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Guía didáctica basada en la ponencia del
Dr. Eduardo Sáenz de Cabezón
“Ciencias y Tecnología en 3D: Datos, Didáctica y Diseño”
Ponga un matemático en su vida interior
18º Foro Internacional de Enseñanza de Ciencias y Tecnologías
- 2018 -
La filmación de la conferencia es parte de un proyecto colaborativo con:
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Índice
1. “Entre Comillas: Autores que nos Interpelan”.
Conociendo al Dr. Eduardo Sáenz de Cabezón.
2. Ponga un matemático en su vida interior.
2.1. Una selección de ideas, conceptos y propuestas.
2.1.1. Estadísticas y probabilidades para tener una vida plena y feliz.
2.1.2. Las matemáticas para entender al mundo, el mundo para entender a
las matemáticas.
2.1.3. La construcción de situaciones de aprendizaje.
2.2. Bibliografía.
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1. “Entre Comillas: Autores que nos Interpelan”.
Conociendo al Dr Eduardo Sáenz de Cabezón Irigaray.
Es doctor en Matemáticas de la Universidad de la Rioja,
España. Reparte su actividad entre la docencia,
investigación y divulgación. Desde el año 2001 se
desempeña como profesor en el Departamento de
Matemáticas y Computación de la Universidad de La
Rioja. Desarrolla su investigación en el área del álgebra
computacional, a la que ha contribuido con numerosos
artículos de investigación y colaboraciones con
matemáticos españoles y europeos. Realiza una intensa
labor de divulgación de las matemáticas mediante conferencias,
espectáculos, charlas y talleres que han disfrutado miles de personas de todas las
edades y por todo el mundo. Ganador del concurso de monólogos científicos
FameLab en 2013, y miembro fundador del grupo Big Van Científicos Sobre
Ruedas, presenta en YouTube el canal «Derivando», dedicado a las matemáticas y
su disfrute. Colabora en diversos medios de comunicación.
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2. Ponga un matemático en su vida interior. Dr. Eduardo Sáenz de Cabezón
2.1. Una selección de ideas, conceptos y propuestas de la disertación.
Hay cantidad de libros, videos, audios, expertos, gurúes de autoayuda, de la
meditación y de la salud, orientales y occidentales, que afirman que para tener
una vida plena y feliz hay que hacer tal o cual cosa, dependiendo de la corriente
filosófica, teórica o ancestral a la que pertenecen.
El Dr. Sáenz de Cabezón, en un pequeño recorrido por algunos casos de la vida
cotidiana y de teorías matemáticas, nos muestra a “los simples mortales” (como
él denomina a quienes no son dedicados conocedores de las matemáticas) que es
importante entender matemáticas para manejarse mejor en el mundo que nos
rodea y tener una vida un poco más plena y feliz.
Arranca con su hipótesis de “punta de ovillo” diciéndonos que es tan importante
saber matemática como hacer deportes, tener paz interior y saber apreciar el
arte. Con su verborragia picaresca y un lenguaje fresco y desafiante, con los que
acostumbra a interpelar al público en sus disertaciones, desenreda algunos nudos
de ese enmarañado ovillo y embarca a la audiencia en la aventura apasionante de
comprender y hacer matemática en el contexto del quehacer cotidiano.
2.1.1. Cálculo de probabilidades y estadística para tener una vida plena y feliz
Los cálculos de probabilidades invaden constantemente nuestro mundo. A
menudo debemos hacer elecciones donde las chances de acertar están sujetas al
cálculo de probabilidades: elegir la fila del supermercado en la que debemos
colocarnos para salir más rápido del supermercado, elegir la opción correcta en
un juego o la estrategia para apostar en la ruleta.
Las matemáticas, en este sentido, nos muestran que lo que parece que es
increíble o casual, no lo es. El rigor de las matemáticas, gracias a los cálculos,
puede darnos datos que nos permitirán entender cómo tomar la decisión correcta
o la que tiene más posibilidades de serlo.
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Algunos casos de estudio de probabilidad para la toma de decisiones
Comencemos con algunas cuestiones que parecen causalidad y no lo son tanto.
En su disertación el Dr. Sáenz de Cabezón afirma con vehemencia que en el
auditorio con aproximadamente 100 personas presentes él asegura que hay dos
que cumplen años el mismo día. Un cálculo rápido e intuitivo de probabilidad nos
llevaría a hacer el siguiente razonamiento:
Vamos a suponer números redondeados y múltiplos para facilitar los cálculos:
días posibles en el año 360 y cantidad de personas en el auditorio 120.
Intuitivamente se puede suponer que las probabilidades de que en ese auditorio
dos de las personas hayan nacido el mismo día es de un tercio, 33,33%. Haciendo
cálculos rápidos e intuitivos (reitero) 120/360 = 1/3.
En este caso la intuición nos juega una mala pasada y a pesar de creer que
hicimos cálculos acertados, no lo son.
Este problema se denomina “Problema del cumpleaños” o “Paradoja del
cumpleaños”, el que dice algo así como “Si hay 23 personas reunidas, hay una
probabilidad del 50,7% de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día.
Para 60 o más personas la probabilidad es mayor del 99%.”
Los cálculos ya fueron hechos por matemáticos y no los realizaremos aquí para no
tornar áspera la lectura de este material, pero es muy fácil encontrarlos con una
simple búsqueda en la Web. Lo que se muestra a continuación es una gráfica que
describe la evolución de la probabilidad a medida que aumenta la cantidad en
personas en el auditorio.
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1
Cuando la curva pasa las 60 personas se va “amesetando”, aproximándose cada
vez más al 100%, pero solo se logrará ese valor con 366 personas, ya que en ese
caso sabremos con certeza que por lo menos dos personas cumplen años el
mismo día. De todos modos, obsérvese que en un auditorio con más de 100
personas las probabilidades de encontrar dos que cumplan años el mismo día es
“casi” del 100%. El Dr. Sáenz de Cabezón dice en su disertación que será del
99,9999% y que solo podrá equivocarse en uno de cada diez mil auditorios.
Respecto del conocido “Problema de Monty Hall”, en el que este conocido
conductor de televisión propone al participante un juego en el que debe elegir
una de tres puertas, una de ellas tiene un auto de premio y las otras dos una
cabra. Cuando el participante elige su puerta, el conductor abre otra donde no
está el auto y le da la oportunidad al participante de conservar su elección o
cambiarla. ¡Aquí está el dilema! Quedarse con la puerta elegida al principio o
cambiar de puerta.
Aparentemente es lo mismo, no hay diferencia en las probabilidades de las dos
puertas restantes, porque el auto está en una y la cabra en la otra, por lo que
ambas tienen un 50% de probabilidades de ser la ganadora. Pero no es así,
veamos que pasa en cada caso con el siguiente cuadro: 1 Gráfico adaptado de Rajkiran g - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, disponible en:https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10784025
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Caso 1 El auto está en la
puerta 1
Caso 2 El auto está en la
puerta 2
Caso 3 El auto está en la
puerta 3
Supongamos que el participante elige la Puerta 1, es lo mismo con cualquiera de
ellas.
✓ Caso 1: Monty Hall abriría la puerta 2 o 3. Si el participante cambia de
puerta pierde, si se queda con su puerta gana.
✓ Caso 2: Monty Hall abriría la puerta 3. Si el participante cambia de puerta
gana, si se queda con su puerta pierde.
✓ Caso 3: Monty Hall abriría la puerta 2. Si el participante cambia de puerta
gana, si se queda con su puerta pierde.
Si estos resultados los volcamos a una tabla veremos las probabilidades más
fácilmente:
1 2 3
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Cambia de puerta Se queda con su puerta
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Conclusión 2/3 de probabilida de
ganar 1/3 de probabilidad de
ganar
Una vez más las matemáticas y el cálculo de probabilidades nos muestran que hay
forma de tomar una decisión más acertada. Para el caso del “Problema de Monty
Hall” existe un 66,67% de probabilidades de ganar si el participante cambia de
puerta y tan solo un 33,33% si decide quedarse con la puerta que eligió
originalmente.
Otro caso de estudio de probabilidades para la toma de decisiones
La martingala es una técnica para jugar en la ruleta2, muchos apostadores afirman
que es efectiva y por eso sigue siendo popular entre los asiduos visitantes de los
casinos. Consiste en apostar siempre a una de las alternativas que tienen el 50%
de probabilidad, estas son rojo/negro, par/impar o pasa/falta, y se sigue una
lógica de secuencias de fichas en las apuestas:
Apuesta una ficha.
a. Si gana se retira la ganancia y se sigue con la misma apuesta de una
ficha.
b. Si pierde se apuesta el doble que la vez anterior, es decir dos fichas, y
así sucesivamente duplicando hasta ganar.
c. Cuando gana se retiran las fichas y se comienza nuevamente la
secuencia con la apuesta de una ficha.
2Si no conoce este popular juego de los casinos, puede ver las reglas aquí: http://www.casino.es/ruleta/como-jugar-ruleta/
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Es importante conocer dos factores que son condicionantes de la técnica:
a) Las mesas de ruleta por lo general tienen un límite máximo de apuesta, por lo
que a veces no es posible seguir duplicando indefinidamente.
b) El dinero disponible de los apostadores también es limitado, por lo que no se
puede duplicar indefinidamente. Si en una mala racha se pierde sucesivamente
hasta llegar al límite en el que el dinero disponible no es suficiente para duplicar
la apuesta, se debe comenzar nuevamente con una ficha.
1 Ficha
Gana Pierde
2 Fichas
Gana Pierde
4 Fichas
Gana Pierde
8 Fichas
Le proponemos pensar matemáticamente en la técnica de apuestas denominada “Martingala”.
Detrás de esta lógica para jugar a la ruleta hay un cálculo de probabilidades. Pero… ¿esta
técnica, tan popular entre los apostadores, será efectiva para ganar dinero en los casinos?
1) Trate de comprender la matemática intrínseca en la estrategia de la martingala y el cálculo
de probabilidad que encierra la lógica de ese estilo de apuestas.
2) Vea el siguiente video https://www.youtube.com/watch?v=w6qTlXlMxFU, allí se muestra
la técnica y se afirma que no es efectiva. Luego utilice el simulador de martingala
http://www.matematicracks.com/simulacion-de-la-martingala/ y coloque diversidad de
posibilidades en la cantidad de “dinero disponible” para entender cómo funciona, ver los
resultados y sacar conclusiones. Contraste estos datos con los condicionantes de la
técnica.
3) Tras realizar las actividades de los puntos 1) y 2)¿podría fundamentar la afirmación “la
martingala no es efectiva para ganar gran cantidad de dinero en el casino”?
Para seguir pensando...
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Cómo ganar en la
ruleta / La Martingala
https://www.youtube.com/watch?v=w6qTlXlMxFU
Simulador de martingala
http://www.matematicracks.com/simulacion-de-la-martingala/
Si este material se encuentra en versión impresa, usted puede
visualizar los materiales digitales (videos o sitios web) en su
smartphone capturando el código QR de cada uno de ellos.
Descargue una aplicación para leer códigos QR y fácilmente
podrá tener acceso al material digital de esta guía.
Puede probar con estos, son los links para
realizar las actividades del cuadro “Para
seguir pensando…” que acaba de leer.
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Las estadísticas también son una importante ayuda para tomar decisiones en
juegos y muchos casos de la vida cotidiana.
Veamos este video…
Inteligencia Colectiva – Multitudes – Proyecto G
https://www.youtube.com/watch?v=tWCnRqIZnuo
¡Sorprendente verdad! En este video el Dr. Diego Golombek, en su programa
“Proyecto G”, demuestra que, si nos encontramos frente al problema de estimar
el número de una gran cantidad de cosas que hay en un recipiente (porotos en un
frasco, pelotitas en un pelotero o botones en un cajón), el error se reduce si
hacemos un promedio de las estimaciones individuales de varios estimadores,
cuantos más sean menor será el error.
Dicho de otro modo: tenemos más chances de estar cerca del número exacto si
solicitamos muchas estimaciones (n) y sacamos la “media” de las mismas. A pesar
de que varias estimaciones individuales pueden ser muy erróneas y estar lejos del
número exacto, el conjunto de todas ellas da un promedio cercano al resultado
correcto.
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2.1.2. Las matemáticas para entender al mundo, el mundo para entender a
las matemáticas.
El vínculo entre las matemáticas y el mundo real es sin duda una deuda pendiente
en muchas aulas de las escuelas de nuestro país.
La Matemática, como ciencia formal, tiene como objetos de estudio elementos
inexistentes, que solo tienen entidad en la razón humana, los “números”,
“símbolos” y “figuras”. A partir de axiomas y siguiendo razonamientos lógicos, las
matemáticas analizan estructuras, magnitudes y vínculos de estos entes
abstractos. Esto permite, una vez detectados ciertos patrones, formular
conjeturas y establecer definiciones a las que se llegan por deducción. Pero esto
no significa que esté desvinculada del mundo real o de los sucesos de la vida
a A partir de los casos de probabilidad y estadística vistos en el video de la disertación del Dr.
Sáenz de Cabezón, los de esta guía o de otros que conozcas, te invitamos a reflexionar y
diseñar…
1) Una serie de actividades en las que se desarrolle el concepto de “probabilidad”. La idea
es comenzar con la práctica, con el caso seleccionado, para luego llegar al concepto, no
a la inversa.
2) Una serie de actividades para una clase de Estadística, en la que se siga el siguiente
orden en el uso de recursos didácticos:
a. Un recipiente lleno de objetos para desarrollar el concepto de “media aritmética”.
b. Video “Inteligencia colectiva – Multitudes – Proyecto G” para formalizar el concepto y
mostrar su potencia.
c. Tabla de datos para ampliar a los conceptos de “moda” y “mediana” a partir de la
práctica del punto a.
d. Cierre con juego de cartas utilizando conceptos de probabilidad y estadística.
Si has realizado estas actividades ya tienes casi desarrollada una secuencia didáctica con la
cual puedes abordar los temas introductorios de probabilidad y estadística con tus
estudiantes. ¡Felicitaciones!
Para seguir pensando...
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cotidiana; por el contrario, las matemáticas buscan explicar nuestro mundo
representándolo con esos números, símbolos y figuras.
En el siguiente video el matemático y divulgador científico Marcus Du Sautoy
cuenta cómo las matemáticas pueden servir para predecir el futuro.
¿Cómo las matemáticas predicen el futuro? Marcus Du
Sautoy, matemático y divulgador científico.
https://www.youtube.com/watch?time_continue=14&v=
dQA5e7FMp2o
Allí, Marcus Du Sautoy habla de la Sucesión de Fibonacci y cómo esa sucesión de
números fue descubierta mucho tiempo antes por músicos indios, que querían
saber cuántos ritmos se podían formar con golpes largos y cortos. Entonces, se
puede predecir la cantidad de ritmos posibles para un tiempo determinado.
Para ampliar se sugiere ver el Video de la conferencia del Dr. Alberto Rojo “La ciencia como cuento”
de las Jornadas Internacionales para Docentes, Lectura y Educación en la Feria del Libro 2014, CABA,
Argentina (https://www.fundacionluminis.org.ar/video/alberto-rojo-la-ciencia-como-cuento)
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También hay una relación entre las notas que suenan armónicas entre sí y esa
relación es matemática, de números enteros entre las frecuencias que
corresponden a cada nota.
Google realiza sus búsquedas a partir de algoritmos matemáticos, los sitios web
más visitados son los que se ubican primeros en la lista del buscador, por lo que
se los considera más importantes. Si ese mismo algoritmo se utilizara para
analizar los pases entre los jugadores de un equipo de fútbol durante un partido,
podríamos estimar cuál es el jugador más importante de ese equipo, análisis que
serviría a los equipos rivales para neutralizar a esos jugadores. Vemos
nuevamente a través de este ejemplo cómo las matemáticas son una herramienta
de análisis de una situación cotidiana, del mundo real, que permite predecir
acciones.
Las matemáticas son un lenguaje, un modo de hablar del mundo real y de las
cosas que ocurren todos los días, las matemáticas cuentan historias con su
lenguaje.
Pero veamos que las matemáticas escolares tienden a centrarse en la gramática,
en la construcción de ese lenguaje, y no cuentan las historias que las matemáticas
nos podrían contar.
Sin embargo, es posible pensar en un ida y vuelta: Eduardo Sáenz de Cabezón nos
plantea entender matemáticas para entender el mundo, Marcus Du Sautoy
plantea entender el mundo para entender matemáticas. Ambos nos dan pautas
claras de que las matemáticas están en el mundo que nos rodea y que son un
Matemática Mundo
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modo de leer la realidad y de hablar de ella. Pero también la realidad nos permite
entender a las matemáticas.
La didáctica de la Matemática se nutre de este diálogo entre el mundo y las
matemáticas. Los profesores de Matemática, en las escuelas, deben proponer
situaciones de aprendizaje vinculadas a la vida real, del mundo que nos rodea,
para comprender las matemáticas, pero también brindar conceptos matemáticos
para comprender al mundo que nos rodea.
Es difícil encontrar un límite claro, en este aspecto la dicotomía del diálogo se
vuelve cada vez más transparente y es bueno que ocurra, porque matemática y
mundo en definitiva son lo mismo y la diferencia la hacemos nosotros, en un
esfuerzo epistémico y cognitivo para tratar de comprenderlos.
Es fundamental proponer problemas contextualizados y que expliquen
situaciones reales como modelo de enseñanza de las matemáticas. Cuando el
saber aprendido en las aulas está lejos de la aplicación matemática en el mundo
real, es posible que estudiantes exitosos en la educación formal no sean capaces
de llevar sus conocimientos escolares a la vida cotidiana y fracasen en la
resolución de los problemas que se dan en ese contexto.
Jean Lave (1991) investigó la práctica de la matemática en un grupo de personas
adultas en el supermercado y para ello diseñó un experimento de simulación para
explorar los procedimientos de resolución de “problemas de ofertas” y
“problemas escolares”, con el fin de determinar en qué circunstancias los adultos
utilizaban procedimientos matemáticos aprendidos en la escuela.
Lave determinó que se daban diferencias en los procedimientos aritméticos
aplicados en situaciones escolares y en otras situaciones fuera de las aulas. La
diferencia en los resultados de ambas situaciones no fue interpretada como
índice de una mejor o peor competencia aritmética, ni de la capacidad de
transferir los saberes aritméticos de un entorno a otro, sino de las diferencias
sustanciales en las variables de cada entorno.
Otra observación de Lave fue que cuando los compradores se enfrentaban al
problema de cuál de dos o tres productos constituía la mejor oferta, para decidir
usaban, en algunos casos, las etiquetas con los precios sin considerar la cantidad
del contenido. En otros casos, calculaban el cociente entre precio y cantidad,
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siempre y cuando los cálculos fueran sencillos por tratarse de números que eran
múltiplos o divisibles por la misma unidad; si los cálculos no eran sencillos,
abandonaban el cálculo y decidían según sus preferencias. Lave comprobó que las
personas no eran conscientes de su eficacia o no en la matemática cuando la
utilizaban en entornos no escolares.
Dependiendo del entorno, las personas generan dilemas y formas de resolución
diferentes. Con frecuencia, un proceso de resolución se da en el entorno de la
actuación del problema y puede transformarlo. Un argumento más para
presuponer que la forma de aprender matemática es con problemas
contextualizados en entornos reales.
Siguiendo con la lógica de las investigaciones de Jean Lave, pensemos por un
momento en el posible análisis de un producto de supermercado antes de
comprarlo. Hay varios productos que tienen muchas variables a tener en cuenta,
costo y contenido en general, pero ninguno tiene tantas como el papel higiénico.
¡Sí, el papel higiénico! En los paquetes de papel higiénico, entre otras cosas,
puede variar:
- la cantidad de rollos
- el largo del papel en cada rollo
- si es hoja doble o simple
- si está troquelado o no
- si es hoja texturada o lisa
- la calidad del papel (suavidad)
- la marca y las variantes dentro de la misma marca
- el precio
- si hay alguna oferta del momento
Colocar a los estudiantes frente al problema “rankear” las
opciones o lograr el mejor balance entre las variables, para
hacer la mejor elección en la compra, sería una situación de
aprendizaje de matemática muy interesante y didácticamente
potente. Requiere abordar el problema desde diferentes
aristas, con diversidad de variables, con toma de decisiones
conscientes frente a elegir prioridades de unas variables por sobre otras. Un
problema de este estilo puede ofrecer la posibilidad de aplicar herramientas y
“La resolución de problemas debería darse al mismo tiempo que el aprendizaje de las operaciones en vez de después, como aplicaciones de éstas...” (Ruiz y otros, 2003)
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recursos matemáticos para la definición y resolución del problema. Se trata de
una situación de aprendizaje del mundo real, de la vida cotidiana, donde se
aprende matemática mirando ese mundo que nos rodea y aprendemos
matemática para entenderlo y actuar en él.
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Te proponemos que analices las variables de paquetes de papel higiénico de un
supermercado, si es posible uno que tenga mucha variedad (un hipermercado quizás).
1) Hacer una lista de variables, las mencionadas y pensar si hay algunas más,
diferenciarlas entre variables cuantitativas (datos numéricos) y variables cualitativas
(datos con palabras).
2) Armar un cuadro de doble entrada, en las filas colocar las marcas y sus variantes y en
las columnas las variables (cantidad de rollos, largo por rollo, etc.). Colocar en el cruce
de fila-columna las características de cada marca y variante en función de cada variable.
Cantidad de rollos
Largo de cada rollo
Hoja simple o doble
Etc.
Marca x Variante 1
6 60 m Simple
Marca x Variante 2
4 30 m Simple
Marca y 4 40 m Doble
Marca k Variante 1
6 64 m Simple
Etc.
3) Con toda esta información, agregar una columna más valorando de manera numérica
cada marca en función de las opciones a la hora de comparar. Hacer un ranking,
aclarando en el caso de ser necesario las opciones de prioridades de variables, ya que en
ocasiones es posible priorizar por ejemplo la suavidad del papel por sobre el largo o la
hoja doble por encima del troquelado.
4) Pensar en herramientas matemáticas que pueden colaborar en la expresión del
problema, en su análisis, en el cálculo u otras. Por ejemplo, se podría armar una matriz
numérica transformando los datos de las variables cualitativas en números, también se
podrían hacer cálculos para mejorar la elección de la mejor opción, incluso se podría
armar una expresión algebraica o una función que nos permita generar un índice que dé
cuenta del equilibrio entre variables. ¿Te animás a hacerlo?
Para seguir pensando...
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2.1.3. La construcción de situaciones de aprendizaje
No es extraño escuchar en las clases de Matemática, el reclamo de los estudiantes
de no comprender para qué les sirve lo que aprenden: el famoso”¡¿Y esto para
qué me sirve profe?!”
Terán y Pachano (2005) lo explican mostrando que el común de las clases de
Matemática se inicia definiendo contenidos carentes de significado para los
estudiantes alejados de sus vivencias, lo cual impide que entiendan la importancia
de la matemática para comprender el mundo que los rodea.
Los docentes de Matemática deberían elaborar situaciones para el aprendizaje
que conecten a los estudiantes con el mundo real, con su vida cotidiana. No se
trata de pensar recetas, sino de determinar líneas de reflexión que sirvan de guía
para lograrlos aprendizajes planteando situaciones que vinculen los contenidos
con el mundo que nos rodea en pos de la contextualización de los aprendizajes.
Los conceptos [matemáticos] deben tener sentido, y para ello es necesario plantear
problemas que tengan que ver con necesidades que se vean cubiertas mediante las
técnicas o el pensamiento matemático, si no, muchas veces ocurre que estamos dando
respuestas a preguntas que nadie se hace. Creo que está bien dar la oportunidad de
plantear preguntas, para ello podemos empezar planteándolas nosotros como docentes, y
de esa manera traer a las matemáticas para ayudar en la resolución de esas preguntas. Así
estamos aprendiendo, no solamente de la técnica, el contenido y la respuesta, sino
también del mecanismo de la pregunta que hace surgir esas matemáticas.
(Fundación Lúminis, 2018 - Boletín de Novedades Educativas N°94: Entrevista a Eduardo
Sáenz de Cabezón. Las matemáticas: su enseñanza, el mundo digital y la formación
ciudadana.
https://www.fundacionluminis.org.ar/biblioteca/boletin-de-
novedades-educativas-n94-entrevista-a-eduardo-saenz-de-
cabezon-las-matematicas-su-ensenanza-el-mundo-digital-y-
la-formacion-ciudadana
Se recomienda la lectura
completa de la entrevista.
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Construir situaciones de aprendizaje puede ser una tarea ardua, pero siguiendo
ciertos criterios es posible simplificar la planificación de las mismas. Veamos la
siguiente tabla que ordena de algún modo las partes fundantes de una situación
de aprendizaje:
Acción Descripción
Opciones en relación al campo del conocimiento
Al fijar un objetivo de aprendizaje es importante establecer los límites del mismo, analizar los programas de estudio y con éste: - Aspectos particulares del concepto que se abordará. - Lazos que tiene con otras nociones relacionadas. - Necesidad de progresión al ser tratado. - Particularidades de la evaluación.
Etapas de aprendizaje
Se deben prever etapas en el aprendizaje del contenido en función de la construcción de la situación de aprendizaje: - Aproximación a la situación de aprendizaje:
puntualizar conocimientos disponibles, actualizar concepciones iniciales, identificar dificultades vinculadas a la comprensión.
- Aprendizaje propiamente dicho: los nuevos conocimientos son construidos y reconocidos como medios eficaces de resolución de problemas, donde los conocimientos antiguos no lo permitían.
- Institucionalización: las nuevas adquisiciones son formuladas, nombradas, reconocidas y percibidas como eficaces.
- Familiarización: apropiación de la nueva herramienta y aplicación a otras situaciones.
- Reinversión: se extiende el sentido y validez de los conocimientos adquiridos.
Dominio de herramientas técnicas previas al saber
Los nuevos conocimientos se apoyan sobre los anteriores. Por lo tanto, es necesario identificar el grado de dominio de esos saberes previos y la necesidad de los mismos para abordar la nueva situación. Eventualmente proponer situaciones específicas para reactivarlos.
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Analizar producciones de los estudiantes
Analizar y listar errores posibles que pueden cometer los estudiantes al abordar la situación de aprendizaje. Conocer los obstáculos que los estudiantes deberán afrontar y resolver.
Identificar variables didácticas
Es importante identificar aquellos aspectos de la situación de aprendizaje que al ser modificada implica un cambio en el sistema de reglas y representaciones con las que el estudiante trabaja y le hacen cambiar los procedimientos de resolución. Algunas de las variables didácticas pueden ser: - Rango numérico - Representación gráfica o algebraica - Tipo de registro escrito, formal o coloquial - Instrumentos de medición proporcionados
Puesta en práctica Aspectos relevantes que hacen a la misma puesta en marcha de la situación de aprendizaje, muchas de ellos se plantean como variables didácticas: la organización de los estudiantes, de manera individual o en grupos, forma de agrupar, condiciones del espacio en el aula, la disponibilidad de los materiales necesarios, disponibilidad del tiempo y la fragmentación del mismo, etc.
Adaptación de Chemello, G. y Díaz, A. (1997):
Matemática, modelos didácticos, Programa Prociencia,
CONICET y Ministerio de Educación de la Nación.
El modo de abordar la enseñanza de la matemática de una manera eficiente y
capaz de lograr la contextualización de los aprendizajes mediante una secuencia
de actividades que promuevan el aprendizaje de contenidos matemáticos
vinculados con la realidad es la “resolución de problemas”.
Partamos de una definición de problema:
“…situación que un individuo o grupo quiere resolver y para lo cual no requiere de
un camino rápido y directo que lo lleve a la solución” (Lester, 1983)
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En general diremos que las características de un problema de acuerdo a Santos
(2010) son:
- La existencia de un interés.
- La no existencia de una solución inmediata.
- La presencia de diversos caminos o métodos de solución.
- La atención por parte de una o más personas para llevar acabo un conjunto
de acciones tendientes a resolver esta tarea.
Crear situación de aprendizaje es generar la atmósfera didáctica adecuada para
que los estudiantes se adentren en un desafío de aprendizaje, pero para que esa
situación de aprendizaje se convierta en un buen problema, además de tener en
cuenta las partes fundantes descriptas en la tabla, es importante generar el
interés en los estudiantes por resolverlo y la atención para que persigan una serie
de acciones tendientes a la solución. Luego, es necesario tener una pregunta lo
suficientemente amplia que no tenga soluciones inmediatas ni un único camino
para llegar a la respuesta. Pero, además podríamos considerar también la
posibilidad de que tuviera diversas soluciones posibles, todas correctas, porque el
verdadero aprendizaje se da en el transitar del camino hacia la solución y no en
ésta específicamente.
Poyla (1989) plantea que para embarcarnos en la resolución de un problema es
necesario establecer cuatro etapas de actividades concatenadas que ofreceremos
a los estudiantes
Entonces…
¿Se trata de un “problema” el planteo del análisis de las variables de los paquetes
de papel higiénico a la hora de decidir la mejor opción para comprar?
Para seguir pensando...
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Las cuatro etapas del método Polya para resolver problemas matemáticos se
podría resumir del siguiente modo, haciéndonos estas preguntas:
Paso 1: Entender el problema
¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?
¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita?
¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?
Paso 2: Configurar un plan
¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema
planteado en forma ligeramente diferente?
¿Conoces algún problema relacionado con este? ¿Conoces algún teorema que te
pueda ser útil? Mira atentamente la incógnita y trata de recordar un problema
que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.
¿Las herramientas matemáticas que conoces son suficientes para resolver el
problema, cuál de ellas?
Si tienes un problema relacionado al tuyo y que ya has resuelto. ¿Puedes
utilizarlo? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace
falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?
¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma
diferente nuevamente? Recurre a las definiciones.
Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero algún
problema similar. ¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más
accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Puedes
resolver una parte del problema? Considera sólo una parte de la condición;
descarta la otra parte; ¿E n qué medida la incógnita queda ahora determinada?
¿En qué forma puede variar? ¿Puedes deducir algún elemento útil de los datos?
¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita?
¿Puedes cambiar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos
si es necesario, de tal forma que estén más cercanos entre sí?
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¿Has empleado todos los datos? ¿Has empleado toda la condición? ¿Has
considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?
Paso 3: Ejecutar el plan
Al ejecutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos. ¿Puedes ver
claramente que el paso es correcto? ¿Puedes demostrarlo?
Paso 4: Examinar la solución obtenida
¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes verificar el razonamiento?
¿Puedes obtener el resultado de forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe?
¿Puedes emplear el resultado o el método en algún otro problema?
¿Puedes representar la solución de otros modos?
¿Puedes pensar en otros problemas con estos mismos datos y resultados, pero que
te desafíen a desarrollar, confeccionar otros métodos y usar herramientas
diferentes?
Teniendo en cuenta estas cuatro etapas, es de suponer que el planteo didáctico
del problema, y con él la situación de aprendizaje, debe construirse en una
estructura que permita el fluir de estas etapas.
En este sentido, el docente toma un rol de acompañante, asesor y asistente del
proceso, guía y tutor del recorrido, que va aportando las herramientas y el
andamiaje necesario para que los estudiantes transiten el camino de la
resolución.
¿Y si intentamos una posible estrategia didáctica?
Veamos si es posible aplicar la estrategia de Resolución de Problemas de Poyla a
alguna de las situaciones que plantea el Dr. Sáenz de Cabezón en su disertación.
Tomemos como ejemplo la “Teoría de Colas”.
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Paso 1: Entender el problema
En esta instancia se debe plantear un problema y proponer actividades tendientes
a que el problema sea perfectamente comprendido.
El problema para plantear podría ser: ¿Al momento de pagar en un supermercado
es lo mismo formar una fila para cada caja o hacer una única fila y distribuirse en
cada caja al llegar a las mismas?
Frente a esta situación hay que proponer actividades que aclaren el enunciado.
Por ejemplo, que los estudiantes hagan un gráfico de ambas opciones para
comenzar. También es importante definir los conceptos del enunciado, a qué
llamamos “fila” y “caja”, y determinar los alcances y características de estos
elementos. A modo de ejemplo:
Las filas son conjuntos alineados de n elementos que se mueven hacia las
cajas y cumplen, uno a la vez, con un procedimiento en las mismas.
Las cajas son n’ elementos fijos a los que cada elemento de las filas arriba
para cumplir con un procedimiento
Y así seguir e invitar a descripciones más finas y específicas.
Debatir hipótesis y aunar criterios sobre las dos posibilidades de filas y cajas,
sobre las dos opciones de ordenamiento y las opiniones que se generan entorno a
esto.
Determinar las variables incluidas en el problema, como el tiempo de espera de
las personas en las filas, el tiempo de paso por la caja, la cantidad de objetos en el
changuito, las formas de pago y las demoras de cada una, las actitudes se las
personas al ver filas largas o cortas… y otras.
Estas actividades colaboran a que los estudiantes tengan pleno conocimiento de
cuál es el problema al que se enfrentan, el alcance y los límites que puede tener.
Paso 2: Configurar un plan
En esta instancia, que es la central y más importante de la estrategia, es cuando
se ponen en juego todas las posibilidades de resolución al problema que puedan
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generarse. Es muy positivo que los estudiantes se dividan en grupos y que cada
grupo proponga su propio plan de acción. Podría haber tantos planes, con
diferentes características, como grupos en la clase.
En la confección del plan es preciso guiar a los estudiantes hacia la observación y
la experimentación, hay diversas situaciones de la vida cotidiana en las que se dan
problemáticas similares, como las filas de los cajeros automáticos en los bancos o
en los peajes de las autopistas. Es importante que los estudiantes busquen
similitudes, y se planteen analizar también estas situaciones.
La modelización es un recurso muy viable y útil, los estudiantes pueden planificar
simulaciones de estas situaciones en el supermercado con cada una de las
opciones, tomando tiempos, cambiando o dejando fijas las diferentes variables.
La búsqueda de información adicional en diversas fuentes, como libros, web,
entrevistas y encuestas entre otras, es una tarea que también debe planificarse y
pautarse. El modo de obtención de la información, los recursos necesarios, dónde
se buscará y con quién. De qué modo será plasmada y cómo se registrarán las
fuentes.
Es preciso que antes de comenzar a responder la pregunta del problema, se tenga
un plan de acción, que nos permita seguir paso a paso un método, que podrá ser
falible, revisado y mejorado, pero no es posible comenzar sin él. El plan de acción
no solo determina las acciones, sino además el orden de las mimas y quién
realizará cada una, por lo que determina también los roles y un cronograma.
Paso 3: Ejecutar el plan
Aquí es donde se pone en marcha todo el plan diseñado en el paso anterior. Se
sigue un cronograma, que bien puede estar armado en un diagrama de Gantt, y
se cumplen uno a uno los pasos registrando los resultados obtenidos para ser
analizados.
Paso 4: Examinar la solución obtenida
Este es un momento de reflexión, donde se analizarán todos los resultados
obtenidos en el paso anterior. Se podrá, a partir de ellos, determinar la solución al
problema o respuesta a la pregunta.
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Este análisis debe ser realizado en consenso en el grupo, debe ser debatido y
llegar a un criterio en común.
Tiene gran riqueza plasmar el proceso y la solución en un recurso o producto de
exposición (presentación digital, láminas tipo poster, exposición oral, folleto
informativo, gacetilla, etc.), en el que se muestra abiertamente al resto de la
clase, buscando ahora el debate y el consenso general en una puesta en común.
Aquí el docente puede aportar con material bibliográfico o multimedia para
reflexionar las soluciones junto a los estudiantes. Se sugiere el video de Eduardo
de Sáenz de Cabezón “¿Cuál es la fila más rápida del supermercado? - Teoría de
colas”
https://www.youtube.com/watch?v=VPuRoEOVogo
El docente aquí aporta los marcos teóricos y referenciales que le dan sustento a
las soluciones obtenidas, como el enunciado de la “Teoría de Colas” y “Las
cadenas de Markov”.
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Contamos con dos marcos teóricos bastantes sólidos a la hora de pensar en la
didáctica de la matemática con situaciones del mundo real y de la vida cotidiana:
la tabla que nos ordena las partes fundantes de una situación de aprendizaje y las
cuatro etapas de resolución de problemas de Poyla.
Desarrollar una secuencia didáctica utilizando como problema “¿Cuál es la mejor
opción a la hora de comprar papel higiénico, teniendo en cuenta la mayor
cantidad de variables posibles? haciendo cálculos y representaciones, tanto de los
datos como de la solución, con herramientas y expresiones matemáticas”.
Para seguir pensando...
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2.2. Bibliografía
Camuyrano, M. y otros (1998): Matemática. Temas para su didáctica, Programa
Prociencia, CONICET y Ministerio de Educación de la Nación.
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matemáticas, Revista Electrónica de Educación 32(1), 123-138
Chemello, G. y Díaz, A. (1997): Matemática. Modelos didácticos, Programa
Prociencia, CONICET y Ministerio de Educación de la Nación.
Lave, J. (1991): La cognición en la práctica, Editorial Paidos, Buenos Aires.
Lester, F. K. (1983): Trends and issues in mathematical problems solving research,
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Monroy Muñoz, J.(2014): La resolución de problemas matemáticos y su impacto
en pensamiento crítico del ciudadano, Revista electrónica Cooperación, Nº3
Polya, G. (1989): Como plantear y resolver problemas, Editorial Trillas, México
Pozo, J. I. (1994): La solución de problemas, Editorial Santillana, Buenos Aires.
Ruiz, D. y García, M. (2003): El lenguaje como mediador en el aprendizaje de la
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Santos-Trigo, L. (2010). La resolución de problemas matemáticos. Fundamentos
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Terán, M. y Pachano, L. (2005). La investigación-acción en el aula: tendencias y
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