrıa respecto del plano π. En el caso particular α = π la simetrıa rotacionalse llama simetrıa central y su ecuacion es:

SC(u) = −(u − u0) + u0 = −u + 2u0

8.7 Ejemplos

1. Para hallar la ecuacion de un giro de angulo α = π/2 y de eje la recta r ≡

{

y = 1z = 2

, hay

que comenzar hallando la matriz del giro del mismo angulo y eje la recta y = z = 0, quees

A =

1 0 00 cos π

2 − sin π2

0 sin π2 cos π

2

=

1 0 00 0 −10 1 0

y puesto que (0, 1, 2) ∈ r, la ecuacion del giro es:

Gr,α(x, y, z) =

1 0 00 0 −10 1 0

xy − 1z − 2

+

012

=

x3 − zy + 1

2. La simetrıa axial respecto de la recta r ≡

{

y = 1z = 2

es el giro con eje en la misma recta y

angulo α = π. Como en el ejemplo anterior, su ecuacion es:

Gr,π(x, y, z) =

1 0 00 cos π − sinπ0 sinπ cos π

xy − 1z − 2

+

012

=

1 0 00 −1 00 0 −1

xy − 1z − 2

+

012

=

x2 − y4 − z

3. Para hallar la ecuacion del movimiento helicoidal de eje r ≡

{

y = 1z = 2

, angulo α = π2 y

vector v = (2, 0, 0), se halla la matriz del giro del mismo angulo y eje la recta y = z = 0,que es

A =

1 0 00 cos π

2 − sin π2

0 sin π2 cos π

2

=

1 0 00 0 −10 1 0

y puesto que (0, 1, 2) ∈ r, la ecuacion del movimiento helicoidal es:

MHr,α,v(x, y, z) =

1 0 00 0 −10 1 0

xy − 1z − 2

+

012

+

200

=

x + 23 − zy + 1

4. Para hallar la ecuacion de la simetrıa respecto del plano π ≡ y − z = 1, hay que hallar lamatriz de la simetrıa respecto del plano y − z = 0, que es

A =

1 0 00 0 10 1 0

y, puesto que (0, 1, 0) ∈ π, la ecuacion de la simetrıa es:

Sπ(x, y, z) =

1 0 00 0 10 1 0

xy − 1

z

+

010

=

xz + 1y − 1

5. La simetrıa deslizante respecto del plano π ≡ y − z = 1 con vector de deslizamientov = (1, 2, 2), es la composicion de la simetrıa respecto del plano π (la del ejemplo anterior)con la traslacion de vector v. Por lo tanto, su ecuacion es:

SDπ,v(x, y, z) = Tv ◦ Sπ(x, y, z) =

1 0 00 0 10 1 0

xy − 1

z

+

010

+

122

=

x + 1z + 3y + 1

6. La simetrıa rotacional de eje r ≡

{

y = 1z = 2

, angulo α = π/2 y plano π ≡ x = −1 tiene

por matriz la asociada a la composicion de una simetrıa respecto del plano x = 0 ≡L({e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}) con un giro de angulo π/2 y eje la recta y = z = 0 ≡L({e1 = (1, 0, 0)}), es decir:

A =

−1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 cos π

2 − sin π2

0 sin π2 cos π

2

=

−1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 0 −10 1 0

=

−1 0 00 0 −10 1 0

Puesto que r ∩ π = (−1, 1, 2), la ecuacion de la simetrıa rotacional es

SR(x, y, z) =

−1 0 00 0 −10 1 0

x + 1y − 1z − 2

+

−112

=

−x − 2−z + 3y + 1

7. La ecuacion de la simetrıa central respecto del punto Q(−1, 1, 2) es

SC(x, y, z) = −

x + 1y − 1z − 2

+

−112

=

−x − 2−y + 2−z + 4

8.8 Clasificacion de movimientos en R2

Sea f(u) = Au+b, AtA = I, un movimiento, y sea S(1) = Ker(A− I) el subespacio de vectoresinvariantes de A. Se pueden presentar los siguientes casos:

1. Si dimS(1) = 2, entonces A = I y el movimiento es una traslacion de vector b.

2. Si dimS(1) = 1, la aplicacion ortogonal asociada a la matriz A es una simetrıa, y se puedenpresentar dos casos:

(a) Hay puntos fijos: el movimiento es una simetrıa respecto de la recta {u : f(u) = u}.

(b) No hay puntos fijos: el movimiento es una simetrıa deslizante con vector v que ha deverificar:

f(f(0)) = f2(0) = 2v =⇒ v =1

2f2(0)

y recta de simetrıa r ≡ {u : f(u) = u + v}.

3. Si dimS(1) = 0, el movimiento es un giro de centro el unico punto fijo c, es decir tal que

f(c) = c, y angulo α = arccos traza(A)2 .

En resumen, se tiene la siguiente clasificacion:

dimS(1) Puntos fijos Movimiento: f(u) = Au + b

2 Traslacion de vector b

1 Si Simetrıa respecto de la recta {u : f(u) = u}

1 NoSimetrıa deslizante de vector v = 1

2f2(0)y eje la recta r ≡ {u : f(u) = u + v}

0Giro de centro el vector c, tal que f(c) = c,

y angulo α = arccos traza(A)2

8.9 Clasificacion de movimientos en R3

Sea f(u) = Au+b, AtA = I, un movimiento, y sea S(1) = Ker(A− I) el subespacio de vectoresinvariantes de A. Se pueden presentar los siguientes casos:

1. Si dimS(1) = 3, entonces A = I y el movimiento es una traslacion de vector b.

2. Si dimS(1) = 2, la aplicacion ortogonal asociada a la matriz A es una simetrıa, y se puedenpresentar dos casos:

(a) Hay puntos fijos: el movimiento es una simetrıa respecto del plano {u : f(u) = u}.

(b) No hay puntos fijos: el movimiento es una simetrıa deslizante con vector v que ha deverificar:

f(f(0)) = f2(0) = 2v =⇒ v =1

2f2(0)

y plano de simetrıa π ≡ {u : f(u) = u + v}.

3. Si dimS(1) = 1, la aplicacion ortogonal asociada a la matriz A es un giro, y se puedenpresentar dos casos:

(a) Hay puntos fijos: el movimiento es un giro respecto de la recta {u : f(u) = u} y

angulo α = arccos traza(A)−12 .

(b) No hay puntos fijos: el movimiento es un movimiento helicoidal con eje la recta

r ≡ {u : f(u) − u ∈ S(1)}, angulo α = arccos traza(A)−12 , y vector de deslizamiento

v = f(v0) − v0, con v0 ∈ r.

4. Si dimS(1) = 0, se pueden presentar dos casos:

(a) Si dimS(−1) = 3, entonces A = −I y el movimiento es una simetrıa central concentro en su unico punto fijo c (f(c) = c).

(b) Si dimS(−1) = 1, el movimiento es una simetrıa rotacional. Si c es su punto fijo(f(c) = c), el eje de giro es c+S(−1), el plano de simetrıa es c+S(−1)⊥, y el angulo

de giro α = arccos traza(A)+12 .

En resumen, se tiene la siguiente clasificacion:

dimS(1) Movimiento: f(u) = Au + b

3 Traslacion de vector b

2 Hay puntos fijos Simetrıa respecto del plano {u : f(u) = u}

2 No hay puntos fijosSimetrıa deslizante de vector v = 1

2f2(0)respecto del plano π ≡ {u : f(u) = u + v}

1 Hay puntos fijosGiro respecto de la recta r ≡ {u : f(u) = u},

y angulo α = arccos traza(A)−12

1 No hay puntos fijos

Movimiento helicoidal de eje r ≡ {u : f(u) − u ∈ S(1)},

angulo α = arccos traza(A)−12 ,

y vector de deslizamiento v = f(v0) − v0, con v0 ∈ r

0 dimS(−1) = 3 Simetrıa central respecto de c, con f(c) = c

0 dimS(−1) = 1

Simetrıa rotacional de eje v0 + S(−1)y plano v0 + S(−1)⊥,con f(v0) = v0,

y angulo α = arccos traza(A)+12

Tema 8: Movimientos

Ejercicios

1. Halla las ecuaciones de las simetrıas respecto de las rectas:

(a) x −√

3y = 2 (b) x + 2y = 4 (c) 2x − y = 1

2. Halla las ecuaciones de la simetrıa deslizante de eje y = x − 2 y vector v = (3, 3).

3. Encuentra, si existe, las ecuaciones de un giro que transforme P (2, 0) en P ′(−1, 1)y Q(4, 1) en Q′(0,−1).

4. Halla las ecuaciones de los siguientes movimientos:

(a) Giro de centro (1, 0) y angulo 135◦.

(b) Simetrıa deslizante de eje paralelo a la recta 2x + y = 3 y que transforma (2, 1)en (1, 0).

(c) Giro de angulo 60◦ que transforme (2, 1) en (1, 0).

(d) La composicion de los movimientos (a) y (b).

5. Determina todos los movimientos que transforman (1, 0) en (2, 1) y (0, 1) en (1, 0).

6. En R3, halla las ecuaciones de los siguientes movimientos:

(a) Giro de angulo 90◦ respecto de la recta que pasa por (1, 0, 1) con vector directoru = (1, 1, 0).

(b) Composicion del giro de angulo 180◦ respecto de la recta r ≡ (x, y, z) =(0, 0, 1) + (0, 1, 1)t, con la traslacion de vector v = (1, 1, 0). ¿Que movimientose obtiene?

(c) Simetrıa respecto del plano que pasa por (0, 1, 1) y es perpendicular al vectoru = (2, 1, 1). Obten el punto simetrico de P (2, 1,−1).

(d) Simetrıa axial respecto de la recta r ≡{

x − z = 0y − 3z = 2

. Obten el punto simetrico

de P (1, 1, 1).

(e) Simetrıa rotacional (simetrıa compuesta con giro) respecto del plano que con-

tiene a las rectas r1 ≡{

x − 3y = 1y − z = 3

y r2 ≡{

x = 4y − z = 3

, con angulo de giro

180◦ y eje de giro r ≡{

x = 2y + z = 0

.

(f) Movimiento helicoidal de eje r ≡ {(1,−1, 0)t : t ∈ R}, angulo 180◦ y vector detraslacion v = (2,−2, 0).

(g) Giro respecto de la recta que pasa por los puntos (1, 1, 0) y (0, 0, 1), y quetransforma P (0, 1, 0) en P ′(1, 1, 1).

(h) Composicion de la simetrıa respecto del plano 3x−y+2z = 1 con el movimientohelicoidal del apartado (f).

7. Dados los planos π1 ≡ x + y = 1 y π2 ≡ x + y = 4, encuentra las ecuaciones delmovimiento M = Sπ1

◦ Sπ2. Comprueba que es una traslacion y halla su vector

asociado.

8. Clasifica los siguientes movimientos sobre R2:

(a)

{

x′ = −y + 1

y′ = −x + 1(c)

{

x′ = −y + 3

y′ = −x − 1(e)

{

x′ = 35x + 4

5y

y′ = 45x − 3

5y + 1

(b)

{

x′ = x + 3

y′ = y − 1(d)

{

x′ = −y + 3

y′ = x − 1

9. Clasifica los siguientes movimientos sobre R3:

(a)

x′ = −y + 1

y′ = −x + 1

z′ = z + 1

(c)

x′ = z + 1

y′ = y + 1

z′ = −x + 1

(e)

x′ = z + 1

y′ = −y + 1

z′ = −x − 1

(g)

x′ = z + 1

y′ = y

z′ = −x + 1

(b)

x′ = −x + 1

y′ = −y + 1

z′ = −z − 1

(d)

x′ = −y + 1

y′ = −x + 1

z′ = z

(f)

x′ = x + 1

y′ = y + 1

z′ = z − 1

Soluciones

1. (a) S(x, y) = 12

(

1√

3√3 −1

)(

xy

)

+

(

1

−√

3

)

;

(b) S(x, y) = 15

[(

3 −4−4 −3

)(

xy

)

+

(

816

)]

;

(c) S(x, y) = 15

[(

−3 44 3

)(

xy

)

+

(

4−2

)]

.

2. SD(x, y) =

(

0 11 0

)(

xy

)

+

(

51

)

.

3. G(x, y) =

(

0 1−1 0

)(

xy

)

+

(

−13

)

.

4. (a) G(x, y) = 1√2

[(

−1 −11 −1

)(

xy

)

+

(

1 +√

2−1

)]

;

(b) SD(x, y) = 15

(

−3 −4−4 3

)(

xy

)

+

(

31

)

;

(c) G(x, y) = 12

[(

1 −√

3√3 1

)(

xy

)

+

( √3

−1 − 2√

3

)]

;

(d) M(a) ◦ M(b)(x, y) = 15√

2

[(

7 11 −7

) (

xy

)

+

(

5√

2 − 155

)]

;

M(b) ◦ M(a)(x, y) = 15√

2

[(

−1 77 1

)(

xy

)

+

(

12√

2 + 1√2 − 7

)]

.

5. Giro de centro (1, 1) y angulo 90◦, o simetrıa deslizante de eje 2y = 1 y vectorv = (1, 0).

G(x, y) =

(

0 −11 0

)(

xy

)

+

(

20

)

; SD(x, y) =

(

1 00 −1

)(

xy

)

+

(

11

)

6. (a) G(x, y, z) = 12

1 1√

2

1 1 −√

2

−√

2√

2 0

xyz

+

1 −√

2

−1 +√

2

2 +√

2

.

(b) T ◦ G(x, y, z) =

−1 0 00 0 10 1 0

xyz

+

101

. Es un movimiento helicoidal de eje

r ≡

x = 1/2y = −1/2 + λz = λ

, angulo α = π y vector de deslizamiento v =(

0, 12 , 1

2

)

.

(c) S(x, y, z) = 13

−1 −2 −2−2 2 −1−2 −1 2

xyz

+

422

; S(P ) = P ′(

23 , 1

3 , −53

)

.

(d) SA(x, y, z) = 111

−9 6 26 7 62 6 −9

xyz

+

−128

−12

; SA(P ) = P ′(

−1311 , 27

11 , −1311

)

.

(e) SR(x, y, z) =

−1 0 00 −1 00 0 −1

xyz

+

43−3

.

(f) MH(x, y, z) =

0 −1 0−1 0 00 0 −1

xyz

+

2−20

.

(g) G(x, y, z) =

0 1 00 0 −1−1 0 0

xyz

+

011

.

(h) MH ◦ S(x, y, z) = 17

−3 −6 −22 −3 66 −2 −3

xyz

+

15−17−2

.

7. M(x, y, z) =

1 0 00 1 00 0 1

xyz

+

−3−30

; v = (−3,−3, 0).

8. (a) Simetrıa respecto de la recta r ≡ x + y = 1.(b) Traslacion de vector v = (3,−1).(c) Simetrıa deslizante respecto de la recta r ≡ x + y = 1, con vector de traslacionv = (2,−2).(d) Giro de centro C(2, 1) y angulo α = π/2.(e) Simetrıa deslizante respecto de la recta r ≡ x−2y+1 = 0, con vector de traslacionv =

(

25 , 1

5

)

.

9. (a) Simetrıa deslizante respecto del plano π ≡ x+ y = 1 con vector de deslizamientov = (0, 0, 1).(b) Simetrıa central de centro C

(

12 , 1

2 , −12

)

.

(c) Movimiento helicoidal con eje de giro r ≡ {x = 1, z = 0}, angulo α = π

2 y vectorv = (0, 1, 0).(d) Simetrıa respecto del plano π ≡ x + y = 1.(e) Simetrıa rotacional respecto del plano π ≡ y = 1/2, eje de giror ≡ {x = 0, z = −1} y angulo α = π

2 .(f) Traslacion de vector v = (1, 1,−1).(g) Giro de eje r ≡ {x = 1, z = 0} y angulo α = π

2 .

9 Conicas

9.1 Conicas

Se llama conica a cualquiera de las secciones planas que se producen al cortar en el espacio undoble cono recto por un plano.

Si el doble cono recto tiene vertice O, eje r y angulo α, 0 < α < π2, y el plano Π forma un

angulo β con el eje del cono, se pueden presentar los siguientes casos:

1. Si β = π2, es decir si r ⊥ Π, la conica es una circunferencia (si O /∈ Π) o un punto (si

O ∈ Π).

2. Si α < β < π2, la conica es una elipse (si O /∈ Π) o un punto (si O ∈ Π).

3. Si β = α, la conica es una parabola (si O /∈ Π) o una recta (si O ∈ Π).

4. Si 0 ≤ β < α, la conica es una hiperbola (si O /∈ Π) o un par de rectas (si O ∈ Π).

Cuando O ∈ Π, la conica se llama conica degenerada.La ecuacion analıtica de una conica es:

a11x2 + a12xy + a22y

2 + a1x + a2y + a = 0

con a11, a12, a22, a1, a2, a ∈ R, que tambien se llama ecuacion general de la conica.

9.2 Ecuacion reducida de una conica

Mediante un movimiento (giro y/o traslacion) la ecuacion general de una conica se reduce a unade las siguientes ecuaciones reducidas:

1. x2

a2 + y2

b2= p, con a, b > 0 y p = −1, 0, 1 (conica de tipo elıptico).

• Si p = 1, la conica reducida es

– una elipse, si a 6= b, con centro el origen, ejes los cartesianos y focos en los puntos(±c, 0), si a > b (c2 = a2 − b2), o (0,±c), si a < b (c2 = b2 − a2).

– una circunferencia, si a = b, con centro el origen y radio a.

• Si p = 0, la conica reducida es un punto (el origen).

• Si p = −1, la conica reducida carece de puntos, y se llama elipse imaginaria.

2. x2

a2 − y2

b2= p, con a, b > 0 y p = −1, 0, 1 (conica de tipo hiperbolico).

• Si p = 1, la conica reducida es una hiperbola con centro el origen, ejes los cartesianosy focos en los puntos (±c, 0), con c2 = a2 + b2.

• Si p = 0, la conica reducida es un par de rectas secantes.

• Si p = −1, la conica reducida es una hiperbola con centro el origen, ejes los carte-sianos y focos en los puntos (0,±c), con c2 = a2 + b2.

3. y2 = 2px, con p 6= 0 (conica de tipo parabolico). La conica reducida es una parabola concentro o vertice en el origen, ejes los cartesianos, foco ( p

2, 0) y directriz x = − p

2.

4. x2 = 2py, con p 6= 0 (conica de tipo parabolico). La conica reducida es una parabola concentro el origen, ejes los cartesianos, foco (0, p

2) y directriz y = −p

2.

5. y2 = q o x2 = q (conica de tipo parabolico). La conica reducida es un par de rectas

paralelas (si q > 0), una recta doble (si q = 0) o un par de rectas imaginarias (siq < 0).

9.3 Obtencion de la ecuacion reducida de una conica

Seaa11x

2 + a12xy + a22y2 + a1x + a2y + a = 0

con a11, a12, a22, a1, a2, a ∈ R, la ecuacion general de una conica, que se puede expresar matri-cialmente como:

(

x y)

(

a11a12

2a12

2a22

)(

xy

)

+(

a1 a2

)

(

xy

)

+ a = 0

donde la matriz

A =

(

a11a12

2a12

2a22

)

es simetrica y, por tanto, diagonalizable ortogonalmente (respecto de una base ortonormal deautovectores). El proceso a seguir, para obtener la ecuacion reducida, es el siguiente:

1. Si a12 6= 0, los ejes de la conica no son paralelos a los ejes cartesianos, por lo que se haceun giro para obtener una una conica equivalente con los ejes paralelos a los cartesianos.Se determinan los autovalores de la matriz A, σ(A) = {λ1, λ2}, y una base ortonormalde autovectores B = {u1,u2} con

∣

∣

(

u1 u2

)∣

∣ = 1. La matriz del cambio de base P =(

u1 u2

)

= M(B, Bc) es ortogonal, es decir P−1 = P t, y se cumple que

P−1AP = P tAP = D =

(

λ1 00 λ2

)

Aplicando el giro

(

x1

y1

)

= P t

(

xy

)

, se tiene que

(

xy

)

= P

(

x1

y1

)

y, sustituyendo en la

ecuacion de la conica, queda:

(

x1 y1

)

P tAP

(

x1

y1

)

+(

a1 a2

)

P

(

x1

y1

)

+ a = 0

es decir:(

x1 y1

)

(

λ1 00 λ2

)(

x1

y1

)

+(

b1 b2

)

(

x1

y1

)

+ a = 0

donde(

b1 b2

)

=(

a1 a2

)

P . Operando, la ecuacion de la conica despues del giro es

λ1x21 + λ2y

21 + b1x1 + b2y1 + a = 0

que ya no tiene termino en xy.Si a12 = 0, los ejes de la conica ya son paralelos a los cartesianos y se pasa directamenteal paso siguiente.

2. Si (b1, b2) 6= (0, 0), el centro de la conica (si es una conica con centro) no es el origen o laconica (si no tiene centro) no pasa por el origen. En este caso se aplica una traslacion paraque el centro (si es una conica con centro) sea el origen o la conica (si no tiene centro)pase por el origen. Se pueden presentar los siguientes casos:

(a) Si δ = |A| = λ1λ2 > 0, la conica es de tipo elıptico. Completando cuadrados en suexpresion:

λ1

(

x1 +b1

2λ1

)2

+ λ2

(

y1 +b2

2λ2

)2

=b21

4λ1

+b22

4λ2

− a = c

Aplicando la traslacion

{

x2 = x1 + b12λ1

y2 = y1 + b22λ2

, se obtiene la ecuacion reducida de la

conica:

λ1x22 + λ2y

22 = c que es

una elipse real, si cλ1 > 0un punto, si c = 0una elipse imaginaria, si cλ1 < 0

(b) Si δ = |A| = λ1λ2 < 0, la conica es de tipo hiperbolico. Completando cuadradoscomo en el apartado anterior, y aplicando la misma traslacion, se obtiene la ecuacionreducida de la conica:

λ1x22 + λ2y

22 = c que es

{

una hiperbola, si c 6= 0un par de rectas secantes, si c = 0

(c) Si δ = |A| = λ1λ2 = 0, la conica es de tipo parabolico. Se puede suponer, sin perdidade generalidad, que λ1 = 0 y λ2 6= 0 (los dos no se pueden anular simultaneamente),la expresion de la conica serıa:

λ2y21 + b1x1 + b2y1 + a = 0

Completando cuadrados, se obtiene

λ2

(

y1 +b2

2λ2

)2

=b22

4λ2

− a− b1x1

Entonces:

i. Si b1 6= 0, aplicando la traslacion

{

x2 = x1 + ab1− b2

2

4λ2b1

y2 = y1 + b22λ2

, se obtiene la ecuacion

reducida de la conica:

λ2y22 = −b1x2 que es una parabola

ii. Si b1 = 0, aplicando la traslacion

{

x2 = x1

y2 = y1 + b22λ2

, se obtiene la ecuacion re-

ducida de la conica:

λ2y22 =

b22

4λ2

− a = c que es

un par de rectas paralelas, si cλ2 > 0una recta doble, si c = 0un par de rectas imaginarias, si cλ2 < 0

Si b1 = b2 = 0, el centro de la conica (si es una conica con centro) es el origen o la conica (sino tiene centro) pasa por el origen, y la ecuacion obtenida despues del giro es la ecuacionreducida de la conica.

9.4 Centro o vertice, y ejes de una conica no degenerada

Cuando la conica es no degenerada, su centro o vertice se obtiene aplicando al origen (que esel centro o vertice de la conica reducida) los movimientos inversos a los usados para obtener laecuacion reducida: en primer lugar la traslacion de vector opuesto, y despues el giro de anguloopuesto.Si la conica es una elipse o una hiperbola, sus ejes son las rectas que pasan por el centro de laconica con la direccion de los autovectores de la matriz A.Si la conica es una parabola, su eje principal es la recta que pasa por el centro con la direcciondel autovector asociado al autovalor nulo, y su eje secundario es la recta que pasa por el centrocon la direccion del autovector asociado al autovalor no nulo.

9.5 Ejemplos

1. Para hallar la ecuacion reducida de la conica 3x2 +3y2− 2xy− 2 = 0, se expresa en formamatricial:

(

x y)

(

3 −1−1 3

)(

xy

)

− 2 = 0

La matriz asociada y sus autovalores son

A =

(

3 −1−1 3

)

; |A− λI| =∣

∣

∣

∣

3− λ −1−1 3− λ

∣

∣

∣

∣

= (λ− 2)(λ− 4) =⇒{

λ1 = 2λ2 = 4

Los subespacios propios son

S(2) =

{

v : (A− 2I)v =

(

1 −1−1 1

)(

xy

)

= 0

}

= {v : x− y = 0} = L ({(1, 1)})

S(4) =

{

v : (A− 4I)v =

(

−1 −1−1 −1

)(

xy

)

= 0

}

= {v : x + y = 0} = L ({(−1, 1)})

La matriz diagonal y la matriz de paso son:

D =

(

2 00 4

)

y P =1√2

(

1 −11 1

)

con P tAP = D

Aplicando a la conica el giro

(

x1

y1

)

= P t

(

xy

)

=1√2

(

1 1−1 1

)(

xy

)

con centro el origen y angulo −45o, se obtiene

(

x1 y1

)

P tAP

(

x1

y1

)

− 2 = 0

y operando:

2x21 + 4y2

1 = 2 =⇒ x21 +

y21

1/2= 1

que es la ecuacion reducida de la conica, que corresponde a una elipse. No es necesario usartraslaciones. La ecuacion reducida tambien se suele expresar renombrando las variables(x1, y1) como (x, y), es decir como

x2 +y2

1/2= 1

Puesto que no se ha aplicado traslacion, el centro de la elipse coincide con el de la conicareducida, es decir es el origen. Sus ejes son las rectas que pasan por el origen con ladireccion de los autovectores:

{

x−1

= y1

x1

= y1

=⇒{

x + y = 0x− y = 0

La representacion grafica de la conica es la de la figura.

Figure 1: Representacion grafica de la conica 3x2 + 3y2 − 2xy − 2 = 0

2. Para hallar la ecuacion reducida de la conica x2 + y2 + 4xy − x + y + 1 = 0, se expresa enforma matricial:

(

x y)

(

1 22 1

)(

xy

)

+(

−1 1)

(

xy

)

+ 1 = 0

La matriz asociada y sus autovalores son

A =

(

1 22 1

)

; |A− λI| =∣

∣

∣

∣

1− λ 22 1− λ

∣

∣

∣

∣

= (λ− 3)(λ + 1) =⇒{

λ1 = 3λ2 = −1

Los subespacios propios son

S(3) =

{

v : (A− 3I)v =

(

−2 22 −2

)(

xy

)

= 0

}

= {v : x− y = 0} = L ({(1, 1)})

S(−1) =

{

v : (A + I)v =

(

2 22 2

)(

xy

)

= 0

}

= {v : x + y = 0} = L ({(−1, 1)})

La matriz diagonal y la matriz de paso son:

D =

(

3 00 −1

)

y P =1√2

(

1 −11 1

)

con P tAP = D

Aplicando a la conica el giro(

x1

y1

)

= P t

(

xy

)

=1√2

(

1 1−1 1

)(

xy

)

con centro el origen y angulo −45o, se obtiene

(

x1 y1

)

P tAP

(

x1

y1

)

+(

−1 1)

P

(

x1

y1

)

+ 1 = 0

y operando:

3x21 − y2

1 +√

2y1 + 1 = 0 =⇒ 3x21 −

(

y1 −1√2

)2

= −3

2

Si ahora se aplica la traslacion{

x2 = x1

y2 = y1 − 1√

2

se llega a

3x22 − y2

2 =−3

2=⇒ x2

2

1/2− y2

2

3/2= −1

que es la ecuacion reducida de la conica, que corresponde a una hiperbola. La ecuacionreducida tambien se suele expresar renombrando las variables (x2, y2) como (x, y), es decircomo

x2

1/2− y2

3/2= −1

Aplicando la traslacion opuesta y el giro inverso al centro de la conica reducida, se obtienenel centro de la conica original. El centro es

C = (0, 0)2 =⇒ C = (0,1√2)1 =⇒ C =

1√2

(

1 −11 1

)(

−1/21/2

)

=⇒ C =

(−1

2,1

2

)

Los ejes son las rectas que pasan por el centro y cuyos vectores de direccion son los vectorespropios, es decir:

{

x+ 1

2

−1=

y− 1

2

1x+

1

2

1=

y− 1

2

1

=⇒{

x + y = 0x− y + 1 = 0

La representacion grafica de la conica es la de la figura.

Figure 2: Representacion grafica de la conica x2 + y2 + 4xy − x + y + 1 = 0

9.6 Clasificacion de conicas por invariantes

Para clasificar una conica, de ecuacion general

a11x2 + a12xy + a22y

2 + a1x + a2y + a = 0

con a11, a12, a22, a1, a2, a ∈ R, no es necesario encontrar el movimiento (giro y/o traslacion) quela transforma en su ecuacion reducida. Se puede hacer a partir de las matrices:

A =

(

a11a12

2a12

2a22

)

y A =

a11a12

2

a1

2a12

2a22

a2

2a1

2

a2

2a

Si σ(A) = {λ1, λ2} son los autovalores de A, δ = |A| y ∆ =∣

∣A∣

∣, entonces:

Tipo Ecuacion reducida Conica

Elipse real, si λ1∆ < 0

δ > 0 Elıptico λ1x2 + λ2y

2 = −∆δ

Elipse imaginaria, si λ1∆ > 0Punto, si ∆ = 0

δ < 0 Hiperbolico λ1x2 + λ2y

2 = −∆δ

Hiperbola, si ∆ 6= 0Par de rectas secantes, si ∆ = 0

λ2y2 = ±2

√

−∆λ2

x Parabola, si ∆ 6= 0

δ = 0 Parabolico Par de rectas paralelas, si ∆ = 0 y cλ2 > 0(λ1 = 0) λ2y

2 = c Recta doble, si ∆ = 0 y c = 0(λ2 6= 0) Par de rectas imaginarias, si ∆ = 0 y cλ2 < 0

Tema 9: Conicas

Ejercicios

Clasifica las siguientes conicas dando su ecuacion reducida, centro o vertice y ejes, cuandocorresponda, y dibujandolas si es posible.

1. 3x2− 2xy + 3y2 + 2x − 4y + 1 = 0.

2. x2− 2xy + y2 + 4x − 6y + 1 = 0.

3. x2 + 2xy − y2− 6x + 4y − 3 = 0.

4. x2 + 3xy + 2y2 + 2x + 5y − 3 = 0.

5. x2 + 4xy + 4y2− 2x − 4y − 3 = 0.

6. 3x2− 2xy + 3y2 + 2x − 4y + 2 = 0.

7. x2 + y2 + 2x + 1 = 0.

8. x2 + 4xy + 4y2− 2x − 4y + 1 = 0.

9. x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y + 2 = 0.

10. x2 + y2 + 2xy − 7x − 5y + 7 = 0.

11. −2x2 + y2 + 4xy + 2x − 1 = 0.

12. x2 + y2 + 4x − 4y − 2xy − 5 = 0.

13. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

14. 8x2 + 17y2 + 12xy − 8x − 16y − 8 = 0.

15. x2 + 4y2 + 4xy − 6x − 12y + 9 = 0.

16. x2− y2 + 2x + 6y − 13 = 0.

17. x2− 2y2

− xy + 2x + 5y − 3 = 0.

18. x2 + y2 + x − 1 = 0.

19. x2− 4y2

− 2x − 8y − 3 = 0.

Soluciones

1. Elipse de ecuacion reducida x2

3/16+ y2

3/32= 1, centro

(

−1

8, 5

8

)

, y ejes x − y + 3

4= 0 y

x + y −1

2= 0.

2. Parabola de ecuacion reducida y2 =√

2

2x, vertice

(

−31

8, −11

8

)

, y eje x − y + 5

2= 0.

3. Hiperbola de ecuacion reducida x2

1/2√

2−

y2

1/2√

2= −1, centro

(

1

2, 5

2

)

, y ejes x − (1 +√

2)y = −2 −5√

2

2y (1 +

√

2)x + y = 3 +√

2

2.

4. Par de rectas secantes: x + y = −3 y x + 2y = 1.

5. Par de rectas paralelas: x + 2y = 3 y x + 2y = −1.

6. Elipse imaginaria de ecuacion reducida x2

5/16+ y2

5/32= −1.

7. Punto: (−1, 0).

8. Recta doble: x + 2y = 1.

9. Par de rectas imaginarias: x + 2y = −1 + i y x + 2y = −1 − i.

10. Parabola de ecuacion reducida y2 = 1√

2x, vertice

(

1

2, 5

2

)

, y eje x + y = 3.

11. Hiperbola de ecuacion reducida x2

5/12−

y2

5/18= 1, centro

(

1

6, −1

3

)

, y ejes 2x − y = 2

3y

x + 2y = −1

2.

12. Par de rectas paralelas: x − y = 1 y x − y = −5.

13. Punto: (−1, 1).

14. Elipse de ecuacion reducida x2

12/5+ y2

3/5= 1, centro

(

1

5, 2

5

)

, y ejes x + 2y = 1 y2x − y = 0.

15. Recta doble: x + 2y = 3.

16. Hiperbola de ecuacion reducida x2

5−

y2

5= 1, centro (−1, 3), y ejes x = −1 e y = 3.

17. Par de rectas secantes: x − 2y = −3 y x + y = 1.

18. Circunferencia de ecuacion reducida x2

5/4+ y2

5/4= 1, centro

(

−1

2, 0

)

, y radio√

5

2.

19. Par de rectas secantes: x − 2y = 3 y x + 2y = −1.