10 Distribucion Probabilistica

8/18/2019 10 Distribucion Probabilistica

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Distribución Probabilística

Ing. Jose Antonio Espinosa Atoche, MGTI

[email protected]

999 242 4570

mailto:[email protected]:[email protected]


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Variable Aleatoria

• Toda distribución de probabilidad es

generada por una variable (porque puede

tomar diferentes valores) aleatoria x (porqueel valor tomado es totalmente al azar), y

puede ser de dos tipos:

–

Discreta (Enteros y delimitados) – Continua (Generalmente fraccionarios con

posibilidad infinita dentro de un rango)


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Variable Discreta

• Las probabilidades asociadas a cada uno de

los valores que toma x deben ser mayores o

iguales 0 y menores o iguales a 1

0 ≤ ≤ 1• La sumatoria de las probabilidades asociadas a

cada uno de los valores que toma x debe ser

igual a 1

= 1


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Ejemplo

• Tenemos una moneda que al lanzarla puede dar sólo

dos resultados: o cara (50%), o cruz (50%).

La siguiente tabla nos muestra los posibles

resultados de lanzar dos veces una moneda:

1er Lanzamiento 2º Lanzamiento Número de Caras

en 2 lanzamientos

Probabilidad de los

4 resultados

posibles

Cara Cara 2 .5 x .5 = .25

Cara Cruz 1 .5 x .5 = .25

Cruz Cara 1 .5 x .5 = .25

Cruz Cruz 0 .5 x .5 = .25


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…Ejemplo

• Al realizar la tabla de distribución del número posible

de caras que se obtiene al lanzar una moneda dos

veces, obtenemos:

Número de Caras Lanzamientos Probabilidad de

este resultado

P(cara)

0 (Cruz, Cruz) 0.25

1

(Cruz, Cara)

+(Cara, Cruz)

0.50

2 (Cara, Cara) 0.25


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Variable Continua

• Puede tomar tanto valores enteros como

fraccionarios y un número infinito de ellos

dentro de un mismo intervalo

– x es la Variable que nos define la concentración en

gramos de plata de algunas muestras de mineral

(14.8 gr, 12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0,20.8, …, n)


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Variable Continua

• Las probabilidades asociadas a cada uno de

los valores que toma x deben ser mayores o

iguales a 0

≥ 0• El área definida bajo la función de densidad de

probabilidad deberá ser de 1.

= 1


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Distribución de Probabilidad

Ejemplo• Dada la experiencia aleatoria de anotar las

puntuaciones obtenidas al lanzar un dado,

calcular: – La función de probabilidad y su representación

– La función de distribución y su representación

– La esperanza matemática, la varianza y ladesviación típica.


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Distribución de Probabilidad•

Una distribución de probabilidad indica toda lagama de valores que pueden representarse como

resultado de un experimento si éste se llevase a

cabo

– Describe la probabilidad de que un evento se realice

en el futuro

– Constituye una herramienta fundamental para la

prospectiva, puesto que se puede diseñar unescenario de acontecimientos futuros considerando

las tendencias actuales de diversos fenómenos

naturales, por ejemplo.


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Distribución de probabilidad

x 1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

1 2 3 4 5 6

Distribución


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Función de Probabilidad

• Sea X una variable aleatoria discreta cuyos

valores suponemos ordenados de menor a

mayor. Llamaremos función de distribución

de la variable X, y escribiremos F(x) a lafunción:

= ≤ • La función de distribución asocia a cada valor

de la variable aleatoria la probabilidad

acumulada hasta ese valor.


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Función de probabilidad

Recuerda que se aplica probabilidad acumulada

x X < 1 0

1 ≤ x < 2 1/6

2 ≤ x < 3 2/6

3 ≤ x < 4 3/6

4 ≤ x < 5 4/6

5 ≤ x < 6 5/6

6 ≤ x 1


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Esperanza Matemática

o Valor Esperado

• El valor esperado de una Variable Aleatoria X es el

promedio ponderado de todos los valores posibles

de la misma. Donde los pesos son las

probabilidades asociadas con los valores.

• Para calcular el valor esperado de una variable

aleatoria por su correspondiente probabilidad y

luego sumar los términos resultante.


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Esperanza Matemática

o Valor Esperado• La esperanza matemática o valor esperado de una

variable aleatoria tiene sus orígenes en los juegos de azar,

debido a que los apostadores deseaban saber cuál era su

esperanza de ganar repetidamente un juego, por lo tanto,

el valor esperado representa la cantidad de dinero

promedio que el jugador está dispuesto a ganar o perder

después de un número grande de apuestas.

= =


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Varianza

• Es un promedio ponderado de las de las

desviaciones al cuadrado

2 = = 2 = 2 2


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Desviación estándar o típica

• Es una medida de dispersión para variables de

razón y de intervalo

= = =

2

2


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Resolviendo el ejercicio

� � 1 1/6 1/6 1/6

2 1/6 2/6 4/6

3 1/6 3/6 9/6

4 1/6 4/6 16/6

5 1/6 5/6 25/6

6 1/6 6/6 36/6

21/6 91/6

= � = 3.5

2 = 2 2 = 916 3.5 2 = 2.9167

= 2 2 = 2.9167 = 1.7078


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Ejercicio

• Se lanza un par de dados. Se define la variable

aleatoria X como la suma de las puntuaciones

obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la

esperanza matemática y la varianza


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� 2 � 2 1/36 2/36 4/36

3 2/36 6/36 18/36

4 3/36 12/36 48/36

5 4/36 20/36 100/36

6 5/36 30/36 180/36

7 6/36 42/36 294/36

8 5/36 40/36 320/36

9 4/36 36/36 324/3610 3/36 30/36 300/36

11 2/36 22/36 242/36

12 1/36 12/36 144/36

252/36 1974/36

= � = 25236

= 7

2 = 2 2 = 197436

7 2 = 5.83

= ∑ 2 2 = 5.83 =2.415


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Ejercicio

• Un jugador lanza un dado corriente. Si sale

número primo, gana tantos cientos de pesos

como marca el dado, pero si no sale número

primo, pierde tantos cientos de pesos comomarca el dado. Determinar la función de

probabilidad y la esperanza matemática del

juego


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� +100 1/6 100/6

+200 1/6 200/6

+300 1/6 300/6

-400 1/6 -400/6

+500 1/6 500/6

-600 1/6 -600/6

100/6

=

∑ � =

100

6 =16.667


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Ejercicio

• Si una persona compra un boleto en una rifa,

en la que puede ganar un primer premio de

$5,000 o un segundo premio de $2,000 con

probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál seríael precio justo a pagar por el boleto?


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� $5,000 0.001 $5

$2,000 0.003 $6

$11

= � = $11


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Ejercicio

• Sea X una variable aleatoria discreta cuya

función de probabilidad es:

– Calcular la función de distribución

– Calcular las siguientes probabilidades:

• < 4.5• ≥ 3• 3 ≤ < 4.5

0 0.11 0.2

2 0.1

3 0.4

4 0.1

5 0.1


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0 0.1

1 0.2

2 0.13 0.4

4 0.1

5 0.1

x < 0 0

0 ≤ x < 1 0.1

1 ≤ x < 2 0.32 ≤ x < 3 0.4

3 ≤ x < 4 0.8

4 ≤ x < 5 0.9

5 ≤ x 1


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< 4.5 < 4.5 = 4.5 = 0.9

≥ 3

≥ 3 = 1 < 3 = 1 0.4 = 0.6

3 ≤ < 4.5 3 ≤ < 4.5 = < 4.5 < 3 = 0.9 0.4 = 0.5


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Distribución Binomial

o de Bernoulli

• Caso particular de probabilidad de variable

aleatoria discreta

– Sólo son posibles dos resultados

• Suceso A (éxito)

• Suceso B (fracaso)

– Al repetir el experimento, el resultado es

independiente de los resultados obtenidosanteriormente.

– La probabilidad de A es constante

– En cada experimento se realizan n pruebas idénticas


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Fórmula• Si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito

p y de fracaso q, la distribución de probabilidad que la

modela es la distribución de probabilidad binomial y su

regla de correspondencia es:

= = !

! ! � � − – Probabilidad de ocurrencia del evento – probabilidad de éxito del evento (en un intento) – probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se definecomo = 1 ) – ocurrencia del evento o éxitos deseados – número de intentos


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Ejemplo

• ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente

2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces?

– Probabilidad de ocurrencia del evento – = 0.5 – = 1 0.5 = 0.5 – = 2 –

= 6

= =6!

2! 6 2 ! � 0.52 � 0.56−2 = 0.234375


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Tabla Binomialn x 0.01 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.33 0.35 0.40 0.45 0.49 0.50


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Ejercicio 1

• La última novela de un autor ha tenido un

gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los

lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos

son aficionados a la lectura:a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo

hayan leído la novela 2 personas?

b) ¿Y cómo máximo 2?


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a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo

hayan leído la novela 2 personas?

n = 4 x = 2 p= 0.8 q = 0.2

P(x=2) = 0.1536

b) ¿Y cómo máximo 2?

P(x≤2) = P(x=4) + P(x=3) + P(x=2)= 0.0016 + 0.0256 + 0.1536

P(x≤2) = 0.1808


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Ejercicio 2

• Un agente de seguros vende pólizas a cinco

personas de la misma edad y que disfrutan de

buena salud. Según las tablas actuales, la

probabilidad de que una persona en estascondiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la

probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

– Las 5 personas – Al menos tres personas

– Exactamente dos personas


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Ejercicio 3

•

Se dice que el 75% de los accidentes de una plantase atribuyen a errores humanos. Si en un período

de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes,

determine la probabilidad de que;

a) dos de los accidentes se atribuyan a errores

humanos

b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya aerrores de tipo humano

c) Tres de los accidentes no se atribuyan a errores

humanos


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• Dos de los accidentes se atribuyan

n = 5 x = 3 p= 75% q = 25%

P(x=3) = 0.0879

•

Como máximo uno de los accidentes se atribuyaP(x≥4) = P(x=4) + P(x=5)

= 0.0146 + 0.0010 = 0.0146

P(x≥4) = 0.0156• Tres de los accidentes no se atribuyan

P(x=3) = 0.0879


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Distribución de Poisson

•

Caso particular de probabilidad de variablealeatoria discreta

• Siméon Denis Poisson (1781 – 1840) francés

•Cantidades de ocurrencia de un evento a lo largode un intervalo de tiempo o espacio especificado

– # de defectos de una tela por m2

–

# de aviones que aterrizan en el aeropuerto por día – # de bacterias por cm2 de cultivo

– # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora

– # de llegadas de embarcaciones a un puerto por mes


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Fórmula

, =

� −

! – , = Probabilidad de ocurrencia del evento x , cuando el

número promedio de ocurrencia de ellos es λ

– λ = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o

producto

– e = 2.718281828 base de logaritmo neperiano o natural

– = variable que nos denota el número de éxitos que se deseaque ocurra


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Ejemplo

• Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin

fondo por día, ¿Cuáles son las probabilidades

de que reciba,

a) Cuatro cheques sin fondo en un día dado?

P(4, 6) = 0.1339

b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días

consecutivos?P(10,12) = 0.1048


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Tabla


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Tabla


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Ejercicio 1

• En la inspección de hojalata producida por un

proceso electrolítico continuo, se identifican

0.2 imperfecciones en promedio por minuto.

Determine las probabilidades de identificar

a) una imperfección en 3 minutos

b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos

c) cuando mucho una imperfección en 15

minutos


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a) una imperfección en 3 minutos

P(1, 0.6) = 0.3293

b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos

1 - P(0, 1) - P(1, 1) = 1 – 0.3679 – 0.3679 = 0.2642

c) cuando mucho una imperfección en 15

minutosP(0, 3) - P(1, 3) = 0.0498 + 0.1494 = 0.1992


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Ejercicio 2

• Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos

de Contabilidad son muy inteligentes.

• Calcular la probabilidad de que si tomamos

100 alumnos al azar, 5 de ellos sean muy

inteligentes

P(3,5) = 0.1008

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