1 Teorico Resortes Cilindricos Helicoidales

Resortes Cilíndricos Helicoidales -- Pág. 1 de 12

RESORTES CILÍNDRICOS HELICOIDALES

(TEÓRICO)

Prof. Ing. MAYER, Omar E. -- [email protected]

NOVIEMBRE 2 008

Se agradece a Don SANTAROSA Juan Ignacio, padrón 87 740, ( [email protected] ), quien se ha servido escribir expresiones matemáticas varias en MathType, realizar correcciones idiomáticas varias y subindicar y supraindicar variables.

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DEFINICIÓN: Elementos de máquinas que poseen la propiedad de experimentar grandes deformaciones (tal vez por excelencia), dentro del período elástico, por la acción de las cargas que los solicitan, construidos con materiales de alta elasticidad (típicamente acero).

El resorte helicoidal de compresión, como parte de los automotores, sustenta las carrocería y carga de los mismos transmitiendo la carga total a los ejes (puntas de eje) y / o árboles (palieres) de ruedas.

El resorte helicoidal de compresión es utilizado también en los motores alternativos de combustión interna y en los compresores alternativos de gases, como elemento asegurador del cierre de las válvulas de admisión y escape.

RESORTES HELICOIDALES CILÍNDRICOS DE TRACCIÓN - COMPRESIÓN

Construidos (ver FIGURA 01 adjunta) por un alambre arrollado en forma de hélice cilíndrica o cónica, poseen sus extremos con una configuración ‘ad – hoc’, a efectos la aplicación de la carga axial (tracción o compresión) se realice en correspondencia con el eje de simetría de los cilindros o conos que sustentan las hélices que conforman las distintas ‘fibras’ del alambre.

Muy por el contrario de lo que se pueda sospechar y como ya se verá , el alambre, ante la acción de una carga axial para el resorte, es sometido fundamentalmente a torsión.

Las características definitorias de un resorte ‘helicoidal cilíndrico’, el que se somete al presente estudio, son:

a) d = Diámetro del alambre si el mismo es de sección circular (puede no ser así).

r = Radio del alambre si el mismo es de sección circular (puede no ser así).

b) D = Diámetro de la espira o ‘vuelta’ del resorte (hélice ‘central’).

R = Radio de la espira o ‘vuelta’ del resorte (hélice ‘central’).

c) ta = Paso axial de la espira o ‘vuelta’ del resorte.

d) Lr = Longitud del resorte.

mailto:[email protected]


e) Material conque esta construido.(constante de elasticidad y límites de proporcionalidad y elástico).

Antes de tratar los resortes en sí, se recordará que una ‘línea’ helicoidal cilíndrica es una ‘línea’ desarrollable (‘volcable’ sobre un plano) y que una vez desarrollada, la ‘línea’ resulta en una recta.

El esquema izquierdo de la FIGURA 02 adjunta, representa un plano rectangular (practíquese con una hoja de papel) de lados 2 * Nº * R (desarrollo o perímetro de un cilindro de radio R) y ta y con un trazo diagonal.

Arrollado el plano (la hoja de papel) en forma de cilindro, como muestra el esquema derecho de la misma figura, resulta un cilindro de radio R y altura ta, con una línea helicoidal o hélice (formada por la diagonal de la hoja) de radio R y de paso ‘ axial’ t a. El ángulo , a llamar ángulo de inclinación de la hélice, es también ángulo entre cualquier tangente a la hélice y cualquier plano transversal al cilindro que sustenta la hélice.

Así las cosas, el paso ta de una hélice cilíndrica resulta ser la distancia que existe entre dos puntos sucesivos de la misma, cuando dicha distancia es medida sobre la generatriz del cilindro que sustenta la hélice.

Pudiendo haberse trazado en el plano rectangular la diagonal ‘vista espejo’, resulta una hélice ‘vista espejo’ y consecuentemente de comprender la existencia de hélices ‘derechas’ y hélices ‘izquierdas’.

Dispuestos N planos (hojas) en forma de ‘escalera’, unidos uno a uno por los vértices (uno de los vértices superiores del plano inferior con el vértice inferior ‘opuesto’ del plano superior), todos ellos con un trazo diagonal consecuente y de la misma ‘dirección’; una vez arrollados los mismos de manera continua (uno tras otro), resultan N cilindros, uno arriba del otro, y una hélice continua de N vueltas o espiras, de paso axial constante y de valor ta.

En los resortes cilíndricos helicoidales, el alambre resulta ser de dimensiones ‘transversales’ bastante inferiores al diámetro del cilindro, por lo que en un principio y así se hará, ‘se confundirá’ el alambre con una ‘línea’ como la referenciada anteriormente.

Recordando que ambos extremos de los resortes se configuran de manera tal que la dirección de la carga (tracción o compresión) a la que se someten dichos resortes se corresponda con el eje de simetría del cilindro que sustenta la hélice, las FIGURAS 01 y 03 adjuntas representa un resorte de tracción.

Construidos estos elementos de máquinas, fundamentalmente con acero y recordando el comportamiento similar que presenta este material a la tracción como a la compresión, el análisis de un resorte de tracción resulta válido para uno de compresión, con independencia de los signos.

Estando descargado un resorte de tracción, no hay motivo alguno para que el mismo y ante dicho estado de carga, no posea sus espiras ‘pegadas’.


Teniendo presente las ‘escasas’ dimensiones de la sección transversal del alambre frente al diámetro del resorte, puede considerarse un ángulo de inclinación de la hélice pequeño, principalmente si el resorte está descargado; idéntica situación se considera para el resorte cargado y para el estudio que se expone, a efectos simplificar el mismo.

Para el resorte de compresión, por el contrario, el ángulo de inclinación de la hélice resulta del menor valor posible, cuando el resorte es cargado hasta su admisibilidad, sin por ello llegar a ‘pegar’ sus espiras.

Para analizar el estado de tensiones de las secciones transversales del alambre (en todas las secciones, el mismo estado de tensiones), fuera de los extremos del resorte (los extremos merecen un análisis propio a no considerar), secciónese el alambre por una de sus secciones transversales y equilíbrese la misma con esfuerzos normales y tangenciales y momentos (de flexión y de torsión) equivalentes a la acción del trozo (cargado) de resorte extraído.

Formando cualquier sección transversal del alambre con el eje de simetría del cilindro (dirección de la carga del resorte) el ángulo de inclinación de la hélice (ver FIGURA 03 adjunta), la carga F y descompuesta en F * cos( ) (de la dirección de los planos que contienen a las secciones) y

en F * sen( ) (de dirección normal a los planos que contienen a las secciones) trasladada a la sección en estudio, origina sobre la misma los siguientes esfuerzos:

Por el traslado de F * cos( ) :

Un Momento Torsor de valor

Un Esfuerzo de Corte Cizallante de valor

Por el traslado de F * sen ( ) :

Un Momento Flector de valor

Un Esfuerzo Normal de valor

Supuesto pequeño como se expuso, se supondrá:

Atendiendo a dicha simplificación, el estado de esfuerzos a que se encuentran sometidos todas las secciones transversales del alambre queda reducido a:

COMO OPORTUNAMENTE SE EXPUSO, EN UN RESORTE DE TRACCIÓN – COMPRESIÓN, EL ALAMBRE SE ENCUENTRA SOMETIDO A TORSIÓN.


Considerando distribución parabólica de tensiones tangenciales cizallantes (esfuerzo Q), distribución lineal de tensiones tangenciales de torsión (esfuerzo Mt) y alambre de sección circular y siendo d el diámetro de la sección, Wp su módulo resistente polar, la tensión tangencial máxima que se produce en el mismo resulta de:

Tensión tangencialSiendo tmx = máxima debida

a la torsión

cmxTensión tangencialmáxima debida al

esfuerzo cizallante Q ;;;; resulta

La expresión utilizada tmx = Mt / Wp se fundamenta en el mismo ángulo de distorsión para todas las generatrices de la espira y resultando que dicha igualdad se presenta cuando los cuerpos que se estudian (a la torsión) resultan de generatrices cilíndricas, dicha situación no se da en el resorte, el cual resulta en un cuerpo ‘helicoidalmente toroidal’ (alambre de sección circular).

Ante la hipótesis de que durante la torsión del alambre, las secciones transversales del mismo se mantienen planas y los radios rectilíneos, el ángulo de torsión resulta el mismo para todos los puntos de la sección, NO ASÍ los ángulos de distorsión, en función de que la ‘generatriz’ interior del ‘toroide’ se distorsiona mas que la exterior (ver FIGURA 04 adjunta) por ser de menor longitud la interior que la exterior.

De aquí entonces, resulta una tensión tangencial de torsión mayor en el interior de la espira que en el exterior de la misma (ver FIGURA 05 adjunta), correspondiendo aplicar un coeficiente concentrador de tensiones, mas teniendo en cuenta que los resortes trabajan las mas de las veces bajo cargas (solicitaciones) variables.

El coeficiente C, llamado de Wahl, teniendo en cuenta dicha concentración de tensiones tangenciales de torsión y la relación [ 1 + (2 / 3) * (r / R) ], es graficado (ver FIGURA 06 adjunta) en función de la relación ( R / r ) y proporciona el cálculo de mx a través de:


La relación (R / r) se denomina índice del resorte y varía normalmente entre 3 y 10, variación dentro de la cual se verificaría el coeficiente de Wahl. Los valores de C se encuentran tablados en los manuales de resortes y decrecen con el aumento del valor del índice.

ALARGAMIENTO DE UN RESORTE HELICOIDAL DE TRACCIÓN

Soportando una cierta carga F, un resorte de tracción sufrirá un cierto alargamiento en su dirección axial llamado también flecha, deducible de manera simplificada considerando lo siguiente:

Siendo que el alambre se encuentra sometido a torsión, dos secciones transversales del mismo alejadas entre sí una magnitud diferencial de longitud dL experimentan una rotación diferencial relativa d , dada por:

donde Jp = Momento areolar polar de segundo orden de la sección del alambre.

G = Módulo de elasticidad transversal del material con que está construido dicho alambre.

Vista la sección transversal del alambre en estudio, como así también una opuesta diametralmente, a través de una sección longitudinal del resorte como muestra la FIGURA 07 adjunta, ambas secciones y debido a la torsión, ‘desplazan’ el extremo libre B del resorte haciéndolo la sección ‘izquierda’ a la posición Bi y la ‘derecha’ a la posición Bd

Pudiendo ser descompuesto cada desplazamiento en un desplazamiento transversal al eje de simetría del resorte y en uno longitudinal, los desplazamientos transversales se anulan mutuamente (la rotación de cada sección del alambre produce un desplazamiento transversal que es anulado por la ‘misma’ rotación de la sección diametralmente opuesta (mejor aun, de la sección infinitesimalmente vecina por detrás)) no ‘distorsionando’ el resorte.

-------Siendo entonces B B´ = diferencial de alargamiento (diferencial de flecha)producida por la rotación d entre las secciones de un elemento diferencial de longitud dL del alambre, el alargamiento (flecha) total del resorte resulta

-------de integrar B B´ = df a toda la longitud del alambre que constituye el

resorte.

Siendo


resulta

Siendo

Siendo

con N = Número de vueltas o espiras ;;;;; resulta

Si con k se identifica la constante elástica del resorte, la misma resulta en:

Del análisis de las distintas expresiones para la constante elástica k, o de f = f(F), surge que:

a) A mayor G, resortes más rígidos, esto es, menos deformables ante una misma carga

b) A mayor r (d), resortes más rígidos, esto es, menos deformables ante una misma carga

c) A mayor R (D), resortes menos rígidos, esto es, más deformables ante una misma carga


RESORTES DE TORSIÓN

Estando arrollado el alambre en forma de espiral plana, el mismo en estos tipos de resorte trabaja sometido a solicitaciones normales y los resortes son utilizados por ejemplo, en relojes mecánicos y en numerosos juguetes a ‘cuerda’, constituyendo justamente dicho elemento.






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