Actividad 6 – Trabajo Colaborativo Ingeniería de Sistemas – CEAD Valledupar 100408 – Algebra Lineal Grupo N° 163

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ALGEBRA LINEAL

Trabajo Colaborativo 1

Presentado por:

OSCAR JOSÉ RAMÍREZ CARDONA ANTONIO STEVEN HUERTAS ESPITIA

DARIO CHANG PABON

Tutora

VIVIAN YANETH ALVAREZ

Octubre de 2012 CEAD VALLEDUPAR

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Introducción Desarrollar habilidades formales de matemáticas, físicas, e ingenierías mediante un entrenamiento a través de los problemas, único mecanismo efectivo para lograr comprensión de los aspectos científicos y una verdadera independencia intelectual.

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Objetivos

Resolución de problemas. Estimular y promover la interacción entre los compañeros del grupo colaborativo.

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1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar: a. |u| = 2; θ = 315° b. |v| = 4; θ = 120° Realice analíticamente, las operaciones siguientes: 1.1. u�⃗ + 2v�⃗ 1.2. v�⃗ − u�⃗ 1.3. 3v�⃗ − u�⃗ Lo primero es presentar u y v en forma rectangular.

a. u = (2 cos 315°)ı̂ + (2 sin 315°)ȷ ̂ b. v = (4 cos 120°)ı̂+ (4 sin 120°)ȷ ̂

u = 2�√22 � ı̂ + 2�−

√22 � ȷ ̂ v = 4 �−

12� ı̂ + 4 �

√32 � ȷ ̂

u = √2ı̂ − √2ȷ̂ v = −42ı̂ +

4√32

ȷ ̂

u = �√2,−√2� ≈ (1.4142,−1.4142) v = �−2,4√3

2 � ≈ (−2, 3.4641)

Como ya se encuentra en forma rectangular podemos efectuar las operaciones siguientes, analíticamente. 1.1. u�⃗ + 2v�⃗

u�⃗ + 2v�⃗ = �√2,−√2� + 2�−2,4√3

2 � = �√2 − 4,−√2 +8√3

2 � ≈ (2.5857, 5.5139)

1.2. v�⃗ − u�⃗

v�⃗ − u�⃗ = �−2,4√3

2 � − �√2,−√2� = �−2− √2,4√3

2+ √2� ≈ (−3.4142, 4.8783)

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1.3. 3v�⃗ − u�⃗

3v�⃗ − u�⃗ = 3�−2,4√3

2 � − �√2,−√2� = �−6− √2,12√3

2+ √2� ≈ (−7.4142, 11.8065)

2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores: 2.1. 𝑢�⃗ = 2𝚤̂ + 9𝚥̂ 𝑦 �⃗� = −𝚤̂ − 4𝚥̂ 𝑢�⃗ = (2, 9) 𝑦 �⃗� = (−1,−4) Para encontrar el ángulo entre vectores utilizo la siguiente fórmula:

𝑐𝑐𝑐 𝜃 =𝑢 · 𝑣

|𝑢||𝑣|

𝑢 · 𝑣 = (2, 9) · (−1,−4) = 2 ∗ (−1) + 9 ∗ (−4) = −1− 36 = −38 |𝑢| = �22 + 92 = √4 + 81 = √85 |𝑣| = �(−1)2 + (−4)2 = √1 + 16 = √17 Remplazando en la formula, obtenemos:

𝑐𝑐𝑐 𝜃 =𝑢 · 𝑣

|𝑢||𝑣|

𝑐𝑐𝑐 𝜃 =−38

√85 ∗ √17

𝑐𝑐𝑐 𝜃 =−38√1445

𝜃 = 𝑐𝑐𝑐−1 �−38√1445

�

𝜃 = 𝑐𝑐𝑐−1(−0,9996) 𝜃 = 178,3793°

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2.2. 𝑤��⃗ = −2𝚤̂ − 3𝚥̂ 𝑦 𝑢�⃗ = −𝚤̂ − 5𝚥̂ 𝑤��⃗ = (−2,−3) 𝑦 𝑢�⃗ = (−1,−5) Para encontrar el ángulo entre vectores utilizo la siguiente fórmula:

𝑐𝑐𝑐 𝜃 =𝑤 · 𝑢

|𝑤||𝑢|

𝑤 · 𝑢 = (−2,−3) · (−1,−5) = (−2) ∗ (−1) + (−3) ∗ (−5) = 2 + 15 = 17 |𝑤| = �(−2)2 + (−3)2 = √4 + 9 = √13 |𝑢| = �(−1)2 + (−5)2 = √1 + 25 = √26 Remplazando en la formula, obtenemos:

𝑐𝑐𝑐 𝜃 =𝑤 · 𝑢

|𝑤||𝑢|

𝑐𝑐𝑐 𝜃 =17

√13 ∗ √26

𝑐𝑐𝑐 𝜃 =17√338

𝜃 = 𝑐𝑐𝑐−1 �17√338

�

𝜃 = 𝑐𝑐𝑐−1(−0,9246) 𝜃 = 22,3918° 3. Dada la siguiente matriz, encuentre A-1 empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).

𝐴 = �−3 5 57 −5 −80 2 −3

�

Lo primero que debemos hacer es la matriz aumentada:

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�−3 5 57 −5 −80 2 −3

⋮1 0 00 1 00 0 1

�

𝐹2 + �73∗ 𝐹1� → 𝐹2 �

−3 5 50 20

3�11

3�0 2 −3

⋮1 0 0

73� 1 0

0 0 1�

𝐹3 + �−3

10∗ 𝐹2� → 𝐹3 �

−3 5 50 20

3�11

3�

0 0 −4110�

⋮1 0 0

73� 1 0

−710� −3

10� 1�

𝐹2 + �110123

∗ 𝐹3� → 𝐹2 �

−3 5 50 20

3� 0

0 0 −4110�

⋮1 0 0

7041� 30

41� 110123�

−710� −3

10� 1�

𝐹1 + �5041

∗ 𝐹3� → 𝐹1

⎣⎢⎢⎢⎡−3 5 0

0 203� 0

0 0 −4110�

⋮

641� −15

41� 5041�

7041� 30

41� 110123�

−710� −3

10� 1 ⎦⎥⎥⎥⎤

𝐹1 + �−34∗ 𝐹2� → 𝐹1

⎣⎢⎢⎢⎡−3 0 0

0 203� 0

0 0 −4110�

⋮

−9382� −75

82� 4582�

7041� 30

41� 110123�

−710� −3

10� 1 ⎦⎥⎥⎥⎤

𝐹1/−3 → 𝐹1

⎣⎢⎢⎢⎡1 0 00 20

3� 0

0 0 −4110�

⋮

3182� 25

82� −1582�

7041� 30

41� 110123�

−710� −3

10� 1 ⎦⎥⎥⎥⎤

𝐹2/ 203� → 𝐹2

⎣⎢⎢⎢⎡1 0 00 1 00 0 −41

10�⋮

3182� 25

82� −1582�

2182� 9

82� 1182�

−710� −3

10� 1 ⎦⎥⎥⎥⎤

𝐹3/−4110� → 𝐹3

⎣⎢⎢⎢⎡1 0 00 1 00 0 1

⋮

3182� 25

82� −1582�

2182� 9

82� 1182�

1482� 6

82� −2082� ⎦⎥⎥⎥⎤

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𝐴−1

⎣⎢⎢⎢⎡31

82� 2582� −15

82�21

82� 982� 11

82�14

82� 682� −20

82� ⎦⎥⎥⎥⎤

4. Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, o cualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior. Para esto, anexe los pantallazos necesarios que verifiquen el resultado.

5. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).

𝐵 =

⎣⎢⎢⎢⎡−1−1−1

010

9 2 13 −2 1−2 2 1

0 0 0 7 −20 3 0 1 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤

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9

⎣⎢⎢⎢⎡−1−1−1

010

9 2 13 −2 1−2 2 1

0 0 0 7 −20 3 0 1 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤𝐹2 − 𝐹3 → 𝐹2 ≈

⎣⎢⎢⎢⎡−10−1

010

9 2 15 −4 0−2 2 1

0 0 0 7 −20 3 0 1 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡−10−1

010

9 2 15 −4 0−2 2 1

0 0 0 7 −20 3 0 1 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤𝐹3 − 𝐹1 → 𝐹3 ≈

⎣⎢⎢⎢⎡−100

010

9 2 15 −4 0−11 0 0

0 0 0 7 −20 3 0 1 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡−100

010

9 2 15 −4 0−11 0 0

0 0 0 7 −20 3 0 1 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤𝐹5 − 3𝐹2 → 𝐹5 ≈

⎣⎢⎢⎢⎡−100

010

9 2 15 −4 0−11 0 0

0 0 0 7 −20 3 −15 13 1⎦

⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡−100

010

9 2 15 −4 0−11 0 0

0 0 0 7 −20 3 −15 13 1⎦

⎥⎥⎥⎤𝐹5 −

1511

𝐹3 → 𝐹5 ≈

⎣⎢⎢⎢⎡−100

010

9 2 15 −4 0−11 0 0

0 0 0 7 −20 3 0 13 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡−100

010

9 2 15 −4 0−11 0 0

0 0 0 7 −20 3 0 13 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤𝐹5 −

137𝐹4 → 𝐹5 ≈

⎣⎢⎢⎢⎡−100

010

9 2 15 −4 0−11 0 0

0 0 0 7 −20 3 0 0 33

7� ⎦⎥⎥⎥⎤

𝐷𝐷𝐷 𝐵 = (−1)(1)(−11)(7)(33

7� )

𝐷𝐷𝐷 𝐵 = 363 6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes

�𝐴11 𝐴12 𝐴13𝐴21 𝐴22 𝐴23𝐴31 𝐴32 𝐴33

�

𝐴11 = (−1)1+1 = (𝑀11) = �2 51 −5� = −10− 5 = −15

𝐴21 = (−1)2+1 = −(𝑀21) = �1 −11 −5� = −5− (−1) = 4

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𝐴31 = (−1)3+1 = (𝑀31) = �1 −12 5 � = 5 − (−2) = 7

𝐴12 = (−1)1+2 = −(𝑀12) = �0 57 −5� = 0 − 35 = 35

𝐴22 = (−1)2+2 = (𝑀22) = �−3 −17 −5� = 15 − (−7) = 22

𝐴32 = (−1)3+2 = −(𝑀32) = �−3 −10 5 � = −15− 0 = 15

𝐴13 = (−1)1+3 = (𝑀13) = �0 27 1� = 0 − 14 = −14

𝐴23 = (−1)2+3 = −(𝑀23) = �−3 17 1� = −3− 7 = 10

𝐴33 = (−1)3+3 = (𝑀33) = �−3 10 2� = −6− 0 = −6

�−15 35 −14

4 22 107 15 −6

�

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Conclusiones Se logro entender y aplicar las operaciones con vectores, ángulos y matrices, resolviendo de manera efectiva los ejercicios propuestos en esta actividad, se pudo interactuar con los compañeros de grupo colaborativo.

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Referencias Zúñiga Guerrero, Camilo Arturo (2008): Módulo Curso Algebra Lineal. Bogotá Zúñiga Guerrero, Camilo Arturo (2008): Protocolo Académico Algebra Lineal. Bogotá