1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD · b) Los cuadrados de los números del 1 al 12. c) Los cubos de los números del 1 al 5. d) Las potencias de base 2 hasta 210. 1 900 355

Página 38

PRACTICA

Fracc iones y dec imales

1 a) Agrupa, entre las siguientes fracciones, las que sean equivalentes:

b)Representa sobre rectángulos cada una de esas fracciones.

a) = ; = ; = =

b)

2 Simplifica:

a) b) c) d) e)

a) = b) = c) =

d) = e) =

3 Escribe la fracción que representa la parte coloreada en cada una de estas figurasy ordénalas.

12

2 0004 000

27

60210

35

75125

14

1872

57

3042

2 0004 000

60210

75125

1872

3042

26

515

13

1521

57

23

1015

1521

26

23

515

13

57

1015

Pág. 1

1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD

Unidad 1. Los números y sus utilidades

1

10—152—3

1—35—152—6

15—215—7

= =

< < <

4 Escribe una fracción equivalente a 2/5 y otra equivalente a 7/6, pero quetengan el mismo denominador.

m.c.m. (5, 6) = 30 = ; =

5 Transforma en decimal estas fracciones:

Efectuamos la división en cada caso:

= 0,)6; = 0,4; = 0,32; = 0,375; = 1,1875; = 0,

)142857;

= 0,)8; = 1,

)6

6 Clasifica los siguientes números racionales en decimales exactos y decimalesperiódicos. (Intenta dar la respuesta antes de efectuar la división).

Todas las fracciones propuestas son irreducibles. Darán lugar a decimales exac-tos cuando en el denominador solo estén como factores primos el 2 y el 5. Enotro caso, darán lugar a decimales periódicos. Por tanto:

– Decimales exactos → , , , , .

– Decimales periódicos → , , .

7 Expresa en forma de fracción y mediante un decimal la parte coloreada deestas figuras:

a) = 0,32 b) = 0,18 c) = 0,681725

950

825

49

76

13

135

2310

58

34

25

49

135

2310

76

58

34

25

13

53

89

17

1916

38

825

410

23

53

89

17

1916

38

825

410

23

3530

76

1230

25

58

12

38

14

58

38

28

14

48

12

Pág. 2



1

a) c)b)

8 Expresa en forma de fracción:

a) 25,8 b) 4,)25 c) 4,25 d) 3,04

)7 e) 0,

)152

a) 25,8 = =

b) 100N = 425,2525…

–N = 4,2525…

99N = 421 → N =

c) 4,25 = =

d)1 000N = 3 047,777…

–100N = 304,777…

900N = 2 743 → N =

e) 1 000N = 152,152152…

–N = 0,152152…

999N = 152 → N =

9 Escribe tres números que estén comprendidos entre cada par de decimales:

a) 0,6 y 0,8 b) 0,7 y 0,8 c) 0,9 y 1

d)0,99 y 1 e) 2,43 y 2,44 f) 2,436 y 2,437

Hay infinitos números comprendidos entre cada par de decimales. Porejemplo, podemos poner:

a) 0,61; 0,62; 0,63 b) 0,71; 0,72; 0,73

c) 0,91; 0,92; 0,93 d) 0,991; 0,992; 0,993

e) 2,431; 2,432; 2,433 f ) 2,4361; 2,4362; 2,4363

10 Ordena las fracciones , y .

1-a forma: Expresamos las fracciones en forma decimal:

= 0,65 = 0,56 = 0,70

Por tanto: < <

2-a forma: Reducimos a común denominador:

= ; = ; = Por tanto: < < 710

1320

1425

70100

710

56100

1425

65100

1320

710

1320

1425

710

1425

1320

710

1425

1320

152999

2 743900

174

425100

42199

1295

25810

Pág. 3



1

11 Ordena de menor a mayor estos números: 2,47; 2,4)7; 2,

)4 ; 2,

)47

2,)4 < 2,47 < 2,

)47 < 2,4

)7

12 ¿Cuáles de estos números pueden expresarse como fracciones?

0,25 3,)58 0,00

)1 3,030030003…

Escribe la fracción que representa a cada uno en los casos que sea posible.

• 0,25 = =

• 100N = 358,5858…

–N = 3,5858…

99N = 355 → N =

• 1 000N = 1,111…

–100N = 0,111…

900N = 1 → N =

• 3,030030003… no se puede expresar como fracción; no es un número deci-mal exacto ni periódico. Es un número irracional.

Cálcu lo menta l

13 Calcula mentalmente:

a) 7 – 2 + 4 b) 7 – (2 + 4) c) 7 – (2 – 4)

d) –7 + 2 – 4 e) 11 + 3 · 5 – 2 f) (7 + 3) · 5 – 2

g) 11 + 3 · (5 – 2) h) (7 + 3) · (5 – 2)

a) 7 – 2 + 4 = 9 b) 7 – (2 + 4) = 1 c) 7 – (2 – 4) = 9

d) –7 + 2 – 4 = –9 e) 11 + 3 · 5 – 2 = 24 f ) (7 + 3) · 5 – 2 = 48

g) 11 + 3 · (5 – 2) = 20 h) (7 + 3) · (5 – 2) = 30


a) La cuarta parte de 100, 200, 600 y 1 000.

b) Los cuadrados de los números del 1 al 12.

c) Los cubos de los números del 1 al 5.

d) Las potencias de base 2 hasta 210.

1900

35599

14

25100

2,472,47 = 2,4777…2,

)4 = 2,4444…

2,)47 = 2,4747…

Pág. 4



1

a) 25, 50, 150 y 250, respectivamente.

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y 144, respectivamente.

c) 1, 8, 27, 64 y 125, respectivamente.

d)2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 y 1 024, respectivamente.

15 Calcula mentalmente el número decimal equivalente a cada fracción:

= 0,5; = 0,75; = 0,25; = 0,2; = 0,4; = 0,6


a) (–2)5 b) (–2)8 c) (–1)10 d) (–1)23

a) (–2)5 = –32 b) (–2)8 = 256 c) (–1)10 = 1 d) (–1)23 = –1

Página 39


a) 20 · (–350) b) c) 2 · 75 · (–2)

d) 1 640 · 4 e) 2 486 · 50 f) 120 · 25

a) 20 · (–350) = –7 000 b) = 150 c) 2 · 75 · (–2) = –300

d)1 640 · 4 = 6 560 e) 2 486 · 50 = 124 300 f ) 120 · 25 = 3 000


a) de 60 b) de 100 c) de 500

d) La mitad de .

e) La tercera parte de .

f) La mitad de la quinta parte de –6.

a) 40 b) 75 c) 3 d) e) f )


a) Los tres cuartos de un número valen 12. ¿Cuál es el número?

b) Los dos tercios de un número valen 20. ¿De qué número se trata?

c) Los 3/5 de una cantidad son 15. ¿Cuál es esa cantidad?

–35

47

13

127

23

3500

34

23

50 · 6020

50 · 6020

35

25

15

14

34

12

35

25

15

14

34

12

Pág. 5



1

a) de x = 12 → x = 16

b) de x = 20 → x = 30

c) de x = 15 → x = 25

20 Calcula y simplifica:

a) · b) 6 · c) 5 :

d) · e) : f) : 4

a) · = b) 6 · = = c) 5 : =

d) · = e) : = = 4 f ) : 4 = =


a) + b) 1 + c) 2 –

d) – e) 1 + f) –

a) + = b) 1 + = c) 2 – =

d) – = e) 1 + = f ) – =

Operaciones con números racionales

22 Calcula:

a) – + b) + +

c) – d) – –

a) – + = – + =

b) + + = + + =

c) – = – =

d) – – = – – = = 740

21120

14120

9120

44120

760

340

1130

190

290

390

145

130

6136

2736

436

3036

34

19

56

1130

630

1030

1530

15

13

12

760

340

1130

145

130

34

19

56

15

13

12

16

13

12

43

13

14

14

12

74

14

32

12

34

14

12

13

12

13

14

12

14

12

14

12

114

228

27

246

23

83

415

45

13

203

34

92

184

34

25

23

35

27

23

83

45

13

34

34

23

35

35

23

34

Pág. 6



1

23 Calcula:

a) 3 – ( + ) b) (2 – ) + (5 – )c) – 2 + d) 5 – ( – 2)a) 3 – ( + ) = – – = – – =

b) (2 – ) + (5 – ) = + = + =

c) – 2 + = – + =

d)5 – ( – 2) = 5 – ( ) = 5 + =

24 Calcula:

a) de 224 b) de 120

a) de 224 = = 5 · 7 = 35

b) de 120 = = 17 · 15 = 255

25 Separa en cada fracción la parte entera, como en el ejemplo: = 1 +

a) b) – c) d) – e)

a) = 1 + b) – = –2 – c) = 6 +

d) – = –3 – e) = 2 +

26 El valor medio entre el 0 y el 1 es . Calcula el valor medio comprendido

entre cada pareja de números:

a) y 2 b) y c) –1 y 35

34

23

12

12

310

2310

25

175

37

457

13

73

23

53

2310

175

457

73

53

12

32

17 · 1208

178

5 · 22432

532

178

532

203

53

–53

13

–16

26

126

96

13

32

176

96

86

32

43

72

23

136

46

16

186

23

16

31

23

16

13

13

32

72

23

23

16

Pág. 7



1

a) = =

b) = =

c) = =

27 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO).

28 Reduce a una sola fracción las expresiones:

a) – · –

b) ( – + 2) – ( – + 1)c) (1 + ) – ( + ) · ( – )d) ( + ) – [1 – ( – ) + – ]a) – · – = – – = – – =

b) ( – + 2) – ( – + 1) = ( – + ) – ( – + ) =

= – = = 1

c) (1 + ) – ( + ) · ( – ) = – · = – = – =

d) ( + ) – [1 – ( – ) + – ] =

= ( + ) – [ – + + – ] =

= – = – = = –13

–515

1915

1415

7660

1415

960

4060

3060

4560

6060

515

915

320

23

12

34

13

35

5948

548

6448

548

43

112

54

43

14

13

12

34

13

2020

2720

4720

2020

820

1520

4020

520

1220

25

34

14

35

1332

232

132

1632

116

132

12

116

18

14

12

320

23

12

34

13

35

14

13

12

34

13

25

34

14

35

116

18

14

12

–15

–2—5

2

3–1 + —5

2

1724

17—12

2

2 3— + —3 4

2

54

5—2

2

1— + 22

2

Pág. 8



1

Página 40

29 Reduce:

a) · ( – ) – · ( – ) b) 5 : ( + 1) – 3 : ( – )a) · ( – ) – · ( – ) = · – · = · – · =

= – =

b) 5 : ( + 1) – 3 : ( – ) = 5 : – 3 : = – = – =

30 Reduce a una fracción:

a) b) c)

a) = = 3 b) = = =

c) = = = 7

31 Comprueba que el resultado de estas operaciones es un número entero:

a) ( – 1) · (3 – ) – ( – ) b) 2 : ( + ) – 3 : (1 + )c) – · [1 – – ( – 1) · ( – 3)]d) [( – ) + 13 ( – 1)2] : ( – 1)a) ( – 1) · (3 – ) – ( – ) = · – ( ) = + = = –2

b) 2 : ( + ) – 3 : (1 + ) = 2 : – 3 : = 3 – 2 = 132

46

12

12

16

–126

16

–136

–16

135

–56

12

13

25

16

13

23

19

23

13

1720

35

38

12

12

16

12

13

25

16

–7—20–1—20

5 12— – —20 2014 15— – —20 20

1 3— – —4 57 3— – —10 4

27

414

4—314—3

53 – —353 + —3

3—21—2

11 + —211 – —2

1 3— – —4 57 3— – —10 4

53 – —353 + —3

11 + —211 – —2

–263

363

103

121

103

14

32

14

12

24

112

112

212

12

16

14

23

36

16

14

23

13

56

16

12

34

23

14

12

24

13

56

16

12

34

23

Pág. 9



1

c) · [1 – – ( – 1 ) · ( – 3)] = · [ – ( ) · ( ) =

= · [ – ] = · [ – ] = 0

d) [( – ) + 13 ( – 1)2] : ( – 1) = [ + 13 · ] : ( ) = : =

= 2 : = = –3

32 Calcula las siguientes potencias:

a) (–2)4 b) (–2)3 c) –22

d) –2–3 e) (–2)–2 f) (–2)–3

a) (–2)4 = 16 b) (–2)3 = –8 c) –22 = –4

d)–2–3 = –1/8 e) (–2)–2 = = f ) (–2)–3 = =

33 ¿A qué número entero es igual cada una de estas potencias?

a) 1–37 b) (–1)–7 c) ( )–2

d) (– )–4e) (– )–4

f) ( )0

a) 1–37 = 1 b) (–1)–7 = –1 c) ( )–2= 22 = 4

d) (– )–4= (–2)4 = 16 e) (– )–4

= (–3)4 = 81 f ) ( )0= 1

34 Escribe en forma de potencia de base 2 ó 3:

a) 128 b) 729 c) d) – e)

a) 128 = 27 b) 729 = 36 c) = = 2–6

d)– = – = –3–3 e) = 3–1

35 Expresa con potencias de base 10:a) 1 000 000 b) mil millones c) 0,00001d) una milésima e) 0,000000001 f) una millonésima

a) 106 b) 109 c) 10–5 d) 10–3 e) 10–9 f ) 10–6

13

133

127

126

164

13

127

164

45

13

12

12

45

13

12

12

–18

1(–2)3

14

1(–2)2

6–2

–23

–23

189

–23

19

59

13

23

19

23

25

25

–38

820

25

–38

–83

–320

25

–38

13

1720

35

–38

Pág. 10



1

36 Expresa como potencia única:

a) ( )2: ( )–1

b) ( )3: ( )5

c)

d) (22 · 2–3)–4 e) f)

a) ( )2: ( )–1

= ( )1= b) ( )3

: ( )5= ( )–2

= 22 = 4

c) = 3–4 = = d) (22 · 2–3)–4 = (2–1)–4 = 24 = 16

e) = = = 2–6 =

f ) = = 2–4 · 34 = = ( )4=

37 Reduce:

a) b) ( )2: ( )3

c) ( )2· ( )4

d) e) ( )3: ( )2

f) [( )3]2

a) = = –1

b) ( )2: ( )3

= ( )–1=

c) ( )2· ( )4

= · = =

d) = = =

e) ( )3: ( )2

= : =

f ) [( )3]2= ( )6

= =

38 Simplifica:

a) b) 2–4 · 42 · 3 · 9–1

2–5 · 8 · 9 · 3223 · (–3)2 · 42

63 · 92

164

126

12

12

1627

116

127

14

13

281

234

3 · 32 · 24

23 · 33 · 343 · (–3)2 · 42

63 · 92

94

32

2234

2422

32–32

23

52

25

25

25

–32

32–32

(–3)2

12

14

13

3 · (–3)2 · 42

63 · 92

–32

23

25

25

–32

(–3)2

8116

32

34

242–5 · 24 · 32

23 · 3–22–5 · 42 · 32

23 · 9–1

164

126

24 · 2–4

2624 · 4–2

82

181

134

35 · 3–7

32

12

12

12

25

25

25

25

2–5 · 42 · 32

23 · 9–124 · 4–2

82

35 · 3–7

3212

12

25

25

Pág. 11



1

a) = = =

b) = = =

39 Calcula:

a) [( – 1)3]2b) [( – )–1]–5

c) ( – )–2· ( – )–1

a) [( – 1)3]2= (– )6

= =

b) [( – )–1]–5= (– )5

= (– )5=

c) ( – )–2· ( – )–1

= ( )–2· ( )–1

= ( )2· ( ) = · = –4

40 Calcula pasando a fracción:

a) 0,)4 + 0,

)3 + 0,

)2 b) 3,0

)7 – 1,6

)7 c) 0,

)7 + 1,

)23 d) 0,3

)6 – 1,

)2

a) 0,)4 + 0,

)3 + 0,

)2 = + + = = 1

b) 3,0)7 – 1,6

)7 = – = = = 1,4

c) 0,)7 – 1,

)23 = + = + = = 2,

)01

d)0,3)6 – 1,

)2 = – = – = = –0,8

)5

41 Calcula:

a) – (0,75 + 0,)6) + b) ( + 0,1

)6) (– ) – (0,

)6 + 0,2 – )

a) – (0,75 + 0,)6) + = – ( + ) + = – ( + ) + =

= – + = = 1

b) ( + 0,1)6) (– ) – (0,

)6 + 0,2 – ) =

= ( + ) · (– ) – ( + – ) = – – ( + ) =

= – – ( + ) = – – · = – – = – – = –173

133

43

6515

43

815

658

43

315

515

658

43

15

13

658

43

13

15

23

658

43

16

56

13

658

43

56

1212

1312

1712

1612

1312

812

912

1612

1312

23

34

43

1312

43

13

658

43

56

1312

43

–7790

11090

3390

119

3390

19999

12299

7799

12299

79

75

12690

15190

27790

99

29

39

49

–94

169

–94

43

–49

34

79

13

34

32

–132

12

36

23

16

164

126

12

12

79

13

34

32

23

16

12

4243

22

352–4 · 24 · 3 · 3–2

2–5 · 23 · 32 · 322–4 · 42 · 3 · 9–1

2–5 · 8 · 9 · 32

16243

24

3523 · 32 · 24

23 · 33 · 3423 · (–3)2 · 42

63 · 92

Pág. 12



1

Raíces

42 Calcula cuando sea posible:

a) b) c)

d) e) f)

a) = = 2 b) = = –2 c) = = 5

d) no existe e) = = f ) = –1

Página 41

43 Indica cuáles de las siguientes raíces son racionales y cuáles irracionales:

a) b) c)

d) e) f)

a) = 8 → racional b) = = 4 → racional

c) = → irracional d) = 10 → racional

e) → irracional f ) = → racional

Calcu ladora

44 Con ayuda de la calculadora, busca el dígito que hay que poner en cada cua-drado para que se verifique la igualdad:

a) 4 �� 5 + 85 �� = 1 �� 13; b) 34 �� × �� 6 = 8 970; c) 425 + 23 × �� = 5 �� 6

a) 455 + 858 = 1 313 b) 345 × 26 = 8 970 c) 425 + 23 × 7 = 586

45 Sustituye los cuadrados por el signo de la operación adecuada para que estasigualdades sean verdaderas:

a) 12 �� 34 �� 9 = 318 b) (25 �� 16) �� 45 �� 5 = 400

a) 12 + 34 × 9 = 318 b) (25 – 16) × 45 – 5 = 400

46 Con los dígitos 3, 4, 5 y 6, forma dos números de dos cifras de modo que almultiplicarlos obtengas el mayor producto posible.

Tomamos los dos dígitos mayores como decenas de los dos números que busca-mos, y nos quedan dos opciones:

El producto mayor es 54 · 63.

53 · 64 = 3 39254 · 63 = 3 402

12

√1/43√100

√1005√265√64

3√263√64√64

√1/43√100√100

5√643√64√64

5√–152

4√54/244√625/16√–8

4√544√6253√(–2)33√–8

6√266√64

5√–14√625/16√–8

4√6253√–8

6√64

Pág. 13



1

47 Pon los paréntesis necesarios para que cada expresión dé el resultado que in-dica la flecha:

a) 6 + 3 · 5 + 8 → 53 b) 6 + 3 · 5 + 8 → 45

c) 7 + 3 · 5 – 1 → 19 d) 7 + 3 · 5 – 1 → 40

a) (6 + 3) · 5 + 8 = 53 b) 6 + 3 · (5 + 8) = 45

c) 7 + 3 · (5 – 1) = 19 d) (7 + 3) · (5 – 1) = 40

48 Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0, ¿cómo podrías conseguirque apareciese en la pantalla cada uno de estos números?

a) 180 b) 108 c) 1 080 d) 104 050

a) 180 = 5 36 b) 108 = 3 36

c) 1 080 = 135 8 d) 104 050 = 25 4 162

49 Si en la pantalla de tu calculadora está el número 56 327, ¿qué operación ha-rías para transformar el 3 en un 0? ¿Y para que en lugar del 6 hubiera un 8?

• Para transformar el 3 en un cero, basta con restar 300:

56 327 – 300 = 56 027

• Para transformar el 6 en un 8, basta con sumar 2 000:

56 327 + 2 000 = 58 327

50 ¿Qué pantallas irás obteniendo al introducir la siguiente secuencia de teclas?

¿Qué aparecerá en pantalla si introduces 80 ?

Si introducimos 80 aparecerá . (Se multiplica 0,5 × 80).

51 ¿Qué resultado crees que obtendrás con la siguiente secuencia?

2

4 096

Pág. 14



1

0.5 200

?

? ?

? ?

0.5 200

52 Para dividir 2 530 : 396 (halla cociente y resto), efectúa la siguiente secuencia:

396 2 530 …

Ve observando los números que van apareciendo en la pantalla y páratecuando el resultado sea menor que 396. Ese es el resto de la división.

El cociente es el número de veces que has pulsado la tecla .

Razona el porqué del proceso anterior.

Al introducir la secuencia:

396

2 530

obtenemos 1442443

6 veces

Por tanto, el cociente de la división 2 530 : 396 es 6 y el resto 154.

Cuando introducimos 396

2 530 … , vamos restando 396 (en pri-mer lugar de 2 530) cada vez que pulsamos .

Si lo pulsamos 6 veces, hemos efectuado: 2 530 – 6 · 396, y hemos obtenido154; es decir, 2 530 = 6 · 396 + 154.

53 Predice y comprueba con la máquina la pantalla resultante de las siguientesentradas, partiendo en cada caso de la pantalla y la memoria a cero.

a) 9 6 7

b)8 7 9

c) 8 5

d)19 14 5 2 7

a) 8 b) 2 c) 26 d) 0,5

54 Utiliza los paréntesis necesarios para efectuar las siguientes operaciones conla calculadora. Estima previamente el resultado.

a) b) 18 – (2 · 16,5 – 30)

c) d) ( ) · 25

a) 30 7 18

4

6

Por tanto: = 22,8

b) 18 3.5 .5

2 16.5 30

Por tanto: 18 – (2 · 16,5 – 30) = –33,50,5

30 · 7 + 1842 – 6

344 – 5 · 43

35 – 14325 – 4,52

4 · 2,5 – 5

3,50,5

30 · 7 + 1842 – 6

Pág. 15



1

c) 25 4.5

4 2.5 5

Por tanto: = 0,95

d) 344 5 4

3

3

5 143

25

Por tanto: ( ) · 25 = 6

Página 42

PIENSA Y RESUELVE

55 EJERCICIO RESUELTO

De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte,quedando aún 3 litros. ¿Cuál es la capacidad del bidón?

Resolución

→ Sacamos la mitad.

→ Dividimos la otra mitad en 5 partes.

→ Sacamos de la mitad, que es , y nos quedan ,

que son 3 litros.

La capacidad es de = 7,5 litros.

Comprueba la solución.

Comprobamos que la capacidad es de 7,5 litros:

• Sacamos la mitad → 7,5 : 2 = 3,75 litros sacamos → 3,75 litros quedan.

• Después la quinta parte → 3,75 : 5 = 0,75 litros sacamos → 3 litros quedan.

En efecto, quedan 3 litros.

56 En un depósito lleno de agua había 3 000 litros. Un día se gastó 1/6 del de-pósito, y otro, 1 250 litros. ¿Qué fracción queda?

de 3 000 = = 500 litros se gastaron primero.

1 250 + 500 = 1 750 litros se han gastado en total.

3 000 – 1 750 = 1 250 litros quedan.

1 250 litros de 3 000 que había representan la fracción:

= del depósito quedan.512

1 2503 000

3 0006

16

304

410

110

15

344 – 5 · 43

35 – 143

25 – 4,52

4 · 2,5 – 5

Pág. 16



1

1—2

1—2

De otra forma:

= del depósito se gastan en segundo lugar.

+ = del depósito se gastan en total.

Por tanto, quedan del depósito.

57 De un solar se vendieron los 2/3 de su superficie, y después, los 2/3 de lo quequedaba. El Ayuntamiento expropió los 3 200 m2 restantes para un parquepúblico. ¿Cuál era su superficie?

• Se venden → queda

• Después, de = se venden. En total se han vendido:

+ = + = → Queda , que son 3 200 m2

Por tanto, la superficie era de: 3 200 · 9 = 28 800 m2.

58 En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un díacorresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fru-ta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a89 €, ¿qué caja ha hecho el establecimiento?

La fracción del total correspondiente a las naranjas es:

de = · = , que son 89 €.

Por tanto, el total es: = 284,8 €

59 Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta 1/3 del ca-pital, el segundo 2/5 y el tercero el resto. Al cabo de tres meses, reparten unosbeneficios de 150 000 €. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

• Al primero le corresponderá de 150 000 = 50 000 €.

• Al segundo, de 150 000 = 60 000 €.

• Y, al tercero, el resto: 150 000 – (50 000 + 60 000) = 40 000 €

25

13

89 · 165

516

56

38

56

38

19

89

29

69

29

23

29

13

23

13

23

512

712

512

16

512

1 2503 000

Pág. 17



1

60 Una pelota pierde en cada bote 2/5 de la altura a la que llegó en el bote ante-rior. ¿Qué fracción de la altura inicial, desde la que cayó, alcanza después decuatro botes?

• Después de 1 bote alcanza de la altura inicial.

• Después de 2 botes alcanza de = ( )2de la altura inicial.

• Después de 3 botes alcanza de ( )2= ( )3

de la altura inicial.

• Después de 4 botes alcanza de ( )3= ( )4

= de la altura inicial.

61 Se adquieren 10 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas, se reduceen 1/5 su peso. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azúcar, perdién-dose en la cocción 1/4 de su peso. ¿Cuántos kilos de mermelada se obtienen?

• Al deshuesarlas se reduce el peso → quedan de 10 kg = 8 kg.

• Se cuecen los 8 kg de ciruelas con 8 kg de azúcar; es decir, 16 kg de mezcla. Se

pierde en la cocción del peso → se obtienen:

de 16 = 12 kg de mermelada

62 Un campo rectangular de 120 m de largo se pone a la venta en dos parcelas arazón de 50 € el metro cuadrado. La primera parcela, que supone los 7/12 delcampo, sale por 140 000 €. ¿Cuánto mide la anchura del campo?

del total = 140 000 € → Total = 240 000 €

A 50 €/m2 → 240 000 : 50 = 4 800 m2 tiene el campo en total.

4 800 : 120 = 40 m mide la anchura del campo.

63 Compro a plazos un equipo de música que vale 500 €. Hago un pago de 60 €,después los 2/3 de lo que me queda por pagar, y luego 1/5 de lo que aún debo.a) ¿Cuánto he devuelto cada vez?b) ¿Qué parte de la deuda he pagado?c) ¿Cuánto me queda por pagar?

a) 1er pago → 60 € → me quedan por pagar: 500 – 60 = 440 €

2-o pago → de 440 = 293,33 € → me quedan por pagar:

440 – 293,33 = 146,67 €

23

712

34

14

45

15

16625

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

Pág. 18



1

3er pago → de 146,67 = 29,33 € → me quedan por pagar:

146,67 – 29,33 = 117,34 €

La 1-a vez he devuelto 60 €, la 2-a vez 293,33 €, y la 3-a vez, 29,33 €.

b) 1er pago → = del total → me faltan .

2-o pago → de = → en total llevo pagado + = .

Me faltan .

3er pago → de = → en total he pagado + = .

La parte de deuda que he pagado son del total.

c) Me quedan por pagar del total, que son 117,34 €.

64 Un ciclista, yendo a una velocidad de 24 km/h, tarda 1 h 30 min en recorrerlos 3/5 de la distancia entre dos ciudades, A y B.

a) ¿Qué distancia hay entre esas ciudades?

b) Si salió de A a las 10 h, ¿a qué hora llegará a B?

a) En 1,5 horas recorre 24 · 1,5 = 36 km.

Si llamamos x a la distancia entre A y B, tenemos que:

de x = 36 → x = 60 km hay entre A y B

b) A 24 km/h tarda en recorrer 60 km: 60 : 24 = 2,5 horas

Por tanto, si salió de A a las 10 h, llegará a B a las doce y media, es decir, alas 12 h 30 min.

65 Al lavar una tela, su longitud se reduce en 1/10 y su anchura, 1/15. ¿Qué lon-gitud debe comprarse de una pieza de 0,90 m de ancho para tener, despuésde lavada, 10,5 m2 de tela?

La superficie de tela, después de lavada, es:

0,9x · 0,84 = 10,5 m2

35

88375

287375

287375

22375

5375

22375

2275

15

2275

5375

4475

325

4475

2225

23

2225

325

60500

15

Pág. 19



1

0,90 mDespués

de lavar

1415— de 0,90 = 0,84 m

910— de x = 0,9 x

x

10,5 m2

Hallamos la anchura inicial, x:

0,756x = 10,5 → x = � 13,89 m

66 Un taxista cambia el aceite de un vehículo cada 3 500 km y le hace una revi-sión general cada 8 000 km. ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos ope-raciones?

m.c.m. (3 500, 8 000) = 56 000

Entonces cada 56 000 km coinciden las dos operaciones.

67 En una cooperativa tienen 420 litros de un tipo de aceite y 225 litros de otro.Quieren envasarlo con el menor número posible de garrafas iguales. ¿Qué ca-pacidad tendrá cada garrafa?

M.C.D. (420, 225) = 15

Cada garrafa ha de tener 15 litros.

68 Se desea cubrir con baldosas cuadradas una habitación de 330 cm de anchopor 390 cm de largo. ¿Qué tamaño deben tener las baldosas si deben ser lomás grandes posible y no se quiere cortar ninguna?

M.C.D. (330, 390) = 30

Las baldosas han de ser de 30 cm × 30 cm.

Página 43

REFLEXIONA SOBRE LA TEOR ÍA

69 Representa cada número en su lugar:

a) 3,045 b) 3,45 c) 3,00045 d) 3,0045

70 Demuestra que 3,6)9 y 3,7 se expresan mediante la misma fracción.

Expresamos en forma de fracción cada uno de los dos números:

N = 3,6)9 → 100N = 369,999…

–10N = 36,999…

90N = 333 → N = = 3710

33390

10,50,756

Pág. 20



1

3,4 3,53,45

3,04 3,05

3,004 3,005

3,0004 3,0005

3,045

3,0045

3,00045

3,6)9 =

3,7 = Se expresan mediante la misma fracción.

71 Demuestra que 0,)3 + 0,

)6 = 1. Busca otros dos decimales periódicos cuya su-

ma sea un decimal exacto.

• Expresamos 0,)3 y 0,

)6 en forma de fracción:

10N = 3,333… 10M = 6,666…

–N = 0,333… –M = 0,666…

9N = 3 → N = = 9M = 6 → M = =

Por tanto: 0,)3 + 0,

)6 = + = = 1

• Otro ejemplo sería: 0,)45 + 0,

)54. Veámoslo:

100N = 45,4545…

–N = 0,4545…

99N = 45 → N = =

100M = 54,5454…

–M = 0,5454…

99M = 54 → M = =

Por tanto: 0,)45 + 0,

)54 = + = = 1

Esto ocurre siempre que la suma de los periodos está formada solo por nueves.

72 Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por unnúmero positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades:

3 < 8 –5 < 9 –8 < –1

¿Ocurre lo mismo si multiplicas los dos miembros por un número negativo?

Si multiplicamos cada una de las desigualdades propuestas por un númeropositivo, por ejemplo:

3 < 8 →· 2

6 < 16

–5 < 9 →· 3–15 < 27 Siguen siendo ciertas.

–8 < –1 →·1/2

–4 < – 12

1111

611

511

611

5499

511

4599

33

23

13

23

69

13

39

3710

3710

Pág. 21



1

Pero si multiplicamos por un número negativo, cambia la desigualdad. Porejemplo:

3 < 8 →· (–1)

–3 > –8

–5 < 9 →· (–2)10 > –18 Cambia la desigualdad.

–8 < –1 →· (–1/2)

4 >

73 Pon ejemplos, reflexiona, responde y opina:

a) ¿Qué condición debe cumplir n para que n/11 sea periódico?

b) ¿Cuál es el máximo número de cifras del periodo de ese número?

a) n no debe ser múltiplo de 11.

b) El máximo número de cifras del periodo es 10, ya que los restos al dividirentre 11, si la división no es exacta, pueden variar entre 1 y 10.

74 Sabiendo que a > b > c > 0, compara los siguientes pares de fracciones:

y y y

> ; < ; <

75 a) Calcula en forma decimal el valor de la siguiente expresión:

+ + + …

b) Escribe el resultado en forma de fracción.

a) + + + … = 0,3 + 0,03 + 0,003 + … = 0,)3

b) 0,)3 =

76 Divide por 3 varios números menores que 10 y observa los resultados. ¿Quépuede ocurrir cuando dividimos por 3?

¿Puedes predecir las cifras decimales de los cocientes 30 3, 31 3, 32 3?

La parte decimal del cociente a : 3 es

¿Cuál será la parte decimal de (a + 1) : 3 y de (a + 2) : 3?

13

31 000

3100

310

31 000

3100

310

bc

ba

ac

ab

bc

ac

bc

ba

ac

ab

bc

ac

12

Pág. 22



1

• = 0,)3 = 0,

)6 = 1

= 1,)3 = 1,

)6 = 2

= 2,)3 = 2,

)6 = 3

• 30 3 = 10 → Exacto (pues 30 es múltiplo de 3)

31 3 → Periódico de periodo 3 ( = 10 + = 10,)3)

32 3 → Periódico de periodo 6 ( = 10 + = 10,)6)

• (a + 1) : 3 será una división exacta.

La parte decimal de (a + 2) : 3 será periódica de periodo 3.

77 Si divides 1 entre 2, da 0,5. Utiliza tu calculadora para obtener decimales ma-yores y menores que 0,5. ¿Qué característica deben tener las fracciones quedan decimales mayores que 0,5? ¿Y las que dan decimales menores que 0,5?

Las fracciones cuyo numerador sea mayor que la mitad del denominador darándecimales mayores que 0,5.

Las fracciones cuyo numerador sea menor que la mitad del denominador, da-rán decimales menores que 0,5.

PROFUNDIZA

78 Divide por 7 los números del 1 al 10 y anota los resultados.

¿Cuántos decimales distintos pueden salir?

¿Tiene eso que ver con el hecho de que estemos dividiendo entre 7?

¿Puedes predecir el resultado de 27 : 7 y de 45 : 7?

¿Cuál será el número a si a : 7 = 10,285714?

= 0,)142857 = 0,

)285714 = 0,

)428571

= 0,)571428 = 0,

)714285 = 0,

)857142

= 1 = 1,)142857 = 1,

)285714 = 1,

)42857110

797

87

77

67

57

47

37

27

17

23

323

13

313

93

83

73

63

53

43

33

23

13

Pág. 23



1

Hay tres posibilidades:

– Decimal periódico de periodo 3.

– Decimal periódico de periodo 6.

– Decimal exacto.

Pueden salir 6 decimales distintos. (Pues al dividir entre 7, si la división no esexacta, podemos obtener 6 restos distintos: 1, 2, 3, 4, 5, 6).

= 3 + = 3,)857142

= 6 + = 6,)428571

= 10,)285714 = 10 + 0,

)285714 = 10 + = → a = 72

79 Investiga. Alicia ha tratado de investigar el periodo obtenido al dividir por17. Después de dividir por 17 los números 1, 2, 3, 4 y 5, cree que tiene ya elperiodo completo, que supone que tiene 16 cifras. Compruébalo usando lacalculadora hasta donde te sea necesario.

a) ¿Podrías escribir el resultado de dividir 36 entre 17 con veinte cifrasdecimales?

b) De la misma manera, halla el resultado de dividir 401 entre 43 con veintecifras decimales.

= 0,0588235294117647 = 0,1176470588235294

= 0,1764705882352941 = 0,2352941176470588

= 0,2941176470588235

a) = 2 + = 2,1176470588235294

Con veinte cifras decimales sería: 2,11764705882352941176

b) = 9,325581395348837209302

Con veinte cifras decimales sería: 9,32558139534883720930

80 Investiga en qué cifra termina el número 355. Observa antes en qué cifra ter-minan las sucesivas potencias de 3 y busca una regla que te permita saber laúltima cifra de cualquier potencia de base 3.

¿En qué número termina la potencia de exponente 100 y bases 2, 3, 4 y 7?

Potencias de 3

31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81

35 = 243 36 = 729 37 = 2 187 38 = 6 561

40143

217

3617

517

417

317

217

117

727

27

a7

37

457

67

277

Pág. 24



1

Si dividimos el exponente entre 4 y el resto es:

0 → la potencia acaba en 1




Como 55 44 → el resto es 3, entonces 355 acaba en 7.

15 13

3(Potencias de 2

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16

25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256

…

Como 100 44 → Resto = 0 → 2100 acaba en 6

20 25

0(Potencias de 3

Por lo dicho anteriormente, 3100 acaba en 1.

Potencias de 4

4100 acaba en 6.

Potencias de 7

71 = 7 72 = 49 73 = 343 74 = 2 401

75 = 16 807 76 = 117 649 77 = 823 543 78 = 5 764 801

…

7100 acaba en 1

Exponente impar → acaba en 4Exponente par → acaba en 6

42 = 1644 = 256

41 = 443 = 64

Pág. 25



1

Página 97

PRACTICA

Traducc ión a lenguaje a lgebra ico

1 Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones alge-braicas:

a) A un número se le quita 7. 0,2x

b)El doble de un número más su cuadrado. 2x + 1

c) Un múltiplo de 3 menos 1. 2x + x2

d)El 20% de un número. 1,1x

e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios. 4x –

f) El precio de un pantalón aumentado en un 10%. 3x – 1

g) Un número impar. x – 7

a) x – 7 b) 2x + x2 c) 3x – 1 d) 0,2x

e) 4x – f ) 1,1x g) 2x + 1

2 Llama x al ancho de lapizarra y expresa su alturaen cada caso:

a) La altura es la mitaddel ancho.

b)La altura es 20 cm me-nos que el ancho.

c) La altura es los tres cuartos del ancho.

d)La altura es un 20% menor de su ancho.

a) b) x – 20 c) d) 0,8x

3 Expresa con un monomio:

a) El perímetro de esta figura.

b)El área de la misma.

c) El volumen del cubo que se puede formar conesos seis cuadrados.

a) 14x b) 6x2 c) x3

3x4

x2

2x3

2x3

Pág. 1


Unidad 4. El lenguaje algebraico

4

x

x

4 Traduce al lenguaje algebraico, empleando una sola incógnita:

a) Los tres quintos de un número menos 1.

b)La suma de tres números consecutivos.

c) Un múltiplo de 3 más su doble.

d)La suma de un número y su cuadrado.

e) El producto de un número por su siguiente.

a) x – 1

b) x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3

c) 3x + 2 · (3x) = 3x + 6x = 9x

d) x + x2

e) x (x + 1) = x2 + x

5 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO).

6 Traduce al lenguaje algebraico, utilizando dos incógnitas:

a) Un número más la mitad de otro.

b)El cuadrado de la suma de dos números.

c) La diferencia de los cuadrados de dos números.

d)El doble del producto de dos números.

e) La semisuma de dos números.

a) x + b) (x + y)2 c) x2 – y2 d) 2xy e)

Operac iones con po l inomios

7 Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios y di cuáles son seme-jantes:

a) –7x2 b) x c) ( x)2d) –6x

e) 7x3 f) x2 g) x · 4x2

a) grado 2 b) grado 1 c) grado 2 d) grado 1

e) grado 3 f ) grado 2 g) grado 3

Son semejantes: a) c) y f )b) y d)e) y g)

23

53

12

53

x + y2

y2

35

Pág. 2



4

Página 98

8 Efectúa:

a) 5x2 – 3x2 – x2 b) –2x + 7x – 10x c) –x3 – 2x3 + 3x3

d) x – – x e) 3x – x – f) x2 – x2 +

a) 5x2 – 3x2 – x2 = x2

b) –2x + 7x – 10x = –5x

c) –x3 – 2x3 + 3x3 = 0

d)x – – x = (1 – – )x = x

e) 3x – x – = (3 – – )x = x

f ) x2 – x2 + = ( – 1 + )x2 = x2

9 Simplifica estas expresiones:

a) 2x3 – 5x + 3 – 1 – 2x3 + x2 b) (2x2 + 5x – 7) – (x2 – 6x + 1)

c) 3x – (2x + 8) – (x2 – 3x) d) 7 – 2(x2 + 3) + x (x – 3)

a) 2x3 – 5x + 3 – 1 – 2x3 + x2 = x2 – 5x + 2

b) (2x2 + 5x – 7) – (x2 – 6x + 1) = 2x2 + 5x – 7 – x2 + 6x – 1 = x2 + 11x – 8

c) 3x – (2x + 8) – (x2 – 3x) = 3x – 2x – 8 – x2 + 3x = –x2 + 4x – 8

d)7 – 2(x2 + 3) + x (x – 3) = 7 – 2x2 – 6 + x2 – 3x = –x2 – 3x + 1

10 Efectúa y reduce:

a) 3x2 · 5x + 2x (–3x2) b) x2 (– x3)c) – x2 d) –

a) 3x2 · 5x + 2x (–3x2) = 15x3 – 6x3 = 9x3

b) x2 (– x3) = – x5

c) – x2 = – = ( – ) x3 = – x3

d) – = 2x2 – x2 = x2x4

x26x3

3x

13

23

13

2x3

3x3

32x3

x3

3

25

23

35

x4

x26x3

3x2x3

x3

3

23

35

76

12

53

x2

253

2110

12

25

x2

25

415

13

25

13

2x5

x2

253

x2

25

13

2x5

Pág. 3



4

11 Opera y simplifica:

a) (2x)3 – (3x)2x – 5x2(–3x + 1) b) ( x) (–4x) – (4x2 – 5)

c) (2x2 – x + 3)(x – 3) d) (–x2 + 3x – 5)(2x – 1)

a) (2x)3 – (3x)2x – 5x2 (–3x + 1) = 8x3 – 9x3 + 15x3 – 5x2 = 14x3 – 5x2

b) ( x) (–4x) – (4x2 – 5) = –5x2 – 2x2 + = –7x2 +

c) (2x2 – x + 3) (x – 3) = 2x3 – x2 + 3x – 6x2 + 3x – 9 = 2x3 – 7x2 + 6x – 9

d) (–x2 + 3x – 5) (2x – 1) = –2x3 + x2 + 6x2 – 3x – 10x + 5 =

= –2x3 + 7x2 – 13x + 5

12 Considera estos polinomios: A = x4 – 3x2 + 5x – 1; B = 2x2 – 6x + 3; C = 2x4 + x3 – x – 4. Calcula: A + B, A + C, A + B + C, A – B, C – B.

A = x4 – 3x2 + 5x – 1 A = x4 – 3x2 + 5x – 1

+ B = 2x2 – 6x + 3 + C = 2x4 + x3 – x – 4

A + B = x4 – x2 – x + 2 A + C = 3x4 + x3 – 3x2 + 4x – 5

A + B = x4 – x2 – x + 2 A = x4 – 3x2 + 5x – 1

+ C = 2x4 + x3 – x – 4 – B = – 2x2 + 6x – 3

A + B + C = 3x4 + x3 – x2 – 2x – 2 A – B = x4 – 5x2 + 11x – 4

C = 2x4 + x3 – x – 4

– B = – 2x2 + 6x – 3

C – B = 2x4 + x3 – 2x2 + 5x – 7

13 Multiplica:

a) (x2 – 5x – 1) · (x – 2)

b) (3x3 – 5x2 + 6) · (2x + 1)

c) (2x2 + x – 3) · (x2 – 2)

a) (x2 – 5x – 1) · (x – 2) = x3 – 7x2 + 9x + 2

x2 – 5x – 1

x – 2

–2x2 + 10x + 2

x3 – 5x2 – x

x3 – 7x2 + 9x + 2

52

52

12

34

53

12

34

53

Pág. 4



4

b) (3x3 – 5x2 + 6) · (2x + 1) = 6x4 – 7x3 – 5x2 + 12x + 6

3x3 – 5x2 + 6

2x + 1

3x3 – 5x2 + 6

6x4 – 10x3 + 12x

6x4 – 7x3 – 5x2 + 12x + 6

c) (2x2 + x – 3) · (x2 – 2) = 2x4 + x3 – 7x2 – 2x + 6

2x2 + x – 3

x2 – 2

– 4x2 – 2x + 6

2x4 + x3 – 3x2

2x4 + x3 – 7x2 – 2x + 6

14 Desarrolla los siguientes cuadrados:

a) (x + 7)2 b) (x – 11)2 c) (2x + 1)2

d) (3x – 4)2 e) ( x – 5)2f) ( + 4x)2

a) (x + 7)2 = x2 + 14x + 49 b) (x – 11)2 = x2 – 22x + 121

c) (2x + 1)2 = 4x2 – 4x + 1 d) (3x – 4)2 = 9x2 – 24x + 16

e) ( x – 5)2= x2 – 4x + 25 f ) ( + 4x)2

= + x + 16x2

15 Extrae factor común:

a) 5x + 10x2

b) –x2 + x – 3x3

c) 3x2 – 6x + 9x2

d) 2x3 – x2 + 2x

e) a (x – 1) + b (x – 1) + c (x – 1)

f) x2(x – 1) + x2(x – 2) + x2(x – 3)

g) 2x ( y – 1) + x ( y – 1) – x ( y – 1)

a) 5x + 10x2 = 5x (1 – 2x)

b) –x2 + x – 3x3 = x (–x + 1 – 3x2)

c) 3x2 – 6x + 9x2 = 12x2 – 6x = 6x (2x – 1)

43

165

425

25

425

25

25

25

Pág. 5



4

d)2x3 – x2 + 2x = 2x (x2 – x + 1)e) a (x – 1) + b (x – 1) + c (x – 1) = (x – 1) (a + b + c)

f ) x2(x – 1) + x2(x – 2) + x2(x – 3) = x2(x – 1 + x – 2 + x – 3) = x2(3x – 6)

g) 2x (y – 1) + x (y – 1) – x (y – 1) = 2x (y – 1)

16 Desarrolla los siguientes productos notables:

a) (x – 3y)2 b) ( – )2c) (3x + 2x2)2

d) (x – )2e) ( + x2)2

f) ( x – y)2

a) (x – 3y)2 = x2 – 6xy + 9y2 b) ( – )2= – +

c) (3x + 2x2)2 = 9x2 + 12x3 + 4x4 d) (x – )2= x2 – 1 +

e) ( + x2)2= + 5x3 + x4 f ) ( x – y)2

= x2 – xy + y2

17 Multiplica:

a) (x + 7)(x – 7) b) (1 + x) (1 – x) c) (3 – 4x) (3 + 4x)

d) (2x – 1)(2x + 1) e) ( – 2x2) ( + 2x2) f) (1 – ) (1 + )a) (x + 7) (x – 7) = x2 – 49 b) (1 + x) (1 – x) = 1 – x2

c) (3 – 4x) (3 + 4x) = 9 – 16x2 d) (2x – 1) (2x + 1) = 4x2 – 1

e) ( – 2x2) ( + 2x2) = – 4x4 f ) (1 – ) (1 + ) = 1 –

18 Transforma en diferencia de cuadrados:

a) (3x + ) (3x – ) b) (x2 + 1)(x2 – 1)

c) ( + y) ( – y) d) (x2 – x) (x2 + x)

a) (3x + ) (3x – ) = 9x2 – b) (x2 + 1) (x2 – 1) = x4 – 1

c) ( + y) ( – y) = – y2 d) (x2 – x) (x2 + x) = x4 – x2x2

4x2

x2

14

12

12

x2

x2

12

12

1x2

1x

1x

19

13

13

1x

1x

13

13

116

34

94

14

32

25x2

45x2

14x2

12x

y2

4xy3

x2

9y2

x3

14

32

5x2

12x

y2

x3

23

43

Pág. 6



4

Página 99

19 Reduce la siguiente expresión: (x – 1) – (x + 1) +

• Quitamos paréntesis: – +

• Reducimos a común denominador:

• Efectuamos las operaciones indicadas: =

20 Reduce las siguientes expresiones:

a) – 2(2 – 3x) + 2(–x + 3)

b) – –

c) – –

a) – 2(2 – 3x) + 2(–x + 3) = – 4 + 6x – 2x + 6 =

= + 4x + 2 = =

=

b) – – = – – =

= = =

= =

c) – – = – – =

= =

21 Reduce las siguientes expresiones:

a) (x + 1) (x – 1) – 3 (x + 2) – x (x + 2)

b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 – x (x + 3)

c) – – 1 + x4

5 – x5

5 + x4

47x + 25984

42x + 294 – 84 + 12x – 7x + 4984

7x – 49 84

84 – 12x84

42x + 29484

x – 712

7 – x7

x + 72

–2x + 76

2(–2x + 7)12

–4x + 1412

9x + 9 – 12x + 8 – x – 312

x + 312

12x – 812

9x + 912

x + 312

3x – 23

3x + 34

11x + 132

3x + 9 + 8x + 42

3x + 92

3x + 92

3(x + 3)2

x – 712

7 – x7

x + 72

x + 312

3x – 23

3x + 34

3(x + 3)2

8x – 1330

18x – 18 – 10x – 10 + 1530

6(3x – 3) – 10(x + 1) + 1530

12

x + 13

3x – 35

12

13

35

Pág. 7



4

d) (x + 3) – (x + 1) + (x + 3)

e) (x – ) (x + ) – (x2 + 1)

f) (x + 1)2 – (x – 2)(x – 3) – x

g) + –

h) ( – 2)2– +

i) + [ – ( + ) – ]a) (x + 1)(x – 1) – 3(x + 2) – x (x + 2) = x2 – 1 – 3x – 6 – x2 – 2x = –5x – 7

b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 – x(x + 3) = 4x2 + 12x + 9 – (4x2 – 12x + 9) – x2 – 3x =

= 4x2 + 12x + 9 – 4x2 + 12x – 9 – x2 – 3x =

= –x2 + 21x

c) – – = – – =

= = =

d) (x + 3) – (x + 1) + (x + 3) = – + =

= – + =

= – + =

= =

e) (x – ) (x + ) – (x2 + 1) = x2 – – x2 – = x2 –

f ) (x + 1)2 – (x – 2)(x – 3) – x = x2 + 2x + 1 – (x2 – 5x + 6) – x =

= x2 + 2x + 1 – x2 + 5x – 6 – x = x – 5234

54

54

54

49

23

13

13

19

13

13

13

11x + 4512

8x + 24 – 6x – 6 + 9x + 2712

9x + 2712

6x + 612

8x + 2412

3x + 94

x + 12

2x + 63

3(x + 3)4

(x + 1)2

2(x + 3)3

34

12

23

x5

4x20

25 + 5x – 20 + 4x – 5 – 5x20

5 + 5x20

20 – 4x20

25 + 5x20

1 + x4

5 – x5

5 + x4

52

16

x4

x2

32

58

x – 14

x + 18

x2

32

(3x – 2)2

8x (x – 2)

4x (x – 3)

2

54

13

13

13

34

12

23

Pág. 8



4

g) + – = + – =

= + – =

= =

=

h) ( – 2)2– + = ( – 2x + 4) – + =

= – 3x + 6 – + =

= – + – + =

= =

=

i) + [ – ( + ) – ] = + [ – – – ] =

= + – – – = + – – – =

Fracc iones a lgebra icas

22 Suma estas fracciones algebraicas: +

• El denominador común será x (x + 3)

• + = = = =

23 Reduce a denominador común, suma y simplifica si es posible:

a) + b) + –

c) – d) –

e) + f) 2x +

g) – x h) + 5x + 1

1 – xx

2xx + 1

3x – 1

x – 1x2

3 – xx

52(x – 1)

xx + 1

3x2

52x

53x

12x

3x

2x2

1x

7x + 6x2 + 3x

2x + 6 + 5xx (x + 3)

2(x + 3) + 5xx (x + 3)

2(x + 3) + 5xx (x + 3)

5x + 3

2x

5x + 3

2x

3x – 278

308

28

3x8

6x8

58

154

14

3x8

3x4

58

52

16

x4

x2

32

58

52

16

x4

x2

32

58

3x2 – 23x + 458

3x2 – 24x + 48 – x – 1 + 2x – 28

2x – 28

x + 18

488

24x8

3x2

8

x – 14

x + 18

3x2

8

x – 14

x + 18

x2

432

x – 14

x + 18

x2

32

–3x2 – 4x – 48

4x2 – 12x + 2x2 – 4x – 9x2 + 12x – 48

9x2 – 12x + 48

2x2 – 4x8

4x2 – 12x8

9x2 – 12x + 48

x2 – 2x4

x2 – 3x2

(3x – 2)2

8x (x – 2)

4x (x – 3)

2

Pág. 9



4

a) + = + =

b) + – = + – =

c) – = – =

d) – = – = = x2 – 1

e) + = + = =

f ) 2x + = + = + =

g) – x = – = – = =

h) + = + = =

24 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) b) c)

d) e) f)

a) = b) =

c) = = x – 3 d) = =

e) = f ) = =

PIENSA Y RESUELVE

25 Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia:

a) x2 + 4x + 4 b) x2 – 10x + 25

c) x2 + 9 + 6x d) x2 + 49 – 14x

e) 4x2 + 4x + 1 f) 4x2 + 9 – 12x

g) 9x2 – 12x + 4 h) x4 + 4x2 + 4

x + 2x

x (x + 2)x2

x2 + 2xx2

1x + 2

x + 2(x + 2)2

x – 12

x (x – 1)2x

x2 – x2x

x (x – 3)x

x2 – 3xx

x3

x (x + 1)3(x + 1)

x3

5x2

15x

x2 + 2xx2

x + 2(x + 2)2

x2 – x2x

x2 – 3xx

x (x + 1)3(x + 1)

5x2

15x

–x2 + 5x + 1x2 + x

1 – x2 + 5xx (x + 1)

5xx (x + 1)

(1 – x) (x + 1)x (x + 1)

5x + 1

1 – xx

–x2 + xx + 1

2x – x2 – xx + 1

x2 + xx + 1

2xx + 1

x (x + 1)x + 1

2xx + 1

2xx + 1

2x2 – 2x + 3x – 1

3x – 1

2x2 – 2xx – 1

3x – 1

2x (x – 1)x – 1

3x – 1

–x2 + 4x – 1x2

3x – x2 + x – 1x2

x – 1x2

3x – x2

x2x – 1

x23 – x

x

4x2 – 7x – 52

5(x + 1)2

2x (x – 1)2

52(x – 1)

xx + 1

5x – 62x2

62x2

5x2x2

3x2

52x

116x

106x

36x

186x

53x

12x

3x

x + 2x2

2x2

xx2

2x2

1x

Pág. 10



4

a) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 b) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2

c) x2 + 9 + 6x = (x + 3)2 d) x2 + 49 – 14x = (x – 7)2

e) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 f ) 4x2 + 9 – 12x = (2x – 3)2

g) 9x2 – 12x + 4 = (3x – 2)2 h) x4 + 4x2 + 4 = (x2 + 2)2

26 Expresa como producto de una suma por una diferencia:

a) 9x2 – 25 b) 1 – x2 c) 4x2 – 9

d) 16x2 – 1 e) x4 – 16 f) 49 – 4x2

a) 9x2 – 25 = (3x + 5)(3x – 5) b) 1 – x2 = (1 + x) (1 – x)

c) 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3) d) 16x2 – 1 = (4x + 1)(4x – 1)

e) x4 – 16 = (x2 + 4)(x2 – 4) f ) 49 – 4x2 = (7 + 2x) (7 – 2x)

Página 100

27 Transforma en producto esta expresión: x3 + 2x2 + x.

• Sacamos factor común: x (x2 + 2x + 1)

• El polinomio x2 + 2x + 1 es el cuadrado de una suma.

Por tanto, x3 + 2x2 + x = x (x2 + 2x + 1) = x (x + 1)2

28 Transforma en producto:

a) x3 + 6x2 + 9x b) x4 – 16x2

c) 4x3 + 4x2 + x d) x (x – 1) + x (x + 2)

e) x3 – x f) 3x4 – 24x3 + 48x2

a) x3 + 6x2 + 9x = x (x2 + 6x + 9) = x (x + 3)2

b) x4 – 16x2 = x2(x2 – 16) = x2(x + 4)(x – 4)

c) 4x3 + 4x2 + x = x (4x2 + 4x +1) = x (2x + 1)2

d)x (x – 1) + x (x + 2) = x (x – 1 + x + 2) = x (2x + 1)

e) x3 – x = x (x2 – 1) = x (x + 1)(x – 1)

f ) 3x4 – 24x3 + 48x2 = 3x2(x2 – 8x + 16) = 3x2(x – 4)2

29 Descompón en producto de dos factores:

a) x2 – 9 b) 1 – a2

c) 4x2 – 9 d) x2 –

a) x2 – 9 = (x + 3)(x – 3) b) 1 – a2 = (1 + a) (1 – a)

c) 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3) d) x2 – = (x + ) (x – )45

45

1625

1625

Pág. 11



4

30 Simplifica:

a) b) c)

d) e) f)

a) = =

b) = =

c) = = x – 2

d) = =

e) = =

f ) = =

31 Expresa con un monomio el área de la parte coloreada en esta figura.

Es un triángulo de base x y de altura x.

Su área es =

Podemos resolverlo de otra forma:

Dividimos el cuadrado en cuatro partes iguales.El área del triángulo es la mitad de la del cuadrado:

32 Expresa con un monomio el área de la parte coloreada en estas figuras:

a) b) c)

a) x2 b) c) x238

x2

259

x2

2

x2

2x · x

2

x – 1x + 1

(x – 1)2

(x + 1)(x – 1)x2 – 2x + 1

x2 – 1

xx + 3

x (x – 3)(x + 3)(x – 3)

x2 – 3xx2 – 9

1x + 5

x – 5(x + 5)(x – 5)

x – 5x2 – 25

(x + 2)(x – 2)x + 2

x2 – 4x + 2

x + 2x + 3

2x (x + 2)2x (x + 3)

2x2 + 4x2x2 + 6x

32

3(x – 2)2(x – 2)

3x – 62x – 4

x2 – 2x + 1x2 – 1

x2 – 3xx2 – 9

x – 5x2 – 25

x2 – 4x + 2

2x2 + 4x2x2 + 6x

3x – 62x – 4

Pág. 12



4

x

x

x

x

x

x

x

x

33 Escribe el área y el perímetro de estas figuras utilizando la x y los númerosque aparezcan en ellas:

a) b)

a) Perímetro = 5 + x + (5 – x) + 2 + x + (2 + x) = 2x + 14

Área = 5x + 2x = 7x

b) Perímetro = 7 + x + 7 + x + 3 + 3x + 3 + x = 6x + 20

Área = 7x + 3 · 3x = 7x + 9x = 16x

34 Comprueba que el área de este trapecio es A = 2xy.

• Sabemos que el área del trapecio es:

A = · h

En esta fórmula, sustituye B por 3x, b por x, h por y, y simplifica paraobtener la expresión dada.

A = · y = · y = 2xy

Página 101

35 En el trapecio del problema anterior, expresa la diagonal mayor del trapecioutilizando x e y.

La diagonal, d, es la hipotenusa de untriángulo rectángulo de catetos 3x e y.Por tanto, aplicando el teorema de Pitágo-ras, tenemos que:

d = = √9x2 + y2√(3x)2 + y2

4x2

3x + x2

B + b2

Pág. 13



4

x

2

5

x

x

3

7

x

y

3x

x

y

3x

d

36 Calcula el área y la diagonal mayor del trapecio anterior en estos casos:

a) x = 5, y = 3 b) x = 2,5; y = 4,2

a) Área = 2xy = 2 · 5 · 3 = 30

Diagonal mayor = = = = � 15,30

b) Área = 2xy = 2 · 2,5 · 4,2 = 21

Diagonal mayor = = = =

= � 8,60

37 Expresa cada enunciado con una identidad y pon ejemplos para comprobarlas:

a) La raíz cuadrada del producto de dos números es igual al producto de lasraíces cuadradas de los factores.

b) El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia con esamisma base, que tiene como exponente la diferencia de los exponentes deldividendo y del divisor.

c) La suma de dos números por su diferencia es igual a la diferencia de loscuadrados de los números.

a) = ·

Por ejemplo: x = 4, y = 25 →

b) = xm – n

Por ejemplo: m = 5, n = 3, x = 2 →

c) (x + y) (x – y) = x2 – y2

Por ejemplo: x = 3, y = 1 →

38 Halla, en cada caso, cuál es el polinomio Q(x) que hay que sumar aP (x) = 5x2 – 3x + 2 para obtener como resultado R(x):

a) R(x) = 5x – 1 b) R(x) = –4x2

c) R(x) = 10 d) R(x) = x3 – 2x2

P(x) + Q(x) = R(x) → Q(x) = R(x) – P(x)

a) Q(x) = (5x – 1) – (5x2 – 3x + 2) = 5x – 1 – 5x2 + 3x – 2 = –5x2 + 8x – 3

b) Q(x) = –4x2 – (5x2 – 3x + 2) = –4x2 – 5x2 + 3x – 2 = –9x2 + 3x – 2

(x + y)(x – y) = (3 + 1)(3 – 1) = 4 · 2 = 8x2 – y2 = 32 – 12 = 9 – 1 = 8

25 32–– = –– = 423 825 – 3 = 22 = 4

xm

xn

√—x · y = √

—4 · 25 = √

—100 = 10

√–x · √

–y = √

–4 · √

––25 = 2 · 5 = 10

√y√x√x · y

√73,89

√56,25 + 17,64√9 · 6,25 + 17,64√9x2 + y2

√234√225 + 9√9 · 25 + 9√9x2 + y2

Pág. 14



4

c) Q(x) = 10 – (5x2 – 3x + 2) = 10 – 5x2 + 3x – 2 = –5x2 + 3x + 8

d) Q(x) = (x3 – 2x2) – (5x2 – 3x + 2) = x3 – 2x2 – 5x2 + 3x – 2 = x3 – 7x2 + 3x – 2

PROFUNDIZA

39 ¿Cuánto debe valer x paraque al sustituirla en cadauna de las casillas sea este uncuadrado mágico?

☛ La suma de las filas, de las columnas y de las diagonales debe ser la misma.

Las filas suman

Y han de valer todas lo mismo.

Por eso, debemos tener x = 3.

Comprobando con las filas, con las columnas y con las diagonales, vemos quese cumple que su suma es siempre 15.

40 Expresa el área de estas figuras mediante un polinomio:

a)

b)

1ª-) 5x2ª-) 3x + 63ª-) 6x – 3

Pág. 15



4

x – 1 3x – 2 4 – (1 – x)

3x 10 – (x + 2) x – 2

x + 1 2x – 3 3x – 1

x

x

x

x

2x

10

3

a)

El área del triángulo es:

El área del cuadrado es: x2

Luego el área total es: A = + x2

b)

El área de I es: · x =

El área de II es: 10x

Por tanto, el área total será: A = + 10x = =

41 Expresa el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos mediante unpolinomio:

a) Área = 2 · x2 + 4 · x (x + 3) = 2x2 + 4x2 + 12x = 6x2 + 12x

Volumen = x ·x · (x + 3) = x2(x + 3) = x3 + 3x2

b) Área = 2 · 2x · (x – 1) + 2 · 3x · (x – 1) + 2 · 2x · 3x =

= 4x (x – 1) + 6x (x – 1) + 12x2 = 4x2 – 4x + 6x2 – 6x + 12x2 =

= 22x2 – 10x

Volumen = 2x · (x – 1) · 3x = 6x2(x – 1) = 6x3 – 6x2

x2 + 30x2

10x + x2 + 202

10x + x2

2

10x + x2

210 + x

2

3x2

x · 32

Pág. 16



4

x

x

3

x

x

x

2x

10

II

I

2x

3x

x – 1

x

x

x + 3

Página 114

PRACTICA

1 Comprueba cuál de los números 1, 2 ó 4 es la solución de las siguientes ecua-ciones:

a) (x – 1) – (x + 1) + = (x – 1) +

b) + = 3

c) (1 – x)3 – 4x = –9

d) 21– x =

a) x = 1:

x = 1 no es solución.

x = 2:

x = 2 no es solución.

x = 4:

x = 4 sí es solución.

b) x = 1:

+ = + = ≠ 3 → x = 1 no es solución.

x = 2:

+ = + = 2 + 1 = 3 → x = 2 sí es solución.

x = 4:

+ = + = ≠ 3 → x = 4 no es solución.4615

46

125

44 + 2

3 · 44 + 1

44

63

42 + 2

3 · 22 + 1

176

43

32

41 + 2

3 · 11 + 1

3 1 1 9 5 1 19—(4 – 1) – —(4 + 1) + — = — – — + — = —5 3 2 5 3 2 301 2 1 2 19—(4 – 1) + — = — + — = —6 15 2 15 30

3 1 1 3 1 1—(2 – 1) – —(2 + 1) + — = — – 1 + — = —5 3 2 5 2 101 2 1 2 3—(2 – 1) + — = — + — = —6 15 6 15 10

3 1 1 –2 1 1—(1 – 1) – —(1 + 1) + — = — + — = – —5 3 2 3 2 61 2 2—(1 – 1) + — = —6 15 15

18

4x + 2

3xx + 1

215

16

12

13

35

Pág. 1


Unidad 5. Ecuaciones

5

c) x = 1:

(1 – 1)3 – 4 · 1 = –4 ≠ –9 → x = 1 no es solución.

x = 2:

(1 – 2)3 – 4 · 2 = –1 – 8 = –9 → x = 2 sí es solución.

x = 4:

(1 – 4)3 – 4 · 4 = –27 – 16 = –43 ≠ –9 → x = 4 no es solución.

d) x = 1:

21 – 1 = 20 = 1 ≠ → x = 1 no es solución.

x = 2:

21 – 2 = 2–1 = ≠ → x = 2 no es solución.

x = 4:

21 – 4 = 2–3 = → x = 4 sí es solución.

2 Resuelve mentalmente la siguiente ecuación y explica el proceso seguido:

– 11 = 7

• tiene que ser igual a 18 (ya que 18 – 11 = 7).

• (x + 1)2 tiene que ser igual a 36 (porque = 18).• Las soluciones son:

x + 1 puede ser igual a 6 → x = 5

x + 1 puede ser igual a –6 → x = –7

3 Resuelve mentalmente y explica el proceso seguido:

a) = 1 b) 7 – = 2

c) + + = 3 d) (x – 1)3 = 8

e) (x – 2)2 = 81 f) = 40

g) 3x –5 = 9 h) 5x –5 + 5 = 30

i) = 5 j) = 3√2x – 1√x + 13

x4 – 12

1x

1x

1x

x + 43

3x – 54

362

(x + 1)2

2

(x + 1)2

2

18

18

12

18

Pág. 2



5

a) = 1 → 3x – 5 = 4 → 3x = 9 → x = 3

b) 7 – = 2 → = 5 → x + 4 = 15 → x = 11

c) + + = 3 → = 3 → x = 1

d) (x – 1)3 = 8 → x – 1 = 2 → x = 3

e) (x – 2)2 = 81

f ) = 40 → x4 – 1 = 80 → x4 = 81

g) 3x – 5 = 9 → x – 5 = 2 → x = 7

h) 5x – 5 + 5 = 30 → 5x – 5 = 25 → x – 5 = 2 → x = 7

i) = 5 → x + 13 = 25 → x = 12

j) = 3 → 2x – 1 = 9 → 2x = 10 → x = 5

4 Resuelve la ecuación 3x (2x – 5)(x + 4) = 0.

• Para que un producto sea 0, es necesario que alguno de los factores sea 0.

• Las soluciones son:

3x = 0 → x = 0

2x – 5 = 0 → x =

x + 4 = 0 → x = –4

5 Resuelve, como en el ejercicio anterior, las siguientes ecuaciones:

a) (x – 5)(x + 2) = 0 b) x(3x – 4) = 0 c) 3(x – 1)2 = 0 d) = 0

a) (x – 5)(x + 2) = 0

b) x (3x – 4) = 0

c) 3(x – 1)2 = 0 → (x – 1)2 = 0 → x – 1 = 0 → x = 1

d) = 0 → (2x – 1)2 = 0 → 2x – 1 = 0 → 2x = 1 → x = 12

(2x – 1)2

3

x = 03x – 4 = 0 → 3x = 4 → x = 4/3

x – 5 = 0 → x = 5x + 2 = 0 → x = –2

(2x – 1)2

3

52

√2x – 1

√x + 13

x = 3x = –3

x4 – 12

x – 2 = 9 → x = 11x – 2 = –9 → x = –7

3x

1x

1x

1x

x + 43

x + 43

3x – 54

Pág. 3



5

6 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la solución:

a) 12x – 8 = 34 + 5x

b) 4(2 – x) – (4 – x) = 7(2x + 3)

c) 2[x + 3(x + 1)] = 5x

d) 5(x – 2) – 2(x – 5) = 2x – (12 + 3x)

a) 12x – 8 = 34 + 5x → 12x – 5x = 34 + 8

7x = 42 → x = = 6 → x = 6

Comprobación:

Coinciden → x = 6 es solución.

b) 4(2 – x) – (4 – x) = 7(2x + 3)

8 – 4x – 4 + x = 14x + 21 → –4x + x – 14x = 21 – 8 + 4

–17x = 17 → x = –1

Comprobación:

c) 2[x + 3(x + 1)] = 5x → 2[x + 3x + 3] = 5x

2[4x + 3] = 5x → 8x + 6 = 5x → 8x – 5x = –6

3x = –6 → x = –2

Comprobación:

Coinciden → x = –2 es solución.

d) 5(x – 2) – 2(x – 5) = 2x – (12 + 3x)

5x – 10 – 2x + 10 = 2x – 12 – 3x

5x – 2x – 2x + 3x = –12 + 10 – 10

4x = –12 → x = –3

Comprobación:

Coinciden → x = –3 es solución.

5(–3 – 2) – 2 (–3 – 5) = 5 (–5) – 2 (–8) = –25 + 16 = –9

2(–3) – (12 + 3(–3)) = –6 – (12 – 9) = –6 – 3 = –9

2[–2 + 3(–2 + 1)] = 2[–2 + 3(–1)] = 2[–2 – 3] = 2 · [–5] = –10

5 · (–2) = –10

Coinciden → x = –1es solución.

4(2 – (–1)) – (4 – (–1)) = 4 · 3 – 5 = 12 – 5 = 77(2 · (–1) + 3) = 7(–2 + 3) = 7 · 1 = 7

12 · 6 – 8 = 72 – 8 = 6434 + 5 · 6 = 34 + 30 = 64

427

Pág. 4



5

7 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) + x = x – → + = x –

+ = – → 3 + 2x = 6x – 1

2x – 6x = –1 – 3 → –4x = –4 → x = 1

b) = → =

9x – 9 = 4x + 16 → 9x – 4x = 16 + 9

5x = 25 → x = 5

c) – 2(2 – 3x) = 8x – 1 – 2(x + 3)

– 4 + 6x = 8x – 1 – 2x – 6

3x + 9 – 8 + 12x = 16x – 2 – 4x – 12

3x + 12x – 16x + 4x = –2 – 12 – 9 + 8

3x = –15 → x = –5

d) – = +

– = +

9x + 9 – 12x + 8 = 2 + x + 3

9x – 12x – x = 2 + 3 – 9 – 8

–4x = –12 → x = 3

e) – = + 7

– = +

6x + 42 – 14 + 2x = x – 7 + 84

6x + 2x – x = –7 + 84 – 42 + 14

7x = 49 → x = 7

8412

x – 712

14 – 2x12

6x + 4212

x – 712

7 – x6

x + 72

x + 312

212

12x – 812

9x + 912

x + 312

16

3x – 23

3x + 34

3x + 92

3(x + 3)2

4x + 1612

9x – 912

x + 43

3x – 34

16

6x6

2x6

36

16

x3

12

16

13

12

Pág. 5



5

f ) – = – 1

– = –

25 + 5x – 20 + 4x = 5 + 5x – 20

5x + 4x – 5x = 5 – 20 – 25 + 20

4x = –20 → x = –5

Página 115

8 Resuelve estas ecuaciones:

a) (x + 3) – (x + 1) = 1 – (x + 3)

b) – 2(x – ) + 4x = 2x – (4x – 3)

c) + [ x – ( x + ) – ] = (x – ) – x

a) (x + 3) – (x + 1) = 1 – (x + 3)

– = 1 –

– = 1 –

– = –

8x + 24 – 6x – 6 = 12 – 9x – 27

8x – 6x + 9x = 12 – 27 – 24 + 6

11x = –33 → x = –3

b) – 2 (x – ) + 4x = 2x – (4x – 3)

– 2x + + 4x = 2x – + 1

2 + 2x = + 1 → 6 + 6x = 2x + 3

6x – 2x = 3 – 6 → 4x = –3 → x = –34

2x3

4x3

32

12

13

34

12

9x + 2712

1212

6x + 612

8x + 2412

3x + 94

(x + 1)2

2x + 63

3(x + 3)4

(x + 1)2

2(x + 3)3

34

12

23

13

34

52

16

14

12

32

58

13

34

12

34

12

23

2020

5 + 5x20

20 – 4x20

25 + 5x20

1 + x4

5 – x5

5 + x4

Pág. 6



5

c) + [ x – ( x + ) – ] = (x – ) – x

+ [ – – – ] = – – x

+ [ – – – ] = – – x

+ [ ] = – – x

+ = – – x

+ = – –

15 + 9x – 96 = 18x – 6 – 24x

9x – 18x + 24x = –6 – 15 + 96

15x = 75 → x = 5

9 Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla su so-lución:

a) (x + 1) (x – 1) – 3(x + 2) = x (x + 2) + 4

b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x (x + 3) – (x2 + 1)

c) (x – ) (x + ) – x (x + ) = (x – 2)

d) (x + 1)2 – (x + 2) (x – 3) + x – x =

a) (x + 1)(x – 1) – 3(x + 2) = x (x + 2) + 4

x2 – 1 – 3x – 6 = x2 + 2x + 4

–3x – 2x = 4 + 1 + 6

–5x = 11 → x = → x = –

b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x (x + 3) – (x2 + 1)

4x2 + 12x + 9 – (4x2 – 12x + 9) = x2 + 3x – x2 – 1

4x2 + 12x + 9 – 4x2 + 12x – 9 = 3x – 1

24x = 3x – 1 → 24x – 3x = –1 → 21x = –1 → x = –121

115

11–5

254

92

54

13

16

13

13

24x24

624

18x24

9x – 9624

1524

14

3x4

9x – 9624

58

14

3x4

3x – 3212

32

58

14

3x4

3012

212

3x12

6x12

32

58

14

3x4

52

16

x4

x2

32

58

13

34

52

16

14

12

32

58

Pág. 7



5

c) (x – ) (x + ) – x (x + ) = (x – 2)

x2 – – x2 – = –

– – = – → – = –

–3x – 6x = 2 – 12 → –9x = –10 → x =

d) (x + 1)2 – (x + 2)(x – 3) + x – x =

x2 + 2x + 1 – (x2 – x – 6) + – =

x2 + 2x + 1 – x2 + x + 6 + – =

3x + 7 + – =

+ + – =

12x + 28 + 5x – 18x = 25

12x + 5x – 18x = 25 – 28

–x = –3 → x = 3

10 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, sin utilizar la fórmula deresolución:

a) 7x2 – 21x = 0 b) x + 2x2 = 0

c) 2x2 – 7x = 0 d) x2 + 4x = 0

e) x = 4x2 f) 8x2 – 18 = 0

g) 4x2 – 1 = 0 h) 3x2 – 6 = 0

i) 100x2 – 16 = 0 j) 2x2 + 50 = 0

a) 7x2 – 21x = 0 → 7x (x – 3) = 0 →

b) x + 2x2 = 0 → x (1 + 2x) →x = 0

11 + 2x = 0 → 2x = –1 → x = – ––

2

7x = 0 → x = 0x – 3 = 0 → x = 3

25

254

18x4

5x4

284

12x4

254

9x2

5x4

254

9x2

5x4

254

9x2

5x4

254

92

54

109

1218

218

6x18

–3x18

23

19

x3

x6

23

x3

x6

19

13

16

13

13

Pág. 8



5

c) 2x2 – 7x = 0 → x (2x – 7) = 0 →

d) x2 + 4x = 0 → x ( x + 4) = 0 →

e) x = 4x2 → 4x2 – x = 0 → x (4x – 1) = 0 →

→

f ) 8x2 – 18 = 0 → 8x2 = 18 → x2 = = → x = ± =

g) 4x2 – 1 = 0 → 4x2 = 1 → x2 = → x = ± =

h) 3x2 – 6 = 0 → 3x2 = 6 → x2 = 2 → x = ± =

i) 100x2 – 16 = 0 → 100x2 = 16 → x2 = →

→ x = ± =

j) 2x2 + 50 = 0 → 2x2 = –50 → x2 = –25 → x = ±

No tiene solución.


a) x2 – 9x + 14 = 0 b) 4x2 – 4x + 1 = 0

c) x2 – 6x + 10 = 0 d) 1 – x (x – 3) = 4x – 1

e) (x + 1)2 – 3x = 3

√–25

–4 –2x = — = —

10 54 2

x = — = —10 5

√ 16100

16100

x = –√—2

x = √—2

√2

–1x = —

21

x = —2

√ 1 4

14

–3x = —

23

x = —2

√ 9 4

94

188

x = 01

4x – 1 = 0 → 4x = 1 → x = ––4

x = 02x–– + 4 = 0 → 2x = –20 → x = –105

25

25

x = 07

2x – 7 = 0 → 2x = 7 → x = ––2

Pág. 9



5

f) (2x – 3)(2x + 3) – x (x – 1) = 5

g) (2x + 1)2 = 1 + (x + 1)(x – 1)

h) (x + 4)2 – (2x – 1)2 = 8x

i) + = – 1

j) ( – 2)2– = –

a) x2 – 9x + 14 = 0

x = = = =

b) 4x2 – 4x + 1 = 0

x = = = =

c) x2 – 6x + 10 = 0

x = = . No tiene solución

d) 1 – x (x – 3) = 4x – 1

1 – x2 + 3x = 4x – 1 → 0 = x2 + x – 2

x = = = =

e) (x + 1)2 – 3x = 3

x2 + 2x + 1 – 3x = 3 → x2 – x – 2 = 0

x = = = =

f ) (2x – 3)(2x + 3) – x (x – 1) = 5

4x2 – 9 – x2 + x = 5 → 3x2 + x – 14 = 0

x = = = =

g) (2x + 1)2 = 1 + (x + 1)(x – 1)

4x2 + 4x + 1 = 1 + x2 – 1 → 3x2 + 4x + 1 = 0

x = = = = –2 –1

x = –– = ––6 3

x = –1

–4 ± 26

–4 ± √46

–4 ± √16 – 126

x = 2–14 –7

x = ––– = ––6 3

–1 ± 136

– 1 ± √1696

–1 ± √1 + 1686

x = 2x = –1

1 ± 32

1 ± √92

1 ± √1 + 82

x = 1x = –2

–1 ± 32

– 1 ± √92

–1 ± √1 + 82

6 ± √–42

6 ± √36 – 402

12

48

4 ± 08

4 ± √16 – 168

x = 2x = 7

9 ± 52

9 ± √252

9 ± √81 – 562

x – 14

18

x + 18

x2

32

(3x – 2)2

8x (x – 2)

4x (x – 3)

2

Pág. 10



5

h) (x + 4)2 – (2x – 1)2 = 8x

x2 + 8x + 16 – (4x2 – 4x + 1) = 8x

x2 + 8x + 16 – 4x2 + 4x – 1 = 8x

0 = 3x2 – 4x – 15

x = = = =

i) + = – 1

+ = – 1

+ = –

4x2 – 12x + 2x2 – 4x = 9x2 – 12x + 4 – 8

0 = 3x2 + 4x – 4

x = = = =

j) ( – 2)2– = –

( – 2x + 4) – = –

– 3x + 6 – = –

– + – = –

3x2 – 24x + 48 – x – 1 = 1 – 2x + 2

3x2 – 23x + 44 = 0

x = = = =


a) 0,4x – 3,2 = 1,65x + 0,8

b) =

c) 5(x – 2)2 – 500 = 0

x – 2,40,5

1,2x – 4,50,2

x = 422 11

x = –– = ––6 3

23 ± 16

23 ± √16

23 ± √529 – 5286

2x – 28

18

x + 18

488

24x8

3x2

8

x – 14

18

x + 18

3x2

8

x – 14

18

x + 18

x2

432

x – 14

18

x + 18

x2

32

4 2x = –– = ––

6 3x = –2

–4 ± 86

–4 ± √646

–4 ± √16 + 486

88

9x2 – 12x + 48

2x2 – 4x8

4x2 – 12x8

9x2 – 12x + 48

x2 – 2x4

x2 – 3x2

(3x – 2)2

8x (x – 2)

4x (x – 3)

2

x = 3–10 –5

x = ––– = ––6 3

4 ± 146

4 ± √1966

4 ± √16 – 1806

Pág. 11



5

d) – = –

e) (x – 4,2) (x – 0,5) = 0

f) x2 – 3,2x = 0

g) = 16

h) 3x2 – 0,75 = 0

i) 0,2x2 + 1,6x – 4 = 0

j) x2 – + = 0

a) 0,4x – 3,2 = 1,65x + 0,8

0,4x – 1,65x = 0,8 + 3,2

–1,25x = 4 → x = = –3,2 → x = –3,2

b) = → 0,5(1,2x – 4,5) = 0,2(x – 2,4)

0,6x – 2,25 = 0,2x – 0,48

0,6x – 0,2x = 2,25 – 0,48

0,4x = 1,77 → x = = 4,425 → x = 4,425

c) 5(x – 2)2 – 500 = 0

5(x – 2)2 = 500 → (x – 2)2 = → (x – 2)2 = 100 →

→

d) – = –

– = –

– = –

3x + 12 – 4x – 4 = 3x – 6 – 11 – 9x

3x – 4x – 3x + 9x = –6 – 11 – 12 + 4

5x = –25 → x = –5

11 + 9x18

3x – 618

4x + 418

3x + 1218

11 + 9x18

x – 26

2x + 29

x + 46

11 + 9x18

x – 26

2(x + 1)9

x + 46

x – 2 = 10 → x = 12x – 2 = –10 → x = –8

5005

1,770,4

x – 2,40,5

1,2x – 4,50,2

4–1,25

112

x2

23

(3x – 2)2

4

11 + 9x18

x – 26

2(x + 1)9

x + 46

Pág. 12



5

e) (x – 4,2)(x – 0,5) = 0 →

f ) x2 – 3,2x = 0 → x (x – 3,2) = 0 →

g) = 16 → (3x – 2)2 = 64 →

→

h) 3x2 – 0,75 = 0 → 3x2 = 0,75 → x2 = = 0,25

x = ± =

i) 0,2x2 + 1,6x – 4 = 0

x = = = =

j) x2 – + = 0 → 8x2 – 6x + 1 = 0

x = = = =

13 Busca, por tanteo, una solución exacta de las siguientes ecuaciones:

a) 2x –1 = 16 b) 3x +2 =

c) (x – 1)4 = 625 d) = 9

a) 2x – 1 = 16 → x – 1 = 4 → x = 5

b) 3x + 2 = → x + 2 = –2 → x = –4

c) (x – 1)4 = 625 →

d) = 9 → x + 5 = 81 → x = 76√x + 5

x – 1 = 5 → x = 6x – 1 = –5 → x = –4

19

√x + 5

19

8 1x = — = —

16 24 1

x = — = —16 4

6 ± 216

6 ± √416

6 ± √36 – 3216

112

x2

23

x = 2x = –10

–1,6 ± 2,40,4

–1,6 ± √5,760,4

–1,6 ± √2,56 + 3,20,4

x = 0,5x = –0,5

√0,25

0,753

103x – 2 = 8 → 3x = 10 → x = ––

33x – 2 = –8 → 3x = –6 → x = –2

(3x – 2)2

4

x = 0x – 3,2 = 0 → x = 3,2

x – 4,2 = 0 → x = 4,2x – 0,5 = 0 → x = 0,5

Pág. 13



5

14 Busca, por tanteo, una solución aproximada de las siguientes ecuaciones:

a) x3 = 232 b) x + = 7 c) 2x = 276

d) x4 – 3x = 5 e) 5x = 0,32 f) x0,75 = 17

a) x3 = 232

La solución está entre 6 y 7.

La solución está entre 6,1 y 6,2.

Tomamos como solución x � 6,15.

b) x + = 7



4,81 + = 7,003. Tomamos como solución x � 4,81.

c) 2x = 276



28,11 = 276,282. Tomamos como solución x � 8,11.

d) x4 – 3x = 5



1,794 – 3 · 1,79 = 4,896. Tomamos como solución x � 1,80.

e) 5x = 0,32

La solución está entre –1 y 0.

La solución está entre –0,8 y –0,7.

5–0,71 = 0,319. Tomamos como solución x � –0,71.

5–0,8 = 0,276

5–0,7 = 0,324

50 = 1

5–1 = 0,2

1,74 – 3 · 1,7 = 3,252

1,84 – 3 · 1,8 = 5,098

14 – 3 · 1 = –2

24 – 3 · 2 = 10

28,1 = 274,374

28,2 = 294,067

28 = 256

29 = 512

√4,81

4,8 + √—4,8 = 6,991

4,9 + √—4,9 = 7,114

4 + √—4 = 6

5 + √—5 = 7,23

√x

6,143 = 231,475

6,153 = 232,608

6,13 = 226,981

6,23 = 238,328

63 = 216

73 = 343

√x

Pág. 14



5

f ) x0,75 = 17



Tomamos como solución x � 43,71.

PIENSA Y RESUELVE

15 Calcula un número cuya mitad es 20 unidades menor que su triple.

El número: x

Su mitad:

Su triple: 3x

+ 20 = 3x → x + 40 = 6x → 40 = 6x – x → 40 = 5x

x = = 8 → x = 8

Solución: El número es el 18.

Página 116

16 Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número?

Llamamos x al número que buscamos. Tenemos que:

x – 12 = → 3x – 36 = x → 3x – x = 36 → 2x = 36

x = = 18 → x = 18


17 Calcula tres números sabiendo que:

— El primero es 20 unidades menor que el segundo.

— El tercero es igual a la suma de los dos primeros.

— Entre los tres suman 120.

→(x – 20) + x + (2x – 20) = 1204x – 40 = 1204x = 120 + 40 → 4x = 160

Primero → x – 20Segundo → xTercero → x + x – 20 = 2x – 20

362

x3

405

x2

x2

43,710,75 = 16,999

43,720,75 = 17,002

43,70,75 = 16,997

43,80,75 = 17,026

430,75 = 16,792

440,75 = 17,084

Pág. 15



5

Si sumamos 20 a su mitad,obtenemos su triple:

+ 20 = 3x → x = …x2

x = = 40 → x = 40 →

Solución: El primer número es 20, el segundo 40 y el tercero 60.

18 La suma de tres númerosnaturales consecutivos esigual al cuádruple del me-nor. ¿De qué números setrata?

Llamamos x al menor de los tres números. El siguiente es x + 1 y el siguientex + 2. Tenemos que:

x + (x + 1) + (x + 2) = 4x → 3x + 3 = 4x → 3 = 4x – 3x → x = 3

Solución: Los números son 3, 4 y 5.

19 Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo.¿Cuál es ese número?


x2 – 2x = 5x → x2 – 7x = 0 → x (x – 7) = 0 →

Solución: Hay dos soluciones: x1 = 0 y x2 = 7.

20 La suma de un número par, el que le sigue y el anterior es 282. Halla esos nú-meros.

El número par es 2x, el que le sigue es 2x + 1 y el anterior es 2x – 1. Tene-mos que:

2x + (2x + 1) + (2x – 1) = 282 → 6x = 282 → x = = 47 →

→ x = 47 → 2x = 94

Solución: El número par es el 94, el que le sigue, el 95; y el anterior el 93.

21 Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 14,30 €. El vi-deojuego es cinco veces más caro que el cómic, y este cuesta el doble que elhelado. ¿Cuál era el precio de cada artículo?

→ x = 1,1

Solución: El videojuego costaba 11 €, el cómic 2,2 € y el helado 1,1 €.

2x = 2,210x = 11

10x + 2x + x = 14,313x = 14,3

14,3x = ––= 1,1 →

13

Precio videojuego → 5 · 2x = 10x

Precio cómic → 2x

Precio helado → x

2826

x = 0x – 7 = 0 → x = 7

x – 20 = 40 – 20 = 202x – 20 = 80 – 20 = 60

1604

Pág. 16



5

22 Me faltan 1,8 € para comprar mi revista de informática preferida. Si tuvierael doble de lo que tengo ahora, me sobrarían 2 €. ¿Cuánto tengo? ¿Cuántocuesta la revista?

Llamamos x al dinero que tengo (la revista cuesta x + 1,80).

Tenemos que: x + 1,80 = 2x – 2

1,80 + 2 = 2x – x → x = 3,80 → x + 1,80 = 5,60

Solución: Tengo 3,80 €. La revista cuesta 5,60 €.

23 Con 12 € que tengo, podría irdos días a la piscina, un día al ci-ne y aún me sobrarían 4,5 €. Laentrada de la piscina cuesta 1,5 €

menos que la del cine. ¿Cuánto cuesta la entrada del cine?

Tenemos que:

2(x – 1,50) + x + 4,50 = 12

2x – 3 + x + 4,50 = 12 → 2x + x = 12 + 3 – 4,50

3x = 10,5 → x = = 3,5 → x = 3,5 → x – 1,5 = 2

Solución: La entrada del cine cuesta 3,5 €. (La de la piscina, 2 €).

24 María tiene 5 años más que su hermano Luis, y su padre tiene 41 años. Den-tro de 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edadtiene cada uno?

La suma de las edades de los dos hermanos debe ser igual a 47.

x + 6 + x + 11 = 47 → 2x = 47 – 6 – 11 → 2x = 30 → x = 15 → x + 5 = 20

Solución: Luis tiene 15 años, María tiene 20 y su padre 41.

25 Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto, 13, y su padre, 43. ¿Cuántosaños han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?

Llamamos x a los años que han de transcurrir.

10,53

Precio entrada de cine → xPrecio entrada piscina → x – 1,50

Pág. 17



5

LUIS x x + 6MARÍA x + 5 x + 11PADRE 41 47

EDAD DE… HOY DENTRO DE 6 AÑOS

AHORA DENTRO DE X AÑOS

ANTONIO 15 15 +xROBERTO 13 13 + xPADRE 43 43 + x

(15 + x) + (13 + x) = 43 + x → 2x + 28 = 43 + x → 2x – x = 43 – 28

x = 15

Solución: Han de transcurrir 15 años.

26 La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años. Elpadre tiene 6 años más que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27años. ¿Qué edad tiene cada uno?

Edad de cada hijo → x (son dos hijos)

Edad de la madre → x + 27

Edad del padre → x + 27 + 6 = x + 33

Tenemos que:

2x + (x + 27) + (x + 33) = 104 → 4x + 60 = 104

4x = 104 – 60 → 4x = 44 → x = = 11 → x = 11

Solución: La madre tiene 38 años, el padre 44 y cada uno de los hijos tiene11 años.

27 Un depósito está lleno el domingo. El lunes se vacían sus 2/3 partes, el mar-tes se gastan 2/5 de lo que quedaba, y el miércoles, 300 litros. Si aún quedó1/10, ¿cuál es su capacidad?

x – 300 = x → 2x – 3 000 = x → x = 3 000 litros

Solución: La capacidad del depósito es de 3 000 litros.

28 En el mes de agosto, cierto embalse estaba a los 3/5 de su capacidad. En sep-tiembre, no llovió y se gastó 1/5 del agua que tenía. En octubre se recupera-ron 700 000 m3, quedando lleno en sus tres cuartas partes. ¿Cuál es su capa-cidad?

110

15

x + 27 = 38x + 33 = 44

444

Pág. 18



5

x x x – x = x

x ( x) = x x – x = x = x

x 300 litros x – 30015

15

15

315

215

13

215

13

25

13

13

23

23

HABÍA SE GASTA QUEDA

LUNES

MARTES

MIÉRCOLES

x ( x) = x x – x = x

x 700 000 m3 x + 700 0001225

1225

1225

325

35

325

35

15

35

HABÍA SE GASTÓ O RECUPERÓ QUEDA

SEPTIEMBRE

OCTUBRE

x + 700 000 = x → 48x + 70 000 000 = 75x → 27x = 70 000 000

x ≈ 2 592 593 m3

Solución: La capacidad del depósito es de, aproximadamente, 2 592 593 m3.

29 Dos albañiles que trabajan asociados reciben 1 400 € como pago de ciertotrabajo. ¿Cuánto debe cobrar cada uno si el primero trabajó las dos quintaspartes que el otro?

• Primero → Le corresponden x €

• Segundo → Le corresponden x €

Suma = x + x = 1 400 €

x + x = 1 400 → 5x + 2x = 7 000 → 7x = 7 000 → x = 1 000 →

→ x · 1 000 = 400

Solución: Al primero le corresponden 1 000 €, y al segundo, 400 €.

30 Roberto y Andrés compran una camisa cada uno, ambas del mismo precio.Roberto consigue una rebaja del 12%, mientras que Andrés solo consigue el8%. Así, uno paga 1,4 € más que el otro. ¿Cuánto costaba cada camisa?

Llamamos x al precio inicial de la camisa.

Tenemos que: 0,88x + 1,4 = 0,92x

1,4 = 0,92x – 0,88x → 1,4 = 0,04x → x = = 35

Solución: La camisa costaba 35 €.

Página 117

31 Si un número aumenta en un 10%, resulta 42 unidades mayor que si dismi-nuye en un 5%. ¿Cuál es ese número?


1,1x = 0,95x + 42 → 1,1x – 0,95x = 42 → 0,15x = 42

x = = 280 → x = 280


420,15

1,40,04

• Roberto paga 0,88x• Andrés paga 0,92x

25

25

25

25

34

1225

Pág. 19



5

32 Calcula el capital que, colocado al 8% durante dos años, se convierte en2 900 € (los intereses se suman al capital al final de cada año).

Llamamos C al capital. Tenemos que:

1,082 · C = 2 900 → 1,1664 · C = 2 900

C = = 2 486,28 €.

Solución: El capital es de 2 486,28 €.

33 ¿Durante cuántos años se ha de colocar un capital de 2 380 €, con un interésanual del 3%, para conseguir un beneficio de 357 €?

• Al cabo de un año produce un interés de 2 380 · 0,03 = 71,4 €.

• Al cabo de t años produce un interés de (71,4t) €.

Tenemos que hallar t para que: 71,4t = 357

t = = 5 → t = 5 años.

Solución: Durante 5 años.

34 Un inversor pacta la compra deun terreno, valorado en 24 000€, mediante dos pagos: el pri-mero, de 12 000 €, a la firmade las escrituras, y el segundo,de 12 300 €, seis meses más tarde. ¿Con qué interés se penaliza la demora?

Pago inicialmente 12 000 €. Por tanto, la deuda que me quede por pagar es de24 000 – 12 000 = 12 000 €.

Llamando x al interés con que se le penaliza por pagar 6 meses más tarde, te-nemos:

12 000 + · 12 000 = 12 300 → · 12 000 = 300 →

→ x = · 100 = 2,5

El interés con que se me penaliza es del 2,5 % en 6 meses → 5 % anual.

35 Un inversor que dispone de 28 000 €, coloca parte de su capital en un bancoal 8%, y el resto, en otro banco, al 6%. Si la primera parte le produce anual-mente 210 € más que la segunda, ¿cuánto colocó en cada banco?

1er– banco → Coloca x € → interés = 0,08x

2º- banco → Coloca (28 000 – x) € → interés = 0,06(28 000 – x)

Tenemos que: 0,08x = 0,06(28 000 – x) + 210

30012 000

x100

x100

35771,4

2 9001,1664

Pág. 20



5

0,08x = 1 680 – 0,06x + 210

0,14x = 1 890 → x = = 13 500 → 28 000 – x = 14 500

Solución: Colocó 13 500 € en el primer banco y 14 500 € en el segundo.

36 Se ha vertido un bidón de aceite de orujo, de 1,6 €/litro, en una tinaja quecontenía 400 litros de aceite de oliva de 3,2 €/litro. Sabiendo que el litro dela mezcla cuesta 2,60 €/litro, ¿cuántos litros había en el bidón?

2,6(400 + x) = 1,6x + 1 280

2,6x – 1,6x = 1 280 – 1 040 → x = 240 litros

Solución: Había 240 litros de aceite de orujo en el bidón.

37 ¿Cuántos litros de agua del grifo, a 15 °C, hay que añadir a una olla que conte-nía 6 litros de agua a 60 °C, para que la mezcla quede a 45 °C?

Llamamos x a los litros que hay que añadir. Tenemos que:

= 45

15x + 360 = 45(x + 6) → 15x + 360 = 45x + 270

360 – 270 = 45x – 15x → 90 = 30x → x = = 3 litros

Solución: Hay que añadir 3 litros.

38 Mezclando 15 kg de arrozde 1 €/kg con 25 kg dearroz de otra clase, se ob-tiene una mezcla que sale a1,30 €/kg. ¿Cuál será elprecio de la segunda clase de arroz?

40 · 1,3 = 15 + 25x → 52 = 15 + 25x → 52 – 15 = 25x

37 = 25x → x = = 1,48 €/kg.

Solución: El precio de la segunda clase de arroz es de 1,48 €/kg.

3725

9030

15x + 60 · 6x + 6

1 8900,14

Pág. 21



5

x 1,6 € 1,6x400 3,2 € 400 · 3,2 = 1 280

400 + x 2,6 € 2,6(400 + x) = 1,6x + 1 280

CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE (€)

ORUJO

OLIVA

MEZCLA

15 1 € 15 · 1 = 15

25 x 25x40 1,3 € 40 · 1,3 = 15 + 25x

CANTIDAD (kg) PRECIO/kg COSTE TOTAL (€)

1ª- CLASE

2ª- CLASE

MEZCLA

15 kg1 €/kg

1,30 €/kg25 kg

€/kg

39 Se han mezclado 30 litros de aceite barato con 25 litros de aceite caro, resul-tando la mezcla a 3,20 €/l. Calcula el precio del litro de cada clase, sabiendoque el de más calidad es el doble de caro que el otro.

55 · 3,20 = 30x + 50x → 176 = 80x → x = = 2,2 €/l.

→ 2x = 2 · 2,2 = 4,4 €/l.

Solución: El aceite barato cuesta 2,2 €/l y el caro 4,4 €/l.

40 Un ciclista que va a 18 km/h tarda 45 minutos en alcanzar a otro, que le llevauna ventaja de 6 km. ¿Qué velocidad lleva el que iba delante?

Llamamos x a la velocidad del que va delante.

Se aproximan a una velocidad de:

(18 – x) km/h.

Tiempo que tarda en alcanzarlo (45 min = hora):t = → = → 3(18 – x) = 24

18 – x = → 18 – x = 8 → 18 – 8 = x → x = 10 km/h

Solución: El que iba delante lleva una velocidad de 10 km/h.

41 Un ciclista sale a la carretera a una velocidad de 15 km/h. ¿Qué velocidad de-berá llevar otro ciclista que sale media hora después si pretende alcanzar alprimero en hora y media?

Llamamos x a la velocidad del otro ciclista.

El que va a 15 km/h recorre en media hora

15 : 2 = 7,5 km.

Se aproximan a una velocidad de: (x – 15) km/h.

Tiempo que tarda en alcanzarlo (1,5 horas):

t = → 1,5 = → 1,5(x – 15) = 7,57,5x – 15

dv

243

618 – x

34

dv

34

17680

Pág. 22



5

30 x 30x25 2x 25 · 2x = 50x55 3,20 € 55 · 3,20 = 30x + 50x

CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE TOTAL (€)

BARATO

CARO

MEZCLA

6 km

18 km/h x km/h

7,5 km

x km/h 15 km/h

1,5x – 22,5 = 7,5 → 1,5x = 7,5 + 22,5 → 1,5x = 30

x = = 20 → x = 20 km/h

Solución: Deberá llevar una velocidad de 20 km/h.

42 Un coche sale de una ciudad A, hacia otra B distante 315 km, a una velocidadde 105 km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un camión que tarda encruzarse con el coche una hora y cuarenta y cinco minutos. ¿Cuál era la velo-cidad del camión?

Llamamos x a la velocidad del camión.

Se aproximan a una velocidad de:

(x + 105) km/h.

Tiempo que tardan en cruzarse (1 h 45 min = 1 h + h = h):t = → = → 7(x + 105) = 1 260

7x + 735 = 1 260 → 7x = 1 260 – 735 → 7x = 525

x = = 75 → x = 75 km/h.

Solución: La velocidad del camión era de 75 km/h.

43 El producto de un número natural por su siguiente es 31 unidades mayorque el quíntuplo de la suma de ambos.

¿Cuál es ese número?

Llamamos x al número que buscamos, el siguiente es x + 1.

Tenemos que: x (x + 1) = 5(x + x + 1) + 31

x2 + x = 5(2x + 1) + 31 → x2 + x = 10x + 5 + 31

x2 – 9x – 36 = 0

x = = = =

(x = –3 no es válida, pues x es un número natural).


x = 12x = –3 (no vale)

9 ± 152

9 ± √2252

9 ± √81 + 1442

5257

315x + 105

74

dv

74

34

301,5

Pág. 23



5

315 kmA B

105 km/h x km/h

44 Varios amigos y amigas se reparten un premio y les toca 15 € a cada uno. Sihubieran sido cuatro amigos y amigas más, hubieran tocado a 3 € menos.¿Cuántos eran para repartir?

Llamamos x al número de amigos que son.

• x amigos a 15 € cada uno → Premio = 15x

• Si hubieran sido (x + 4) amigos y amigas hubieran tocado a 15 – 3 = 12 €cada uno → Premio = 12(x + 4)

• Por tanto: 15x = 12(x + 4) → 15x = 12x + 48

15x – 12x = 48 → 3x = 48 → x = = 16 amigos

Solución: Eran 16 amigos.

45 Una peña deportiva contrató un autobús para seguir a su equipo. Si el auto-bús se hubiera llenado, cada uno habría pagado 8,50 €; pero quedaron 3 pla-zas vacías, y el viaje costó 9 €. ¿Cuántas plazas tenía el autobús?

Llamamos x al número de plazas del autobús.

→

→ 8,5x = 9(x – 3) → 8,5x = 9x – 27 → 27 = 9x – 8,5x

27 = 0,5x → x = = 54 plazas

Solución: El autobús tenía 54 plazas.

46 Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm menosque la altura y la diagonal mide 10 cm.

Llamamos x a la longitud de la altura, la basemedirá (x – 2) cm.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

102 = x2 + (x – 2)2

100 = x2 + x2 – 4x + 4 →

→ 0 = 2x2 – 4x – 96 →

→ x2 – 2x – 48 = 0 →

→ x = = = =

Solución: La base mide 6 cm y la altura 8 cm.

x = 8 → x – 2 = 6x = –6 (no vale)

2 ± 142

2 ± √1962

2 ± √4 + 1922

270,5

Si viajan x personas, cada una paga 8,5 € → Precio total = 8,5xSi viajan (x – 3) personas, cada una paga 9 € → Precio total = 9(x – 3)

483

Pág. 24



5

BASE = x – 2

ALTURA = x

10 c

m

Página 117

47 En las dos orillas de un río haydos palmeras. La más alta mide30 codos; la otra, 20 codos, y ladistancia entre ambas es de 50 co-dos. En la copa de cada palmerahay un pájaro. Al descubrir losdos pájaros un pez en la superficiedel río, se lanzan rápidamente, alcanzando al pez al mismo tiempo.

¿A qué distancia del tronco de la palmera más alta apareció el pez?

Llamamos x a la distancia que busca-mos (distancia del tronco de la palmeramás alta a donde apareció el pez).

Aplicamos el teorema de Pitágoras a los dos triángulos:

100x = 400 + 2 500 – 900 → 100x = 2 000 → x = = 20 → x = 20

Solución: La distancia buscada es de 20 codos.

48 Al aumentar en 5 m el lado de un cuadrado, su superficie aumenta en 75 m2.Calcula el lado del cuadrado.

75 – 25 = 10l → 50 = 10l →

→ l = = 5 m

Solución: El lado del cuadrado mide 5 m.

REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA

49 Comprueba que entre las siguientes “ecuaciones” de primer grado, unas tie-nen infinitas soluciones (0x = 0) y otras no tienen solución (0x = b).

a) 3(3 + 2x) – (1 – x) = 2(4 + 3x) + x

b) 3(x – 2) + 5(x + 1) = 2(2x + 7) + 4(x + 2)

5010

l2 + 75 = (l + 5)2

l2 + 75 = l2 + 10l + 25

A = l2

A + 75 = (l + 5)2

2 000100

302 + x2 = 202 + (50 – x)2 → 900 + x2 = 400 + (50 – x)2

900 + x2 = 400 + 2 500 + x2 – 100x

d2 = 302 + x2

d2 = 202 + (50 – x)2

Pág. 25



5

50 – x

30 codos20 codos

x

d d

A + 75

Al + 5

l

c) x + = 2x +

d) x – 1 + = x

a) 3(3 + 2x) – (1 – x) = 2(4 + 3x) + x

9 + 6x – 1 + x = 8 + 6x + x

6x + x – 6x – x = 8 – 9 + 1 → 0x = 0. Tiene infinitas soluciones

b) 3(x – 2) + 5(x + 1) = 2(2x + 7) + 4(x + 2)

3x – 6 + 5x + 5 = 4x + 14 + 4x + 8

3x + 5x – 4x – 4x = 14 + 8 + 6 – 5

0x = 23 → No tiene solución

c) x + = 2x +

+ = +

4x + 2x – 7 = 8x + 2 – 2x → 4x + 2x – 8x + 2x = 2 + 7

0x = 9 → No tiene solución

d) x – 1 + = x

3x – 3 + 3 – x = 2x → 3x – x – 2x = 0

0x = 0. Tiene infinitas soluciones

50 Inventa una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean x = 2 y x = –1.

• Si queremos que las soluciones sean x = 2 y x = –1, haremos:

(x – 2) (x + 1) = 0 → x2 – x – 2 = 0

51 Inventa una ecuación de segundo grado que tenga:

a) Dos soluciones, x = –3 y x = .

b) Una solución, x = 5.c) Ninguna solución.d) Dos soluciones, x = 0 y x = 3.

Por ejemplo:

a) (x + 3)(x – ) = 0 → x2 + x – = 0 → 2x2 + 5x – 3 = 0

b) (x – 5)2 = 0 → x2 – 10x + 25 = 0

c) x2 + 1 = 0

d) x (x – 3) = 0 → x2 – 3x = 0

32

52

12

12

23

3 – x3

2 – 2x4

8x4

2x – 74

4x4

1 – x2

2x – 74

23

3 – x3

1 – x2

2x – 74

Pág. 26



5

52 En la ecuación x2 – 6x + a = 0:

a) ¿Qué valores ha de tomar a para que las dos soluciones sean iguales?

b) ¿Y para que sean distintas?

c) ¿Y para que no tenga solución?

Las soluciones de la ecuación x2 – 6x + a = 0 son:

x = . El discriminante es 36 – 4a.

a) Para que las dos soluciones sean iguales, ha de ser:

36 – 4a = 0 → 36 = 4a → a = = 9 → a = 9

b) Para que las dos soluciones sean distintas, ha de ser:

36 – 4a > 0 → 36 > 4a → a < 9

c) Para que no tenga solución, ha de ser:

36 – 4a < 0 → 36 < 4a → a > 9

PROFUNDIZA

53 Resuelve la ecuación – = .

Multiplicamos los dos miembros por 10x (x + 3).

10(x + 3) – 10x = 3x (x + 3) →

→ 3x2 + 9x – 30 = 0 → x2 + 3x – 10 = 0

x2 + 3x – 10 = 0 → x = = =

Comprobamos las soluciones:

x = 2 → – = – = → x = 2 es solución

x = –5 → – = – – = – + = → x = –5 es solución


a) + 3 = b) + x = 1

c) + = d) = + 32x + 3x – 1

x2

(x – 1)2x – 2x2 – 1

3x + 1

x + 1x – 1

x – 1x

x – 32x

1x

310

12

15

1–2

15

1–5 + 3

1–5

310

15

12

12 + 3

12

x = 2x = –5

–3 ± 72

–3 ± √9 + 402

310

1x + 3

1x

364

6 ± √36 – 4a3

Pág. 27



5

a) + 3 = → + =

2 + 6x = x – 3 → 6x – x = –3 – 2 → 5x = –5 → x = = –1 → x = – 1

b) + x = 1 → + = → x – 1 + x2 = x

x2 = 1 → x = ± =

c) + = → + =

+ =

(x + 1)2 + 3(x – 1) = x – 2

x2 + 2x + 1 + 3x – 3 = x – 2 → x2 + 4x = 0

x (x + 4) = 0

d) = + 3

= +

x2 = 2x2 – 2x + 3x – 3 + 3(x2 – 2x + 1)

x2 = 2x2 + x – 3 + 3x2 – 6x + 3 → 0 = 4x2 – 5x

x (4x – 5) = 0

Página 119

55 Resuelve la ecuación + 2 = 2x.

Dejamos solo el radical en el primer miembro y elevamos al cuadrado los dosmiembros:

= 2x – 2 → x2 + 7 = 4x2 – 8x + 4 →

→ 3x2 – 8x – 3 = 0 → x = = = x = 3

–2 –1x = –– = ––

6 3

8 ± 106

8 ± √64 + 366

√x2 + 7

√x2 + 7

x = 05

4x – 5 = 0 → 4x = 5 → x = ––4

3(x – 1)2

(x – 1)2(2x + 3)(x – 1)

(x – 1)2x2

(x – 1)2

2x + 3x – 1

x2

(x – 1)2

x = 0x + 4 = 0 → x = –4

x – 2(x – 1)(x + 1)

3(x – 1)(x – 1)(x + 1)

(x + 1)2

(x – 1)(x + 1)

x – 2(x – 1)(x + 1)

3x + 1

x + 1x – 1

x – 2x2 – 1

3x + 1

x + 1x – 1

x = 1x = –1

√1

xx

x2

xx – 1

xx – 1

x

–55

x – 32x

6x2x

22x

x – 32x

1x

Pág. 28



5


x = 3 →

x = – →

Solo hay una solución: x = 3

56 Resuelve:

a) 2x + = 2

b) x + 1 – = 0

c) – = 0

d) + 1 = x

e) + 1 = x – 2

f) + – 7 = 0

a) 2x + = 2 → = 2 – 2x

( )2 = (2 – 2x)2 → x + 4 = 4 – 8x + 4x2

0 = 4x2 – 9x → x (4x – 9) = 0


x = 0 → 2 · 0 + = 0 + = 2 → x = 0 sí es solución.

x = → 2 · ( ) + = + = 7 ≠ 2 →

→ x = no es solución

Solución: x = 0

b) x + 1 – = 0 → x + 1 =

(x + 1)2 = ( )2 → x2 + 2x + 1 = 5x – 1

x2 – 3x + 2 = 0 → x = = =


x = 2 → 2 + 1 – = 3 – 3 = 0 → x = 2 sí es solución√5 · 2 – 1

x = 2x = 1

3 ± 12

3 ± √9 – 82

√5x – 1

√5x – 1√5x – 1

94

52

184

9√— + 44

94

94

√4√0 + 4

x = 09

x = ––4

√x + 4

√x + 4√x + 4

√x + 10√2x – 3

√3x – 5

√2x – 3

√1 – x√5x – 7

√5x – 1

√x + 4

No coinciden–1

x = –– no es solución3

1 64 8 14√—–— + 7 + 2 = √

–––— + 2 = — + 2 = —

9 9 3 3–1 –22 · (—) = —3 3

13

Coinciden.

x = 3 sí es solución

√–––32 + 7 + 2 = √

––16 + 2 = 4 + 2 = 6

2 · 3 = 6

Pág. 29



5

x = 1 → 1 + 1 – = 2 – 2 = 0 → x = 1 sí es solución

Hay dos soluciones: x1 = 2; x2 = 1

c) – = 0 → =

5x – 7 = 1 – x → 5x + x = 1 + 7 → 6x = 8 → x = =

Comprobamos la solución:

= = . No tiene solución

d) + 1 = x → = x – 1

( )2 = (x – 1)2 → 2x – 3 = x2 – 2x + 1

0 = x2 – 4x + 4 → x = = = 2

Comprobamos la solución:

+ 1 = 1 + 1 = 2 → x = 2 sí es solución

Hay una solución: x = 2

e) + 1 = x – 2 → = x – 3

( )2 = (x – 3)2 → 3x – 5 = x2 – 6x + 9

0 = x2 – 9x + 14 → x = = = =


x = 7 →

x = 2 →


f ) + – 7 = 0 → = 7 –

( )2 = (7 – )2 → 2x – 3 = 49 + x + 10 – 14

14 = 49 + x + 10 – 2x + 3

14 = 62 – x → (14 )2 = (62 – x)

196(x + 10) = 3 844 + x2 – 124x

196x + 1 960 = 3 844 + x2 – 124x

√x + 10√x + 10

√x + 10

√x + 10√x + 10√2x – 3

√x + 10√2x – 3√x + 10√2x – 3

No coinciden.

x = 2 no es solución

√–––3 · 2 – 5 + 1 = 1 + 1 = 2

2 – 2 = 0

Coinciden.

x = 7 sí es solución

√–––3 · 7 – 5 + 1 = √

––16 + 1 = 4 + 1 = 5

7 – 2 = 5

x = 7x = 2

9 ± 52

9 ± √252

9 ± √81 – 562

√3x – 5

√3x – 5√3x – 5

√2 · 2 – 3

42

4 ± √16 – 162

√2x – 3

√2x – 3√2x – 3

–1√—3

20√— – 73

4√5 · — – 73

43

86

√1 – x√5x – 7√1 – x√5x – 7

√5 · 1 – 1

Pág. 30



5

0 = x2 – 320x + 1 884

x = = =

= =


x = 314 → + – 7 = 25 + 18 – 7 = 36 ≠ 0 →

→ x = 314 no es solución.

x = 6 → + – 7 = 3 + 4 – 7 = 0 → x = 6 sí es solución.


57 Resuelve la ecuación x4 – 10x2 + 9 = 0 (ecuación bicuadrada).

Hacemos x2 = y → x4 = y2.

Sustituimos en la ecuación:

y = 9 → x2 = 9 → x = ± =

y2 – 10y + 9 = 0y = 1 → x2 = 1 → x = ± =

Hay cuatro soluciones: x1 = 3; x2 = –3; x3 = 1; x4 = –1

58 Resuelve, como en el problema anterior, las ecuaciones siguientes:

a) 4x4 – 5x2 + 1 = 0

b) x4 + 3x2 + 2 = 0

c) x4 – 13x2 + 36 = 0

d) x4 – 5x2 – 36 = 0

e) x4 – 34x2 + 225 = 0

f) 36x4 – 13x2 + 1 = 0

a) 4x4 – 5x2 + 1 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2

4y2 – 5y + 1 = 0 → = = =

y = 1 → x2 = 1 → x = ± =

y = → x2 = → x = ± = x = 1/2x = –1/2√ 1

414

14

x = 1x = –1

√1

y = 12 1

y = –– = ––8 4

5 ± 38

5 ± √98

5 ± √25 – 168

x = 1x = –1

√1

x = 3x = –3

√9

√6 + 10√2 · 6 – 3

√314 + 10√2 · 314 – 3

x = 314x = 6

320 ± 3082

320 ± √94 8642

320 ± √102 400 – 7 5362

Pág. 31



5

b) x4 + 3x2 + 2 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2

y2 + 3y + 2= 0 → y = = =

La ecuación no tiene solución

c) x4 – 13x2 + 36 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2

y2 – 13y + 36 = 0 → y = = =

y = 9 → x2 = 9 → x = ± =

y = 4 → x2 = 4 → x = ± =

d) x4 – 5x2 – 36 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2

y2 – 5y – 36 = 0 → y = = = =

y = 9 → x2 = 9 → x = ± =

y = –4 → x2 = –4 → x = ± → No tiene solución

Hay dos soluciones: x1 = 3; x2 = –3

e) x4 – 34x2 + 225 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2

y2 – 34y + 225 = 0

y = = = =

y = 25 → x2 = 25 → x = ± =

y = 9 → x2 = 9 → x = ± =

f ) 36x4 – 13x2 + 1 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2

36y2 – 13y + 1 = 0 → y = = =

18 1y = — = —

72 48 1

y = — = —72 9

13 ± 5 72

13 ± √169 – 14472

x = 3x = –3

√9

x = 5x = –5

√25

y = 25y = 9

34 ± 16 2

34 ± √2562

34 ± √1 156 – 9002

√–4

x = 3x = –3

√9

y = 9y = –4

5 ± 13 2

5 ± √1692

5 ± √25 + 1442

x = 2x = –2

√4

x = 3x = –3

√9

y = 9y = 4

13 ± 52

13 ± √169 – 1442

y = –1 → x2 = – 1 → x = ±√—–1 → No tiene solución

y = –1 → x2 = – 2 → x = ±√—–2 → No tiene solución

y = –1y = –2

–3 ± 12

–3 ± √9 – 82

Pág. 32



5

y = → x2 = → x = ± =

y = → x2 = → x = ± =

59 Dos albañiles tardan 2 horas y 24 minutos en levantar un tabique, trabajandojuntos. El más joven, trabajando solo, habría tardado 6 horas en hacer elmismo trabajo. ¿Cuánto habría tardado el más viejo sin la ayuda de sucompañero?

• El más joven → Tarda 6 horas → Hace del trabajo en 1 hora.

• El más viejo → Tarda x horas → Hace del trabajo en 1 hora.

• Entre los dos → Tardan 2 h 24 min = (2 + ) h = (2 + ) h = h →

→ Hacen del trabajo en 1 hora.

Por tanto:

+ = → + = → 2x + 12 = 5x

12 = 5x – 2x → 12 = 3x → x = = 4 → x = 4

Solución: El más viejo habría tardado 4 horas

60 Un coche tarda 5 horas en cubrir el trayecto entre A y B. Un camión, que hasalido a la misma hora, y realiza el trayecto B-A, tarda 2 horas y 55 minutosen cruzarse con el coche. ¿Cuánto durará el viaje completo del camión?

• Coche → Tarda 5 horas → Recorre del camino en 1 hora.

• Camión → Tarda x horas → Recorre del camino en 1 hora.

• Entre los dos → Tardan en cruzarse 2 h 55 min = (2 + ) h = (2 + ) h =

= h → en 1 hora recorren del camino.1235

3512

1112

5560

1x

15

123

5x12x

1212x

2x12x

512

1x

16

512

125

25

2460

1x

16

x = 1/3x = –1/3√ 1

919

19

x = 1/2x = –1/2√ 1

414

14

Pág. 33



5

Por tanto:

+ = → + = → 7x + 35 = 12x

35 = 12x – 7x → 35 = 5x → x = = 7 → x = 7

Solución: El viaje completo del camión durará 7 horas.

61 Una piscina tiene un grifo de abastecimiento y un desagüe. Si se abre el grifo,la piscina se llena en 9 horas. Si, además del grifo, se abre el desagüe, entoncesel tiempo de llenado es de 36 horas. ¿Cuánto tiempo tardará el desagüe en va-ciar la piscina llena, estando cerrado el grifo?

• Grifo → Tarda 9 horas en llenarla → Llena de piscina en 1 hora.

• Desagüe → Tarda x horas en vaciarla → Vacía de piscina en 1 hora.

• Juntos → Tarda 36 horas en llenarse → Se llena de piscina en 1 hora.

Por tanto:

– = → – = → 4x – 36 = x

4x – x = 36 → 3x = 36 → x = = 12 → x = 12

Solución: El desagüe tardará 12 horas en vaciar la piscina, estando cerrado el grifo.

62 Un usurero que cobra un interés del 25% mensual reclama a una víctima elpago de 350 € para saldar una deuda contraída hace 20 días. ¿Qué cantidadle prestó?

• Interés por los 20 días → · 25% = %

• Si le prestó x €, tiene que devolver:

(1 + ) · x = 350 € → x = 350 → x = 300 €

Solución: Le prestó 300 €.

350300

50300

503

2030

363

x36x

3636x

4x36x

136

1x

19

136

1x

19

355

12x35x

3535x

7x35x

1235

1x

15

Pág. 34



5

63 Se ha fundido un lingote de oro de 3 kg de peso y 80% de pureza, junto conotro lingote de oro de 1 kg de peso. ¿Cuál era la pureza del segundo, si la dela mezcla resultante es del 67%?

4 · 0,67 = 2,4 + 0,01x → 2,68 = 2,4 + 0,01x → 2,68 – 2,4 = 0,01x

0,28 = 0,01x → x = = 28%

Solución: El segundo lingote tiene un 28% de pureza.

64 ¿Cuántos gramos de oro puro hay que mezclar con 7 gramos de 20 quilatespara obtener oro de 21,2 quilates?

Recordamos que una ley de 24 kilates significa que es oro puro; así, una ley de

20 kilates significa que partes del lingote son de oro.

(x + 7) · = x + → =

21,2x + 148,4 = 24x + 140 → 148,4 – 140 = 24x – 21,2x

8,4 = 2,8x → x = = 3 → x = 3 gramos

Solución: Hay que mezclarlo con 3 gramos de oro puro.

65 Se ha fundido un pendiente de oro de 3 gramos con una cadena de oro de 7gramos, para fabricar una pulsera. Si el pendiente era de oro puro y la pulse-ra ha resultado ser de 21,2 quilates, ¿cuál era la ley de la cadena?

Recuerda que una ley de 24 kilates significa que es oro puro; así, una ley de

21,2 kilates significa que partes son de oro.21,224

8,42,8

24x + 14024

21,2x + 148,424

14024

21,224

2024

0,280,01

Pág. 35



5

3 80% 3 · 0,8 = 2,4

1 x% 1 · = 0,01x

4 67% 4 · 0,67 = 2,4 + 0,01x

x100

CANTIDAD (kg) PUREZA CANTIDAD DE ORO (kg)

1er– LINGOTE

2º- LINGOTE

MEZCLA

x 24 x

7 20 7 · =

x + 7 21,2 (x + 7) · = x + 14024

21,224

14024

2024

CANTIDAD (kg) LEY (kilates) CANTIDAD DE ORO (g)

1º-

2º-

MEZCLA

10 · = 3 + → = → 212 = 72 + 7x

212 – 72 = 7x → 140 = 7x → x = = 20 → x = 20 kilates

Solución: La cadena era de 20 kilates.

1407

72 + 7x24

21224

7x24

21,224

Pág. 36



5

3 24 3

7 x 7 · =

10 21,2 10 · = 3 + 7x24

21,224

7x24

x24

PESO (g) LEY (kilates) CANTIDAD DE ORO (g)

PENDIENTE

CADENA

PULSERA(mezcla)

Página 135

PRACTICA

1 Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la so-lución x = 2, y = –1.

a) b)

Sustituimos en cada ecuación x = 2, y = –1 y operamos:

a) b)

2 Comprueba si x = –2, y = es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

Sustituimos los valores en cada ecuación y vemos si se cumplen:

a)

b) –2 + 2 · = –2 + 1 = –1 ≠ –3 → No se cumple. → No es solución.

3 Resuelve por sustitución:

a) b)

c) d)

Solución: x = 7; y = 1

3(2y + 5) – 2y = 19 → 6y + 15 – 2y = 194y = 4 → y = 1 → x = 2y + 5 = 7

x = 2y + 53x – 2y = 19

a)

2x + 16 = 2y2y – 3x = 16

5x – 4y = 176x – y = 9

y = 54x 2y— + — = 63 5

x = 2y + 53x – 2y = 19

12

Se cumplen las ecuaciones:1

x = –2, y = –– es solución del sistema.2

17 · (–2) + 4 · — = –14 + 2 = –12213 · (–2) – 2 · — = –6 – 1 = –72

x + 2y = –32x + 6y = 1

7x + 4y = –123x – 2y = –7

12

3—x + 7y = –42

5 –3–2x – —y = —

2 2

2x + 3y = 13x – 4y = 10

3— x + 7y = …2

5–2x – — y = …

2

2x + 3y = …3x – 4y = …

Pág. 1


Unidad 6. Sistemas de ecuaciones

6

y = 6x – 9 = –3. Solución: x = 1; y = –3


4 Resuelve por igualación:

a) b)

c) d)

e) f)

Solución: x = 1; y =



5 – 2y = 2 + y → 3 = 3y → y = 1x = 2 + y = 3

x = 5 – 2yx = 2 + y

x + 2y = 5x – y = 2

c)

y 2y – 5–– = ––– → 7y = 12y –30 →6 7

30 y→ 30 = 5y → y = — = 6 → x = — = 15 6

yx = ––

62y – 5

x = –––7

y = 6x

2y – 5x = –––

7

b)

52

2y–– = 4y – 9 → 2y = 20y – 45 → 45 = 18y →5

45 5 2y→ y = — = — → x = — = 118 2 5

2yx = ––5

x = 4y – 9

a)

7x – 2y = 85x – 3y = 1

5 + 3y = 2xx + 2y = 9

4x2y = —

32

5y = 2x + —3

x + 2y = 5x – y = 2

y = 6x2y – 5

x = —7

2yx = —

5x = 4y – 9

2x + 16 – 3x = 16 → –x = 0 → x = 02y = 2x + 16 = 16 → y = 8

2x + 16 = 2y2y – 3x = 16

d)

5x – 24x + 36 = 17–19x = –19 → x = 1

y = 6x – 95x – 4(6x – 9) = 17

5x – 4y = 176x – y = 9

c)

4x 4x–– + 2 = 6 → –– = 4 → 4x = 12 → x = 33 3


y = 54x 2y–– + –– = 63 5

b)

Pág. 2



6

→ 4x = 2 → x = = → y = =

Solución: x = ; y =

x = 9 – 2y = . Solución: x = ; y =

x = = 2. Solución: x = 2; y = 3

5 Resuelve por reducción:

a) b)

c) d)

Sumando: 2x = 12 → x = = 6 → y = 3 – x = –3

Solución: x = 6; y = –3

Sumando: 8y = –24 → y = = –3

x = = –2. Solución: x = –2; y = –39 + 5y

3

–248

–6x + 10y = –186x – 2y = –6

· (–2)→

→

3x – 5y = 96x – 2y = –6

b)

122

x + y = 3x – y = 9

a)

x – 3y = 212x + 5y = –35

10x – 3y = 110x + 3y = 3

3x – 5y = 96x – 2y = –6

x + y = 3x – y = 9

8 + 2y7

8 + 2y 1 + 3y–––= ––– →7 5

→ 40 + 10y = 7 + 21y → 33 = 11y → y = 3

8 + 2yx = –––

71 + 3y

x = –––5

7x – 2y = 8

5x – 3y = 1

f )

137

377

377

5 + 3y–––= 9 – 2y →2

13→ 5 + 3y = 18 – 4y → 7y = 13 → y = ––7

5 + 3yx = –––2

x = 9 – 2y

5 + 3y = 2x

x + 2y = 9

e)

13

12

13

2x3

12

24

2x 6x + 2–– = ––– →3 15

→ 10x = 6x + 2 →

4x 2xy = –– = ––

6 36x + 2

y = –––15

6y = 4x

15y = 6x + 2

4x2y = ––

32

5y = 2x + ––3

d)

Pág. 3



6


Sumando: 11y = –77 → y = = –7

x = 21 + 3y = 0


6 Resuelve por el método que consideres más adecuado:

a) b)

c) d)

e) f)


Sumando: 15x = 15 → x = 1

y = = . Solución: x = 1; y = 13

13

6x – 53

12x – 6y = 103x + 6y = 5

· 2→

→

6x – 3y = 53x + 6y = 5

b)

6x = –– = 2

34y 4y 12

10 + — = 14 → — = 4 → 4y = 12 → y = — = 33 3 4

3x = 6

4y5x + — = 14

3

a)

5x = 2y – 24x = 20 – 2y

2y x 1— – — = —5 3 15

15x – 15y = 2

1,2x + 0,7y = 7x – 0,5y = 1,5

5x + y = 63x – 2y = 14

6x – 3y = 53x + 6y = 5

3x = 64y

5x + — = 143

–7711

–2x + 6y = –422x + 5y = –35

· (–2)→

→

x – 3y = 212x + 5y = –35

d)

13

15

4 1Sumando: 20x = 4 → x = — = —

20 5–2 1

Restando: –6y = –2 → y = — = —–6 3

10x – 3y = 110x + 3y = 3

c)

Pág. 4



6

y = 6 – 5x = –4. Solución: x = 2; y = –4

1,8 + 0,6y + 0,7y = 7 → 1,3y = 5,2 → y = = 4

x = 1,5 + 0,5y = 3,5. Solución: x = 3,5; y = 4

Sumando: 3y = 5

y = → x = = =


Sumando: 9x = 18 → x = = 2 → y = = 6


7 Resuelve los sistemas:

a)

b)

c)

d) 0,2x – 1,7y = 6,11,23x + 0,8y = 3,75

3 · (x + 2) – 5 · (y + 1) = 95 + 3y

4x + — = 52

x + 3— = 5

y2 · (x – 3y) + x = 9

3 · (x – 1) + 3 · (y + 4) = 2 · (3x + y) – 9x y— – — = 32 3

5x + 22

189

5x – 2y = –24x + 2y = 20

5x = 2y – 24x = 20 – 2y

f )

53

95

95

2715

2 + 15y15

53

–15x + 18y = 3

15x – 15y = 2

· 3→

→

–5x + 6y = 1

15x – 15y = 2

6y – 5x = 1

15x – 15y = 2

2y x 1–– – –– = ––5 3 15

15x – 15y = 2

e)

5,21,3

x = 1,5 + 0,5y1,2(1,5 + 0,5y) + 0,7y = 7

1,2x + 0,7y = 7x – 0,5y = 1,5

d)

3x – 12 + 10x = 14 →26→ 13x = 26 → x = –– = 213

y = 6 – 5x

3x – 2(6 – 5x) = 14

5x + y = 6

3x – 2y = 14

c)

Pág. 5



6

Sumando: –y = 0 → y = 0 → x = = 6


→

→ →

→ 5y – 3 = 3 + 2y → 3y = 6 → y = 2 → x = 3 + 2y = 7


Sumando: 49x = 49 → x = 1 → y = = –1


Sumando: 2,251x = 11,255 →

→ x = = 5 → y = = –3


3,75 – 1,23x0,8

11,2552,251

0,16x – 1,36y = 4,882,091x + 1,36y = 6,375

· 0,8→

· 1,7→

0,2x – 1,7y = 6,11,23x + 0,8y = 3,75

d)

5 – 8x3

9x – 15y = 2440x + 15y = 25

· 3→

· 5→

3x – 5y = 8

8x + 3y = 5

3x + 6 – 5y – 5 = 9

8x + 5 + 3y = 10

3(x + 2) – 5( y + 1) = 95 + 3y

4x + –––= 52

c)

x = 5y – 39 + 6y

3x – 6y = 9 → x = –––= 3 + 2y3

x + 3 = 5y

2x – 6y + x = 9

x + 3––= 5y

2(x – 3y) + x = 9

b)

18 + 2y3

–3x + y = –183x – 2y = 18

3x – 3 + 3y + 12 = 6x + 2y – 9

3x – 2y = 18

3(x – 1) + 3( y + 4) = 2(3x + y) – 9x y–– – –– = 32 3

a)

Pág. 6



6

PIENSA Y RESUELVE

8 Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.

Llamamos x e y a los números que buscamos. Tenemos que:

Sumando: 2x = 258 → x = = 129 → y = 191 – x = 62


9 Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80 €. Cinco kilos de peras ycuatro de manzanas cuestan 13,20 €. ¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el demanzanas?

Llamamos x al precio del kilo de peras e y al precio del kilo de manzanas.Tenemos que:

Sumando: 7x = 8,4 → x = = 1,2 → x = 1,2

y = = 1,8 → y = 1,8

Solución: El kilo de peras cuesta 1,2 € y el de manzanas, 1,8 €.

10 Para pagar un artículo que costaba 3 €, he utilizado nueve monedas, unas de20 céntimos y otras de 50 céntimos.

¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado?

Llamamos x al número de monedas de 20 céntimos e y al número de mone-das de 50 céntimos. Tenemos que:

–3x = –15 → x = = 5; y = 9 – x = 4

Solución: Hemos utilizado 5 monedas de 20 céntimos y 4 monedas de 50céntimos.

Página 136

11 Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,3 € por cada pieza quesale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0,4 € por cada piezadefectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 2 100 bombillas,obteniendo unos beneficios de 484,4 €. ¿Cuántas bombillas válidas y cuán-tas defectuosas se han fabricado en ese día?

–15–3

2x + 5(9 – x) = 302x + 45 – 5x = 30

y = 9 – x2x + 5y = 30

x + y = 920x + 50y = 300

7,8 – 2x3

8,47

–8x – 12y = –31,215x + 12y = 39,6

· (–4)→

· 3→

2x + 3y = 7,85x + 4y = 13,2

2582

x + y = 191x – y = 67

Pág. 7



6

Llamamos x al número de bombillas válidas e y al número de bombillasdefectuosas. Tenemos que:

x = = 1 892 → y = 2 100 – x = 208

Solución: Se han fabricado 1 892 bombillas válidas y 208 defectuosas.

12 Una empresa aceitera ha envasado 3 000 litros de aceite en 1 200 botellas dedos y de cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

Llamamos x al número de botellas de dos litros e y al número de botellas decinco litros. Tenemos que:

y = 1 200 – x = 200

Solución: Se han utilizado 1 000 botellas de dos litros y 200 botellas de cincolitros.

13 En un bar se venden bocadillos de jamón a 3,5 € y bocadillos de tortilla a 2 €.En una mañana vendieron 52 bocadillos y la recaudación final fue de 149 €.¿Cuántos se vendieron de cada clase?

Llamamos x al número de bocadillos de jamón e y al número de bocadillosde tortilla. Tenemos que:

→ y = 52 – x = 22

Solución: Se vendieron 30 bocadillos de jamón y 22 de tortilla.

3,5x + 104 – 2x = 1491,5x = 45 → x = 45/1,5 = 30 →

y = 52 – x3,5x + 2(52 – x) = 149

x + y = 523,5x + 2y = 149

2x + 6 000 – 5x = 3 0003 000 = 3x → x = 1 000

y = 1 200 – x2x + 5(1 200 – x) = 3 000

x + y = 1 2002x + 5y = 3 000

1 324,40,7

0,3x – 840 + 0,4x = 484,40,7x = 1 324,4

y = 2 100 – x0,3x – 0,4(2 100 – x) = 484,4

x + y = 2 1000,3x – 0,4y = 484,4

Pág. 8



6

5 litros 2 l 2 l

14 En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuestacorrecta y se restan 0,25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5,¿cuántos aciertos y cuántos errores he tenido?

Llamamos x al número de aciertos e y al número de errores. Tenemos que:

→

→

Solución: He tenido 18 aciertos y 12 errores.

15 Una empresa de productosplásticos recibe el encargode fabricar cierto númerode macetas para un día de-terminado. Al planificar laproducción, el gerente ad-vierte que si fabrican 250macetas diarias, faltarían 150 macetas al concluir el plazo que les han dado.Si fabrican 260 macetas diarias, entonces les sobrarían 80 macetas. ¿Cuántosdías de plazo tenían y cuántas macetas les encargaron?

Llamamos x a los días de plazo que tenían e y al número de macetas que en-cargaron. Tenemos que:

Solución: Tenían 23 días de plazo y les encargaron 5 900 macetas.

16 Una empresa fabrica dos tipos de bicicletas, A y B. Para fabricar una del mo-delo A, se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para una del modeloB, 2 kg de cada uno de esos materiales. Si la empresa dispone de 80 kg deacero y 120 kg de aluminio, ¿cuántas bicicletas de cada tipo puede fabricar?

Llamamos x al número de bicicletas del tipo A e y al número de bicicletas deltipo B. Tenemos que:

Solución: Puede fabricar 20 bicicletas del tipo A y 30 del tipo B.

Restando: 2x = 40 → x = 2080 – x

y = ——— = 302

Acero → x + 2y = 80

Aluminio → 3x + 2y = 120

250x + 150 = 260x – 80 → 230 = 10x → x = 23y = 250x + 150 = 5 900

250x + 150 = y260x – 80 = y

0,75x – 7,5 + 0,25x = 10,5x = 18 → y = 30 – x = 12

y = 30 – x0,75x – 0,25(30 – x) = 10,5

x + y = 300,75x – 0,25y = 10,5

Pág. 9



6

17 La base mayor de un trapecio es 2 cm más larga que la menor; la altura deltrapecio es 8 cm y su área 48 cm2. ¿Cuánto miden las bases?

Llamamos x a la base mayor e y a la base menor:

y + 2 + y = 12 → 2y = 10 → y = 5 → x = y + 2 = 7

Solución: La base mayor mide 7 cm y la menor, 5 cm.

18 En una parcela rectangular de 44 m de perímetro se hace un jardín rectangu-lar bordeado por un camino de 2 m de ancho.

Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es de45 m2.

Llamamos x e y a las dimensiones de la parcela:

y = 22 – x

(x – 4)(22 – x – 4) = 45 → (x – 4)(18 – x) = 45 → 18x – x2 – 72 + 4x = 45

0 = x2 – 22x + 117 → x = = =

=

Solución: Las dimensiones de la parcela son 13 m × 9 m.

19 María ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 15%. Marta ha com-prado otro abrigo 25 € más caro, pero ha conseguido una rebaja del 20%,con lo que solo ha pagado 8 € más que María. ¿Cuál era el precio de cadaabrigo?

Llamamos x al precio (sin rebajar) del abrigo de María e y al precio (sin reba-jar) del abrigo de Marta. Tenemos que:

x = 13 → y = 9x = 9 → y = 13

22 ± 42

22 ± √162

22 ± √484 – 4682

Perímetro → 2x + 2y = 44 → x + y = 22Área jardín → (x – 4)(y – 4) = 45

x = y + 2

x + y = 12

x = y + 2

(x + y) · 4 = 48

x = y + 2(x + y) · 8

Área → ––––= 482

Pág. 10



6

y

x

8 cm

x

y y – 4x – 4

2

2

22

Solución: El abrigo de María costaba 240 € y el de Marta, 265 €.

20 Un capital, colocado en el banco durante un año, ha producido un beneficiode 800 €. El beneficio habría sido el mismo si el capital se hubiera aumenta-do en 2 000 € y el interés anual se hubiera disminuido en un punto (en un1%). ¿A cuánto asciende el capital y a qué tanto por ciento ha estado coloca-do?

Llamamos x al capital (en euros) e y al tanto por ciento al que ha estadocolocado. Tenemos que:

(x + 2 000)( – 1) = 80 000 → 80 000 – x + – 2 000 = 80 000

–x2 + 160 000 000 – 2 000x = 0 → x2 + 2 000x – 160 000 000 = 0

x = =

=

y = = 6,84%

Solución: El capital es de 11 688,58 € y el tanto por ciento, 6,84%.

21 Por un pantalón y unos zapatos he pagado 126 €. Si el precio del pantalónaumentara en un 14%, entonces sería el 75% del precio de los zapatos.¿Cuánto pagué por cada uno?

Pantalón → Aumenta un 14% →

Zapatos → El 75% de y →

y = 126 – x = 76

Solución: El pantalón costaba 50 € y los zapatos, 76 €.

1,14x = 94,5 – 0,75x1,89x = 94,5 → x = 94,5/1,89 = 50

y = 126 – x1,14x = 0,75(126 – x)

x + y = 1261,14x = 0,75y

0,75yy

1,14xx

80 000x

x = 11 688,58x = –13 688,58 (no vale)

–2 000 ± 25 377,162

–2000 ± √4 000 000 + 640 000 0002

160 000 000x

80 000x

80 000y = –––

x

x · y = 80 000

(x + 2 000)(y – 1) = 80 000

yx · — = 800

100y – 1

(x + 2 000) · (––– ) = 800100

0,80(x + 25) = 0,85x + 8 → 0,80x + 20 = 0,85x + 812

12 = 0,05x → x = –– = 240 → y = x + 25 = 2650,05

y = x + 25

0,80y = 0,85x + 8

Pág. 11



6

Página 137

22 He pagado 90,50 € por una camisa y un jersey que costaban, entre los dos,110 €. En la camisa me han rebajado un 20% y en el jersey, un 15%. ¿Cuál erael precio original de cada artículo?

Llamamos x al precio original de la camisa e y al precio original del jersey.Tenemos que:

0,80x + 93,5 – 0,85x = 90,5 → 3 = 0,05x → x = = 60 → y = 50

Solución: La camisa costaba 60 € y el jersey, 50 €.

23 En un centro escolar hay matriculados 795 estudiantes entre los dos cursosde Bachillerato. El 45% de primero y el 52% de segundo son mujeres, lo quesupone un total de 384 alumnas entre los dos cursos. ¿Cuántos estudianteshay en cada curso?

Llamamos x al número de estudiantes de 1º- de Bachillerato e y al número deestudiantes de 2º- de Bachillerato. Tenemos que:

0,45x + 413,4 – 0,52x = 384 → 29,4 = 0,07x

x = = 420 → y = 795 – x = 375

Solución: Hay 420 estudiantes en 1º- y 375 estudiantes en 2º-.

24 Dos comerciantes emprenden un negociopara cuya realización fue necesario invertir100 000 €. A la hora de repartir benefi-cios, el primero cobró 2 160 € y el segun-do, 1 440 €. ¿Qué cantidad invirtió cadauno?

Llamamos x a la cantidad que invirtió el primero e y a la cantidad que invirtióel segundo.

• Total invertido = 100 000 €

• Beneficio total = 2 160 + 1 440 = 3 600 €

3 600 : 100 000 = 0,036 € de beneficio corresponden a cada euro invertido.

• Al primero le corresponden → 0,036x = 2 160 € → x = 60 000 €

• Al segundo le corresponden → 0,036y = 1 440 € → y = 40 000 €

Solución: El primero invirtió 60 000 € y el segundo, 40 000 €.

29,40,07

y = 795 – x0,45x + 0,52(795 – x) = 384

x + y = 7950,45x + 0,52y = 384

30,05

y = 110 – x0,80x + 0,85(110 – x) = 90,5

x + y = 1100,80x + 0,85y = 90,5

Pág. 12



6

25 Tres socios han obtenido un beneficio de 12 900 €. ¿Qué cantidad corres-ponde a cada uno si para iniciar el negocio el primero aportó 2/3 de lo queaportó el segundo y este, 5/6 de lo que aportó el tercero?

–– Primero → aportó · x = = €

–– Segundo → aportó €

–– Tercero → aportó x €

Suma = x + + = aportaron entre los tres.

12 900 : = € de beneficio corresponden por cada euro invertido.

–– Primero → le corresponden · = 3 000 €

–– Segundo → le corresponden · = 4 500 €

–– Tercero → le corresponden x · = 5 400 €

Solución: Al primero le corresponden 3 000 €, al segundo, 4 500 €, y altercero, 5 400 €.

26 Un bodeguero ha mezclado dos cubas de vino: la primera, de mejor calidad, a3 €/litro y la segunda, de calidad inferior, a 2,2 €/litro. De esta forma ha ob-tenido 16 hl de un vino de calidad intermedia que sale a 2,5 €/litro. ¿Cuálera el contenido de cada cuba?

3x + 3 520 – 2,2x = 4 000 → 0,8x = 480 → x = = 600

y = 1 600 – x = 1 000

Solución: La de mejor calidad contenía 600 litros y la de calidad inferiorcontenía 1 000 litros.

27 El aceite de oliva cuesta el doble que el de orujo, y si se mezclan en una pro-porción de 5 a 3 (en litros), resulta un aceite de calidad intermedia que cues-ta 2,6 €/litro ¿Cuál es el precio de cada clase de aceite?

4800,8

y = 1 600 – x3x + 2,2(1 600 – x) = 4 000

x + y = 1 6003x + 2,2y = 4 000

5 400x

5 400x

5x6

5 400x

5x9

5 400x

43x18

43x18

5x9

5x6

5x6

5x9

10x18

56

23

Pág. 13



6

MEJOR CALIDAD

CALIDAD INFERIOR

MEZCLA


x 3 3xy 2,2 2,2y

x + y = 1 600 2,5 3x + 2,2y = 2,5 · 1 600

Solución: El de oliva cuesta 3,2 €/l y el de orujo, 1,6 €/l.

28 Juntando el agua de una cazuela que está a 15 °C con la de otra cazuela, a60 °C, se ha llenado una olla de 9 litros que ha resultado a una temperaturade 45 °C. ¿Cuántos litros había en cada cazuela?

→ 135 = 45x → x = = 3

y = 9 – x = 6

Solución: En la 1ª- cazuela había 3 litros y en la segunda, 6 litros.

29 Se ha fundido una cadena de oro del 80% de pureza junto con un anillo del64% de pureza. Así se han obtenido 12 gramos de oro de una pureza del76%. ¿Cuántos gramos pesaba la cadena y cuántos el anillo?

0,8x + 7,68 – 0,64x = 9,12 → 0,16x = 1,44 → x = = 9

y = 12 – x = 3

Solución: La cadena pesaba 9 gramos y el anillo, 3 gramos.

1,440,16

y = 12 – x0,8x + 0,64(12 – x) = 9,12

x + y = 120,8x + 0,64y = 9,12

13545

15x + 60(9 – x) = 405 →

→ 15x + 540 – 60x = 405 →

15x + 60y = 405

y = 9 – x

15x + 60y–––– = 45

9x + y = 9

5 · 2y + 3y = 20,8 → 10y + 3y = 20,8 →20,8→ 13y = 20,8 → y = –– = 1,6 → x = 3,213

x = 2y

5x + 3y = 20,8

Pág. 14



6

5 x = 2y 5x3 y 3y8 2,6 5x + 3y = 8 · 2,6


OLIVA

ORUJO

MEZCLA

x 80% 0,8xy 64% 0,64y

x + y = 12 76% 0,8x + 0,64y = 12 · 0,76

CANTIDAD (g) PUREZA CANTIDAD DE ORO (g)

CADENA

ANILLO

MEZCLA

x 15 °C 15xy 60 °C 60y

x + y = 9 45 °C 15x + 60y

CANTIDAD (l ) TEMPERATURA (°C)

1ª- CAZUELA

2ª- CAZUELA

MEZCLA

30 Un tren de cercanías sale de una estación a 90 km/h. Media hora más tarde,sale otro más rápido en la misma dirección a 110 km/h. ¿Cuánto tardará enalcanzar al primero?

El primer tren ha recorrido 45 km en 1/2 hora. (e = v · t )

Solución: Tardará 2,25 h, es decir, 2 h 15 min, en alcanzarlo.

31 Un tren que avanza a 70 km/h lleva una ventaja de 90 km a otro tren queavanza por una vía paralela a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda el se-gundo tren en alcanzar al primero y la distancia recorrida hasta lograrlo.

Solución: Tarda 2,25 h, es decir, 2 h 15 min, en alcanzarlo. Hasta ese momentorecorre 247,5 km.

32 Dos ciclistas avanzan por la misma carretera en el mismo sentido y les separauna distancia de 7,5 km. Si sus velocidades están en relación de 3 a 4, y el se-gundo tarda 45 minutos en alcanzar al primero, ¿cuál era la velocidad de cadauno?

t = 45 min = h = 0,75 h34

70t + 90 = 110t → 90 = 40t → t = 2,25 hx = 70t = 157,5 → x + 90 = 247,5

x = 70tx + 90 = 110t

4590t + 45 = 110t → 45 = 20t → t = –– = 2,25 h = 2 h 15 min

20x = 90 · 2,25 = 202,5 km

x = 90t

x + 45 = 110t

Pág. 15



6

� 90 km/h

� 110 km/h

45 + x←→

←→←→h; 45 km

x12

x 90 tx + 45 110 t

ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO

1–er TREN

2-º TREN

x 70 tx + 90 110 t


1–er TREN

2-º TREN110 km/h

90 km x

70 km/h

4 v

7,5 km x

3 v

x 3v 0,75x + 7,5 4v 0,75


(km) (km/h) (h)

1–er CICLISTA

2-º CICLISTA

Solución: El primero llevaba una velocidad de 30 km/h y el segundo, de 40 km/h.

Página 138

33 Dos ciudades, A y B, dis-tan 350 km. En un deter-minado momento un co-che inicia su viaje de Ahacia B y, simultáneamen-te, un camión inicia el suyo de B hacia A. ¿Cuál es la velocidad de cada uno,sabiendo que tardan 1 hora y 45 minutos en cruzarse y que la velocidad delcoche supera a la del camión en 20 km/h?

t = 1 h 45 min = 1 h + h = 1,75 horas

→ x + 20 = 110

Solución: La velocidad del coche es de 110 km/h y la del camión, de 90 km/h.

34 Un camión de transporteshace, una vez a la semana,la ruta entre las ciudades Ay B. Si va a 80 km/h, tar-da, solo en ir, tres horasmás que si va a 100 km/h. ¿Cuál es la distancia entre las ciudades?

240 = 20t → t = = 12 h

x = 100t = 1 200 km

Solución: La distancia entre A y B es de 1 200 km.

24020

80(t + 3) = 100t80t + 240 = 100t

x = 80(t + 3)x = 100t

1,75x + 35 = 350 – 1,75x315

3,5x = 315 → x = –– = 903,5

y = 1,75x + 35

y = 350 – 1,75x

y = (x + 20) · 1,75

350 – y = 1,75x

34

3v = 30 km/h4v = 40 km/h

2,25v + 7,5 = 3v →7,5→ 7,5 = 0,75v → v = –– = 10 km/h

0,75

x = 2,25v

x + 7,5 = 3v

x = 3v · 0,75

x + 7,5 = 4v · 0,75

Pág. 16



6

(x + 20) km/h

350 – yyA B

x km/h

coche camión

y x + 20 1,75350 – y x 1,75


(km) (km/h) (h)COCHE

CAMIÓN

x 80 t + 3x 100 t


(km) (km/h) (h)

A

350 km←→

B

35 La suma de las dos cifras de un número es 10. Si las invertimos, obtenemosotro número que es igual al triple del anterior menos 2. ¿Cuál es el númeroinicial?

Cifra de las decenas: x

Cifra de las unidades: y

Valor del número: 10x + y

Valor del número invertido: 10y + x

1-ª condición: x + y = 10

2-ª condición: 10y + x = 3(10x + y) – 2

y = 10 – x

29x – 7(10 – x) = 2 → 29x – 70 + 7x = 2 → 36x = 72 → x = = 2

y = 10 – x = 8

Solución: El número inicial es 28.

36 La suma de las dos cifras de un número es 12. Si la invertimos, obtenemosotro número igual al doble del anterior menos 12. ¿Cuál es el número inicial?

y = 12 – x

19x – 8(12 – x) = 12 → 19x – 96 + 8x = 12 → 27x = 108 → x = = 4

y = 12 – x = 8

Solución: El número inicial es 48.

37 Un número de tres cifras es capicúa. La cifra de las centenas es tres unidadesmenor que la de las decenas. La suma de las tres cifras es doce. Calcula dichonúmero.

Llamamos x a la cifra de las unidades(que coincide con la de las centenas) e ya la cifra de las decenas. Tenemos que:

xUnidades

yDecenas

xCentenas

10827

x + y = 1219x – 8y = 12

x + y = 1210y + x = 20x + 2y – 12

x + y = 1210y + x = 2(10x + y) – 12

Llamamos x a la cifrade las decenas e y a lacifra de las unidades.

x y— — → número = 10x + yDecenas Unidades

y x— — → número = 10y + x

7236

x + y = 1029x – 7y = 2

x + y = 1010y + x = 30x + 3y – 2

x + y = 1010y + x = 3(10x + y) – 2

Pág. 17



6

Solución: El número es 363.

REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA

38 Escribe un sistema de ecuaciones con dos incógnitas cuya única solución seax = 1, y = 1.

Por ejemplo:

39 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO

40 Resuelve, por tanteo, los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

c) d)

a) x = 6 ; y = 4 b) x = 5 ; y = 5

c) (0, 5) y (5, 0) d) x = 2 ; y = 2

41 Identifica entre los siguientes sistemas los que tienen infinitas soluciones, losque tienen solo una y los que no tienen ninguna:

a) b)

c) d)

e) f )

a) Infinitas soluciones (la 2ª- ecuación es el doble de la 1ª-).

b) Una solución.

c) Infinitas soluciones (las dos ecuaciones son en realidad la misma).

d) Ninguna solución (las ecuaciones son contradictorias).

e) Ninguna solución (ecuaciones contradictorias).

f ) Ninguna solución (ecuaciones contradictorias).

x – 3y = 112x – 6y = 21

5x + y = 410x + 2y = 4

2x + 5y = 112x + 5y = 3

5x – y = 45x + 1 = y + 5

x + 3y = 9x – 2y = 5

3x + 5y = 46x + 10y = 8

√—x + y = 2

x – y = 0

x2 + y2 = 25x + y = 5

x + y = 10x – y = 0

x + y = 10x – y = 2

x + y = 1 + 1 = 2x – y = 1 – 1 = 0

2(y – 3) + y = 12 → 2y – 6 + y = 12 →18→ 3y = 18 → y = –– = 6 → x = y – 3 = 33

x = y – 3

2x + y = 12

x = y – 3

x + y + x = 12

Pág. 18



6

42 ¿Cuáles de los sistemas del ejercicio anterior son indeterminados? Busca tressoluciones para cada uno.

a) (3, –1) ; (–2, 2) ; (0, ) ; … son soluciones del sistema.

c) (0, –4) ; (1, 1) ; (–1, –9) ; … son soluciones del sistema.

43 Comprueba si el par (0, 3) es solución de este sistema:

Sustituimos x = 0, y = 3 en cada ecuación y vemos si se cumplen:

Por tanto, (0, 3) no es solución del sistema.

Página 139

PROFUNDIZA

44 Resuelve, por sustitución, este sistema:

Despejamos la y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

y = 4 – 2x → x2 + 4 – 2x = 7 → x2 – 2x – 3 = 0

x = = =

45 Resuelve, por sustitución, los siguientes sistemas:

a) b)

c) d) x + y = 5x2 – y2 = 5

x – y = 02x2 – y2 = 9

x2 + y = 24y = 2x + 16

x – 7 = 0x2 – y2 = 40

x = 3 → y = –2x = –1 → y = 6

2 ± 42

2 ± √162

2 ± √4 + 122

y = 4 – 2xx2 + 4 – 2x = 7 → x2 – 2x – 3 = 0

2x + y = 4x2 + y = 7

2x + y = 4x2 + y = 7

x + y = 3 → 0 + 3 = 3 → Sí se cumple.2x + 4y = 12 → 2 · 0 + 4 · 3 = 0 + 12 = 12 → Sí se cumple.x + 5y = 10 → 0 + 5 · 3 = 15 ≠ 10 → No se cumple.

x + y = 32x + 4y = 12x + 5y = 10

45

Pág. 19



6

Hay dos soluciones: x = 7, y = 3

x = 7, y = –3

→

x2 – 25 + 10x – x2 = 5 → 10x = 30 → x = = 3 → y = 5 – x = 2

Solución: x = 3, y = 2

46 La diferencia de dos números es 6 y la de sus cuadrados, 144. Calcula esosnúmeros.


12y = 108 → y = = 9 → x = 6 + y = 15

Solución: Los números son 15 y 9.

47 Halla dos números cuya suma es 15 y la de sus cuadrados es 113.


2x2 – 30x + 112 = 0 → x2 – 15x + 56 = 0

x = =

Solución: Los números son 7 y 8.

x = 8 → y = 7x = 7 → y = 8

15 ± 12

15 ± √225 – 2242

y = 15 – xx2 + (15 – x)2 = 113 → x2 + 225 – 30x + x2 = 113

x + y = 15x2 + y2 = 113

10812

x = 6 + y(6 + y)2 – y2 = 144 → 36 + 12y + y2 – y2 = 144

x – y = 6x2 – y2 = 144

3010

y = 5 – xx2 – (5 – x)2 = 5 → x2 – (25 – 10x + x2) = 5

x + y = 5x2 – y2 = 5

d)

y = 3 → x = 3y = –3 → x = –3

x = y2y2 – y2 = 9 → y2 = 9 → y = ±√

––9

x – y = 02x2 – y2 = 9

c)

x = 2 → y = 20x = –4 → y = 8

x2 + 2x + 16 = 24 → x2 + 2x – 8 = 0

–2 ± √––––4 + 32 –2 ± √

––36 –2 ± 6

x = –––––– = ––––– = ––––– →2 2 2

x2 + y = 24

y = 2x + 16

b)

y = 3y = –3

x = 749 – y2 = 40 → 9 = y2 → y = ±√

––9

x – 7 = 0x2 – y2 = 40

a)

Pág. 20



6

48 La diagonal de un rectángulo mide 26 m y el perímetro 68 m. Calcula sus lados.

Llamamos x a la longitud de la base del rectángulo e y a la longitud de sualtura. Tenemos que:

y = 34 – x

x2 + (34 – x)2 = 676 → x2 + 1 156 – 68x + x2 = 676 →

→ 2x2 – 68x + 480 = 0 → x2 – 34x + 240 = 0

x = = =

Solución: Los lados del rectángulo miden 10 m y 24 m.

49 Calcula x e y sabiendo que la superficie de A es nueve veces la de B.

☛ A es un cuadrado de lado y. B es un cuadrado de lado x.

x = = =

=

Solución: x = 1,25 m; y = 3,75 m

50 La edad de Pedro, hoy, es el cuadrado de la de su hija, pero dentro de nueveaños será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada uno?

20x = –– = 1,25 → y = 3,7516

x = –2,5 (no vale)

–10 ± 3016

–10 ± √90016

–10 ± √100 + 80016

y = 5 – x(5 – x)2 = 9x2 → 25 – 10x + x2 = 9x2 → 0 = 8x2 + 10x – 25

x + y = 5y2 = 9x2

x = 24 → y = 10x = 10 → y = 24

34 ± 142

34 ± √1962

34 ± √1 156 – 9602

x2 + y2 = 676

x + y = 34

x2 + y2 = 262

2x + 2y = 68

Pág. 21



6

26 cm y

x

5 m

xy

A

B

x x + 9y y + 9

HOY DENTRO DE 9 AÑOS

HIJA

PEDRO

x2 = 3x + 18 → x2 – 3x – 18 = 0

x = = =

Solución: Pedro tiene 36 años y su hija, 6.

51 En un rombo, una diagonal es doble que la otra y el área es 4 dm2. ¿Cuántomide su lado?

Llamamos x e y a las diagonales del rombo:

→

→ x · 2x = 8 → 2x2 = 8 → x2 = 4

x = ±

Calculamos el lado del rombo mediante el teorema de Pitágoras:

l2 = 22 + 12 → l2 = 4 + 1 = 5 → l = ≈ 2,24 dm

Solución: El lado mide ≈ 2,24 dm.

52 Si la base de un rectángulo disminuye 80 cm y la al-tura aumenta 20 cm, se convierte en un cuadrado.

Si la base disminuye 60 cm y la altura aumenta20 cm, su área disminuye 400 cm2.

Calcula las dimensiones del rectángulo.

Llamamos x a la base e y a la altura. Tenemos que:

x = 130

Solución: La base mide 130 cm y la altura 30 cm.

y + 100 = 3y + 40 →→ 60 = 2y → y = 30

x = y + 100x = 3y + 40

x = y + 100x – 3y = 40

x = y + 10020x – 60y = 800

x = y + 100x · y + 20x – 60y – 1 200 = x · y – 400

x – 80 = y + 20(x – 60)(y + 20) = x · y – 400

√5

√5

x = –2 (no vale)x = 2 → y = 4

√4

y = 2x

x · y = 8

y = 2xx · y

Área → ––– = 42

x = 6 → y = 36x = –3 (no vale)

3 ± 92

3 ± √812

3 ± √9 + 722

y = x2

y = 3x + 18

y = x2

y + 9 = 3(x + 9)

Pág. 22



6

y

x

l

l2

1

x

y

53 Un coche tarda en realizar el trayecto A-B dos horas más de lo que tarda uncamión en realizar el trayecto contrario, B-A. Saliendo simultáneamente, tar-dan 2 horas y 55 minutos en cruzarse. ¿Cuánto tarda cada uno en completarsu recorrido?

2 horas 55 minutos = (2 + ) horas = (2 + ) horas = horas

–– Coche → Tarda x horas en ir de A a B → Hace del trayecto

en 1 hora.

–– Camión → Tarda y horas en ir de B a A → Hace del trayecto

en 1 hora.

–– Juntos → Tardan h en hacer el trayecto → Hacen del

trayecto en 1 hora.

→ 35y + 35y + 70 = 12y2 + 24y → 0 = 12y2 – 46y – 70 = 0

y = = =

=

Solución: El coche tarda 7 horas y el camión, 5 horas.

54 Un grifo tarda en llenar una piscina 3 horas menos que su desagüe en vaciar-la. Si se abren ambos a la vez, estando vacía, la piscina tarda 36 horas en lle-narse. ¿Cuánto tardará cada uno en cumplir su tarea si el otro permanececerrado?

–– Grifo → Tarda x horas en llenarla. → Llena en 1 hora.

–– Desagüe → Tarda y horas en vaciarla. → Vacía en 1 hora.

–– Juntos → Tardan 36 h en llenarse. → Se llena en 1 hora.136

1y

1x

y = 5 → x = 7–7

y = –– (no vale)6

46 ± 7424

46 ± √5 47624

46 ± √2 116 + 3 36024

1 1 12––– + –– = –– → 35y + 35(y + 2) = 12y (y + 2) →y + 2 y 35

x = y + 21 1 12–– + –– = ––x y 35

1235

3512

1y

1x

3512

1112

5560

Pág. 23



6

→ 36y – 36y + 108 = y2 – 3y → 0 = y2 – 3y – 108

y = = =

Solución: El grifo tardará 9 horas en llenarla y el desagüe, 12 horas en vaciarla.

55 Resuelve este sistema:

☛ Halla la solución de las dos primeras ecuaciones y prueba si verifica la tercera.

Resolvemos el sistema formado por las dos primeras ecuaciones:

–– Veamos si esta solución verifica la tercera ecuación:

x + y = 4 → 3 + 1 = 4 → Sí la cumple.

Por tanto, la solución del sistema es: x = 3, y = 1

56 Resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

c) d)

x + z = 8–x + z = 2

y = 7 – xx + z = 87 – x + z = 9

x + y = 7x + z = 8y + z = 9

b)

x = –1y = 6z = 8

x = –1y = 5 – x = 5 – (–1) = 5 + 1 = 6z = –2x + y = 2 + 6 = 8

2x = –2x + y = 52x – y + z = 0

a)

x – y = z2x – z = 4x + y = 6 – z

x + 3y – z = 52y + z = 43z = 6

x + y = 7x + z = 8y + z = 9

2x = –2x + y = 52x – y + z = 0

5 – 2y = 2 + y → 3 = 3y → y = 1x = 3

x = 5 – 2yx = 2 + y

x + 2y = 5x – y = 2

x + 2y = 5x – y = 2x + y = 4

y = 12 → x = 9y = –9 (no vale)

3 ± 212

3 ± √4412

3 ± √9 + 4322

1 1 1––– – –– = –– → 36y – 36(y – 3) = y (y – 3) →y – 3 y 36

x = y – 31 1 1–– – –– = ––x y 36

Pág. 24



6

Sumando: 2z = 10 → z = 5

x = 8 – z = 8 – 5 = 3 → x = 3

y = 7 – x = 7 – 3 = 4 → y = 4

Solución: x = 3, y = 4, z = 5

x = = 3; y = 4 – x = 4 – 3 = 1; z = x – y = 3 – 1 = 2

Solución: x = 3, y = 1, z = 2

57 La suma de tres números es 16, la diferencia entre los dos mayores, 4, y el pro-ducto de los dos más pequeños es 10. Calcula dichos números.

Llamamos a los números (ordenados de mayor a menor) x, y, z. Tenemos que:

0 = 2y2 – 12y + 10 → 0 = y2 – 6y + 5

y = = =

Hay dos soluciones: 9, 5, 2

5, 1, 10

y = 5 → x = 9, z = 2y = 1 → x = 5, z = 10

6 ± 42

6 ± √162

6 ± √36 – 202

4 + y + y + z = 16 → 2y + z = 12 → z = 12 – 2yx = 4 + yy · z = 10 → y · (12 – 2y) = 10 → 12y – 2y2 = 10

x + y + z = 16x – y = 4y · z = 10

62

x + y = 42x = 6

2x – x + y = 4x + y = 6 – x + y

2x – (x – y) = 4x + y = 6 – (x – y)

x – y = z2x – z = 4x + y = 6 – z

d)

x = 4

y = 1

z = 2

6z = –– = 2

34 – z 4 – 2

y = ––– = ––– = 12 2

x = 5 – 3y + z = 5 – 3 + 2 = 4

x + 3y – z = 5

2y + z = 4

3z = 6

c)

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1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD · b) Los cuadrados de los números del 1 al 12. c) Los cubos de los números del 1 al 5. d) Las potencias de base 2 hasta 210. 1 900 355