Unidad 11.7: Regresión linealMatemáticas

2 semanas

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Unidad 11.7: Regresión linealMatemáticas

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Etapa 1 - Resultados esperadosResumen de la unidadEn esta unidad, los estudiantes determinarán el grado de correlación entre dos variables y usarán la regresión lineal por mínimos cuadrados para hacer modelos de tendencias en series de datos. Los estudiantes examinarán los efectos que tienen los valores extremos en el coeficiente de correlación y las líneas de regresión y analizarán la importancia de los valores extremos como posibles errores en los datos.

Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre los modelos lineales de tendencias en series de datos para interpretar datos, analizar relaciones y tendencias en los datos, y determinar correlaciones entre estos.

Estándares de contenido y expectativas

Modelos de tendencias de datosE.IP.11.9.1 Determina la correlación entre dos variables numéricas utilizando la tecnología.E.IP.11.9.2 Interpreta y describe la correlación y señala las fortalezas y debilidades del coeficiente como una medida de asociación lineal.E.IP.11.9.3 Calcula y grafica los residuales de la línea de regresión por cuadrados mínimos; juzga el ajuste del modelo lineal.E.IP.11.9.4 Interpola utilizando las tendencias observadas en el diagrama de dispersión y juzga cuando las tendencias extrapoladas son apropiadas.E.IP.11.9.5 Examina la influencia de los valores extremos en la correlación y en los modelos de tendencias. Investiga y describe los efectos de los valores extremos en el coeficiente de correlación, la

pendiente y los interceptos de la línea de regresión.E.IP.11.9.6 Analiza la importancia potencial de los valores extremos como avisos para errores posibles en los datos, como contraejemplos o casos únicos, especialmente cuando se describen tendencias sociales.

Ideas grandes/Comprensión duradera: La correlación nos informa de la

interdependencia entre dos cantidades. Los ajustes por cuadrados mínimos se usan

comúnmente en las regresiones lineales. Los valores extremos afectan la correlación. Las regresiones nos permiten interpretar la

correlación entre las variables. Podemos usar una función que sirva de

modelo para situaciones del mundo real para hacer estimados o predicciones sobre eventos futuros.

Preguntas esenciales: ¿De qué forma la correlación demuestra la

solidez de las predicciones basadas en un diagrama de dispersión?

¿Por qué existen diversos métodos para las regresiones lineales?

¿Por qué los valores extremos afectan la correlación?

¿De qué forma se relacionan la regresión y la correlación?

¿Cómo se puede hacer un modelo de datos con una función lineal?

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Contenido (Los estudiantes comprenderán...) Investigar y describir los efectos de los valores

extremos en el coeficiente de correlación, la pendiente y el intercepto de la línea de regresión

Los puntos fuertes y débiles del coeficiente de correlación como medida de la asociación lineal

El método de los cuadrados mínimos

Vocabulario asociación lineal, causalidad, coeficiente,

coeficiente de correlación, correlación negativa, correlación positiva, diagrama de dispersión, extrapolación, frecuencia, intercepto, interpolación, línea de mejor ajuste, línea de tendencia, pendiente, regresión lineal, regresión lineal por mínimos cuadrados, tendencia, valores extremos

Destrezas (Los estudiantes podrán...) Determinar la correlación entre dos variables

numéricas utilizando la tecnología. Interpretar y describir la correlación y señalar

las fortalezas y debilidades del coeficiente como medida de asociación lineal.

Calcular y trazar la gráfica de los residuales de la línea de regresión por cuadrados mínimos; juzgar el ajuste del modelo lineal.

Interpolar utilizando las tendencias observadas en el diagrama de dispersión y juzgar cuándo las tendencias extrapoladas son apropiadas.

Examinar la influencia de los valores extremos en la correlación y en los modelos de tendencias.

Investigar y describir los efectos de los valores extremos en el coeficiente de correlación, la pendiente y los interceptos de la línea de regresión.

Analizar la importancia potencial de los valores extremos como avisos para errores posibles en los datos y como contraejemplos o casos únicos, especialmente cuando se usan para describir tendencias sociales.

Etapa 2 – Evidencia de avalúoTareas de desempeño

Análisis del diagrama de dispersiónLos estudiantes demostrarán su comprensión de la correlación al recopilar datos relacionados con una situación del mundo real, construir un diagrama de dispersión a partir de los datos, analizar el diagrama y preparar un informe. 1. Provéeles a los estudiantes algunas ideas para

que recopilen datos con tendencias lineales. 2. Dales las siguientes instrucciones.

a. Tu tarea es elaborar una pregunta de investigación a la que deberás responder recopilando y analizando datos relacionados con una situación del mundo real.

Otra evidencia

Ejemplos de preguntas de examen/quiz1. En una escuela superior del oeste, todos los

estudiantes de matemáticas de duodécimo grado recibieron el mismo examen de la unidad, pero a la clase del salón hogar 1 se le dio una versión del examen distinta de la del salón hogar 5.3

Salón hogar 1 (x)

Salón hogar 5 (y)

84 7890 8683 7580 9268 76

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b. El maestro deberá aprobarte la pregunta y métodos de investigación.

c. Una vez recopiles los datos, construye un diagrama de dispersión de estos.

d. Analiza el diagrama de dispersión usando la regresión lineal.

e. Halla la ecuación de la línea de tendencia.f. Usa la ecuación de la línea de tendencia

para hacer una predicción.g. Halla la ecuación de la línea de mejor

ajuste.h. Usa la ecuación de la línea de mejor ajuste

para hacer una predicción.i. ¿Qué información de la gráfica necesitas

para escribir cada ecuación?j. Explica el significado del valor de la

pendiente, intercepto con el eje de y y el coeficiente de correlación.

k. Identifica los valores extremos (datos anómalos) y describe su efecto sobre la pendiente, el intercepto con el eje de y el coeficiente de correlación.

l. ¿Hay alguna tendencia en los datos? ¿Cómo lo sabes?

m. Identifica la conclusión de los hallazgos y describe cualquier fuente de error posible a la hora de describir la tendencia.

n. Compara la línea de regresión lineal obtenida con tecnología con la que se obtiene por otro método y discute las ventajas de cada método usado en un párrafo para entregar.

o. Prepárate para presentar tus hallazgos frente a un grupo de tus compañeros.

Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).

Evalúa la conjetura1

Los estudiantes demostrarán su comprensión de la regresión lineal evaluando una conjetura. Tarea: A partir de los datos del Banco Mundial2, se

71 6082 8789 8391 9495 8075 8188 93

a. En tu calculadora, construye un diagrama de dispersión de las puntuaciones de los exámenes, y usa el salón hogar 1 como la variable independiente. Escribe una ecuación de la línea de mejor ajuste (redondea a la centena más próxima).

b. Halla el coeficiente de correlación a la centena más próxima.

c. Predice, al entero más próximo, la puntuación del salón hogar 5 y su correlación con una puntuación de 97 de un estudiante del salón hogar 1.

2. En la tabla a continuación se muestra el coeficiente intelectual de ocho estudiantes de duodécimo grado y el número de horas que cada estudiante pasa viendo televisión a la semana.4

CI (x) 105 125 135 100 115 130 140 100Hrs.

de TV (y)

11 7 6 13 15 8 2 14

a. Halla la ecuación de regresión lineal de estos datos. Redondea la pendiente y los interceptos con el eje de y a la milésima más próxima.

b. Halla el coeficiente de correlación. c. ¿Cuántas horas de televisión a la semana

se predice que verá un estudiante con un CI de 120? (Redondea a la hora más próxima.)

Diario1. En tus propias palabras, ¿qué es la regresión

lineal?2. ¿Qué nos dice la regresión lineal?

1 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf

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proyecta que la población de Puerto Rico en 2020 será de 4,380,000. Usa los datos a continuación para contestar las preguntas y probar esta proyección.

Año Población (en miles)

1960 2,3581970 2,7181980 3,2061990 3,5372000 3,8142010 3,979

1. Haz un diagrama de dispersión de los datos. ¿Por qué piensas que el Banco Mundial expresó la población en miles?

2. Determina una ecuación de regresión que podría usarse para hacer un modelo de los datos. Utiliza esta ecuación para determinar el número esperado de personas que habrá en Puerto Rico ese año.

3. ¿Cómo debes redondear tu respuesta? ¿Por qué?

4. Averigua la población actual de Puerto Rico. ¿Cómo se compara tu estimado con la población real? Explica por qué tu respuesta es distinta de la población real.1. Halla la ecuación de la línea de tendencia.2. Usa la ecuación de la línea de tendencia

para hacer una predicción.3. Halla la ecuación de la línea de mejor

ajuste.4. Usa la ecuación de la línea de mejor ajuste

para hacer una predicción.5. ¿Qué información de la gráfica necesitas

para escribir cada ecuación?6. Explica el significado del valor de la

pendiente, intercepto con el eje de y el coeficiente de correlación.

3. ¿Cómo se diferencia el coeficiente lineal de la media o mediana de una variable?

4. ¿Cómo puedes hacer predicciones a partir de un diagrama de dispersión?

5. A la hora de estimar los puntos que faltan usando la interpolación lineal en un diagrama de dispersión, ¿qué es lo que se asume? ¿Cuáles son las características de esos supuestos?

Boletos de entrada/salida1. En la tabla a continuación se muestra la

relación entre la longitud de L, medida en centímetros, de un resorte colgante y un peso, p, medido en gramos, enganchado en el resorte.

L 8 12 16 20 24p 10.36 12.13 14.35 16.21 18.52

Usando tu calculadora, construye un diagrama de dispersión donde p sea la variable independiente. Halla la ecuación de regresión lineal en la forma L = Aw + B redondeando A y B a la centena más próxima.Utiliza la ecuación hallada para predecir la longitud del resorte, a la décima más próxima de un centímetro, si se le añade un peso de 30 gramos.5

2. Pídeles a los estudiantes que completen las siguientes ideas en los últimos dos minutos de clase en un pedazo de papel:a. En clase hoy aprendí

________________________.b. Hoy tuve duda en cuanto a

____________________.3. Pídeles que completen las siguientes ideas en

los primeros dos minutos de clase en un pedazo de papel: a. Explica una idea que recuerdes de la clase

de ayer.

2 Fuente: World Bank Databank, http://databank.worldbank.org 3 Fuente: http://www.math.sunysb.edu/~preston/mat517/projects/Cutrone_Heinssen.pdf4 Fuente: http://www.math.sunysb.edu/~preston/mat517/projects/Cutrone_Heinssen.pdf5 Fuente: http://www.math.sunysb.edu/~preston/mat517/projects/Cutrone_Heinssen.pdf

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7. Identifica los valores extremos (datos anómalos) y describe su efecto sobre la pendiente, el intercepto con el eje de y el coeficiente de correlación.

8. ¿Hay alguna tendencia en los datos? ¿Cómo lo sabes?

9. Identifica la conclusión de los hallazgos y describe cualquier fuente posible de error a la hora de describir la tendencia.

Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).

Etapa 3 – Plan de aprendizajeActividades de aprendizaje ¿Correlación o causalidad?6: Durante un repaso de la correlación y la causalidad, diles a los

estudiantes: cada par de variables que se muestra aquí tiene una fuerte asociación. ¿Causa I el II, o el II causa el I, o hay alguna otra variable que cause ambos?A. I. Llevar un audífono para sordos. II. Morir en los próximos diez años.B. I. La cantidad de leche que bebe una

persona.II. La fortaleza ósea de una persona.

C. I. La cantidad de dinero que gana una persona.

II. El número de años que una persona asistió a la escuela.

D. I. La capacidad de una cancha de baloncesto de una escuela superior.

II. El número de iglesias (o bares) en el mismo pueblo.

Cadena humana7: La clase recopilará datos al cronometrar cuánto tiempo se toma en que se "transfiera un toque" entre un grupo de estudiantes. Los estudiantes pueden formular sus hipótesis de si la transferencia por toque de manos será más o menos rápida que la transferencia por toque de hombros. Haz que la clase forme un círculo con suficiente espacio entre cada estudiante para que puedan tomarse de la mano cómodamente. Comiencen con la transferencia de "mano"; explícales que deben (cuando se les pida) apretar suavemente la mano de la persona a su derecha una vez hayan sentido que les apretaron la mano. Los estudiantes deben mantener los ojos cerrados para que el sentido del tacto sea la única variable. Indica cuántos estudiantes participarán en cada pase e indícale al último estudiante que diga "ya" una vez le aprieten la mano. Comienza iniciando el cronómetro mientras aprietas suavemente la mano del primer estudiante y detenlo cuando se le haya apretado la mano al último. Utiliza distintos incrementos, como de cuatro estudiantes, siete o trece, etc., e incluso completar la cadena dos veces. Anota los datos donde los estudiantes puedan copiarlos y permíteles que tracen los datos a mano. Provéeles un

6 Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=4&ved=0CC4QFjAD&url=http%3A%2F%2Fwww.michigan.gov%2Fdocuments%2Fmde%2FElectronics_Math_Ingham_225966_7.doc&ei=b0zVTtjnNYHg0QGPptTaAQ&usg=AFQjCNEVvHTqwwUoHbHV6onh-CX9Ph6W_g7 Fuente: www.curriculumframer.com

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fideo de espagueti para que puedan colocar una "línea" junto a los datos y hallar una ecuación correspondiente. Repite la actividad con el pase de hombros. Deja a los estudiantes en el círculo, pero con el brazo derecho en el hombro izquierdo de la persona que está a su lado. En esta ocasión, la cadena se mueve con un toque suave del hombro.

Interpolación: Provéeles a los estudiantes cinco conjuntos distintos de datos sencillos. Asegúrate de que los conjuntos de datos tengan la misma media y desviaciones estándar similares, pero que les falte el tercer valor. Pídeles que interpolen el tercer valor de cada conjunto de datos. Discutan los resultados la clase junta; asegúrate de hacer hincapié en que debido a las diferentes estructuras de los conjuntos de datos, los cálculos de la interpolación tendrán como resultado estimados drásticamente distintos. Esto ilustrará algunas de las desventajas de las interpolaciones a la hora de estimar incógnitas.

Valores extremos: Preséntales conjuntos de datos en los que que tanto se contengan como no se contengan valores extremos. Pídeles a los estudiantes que identifiquen si hay valores que no parezcan corresponderse con el resto de los datos y pregúntales por qué parecen no corresponderse. Calculen regresiones lineales con y sin valores extremos para que los estudiantes hagan observaciones de cómo los valores extremos pueden afectar la línea de mejor ajuste.

Organizador gráfico de correlación: Tras una discusión en clase de lo que es y lo que significa la correlación, presenta ejemplos para que los estudiantes determinen la solidez de la correlación. A continuación, crearán un organizador gráfico para identificar los tipos de correlación posibles entre dos variables, resumiendo la información importante y dando ejemplos por cada tipo de correlación. Los estudiantes crean una tabla con una columna de tipos de correlación, otra columna que describa el tipo de correlación y una columna final con ilustraciones por cada correlación.

Regresión lineal en la TI-838: Pídeles a los estudiantes que determinen una ecuación de regresión lineal de los precios de café obtenidos de un supermercado local. Haz que traigan precios de café de paquetes de diferentes tamaños de asignación el día antes, o recopila los datos para proveérselos. Pídeles que sigan el proceso que se muestra en la hoja de actividades adjunta y usen los datos para practicar a calcular una regresión lineal en la calculadora TI-83 (ver anejo: 11.7 Ejemplo para plan de lección - Regresión lineal en la TI-83).

Ejemplos para planes de la lección Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal 9: Repasa diferentes líneas con distintas

pendientes y sus ecuaciones. Pídeles que adivinen la ecuación de la línea de cada diagrama de dispersión. Discútanlo como clase. Usen el organizador gráfico de línea de regresión lineal (ver anejo: 11.7 Ejemplo para plan de lección - Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal) para enseñarles cómo se calcula realmente la ecuación de una línea de regresión lineal dado un conjunto de datos. Asegúrate de también demostrarles a los estudiantes cómo hacer esto con calculadora gráfica. Como práctica, dales cinco conjuntos de datos para los cuales tendrán que

8 Fuente: http://education.ti.com/calculators/downloads/AUS-NZ/Activities/Detail?id=120459 Fuente: http://www.ciclt.net/ul/okresa/Unit%206%20Acquisition%20Lesson%203%20Linear%20Regression.pdf

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trazar los puntos, dibujar una línea de mejor ajuste y calcular la ecuación de la línea de regresión lineal. Deberán corroborar sus resultados en la calculadora (ver anejo: 11.7 Ejemplo para plan de lección - Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal).

Regresión lineal mediana-mediana10: Usando organizadores gráficos y notas guiadas, los estudiantes aprenderán el método de la línea mediana-mediana para hallar la ecuación de la línea de regresión lineal. Los estudiantes deben usar los mismos conjuntos de datos de los métodos de regresión lineal anteriores para hallar la ecuación de la línea de regresión lineal usando el método de línea mediana-mediana. Para más información, dirigirse a (páginas 5-9): http://www.ciclt.net/ul/okresa/Unit%206%20Acquisition%20Lesson%203%20Linear%20Regression.pdf.

Recursos adicionales http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe

Conexiones a la literaturaNota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du

Sautoy

10 Fuente: www.curriculumframer.com

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