Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Algebra Lineal David Lay

11Ecuaciones lineales

en lgebra lineal

EJEMPLO INTRODUCTORIO

Modelos lineales en economa e ingeniera

A < nales del verano de 1949 Wassily Leontief, profesor

de Harvard, introdujo cuidadosamente la ltima de sus

tarjetas perforadas en la computadora de la universidad,

la Mark II. Las tarjetas contenan informacin acerca de la

economa de Estados Unidos, y representaban un resumen

de ms de 250,000 piezas de informacin producidas

por la o< cina encargada de las estadsticas laborales en

Estados Unidos despus de dos aos de trabajo intenso.

Leontief haba dividido la economa de Estados Unidos

en 500 sectores, tales como la industria del carbn, la

industria automotriz, las comunicaciones, etc. Para cada

sector, escribi una ecuacin lineal que describa la forma

en que dicho sector distribua sus salidas hacia otros

sectores de la economa. Debido a que la Mark II, una

de las computadoras ms grandes de la poca, no poda

manejar el sistema resultante de 500 ecuaciones y 500

incgnitas, Leontief haba condensado el problema en un

sistema de 42 ecuaciones y 42 incgnitas.

La programacin de la computadora Mark II para

las 42 ecuaciones de Leontief requiri varios meses de

esfuerzo, y l estaba ansioso por ver cunto tiempo le

tomara a la mquina resolver el problema. La Mark II

zumb y destell durante 56 horas hasta que < nalmente

produjo una solucin. La naturaleza de esta solucin se

analizar en las secciones 1.6 y 2.6.

Leontief, quien recibi el Premio Nobel de Economa

en 1973, abri la puerta a una nueva era en el modelado

matemtico de la economa. Sus esfuerzos desplegados

en Harvard en 1949 marcaron uno de los primeros usos

signi< cativos de las computadoras para analizar lo que

entonces era un modelo matemtico a gran escala.

Desde entonces, los investigadores de muchos otros

campos han empleado computadoras para analizar

modelos matemticos. Debido a las masivas cantidades

de datos involucrados, por lo general, los modelos son

lineales; esto es, se describen mediante sistemas de

ecuaciones lineales.

La importancia del lgebra lineal para las

aplicaciones se ha elevado en proporcin directa al

aumento del poder de las computadoras, cada nueva

generacin de equipo y programas de cmputo dispara

una demanda de capacidades an mayores.

WEB

Los sistemas de ecuaciones lineales se encuentran en el corazn del lgebra lineal,

y este captulo los utiliza para introducir algunos de los conceptos centrales del

lgebra lineal de una manera simple y concreta. En las secciones 1.1 y 1.2 se

presenta un mtodo sistemtico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este algo-

ritmo se utilizar para realizar clculos a lo largo del texto. En las secciones 1.3 y 1.4 se

muestra cmo un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a una ecuacin vectorial

y a una ecuacin matricial. Esta equivalencia reducir problemas que involucran combi-

naciones lineales de vectores a preguntas sobre los sistemas de ecuaciones lineales. Los

conceptos fundamentales de generacin, independencia lineal y transformaciones linea-

les, que se estudian en la segunda mitad del captulo, desempearn un papel esencial a

lo largo del texto mientras se explora la belleza y el poder del lgebra lineal.

1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESUna ecuacin lineal en las variables x1, . . . , xn es una ecuacin que puede escribirse

de la forma

a1x1 + a2x2 + + anxn = b (1)donde b y los coe" cientes a1, . . . , an son nmeros reales o complejos, por lo general co-

nocidos. El subndice n puede ser cualquier entero positivo. En los ejemplos y ejercicios

del libro, n est normalmente entre 2 y 5. En los problemas de la vida real, n puede ser

igual a 50, 5000, o incluso a valores ms grandes.

Por lo tanto, la ciencia de las computadoras est

slidamente ligada al lgebra lineal mediante el

crecimiento explosivo de los procesamientos paralelos de

datos y los clculos a gran escala.

Los cient< cos e ingenieros trabajan ahora en

problemas mucho ms complejos de lo que crean

posible hace unas cuantas dcadas. En la actualidad, el

lgebra lineal tiene para los estudiantes universitarios un

mayor valor potencial en muchos campos cient< cos y

de negocios que cualquier otra materia de matemticas.

El material incluido en este texto proporciona la base

para un trabajo posterior en muchas reas interesantes.

A continuacin se presentan unas cuantas posibilidades;

posteriormente se describirn otras.

Exploracin petrolera. Cuando un barco busca depsitos submarinos de petrleo, diariamente

sus computadoras resuelven miles de sistemas de

ecuaciones lineales por separado. La informacin

ssmica para elaborar las ecuaciones se obtiene

a partir de ondas de choque submarinas creadas

mediante explosiones con pistolas de aire. Las

ondas rebotan en las rocas que hay bajo la super< cie

marina y se miden empleando gefonos conectados a

extensos cables instalados debajo del barco.

Programacin lineal. En la actualidad, muchas decisiones administrativas importantes se toman con

base en modelos de programacin lineal que utilizan

cientos de variables. Por ejemplo, la industria de

las aerolneas emplea programas lineales para

crear los itinerarios de las tripulaciones de vuelo,

monitorear las ubicaciones de los aviones, o planear

los diversos programas de servicios de apoyo como

mantenimiento y operaciones en terminal.

Redes elctricas. Los ingenieros utilizan programas de cmputo de simulacin para disear circuitos

elctricos y microchips que incluyen millones de

transistores. Estos programas utilizan tcnicas

de lgebra lineal y sistemas de ecuaciones lineales.

2 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal

1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 3

Las ecuaciones

4x1 5x2 + 2 = x1 y x2 = 2

6 x1 + x3 son ambas lineales porque pueden reordenarse algebraicamente como en la ecuacin

(1):

3x1 5x2 =2 y 2x1 + x2 x3 = 2

6 Las ecuaciones

4x1 5x2 = x1x2 y x2 = 2x1 6

no son lineales debido a la presencia de x1x2 en la primera ecuacin y x1 en la se-

gunda.

Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una coleccin de una o

ms ecuaciones lineales que involucran las mismas variables digamos, x1, . . . , xn. Un

ejemplo es

2x1 x2 + 1.5x3 = 8x1 4x3 = 7

(2)

Una solucin del sistema es una lista (s1, s2, . . . , sn) de nmeros que hacen de cada ecua-

cin un enunciado verdadero cuando los valores s1, . . . , sn sustituyen, respectivamente, a

x1, . . . , xn. Por ejemplo, (5, 6.5, 3) es una solucin del sistema (2) porque, cuando estos

valores sustituyen en (2) a x1, x2 y x3, respectivamente, las ecuaciones se simpli< can a

8 = 8 y 7 = 7.El conjunto de todas las soluciones posibles se llama conjunto solucin del sistema

lineal. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto

solucin. Esto es, cada solucin del primer sistema es una solucin del segundo sistema,

y cada solucin del segundo sistema es una solucin del primero.

Determinar el conjunto solucin de un sistema de dos ecuaciones lineales resulta

sencillo porque consiste en localizar la interseccin de dos rectas. Un problema tpico es

x1 2x2 = 1x1 + 3x2 = 3

Las gr< cas de estas ecuaciones son rectas, las cuales se denotan mediante 1 y 2. Un

par de nmeros (x1, x2) satisface las dos ecuaciones de este sistema si, y slo si, el pun-

to (x1, x2) pertenece tanto a 1 como a 2. En el sistema anterior, la solucin es el punto

nico (3, 2), lo cual puede veri< carse con facilidad. Vea la < gura 1.

FIGURA 1 Exactamente una solucin.

2

3

x2

x1

l1l2


x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8

4x1 + 5x2 + 9x3 = 9

1 2 10 2 8

4 5 9

Por supuesto, la interseccin de dos rectas no debe darse necesariamente en un solo

punto las rectas pueden ser paralelas o coincidir y, por lo tanto, intersecar en todos

los puntos sobre la recta. En la < gura 2 se muestran las gr< cas que corresponden a los

siguientes sistemas:

Las < guras 1 y 2 ilustran los siguientes hechos generales acerca de los sistemas

lineales, los cuales sern veri< cados en la seccin 1.2.

Un sistema de ecuaciones lineales puede

1. no tener solucin, o

2. tener exactamente una solucin, o

3. tener una cantidad in< nita de soluciones.

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene una solucin

o una in< nidad de soluciones; un sistema es inconsistente cuando no tiene ninguna

solucin.

Notacin matricial

La informacin esencial de un sistema lineal puede registrarse de manera compacta en

un arreglo rectangular llamado matriz. Dado el sistema

(3)

con los coe< cientes de cada variable alineados en columnas, la matriz

FIGURA 2 (a) Sin solucin. (b) Con in< nidad de soluciones.

2

3

x2

x1

l1l2

(a)

2

3

x2

x1

l1

(b)

x1 2x2 = 1 x1 2x2 = 1x1 + 2x2 = 3 x1 + 2x2 = 1

(a) (b)


se denomina matriz coe" ciente (o matriz de coe" cientes) del sistema (3), y

(4)

se denomina matriz aumentada del sistema. (Aqu, la segunda < la contiene un cero

porque la segunda ecuacin podra escribirse como 0x1 + 2x2 8x3 = 8.) La matriz aumentada de un sistema consta de su matriz de coe< cientes con una columna adicional

que contiene las constantes de los lados derechos de las ecuaciones.

El tamao de una matriz indica el nmero de < las y columnas que la integran. La

matriz aumentada (4) que se present lneas arriba tiene 3 < las y 4 columnas y se conoce

como una matriz de 3 4 (se lee 3 por 4). Si m y n son enteros positivos, una matriz m n es un arreglo rectangular de nmeros con m < las y n columnas. (El nmero de

< las siempre va primero.) La notacin matricial simpli< car los clculos de los ejemplos

que se presentan enseguida.

Resolucin de un sistema lineal

En esta seccin y en la siguiente se describe un algoritmo, o procedimiento sistemtico,

para resolver sistemas lineales. La estrategia bsica es reemplazar un sistema con un

sistema equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto solucin) que sea ms fcil de

resolver.

Dicho de manera sencilla, utilice el trmino x1 que est presente en la primera ecua-

cin de un sistema para eliminar los trminos x1 que haya en las otras ecuaciones. Des-

pus use el trmino x2 presente en la segunda ecuacin para eliminar los trminos x2 en

las otras ecuaciones, y as sucesivamente, hasta que obtenga un sistema de ecuaciones

equivalente muy simple.

Para simpli< car un sistema lineal se utilizan tres operaciones bsicas: reemplazar

una ecuacin mediante la suma de la propia ecuacin y un mltiplo de otra ecuacin,

intercambiar dos ecuaciones, y multiplicar todos los trminos de una ecuacin por una

constante distinta de cero. Despus del primer ejemplo, se ver por qu estas tres opera-

ciones no cambian el conjunto solucin del sistema.

EJEMPLO 1 Resuelva el sistema (3).

Solucin El procedimiento de eliminacin se muestra enseguida con y sin notacin

matricial, y los resultados se colocan uno junto al otro para compararlos:

Mantenga x1 en la primera ecuacin y elimnela de las otras ecuaciones. Para hacer

esto, sume 4 veces la ecuacin 1 a la ecuacin 3. Por lo general, luego de alguna prctica

este tipo de clculos se realizan mentalmente:

x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8

4x1 + 5x2 + 9x3 = 9

1 2 1 00 2 8 8

4 5 9 9

4[ecuacin 1]:+ [ecuacin 3]:

[nueva ecuacin 3]:

4x1 8x2 + 4x3 = 04x1 + 5x2 + 9x3 = 9

3x2 + 13x3 = 9

1 2 1 00 2 8 8

4 5 9 9


El resultado de este clculo se escribe en lugar de la tercera ecuacin original:

Ahora, multiplique la ecuacin 2 por 1/2 para obtener 1 como el coe< ciente para x2.

(Este clculo simpli< car la aritmtica del siguiente paso.)

Utilice x2 en la ecuacin 2 para eliminar 3x2 en la ecuacin 3. El clculo mental es

El nuevo sistema tiene una forma triangular:1

Al < nal, se desear eliminar el trmino 2x2 de la ecuacin 1, pero resulta ms e< ciente utilizar primero x3 en la ecuacin 3, para eliminar los trminos 4x3 y +x3 en las ecua-ciones 2 y 1. Los dos clculos mentales son

Es conveniente combinar los resultados de estas dos operaciones:

Ahora, despus de haber limpiado la columna que est sobre la x3 en la ecuacin 3, re-

grese a la x2 en la ecuacin 2 y sela para eliminar el 2x2 ubicado sobre ella. Debido al trabajo previo realizado con x3, ahora no existe ninguna operacin que involucre a

trminos de x3.

1En la prxima seccin, el trmino intuitivo triangular se reemplazar por uno ms preciso.

x1 2x2 + x3 = 0x2 4x3 = 4

3x2 + 13x3 = 9

1 2 1 00 1 4 40 3 13 9

3[ecuacin 2]: 3x2 12x3 = 12+ [ecuacin 3]: 3x2 + 13x3 = 9

[nueva ecuacin 3]: x3 = 3

x1 2x2 + x3 = 0x2 4x3 = 4

x3 = 3

1 2 1 00 1 4 40 0 1 3

4[ec. 3]:+ [ec. 2]:

[nueva ec. 2]:

4x3 = 12x2 4x3 = 4x2 = 16

1[ec. 3]:+ [ec. 1]:

[nueva ec. 1]:

x3 = 3x1 2x2 + x3 = 0x1 2x2 = 3

x1 2x2 = 3x2 = 16

x3 = 3

1 2 0 30 1 0 160 0 1 3

x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8

3x2 + 13x3 = 9

1 2 1 00 2 8 80 3 13 9


Sume dos veces la ecuacin 2 a la ecuacin 1 para obtener el sistema

En esencia, el trabajo ya est hecho. Se observa que la solucin nica del sistema ori-

ginal es (29, 16, 3). Sin embargo, como hay muchos clculos involucrados, resulta una

buena prctica veri< car las operaciones. Para comprobar que (29, 16, 3) es una solucin,

sustituya estos valores en el lado izquierdo del sistema original, y calcule:

Los resultados coinciden con el lado derecho del sistema original, as que (29, 16, 3) es

una solucin del sistema. yyyyxyyyyz

En el ejemplo 1 se ilustra cmo, en un sistema lineal, las operaciones sobre ecua-

ciones corresponden a las operaciones sobre las < las apropiadas de la matriz aumentada.

Las tres operaciones bsicas mencionadas con anterioridad corresponden a las siguien-

tes operaciones sobre la matriz aumentada.

OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA

1. (Reemplazo) Reemplazar una < la por la suma de s misma y un mltiplo de

otra < la.2

2. (Intercambio) Intercambiar dos < las.

3. (Escalamiento) Multiplicar todas las entradas de una < la por una constante

distinta de cero.

Las operaciones de < la pueden aplicarse a cualquier matriz, no nicamente a una

que surja como la matriz aumentada de un sistema lineal. Se dice que dos matrices son

equivalentes por las si existe una sucesin de operaciones elementales de < la que

convierta una matriz en la otra.

Es importante advertir que las operaciones de < la son reversibles. Si dos < las se

intercambian, pueden regresarse a sus posiciones originales mediante otro intercambio.

Si una < la se escala mediante una constante c distinta de cero, al multiplicar despus

la nueva < la por 1/c se obtiene la < la original. Por ltimo, considere una operacin de

reemplazo que involucra dos < las por ejemplo, las < las 1 y 2 y suponga que a la < la 2

se le suma la < la 1 multiplicada por c para producir un nueva < la 2. Si desea revertir

esta operacin, sume a la nueva < la 2 la < la 1 multiplicada por c y obtenga la < la 2 original. Vea los ejercicios 29 a 32 al < nal de esta seccin.

Por el momento, nuestro inters reside en las operaciones de < la sobre la matriz

aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. Suponga un sistema que se transforma

en otro nuevo mediante operaciones de < la.

(29, 16, 3)Cada una de las ecuaciones

originales determina un plano en

el espacio tridimensional. El punto

(29, 16, 3) pertenece a los tres

planos.

2Una parfrasis comn del reemplazo de una < la es sumar a una < la un mltiplo de otra < la.

x1 = 29x2 = 16

x3 = 3

1 0 0 290 1 0 160 0 1 3

(29) 2(16) + (3) = 29 32 + 3 = 02(16) 8(3) = 32 24 = 8

4(29) + 5(16) + 9(3) = 116 + 80 + 27 =9


Al considerar cada uno de los tipos de operaciones de < la, puede advertirse que cual-

quier solucin del sistema original contina siendo una solucin del sistema nuevo. Asi-

mismo, como el sistema original puede producirse mediante operaciones de < la sobre el

sistema nuevo, cada una de las soluciones del sistema nuevo tambin es una solucin

del sistema original. Esta explicacin justi< ca el hecho siguiente.

Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por < las,

entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solucin.

Aunque el ejemplo 1 es extenso, puede a< rmarse que, despus de algn tiempo de

prctica, los clculos se ejecutan con rapidez. Por lo general, en el texto y en los ejercicios

las operaciones de < la sern muy fciles de realizar, lo cual permitir que el estudiante

se enfoque en los conceptos importantes. No obstante, se recomienda aprender a realizar

operaciones de < la de manera precisa porque se utilizarn a lo largo de todo el libro.

En el resto de esta seccin se muestra cmo utilizar las operaciones de < la para deter-

minar el tamao de un conjunto solucin, sin resolver por completo el sistema lineal.

Preguntas de existencia y unicidad

En la seccin 1.2 se estudiar porqu un conjunto solucin para un sistema lineal puede

no contener ninguna solucin, contener solamente una solucin, o contener una in< -

nidad de soluciones. Para determinar cul posibilidad es verdadera para un sistema en

particular, se formulan dos preguntas.

DOS PREGUNTAS FUNDAMENTALES ACERCA DE UN SISTEMA LINEAL

1. El sistema es consistente? Es decir, existe al menos una solucin?

2. Si existe solucin, slo hay una? Esto es, la solucin es nica?

Estas dos preguntas aparecern a lo largo del texto en muchas formas diferentes. En esta seccin y en la prxima, se mostrar cmo contestarlas mediante operaciones de < la sobre la matriz aumentada.

EJEMPLO 2 Determine si el siguiente sistema es consistente:

Solucin ste es el sistema del ejemplo 1. Suponga que se realizan las operaciones necesarias para obtener la forma triangular

En este punto ya se conoce x3; si su valor se sustituyera en la ecuacin 2, sera posible calcular x2 y, por ende, se podra determinar x1 a partir de la ecuacin 1. Por lo tanto,

x1 2x2 + x3 = 0x2 4x3 = 4

x3 = 3

1 2 1 00 1 4 40 0 1 3

x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8

4x1 + 5x2 + 9x3 = 9


existe una solucin; y el sistema es consistente. (De hecho, x2 se determina nicamente

con la ecuacin 2 puesto que x3 tiene un solo valor posible, y por lo tanto x1 se resuelve

solamente a partir de la ecuacin 1. De manera que la solucin es nica.) yyyyxyyyyz

EJEMPLO 3 Determine si el siguiente sistema es consistente:

(5)

Solucin La matriz aumentada es

Para obtener una x1 en la primera ecuacin, se intercambian las < las 1 y 2:

Para eliminar el trmino 5x1 en la tercera ecuacin, se agrega a la < la 3 la < la 1 multi-

plicada por 5/2:

(6)

Enseguida, utilice el trmino x2 en la segunda ecuacin para eliminar el trmino (1/2)x2 de la tercera ecuacin. Sume a la < la 3 la < la 2 multiplicada por 1/2:

(7)

Ahora, la matriz aumentada est en forma triangular. Para interpretarla de manera co-

rrecta, regrese a la notacin con ecuaciones:

(8)

La ecuacin 0 = 5/2 es una forma corta de 0x1 + 0x2 + 0x3 = 5/2. Desde luego, este sistema en forma triangular tiene una contradiccin. No existen valores de x1, x2, x3 que

satisfagan (8) porque la ecuacin 0 = 5/2 nunca es verdadera. Como (8) y (5) tienen el mismo conjunto solucin, el sistema original es inconsistente (es decir, no tiene solu-

cin). yyyyxyyyyz

Preste atencin especial a la matriz aumentada en (7). Su ltima < la es tpica de un

sistema inconsistente en forma triangular.

2 3 2 10 1 4 80 1/2 2 3/2

x2 4x3 = 82x1 3x2 + 2x3 = 15x1 8x2 + 7x3 = 1

0 1 4 82 3 2 15 8 7 1

2 3 2 10 1 4 85 8 7 1

2 3 2 10 1 4 80 0 0 5/2

2x1 3x2 + 2x3 = 1x2 4x3 = 8

0 = 5/2

Este sistema es inconsistente

porque no existe un punto que

pertenezca de manera simultnea

a los tres planos.


P R O B L E M A S D E P R C T I C A

A lo largo del texto, debe intentar resolver los problemas de prctica antes de trabajar

con los ejercicios. Despus de cada serie de ejercicios se presentan las soluciones.

1. Exprese con sus propias palabras la siguiente operacin elemental de < la que debe

realizarse para resolver los sistemas presentados a continuacin. [Para (a), existe ms

de una respuesta posible.]

2. La matriz aumentada de un sistema lineal ha sido transformada mediante operaciones

de < la a la forma que se presenta a continuacin. Determine si el sistema es consis-

tente.

3. Es (3, 4, 2) una solucin del siguiente sistema?

4. Para cules valores de h y k es consistente el siguiente sistema?

NOTA NUMRICA

En problemas reales, los sistemas de ecuaciones lineales se resuelven empleando una

computadora. Para una matriz de coe< cientes cuadrada, los programas de cmpu-

to casi siempre usan el algoritmo de eliminacin que se presenta aqu en la seccin

1.2, con pequeas modi< caciones para mejorar su precisin.

La gran mayora de los problemas de lgebra lineal que se presentan en los ne-

gocios y la industria se resuelven con programas que utilizan la aritmtica de punto

$ otante. Los nmeros se representan como decimales .d1 dp 10r, donde r es un entero y el nmero p de dgitos a la derecha del punto decimal usualmente se encuen-

tra entre 8 y 16. Normalmente, las operaciones aritmticas con estos nmeros resultan

inexactas, porque el resultado debe redondearse (o truncarse) al nmero de dgitos

almacenados. El error de redondeo tambin se presenta cuando un nmero como

1/3 es introducido a la computadora, puesto que su representacin debe aproximarse

mediante un nmero < nito de dgitos. Por fortuna, las inexactitudes de la aritmtica

de punto ? otante muy pocas veces causan problemas. Las notas numricas incluidas

en este libro lo prevendrn, ocasionalmente, sobre aspectos que podr necesitar tener en

consideracin ms adelante en su carrera.

a. x1 + 4x2 2x3 + 8x4 = 12x2 7x3 + 2x4 = 4

5x3 x4 = 7x3 + 3x4 = 5

b. x1 3x2 + 5x3 2x4 = 0x2 + 8x3 = 4

2x3 = 3x4 = 1

5x1 x2 + 2x3 = 72x1 + 6x2 + 9x3 = 07x1 + 5x2 3x3 = 7

1 5 2 60 4 7 20 0 5 0

2x1 x2 = h6x1 + 3x2 = k


Resuelva los sistemas de los ejercicios 1 a 4 usando las opera-

ciones elementales de < la sobre las ecuaciones o sobre la matriz

aumentada. Utilice el procedimiento de eliminacin sistemtica

descrito en esta seccin.

3. Encuentre el punto (x1, x2) que pertenece tanto a la lnea x1 + 5x2 = 7 como a la lnea x1 2x2 = 2. Vea la < gura.

4. Encuentre el punto de interseccin de las rectas x1 5x2 = 1 y 3x1 7x2 = 5.

Considere cada matriz de los ejercicios 5 y 6 como la matriz au-

mentada de un sistema lineal. Exprese con sus propias palabras

las siguientes dos operaciones elementales de < la que deben rea-

lizarse en el proceso para resolver el sistema.

En los ejercicios 7 a 10, la matriz aumentada de un sistema lineal

ha sido reducida mediante operaciones de < la a la forma que se

muestra. En cada caso, ejecute las operaciones de < la apropiadas

y describa el conjunto solucin del sistema original.

1.1 EJERCICIOS

Resuelva los sistemas de los ejercicios 11 a 14.

x1 + 3x3 = 2x2 3x4 = 3

2x2 + 3x3 + 2x4 = 13x1 + 7x4 = 5

x1 2x4 = 32x2 + 2x3 = 0

x3 + 3x4 = 12x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 5

15.

16.

1 7 3 40 1 1 30 0 0 10 0 1 2

1 4 9 00 1 7 00 0 2 0

7. 8.

1 1 0 0 40 1 3 0 70 0 1 3 10 0 0 2 4

1 2 0 3 20 1 0 4 70 0 1 0 60 0 0 1 3

9.

10.

x1 + 5x2 = 72x1 7x2 = 5

2x1 + 4x2 = 45x1 + 7x2 = 11

1. 2.

1 4 5 0 70 1 3 0 60 0 1 0 20 0 0 1 5

1 6 4 0 10 2 7 0 40 0 1 2 30 0 3 1 6

5.

6.

x2

x1

x1 + 5x2 = 7x1 2x2 = 2

x2 + 4x3 = 5x1 + 3x2 + 5x3 = 2

3x1 + 7x2 + 7x3 = 6x1 3x2 + 4x3 = 4

3x1 7x2 + 7x3 = 84x1 + 6x2 x3 = 7x1 3x3 = 8

2x1 + 2x2 + 9x3 = 7x2 + 5x3 = 2

x1 3x2 = 5x1 + x2 + 5x3 = 2

x2 + x3 = 0

11.

12.

13. 14.

Determine si los sistemas de los ejercicios 15 y 16 son consisten-

tes. No resuelva los sistemas por completo.

17. Las tres rectas x1 4x2 = 1, 2x1 x2 = 3, y x1 3x2 = 4 tienen un punto de interseccin comn? Explique su res-puesta.

18. Los tres planos x1 + 2x2 + x3 = 4, x2 x3 = 1, y x1 + 3x2 = 0 tienen al menos un punto de interseccin comn? Explique

su respuesta.

En los ejercicios 19 a 22, determine el valor o los valores de h

tales que la matriz dada es la matriz aumentada de un sistema

lineal consistente.


En los ejercicios 23 y 24, varios enunciados clave de esta seccin

se citan directamente, se han modi< cado un poco (pero siguen

siendo verdaderos), o se han alterado de alguna forma que los

vuelve falsos en algunos casos. Marque cada enunciado como ver-

dadero o falso y justi! que su respuesta. (Si el enunciado es verda-

dero, d la ubicacin aproximada en el texto donde aparece uno

similar o haga referencia a una de< nicin o teorema. Si es falso,

d la ubicacin del enunciado que se cita o utiliza de manera inco-

rrecta, o proporcione un ejemplo que muestre que no es verdadero

en todos los casos.) En muchas secciones de este texto aparecern

preguntas similares del tipo verdadero/falso.

23. a. Todas las operaciones elementales de < la son reversibles.

b. Una matriz de 5 6 tiene seis < las. c. El conjunto solucin de un sistema lineal que incluya las

variables x1, . . . , xn es una lista de nmeros (s1, . . . , sn) que

hace de cada ecuacin del sistema un enunciado verdadero

cuando los valores s1, . . . , sn sustituyen, respectivamente,

a x1, . . . , xn.

d. Las dos preguntas fundamentales acerca de un sistema li-

neal involucran la existencia y la unicidad.

24. a. En una matriz aumentada, las operaciones elementales de

< la no cambian nunca el conjunto solucin del sistema li-

neal asociado.

b. Dos matrices son equivalentes por < las cuando poseen el

mismo nmero de < las.

c. Un sistema inconsistente tiene ms de una solucin.

d. Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo

conjunto solucin.

25. Encuentre una ecuacin que involucre a g, h y k, la cual per-

mita que esta matriz aumentada corresponda a un sistema

consistente:

1 4 7 g0 3 5 h

2 5 9 k

26. Construya tres matrices aumentadas diferentes de tres sistemas

lineales cuyo conjunto solucin sea x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0.27. Suponga que el sistema presentado a continuacin es con-

sistente para todos los valores posibles de f y g. Qu puede

a< rmarse acerca de los coe< cientes c y d? Justi< que su res-

puesta.

x1 + 3x2 = fcx1 + dx2 = g

28. Suponga que a, b, c y d son constantes de tal forma que a

es diferente de cero y el sistema presentado a continuacin

es consistente para todos los valores posibles de f y g. Qu

puede a< rmarse acerca de los nmeros a, b, c y d? Justi< que

su respuesta.

ax1 + bx2 = fcx1 + dx2 = g

En los ejercicios 29 a 32, encuentre la operacin elemental de

< la que transforma la primera matriz en la segunda, determine

entonces la operacin de < la inversa que transforma la segunda

matriz en la primera.

Un aspecto importante en el estudio de la transferencia de calor

es determinar la distribucin de la temperatura en estado estable

sobre una placa delgada cuando se conoce la temperatura presen-

te alrededor de los bordes. Suponga que la placa mostrada en la

< gura representa la seccin transversal de una viga de metal, con

un ? ujo de calor insigni< cante en la direccin perpendicular a la

placa. Sean T1, . . . , T4 las temperaturas en los cuatro nodos in-

teriores de la malla que se muestra en la < gura. En un nodo, la

temperatura es aproximadamente igual al promedio de los cuatro

nodos ms cercanos a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo.3

Por ejemplo,

3Vea Frank M. White, Heat and Mass Transfer (Reading, MA:

Addison-Wesley Publishing, 1991), pp. 145 149.

T1 = (10 + 20 + T2 + T4)/4, o 4T1 T2 T4 = 30

1 h 43 6 8

1 h 32 4 6

1 3 24 h 8

2 3 h6 9 5

19. 20.

21. 22.

0 2 51 4 73 1 6

,

1 4 70 2 53 1 6

1 3 40 2 60 5 9

,

1 3 40 1 30 5 9

1 2 1 00 5 2 84 1 3 6

,

1 2 1 00 5 2 80 7 1 6

1 2 5 00 1 3 20 3 9 5

,

1 2 5 00 1 3 20 0 0 1

29.

30.

31.

32.

10

10

40

40

20 20

30 30

1 2

4 3


33. Escriba un sistema de cuatro ecuaciones cuya solucin pro-

porcione un estimado para las temperaturas T1, . . . , T4.

34. Resuelva el sistema de ecuaciones del ejercicio 33. [Suge-

rencia: Para acelerar los clculos, intercambie las < las 1 y 4

antes de comenzar las operaciones de reemplazo.]

S O L U C I O N E S A L O S P R O B L E M A S D E P R C T I C A

1. a. Para realizar clculos a mano, lo mejor es intercambiar las ecuaciones 3 y 4.

Otra posibilidad es multiplicar la ecuacin 3 por 1/5; o reemplazar la ecuacin 4

por su suma con la < la 3 multiplicada por 1/5. (En cualquier caso, no utilice x2 en la ecuacin 2 para eliminar 4x2 en la ecuacin 1. Espere hasta alcanzar la

forma triangular y hasta que los trminos con x3 y x4 hayan sido eliminados de las

primeras dos ecuaciones.)

b. El sistema est en forma triangular. La simpli< cacin posterior comienza con x4

en la cuarta ecuacin. Utilice esta x4 para eliminar todos los trminos con x4 locali-

zados arriba de ella. Ahora, el paso adecuado es sumar la ecuacin 4, multiplicada

por 2, con la ecuacin 1. (Despus de esto, vaya a la ecuacin 3, multiplquela por

1/2, y utilice la ecuacin resultante para eliminar los trminos con x3 ubicados

arriba de ella.)

2. El sistema correspondiente a la matriz aumentada es

La tercera ecuacin vuelve x3 = 0, que ciertamente es un valor permisible para x3. Despus, al eliminar los trminos con x3 en las ecuaciones 1 y 2, es posible encontrar

valores nicos para x2 y x1. Por lo tanto, existe una solucin y es nica. Compare esta

situacin con la del ejemplo 3.

3. Resulta sencillo veri< car si una lista espec< ca de nmeros es una solucin. Sean

x1 = 3, x2 = 4, y x3 = 2, y encuentre que

Aunque se satisfacen las primeras dos ecuaciones, la tercera no, entonces (3, 4, 2) no es una solucin al sistema. Observe el uso de parntesis cuando se hacen susti-

tuciones, los cuales son muy recomendables como proteccin contra errores arit-

mticos.

4. Cuando la segunda ecuacin se reemplaza por su suma con la primera ecuacin mul-

tiplicada por 3, el sistema se convierte en

Si k + 3h es diferente de cero, el sistema no tiene solucin. El sistema es consistente para cualesquiera valores de h y k que produzcan k + 3h = 0.

x1 + 5x2 + 2x3 = 64x2 7x3 = 2

5x3 = 0

5(3) (4) + 2(2) = 15 4 4 = 72(3) + 6(4) + 9(2) = 6 + 24 18 = 07(3) + 5(4) 3(2) = 21 + 20 + 6 = 5

2x1 x2 = h0 = k + 3h

Como (3, 4, 2) satisface las dos primeras ecuaciones, se encuentra

sobre la lnea de interseccin de

los dos primeros planos. Como

(3, 4, 2) no satisface las tres ecuaciones, no pertenece a los

tres planos.

(3, 4, 2)


1.2 REDUCCIN POR FILAS Y FORMAS ESCALONADASEn esta seccin se perfecciona el mtodo de la seccin 1.1 en un algoritmo de reduccin

por < las que permitir analizar cualquier sistema de ecuaciones lineales.1 Las preguntas

fundamentales de existencia y unicidad, expuestas en la seccin 1.1, podrn contestarse

utilizando la primera parte del algoritmo.

El algoritmo se aplica a cualquier matriz, ya sea vista como una matriz aumentada

para un sistema lineal o no. Entonces, la primera parte de esta seccin trata acerca de

una matriz rectangular arbitraria. Se comienza por introducir dos clases importantes

de matrices que incluyen las matrices triangulares de la seccin 1.1. En las de< nicio-

nes presentadas a continuacin, una < la o una columna distinta de cero en una matriz

sern una < la o una columna que contengan al menos una entrada diferente de cero; una

entrada principal de una < la se re< ere a la entrada diferente de cero que se encuentra

ms a la izquierda (en una < la distinta de cero).

Una matriz escalonada (respectivamente, matriz escalonada reducida) es una

matriz que est en forma escalonada (respectivamente, forma escalonada reducida). La

propiedad 2 enuncia que las entradas principales forman un patrn escalonado (como

escalera) que avanza hacia abajo y a la derecha de la matriz. La propiedad 3 es una

simple consecuencia de la propiedad 2, pero se incluy aqu para enfatizarla.

Las matrices triangulares de la seccin 1.1, tales como

D E F I N I C I N Una matriz rectangular est en forma escalonada (o en forma escalonada por

" las) si tiene las tres propiedades siguientes:

1. Todas las < las distintas de cero estn arriba de cualquier < la integrada slo por

ceros.

2. Cada entrada principal de una < la est en una columna situada a la derecha de

la entrada principal de la < la que se encuentra arriba de dicha entrada.

3. Todas las entradas que se localicen en una columna situada debajo de una en-

trada principal son ceros.

Si una matriz en forma escalonada satisface las siguientes condiciones adiciona-

les, entonces se encuentra en forma escalonada reducida (o forma escalonada

reducida por " las):

4. La entrada principal de cada < la distinta de cero es 1.

5. Cada 1 principal es la nica entrada distinta de cero en su columna.

1Este algoritmo es una variacin de lo que se conoce comnmente como eliminacin gaussiana. Los matem-

ticos chinos utilizaron un mtodo de eliminacin similar alrededor del ao 250 a.C. El proceso no se conoci

en la cultura occidental sino hasta el siglo xix, cuando un famoso matemtico alemn, Carl Friedrich Gauss,

lo descubri. Un ingeniero alemn, Wilhelm Jordan, populariz el algoritmo al emplearlo en un texto sobre

geodesia en 1888.

2 3 2 10 1 4 80 0 0 5/2

y

1 0 0 290 1 0 160 0 1 3

estn en forma escalonada. De hecho, la segunda matriz est en forma escalonada redu-

cida. A continuacin se presentan ejemplos adicionales.

EJEMPLO 1 Las siguientes matrices estn en forma escalonada. Las entradas prin-

cipales ( ) pueden tener cualquier valor distinto de cero; las entradas con asterisco (*)

pueden tener cualquier valor (incluso cero).

Las siguientes matrices estn en forma escalonada reducida porque las entradas princi-

pales son nmeros 1, y abajo y arriba de cada 1 principal slo existen ceros.

yyyyxyyyyz

Cualquier matriz distinta de cero se puede reducir por las (esto es, transformarse

mediante operaciones elementales de < la) para producir ms de una matriz en forma

escalonada, para ello se usan diferentes sucesiones de operaciones de < la. Sin embargo,

la forma escalonada reducida que se obtiene a partir de una matriz es nica. El teorema

siguiente se comprueba en el apndice A incluido al < nal del texto.

Si una matriz A es equivalente por < las a una matriz escalonada U, se dice que U es

una forma escalonada (o una forma escalonada por < las) de A; si U est en su forma

escalonada reducida, se a< rma que es la forma escalonada reducida de A. [La mayora

de los programas de matrices y de las calculadoras con capacidad para resolver matrices

utilizan la abreviatura RREF para encontrar la forma escalonada reducida (por < las).

Algunos usan REF para la forma escalonada (por < las) (del ingls row reduced echelon

form y row echelon form).]

Posiciones pivote

Cuando las operaciones de < la sobre una matriz producen una forma escalonada, las

operaciones de < la posteriores para obtener la forma escalonada reducida no cambian

las posiciones de las entradas principales. Como la forma escalonada reducida es nica,

las entradas principales siempre estn en las mismas posiciones en cualquier forma es-

calonada obtenida a partir de una matriz dada. Estas entradas principales corresponden

a los nmeros 1 principales que hay en la forma escalonada reducida.

T E O R E M A 1 Unicidad de la forma escalonada reducida

Cada matriz es equivalente por < las a una y slo una matriz escalonada reducida.

0 0 0 0 00 0 0 0

,

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0

,

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1.2 Reduccin por fi las y formas escalonadas 15


En el ejemplo 1, los cuadros ( ) identi< can las posiciones pivote. Muchos conceptos

fundamentales incluidos en los primeros cuatro captulos de este libro estarn conecta-

dos de una forma u otra con las posiciones pivote que aparecen en una matriz.

EJEMPLO 2 Reduzca por < las la matriz A que se muestra a continuacin hasta la

forma escalonada, y localice las columnas pivote de A.

Solucin Use la misma estrategia bsica aplicada en la seccin 1.1. El elemento supe-

rior de la columna distinta de cero que se encuentra ms a la izquierda de la matriz es la

primera posicin pivote. En esta posicin, debe colocarse una entrada distinta de cero, o

pivote. Una buena alternativa es intercambiar las < las 1 y 4 (porque las comparaciones

mentales en el siguiente paso no involucrarn fracciones).

Cree ceros debajo del pivote 1, para ello sume mltiplos de la primera < la a las < las

de abajo, y obtenga la matriz (1) que se presenta enseguida. La posicin pivote de la

segunda < la debe estar lo ms a la izquierda que sea posible a saber, en la segunda

columna. Se elegir al 2 en esta posicin como el siguiente pivote.

Sume la < la 2 multiplicado por 5/2 a la < la 3, y la < la 2 multiplicado por 3/2 a la < la 4.

D E F I N I C I N En una matriz A, una posicin pivote es una ubicacin en A que corresponde a

un 1 principal en la forma escalonada reducida de A. Una columna pivote es una

columna de A que contiene una posicin pivote.

1 4 5 9 70 2

Pivote

4 6 60 5 10 15 15

Prxima columna pivote0 3 6 4 9

A=

0 3 6 4 91 2 1 3 12 3 0 3 11 4 5 9 7

1 4 5 9 70 2 4 6 60 0 0 0 00 0 0 5 0

1Pivote4 5 9 7

1 2 1 3 12 3 0 3 1

Columna pivote0 3 6 4 9

(1)

(2)

La matriz en (2) es diferente a cualquiera de las matrices encontradas en la seccin

1.1. No hay forma de crear una entrada principal en la columna 3! (No pueden usarse

las < las 1 o 2 porque al hacerlo se destruira el arreglo escalonado de las entradas prin-

cipales ya producidas.) Sin embargo, es posible producir una entrada principal en la

columna 4 intercambiando las < las 3 y 4.

La matriz est en forma escalonada y, por lo tanto, las columnas 1, 2 y 4 de A son co-

lumnas pivote.

Un pivote, como el ilustrado en el ejemplo 2, es un nmero distinto de cero situado

en una posicin pivote que se utiliza cuando es necesario para crear ceros por medio de

operaciones de < la. Los pivotes empleados en el ejemplo 2 fueron 1, 2 y 5. Debe ad-vertirse que estos nmeros no son los mismos que los elementos reales de A ubicados en

las posiciones pivote iluminadas que se muestran en (3). De hecho, una sucesin diferen-

te de operaciones de < la podra involucrar un conjunto de pivotes distinto. Adems, un

pivote no ser visible en la forma escalonada si la < la se escala para convertir el pivote en

un 1 principal (lo cual muchas veces es conveniente para realizar clculos a mano).

Con el ejemplo 2 como gua, ahora es posible describir un procedimiento e< ciente

para transformar una matriz en una matriz escalonada o escalonada reducida. El estudio

cuidadoso y el dominio de este procedimiento producirn grandes dividendos durante

todo el curso.

Algoritmo de reduccin por " las

El algoritmo que se describe enseguida consta de cuatro pasos, y produce una matriz en

forma escalonada. Un quinto paso produce una matriz en forma escalonada reducida. El

algoritmo se ilustra mediante un ejemplo.

EJEMPLO 3 Aplique operaciones elementales de < la para transformar la siguiente

matriz a la forma escalonada y despus a la forma escalonada reducida:

A=

0Posiciones pivote

3 6 4 91 2 1 3 12 3 0 3 1

Columnas pivote1 4 5 9 7

0 3 6 6 4 53 7 8 5 8 93 9 12 9 6 15

1 4 5 9 70 2 4 6 60 0 0 5

Pivote

0

Columnas pivote0 0 0 0 0

Forma general:

0 0 0 0 0 0 0 0 0

(3)

yyyyxyyyyz



Solucin

PASO 1

Empiece con la columna distinta de cero que se encuentra ms a la izquierda. En

este caso es una columna pivote. La posicin pivote est en la parte superior.

PASO 2

Seleccione como pivote una entrada distinta de cero en la columna pivote. Si es

necesario, intercambie < las para mover esta entrada a la posicin pivote.

Intercambie las < las 1 y 3. (Tambin podran haberse intercambiado las < las 1 y 2.)

PASO 3

Use operaciones de reemplazo de < la para crear ceros en todas las posiciones

ubicadas debajo del pivote.

Como paso preliminar, se podra dividir la < la superior entre el pivote, 3. Pero con dos

nmeros 3 en la columna 1, esto es tan fcil como sumar la < la 1 multiplicada por 1 a la < la 2.

PASO 4

Cubra (o no tome en cuenta) la < la que contiene la posicin pivote y cubra todas

las < las, si existe alguna, por encima de sta. Aplique los pasos 1, 2 y 3 a la sub-

matriz restante. Repita el proceso hasta que no haya ms < las distintas de cero por

modi< car.

Con la < la 1 cubierta, el paso 1 muestra que la columna 2 es la siguiente columna pivote;

para el paso 2, en dicha columna se seleccionar como pivote la entrada superior.

0 3 6 6 4 53 7 8 5 8 93

Columna pivote9 12 9 6 15

3Pivote9 12 9 6 15

3 7 8 5 8 90 3 6 6 4 5

3Pivote9 12 9 6 15

0 2 4 4 2 60 3 6 6 4 5

Para el paso 3, se podra insertar el paso opcional de dividir la < la superior de la

submatriz entre el pivote 2. En vez de eso, se suma 3/2 veces la < la superior a la < la de abajo. Esto produce

Cuando se cubre la < la que contiene la segunda posicin pivote para el paso 4, queda una

nueva submatriz que tiene solamente una < la:

Se ha alcanzado una forma escalonada para la matriz completa sin tener que aplicar los

pasos 1, 2 y 3 en esta submatriz. Si se quisiera obtener la forma escalonada reducida,

tendra que efectuarse un paso ms.

PASO 5

Empiece con el pivote situado ms a la derecha trabajando hacia arriba y a la iz-

quierda, cree ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es 1, hgalo 1 mediante

una operacin de escalamiento.

El pivote situado ms a la derecha est en la < la 3. Se crean ceros encima de l, sumando

mltiplos adecuados de la < la 3 a las < las 2 y 1.

El siguiente pivote est en la < la 2. Escale esta < la dividindola entre el pivote.

Se crea un cero en la columna 2 sumando 9 veces la < la 2 a la < la 1.

3 9 12 9 6 150 2

Pivote

4 4 2 60 3

Nueva columna pivote6 6 4 5

3 9 12 9 6 150 2 4 4 2 6

0 0 0 0 1 4

3 9 12 9 0 90 1 2 2 0 70 0 0 0 1 4

Fila escalada por 12

3 9 12 9 6 150 2 4 4 2 6

0 0 0 0 1Pivote4

3 9 12 9 0 90 2 4 4 0 140 0 0 0 1 4

Fila 1 + (6)Fila 3Fila 2 + (2)Fila 3

3 0 6 9 0 720 1 2 2 0 70 0 0 0 1 4

Fila 1 + (9)Fila 2



Por ltimo, se escala la < la 1 al dividirla entre el pivote 3.

sta es la forma escalonada reducida de la matriz original. yyyyxyyyyz

La combinacin de los pasos 1 a 4 se llama fase progresiva del algoritmo de reduc-cin por < las. El paso 5, que produce la forma escalonada reducida nica, se llama fase regresiva.

1 0 2 3 0 240 1 2 2 0 70 0 0 0 1 4

Fila escalada por 13

1 0 5 10 1 1 40 0 0 0

x1 5x3 = 1x2 + x3 = 4

0 = 0

Soluciones de sistemas lineales

El algoritmo de reduccin por < las conduce directamente a una descripcin explcita del conjunto solucin de un sistema lineal cuando se aplica, el algoritmo, a la matriz aumentada del sistema.

Por ejemplo, suponga que la matriz aumentada de un sistema lineal ha sido transfor-mada en la forma escalonada reducida equivalente

Existen tres variables porque la matriz aumentada tiene cuatro columnas. El sistema de ecuaciones asociado es

(4)

Las variables x1 y x2 correspondientes a columnas pivote de la matriz se denominan variables bsicas.2 La otra variable, x3, se llama variable libre.

Cuando un sistema es consistente, como en (4), el conjunto solucin puede descri-birse de manera explcita al resolver el sistema de ecuaciones reducido para las variables bsicas en trminos de las variables libres. Esta operacin es posible debido a que la

NOTA NUMRICA

En el paso 2 que se mostr con anterioridad, un programa de computadora general-mente selecciona como pivote en una columna la entrada que tenga el mayor valor absoluto. Esta estrategia, llamada pivoteo parcial, se usa porque reduce los errores de redondeo en los clculos.

2Algunos textos utilizan el trmino variables principales porque corresponden a las columnas que contienen las entradas principales.

forma escalonada reducida coloca cada variable bsica en una, y slo una, ecuacin. En

(4), se puede despejar x1 de la primera ecuacin y x2 de la segunda. (La tercera ecuacin

no se toma en cuenta porque no ofrece restricciones a las variables.)

(5)

Al a< rmar que x3 es libre, se implica la posibilidad de asignarle cualquier valor. Una

vez que se efecta esta asignacin, las frmulas de (5) determinan los valores para x1 y

x2. Por ejemplo, cuando x3 = 0, la solucin es (1, 4, 0); cuando x3 = 1, la solucin es (6, 3, 1). Cada asignacin diferente de x3 determina una solucin (diferente) del sistema, y

cada solucin del sistema est determinada por una asignacin de x3.

La solucin de (5) se denomina solucin general del sistema porque proporciona

una descripcin explcita de todas las soluciones.

EJEMPLO 4 Encuentre la solucin general del sistema lineal cuya matriz aumentada

se ha reducido a

Solucin La matriz est en forma escalonada, pero se requiere la forma escalonada re-

ducida antes de despejar las variables bsicas. A continuacin se completa la reduccin

por < las. El smbolo ~ colocado antes de una matriz indica que sta es equivalente por

< las a la matriz precedente.

Existen cinco variables puesto que la matriz aumentada tiene seis columnas. Ahora el

sistema asociado es

(6)

Las columnas pivote de la matriz son 1, 3 y 5; as que las variables bsicas son x1, x3 y

x5. Las variables restantes, x2 y x4, deben ser libres. Al despejar las variables bsicas, se

1 6 2 5 2 40 0 2 8 1 30 0 0 0 1 7

1 6 2 5 2 40 0 2 8 1 30 0 0 0 1 7

1 6 2 5 0 100 0 2 8 0 100 0 0 0 1 7

1 6 2 5 0 100 0 1 4 0 50 0 0 0 1 7

1 6 0 3 0 00 0 1 4 0 50 0 0 0 1 7

x1 = 1 + 5x3x2 = 4 x3x3 es libre

x1 + 6x2 + 3x4 = 0x3 4x4 = 5

x5 = 7



obtiene la solucin general:

(7)

Observe que el valor de x5 ya qued < jado por la tercera ecuacin del sistema (6).

yyyyxyyyyz

Descripciones paramtricas de conjuntos solucin

Las descripciones en (5) y (7) son descripciones paramtricas de conjuntos solucin

en los cuales las variables libres actan como parmetros. La resolucin de un sistema

signi< ca encontrar una descripcin paramtrica del conjunto solucin, o determinar que

el conjunto solucin est vaco.

Cuando un sistema es consistente y tiene variables libres, el conjunto solucin per-

mite obtener muchas descripciones paramtricas. Por ejemplo, en el sistema (4) se po-

dra sumar cinco veces la ecuacin 2 a la ecuacin 1 y obtener el sistema equivalente

Podra tratarse a x2 como parmetro y despejar x1 y x3 en trminos de x2, y se tendra

una descripcin precisa del conjunto solucin. Sin embargo, para ser consistente, se es-

tablece la convencin (arbitraria) de usar siempre las variables libres como parmetros

para describir un conjunto solucin. (La seccin de respuestas incluida al < nal del texto

re? eja tambin esta convencin.)

Cuando un sistema es inconsistente, el conjunto solucin est vaco, incluso si el

sistema tiene variables libres. En este caso, el conjunto solucin no tiene representacin

paramtrica.

Sustitucin regresiva

Considere el sistema siguiente cuya matriz aumentada est en forma escalonada pero no

en forma escalonada reducida:

Un programa de computadora resolvera este sistema por sustitucin regresiva, en lugar

de calcular la forma escalonada reducida. Esto es, el programa resolvera la ecuacin 3

para x4 en trminos de x5 y sustituira la expresin para x4 en la ecuacin 2; resolvera

la ecuacin 2 para x2 y luego sustituira las expresiones para x2 y x4 en la ecuacin 1 y

despejara x1.

El formato matricial que se utiliza en este texto para aplicar la fase regresiva de

reduccin por < las, la cual produce la forma escalonada reducida, requiere el mismo

nmero de operaciones aritmticas que la sustitucin regresiva. Pero la disciplina del

formato matricial reduce sustancialmente la posibilidad de cometer errores durante los

x1 =6x2 3x4x2 es librex3 = 5 + 4x4x4 es librex5 = 7

x1 + 5x2 = 21x2 + x3 = 4

x1 7x2 + 2x3 5x4 + 8x5 = 10x2 3x3 + 3x4 + x5 = 5

x4 x5 = 4

3x2 6x3 + 6x4 + 4x5 = 53x1 7x2 + 8x3 5x4 + 8x5 = 93x1 9x2 + 12x3 9x4 + 6x5 = 15

clculos efectuados a mano. Se recomienda de manera enftica usar solamente la forma

escalonada reducida para resolver un sistema. La Gua de estudio (Study Guide) que

acompaa a este texto ofrece algunas sugerencias tiles para realizar operaciones de < la

con exactitud y rapidez.

Preguntas de existencia y unicidad

Aunque una forma escalonada no reducida es una herramienta poco e< ciente para re-

solver un sistema, est considerada como el mecanismo correcto para resolver las dos

preguntas fundamentales enunciadas en la seccin 1.1.

EJEMPLO 5 Determine la existencia y unicidad de las soluciones del sistema

Solucin La matriz aumentada de este sistema se redujo por < las en el ejemplo 3 a

(8)

Las variables bsicas son x1, x2 y x5; las variables libres son x3 y x4. No hay ninguna

ecuacin del tipo 0 = 1 que origine un sistema inconsistente, as que podra usarse sus-

titucin regresiva para encontrar una solucin. Pero en (8) ya es evidente la existencia

de una solucin. Adems, la solucin no es nica porque existen variables libres. Cada

asignacin diferente de x3 y x4 determina una solucin distinta. Por lo tanto, el siste-

ma tiene un nmero in< nito de soluciones. yyyyxyyyyz

NOTA NUMRICA

En general, la fase progresiva de la reduccin por < las es mucho ms larga que la fase

regresiva. Para resolver un sistema, un algoritmo se mide generalmente en $ ops (u

operaciones en punto ? otante). Un op es una operacin aritmtica ( , !, *, /) con

dos nmeros reales en punto ? otante.3 Para una matriz de n (n 1), la reduccin

a la forma escalonada puede requerir 2n3/3 n2/2 ! 7n/6 ? ops (lo cual es aproxi-

madamente 2n3/3 ? ops cuando n es moderadamente grande por ejemplo, n 30).

Por otro lado, la reduccin posterior a la forma escalonada reducida necesita cuando

mucho n2 ? ops.

3Tradicionalmente, un $ op era slo una multiplicacin o una divisin porque la suma y la resta requeran

mucho menos tiempo y podan no tomarse en cuenta. La de< nicin de $ op que se da aqu es la preferida en

la actualidad, como consecuencia de los avances en la arquitectura de computadoras. Vea Golub y Van Loan,

Matrix Computations, 2a. edicin (Baltimore: The Johns Hopkins Press, 1989), pp. 19!20.

3 9 12 9 6 150 2 4 4 2 60 0 0 0 1 4



Cuando un sistema est en forma escalonada y no contiene ninguna ecuacin del tipo

0 = b, con b diferente de 0, toda ecuacin distinta de cero contiene una variable bsica

con un coe< ciente diferente de cero. Las variables bsicas estn completamente determi-

nadas (sin variables libres), o por lo menos una de las variables bsicas puede expresarse

en trminos de una o ms variables libres. En el primer caso existe una solucin nica; en

el ltimo, hay un nmero in< nito de soluciones (una para cada asignacin de valores a

las variables libres).

Estas observaciones justi< can el teorema siguiente.

El procedimiento siguiente de< ne cmo encontrar y describir todas las soluciones

de un sistema lineal.

P R O B L E M A S D E P R C T I C A

1. Encuentre la solucin general del sistema lineal cuya matriz aumentada es

1 3 5 00 1 1 3

T E O R E M A 2 Teorema de existencia y unicidad

Un sistema lineal es consistente si, y slo si, la columna del extremo derecho de

la matriz aumentada no es una columna pivote esto es, si, y slo si, una forma

escalonada de la matriz aumentada no tiene ninguna < la de la forma

[0 0 b] con b diferente de cero.

Si un sistema lineal es consistente, entonces el conjunto solucin contiene (i) una

solucin nica, cuando no existen variables libres, o bien (ii) un nmero in< nito

de soluciones, cuando existe por lo menos una variable libre.

USO DE LA REDUCCIN POR FILAS PARA RESOLVER UN SISTEMA LINEAL

1. Escriba la matriz aumentada del sistema.

2. Utilice el algoritmo de reduccin por < las para obtener una matriz aumentada

equivalente de forma escalonada. Decida si el sistema es o no consistente. Si

no hay solucin, detngase; en caso contrario, contine con el siguiente paso.

3. Contine la reduccin por < las hasta obtener la forma escalonada reducida.

4. Escriba el sistema de ecuaciones que corresponda a la matriz obtenida en el

paso 3.

5. Reescriba cada ecuacin diferente de cero del paso 4 de manera que su nica

variable bsica est expresada en trminos de cualesquiera variables libres que

aparezcan en la ecuacin.

2. Encuentre la solucin general del sistema

x1 2x2 x3 + 3x4 = 02x1 + 4x2 + 5x3 5x4 = 3

3x1 6x2 6x3 + 8x4 = 2

En los ejercicios 1 y 2, determine cules matrices estn en forma

escalonada reducida y cules slo en forma escalonada.

6. Repita el ejercicio 5 para una matriz de 3 2 diferente de

cero.

Encuentre las soluciones generales de los sistemas cuyas matrices

aumentadas se dan en los ejercicios 7 a 14.

1.2 EJERCICIOS

1. a.

1 0 0 00 1 0 00 0 1 1

b.

1 0 1 00 1 1 00 0 0 1

c.

1 0 0 00 1 1 00 0 0 00 0 0 1

d.

1 1 0 1 10 2 0 2 20 0 0 3 30 0 0 0 4

2. a.

1 1 0 10 0 1 10 0 0 0

b.

1 1 0 00 1 1 00 0 1 1

c.

1 0 0 01 1 0 00 1 1 00 0 1 1

d.

0 1 1 1 10 0 2 2 20 0 0 0 30 0 0 0 0

3.

1 2 3 44 5 6 76 7 8 9

4.

1 3 5 73 5 7 95 7 9 1

Reduzca por < las las matrices de los ejercicios 3 y 4 a la forma

escalonada reducida. Encierre las posiciones pivote incluidas en

la matriz < nal y en la matriz original, y enumere las columnas

pivote.

15. a.

0 0 0 0

b.

0 0 0 0 0 0 0

5. Describa las formas escalonadas posibles de una matriz de

2 2 distinta de cero. Utilice los smbolos ( ), * y 0, como en la primera parte del ejemplo 1.

En los ejercicios 15 y 16 se utiliza la notacin del ejemplo 1 para

matrices en forma escalonada. Suponga que cada matriz repre-

senta la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones lineales.

En cada caso, determine si el sistema es consistente. De ser as,

establezca si la solucin es nica.

7. 1 3 4 73 9 7 6 8.1 4 0 72 7 0 10

9. 0 1 6 51 2 7 6 10.1 2 1 33 6 2 2

11.

3 4 2 09 12 6 06 8 4 0

12.

1 7 0 6 50 0 1 2 3

1 7 4 2 7

13.

1 3 0 1 0 20 1 0 0 4 10 0 0 1 9 40 0 0 0 0 0

14.

1 2 5 6 0 50 1 6 3 0 20 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0



En los ejercicios 17 y 18, determine el valor o los valores de h

tales que la matriz sea la matriz aumentada de un sistema lineal

consistente.

En los ejercicios 19 y 20, elija h y k de tal forma que el sistema

a) no tenga solucin, b) tenga una solucin nica, y c) tenga mu-

chas soluciones. D respuestas por separado para cada inciso.

En los ejercicios 21 y 22, seale cada enunciado como verdadero

o falso. Justi< que cada respuesta.4

21. a. En algunos casos, una matriz se puede reducir por < las a

ms de una matriz en forma escalonada reducida, usando

diferentes secuencias de operaciones de < la.

b. El algoritmo de reduccin por < las se aplica solamente a

matrices aumentadas para un sistema lineal.

c. Una variable bsica de un sistema lineal es una variable

que corresponde a una columna pivote en la matriz de co-

e< cientes.

d. Encontrar una descripcin paramtrica del conjunto so-

lucin de un sistema lineal es lo mismo que resolver el

sistema.

e. Si una < la en la forma escalonada de una matriz aumenta-

da es [0 0 0 5 0], entonces el sistema lineal asociado es

inconsistente.

22. a. La forma escalonada de una matriz es nica.

b. En una matriz, las posiciones pivote dependen de si se

usan o no intercambios de < la en el proceso de reduccin

por < las.

c. La reduccin de una matriz a forma escalonada se llama

fase progresiva del proceso de reduccin por < las.

d. Si un sistema tiene variables libres, el conjunto solucin

contiene muchas soluciones.

e. Una solucin general de un sistema es una descripcin ex-

plcita de todas las soluciones del sistema.

23. Suponga que una matriz de coe! cientes de 3 5 para un sis-

tema tiene tres columnas pivote. Es consistente el sistema?

Por qu s o por qu no?

24. Suponga que un sistema de ecuaciones lineales tiene una ma-

triz aumentada de 3 5 cuya quinta columna es una columna

pivote. Es consistente el sistema? Por qu s o por qu no?

25. Suponga que la matriz de coe< cientes de un sistema de ecua-

ciones lineales tiene una posicin pivote en cada < la. Expli-

que por qu este sistema es consistente.

26. Suponga que la matriz de coe< cientes de un sistema lineal

de tres ecuaciones en tres variables tiene un pivote en cada

columna. Explique por qu tiene este sistema una solucin

nica.

27. Reestructure la ltima oracin del teorema 2 utilizando el

concepto de columnas pivote: Si un sistema lineal es consis-

tente, entonces la solucin es nica si, y slo si, __________

_____________.

28. Qu debera saberse acerca de las columnas pivote de una

matriz aumentada para advertir que el sistema lineal es con-

sistente y tiene una solucin nica?

29. Un sistema de ecuaciones lineales con menos ecuaciones que

incgnitas ocasionalmente se denomina sistema subdeter-

minado. Suponga que un sistema as resulta ser consistente.

Explique por qu debera existir un nmero in< nito de solu-

ciones.

30. Proporcione el ejemplo de un sistema subdeterminado incon-

sistente de dos ecuaciones en tres incgnitas.

31. Un sistema de ecuaciones lineales con ms ecuaciones que

incgnitas ocasionalmente se denomina sistema sobredeter-

minado. Puede ser consistente un sistema as? Ilustre su res-

puesta con un sistema espec< co de tres ecuaciones en dos

incgnitas.

32. Suponga que una matriz de n (n + 1) se reduce por < las a la

forma escalonada reducida. Aproximadamente, qu fraccin

del nmero total de operaciones (? ops) est involucrada en

la fase regresiva de la reduccin cuando n = 30? Cundo

n = 300?

Suponga que un conjunto de puntos en el plano representa datos

experimentales. Un polinomio de interpolacin para los datos es

un polinomio cuya gr< ca pasa por todos los puntos. En el trabajo

cient< co, se puede usar un polinomio as, por ejemplo, para esti-

mar valores entre los puntos de datos conocidos. Otro uso es crear

curvas para imgenes gr< cas en una pantalla de computadora.

Un mtodo apropiado para encontrar un polinomio de interpola-

cin es resolver un sistema de ecuaciones lineales.4Preguntas del tipo verdadero/falso como stas aparecern en muchas sec-

ciones. Los mtodos para justi< car sus respuestas se describieron antes de

los ejercicios 23 y 24 de la seccin 1.1.

16. a.

0 0 0 0

b.

0 0 0 0 0

17. 2 3 h4 6 7 18.1 3 25 h 7

19. x1 + hx2 = 24x1 + 8x2 = k

20. x1 + 3x2 = 23x1 + hx2 = k

WEB

33. Encuentre el polinomio de interpolacin p(t) = a0 + a1t +

a2t2 para los datos (1, 12), (2, 15), (3, 16). Esto es, encuentre

a0, a1 y a2 tales que

a0 + a1(1) + a2(1)2 = 12a0 + a1(2) + a2(2)2 = 15a0 + a1(3) + a2(3)2 = 16

34. [M] En un experimento de tnel de viento, la fuerza sobre un

proyectil debida a la resistencia del aire se midi a diferentes

velocidades:

Velocidad (100 pies/seg) 0 2 4 6 8 10

Fuerza (100 lb) 0 2.90 14.8 39.6 74.3 119

Encuentre un polinomio de interpolacin para estos datos y

estime la fuerza sobre el proyectil cuando ste viaja a 750

pies/seg. Utilice p(t) = a0 + a1t + a2t2 + a3t

3 + a4t4 + a5t

5.

Qu pasara si se tratara de usar un polinomio con grado me-

nor que 5? (Por ejemplo, pruebe con un polinomio cbico.)5

5Los ejercicios marcados con el smbolo [M] estn diseados para resol-

verse con ayuda de un Programa Matricial (un programa de compu-

tadora, como MATLAB, Maple, Mathematica, MathCad o Derive, o una

calculadora programable con capacidad para resolver matrices, como las calcu-

ladoras que fabrican Texas Instruments y Hewlett-Packard).

S O L U C I O N E S A L O S P R O B L E M A S D E P R C T I C A

1. La forma escalonada reducida de la matriz aumentada y el sistema correspondiente

son

Las variables bsicas son x1 y x2, y la solucin general es

Nota: Resulta esencial que la solucin general describa cada variable, con cualquier

parmetro claramente identi< cado. El siguiente enunciado no describe la solucin:

Esta descripcin implica que tanto x2 como x3 son libres, lo cual desde luego no es el

caso.

2. Al reducir por < las la matriz aumentada del sistema se obtiene:

1 0 2 90 1 1 3 y

x1 2x3 = 9x2 + x3 = 3

La solucin general al sistema de

ecuaciones es la lnea de intersec-

cin de los dos planos.

x1 = 9 + 2x3x2 = 3 x3x3 es libre

x1 = 9 + 2x3x2 = 3 x3x3 = 3 x2 Solucin incorrecta

1 2 1 3 02 4 5 5 33 6 6 8 2

1 2 1 3 00 0 3 1 30 0 3 1 2

1 2 1 3 00 0 3 1 30 0 0 0 5


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Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Algebra Lineal David Lay