14427641-modulotrigonometria

10º nocturno LUPARO 2002PROF: Lic. Carlos García Seña

OBSERVACION POSIBLEMETE TENGA ALGUNOS ERRORES DE TRANSCRIPCIONLOS POSIBLES ERRORES ME LOS ENVIANAL CORREO [email protected]

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PRESENTACIÓN

Las aplicaciones de las matemáticas son múltiples; tanto las ciencias naturales como las sociales requieren de ella. Por esta razón el módulo de 10º resulta de gran ayuda para los estudiantes de educación media y para aquellos que quieren ampliar el conocimiento matemático.

El módulo se inicia con los conceptos clásicos de ángulos y sus diferentes aplicaciones, luego se trabaja con las relaciones trigonométricas aplicándolas a los ángulos notables. En la tercera unidad se explica todo lo referente a triángulos y sus aplicaciones, después incursionamos al estudio de las funciones trigonométricas. En la quinta unidad se trabaja con las identidades y ecuaciones trigonométricas presentando una cantidad de ejercicios resueltos, y por último se explica brevemente, lo más importante de la geometría analítica en este nivel, distancia entre dos puntos, pendiente de una recta y las cónicas.

Amigo lector cualquier error que encuentres en el módulo se lo puedes expresar al profesor Carlos García

El autor.

DECIMO GRADO

UNIDAD 1: MEDICION DE ANGULOSAngulo – clases de ángulos

2


Ángulos en posición normalSistema sexagesimal y cíclicoConversiones entre grados y radianes

UNIDAD 2: RELACIONES TRIGONOMETRICAS2.1Teorema de Pitágoras2.2Razones trigonométricas2.3Uso de la calculadora2.4Razones trigonométricas de 30º, 60º, 45º

UNIDAD 3: SOLUCION DE TRIANGULOS Y SUS APLICACIONES 3.1 Solución de triangulo rectángulo 3.2 Aplicaciones de los triángulos rectángulos 3.3 Solución de triángulo no rectángulo y aplicaciones 3.3.1 Ley del seno 3.3.2 Ley del coseno

UNIDAD 4: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 4.1 Relaciones trigonométricas de ángulos en posición normal 4.2 Reducción de ángulos al prime cuadrante 4.3 Gráfica de las funciones trigonométricas 4.4 Análisis de las funciones trigonométricas UNIDAD 5: IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 5.1 Identidades trigonométricas fundamentales 5.2 Demostración de identidades 5.3 Identidades trigonométricas con operaciones en sus ángulos 5.4 Ecuaciones trigonométricasUNIDAD 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA 6.1 Distancia entre dos puntos 6.2 Pendiente de una recta 6.3 Cónicas BIBLIOGRAFÍA

UNIDAD 1: MEDICION DE ANGULOS

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1.1 ANGULO: Un ángulo es la unión de dos semirrectas o rayos con un origen común. Las dos semirrectas se llama lados del ángulo y el origen común vértice.

Un ángulo se obtiene por la rotación de una semirrecta alrededor de su Origen. Lado

Lado

VérticeLa Determina la rotación del ángulo.Cuando una semirrecta gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, originan ángulos positivos, cuando lo hace en el mismo sentido origina ángulos negativos.

Positivo Negativo

Para representar ángulos se usan letras griegas minúsculas tales como α (alfa), β (Beta) ε (Ypsilon) λ (Lambda) π (Pi) θ ( Theta) ω (Omega) m (Wu) p (Roo) @ (Gama) y letras mayúsculas de nuestro alfabeto como A, B, C, D, E, etc.

CLASES DE ANGULOS

Angulo Agudo: su medida es menor que 90º

Angulo Recto: su medida es de 90º

Angulo Obtuso: su medida es mayor de 90º, pero menor que 180º

Angulo Llano: su medida es de 180º

Angulo Giro: su medida es de 360º

Ángulos complementarios: dos ángulos A y B son complementarios cuando la suma de sus medidas es 90º

Ángulos suplementarios: dos ángulos A y B son suplementarios cuando la suma de sus medidas es 180º.

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1.2ANGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Un ángulo representado sobre el plano cartesiano está en posición normal si su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas (x), y el vértice con el origen del sistema. El lado terminal puede ubicarse en cualquiera de los cuatro cuadrantes del plano. De acuerdo donde esté el lado terminal o lado final del ángulo, este se llamará: ángulo en posición normal del primer cuadrante, ángulo en posición normal del segundo cuadrante, ángulo en posición normal del tercer cuadrante, ángulo en posición normal del cuarto cuadrante.

II. Cuadrante I. Cuadrante 90º - 180º 0º - 90º

III. Cuadrante IV. Cuadrante 180º - 270º 270º - 360º

* Dibuje usted los ángulos que se piden.Angulo en posición normal Angulo en posición normal del primer cuadrante del segundo cuadrante

θ está entre 0º y 90º θ es un ángulo obtuso

Angulo en posición normal Angulo en posición normal del tercer cuadrante del cuarto cuadrante

Ojo que el lado terminal El lado terminal entre 270º y 360ºEste entre 180º y 270º

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Nota: No olvides la orientación del ángulo Ejemplos de ángulos en posición normal. (Trazarlos)

Angulo positivo de Angulo positivo de 130º 60º en posición normal en posición normal

Ángulo negativo de 120º Angulo

negativo de 50º está en posición normal en posición normal

El ángulo de 70º que no este en posición normal

2. Un grado: 1º = 1 revolución / 360El valor en grados de un ángulo generado por 2 / 5 de revolución está dado por:2 /5 Rev. = 2 / 5 (360º) = 144º

3. Un ángulo que mide 120º tiene un valor en revoluciones de: Solución:Si 1º = 1 Rev. /360, entonces 120º = 1/3 Rev. Así 120º = 1/ 3 Rev.

4. 1/8 rev = 45º 90º = 1 / 4 rev 180º = ½ rev 270º = ¾ rev -90º = - ¼ rev. - 225 º = -5/8 Rev.

ACTIVIDAD 1

De tu desempeño y responsabilidad en las actividades académicas depende tu éxito escolar.

A. En los ejercicios 1 a 6; halla la medida del ángulo para la rotación indicada y dibújelo en posición normal.

1. ½ de rotación en el mismo sentido de las agujas del reloj

6


2. 3/8 de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj3. 5/12 de rotación en el mismo sentido de las agujas del reloj4. 7/6 de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj5. 1/3 de rotación en el mismo sentido de las agujas del reloj6. 19/12 de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj

B. En los ejercicios 7 a 12 indicar en qué cuadrante se encuentra el lado final de los siguientes ángulos en posición normal.7. 190º 8. – 300º 9. 150º10. – 513º 11. 815º 12. – 905º

C. En un sistema de coordenadas cartesianas construye los ángulos cuyas medidas se indican:a. 60º c. 45º e. 30º g. 135º i. 210º

k. 315ºb. – 60º d. – 45º f. – 30º h. –135º j. –210º l. –315ºm. 1035º n. –570º

1.3 MEDIDAS DE LOS ANGULOS: Para medir ángulos se utilizan dos sistemas diferentes: el sistema sexagesimal y el sistema cíclico.

Sistema sexagesimalUna de las unidades de medida para ángulos es el grado. Un ángulo de un grado es, por definición la medida del ángulo formado por 1/360 de una revolución completa en dirección contraria a las agujas del reloj.

El signo º se emplea para denotar los grados en la medida de un ángulo.El grado tiene dos submúltiplos el minuto ( ’ ) y el segundo ( ‘’ ) sexagesimales.

1º = 60’, 1’ = 60’’, 1º = 3600’’1’ = 1º/60, 1’’ = 1’/60Una rotación de α = 20º 50’ 35’ indica un ángulo α que mide 20 grados, 50 minutos y 35 segundos.

Otro método consiste en usar décimas, centésimas o milésimas de grados θ = 35,27º indican ángulo cuya medida es 35 grados y 27 centésimas de grado.

Ejemplos

Expresa 257’ en grados, minutos, segundos

7

r


Solución: como 1’ = 1º/60 entonces 257’ = (257) 1º/60 (reduciendo minutos a grados)Entonces 257 equivalente a 4º y residuo 17º

Así 257’ = 4º 17’ 0’’

Expresar 7,57º a grados, minutos, segundos.Solución: 7,57º = 7º + 0,57º, expresemos 0,57º a minutosEntonces 0,57º = 0,57 x 60’ = 34,2’. Como 34,2’ = 34’ + 0,2’, expresemos 0,2’ a segundos.0,2’ = 0,2 x 60’’ = 12’’, así se concluye que: 7,57º = 7º 34’ 12’’

Observa que las operaciones básicas a utilizar son la división y la multiplicación.

SISTEMA CICLICO: La unidad de medida es el radián.Tracemos un ángulo θ con cualquier amplitud y haciendo centro en el vértice, trazamos circunferencias que corten los dos lados del ángulo, observamos que el cociente que se obtiene de dividir el arco que subtiende el ángulo (AB, A1 B1 o A2 B2), entre el radio de la circunferencia respectiva (OB, OB1, o B2) es constante, esto significa que el arco y el radio son proporcionales.

La geometría nos dice “Los arcos de circunferencia son proporcionales a sus respectivos radios”.

s

Un Radián es la amplitud que tiene un ángulo, que subtiende un arco con la misma longitud que el radio de la circunferencia.

Como la longitud de la circunferencia es igual a 2π r donde π = 3,141592.. y r es el radio de la circunferencia, entonces el ángulo que subtiende un arco igual a la circunferencia es: θ 2πr / r = 2 π radianes.Por lo tanto, el ángulo de 2π radianes corresponde al ángulo de giro de 360º. Es decir, una circunferencia mide 2π radianes.

1.4 EQUIVALENCIA ENTRE GRADOS Y RADIANES: Las dos relaciones siguientes permiten calcular, en grados, la amplitud de cualquier ángulo

8


medido en radianes; o la amplitud en radianes, de cualquier ángulo medido en grados:360º = 2π radianes180º = π radianes

REGLA DE CONVERSIÓN1. Para convertir grados a radianes multiplique por π / 180º2. Para convertir radianes a grados multiplique por 180º / π

Ejemplos Expresa a radianes 30º, 45º, 300º.Solución

a) 30º = 30º x π Rad. / 180º = 15 x Rad. / 90 = 1 / 6 x π rad. = π /6 rad.

b) 45º = 45º x π rad. / 180º, simplificando se tiene que 45º = π /4 rad.

c) 300º = 300 x π rad / 180 = 5π / 3 rad. Por qué?

Expresa a grados: π / 6 rad. , π / 12 rad.Solución π / 6 rad. = π / 6 x 180º / π = 180º / 6 = 30º, así π / 6 rad. = 30ºπ / 12 rad. = π / 12 x 180º / π = 180º / 12 = 15º, así π /12 rad. = 15º

ACTVIDAD 2“El cerebro no es un vaso para llenar, sino una lámpara para

encender”

1. Expresa en grados, minutos y segundos, los siguientes ángulos dados en notación decimal,a. 1,5º b. 12,67º c) 34,6749º d. 43,65720º

e. 15687’ f. 28654’’ g. 3280’ h. 20563’’

la siguiente tabla muestra algunas equivalencias cuyas medidas están dadas en grados, radianes y revoluciones. Complétala.

REVOLUCIONES 1/12 1/8 1/6 1/4 1/3 3/8 1/2 7/12 5/8 ¾ 7/8GRADOS 30 45 90 120 135 150 180 210 225 270 315

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RADIANES π /6 π/4 π/8 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 5π/4 3π/2

2. Escribe el equivalente en grados del ángulo medido en radianes.

a. π/2 c. π/3 e. 2π/3 g. 11π/12 i. 5π/4b. π/4 d. 7π/12 f. 3π/4 h. 13π/12 j. 4π/3

3. Escribe el equivalente en radianes de cada ángulo indicado:a. 15º c. 45º e. 75º g. 340º i. 42ºb. 30º d. 60º f. 285º h. 210º j. 18º

4. Determinar la medida en grados que corresponde a los siguientes ángulos dados en radianes:

1. 5π/18 2. 5π 3. –4π/3 4. -5π /25. π/9 6. –10 π/3 7. 13π/10 8. –11 π/125. Encontrar la medida en radianes que corresponde a la medida del ángulo dado en grados.a. 100º b. 72º c. –1830 d. 54ºe. 630º f. 95º g. –3690º h. 261º

6. Determina en radianes los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que uno de los ángulos agudos mide ¾ de la medida del otro.

7. En los ejercicios 13 a 21 encuentra el valor en grados de cada valor de α. 13. α = 3π rad. 14. α -π rad 15. α = -π /6 rad

16. α = 2π /3 rad. 17. α = - π /12 rad 18. α = 7π/6 rad.

19. α = 5π/6 rad 20. α = -5π /2 rad. 21. α = 3π / 4 rad.

8. En los ejercicios 22 a 30 encuentra el valor en radianes de

cada valor de θ

22. θ = 120º 23. θ = 240º 24. θ = 75º

25. θ = 135º 26. θ = 315º 27. θ = -300º

28. θ = 150º 29. θ = 225º 30. θ = -660º

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9. Resuelve los siguientes problemasa. Los ángulos A y B son complementarios. Si el ángulo A mide 34º

56’ 58’’, calcula la amplitud de B.b. Los ángulos A, B y C son complementarios. La amplitud de A es

45º 23’ 56’’ y la amplitud de B es 101º 21’ 42’’. ¿Cuál es la amplitud del ángulo C?

c. Los ángulos interiores de un triángulo mide: A = 65º 43’ 12’’, el ángulo B es 1,5 veces la medida del ángulo A. ¿cuál es la medida del tercer ángulo?.

UNIDAD 2 RELACIONES TRIGONOMETRICAS

2.1 TEOREMA DE PITÁGORAS

Recordemos que en un triángulo rectángulo el lado que se opone al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

A El ángulo C mide 90º

Los ángulos A y B son complementarios b c

m < A + m < B = 90º

C a B El lado AB = c es la hipotenusa

Los lados b y a se llaman catetos

Teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

C2 = a2+ b2

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a C

C = 22 ba + b

Cuando me dan los catetos y me piden hallar la hipotenusa, nos toca despejar la hipotenusa así y reemplazar los valores dados.

C = 22 ba +

Si me dan un cateto y la hipotenusa, se despeja así:

a = 22 bc − ó b = 22 ac −

Ejemplos: En los triángulos dados encuentra el lado que hace falta

a) Como c2 = a2 + b2

5 c c = 22 ba + pero a = 5 y b = 6

6 c = 22 65 +

c = 3625 +

c = √61

b) como z2 = x2 + y2

x z x = 22 yz −

y x = 22 610 −

x = 36100 −

x = √64

x = 8

c) Podemos asignar nombres a cada lado del triángulo

c = √7 a = 2 b = ?

12


7 2 como c2 = a2 + b2

bb2 = c2 - a2

b = 22 ac −

b = 2227 −

b = 47 −

b = √3

ACTIVIDAD 3“¿Caíste?... ¡Levántate! ¿Volviste a caer?...Vuelve a levantarte

1. Encuentra el valor del lado desconocido en cada triángulo.

8

27 x 8 15 a 20 c 5

12 c 3

2. Como los ángulos del triángulo rectángulo son complementarios. Encuentra el valor de las medidas de los ángulos del triángulo.

27º35’

37º 23’ 46’’ 40º 36º

Nota: En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos interiores es de 180º.

2.2 RAZONES TRIGONOMETRICASDado un triángulo rectángulo ABC

13


c = hipotenusa a c

a = cateto α

b b = cateto adyacente del ángulo α

Se definen seis relaciones trigonométricas, para el ángulo α así:

Seno α = cateto opuesto Cos α = cateto adyacente hipotenusa hipotenusa

Tangente α = cateto opuesto Cotangente α = cateto adyacente cateto adyacente cateto

opuesto

Secante α = hipotenusa Cosecante α = hipotenusa cateto adyacente cateto

opuesto

En notación Sen α= a Cos α= b Tan α = a Cot α= b c c b a

Sec α = c cscα = c b a

Ejemplo 1: Dado el triángulo rectángulo A D E encuentra el valor de las relaciones trigonométricas:

Sen α= 5 Tan α= 5 Sec α = 13 13 13 12 12 5 α Cos α= 12 Cot α= 12 CSC α = 13

12 13 5 5

Ejemplo 2 : hallar el valor de las razones trigonométricas para los ángulos agudos α y β del triángulo β

6 α 3

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Respecto al ángulo β 6 cm es el cateto adyacente, 3 cm. es el cateto opuesto. No conocemos la hipotenusa hay que calcularla utilizando el teorema de Pitágoras:

C = a2 + b2

C = √a2 + b2 = √(3cm)2 + (6 cm)2 = √9 cm2 + 36 cm2 = √45 cm

La hipotenusa es √45 cm

Ahora Sen β = c. opuesto = 3 cm = 3 . √ 45 √ 45 hipotenusa √45 cm 45 15

Cos β = c. adyacente = 6 cm = 6. √ 45 = 2 . √ 45 hipotenusa √45 cm 45 15

Tan β=c. opuesto = 3 cm = 1 c. adyacente 6 cm 2

Cot β= c. adyacente = 6 cm = 2 c. opuesto 3 cm

Sec β= hipotenusa = √ 45 cm = √ 45 c. adyacente 6 cm 6

Csc β hipotenusa = √ 45 cm = √ 45 cat. opuesto 3 cm 3

Respecto al ángulo 6 cm es el cateto opuesto, 3 cm es el cateto adyacente y . √45 cm es la hipotenusa.realizarSen α =

Cos α

Tan α

Cot α

Sec α

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Csc α

Nota : b

a =

b

ba Racionalización del denominador

Ejemplo 3 : halla el valor de las relaciones trigonométricas para el triángulo X Y Z respecto al ángulo θ.

θ 5

2Solución: cat. opuesto 2 cm cateto adyacente = ? . hipotenusa √5 cm .Calculemos primero el valor del cateto adyacente utilizando el teorema de Pitágoras.

C2 = a2 + b2, entonces a2 = c2 - b2

a = √c2 - b2

a = √(√5 cm)2 - (2 cm)2

a = √5 cm2 - 4 cm2

a = √1 cm2

a = 1 cm Ahora Sen θ= 1 cm = √ 5 por qué? Cot θ = 2 cm = 2

√5 cm 5 1 cm

Cos θ= 2 cm = 2 √ 5 sec θ= √ 5 cm = √ 5 √5 cm 5 2 cm 2

tan θ= 1 cm = 1 csc θ = √ 5 cm = √5 2 cm 2 1 cm

Ejemplo 4:Si Sen A = 8 , encontremos el valor de las otras funciones trigonométricas, en el 17

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Triángulo rectángulo ABC.

Solución:Como Sen A = cat. opuesto = 8 , entonces completamos el triángulo rectángulo

Hipotenusa 17

Por el teorema de Pitágoras:

c = √b2 - c2 = √172 - 82 = √289 – 64 = √225 = 15

Luego, cos A= 15 por qué? Tan A = 8 , Cot A = 15 , Sec A= 17 , csc A= 17 17 15 8 15 8

ACTIVIDAD 4

1. Halla el valor de las relaciones trigonométricas para los ángulos α y β de los siguientes triángulos rectángulos.

a) b) β c) α y 12 α x β 20 5 4 α w β

d) β 10 8 α

2. Determina el valor de las cinco relaciones restantes del ángulo θ sí:

a) sen θ = 4/5 b) cos θ = 3/2 c) tan θ =15/36

d) cot θ = 12/5 e) CSC θ = 4 f) sec θ =

g) Sí sec β = x / y.

Halla sen β, cos β y tan β

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USO DE LA CALCULADORA

La explicación es orientada por el profesor debido a la gran variedad de marcas de calculadoras que existen.

RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA LOS ANGULOS DE 30º, 60º Y 45º.

Estos ángulos también se les conoce como ángulos notables.

Razones trigonométricas para el ángulo θ = 30 A

30º

C 60º D B

- Sea el triángulo A B C equilátero cuyo lado mide x unidades.

- Trazamos AD; bisectriz de A- Como el triángulo ABC es equilátero, AD es

altura y mediana respecto a la base CB.- CB = x luego CD = x /2

Calculemos AD utilizando Pitágoras.X2 = CD2 + AD2

X2 = (x/2)2 + AD2

AD2 = x2 – (x/2)2 AD = √x2 – x /2)2

AD √4x2 - x2 /4AD = √3x2 /4AD = √3/2 XAsí AC = x, CD = x/2 y AD = √3/2xhipotenusa cat. opuesto cat. adyacente

al de 30º al de 30º Luego Sen 30º = x/2 / x = x/2x = ½

Cos 30º = √3/2x /x = √3x / 2x = √3 / 2Tan 30º x / 2 / √3/2x = 2x /2√3x = 1/√3 = √3/3Cot 30º = √3/2x /x/2 = 2 √3x /2x = √3Sec 30º = x/√3x/2 = 2x/√3x = 2/√3 = 2 √3/3

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Csc 30º = x/x/2 = 2x/x = 2Razones trigonométricas para el ángulo θ = 60ºDel triángulo anterior se obtiene que:

Sen 60º = √3/2 Cos 60º = ½ Tan 60º = √3 Cot 60º = √3/3

Sec 60º = 2 Csc 60º = 2 √3/3

Razones trigonométricas para el ángulo θ = 45 C

Sea el triángulo ABC rectángulo e isósceles x calculemos el valor de la hipotenusa por

Pitágoras

45º c = x + x = 2x Así c = √2x = x √2 A x B

Así obtenemos:Sen. 45º = x/x= √2 = 1/√2 = √2/2 Cos 45º = x/x √2 = 1/√2 = √2/2

Tan 45º = x/x = 1 Cot 45º x/x = 1 Sec 45º = x√2 / x = √2

Csc 45º = x √2/x = √2

El siguiente cuadro resume el valor de las relaciones para los ángulos 30º, 60º y 45º.

Grados

Radianes

Sen θ Cos θ Tan θ Cot θ Sec θ Csc θ

30º6

π ½ √3/2 √3/2 √3 2 √3/2 2

45º4

π √2/2 √2/2 1 1 √2 √2

60º 3

π √3/2 ½ √3 √3/3 2 2 √3/3

Ejemplo 1: Halla el valor numérico de las siguientes expresiones:a) Sen 45º + Tan 30º b) (Cos 30º)2 + Sen 60º - Cot 45ºSolución:a)Sen 45º + tan 30º = √2/2 + √3/2 = 3 √2 + 2 √3 / 6b) (cos 30º)2 + sen 60º - cot 45º = (√3/2)2 + √3/2 – 1

= (√3)2 /22 + √3 /2 – 1 = ¾ + √3/2 – 1 = 2 x 3 + 4 √3 /4 x 2 – 1

19


= 6 + 4 √3 – 1/8= 6 + 4 √3 – 8 / 8= 4 √3 – 2 / 8= 2 (2 √3 – 1)/ 8= 2 √3 – 1 /4

Observación (sen θ)2 = sen2 θ; (cos θ)2 = cos2 θ , etc.

ACTIVIDAD 51. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) sen 45º + cos 45º i) tan π/3 . tan π/6 + tan π/4 – csc (90º - π/3)b) 2 sen π/3 j) sec π/6 – tan π/6c) tan2 30º + sen 60º k) sec2 π/6 – tan2 π/6d) sen 30º + tan 60º / 1 – tan 30º x tan 60ºe) sen 30º x tan 60º - cos 45º f) 4 sen 45º x csc 45ºg) 2 sen 45º - tan 45º x sec 45ºh) √sen 45º + √tan 60º - csc 30º

UNIDAD 3: SOLUCION DE TRIANGULOS Y SUS APLICACIONES

TRIÁNGULO

Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.

En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos : interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).

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Consideraciones :

• En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.

• En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

• Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.

• Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido.

• Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.

• En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.

• Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.

• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

C L A S I F I C A C I Ó N D E L O S T R I Á N G U L O SSegún sus lados

• Equiláteros (sus tres lados iguales)

• Isósceles (dos lados iguales y uno desigual)

• Escaleno (tres lados desiguales)

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Según sus ángulos

• Rectángulos (un ángulo recto)

• Acutángulos (tres ángulos agudos)

• Obtusángulos (un ángulo obtuso)

ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.

Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita.

Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.

Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.

Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.

22


TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Hipotenusa : aCatetos : b y cProyección del cateto b : Pb

Proyección del cateto c : Pc

Altura : hÁngulo recto : = 90ºÁngulos agudos :

RELACIONES TRIGONOMETRICAS AREA DEL TRIANGULO

Sen γ =hipotenusa

stocatetoopue= b

h cos γ =

hipotenusa

centecatetoadya =b

a

Tan γ = centecatetoadya

stocatetoopue= a

h Cot γ =

stocatetoopue

centecatetoadya = h

a

Sec γ = centecatetoadya

hipotenusa = a

b Csc γ =

stocatetoopue

hipotenusa = b

h

2

ABASExALTUR

3.1 SOLUCION DE TRIANGULOS RECTÁNGULO

Solucionar o resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de los tres lados, los tres ángulos y el área. Para poder determinar estos valores se deben conocer tres de los elementos, de los cuales uno de ello debe ser un lado.

EJEMPLOS A

A) Resuelve el siguiente triangulo rectángulo

23


c b =12 cm

36º

B a C

SOLUCION:

DATOS CONOCIDOS: DATOS DESCONOCIDOS

b = 12 cm c = ? area = ?

A = 36º A = ?

C = 90º a = ?

El ángulo A se puede encontrar utilizando la relación 90º - 36º = A y así A = 54º

Encontremos el cateto a . Utilizamos la tangente. Tan 36º = a

cm12 así a =

º36tan

12cm

a = 16,52 cm

para encontrar el valor de la hipotenusa c hay varias formas de encontrarla. Utilicemos la

relación seno. Luego Sen 36º = c

cm12 así c =

º36

12

sen

cm luego c = 20,42 cm

Encontremos el área. área = 2

ABASExALTUR =

2

bxa =

2

52,1612 cmcmx = 9,12cm2

Así se solucionó el triángulo.

B ) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 7 cm. Calcular las medidas de los otros elementos. C

β

7cm

A 5cm B

24


El ángulo opuesto al cateto de 5 cm (β ) se calcula al aplicar la relación tangente

Tan β = cm

cm

7

5 = 0,7142. , es decir tan β = 0,7142 ahora por intermedio de la

calculadora se calcula el ángulo β y se tiene que β = 35º 32’ 3’’

El otro ángulo se calcula así : 90º- 35º 32’ 3’’ = 54º 27’ 57’’

La hipotenusa se calcula con el teorema de Pitágoras o con cualquiera de las relaciones trigonométricas .

Por seno se tiene que sen 35º 32’ 3’’ = b

cm5 así b =

''3'32º35

5

sen

cm

b = 8,60 cm.

Area = 2

75 cmcmx = 17,5 cm2

ACTIVIDAD 6

1. Solucionar los siguientes triángulos rectángulos

a) A = 34º , b = 12,7cm b) Z = 41º 27’, x =18,83 c) R = 42º 31’ 10’’, s = 27 cm

d) G = 72º 46’ , a = 75 cm e) Q = 58º 40’, t = 63 cm f) b = 60 m, u = 43 cm

g) v = 37,9 m, x = 18,5 m h) ñ = 8 m, a = 5,3 m i) k = 200 km, e = 354 km

j) w = 2 dm, u = 4 dm k) a = 31,6 cm, b = 12,3 cm

2. Solucionar los siguientes triángulos rectángulos

8cm 7cm 14cm

70º

25


47º2 10

3.2 APLICACIÓNES DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS

La trigonometría, en sus inicios, se concretó al estudio de los triángulos. Por varios siglos se empleó en topografía, navegación y astronomía. En la aplicación de los triángulos rectángulos se deben manejar dos conceptos fundamentales además del manejo de las relaciones trigonométricas ellos son ángulo de elevación y ángulo de depresión.

Equipo de topografía

El ingeniero de la izquierda mira a través de un teodolito la barra marcada que sostiene otro ingeniero situado más lejos. Algunas de las medidas topográficas consisten en ver la diferencia de elevación entre la barra y el teodolito, las distancias horizontales y los ángulos verticales y horizontales. El tercer miembro del equipo registra los datos medidos. Blair Seitz/Photo Researchers, Inc.

26


ANGULO DE ELEVACION : Es el ángulo formado por la horizontal y la línea visual del observador de un objeto situado por encima de la horizontal. ( se mira hacia arriba)

ANGULO DE DEPRESION : Es el ángulo formado por la horizontal y la línea visual del observador de un objeto situado por debajo de la horizontal. ( se mira hacia abajo)

Angulo de elevación α ángulo de

α depresión

EJEMPLOS

A) La sombra de un edificio se extiende 200m cuando el ángulo de elevación visto desde el final de la sombra , es de 23º 10’ . Encuentra la altura del edificio.

Tan 23º 10’ = m

h

200

h

23º 10’ h = 200m x 0,4279

200m h = 85,58m

La altura del edificio es de 85,58 m

B) Una escalera de 9 metros de longitud se apoya sobre una pared. La escalera forma un ángulo de 54º con el suelo. Calcula la distancia entre el pie de la escalera y la pared.

9 m

27


54º

d

cos 54º = m

d

9 así d = 9m x cos 54º = 5,22m

la distancia del pie de la escalera y la pared es de 5,22m

C) Desde un punto situado 30 metros arriba de un faro se observa una embarcación con un ángulo de depresión de 33º. Calcula la distancia al pie del faro, a que se encuentra la embarcación.

33º

30m

33º

d

tan 33º = d

m30 d =

º33tan

30m = 46,19 m

la embarcación se encuentra a una distancia del pie del faro a 49,19m

D) Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de

4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al piso.

Procedimiento: a) Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.

28


b) Seleccionar una razón trigonométrica que relacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.

c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular. d) Sustituir las literales por sus valores numéricos de acuerdo con los datos. e) Obtener el valor natural del ángulo por medio de las tablas trigonométricas o de la calculadora y efectuar las operaciones. c = 5 m f) Dar solución al problema. c = longitud de la escalera Por lo tanto, la escalera mide 5 m. E) Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m Ahora se tienen únicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del ángulo. Procedimiento: a)Trazar un triángulo rectángulo anotando en él los datos. b) Seleccionar la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con el ángulo. c) Sustituir las literales por sus valores numéricos. d) Efectuar la división indicada. cos = 0.5454 e) Obtener, en las tablas de funciones trigonométricas o con la calculadora, el valor del ángulo. f) Dar respuesta al problema. El ángulo formado por el poste y el cable tirante es de 56° 57'

ACTIVIDAD 7

1. Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de longitud en el suelo.

2. Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53 grados para el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo. ¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está directamente bajo el observador?

3. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal. Encuentre la altura del cometa con

29


respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3 m. del suelo.

4. Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada del avión.

5. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.

6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.

7. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40 grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del río.

8. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm. sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál es la altura del cuadro?

9. Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?

10. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m. respectivamente. El primer poste es 7,5 m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y la longitud de cada poste.

11. Un árbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ángulo de elevación del árbol, desde un punto situado a 180 m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por encima o por debajo

30


del nivel del señalado punto y calcule la diferencia de nivel.

12. ¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es 46 grados, y tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados.?

13. Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5 m. Desde un punto situado en la playa se observa que los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del faro son 47 grados y 45 grados. Calcule la altura del arrecife.

14. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?

15. Desde lo alto de una torre de 200 m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión de dos botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que separa a dichos botes.

16. Un topógrafo situado en C, localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si C está a 5.000 m. de A y a 7.500 m. de B y el ángulo ACB mide 35 grados. ¿Cuál es el ancho del lago?

17. Dos guardabosques descubren la misma fogata clandestina en dirección N 52º O y N 55º E, de sus posiciones respectivas. El segundo guardabosque estaba a 1,93 km. al Oeste del primero. Si el guardabosque más cercano al fuego es el que debe acudir. ¿Cuál de ellos tiene que ir y cuánto tendrá que caminar?

18. Un terreno tiene la forma de un triángulo isósceles. La base está frente a un camino y tiene una longitud de 562 m. Calcule la longitud de los lados si estos forman un ángulo de 23 grados.

19. Un barco sale de un puerto y viaja hacia el Oeste. En cierto punto gira 30 grados Norte respecto del Oeste y viaja 42 km. adicionales hasta un punto que dista 63 km. del puerto. ¿Qué distancia hay del puerto al punto donde giró el barco?

20. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación de 15 grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del

31


automóvil ve al avión bajo un ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil , también calcule la altura a la que vuela el avión en ese instante.

21. Un árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra un triángulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de 35 grados con el piso, y la distancia, medida sobre el piso, desde el tronco hasta la cúspide caída es de 5 m.. halle la altura que tenía el árbol.

3.3 SOLUCION DE TRIANGULOS NO RECTÁNGULOS Y APLICACIONES

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ángulo recto. Para resolver estos triángulos necesitamos conocer tres elementos de los seis, uno de los cuales debe ser un lado.

ALTURAS DE UN TRIANGULOSe llama alturas de un triángulo al segmento perpendicular a un lado, trazada desde el vértice opuesto.

CALCULO DE LA ALTURA DE UN TRIANGULO

La altura de un triángulo es igual al producto de la medida de uno de sus lados por el seno del ángulo adyacente a este lado y a la base. C

b h a

A c B

Sen A =c

h h = c Sen A

AREA DE UN TRIANGULOEl área de un triángulo es igual al semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo comprendido entre ellos. Bh es la altura del ABC respecto al lado b.b es la base del triángulo.

32


s es el área del triángulo; luego s = bh 2 c h a

Como h = a sen C ó h = c sen As = ba sen C ó s = bc sen A

2 2 A b C

Recordemos que:a. Un triángulo es oblicuángulo cuando no tiene ángulo recto.b. La suma de ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180º.c. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

Para toda resolución de triángulos oblicuángulos se utiliza: La ley de los senos ó la ley del coseno.3.3.1

Osea, en cualquier triángulo A B C se cumple cualquiera de las proporciones siguientes:

a = b ; b = c ; a = c sen A sen B sen B sen C sen A sen C

El teorema del seno nos permite resolver triángulos donde se conocen:I) Dos ángulos y un lado opuesto a alguno de ellos, oII) Dos lados y un ángulo opuesto a alguno de ellos.

EJEMPLO: resolver el triángulo ABC, si a = 60 cm, A = 50º y B = 75º C

b 60 cm

50º 75º A c B Solución primero dibujamos un triángulo que se aproxime lo más posible a nuestro ejercicio.Debemos calcular: C, b y cCálculo de C: como A + B + C = 180º C = 180º - (A + B) C = 180º - (50º + 75º)

33

LEY DE LOS SENOS: Las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Es decir, en el triángulo a = b = c C sen A sen B sen C a b B A c


C = 180º - 125º C = 55º Cálculo de b: como a = b , entonces Cálculo de c: Sen A sen B como a = c , entonces sen A sen C 60 = b 60 = c sen 50º sen 75º sen 50º sen 50º

Luego: b = 60 . sen 75º Luego: C = 60 x sen 55º Sen 50º sen 50º

b = 60 x 0.97 c = 60 x 0.82 0.77 0.77

b = 75.58 cm c = 6.9 cm

3.3.2 TEOREMA O LEY DEL COSENO: En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de éstos lados por el coseno del ángulo comprendido entre dichos lados.

Es decir, en el triángulo ABC, se tiene C

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b a b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

A c B OBSERVACIÓN: La ley del coseno nos permite resolver triángulos donde se conocen:

I) Los tres lados, oII) Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Ejemplo: resolvamos el ángulo ABC, si a = 34 cm, b = 40 cm y c = 28 cm B Solución Debemos hallar A, B, y C c=28cm a=34cm Cálculo de A a2 = b2 + c2 – 2bc cos A 2bc cos A = b2 + c2 - a2

A b=40cm C cos A = b 2 + c 2 - a 2 2bc

34


cos A = 40 + 28 – 34 = 1600 + 784 – 1156 = 1228 = 0.5482142 2 x 40 x 28 2240 2240 A = 56º 45’ 19’’Cálculo de Bb2 = a2 + c2 – 2ac cos B 2ac cos B = a2 + c2 - b2 cos B = a 2 + c 2 – b 2 2acLuego: cos B = 34 + 28 – 40 = 1156 + 784 - 1600 = 340 = 0.1785714 2 x 34 x 28 1904 1904

B = 79º 42’ 48’’

Cálculo de CComo A + B + C = 180ºEntonces C = 180º - (A + B)A = 56º 45’ 19’’ 179º 59’ 60’’B = 79º 42’ 48’’ 136º 28’ 7’’A + B = 136º 28’ 7’’ C = 43º 31’ 53’’ C = 43º 31’ 53’’

ACTIVIDAD 8

Emplear los teoremas del seno o del coseno para resolver los siguientes triángulos ABC.1. a = 10 cm b = 12 cm C = 35º 40’2. c = 10 cm B = 40º A = 70º3. a = 10 cm b = 15 cm B = 42º4. A = 52º 30’ B = 78º 12’ c = 300.5 m5. b = 4 km a = 13 km A = 53º 8’6. B = 113º 10’ b = 248 cm c = 195 cm7. c = 40 cm b = 50 cm A = 29º 30’8. b = 20 cm c = 30 cm A = 60º9. a = 150 cm c = 30 m B = 150º10. a= 7 m b = 6 m c = 4 m11. a = 9 m b = 7 m c = 4 m

12. Una escalera de 5 m de largo es recostada sobre un muro inclinado, alcanzando una altura de 5 m sobre dicho muro. Si la parte inferior de la escalera está a 2.5 m de la base del muro, halla la inclinación del muro

13. Un topógrafo situado en un punto c localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si c está a 5 km de A y a 8 km de B y además el ángulo c mide 36º. Calcula el ancho del lago.

35


14. Si los lados de un triángulo ABC miden a= 4 cm, b = 7 cm y c = 10 cm, determina el ángulo mayor.

15. Dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 30º y 55’. Si el lado opuesto del ángulo menor mide 115 cm determina la longitud del lado mayor.

16. Hallar el área de un triángulo ABC si a = 326 dm, b = 185 dm y c = 243 dm 17. Hallar el área de un triángulo ABC si a = 36 m, A = 49º y C = 63º

18. Una carrilera (una línea en recta) de 180 km de longitud tiene por extremos las ciudades A y B; otra carrilera (en línea recta) de 260 km de longitud continúa el recorrido de la ciudad B a la ciudad C. Si las carrileras forman entre sí un ángulo de 132,5º calcular la distancia entre las ciudades A y C. 19. Dos trenes parten simultáneamente de una misma estación, en direcciones tales que forman un ángulo de 30º. Uno va a 15 km / h y el otro a 25 km / h. Determinar a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje.

20.Un observador mira los edificios E1 y E2 desde un tercer edificio E3, situado a 500 m de E1 Y 800 m de E2.Si el ángulo que forman las líneas visuales es de 132º, determinar la distancia que separa los edificios E1 y E2.

36


UNIDAD 4: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

4.1 FUNCIONES TRIGOMETRICAS DE ANGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Dado un ángulo α en posición normal respecto a un eje coordenado XYse definen las funciones x = abscisa, y = ordenada R = radio

Sen R

y=α

Cos R

x=α

Tany

x=α

Cotx

y=α

Secx

R=α

Cscy

R=α

Ejemplo: encuentra el valor de las funciones trigonométricas si se sabe que el ángulo en posición normal α tiene el lado final que pasa por los puntos (3,-4)Solución : X=3, Y= -4 hay que encontrar R utilizando el teorema de Pitágoras Y es claro que haciendo los procedimientos obtenemos 5.Así se tiene que:

Sen R

y=α = -4/5

37


Cos R

x=α = 3/5

Tany

x=α = -3/4

Cotx

y=α = -4/3

Secx

R=α = 5/3

Cscy

R=α = -5/4

Observemos el gráfico de un ángulo α en posición normal respecto a un eje coordenado XY , definiéndose así las líneas trigonométricas respecto al ángulo α

ACTIVIDAD 9

1. Encuentra el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos determinados por el segmento orientado cuyo extremo es:

38


a. P=(-3,-5) b. P=(-4,4) c. P= (-4,0) d. P= (0,3) e. P = (9,-12)

2. Sí Senα= 2/3 encuentra el valor de las otras funciones trigonométricas

3. En un circulo trigonométrico traza un ángulo de 220º y dibuja sus respectivas líneas trigonométricas.

4. Completa la tabla que permite identificar el signo de las funciones trigonométricas de los ángulos según al cuadrante al que pertenezcan.

funciones

Cuadrante

seno

Coseno

tangente

cotangente

secante

Cosecante

Primer cuadrante

Segundo cuadrante

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

REDUCCION DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE

Dado cualquier ángulo β , se puede encontrar siempre otro ángulo α , que esta en el primer cuadrante.

Reducción de funciones de ángulos negativos.

Sen(-α ) = -Senα , Cos(-α ) = Cosα Tan(-α ) = -Tanα

Cot (-α )= -Cotα Sec(-α )= Secα Csc(-α )= -Cscα

Reducción de ángulos al primer cuadrante

39


• Si el lado terminal está en el primer cuadrante se procede con las definiciones dadas para las funciones trigonométricas.

• Si el lado terminal está en el segundo cuadrante, entonces:

Sen(180-α ) = Senα Cos(180-α ) = -Cosα Tan(180-α )=-Tanα

Cot(180-α )= -Cotα Sec(180-α )=-Secα Csc(180-α )=Cscα

• Sí el lado terminal está en el tercer cuadrante, entonces:Senα =-.Sen(α -180) Cosα =-Cos(α -180) Tanα =Tan(α -180)Cotα = Cot(α -180) Secα =-Sec(α -180) Cscα = -Csc(α -180)

• Sí el lado terminal está en el cuarto cuadrante, entonces: Sen α = -sen(360- α ) Cosα =Cos(360- α ) Tanα =-Tan(360- α ) Cotα = -Cot (360- α ) Secα = Sec(360- α ) Cscα = Csc (360- α )

Ejemplo:Expresa sen155º , como una función de un ángulo agudo. Hallar su valor.

Solución: Como 155 es un ángulo del 2º cuadrante, luegoSen155=Sen(180-155)=Sen25. Así Sen155= Sen25 = 0.422618

ACTIVIDAD 10

1. Calcular los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo 225



4. Encuentra el valor de la siguiente expresión: Sen30 +Cot(-45)+sec(-60)

5. determina el valor de la expresión:

310tan.275tan1

310tan330

−+sen

40


GRAFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones

trigonométricas de la forma siguiente:

El ángulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a ser 2p radianes.Se considera que cualquier número real puede ser la medida de un ángulo. Sus razones trigonométricas se relacionan con las razones de los ángulos comprendidos en el intervalo [0, 2p) del siguiente modo: si x - x’ = k · 2p, k número entero, entonces sen x = sen x’, cos x = cos x’, tg x = tg x’. Es decir, si dos números difieren en un número entero de veces 2p, entonces tienen las mismas razones trigonométricas.

De este modo se obtienen las funciones trigonométricas y = sen x,

y = cos x, y = tg x, llamadas también funciones circulares. Sus

representaciones gráficas son:

Las otras funciones trigonométricas, y = cosec x, y = sec x, y = cot x,

por la relación que tienen con las tres anteriores, se representan con

ellas en las figuras siguientes:

41


Todas las funciones trigonométricas son periódicas: sen, cos, sec y

cosec tienen periodo 2p, mientras que tg y cot tienen periodo p.

42


ANALISIS DE LAS GRAFICAS TRIGONOMETRICAS

FUNCIÓN SENO

FUNCION COSENO

FUNCIÓN TANGENTE

43


ACTIVIDAD 111. Construir las gráficas en papel milimetrado una por hoja de 15 en

15 grados. Desde cero grados a trescientos sesenta.2. Hacer el análisis a las graficas que faltan(cot, sec y Csc)

UNIDAD 5 IDENTIDADES Y ECUACIONESTRIGONOMETRICAS

Identidad es una igualdad.Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene funciones trigonométricas y que es verdadera para todos los valores de los ángulos para los cuales están definidas estas funciones.

IDENTIDADES FUNDAMENTALES.

Identidades recíprocas:

sen a = 1/csc a despejando sen(a)csc(a) = 1cos a = 1/sec a despejando cos(a)sec(a) = 1

tan a = 1/cot a despejando tg(a)cot(a) = 1

Identidades de cocientes:

44


tan x = sen x/cos x

cot x = cos x/sen x

Identidades pitagóricas:

sen2x + cos2x = 1

1 + tan2x = sec2x

1 + cot2x = csc2x

Una de las aplicaciones de las identidades trigonométricas, radica en que dado el valor de una función se puede calcular mediante la utilización de las identidades los otros valores. Por ejemplo: Si sen x

= 4

7 , donde x es un ángulo que está entre 0 y 90. hallar, aplicando

las elaciones trigonométricas, el valor de las demás relaciones trigonométricas para x.

Solución: como sen x = 4

7 , despejamos cos x en la identidad sen2x

+ cos2x = 1

Luego cos2x = 1- sen2 , así cos x = 21 sen− = ±16

9 por qué? = ±

4

3

Así cos x = ¾ se escoge el valor positivo, porque el ángulo x está entre cero y noventa grados.

Para encontrar tan x utilizamos tan x = sen x / cos x

Tan x =

4

34

7

= 3

7 porqué?

45


Cot x = 7

73

7

3

3

7

1

tan

1 ≈≈≈x

Sec x = 3

4

4

31

cos

1 ≈≈x

Csc x = 7

74

4

7

11 ≈≈senx

ACTIVIDAD 12

1. Encontrar el valor de las otras relaciones trigonométricas, el ángulo θ está en el primer cuadrante.

a) sec θ = 3 b) csc θ = 13 c ) cos θ = 5/9 d) tan θ = 5/6 e) senθ = 5/6

f) sen θ = 3/8 f) cot θ = 3

2. si Sen θ = 4/14, encuentra el valor de 2csc

csccot2

22

++ θθ

5.2 DEMOSTRACION DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

No existe un método único para demostrar identidades veamos las siguientes sugerencias.

46


El aprender a usar y verificar las identidades trigonométricas requiere del uso y dominio amplio del álgebra y de los conceptos trigonométricos estudiados. A continuación se presentan algunos tipos que te pueden facilitar esta tarea:

• Se deben conocer perfectamente las identidades fundamentales

• Generalmente, es más conveniente trabajar con el miembro más complicado de la identidad.

• Si existen operaciones indicadas, éstas se deben efectuar como primer paso.

• Si uno de los miembros contiene más de una función mientras que el otro miembro contiene sólo una, se convierten las funciones del primer miembro en términos de la función que entra en el segundo, de acuerdo con las identidades fundamentales.

• Si el numerador de uno de los miembros contiene varios términos y el denominador sólo uno, se puede, en ciertos casos, efectuar la conversión deseada, expresando el miembro en cuestión como una suma de fracciones y aplicando luego las identidades fundamentales.

• De ser posible uno de los miembros debe ser factorizado. Después de ello, quizá se pueda distinguir el paso siguiente.

• Algunas veces, para obtener la conversión deseada, es necesario multiplicar el numerador y el denominador de un miembro por un mismo factor.

• Si no es posible aplicar ninguna de las indicaciones anteriores, las funciones del miembro más complicado se convierten en senos y cosenos, y se simplifica.

• Por último te recomendamos que hagas muchos ejercicios, pues es la única forma en la que llegarás a dominar este tema.

47


ACTIVIDAD 13

EJEMPLOS y ACTIVIDADLas Identidades ya están demostradas. Amigo estudiante, usted debe justificar los pasos que faltan y es esa la actividad que usted debe realizar. 1) tg(a) + ctg(a) = sec(a)csc(a) Demostración: tg(a) + ctg(a) =

sen(a) cos(a) -------- + -------- = cos(a) sen(a)

sen2(a) + cos2(a) ------------------ = cos(a)sen(a)

1 -------------- = sec(a)csc(a) cos(a)sen(a)

2) sec(a) - cos(a) = sen(a)tg(a) Demostración: sec(a) - cos(a) =

1 -------- - cos(a) = cos(a)

1 - cos2(a) ------------ = cos(a)

sen2(a) -------- = cos(a)

sen(a) sen(a) × ---------- = sen(a)tg(a) cos(a)

48


3) sec2(a) + csc2(a) = sec2(a)csc2(a) Demostración: sec2(a) + csc2(a) =

1 1 --------- + --------- = cos2(a) sen2(a)

sen2(a) + cos2(a) ------------------ = cos2(a)sen2(a)

1 --------------- = sec2(a)csc2(a) cos2(a)sen2(a)

4) (1 - cos(a))(1 + sec(a)) = sec(a) - cos(a) Demostración: (1 - cos(a))(1 + sec(a)) = 1 + sec(a) - cos(a) - cos(a)sec(a) = 1 + sec(a) - cos(a) - 1 = sec(a) - cos(a)

5) cos(a) + sen(a)tg(a) = sec(a) Demostración: cos(a) + sen(a)tg(a) =

sen(a) cos(a) + sen(a) × -------- = cos(a)

cos2(a) + sen2(a) ------------------ = cos(a)

1 -------- = sec(a) cos(a)

6) tg2(a) - sen2(a) = sen2(a)tg2(a)

Demostración: tg2(a) - sen2(a) =

sen2(a)

49


--------- - sen2(a) = cos2(a)

sen2(a) - sen2(a)cos2(a) ------------------------- = cos2(a)

sen2(a)(1 - cos2(a)) --------------------- = cos2(a)

sen2(a)sen2(a) --------------- = sen2(a)tg2(a) cos2(a)

7) csc(a) - cos(a)ctg(a) = sen(a) Demostración: csc(a) - cos(a)ctg(a) =

1 cos(a) -------- - cos(a) × -------- = sen(a) sen(a)

1 - cos2(a) ------------- = sen(a)

sen2(a) --------- = sen(a) sen(a)

8) (ctg(a) - csc(a))(1 + cos(a)) = -sen(a) Demostración: (ctg(a) - csc(a))(1 + cos(a)) =

cos(a) - 1 ------------ × (1 + cos(a)) = sen(a)

cos2(a) - 1 ------------- = sen(a)

-sen2(a) ---------- = -sen(a)

50


sen(a)

9) tg3(a) - 1 ------------ = sec2(a) + tg(a) tg(a) - 1

Demostración: tg3(a) - 1 ------------ = tg(a) - 1

(tg(a) - 1)(tg2(a) + tg(a) + 1) --------------------------------- = tg(a) - 1

tg2(a) + 1 + tg(a) = sec2(a) + tg(a)

10) sec(a) sec(a) - 1 ------------ = ------------ 1 + cos(a) sen2(a)

Demostración: sec(a) ------------ = 1 + cos(a)

sec(a)(1 - cos(a)) -------------------------- = (1 + cos(a))(1 - cos(a))

sec(a) - sec(a)cos(a) ----------------------- = 1 - cos2(a)

sec(a) - 1 sec(a) - 1 ------------ = ------------ sen2(a) sen2(a)

11) csc(a) sen(a)tg(a) - cos(a) ---------------- = ---------------------- tg(a) + ctg(a) tg2(a) - 1 Demostración:

51


sen(a)tg(a) - cos(a) ---------------------- = tg2(a) - 1

sen(a)tg(a) - sen(a)ctg(a) ---------------------------- = tg2(a) - tg(a)ctg(a)

sen(a)(tg(a) - ctg(a)) ------------------------ = tg(a)(tg(a) - ctg(a))

sen(a)csc2(a) --------------- = tg(a)csc2(a)

csc(a) -------------------- = tg(a)(1 + ctg2(a))

csc(a) csc(a) ---------------- = ---------------- tg(a) + ctg(a) tg(a) + ctg(a)

12) cos(a) - sec(a) sen(a) ----------------- = ----------------------- sen(a) - csc(a) ctg(a)csc(a) - cos(a) Demostración:

cos(a) - sec(a) ----------------- = sen(a) - csc(a)

-ctg(a)(cos(a) - sec(a)) -------------------------- = -ctg(a)(sen(a) - csc(a))

-cos2(a)csc(a) + csc(a) ------------------------- = -cos(a) + ctg(a)csc(a)

52


csc(a)(1 - cos2(a)) ----------------------- = ctg(a)csc(a) - cos(a)

csc(a)sen2(a) sen(a) ----------------------- = ----------------------- ctg(a)csc(a) - cos(a) ctg(a)csc(a) - cos(a)

13) 2sen(a)(sen(a) + 1) --------------------- = 1 + sen(a) - cos(a) 1 + sen(a) + cos(a) Demostración: 1 + sen(a) - cos(a) =

(1 + sen(a) - cos(a))(1 + sen(a) + cos(a)) -------------------------------------------- = 1 + sen(a) + cos(a)

1 + 2sen(a) + sen2(a) - cos2(a) --------------------------------- = 1 + sen(a) + cos(a)

2sen2(a) + 2sen(a) 2sen(a)(sen(a) + 1) --------------------- = --------------------- 1 + sen(a) + cos(a) 1 + sen(a) + cos(a)

14) tg(a) sen(a) ------------ + ------------ = ctg(a) + sec(a)csc(a) 1 + cos(a) 1 - cos(a) Demostración: tg(a) sen(a) ------------ + ------------ = 1 + cos(a) 1 - cos(a)

tg(a)(1 - cos(a)) + sen(a)(1 + cos(a)) ---------------------------------------- = 1 - cos2(a)

tg(a) - sen(a) + sen(a) + sen(a)cos(a) ---------------------------------------- = sen2(a)

53


tg(a) sen(a)cos(a) --------- + -------------- = sen2(a) sen2(a)

1 -------------- + ctg(a) = ctg(a) + sec(a)csc(a) sen(a)cos(a)

15) sen(a) + cos(a) 1----------------- + ------------ = sec(a)(1 + sec(a)) cos2(a) 1 + sen(a)Demostración: sen(a) + cos(a) 1 ----------------- + ------------ = cos2(a) 1 + sen(a)

sen(a) + cos(a) 1 - sen(a) ----------------- + -------------------------- = cos2(a) (1 + sen(a))(1 - sen(a))

sen(a) + cos(a) 1 - sen(a) ----------------- + ------------- = cos2(a) 1 - sen2(a)

sen(a) + cos(a) 1 - sen(a) ----------------- + ------------ = cos2(a) cos2(a)

cos(a) + 1 ------------ = cos2(a) 1 1 -------- + --------- = cos(a) cos2(a)

sec(a) + sec2(a) = sec(a)(1 + sec(a))

16) sec2(a) ctg2(a) 1----------------- + ------------ = -----------------csc2(a) - sec2(a) ctg2(a) - 1 cos2(a) - sen2(a) Demostración:

54


sec2(a) ctg2(a)------------------ + ------------ = csc2(a) - sec2(a) ctg2(a) - 1

sec2(a)sen2(a)cos2(a) ctg2(a)sen2(a)-------------------------------- + -------------------- =(csc2(a) - sec2(a))sen2(a)cos2(a) (ctg2(a) - 1)sen2(a)

sen2(a) cos2(a) ------------------ + ------------------ = cos2(a) - sen2(a) cos2(a) - sen2(a)

1 1 ------------------ = ------------------ cos2(a) - sen2(a) cos2(a) - sen2(a)

17) sen2(a) + sen(a)cos(a) - 2cos2(a) sen(a) + 2cos(a)---------------------------------- = ----------------- 2sen2(a) - 1 sen(a) + cos(a) Demostración:

sen(a) + 2cos(a) ------------------ = sen(a) + cos(a)

(sen(a) + 2cos(a))(sen(a) - cos(a)) ------------------------------------- = (sen(a) + cos(a))(sen(a) - cos(a))

sen2(a) + sen(a)cos(a) - 2cos2(a) ---------------------------------- = sen2(a) - cos2(a)

sen2(a) + sen(a)cos(a) - 2cos2(a) ---------------------------------- = sen2(a) - (1 - sen2(a)) sen2(a) + sen(a)cos(a) - 2cos2(a) ---------------------------------- 2sen2(a) - 1

18)(sen(a) + cos(a))(tg(a) + ctg(a)) = sec(a) + csc(a)

55


Demostración: (sen(a) + cos(a))(tg(a) + ctg(a)) =

sen2(a) cos2(a) --------- + cos(a) + sen(a) + --------- = cos(a) sen(a)

sen2(a) + cos2(a) sen2(a) + cos2(a) ------------------- + ------------------- = cos(a) sen(a)

1 1 -------- + -------- = sec(a) + csc(a) cos(a) sen(a)

19) sen2(a) + ctg2(a) - 1 ----------------------- = ctg2(a) cos2(a)

Demostración:

sen2(a) + ctg2(a) - 1 ----------------------- = cos2(a)

ctg2(a) + sen2(a) - 1 ----------------------- = cos2(a)

ctg2(a) - cos2(a) ------------------- = cos2(a)

csc2(a) - 1 = ctg2(a)

20) 1 + ctg3(a) ------------- = csc2(a) - ctg(a) 1 + ctg(a)

Demostración:

1 + ctg3(a) ------------- =

56


1 + ctg(a)

(1 + ctg(a))(1 - ctg(a) + ctg2(a)) ------------------------------------ = 1 + ctg(a)

1 + ctg2(a) - ctg(a) = csc2(a) - ctg(a)

21) cos(a) 1 - sen(a) ------------ - ------------ = 2tg(a) 1 - sen(a) cos(a)

Demostración:

cos(a) 1 - sen(a) ------------ - ------------ = 1 - sen(a) cos(a)

cos2(a) - (1 - sen(a))2

------------------------- = (1 - sen(a))cos(a)

1 - sen2(a) - (1 - 2sen(a) + sen2(a)) --------------------------------------- = cos(a)(1 - sen(a))

2sen(a) - 2sen2(a) -------------------- = cos(a)(1 - sen(a))

2sen(a)(1 - sen(a)) --------------------- = cos(a)(1 - sen(a))

2sen(a) --------- = 2tg(a) cos(a)

5.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS CON OPERACIONES EN SUS ÁNGULOS.

Las básicas son:

57


1. sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

2. sen(a - b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a)

3. sen(2a) = 2sen(a)cos(a)

4. sen(3a) = 3sen(a) - 4sen3(a)

5. sen(4a) = 4sen(a)cos(a) - 8sen3(a)cos(a)

6. sen(a) + sen(b) = 2sen(a/2 + b/2)cos(a/2 - b/2)

7. sen(a) - sen(b) = 2sen(a/2 - b/2)cos(a/2 + b/2)

8. cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

9. cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

10. cos(2a) = cos2(a) - sen2(a)

11. cos(3a) = 4cos3(a) - 3cos(a)

12. cos(4a) = 8cos4(a) - 8cos2(a) + 1

13.cos(a) + cos(b) = 2cos(a/2 + b/2)cos(a/2 - b/2)

14. cos(a) - cos(b) = -2sen(a/2 + b/2)sen(a/2 - b/2)

15. tg(a) + tg(b)tg(a + b) = ---------------- 1 - tg(a)tg(b)

16. tg(a) - tg(b)tg(a - b) = ---------------- 1 + tg(a)tg(b)

17. 2 tg(a)tg(2a) = ------------ 1 - tg2(a)

18.

58


sen(a + b)tg(a) + tg(b) = -------------- cos(a)cos(b)

19. sen(a - b)tg(a) - tg(b) = -------------- cos(a)cos(b)

ACTIVIDAD 14

EJEMPLOS Y ACTIVIDAD

1. Demostremos algunos ejercicios a) sen(a+b)

-------------- = tg(a) + tg(b) cos(a)cos(b)

Demostración:

sen(a+b) -------------- = cos(a)cos(b)

sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) ----------------------------- = cos(a)cos(b)

sen(a) sen(b) -------- + -------- = tg(a) + tg(b) cos(a) cos(b)

b) 1 + tg(a)tg(2a) = sec(2a) Demostración:

1 + tg(a)tg(2a) =

2tg(a) 1 + tg(a) × ------------ = 1 - tg2(a)

2tg2(a) 1 + ------------ =

59


1 - tg2(a)

1 + tg2(a) ------------ = 1 - tg2(a)

sec2(a) ------------ = 1 - tg2(a)

sec2(a)cos2(a) --------------------- = (1 - tg2(a))cos2(a) 1 ------------------- = cos2(a) - sen2(a) 1 --------- = sec(2a) cos(2a)

2. De los dos ejemplos anteriores justifica cada paso3. Demuestra las propiedades 3, 4,5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15.

5.4 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Las ecuaciones trigonométricas son igualdades de expresiones trigonométricas que se cumplen únicamente para ciertos ángulos.

Resolver una ecuación trigonométrica consiste en encontrar los ángulos que hacen verdadera la igualdad. Como las funciones trigonométricas son periódicas, existen infinitos ángulos que hacen verdadera una ecuación; por lo tanto, es conveniente restringir el conjunto solución a los ángulos comprendidos en un periodo.

Los procedimientos para resolver ecuaciones trigonométricas son similares a los empleados para resolver ecuaciones algebraicas. La diferencia principal radica en que las ecuaciones trigonométricas se resuelven para las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante y de estas se determina los valores del ángulo.

En los siguientes ejemplos no hay restricción, por lo tanto las soluciones son infinitas esto se representa colocando una expresión general .

60


EJEMPLOS RESUELTOS.

1 ) cos ( x ) tg ( x ) = 0,5sen ( x ) = 0,5arcsen ( 0,5 ) = 30ºx1 = 30º + 360º k ( k ∈ Z )x2 = 150º + 360º k ( k ∈ Z )

( sen ( 30º ) = sen ( 180º – 30º ) = sen ( 150º ) )

2 ) sen ( x ) ctg ( x ) = 0,5cos ( x ) = 0,5arccos ( 0,5 ) = 60ºx1 = 60º + 360º k ( k ∈ Z )x2 = 300º + 360º k ( k ∈ Z )

( cos ( 60º ) = cos ( 360º – 60º ) = cos ( 300º ) )

3 ) sen ( x ) sec ( x ) = 1tg ( x ) = 1arctg ( 1 ) = 45ºx = 45º + 180º k ( k ∈ Z )

4 ) cos ( x ) csc ( x ) = √ 3ctg ( x ) = √ 3tg ( x ) = 1 / √ 3 = ( √ 3 ) / 3arctg ( ( √ 3 ) / 3 ) = 30ºx = 30º + 180º k ( k ∈ Z )

5 ) sen ( x ) – csc ( x ) = 0sen ( x ) = csc ( x ) / sen ( x )sen 2 ( x ) = csc ( x ) sen ( x )sen 2 ( x ) = 1sen ( x ) = ± 1arcsen ( 1 ) = 90ºx1 = 90º + 360º k ( k ∈ Z )arcsen ( – 1 ) = – 90º x2 = 270º + 360º k ( k ∈ Z )

( sen ( – 90º ) = sen ( 360º – 90º ) = sen ( 270º ) )

Solución general: x = 90º + 180º k ( k ∈ Z )

61


6 ) ctg ( x ) sec ( x ) = 2csc ( x ) = 2sen ( x ) = 0,5arcsen ( 0,5 ) = 30ºx1 = 30º + 360º k ( k ∈ Z )x2 = 150º + 360º k ( k ∈ Z )

( sen ( 30º ) = sen ( 180º – 30º ) = sen ( 150º ) )

7 ) sen ( x ) = tg ( x ) / cos ( x )sen ( x ) cos ( x ) = tg ( x ) cos ( x )sen ( x ) cos ( x ) = sen ( x )sen ( x ) cos ( x ) – sen ( x ) = 0sen ( x ) ( cos ( x ) – 1 ) = 0sen ( x ) = 0arcsen ( 0 ) = 0ºx1 = 0º + 360º k ( k ∈ Z )x2 = 180º + 360º k ( k ∈ Z )cos ( x ) – 1 = 0cos ( x ) = 1arccos ( 1 ) = 0º ( Se repite la solución: x =

0º )Solución general: x = 0º + 180º k ( k ∈ Z )

8 ) sen ( 2 x ) tg ( x ) = 12 sen ( x ) cos ( x ) tg ( x ) = 1sen ( x ) cos ( x ) tg ( x ) = 0,5sen2 ( x ) = 0,5sen ( x ) = ± √ 0,5arcsen ( √ 0,5 ) = 45ºx1 = 45º + 360º k ( k ∈ Z )x2 = 135º + 360º k ( k ∈ Z )

( sen ( 45º ) = sen ( 180 – 45º ) = sen ( 135º ) )

arcsen ( – √ 0,5 ) = – 45ºx3 = 225º + 360º k ( k ∈ Z )

( sen ( – 45º ) = sen ( 180º + 45º ) = sen ( 225º ) )

x4 = 315º + 360º k ( k ∈ Z ) ( sen ( – 45º ) = sen ( 360º – 45º ) = sen ( 315º ) )

Solución general: x = 45º + 90º k ( k ∈ Z )

62


9 ) sen ( x ) ( sen ( x ) – 2 ) = – 1sen 2 ( x ) – 2 sen ( x ) + 1 = 0( sen ( x ) – 1 ) 2 = 0sen ( x ) = 1arcsen ( 1 ) = 90ºx = 90º + 360º k ( k ∈ Z )

10 ) cos ( x ) ( cos ( x ) – 1 ) = – 0,25cos 2 ( x ) – cos ( x ) + 0,25 = 0( cos ( x ) – 0,5 ) 2 = 0cos ( x ) – 0,5 = 0cos ( x ) = 0,5arccos ( 0,5 ) = 60ºx1 = 60º + 360º k ( k ∈ Z )x2 = 300º + 360º k ( k ∈ Z )

( cos ( 60º ) = cos ( 360º – 60º ) = cos ( 330º ) )

11 ) tg ( x ) ( tg ( x ) – 2 ) = – 1tg 2 ( x ) – 2 tg ( x ) + 1 = 0( tg ( x ) – 1 ) 2 = 0tg ( x ) – 1 = 0tg ( x ) = 1arctg ( 1 ) = 45ºx = 45º + 180º k ( k ∈ Z )

12 ) sen ( x ) ( sen ( x ) – 2 ) = 3sen 2 ( x ) – 2 sen ( x ) – 3 = 0( sen ( x ) + 1 ) ( sen ( x ) – 3 ) = 0sen ( x ) + 1 = 0sen ( x ) = – 1arcsen ( – 1 ) = – 90ºx = 270º + 360º k ( k ∈ Z )

( sen ( – 90º ) = sen ( 360º – 90º ) = sen ( 270º ) )

sen ( x ) – 3 = 0sen ( x ) = 3 ( No tiene solución )

13 ) cos ( x ) ( cos ( x ) – 4,5 ) = – 2cos 2 ( x ) – 4,5 cos ( x ) + 2 = 0( cos ( x ) – 0,5 ) ( cos ( x ) – 4 ) = 0

cos ( x ) – 0,5 = 0cos ( x ) = 0,5arccos ( 0,5 ) = 60º

63


x1 = 60º + 360º kx2 = 300º + 360º k ( k ∈ Z )

( cos ( 60º ) = cos ( 360º – 60º ) = cos ( 300º ) )

cos ( x ) – 4 = 0cos ( x ) = 4 ( No tiene solución )

14 ) sen ( x ) + csc ( x ) = 2,5 / sen ( x )sen 2 ( x ) + csc ( x ) sen ( x ) = 2,5 sen ( x )sen 2 ( x ) – 2,5 sen ( x ) + 1 = 0( sen ( x ) – 0,5 ) ( sen ( x ) – 2 ) = 0sen ( x ) – 0,5 = 0sen ( x ) = 0,5arcsen ( 0,5 ) = 30ºx1 = 30º + 360º k ( k ∈ Z )x2 = 150º + 360º k ( k ∈ Z )

( ( sen ( 30º ) = sen ( 180º – 30º ) = sen ( 150º ) )


15 ) cos ( x ) + sec ( x ) = 2 / cos ( x )cos 2 ( x ) + sec ( x ) cos ( x ) = 2 cos ( x )cos 2 ( x ) – 2 cos ( x ) + 1 = 0( cos ( x ) – 1 ) 2 = 0cos ( x ) – 1 = 0cos ( x ) = 1arccos ( 1 ) = 0ºx = 0º + 360º k ( k ∈ Z )

16 ) tg ( x ) + ctg ( x ) = 2 / tg ( x )tg 2 ( x ) + ctg ( x ) tg ( x ) = 2 tg ( x )tg 2 ( x ) – 2 tg ( x ) + 1 = 0( tg ( x ) – 1 ) 2 = 0tg ( x ) – 1 = 0tg ( x ) = 1arctg ( 1 ) = 45ºx = 45º + 180º k ( k ∈ Z )

17 ) cos ( x ) + 2 sec ( x ) = 3 / cos ( x )cos 2 ( x ) + 2 sec ( x ) cos ( x ) = 3 cos ( x )cos 2 ( x ) – 3 cos ( x ) + 2 = 0( cos ( x ) – 1 ) ( cos ( x ) – 2 ) = 0cos ( x ) – 1 = 0cos ( x ) = 1

64


arccos ( 1 ) = 0ºx = 0º + 360º k ( k ∈ Z )cos ( x ) – 2 = 0cos ( x ) = 2 ( No tiene solución )

18 ) 2 cos ( x ) = – 3 tg ( x ) / cos ( x )2 cos 2 ( x ) = – 3 sen ( x )2 ( 1 – sen 2 ( x ) ) = – 3 sen ( x )2 – 2 sen 2 ( x ) = – 3 sen ( x )2 sen 2 ( x ) – 3 sen ( x ) – 2 = 0( 2 sen ( x ) + 1 ) ( sen ( x ) – 2 ) = 02 sen ( x ) + 1 = 0sen ( x ) = – 1 / 2arcsen ( – 1 / 2 ) = – 30ºx1 = 210º + 360º k ( k ∈ Z )

( sen ( – 30º ) = sen ( 180º + 30º ) = sen ( 210º ) )

x2 = 330º + 360º k ( k ∈ Z ) ( sen ( – 30º ) = sen ( 360º – 30º ) = sen ( 330º ) )


ACTIVIDAD 15

1. Justificar cada ejemplo resuelto.

65


UNIDAD 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA.

Geometría analítica, rama de la geometría en la que las líneas

rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan

mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un

conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se

puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares

dando las distancias del punto a cada uno de los ejes. En la

figura 1, el punto A está a 1 unidad del eje vertical (y) y a 4

unidades del horizontal (x). Las coordenadas del punto A son por

tanto 1 y 4, y el punto queda fijado dando las expresiones x = 1,

y = 4. Los valores positivos de x están situados a la derecha del

eje y, y los negativos a la izquierda; los valores positivos de y

están por encima del eje x y los negativos por debajo. Así, el

punto B de la figura 1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0. En un

espacio tridimensional, los puntos se pueden localizar de

manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales,

normalmente llamado z, es perpendicular a los otros dos en el

punto de intersección, también llamado origen.

66


En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una

ecuación lineal en dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0. De

la misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la circunferencia,

la elipse y otras cónicas y curvas regulares. La geometría analítica se

ocupa de dos tipos clásicos de problemas. El primero es: dada la

descripción geométrica de un conjunto de puntos, encontrar la ecuación

algebraica que cumplen dichos puntos. Siguiendo con el ejemplo

anterior, todos los puntos que pertenecen a la línea recta que pasa por

A y B cumplen la ecuación lineal x + y = 5; en general, ax + by = c. El

segundo tipo de problema es: dada una expresión algebraica, describir

en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen

dicha expresión. Por ejemplo, una circunferencia de radio 3 y con su

centro en el origen es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen

x2 + y2 = 9. Usando ecuaciones como éstas, es posible resolver

algebraicamente esos problemas geométricos de construcción, como la

bisección de un ángulo o de una recta dados, encontrar la perpendicular

a una recta que pasa por cierto punto, o dibujar una circunferencia que

pasa por tres puntos dados que no estén en línea recta. La geometría

analítica ha tenido gran importancia en el desarrollo de las matemáticas

pues ha unificado los conceptos de análisis (relaciones numéricas) y

geometría (relaciones espaciales). El estudio de la geometría no

euclídea y de las geometrías de espacios con más de tres dimensiones

67


no habría sido posible sin un tratamiento analítico. Del mismo modo, las

técnicas de la geometría analítica, que hacen posible la representación

de números y expresiones algebraicas en términos geométricos, han

ayudado al cálculo, la teoría de funciones y otros problemas de las

matemáticas avanzadas.

6.1 DISNTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sean A = (x1 , y1) y B = (x2 , y2) dos puntos cualquiera del plano.

La distancia entre los puntos dados se define así d = ( ( )) 1212 yyxx −+−

(x1 , y1)

68


(x2 , y2)

6.2 PENDIENTE DE UNA RECTA

Pendiente, medida de la inclinación de una recta dada en un sistema de

ejes cartesianos. La pendiente de una recta es el aumento de la

ordenada, y, cuando la abscisa, x, aumenta una unidad. Si (x0,y0),

(x1,y1) son dos puntos de la recta, la pendiente se obtiene del siguiente

modo:

m = (y1 – y0)/(x1 – x0)

Por ejemplo, si una recta pasa por los puntos (0,4) y (5,7) su

pendiente es

m = (7 – 4)/(5 – 0) = 3/5Por tanto, su ecuación será: y = 4 + (3/5)x

La pendiente de una recta dada mediante su expresión analítica

es el coeficiente de la variable x cuando está despejada la

variable y. Así, para hallar la pendiente de la recta 3x – 5y + 7

= 0, se despeja la y:

y = (3x + 7)/5 = (3/5)x + 7/5

69


El coeficiente de la x es 3/5, por lo que la pendiente de esta

recta es m = 3/5.

6.3 CONICAS

Cónica, cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una

superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice.

El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo á de la superficie

cónica y del ángulo â que forma el plano P con el eje e.

Si â > á entonces el plano corta a todas las generatrices de la

superficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si â ≤ á se

obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con más detalle

los distintos casos que se pueden dar según los valores que tome â.

Si â = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.

Si â > á y â < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más próximo a á) sea el ángulo â.

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Si â = á el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamada parábola.

Si â < á entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 < â < á) como cuando es paralelo a él (â = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamada hipérbola.

La excentricidad de una cónica es un número que mide su

alargamiento y que está relacionado con los ángulos á y â.

La excentricidad de la circunferencia es cero. Es decir, las

circunferencias no son nada excéntricas. Las elipses son tanto más

excéntricas cuanto más alargadas son: si una elipse es parecida a una

71


circunferencia su excentricidad es próxima a cero, mientras que si es

muy alargada, su excentricidad es próxima a uno.

Todas las parábolas tienen excentricidad uno. Las hipérbolas tienen

una excentricidad mayor que uno.

APLICACIONES DE LAS CÓNICAS

Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que

resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el

arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación

alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección

parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de

seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que

pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. También existe un

tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las

hipérbolas.

LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS

Salvo la circunferencia, las restantes cónicas se pueden definir como

lugares geométricos a partir de un punto fijo F, llamado foco, una recta

fija, d, llamada directriz, y su excentricidad, e > 0, del siguiente modo:

El lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el cociente de

sus distancias a F y a d es igual a e (dist PF/dist Pd = e), es una cónica

de excentricidad e.

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CÓNICAS DEGENERADAS

Las cónicas propiamente dichas son las que ya se han descrito:

circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Sin embargo, desde un

punto de vista matemático conviene a veces considerar como cónicas

las figuras que se obtienen al cortar la superficie cónica mediante

planos que pasan por su vértice. A estas figuras se les llama cónicas

degeneradas. Según esto, una recta, un par de rectas, o incluso un

punto, serían cónicas degeneradas.

EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LAS CÓNICAS

Desde una punto de vista analítico se puede definir cónica como la

curva que responde a una ecuación del tipo:

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica

y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen

valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se

obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias.

LA PARÁBOLA una de las cónicas. Se trata de una curva plana,

abierta, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo

á mediante un plano P que no pasa por el vértice y que corta a e bajo

el mismo ángulo á.

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La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos

del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta

fija llamada directriz.

Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los

siguientes elementos:

Eje, e.

Vértice, V.

Distancia de F a d, p.

La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es

decir, todas las parábolas tienen excentricidad 1.

Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando

por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y

se aleja paralelo al eje.

Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma

parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por

tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar

emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión,

concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son

también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de

agua…) que cae atraído por la tierra.

EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA PARÁBOLA Si se hace coincidir el eje X

con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la

ecuación de la parábola es:

y2 = 2px

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Las curvas de ecuación y = ax2 + bx + c también son parábolas. Su

eje es paralelo al eje Y, y su vértice se encuentra en el punto de

abscisa -b/2a.

LA ELIPSE. Es una curva cerrada que se obtiene al cortar una

superficie cónica de eje e y ángulo á mediante un plano, P, que no

pasa por el vértice y que corta a e bajo un ángulo â mayor que á, pero

menor de 90º (á < â < 90º).

Si á es próximo a cero se obtiene una elipse poco excéntrica. Si á es

próximo a uno se obtiene una elipse muy excéntrica. Véase

Excentricidad.

La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo:

dados dos puntos fijos, F y F’, llamados focos, y un número fijo k,

, la elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya

suma de distancias a F y F’ es igual a k:

; d1 + d2 = k.

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Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado

“método del jardinero”: se colocan dos alfileres en la posición de los

focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz

situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.

Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes

elementos:

Centro, O.

Eje mayor, AA´.

Eje menor, BB´.

Distancia focal, OF.

Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con

las letras siguientes:

. El eje mayor mide 2a.

. El eje menor mide 2b.

. La distancia entre focos es 2c.

.

Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación:

a2 = b2 + c2

La excentricidad de una elipse se obtiene así:

e = c/a

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Puesto que c < a se verifica que 0 < e < 1, es decir, la excentricidad

de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.

Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el

Sol. Las más excéntricas son la de Plutón, e = 0,25 , y la Mercurio,

e = 0,21. Los restantes planetas tienen órbitas con excentricidades

inferiores a 0,1 , es decir, casi circulares.

PROPIEDADES DE LA ELIPSE Si desde un punto P de la elipse se trazan

los segmentos PF y PF’, la bisectriz exterior del ángulo que forman

estos segmentos es tangente a la elipse.

Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un

rayo que pasa por uno de los focos de la elipse, al reflejarse en ésta,

pasa por el otro foco.

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE Si se sitúan los ejes ordenados del

siguiente modo: el eje X coincidiendo con el eje mayor de la elipse y el

eje Y coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la

forma siguiente:

que se llama ecuación reducida de la elipse.

LA HIPÉRBOLA. es una curva abierta, formada por dos ramas, que

se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo á mediante

un plano P que no pasa por el vértice y que corta a e con un ángulo â

menor que á.

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La hipérbola se puede definir como lugar geométrico del siguiente

modo: dados dos puntos fijos, F y F¢, llamados focos, y un número

positivo k, , la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos, P,

tales que la diferencia de distancias a los focos es igual a k:

; |d1 – d2| = k.

La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva

tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas

cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, r y r¢, en la hipérbola destacan

los siguientes elementos:

Centro, O.

Vértices, A y A¢.

Distancia entre los vértices, .

Distancia entre los focos, .

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El triángulo de lados a, b, c es rectángulo. Por tanto, se cumple que

b2 = c2 – a2

La excentricidad de una hipérbola es e = c/a.

Puesto que c > a se verifica que e > 1. Es decir, la excentricidad de

cualquier hipérbola es un número mayor que 1.

Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto de

la curva se trazan los segmentos correspondientes a las distancias de

este punto a los focos, la bisectriz del ángulo formado por ambos

segmentos es tangente a la hipérbola.

Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo se

acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria.

Después se alejarán perdiéndose en los confines del Sistema Solar.

Existe un sistema de ayuda a la navegación, llamado loran, basado en

las hipérbolas y sus propiedades, que permite a los barcos y aviones

determinar su posición, sobre una carta marina.

EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA HIPÉRBOLA Si situamos el eje X en la

línea de los focos de una hipérbola y el eje Y en la mediatriz del

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segmento FF¢, entonces la ecuación de la hipérbola adopta la

expresión siguiente, llamada ecuación reducida de una hipérbola:

Las asíntotas tienen las ecuaciones

Si a = b, la hipérbola es equilátera. Su ecuación es:

x2 – y2 = a2

y sus asíntotas son las rectas y = x, y = -x.

También son hipérbolas equiláteras las curvas de ecuaciones y = a/x.

Sus asíntotas son los ejes coordenados.

BIBLIOGRAFÍA• Apuntes personales del profesor Carlos García Seña• Enciclopedia Encarta Microsoft 2001• Matemática Constructiva 10º Edit.. Libros y Libres• Matemática 2000 10º Edit.. Voluntad• Matemática Progresiva 10º Edit. Norma • club.telepolis.com/atam/ Matematicas.htm

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