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Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Alineamiento Horizontal
Figura No. 7.2 Curva Circular Compuesta Simétrica
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Fuerza de Fricción – Caso 3 Wp<Fp
Deslizarse al exteriorVehículos Livianos
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Fuerza de Fricción – Caso 4 Wp>Fp
Deslizarse al interiorVehículos Pesados
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
La espiral de Euler o Clotoide
∞=
2Vac
cc R
Va
2
=
LeRcA *2 =
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Parámetro de la Espiral ec LRA *=
Angulo central de la curva circular: ec 2−∆=∆
Elementos de la curva
Angulo de deflexión de la Espiral
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Angulo de deflexión de la Espiral
Elementos de la curvadRdL *=
R
dLd =
∫∫ =Le
R
dLd
e
00
∫∫ =Le
R
dLd
e
00
Le
ARc
2
=
∫=Le
e
Le
A
dL
02
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Angulo de deflexión de la Espiral
Elementos de la curva∫=Le
e dLLeA 0
2*
1
2*
1 2
2
Le
Ae =
2
2
2A
Lee =
2
2
2A
Lee =
LeRcA *2 =
LeRc
Lee **2
2
=Rc
Lee *2
=
=
c
ee R
L
90
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Coordenadas Cartesianas del EC (X, Y)
Elementos de la curva
dLdX *cos=
dLsenodY *=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Coordenadas Cartesianas del EC (X, Y)
Elementos de la curva
dLdX *cos=
∫∫ =LeX
dLdX00
*cos
............!8!6!4!2
1cos8642 +−+−=
∫∫ =LeX
dLdX00
*cos
∫∫
−+−=
LeX
dLdX0
642
0
*!6!4!2
1
∫∫∫∫ −+−=LeLeLeLe
dLdLdLdLX0
6
0
4
0
2
0
*!6
1*
!4
1*
!2
1 2
2
2A
Lee =
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Coordenadas Cartesianas del EC (X, Y)
Elementos de la curva
∫∫∫∫
−
+
−=
LeLeLeLe
dLA
LedL
A
LedL
A
LedLX
0
6
2
2
0
4
2
2
0
2
2
2
0
*2!6
1*
2!4
1*
2!2
1
( ) ( ) ( ) ∫∫∫ −+−=LeLeLe
dLLeA
dLLeA
dLLeA
LeX0
1262
0
842
0
422
*2!*6
1*
2!*4
1*
2!*2
1
( ) ( ) ( ) ∫∫∫ −+−=LeLeLe
dLLeA
dLLeA
dLLeA
LeX0
1262
0
842
0
422
*2!*6
1*
2!*4
1*
2!*2
1
( ) ( ) ( ) 13*
2!*6
1
9*
2!*4
1
5*
2!*2
1 13
62
9
42
5
22
Le
A
Le
A
Le
ALeX −+−=
( ) ( ) ( )
−+−=
13*2*7209*2*245*2*21
62
12
42
8
22
4
A
Le
A
Le
A
LeLeX
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Coordenadas Cartesianas del EC (X, Y)
Elementos de la curva
( ) ( ) ( )
−+−=
62
12
42
8
22
4
2*93602*2162*101
A
Le
A
Le
A
LeLeX
2
2
2A
Lee =
2
2
2A
Lee =
−+−=
9360216101
642eeeLeX
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Coordenadas Cartesianas del EC (X, Y)
Elementos de la curva
∫∫ =LeY
dLsenodY00
*
............9!7!5!3
9753 +−+−=seno
dLsenodY *=
∫∫ =LeY
dLsenodY00
*
∫∫
−+−=
LeY
dLdY0
753
0
*!7!5!3
∫∫∫∫ −+−=LeLeLeLe
dLdLdLdLY0
7
0
5
0
3
0
*!7
1*
!5
1*
!3
1 2
2
2A
Lee =
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Coordenadas Cartesianas del EC (X, Y)
Elementos de la curva
∫∫∫∫
−
+
−
=
LeLeLeLe
dLA
LedL
A
LedL
A
LedL
A
LeY
0
7
2
2
0
5
2
2
0
3
2
2
02
2
*2!7
1*
2!5
1*
2!3
1
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ −+−=LeLeLeLe
dLLeA
dLLeA
dLLeA
dLLeA
Y0
7272
0
5252
0
3232
0
22
*2!*7
1*
2!*5
1*
2!*3
1*
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ −+−=LeLeLeLe
dLLeA
dLLeA
dLLeA
dLLeA
Y0
7272
0
5252
0
3232
0
22
*2!*7
1*
2!*5
1*
2!*3
1*
2
1
( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫ −+−=LeLeLeLe
dLLeA
dLLeA
dLLeA
dLLeA
Y0
1472
0
1052
0
632
0
22
*2!*7
1*
2!*5
1*
2!*3
1*
2
1
( ) ( ) ( ) 15*
2!*7
1
11*
2!*5
1
7*
2!*3
1
3*
2
1 15
72
11
52
7
32
3
2
Le
A
Le
A
Le
A
Le
AY −+−=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Coordenadas Cartesianas del EC (X, Y)
Elementos de la curva
( ) ( ) ( ) ( )
−+−=
72
14
52
10
32
6
2
2
2*756002*13202*4223 A
Le
A
Le
A
Le
A
LeLeY
2
2
2A
Lee =
2
2
2A
Lee =
−+−=
756001320423
753 LeY
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Disloque (P), Coordenada Y
Coordenadas cartesianas PC desplazado
Elementos de la curva
k Coordenada X
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Disloque (P), Coordenada Y
Coordenadas cartesianas PC desplazado
Elementos de la curva
mnYp −=
mORcmn −=
Rc
mOe =cos
Rc
mOe =cos
eRcmO cos*=
eRcRcmn cos*−=
( )eRcmn cos1−=( )eRcYp cos1−−=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Coordenadas cartesianas PC desplazado
Elementos de la curva
k Coordenada XmECXk −=
Rc
mECeseno =
esenoRcmEC *=
esenoRcXk *−=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Tangente espiralElementos de la curva
PIhkTe −+=
pRc
PIhD
+−=
2tan
( )2
tanD
pRckTe ++= ( )2
tanD
pRckTe ++=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Externa EspiralElementos de la curva
RcPIOEe −−=
PIO
pRcDCos
−+=
2
RcDpRc
Ee −+=
2cos
RcDpRc
Ee −+=
2cos
( ) RcD
pRcEe −
+=
2cos
1
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Tangentes Larga de la espiral
Elementos de la curvafPIeXTl −−=
fPIe
Ye
−=tan
e
YcXcTl
tan−=
e
YcXcTl
tan−=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Tangentes Corta de la espiral
Elementos de la curva
Tc
YceSeno =
eSeno
YcTc
=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular con transiciones
Elementos de la curva
kXo =
eRcSenoXcXo −=
RcpYo +=
( ) RceRcYcYo +−−= cos1
( )eRcYcYo cos+=
( ) RceRcRcYcYo ++−= cos
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Cuerda Larga de la espiral
Elementos de la curva
22 YcXcCle +=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Elementos de la curvaDeflexión del EC o ángulo de la cuerda larga
X
Yc =tan
X
Yc
1tan−=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Abscisas de los Puntos
eTPIAbsTEAbs −= __
eLTEAbsECAbs += __ eLTEAbsECAbs += __
CLECAbsCEAbs += __
eLCEAbsETAbs += __
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Longitud Mínima de la Espiral
Criterio 1: de variación de la aceleración centrífuga
( )
−≥ e
R
V
J
VL
CCHCH
e *27.1*656.46
2( )
−≥ e
R
V
J
VL
CCHCH
e *27.1*656.46
2
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Longitud Mínima de la EspiralCriterio II: de Transición del Peralte
a: distancia del eje de giro al borde de la calzada en metros
e: peralte de la curva en (%)
: inclinación de rampa de peraltes (%)
s
aeLe ∆
≥*
s∆
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Longitud Mínima de la Espiral
Ce RL *6≥
Criterio III.1. Se asume el disloque mínimo de veinticincocentímetros (0.25 m).
RcLe *10472.0≥
Ce RL *6≥
- Criterio III.2. Ángulo de giro de la espiral mínimo de tresgrados (3°)
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Longitud mínima de la Curva Central
Distancia que puede recorrer un móvil ala velocidad de diseño en 2 segundos
)(tVDist d= )(tVDist d=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
ESTACION NORTE ESTEBOP 233.602 299.254PI 1 500.000 500.000EOP 490.100 653.735
Veocidad Esp 60 Km/hArco Unitario 10.000Long. Espiral parametros
RADIO 150ABSCISA PI 1 K1+200
Ejercicio Práctico
Carretera Secundaria
Terreno OnduladoESTACION NORTE ESTE
BOP 233.602 299.254PI 1 500.000 500.000EOP 490.100 653.735
Veocidad Esp 60 Km/hArco Unitario 10.000Long. Espiral parametros
RADIO 150ABSCISA PI 1 K1+200
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Longitud Mínima de la Espiral
Criterio 1: de variación de la aceleración centrífuga
( )
−≥ e
VVL CHCH
e *27.11507.0*656.46
2
( )
−≥ e
VVL CHCH
e *27.11507.0*656.46
2
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Longitud Mínima de la Espiral
Criterio 1: de variación de la aceleración centrífuga
( ) 359.26*1271407.0*656.46
2=
−≥ e
VVL CHCHe ( ) 359.26*127
1407.0*656.46
2=
−≥ e
VVL CHCHe
Alineamiento Horizontal – Curva EspiralLongitud Mínima de la Espiral
Criterio II: de Transición del Peraltea: distancia del eje de giro al borde de la calzada en metros
e: peralte de la curva en (%)
: inclinación de rampa de peraltes (%)s
aeLe ∆
≥*
s∆
233.466.0
65.3*6.7=≥eL 233.46
6.0
65.3*6.7=≥eL
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Longitud Mínima de la Espiral
RceL *6≥
Criterio III.1. Se asume el disloque mínimo de veinticincocentímetros (0.25 m).
30*6 150 =≥eL708.15*10472.0 =≥ RcLe
RceL *6≥- Criterio III.2. Ángulo de giro de la espiral mínimo de tresgrados (3°)
30*6 150 =≥eL
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Ejercicio Práctico – Elementos Geométricos
K 94.868Oe 11.4591559 11 27 32 0.2000Δc 33.76615267 33 45 58Xc 59.760Yc 3.989p 0.999k 29.960Te 111.408Te 111.408Ee 21.564Tl 40.084Tc 20.077Xo 29.960Yo 150.999Cle 59.893φc 3.818423929 3 49 6Gc 3.820426343 3 49 13Lc 88.383
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Ejercicio Práctico – Calculo de Abscisas
TE 1088.592
EC 1148.592
CE 1236.975
ET 1296.975
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Ejercicio Práctico – Calculo de Coordenadas
PI-TE 217.0000971 217 217 0 0
TE-EC 40.81852107 41 40 49 6
EC-O 138.459253 138 138 27 33
PI-ET 93.68456162 94 93 41 4
ET-PI 273.6845616 274 273 41 4ET-PI 273.6845616 274 273 41 4
TE 411.026 N432.953 E
EC 456.352 N472.103 E
O 344.079 N571.576 E
ET 492.841 N611.178 E
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Localización
1. Deflexiones
2. Coordenadas Cartesianas
3. Coordenadas Planas
En Oficina
1. Deflexiones
2. Coordenadas Cartesianas
3. Coordenadas Planas
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
PI
1. Por DeflexionesEspiral de Entrada, desde el TE al EC
TE
EC
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
1. Por DeflexionesEspiral de Entrada, desde el TE al EC
TEAbsPuntoAbsL __ −=
eeL
L *2
= e
eL
L *2
=
X
Yc
1tan−=
22 YcXcCle +=
Calculo de deflexiones- Espiral de Entrada
PUNTO ABSCISA L θ Xp Yp φp Clp
TE 1088.592
D 1090.000 1.408 0 0 22 1.408 0.000 0 0 7 1.408
D 1100.000 11.408 0 24 51 11.408 0.027 0 8 17 11.408
D 1110.000 21.408 1 27 31 21.407 0.182 0 29 10 21.407D 1110.000 21.408 1 27 31 21.407 0.182 0 29 10 21.407
D 1120.000 31.408 3 8 24 31.399 0.574 1 2 47 31.404
D 1130.000 41.408 5 27 28 41.370 1.314 1 49 8 41.391
D 1140.000 51.408 8 24 44 51.297 2.512 2 48 12 51.359
EC 1148.592 60.000 11 27 32 59.760 3.989 3 49 6 59.893
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
PI
2. Coordenadas CartesianasEspiral de Entrada, desde el TE al EC
TE
EC
Y
X
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
2. Coordenadas CartesianasEspiral de Entrada, desde el TE al EC
TEAbsPuntoAbsL __ −=
eeL
L *2
=
+−+−= ....
9360216101*
642 LX
+−+−= ...
756001320423*
753 LY
X
Yarctan=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
N - EPI
Az PI-TE
Te
3. Coordenadas PlanasEspiral de Entrada, desde el TE al EC
TE
EC
N - E
Az PI-TE
Te
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
PI
3. Coordenadas PlanasEspiral de Entrada, desde el TE al EC
TE
EC
N - E
Az TE –pto
C pto
N - E
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
3. Coordenadas PlanasEspiral de Entrada, desde el TE al EC
TEPIePITE AZTNN −−= cos*
TEPIePITE senAZTEE −−= * TEPIePITE senAZTEE −−= *
PTOPITEPTOTE AZAZ += −−
22 YXCPTO += PTOTEPTOTEPTO AZCNN −+= cos*
PTOTEPTOTEPTO senAZCEE −+= *
Ejercicio Práctico – Localización por coordenadas
Espiral de Entrada
PUNTO ABSCISA L θ Xp Yp φp Clp Azimut N E
TE 1088.592 411.026 432.953
D 1090.000 1.408 0 0 22 1.408 0.000 0 0 7 1.408 37.0022007 412.150 433.800
D 1100.000 11.408 0 24 51 11.408 0.027 0 8 17 11.408 37.1381831 420.120 439.840D 1100.000 11.408 0 24 51 11.408 0.027 0 8 17 11.408 37.1381831 420.120 439.840
D 1110.000 21.408 1 27 31 21.407 0.182 0 29 10 21.407 37.4863696 428.012 445.981
D 1120.000 31.408 3 8 24 31.399 0.574 1 2 47 31.404 38.0467413 435.756 452.307
D 1130.000 41.408 5 27 28 41.370 1.314 1 49 8 41.391 38.8192304 443.275 458.900
D 1140.000 51.408 8 24 44 51.297 2.512 2 48 12 51.359 39.8036671 450.482 465.831
EC 1148.592 60.000 11 27 32 59.760 3.989 3 49 6 59.893 40.8185211 456.352 472.103
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
PI
4. Por DeflexionesCurva Circular, desde el EC al CE
PIC
TE
EC CEPIE PIE
PIC
TLTC
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
s
Gd s
*2=
2s
s
Gd =
Deflexión por metro:
Deflexión por cuerda unidad:
dsubcuerdalongdEC *.=
dsubcuerdalongdCE *.=
Deflexión adyacente al EC:
Deflexión adyacente al CE:
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Ejercicio Práctico – Calculo de deflexiones
Dm 0 11 27D Cu 1 54 36∆/2 16 52 59
EST ABSCISA DIST δ δacEC 1148.592 0 0 0 0 0 0 0D 1150.000 1.41 0 16 8 0 16 8D 1160.000 10.00 1 54 36 2 10 45D 1160.000 10.00 1 54 36 2 10 45D 1170.000 10.00 1 54 36 4 5 21D 1180.000 10.00 1 54 36 5 59 58D 1190.000 10.00 1 54 36 7 54 35D 1200.000 10.00 1 54 36 9 49 12D 1210.000 10.00 1 54 36 11 43 48D 1220.000 10.00 1 54 36 13 38 25D 1230.000 10.00 1 54 36 15 33 2
CE 1236.975 6.98 1 19 56 16 52 59
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
PI
5. Por Coordenadas Planas
Curva Circular, desde el EC al CE
PIC
TE
EC CEPIE PIE
PIC
TL
TC
N y E
AZ de Entrada
TL
N y E
AZ de Entrada + Oe
TC
N y E
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
PI
5. Por Coordenadas Planas
Curva Circular, desde el EC al CE
PIC
AZ O – EC + 2 Def del EC
Rc
N y E
TE
EC CEPIE PIE
PIC
AZ PIE + 90
Rc
ON y E
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Ejercicio Práctico – Localización por coordenadas
Curva Circular
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Ejercicio Práctico – Localización por coordenadas
Curva Circular
Dm 0 11 27D Cu 1 54 36∆/2 16 52 59
EST ABSCISA DIST δ δac azimut N EEC 1148.592 0 0 0 0 0 0 0 318.459253 456.352 472.103D 1150.000 1.41 0 16 8 0 16 8 318.9971783 457.281 473.162D 1150.000 1.41 0 16 8 0 16 8 318.9971783 457.281 473.162D 1160.000 10.00 1 54 36 2 10 45 322.8176046 463.587 480.923D 1170.000 10.00 1 54 36 4 5 21 326.6380309 469.361 489.087D 1180.000 10.00 1 54 36 5 59 58 330.4584573 474.579 497.618D 1190.000 10.00 1 54 36 7 54 35 334.2788836 479.217 506.477D 1200.000 10.00 1 54 36 9 49 12 338.09931 483.254 515.626D 1210.000 10.00 1 54 36 11 43 48 341.9197363 486.673 525.024D 1220.000 10.00 1 54 36 13 38 25 345.7401627 489.458 534.628D 1230.000 10.00 1 54 36 15 33 2 349.560589 491.596 544.397
CE 1236.975 6.98 1 19 56 16 52 59 352.2254057 492.701 551.285
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
PI
6. Por DeflexionesEspiral de Salida, desde el ET al CE
ET
CE
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
6. Por Deflexiones
PuntoAbsETAbsL __ −=
eeL
L *2
=
Espiral de Salida, desde el ET al CE
eeL
L *2
=
( ) ( ) 583 103.2101.3 −− +=Z
Z−=3
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
PuntoAbsETAbsL __ −=
eeL
L *2
=
7. Por Coordenadas CartesianasEspiral de Salida, desde el ET al CE
+−+−= ....
9360216101*
642 LX
+−+−= ...
756001320423*
753 LY
X
Yarctan=
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
PI
8. Por Coordenadas PlanasEspiral de Salida, desde el ET al CE
N - E
AZ Salida
Te
ET
CE
AZ Salida
Te
N - E
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
PI
8. Por Coordenadas PlanasEspiral de Salida, desde el ET al CE
ET
CE
N - E
AZ ET – Punto
C pto
N - E
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
ETPIePIET AZTNN −−= cos*
ETPIePIET senAZTEE −−= *
Espiral de Salida, desde el ET al CE8. Por Coordenadas Planas
ETPIePIET senAZTEE −−= *
PTOPIETPTOTE AZAZ += −−
22 YXCPTO += PTOETPTOETPTO AZCNN −+= cos*
PTOETPTOETPTO senAZCEE −+= *
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Ejercicio Práctico – Localización por coordenadas
Espiral de Salida
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Ejercicio Práctico – Localización por coordenadas
Espiral de Salida
PUNTOABSCIS
A L θ Xp Yp φp Clp Azimut N E
ET 1296.975 492.841 611.178
D 1290.000 6.975 0 9 17 6.975 0.006 0 3 5 6.975 273.632939 493.283 604.217
D 1280.000 16.975 0 55 2 16.975 0.091 0 18 20 16.975 273.378818 493.841 594.232
D 1270.000 26.975 2 18 58 26.971 0.363 0 46 19 26.973 272.912501 494.211 584.239
D 1260.000 36.975 4 21 6 36.954 0.936 1 27 1 36.966 272.234026 494.282 574.240
D 1250.000 46.975 7 1 26 46.905 1.918 2 20 27 46.944 271.343512 493.941 564.247
D 1240.000 56.975 10 19 58 56.790 3.417 3 26 36 56.893 270.241216 493.080 554.285
CE 1236.975 60.000 11 27 32 59.760 3.989 3 49 6 59.893 269.866138 492.701 551.285
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
Localización
1. Deflexiones
2. Coordenadas Planas
En Campo
1. Deflexiones
2. Coordenadas Planas
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
PI
10. Localización PreliminarCon base en las Coordenadas se localizan los puntos principales
CAZ Entrada
Te
AZ Salida
Te
TE ET
EOP BOP
CAZ Entrada
Te
AZ Salida
Te
Alineamiento Horizontal – Curva Espiral
14. Deflexiones EC
CEAbspuntoAbsLCE __ −=
ee
CECE L
L *
2
=
CE
CECE X
Yarctan=
+−+−= ....
9360216101*
642CECECE
CECE LX
+−+−= ...
756001320423*
753CECECECE
CECE LY
CE
CECE X
Yarctan=
CECE −=