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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

METODOS NUMERICOSTRABAJO COLABORATIVO 2

PRESENTADO POR

ROBINSON ANDRES CASTRO

JESUS MARINO GOMEZ MUÑOZ CC7505052MARIANO ANTONIO MONSALVE ROJAS CC 71265546MAURICIO ANTONIO BOHÓRQUEZ CUARTAS CC 71264187

GLORIA ELENA CARDENAS TAMAYO CC 43722789

GRUPO 100401-34

TUTORJOSE ADEL BARRERA

MEDELLÍN – COLOMBIA

2016

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INTRODUCCIÓN

Este trabajo lo realizamos con el fin de profundizar en los conocimientos correspondientes ala segunda unidad de métodos numéricos llamada “sistema de ecuaciones lineales, nolineales e interpolación”, en el cual se resolvieron las diferentes problemas por medio de losmétodos de eliminación de Gauss, Gauss-Jordán, Gauss-Seidel, Polinomio de interpolaciónde Lagrange y también con diferencias divididas de newton, lo que permitió asimismo quebuscáramos diferentes herramientas y métodos para llegar a la solución.

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1. Construir un cuadro comparativo de las diferencias entre los sistemas lineales y los sistemas NO lineales con al menos unejemplo. (Debe ser original, no se admiten copias bajadas de internet).

DEFINICIÓN

CUADRO COMPARATIVOSISTEMA LINEAL SISTEMA NO LINEAL

Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a laprimera potencia, que no contiene productos entre las variables. Es decir,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variablea la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.

las ecuaciones simultáneas son lineales, es decir, que se puedan

expresar en la forma general.  +⋯+ 0 Donde la b y las a son constantes

Cuando al menos una de sus ecuaciones no es deprimer grado.Podemos resolver un sistema de ecuaciones linealesgraficando, por sustitución y por combinación lineal.Los sistemas de funciones no lineales, comoecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser

manejados con las mismas técnicas. A las ecuaciones algebraicas y trascendentes que nose pueden expresar de esta forma se les llamaecuaciones no lineales. Por ejemplo, 1 0  3 57 

FORMA

Que satisface las siguientes propiedades: Aditividad: f(x+y)=f(x)+f(y)Homogeneidad: f(ax)=a f (x).Dos reglas que tomadas a conjunto se conoce como principio desuperposición.

Una ecuación no lineal es una ecuación de laforma(u)=0 para un valor desconocido de U.

PROPIEDADES

Las ecuaciones lineales no homogéneas de orden dos o superior tienen lapropiedad de que una combinación lineal de soluciones también es unasolución.

Las ecuaciones no lineales no poseen esta propiedadde superposición.

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ENTRADA YSALIDA  

Cualquier aumento en   provova un aumento o disminución en  dependiendo del valor de la pendiente.

 No siempre es el causante del incremento de .

 Al considerar el ejemplo: 5   Disminuye en valor cuando   se aproxima a 5, peroen el caso contrario disminuye.

GRAFICA 

Representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función sepuede escribir:f(x)=mx+b

Una función cuadrática es una función en la forma:  ≠0. Su grafica se llama una parábola.

2 8 Tiene su vértice en coordenada x 2 22 1 

La coordenada y del vértice es 1 21 8 9 La intersección en y de la gráfica es c=-8, y lasintersecciones en x son las soluciones de 2 8 0  2 4 0,  24. . 

SOLUCIÓNTiene solución única 

Tiene varias soluciones:Solución únicaNúmero finito de solucionesNúmero infinito de solucionesNo tiene solución

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MÉTODOS DESOLUCIÓN

Métodos DirectosMétodo de Gauss(por reducción)Método de Cramer(por determinantes)Por inversión de la matrizMétodo de Gauss-Jordan(por eliminación)Por sustituciónMétodos IterativosMétodo de JacobiMétodo de Gauss-Seidel

Método de la BisecciónMétodo de punto fijóMétodo de NewtonMétodo de la secanteMétodo de aproximaciones sucesivasMétodo de la regla falsaMétodo de Interpolación Inversa

EJEMPLOS

Ejemplo: Igualación

    → →   →

       

 

.  

 

Ejemplo: Igualación

  √  → (√ )    

           

 

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2. Solucione el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación de Gauss,Gauss-Jordán y GaussSeidel. Compare los resultados y haga un pequeñoanálisis.

. . . . . . . .

 

. . . . Utilizar un ξ = 0.001 GaussTransformamos la matriz de manera escalonada0.1 7.0 0.33.0 0.1 0.20.3 0.2 10

19.307.8571.40  

 , 3 . 0 3.00.1 ∗ 0 . 1 0 

 , 1.0 3.00.1 ∗7.0210,1  , 0.2 3.00.1 ∗0.38.8  , 7 . 9 3.00.1 ∗19.30586.9 0.1 7.0 0.30 210.1 8.80.3 0.2 10

19.30586.971.40

 

 , 3 . 0 3.00.1 ∗ 0 . 1 0  , 0.2 3.00.1 ∗ 0.3 12.2  . 10.0 3.00.1 ∗0.39.1 

 , 71.43.00.1 ∗19.3129.3

 

0.1 7.0 0.30 210.1 8.80 12 2 9.119.30586.9129.3  

 , 21.2 21.2210.1 ∗210.10  , 9.1 21.2210.1 ∗ 8.8 10.0 

 , 129.3 21.2210.1 ∗586.970.1 

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 0.1 7.0 0.30 210.1 8.80 0 10.019.30586.970.1  

0.1  7.0   0.3   19.30 

210.1  8.8   586.9 10.0   70.1 Ecuación variable  190771910 1338611910   13386119077 7.0 Ecuación variable  

210110 445   1173720 210110 ∗  445 ∗ 13386119077 1173720 11778538154   3.0 Ecuación variable  110 7 ∗ 310 ∗ 19310   110 ∗  

7 ∗ 11778538154 310 ∗ 13386119077 19310   2.0 

Respuesta  2.0 3.0 7.0 Gauss-Jordan0.1 7.0 0.33.0 0.1 0.2

0.3 0. 10.0

19.307.85

71.40

 

 , 3 . 0 3.01.0 ∗ 1 . 0 0  , 0.1 3.01.0 ∗7.0210.1  , 0.2 3.01.0 ∗0.38.8  , 7 . 9 3.0

1.0∗19.3058.69 

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0.1 70.0 0.30 210.1 8.80.3 0.2 10.019.30586.971.40  

 , 3 . 0 3.01.0 ∗ 1 . 0 0  , 2.0 3.01.0 ∗70.021.2  , 10.0 3.01.0 ∗ 0.3 9.1  , 71.4 3.01.0 ∗19.3129.3 

0.1 70.0 0.30 210.1 8.80 21.2 9.1 19.30586.9129.3  

 , 210.1210.1 1  , 0.0 0.01.0 ∗1.00.0 

 ,

21.221.2

210.1 ∗210.10 

 , 9.1 21.2210.1 ∗ 8.8 10.0 

0.1 70.0 0.30 1 0.00 0 10.019.302.870.1  

 , 0.0 0.0

1.0∗1.00.0 

 , 2.8 0.01.0 ∗7.03.1 

 , 10.0/ 10.0 1  , 2.8 0.01.0 ∗ 7.0 3.1 

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0.1 70.0 0.30 1 00 0 1 19.303.170.1  

 , 70.0 3.01.0 ∗0.070  , 70.0 70.01.0 0.00  , 193.0 3.01.0 7.0214.1 

1 0 00 1 00 0 1

214,03.170.1

 

Ecuación variable    1338611910 7.0 Ecuación variable    11778538154   3.0 

Ecuación variable    3903119077  2.0 

Respuesta  2.0 3.0 7.0 Método de eliminación de Gauss-Seidel:

En este método buscamos la aproximación de los valores de las variables suponiendoalgunos valores, para realizar esta aproximación comenzamos despejando la variable   dela ecuación 2, la variable   de la ecuación 1 y la variable   de la ecuación 3, así:

  7.850.1 0.23    19.30.1 0.37    71.40.3 0.2

10 

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Para la primera iteración en la aproximación de los valores de las variablesasumimos   0 y  0, buscamos el valor de  ,:

 , 7.850.10 0.20

3 7.85

32.61667 

Con este valor de  , para la primera iteración y el   0 encontramos el valor de ,: , 19.30.12.616 0.307 2.79451 

 Ahora con , y , hallamos ,:  71.40.32.6160.22.794

107.00564 

La primera iteración nos deja como resultado los siguientes valores: , 2.61667  , 2.79451  , 7.00564 Para la segunda iteración hallamos el valor de  , a partir de , y ,:

 , 7.850.12.79451 0.27.00564

32.05647 

Con este valor de  , de la segunda iteración y el valor de  , encontramos el valorde ,:

 , 19.30.12.056470.37 3.08676  Ahora con , y , hallamos ,:

 , 71.40.32.056470.23.0867610 7.01657 La segunda iteración nos deja como resultado los siguientes valores: , 2.05647  , 3.08676  , 7.01657 Comprobamos el error existente entre los valores arrojados de la primera y segundaiteración:  , , |2.056472.61667| 0.5602 

 ,

,

|3.086762.79451

|0.29225

 

 , , |7.016577.00564| 0.01093 

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Como se observa no se cumple la condición de error entregada para el ejercicio.

Para la tercera iteración tenemos:

 , 7.850.13.086760.27.016573 2.046  , 19.30.12.0460.37.016577 3.08708  , 71.40.32.0460.23.0870810 7.01688 

Comprobamos el error existente entre los valores arrojados de la segunda y terceraiteración:  , , |2.0462.05647| 0.01047  , , |3.087083.08676| 0.00032 

 , , |7.016887.01657| 0.00031 Como se observa no se cumple la condición de error entregada para el ejercicio.

Para la Cuarta iteración tenemos:

 , 7.850.13.087080.27.016883 2.04597  , 19.30.12.045970.37.016887 3.08709 

 , 71.40.32.045970.23.0870910 7.01688 Comprobamos el error existente entre los valores arrojados de la tercera y cuartaiteración:  , , |2.045972.046| 0.00003  , , |3.087093.08708| 0.00001  , , |7.016887.01688| 0 Podemos observar que en esta Cuarta iteración SI se cumple la condición de errorentregada para el ejercicio, con lo que concluimos que los valores de las variablesson finalmente:

  2.04597   3.08709   7.01688 

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En resumen estos fueron los valores de las variables obtenidos con la aplicación delos tres métodos sugeridos para el ejercicio:

Gauss:

  2.048 

  3.091   7.0925 Gauss-Jordán:   2.048   3.091   7.092 Gauss- Seidel:   2.04597   3.08709 

  7.01688 

Como se observa, los resultados obtenidos por los tres métodos son muy similares eincluso iguales a pesar de que la probabilidad de error está presente en los tresmétodos, debido al manejo de números decimales.

Como se observó en el procedimiento, el método de Gauss y Gauss-Jordán son muysimilares, siendo este último más tedioso al necesitar llegar una matriz específica, yes debido a esa similitud que los resultados de ambos métodos coinciden, por elcontrario el método Gauss-Seidel se basa en la aproximación sucesiva de lasvariables a la respuesta, lo que nos entrega al final un valor más preciso de las

variables.

3. Solucione el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación de Gauss,Gauss-Jordán y Gauss-Seidel. Compare los resultados y haga un pequeñoanálisis.

17 1 – 2 2 – 3 3 500– 5 1 21 2 – 2 3 200– 5 1 – 5 2 22 3 30

3%GAUSS-JORDÁN  17 2 3 5085 21 2 2005 5 22 30  1 0,11 0,17 |29,41|5 21 2 |200 | 5 5 22 |30|  1 0,11 0,17|29,41|0 26 3 |205 | 

5 5 22 |30| 

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1 0,11 0,17|29,41|0 26 3 |205 | 0 0 27 |35|  1 0,11 0,17|29,41|0 1 0,11 |7,8 | 0 0 27 |35|

 

1 0,11 0,17|29,41|0 1 0,11 |7,8 | 0 0 1 |1,29|  

GAUSS-SEIDEL17 2 3 5085 21 2 200

5 5 22 30

 

  5002 317    2005 221    3 0 5 522  

  0 0 

  50017 29,41 

  200529,4121   16,52   3 0 529,41 516,5222 11,80   500 216,52 311,8017 33,73 

  200 533,43 211,8021 18,60   3 0 533,43 518,6022 13,18   |33,4329,41| 4,02   |18,6016,52| 2,08   |13,1811,80| 1,38   5 0 0 218,60 313,18 33,92

17 

  2 0 0 533,92 213,18 18,8521  

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  3 533,92 518,85 13,3522    |33,9233,43| 0,4 

  5 0 0 218,85 313,35 33,9817    2 0 0 533,98 213,35 18,8821    3 0 533,98 518,88 13,3722    |33,9833,92| 0,06 

  5 0 0 218,88 313,37 33,9917    2 0 0 533,99 213,37 18,8921    3 0 533,99 518,89 13,3822    |33,9933,98| 0,01 

 1 33,99 2 18,89 3 13,38 GAUSS17 -2 -3 500 f1/17

-5 21 -2 200

-5 -5 22 30

1 -0,11764706 -0,17647059 29,4117647

-5 21 -2 200 f2+5f1

-5 -5 22 30 f3+5f1

1 -0,11764706 -0,17647059 29,4117647

0 20,4117647 -2,88235294 347,058824 f2/20,411

0 -5,58823529 21,1176471 177,058824

1 -0,11764706 -0,17647059 29,4117647

0 1 -0,14121037 17,0028818

0 -5,58823529 21,1176471 177,058824 f3+5,588f2

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 1 -0,11764706 -0,17647059 29,4117647

0 1 -0,14121037 17,0028818

0 -2,5072E-09 20,3285303 272,074928 f3/20,328

1 -0,11764706 -0,17647059 29,4117647

0 1 -0,14121037 17,0028818

0 -1,2333E-10 1 13,3838956

4. Determine el Polinomio de Interpolación de Lagrange para la siguiente tabla.

     

   

2 3  5 71 31 71 7 1 1  5 73 13 53 7 2 1  3 75 15 35 5 3 1  3 5 717375 

2 3  5 748 1 1  5 716 2 1  3 716 3 1  3 5 48  

2 3  5 724 1 1  5 716 2 1  3 78 3 1  3 5 16  

116  1 5 7 3 [18  3 7] [ 5 3 1 ] 

116  6 5 7 3 [18  10 21] [ 5 3 1 ]  116  6 5 4 [18  10 21] [ 5 3 1 ] 

116  6 5 4 [18  1021] [ 5 3 33 ] 

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116  6 5 4 [18  10 21] [ 2 23 ]  14   6 5 [18  10 21] [ 13 ] 2 

14  6 5 [14  10 21] [ 13 ]  4 32 54 

4 52 214 [ 13 ] 

4 32 54  12 5

56 212112  

4 32

54

12

12 5

6 56

2112

2112

 

12

2 712 3 

5. Determine el Polinomio de Interpolación Usando la Interpolación de DiferenciasDivididas de Newton, e interpole en el punto x = 3

  1430 Primeras diferencias divididas

,  , 90814306 7 5221 522 

, ,− −− −− 315 

, ,

− −

− −

− 119 

, ,− −−—− −− 47 

Segundas diferencias divididas

, ,  , ,   3155224 7 2073 69 

, ,  , ,   1193152 6 1964 49 

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17/22

, ,  , ,   47119 4 4 728 9 

Tercera diferencia

, , ,  , , , ,   4 9 6 92 7 205 4 , , ,  , , , ,  

9 4 9 4 6 4010 4  1430522 7 69 7 6 4 7 6 4  1430522365469 1 3 4 2 4 1 3 4 2 4   1430 522 3654 69 8972898

4 13 4 2 4 52 168 

1430 522 3654 69 897 2898 4 52 16816 208672  4 2 2 42 2 2 2 2 40 

3 43 3 3 2 3 122 6. Para la siguiente tabla obtenga el Polinomio de Interpolación de diferencias

finitas de Newton e Interpole en el punto x = -14/15

Organizamos los datos de tal forma que los valores de X estén de menor a mayor

X -1 -2/3 -1/3

0

Y -4 -32/9

-8/3

-2

 

4 

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18/22

Primeras diferencias divididas

,  , 4 1

43 

,  , 83 

,  , 2

2 Segundas diferencias divididas

, ,  , ,

1

2

 

, ,  , , 2 0

1 Tercera diferencia

, , ,  , , , , 1 20 1 31 3 

4 43 1 2 1 23 3 1 23 13  4 43 43 2 53 23 3 291  4 43 43 2 103 43 3 29 29  4 4

3 4

3 2 10

3 4

33 2 11

9 2

9 

4 43 43 2 103 43 3 6 113 23  3 4 2  1415  1415 3 1415

4 1415 1415 2 

1415 

1415

1492375

 

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7. Dados los puntos: (-4.5, 0.7), (-3.2, 2.3), (-1.4, 3.8), (0.8, 5.0), (2.5, 5.5), (4.1, 5.6)determine los polinomios de grado 4 y 5. Graficar para determinar la curva másaproximada.

8. Plantee y solucione dos ejercicios sobre la temática de Transformada discreta deFourier

Ejemplo 1:

||

↔   2

12 

Puesto que ahora consideramos señales discretas, multiplicamos x(t) por la forma demuestreo lineal ,  para producir una señal exponencial muestreada.  212 ∗ ∑   ∑ 212

∞

=∞

∞

=∞ 

Calculando la transformada discreta de Fourier solo en una sección de T segundos

es en efecto, multiplicar   por una función de ventana . En el dominio de lafrecuencia, esto corresponde a la convolución de    con la transformada deFourier de la función de la ventana, la cual es . La transformada de Fourier de la señal muestreada y ventaneada es:

  2 ∑ 112∞

=∞ ∗ 

Finalmente, el resultado de la operación de DTF efectivamente muestra el espectro  es un conjunto discreto de frecuencias separados por el recíproco del tiempode observación (duración de la ventana), 1/T. Esto corresponde a la convolución en

el dominio del tiempo con una secuencia de funciones deltas ya que

∑ ↔ ∑ ∞

=∞

∞

=∞ 

Esto produce una secuencia muestreada periódica en el dominio de tiempo,  Ejemplo 2:Utilizar la DFT para calcular la respuesta en frecuencia discreta de una señal x[n]definida por:

x[0] = 0; x[1] = 1, x[2] = 2, x[3] = 3 (Rampa truncada)

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 Solución:

∑ − =

 

N=4 k=0,1,2,.....N-1

0 ∑ 1 2 3 6=

 

1 ∑ −

=− 2− 3− 2 2  

2 ∑ − =

− 2− 3− 2 3 ∑ −

=

− 2− 3− 2 2  

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CONCLUSIONES

Los temas desarrollados en este trabajo nos permitieron comprender y emplear losdiferentes métodos de soluciones de ecuaciones para los problemas expuestos en la guíade actividades y de esta forma obtener un conocimiento más integral de los métodosnuméricos, en los cual se emplearon todos los métodos de Gauss, los polinomios deinterpolación y ajustes de curvas.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Gómez, Francisco. Transformada discreta de Fourier. Obtenido de:http://arantxa.ii.uam.es/~taao1/teoria/tema4/tema4.pdf

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