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matematicas
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SISTEMAS DE
Refrigeración
ACONDICIONADO
CONTENIDO
Introducción 3
1. Definiciones y descripciones 3
2. Los números enteros 3
3. Introducción a los símbolos 7
4. Signos de operación 7
5. Signos de los números 11
6. Suma de números enteros 12
7. Comprobación de la suma 15
8. Resta o sustracción de números enteros 16
9. Comprobación de la resta 18
10. Multiplicación de números enteros 19
11. Comprobación de la multiplicación 22
12. División de números enteros 23
13. Comprobación de la división 26
14. Resumen 26
15. Examen.. ...27
Las operaciones fundamentales
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Contenido
Introducción, 3
Definiciones y descripciones, 3
Los números enteros, 3Valor de lugar o de posición, 4
Introducción a los símbolos, 7
Signos de operación, 7El signo igual (=), 7El signo de sumar (+), 8Orden de escritura, 8Resta o "-", 9
Multiplicación o "X", 9División o "-÷-", 10
Signos de los números, 11
Suma de números enteros, 12
Comprobación de la suma, 15
Resta o sustracción de números enteros, 16
Comprobación de la resta, 18
Multiplicación de números enteros, 19
Comprobación de la multiplicación, 22
División de números enteros, 23
Comprobación de la división, 26
Resumen, 26
Examen, 27
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Introducción
Estamos completamente convencidos deque vivimos en una época científica. Losavances de los últimos 25 años son parte delos conocimientos de la civilización en eluso de las matemáticas. Comprender lasmatemáticas es importante. Utilizar las ma-temáticas es necesario.
Mucha gente manifiesta pánico ante lanecesidad de tener que usar las matemáti-cas, aún ante las matemáticas más simples.Las matemáticas es una materia que mu-chos de nosotros hemos intentado olvidaruna vez que hemos egresado de la escuela.Esto es sumamente difícil, porque es unamateria que no podemos darnos el lujo deolvidar. Cada persona, incluyendo a un téc-nico en ventilación y aire acondicionado,necesita aprender y entender las bases de lasmatemáticas.
En esta lección aprenderemos varias co-sas acerca de las matemáticas básicas. Leaseguramos que usted necesitará poseercierta destreza en matemáticas para desarro-llar su trabajo de manera conveniente.
Daremos aquí inicio al estudio de lasmatemáticas comenzando con los números.Conocerá cómo se usan, leen y escriben losnúmeros. Luego veremos la suma, la resta,la multiplicación y la división de los núme-ros enteros, esto es, las operaciones básicas.
Posiblemente usted ya conozca este ma-terial bastante bien. En ese caso, estudie es-ta lección para lograr una reafirmación deconocimientos. Una forma de medir sus co-nocimientos es revisar los ejercicios de au-toevaluación y el examen final. Si ustedpuede responder a las preguntas fácilmente,y considera que sus respuestas son correc-tas, entonces puede avanzar rápidamente através de esta lección y pasar a la siguiente.Por el contrario, si se le dificulta el contes-tar las preguntas, entonces estudie esta lec-ción más cuidadosamente.
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Definciones y descripciones
A continuación estamos incluyendo unacarta lista de conceptos que le resultaránútiles para comprender la presente lección.
DIVIDENDO (dividend). Número que sedivide en una división.
DIVISOR (divisor). Número entre el quese divide el dividendo en una división.
FACTORES (factors). Números que semultiplican en una multiplicación.
MINUENDO (minuend). El número ma-yor de una resta.
NÚMEROS ENTEROS (wholenumbers).Son aquellos números mayores de cero y querepresentan objetos contables
PRODUCTO (product). Resultado de unamultiplicación.
SIGNOS DE OPERACIÓN (signs of ope-rations). Símbolos que sirven para representaroperaciones matemáticas como: (+), (-), (X),(÷)y(=).
SUMANDOS (addends). Números que sesuman en una suma.
SUSTRAENDO (subtraend). El númeromenor en una resta.
VALOR DE LUGAR (place valué). Valorque tiene cada dígito que forma parte de unnúmero entero.
Los números enteros
¿Cuántos jugadores hay en un equipo debéisbol?¿Cuántas personas forman su familia?¿Cuántos estados o departamentos formansu país?¿Qué tan profundo es el Océano Pacífico?
Las respuestas a estas preguntas se dana través de números enteros. Usted ya sabelo que son los números enteros, aunque qui-zá ignore su nombre. En esta lección apren-derá acerca de los números enteros, cómose escriben y algunas de las reglas para suuso.
El término "números enteros" significa"números contables y el cero". Ejemplo de
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Figura 10-1. Las respuestas a estas preguntas sonconocidas como "números enteros". También el ce-ro es un número entero.
números enteros son 10, 21, 1093, y 3894.Cuando contamos cantidades como torni-llos, uñas y dólares, estamos hablando denúmeros enteros. Hay una cantidad ilimita-da de números enteros. Usted siempre pue-de contar un número más de cualquier can-tidad que se le ocurra. Los números enterosdefinen cuánto o cuántos (objetos, cosas,personas, etc.).
Ahora que ya tiene usted una idea de loque son los números enteros, les daremosnombres. Los nombres comunes para losprimeros diez números enteros son O, 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Estos números enteros sellaman simplemente "números". Se puedenusar juntos en varias formas diferentes paraexpresar algún número deseado.
Valor de lugar o de posición
Los diez números mencionados arriba sonllamados sistema de diez o sistema decimal.Este sistema llegó de Arabia alrededor delsiglo octavo. Un aspecto importante de estesistema de diez es la colocación o posiciónde los números en una cierta cifra. Los nú-meros tienen diferente valor según su posi-ción dentro de la cifra que forman. Esto se
Figura 10-2. La ubicación de los números en un nú-mero cambia su valor.
denomina valor de lugar o de posición. Ob-serve la Figura 10.2.
El número que se encuentra más a laderecha está en lo que se llama columna delas unidades. El número a su izquierda for-ma parte de la columna de las decenas. Latercera columna se llama columna de lascentenas, y así sucesivamente.
Otra forma de decir 325 es: 300 más 20más 5. Lea la siguiente lista de números.Observe cómo están descompuestos dentrode las mismas cifras. Esto le ayudará a com-prender cómo obtener los nombres de losnúmeros enteros.
Nombre del Pueden ser definidos como:número
2 dos unidades
10 cero unidades y una decena
12 dos unidades y una decena20 cero unidades y dos
decenas
59 nueve unidades y cincodecenas
106 seis unidades, cero decenasy una centena
397 siete unidades, nuevedecenas y tres centenas
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1000 cero unidades, cerodecenas, cero centenas yuna unidad de millar.
6590 cero unidades, nuevedecenas, cinco centenas yseis unidades de millar
Como puede observar, la columna dellado derecho indica la cantidad de unidades.El dígito de la izquierda indica la cantidadde decenas y así sucesivamente.
Hagamos un ejercicio para reafirmar es-tos conceptos. Complete lo siguiente:
¿Puso usted estas respuestas?
a. nueveb. nueve, unoc. cuatro, nueved. nueve, cero, unoe. nueve, seis, cero, uno
Hasta ahora, ha estado aprendiendo enesta lección los nombres de los números dederecha a izquierda. Así es como se calculael valor de lugar. Primero contará las unida-des. Si existen más de nueve, tendrá quecolocar la "extra" en el lugar de las decenas.Si existen más de nueve decenas, tendrá quedesplazar hacia la izquierda, a la columnade las centenas, a la "extra", y así sucesiva-mente.
Figura 10-3. Los números se leen de izquierda aderecha, aunque los valores de lugar se calculan dederecha a izquierda.
Por otro lado, la manera común de leernúmeros enteros es de izquierda a derecha.He aquí un ejemplo: 42 se lee cuarenta ydos; 107 se lee ciento siete y 5,679 se leecinco mil seiscientos setenta y nueve.
Para practicar, lea los números siguien-tes en voz alta o para usted mismo.
Por conocimiento del lugar que ocupaun número en una cifra, usted puede deter-minar el valor de éste. En el número 92, elnueve significa nueve decenas o 90. En 29,el 2 significa dos decenas. Puede así com-prender la diferencia que implica el conocero no el lugar de cada cifra dentro del núme-ro entero.
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SE LEE ASÍ
42 = CUARENTA Y DOS
4 CALCULAR EL VALORDE LUGAR ASÍ
Examínese usted mismo sobre estosconceptos. Complete lo siguiente:
a. ¿Qué significa el 6 en 68?b. ¿Qué significa el 8 en 86?c. ¿Qué significa el 4 en 439?d. ¿Qué significa el 9 en 98?e. ¿Qué significa el 30 en 30?
¿Fueron estas sus respuestas?
a. seis decenas o 60b. ocho decenas u 80c. cuatro centenas o 400d. nueve decenas o 90e. tres decenas o 30
También tenemos un sistema que puedeayudarnos a leer numeraciones (o cifras)largas como 1,000 o más. La coma (,) se usapara agrupar tres dígitos al mismo tiempo, afin de hacer fácil la lectura.
10,000 son diez mil o diez millares
100,000 son cien mil o diez millares
1,000,000 es un millón o diez 100millares o 100 unidades demillar
10,000,000 son diez millones
100,000,000 son cien millones
1,000,000,000 son mil millones (un billónen los Estados Unidos) odiez cien millones o unmillón de millares. Unbillón, salvo en los EstadosUnidos, es un millón demillones.
Cuando lee el número 2,497,795 usteddice "dos millones cuatrocientos noventa ysiete mil setecientos noventa y cinco".
Aquí tiene otro ejemplo: Cuando ustedlee el número 7,795 dice "siete mil setecien-tos noventa y cinco". Un número largo debeobservarse de derecha a izquierda a fin deaveriguar qué significa el primer número.
Figura 10-4. Leyendo números largos con comas.
Por ejemplo: 6,980,789Usted sabe que el seis está en el lugar de
los millones porque ha contado siete lugaresdesde la derecha. Observando nuestro dia-grama podemos ver que el séptimo lugar esel lugar de los millones. Este número se lee"seis millones, novecientos ochenta mil, se-tecientos ochenta y nueve".
Examínese usted mismo sobre este con-cepto leyendo estos número en voz alta:
a. 10b. 100,000c. 100d. 97,894e. 106,369f. 7,894,326
¿Sus respuestas fueron estas?
a. diezb. cien milc. ciend. noventa y siete mil ochocientos
noventa y cuatroe. ciento seis mil trescientos sesenta y
nuevef. siete millones ochocientos noventa y
cuatro mil trescientos veintiséis.
La tabla de la Figura 10-5 le muestra elsistema común de nombrar números enteros
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Figura 10-5. Nombres de lugar.
de hasta once lugares. Seguro que hay máslugares, pero sería raro que usted manejasenúmeros más largos en su trabajo o negociopersonal.
Debe estudiar esta tabla y memorizarla.Luego será capaz de leer números enterosde izquierda a derecha, y de determinar elsignificado de cada cifra dentro de un nú-mero entero.
Introducción a los símbolos
En todos los trabajos existen "trucos deloficio". En matemáticas existen muchostrucos. Hay una forma sencilla de recor-dar cómo hacerlos. Usted aprenderá algu-nos de estos trucos. También hay cuatrooperaciones básicas o reglas para manejarlos números. Son las operaciones de sumar,restar, multiplicar y dividir números. En es-ta sección veremos qué significa cada unade estas operaciones y cómo se trabajan.También le introduciremos a los símbolosque se emplean para efectuar estas opera-ciones.
Las matemáticas hacen amplio uso delos símbolos. ¿Por qué? Para ahorrar tiem-po, esfuerzo y espacio. ¿Qué pasaría si us-ted quisiera dividir 234,528 entre 698 y notuviera ningún símbolo para indicar esta
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operación? Perdería mucho tiempo escri-biendo y emplearía mucho papel para ha-cerlo. Un problema largo como este puedeacabar resultando un lío, como puede ver enla Figura 10-6. Los símbolos hacen que loscálculos se vean más limpios y que se pue-dan realizar con mayor facilidad.
Los propios números son símbolos.Simbolizan cantidades. Ya verá usted por-que es importante tenerlo presente dentro deun momento.
Signos de operación
El signo igual (=)
Este signo es muy importante en matemáti-cas. Sin él nunca podríamos saber qué res-ponder. El símbolo (=) es empleado en lugarde la palabra "igual". Un ejemplo es 2 más2 igual a 4. Por lo tanto, cada vez que ustedve el signo de igual significa que el númeroa cada lado es el mismo o igual al del otro.Esto suena simple, pero es un concepto im-portante. Más tarde usted verá por qué.
Un signo de igual es casi sagrado. Ustedno puede hacer ningún cambio en un ladodel signo de igual sin hacer lo mismo en elotro lado. Algunas veces, cuando están re-solviendo un problema, los estudiantes de-sean omitir el signo igual hasta no encontrarla solución al mismo. Esto no es tan difícilcon problemas simples, pero cuando losproblemas son más complejos y usted em-
Doscientos treinta y cuatro milquinientos veintiocho dividido entre
seiscientos noventa y ocho es igual atrescientos treinta y seis,
O234,528 ÷-698=336
Figura 10-6. ¿Qué problema le gustaría afrontar?
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pieza a emplear fórmulas complicadas, omi-tir el signo de igual seguramente lo llevaráa cometer algún error. Para empezar conbuenos hábitos, utilice siempre el signo deigual cuando trabaje con problemas mate-máticos.
El signo de sumar (+)
Este signo muestra que dos o más númerospueden ser combinados o sumados juntospara dar origen a un nuevo número. En lu-gar de decir "2 más 2 (o "2 y 2" o "2 agre-gado a 2") igual a 4", es mucho más fácilusar el signo de sumar (+). Nuestro proble-ma quedará mejor de la manera siguiente: 2+ 2 = 4. Es evidente que utilizando el signode sumar (+) y el signo de igual (=) es másfácil leer y escribir un problema.
Usted puede ver que una suma es siem-pre más que poner unos números juntos. Sinosotros ponemos un 2 junto a otro 2, ten-dremos 22 (veintidós). Usted sabe de algu-na manera que esto no es lo mismo que 4,pero, ¿sabe usted por qué? Por supuesto. Esprecisamente por dos conceptos que acaba-mos de tratar: símbolos y valores de lugar.Usted sabe que 2 es un símbolo. Es la posi-ción que guarda el dos. Cuando usted colo-ca un dos sumado a otro dos entonces tieneusted cuatro (4), no veintidós (22). Y us-ted sabe que 22 no es lo mismo que 4.Debido al valor de lugar, 22 significa dosunidades y dos decenas, o veintidós. Esto esdiferente a 4.
Pruebe sus conocimientos sobre estosconceptos contestando las siguientes pre-guntas, escritas en forma simbólica:
a. ¿un gato = un perro?b. ¿una madre = un padre femenino?c. ¿crema de cacahuate + pan =
sandwich de crema de cacahuate?d. ¿3 + 4 = 7?e. ¿4 + 5 = 9?
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Ejercicio deAutoevaluación
Escriba en los espacios vacíos el término quefalta para completar las siguientes afirmaciones
1. Los números enteros son los númerosy el
2. Los números tienen diferente valor segúnla posición que ocupan en la cifra; estose llama valor de o de
3. En un número, la primera cifra de laderecha representa a lasy la siguiente representa a las
4. El número 45 está formado de 5y 4
5. El signo de sumar indica que dos o másnúmeros pueden sero
Respuestas
Orden de escritura
Los problemas que se escriben en línea, taly como usted acaba de ver se dice que estánen forma lineal. Seguro que ha visto ustedproblemas donde los números están coloca-dos unos encima de otros, como en la Figu-ra 10-7. En este formato, la larga línea ho-rizontal es otro símbolo para "igual".Significa lo mismo que "=".
Cuando esté trabajando con problemasque tengan este formato, es importante noolvidar el valor de lugar. Sume todos losnúmeros que se encuentren en la columna
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Figura 10-7. Una alternativa para los problemasde suma.
de las unidades y escriba el total abajo delsigno igual. Sume las decenas en su colum-na correspondiente y ponga el total bajo elsigno de igual. Luego haga lo mismo conlas centenas, con los millares, etc.
¿Qué sucede si el total de alguna colum-na es mayor de nueve? En ese caso, utiliceuna operación llamada "llevando". Ustedlleva el valor mayor de nueve al siguientelugar. Quizá esta explicación sea demasiadosimplista. Lo que realmente está usted ha-ciendo es utilizar el siguiente lugar paraayudarse a expresar la cantidad total. Si us-ted piensa en ello, verá el razonamiento queencierra. Observaremos el concepto de lle-vando, con mayor detalle, más tarde.
Resta o "-"
Para mostrar un número que es restado deotro número, utilizamos el signo menos (-).La resta es la operación que empleamoscuando tenemos un número total de cosas yquitamos algunas del total, quedándonoscon un remanente. Cuando escribimos unproblema primero ponemos el símbolo nu-mérico para el total de cosas, luego pone-mos el signo menos antes del número queva a ser restado. Ejemplos de esto son comosigue:
a. 2-1 = 1b. 4-2 = 2c . 4 - 1 = 3d. 7-3 = 4
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Como ocurría con los problemas de su-mar, los problemas de restar pueden escri-birse en forma lineal, o colocando un núme-ro sobre otro, como en la Figura 10-8. Elnúmero que contiene el total se escribe enla parte superior, el número que se va arestar se escribe debajo del total, y el signomenos se coloca a su izquierda. Como en lasuma, debe usted tener cuidado de respetarlos valores de lugar.
Después de observar la Figura 10-8, sepreguntará cómo pudo restarse el 3 del O en40-3. En cuanto a eso, ¿cómo podemos res-tar números de cero en otros problemas?Usamos una operación llamada "préstamo",que es lo inverso de "llevando". Hablare-mos sobre este término más adelante.
Un problema difícil de la resta es saberqué número poner en la parte superior. Ennuestros ejemplos ateriores, el número ma-yor se colocaba en la parte superior. Noobstante, en otra lección posterior aprende-rá usted que se puede restar un número ma-yor de otro menor. ¿Cuál, entonces, va arri-ba? La respuesta es sencilla. Si usted lee oescucha que tiene que restar 4 de 92, enton-ces el problema es 92 - 4 o 92 menos 4.
Multiplicación o "x"
La multiplicación es una suma múltiple.Cuatro veces 5 significa 4 grupos, con 5 encada grupo, todos sumados juntos. Otraforma de decir esto puede ser 5 + 5 + 5 +5 = 20. (¿Ve cómo esto es 4 grupos de 5?)Otra manera de formular el problema se-ría la suma de 5 a sí mismo 4 veces. En
Figura 10-8. Problemas de resta en forma de co-lumna.
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Figura 10-9. La multiplicación es una suma múl-tiple.
una figura, la multiplicación puede verse deesta manera:
La multiplicación se puede mostrar deun buen número de formas. Para nuestrosfines seguiremos utilizando el símbolo másdifundido de x. Se coloca este signo entrelos números que se desean multiplicar (fac-tores). Por lo tanto, 5 x 5 indica que 5 serámultiplicado por 5. Se lee "5 veces 5" o "5multiplicado por 5". Otro signo usado parala multiplicación es el punto "•" El punto secoloca en la misma posición que el signo x.Luego "5 veces 5" quedará, usando el pun-to, así: 5.5.
Observe que el punto está centrado en-tre los dos números.
Una forma avanzada es el abandono delsímbolo de multiplicación. Los númerosque van a ser multiplicados (factores) secolocan lado a lado. Se utiliza el paréntesispara indicar que se trata de un problema demultiplicación. Según esto "5 veces 5" sepuede representar así: 5 (5) o (5) (5).
Otra forma de escribir un signo de mul-tiplicación es usando lo que podemos lla-mar dos cantidades. Esto es cuando usamosletras en lugar de números. Por ejemplo:
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(A) la hacemos igual a 2 y (F) la hacemosigual a 3. Si colocamos ambas letras, unajunto a la otra, así: AF, tendrá el mismosignificado que 2 x 3 . Así, AF = 2 x 3, si A= 2 y F = 3. ¿Por qué querría usted usarletras en lugar de números? Bueno, porqueutilizaríamos las letras como símbolo de unnúmero muy largo; o porque querríamosafirmar que la relación es verdadera paracualquier par de números posible.
Los problemas de multiplicación pue-den escribirse en forma lineal:
5 x 5 = 25
o apilados:
Otra vez le recordamos que deberá to-mar en cuenta los valores de lugar cuandotrabaje con estos problemas.
La respuesta a un problema de multipli-cación se llama "producto".
División o "-÷-"
La división se indica por el símbolo "÷". Elproblema "8 ÷ 4" se lee "8 dividido entre4". La división también puede escribirse co-locando el número que va a ser divididodentro de un signo de división. Cuando seuse este signo, un simple problema de divi-sión como 8/4 se lee "8 entre 4" o "8 divi-dido entre 4".
Otra forma de indicar una división esescribir el número que va a ser divididoarriba del número por el cual va a ser divi-dido.
Por ejemplo:
se lee "8 sobre 4" o "8 dividido entre 4".También puede ver que hay una línea diago-nal que se usa como signo de división, co-mo en 8/4. Este método se usa para escribir
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cocientes o fracciones, que son realmenteproblemas de división. Aprenderá más acer-ca de cocientes y fracciones (también deno-minados quebrados) más tarde.
Observe el orden cuando tenga un pro-blema de división. 8 "dividido entre" 4 nosignifica lo mismo que 4 "entre" 8. 8 divi-dido entre 4 es 2. 4 entre 8 significa 4 divi-dido entre 8 y la respuesta es una fracción oquebrado.
Signos de los números
Los signos de los números vienen en dostipos, uno positivo "+" y otro negativo "-".Los números positivos son los más usadosen la vida ordinaria. Note que 1, 1/2, 985,2,543 son todo lo que llamamos "númerospositivos". Esto significa que son mayoresde cero.
"Números negativos" son aquellos queson menores de cero. Se pueden usar paradescribir cosas como temperaturas muyfrías, tales como "cinco bajo cero" o "me-nos cinco grados". Usted puede tener la ne-cesidad de emplear números negativos alhacer el balance de su chequera. Si ustedtiene un saldo de $5525.00 y emite un che-que por $6550.00, tiene un número negati-vo en el registro de su chequera. Tambiénestá sobregirado o en "números rojos".
Generalmente, los números negativosson lo opuesto de los números positivos.Así, -1, -1/2, -985, -2,543 son todos nú-
Figura 10-10. Esta persona está lidiando con losllamados "números negativos".
Figura 10-11. Recta numérica.
meros negativos. En esta sección le dire-mos brevemente cómo se usan los númerosnegativos. Aprenderemos más sobre núme-ros positivos y negativos en próximas lec-ciones.
La mejor forma de ver un número posi-tivo y negativo es en lo que se llama la rectanumérica, como se muestra en la Figura10-11. Podemos ver que el cero es el puntodivisorio donde el positivo y negativo em-piezan y terminan. Siempre recuerde quepor cada número positivo existe un númeronegativo. También, por cada número nega-tivo hay también un número positivo.
El signo "-" en -8 es llamado signonegativo. Para indicar que un número esnegativo, basta que escriba el número y quecoloque un signo negativo (-) delante de él.Un signo negativo es exactamente como elsigno de la resta, pero tiene diferente signi-ficado. Por ahora, es todo lo que necesita-mos saber acerca de los números positivosy negativos. Los veremos con mayor detalledespués.
Ahora que hemos definido algunos tér-minos básicos, estamos preparados para ini-ciar nuestro estudio sobre operaciones ma-temáticas. Hasta ahora hemos aprendido
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-2 1/2 -1 1/2 -1/2 1/2 1 1/2 2 1/2
- 3 - 2 - 1 0 2 3
Figura 10-12. La mejor forma de enfrentarse almiedo de las matemáticas es relajarse y seguir elpropio ritmo.
acerca de números enteros, valores de lugar,y símbolos y signos de los números. Esasson las bases del primer nivel de las mate-máticas. Debería enorgullecerse de haberllegado hasta este punto. Estamos segurosde que llevará a la práctica, primero durantesus estudios y luego en su trabajo, todo loque ha aprendido.
Unas palabras antes de empezar: Si us-ted es uno de los que sufren de "ansiedadmatemática", o de "miedo a las matemáti-cas", recuerde que las matemáticas son muysencillas si las aprende de modo gradual.No se enfade si no puede resolver ciertoproblema. Descanse un rato de la lección.No la deje demasiado tiempo, sino lo sufi-ciente como para relajarse y renovar fuer-zas. Después regrese e intente otra vez.Usualmente es más fácil la segunda vez. Demodo que tómese su tiempo y concéntreseen cada problema. Una vez más: ¡buenasuerte!
Suma de números enteros
Ahora que ya conocemos la forma de escri-bir o leer cantidades, veamos las operacio-nes que pueden efectuarse con ellas. Una delas más sencillas es la de sumar. Por sumarse entiende reunir en un total dos o másnúmeros de la misma clase. El resultado se
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llama total o suma. Por ejemplo, si tenemoscuatro corbatas y luego compramos tresmás; y si poco después un amigo nos regalaotras dos, el número total que tendremosserá de: cuatro más tres más dos, igual anueve corbatas.
La operación de sumar se expresa por elsigno + que se lee, más. Ejemplo: 9 + 6 +3. Esto se lee: nueve más seis más tres.
El signo = expresa la frase igual a:Ejemplo: 6 + 2 + 4 = 12. Debe leerse: seismás dos más cuatro igual a doce.
Los números que han de ser reunidos sellaman sumandos y deben ser de la mismacategoría o clase. Por esto se entiende queno se pueden sumar seis naranjas y cuatrolibros, porque no resultaría un total de dieznaranjas o de diez libros. Pero sí se puedensumar cuatro naranjas y seis naranjas y ob-tener un total de diez naranjas. Igualmentesi sumamos seis libros y cuatro libros, obe-nemos una suma de diez libros.
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Ejercicio deAutoevaluación
Escoja de la lista de la derecha el término que corresponda a cada una de las afirmaciones de laizquierda. Luego anote en las líneas del centro la letra que identifica el término elegido
1. Operación que empleamos cuando tenemos un número to- a. divisióntal de cosas y quitamos algunas del total, quedándonos un b. sumandosremanente. c. números negativos
2. Operación matemática que representa una suma múltiple.e. multiplicación
3. Operación matemática que nos sirve para saber cuántasveces cabe un número en otro.
4. Nombre matemático que se da a los números menores decero.
5. Nombre matemático que se da a los números que se hande sumar.
Respuestas
El orden en que se sumen los númerosno importa, siendo el resultado o total elmismo. Es indiferente si se suman 9 más 7más 3, o 3 más 7 más 9, pues de cualquiermodo el total es 19. Para sumar númerospequeños se toma el primer número de laserie y se le suma el siguiente número; altotal de éstos se le suma el número quesigue y así sucesivamente, hasta haber su-mado todos.
Aunque esta operación ya la efectuamosen los ejemplos que hemos dado, para me-jor comprensión, vamos a usar un ejemplo.Tomemos la serie 9 + 4 + 7 + 8 = 28; alnueve se le suma el cuatro resultando trece,a trece se le suma el siguiente número quees siete y nos da veinte, a veinte se le sumaocho resultando un total de veintiocho.
Cuando se trata de números pequeñosde una o dos cifras, es sumamente fácil ha-cer esta operación mentalmente si se sabe laTabla de Sumar; al no saberla, tendrá que
recurrir al uso de los dedos o haciendo rayasen un papel. La Tabla de Sumar que le pro-porcionamos aquí debe aprenderla de me-moria, grupo por grupo. Es relativamentefácil aprender esta Tabla, pues para hacerlose toma un grupo y se repite varias veceshasta saberlo, pasando entonces al siguientey aprendiéndolo de memoria en la mismaforma, hasta saber toda la Tabla. Cuando lahaya aprendido, podrá hacer las sumas denúmeros pequeños mentalmente y se le fa-cilitará la suma de números mayores.
Ya hemos tratado de la suma de núme-ros pequeños que pueden sumarse mental-mente con la ayuda de la Tabla de Sumar;ahora debemos aprender el método de su-mar números grandes. Esto no se puede ha-cer tan sólo mentalmente, sino que es nece-sario hacerlo con la ayuda de papel y lápiz.Cuando se desea efectuar la suma de canti-dades grandes se colocan todos los númerosque han de sumarse uno debajo del otro,
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vigilando que las unidades queden debajode las unidades, las decenas debajo de lasdecenas, las centenas debajo de las cente-nas, etc. Se dibuja una raya debajo del últimonúmero.
Como ejemplo notemos la serie de nú-meros que sigue: 32, 1415, 3, 210. Si desea-mos indicar que estos números de debensumar, lo hacemos escribiéndolos de estemodo: 32 + 1415 + 3 + 210. Ahora, si va-mos a efectuar la operación de sumarlos,que nos indica el signo, es necesario colo-carlos en columna vertical, es decir, unodebajo del otro, como explicamos en el pá-rrafo anterior. Por ejemplo:
de nueve, colocamos el tres debajo de lacolumna de las unidades y el dos lo agrega-mos mentalmente a la segunda columna.
Procedemos a sumar la primera colum-na de la derecha, anotando el total debajo dela raya, en línea con la primera columna, sies menor de diez. Si el total es mayor denueve, colocamos debajo de la raya la últi-ma cifra de este total y la cifra restante se lasumamos a la siguiente columna. Así conti-nuamos hasta haberlas sumado todas.
A primera vista le parecerá que este pro-ceso es entretenido, pero después de unascuantas operaciones verá el verdadero valorpor su rapidez y eficiencia. Para más clari-dad vamos a considerar detenidamente elejemplo que sigue: 149 + 6 + 38 + 1760.
Primeramente debemos colocar los nú-meros en columnas verticales según la reglaexpuesta para este propósito. Note que lasunidades van debajo de las unidades, lasdecenas debajo de las decenas, etc. Ahoraprocedemos a sumar mentalmente los nú-meros de la primera columna de la derecha,así: nueve más seis son quince, quince másocho son veintitrés, veintitrés más cero sonveintitrés. Como esta suma parcial es mayor
El dos que llevamos de la primera co-lumna más cuatro son seis, seis más tres sonnueve, nueve más seis son quince. Aquítambién resultó mayor de nueve la sumaparcial y por lo tanto anotamos el cinco de-bajo de la columna sumada y llevamos eluno a la siguiente columna.
Ahora a la tercera columna le agrega-mos el uno de la suma anterior diciendo:uno más uno son dos, dos más siete sonnueve. Como el total parcial resultó menorde diez, colocamos el nueve debajo de latercera columna y procedemos a sumar laúltima columna. Esta contiene únicamenteel número uno y como no llevamos nada dela columna anterior, anotamos el uno deba-jo de la raya. De esta forma obtenemos eltotal o suma final de 1953, mil novecientoscincuenta y tres.
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Esta forma de sumar se aplica a cual-quier grupo de cantidades que se deseensumar. No importa cuál de los números secoloque primero, pero es imperativo quesiempre se coloquen las unidades debajo delas unidades y las decenas y centenas enigual forma. Al no hacerlo así será imposi-ble obtener un resultado correcto al efectuarla suma.
Si se le dificulta llevar en la menta lossobrantes que se han de sumar a la siguientecolumna, puede anotarlos arriba de la co-lumna a la cual se le han de sumar, hacién-dolos pequeños, para no confundirlos conlos números verdaderos de la suma.
Para mayor claridad, especialmente enoperaciones con cantidades grandes, vamosa efectuar la suma siguiente:
Esta suma se efectúa exactamente igualque la suma del ejemplo anterior. Sumamosla primera columna de la derecha y obtene-mos una suma parcial de treinta y uno; ano-tamos el uno debajo de la columna y lleva-mos el tres a la siguiente.
Luego sumamos la segunda columna yobtenemos la suma parcial de veintitrés, es-cribimos el tres debajo de la columna suma-da y llevamos el dos a la siguiente columna.
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Al efectuar la suma de la tercera colum-na obtenemos la suma parcial de veintinue-ve , anotamos el nueve y llevamos el dos ala próxima columna. La suma parcial de lasiguiente columna es de treinta y tres; escri-bimos tres debajo de la columna correspon-diente y llevamos tres que se suman a lasiguiente columna.
Sumando la última columna obtenemostreinta y dos. Siendo que no hay otra colum-na anotamos el número completo de treintay dos debajo de la raya. Ahora, para poderleer fácilmente el total, lo separamos engrupos de tres cifras, con comas, princi-piando de la derecha. De este modo obtene-mos un total de: 323,931, trescientos vein-titrés mil novecientos treinta y uno.
Comprobación de la suma
Par tener seguridad de que los resultadosobtenidos en cualquiera operación aritméti-ca son correctos, es necesario tener algúnmétodo de comprobar la operación. Comola suma es la operación más elemental, nopodemos recurrir a otro método de prueba
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más simple que efectuar otra suma. La úni-ca diferencia es que esta vez la suma seefectúa en sentido contrario a la primeraoperación, es decir, sumando las columnasde abajo hacia arriba. Al terminar esta ope-ración debemos obtener el mismo resultadoen las dos sumas; si no es así, es indicaciónde que existe un error.
Si deseamos comprobar la suma delejemplo anterior, comenzaríamos de abajohacia arriba. Principiando con la primeracolumna diríamos: seis más nueve son quin-ce, quince más cinco son veinte, veinte másdos son veintidós, veintidós más ocho sontreinta, treinta más uno igual a treinta y uno.Vemos si el uno está anotado debajo de laraya y llevando tres se lo sumamos a la co-lumna siguiente así: tres más uno son cua-tro, cuatro más cuatro son ocho, ocho máscuatro son doce, doce más dos son catorce,catorce más cero igual a catorce, catorcemás nueve son veintitrés. Comprobamosque el tres esté anotado bajo la raya y lleva-mos dos a la columna que sigue.
De este modo continuamos hasta habersumado todas las columnas. Si obtenemoslos mismos resultados en ambas operaciones,podemos estar seguros de que no hemos co-metido ningún error. Por lo contrario, si lostotales son diferentes, debemos determinardónde se cometió el error, efectuando otrasuma hasta obtener los mismos resultados.
Resta o sustracción de númerosenteros
La operación opuesta a la suma es la resta.Aquí, en lugar de agregar algo, quitamos unacantidad menor de una mayor. Por restar seentiende hallar la diferencia entre dos canti-dades, rebajando o quitando una de otra. Seindica por medio del signo —. La resta seemplea a diario en la vida práctica. Porejemplo, cuando se va de compras y se de-sea saber cuánto dinero queda.
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Para indicar que una cantidad se ha derebajar o restar de otra, se coloca la mayorprimero y en seguida el signo que indica lasustracción; luego se escribe el número quese ha de restar. Por ejemplo, si deseamosrestar cuatro de doce, lo indicamos así:12 — 4, y se lee doce menos cuatro.
Para efectuar la resta, es necesario quela cantidad de donde se va a rebajar la otrasea mayor o igual a la que se va a rebajar.Por esto se entiende que para que le quite-mos siete libros a alguien es necesario queefectivamente tenga siete o más libros. Sisolamente tiene cuatro, es imposible quitar-le siete.
El número mayor se denomina minuen-do y el menos sustraendo. El resultado de laresta es la diferencia. Cuando se desea indi-car una sustracción siempre se coloca el mi-nuendo primero y después el sustraendo. Elsustraendo siempre se le rebaja al minuendo.
La resta se le facilitará mucho más siaprende de memoria la Tabla de Restar quea continuación aparece. Esta la debe apren-der en la misma forma que aprendió la desumar. Una vez conocida a fondo la Tabla,se le facilitará la resta y podrá efectuar estaoperación con más rapidez. Además de ser-le útil para restar cantidades menores men-talmente, le resultará valiosa para restar nú-meros de mayor denominación.
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Para mayor seguridad en las operacio-nes le sería muy conveniente que, al estu-diar la Tabla de Restar, invertiera la opera-ción, sumando también. Por ejemplo, alrepetir "once menos cuatro son siete", po-demos en seguida decir mentalmente: "sietemás cuatro son once". Así veremos si enverdad quedan siete al quitarle cuatro al on-ce. La suma mental sirve de prueba o veri-ficación.
Ya hemos discutido la forma de restarmentalmente y ahora lo expondremos usan-do un ejemplo de esta operación. Vamos arestar ocho de dieciseis. En este caso sim-plemente decimos "dieciseis menos ocho sonocho", y para comprobarlo decimos "ochomás ocho son dieciseis". Esta sustracción sepuede indicar en la forma siguiente:
16 — 8 = 8
Ahora trataremos otro ejemplo similar.Digamos que deseamos restar seis de trece,o bien 13 — 6. Sabiendo la Tabla, podemospensar sin titubear "trece menos seis sonsiete", y luego decimos para comprobar es-to: "seis más siete son trece".
Hasta ahora hemos tratado solamente dela resta de cantidades menores, que se pue-den efectuar mentalmente conociendo la Ta-bla de Restar. Ahora vamos a tratar de res-tas de cantidades mayores, cuya diferenciano es apreciable a primera vista.
Para restar cantidades mayores se colo-ca el sustraendo debajo del minuendo, vigi-lando que las unidades queden debajo de lasunidades, las decenas debajo de las decenas,etc. Se traza una raya debajo del sustraendo.Por supuesto, esta colocación es necesariacuando se va a efectuar la operación, ya quepara indicar la resta, únicamente, basta usarel signo —. Una vez colocados los númerosdebidamente, se procede a efectuar la resta.
Para efectuar la resta de cantidadesgrandes, se empieza con la primera colum-na de la derecha, se sustrae la primera cifradel sustraendo de la primera del minuendoy la diferencia se anota debajo de la raya.Sé hace lo mismo con las demás columnas.Por ejemplo, si deseamos efectuar la restade las siguientes cantidades: 3489 — 265:primeramente debemos colocarlas en la for-ma debida, como se demuestra.
Ahora, comenzando con la primera co-lumna de la derecha, decimos: nueve menoscinco son cuatro, y lo anotamos debajo dela raya.
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Luego procedemos con la siguiente co-lumna diciendo, ocho menos seis son dos.El dos lo escribimos debajo de la raya.
Es la tercera columna hay que restar dosde cuatro y decimos: cuatro menos dos sondos. Anotamos este dos en la columna co-rrespondiente.
Por último llegamos a la cuarta colum-na, que solamente contiene un tres. Comono hay que restarle al tres, lo escribimosdebajo de la raya y completamos el proceso.Hemos obtenido la diferencia de 3224.
Cuando la cifra del minuendo es menorque la cifra del sustraendo, se le quita unaunidad a la cifra que sigue, a la izquierda, yse aumenta diez, no olvidando rebajar unode la cifra de donde se quitó. Esta operaciónse usa mucho y debemos aprenderla bien.No es difícil, sólo exige cuidado. Vamos ausar un ejemplo: 2745 — 698.
Primero colocamos el sustraendo y mi-nuendo en forma debida, uno debajo delotro, Ahora, comenzando con la primera co-lumna a la derecha debemos sustraer ochode cinco, pero no es posible hacer esto. En-tonces le quitamos uno al cuatro que siguey sumamos diez al cinco de la primera co-lumna, lo que nos da quince. A quince le
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quitamos ocho y nos quedan siete. Escribi-mos siete debajo de la raya.
No olvidemos rebajar al cuatro el unoque le hemos quitado, lo que lo convierte entres. En la siguiente columna es necesariorebajarle nueve a tres (no a cuatro, por ha-berle quitado uno a éste), pero es imposiblehacerlo. De igual manera que en la opera-ción anterior, le quitamos uno a la cifra quesigue y agregamos diez al tres, resultandotrece. A trece le rebajamos el nueve y nosresta cuatro. Escribimos cuatro debajo de laraya.
Como le quitamos uno al siete de latercera columna, nos quedan seis solamen-te, al cual le debemos quitar seis, restandocero. Anotamos cero en la columna corres-pondiente. Como en la última columna nosquedan solamente dos, lo anotamos tam-bién. La diferencia final es de 2047, dos milcuarenta y siete.
Comprobación de la resta
La resta es la operación inversa a la de su-mar; así que para comprobar una resta, bas-ta sumar el sustraendo y la diferencia. Eltotal obtenido debe ser igual al minuendo.Al no ser así, existe un error en la operación.
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Usando el último ejemplo donde resta-mos 698 de 2745 y obtuvimos la diferenciade 2047, para efectuar la prueba de esta ope-
ración sumamos los dos últimos números deabajo hacia arriba, es decir: 2047 más 698.El total es igual al minuendo, o sea: 2745.
Ejercicio deAutoevaluación
En la columna de la derecha, seleccione el resultado correcto de las operaciones matemáticas de laizquierda.
Respuestas
Multiplicación de númerosenteros
Ahora vamos a considerar otro proceso muyparecido al de sumar; de hecho, la multipli-cación es un método más rápido y eficientede expresar una suma de números del mis-mo valor. Por multiplicar se entiende sumarun número tantas veces como indique elotro. Estos números se llaman factores y elresultado se llama producto.
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La multiplicación es de mucho valorcuando se tienen varias cosas de una claseque se desean combinar en una cantidad.Por ejemplo, pagamos catorce dólares deimpuesto por mes; para saber cuánto paga-mos en un año, multiplicamos catorce dóla-res por doce, que es igual que sumar catorcedoce veces para obtener el mismo resulta-do. La multiplicación se indica por el signox que se coloca entre los factores que debenmultiplicarse. Para indicar la multiplicaciónen el ejemplo anterior, tomamos los facto-
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res y los separamos por medio del signo enla siguiente forma: 14 x!2, que se debe leer:"catorce por doce".
El orden de los factores no altera elproducto. Es indiferente si en el problemaanterior se multiplica doce por catorce ocatorce por doce, de cualquier modo resultaun producto de 168. Igualmente, 2641 mul-tiplicado por 322, o 322 multiplicado por2641 da el mismo resultado, pero es másfácil y rápido multiplicarlo de la primeramanera, así: 2641 x 322, como podrá com-probar después.
Para la multiplicación es imperativo queaprenda la Tabla de Multiplicar que hemosaquí incluido. Debe aprenderla de memoriapara que pueda efectuar multiplicacionesmentales de números de una cifra, e igual-mente le simplificará la de números de va-rias cifras. Para multiplicar un número devarias cifras por uno de una crifra, se colocaprimero el mayor y debajo el número de unacifra. Este se multiplica por todas y cadauna de las cifras del otro. Como ejemplotomemos la multiplicación de los siguientesnúmeros: multiplicar 416 por 6.
El primer paso consiste en colocar elseis debajo del 416 y trazar una raya abajo.Luego decimos: seis por seis son treinta yseis. Anotamos seis abajo de la raya y deci-mos: "seis y llevamos tres".
En seguida decimos: seis por uno sonseis, y tres que llevamos son nueve. Anota-mos el nueve abajo de la raya.
Por último multiplicamos seis por cua-tro, resultando veinticuatro. Escribimos lacantidad completa bajo la raya por no habermás cifras de multiplicar. El producto totales de 2496.
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Debe notar que cuando el producto par-cial es mayor de nueve, se coloca la últimacifra abajo de la raya y se suman las otrascon el producto parcial siguiente. Cuandose multiplica el último factor entonces secoloca el producto parcial entero abajo de laraya. Si por lo pronto se le dificulta recordarel número que ha de llevar para sumar alsiguiente producto parcial, puede escribirlosobre el factor al cual se le va a sumar.
Cuando los dos factores se componende varias cifras, se coloca el menor debajodel otro y se multiplican todas y cada unade las cifras de uno por las del otro. Losproductos parciales se van colocando unacifra a la izquierda del anterior, sumándosetodos al último para obtener el producto com-pleto. Esta operación se efectúa en la mismaforma que la expuesta en el ejemplo ante-rior, con la única diferencia de que existenvarios productos provisionales que se debensumar. Vamos a considerar el siguiente casopara mayor claridad del proceso: la multi-plicación de 642 por 321, o sea: 642 x 321.
Debemos colocar primero el factorgrande y debajo de éste el que es más pe-queño, trazando una raya debajo de este úl-timo. (Podríamos colocar cualquiera de losdos factores primero, pero pueden ser máslos factores provisionales y, por lo tanto,prolongaría indebidamente la operación.)
En seguida tomamos la primera cifra deabajo llamada multiplicador y la multiplica-mos por la primera cifra de arriba o multi-plicando, diciendo: uno por dos son dos,anotamos el dos abajo de la raya y no lleva-mos nada, porque es una sola cifra. Luegodecimos, uno por cuatro son cuatro y escri-bimos cuatro.
1x2 = 2
Ahora decimos: uno por seis son seis,anotamos el seis, completando así el pro-ducto provisional de 642.
Procediendo con la segunda cifra deabajo o sea el dos, lo multiplicamos en igualforma, teniendo cuidado de colocar la pri-mera cifra debajo de la segunda cifra delproducto provisional anterior. Multiplica-mos dos por dos que dan cuatro, dos porcuatro son ocho y dos por seis son doce. Elproducto provisional es de 1284.
Seguimos la multiplicación, esta vez mul-tiplicando el tres por las cifras del númerode arriba. Decimos: tres por dos son seis,escribimos el seis abajo de la segunda cifradel producto provisional anterior, tres porcuatro son doce, anotamos dos y llevamosuno, tres por seis son dieciocho y uno quellevamos son diecinueve, apuntamos dieci-nueve y resulta un producto provisional de1926.
Una vez terminada la multiplicación detodas las cifras del multiplicando, trazamosuna raya horizontal debajo del último pro-ducto provisional y procedemos a sumar los
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productos provisionales para obtener el pro-ducto total que en este caso es de 206,082.
En ciertos casos encontrará ceros en elmultiplicador, pero esto se remedia fácil-mente. Cuando un factor contiene un ceroen medio, se pasa a la siguiente cifra y secoloca el producto provisional de esta unlugar más hacia la izquierda. En caso de serdos ceros, el producto provisional se escribedos cifras más hacia la izquierda, y así su-cesivamente.
Como ejemplo vamos a multiplicar2612 x 209. Primero multiplicamos pornueve, luego como no se puede multiplicarpor cero, pasamos a la siguiente cifra que esdos: multiplicamos por dos y colocamos elproducto provisional, brincando un lugar dela posición normal. Sumamos los productosprovisionales y obtenemos: 545,908.
Para que comprenda mejor el procedi-miento, vamos a tomar un ejemplo en elcual tanto el multiplicando como el multi-plicador contienen ceros en medio. En estecaso el multiplicador contiene dos ceros.Multiplicamos en la forma debida como yahemos demostrado en los ejemplos anterio-res, pero pasando por alto los dos ceros ycolocando el producto provisional siguientedos cifras hacia la izquierda de lo normal.El producto total es de 100,305,106.
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Una regla que nunca falla y que puedeseguir con facilidad, es la siguiente: coloquela primera cifra de cada producto provisio-nal exactamente en línea vertical con la ci-fra del factor por el cual se esté multiplican-do. Tomando el ejemplo anterior note que almultiplicar por el dos se coloca la primeracifra de su producto provisional debajo deldos; al multiplicar por cinco se coloca laprimera cifra de su producto de modo quequede en línea vertical con el cinco.
Cuando los factores contienen ceros a laderecha, se pasan los ceros por alto y seefectúa la multiplicación en la forma nor-mal. Después de haber obtenido el productototal, se le agregan a la derecha todos losceros que se encuentran a la derecha de losdos factores. Realmente resulta fácil la mul-tiplicación de números que terminan en ce-ros porque se reduce el número de cifrasque han de ser multiplicadas. Por ejemplo,al multiplicar 4300 por 120, multiplicamos43 por 12 y al producto total le agregamoslos tres ceros de los dos factores, es decir:dos ceros del multiplicando (4300) y unodel multiplicador (120). En esta forma obte-nemos el producto total de 516,000.
Comprobación de lamultiplicación
Los resultados de una multiplicación se pue-den comprobar por dos métodos. El primero
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es el más común porque se puede efectuarmentalmente con rapidez y certeza. El segun-do método consiste en efectuar la operacióncontraria a la multiplicación, o sea la división.
Veamos como es el primer método. Sesuman las cifras del multiplicando y si eltotal pasa de nueve, se suman las cifras queforman ese total, hasta obtener un númeromenor de diez. Luego se suman las cifrasdel multiplicador en la misma manera hastaobtener un número de una cifra, es decir:menor de diez. Ahora multiplicamos los re-sultados de esas sumas y si el producto quese obtenga es mayor de nueve, se sumantambién sus cifras hasta que quede una sola.Por último se suman las cifras del producto,hasta obtener un total de una cifra. Esta de-be ser igual a la cifra que se obtuvo en laoperación anterior.
El ejemplo de abajo sirve para demos-trar este proceso. El producto de la multipli-cación es de 38,232. Ahora, para probar queeste resultado es correcto, sumamos las ci-fras del multiplicando y obtenemos una su-ma de 18, pero como ésta es mayor de nue-ve, sumamos el uno y el ocho y obtenemos9. Luego sumamos las cifras del multiplica-dor y obtenemos 3. Después multiplicamos3 x 9 y resulta 27, pero siendo este númeromayor de nueve, sumamos sus cifras, dos ysiete, que dan 9.
Tomamos el producto y sumamos suscifras, resultando un total de 18, reduciendoeste número obtenemos nueve. Como esigual al resultado de la operación anterior,sabemos que la multiplicación está correcta.
El otro método de comprobar una mul-tiplicación es por medio de la división. Se
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divide el producto entre el multiplicador. Elresultado de esta operación debe ser igual almultiplicando. Usando el ejemplo anterior,para comprobarlo, dividimos 38,232 entre12, lo que resulta en 3,186. Este número esigual al multiplicando y así queda compro-bado el problema.
División de números enteros
Por división se entiende determinar el nú-mero de veces que una cantidad llamadadividendo contiene a otra llamada divisor.El resultado de esta operación se denominacociente. La división se indica por mediodel signo ÷ o por una raya que sirve paraseparar al divisor del dividendo. Por ejem-plo, para indicar la división de doce entretres, se hace de las siguientes formas:
Los números pequeños se pueden divi-dir mentalmente si se sabe bien la Tabla deMultiplicar que discutimos en la sección pa-sada. Por ejemplo, cuando se desea dividir42 entre 6, sabiendo la Tabla de Multiplicarpodemos determinar que seis multiplicadopor siete es igual a cuarenta y dos; entoncescuarenta y dos dividido entre seis es igual asiete.
Hay dos métodos de efectuar la opera-ción de dividir, uno se llama el método dedivisión larga y el otro el de división corta.Primeramente vamos a tratar el sistema dedivisión larga.
Se escribe el dividendo, se traza una ra-ya arriba de la cantidad y que baje por elextremo izquierdo. Se escribe el divisoratrás de esa raya que divide las dos cantida-des. Como una demostración tomaremos:229,635/45 (dividir 229,635 entre 45). Es-cribimos las cantidades como sigue:
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Principiando por el extremo izquierdodel dividendo, tomamos las cifras que seannecesarias para que puedan contener una omás veces al divisor. Como la primera cifraes dos y no puede ser dividida entre 45,tomamos también la siguiente de la derechay formamos así 22. Tampoco se puede divi-dir entre 45, por lo que tomamos una más yformamos 229, que sí es divisible entre 45.
Se aprecia el número de veces que eldivisor puede ser contenido en esa cantidady se escribe arriba de la raya, en línea conla última cifra tomada del dividendo. Estaparte es la más difícil, porque hay que cal-cular mentalmente cuántas veces cabe el di-visor, pero el asunto se simplifica cuandoson varias cifras, tomando únicamente laprimera o dos primeras. En nuestro casotenemos 229 entre 45, pero podemos tomarsolamente 22 entre 4, viendo desde luegoque contiene 5. Para más seguridad pode-mos calcular mentalmente 5 x 45 que dan225, de modo de comprobar si el 5 es co-rrecto. Escribimos el 5 arriba de la raya, enlínea con el 9.
Se multiplica la cifra obtenida del co-ciente por el divisor y se resta el productode las cifras que se tomaron del dividendo.Como obtuvimos 5 para el cociente, lo mul-tiplicamos por 45 y escribimos el productodebajo de 229. Lo restamos y nos quedan 4.
Se repite el procedimiento, bajando ci-fras del dividendo hasta terminar con todas.Ahora bajamos la siguiente cifra del dividen-do: el número seis, y lo anotamos a la dere-cha del cuatro, que nos da el número 46.
Dividimos 46 entre 45 y resulta uno comocociente. Escribimos uno en seguida del cincoy arriba del 6. Luego multiplicamos 45 poruno y escribimos el producto debajo del 46y restamos, resultando uno de diferencia.
Bajamos en seguida la siguiente cifradel dividendo, o sea 3, formando de estamanera el número 13. Trece no puede divi-dirse entre 45, así que apuntamos cero co-mo la siguiente cifra del cociente.
Como no hubo nada que restarle al núme-ro trece, lo dejamos en el mismo sitio y nadamás bajamos la siguiente cifra del dividen-do: el cinco y formamos el número cientotreinta y cinco. Por último dividimos 135 entre45 y obtenemos 3. Multiplicamos 45 por 3 yobtenemos 135, éste lo colocamos debajodel otro 135 y lo restamos, quedando cero.
En muchos casos, al efectuar la divisiónde algún número, sobra una cantidad peque-ña. En esos casos se puede decir que sobrantantos o se aumenta al cociente indicando
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división. Por ejemplo, al dividir 150 entre12, el cociente resulta ser 12 y sobran 6.
Podemos decir que 150 entre 12 es iguala 12 y sobran 6. También lo podemos escri-bir con signos, como sigue: 150/12 = 12-6/12. (Note usted que la rayita o guión estáuniendo los números, mientras que cuando
se usa para indicar resta, debe haber un es-pacio entre las cantidades.)
Ejercicio deAutoevaluación
En la columna de la derecha, seleccione el resultado correcto de las operaciones matemáticas de la
izquierda.
a. 4245384
b. 12
c. 121875
d. 16626.74e. 51368
Respuestas
Habiendo terminado con el método dedivisión larga, debemos de aprender en se-guida el proceso de la división corta. Estemétodo es muy valioso cuando se deseaahorrar trabajo escrito y se quieren hacer loscálculos mentalmente, siendo recomendadacuando el divisor es de una sola cifra.
Vamos a tomar el siguiente ejemplo: di-vidir 2668 entre 4.
Primero es necesario colocarlos en lamisma forma anterior: el divisor primero yluego el dividendo, separados por una líneavertical. Arriba del dividendo trazamos unalínea horizontal.
Por observación notamos que el primernúmero del dividendo, el dos, no es divisi-
ble entre cuatro, pero 26 si se puede dividirentre cuatro, resultando seis y nos restandos. Escribimos seis en línea con el seis deldividendo y llevamos dos restantes.
Mentalmente colocamos éste dos res-tante ante la siguiente cifra que se ha dedividir, que es el seis, formando así el nú-mero 26. Dividimos 26 entre cuatro que nosda 6 y sobran dos. Escribimos 6 arriba delseis del dividendo y llevamos dos, que co-locamos mentalmente ante el ocho que es lasiguiente cifra que se ha de dividir.
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Veintiocho contiene al número 4 exacta-mente siete veces. Anotamos siete arriba delocho y damos por terminada la operación,no sobrando nada.
Comprobación de la división
La división es la operación inversa o recí-proca de la multiplicación y por eso no haycosa más lógica que usar la multiplicacióncomo comprobante de la división. Para com-
probar la división se multiplica el cocientepor el divisor y al producto se le suma elresiduo, si lo hay. Este total debe ser igualal dividendo.
Tomando el problema anterior comoejemplo, lo podemos comprobar multipli-cando el cociente, que es 667, por el divi-sor, que es cuatro, dándonos por resultado2668, que es igual al dividendo. De aquí sepuede ver que la división estuvo correcta.
Resumen
Esta lección destaca la estrecha relación delos conocimientos básicos de las matemáti-cas con el desempeño adecuado del técnicoen refrigeración y aire acondicionado. Lasnociones aritméticas se utilizan para, entreotras cosas, determinar el tamaño de la uni-dad que se necesitará para el espacio que seva a acondicionar, así como otros factoresque entran en la instalación del equipo, talescomo el tamaño de los duelos. Tras definirlos números enteros como "números conta-bles y el cero", se hace un análisis de lascuatro operaciones básicas -sumar, restar,
multiplicar y dividir- y de los símbolos uti-lizados para efectuar dichas operaciones.Anteriormente, se explica lo que es el valorde posición o de lugar de los números den-tro de la cifra que forman, y qué son lasunidades, las decenas, las centenas y los mi-llares. Se indica, igualmente, lo que son"números positivos" y "números negati-vos", y el papel que juegan como signosnuméricos. La explicación de cada una delas operaciones básicas se acompaña con lastablas respectivas y con una presentacióntransparente de los métodos de comproba-ción, todo ello ilustrado con numerososejemplos.
...ydespués,¿qué sigue?
En esta segunda parte de la sección de mate-máticas se sigue insistiendo en la conexiónesencial de esta disciplina con el campo detrabajo del técnico de servicio en refrigeración
y aire acondicionado. Ahora se pasa ya alestudio de realidades matemáticas más com-plejas, como los números fraccionarios (frac-ciones o quebrados) y los decimales, de loscuales no sólo se dan las oportunas defini-ciones sino sus cuatro operaciones básicas.
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Examen
INSTRUCCIONES: Resuelva el siguiente examen y no dude en consultar el texto de la lección cuantasveces sea necesario. Encierre en un círculo la letra que identifique a la respuesta correcta. Verifiquecuidadosamente sus respuestas y luego, en el talón de abajo, escriba dentro de cada cuadro la letra queusted circuló en cada caso. Escoja una sola respuesta para cada pregunta. Recorte el talón sobre la líneapunteada, anote claramente su número de matrícula, su nombre y su domicilio, y envíelo a la escuela.
1. En una cifra o número el dígito que seencuentra en el tercer sitio de derechaa izquierda representa el valor de lasa. unidadesb. decenasc. centenasd. unidades de millar
2. El número que representa dos unida-des de millar, una centena, ocho dece-nas y cuatro unidades esa. 1284b. 2184c. 8214d. 8421
3. El resultado de la resta 1484-0195 esa. 1298b.1279c. 1297d.1289
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4. La operación aritmética dieciséis en-tre ocho, se escribea. 16 ÷ 8 =b. 8 ÷ 16 =c. 16 x 8 =d. 8 x 16 =
5. El resultado de la suma 187 + 94 +245 + 041 = esa. 657b.576c.568d.567
6. En una resta, el número menor recibeel nombre dea. minuendob. sustraendoc. dividendod. divisor
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Recorte aquí el talón de respuestas y envíelo a la escuela
7. El resultado de la resta 3598-625 = esa. 2973b.9273c. 2793d. 2739
8. El resultado de la multiplicación 629X 35 = esa. 22051b. 22105c. 22015d.22501
9. El resultado de la multiplicación 3400X 140 = esa. 467000b. 470600c. 460700d.476000
10. El resultado de la división 25834 ÷ 69esa. 274.4b. 374.4c. 474.4d. 347.4
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Una vez resuelto el examen usted puede enviarlo a la escuelapor FAX. Asegúrese de marcar su nombre y respuesta con tintanegra y si desea la respuesta también por FAX, anote ambosnúmeros de Fax y telefónico en lugar de su dirección.
