100412_188_Trabajo_fase1.docx

8/10/2019 100412_188_Trabajo_fase1.docx

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INTRODUCCION

En el siguiente trabajo se desarrolla la guia practica para la solucin de problemas del cursoecuaciones diferenciales unidad 1, se desarrollan 4 temticas en la estructura del trabajo, en estastemticas se realiza un ejemplo desarrollado por los participantes del grupo colaborativo,evidenciando as el manejo de las temticas propuesta a lo largo del campus virtual para elentendimiento de la Unidad 1 del presente curso.

Se evidencia notablemente la ayuda por parte del tutor en la realizacin de los ejercicios, ademsque en la bibliografa que se estipulada para el desarrollo de esta materia se encuentra parte de losprocedimientos que nos llevaron a la realizacin del trabajo.


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OBJETIVOS

Evidenciar el entendimiento por parte de los estudiantes de las temticas vistas en la unidaduno del curso ecuaciones diferenciales, adems de la interaccin de los participantes delgrupo para la consolidacin del trabajo colaborativo.

Identificar los tipos de ecuaciones, sus variables, y organizarlas de acuerdo a su orden,

exactitud y dems.


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DESARROLLO

Temtica: introduccin a las ecuaciones diferenciales:Establezca si la ecuacin diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuacin:

E. Muestre que y = 1/x es una solucin de la ecuacin diferencial

()

MAIRA ALEJANDRA CALDERON VALDERRAMA

Establezca si la ecuacin diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuacin:

A.

Ecuacin diferencial no lineal de primer orden:

Puesto que la mayor derivada es la primera derivada, entonces es una ecuacin

diferencial de primer orden. Todas las derivadas de la ecuacin son derivadas de la variable dependientey son

de primer grado, pero los coeficientes no dependen de la variable x, por lo tanto noes lineal (uno de los trminos depende de y).

B. Ecuacin diferencial lineal de segundo orden:


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Puesto que la mayor derivada es la segunda derivada y , entonces es una ecuacindiferencial de segundo orden.

Todas las derivadas de la ecuacin son derivadas de la variable dependiente ysonde primer grado, los coeficientes dependen de la variablex, por lo tanto es lineal.

C. Ecuacin diferencial lineal de segundo orden:

Puesto que la mayor derivada es la segunda derivada, entonces es una ecuacin

diferencial de segundo orden. Todas las derivadas de la ecuacin son derivadas de la variable dependiente yson

de primer grado, los coeficientes dependen de la variablex, por lo tanto es lineal.

D. Ecuacin diferencial de primer orden lineal:

La ecuacin despejada quedara:

Puesto que la mayor derivada es la primera derivada, entonces es una ecuacin

diferencial de primer orden. Todas las derivadas de la ecuacin son derivadas de la variable dependiente yson

de primer grado, y los coeficientes dependen de la variablex, por lo tanto es lineal.

E. Muestre que y=1/x es una solucin de la ecuacin diferencial

()

Para hacer la demostracin, es necesario encontrar la primera derivada de y, por lo que hacemos:

Teniendo los valores y

, podemos reemplazar en la ecuacin y ejecutar lasoperaciones necesarias para la comprobacin. Entonces hacemos:


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()

( ) ()

Queda comprobado que y=1/x es una solucin de la ecuacin diferencial

Christian Segundo Ortega

A. Resuelve la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de variables separables:

=

Solucin:

Para poder realizar la diferencial necesitamos resolver primero el trinomio que encontramosfactorizando en la funcin que se encuentra propuesta.

=

Luego remplazamos en la funcin lo desarrollado:= Ahora nos disponemos a realizar la derivada pero primero organizamos la funcin para poderderivar:

Ahora si podemos ya integrar:

Esto nos da como solucin:

+C


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B. Determinar si la ecuacin dada es exacta. Si lo es, resulvala.

Empecemos diciendo que las ecuaciones exactas deben cumplir la siguiente regla:

=

(x)

Lo anterior significa que las derivadas parciales en m y n con funcin a sus incgnitas deben tenerel mismo resultado o valor numrico, entonces realizamos las indicaciones anteriores en nuestrafuncin:

M N

Habiendo identificado quien es m y n con funcin a sus incgnitas procedemos a realizar lasderivadas:

2x + y)

Derivamos parcialmente la y dndonos = 1

-6 y)

Derivamos parcialmente la x dndonos = -1

Ahora sabemos cul es el resultado necesitamos que sean iguales los trminos, entonces realizamosla igualacin en la ecuacin de la siguiente manera:

De esta manera el resultado de la derivada parcial ser 1=1

Entonces procedemos a realizar la solucin.

- dx)dy

+ + -

(+ )dy


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+ + y)dy

+ + y)dy

+

+

+ + +

=+

+ C

=+ + C esta sera la Solucin.

C. Resolver la siguiente ecuacin diferencial hallando el factor integrante:

+2xy=x

Y+2xy=x

Buscamos el trmino que contenga la variable X y Y juntas en este caso tenemos a 2xy, luegorealizamos lo que la formula nos sugiere de la siguiente forma:

En este caso p(x) es 2x, seguimos entonces el procedimiento.

Entonces integramos la funcin.

2x integramos = Ahora sustituimos en la funcin:

Ahora procedemos a multiplicar este resultado con la funcin problema.

(Y+2y=x) ahora quitamos el dx

d = x (dx) ahora integramos la parte de la ecuacin que tiene el dx utilizando elmtodo de sustitucin o cambio de variable.

Tomamos W = donde entonces:


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dw=2x.dx esto es igual a:

Ahora sustituimos: como son la x y el 2x trminos semejantes eliminamos la x y nosqueda: = entonces: .+ c

Ahora sustituimos para ya dar por terminada la funcin inicial:

=.+ c

Como solucin encontramos Y(x)=

D. Resuelve la ecuacin diferencial:

Lo primero que debemos hacer es sustituir el dx que est dividiendo al otro lado de laecuacin, para poder realizar la integracin respectiva:

Ahora si podemos integrar:

Ahora integramos y esto nos da como solucin:

WILMAN GUSTAVO PERILLA

E. Resuelve la ecuacin diferencial:

Sujeto a y (1)=1


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Segunda Actividad:

A continuacin se presenta una situacin problema que el estudiante con su grupo colaborativo debebuscar la manera de resolver teniendo en cuenta los siguientes elementos:Leer y analizar el problema, realizar una lista de conocimientos previos y de lo que no se conoce,

preparacin y discusin en grupo, solucin del problema.

Una fbrica est situada cerca de un rio con caudal constante de 1000m3/s que vierte sus aguas porla nica entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fbrica empez afuncionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por da, de 4 a 6 de la maana y de4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al ro a razn de 1 m3/s. Suponga que el lago tiene unasalida de 1000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la grfica de la solucin y determine laconcentracin de contaminantes en el lago despus de un da, un mes (30 das), un ao (365 das).

Encontramos en el problema los siguientes datos:

Volumen del lago 1000 millones de Caudal entrante al lago 1000 Caudal saliente del Lago 1000 1000 de agua bien mezcladaSustancia contaminante 1

Se procede a hallar la forma de la ecuacin diferencial para calcular la concentracin de

contaminantes en funcin del tiempo (t)

Taza de entrada al lago A a=1000 Taza de salida del lago B b=1000 Concentracin entrada C1 = 1

Concentracin saliente depende del tiempo C(t)

V(t) volumen del tanque en cualquier instante de tiempo

Q(t) cantidad de contaminante en cualquier instante

C(t) concentracin que hay en cualquier tiempo


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Ahora tenemos la funcin. C(t)= Ahora ajustamos la variable del volumen con funcin al tiempo:

= ab

Para poder desarrollar la ecuacin simplemente pasamos la diferencial de tiempo a el lado derechode la igualdad, entonces tendramos lo siguiente:

= ab

Ahora ya procedemos a realizar la integral.

Ahora solucionamos la integral:

+CAhora tenemos una constante a la cual debemos darle un valor inicial personalmente tomare el t= 0por la facilidad para la ejecucin.

+C

Ahora con esta solucin evidenciamos que a y b son iguales por su valor 0, entonces podemos decirque el volumen en todo tiempo es el mismo.

Ahora remplazamos Q:

= R1R2


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R1= razn de entrada = A*C1

R2=razn de salida=B*C(t)=B*Q(t)/V(t)

Entonces: = a*C1

Wilman Gustavo Perilla

Tercera actividad:Los estudiantes deben proponer un problema que permita la participacin y el ejercicio de solucin a una

situacin planteada por ellos mismos, teniendo en cuenta los siguientes elementos: Definir el problema: elgrupo debe identificar el problema que desean resolver o la demostracin que pueden realizar

posteriormente continan con el anlisis del problema, realizar una lista de conocimientos previos y de lo que

no se conoce, preparacin y discusin en grupo, solucin del problema

Inicialmente haba 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Despus de 6 horas su masa disminuy en un

3%.Si en un instante cualquiera la rapidez de desintegracin es proporcional a la cantidad de sustancia

presente, determinar la cantidad que queda despus de 24 horas.

Solucin:

Inicialmente tenemos 100 mg de sustancia radiactiva. Si C(t) denota la cantidad de sustancia radiactiva en el

instante t, sabemos que al cabo de t= 6h quedan.

C(6)=100-3=97

De esta sustancia. La rapidez de desintegracin es proporcional a la cantidad de sustancia presente, esto es:

Siendo k la constante de proporcionalidad. Tenemos como solucin C(t) = A , donde A y k son constantes adeterminar. Puesto que en el instante inicial t=0 contamos con 100 mg de sustancia.

En el instante t=6 quedan 97 gr; luego,

6k


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Entonces tenemos=

En conclusin, la cantidad de sustancia radiactiva en el instante t es:

Por tanto, la cantidad permanente transurridas 24 h es:

= = 100 contenida en 88.5 mg.

Wilman Gustavo Perilla


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Conclusiones

Se evidencia la complejidad de los diferentes problemas a resolver, se da solucinutilizando las ayudas que se encuentran en el campus virtual y algunos videosencontrados en YouTube para una mejor comprensin de los temas.

Se diferencian las ecuaciones de primer orden y las exactas, dando as por sentadola solucin para las mismas a travs de la informacin encontrada en los links deinformacin dispuestos en el campus virtual.


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BIBLIOGRAFIA

Ecuaciones Diferenciales ordianrias d eprimer orden\\escrito por:BENITO J.

GONZLEZ RODRGUEZ ,DOMINGO HERNNDEZ ABREU, MATEO M.JIMNEZ PAIZ ,M. ISABEL MARRERO RODRGUEZ , ALEJANDROSANABRIA GARCA \\Departamento de Anlisis Matemtico\\Universidad de LaLaguna

Editor de Soluciones Ecuaciones diferenciales // 2014 Wolfram Alpha LLCA

Wolfram ResearchCompany//http://www.wolframalpha.com.

Pagina de enseanza de calculo Tareas Plus// 2014Tareasplus Todos los derechosreservados//http://aula.tareasplus.com/
http://www.wolfram.com/http://www.wolfram.com/http://www.wolframalpha.com/http://www.wolframalpha.com/http://www.wolframalpha.com/http://www.wolframalpha.com/http://www.wolfram.com/

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