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7/26/2019 1_10_Proporciones.pdf

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Matemticas1deESO.Captulo10:Magnitudesproporcionales.Porcentajes Autora:NievesZuastiSoravilla

www.apuntesmareaverde.org.es Revisoras:MilagrosLatasayFernandaRamos

LibrosMareaVerde.tk Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

Magnitudesproporcionales.1ESO208

LibrosMareaVerde.tk

www.apuntesmareaverde.org.es

Autora:NievesZuasti

Revisoras:MilagrosLatasayFernandaRamos

Ilustraciones:BancodeimgenesdelINTEF

1ESO CAPTULO10:MAGNITUDESPROPORCIONALES.PORCENTAJES


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ndice

1.RAZN

Y

PROPORCIN

1.1.RAZN

1.2.PROPORCIN

2.MAGNITUDESDIRECTAMENTEPROPORCIONALES2.1.PROPORCIONALIDADDIRECTA

2.2.REGLADETRESDIRECTA

2.3.PORCENTAJES

3.ESCALAS:

PLANOS

Y

MAPAS

Resumen

Enestecaptuloaprenderemosautilizarinstrumentosquenos

permitan

establecer

comparaciones

entre

magnitudes.

Estudiaremos los procedimientos de la proporcionalidaddirectacomolaregladetresyelclculodeporcentajes,enlaresolucindeproblemasrelacionadosconlavidacotidiana.

Si conoces la escala o proporcin de una fotografa, unafotocopiapuedessaberel tamao realdelobjetomidiendosobrelafotoofotocopia.

Siconoceslaescalaoproporcindeestafotografapuedessabereltamaorealdeestasfloresmidiendosobrelafoto.


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RAZNYPROPORCIN

1.1.

Razn

Razn,enMatemticas,esunacomparacinentrelosvaloresdedosvariables.

Seexpresaenformadecociente,deformasimilaraunafraccinyseleeAesaB

Ejemplo:

Compramos 3 kg de cerezaspor 6 .Podemosestablecer la relacin entre el precio (6 ) y lacantidad(3kg)

6 : 3 = 2 el kilo

3

6eslaraznentreeurosycerezas.

De esta manera si compramos otras cantidades de

cerezaspodremoscalcularelprecioapagar.

Ejemplo:

La raznque relacionaelgastode4personasy los200 litrosdeaguaquegastanenunda,puedeescribirse:

litros

personas

200

4o bien

personas

litros

4

200

Encualquieradeloscasosestamosexpresandoquelaraznentrelitrosdeaguaypersonases:

200:4=50litrosporpersona

Sison40personas, lacantidaddeaguaser2000 litros,sisondospersonas lacantidaddeaguaser100litros,esdecir:

50

1

100

2

2000

40

200

4 obien

1

50

2

100

40

2000

4

200

Ideas

claras

Unaraznesuncociente. Seexpresaenformadefraccinperosustrminosnoexpresanunapartedeunamismamagnitudsinolarelacinentredosmagnitudes.Lostrminosdelaraznpuedensernmerosenterosodecimales.

Actividadespropuestas

1.Trespersonasgastan150litrosdeaguadiariamente.Cules laraznentre los litrosconsumidosyelnmerodepersonas?Cules laraznentre laspersonasyloslitrosconsumidos?

2.Seiskilosdenaranjascostaron6,90.Expresalaraznentrekilosyeuros.3.Laraznentredosmagnitudeses56.Escribeunejemplodelosvaloresquepuedentenerestasdos

magnitudes

Observa:

Una fraccinexpresaunapartedeun todode una nica magnitud, mediante sustrminos, numerador (las partes que setoman)ydenominador(eltotaldelaspartesenlasquesehadivididoesetodo)

Sinembargo, los trminosdeuna

razn serefierenacantidadesdedosmagnitudes,elprimero se llama antecedente y el

segundoconsecuente


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1.2.

Proporcin

Unaproporcineslaigualdadentredosrazones.

Lostrminosprimeroycuartosonlosextremosyelsegundoytercerosonlosmedios.

medio

extremo=

extremo

medio

Sellamarazndeproporcionalidadalcocienteentredosvariables.Ysuvalorconstantenospermiteobtenerrazonessemejantes.

Cuandomanejamosunaseriededatosdedosparesdemagnitudesquepresentanunamismarazn,sepuedenordenarenuncuadrodeproporcionalidad.

Ejemplo:

Enelcuadrodeabajoseobservaquecadarbolda4

200=50kg

defruta.Eslarazndeproporcionalidad.

Conesedatopodemoscompletarelcuadroparalossiguientescasos.

Propiedadfundamentaldelasproporciones:

Entodaproporcin,elproductodelosextremosesigualalproductodelosmedios.

Ejemplo:

2730184518

30

27

45

Ideas

claras

Observaquelarazndeproporcionalidadnossirveparaestablecerunarelacinentrelasdosvariablesparacualquieradelosvaloresquepuedanadoptar

Actividades

propuestas

4. Completalassiguientesproporciones:

a)x

301218

b)964,0

x c)

4,26,3

5,7

x d)

3001005,0 x

5. Ordenaestosdatosparacomponerunaproporcin:

a) 12,3,40,10 b) 24,40,50,30 c)0,36;0,06;0,3;1,86. Copiaentucuadernoycompletalatablasabiendoquelarazndeproporcionalidades4,5:

0,5 7 3 20 3,6

13,5 36 45 18

kgdefruta 200 400 100 50 500 150 3000 1000

nderboles 4 8 2 1 10 3 60 20


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2.MAGNITUDESDIRECTAMENTEPROPORCIONALES

2.1.

Proporcionalidad

directa

Dosmagnitudessondirectamenteproporcionalescuandoalmultiplicarodividira laprimeraporunnmero,lasegundaquedamultiplicadaodivididaporelmismonmero.

Ejemplo:

Elnmerodepersonasquevienenacomery lacantidaddecomidaquenecesito.Porejemplosielnmerodepersonaseseltriplehabrquepreparartriplecantidaddecomida.

Sin embargo, hay relaciones entre magnitudes que no son deproporcionalidadporquecuandounasemultiplicaosedivideporunnmero,laotranoquedamultiplicadaodivididadelamismaforma.

Ejemplo:

Elpesoy laedaddeunapersonano sonmagnitudesproporcionales:Eldoblede laedadnosignificaeldobledepeso

Ideas

claras

Cuandodosmagnitudessondirectamenteproporcionales, eldoble, triple,de laprimerasuponeeldoble,triple...delasegunda

Haymagnitudesquenoserelacionanproporcionalmente.

Actividades

propuestas

7. Sealadeestosparesdemagnitudes,lasquesondirectamenteproporcionales:

Eltamaodeunrecipienteyelnmerodelitrosquepuedecontener

Laedaddeunapersonaysualtura

Elnmerodepisosquesubeunascensorylaspersonasquecabenenl

Los kilos de pienso y el nmero de animales que podemosalimentar

Las

entradas

vendidas

para

un

concierto

y

el

dinero

recaudado

Elnmerodecalzadoylaedaddelapersona

8. Calculalostrminosquefaltanparacompletarlasproporciones:

a)x

30

24

18 b)

x

40

100

25 c)

36,21

6,3 x

9. Ordenaestosvaloresdemaneraqueformenunaproporcindirecta:

a)3,9 0,3 1,3 0,1 b)5,12,6,10 c)0,18 4 0,4 18

Haymsdeunasolucin?


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2.2.

Regla

de

tres

directa

Para resolverproblemasdeproporcionalidaddirecta,podemosutilizar elmtodode reduccin a launidad.

Ejemplo:

Cinco

billetes

de

avin

costaron

690

.

Cunto

pagaremos

por

18

billetesparaelmismorecorrido?

Primerocalculamoselpreciodeunbillete,690:5=138.

Despuscalculamoselcostedelos18billetes:138 18=2484

Laregladetresesotroprocedimientoparacalcularelcuartotrminodeunaproporcin

Ejemplo:

Condoskilosdepiensomisgatoscomendurante6das.Cuntoskilosnecesitarparadarlesde

comer

15

das?

Formamoslaproporcinordenandolosdatos:das

das

kgx

kg

15

62 kgx 5

6

152

Otraformahabitualdeplantearlaregladetresessituandolosdatosdeestaforma:

2kg 6das kgx 56

152

xkg 15das

Ideas

claras

En la regla de tres directa ordenamos los datos de forma que el valor desconocido se obtienemultiplicandoencruzydividiendoporeltercertrmino.

Reduciralaunidadsignificacalcularelvalordeunoparapodercalcularcualquierotracantidad.

Actividadespropuestas

10.Un cochegasta7 litrosdegasolina cada100 km, cuntos litrosgastarenunviajede825km?

11.Enunarifasehanvendido320papeletasysehanrecaudado640euros. A cunto se venda cada papeleta? Cunto habranrecaudadosihubieranvendido1000papeletas?

12.Una paella para 6 personas necesita 750 g de arroz, cuntaspersonaspuedencomerpaellasiutilizamos9kgdearroz?

13.Trescamisetasnoscostaron24,90,cuntopagaremospor11camisetasiguales?


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2.3.

Porcentajes

Elporcentajeotantoporcientoeslaproporcindirectamsutilizadaennuestravidacotidiana.

En los comercios, informacionesperiodsticas, o en los anlisis de resultados de cualquier actividadaparecenporcentajes.

Un

porcentaje

es

una

razn

con

denominador

100.

Susmboloes%.

Suaplicacinserealizamedianteunsencilloprocedimiento:

Paracalcularel%deunacantidadsemultiplicaporeltantoysedivideentre100

Ejemplo:

Calculael23%de800 El23%de800= 184100

80023

Algunosporcentajessepuedencalcularmentalmentealtratarsedeunclculosencillo:

El50%equivalealamitaddelacantidad

El25%eslacuartapartedelacantidad

El75%sonlastrescuartaspartesdelacantidad

El10%esladcimapartedelacantidad

El200%eseldobledelacantidad

Ejemplo:

El25%de600eslacuartapartede600,portantoes600:4=150

Ideas

claras

Sicualquiercantidadladividesen100partes,el22%sonveintidspartesdeesascien.Eltotaldeunacantidadseexpresacomoel100%

Actividades

propuestas

14.Calculamentalmente:

a)El50%de190 b)el1%360 c)el10%de200 d)el300%de7

15.Completalatabla:

Cantidadinicial % Resultado

280 16

720 108

60 140

60 294

16.En un hotel estn alojadas 320 personas. De ellas, 40 son italianas, 120 francesas, 100 sonalemanasyelrestorusas.Calculael%querepresentacadagruposobreeltotal.

GRANDESREBAJAS!!

40%DEDESCUENTO

ENTODOSLOSARTCULOS


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3.ESCALAS:PLANOSYMAPASLos dibujos, fotografas, mapas o maquetas representan objetos, personas, edificios, superficies,distancias...

Paraque larepresentacinseaperfecta,debenguardaren todossuselementosunamismaraznde

proporcionalidad

que

denominamos

escala

Laescalaesunarazndeproporcionalidadentrelamedidarepresentadaylamedidareal,expresadasenunamismaunidaddemedida

Ejemplo:

En un mapa aparece sealada la siguiente escala 1 : 20 000 y seinterpretaque1cmdelmaparepresenta20000cmenlarealidad.

Ejemplo:

Hemos fotografiado la catedral deSantiagodeCompostela.Eltamaodelafotonosdaunaescala:

1:600.

Lasdos torresde la fachada tienenen la fotounaalturade3,5cm.Laalturarealdelastorresser:

3,5 600=2100cm=21m.

Lasescalasnospermitenobservarquelaimagenrealyladeldibujosonsemejantes.

Ideas

claras

La

escalautilizaelcmcomounidaddereferenciayseexpresaencomparacinalaunidad.Porejemplo:1:70000Dosfigurassonsemejantescuandotienenlamismaformaysusladossonproporcionales.

Actividades

propuestas

17.Escribecuatroejemplosenlosqueseutilicenescalas.

18.LadistanciaentreMadridyBurgoses243km.Enelmapa,ladistanciaentreambasciudadeses8,1cm,aquescalaestdibujadoelmapa?

19.Completalasiguientetablateniendoencuentaquelaescalaaplicadaes1:5000

Dibujo

Medida

real

18cm

3km

0,008m

20.Calculalaescalacorrespondienteencadaejemplodelatabla:

Dibujo Medidareal Escala

2,5cm 800m4cm 6,4hm

5cm 9km

CATEDRALDESANTIAGODE

COMPOSTELA


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CURIOSIDADES.REVISTA

.

Si el planeta Tierra fuera

una canica de 1 cm de dimetro

Jpiter sera una bola de

11 20 cm de dimetro

ya que sus dimetros

son 12.756 km y 142.984 km

El perezoso de tres dedos se

mueve a una velocidad de 2,2

metrosporhora.

El caracol tarda una hora en

caminarmediometro.

PROPORCIONALMENTEUNAHORMIGACOMN

ESMS FUERTEQUEUN ELEFANTE,porquees

capaz de levantar, gracias a susmsculos, 50

vecessupropiopesoy30veceselvolumende

sucuerpo.Algunostiposmsde80veces.Esel

animalconelcerebromsgranderespectoasu

tamao

Elcoraznimpulsa80mldesangreporlatido,alrededor de 5 litros de sangre por minuto.Late entre 60 y 80 veces porminuto, lo quesuponemsde30millonesdevecesalaoy2000millonesdevecesentodalavida.

Siporalgunaraznelsoldejaradeemitir

luz,enlatierratardaramos8minutosen

darnos cuenta ya que estamos a

149.600.000kmdedistancia


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La

velocidad

como

objetivo

Enelmundomoderno, lagestindeltiempo

ha

primado

frente

a

otros

objetivos.

Estosereflejaen la incorporacinmasivadela alta velocidad ennuestros trenes. ElAVEpuedealcanzarlos300kmporhora.

Un ascensor de alta velocidad es capaz desubir,sinrealizarparadas,hasta laplanta80en48segundos

TORTILLARECORD

16000huevos,1600 kgdepatatas,26kgdecebolla,150litrosdeaceitey15kgdesalhanpermitidoconseguirelrecorddelatortilladepatatas ms grande cocinada. Esta spertortillamidi5,20metrosdedimetro,7cmdegrosoryunatoneladaymediadepeso

Este record se consigui el 2 de agosto enVitoriaGasteiz.

ELPESODELASHORMIGAS

Estudiosrecientesafirmanqueel10%de labiomasaanimalestformadaporhormigas.La biomasa, el peso total de todos los

individuos

del

planeta.

Se

estima

que

hay

unos7000billonesdehormigas,esdecirunmillnporcadahumano.

Teniendo en cuenta que el peso medio deunahormigaesde0,000065kgyqueelpesode las personas vivas se estima en 455gigatoneladas, se puede concluir que lashormigas llegan a igualar el peso de loshumanosapesardesupequeotamao.

Suponiendo un peso medio unit ario de 65 kilos,todos los humanos vivos juntos pesamos 455

gigatoneladas, un peso parecido, segn Wilson, al

de todas las hormigas pero con un pequeomatiz: ellas son 7.000 bil lones, a razn de un

milln por cada uno de nosotros . Y no piensesque son todas iguales, pues la mayor de todas, la

hormiga gigante (formicium giganteum) podraalbergar en su cabeza una colonia entera de la ms

pequea (pheidole).

Si nos ceimos a la biomasa, es decir, al peso totalde todos los individuos, las hormigas ganan de

calle la competicin por ser el animal msabundante del planeta, igualando el peso de todoslos hombres (y mujeres) juntos. Lo cual tiene mucho

mrito, teniendo en cuenta que la hormiga mediapesa una millonsima parte del humano medio, es

decir 0,000065 kilos.

Segn los clculos de Bert Hlldobler y EdwardOsborne Wilson en su maravilloso compendio Las

hormigas (1990), las hormigas y sus lejanasparientes las termitas acapararan un tercio de

toda la biomasa animal terrestre. Un estudiorealizado en Finlandia concluy que el 10 % de labiomasa animal estaba formada por hormigas,una cifra que se elevaba hasta el 15 % en el casode la selva de Brasil . En el Amazonas, nos cuentaWilson, las hormigas tienen ms de cuatro veces labiomasas de todos los vertebrados terrestres juntos:

aves reptiles, anfibios y mamferos.


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RESUMEN

Concepto Definicin Ejemplo

Razn Comparacinentrelosvaloresdedosvariables

Precioycantidad

Proporcin

Igualdadentredosrazones AesaBcomoCesaD

Magnitudesdirectamenteproporcionales

Sisemultiplicaodivideunadelasmagnitudesporunnmero,laotraqueda

multiplicadaodivididaporelmismonmero

24esa10como240esa100

RazndeProporcionalidaddirecta

Cocienteentrelosvaloresdedosmagnitudes

300

25

Porcentajes Razncondenominador100 23

100

Escalasyplanos Comparacinentretamaorealytamaorepresentado

1:20000

PORCENTAJE

CON

CALCULADORA

Enlacalculadorapuedesencontrarunafuncinquetepermitecalcularel%demaneradirecta.

Paraellodebesseguirlossiguientespasos:

1. Escribe

la

cantidad

2. Multiplicaporeltanto

3. PulsaSHIFTy%.Elresultadoqueapareceenlapantallaeslasolucin.

Ejemplo:

650 * 16 SHIF % = 104

Unaformafcildeaadirorestarelimportedeltantoporcientoalacantidadfinalpuedehacerse

delasiguienteforma:

Sigue

los

pasos

1,

2

y

3

anteriores

Pulsalatecla+siloquequieresesunaumentoporcentual

Pulsalatecla paraunadisminucinporcentual

Ejemplo:

1370 * 12 SHIFT % 164.4 + 1534.4

1370 * 12 SHIFT % 164.4 1205.6


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EJERCICIOSYPROBLEMASde1deESO

1. ExpresalaraznentrelasedadesdeJorge,26aos,yAndrs,32aos

2. Expresa la razn entre las 20 personas que acuden a comer un restaurante y los 440 que serecaudan.

3. Enunexamende30preguntasunestudiantehacontestado21bieny9mal.Expresa lasrazonesentreestosresultadosyeltotaldelaspreguntas

4. Copia en tu cuaderno y relaciona las magnitudes de ambas columnas para que cada ejemplorespondaaparesdemagnitudesdirectamenteproporcionales:

Nmerodekilosdepatatas y Litrosdegasolinanecesarios,

Cantidaddeaguanecesariay Personasquevivenenunedificio

Dinerodisponibley Vestidosconfeccionados

Kilmetrosarecorrery Nmerodepersonasquevienenacomer

Metrosdetelay Prendasquepodemoscomprar

5. Conestasseismagnitudesdebeselaborartresrazones:

Nmerodepersonas,horas,cantidaddeleche,litrosderefresco,distanciaentredosciudades,nmerodevacas

6. Calculaelcuartotrminodelassiguientesproporciones:

a)

x

45

20

36 b)

5.0

2,06,12

x

c)

325,0

1 x d)

5

35

2

x

7. Estarecetaespara4personas.Elaboradosrecetassimilarespara6personasypara15personas

8. Completalatabladeproporcionalidaddirecta:

Distancia 100 240 360

Litros 6,5 52 2,6

9. Unalatademejillonesde200gvale2,40.Otralatade700gsevendea7,20,culdelasdosesproporcionalmente msbarata?

ARROZCONVERDURAS380gdearroz1kgdetomatetriturado800gdecalabacn3dientesdeajo120cldeaceite1kgchampin

1/2kgpimientosrojosyverdes


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10.Cuntodineronoscostarn6ordenadoressabiendoque56ordenadoreshancostado28000?

11.ClculoMental

3%de40 20%de800 12%de70 3%de12025%de300 15%de60 150%de30 200%de2

12.Completamentalmente:

a)El..%de30es3 b)El..%de500es250 c)El.%de400es4

d)El20%de.es8 e)El75%dees30 f)El 150%de..es60

13.Calculael300%del10%de480.

14.Quporcentajeocupanloscuadrosnegros?

15.Copiaestatablaentucuadernoycoloreaunporcentajequerepresenteel40%.

16.Rosanagastael15%desudineroyMartagastael50%delsuyo.SinembargoMartahagastadomenosdineroqueRosana,cmoesposible?

17.Completalatabla:

% Cantidad Resultado

45

1024

23 115

18 162

18.Culdeestosdibujoscontienemayorproporcindecolornaranjaenrelacinasutamao?

19.Culdeestosdibujoscontienemayorproporcindecolornaranjaenrelacinasutamao?Yderayas?ydecuadros?

b

a c

Hazunaestimacinentantosporcientoparacadacilindroycadaparte.

20.En laoficinademimadre,el18%desuscompaerosjuegana laBONOLOTO,el56%jueganalEUROMILLN, el 20 %juegan a la PRIMITIVA, y los 3 trabajadores restantes nojuegan a nada.Cuntaspersonastrabajanenesaoficina?

21.Unadultorespiraunos5litrosdeaireporminuto.Cuntoslitrosrespiraenunasemana?


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22.En2kmascendemos40m,respectoalahorizontal,qu%hemosascendido?

23.Elguepardoeselanimalterrestremsrpido,yaqueescapazdealcanzarunavelocidadmximade130 km hora. Cuntas horas tardara un guepardo, sin parar, en viajar desde Valencia hastaBarcelona?YdePalenciahastaCdiz?

24.Hazuninformesobreelanimalquemscorre,elquemsvive,elquemscome,elquemstiempopuedepasarsincomerosinbeber.

25.Sieldlarsecotizaa1,12,Cuntosdlaresobtendremosalcambiar360?

26.En estadstica se utilizan los grficos para expresar la evolucin de los valores de una variablerespectoaotra.

Si asignamosalabarramsaltaelvalor100,calculadeformaaproximada

laalturadelasdems.

Silabarramspequeapesa0,5kg.Cuntopesarncadaunadelasotrasbarras?

27.Enunplanodecarreterasladistanciaentredosciudadesesde6cm.Silaescalaes1:40000

28.Calculalaescalaalaqueestdibujadounplanosabiendoque15cmdelplanocorrespondena375km.

29.En el antiguo Egipto, para definir la proporcin de las diferentes partes del cuerpo, se usaba lalongitudde losdedosyparaelcanon, lospuos.Unacabezadebamedirdospuos.Losgriegosutilizaban,aligualquelosegipcios,laproporcinparavalorarlosdistintoscnonesdebelleza. Uncuerpobienproporcionadodeba teneruna longitudproporcionala lacabeza.Algunode losmsconocidoscorrespondenafamososescultores:

CanondePraxteles CanondePolikletos Canonegipcio

Medidadelcuerpo Ochocabezas Sietecabezas 16puos

Conestosdatospuedesinvestigarsobrequproporcineslamsfrecuenteentretusamigos

30.Hayotrasmanerasdeestudiarlaproporcinenlafigurahumana.Laproporcinurea, conocidapor losgriegos ydesarrolladademanerabrillanteporLeonardodeVincinoshadejado imgenescomoel famosoHombredeVitrubio.Busca informacin sobreestafigura.


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AUTOEVALUACINde1deESO

1. Elvalordexenlaproporcin3

8,04,2

xes:

a)0,9 b) 1,2 c)9 d)0,9

2. En una cajapor cada tresbolasblancashay cincobolas rojas. Sihay108bolas rojas, lasbolasblancasson:

a)200 b)180 c)220 d)210

3. Paraunaexcursinungrupode28personascontratunautobs.Cadaunadebepagar45. Comoquedaban plazas libres, a ltima hora se han apuntado 7 personas ms. Cunto deben pagarfinalmentecadauna?

a)36 b)30 c)38 d)40

4. Unabicicletasevendepor225.Sihacenundescuentodel14%Cuntotendremosquepagar?

a)201,50 b)198,50 c)214 d)193,50

5. Enunmapa16cmequivalena208km.Laescalaes:

a)1:320000 b)1:2100000 c)1:20800000 d)1:2220000

6. Losvaloresquecompletanlatabladeproporcionalidaddirectason:

Personas 8 11 46

Kg

de

comida

12 72

a)24,69,48 b)16,49,68 c)16.5,69,48

7. Losvaloresquecompletanlatabladeproporcionalidadinversason:

Ndetrabajadores 12 7 21

Horas

diarias

35 10 7

a)60,60,42,20 b) 60,42,42,20 c)60,21,42,20

8. Losvaloresquecompletanlasoperacionessiguientesson:El25%de0,28es. El..de630es63 El150%dees120

a)0.07,10,80 b)0.7, 10,90 c)0.7,3,80

9. Alefectuarunincrementoporcentualdel18%sobreestastrescantidades,350,99y6obtenemos:

a)413,116,82,7.08 b)630,116.82,7.08 c)403,112,7.08

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