1b Clase Mecanica Cuerpo Rigido (1)

Facultad de Ingeniera

Geolgica, Minera y

Metalrgica

4TA. SEMANA

Centro de gravedad.

Centro de masa, gravedad y centroides;

teoremas de Pappus y Guldinus.

Centros de gravedad de arcos, reas y

volmenes.

2da prctica calificada


Geolgica, Minera y

Metalrgica

INTRODUCCIN

En muchos casos, las cargas no estn concentradas

en un punto sino que estn distribuidas a lo largo de

una lnea o sobre una superficie. Son cargas cuya

distribucin puede ser uniforme o no. La fuerza

distribuida est caracterizada por su intensidad y por

su direccin y sentido.

Cuando las zonas a las que se aplican las cargas

son considerables frente al tamao del cuerpo, ya no

es vlida la hiptesis de fuerza concentrada.

Otras fuerzas llamadas msicas, debidas a efectos

gravitatorios, elctricos o magnticos, se distribuyen

por toda la masa del cuerpo (se miden en N/m3).

La fuerza distribuida sobre una superficie ejercida

normalmente a sta se denomina presin y se mide

en N/m2.

La fuerza distribuida sobre una lnea ejercida

normalmente a sta se mide en N/m.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

En el anlisis de muchos problemas de ingeniera aparecen expresiones que

representan momentos de masas, fuerzas, volmenes, superficies o lneas

respecto a ejes o planos. Ejemplo: Momento de una superficie A (contenida en el

plano xy) respecto al eje y.

A

iiy

n

i

iiy dAxModAxM1

La superficie puede considerarse por un gran nmero

de elementos de superficie muy pequeos de rea

dA, siendo el momento del elemento respecto al eje:

Y el momento total de la superficie A respecto del eje

y ser:

iii dAxdM

El momento de una masa, fuerza, volumen, superficie o lnea respecto a un eje o a

un plano puede definirse de manera anloga recibiendo el nombre de primer

momento de la magnitud que se considere. Este puede ser nulo y su signo positivo

o negativo ya que las coordenadas pueden ser positivas o negativas.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

CENTRO DE MASA (CDM)

Punto de un sistema de puntos materiales o de un cuerpo fsico en donde

podra concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa

concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento

respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida.

Centro de masa y centro de gravedad

Si consideramos un sistema de n puntos

materiales, las distancias a los planos de

coordenadas del CDM G del sistema de puntos

materiales son:

n

i

ii

n

i

iixy

n

i

ii

n

i

iizx

n

i

ii

n

i

iiyz

zmm

zseaozmzmM

ymm

yseaoymymM

xmm

xseaoxmxmM

11

11

11

1

1

1

Donde:

n

i

imm1


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Las ecuaciones anteriores se resumen en una ecuacin vectorial nica as:

kjikji

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii zmymxmzmymxm111

de donde

n

i

iiii zyxmzyxm1

)()( kjikji

que se reduce a

n

i

ii

n

i

iiO mm

seaomm11

1rrrrM

ya que el vector de posicin del punto i-simo respecto al origen es

kjir iiii zyx

y el vector de posicin del CDM respecto al origen es

kjir zyx


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Si los puntos formasen un cuerpo continuo, las sumas se sustituyen por

integrales extendidas a toda la masa del cuerpo.

dmzm

zseaodmzzmM

dmym

yseaodmyymM

dmxm

xseaodmxxmM

xy

zx

yz

1

1

1Donde:

dmm

Vectorialmente:

Vm

Vm

dVm

dmm

dVdmm

rrr

rrr

11

donde r es el vector de posicin del elemento dm del cuerpo respecto al

origen, es la densidad del elemento y dV es su volumen


Geolgica, Minera y

Metalrgica

CENTRO DE GRAVEDAD (CDG)

El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas msicas distribuidas que la Tierra

ejerce sobre los puntos materiales que constituyen el cuerpo.

El punto G del cuerpo en el que acta el peso es el CDG del cuerpo.

El mdulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo

depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro

de la Tierra. En la prctica se supone que todos los puntos del cuerpo experimentan

la misma aceleracin gravitatoria g. Adems, debido al tamao de la Tierra, las

rectas soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales

concurren en el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos

hiptesis dan un centro de gravedad que coincide con el CDM ya que:

Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el clculo

del CDM tendremos:

dWzW

zseaodWzzWM

dWyW

yseaodWyyWM

dWxW

xseaodWxxWM

xy

zx

yz

1

1

1 Donde:

dWW

gmW


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su CDG podr determinarse

considerando que el cuerpo est constituido por infinitos elementos cada

uno de los cuales tenga un peso dW dado as: dVdW

donde es el peso especfico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo ser:

V

dVW

Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso

W sea paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un

elemento ser )( dVxdWxdM y

Por definicin de CDG: )( VVy dVxdVxWxM

as pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W ser:

V

V

dV

dVxx

)(

y anlogamente:

V

V

V

V

dV

dVzz

dV

dVyy

)(y

)(


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA

Para cada caso, calcular el centro

de masa respecto al eje z y punto

O, asuma valores


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Centroides de volmenes, superficies y lneas

CENTROIDES DE VOLUMENES

Cuando sea constante el peso especfico de un cuerpo tendremos que:

Estas coordenadas (centroide) solo dependen de la configuracin geomtrica del cuerpo y son independientes de sus propiedades fsicas.

El centroide de un volumen coincide en posicin con el CDG G del cuerpo si este es homogneo. Cuando el peso especfico vara de unos puntos a

otros, el CDG G del cuerpo y el centroide no tienen por que coincidir.

VVV

dVzV

zdVyV

ydVxV

x111

Ejemplo: En el caso de la figura, como el

peso especfico de la parte inferior del

cono es mayor que el de la parte superior,

el CDG, que depende del peso de las dos

partes, se hallar por debajo del centroide

C que solo depende del volumen de

dichas partes.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

CENTROIDES DE SUPERFICIES

El CDG G de una placa delgada, homognea, de espesor t uniforme y

superficie de rea A, se puede determinar considerando un elemento

infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en funcin de un elemento

infinitesimal de superficie dA de la placa en la forma siguiente: dV = t dA.

As pues, en el caso de una placa delgada tendramos:

AAA

dAzA

zdAyA

ydAxA

x111

CENTROIDES DE LINEAS

El CDG G de un alambre curvo, homogneo, de pequea seccin recta de

rea A y de longitud L, se puede determinar considerando un elemento

infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en funcin de un

elemento infinitesimal de longitud en la forma: dV = A dL.

As pues, para una varilla o alambre finos tendramos:

LLL

dLzL

zdLyL

ydLxL

x111


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Centroides de cuerpos compuestos

Si puede dividirse una lnea, superficie o volumen en partes cuyos respectivos

centroides tengas posiciones conocidas, se podr determinar sin integracin el

momento de la lnea, superficie o volumen total obteniendo la suma algebraica de los

primeros momentos (producto de la longitud, rea o volumen por la distancia del

centroide al eje o plano) de las partes en que se haya dividido la lnea, superficie o

volumen.

Ejemplo: Si tenemos una superficie compuesta por la superficies A1, A2, , An y las coordenadas de los centroides de las respectivas partes son tendremos: nxxx ...,,, 21

n

i

iix

n

i

iix

n

i

ii

yn

i

iiy

nnny

yAAA

MyyAyAM

xAAA

MxxAxAM

xAxAxAxAAAM

11

11

221121

1seao

teanlogamen

1seao

...)...(Si se considera un agujero

como parte integrante de un

cuerpo compuesto, su rea

se considerar magnitud

negativa.

Se pueden desarrollar

ecuaciones anlogas para L,

V, m y W.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

- 13 -

Centroides en algunas lneas y superficies


Geolgica, Minera y

Metalrgica

- 14 -

Centroides en lneas y superficies


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Centroides de algunos volmenes


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Calcular el centro de masa del

alambre de seccin transversal

constante con respecto a cada

eje

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA

Calcular el centro de masa de la superficie

sombreada, respecto al eje x e y


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Teoremas de Pappus y Guldin

Teorema 1: El rea de la superficie de

revolucin generada al girar una curva

plana de longitud L alrededor de un

eje coplanario con ella y que no la

corte es igual al producto de la

longitud de la curva por la longitud del

camino que recorre su centroide.

Teorema 2: El volumen V del slido

de revolucin generado al hacer

girar una superficie plana de rea A

alrededor de un eje coplanario que

no la corte es igual al producto del

rea de dicha superficie por la

longitud del camino que recorre el

centroide de la superficie.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Problema: calcular el centro de gravedad


Geolgica, Minera y

Metalrgica

5TA. SEMANA

Momentos de inercia plano y de masas.

Momentos de inercia, productos de

inercia, momento polar de inercias; radios

de giro. Teorema de ejes paralelos

teorema de Steiner. Teorema de ejes

rotados. Ejes y momentos principales de

inercia.

Seminario


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Introduccin

En el anlisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y rboles (ejes que

trabajan a torsin) se encuentran frecuentemente expresiones:

A

dAx2

Donde dA es un elemento de superficie, y x la distancia de este elemento a un

cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a l.

Son siempre positivos y sus dimensiones sern L4 (unidades: mm4 o cm4).

En el anlisis del movimiento de rotacin de un cuerpo rgido, aparecen

expresiones de la forma

segundo momento de la superficie

m

dmr 2

Donde dm representa un elemento de masa y r la distancia de este elemento a

un eje. Son siempre positivos y sus dimensiones sern ML2 (unidades: kg.m2).

Momento de inercia (de masa);

propiedad de los cuerpos para

resistirse a rotar.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Segundo momento de una superficie plana

El segundo momento de una superficie respecto a un eje (indicado con

subndices) se representar por el smbolo I cuando el eje est en el plano de

la superficie y por J cuando el eje sea perpendicular a ella.

Los segundos momentos rectangulares de

la superficie A respecto a los ejes x e y del

plano de la superficie son:

dAxIedAyIA

y

A

x 22

Anlogamente, el segundo momento polar

de la superficie A respecto al eje z, que es

perpendicular al plano de la superficie en el

origen O del sistema de coordenadas xy, es

yxAAAA

z IIdAydAxdAyxdArJ 22222


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Teorema de Steiner para segundos momentos de superficie

Cuando se haya determinado el segundo momento de una superficie respecto

a un eje dado, se podr obtener el correspondiente a un eje paralelo a ste

aplicando el Teorema de Steiner. Demostracin:

Si uno de los ejes pasa por el Centroide de la

superficie, el segundo momento de superficie

respecto a un eje x paralelo a l es

AAAA

x dAydAyydAydAyyI2

22

2

el segundo trmino es nulo ya que se trata del

momento primero de superficie respecto al eje x

que pasa por el centroide de la superficie:

AyII xCx2

donde IxC es el segundo momento de la superficie

respecto al eje x que pasa por el centroide; y es la

separacin de los ejes x y x.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Por tanto, el Teorema de Steiner dice que:

El segundo momento de una superficie respecto a un eje cualquiera

contenido en el plano de la superficie es igual al segundo momento de

la superficie respecto a un eje paralelo que pase por el Centroide de la

superficie ms el producto del rea de sta por el cuadrado de la

separacin de los ejes.

Este teorema solo es vlido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal,

o al revs, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a l.

anlogamente, se puede demostrar que

AdJAyxJJ zCzCz 222

donde JzC es el segundo momento polar de la superficie respecto al eje z

que pasa por el centroide y d es la distancia que separa los ejes z y z.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Radio de giro de una superficie

El segundo momento de una superficie (al tener las dimensiones de la cuarta

potencia de una longitud) se podr expresar como producto del rea A de la

superficie por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. As pues,

A

Jk

A

Ik

A

Ik

kAdArJkAdAxIkAdAyI

zz

y

yx

x

A

zz

A

yy

A

xx

222222

Y como 222

yxzyxz kkkIIJ

Al igual que cuando vimos el Teorema de Steiner para momentos segundos de

superficie, existir una relacin correspondiente entre los radios de giro de la

superficie respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pase por el

centroide de la superficie.

222222222222 dkyxkkxkkykk zCzCzyCyxCx


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Segundos momentos de superficies compuestas

Frecuentemente, en la prctica, la superficie A es irregular pero se puede

descomponer en superficies sencillas A1, A2, A3, , An para las cuales las integrales ya estn calculadas y tabuladas.

As, el segundo momento de la superficie compuesta, respecto a un eje es

igual a la suma de los momentos segundos respecto a dicho eje de las

distintas partes.

Los momentos segundos de una superficie respecto a cualquier sistema de

ejes de coordenadas x, y, z se han definido en la forma:

dArJdAxIdAyIA

z

A

y

A

x 222

n

n

xxx

AAAA

x IIIdAydAydAydAyI ...... 2121

2222

Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su

segundo momento deber restarse del segundo momento de dicha

superficie mayor para obtener el segundo momento resultante.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Segundos momentos de superficies planas


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Propiedades de algunas formas de perfiles (Steel Construction)


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Problema, calcular el segundo momento


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Segundos momentos mixtos de superficies

El segundo momento mixto (producto de inercia de

superficie) dIxy del elemento de superficie dA respecto a

los ejes x e y es:

dAyxdI xy

As el segundo momento mixto (producto de

inercia de superficie) de la superficie total A

respecto a los ejes x e y ser:

A

xy dAyxI

Como el producto xy puede ser positivo o negativo, el

segundo momento mixto podr ser positivo, negativo o

nulo.

De hecho, el segundo momento mixto de una superficie

respecto a dos ejes ortogonales cualesquiera ser nulo

cuando uno de dichos ejes sea eje de simetra.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

El Teorema de Steiner para momentos

segundos mixtos se deducen a partir de

la figura en donde los ejes x e y pasan

por el centroide C de la superficie y son

paralelos, respectivamente a los ejes x e y. As,

AAAA

AA

yx

dAyxdAxydAyxdAyx

dAyyxxdAyxI

Las integrales segunda y tercera son nulas por ser centroidales los

ejes x e y.

En consecuencia, el segundo momento mixto respecto a un par de

ejes paralelos a dos ejes centroidales ortogonales es

AyxII xyCyx


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Segundos momentos mixtos de superficies planas


Geolgica, Minera y

Metalrgica

El segundo momento de la superficie A de la figura

respecto al eje x que pasa por O variar con el ngulo . Los ejes x e y utilizados para obtener el segundo

momento polar Jz respecto a un eje z que pase por

O eran dos ejes ortogonales cualesquiera del

plano de la superficie que pasaran por O; por

tanto,

yxyxz IIIIJ

Donde xe yson dos ejes ortogonales cualesquiera que pasen por O. Como la suma de Ix e Iy es constante, Ix ser mximo y el correspondiente Iy mnimo

para un valor particular de . El sistema de ejes para el cual los momentos segundos son mximo y mnimo

se denominan ejes principales de la superficie en el punto O y se les designa

por eje u y eje v (estos ejes son importantes en Resistencia de materiales al

estudiar vigas y columnas). As los momentos segundos principales as

obtenidos respecto a estos ejes se designan por Iu e Iv.

Segundos momentos principales


Geolgica, Minera y

Metalrgica

6TA. SEMANA

Momentos de inercia plano y de masas.

Crculo de Mohr. Momento de inercia de

masas.

3ra practica calificada


Geolgica, Minera y

Metalrgica

CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENTO


Geolgica, Minera y

Metalrgica

De la figura, relacionamos los ejes para un elemento dA:

Anlogamente, obtenemos:

Finalmente, deducimos:


vuyxz IIIIJ


Geolgica, Minera y

Metalrgica

De la figura, relacionamos los ejes para un elemento dA:

))2

(( 22 xyyx

PR



Geolgica, Minera y

Metalrgica



Geolgica, Minera y

Metalrgica

Mtodo para graficar el crculo de Mohr

A continuacin describiremos un procedimiento para graficar el crculo de

Mohr para un elemento diferencial.

Su tomarn la siguiente convenciones:

Los segundos momentos se representarn en la abscisa y los productos de inercia en la ordenada.

Los segundos momentos (positivos) se ubicarn en la parte derecha de la abscisa.

Los productos de inercia se tomarn como positivos si en su plano de accin hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj y

se ubicarn en la parte superior de las ordenadas.



Geolgica, Minera y

Metalrgica

Los pasos a seguir son:

1. Graficar los puntos (Ix, Pxy) y (Iy,

Pyx), que indican los esfuerzos que

actan sobre los planos x e y

respectivamente.

2. Trazar una lnea que una los puntos

(Ix, Pxy) y (Iy, Pyx) y definir la

direccin x, como se muestra.

Observe que la lnea trazada corta

el eje de las abscisas en el valor

Imed.

3. Con centro en el punto (Imed, 0),

trazar una circunferencia que pase

por los puntos (Ix, Pxy) y (Iy, Pyx).

Nota: Si Pxy hace girar al elemento en

sentido antihorario es positivo y

negativo en sentido contrario.



Geolgica, Minera y

Metalrgica

En los anlisis del movimiento de un cuerpo rgido, aparecen a

menudo expresiones en las que interviene el producto de la

masa de un pequeo elemento por el cuadrado de su distancia

a una recta de inters. Este producto recibe el nombre de

momento de inercia del elemento.

As pues, el momento de inercia dI de un elemento de masa

dm respecto al eje OO es,

dmrdI 2

El momento de inercia de todo el cuerpo respecto al eje OO es,

m

dmrI 2

Siempre ser positivo dado que tanto la masa como el cuadrado de su

distancia al eje son cantidades positivas y como tiene las dimensiones ML2, su

unidad de medida del SI ser el kg.m2

Momentos de inercia


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes de coordenadas de un

sistema xyz se pueden determinar considerando un elemento de masa como el

de la figura, as:

dmyxdmrI

dmzxdmrI

dmzydmrI

mm

zz

mm

yy

mm

xx

222

222

222

dmzydmrdI xx 222 Para los ejes y y z se pueden escribir

ecuaciones anlogas con lo que nos

quedara:


Geolgica, Minera y

Metalrgica

El momento de inercia (al tener las dimensiones de masa por el cuadrado de

una longitud) se podr expresar como producto de la masa m del cuerpo por

el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. As pues, el momento

de inercia I de un cuerpo respecto a una recta dad se puede expresar en la

forma

m

IkmkI seao2

El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera puede

interpretarse que es la distancia al eje de un punto en el que habra que

concentrar toda la masa del cuerpo para tener el mismo momento de inercia

respecto al eje que la masa real.

No existe ninguna interpretacin fsica til del radio de giro; no es ms que

un medio conveniente de expresar el momento de inercia de masa de un

cuerpo en funcin de su masa y una longitud.

Radio de giro


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Considrese el cuerpo representado en

la figura, en cuyo centro de masa G se

toma el origen del sistema de

coordenadas xyz y considrese

tambin un sistema de coordenadas

xyz de origen en el punto Oy ejes paralelos a los anteriores. En la figura

se observa que

zzzyyyxxx

La distancia dx que separa los ejes xy x es 22 zydx

As pues, el momento de inercia del cuerpo respecto al eje x, paralelo al eje x que pasa por el centro de masa es,

m

xx dmrI2

desarrollando

Teorema de Steiner para momentos de inercia


Geolgica, Minera y

Metalrgica

dmzzyydmrImm

xx

222

y como los ejes y y z pasan por el centro de masa G del cuerpo,

00 mm

dmzdmy

mmmmm

zdmzdmzydmydmydmzy 22 2222

Por tanto,

mdImyxII

mdImzxII

mdImzyII

zzGzGz

yyGyGy

xxGxGx

222

222

222

Ahora bien, como xG

m

Idmzy 22

Teorema de Steiner

para

momentos de inercia


Geolgica, Minera y

Metalrgica

As pues, si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje

que pase por su centro de masa, se podr hallar el momento de inercia

respecto a otro eje cualquiera paralelo a l, sin necesidad de integracin,

utilizando las ecuaciones anteriores.

Entre los radios de giro respecto a estos dos ejes paralelos existe una relacin

similar dada por

mdmkmk xxGx222

luego

222

222

222

zzGz

yyGy

xxGx

dkk

dkk

dkk

Los dos sistemas de ecuaciones enmarcados slo son vlidos para pasar de

ejes xyz que pasen por el centro de masa a otros ejes paralelos a ellos o al

revs.

No son vlidos para ejes paralelos arbitrarios!


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Muchas veces el cuerpo de inters puede descomponerse en varias formas

simples tales como cilindros, esferas, placas y varillas, para las cuales se han

calculado y tabulado previamente los momentos de inercia. Ver tablas

siguientes.

El momento de inercia del cuerpo compuesto respecto a un eje cualquiera es

igual a la suma de los momentos de inercia de las distintas partes que lo

componen respecto a dicho eje.

Por ejemplo,

n

n

xxx

mmm

mm

xx

III

dmzydmzydmzy

dmzydmrI

...

...

21

21

222222

222

Cuando una de las partes componentes sea un agujero, su momento de

inercia deber restarse del momento de inercia de la parte mayor para obtener

el momento de inercia del cuerpo compuesto.

Momentos de inercia de cuerpos compuestos


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Momentos de inercia de formas corrientes


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Problema


Geolgica, Minera y

Metalrgica

En los estudios de movimientos de cuerpos rgidos aparecen, a veces,

expresiones en las que intervienen el producto de la masa de un pequeo

elemento por las distancias del mismo a un par de planos de coordenadas

ortogonales. Se trata de del producto de inercia del elemento.

dmyxdIxy

Por ejemplo, el producto de inercia del

elemento representado en la figura respecto

a los planos xz e yz es

La suma de los productos de inercia de

todos los elementos de masa del

cuerpo respecto a los mismos planos

ortogonales se define como el producto

de inercia del cuerpo.

m

xy dmyxI

Productos de inercia


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Los tres productos de inercia del cuerpo representado son

m

zx

m

yz

m

xy dmxzIdmzyIdmyxI

Los productos de inercia, como los momentos de inercia, tienen las

dimensiones ML2 por lo que su unidad de medida del SI ser el kg.m2

El producto de inercia de un cuerpo puede ser positivo, negativo o nulo ya que

las coordenadas tiene signos independientes.

El producto de inercia ser nulo cuando uno u otro de los planos sea un plano

de simetra, ya que los pares de elementos simtricos respecto a ste tendrn

productos de inercia opuestos cuya suma dar cero.

Los productos de inercia de placas delgadas con densidad uniforme, con grosor t uniforme y una seccin de rea A y suponiendo adems que los ejes x

e y estn contenidos en el plano medio de la placa (plano de simetra), sern

00

m

zx

m

yz

xy

VAVm

xy

dmxzIydmzyI

ItdAyxtdAtyxdVyxdmyxI

mm

Am


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Se puede desarrollar, para los productos de inercia, un teorema de Steiner muy

parecido al de los momentos segundos mixtos de superficie vistos

anteriormente.

Considrese el cuerpo representado en la figura, el

cual tiene un sistema de coordenadas xyz con origen

en el centro de masa G del cuerpo y un sistema de

coordenadas xyz con origen en el punto O y ejes paralelos a los anteriores. En la figura se observa

que

zzzyyyxxx

mmmmmm

yx dmyxdmxydmyxdmyxdmyyxxdmyxI Por tanto,

0;0; mm

xyG

m

dmzdmyIdmyxcomo

tenemos que: mxzIImzyIImyxII zxGxzyzGzyxyGyx


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Problema


Geolgica, Minera y

Metalrgica

En algunos casos, en el anlisis dinmico de cuerpos, hay que determinar ejes

principales y momentos de inercia mximo y mnimo.

El problema estriba en transformar momentos y productos de inercia fcilmente

calculables respecto a un sistema de coordenadas en los correspondientes a

otro sistema xyz de igual origen O pero inclinados respecto a los ejes xyz.

Considrese el cuerpo representado en la figura,

en donde el eje x forma los ngulos xx, xy y xz con los ejes x, y y z respectivamente.

El momento de inercia Ix es, por definicin:

m

x dmrI2

Desarrollando y realizando un anlisis similar al que se realiza para localizar

los ejes principales y determinar los momentos segundos de superficie

mximo y mnimo, se pueden localizar los ejes principales de inercia y

determinar los momentos de inercia mximo y mnimo.

Momentos de inercia principales


Geolgica, Minera y

Metalrgica

7MA. SEMANA

Armaduras y marcos.

Armaduras planas.

Mtodo de los nudos y secciones. Marcos.

Seminario y 4ta prctica calificada


Geolgica, Minera y

Metalrgica

La determinacin de las reacciones en los apoyos vista en el tema anterior slo es el primer paso del anlisis de las estructuras y mquinas.

En este tema utilizaremos las ecuaciones de equilibrio (EQ) para determinar las fuerzas en los nudos de estructuras compuestas de miembros conectados

por pasador.

Este paso es necesario para elegir las sujeciones (tipo, tamao, material, etc.) que se utilicen para mantener unida la estructura.

La determinacin de las fuerzas interiores (Resistencia de materiales) es necesaria para proyectar los miembros que constituyan la estructura.

Las fuerzas en los nudos siempre son, dos a dos, de igual mdulo y recta soporte, pero opuestas. Si no se separan del resto de la estructura por medio

de un DSL, no habr que considerar estas parejas de fuerzas al escribir las

EQ. Por tanto, para poder determinarlas habr que dividir la estructura en dos

o ms partes. As, las fuerzas de los nudos se convertirn, en los puntos de

separacin, en fuerzas exteriores en cada DSL y entrarn en las EQ. La

aplicacin de estas EQ a las distintas partes de una estructura permitir

determinar todas las fuerzas que actan en las conexiones.

Introduccin


Geolgica, Minera y

Metalrgica

1.- Armaduras, estructuras compuestas totalmente por

miembros de dos fuerzas. Las armaduras constan

generalmente de subelementos triangulares y estn

apoyadas de manera que se impida todo movimiento. Su

estructura ligera puede soportar una fuerte carga con un

peso estructural relativamente pequeo.

Ejemplo: Puente de la figura

2.- Entramados, estructuras que siempre contienen al

menos un miembro sobre el que se ejercen fuerzas

entres o ms puntos. Los entramados tambin se

construyen y apoyan de manera que se impida su

movimiento.

Las estructuras tipo entramado que no estn totalmente

inmovilizadas reciben el nombre de mquinas o

mecanismos.

Ejemplo: Mesa de la figura


Geolgica, Minera y

Metalrgica

La Armadura es una estructura compuesta por miembros usualmente rectos

unidos por sus extremos y cargada solamente en estos puntos de unin

(nudos). La estructura ligera de una armadura proporciona, para grandes luces,

una resistencia mayor que la que proporcionaran muchos tipos de estructura

ms recios.

Las Armadura planas estn contenidas en un

solo plano y todas las cargas aplicadas deben

estar contenidas en l. Ejemplo: Se utilizan a

menudo por parejas para sostener puentes. Las

cargas sobre el piso son transmitidas a los

nudos ABCD por la estructura del piso.

Las Armadura espaciales son estructuras que

no estn contenidas en un solo plano y/o estn

cargadas fuera del plano de la estructura.

Ejemplos: Grandes antenas, molinos de viento,

etc.

Armaduras planas


Geolgica, Minera y

Metalrgica

1.- Los miembros de las armaduras estn unidos solo

por sus extremos. Aunque en la realidad haya

miembros que cubran varios nudos.

2.- Los miembros de la armadura estn conectados

por pasadores exentos de rozamiento por lo que no

hay momentos aplicados a los extremos de los

miembros.

3.- La armadura slo est cargada en los nudos. Los

miembros suelen ser largos y esbeltos por lo que no

pueden soportar momentos o cargas laterales fuertes.

4.- Se pueden despreciar los pesos de los miembros.

En la prctica, es corriente suponer que la mitad del

peso de cada miembro se ejerce sobre cada uno de

los dos nudos que lo conectan.

En el anlisis de armaduras se formulan

cuatro hiptesis fundamentales:


Geolgica, Minera y

Metalrgica

El resultado de estas cuatro hiptesis es que todos los

miembros de la estructura idealizada son miembros de

dos fuerzas. (figura).

Tales estructuras son mucho ms fciles de analizar que

otras ms generales con igual nmero de miembros.

El error resultante suele ser suficientemente pequeo

para justificar las hiptesis.

En su forma ms sencilla, una

armadura consiste en un conjunto

de miembros de dos fuerzas unidos

por pasadores exentos de

rozamiento (figura).


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Cuando un nudo ejerce una fuerza que tira del extremo de un miembro, ste

ejerce una reaccin que tambin tira del nudo. (Principio de accin y

reaccin).

Las fuerzas que tiran del extremo de un miembro se denominan fuerzas de traccin o de tensin y tienden a alargar el miembro.

Las fuerzas que aprietan el extremo del miembro se denominan fuerzas de compresin y tienden a acortarlo.

Los miembros largos y esbeltos que constituyen una armadura son muy

resistentes a la traccin pero tienden a sufrir flexin o pandeo cuando se

someten a cargas compresivas fuertes, por lo que en estos casos debern

ser ms gruesos o debern riostrarse.

Uno de los extremos de una armadura de puente grande

se suele dejar flotar sobre un apoyo de zapata o de rodillo.

Aparte del requisito matemtico (problema equilibrio

Plano: 3 reacciones de apoyo) va a permitir la dilatacin

o contraccin por causas trmicas.

En el caso de los miembros de dos fuerzas, las fuerzas estn dirigidas

segn la recta que une sus puntos de aplicacin.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Para mantener su forma y resistir las grandes cargas que se le apliquen,

las armaduras han de ser estructuras rgidas. El elemento constitutivo

bsico de toda armadura es el tringulo ya que es la estructura rgida ms

sencilla.

A menudo se dice que una armadura es

rgida si conserva su forma al sacarla de sus

apoyos o cuando uno de sus apoyos puede

deslizar libremente. Ejemplo:

Por otro lado, la armadura de la 2 figura se

dice que es una armadura compuesta y la

falta de rigidez interna se compensa mediante

una reaccin de apoyo exterior ms. Ejemplo:


Geolgica, Minera y

Metalrgica

El elemento constitutivo bsico de toda armadura es el tringulo. Las

armaduras grandes se construyen uniendo varios tringulos.

Armaduras simples: Estas se disean a partir de un

elemento triangular bsico (tringulo ABC), luego se

aaden, uno a uno, elementos triangulares

adicionales uniendo un nuevo nudo (D) a la armadura

y utilizando dos nuevos miembros (BD y CD) y as

sucesivamente.

Las armaduras de la pgina anterior no son simples.

La armadura simple, al estar constituida tan solo por elementos

triangulares, siempre ser rgida. Como cada nuevo nudo trae con l dos

nuevos miembros, se cumple que en una armadura simple plana:

32 nm Siendo m el n de miembros y n el n de nudos.

Segn el mtodo de los nudos, sta es exactamente la condicin

necesaria para garantizar la resolubilidad de la armadura simple plana,

aunque no es vlida para otro tipo de armaduras.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Consiste en desmontar la armadura dibujando por separado el DSL de cada

miembro y cada pasador y aplicarles las condiciones de equilibrio.

Mtodo de los nudos


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Los DSL de los miembros de la armadura solo tienen fuerzas axiales

aplicadas en sus extremos en virtud de la hiptesis formuladas anteriormente.

El smbolo TBC representa la fuerza incgnita en el miembro BC (TBC = TCB).

Al conocer las rectas soporte de los miembros solo faltara determinar el

mdulo y sentido de las fuerzas en los mismos.

El sentido de la fuerza se tomar del signo de TBC.

Las fuerzas que apuntan hacia fuera del miembro se denominan fuerzas de

traccin o de tensin y tienden a estirar el miembro.

Las fuerzas que apuntan hacia el miembro se denominan fuerzas de

compresin y tienden a comprimirlo.

Aun cuando algunos intentan prever el sentido de las fuerzas, no es necesario

hacerlo, por lo que dibujaremos los DSL como si todos los miembros estuvieran

sometidos a traccin. As, el valor negativo de una fuerza indicar que el

miembro est sometido a compresin.

Consideraciones generales del mtodo de los nudos


Geolgica, Minera y

Metalrgica

De acuerdo con el principio de accin y reaccin, la fuerza que un pasador

ejerce sobre un miembro es igual y opuesta a la que el miembro ejerce

sobre el pasador.

El anlisis de la armadura se reduce a considerar el equilibrio de los nudos

ya que el equilibrio de los miembros no aporta ms informacin que la

igualdad de fuerzas en los extremos.

Como en cada nudo actan fuerzas concurrentes coplanarias, el equilibrio

de momentos no dar informacin til con lo que solo se analiza el equilibrio

de fuerzas. Para cada nudo R = 0 dar lugar a 2 ecuaciones escalares

independientes:

Una armadura plana con n pasadores dar un total de 2n ecuaciones

escalares independientes con las que calcularemos las m fuerzas en los

miembros y las 3 reacciones en los apoyos de una armadura simple.

00 yx FyF



Geolgica, Minera y

Metalrgica

Si existe un nudo con solo dos fuerzas incgnitas, las dos ecuaciones para

este nudo se pueden resolver independientemente del resto de ecuaciones.

Si no existe un tal nudo, suele poderse crear resolviendo primero las EQ de

la armadura en su conjunto.

Los nudos se resuelven de esta manera uno tras otro hasta que se

conozcan todas las fuerzas.

Una vez determinadas todas las fuerzas, deber hacerse un resumen de

todas las fuerzas de los miembros indicando en cada una si es de traccin o

d compresin.

Si se utiliza primeramente el equilibrio global para determinar las

reacciones en los apoyos y ayudar a iniciar el mtodo de los nudos,

entonces tres de las 2n EQ de los nudos sern superabundantes y se

podrn utilizar para comprobar la solucin.

Si no es as, es el equilibrio global el que puede utilizarse para comprobar

la solucin.



Geolgica, Minera y

Metalrgica

Problema


Geolgica, Minera y

Metalrgica

1 Cuando slo dos miembros no colineales forman un nudo y a ste no hay

aplicada ni carga exterior ni reaccin de apoyo, los miembros sern de fuerza nula.

Ejemplo:

En este caso se podran suprimir

los dos miembros BC y CD, sin

que viera afectada la solucin e

incluso la estabilidad de la

armadura.

Sucede a menudo que ciertos miembros de una armadura dada no soportan

carga. Esto suele deberse a una de las dos causas generales.

Miembros de fuerza nula


Geolgica, Minera y

Metalrgica

2 Cuando tres miembros forman un nudo en el cual dos de los miembros sean

colineales y el tercero forme ngulo con ellos, el miembro no colineal lo ser de

fuerza nula si al nudo no hay aplicada fuerza exterior ni reaccin de apoyo. Los

dos miembros colineales soportan cargas iguales.

Ejemplo:

En este caso estos miembros de fuerza nula no pueden suprimirse, sin ms,

de la armadura y descartarlos. Son necesarios para garantizar la estabilidad

de la armadura, tal y como se indica a continuacin.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Si se suprimieran los miembros de fuerza nula AD y BD, nada impedira que

una pequea perturbacin desplazara ligeramente el pasador D y destruyera

el alineamiento de los miembros.

La armadura ya no estara esttico, el pasador D seguira movindose hacia

afuera y la armadura se derrumbara.

As pues, no hay que apresurarse a descartar miembros de una armadura

slo por que no soporten carga para una cierta configuracin. Tales miembros

son a menudo necesarios para soportar parte de la carga cuando la carga

aplicada vare y casi siempre son necesarios para garantizar la estabilidad de

la armadura.

DECDy

DECDx

TTF

TTF

0

0

Pero el equilibrio del pasador C

exige que TCD no sea nula. Con

lo que:


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Problema


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Mtodo de las secciones

La armadura se divide solo en dos pedazos.

Como la armadura entera est en equilibrio cada uno

de los pedazos es tambin un cuerpo en equilibrio.

Ejemplo: La armadura de la figura se puede dividir en

dos partes haciendo pasar una seccin imaginaria aa

que corte a alguno de sus miembros.

La seccin deber cortar la armadura de manera que

se puedan dibujar DSL completos para cada uno de

los pedazos.

En cada uno hay que incluir la fuerza que sobre cada

miembro cortado ejerce la otra parte del miembro que

ha quedado fuera.

As pues, para hallar la TCF, la seccin deber cortar

ese miembro. Para cada cuerpo rgido podrn

escribirse 3 EQ independientes. En total 6 ecuaciones

para despejar 6 incgnitas (las fuerzas en los tres

miembros cortados y las 3 reacciones en los apoyos).


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Podremos simplificar la resolucin de las ecuaciones si se determinan las

reacciones de los apoyos a partir del equilibrio de toda la armadura antes de ser

seccionada.

Si una seccin cortara cuatro o ms miembros cuyas fuerzas no se

conocieran, el mtodo de las secciones no generara bastantes EQ para

despejar todas las fuerzas incgnitas.

En ocasiones, no puede encontrarse una seccin que corte no ms de 3

miembros y pase a travs de un miembro de inters dado. En tal caso, podr

ser necesario dibujar una seccin que atraviese un miembro prximo y despejar

primero las fuerzas en l y posteriormente aplicar el mtodo de los nudos a un

nudo prximo o el de la secciones a una seccin que contenga el miembro de

inters (problema ejemplo 1).

Ventajas:

Suele poderse determinar la fuerza en un miembro cercano al centro de una armadura grande sin haber obtenido primero las fuerzas en el resto de

la armadura con lo que la posibilidad de error se reduce de manera

importante.

Puede servir de comprobacin cuando se utilice el mtodo de los nudos o un programa de ordenador para resolver una armadura.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA EJEMPLO 1


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Considerando un corte transversal en la

seccin aa del miembro recto de la figura,

sobre la superficie de corte habr una

distribucin compleja de fuerzas que podra

sustituirse por una fuerza y un par

equivalentes.

Al aplicar las EQ al DSL, estas exigen que

sea nula la componente cortante V, que sea

nula la componente M del momento y que la

componente axial P del sistema equivalente

fuerza-par sea de igual mdulo y direccin

pero de sentido opuesto a T.

Es decir, si las fuerzas en los extremos de un

miembro recto de dos fuerzas tiran del

miembro, las fuerzas que se ejerzan sobre

cualquier seccin del miembro representarn

tambin una fuerza axial que tire de dicha

seccin.

Fuerzas en miembros de dos fuerzas rectos y curvos


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Si el miembro de dos fuerzas es curvo, las fuerzas en sus

extremos actuarn segn la recta que une los puntos de

aplicacin de las fuerzas.

Si se corta el miembro transversalmente en la seccin aa, se

tendr una distribucin compleja de fuerzas sobre la seccin

que podra sustituirse por un sistema fuerza-par equivalente.

Al aplicar las EQ al DSL, estas exigen ahora que la resultante

R de las componentes axial P y cortante V del sistema fuerza-

par equivalente sea de igual mdulo y direccin pero de

sentido opuesto a T. Como las fuerzas R y T no son

colineales, el equilibrio de momentos exige ahora que

Por tanto, el diseo de miembros rectos de dos fuerzas slo

precisa considerar fuerzas axiales, mientras que los

miembros curvos de dos fuerzas deben disearse para resistir

fuerzas cortantes V y momentos flectores M, as como fuerzas

axiales P. Complica ms an el problema el hecho de que los

valores de V, M y P dependen de donde se corte el miembro.

0. dTM


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Armaduras espaciales

Son armaduras cuyos nudos no se encuentren todos en un

plano y/o cuyos apoyos y cargas no sean coplanarios.

El equivalente tridimensional del tringulo es el tetraedro.

Una armadura espacial simple se forma aadiendo

unidades tetradricas a la armadura con lo que son siempre

rgidas.

Como ahora cada nuevo nudo lleva consigo 3 nuevos

miembros, la relacin entre los n nudos y los m miembros

vendr dado por: m = 3n 6. Estas armaduras, al igual que las planas, se pueden analizar

utilizando el mtodo de los nudos o el de las secciones:

Mtodo de los nudos: al aplicar las EQ en cada nudo obtendremos 3n ecuaciones para calcular las m fuerzas en

los miembros y las 6 reacciones de apoyos.

Mtodo de las secciones: la aplicacin de las EQ a las dos secciones darn 12 EQ (6 c.u.) suficientes para determinar

las 6 reacciones de apoyos y 6 fuerzas de miembros internas

(suele ser difcil hacer pasar una seccin que no corte a ms

de 6 miembros).


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

- 92 -

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Entramados y mquinas

Aun cuando los entramados y las mquinas pueden contener tambin uno o

ms miembros de dos fuerzas, contienen al menos un miembro sobre el

que se ejercen fuerzas en ms de dos puntos o sobre el cual acten fuerzas

y momentos.

Los entramados a su vez son estructuras rgidas mientras que las mquinas

no lo son. Ejemplos:

Mquina Entramado

Esta estructura no

es rgida en el

sentido de que

depende de sus

apoyos para

mantener su forma.

La falta de rigidez

se compensa con

una reaccin ms

de los apoyos.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

En la mquinas el equilibrio global no es suficiente para determinar las 4

reacciones en los apoyos. La estructura debe desmenbrarse y analizarse aun

cuando lo nico que se pida sean las reacciones en los apoyos.

Mas concretamente, el trmino mquina suele utilizarse para describir objetos

que se utilicen para amplificar el efecto de las fuerzas (tenazas, pinzas,

cascanueces, etc.) En cada caso, se aplica al mango del dispositivo una fuerza

de entrada y este elemento aplica una fuerza de salida mucho mayor a donde

sea. Deben desmenbrarse y analizarse aun cuando lo nico que se pida sea la

relacin entre las fuerza aplicada y de salida.

El mtodo de resolucin de entramados y mquinas consiste en desmembrar las

estructuras, dibujar el DSL de cada componente y escribir las EQ para cada

DSL.

En el caso de armaduras, al conocerse la direccin de la fuerza en todos los

miembros, el mtodo de los nudos se reduca a resolver problemas de equilibrio

del punto. Si embargo, como algunos miembros de los entramados y mquinas

no son miembros de dos fuerzas, no se conocen las direcciones de las fuerzas

en dichos miembros con lo que su anlisis consistir en resolver el equilibrio de

un sistema de cuerpos rgidos.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Entramados

El la figura tenemos una mesa en la que ninguno de

sus miembros lo es de dos fuerzas. Adems, aun

cuando pueda doblarse la mesa desenganchando el

tablero de las patas, en su utilizacin normal la mesa

es una estructura rgida estable y por tanto un

entramado.

1 Anlisis de la estructura completa. Dibujamos su

DSL y escribimos las EQ:

0.3,0.6,0

0

0

WDM

WDAF

AF

yA

yyy

xx

dan las reacciones en los apoyos:

A continuacin, se desmiembra la mesa y se dibujan

por separado los DSL de cada una de sus partes.

220

WD

WAA yyx


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Teniendo en cuenta el principio

de accin y reaccin, al dibujar

los DSL, las fuerzas que un

miembro ejerce sobre otro

debern ser de igual mdulo y

direccin, pero de sentido

opuesto, que las fuerzas que el

segundo miembro ejerce sobre

el primero.

Aun cuando no todos los miembros de un entramado puedan ser

miembros de dos fuerzas, es posible e incluso muy probable, que uno

o varios lo sean. Hay que aprovechar dichos miembros y mostrar que

las fuerzas correspondientes se ejercen en su direccin, que es

conocida. Pero, hay que estar seguros antes de hacer esta

simplificacin. En el anlisis de entramados, al contrario que ocurre con

las armaduras, rara vez resulta til analizar por separado el equilibrio de

los pasadores.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

En la mayora de los casos, no importa a qu miembro est unido un pasador

cuando se desmiembra la estructura.

Sin embargo, existen algunas situaciones particulares en las que s importa:

Cuando un pasador conecta un apoyo y dos o ms miembros, el pasador debe asignarse a uno de los miembros. Las reacciones del apoyo estn aplicadas al

pasador de este miembro.

Cuando un pasador conecta dos o ms miembros y a l est aplicada una carga, el pasador deber asignarse a uno de los miembros. La carga estar aplicada al

pasador de este miembro.

Tambin hay que tener cuidado cuando uno o ms miembros que concurran en un

nudo sea miembro de dos fuerzas, siendo recomendables las dos reglas siguientes:

Los pasadores no deben nunca asignarse a miembros de dos fuerzas. Cuando todos los miembros que concurran en un pasador sean miembros de dos

fuerzas, deber suprimirse y analizarse por separado dicho pasador, como se

hace en el mtodo de los nudos para las armaduras.

Para cada parte tenemos 3 EQ, en total 9 EQ para hallar la 6 fuerzas incgnitas

restantes (Bx, By, Cx, Cy, Ex y Ey). La obtencin previa de las reacciones en los

apoyos a partir del equilibrio global del entramado ha reducido a 3 de estas EQ a

una mera comprobacin.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Mquinas

El mtodo anterior tambin se utiliza para analizar

mquinas y otras estructuras no rgidas.

Ejemplo: Prensa de ajos de la figura.

Las fuerzas H1 y H2 aplicadas a las empuaduras

(fuerzas de entrada) se convierten en las fuerzas

G1 y G2 (fuerzas de salida) aplicadas al diente de

ajo.

El equilibrio de toda la prensa solo da H1 = H2; No

da informacin acerca de la relacin entre las

fuerzas de entrada y de salida. Para ello, habr que

desmembrar la mquina y dibujar DSL para cada

una de sus partes. Entonces:

La razn de las fuerzas de salida a las de la

entrada se denomina desarrollo mecnico (DM) de

la mquina. En nuestro caso valdra:

Hb

baGbGHbaM B

)(0

b

baDM


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

- 100 -

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

- 101 -

PROBLEMA, otra resolucin


Geolgica, Minera y

Metalrgica

8VA. SEMANA

EXAMEN PARCIAL

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1b Clase Mecanica Cuerpo Rigido (1)