1.5 LGR

5/17/2018 1.5 LGR - slidepdf.com

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CAPITULO 1

1.5 Lugar Geométrico de lasRaíces



Definición LGR

Método gráfico para dibujar la posición de los polosdel sistema en el plano complejo a medida que sevaría un parámetro.



Definición LGR

El LGR permite representar todas las posibles solucionesde la ecuación característica, cuando la ganancia sevaría desde cero hasta el infinito.

En forma polar,

Condición de Magnitud:Condición de Fase:



Definición LGR

Ecuación características del sistema,

Escribiendo a G(s) en forma factorizada,

despejando,



Trazado del LGR

1. Dibujar los polos y ceros de la función de transferenciaa lazo abierto en el plano s.

2. Encontrar la parte del eje real de los lugares

geométricos de las raíces.3. Dibujar las asíntotas para valores grandes de K.

4. Calcular los ángulos de salida y de llegada de polos yceros.

5. Calcular los puntos donde el LGR cruza el ejeimaginario.

6. Calcular los puntos de ruptura (localización de lasraíces múltiples especialmente en el eje real).

7. Completar dibujo, combinando los resultadosanteriores.



Trazado del LGR

1. Polos y ceros de la función de transferencia a lazo abierto

en el plano s



2. Parte del eje real de los lugaresgeométricos de las raíces

El lugar del eje real que está a la izquierda de unnúmero impar de polos y ceros pertenece al LGR



3. Asíntotas para valores grandes de K

Escribamos la ecuación característica de la siguientemanera,

Si , tiende a cero cuando s tiende a infinito.

Para valores grandes de K , m ceros se cancelarían con m polos, y los (n-m) polos restantes deberían aparecercomo un polo múltiple en .




Tomemos un punto de prueba , para un valorgrande y fijo de R, y variable. Ya que pertenece alLGR se debe cumplir,

El ángulo nos dará el ángulo que forman las asíntotas,




• El lugar de origen de las asíntotas está en .

•

Si multiplicamos el lado derecho de la ecuación sededuce que el coeficiente de es la suma de los polosdel sistema a lazo abierto,




La ecuación característica la podemos escribir así,

Si , tenemos que K no afectará el

coeficiente de , por lo tanto para K grande, m de lasraíces coinciden con los ceros z i, y (n-m) son del sistemaasintótico, cuyos polos se ubican en .

Entonces, el centro de las asíntotas estará dado por:




Número de asíntotas,

Ángulos de cada asíntota,

Punto de partida de las asíntotas,



4. Ángulos de salida y de llegada de polos yceros

Por simetría compleja conjugada el ángulo de salida del- - º



5. Puntos donde el LGR cruza el eje imaginario

La ecuación característica del sistema de ejemplo es,

Por lo tanto,

Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz,



5. Puntos donde el LGR cruza el eje imaginario

En la ecuación característica sustituimos s=jwo,

Resolviendo,



6. Puntos de ruptura

Indica el punto sobre el eje real donde K es máxima.

Despejando K de la ecuación característica,

Derivando e igualando a cero,



7. Dibujo completo del LGR

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