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2014-09-24
Convección libre y convección forzada;
Convección libre: perfil de temperatura y de velocidad;
Ecuaciones adimensionales.
2Energía:
* 1* *
* Pr
DTT
Dt
Convección forzada[1] Convección libre
[1] BSL, Capítulo 10
Características:
El patrón de flujo (perfil de
velocidad) esta determinado por
las fuerzas externas
Primero se obtiene el perfil de
velocidad y luego el perfil de
temperatura… se acostumbra
asumir constantes todas las
propiedades del fluido.
Nu = f(Re, Pr)…
Características:
El patrón de flujo (perfil de
velocidad) esta determinado por
las fuerza de flotación que se
ejerce sobre el fluido que se esta
calentando.
Los perfiles de velocidad y de
temperatura dependen uno del
otro.
Nu = f(Gr, Pr)…
Convección libre Considere el caso de un fluido Newtoniano que
fluye entre dos placas paralelas y enormes, las cuales están separadas
por una distancia pequeña (2b); la placa caliente (-b) está a T2 y la
fría (+b) a T1.
Se pretende obtener el perfil de temperatura y el de velocidad en el
seno del fluido.
Debido a que se trata de una convección libre, se asume que:
El fluido que está cerca de la pared caliente tiene una menor
densidad y, consecuentemente, fluye hacia arriba; a diferencia del
fluido que está cerca de la pared fría, que por tener una mayor
densidad fluye hacia abajo.
El flujo neto de masa es cero; es decir, el gasto volumétrico de
fluido que sube es igual al gasto volumétrico de fluido que baja.
La estrategia que se aplica para resolver este ejercicio consiste:
primeramente obtener el perfil de temperatura; y ya con esa
información, obtener el perfil de velocidad, considerando la
dependencia de la densidad del fluido con respecto de la temperatura
1. Esquema 2. Sistema coordenado: Rectangular
3. Modelo. Restricciones
1. Estado estacionario;
2. Fluido Newtoniano;
3. En el rango de temperatura considerado, la
conductividad térmica k y viscosidad μ del
fluido se asumen constantes, pero su densidad ρ
es función de la temperatura
4. Flujo laminar;
5. Transporte de momentum unidireccional: vz ≠ 0;
6. El transporte de energía es por convección libre;
por difusión; y unidireccional: qy ≠ 0;
7. Por ser un ser un procesos de transporte por
convección libre, se puede obtener primero el
perfil de temperatura; luego, utilizar el resultado
para obtener el perfil de velocidad. 5
Balance de energía
De acuerdo con el esquema, el sistema coordenado y las restricciones
impuestas en el modelo, el balance de energía es: 2
20
d Tk
dy
2CL1: en T T y b 1CL2: en T T y b
1( )Resolviendo para :
2 mT y
yT T T
b
2 1 2 1;1
donde: 2
mT T T T T T
Según las restricciones impuestas, el modelo que describe el transporte
de momentum es:
2
2
zd v dpg
dy dz
Balance de momentum
6
Debido a que este es un caso de convección natural, se requiere una
función de la densidad del fluido ρ(T). Según la descripción del caso, la
densidad del fluido que está cerca de la pared caliente es menor que la
del fluido que está cerca de la pared fría; por lo tanto, el fluido caliente
fluye hacia arriba y el frío hacia abajo.
Para obtener la función ρ(T), se expresa a la densidad como una
función de la temperatura, utilizando para una expansión de Taylor:
T
T
T T OST
densidad media evaluada a ; temperatura promedioT T
2
2 zd v dp
T T gdy dz
1Como: coeficiente de expansión térmica
TT
T T
7
2
2como: zd v dp
gdy dz
2
2como: zd v dp
g T T gdy dz
Debido a que el gradiente de presión se debe únicamente al peso del
fluido (cabeza), se tiene:
0dp dp
g gdz dz
2
2
zd vT T g
dy
1como:
2m
yT T T
b
Sustituyendo T(y) en el balance de momentum, éste queda solamente
en términos de y:
2
2
1
2
zm
d v yT T T g
dy b
CL3: 0 @ v y bz CL4: @ 0zv y b
8
Para resolverla, se procede de la siguiente manera:
Se cambia de variable: 2 2
2 2 2
1 z z z zd v dv dv d vy d d
y bb dy dy dy bd bd b d
2
2
CL4: @
1como:
2
Con: CL3: 0 @ ... 0
zm
z
d v yT T T g
dy b
v y b v y bz
2 2
2 2
zm
d v gb TT T
d
CL5: @ 0 1zv CL6: @ =0 1zv
Integrando en forma sucesiva y aplicando las condiciones 5 y 6:
2
3 26
donde: 12
m
z
T Tgb Tv A A A
T
9
Como el flujo volumétrico neto es cero: Q = 0
omo: y finita C 0 0FLUJO FLUJOQ A v A Q v
1
1
0 0 1
1
1
0 0 1
Por definición: 0 0
X b X
z z
bzX b X
b
v dydx v d dx
v v d
dydx d dx
2
3 2Como:
12z
gb Tv A A
1 2
3 2
1
012
gb TA A d
Resolviendo la integral se demuestra que A=0… píldora
Por lo tanto, el perfil de velocidad queda:
2
3
12z
gb Tv
10
2
3
12
con:
z
gb Tv
y
b
1
2m
yT T T
b
La figura siguiente (9.9-I, BSL) muestra los perfiles de temperatura y
velocidad del fluido que fluye entre las dos placas paralelas, para el
caso en donde se tiene el efecto combinado del transporte de calor por
difusión y el transporte de momentum por convección libre.
11
Análisis dimensional.
Ecuaciones de Cambio para la Transferencia de Calor cuando se tiene:
a) Convección Forzada;
b) Convección Libre.
En el rango de temperaturas considerado, el valor de cada una de las
propiedades físicas de los materiales involucrados es independiente
de la temperatura, excepto la densidad en el caso de trasporte con
convección libre.
Continuidad: 0v
2a) Movimiento, Convección Forzada:
Dvv p g
Dt
2
0b) Movimiento, Convección Libre: Dv
v g T TDt
2Energía:
representa la función de disipación en términos de: ,
p v
v
CDT
k TDt
v x
12
Convección Forzada. Variables adimensionales.
No hay un criterio único para definir las “variables adimensionales”
Velocidad: * *v
v v VvV
2002
Presión: * *p p
p p p V pV
Tiempo: * *V D
t t t tD V
0
0 1 0
1 0
Temperatura: * *T T
T T T T T TT T
Coordenadas: * *x
x x DxD
V, D y (T1-T0) representan valores característicos de velocidad,
longitud y diferencia de temperatura, respectivamente; son
característicos del sistema, conocidos y “convenientes”. 13
Ecuaciones de Cambio Adimensionales para la Transferencia de
Energía con Convección Forzada.
Aplicando las variables adimensionales antes definidas, se tiene:
Continuidad: * * 0v
2Movimiento, Convección Forzada:
* 1 1* * * *
* Re Fr
Dv gv p
Dt g
2
*
*
Energía: * 1 Br
* ** RePr RePr
representa la función de disipación en términos adimensionales: *, *
v
v
DTT
Dt
v x
2 2
1 0
Reynolds: Prandtl:
Froud: Brinkman:
Re Pr
Fr Br
pCDV
k
V V
D k T T
14
Convección Libre. Variables adimensionales.
Recordar que no hay un criterio “universal” para definir las
“variables adimensionales”.
En este caso, no hay V ni t característicos; para T y x si las hay:
Velocidad: ** **D
v v v vD
2
2Tiempo: ** *
Dt t t t
D
0
0 1 0
1 0
Temperatura: * *T T
T T T T T TT T
Coordenadas: * *x
x x DxD
15
Ecuaciones de Cambio Adimensionales para la Transferencia de
Energía con Convección Libre.
Se obtiene aplicando las variables adimensionales antes definidas:
Continuidad: * ** 0v
2Movimiento, Convección Forzada:
*** * Gr *
**
Dv gv T
Dt g
2Energía:
* 1* *
* Pr
DTT
Dt
2 3
1 0
2Prandtl: Grashof: Pr Gr
pC g T T D
k
16