15Cap4-DinamicaDeFluidosEjerciciosResueltos

CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA DINAMICA DE FLUIDOS EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMAS RESUELTOS

BERNOULLI

1-IV) Dos tanques de agua conectados por una tubería de 1220 m de longitud y 0.25 m de

diámetro. El nivel en el recipiente superior esta a 37 m por encima del nivel del tanque

inferior. El gasto que transporta la tubería e de 0.128 m3/s.

a) Hallar la perdida de carga total.

b) Hallar la presión que existe en la sección, a la mitad de la tubería, si

dicha sección se encuentra a la misma elevación que el nivel del

tanque inferior, siendo que la mitad de la energía disponible se

pierde desde el tanque hasta dicha sección.

Solución.

a) Usamos la ecuación de Bernoulli para una vena liquida, entre los

puntos 1 y 2 de la figura y haciendo α1 y α2 igual a uno:

b)

Área del tubo:

Velocidad media:

Perdida de energía entre las secciones 1 y 3:

194


Con Bernoulli:

2-IV) El caudal se mantiene constante a lo largo de la tubería. De la misma respuesta

podemos decir que la velocidad en el punto B será igual a la del punto C, debido a que el

caudal es constante cuando el área es constante, por lo que la velocidad también será

constante.

Solución.

Bernoulli en el punto C:

Procedemos de la misma manera que en el caso anterior, la presión a la salida de la tubería

es cero:

3-IV) En el sifón calcular la velocidad del agua, el gasto y la presión en la sección B, en el

supuesto de que las perdidas fuesen despreciables.

Solución.

Usando Bernoulli desde la superficie del líquido hasta C:

195


Los valores de Zc y Pc son cero, además la velocidad y la presión en la superficie del líquido

son cero:

4-IV) En la instalación mostrada, perdida de carga desde “A” a “B” y desde “C” a “D” es de

una carga de velocidad y desde “B” a “C” es de dos cargas velocidad, siendo el diámetro

constante de la tubería de 15cm.

a) Determine usted la carga de presión en los puntos “B” y “C”.

b) ¿Qué diámetro deberá tener la tubería para que la presión en “C” sea

de -0.9Kg/cm2 relativos?

c) ¿Cuál será la nueva altura de “C” para obtener en ese punto un vació

de 0.4 Kg/cm2?

Solución.

a) Calculo de la carga de presión en los puntos “B” y “C”

Se aplica Bernoulli entre “A” y “D” para hallar la velocidad de salida:

fDDD

AAA hZ

g

VPZ

g

VP

22

22

g

V

g

V DD

2

4

201500

22

32

2

g

VD

(1)

196


Aplicando Bernoulli entre “A” y “B” se tendrá que:

fBBB

AAA hZ

g

VPZ

g

VP

22

22

fBBB hZg

VP

21200

2

g

V

g

VP BBB

20

21200

22

Como la tubería tiene el mismo diámetro en toda su trayectoria, la velocidad es la misma; en

consecuencia se tendrá que:

3*22

212

2

BBB P

g

VP

mPB 6 relativos de agua

Aplicando Bernoulli entre “A” y “C” se tiene que:

fCCC

AAA hZ

g

VPZ

g

VP

22

22

g

V

g

VP CCC

2

30

2500

22

3*42

45

2

CCC P

g

VP

mPC 7 Relativos de agua

b) Nuevo diámetro de la tubería, aplicando Bernoulli entre “A” y “C”

se tendrá que:

fCCC

AAA hZ

g

VPZ

g

VP

22

22

g

V

g

V CC

2

30

29500

22

2

7

2

2

g

VC

(2)

Considerando que el caudal en el caso (1) es el mismo que el caso (2), por medio de la

ecuación de la continuidad, se puede formar la siguiente ecuación:

197


22 )()15.0( dVV CD

Elevando al cuadrado y dividiendo entre 2g, la igualdad quedara de la siguiente manera:

42

22

2)15.0(

2d

g

V

g

V CD

44 )(4

7)15.0(3 d

Desarrollando tendremos:

md 144.0

c) Calculo de la nueva altura de “C”.

Aplicando Bernoulli entre “A” y “C”:

fCCC

AAA hZ

g

VPZ

g

VP

22

22

g

V

g

VZ CCA 2

30

2400

22

g

VZ CA 2

44

2

Reemplazando (2) en esta última ecuación se tendrá que:

mZ A 10

2

744

“C” deberá estar 10m por debajo de “A”

5-IV) Para el sistema mostrado en la figura, calcule la presión que marca el manómetro M

Solución.

Se aplica Bernoulli entre M y la salida de la boquilla:

g

VP

g

V MMs

22

22

(a)

Bernoulli entre la salida y el punto 1 del piezómetro:

198


1

2

2

P

g

Vs (b)

Aplicando manométrica en el piezómetro se tiene que:

1P

13,6 x 1,5 – 1 x 3,6 =16,8 (c)

Reemplazando (c) en (b) se tiene que Vs=18,1 m/s. Considerando la continuidad del flujo se

tendrá que:

smVM /53,415

5,71,18

2

Reemplazando estos dos últimos valores en (a) se tendrá finalmente que:

En consecuencia se tendrá que: 2/58,1 cmkgPM

6-IV) Un depósito cerrado de grandes dimensiones esta parcialmente lleno de agua y el

espacio superior con aire a presión. Una manguera de conectada al deposito,

desagua sobre la azotea de un edificio por encima de la superficie libre de agua. Las

perdidas por fricción son . ¿Qué presión de aire debe mantenerse en el deposito para

desaguar un caudal de ?

Solución.

Ecuación de Bernoulli:

199


7-IV) Desde el deposito que se muestra en la figura se esta enviando agua hacia una cuota

mas baja desaguando en el aire. Para los datos que aparecen en la figura, determinar la

distancia vertical entre el punto en que descarga el agua y la superficie libre del agua en el

depósito.

Solución.

8-IV) Una tubería de 30cm de diámetro tiene un corto tramo en el que el diámetro se reduce

gradualmente hasta 15cm y de nuevo aumenta a 30cm. La sección de 15cm esta a 60cm por

debajo de la sección A, situada en la tubería de 30 cm, donde la presión es de 5.25 Kp/cm 2. Si

entre las dos secciones anteriores se conecta un manómetro diferencial de mercurio, ¿Cuál es

la lectura del manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120L/s? Supóngase

que no existen perdidas.

Solución.

200


Usando Bernoulli:

En el manómetro tendremos:

9-IV) En un canal abierto según muestra la figura, fluye agua a una profundidad de 2m a una

velocidad de 3m/s. Posteriormente fluye hacia abajo por una rápida que se contrae hasta otro

canal donde la profundidades es de 1m y la velocidad es de 10m/s. Suponiendo un flujo sin

fricción, determinar la diferencia en elevación de los fondos de los canales.

201


Solución. Se supone que las velocidades son uniformes a través de las secciones transversales

y que las presiones son hidrostáticas. Los puntos 1 y 2 se pueden seleccionar sobre la

superficie libre, tal como se muestra. Si la diferencia de elevación entre los fondos es “y”,

entonces tendremos Bernoulli:

2

222

1

211

22Z

g

VPZ

g

VP

Donde:

0,/10,/3,1,2 122121 PPsmVsmVZyZ

10)81.9(2

102

)81.9(2

30 2

22

Zy

my 64.3

FLUJO EN ORIFICIOS

10-IV) Para el tanque que se presenta en la figura, calcule la velocidad de flujo en la boquilla

y la rapidez de flujo de volumen para un intervalo de profundidades comprendido entre 3m y

0.5m. El diámetro del chorro en la boquilla es de 50mm.

Solución. Debemos primero determinar la velocidad a la profundidad que sea necesaria. De

modo que mh 3 , smghv /67.722 . La misma rapidez del flujo de volumen se calcula

multiplicando esta velocidad por el área del chorro

2310963.1 mxA j

(ANEXOS)

Entonces:

)67.7)(10963.1( 32

xvAQ j

smxQ /1051.1 32

202


11-IV) El orificio circular practicado en la pared vertical de un recipiente que contiene agua

tiene un diámetro de 0.10 m y desaloja un gasto de 29.5 L/s con una carga de 2 m. Con el

sistema de coordenadas indicado en figura, se ha medido en el laboratorio que x = 3y y = 1.15

m para el punto 1. Calcular los coeficientes de contracción, gasto y velocidad.

Solución.

En la sección contraída del chorro, el ángulo de inclinación es θ =0.

por lo que la ecuación del chorro, será:

La velocidad en la sección contraída, será:

de la ecuación:

De la ecuación:

203


12-IV) En la boquilla de borda de la figura que se muestra, hallar la relación que hay entre los coeficientes de contracción y de velocidad.

Solución. La fuerza que produce la salida del chorro por la boquilla se puede determinar aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento, de manera que:

Pero: , por lo que la ecuación anterior se convierte en:

(1)

La fuerza hidrostática ejercida en la boquilla será:

(2)

Ambas fuerzas (1) y (2) deberán ser iguales, en consecuencia se tiene:

De donde se halla finalmente:

13-IV) La válvula abierta, mostrada en la figura, tiene un diámetro D1 =1.50 m y descarga un

gasto de 31.5 m3/s cuando se elimina el cono después de la válvula. En estas condiciones el

gasto descargado sigue la ley de orificios:

donde A es el área de la válvula.

Si se coloca el cono de modo que la sección de salida tenga un diámetro D2 = 1.64 m, la

pérdida de energía que se produce en el mismo esta dada por la formula empírica:

y el ángulo total con que se realiza la expansión es de 5º C. Calcular el gasto descargado para

estas nuevas condiciones.

204


Solución.

Las áreas para los diferentes diámetros son:

Sin el cono la velocidad en la válvula será:

El coeficiente de gasto será:

Con la ecuación de la energía, incluyendo la pérdida de energía por la válvula:

Con la misma ecuación incluyendo el efecto del cono:

Por otro lado con ecuación de la continuidad:

reemplazar esta ecuación en la ecuación (1):

14-IV) En la figura se muestra dos vertederos con 1.3m de longitud de cresta y un coeficiente

de descarga de 0.65, conectados mediante un orificio sumergido de pared delgada de 50cm de

205


diámetro con un coeficiente de descarga de 0.6. Si el flujo es permanente y el caudal total que

sale por los vertederos es de 1.0m3/s. Determine el caudal que descarga cada vertedero.

Solución. Para este problema debemos tener en cuenta que el caudal que sale por el vertedero

lateral derecho que se le llamara B es igual al caudal que sale por el orificio sumergido y que

la suma de lo caudales de los vertederos es 1.5m3/s.

2/32/33/2 5.22)3.1)(65.0(3/223/2 hhghgbCQ d

En consecuencia el caudal en cada veredero será:2/3)(5.2 AA HQ y

2/3)(5.2 BB HQ

El caudal que pasa por el orificio sumergido será:

2/12/12

0 522.024

50.060.023/2 HHgHgACQ d

Se podrá formar las siguientes ecuaciones de manera que:2/32/3 )(88.2)(88.25.1 BA HH

2/32/3 )(34.1)(88.2 BA HH

Tenemos que:

HHH BA 12.0

Resolviendo:

206


243.0BH ; 447.0AH ; mH 304.0

Reemplazando en las ecuaciones de los caudales de los vertederos se tendrá finalmente que:

smQA /714.0)447.0(5.2 32/3

smQB /714.0)243.0(5.2 32/3

15-IV) Para el caso de la boquilla de 10 cm de diámetro indicada en la figura (a) ¿Cuál es el

caudal de agua a 24 ºC bajo una altura de carga de 9 m? (b) ¿Cuál es la altura de presión en la

sección B? (c) ¿Cuál es la máxima carga que puede emplearse si el tubo esta completamente

lleno? (utilizar cv = 0,82.)

Solución.

Para una boquilla normal, la corriente se contrae en B aproximadamente un 0,62 del área del

tubo. La perdida de carga entre A y B se ha valorado en 0,042 veces la altura de velocidad en

B.

(a) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y C, tomando C como

referencia,

0

20

21

82,0

19.0

22

2 g

V

g

Vdespr chch

y Vch = 10,88 m/seg. Luego ./0855,088,101,0

4

100,1 32 segmVAQ chch

(b) Ahora, la ecuación de Bernoulli entre A y B, tomando B como

referencia, nos da:

207


0

22042,09.0

22

g

V

w

p

g

Vdespr BBB

(A)

Por otra parte, Q = AB VB = Ac Vc o cc AVB = AVc o VB = Vch/cc = 10,88/0,62 = 17,6 m/seg.

Sustituyendo en la ecuación (A),

gw

pB2

6,17042,19

2

y m

w

PB 5,7 de agua.

(c) Como la carga que produce el flujo a través de la boquilla se

incrementa, la altura de presión en B ira decreciendo. Para un flujo

estacionario (y con el tubo completamente lleno), la altura de

presión en B no debe ser menor que la de la presión de vapor para

líquidos a la temperatura considerada. Para el agua a 24ºC este valor

es de 0,030 kg/cm2absolutos o 0,3 m absolutos aproximadamente al

nivel del mar (-10,0 m).

De (A) se tiene g

V

g

V

w

ph BBB

2042,10,10

2042,1

22

(B)

Por otra parte, ghAcAVcAV vCB 2

De donde gh

c

cV

c

vB 2

o hhh

c

c

g

V

c

vB 75,162,0

82,0

2

222

Sustituyendo en (B), h= -10,0 + 1,042(1,75h) y h = 12,15 m de agua (24ºC)

Toda carga superior a 12 m hará que la corriente salga sin tocar las paredes del tubo. El tubo

funciona entonces como un orificio.

En condiciones de presión de vapor resultarían fenómenos de capitación

16-IV)

a) Un chorro de agua es descargado desde un chiflón con un diámetro

efectivo d’=0.075 m y una velocidad V=23m/s. Calcular la potencia

del chorro.

208


b) Si el chiflón es alimentado por una tubería desde un

almacenamiento cuyo nivel se encuentra 30 m arriba del chiflón.

Calcular la perdida de energía en la conducción y la eficiencia de la

misma.

Solución.

a)

El gasto descargado será:

La energía en la base del chiflón es igual a la carga de velocidad en la boquilla:

La potencia del chorro, será

b)

La potencia teórica:

La eficiencia del sistema será:

209


ECUACION DE LA ENERGIA

17-IV) ¿Cuál será la fuerza requerida por el agua obre los remaches del cambio de sección

mostrado en la figura? Todo esta situado en un plano horizontal y las distribuciones de

velocidades son uniformes justo antes y después de la transición (α =1 y β =1)

Solución.

Las presiones actuantes son:

Para hallas F2 se debe primero la presión en la sección 2. Con ecuación de la energía:

Por continuidad:

210


Por lo tanto:

entonces F2 será:

Las fuerzas de presión son en dirección x y el peso no tiene componente horizontal, por lo

tanto, aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento tendremos:

Esto implica que la fuerza ejercida sobre los remaches, según x, será igual y en sentido

contrario, es decir, de izquierda a derecha.

No existe cantidad de movimiento debido a que las velocidades son horizontales y el peso se

considera despreciable.

18-IV) Una tubería de 1 m de diámetro descarga agua a la atmósfera a través de dos tuberías,

como se muestra en la figura, ¿Cuál será la fuerza total ejercida sobre los remaches de la pieza

final? Considere el peso del agua igual a 1300 Kg, en el eje y en el sentido vertical, y α y β

iguales a la unidad.

211


Solución.

Debemos calcular la presión y velocidad en la sección 1. La presión se obtiene de la lectura del

manómetro de mercurio:

En las secciones 2 y 3 la descarga es en la atmósfera, por esto la fuerza de la presión será nula.

La velocidad en la sección 1 será:

Tomando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 3

212


Aplicando la ecuación de continuidad tendremos:

Con las ecuaciones (1), (2) y (3) formamos un sistema de ecuaciones, que podemos resolver

por el método que se prefiera, desarrollando:

; ;

las velocidades correspondiente serán:

; ;

Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento tendremos:

en el eje x:

En el eje y:

Los resultados indican que los remaches resistirán una fuerza axial de tensión de 4.08 KN y

una fuerza de corte hacia arriba de 2.05KN.

19-IV) Dos manómetros colocados en una tubería de 10 cm de diámetro y separados entre si a

250 m, indican las medidas mostradas en la figura. El liquido tiene una densidad relativa de

213


0.95 y una viscosidad de 2x10-3 Kg s/m2. Calcular el gasto en la tubería, la velocidad máxima,

el esfuerzo cortante en el borde y la fuerza cortante ejercida sobre las paredes del tubo.

Solución.

El gradiente de presiones será:

Usando Hagen-Poiseville:

smV /119.0

La velocidad máxima:

donde: Vmax ocurre en el centro de la tubería.

214


El esfuerzo cortante en el borde será:

La fuerza cortante será:

DINAMICA DE FLUIDOS REALES

21-IV) Entre dos placas paralelas separadas 10 cm, fluye un gasto de 10 lps/m, la placa

superior se mueve a 0.20 m/s en sentido contrario al flujo y la inferior en el mismo sentido a

0.10 m/s. Calcule el esfuerzo cortante máximo y la velocidad máxima. El fluido es el aceite con

Dr =0.93 y viscosidad 10-2 Kg s/m2.

Solución.

Como las velocidades de las placas son diferentes, no se producira la simetría del flujo.

Aplicando la expresión original del esfuerzo cortante:

reemplazando en la ecuación:

Integrando:

215


Determinamos los valores de C y C1, con la condiciones de contorno:

para n= 0

para n= 0

por lo tanto:

La expresión de velocidad será:

Por otro lado:

b =1 m

La ecuación de la distribución de velocidades, para este caso será:

216


La velocidad máxima se dará para

En este punto la velocidad es máxima:

El valor máximo de τ ocurre para n = 0.20 m:

El signo negativo indica el sentido, este es contrario al flujo.

22-IV) Determine si el flujo es laminar o turbulento cuando agua a 700C fluye en un tubo de

cobre de 1 pulg. tipo K, con una rapidez de flujo de 285 L/min.

Solución. Evalúe el número de Reynolds, utilizando la siguiente ecuación:

Para un tubo de cobre de 1 pulg. tipo K, D = 0,02527m y A = 5,017 x 10-4 m2, Entonces

tenemos:

Debido a que el número de Reynolds es mayor que 4000, el flujo es turbulento.

217


22-IV) Determine el radio hidráulico de la sección que se muestra en la figura, si la dimensión

interna de cada lado del cuadrado es de 250 mm y el diámetro exterior del tubo es de 150 mm.

Solución.

El área de flujo neta es la diferencia entre el área del cuadrado y el área del círculo:

22

22

2 448294

150250

4mm

dSA

El perímetro mojado es la suma de los cuatro lados del cuadrado más la circunferencia del

círculo:

mmdSPM 147115025044

Entonces el radio hidráulico, R es

mmmmm

mm

PM

AR 0305,05,30

1471

44829 2

23-IV) Calcule el número de Reynolds para el flujo de etilenglicol a 25ºC por la sección que

se muestra en la figura anterior. La rapidez de flujo de volumen es de 0,16 m 3/s. Utilice las

dimensiones dadas en el ejercicio anterior.

Solución.

Se puede utilizar el resultado para el radio hidráulico para la sección del ejerció anterior.

Ahora el número de Reynolds se puede calcular con la ecuación:

RN R

4

Podemos utilizar sPa 21062,1 y 31100

mkg

.El área debe convertirse a m2

218


226

22 0448,0

10

144829 m

mm

mmmA

La velocidad promedio del flujo es:

sm

ms

m

A

Q57,3

0448,0

16,02

3

Podemos calcular ahora el número de Reynolds:

21062,1

11000305,0457,34

RN R

41096,2 RN

24-IV) Determine el caudal que pasa por la tubería cuya distribución de velocidades que se

muestra y que sigue la siguiente ley: v=V(y/r)1/7, donde V es 3m/s y R es 0,15 m.

Solución. En la figura se tiene que: r=R-y, de donde se puede hallar que: dydr

El caudal se puede hallar aplicando ecuaciones diferenciales, de manera que:

dyyRr

yVdrrvvdAdQ

2)2(

7/1

0

15,0

0

15,0

7/157/8

7/17/1

7/1 15

7

872)(2

yRy

R

VdyyRy

R

VQ

Reemplazando valores se tendrá que: Q = 0,172m3/s

219

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