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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALAFACULTAD DE INGENIERAESCUELA DE POSTGRADOMAESTRA EN ESTRUCTURASCURSO: MATEMTICA APLICADACAT: Msc. FERNANDO AJIATAZ

INDEPENDENCIA LINEALYBASES EN ESPACIOS VECTORIALES

NOMBRECARNE

Oscar Manuel Monterroso Ramrez 9616960

Luis Fernando Garnica Lpez130081

Melvin Ral Rojas Palacios200516275

Jonattan Garca Prez 1300183

FECHA: 09 DE MARZO DEL 2013

INDICE

INDICE02INTRODUCCIN03OBJETIVOS04INDEPENDENCIA LINEAL Y BASES DE ESPACIOS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES05ESPACIOS VECTORIALES09INDEPENDENCIA LINEAL12BASE EN ESPACIO VECTORIAL18

CONCLUSIONES27BIBLIOGRAFA28

INTRODUCCIN

En el presente trabajo observaremos la representacin de operaciones con vectores aplicados en planos de diversas dimensiones, lo cual su comprensin es fundamental para su aplicacin en diversas situaciones, tambin identificaremos la relacin que puede haber entre vectores como es combinacin lineal, dependencia lineal y base y dimensin tambin abordaremos en el tema de subespacio los conceptos de fundamentales de subespacios y base en Rn. La eleccin y uso de una base de un subespacio se parece a la eleccin y uso de un marco de coordenadas en el plano o en el espacio.

La ventaja principal de estas generalizaciones estriba en los inmensos ahorros de trabajo, porque las propiedades de los vectores abstractos se aplican a todos los ejemplos particulares. Adems, las demostraciones se tornan claras y fciles, porque no tienes la notacin de algn ejemplo especificoEn lgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones: Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V. Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente. Todo elemento de V se puede escribir como combinacin lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de V)La dimensin (del latn dimensio, "medida") es, esencialmente, el nmero de grados de libertad para realizar un movimiento en el espacio. Comnmente, las dimensiones de un objeto son las medidas que definen su forma y tamao.

OBJETIVOS

GeneralConocer las diferentes aplicaciones reales que se pueden resolver utilizando sistemas de independencia lineal y espacios vectoriales.

Especficos Entender los conceptos bsicos de independencia y de vectores. Conocer los diferentes mtodos y propiedades de la independencia lineal y espacios vectoriales. Comprender y manejar los conceptos de espacio y subespacio vectorial, dependencia lineal, base. Distinguir cuando un subconjunto de un espacio vectorial dado es subespacio, ser capaz de calcular bases para el mismo. Comprender y manejar el concepto de dimensin y analizar las razones por las que un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones. Llegar por medio de ejercicios prcticos a la obtencin de resultados utilizando estos mtodos matemticos.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Si buscamos la palabra lineal en un diccionario, encontraremos algo como lo siguiente: lineal, adj. Relativo a las lneas o de aspecto de lnea. En matemticas la palabra lineal significa algo ms que eso. Sin embargo, gran parte de la teora del lgebra lineal elemental es de hecho una generalizacin de las propiedades de las lneas rectas. Como repaso, damos aqu algunos de los hechos fundamentales acerca de las citadas rectas:

La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) esta dada por (si x2 x1).

m = y2 y1 = yx2 x 1 x

Si X2 X1 = 0 y y2 y1 entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente no esta definida.

Cualquiera recta (excepto una con pendiente indefinida), se pude describir expresando su ecuacin en la forma simplificada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (el valor de y en el punto donde la recta cruza al eje y).

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

Si la ecuacin de una recta es ax + by = c (b 0) entonces, como se ve fcilmente, m = - a/b

Si m1 es la pendiente de la recta L1, m2 la del L2, m1 0 y L1, L2 son perpendiculares, entonces m2 = - 1m1.Las rectas paralelas al eje x tienen pendiente cero.

Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indefinida. DOS ECUACIONES LINEALES EN DOS INCOGNITAS

Consideramos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en dos incgnitas x1 y x2:

a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2

donde a11, a12, a22, b1 y b2 son nmeros dados. Cada una de estas ecuaciones es la ecuacin de una lnea recta (en el plano x1 x2 en vez del plano xy). La pendiente de la primera recta es a11/a12 y la pendiente de la segunda es a21/a22 (si a12 0 y a22 0). Una solucin del sistema (1) es un par de nmeros, denotados (x1, x2), que satisface (1). Las preguntas que surgen naturalmente son: cundo (1) tiene soluciones? y, si la tiene, cuntas son? Responderemos a estas preguntas despus de ver algunos ejemplos. En estos ejemplos usaremos dos propiedades importantes del lgebra elemental:

Propiedad A. Si a = b y c = d entonces a + c = b + d

Propiedad B. Si a = b y c es cualquier nmero real, entonces ca = cb.

La propiedad A dice que si sumamos dos ecuaciones obtenemos una tercera ecuacin valida. La B dice que si multiplicamos ambos lados de una ecuacin por una constante obtenemos una segunda ecuacin valida.

VECTORES

El estudio de los vectores y matrices es parte medular del lgebra lineal. Es el estudio de vectores comenz esencialmente con el trabajo del gran matemtico irlands William Rowan Hamilton (1805-1865). Su deseo de encontrar un modo de representar ciertos objetos en el plano y en el espacio, lo llev al descubrimiento de lo que llam cuaterniones. Este concepto lo conduj al de lo que actualmente se denomina vectores. Durante la vida Hamilton, y en lo que rest del siglo diecinueve, existi un considerable debate sobre la utilidad de los cuaterniones o cuaternios y de los vectores. A fin de siglo, el gran fsico britnico Lord Kelvin, escribi acerca de los cuaternios. aun cuando son notablemente ingeniosos, han demostrado ser una mala fortuna para todos aquellos que de alguna manera los han estudiado (as como) los vectores nunca han sido de la ms remota utilidad a criatura alguna.

Sin embargo Kelvin estaba equivocado. Actualmente, casi todas las reas de la fsica clsica y moderna son representadas por medio del lenguaje de los vectores. Tambin se usan cada vez ms frecuentemente en las ciencias biolgicas y sociales.

La solucin a un sistema de dos ecuaciones en dos incgnitas como un par de nmeros (x1, x2). En el ejemplo 1.6 expresaremos la solucin de un sistema de tres ecuaciones en tres incgnitas como la terna de nmeros (4, -2, 3). Ambos, (x1, x2) y (4, -2, 3) son vectores.

Vector rengln de n componentes. Definimos un vector rengln de n componentes (o ndimensional) como un conjunto ordenado de n nmeros escrito como

(x1, x2, , xn)(1)

Vector columna de n componentes. Un vector columna de n componentes (o n-dimensional) es un conjunto ordenado de n nmeros escrito como

X1, X2 , Xn

En (1) o (2), x1 se llama la primera componente del vector, x2 es la segunda componente, y as sucesivamente. En general, xk es la k-sima componente del vector.

Por simplicidad, frecuentemente nos referimos a un vector rengln n-dimensinal como un vector rengln o un n-vector. De igual manera, usamos el trmino vector columna (o n-vector) para denotar a un vector columna n-dimensional. Cualquier vector con todas sus componentes iguales a cero se llama vector cero.

ESPACIOS VECTORIALES

Los conjuntos R2 (vectores en el plano) y R3 (vectores en el espacio) tienen propiedades interesantes. As, si sumamos dos vectores en R2 obtenemos otro vector en R2. Sometidos a la suma, los vectores en R2 son conmutativos y satisfacen la ley asociativa. Si X R2, entonces x + 0 = x y x + (- x) = 0. Adems, podemos multiplicar los vectores en R2 por escalares y establecer varias leyes distributivas. Las mismas propiedades tambin valen en R3.

A los conjuntos como R2 y R3 se los llama espacios vectoriales. Intuitivamente, podemos decir que un espacio vectorial es un conjunto de objetos que cumplen con las reglas descritas en el prrafo anterior.

DEFINICIN Y PROPIEDADES BSICAS

Espacio vectorial real. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicacin por un escalar que satisfacen los diez axiomas que se enumeran a continuacin.

Notacin. Si x y y estn en V y si es numero real, entonces escribiremos x + y para la suma de x y y y x para el producto escalar de y x.

Antes de enumerar las propiedades en un espacio vectorial, hagamos un par de aclaraciones. Primero, si bien es cierto que es muy til pensar en R2 o en R3 cuando tratamos con algn espacio vectorial, es frecuente encontrarse con espacios vectoriales cuya forma es muy diferente de la de estos espacios tan familiares. Segundo, la definicin 1 se refiere a un espacio vectorial real. La palabra real significa que los escalares que usamos son reales. Es muy fcil definir un espacio vectorial complejo usando nmeros complejos en lugar de nmeros reales. En este libro se trata bsicamente con espacios vectoriales reales, pero no es muy difcil hacer generalizaciones a otros conjuntos de escalares.

Axiomas de un espacio vectorial

Si x V y y V, entonces x + y V (es decir, V es cerrado para la suma).Para todos x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma).Existe un vector 0 V tal que para todos X V, x + 0 = 0 + x = x (0 se conoce como neutro aditivo).Si X V, existe un vector x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se conoce como inverso aditivo de x).Si x y y estn en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa de la suma de vectores. Si X V, y es un escalar, entonces x V (se dice que V es cerrado para la multiplicacin escalar).

Si x y y estn en V y si es un escalar, entonces (x + y) = x + y (primera ley distributiva).Si x V y si y son escalares, entonces ( + ) x = x + x (segunda ley distributiva).

Si x V y si y son escalares, entonces (x) = x (ley asociativa de la multiplicacin por escalar).Para todo vector x V, 1x = x (al escalar 1 se le conoce como neutro multiplicativo).Teorema 1Sea V un espacio vectorial. Entonces

0 = 0 para todo nmero real . 0 . x = 0 para todo x V. Si x = 0, entonces = 0 o bien x = 0 (o ambos).(-1) x = -x para todos x V.

SUBESPACIOS Sabemos que R2 = { (x,y): x R y y R} es un espacio vectorial. Adems, es claro que V R2. Esto es, R2 tiene un subconjunto que es tambin un espacio vectorial. De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que son a su vez espacios vectoriales. En esta seccin estudiaremos estos conjuntos tan importantes.

Subespacio. Sea H un subconjunto de un espacio vectorial V y supongamos que H es en s un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicacin escalar definidas sobre V. Se dice entonces que H es un subespacio de V.

Teorema 1: Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos reglas de cerradura valen:Reglas para verificar si un subconjunto es un subespacio:

Si x H y y H, entonces x + y H. Si x H, entonces x H para todo escalar . Demostracin: Para demostrar que H es un espacio vectorial, debemos verificar que los axiomas (i) a (x) cumplen con las operaciones de la suma vectorial y multiplicacin escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura (axiomas i y vi) se cumplen por hipotesis. Puesto que los vectores en H tambien estan en V, las leyes asociativa, conmutativa, distributiva y la del neutro multiplicativo (axiomas ii, v, vii, viii, ix y x) se satisfacen.

Este teorema nos dice que para probar que H es un subespacio de V, nos basta con verificar que:x + y y x estn en H, siempre que x y y estn en H y sea un escalar. La demostracin anterior contiene un resultado importante que debe mencionarse explcitamente:Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

Este resultado nos permitir ver fcilmente si un subespacio particular V no es un espacio vectorial. Esto es, si un subconjunto no contiene al 0, entonces no es un subespacio. Subespacio propio. Los primeros dos ejemplos nos muestran que todo espacio vectorial V contiene dos espacios vectoriales, {0} y V (a menos que V = {0}). Desde luego, es mucho ms interesante encontrar otros subespacios. Los subespacios que no son ni {0} ni V se conocen como subespacios propios.

INDEPENDENCIA LINEAL

En el estudio de lgebra lineal, una de las ideas centrales es la independencia o dependencia lineal de vectores. En esta seccin definiremos lo que entendemos por independencia lineal y se mostrara el modo en que se relaciona con la teora de sistemas homogneos y con los determinantes.

Existe una relacin especial entre los vectores v1 = y v2 = 2/4? Desde luego, vemos que v2 = 2v1, o escribiendo esto de otro modo, que 2v1 v2 = 0(1)

Qu propiedad especial comparten los vectores v1 =

Esta pregunta es ms fcil de contestar a simple vista. Es fcil verificar que v3 = 3v1 +2v2, o escribiendo de otra manera

3v1 + 2v2 v3 = 0 (2)

se ve pues que los dos vectores en la Ecuacin (1) y los tres vectores en la Ecuacin (2), mantienen una relacin ms cercana que un par cualquiera de vectores 2 o una terna arbitraria de vectores 3. En cada caso, decimos que los vectores son linealmente dependientes. En general, se tiene la siguiente definicin importante.

Definicin 1. Dependencia e independencia lineales. Sean V1, V2, , Vn n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, , cn no todos cero, tales que

c1v1 + c2v2 + + cn vn = 0 (3) Si los vectores no son linealmente dependientes, entonces se dice que son linealmente independientes.

Expresado de otro modo, v1, v2, , vn son linealmente independientes si la ecuacin c1v1 + c2v2 + + cnvn = 0 solo se satisface si c1 = c2 = = cn = 0.

Teorema 2Un conjunto de n vectores en Rm es siempre linealmente dependiente si n > m.

Demostracin. Sean v1, v2, , vn n vectores Rm y tratemos de evaluar constantes c1, c2, , cn, no todas nulas, tales que

c1v1 + c2v2 + . + cnvn = 0

Teorema 3

Sean v1, v2,, vn, n vectores en Rn, y sean A una matriz de n x n cuyas columnas son v1, v2,, vn. Entonces v1, v2, , vn son linealmente independientes si y slo si la nica solucin al sistema homogneo Ax = 0 es la solucin trivial x = 0.

COMBINACION LINEAL Y GENERACION DE ESPACIO

Combinacin lineal. Sean v1, v2, , vn entonces en un espacio vectorial V. Entonces, toda expresin de la forma

a1v1 + a2v2 + + anvn (1)

en donde a1, a2,, an son escalares, se llama combinacin lineal de v1, v2,, vn.

Generacin de un espacio vectorial. Los vectores v1, v2, , vn en un espacio vectorial V se dice que generan V, si todo vector en V puede expresarse como combinacin lineal de ellos. Esto es, para todo v V, existen escalares a1, a2, , an tales que

v = a1v1 + a2v2 + + anvn

espacio generado por un conjunto de vectores. Sean v1, v2,, vn n vectores en un espacio vectorial V. El espacio generado por {v1, v2,, vn} es el conjunto de las combinaciones lineales de v1, v2,, vn. Esto es,

gen {v1,v2,, vn} = {v: v = a1v1 + a2v2 + + anvn}

donde a1, a2,, an son escalares.

El gen {v1,v2,,vn} es un subespacio de V.

Teorema. Sean los n + 1 vectores v1, v2,, vn, vn+1, de un espacio vectorial V. Si v1, v2,, vn generan V, entonces v1, v2,.., vn, vn+1 tambin generan V. Esto es, la adicin de uno (o ms) vectores a un conjunto generador resulta en otro conjunto generador.

Combinacin linealUnacombinacin linealde dos o ms vectores es elvectorque se obtiene alsumaresosvectoresmultiplicadospor sendosescalares.

Vectores linealmente dependientesVariosvectores libresdel plano se dice que sonlinealmente dependientessi hay unacombinacin linealde ellos que es igual alvector cero, sin que seancerotodos loscoeficientesde lacombinacin lineal.

Propiedades1.Si variosvectoressonlinealmente dependientes, entonces al menosunode ellos se puede expresar como combinacin linealde los dems.

Tambin se cumple el reciproco: si unvectorescombinacin linealde otros, entonces todos losvectoressonlinealmente dependientes.2.Dos vectores del plano sonlinealmente dependientessi, y slo si, sonparalelos.3.Dosvectores libresdel plano= (u1, u2) y= (v1, v2) sonlinealmente dependientessi sus componentes son proporcionales.

EjemploDeterminar los valores de k para que seanlinealmente dependienteslos vectores,y. escribircomocombinacin linealdey, siendo k el valor calculado.Los vectores sonlinealmente dependientessi eldeterminantede la matriz que forman esnulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores linealmente independientesVarios vectores libres sonlinealmente independientessi ninguno de ellos puede ser escrito con unacombinacin linealde los restantes.

a1= a2= = an= 0Losvectores linealmente independientestienendistinta direcciny suscomponentesno sonproporcionales.

Ejemplos1. Estudiar si sonlinealmente dependientes o independienteslos vectores:= (2, 3, 1),= (1, 0, 1),= (0, 3, 1)a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, 1) = (0, 0, 0)

r = 2n = 3Sistema compatible indeterminado.El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores sonlinealmente dependientes.

BASES EN ESPACIO VECTORIALDecimos que un conjunto de vectores es un sistema generador del espacio vectorial al cual pertenece si cualquier vector de dicho espacio se puede poner como combinacin lineal de ellos. Por ejemplo, los vectores , forman un sistema generador de ( , las operaciones usuales), ya que si cogemos cualquier , de igualar , se tiene enseguida que ha de ser y . Por ejemplo, si , tendremos y . No todos los conjuntos de vectores forman un sistema generador de un espacio vectorial. Por ejemplo, los vectores y no forman un sistema generador de . Si lo fueran, tales que . Pero esto implica, escribindolo como un sistema, que:

Es decir, tenemos que , por tanto, sustituyendo en la primera ecuacin, . Como debe verficarse cada ecuacin, sustituyendo y en la ltima tenemos que, para que sea sistema generador de se ha de cumplir la relacin . Evidentemente, esto no es cierto para todos los vectores del espacio. Si tomamos, en particular, el , vemos que la coordenada no verifica la relacin. Por tanto, el sistema dado no es un sistema generador de . Envoltura linealAl conjunto de todos los vectores que son combinacin lineal de los vectores se le llama envoltura lineal de los vectores , y se representa . Base de un espacio vectorialDecimos que los vectores son base del espacio vectorial al cual pertenecen si cumplen dos condiciones: Han de ser linealmente independientes. Han de formar un sistema generador del espacio vectorial . Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo nmero de elementos, al que se le llama dimensin del espacio vectorial. La siguiente base del espacio vectorial es la conocida como base cannica:

Hay que notar que un sistema generador de un espacio vectorial de dimensin debe tener al menos vectores, pero si tiene no tiene por qu ser un sistema generador. Un ejemplo simple e inmeadiato lo vemos con el espacio , siendo y las operaciones usuales, y escogiendo los vectores . Estos dos vectores, al ser proporcionales, generaran nicamente una recta, pero no todo el plano.

BASE DE UN SUBESPACIO DE Rn

DEFINICION

(BASE)Un subconjunto no vacio B de un espacio V no cero de Rn es una base de V siB es linealmente independiente;B genera a V

Vanse en la figura 4.3 Y 4.4

Tambin se acostumbra decir que el conjunto vacio es la nica base del subespacio cero {0} v2 v2 v1V2V1

V1

Figura algunas bases del plano.v2

v1 v3

EJEMPLO compruebe que B= {}Es una base de R3SOLUCION primero es necesario demostrar que B es linealmente independiente que genera R3. Sea A la matriz cuyas columnas son los vectores de B como

A= ~ Vemos que cada columna de A es una columna pivote; y por tanto, las columnas de A son linealmente. Tambin cada regln de A tiene una posicin pivote. Por consiguiente, las columnas de A genera R3 de acuerdo con los teoremas anteriores.

EJEMPLO es el conjunto S={(1,0,0),(0,1,0)} Es S una base del subespacio V= {(x,y,,0),x,y R} de R3RESPUESTA S es linealmente independiente, por que todas las columnas de A = son pivote. S no es una base de R3 por que A tiene 3 renglones y solo 2 pivotes, de modo que S no genera a R3. Por otra parte, S genera al menor espacio V por que(X, Y, 0)=X (1, 0,0)+Y (0, 1,0)Por consiguiente, S si es una base de V.

EJEMPLO Es el subconjunto T= {(1,1,1),(2,1,-1),(1,0,-2) } una base de R3RESPUESTASNo, puesto que [ ] ~ [ ] T no es linealmente independiente (3 columnas y solo 2 pivotes). En realidad T ni siquiera genera a R3 (3 renglones, solo 2 pivotes)

EJEMPLO Es el conjunto S= {(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1) } una base en R3?RESPUESTA No, por que S linealmente independiente.

CAMBIO DE BASE

Ya aparecieron ejemplos de bases en los que se us ms de una base simultneamente; el ejemplo 5.36, se escribieron polinomios en trminos tanto de 1; t t como de1 1 t 1 t ese ejemplo fue esencialmente un ejercicio para encontrar las coordenadas con respecto a una base ordenada partiendo de aqullas con respecto a la otra. Por lo pronto se desarrollara este tpico.

Suponga que

B = v1 v2 v p y qu B= v1 v2v p

Son dos bases de ordenadas para el mismo espacio vectorial real o complejo de dimensin v Para entender como se traduce entre las coordenadas en B y las coordenadas en B primero se escribir cada vector v i de la base ordenada B como una combinacin de los vectores v de la base ordenada B como sigue

Vi m1i v1 + m2i v2 + + mI v i tCB = vI = mi = m 1i m 2i m pi

Suponga que tiene las coordenadas , CB (v) y se requiere conocer las coordenadas B, CB (v) esto es, se tiene tales que v v1 = +- v y se desea encontrar tales que v = v + - teorema 5.38 sobre el isomorfismo CB y de ( 5.4 ) se sabe que ( usando rotacin de matrices separadas CB(v) = CB ( v+ + v ) = 1 CB ( v) ++ CB (v) = m1 + 2m2 + +m = m1 m2 m

= McB (v),

en donde M es la matriz p x p , M = m1 m2mi

Lo anterior dice como obtener las coordenadas en B partiendo de las coordenadas en B solamente hay que multiplicar la matriz p x p M, cuyos elementos M i j son iguales a m i j de 5.41. A la inversa, es posible obtener las coordenadas en B partiendo de las coordenadas en B y multiplicando M porque es no singular. Para comprobar que M es no singular, suponga que M = 0; si puede demostrar que x = 0: entonces el teorema clave 4.18 dir que M es no singular. Sea v el vector en V cuyas coordenadas en B, 1 son los elementos de alguna x para la cual Mx = 0: = x por (5.42), las coordenadas en B de v son justamente Mx , que es = 0; entonces, V = 0v1 + 0v2 + +0vp = 0 en V Pero si v = 0 V, entonces sus coordenadas en B son todas 0 y que B es linealmente independiente; como v se defini para que esas coordenadas fueran los x se tiene que x = 0 como x = 0 s Mx = 0, M es no singular. Esto demuestra el siguiente resultado que es extremadamente importante:

TEOREMA CLAVE. ( cambio de base) sean B = v1 v p y B = v1 v p dos bases ordenadas para el mismo espacio vectorial V de dimensin p. Para cualquier vector v en V, las coordenadas en B, vB de v y las coordenadas en B, vB de v relacionado por: vB = MvB y vB = M-1BEn donde m es la matriz no singular p x p con los elementos M u = mu En donde vi = m1i vi + + mpi vp.

Ejemplo considere el espacio polinomial y las dos bases ordenadas B = 1t t y B= 31 1 t1 t t de del ejemplo 5.36 para moverse entre ellas, es necesario que la matriz M: cada v1 se debe escribir en trminos de la vj como en (5.41) lo cual es fcil:

v1 = 1 = 1(1) + 0(t) + 0(t) para la primera columna de Mv2 = 1 + t = 1(1) + 1(t) + 1(t) para la segunda columna v3 = 1 + t + t = 1(1) + 1(t) + 1(t) para la tercera columna

por lo tanto.

1 1 1 1 -1 00 1 1- 1 0 1 -1 0 0 1 y se encuentra M 0 0 1

-1Es posible usar en M y en M para traducir coordenadas. Para escribir 7 3t + 4t en trminos de B se tomaran sus coordenadas en B, 10 7 4 t y se multiplicara por M-1 obteniendo 10 7 4 t como coordenadas en B; como comprobacin , observe que

10(1) + (-7) ( 1 + t ) + (4) (1 + t + t) = (10 7 4 ) + ( -7 + 4)t + (4)t= 7- 3t + 4t

como se necesitaba. Ms generalmente , las coordenadas en B de -1 ta + bt + ct son M a b c = a b b c c BaseTres vectores,ycondistinta direccinforman unabase, porque cualquiervectordel espacio se puede poner comocombinacin linealde ellos.

Lascoordenadas del vectorrespecto a labaseson:

Base ortogonalUnabaseesortogonalsi los vectores de la base sonperpendicularesentre s.Base ortonormalUnabaseesortonormalsi los vectores de la base sonperpendicularesentre s, y adems tienenmdulo 1.

Esta base formada por los vectores,yse denominabase cannica.

EjemploPara qu valores dealos vectores,yforman unabase?

Para a 1, losvectoresforman unabase.

CONCLUSIONES

En el tema de los espacios vectoriales nos damos cuenta de que nos son muy tiles los mtodos que este utiliza ya que nos ofrece ventajas como el ahorro de tiempo y esfuerzo a la hora de aplicarlos tanto en nuestro campo de trabajo como en otras situaciones que requieran de estos mtodos. Con esto podramos decir que nos ha enseado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera.

El concepto de dependencia lineal de dos vectores en R2, ya que al definirlo vincularon las representaciones analtica y geomtrica, apoyndose en las acciones de relacionar y extender.

Se definieron la dependencia lineal de tres vectores en R2 o R3 slo en lenguaje analtico (combinacin lineal), pero no en lenguaje geomtrico (coplanariedad).

BIBLIOGRAFA

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GEORGE NAKOS, ET AL, ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONESEDICION 1, EDITORIAL THOMSON.2007, PAG.226- 235

Bernard Kolman, D. R. (2006). Algebra lineal. En D. R. Bernard Kolman, Algebra Lineal (pgs. 301-306). Pearson Educacin

MAESTRA EN ESTRUCTURASMATEMTICA APLICADA