Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
2
2
2
1
2 1
5 6
3 3 2
1
2
2
4
3
1
13
27
2 3.2 10 2
5 1
2 0'5
4256
2
3 3 30
13
9
25 0'2
9 3 10
x
x x
x x
x x
x
x
x x
x
x
x x
5x3 3x5 aa
5x24 5x13 aa
6 7x3 5x3 aa
Ejercic ios a real izar de logaritmos
2log x= log(10x-9)
log(x+2) +log(10x+20)= 3
log x =log2+2.log(x-3)
log(3x+1) – log(2x-3)=1 –log5
log(x2+1) –log(3x-8)=1
log4 (x2-2)=1/2
Razones y proporciones.
Una razón es un cociente o comparación de magnitudes. En la razón se busca comparar dos números en el que el primero contenga al segundo y viceversa. Ejemplos:
34
12 3
5
15
3
1
15
5
Una proporción está determinada como la igualdad de dos razones, ejemplo:
B
AR 1
D
CR 2 la proporción se escribe como: A:B : : C:D que se lee:
A es a B como C es a D.
Se considera que A y D son extremos y B y C son medios.
Proporcionalidad geométrica.
Si en una figura geométrica se conserva la razón que existe al comparar dos de sus magnitudes y una de ellas la hacemos crecer o variar su tamaño, las demás magnitudes deben variar con la misma constante de proporcionalidad.
Ejemplo: los lados de un rectángulo miden 3 m y 5 m, si el largo crece a 10 m ¿cuanto debe de medir el ancho para conservar la razón que existe entre ellos?
105
3 x Entonces
5
)10(3x mx 6
Ejemplo.- sea un triángulo de lados 3, 4 y 5 obtenga uno de mayor dimensión.
Se puede resolver multiplicando por dos cada uno de los lados quedando las nuevas medidas de 6, 8 y 10 unidades.
6 10 5
3
8 4
DIAGONALES DE UN POLÍGONO
Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
El número de diagonales (D) de un polígono convexo (sea o no regular) viene determinado por
el número de lados (N) que tiene el polígono. Su fórmula es:
Ángulos de un polígono
Como ya adelantamos, los tres ángulos internos de un triángulo siempre suman 180°.
Si le asignamos n al número de lados, podemos crear una fórmula para calcular el número de grados de cualquier polígono.
(n – 2) × 180°
Triángulos
Clasificación de los ángulos
EJERCICIOS SOBRE ANGULOS
1) Si alfa = 250. Calcular el complemento de alfa.-
a) 750 b) 650 c) 1550 d) 1000 e) 250
2) Calcular el suplemento del complemento de 500.
a) 400 b) 1400 c) 900 d) 1300 e) 600
3) Alfa y Beta son complementarios. Si Alfa es el doble de Beta. ¿Cuánto mide Alfa?
a) 600 b) 300 c) 1200 d) 1800 e) Otro
4) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 5 veces Beta ¿Cuánto mide Beta?
a) 300 b) 1500 c) 600 d) 800 e) 450
5) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 6 veces Beta ¿Cuánto mide Alfa?
a) 1250 b) 27,50 c) 25,70 d) 154,20 e) 1500
6) AB BC. Si el ABD es la tercera parte
Del DBC. ¿Cuánto mide el ABD? A D
a) 450 b) 22,50
c) 300 d) 500
e) 800
B D C
7) A, B, C, colineales. BD bisectriz del ángulo
E
ABC; BE bisectriz del ángulo ABD. BF bisec- F
triz del ángulo EBD ¿Cuánto mide ABF?
A C
a) 200 b) 450 c) 22,50 d) 67,5 e) 900
RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
1 2 1 adyacente al 2
3 4 2 adyacente al 4
4 adyacente al 3
3 adyacente al 1
5 6
7 8 5 adyacente al 6
6 adyacente al 8
8 adyacente al 7
7 adyacente al 5
a
a
A
A
A
A
A
B
1 opuesto por el vértice al 4 1 2
3 4
2 opuesto por el vértice al 3
5 opuesto por el vértice al 8 5 6
6 opuesto por el vértice al 7 7 8
Def.- ANGULOS CORRESPONDIENTES.- Son los que coinciden por traslación paralela.-
Si trasladamos
la recta R2 por la Transversal
de manera que coincida con R1, el punto B
queda sobre el punto A, entonces:
5 queda sobre el 1
6 queda sobre el 2
7 queda sobre el 3
8 queda sobre el 4
Los ángulos correspondientes
son de la misma medida.-
1
A 2
3 4
5 B
6
7 8
R1
R2
T
Def.- ANGULOS ALTERNOS INTERNOS.- Son los que
están dentro de la cinta y a distinto
lado de la transversal.-
3 es alterno interno con 6
4 es alterno interno con 5 1 2
3 4
Son iguales entre si porque:
6 = 2 (correspondientes) 5 6
3 = 2 ( op. Por el vértice 7 8
6 = 3 ( 2 cantidades iguales a
una tercera, son iguales entre sí)
T
Def.- ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS.- Son los que
están fuera de la cinta y a distinto
1 2 lado de la transversal.-
3 4 Son Alternos Externos:
1 con 8
5 6 2 con 7
7 8 Son iguales entre sí.-
Def.- ANGULOS INTERNOS DEL MISMO LADO.- Son los
que están dentro de la cinta y
al mismo lado de la transversal. -
1 2 Son Internos del mismo lado:
3 4
3 con 5
4 con 6
Son suplementarios porque:
5 6 3 + 1 = 1800 (suplementarios)
7 8
5 = 1 ( correspondientes )
T 3 + 5 = 1800 ( cantidades iguales
pueden reemplazarse una por otra )
Def.- ANGULOS EXTERNOS DEL MISMO LADO.- Son los que están fuera de la cinta y
al mismo lado de la transversal. -
Son Externos del mismo lado. - 1 2
2 con 8 3 4
1 con 7
5 6
Son suplementarios. - 7 8
Def.- ANGULOS CONTRARIOS O CONJUGADOS.- Son los que están uno dentro y otro
fuera de la cinta y a distinto lado de la transversal.-
1 2
3 4 Son Contrarios o Conjugados:
1 con 6
5 6 2 con 5
7 8 3 con 8
4 con 7
Son ángulos suplementarios.
Congruencia de triángulos:
Dos triángulos y en general dos figuras son congruentes si estas son idénticas en forma y superficie; es decir si al sobreponerlas coinciden plenamente.
Al ser congruentes los triángulos, ABC y A'B'C', de la figura anterior, se llaman
lados correspondientes u homólogos a los opuestos a ángulos iguales (a con
a’ ; b con b’; c con c’) y ángulos correspondientes u homólogos a los
opuestos a lados iguales ( con ’ ; con ’; con ’), cumpliéndose que los
elementos homólogos de triángulos congruentes son iguales.
Siempre se dejan los vértices de triángulos congruentes en correspondencia; (A con A’ ; B con B’ ; C con C’) a los que les debe corresponder ángulos iguales.
De las seis condiciones de igualdad entre ángulos y lados homólogos es
necesario que se cumplan solo tres de ellas, donde por lo menos una debe ser
referente a la medida de lados, condiciones que formalizan los teoremas de
congruencia.
Teoremas de congruencia:
1) Teorema a.l.a.
Dos triángulos son congruentes si poseen dos pares de ángulos iguales, como
también el lado comprendido entre tales ángulos; es decir:
2) Teorema l.a.l.
Dos triángulos son congruentes si poseen dos pares de lados iguales, como
también el ángulo comprendido entre tales lados; es decir:
(1)
3) Teorema l.l.l.
Dos triángulos son congruentes si poseen sus tres pares de lados iguales; es
decir:
4) Teorema l.l.a.
Dos triángulos son congruentes si poseen dos pares de lados iguales, como
también el ángulo opuesto al mayor de tales lados; es decir:
Ejercicios:
1) Entre los siguientes triángulos, escójanse los que sean congruentes y
justifique con el teorema respectivo:
2) Indique si son congruentes las siguientes parejas de triángulos:
3) Si ABC isósceles base AB; H ortocentro. Determine (V) o (F):
I) ADC BEC (..)
II) ABE BAD (..)
III) AHE BHD (..)
Nota: Si dos triángulos tienen dos pares de ángulos iguales; los terceros ángulos
son también iguales.
3) Si AE ED con EAC EDB ; luego
"x" e "y" valen:
4) Si DCE isósceles base DE con
ACD BCE ; luego "x" e "y" valen:
5) Si AB = AD y BC = DC ; luego "x" e "y"
valen:
6) Si AE = EB y DE = CE ; luego "x" e "y"
valen:
7) Si ABC isósceles base AB; demostrar
que la bisectriz del ángulo del vértice es
transversal de gravedad y altura.
8) Si ABCD romboide, demostrar en este
paralelogramo que sus diagonales se
dimidian; es decir que AE = EC y DE
= BE.
SEMEJANZAS. 2ºESO
1 Si el dibujo de un rectángulo de 12 x 16 cm es ampliado con una fotocopiadora y el rectángulo de la fotocopia mide 24 cm
en su lado mayor, ¿cuál ha sido el número que hemos puesto como porcentaje de ampliación?
Solución: 24 : 16 = 1,5 150%100
1501,5
2.- ¿Son semejantes las figuras siguientes?
Solución: No, ya que sus lados no son paralelos, ni sus ángulos iguales ni sus lados proporcionales.
3.- Si tenemos dos rombos de 4 cm de lado, ¿son semejantes?
Solución: No necesariamente. Además, sus ángulos interiores deberían ser iguales; veamos un ejemplo:
4.- Si tenemos un folio con un texto que ocupa 128 x 200 mm, ¿cuánto ocupará el texto en una fotocopia al 150%?
Solución: Al ampliar una figura, ampliamos la longitud de sus lados multiplicándolos por el factor de semejanza. En este caso,
150% es igual que decir que multiplicamos las medidas por 150/100 = 1,5. Luego, sus medidas serán:
128·1,5 = 192 mm 200·1,5 = 300 mm El texto en la fotocopia ocupará 192 x 300 mm.
5.- Utilizando un utensilio de medida, he multiplicado un segmento por un factor que desconozco. Si el segmento original
medía 19,7 cm y el resultante mide 84,71 cm, calcula la razón de semejanza.
Solución: 84,71 : 19,7 = 4,3
6.- En la siguiente figura, sabiendo que las dimensiones están en metros, calcula x, y, z.
Solución:
m102
yz
a
z
a2
y
m2024
x30y
y
x
30
24
m163
48x
a2
x
a3
24
7.- Calcula las dimensiones en centímetros de los lados del cuadrilátero mayor.
Solución:
Como podemos observar, los ángulos resaltados son iguales entre si. Los dos cuadriláteros son semejantes, por tanto, las
medidas de sus lados serán proporcionales. Entonces:
cm51,6
24c
c
2
4
1,6
cm91,6
3,64b
b
3,6
4
1,6
cm4,51,6
1,84a
a
1,8
4
1,6
c
2
b
3,6
a
1,8
4
1,6
8.- Calcula x en el siguiente dibujo si a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm (x se denomina segmento cuarto proporcional).
Solución: cm83
6·4x
x
6
4
3
x
c
b
a
9.- A la vista de esta imagen, calcula h.
Solución: Los dos triángulos son semejantes pues dos de sus lados son paralelos y podemos considerar que los lados formado
por los rayos del Sol también son paralelos. En consecuencia:
m6,671,5
101CD
10
h
1,5
1
DE
CD
BC
AB
10.- Los triángulos que forman esta figura ¿son semejantes?
Solución:Sí, pues los lados son paralelos entre si, y por tanto los ángulos comprendidos son iguales y los dos triángulos son
semejantes.
11.- Para calcular la profundidad de un pozo, hasta no hace mucho tiempo, se utilizaba una vara de un metro de largo que
se apoyaba en el suelo y se iba separando del borde del pozo hasta que se veía el extremo del fondo. Aquí tienes una
representación esquemática:
Si te has separado a 75 cm del borde, ¿cuál será la profundidad del pozo si tiene 1,5 m de diámetro?
Solución:
AB = 1m = 100cm
BC = 75cm
DE =1,5m = 150cm
La profundidad del pozo será CD.
Son dos triángulos semejantes puesto que sus ángulos son iguales.
Por ser semejantes, tenemos que
m2cm20075
100·150CD
150
CD
75
100
DE
CD
BC
AB
12.- Si en la figura siguiente conoces AB = 3 cm, BC = 1 cm, DE = 8 cm, calcula CD.
Solución: cm2,673
8CD
8
CD
3
1
DE
CD
BC
AB
13.- Calcula el valor de x en esta ilustración.
Solución: m335
55·3x
55
x
5
3
14.- En la siguiente ilustración, calcula D si conocemos h = 1,65 m; d = 2 m; H = 14,85 m
Solución: m181,65
14,85·2
h
H·dD
D
H
d
h
15.- Calcula la altura de un depósito de agua que da una sombra de 15 m de largo, si a la misma hora un bastón de 1 m de
alto da una sombra de 1,8 m de largo.
Solución:
Los dos triángulos son semejantes pues dos de sus lados son paralelos, y podemos considerar que los lados formados en
ambos triángulos por los rayos del Sol también son paralelos.
En consecuencia,
m8,331,8
1·15CD
15
h
1,8
1
DE
CD
BC
AB
16.- Halla x e y en la siguiente figura:
Solución:Aplicando el Teorema de Tales: cm6,752
3·4,5x
2
3
4,5
x
cm10,114,5
7·6,5y
y
6,5
7
4,5
17.- Calcula x (todas las medidas están en centímetros).
Solución: cm7,52
3·5x
5
x
2
3
18.- Calcula x (las unidades son metros):
Solución: m33
6·1,5x
x
6
1,5
3
19.- Calcula x e y (las unidades son metros):
Solución:
m26
8·1,5y
y
1,5
8
6
m2,56
10·1,5x
x
1,5
10
6
20.- Calcula x, y, z (las unidades son centímetros):
Solución:
cm38
6·4x
4
8
x
6
cm46
3·8y
y
8
3
6
cm46
3·8z
z
8
3
6
21.- Halla la altura de una torre que proyecta una sombra de 45 m, sabiendo que un muro de 3 m da una sombra de 5m.
Solución: m753
45·5x
5
3
x
45
22.- Una escalera de 10 m está apoyada contra la pared. Su pie está a 1,6 m de la base de la misma. ¿Cuánto dista de la
pared el escalón situado a 2,4 m de altura?
Solución: m1,2110
1,6·7,6x
x
2,410
1,6
10
23.- Del siguiente dibujo conocemos: AC = 108 m, CE = 72 m, BF = 27 m. ¿Cuánto miden BC y CF?
Solución: m8136
27·108x
27
BC
72108
108
CF = 81 - 27 = 54 m
24.- ¿Cuál es la altura de una torre sabiendo que proyecta una sombra de 32 m si al mismo tiempo un bastón de 1,2 m
proyecta una sombra de 1,5 m?
Solución: m25,61,5
32·1,2x
1,5
1,2
32
x
25.- Calcula x (las unidades son centímetros):
Solución: cm109
6·15x
x
15
6
9
26.- Calcula x e y (las unidades son centímetros):
Solución: cm34
6·2y
y
6
2
4
cm82
4·4x
4
x
2
4
27.- Calcula x e y (las unidades son centímetros):
Solución: cm4,58
6·6x
6
8
x
6
cm7,5
8
6·10y
y
10
6
8
1. En la siguiente figura L1//L2
a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?
b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?
c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.
d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.
e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?
f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?
g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD = ?
h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1. Determina PC y CD.
i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD = 3,6 cm., BD = ?
2. En la siguiente figura L1//L2.
a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?
b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas
de a y c.
c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.
d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?
3. En la siguiente figura L1//L2.
a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?
b) AP = x + 13, BP = 10 cm., PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?
c) BP = 16 cm., CP = 14 cm., DP = 12 cm., AD = ?
d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm.,
CD = 4 cm. Determina las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.
1. En la figura, arco DE = 39º, arco FH = 45º, luego ángulo x =
a) 42º b) 135º c) 138º d) 90º
2. Según la figura, ángulo ? y ángulo ?
a) º67 y º112
b) º112 y º67
c) º68 y º113
d) º136 y º226
3. En la figura el valor de los ángulos , son respectivamente:
a) º50 y º55
b) º50 y º100
c) º25 y º50
d) º100 y º50
4. En la figura, arco GH=146º ; arco EF=31º, entonces ángulo =?
a) 17,5º b) 27,5º c) 37,5º d) 47,5º e) 57,5º
5. En la figura, AB es diámetro, si ángulo º23 , entonces ángulo ?
a) 46º b) 23º c) 11,5º d) 134º
6. En la circunferencia de la figura, arco BC=80º, entonces ángulo ?
a) 75º b) 25º c) 35º d) 45º e) 55º
7. En la circunferencia de la figura, ángulo º48 , arco EF=70º, entonces el arco CD=?
a) 26º b) 22º c) 24º d) 96º
8. En el cuadrilátero inscrito en la circunferencia, º120 . Si 2
, cuanto mide el ángulo x:
a) 30º b) 75º c) 105º d) 150º
9. La siguiente figura muestra un trapecio de bases AB y CD inscrito en la circunferencia,
entonces xyz
a) 80º b) 100º c) 180º d) 200º
10. ¿Cuál es el valor de en la circunferencia de centro O?
a) 100 b) 90 c) 80 d) 70 e) ninguna de las anteriores
11. En la figura 26 y 36CD , ¿Cuánto mide el arco AB?
a) 52 b) 36 c) 88 d) 100 e) 72
Problemas de l t eorema de P i tágoras
1La h ipo tenusa de un t r i ángu lo rec tángu lo mide 30 cm y l a p royecc ión de un
ca te to sob re e l l a 10 .8 cm. Ha l la r e l o t ro ca te to .
2En un t r i ángu lo r ec tángu lo , l a s p royecc iones de lo s ca te to s sobre l a h ipo tenusa
miden 4 y 9 me t ros . Ca lcu la r l a a l tu ra r e la t iva a l a h ipo tenusa .
3La h ipo tenusa de un t r i ángu lo r ec tángu lo mide 405 .6 m y l a p royecc ión de un
ca te to sob re e l l a 60 m. Ca lcu la r :
1 Los ca te to s .
2 La a l tu ra r e la t iva a la h ipo tenusa .
3 E l á r ea de l t r i ángu lo .
4Ca lcu la r lo s l ados de un t r i ángu lo r ec tángu lo sab iendo que l a p royecc ión de
uno de lo s ca te to s sobre l a h ipo tenusa e s 6 cm y l a a l tu ra r e la t iva de l a misma
cm.
5Una esca le ra de 10 m de long i tud es tá apoyada sobre l a pa red . E l p ie de l a
e sca le ra d i s t a 6 m de l a pared . ¿Qué a l tu ra a lcanza l a e sca le ra sobre l a pa red?
6Determina r e l l ado de un t r i ángu lo equ i l á te ro cuyo pe r íme t ro e s igua l a l de un
cuadrado de 12 cm de l ado . ¿Serán igua les sus á r eas?
7Ca lcu la r e l á r ea de un t r i ángu lo equ i l á te ro in sc r i to en una c i r cunfe renc ia de
r ad io 6 cm.
8 De te rminar e l á r ea de l cuadrado in scr i to en una c i r cun ferenc ia de long i tud
18 .84 m.
9 En un cuad rado de 2 m de l ado se in sc r ibe un c í r cu lo y en e s te c í r cu lo un
cuadrado y en e s te o t ro c í r cu lo . Hal l a r e l á r ea comprend ida en t r e e l ú l t imo cuadrado
y e l ú l t imo c í r cu lo .
10 E l per íme t ro de un t r apec io i sósce les e s de 110 m, l a s bases miden 40 y 30
m respec t ivamen te . Ca lcu la r lo s l ados no para le lo s y e l á r ea .
11 S i lo s l ados no para le lo s de un t r apec io i sósce les se p ro longan , quedar ía
fo rmado un t r i ángu lo equ i l á te ro de 6 cm de l ado . Sab iendo que e l t r apec io t iene l a
mi tad de l a a l tu ra de l t r i ángu lo , ca lcu la r e l á r ea de l t r apec io .
12 E l á r ea de un cuadrado es 2304 cm² . Ca lcu la r e l á r ea de l hexágono r egu la r
que t i ene su mismo pe r íme t ro .
13En una c i r cun ferenc ia de r ad io igua l a 4 m se insc r ibe un cuad rado y sob re
lo s l ados de e s te y hac ia e l ex te r io r se cons t ruyen t r i ángu los equ i l á te ros . Ha l l a r e l
á r ea de l a es t r e l l a a s í fo rmada .
14 A un hexágono r egu la r 4 cm de l ado se l e in scr ibe una c i r cunferenc ia y se
l e c i r cunsc r ibe o t r a . Hal l a r e l á r ea de l a co rona c i r cu la r as í fo rmada .
15 En una c i r cun ferenc ia una cuerda de 48 cm y d i s t a 7 cm de l cen t ro . Ca lcu la r
e l á r ea de l c í r cu lo .
16 Los ca te to s de un t r i ángu lo in sc r i to en una c i r cunfe renc ia miden 22 .2 cm y
29 .6 cm respec t ivamen te . Ca lcu la r l a long i tud de l a c i r cun ferenc ia y e l á r ea de l
c í r cu lo .
17 Ca lcu lar e l área de la corona c ircu lar de terminada por las c ircunferenc ias inscr i ta
y c ircunscr i ta a un cuadrado de 8 m de d iagona l .
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto
contiguo al ángulo.
Se denota por tg B
Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Trigonometria_Razones.html La trigonometría, enfocada en sus inicios sólo al estudio de los triángulos, se utilizó
durante siglos en topografía, navegación y astronomía.
Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se
puede definir como "medida de triángulos".
Para establecer las razones trigonométricas, en
cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer
sus elementos. Para ello, veamos la figura a la
derecha:
Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el
ángulo con vértice en B es recto.
Los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la
hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto
(β) son los catetos.
Cada uno de los ángulos águdos del triángulo, uno de
cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al
ángulo o cateto adyacente o contiguo al ángulo.
Cateto adyacente o contiguo es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se
encuentra enfrente de este.
Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:
Si consideramos el ángulo α Si consideramos el ángulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convenio, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden
representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una
línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los
ángulos.
Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas
se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos
agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.
Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los
dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son
recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro:
Funciones (razones) trigonométricas
Fundamentales Recíprocas
sen seno cosec (csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan
(cotg) cotangente
Veamos un ejemplo, para un ángulo α:
Sea el ángulo BACde medida α (siempre
menor de 90º) en el triángulo rectángulo
ABC.
Los lados BC y BA son los catetos y AC, la
hipotenusa.
En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con respecto a alfa (α) se definen
como:
Seno
Seno, es la razón (división) entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa
Coseno
coseno, es la razón (división) entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa
Tangente
tangente, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al mismo.
Estas tres (seno, coseno, tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre
un ángulo agudo y los lados del triángulo rectángulo del cual forman parte.
A cada razón fundamental corresponde una razón recíproca, llamadas así por que cada una es
la inversa de otra fundamental.
Las tres siguientes son las razones recíprocas que se pueden establecer respecto al mismo
ángulo:
Cosecante
cosecante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo, y como es la recíproca
del seno de α se puede expresar como
Secante
secante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, y como es la reciproca
del coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto puesto al mismo, y como
es la recíproca de la tangente de α se puede expresar como
Utilización de la calculadora en trigonometría
Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones
trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores
de interés: En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón
trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos muestra el resultado en la pantalla.
Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes centesimales (GRAD). Es muy importante tener en
cuenta este factor, ya que no es lo mismo que
o .
La conversión entre los sistemas es la siguiente:
Ejercicios de identidades trigonométricas Ejercicio: Comprueba las identidades:
1
Solución:
2
Solución:
Simplificar las fracciones:
1
2
3
Ecuaciones trigonométricas
En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y
por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en
todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para
trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades
trigonométricas fundamentales.
Ejemplos:
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1
2
7
1. Un ebanista debe reproducir un tablero triangular del que sólo se conseva el fragmento que indica
la figura. ¿Qué dimensiones tenía la pieza original?
2. Dos motoristas parten del punto en que se bifurcan dos carreteras rectas que forman un ángulo
de 55º. Viajan a 90 km/h y a 120 km/h, respectivamente.¿A qué distancia se encuentran uno del
otro al cabo de 3 minutos?.
4. Desde dos puntos A y B situados en la misma orilla de un río y distantes entre sí 80 m, se observa
un punto C situado en la orilla opuesta, bajo ángulos de 60º y 45º, respectivamente. Calcula las
distancias desde los puntos A y B al punto C.
5. Tres pueblos, A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la
BC es 9 Km. El ángulo que forman AB y BC es 120º. ¿Cuánto distan A y C?.
6. Un faro, de 50m. de altura, está situado sobre un promontorio. Las respectivas
distancias del extremo superior e inferior del faro a un barco son de 85 y 65 metros. Halla
la altura del promontorio.
7. Sea AB una altura de pie accesible, situado en un terreno horizontal. Desde el punto E, situado a
23,41m. de A, con un aparato colocado en C a un metro del suelo, se dirige una visual a B, que forma
un ángulo de 4º12´ con la horizontal. ¿Cuánto mide la altura AB?.
8. Los lados de un triángulo miden 13, 14 y 15 metros. Calcula el seno y el coseno del
ángulo menor de dicho triángulo.
9. ¿ Es posible que un triángulo tenga lados qué midan a = 15m., b = 7m. y c
= 5m.?
10. Calcula la longitud de un túnel que atraviesa una montaña, sabiendo que la cima
de la misma dista de los extremos del túnel 400 y 520 metros respectivamente y que
desde la cima a los extremos, las visuales forman un ángulo de 40º.
11. Dos barcos salen de un puerto, y desde un mismo punto, según dos rectas
que forman entre sí un ángulo de 60º. Calcula la distancia que los separa
después de dos horas de navegación, suponiendo que mantienen velocidades
constantes de 50 y 65 km/h.
14. Calcula la distancia entre los puntos A y B de la figura siguiente, con los datos que se
indican: CD= 400m. ,
C = 70º ,
D = 80º,
x = 30º,
y = 42º
15. Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes, justificando la
respuesta:
a) “ No se puede calcular cosx, sabiendo sólo que tgx = 0.6”. b) “Nigún ángulo tiene
cosecante –2”. c)“ Es imposible construir un triángulo de lados 8cm., 3cm. y 2cm”. d) “ La
identidad sec(-x) = - secx es cierta”. e) “Todas las ecuaciones trigonométricas
tienen solución”. f) “Se pueden obtener las razones trigonométricas de cualquier ángulo,
si conocemos las de su ángulo mitad” g)”El teorema del seno nos permite resolver cualquier
triángulo”
16. Calcula el área de un triángulo ABC, sabiendo que
A = 46º,
B = 37º y la distancia de
A hasta B es 25m.
17. En la pirámide de Keops, de base cuadrada, el lado de la base mide 230 m y el ángulo
que forma una cara con la base es de 52º. Calcula:
a) La altura de la pirámide. b) La altura de una cara.
c) La longitud de una arista. d) El ángulo que forma la
arista con la base del triángulo.
e) El ángulo superior de cada cara. f) El volumen de la
pirámide.
32. Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman un ángulo de 127°. El
primero sale a las 10 h de la mañana con una velocidad de 17 nudos, y el segundo sale a las 11
h 30 min, con una velocidad de 26 nudos. Si el alcance de sus equipos de radio es de 150 km,
¿podrán ponerse en contacto a las 3 de la tarde?
(Nudo = milla / hora; milla = 1 850 m).
33. En un entrenamiento de la selección española de fútbol, Villa coloca el balón
en un punto que está a 5m y 8m de cada uno de los postes de la portería, cuyo
ancho es de 7m, para lanzar a puerta. Además, Casillas se coloca en el borde
de la portería y enfrente del balón. ¿Bajo qué ángulo ve Villa los dos bordes de
la portería desde el punto de tiro? ¿A qué distancia está Casillas del balón?
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo. Los elementos de un triángulo
oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos, opuestos a los
anteriores, a, b y c.
Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus
elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un
lado).
Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de triángulos
oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido
como caso particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice
expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no se aplican las
técnicas generales de resolución que vamos a ver seguidamente.
Se utilizan tres propiedades:
Suma de los ángulos de un triángulo A + B + C = 180º
Teorema del seno
Teorema del coseno
a2 = b2 + c2 - 2·b·c·Cos A
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·Cos B
c2 = a2 + b2 - 2·a·b·Cos C
Casos en la resolución de triángulos:
CASO DATOS CONOCIDOS INCÓGNITAS
I Los tres lados: a, b, c Los tres ángulos A, B, C
II Un lado y los ángulos adyacentes: a, B, C Dos lados y un ángulo: b, c, A
III Dos lados y el ángulo formado: a, b, C Un lado y dos ángulos: c, A, B
IV Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a, b, A Un lado y dos ángulos: c, B, C
CASO I: Se dan los 3 lados del triángulo: a, b y c
ORIENTACIONES
Hay que tener en cuenta que este caso no siempre tiene solución, es decir no valen cualesquiera
tres segmentos a, b y c ya que para que pueda formarse un triángulo ha de cumplirse que
cualquier lado ha de ser menor que la suma de los otros dos.
Esta propiedad se conoce como propiedad triangular y se expresa así:
a < b + c b < a + c c < a + b
Ejemplo: a, b y c son los lados del triángulo y miden: a =7, b =10 y c = 6.
La solución trigonométrica de A, B y C se obtiene calculando en el
siguiente orden:
1º Aplicando el teorema del coseno despejamos Cos A y Cos B, para
calcular A y luego B
2º Aplicando la relación de la suma de ángulos se calcula C:
cos 𝐵 =72 + 62 − 102
2.7.6=
−15
84= −0,17857 cos 𝐴 =
102 + 62 − 72
2.10.6=
87
120= 0,725𝐴
= cos−1 0,75 = 43,531152º = 43º 31´52´´
𝐶 = 180º − 43º31´52´´ − 100º17´12´´ = 36º 10´ 56´´𝐵= cos−1 −0,17857 = 100,28656º = 100º 17´12´´
Ejercicios Caso 1: Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:
CASO II: Se da un lado y los ángulos adyacentes
ORIENTACIONES
La única limitación es que los dos ángulos tienen que sumar menos de 180º (B + C < 180º)
para que sea posible la construcción.
En un triángulo un lado mide a = 10, y los ángulos adyacentes a este miden B = 45º, C = 76º
La solución trigonométrica se consigue aplicando el siguiente orden a las propiedades:
1º Suma de los ángulos B + C para determinar A
2º Teorema del Seno para determinar sucesivamente los lados b y c.
Ejercicio: Para localizar una emisora
clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40º y 65º. ¿A qué distancia de A y B se encuentra la emisora?
CASO III: Se dan dos lados y el ángulo que
forman
Por ejemplo: en triángulo dos lados miden respectivamente a = 6, b=8 y el ángulo comprendido
entre ellos mide C=100º.
La solución trigonométrica se consigue aplicando en el mismo orden las siguientes
propiedades:
1º Teorema del coseno para calcular el lado c,
2º Teorema del seno para calcular el ángulo A
3º Una vez conocidos A y C, la propiedad de la suma de los tres ángulos para calcular B.
Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo:
CASO IV: Se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
ORIENTACIONES
Este caso es el más complejo ya que se pueden dar tres situaciones:
No existe triángulo
Existe un triángulo
Existen dos triángulos.
Suponemos conocidos los lados a y b y el ángulo A opuesto al lado a.
La solución trigonométrica se consigue aplicando las siguientes propiedades en el mismo orden:
1º Teorema del seno para calcular el ángulo B
2º La propiedad de la suma de los tres ángulos para calcular C
3º Nuevamente el Teorema del seno para calcular el lado c
Ejemplos: Resuelve los siguientes triángulos:
a = 3, b = 5, A = 80º
Ejercicios y Problemas:
1) De un triángulo ABC se conoce a = 8 cm, c = 14 cm y B = 50º. Hallar los elementos que faltan.
2) De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
3) De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.
4) Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.
5) Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
6) Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
7) Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
8) Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
9) Calcula la altura, h, de la figura:
10) Calcula los lados c y a.
Ley de senos
La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del
ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol?
5.Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de 10º hasta que logra
una altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.
6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y
observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de
35º y la parte inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente.
TEOREMA DEL COSENO
1. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que a, b, g
son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:
a) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35º
b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m.
c) c = 10 cm. = 40º = 70º
d) a = 12 cm. b = 16 cm = 43º
e) = 53º = 75º c = 30,5 cm.
f) = 48º = 68º c = 47,2 mm.
2. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm.
Determina la longitud de la diagonal menor.
3. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 15
km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje.