10 PROBLEMAS DE ECUACIONES CUADRTICASProblema 1La suma de dos
nmeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos
nmerosPrimero se asigna la variablexa una de las incgnitas del
problema. Hay dos incgnitas que son ambos nmeros, como el problema
no hace distincin entre uno y otro, puede asignarsexa cualquiera de
los dos, por ejemplo:x = Primer nmeroComo la suma de ambos es 10,
entonces necesariamente el otro ser:10 x = Segundo nmeroPara
entenderlo mejor:Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su
amigo tiene $ 400, Cunto tiene usted?, obviamente, restando el
total menos 400, es decir 1.000 400 = $ 600. Si su amigo tiene $x,
la cuenta no cambia, slo que no sabr el valor sino en funcin dex,
es decir, usted tiene 1.000 x .La condicin final del problema
establece que la suma de los cuadrados de ambos nmeros resulta 58,
entonces:x2+ (10 - x)2= 58Esta es la ecuacin a resolverPara
hacerlo, aplicamos algunas tcnicas delgebra elementaly luego
reordenamos para llegar a la frmula conocida.Vemos que la operacin
indicada entre parntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error
muy comn que los estudiantes escriban: (a b)2= a2 b2, lo cual es
incorrecto. La expresin correcta es: (a b)2= a2 2ab +
b2Desarrollando la ecuacin se tiene:x2+ 102 210x + x2= 58 = x2+ 100
20x + x2= 58Ordenando y agrupando:2x2 20x+ 42 = 0;Dividiendo entre
2 toda la ecuacin:x2 10x + 21 = 0Ahora podemos aplicar la frmula
general para resolver la ecuacin de segundo grado y llegaremos ax1=
7yx2= 3.Veamos, si tenemosa = 1, b = 10 c = 21
Los nmeros buscados son 7 y 3.Problema 2El largo de una sala
rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m
y el largo aumenta 2 m, el rea se duplica. Halle el rea original de
la sala.Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la
variablexse asigne a cualquiera de las dos incgnitas, largo o
ancho.Supongamos que:x = ancho de la salaEl largo es 3 metros mayor
que el ancho, as es que:x + 3 = largo de la sala.El rea de un
rectngulo es la multiplicacin de ambos:x (x + 3 ) = rea de la
sala.Tngase en cuenta que estos son los datos iniciales.Las
condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros
y el largo aumenta en 2 metros, as que, luego del aumento quedan:x
+ 3 = nuevo ancho de la salax + 5 = nuevo largo de la sala(x + 3 )
(x + 5) = nueva rea de la salaSegn los datos del problema, el rea
se ha duplicado, as es que planteamos la ecuacin:(x + 3 ) (x + 5) =
2 x (x + 3)Se efectan las multiplicaciones:x2+ 5x + 3x + 15 = 2x2+
6xSe pasa todo al primer miembro:x2+ 5x + 3x + 15 2x2 6x = 0Se
simplifica: x2+ 2x + 15 = 0Esta es la ecuacin a resolver.Se aplica
la frmula conocida y resulta:x1= 5yx2= 3.La solucinx = 3se desecha,
ya quexes el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como
nica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.Como el largo
inicialx + 3 = 8metros,el rea original era 8m 5m = 40 m2.Problema
3Halle el rea y permetro del tringulorectngulo mostrado. Las
dimensionesestn en metrosComo es un tringulo rectngulo se cumple
elTeorema de Pitgoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos" (c2= a2+ b2). La hipotenusa
es el lado mayor (2x 5) y los otros dos son los catetos, se plantea
entonces la ecuacin:(x + 3)2+ (x 4)2= (2x 5)2Desarrollando cada
binomio al cuadrado, se tiene:x2+ 2 3 x + 32+ x2 2 4 x + 42= (2x)2
2 (2x) 5 + 52= x2+ 6x + 9 + x2 8x + 16 = 4x2 20x +
25Reagrupando:x2+ 6x + 9 + x2 8x + 16 4x2+ 20x 25 =
0Finalmente:2x2+ 18x = 0Es la ecuacin a resolverLas races de la
ecuacin sonx1= 0yx2= 9.La solucinx = 0se desecha, ya que entonces
un cateto sera 4 m, lo cual no es posible. La solucin es entonces,x
= 9. De esta manera, el tringulo queda con catetos 12 metros y 5
metros y con hipotenusa 13 metros.El rea de un tringulo es base por
altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que estn
a 90 , por lo tanto el rea es
El permetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m +
13 m =30 m.
1. RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICASi.- Por
factorizacin:Resolver la ecuacin:x2- 12x- 28 = 0Factorizamos el
trinomio recordando el producto de binomios con un trmino comn, es
decir,buscando dos nmeroscuyo producto sea28 ycuya suma sea12;
estos nmeros son -14 y 2, y la factorizacin es:(x- 14)(x+ 2) = 0Por
lo tanto,las soluciones sonX1= 14 yX2= -2ii.- Utilizando la frmula
de resolucin:Para resolver la ecuacin cuadrtica:ax2+bx+c=0,podemos
utilizar la frmula:
Ejemplo:Resolver la ecuacin:x2 10x+24 = 0Solucin: Primero
identificamos los coeficientes a, b y c y luego los reemplazamos en
la frmula:a= 1;b= -10 yc= 24
iii.- Por completacin de cuadradosEjemplo:Resolver la ecuacin:x2
6x+ 8 = 0Solucin: Con los trminosx2y 6xpodemos formar el cuadrado
de binomio (x 3)2, pero nos faltara el trmino igual a9, por lo
tanto, despejaremos los trminos que contienenx y sumaremos 9 a
ambos lados de laigualdad para formar el cuadrado de binomio:x2 6x+
8 = 0 /-8x2 6x= -8 /+9x2-6x+ 9= -8 +9(x 3)2= 1De la ltima igualdad
se deduce quex3 = 1 x 3 = -1,por lo tantoX1= 4 X2= 22. PLANTEO DE
PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRTICASEn el primer mdulo vimos algunas
resoluciones de problemas utilizando ecuaciones de primer grado.
Ahora veremos algunos problemas cuyos planteamientos conducen a
ecuaciones cuadrticas.Ejemplo 1:Determinar un nmero enterotal que
el cuadrado del antecesor de su doble sea equivalente al cuadrado
del nmero aumentado en 5.Solucin:Seaxel nmero entero, entoncesel
enunciado se traduce en (2x-1)2=x2+ 5Ordenando y reduciendo, se
obtiene la ecuacin cuadrtica:3x2 4x 4 = 0Ahora utilizamos la
frmula, cona= 3 ,b= -4 yc= -4Luego, las soluciones de la ecuacin
sonX1= yX2= 2. Pero el nmero que estamos buscando debe ser entero,
por lo tanto, la solucin esx= 2.Ejemplo 2:Un tringulo tiene un rea
de 24 cm2y la altura mide 2 cm ms que la base correspondiente.
Cunto mide la altura?Solucin:Sea x la base del tringulo y x + 2 su
altura, entonces su rea es:=24 cm2A partir de esta igualdad
formamos la ecuacin de segundo grado.Ahora resolvemos esta ecuacin
por factorizacin.(x+ 8) (x- 6)=0Finalmente, comoxes la base del
tringulo, su valor debe ser positivo, es decir, la solucin que nos
sirve esx2 = 6 y com la pregunta del problema es la altura del
tringulo, entonces la respuesta esx+ 2= 8cm3.-Cunto mide el radio
de un crculo cuya rea es 201.0624? =3.1416El rea de un crculo es
*r23.1416*r2= 201.0624r2= 201.0624/3.1416r2= 64r = 8, El radio del
crculo es 8.4.-Dos nmeros enteros positivos se diferencian en 6
unidades y la suma de sus cuadrados es 218. Cules son esos
nmeros?Los nmeros sern x y y.x 6 = yx2+ y2= 218sustituimos y en la
segunda ecuacinx2+ (x 6)2= 218x2+ x2 12x + 36 = 2182x2 12x + 36 218
= 02x2 12x + -182 = 0(x 13)(x + 7) = 0x =13, x = -7 Utilizamos el
13 ya que tiene que ser un nmero entero positivo.Sustituimos este
valor en la primera ecuacin y obtenemos el valor de y(13) 6 = yY
=713 y 7 Son los dos nmeros.5.-Dentro de 30 aos la edad de Andrea
ser la mitad del cuadrado de la edad que tena hace 10 aos. Cuntos
aos tiene Andrea hoy?Definimos x como la edad actual de
Andrea.Planteamos la ecuacin: x + 30 = (x 10)2/ 2x + 30 = (x2 20x +
100) / 22x + 60 = x2- 20x +10060 100 = x2- 20x 2xx2- 22x + 40 =
0Encontramos dos nmeros que multiplicados sean 40 y sumados -22: (
x 20 )( x 2 ) = 0x = 20, x = 2 Estas son las dos soluciones, pero 2
aos no es posibles ya que hace 10 aos no hubiera nacido por lo
tanto la edad actual de Andrea son 20 aos.- See more at:
http://matematicasmodernas.com/problemas-de-ecuaciones-cuadraticas/#sthash.gQAh7RY7.dpufRESOLUCIN
DEL MTODO GRAFICOCada una de las ecuaciones que forman un sistema
lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas es la de una funcin de
primer grado, es decir, una recta. Elmtodo grficopara resolver este
tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes
cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si
se cortan y, si es as, dnde. Esta ltima afirmacin contiene la
filosofa del proceso dediscusinde un sistema por el mtodo grfico.
Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas slo pueden
tener tres posiciones relativas (entre s): se cortan en un punto,
son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos
rectas se cortan en un punto, las coordenadas de ste son el par(x,
y)que conforman la nica solucin del sistema, ya que son los nicos
valores de ambas incgnitas que satisfacen las dos ecuaciones del
sistema, por lo tanto, el mismo escompatible determinado. Si las
dos rectas son paralelas, no tienen ningn punto en comn, por lo que
no hay ningn par de nmeros que representen a un punto que est en
ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del
sistema a la vez, por lo que ste serincompatible, o sea sin
solucin. Por ltimo, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos
puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas
soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego ste
sercompatible indeterminado.El proceso de resolucin de un sistema
de ecuaciones mediante elmtodo grficose resume en las siguientes
fases:i. Se despeja la incgnitayen ambas ecuaciones.ii. Se
construye, para cada una de las dos funciones de primer grado
obtenidas, la tabla de valores correspondientes.iii. Se representan
grficamente ambas rectas en los ejes coordenados.iv. En este ltimo
paso hay tres posibilidades:a. Si ambas rectas se cortan, las
coordenadas del punto de corte son los nicos valores de las
incgnitasxey.Sistema compatible determinado.b. Si ambas rectas son
coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las
respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que
coinciden ambas.Sistema compatible indeterminado.c. Si ambas rectas
son paralelas, el sistema no tiene solucin.Sistema
incompatible.Veamos, por ltima vez, el ejemplo visto en los mtodos
analticos para resolverlo grficamente y comprobar que tiene, se use
el mtodo que se use, la misma solucin. recordemos de nuevo el
enunciado:Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el
doble de euros que Ana. Cunto dinero tiene cada uno?.Llamemosxal
nmero de euros de Ana eyal de Sergio. Vamos a expresar las
condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600
euros, esto nos proporciona la ecuacinx + y = 600. Si Sergio tiene
el doble de euros que Ana, tendremos quey = 2x. Ambas ecuaciones
juntas forman el siguiente sistema:
x + y = 6002x - y = 0Para resolver el sistema por el mtodo
grfico despejamos la incgnitayen ambas ecuaciones y tendremos:
y = -x + 600y = 2xVamos ahora, para poder representar ambas
rectas, a calcular sus tablas de valores:y = -x + 600y = 2x
xyxy
200400100200
6000200400
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las
escalas apropiadas en los ejesOXyOY, podemos ya representar
grficamente:
Si observamos la grfica, vemos claramente que las dos rectas se
cortan en el punto(200, 400), luego la solucin del sistema esx =
200ey = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que
Ana tiene200 eurosy Sergio tiene400 euros, es decir, el mismo
resultado, evidentemente, que habamos obtenido con los tres mtodos
analticos.Si, al representar grficamente un sistema, se obtienen
las rectasx = 0ey = x+2, cul ser la solucin del mismo?
