1° medio - matemáticas - 2011

8/2/2019 1 medio - matemticas - 2011

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Pr grama e Es u iPrimer A Me iMinisterio de Educacin

Ma em ica


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IMPORTANTE

En el presente documento, se utilizan de manera inclusiva los trminos como eldocente, el estudiante, el profesor, el alumno, el compaero y sus respectivosplurales (as como otras palabras equivalentes en el contexto educativo); es decir, se

refieren a hombres y mujeres.

Esta opcin obedece a que no existe acuerdo universal respecto de cmo evitar ladiscriminacin de gneros en el idioma espaol, salvo usando o/a, los/las y otrassimilares para referirse a ambos sexos en conjunto, y ese tipo de frmulas supone unasaturacin grfica que puede dificultar la comprensin de la lectura.


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Estimados profesores y profesoras:

La entrega de nuevos programas es una buena ocasin para reflexionar acerca de los desafos que enfrentamos hoycomo educadores en nuestro pas.

La escuela tiene por objeto permitir a todos los nios de Chile acceder a una vida plena, ayudndolos a alcanzar undesarrollo integral que comprende los aspectos espiritual, tico, moral, afectivo, intelectual, artstico y fsico. Es decir,se aspira a lograr un conjunto de aprendizajes cognitivos y no cognitivos que permitan a los alumnos enfrentar su vidade la mejor forma posible.

Los presentes Programas de Estudio, aprobados por el Consejo Nacional de Educacin, buscan efectivamente abrir el mundo a nuestros nios, con un fuerte nfasis en las herramientas clave, como la lectura, la escritura y el razona-miento matemtico. El manejo de estas habilidades de forma transversal a todos los mbitos, escolares y no escolares,contribuye directamente a disminuir las brechas existentes y garantizan a los alumnos una trayectoria de aprendizajecontinuo ms all de la escuela.

Asimismo, el acceso a la comprensin de su pasado y su presente, y del mundo que los rodea, constituye el fundamentopara reafirmar la confianza en s mismos, actuar de acuerdo a valores y normas de convivencia cvica, conocer y respetar deberes y derechos, asumir compromisos y disear proyectos de vida que impliquen actuar responsablemente sobresu entorno social y natural. Los presentes Programas de Estudio son la concrecin de estas ideas y se enfocan a su logro.

Sabemos que incrementar el aprendizaje de todos nuestros alumnos requiere mucho trabajo; llamamos a nuestrosprofesores a renovar su compromiso con esta tarea y tambin a ensear a sus estudiantes que el esfuerzo personal,realizado en forma sostenida y persistente, es la mejor garanta para lograr xito en lo que nos proponemos. Pedimosa los alumnos que estudien con intensidad, dedicacin, ganas de aprender y de formarse hacia el futuro. A los padres y apoderados los animamos a acompaar a sus hijos en las actividades escolares, a comprometerse con su estableci-miento educacional y a exigir un buen nivel de enseaza. Estamos convencidos de que una educacin de verdad se juega en la sala de clases y con el compromiso de todos los actores del sistema escolar.

A todos los invitamos a estudiar y conocer en profundidad estos Programas de Estudio, y a involucrarse de forma opti-mista en las tareas que estos proponen. Con el apoyo de ustedes, estamos seguros de lograr una educacin de mayor calidad y equidad para todos nuestros nios.

Felipe Bulnes SerranoMinistro de Educacin de Chile


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Matemtica

Programa de Estudio para Primer Ao MedioUnidad de Currculum y Evaluacin

ISBN 978-956-292-326-2

Ministerio de Educacin, Repblica de ChileAlameda 1371, SantiagoPrimera Edicin: 2011


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Primer A Me i / Ma em ica

n ice

Presen acin 6

N ci nes B sicas 8 Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes

10 Objetivos Fundamentales Transversales

11 Mapas de Progreso

C nsi eraci nes Genera espara Imp emen ar e Pr grama 13

16 Orientaciones para planificar

19 Orientaciones para evaluar

Ma em ica 24 Propsitos

25 Habilidades

26 Orientaciones didcticas

Visin G ba e A 28 Aprendizajes Esperados por semestre y unidad

Uni a es 31

Semes re 1 33 Unidad 1 Nmeros45 Unidad 2 lgebra

Semes re 2 57 Unidad 3 Geometra

68 Unidad 4 Datos y Azar

Bib i grafa 85

Anex s 91


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Presen acin

El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajopedaggico del ao escolar. Esta propuesta pretende promover el logro de losObjetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mnimos Obliga-torios (CMO) que define el Marco Curricular 1.

La ley dispone que cada establecimiento puede elaborar sus propios programasde estudio, previa aprobacin de los mismos por parte del Mineduc. El presen-te programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que nocuentan con programas propios.

Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son: una especificacin de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los

OF y los CMO del Marco Curricular, lo que se expresa a travs de los Aprendi-zajes Esperados2

una organizacin temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluacin, a modo

de sugerencia

Adems, se presenta un conjunto de elementos para orientar el trabajo pedag-gico que se realiza a partir del programa y para promover el logro de los objetivosque este propone.

Este programa de estudio incluye: Nociones bsicas. Esta seccin presenta conceptos fundamentales que es-

tn en la base del Marco Curricular y, a la vez, ofrece una visin general acercade la funcin de los Mapas de Progreso

Consideraciones generales para implementar el programa. Consistenen orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el tra-bajo en torno a l

El programa es unapropuesta para lograr losObjetivos Fundamentales

y los ContenidosMnimos Obligatorios

1 Decretos supremos 254 y 256 de 20092 En algunos casos, estos aprendizajes estn formulados en los mismos trminos que al-

gunos de los OF del Marco Curricular. Esto ocurre cuando esos OF se pueden desarrollar ntegramente en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su desglose endefiniciones ms especficas.


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7Primer A Me i / Ma em icaPresentacin

Propsitos, habilidades y orientaciones didcticas. Esta seccin presentasintticamente los propsitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendi-zajes del sector y las habilidades a desarrollar. Tambin entrega algunas orien-taciones pedaggicas importantes para implementar el programa en el sector

Visin global del ao. Presenta todos los Aprendizajes Esperados que sedebe desarrollar durante el ao, organizados de acuerdo a unidades

Unidades. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de launidad, incluyen indicadores de evaluacin y sugerencias de actividades queapoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes3

Instrumentos y ejemplos de evaluacin. Ilustran formas de apreciar el lo-gro de los Aprendizajes Esperados y presentan diversas estrategias que pue-den usarse para este fin

Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliogrficos y electr-nicos que pueden emplearse para promover los aprendizajes del sector; sedistingue entre los que sirven al docente y los destinados a los estudiantes

3 Relaciones interdisciplinarias. En algunos casos las actividades relacionan dos o mssectores y se simbolizan con


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N ci nes B sicas

Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes

Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estu-dio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Para tales efectos, esosaprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina comolas habilidades y actitudes.

Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades y actitudes para enfrentar diversos desafos, tanto en el contexto del sector deaprendizaje como al desenvolverse en su entorno. Esto supone orientarlos haciael logro de competencias, entendidas como la movilizacin de dichos elementospara realizar de manera efectiva una accin determinada.

Se trata una nocin de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos,las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y, a la vez, seenriquecen y potencian de forma recproca.

Las habilidades, los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontnea-mente al estudiar las disciplinas. Necesitan promoverse de manera metdica yestar explcitas en los propsitos que articulan el trabajo de los docentes.

Habilidades

Son importantes, porque

el aprendizaje involucra no solo el saber, sino tambin el saber hacer. Por otraparte, la continua expansin y la creciente complejidad del conocimiento de-mandan cada vez ms capacidades de pensamiento que permitan, entre otrosaspectos, usar la informacin de manera apropiada y rigurosa, examinar crti-camente las diversas fuentes de informacin disponibles y adquirir y generar nuevos conocimientos.

Esta situacin hace relevante la promocin de diversas habilidades, como re-solver problemas, formular conjeturas, realizar clculos en forma mental y es-crita y verificar proposiciones simples, entre otras.

Se deben desarrollar de manera integrada, porque

sin esas habilidades, los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alum-nos resultan elementos inertes; es decir, elementos que no pueden poner en juegopara comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos.

Habilidades,conocimientos

y actitudes

movilizados paraenfrentar diversas

situaciones y desafos

y que se desarrollande manera integrada

Deben promoverse demanera sistemtica

Son fundamentales enel actual contexto social

Permiten poner en juegolos conocimientos


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9Primer A Me i / Ma em icaNociones Bsicas

ConoCimientos


los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la com-prensin de los estudiantes sobre los fenmenos que les toca enfrentar. Les per-miten relacionarse con el entorno, utilizando nociones complejas y profundasque complementan, de manera crucial, el saber que han obtenido por medio delsentido comn y la experiencia cotidiana. Adems, estos conceptos son funda-mentales para que los alumnos construyan nuevos aprendizajes.

Por ejemplo, si se observa una informacin en un diario que contenga datos re-presentados en tablas o grficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobreestadstica para interpretar a esa informacin. Los conocimientos previos le capa-citan para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones enla medida que entiende la informacin y as construir este nuevo conocimiento.

Se deben desarrollar de manera integrada, porque

son una condicin para el progreso de las habilidades. Ellas no se desarrollan enun vaco, sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos.

aCtitudes


los aprendizajes no involucran nicamente la dimensin cognitiva. Siempreestn asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. Entre los pro-psitos establecidos para la educacin, se contempla el desarrollo en los mbitospersonal, social, tico y ciudadano. Ellos incluyen aspectos de carcter afectivo y,a la vez, ciertas disposiciones.

A modo de ejemplo, los aprendizajes de Matemtica involucran actitudes comoperseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matem-ticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolucin de problemas encontextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias.

Se deben ensear de manera integrada, porque

en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su de-sarrollo. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar juicios informados, analizar crticamente diversas circunstancias y contrastar cri-terios y decisiones, entre otros aspectos involucrados en este proceso.

Enriquecen lacomprensin y larelacin con el entorno

Son una base para eldesarrollo de habilidades

Estn involucradas enlos propsitos formativosde la educacin

Son enriquecidas por los conocimientos y las habilidades


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A la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a losconocimientos y las habilidades adquiridos. Son, por lo tanto, un antecedentenecesario para usar constructivamente estos elementos.

Objetivos Fundamentales Transversales (OFT)

Son aprendizajes que tienen un carcter comprensivo y general, y apuntan aldesarrollo personal, tico, social e intelectual de los estudiantes. Forman parteconstitutiva del currculum nacional y, por lo tanto, los establecimientos debenasumir la tarea de promover su logro.

LosOFTno se logran a travs de un sector de aprendizaje en particular; conse-guirlos depende del conjunto del currculum. Deben promoverse a travs de lasdiversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por ejemplo, por medio del proyecto educativo institucional, la prctica docente, elclima organizacional, la disciplina o las ceremonias escolares).

No se trata de objetivos que incluyan nicamente actitudes y valores. Suponeintegrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades.

A partir de la actualizacin al Marco Curricular realizada el ao2009, estos objetivos se organizaron bajo un esquema comn para la Educacin Bsica y laEducacin Media. De acuerdo con este esquema, los Objetivos FundamentalesTransversales se agrupan en cinco mbitos: crecimiento y autoafirmacin per-sonal, desarrollo del pensamiento, formacin tica, la persona y su entorno y

tecnologas de la informacin y la comunicacin.

Orientan la forma deusar los conocimientos

y las habilidades

Son propsitos generales definidos

en el currculum

que debenpromoverse en toda la

experiencia escolar

Integran conocimientos,habilidades y actitudes

Se organizan enuna matriz comn

para educacinbsica y media


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11Primer A Me i / Ma em icaNociones Bsicas

Mapas de Progreso

Son descripciones generales que sealan cmo progresan habitualmente losaprendizajes en las reas clave de un sector determinado. Se trata de formu-laciones sintticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. Apartir de esto, ofrecen una visin panormica sobre la progresin del aprendizajeen los doce aos de escolaridad4.

Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos enel Marco Curricular y los programas de estudio. El avance que describen expresade manera ms gruesa y sinttica los aprendizajes que esos dos instrumentosestablecen y, por lo tanto, se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Suparticularidad consiste en que entregan una visin de conjunto sobre la progre-sin esperada en todo el sector de aprendizaje.

Qu utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes?

Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar (ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que sepresentan en el programa).

Adems, son un referente til para atender a la diversidad de estudiantes dentrodel aula: permiten ms que simplemente constatar que existen distintos niveles de

aprendizaje dentro de un mismo curso. Si se usan para analizar los desempe-os de los estudiantes, ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisin

en qu consisten esas diferencias la progresin que describen permite reconocer cmo orientar los aprendiza-

jes de los distintos grupos del mismo curso; es decir, de aquellos que no hanconseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron

expresan el progreso del aprendizaje en un rea clave del sector, de manerasinttica y alineada con el Marco Curricular

Describensintticamentecmo progresa elaprendizaje

de maneracongruente con elMarco Curricular y losprogramas de estudio

Sirven de apoyo paraplanificar y evaluar

y para atender la diversidad alinterior del curso

4 Los Mapas de Progreso describen en siete niveles el crecimiento habitual del apren-

dizaje de los estudiantes en un mbito o eje del sector. Cada uno de estos nivelespresenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos aos de escolaridad.Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayora de los nios y nias al trmino de 2 bsico; el Nivel 2 corresponde al trmino de 4 bsico, y as sucesivamente. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que, al egresar de la Educacin Media, es sobresaliente, es decir, va ms all de la expectativa paraIV medio que describe el Nivel 6 en cada mapa.


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mapa de progresoEntrega una visin sinttica del progreso del aprendizajeen un rea clave del sector, y se ajusta a las expectativas delMarco Curricular.

Ejemplo:Mapa de Progreso Nmeros y OperacionesNivel 7Comprende los diferentes conjuntos numricos.Nivel 6Reconoce los nmeros complejos como

Nivel 5Reconoce a los nmeros racionales como unconjunto numrico en el que es posible resolver problemasque no admiten solucin en los enteros; a los irracionalescomo un conjunto numrico en el que es posible resolver problemas que no admiten solucin en los racionales, ya los reales como la unin entre racionales e irracionales.Interpreta potencias de base racional y exponente racional,races ensimas y logaritmos, establece relaciones entreellos y los utiliza para resolver diversos problemas.Realiza operaciones con nmeros reales, calcula potencias,races y logaritmos y los aplica en diversos contextos.Resuelve problemas, utilizando estrategias que implican

descomponer un problema o situaciones propuestas enpartes o sub problemas. Argumenta sus estrategias oprocedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos paraverificar la validez o la falsedad de conjeturas.Nivel 4Reconoce a los nmeros enteros comoNivel 3Reconoce que los nmeros naturalesNivel 2Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000

programa de estudioOrienta la labor pedaggica, esta-bleciendo Aprendizajes Esperadosque dan cuenta de los ObjetivosFundamentales y ContenidosMnimos, y los organiza temporal-mente a travs de unidades.

Ejemplo:Aprendizaje Esperado I medioAplicar las cuatro operacionesaritmticas con nmeros raciona-les en situaciones diversas; aproxi-mar los resultados, reconociendolas limitaciones de la calculadora.

marCo CurriCularPrescribe los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mnimos Obligatorios que todos

los estudiantes deben lograr.

Ejemplo:Objetivo Fundamental I medioRepresentar nmeros racionales en la recta numrica; usar la representacin decimal y de fraccin de un racional, justificando la transformacin de una en otra; aproximar nmeros racionales, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones connmeros racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades.Contenido Mnimo ObligatorioRepresentacin de nmeros racionales en la recta numrica; verificacin de la cerradurade la adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin en los racionales.

Relacin entre Mapa de Progreso, Programa de Estudio y Marco Curricular


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13Primer A Me i / Ma em ica

C nsi eraci nes Genera espara Imp emen are Pr grama

Consideraciones Generales para Implementar el Programa

Las orientaciones que se presentan a continuacin destacan algunos elementosrelevantes al momento de implementar el programa. Algunas de estas orien-taciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados enel currculum.

Uso del lenguaje

Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicacin oral, la lectura yla escritura como parte constitutiva del trabajo pedaggico correspondiente acada sector de aprendizaje.

Esto se justifica, porque las habilidades de comunicacin son herramientas fun-damentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajespropios de cada sector. Se trata de habilidades que no se desarrollan nicamenteen el contexto del sector Lenguaje y Comunicacin, sino que se consolidan a tra-vs del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y, por lo tanto,involucran los otros sectores de aprendizaje del currculum.

Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicacin oral, los do-centes deben procurar:

leCtura

la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informa-tivos propios del sector, textos periodsticos y narrativos, tablas y grficos)

la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptosespecializados del sector

la identificacin de las ideas principales y la localizacin de informacin relevante la realizacin de resmenes y la sntesis de las ideas y argumentos presenta-

dos en los textos la bsqueda de informacin en fuentes escritas, discriminndola y seleccio-

nndola de acuerdo a su pertinencia la comprensin y el dominio de nuevos conceptos y palabras

esCritura

la escritura de textos de diversa extensin y complejidad (por ejemplo, repor-tes, ensayos, descripciones, respuestas breves)

la organizacin y presentacin de informacin a travs de esquemas o tablas la presentacin de las ideas de una manera coherente y clara el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos el uso correcto de la gramtica y de la ortografa

La lectura, la escritura y la comunicacin oraldeben promoverse enlos distintos sectoresde aprendizaje

Estas habilidades sepueden promover de diversas formas


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ComuniCaCin oral

la capacidad de exponer ante otras personas la expresin de ideas y conocimientos de manera organizada el desarrollo de la argumentacin al formular ideas y opiniones el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisin, incorporando los

conceptos propios del sector el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para

superar dificultades de comprensin la disposicin para escuchar informacin de manera oral, manteniendo la

atencin durante el tiempo requerido la interaccin con otras personas para intercambiar ideas, analizar informa-

cin y elaborar conexiones en relacin con un tema en particular, compartir puntos de vista y lograr acuerdos

Uso de las Tecnologas de la Informacin y laComunicacin (TICs)

El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin (TICs) est contemplado de manera explcita como uno delos Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Esto demandaque el dominio y uso de estas tecnologas se promueva de manera integrada altrabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. Para esto, se debeprocurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de lasTICspara: buscar, acceder y recolectar informacin en pginas web u otras fuentes, y

seleccionar esta informacin, examinando crticamente su relevancia y calidad procesar y organizar datos, utilizando plantillas de clculo, y manipular la in-

formacin sistematizada en ellas para identificar tendencias, regularidades ypatrones relativos a los fenmenos estudiados en el sector

desarrollar y presentar informacin a travs del uso de procesadores de texto,plantillas de presentacin (power point) y herramientas y aplicaciones de ima-gen, audio y video

intercambiar informacin a travs de las herramientas que ofrece internet,como correo electrnico, chat, espacios interactivos en sitios web o comuni-dades virtuales

respetar y asumir consideraciones ticas en el uso de las TICs, como elcuidado personal y el respeto por el otro, sealar las fuentes de donde seobtiene la informacin y respetar las normas de uso y de seguridad de losespacios virtuales

Debe impulsarseel uso de las TICs a

travs de los sectoresde aprendizaje

Se puede recurrir

a diversas formasde utilizacin de

estas tecnologas


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15Primer A Me i / Ma em icaConsideraciones Generales para Implementar el Programa

Atencin a la diversidad

En el trabajo pedaggico, el docente debe tomar en cuenta la diversidad entrelos estudiantes en trminos culturales, sociales, tnicos o religiosos, y respectode estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento.

Esa diversidad conlleva desafos que los profesores tienen que contemplar. Entreellos, cabe sealar: promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de toleran-

cia y apertura, evitando las distintas formas de discriminacin procurar que los aprendizajes se desarrollen en relacin con el contexto y la

realidad de los estudiantes intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje sealados

en el currculum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos

Atencin a la diversidad y promocin de aprendizajes

Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos deaprendizaje no implica expectativas ms bajas para algunos estudiantes. Por el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar que hay que reconocer los requerimientos didcticos personales de los alumnos,para que todos alcancen altas expectativas. Se aspira a que todos los estudiantesalcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado.

En atencin a lo anterior, es conveniente que, al momento de disear el trabajo en una unidad, el docente considere que precisarn ms tiempo o mtodos

diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. Para esto,debe desarrollar una planificacin inteligente que genere las condiciones quele permitan: conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de

los estudiantes evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades

de aprendizaje definir la excelencia, considerando el progreso individual como punto de partida incluir combinaciones didcticas (agrupamientos, trabajo grupal, rincones) y

materiales diversos (visuales, objetos manipulables) evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con mltiples opciones promover la confianza de los alumnos en s mismos promover un trabajo sistemtico por parte de los estudiantes y ejercitacin

abundante

La diversidadentre estudiantesestablece desafosque deben tomarseen consideracin

Es necesario atender a la diversidad para

que todos logrenlos aprendizajes

Esto demanda conocer qu saben y, sobreesa base, definir con flexibilidad las diversasmedidas pertinentes


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Orientaciones para planificar

La planificacin es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar losaprendizajes de los estudiantes. Permite maximizar el uso del tiempo y definir losprocesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar.

Los programas de estudio del Ministerio de Educacin constituyen una herra-mienta de apoyo al proceso de planificacin. Para estos efectos, han sido elabo-rados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidaden los distintos contextos educativos del pas.

El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar sonlos Aprendizajes Esperados. De manera adicional, el programa apoya la pla-nificacin a travs de la propuesta de unidades, de la estimacin del tiempocronolgico requerido en cada una y de la sugerencia de actividades para de-sarrollar los aprendizajes.

ConsideraCiones generales para realizar la planifiCaCin

La planificacin es un proceso que se recomienda realizar, considerando lossiguientes aspectos: la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes

del curso, lo que implica planificar considerando desafos para los distintosgrupos de alumnos

el tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible las prcticas pedaggicas que han dado resultados satisfactorios los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materia-

les didcticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesa-rio disear; laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos deAprendizaje (CRA), entre otros

sugerenCias para el proCeso de planifiCaCin

Para que la planificacin efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debeestar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visin clara de loque los alumnos deben aprender. Para alcanzar este objetivo, se recomiendaelaborar la planificacin en los siguientes trminos: comenzar por una especificacin de los Aprendizajes Esperados que no se

limite a listarlos. Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea loms clara posible de las expresiones concretas que puedan tener. Esto im-plica reconocer qu desempeos de los estudiantes demuestran el logro delos aprendizajes. Se deben poder responder preguntas como qu deberan

La planificacin favorece el logro de

los aprendizajes

El programa sirve deapoyo a la planificacina travs de un conjunto

de elementos elaboradospara este fin

Se debe planificar tomando en cuenta la

diversidad, el tiempo real,las prcticas anteriores y los recursos disponibles

Lograr una visin lo msclara y concreta posible

sobre los desempeosque dan cuenta delos aprendizajes


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ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinadoAprendizaje Esperado?, qu habra que observar para saber que un aprendi-zaje ha sido logrado?

a partir de las respuestas a esas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar y las estrategias de enseanza. Especficamente, se requiere identificar qutarea de evaluacin es ms pertinente para observar el desempeo espera-do y qu modalidades de enseanza facilitarn alcanzar este desempeo. Deacuerdo a este proceso, se debe definir las evaluaciones formativas y sumati-vas, las actividades de enseanza y las instancias de retroalimentacin

Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso,que entregan elementos tiles para reconocer el tipo de desempeo asociadoa los aprendizajes.

Se sugiere que la forma de plantear la planificacin arriba propuesta se usetanto en la planificacin anual como en la correspondiente a cada unidad y alplan de cada clase.

La planificacin anual

En este proceso, el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largodel ao escolar, considerando su organizacin por unidades; estimar el tiempoque se requerir para cada unidad y priorizar las acciones que conducirn a lo-gros acadmicos significativos.

Para esto, el docente tiene que: alcanzar una visin sinttica del conjunto de aprendizajes a lograr duran-

te el ao, dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en losestudiantes. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperadosespecificados en los programas. Los Mapas de Progreso pueden resultar unapoyo importante

identificar, en trminos generales, el tipo de evaluacin que se requerir paraverificar el logro de los aprendizajes. Esto permitir desarrollar una idea de lasdemandas y los requerimientos a considerar para cada unidad

sobre la base de esta visin, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Paraque esta distribucin resulte lo ms realista posible, se recomienda:- listar das del ao y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible- elaborar una calendarizacin tentativa de los Aprendizajes Esperados para el

ao completo, considerando los feriados, los das de prueba y de repaso, y larealizacin de evaluaciones formativas y retroalimentacin

- hacer una planificacin gruesa de las actividades a partir de la calendarizacin- ajustar permanentemente la calendarizacin o las actividades planificadas

y, sobre esa base,decidir las evaluaciones,las estrategias deenseanza y ladistribucin temporal

Realizar esteproceso con unavisin realista de lostiempos disponiblesdurante el ao


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La planificacin de la unidad

Implica tomar decisiones ms precisas sobre qu ensear y cmo ensear, con-siderando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad.

La planificacin de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: especificar la meta de la unidad. Al igual que la planificacin anual, esta visin

debe sustentarse en los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomiendacomplementarla con los Mapas de Progreso

crear una evaluacin sumativa para la unidad idear una herramienta de diagnstico de comienzos de la unidad calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana establecer las actividades de enseanza que se desarrollarn generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados, especifi-

cando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas yretroalimentacin

ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes

La planificacin de clase

Es imprescindible que cada clase sea diseada considerando que todas sus par-tes estn alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y conla evaluacin que se utilizar.

Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseada distinguiendo suinicio, desarrollo y cierre y especificando claramente qu elementos se con-

siderarn en cada una de estas partes. Se requiere considerar aspectos comolos siguientes: inicio: en esta fase, se debe procurar que los estudiantes conozcan el prop-

sito de la clase; es decir, qu se espera que aprendan. A la vez, se debe buscar captar el inters de los estudiantes y que visualicen cmo se relaciona lo queaprendern con lo que ya saben y con las clases anteriores

desarrollo: en esta etapa, el docente lleva a cabo la actividad contempladapara la clase

cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. Enl se debe procurar que los estudiantes se formen una visin acerca de quaprendieron y cul es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladaspara promover su aprendizaje.

Realizar este procesosin perder de vista lameta de aprendizaje

de la unidad

Procurar que losestudiantes sepan qu y por qu van a aprender,

qu aprendieron y de qu manera


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Orientaciones para evaluar

La evaluacin forma parte constitutiva del proceso de enseanza. No se debeusar solo como un medio para controlar qu saben los estudiantes, sino quecumple un rol central en la promocin y el desarrollo del aprendizaje. Para quecumpla efectivamente con esta funcin, debe tener como objetivos: ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes proporcionar informacin que permita conocer fortalezas y debilidades de los

alumnos y, sobre esa base, retroalimentar la enseanza y potenciar los logrosesperados dentro del sector

ser una herramienta til para la planificacin

Cmo promover el aprendizaje a travs de la evaluaCin?

Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje sise llevan a cabo considerando lo siguiente: informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarn. Esto facilita que

puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se bus-

ca alcanzar, fundados en el anlisis de los desempeos de los estudiantes. Lasevaluaciones entregan informacin para conocer sus fortalezas y debilidades. Elanlisis de esta informacin permite tomar decisiones para mejorar los resulta-dos alcanzados

retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir estainformacin con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos quedebe seguir para avanzar. Tambin da la posibilidad de desarrollar procesos

metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes; asu vez, esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos

Cmo se pueden artiCular los mapas de progreso delaprendizaje Con la evaluaCin?

Los Mapas de Progreso ponen a disposicin de las escuelas de todo el pas unmismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos ylos ubican en un continuo de progreso. Los Mapas de Progreso apoyan el segui-miento de los aprendizajes, en tanto permiten: reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar aclarar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripcin de

cada nivel, sus ejemplos de desempeo y el trabajo concreto de estudiantesque ilustran esta expectativa

Apoya el procesode aprendizaje alpermitir su monitoreo,retroalimentar a losestudiantes y sustentar la planificacin

Explicitar qu se evaluar

Identificar logros y debilidades

Ofrecer retroalimentacin

Los mapas apoyandiversos aspectos delproceso de evaluacin


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20

observar el desarrollo, la progresin o el crecimiento de las competencias deun alumno, al constatar cmo sus desempeos se van desplazando en el mapa

contar con modelos de tareas y preguntas que permitan a cada alumno evi-denciar sus aprendizajes

Cmo disear la evaluaCin?

La evaluacin debe disearse a partir de los Aprendizajes Esperados, con el obje-to de observar en qu grado se alcanzan. Para lograrlo, se recomienda disear laevaluacin junto a la planificacin y considerar las siguientes preguntas:

Cules son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcar laevaluacin?Si debe priorizar, considere aquellos aprendizajes que sern duraderos y pre-rrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. Para esto, los Mapas de Progre-so pueden ser de especial utilidad

Qu evidencia necesitaran exhibir sus estudiantes para demostrar que dominan los Aprendizajes Esperados?Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluacin sugeridosque presenta el programa.

Qu mtodo emplear para evaluar?Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebasescritas, guas de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas con-ceptuales, informes de laboratorio e investigaciones, entre otros).

En lo posible, se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintasmaneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantespuedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje.

Qu preguntas se incluir en la evaluacin?Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Espe-rados, que permitan demostrar la real comprensin del contenido evaluado

Cules son los criterios de xito?, cules son las caractersticas deuna respuesta de alta calidad? Esto se puede responder con distintas estrategias. Por ejemplo:- comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de

otros alumnos de edad similar. Se pueden usar los ejemplos presentados enlos Mapas de Progreso

Partir estableciendolos Aprendizajes

Esperados a evaluar

y luego decidir quse requiere para su

evaluacin en trminosde evidencias, mtodos,

preguntas y criterios


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- identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresenel nivel de desempeo esperado, y utilizarlas como modelo para otras eva-luaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje

- desarrollar rbricas5 que indiquen los resultados explcitos para un des-empeo especfico y que muestren los diferentes niveles de calidad paradicho desempeo

5 Rbrica: tabla o pauta para evaluar


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22


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23

Ma em icaPr grama e Es u i

Primer A Me i


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Pr psi sEl aprendizaje de la matemtica ayuda a comprender la realidad y proporciona herramientas para desenvol-verse en la vida cotidiana. Entre ellas se encuentran elclculo, el anlisis de la informacin proveniente dediversas fuentes, la capacidad de generalizar situacio-nes, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados y seleccionar estrategias para resolver problemas. Todo

esto contribuye a desarrollar un pensamiento lgico,ordenado, crtico y autnomo, y a generar actitudescomo precisin, rigurosidad, perseverancia y confianzaen s mismo, que se valoran no solo en la ciencia y latecnologa, sino tambin en la vida cotidiana.

Aprender matemticas acrecienta tambin las habilida-des relativas a la comunicacin; por una parte, ensea a

Ma em ica

presentar informacin con precisin y rigurosidad y, por otra, a demandar exactitud y rigor en las informaciones y argumentos que se recibe.

El conocimiento matemtico y la capacidad parausarlo provocan importantes consecuencias en eldesarrollo, el desempeo y la vida de las personas. El

entorno social valora el conocimiento matemtico ylo asocia a logros, beneficios y capacidades de ordensuperior. Aprender matemtica influye en el concep-to que nios, jvenes y adultos construyen sobre s mismos y sus capacidades; por lo tanto, contribuye aque la persona se sienta un ser autnomo y valioso. Enconsecuencia, la calidad, la pertinencia y la ampli-tud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la

HABIlIdAdES dE PENSAMIENto MAtEMtICo

4 bsico 5 bsico 6 bsico

Resolver problemas en contextossignificativos que requieren el usode los contenidos del nivel

Resolver problemas en contextosdiversos y significativos

Resolver problemas en contextossignificativos

Formular conjeturas y verificarlas,para algunos casos particulares

Formular y verificar conjeturas, encasos particulares

Ordenar nmeros y ubicarlos en larecta numrica


Realizar clculos en forma mental y escrita Realizar clculos en forma mental y escrita Realizar clculos en forma mental yescrita


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Primer A Me i / Ma em ica 25

Habi i a esAl estudiar matemticas, el estudiante adquiere el razo-namiento lgico, la visualizacin espacial, el pensamien-to analtico, el clculo, el modelamiento y las destrezaspara resolver problemas. La tabla siguiente puederesultar til para: observar transversalmente las habilidades que se

desarrollan en el sector

focalizarse en un nivel y disear actividades y evalua-ciones que enfaticen dichas habilidades situarse en el nivel, observar las habilidades que se

pretendi ensear en los aos anteriores y las que setrabajarn ms adelante

advertir diferencias y similitudes en los nfasis por ciclos de enseanza

7 bsico 8 bsico I medio

Resolver problemas en contextosdiversos y significativos, utilizandolos contenidos del nivel

Resolver problemas en contextosdiversos y significativos

Analizar estrategias de resolucinde problemas de acuerdo concriterios definidos

Analizar la validez de losprocedimientos utilizados y de los

resultados obtenidos

Evaluar la validez de los resultadosobtenidos y el empleo de dichos

resultados para fundamentar opiniones y tomar decisiones

Fundamentar opiniones y tomar decisiones


Realizar clculos en forma mental y escrita Realizar clculos en forma mental y escrita

Emplear formas simples demodelamiento matemtico

Emplear formas simples demodelamiento matemtico

Aplicar modelos lineales que rep-resentan la relacin entre variables

Verificar proposiciones simples,para casos particulares

Diferenciar entre verificacin ydemostracin de propiedades

calidad de vida de las personas y afecta el potencial dedesarrollo del pas.

La matemtica ofrece tambin la posibilidad de trabajar con entes abstractos y sus relaciones, y prepara alos estudiantes para que entiendan el medio y las ml-tiples relaciones que se dan en un espacio simblico

y fsico de complejidad creciente. Se trata de espa-cios en los que la cultura, la tecnologa y las cienciasse redefinen en forma permanente y se hacen msdifciles, y las finanzas, los sistemas de comunicacin y los vnculos entre naciones y culturas se relacionan yse globalizan.

Matemticas


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Se ha concebido este sector como una oportunidadpara que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida.La matemtica es un rea poderosa de la cultura, puespermite comprender, explicar y predecir situaciones y fenmenos del entorno. Por eso, es importante quelos docentes se esfuercen para que todos los alumnosdel pas aprendan los conocimientos y desarrollen las

capacidades propias de esta disciplina. Estos programasentregan algunas orientaciones que ayudarn a losprofesores a cumplir con este objetivo por medio de laplanificacin y en el transcurso de las clases.

los ConCeptos matemtiCos: profundidade integraCinLos estudiantes deben explorar en las ideas matemti-cas y entender que ellas constituyen un todo y no frag-mentos aislados del saber. Tienen que enfrentar variadasexperiencias para que comprendan en profundidad los

conceptos matemticos, sus conexiones y sus aplica-ciones. De esta manera, podrn participar activamente y adquirir mayor confianza para investigar y aplicar las matemticas. Se recomienda que usen materialesconcretos, realicen trabajos prcticos y se apoyen en latecnologa, en especial en el ciclo bsico.

el uso del ContextoEs importante que el docente aclare que esta disciplinaest enraizada en la cultura y en la historia; asimismo,que impacta en otras reas del conocimiento cientfico,crea consecuencias y permite aplicaciones. Preguntarsecmo se originaron los conceptos y modelos matemti-cos, en qu perodos de la historia y cmo se enlazaroncon la evolucin del pensamiento, es un ancla impor-tante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogas y representaciones cercanas a los estudiantes, en es-pecial en las etapas de exploracin. Tambin se sugiereaplicar las matemticas a otras reas del saber y en lavida diaria como un modo de apoyar la construccindel conocimiento matemtico.

razonamiento matemtiCo y resoluCinde problemasEsta disciplina se construye a partir de regularidadesque subyacen a situaciones aparentemente diversas y

ayuda a razonar en vez de actuar de modo mecnico.Por eso es importante invitar a los alumnos a buscar regularidades. Tambin se busca desarrollar y explicar la nocin de estrategia, comparar diversas formas deabordar problemas y justificar y demostrar las pro-posiciones matemticas. El docente debe procurar,asimismo, que los estudiantes conjeturen y verifiquen

cmo se comportan los elementos y las relaciones conque se trabaja. Tienen que analizar los procedimientospara resolver un problema y comprobar resultados,propiedades y relaciones.

Aunque deben ser competentes en diversas habilidadesmatemticas, el profesor tiene que evitar que pongandemasiado nfasis en los procedimientos si no com-prenden los principios matemticos correspondientes.

uso del error

Usar adecuadamente el error ayuda a crear un am-biente de bsqueda y creacin. Un educador puedeaprovechar la equivocacin para inducir aprendizajesespecialmente significativos, si lo hace de maneraconstructiva. Se debe considerar el error como unelemento concreto para trabajar la diversidad en clases y permitir que todos los alumnos alcancen los aprendi-zajes propuestos.

aprendizaje matemtiCo y desarrollopersonalLa clase de Matemtica ofrece abundantes ocasionespara el autoconocimiento y las interacciones sociales.Es una oportunidad para la metacognicin6: cmolo hice?, cmo lo hicieron?, de qu otra manera esposible? Adems, la percepcin que cada cual tiene desu propia capacidad para aprender y hacer matemtica,surge de la retroalimentacin que le ha dado la propiaexperiencia. En ese sentido, el docente tiene en sus ma-nos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos ylos logros de los alumnos. Otros aspectos que tambin

ayudan a que cada estudiante aumente la confianza ens mismo son valorar las diferencias, aceptar los xitos olas acciones de sus pares, crear un clima de confianza ydistinguir de qu modo enfrenta cada uno el triunfo o elfracaso, sea propio o de los dems.

orien aci nes i c icas

6 Metacongicin: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento


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Primer A Me i / Ma em ica 27

teCnologas digitales y aprendizajematemtiCoEl presente programa propone usar software para am-pliar las oportunidades de aprendizaje de los estudian-tes. Estas tecnologas permiten representar nocionesabstractas a travs de modelos en los que se puedeexperimentar con ideas matemticas; tambin se puedecrear situaciones para que los alumnos exploren las ca-ractersticas, los lmites y las posibilidades de conceptos,

relaciones o procedimientos matemticos. Los procesa-dores geomtricos, simblicos y de estadstica son labo-ratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba.Con un procesador simblico, se puede analizar y en-tender nmeros grandes o muy pequeos. Y se puedeestudiar el comportamiento de funciones, incluso las dealta complejidad. Internet ofrece mltiples ambientescon representaciones dinmicas de una gran cantidad

de objetos matemticos. Los procesadores geomtricospermiten experimentar con nociones y relaciones de lageometra euclidiana, cartesiana o vectorial. Se trata deun espacio muy atractivo para los estudiantes y que losayudar mucho a formarse para una vida cada vez msinfluida por las tecnologas digitales.

Clima y motivaCinSe debe propiciar un ambiente creativo para que los

alumnos formulen, verifiquen o refuten conjeturasrespecto de los problemas que abordan. Ese ambientedebe admitir que el error, la duda y la pregunta sonimportantes y valiosos para construir conocimiento;asimismo, tiene que valorar los aportes de todos y apro-vecharlos para crear una bsqueda y una construccincolectiva. En ese espacio ser natural analizar acciones yprocedimientos y explorar caminos alternativos.

Matemticas


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Visin G ba e A Apren i a es Espera s p r semes re y uni a

Uni a 1Nmer s

AE 01Distinguir problemas que no admiten solucin en losnmeros enteros y que pueden ser resueltos en losnmeros racionales.

AE 02Justificar matemticamente que los decimales peridi-cos y semiperidicos son nmeros racionales.

AE 03Establecer relaciones de orden entre nmeros racionales.

AE 04Representar nmeros racionales en la recta numrica.

AE 05Utilizar la calculadora para realizar clculos reconocien-do sus limitaciones.

AE 06Verificar la densidad de los nmeros racionales.

AE 07Verificar la cerradura de las operaciones en los nmeros

racionales.

AE 08Comprender el significado de las potencias de baseracional y exponente entero.

AE 09Resolver problemas en contextos diversos que involu-cran nmeros racionales o potencias de base racional yexponente entero.

Tiempo estimado65 horas pedaggicas

Uni a 2 gebra

AE 01Identificar patrones en multiplicaciones de expresionesalgebraicas no fraccionarias.

AE 02Factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias.

AE 03Establecer estrategias para resolver ecuaciones lineales.

AE 04Analizar representaciones de la funcin lineal y de lafuncin afn.

AE 05Realizar composiciones de funciones y establecer algu-nas propiedades algebraicas de esta operacin.

AE 06Resolver problemas asociados a situaciones cuyos mo-delos son ecuaciones literales de primer grado.

Tiempo estimado70 horas pedaggicas

Semes re 1


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Uni a es

Semes re 1

Semes re 2

Uni a 1Nmer s

Uni a 2 gebra

Uni a 3Ge me ra

Uni a 4da s y A ar


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Uni a 1Nmer s

propsitoEn esta unidad se recogen los aprendizajes quelos estudiantes ya tienen sobre nmeros enteros,fracciones y decimales, para introducir los nmerosracionales. Se espera que comprendan sus caracte-rsticas y propiedades, y sean capaces de ordenarlos,transformar de fracciones a nmeros decimales, justificando la transformacin realizada, y operarcon ellos. En esta unidad se introducen tambin laspotencias de base racional y exponente entero, demodo que los alumnos comprendan sus propiedades y las apliquen en la resolucin de problemas.

ConoCimientos previos Operatoria de nmeros enteros Potencias de base entera y exponente natural Propiedades de las potencias de base natural,

fraccionaria y decimal con exponente natural

palabras ClaveNmeros racionales, potencias de base racional yexponente entero.

Contenidos Operaciones aritmticas con nmeros racionales Potencias de base racional y exponente entero Propiedades de las potencias de base racional y

exponente entero

Habilidades Reconocer si un problema puede tener solucin en

los nmeros enteros Identificar los nmeros racionales como un cuo-

ciente de dos nmeros enteros, con denominadordistinto de cero

Transformar nmeros de notacin decimal a frac-cin y viceversa

Resolver situaciones en las que es necesario operar

con nmeros racionales Conjeturar acerca de las propiedades de los nme-

ros racionales Utilizar las potencias de base racional y exponente

entero para representar situaciones

aCtitudes Trabajo en equipo e iniciativa personal en la reso-

lucin de problemas en diversos contextos


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Apren i a esEspera s

Se espera que los estudiantes seancapaces de:

c c Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:

AE 01dis inguir pr b emas quen a mi en s ucin en s

nmer s en er s y que pue enser resue s en s nmer sraci na es.

Indican si la solucin de una ecuacin de primer grado pertenece o no alconjunto de nmeros enteros.

Reconocen cuando un problema, contextualizado, puede o no tener solu-ciones en el conjunto de los nmeros enteros.

Establecen condiciones para que al dividir dos nmeros enteros elcuociente sea un nmero entero, y condiciones para que sea un nmerodecimal positivo o negativo.

Dan ejemplos de la vida cotidiana en que la informacin numrica corres-ponde a nmeros racionales negativos.

Identifican los nmeros racionales como aquellos que pueden expresarsecomo un cuociente de dos nmeros enteros, con denominador distintode cero.

AE 02Justifcar matemticamenteque s ecima es peri ic s y semiperi ic s s n nmer sraci na es.

Dan caractersticas del conjunto de los nmeros racionales. Justifican los pasos de un procedimiento para expresar como cuociente

de enteros un nmero decimal peridico o semiperidico. Conjeturan acerca de la existencia de nmeros que expresados como

decimales no tengan perodo. Conjeturan acerca de la existencia de nmeros que no pueden ser expre-

sados como cuociente de enteros.

AE 03Es ab ecer re aci nes e r enen re nmer s raci na es.

Formulan estrategias para comparar nmeros decimales semiperidicos. Comparan nmeros peridicos. Ordenan nmeros racionales de manera creciente.

AE 04Represen ar nmer s raci na-es en a rec a numrica.

Formulan estrategias para ubicar en la recta numrica nmeros decimalesperidicos. Ubican en la recta numrica nmeros racionales de acuerdo a restriccio-

nes dadas. Por ejemplo, ubican cinco nmeros que se encuentren entre0,01 y 0,02 de manera que la cifra de las milsimas sea un nmero par.


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Primer A Me i / Ma em ica 35Unidad 1



AE 05U i i ar a ca cu a ra pararea i ar c cu s, rec n cien-

sus imi aci nes.

Sistematizan procedimientos de clculo escrito con ayuda de la calcula-dora de las cuatro operaciones con nmeros racionales.

Realizan aproximaciones de los resultados obtenidos, mediante redondeo y truncamiento.

Reconocen las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.

AE 06 Verifcar la densidad de losnmer s raci na es.

Proponen algoritmos que permiten intercalar nmeros entre dos nmerosracionales dados. Por ejemplo, el promedio de los nmeros dados.

Usan el valor posicional para mostrar que, por ejemplo, entre 0,1 y 0,2 seencuentran: 0,11, 0,12,

AE 07 Verifcar la cerradura de lasperaci nes en s nmer sraci na es.

Argumentan acerca de la cerradura de la suma y multiplicacin en losracionales.

Establecen las operaciones que son cerradas en los nmeros racionales y justifican matemticamente sus resultados.

AE 08Comprender el signifcado deas p encias e base raci na

y exp nen e en er .

Identifican situaciones que pueden ser representadas por medio de po-tencias de base racional y exponente entero.

Realizan operaciones de multiplicacin y divisin de potencias de baseracional y exponente entero utilizando sus propiedades.

Resuelven problemas, utilizando potencias de base racional y exponenteentero.

AE 09Res ver pr b emas en c n-ex s ivers s que inv u-cran nmer s raci na es p encias e base raci na y exp nen e en er .

Explican los procedimientos empleados para resolver problemas queinvolucran nmeros racionales.

Evalan las soluciones de problemas con nmeros racionales en funcindel contexto.

Aplican propiedades de las potencias de base racional y exponente enteroen la resolucin de problemas.

Emplean ms de una estrategia para resolver problemas referidos a po-tencias de base racional y exponente entero.


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las reglas de operacin o los algoritmos, lo importanteson los procesos. La exploracin de situaciones en losque el desarrollo decimal presenta o no un perodo,es la distincin con la que los estudiantes puedencomprender la diferencia entre un nmero racional yotro irracional.

La ubicacin de nmeros en la recta numrica contribuye a la comprensin de dichos nmeros. En particular,prepara la nocin de intervalo que ser utilizada msadelante para trabajar distintos temas matemticos,como las inecuaciones.

La unidad introduce las potencias de exponente cero y negativas de nmeros racionales. As se completanlas potencias de base racional y exponente entero. Sesugiere relacionar el valor posicional de la notacindecimal con las potencias de diez.

Se sugiere trabajar las cuatro operaciones con nmerosracionales, en contextos de la resolucin de problemasligados a la vida cotidiana y a temas de otros sectoresde aprendizaje. La resolucin de problemas genera,adems, espacio para abordar el concepto de cifrassignificativas y de aproximacin.

Orientaciones didcticas para la unidad

Se sugiere introducir los nmeros racionales comouna extensin del conjunto de los nmeros enteros yplantear problemas en los que es imposible encontrar una solucin entera. Tambin se recomienda situar a los estudiantes en el contexto histrico en los queestos nmeros cobraron relevancia y los problemas que

solucionaron. Se recomienda tambin mostrar ejemplosde nmeros que no son racionales.

La unidad permite ver nuevamente los conceptos defraccin y de nmero decimal, as como sus propiedades y los procedimientos para operar con ellos. Estos son dostemas en los que suele haber dificultades y lagunas deaprendizaje. Reubicar esos nmeros y sus operacionesen el contexto de los racionales y mediante el uso de laspotencias de diez, contribuye a su comprensin y a crear destrezas necesarias para este tipo de operaciones.

Los nmeros racionales se expresan mediante uncociente de nmeros enteros y los decimales finitos,peridicos y semiperidicos, son nmeros racionales.Por esto se hace necesario expresar estos nmeroscomo fracciones. Aqu cobra sentido la divisibilidadentre enteros y la relacin entre el resto de la divisincon el perodo en la representacin decimal. Antes que

Aprendizajes Esperados en relacin con los OFT

Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolucin de problemas en contextos diversos Participa de manera propositiva en actividades grupales. Es responsable en la tarea asignada. Toma iniciativa en actividades de carcter grupal. Propone alternativas de solucin a problemas relacionados con nmeros enteros y potencias de base

natural y exponente natural, en actividades grupales.


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E emp s e Ac ivi a es

AE 01dis inguir pr b emas quen a mi en s ucin en snmer s en er s y que pue enser resue s en s nmer sraci na es.

AE 02Justifcar matemticamenteque s nmer s ecima esperi ic s y semiperi ic ss n nmer s raci na es.

1 Identifican ecuaciones de primer grado que no admiten solucin en losnmeros enteros, pero que s admiten solucin en los nmeros racionalesno enteros. Por ejemplo, ecuaciones del tipo: 2x - 1 = 6 5(4x+1) = 2(6x+3)

2En ecuaciones del tipoax +b =c , donde la incgnita esx, determinanvalores paraa, b, c , de manera que: la ecuacin admita una solucin entera la ecuacin admita una solucin racional no entera

3Identifican problemas en contextos cotidianos, cuya solucin pertenecea los nmeros enteros, y aquellos que admiten solucin en los nmerosracionales no enteros. Por ejemplo, identifican cul de los problemas

siguientes admite solucin entera y cul, solucin racional no entera: Si al triple de las bolitas que tiene una persona le agrega una bolita,

entonces tiene 21 bolitas Una persona abona $10.000 de una deuda y el resto lo divide en tres

partes iguales de $6.000. Cul es la deuda?

4Inventan problemas que: admiten solucin en los nmeros enteros admiten solucin en los nmeros racionales no enteros

1Caracterizan el conjunto de los nmeros racionales.

2Demuestran que los siguientes nmeros se pueden escribir como unafraccin:

Nmeros de la forma 0,a ; 0,ab ; 0,abc ; etc.

Nmeros de la forma 0,0a ; 0,0ab ; 0,0abc ; etc.

Nmeros de la forma 0,00a ; 0,000a ; 0,00ab ; 0,00abc ; 0,000abc ; etc.

Nmeros de la forma 0,ab ; 0,0ab ; 0,cdab ; 0,00cdeabc ; 0,000abc ; etc.

Nmeros de la formaa,0b ; a,0bc ; a,00bcdef ; a,bc ; etc.


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AE 03Es ab ecer re aci nes e r enen re nmer s raci na es.

AE 04Represen ar nmer s raci -na es en a rec a numrica.

! Observaciones al docente: Para el caso de un nmero decimal infinito pe-ridico, el profesor podra plantear, por ejemplo, la siguiente ecuacin, usandoel decimal 0,666 (se repite el nmero 6 infinitamente):x = 0,666...

Amplificando ambos lados por 10, tendr: 10 x = 10 0,666...

Restando la primera ecuacin a la segunda, se obtiene: 9 x = 6

Y multiplicando por el inverso multiplicativo de 9, se obtiene:x = 69 =

23

Para el caso de nmero decimal infinito semiperidico 1,1444 el docentepodra plantear, por ejemplo, la siguiente ecuacin:x = 1,1444

Amplificando ambos lados por 100, se obtendr: 100 x = 114,44

Restando la primera ecuacin a la segunda, se obtiene: 99 x = 113,3

Amplificando ambos lados por 10, obtenemos: 990 x = 1133

Y multiplicando por el inverso multiplicativo de 990, se obtiene:x = 1.133990

1Formulan estrategias para ubicar en la recta numrica los siguientes tiposde nmeros: Decimales finitos Decimales peridicos Decimales semiperidicos

2Formulan estrategias para comparar nmeros: Decimales finitos Decimales peridicos y semiperidicos

3Comparan fracciones, utilizando los siguientes procedimientos: Conversin a decimales Conversin a fracciones de denominadores iguales Multiplicaciones de numeradores por denominadores:a

b >

c d

ad > bc

4Determinan nmeros de acuerdo a restricciones dadas. Por ejemplo:

Determinan 10 nmeros racionales mayores que 0,11 y menores que 0,12

Determinan 10 nmeros racionalesx, tales que17

< x < 16

Determinan nmeros racionales cuya distancia a23

es mayor que53

y

que sean menores que125


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AE 06 Verifcar la densidad de losnmer s raci na es.

AE 05U i i ar a ca cu a ra pararea i ar c cu s, rec n cien- sus imi aci nes.

! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor que 0,11 lo presente en la forma 0,110, o en la forma 0,1100, lo mismo para el decimal 0,12.

En el caso de la fracciones17 y 16 , se recomienda que las amplifiquen por un

nmero adecuado de manera de tener denominadores iguales, y posterior-mente que amplifiquen por potencias de 10 hasta obtener claridad acerca delos nmeros que se deben insertar.

1Realizan aproximaciones de clculos y las verifican, utilizando la calculadora.

2Verifican que los resultados que se obtienen con calculadoras al realizar clculos de nmeros decimales peridicos y semiperidicos, son aproxi-maciones del resultado real.

Por ejemplo, discuten acerca de los diferentes resultados que se obtiene

al calcular el rea de un rectngulo de lados53

cm y177

cm, utilizando

calculadoras que arrojan distinta cantidad de cifras decimales en el visor.

3Utilizan la calculadora para realizar y evaluar expresiones en contextosdel mundo que nos rodea. Por ejemplo, determinan la masa de la Tierra

evaluando la expresin MT = gr 2

G, donde g = 9,8m/ s2, r = 6,38 106m ,

G = 6,67 10-11 NM2/ kg2

Realizan las siguientes actividades: Eligen dos nmeros racionales positivos al azar, por ejemplo: 3 y 7.

A continuacin:- los ubican en la recta numrica- sacan su promedio y lo ubican en la recta numrica- verifican que la distancia entre el promedio y 3, y la distancia entre

el promedio y 7, son iguales Realizan el proceso anterior con nmeros enteros negativos Realizan el proceso anterior con nmeros racionales no enteros Generalizan el proceso seguido; es decir, concluyen la propiedad: En-

tre dos nmeros racionales siempre hay un nmero racional


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AE 07 Verifcar la cerradura de lasperaci nes en s nmer sraci na es.

AE 08Comprender el signifcado deas p encias e base raci na

y exp nen e en er .

! Observaciones al docente: El profesor puede proponer a sus estudiantes querealicen la actividad anterior, pero con expresiones algebraicas. Es decir, que: Considerena, b racionales, tales quea < b Obtengan su promedio y demuestren que es mayor quea, pero menor queb

Obtengan el promedio entrea y el promedioa +b2

y demuestren que seencuentre entre esos nmeros

Y as sucesivamente.

1Demuestran que la suma de dos racionales es siempre racional.

2Demuestran que operaciones combinadas con nmeros racionales siem-pre dan un nmero racional.

1Identifican la propiedad que permite resolver potencias del tipo:

a. ab

m ab

n , m ,n Z , o ab

m : ab

n , m ,n Z

b. ab

m c d

m , m Z , o ab

m : ab

m , m Z

c. ab

n

m

m ,n Z

d. a

b

m , m Z

2Utilizando las propiedades anteriores, realizan las siguientesdemostraciones:

a. ab

- m = 1

ab

m , m Z

b. ab

- m = ba

m , m Z


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AE 09Res ver pr b emas en c n-ex s ivers s que inv u-cran nmer s raci na es p encias e base raci na y exp nen e en er .

1 Resuelven problemas que involucran potencias de base racional y expo-nente entero.

Por ejemplo:a. Un trozo rectangular de cartulina de lado 40 cm de largo por 30 cm de

ancho se dobla sucesivamente por la mitad, segn muestra la figura:

Responden preguntas como: Cunto medir el rea del cuadrado de la figura resultante despus de

hacer 8 dobleces? Cunto medir el rea del cuadrado resultante despus de hacer n

dobleces?

! Observaciones al docente: Los estudiantes pueden realizar clculos apro-piados para estimar el rea de la figura obtenida despus del octavo doblez.

Sin embargo, se sugiere al profesor guiar el trabajo de los alumnos en lanotacin de potencias para concluir que, despus de n dobleces, el rea de la figura es 2-n 1200 cm2

b. Calculan el volumen de un paraleleppedo de largo 0,2 km, ancho 100m y 30.000 cm de alto, y lo expresan en m3

c. Realizan comparaciones entre cantidades expresadas en potencias. Por ejemplo, calculan cuntas veces es mayor la distancia de la Tierra a la es-trella ms cercana, que el largo de una bacteria que mide 1,5 10-4 cm

2Resuelven problemas en contextos cotidianos.

Por ejemplo:Las diferentes compaas telefnicas presentan ofertas de planes en UF asus clientes, en los que se incluye una determinada cantidad de minutospara hablar y un tiempo determinado para una conexin a internet.

Por ejemplo:telefona e internet

Planes Velocidad (kbps) PrecioA 128 64 kbps 1,82 UFB 256 128 kbps 2,5 UF

C Inalmbrico 512 128 kbps 1,93 UF + instalacin

D Inalmbrico 256 128 kbps 2,35 UF + instalacin

Contina en pgina siguiente


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Precio de instalacin: $9.990

Responden preguntas como las siguientes: Cunto cuesta cada plan con el valor de la UF al da de hoy? Cul es la diferencia en pesos entre los planes A y B, y entre C y D? Si la UF aumenta un 0,1%, en cunto aumenta el valor del plan ms

caro? 3Resuelven problemas relativos a operaciones aritmticas en contextosmatemticos.

Por ejemplo: Dados dos nmeros racionalesP yQ , tales que: 0< P < Q < 1

a. Demuestran queP Q se encuentra entre 0 yP

b. Demuestran queP +Q se encuentra entreQ y 2Q


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E emp eEva uacin

AE 01Distinguir problemas queno admiten solucin enlos nmeros enteros y quepueden ser resueltos en losnmeros racionales.

indiCadores de evaluaCin sugeridos Indican si la solucin de una ecuacin de primer grado

pertenece o no al conjunto de nmeros enteros. Reconocen cuando un problema, contextualizado, puede

o no tener soluciones en el conjunto de los nmerosenteros.

Establecen condiciones para que al dividir dos nmerosenteros el cuociente sea un nmero entero, y condicio-nes para que sea un nmero decimal positivo o negativo.

Dan ejemplos de la vida cotidiana en que la informacinnumrica corresponde a nmeros racionales negativos.

Identifican los nmeros racionales como aquellos quepueden expresarse como un cuociente de dos nmerosenteros, con denominador distinto de cero.

aCtividadResponda a las interrogantes de acuerdo a las condiciones dadas en los enunciados.

1 Indique las condiciones que deben cumplir tres nmeros enteros:a, b yc , para que laecuacina x +b =c tenga una solucin entera tenga como solucin un nmero racional positivo

2 Una excursin tiene una relacin mujereshombres de 5 es a 3. Se incorporan tres hom-bres y la relacin pasa a ser 2 es a 1. Cules son los datos del problema? Cules son las incgnitas? Escriba una ecuacin que represente la relacin entre las variables y los datos del

problema La solucin del problema, pertenece a los nmeros enteros? Justificar

Criterios de evaluaCinSe sugiere considerar los siguientes aspectos:1 Indican si la solucin de una ecuacin de primer grado es entera.2 Reconocen el tipo de soluciones de un problema: entera o racional.3 Identifican nmeros racionales.


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Uni a 2 gebra

propsitoEsta unidad ofrece la oportunidad a los estudiantesde explorar naturalmente contextos multiplicativosde expresiones algebraicas y desarrollar productos,productos notables y factorizaciones de expresionesalgebraicas. El programa prioriza en el desarrollo

de multiplicaciones algebraicas, la comprensin delos procedimientos y el descubrimiento de reglas ypropiedades a travs de la formulacin y verificacinde conjeturas.

Por otra parte, en cuanto a la progresin en el apren-dizaje relacionado con las funciones, se introduce elestudio de las funciones lineal y afn. Se propone alos alumnos identificar y representar dichas funcio-nes a travs de tablas, grficos y algebraicamente.

Finalmente, en este nivel se trabaja la composicinde funciones como un paso ms en el estudio defunciones. Este contenido se conecta ms adelantecon la unidad de Geometra, en la cual se trata bajola mirada de las transformaciones isomtricas.

ConoCimientos previos Concepto de variable Dependencia e independencia de variables Variacin proporcional directa e inversa

Concepto de funcin Dominio y recorrido de una funcin Representacin grfica de funciones Ecuacin de primer grado con dos incgnitas

palabras ClaveProductos notables, factorizacin de expresiones al-gebraicas, ecuaciones literales, funcin lineal y afn,modelamiento, composicin de funciones.

Contenidos Funciones lineales y afines como modelos de

situaciones o fenmenos Representacin grfica de funciones lineales

y afines Resolucin de problemas mediante ecuaciones

literales Composicin de funciones y propiedades asociadas Dominio y recorrido de funciones que se obtienen

al componer otras funciones

Habilidades Establecer los productos notables a travs de la

bsqueda de regularidades en la multiplicacin deexpresiones algebraicas

Factorizar expresiones algebraicas, usando losproductos notables

Resolver problemas mediante ecuaciones literales Modelar situaciones o fenmenos en diferentes

contextos, utilizando funciones lineales Representar grficamente funciones lineales

y afines Argumentar respecto de las variaciones que se

producen en la representacin grfica de funcio-

nes lineales y afines, al modificar los parmetros Resolver problemas que involucren composicin

de funciones Identificar el dominio y recorrido de funciones que

son el resultado de la composicin de otras

aCtitudes La perseverancia, el rigor, la flexibilidad y originali-

dad al resolver problemas matemticos


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Apren i a esEspera s



AE 01Identifcar patrones en mul -ip icaci nes e expresi nes

a gebraicas n fracci narias.

Multiplican expresiones algebraicas y reducen el resultado. Establecen expresiones para sumas por diferencias y cuadrados de

binomios. Reconocen regularidades en multiplicaciones de expresiones algebraicas.Por ejemplo, en los productos (a +b) (a - b), (a2 - b2) (a2 +b2), (a3 - b3) (a3 +b3)

AE 02Fac ri ar expresi nes a ge-braicas n fracci narias.

Sacan factor comn en expresiones algebraicas. Factorizan expresiones algebraicas, utilizando productos notables. Expresan trinomios como el producto de dos binomios.

AE 03Es ab ecer es ra egias parares ver ecuaci nes inea es.

Emplean tcnicas algebraicas para expresar ecuaciones literales de primer grado en la formaax =b

Resuelven ecuaciones literales de primer grado. Verifican las soluciones obtenidas.

AE 04 Ana i ar represen aci nese a funcin inea y e afuncin afn.

Reconocen la proporcionalidad directa como un caso de la funcin lineal. Reconocen como funciones lineales relaciones de la fsica comoF =ma

(Newton),V= Ri(en circuitos elctricos) yF =kx (ley de Hooke), sealandovariables y constantes.

Organizan en una tabla pares ordenados de una funcin. Generan el grfico cartesiano a partir de una tabla de valores. Usan un procesador simblico para registrar diversos valores de y=kx,

variando los valores dek


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AE 05Rea i ar c mp sici nes efunci nes y es ab ecer a gunas

pr pie a es a gebraicas ees a peracin.

Demuestran que la composicin de funciones cumple la propiedad declausura.

Dadas algunas funciones realizan composiciones de ellas y determinan eldominio y recorrido de la funcin resultante.

Discuten acerca de la conmutatividad de la composicin de funciones.Analizan el caso en que las funciones son transformaciones isomtricas.

Verifican que la composicin de funciones es asociativa. Verifican que la funcin identidad en un conjunto opera como elemento

neutro para la composicin de funciones.

AE 06Res ver pr b emas as cia sa si uaci nes cuy s m e ss n ecuaci nes i era es eprimer gra .

Identifican ecuaciones literales de primer grado en diversos contextos. Reconocen situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales. En situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales:

- plantean la ecuacin- la resuelven- la evalan en funcin del contexto


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Respecto de las funciones lineales y afines, el propsitoes que los estudiantes establezcan conexiones entrelos aprendizajes nuevos propuestos en esta unidad yaquellos logrados en aos anteriores; por ejemplo, losrelacionados con proporcionalidad directa. Pero msan, que los vinculen con el concepto mismo de funcinque comienza a desarrollarse desde 8 bsico, a travsdel cual se introducen la notacin y elementos como

dominio y recorrido.

Se recomienda introducir la composicin de funcionesa travs de metforas que faciliten su comprensin paraluego realizar la formalizacin a travs de la utilizacin dellenguaje algebraico. De este modo se facilita la verifica-cin y demostracin de propiedades de la composicinde funciones. Se sugiere poner nfasis en este contenido, ya que se retomar en la unidad de Geometra a travsdel estudio de las transformaciones isomtricas.

Finalmente, el estudio de funciones se presta pararealizar anlisis de representaciones, usando softwaregrfico. De este modo es posible explorar las distintasformas que toman estas funciones al variar los parme-tros que las constituyen. En otras palabras, este tipo derecursos tecnolgicos facilitan al estudiante el anlisis, laformulacin de conjeturas y su verificacin.

Orientaciones didcticas para la unidad

Tal como lo sugieren los Aprendizajes Esperados, launidad de lgebra es una buena oportunidad parapromover los Objetivos Fundamentales Transversales.A travs del trabajo propuesto, se pueden incentivar aspectos como el rigor, la flexibilidad y la originalidadal resolver problemas. Por otro lado, interesa que losestudiantes sean ordenados y metdicos en el registrode la informacin.

Los productos notables se estudian tradicionalmentepor nombre, segn el tipo de expresin (cuadrado debinomio, trinomio de cuadrado perfecto, etc.). Tambinse acostumbran a ver como reglas de resolucin deciertas expresiones que no siempre los alumnos soncapaces de conectar con otras operaciones (por ejem-plo, con la multiplicacin).

Aqu se propone que los estudiantes conjeturen sobreaquellos productos que tienen ciertas caractersticas quelos hacen notables. Por ejemplo, el docente ofrece unlistado de multiplicaciones para que ellos descubran lasreglas que definen los productos notables. En caso deque no se produzcan hallazgos, se sugiere tensionar lasconjeturas con preguntas como Existe alguna relacin oregularidad entre los trminos de la expresin original ylos que resultan luego de realizar el producto propuesto?.

Aprendizajes Esperados en relacin con los OFT

La perseverancia, el rigor, la flexibilidad y originalidad, al resolver problemas matemticos Tiene un orden y mtodo para el registro de informacin. Termina los trabajos iniciados. Es tenaz frente a obstculos o dudas que se le presenten en problemas matemticos.


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E emp s e Ac ivi a es

AE 01Identifcar patrones en mul -ip icaci nes e expresi nesa gebraicas n fracci narias.

AE 02Fac ri ar expresi nes a ge-braicas n fracci narias.

1Realizan multiplicaciones entre expresiones algebraicas. Por ejemplo,multiplican: (a +b) (a 2b) (a +b c ) (a b + 2c ) (a2 +b2 1) (2a2 3b2 + 4)

2Establecen relaciones al observar regularidades en productos especiales: (a b) (a2 +ab +b2) =a3 b3 (a b) (a3 +a2b +ab2 +b3) =a4 b4 (a b) (a4 +a3b +a2b2 +ab3 +b4) =a5 b5

3Establecen relaciones al observar regularidades en cuadrados de polino-mios: (a +b)2 =a2 +b2 + 2ab (a +b +c )2 =a2 +b2 +c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a +b +c +d )2 =a2 +b2 +c 2 +d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd +2cd

! Observaciones al docente: Es importante que el profesor permita a losestudiantes deducir los productos trabajados, a partir de las regularidadesobservadas. De esta manera se constituye en un aprendizaje significativo. Losalumnos pueden conjeturar sobre los productos notables presentados y otrosque ellos puedan encontrar. Pueden verificar resultados mediante tablas queles ayuden a organizar los datos.

1Factorizan expresiones, utilizando productos notables. De este tipo sonlas siguientes factorizaciones: 4x2 16 y2 x2 + 4xy+ y2 4(x z )2 36( y+ 2)2 (x + 2)2 + 8(x + 2) +16 x4 16 y4

2Utilizan la formaa2 +a (b +c ) +bc = (a +b) (a +c ). De este tipo son las

siguientes factorizaciones: x2 +7x +10 a2 + 6a 7 b2 3b 54 4a2 + 14a 8


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AE 04 Ana i ar represen aci nese a funcin inea y e afuncin afn.

1Identifican funciones lineales en contextos de proporcionalidad. Por ejemplo, en el contexto geomtrico del permetro y rea de un cuadradode lado (a), establecen diferencias entre la relacin ladopermetro y larelacin ladorea. Para ello: Utilizan tablas en las que asignan distintos valores al lado (a) y obtienen

tanto el permetro (P) como el rea ( A) Identifican las expresionesP = 4a y A=a2 Grafican ambas relaciones en el plano cartesiano Establecen cuocientes entre los valores del permetro y el lado, as

como cuocientes entre el rea y el lado Identifican en qu caso ocurre la proporcionalidad directa

! Observaciones al docente: Esta actividad se focaliza en el estudio de las funciones. Tiene como objetivo que los estudiantes relacionen la funcinlineal con la proporcionalidad entre cantidades, que grafiquen y modelendiversas situaciones.

Para lograr este objetivo, es importante que los alumnos generen datos, quelos registren en tablas y posteriormente, que los grafiquen. A partir de cuo-cientes entre variables, deben identificar la proporcionalidad directa.Pueden verificar lo anterior, considerando una funcin lineal cualquiera; por ejemplo: f ( x ) = 3x

2Modelan situaciones asociadas a la funcin afn. Por ejemplo, se puedepresentar la siguiente situacin a los estudiantes:

Una compaa de telfonos celulares ofrece el siguiente plan: cargo fijode $8.590 y $94 por cada minuto que se habla en cualquier horario.

Responden las siguientes preguntas: Cules son las variables involucradas? Cunto se paga por hablar 25, 37 y 55 minutos, respectivamente?

Registrar estos valores en una tabla y graficar, manualmente o usandoun software adecuado los valores.

Observando el grfico, qu diferencias se observa respecto de la fun-cin lineal?

Si llamamos t al valor total de la cuenta y x a los minutos hablados,exprese t en funcin dex.

Qu concluye?


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3Identifican grficos que representan la funcin lineal y grficos querepresentan la funcin afn. Por ejemplo, identifican cul de los grficossiguientes representa la funcin lineal y cul representa la funcin afn, justificando su eleccin.

1

1

-5 2

2

-4

-4

3

3

-3

-3

4

4

-2

-2

5

5

-1-1

1

1

-5 2

2

-4

-4

3

3

-3

-3

4

4

-2

-2

5

5

-1-1

4A partir de las expresiones algebraicas de las funciones o usando tablas devalores, obtienen el grfico de una funcin lineal o afn, en forma manualo utilizando algn software grfico.

5Determinan si una situacin particular puede ser modelada por unafuncin lineal o afn.

Por ejemplo:Considerar un conjunto de rectngulos cuyo permetro es siempre igual a48 cm. Los distintos rectngulos tienen bases y alturas diferentes, pero elpermetro es el mismo en cada caso. Encontrar una funcin de la base con respecto a la altura que modele

esta situacin Determinar el dominio de la funcin Graficar la funcin

! Observaciones al docente: Para esta actividad, cada solicitud es importante,en particular la de graficar la situacin. Tambin es clave hablar de los valorespermitidos en este contexto particular y afianzar el concepto de dominio deuna funcin. Adems, se puede solicitar el recorrido de la funcin en cuestin.

6Realizan experimentos relativos a la ley de Hook. Con ese propsito, setoma un resorte cualquiera y de l se suspenden masas. Se registran enuna tabla la fuerza ejercida sobre el resorte (peso de la masa medido enNewton) y la deformacin medida en metros. A continuacin demuestranque el cuociente entre la fuerza y la deformacin es constante. (Fsica)


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AE 05Rea i ar c mp sici nes efunci nes y es ab ecer a gunaspr pie a es a gebraicas ees a peracin.

1A partir de dos funciones dadas, determinan la funcin resultante decomponer dichas funciones, as como tambin el dominio y el recorridode la nueva funcin. Por ejemplo, si se tienen las funcionesh(x) = 2x con

dominioDh ={2,4,6,8,10} yg(x) = x4

con dominioD g = {4,8,12,16,20} ,

determinan g h y el dominio y recorrido de g h

2Demuestran algunas propiedades respecto de la composicin de funciones.

Por ejemplo:

Verifican si la composicin de funciones cumple o no la propiedad deasociatividad Verifican que la composicin de funciones no es conmutativa

3Comprueban otras propiedad

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1° medio - matemáticas - 2011