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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

Cod. 100412


FASE DOS

Presentado a:Ramiro Pea

Tutor

Entregado por:

Diego Hernando Ae!!a Sana"riaC#digo: $%&'()$*+,

-igue! .nge! /angua HurtadoC#digo: $%&(,$%(*'

Nan01 Soraida 2a1ona 3uioC#digo: $%&(,%4)4%

3rupo: *)UNI5ERSIDAD NACIONAL A2IERTA 6 A DISTANCIA 7 UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS 2ASICAS TECNOLO3IA IN3ENIERIAPRO3RA-A DE IN3ENIERIA DE SISTE-AS

CEAD DUITA-A8 -A6O de! '%$,

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INTRODUCCION

A lo largo de este trabajo se expondr propiedades que poseen las E.D.O. lineales de orden n y se

desarrollarn mtodos generales para determinar sus soluciones. Prestaremos especial atencin a

las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. lamamos ecuacin diferencial lineal de

orden n a toda ecuacin que se puede expresar ya que a tra!s de la solucin de cada uno de los

ejercicios propuestos se aplicara los conocimientos adquiridos durante el desarrollo del curso.

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DESARROLLO DE LA ACTI5IDAD INDI5IDUAL

Temtica: ecuaciones diferenciales de orden superior

"ndique cules de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales #omogneas concoeficientes constantes y cules son diferenciales lineales no #omogneas y resul!alas.

$.

A . y' '+2'8y=0

%espuesta& ecuacionlineal homogenea

Nom"re estudiante 9ue rea!ia e! e;er0i0io: -igue! .nge! /anguaPROPOSICION ENUNCIADO OE

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Nom"re estudiante 9ue rea!ia e! e;er0i0io: -igue! .nge! /anguaPROPOSICION ENUNCIADO OE

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m=2 2

24 (1 )2

m=2 82

m1=1+2 m2=12

y=C1 e0,414x+C2 e

2,414x (ondiciones iniciales)y (0 )=0y ' (0 )=1

y (0 )=C1e0+C2e

0=0 %eempla*ando

C1+C2=0 C1=C2

y '=(0,414)C1 e(0,414)x+(2,414 )C2e

(2,414)x

y'(0 )=(0,414 )C1+(2,414 )C2=1

(0,414 ) C2+(2,414 ) C2=1

C2(2,828 )=1

C2= 1

2,828=0.3535

C1=12,828

0.3535

y=0,3535e0.414x

+C2 e2,414x

%eempla*ando ($

+

D .3y' '+14 y'+58y=0

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Nom"re estudiante 9ue rea!ia e! e;er0i0io: -igue! .nge! /angua

PROPOSICION ENUNCIADO OE

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m24 m+4=0

(m2 ) (m2 )=0

m=2m=2

y=c1 e2x+c2x e

2

1=c1 e2+c2 e

2

y'=2c1e

2x+2c2x e

2x

1=2c1 c2+2c2e

2

c1+c2=1 (2 )

2c1+2c2=1

2c12c2=2

2c1+2c2=1

0=1

,orma original de la E.D-e identifica que se resuel!e por !ariablesseparables.

. Demostrar que

/X

y

/x

0 son soluciones linealmente independientes de la

siguiente ecuacin diferencial&

123. =+ ydx

dyxyx

en el

inter!alo& x

%espuestaEs una solucion de la ecuaciondiferencial

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PROPOSICION ENUNCIADO O E

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"=|cosx senxsenx cosx|=cos2x+sen2x=1

"1=| 0 senxsec2x cosx|=cosx sec2x=secx

u'

1="1

"=tanx secx

1 =tanx secx

u1= tanx sec xdx=secx

u'

2="

2

"=

secx

1 =secx

u2= secx dx=ln|secx+tanx|

y=c1 cosx+c2 senx+cosx (secx )+senx ln|secx+ tanx|

y=c1 cosx+c2 ssenx1+senx ln|secx+tanx|

3.Reso!er !a siguiente e0ua0i#n di>eren0ia! por e! m?todo de 0oe>i0ientes indeterminados:

44 5 /4 5 6 /5 $

%espuestaEscriba au! la ecuacin .

Nom"re estudiante 9ue rea!ia e! e;er0i0io: Diego Hernando Ae!!aSana"ria

PROPOSICION ENUNCIADO O E

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y=Ax+# ) se obtiene

otro polinomio de primergrado. Por tanto es lgicoconsiderar una solucin de laforma

% [yp]=0+3A+2 (Ax+# )

% [yp]=2Ax+(3A+2#)

Aplicando Op

2Ax+ (3A+2# )=3x+1 "gualando

3=2A A=3

2 A=1,5

Por lo tanto

1=3A+2# 1=9

2+2# #=

74

#=1,75

yp=1,5x1,75

7. Encontrar un operador diferencial que anule a&

%espuestaEscriba au! la ecuacin.

Nom"re estudiante 9ue rea!ia e! e;er0i0io: Nan01 Soraida 2a1onaPROPOSICION ENUNCIADO O E

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D5+1=D6

D6

f(x )=0

c . x ex

(D1 )2

(D1 )2x ex=0

2. &esolver la siguiente ecuaciondiferencial (cauchyrieman )

%espuestaEscriba au! la ecuacin .

Nom"re estudiante 9ue rea!ia e! e;er0i0io: Nan01 Soraida 2a1onaPROPOSICION ENUNCIADO O E

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m+1=0m= i

y=xm [c1cos (lnx )+c2 sen(lnx)]

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DESARROLLO DE LA ACTI5IDAD COLA2ORATI5A

Primera A0tiidad

8na masa que pesa 3 lb) estira un resorte / pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplicauna !elocidad de 9 pies:seg dirigida #acia abajo. Despreciando todas las fuer*as deamortiguacin o externas que puedan estar presentes) determine la ecuacin de mo!imiento de lamasa junto con su amplitud) periodo y frecuencia natural. (unto tiempo transcurre desde que sesuelta la masa #asta que pasa por la posicin de equilibrio;

PROPOSICION ENUNCIADO O

E

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Entonces&

Por lo tanto&

Por otra parte) como&

1

-e tiene que&

Por lo tanto&

Por otra parte) como&

1

uego la ecuacin de mo!imiento es

(omo las condiciones iniciales son&

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=&

Entonces la ecuacin de mo!imiento es

Para expresar la solucin en forma senoidal)#acemos&

Entonces&

(on

Por lo tanto&a amplitud es

El periodo es&

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= la frecuencia natural&

,inalmente) el tiempo que transcurredesde que se suelta la masa #asta que pasa

por la posicin de equilibrio es&

Segunda A0tiidad

E@ERCICIO 6 SOLUCI=N PLANTEADA O2SER5ACIONES ANE1? =x

)1>1?@ =x

. Encuentre laecuacin del mo!imiento para los siguientescasos&

Caso 1& o!imiento subamortiguado&2=b

.Caso 2& o!imiento cr

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Caso 1:2=b

a ecuacin caracter/cos/?/>?@ .$

3

$ tCtsenCetx t

>//cos?3 .$/

tsenCtCe t

+

Para$>1? =x

y1>1?@ =x

) se tiene el sistema&

$$ C=)

.$ 3/1 CC += Por tanto&

$$ =C y

3

/.=C

,inalmente) la ecuacin de mo!imiento tiene laforma&

>/cos3

//?>? 3 ttsenetx t +=

Caso 2:

$1=b

a ecuacin caracter? +=+=

ttetCCeCtx

7

.$

7

. >?7>?@ +=

Para$>1? =x

y1>1?@ =x


$$ C=

)$.

71 CC =

Por tanto&$

$ =C

y7

. =C

,inalmente) la ecuacin de mo!imiento tiene la

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forma&>7$?>? 7 tetx t +=

Caso 3:$3=b

a ecuacin caracter.3B?

$>? + +=

tteCeCtx

>.3B?

.

>.3B?

$ >.3B?>.3B?>?@ + ++=

Para$>1? =x

y1>1?@ =x


.$$ CC +=

>.3B?>.3B?1 .$ ++= CC

Por tanto&3C

.3B.3$

+=C

y

3C

.3B.3.

=C

,inalmente) la ecuacin de mo!imiento tiene laforma&

tt eetx >.3B?>.3B?

3C

.3B.3

3C

.3B.3>? +

+

+=

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CONCLUSIONES

-e aplicaron los conocimientos adquiridos durante la teor

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REFERENCIAS 2I2LIO3R.FICAS

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