1Clase Mecanica Cuerpo Rigido 2014 I

Facultad de Ingeniera

Geolgica, Minera y

Metalrgica

CURSO: MECANICA DEL CUERPO RIGIDO

Ing. Wilmer Gmez, MSc.

Abril 4, 2014


Geolgica, Minera y

Metalrgica

COMPETENCIAS

Aptitud Actitud

Destrezas Control emocional

Tcnicas Respeto, puntualidad

Honestidad

Responsabilidad

Mente (lectura)

Persona

Cuerpo EspirituAristoteles, procrastinacin, resiliencia

Lo mas difcil es buscar o encontrar la simplicidad


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Metalrgica

CREATIVIDAD

Oportunidad de aprendizaje: Perder el miedo. Tener curiosidad.

Autoestima aumenta con: Saber. Aprender.

Habito de hacer las cosas es NO PENSAR. No criticar antes de entender. Lo que funciona hoy, no resultar maana.


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Metalrgica


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PRODUCCIN DEL ACERO


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PROCESO DE PRODUCCIN Y AFINADO


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Metalrgica

1RA. SEMANA

Equilibrio de fuerzas:

Fuerzas en el plano y el espacio;

resultante de fuerzas y pares; sistemas de

fuerzas equivalentes; reduccin general

de fuerzas; equilibrio de una partcula.

Seminario


Geolgica, Minera y

Metalrgica

OBJETIVOS

Formar y ensear a los alumnos la mecnica del cuerpo rgido, de tal manera que adquieran destrezas

para su aplicabilidad en empresas industriales o como

futuros empresarios.

Bibliografa Mecnica vectorial para ingenieros, Esttica, dcima edicin,

Russel C. Hibbeler, editorial pearson-prentice hall

Mecnica vectorial para ingenieros, Esttica, sptima edicin, Beer - Johnston, editorial Mgraw Hill

Esttica, J.L. Meriam Fsica, Volumen I, Mecnica, Marcelo Alonso y Edward Finn Paginas de internet http://www.filecrop.com/libros-meriam-estatica.html


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Metalrgica

La mecnica es la parte de la fsica que se encara

del estudio de los movimientos de los cuerpos.

CINTICA

ESTTICA

DINMICA

CINEMTICA

MECANICA

LA CINEMTICA estudia el movimiento, independientemente de las

causas que lo producen.

LA DINMICA, se ocupa de explicar las causas que los producen. La

dinmica se divide en: esttica y cintica.

La esttica estudia los cuerpos de equilibrio o reposo. La cintica estudia los cambios del movimiento ocasionados por

una o ms fuerzas que no estn en equilibrio.

MECANICA Y SUS DIVISIONES


Geolgica, Minera y

Metalrgica

La Mecnica es la rama de la fsica que trata de la respuesta de los

cuerpos a la accin de las fuerzas.

El estudio de la Mecnica se divide en:

Mecnica de cuerpos rgidos:

Esttica. Cuerpos sometidos a fuerzas equilibradas. Dinmica

Cinemtica. Movimiento de cuerpos sin considerar sus causas. Cintica. Cuerpos sometidos a fuerzas no equilibradas

Mecnica de cuerpos deformables:

Rama de la Mecnica que se ocupa de las distribuciones de fuerzas

interiores y de las deformaciones en estructuras y componentes de

maquinaria cuando estn sometidos a sistemas de fuerzas.

Mecnica de fluidos:

Rama de la Mecnica que se ocupa de los lquidos y gases en

reposo o en movimiento. Fluidos compresibles y fluidos

incompresibles (Hidrulica).

INTRODUCCIN A LA MECNICA


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Metalrgica

Magnitudes fundamentales:

Espacio: regin geomtrica donde ocurren los sucesos fsicos

de inters en la mecnica.

Tiempo: intervalo que transcurre entre dos sucesos.

Masa: o materia es toda sustancia que ocupe espacio.

Fuerza: accin de un cuerpo sobre otro por contacto directo o a

distancia. Su efecto exterior es la aceleracin del cuerpo o el

desarrollo de fuerzas resistentes en l.

Consideraciones de inters:

Un punto material tiene masa pero no tiene forma ni tamao. En consecuencia en la solucin de un problema no

intervendr el concepto de rotacin.

Un cuerpo rgido se puede representar como un conjunto de puntos materiales. La forma y tamao del cuerpo se

mantiene constante en el tiempo y condiciones de carga.


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Leyes de Newton (del movimiento): rigen el

movimiento de un punto material:

Inercia F = m . A Accin y reaccin Ley de Gravitacin de Newton

Donde G = 6,673.10-11 m3/(kg.s2)

Masa y peso.

W = G.mt.m/rt2 = m.g

g=9,807 m/s

221

r

mmGF


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Metalrgica

Para la resolucin de problemas seguir los siguientes pasos:

1. Leer el problema atentamente.

2. Identificar el resultado requerido y principios necesarios.

3. Dibujar los diagramas de cuerpo libre y tabular la data.

4. Aplicar los principios y ecuaciones.

5. Dar respuesta adecuada y unidades apropiadas.

6. Estudiar la respuesta y determinar si es razonable.

Hiptesis o aproximaciones frecuentemente utilizadas:

Reducir el estudio del cuerpo sometido a esfuerzos a un punto material.

Tratar a la mayora de los cuerpos como si fuesen rgidos. Despreciar los pesos de miembros en comparacin con

cargas aplicadas.

Considerar una fuerza distribuida, que acte sobre un rea pequea, como una fuerza concentrada en un punto.

MTODO DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS


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Metalrgica

Fuerza es la accin de un cuerpo sobre otro debido al contacto

fsico o efecto gravitatorio, elctrico, magntico.

La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo tiene dos efectos:

Uno exterior que tiende a cambiar su movimiento y otro interior

a deformarlo. Suposicin: si no se deforma el cuerpo es rgido

Si un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo no origina ningn

efecto exterior, el cuerpo est equilibrado. Si el sistema no est

equilibrado y tiene una resultante, el cuerpo experimenta un

cambio en su movimiento.

Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si producen el

mismo efecto en un cuerpo.

La resultante de un sistema de fuerzas, obtenida por

composicin de fuerzas, es el sistema equivalente.

El proceso de desarrollar una fuerza o sistema de fuerzas en otro

equivalente se llama descomposicin. Componente de una

fuerza es una o ms fuerzas en las que puede descomponerse.

INTRODUCCION


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Metalrgica

LAS FUERZA Y SUS CARACTERSTICAS

1. Mdulo (Intensidad de

la fuerza, unidad: N o

kN)

2. Direccin y sentido

(orientacin del

segmento)

3. Punto de aplicacin

(punto de contacto

entre dos cuerpos)


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Recta soporte o lnea de accin: recta que

pasa por el punto de aplicacin y tiene la

direccin de la fuerza.


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Metalrgica

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Las magnitudes escalares son aquellas que quedan descritas por

un nmero. (Ej. masa, densidad, rea, longitud, volumen, energa,

tiempo, temperatura, etc.)

Las magnitudes vectoriales tienen mdulo, direccin y sentido y

obedecen la regla del paralelogramo. (Ej. fuerza, momento,

desplazamiento, velocidad, aceleracin, impulso, cantidad de

movimiento, etc.). Los vectores pueden clasificarse en tres tipos:

1. Libres. su recta no pasa por un punto definido en el espacio. Ej.

Vector ,

2. Deslizantes. su recta pasa por un punto definido en el espacio.

El punto de aplicacin de este vector puede ser cualquiera de

su recta soporte. Ej. Cuerda que tira de un peso arrastrado.

3. Fijos. Tiene punto de aplicacin definido.


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Metalrgica

PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD

Este principio dice que el efecto exterior de una fuerza sobre

un cuerpo rgido es el mismo para todos los puntos de

aplicacin de la fuerza a lo largo de su recta soporte.

As podemos tratar a las fuerzas como vectores deslizantes.

En cambio, el efecto interior de una fuerza (esfuerzo y

deformacin) puede verse muy influido si vara el punto de

aplicacin de la fuerza a lo largo de su recta soporte.


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CLASIFICACIN DE FUERZAS

En funcin de la interaccin 1. Fuerzas de contacto o de superficie. (Ej. empuje o

traccin por medio mecnicos) 2. Fuerzas msicas o de accin a distancia (Ej. efecto de

la gravedad)

Atendiendo a la zona sobre la cual actan

Fuerza distribuida,

aplicada sobre una

longitud o superficie, (Ej.

peso)

Fuerza concentrada (fuerza

aplicada sobre un rea

pequea comparado con el

elemento cargado)


Geolgica, Minera y

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TIPOS DE FUERZAS

CONTACTO

A DISTANCIA

APLICADA FRICCION NORMAL ELASTICA TENSION RESISTENCA DEL AIRE

GRAVITACIONAL ELECTRICA ELECTROMAGNETICA


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1. FUERZAS DE CONTACTO.

Se generan mediante el

contacto fsico directo entre

dos cuerpos

2. FUERZAS MASICAS

se crean por accin a

distancia. Ejm. la fuerza

gravitacional, elctrica y

magntica.

CLASES DE FUERZAS


Geolgica, Minera y

Metalrgica

1. FUERZAS

CONCENTRADAS .

Aquellas que se consideran

aplicada en un punto

2. FUERZAS DISTRIBUIDAS

Aquellas que se consideran

aplicadas en una lnea, un rea

o un volumen

CLASES DE FUERZAS


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Metalrgica

Un sistema de fuerzas constituido por dos o ms fuerzas:

1. Monodimensional. (colineal, con recta soporte comn)

2. Bidimensional. (coplanario, caso particular: fuerzas paralelas)

3. Tridimensional. Un sistema de fuerzas es concurrente cuando

las rectas soporte de todas las fuerzas se corten en un punto

comn.


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DIAGRAMAS DE SLIDO LIBRE

Es el cuerpo de inters separado de los dems cuerpos que

interactan sobre l y en el cual figuran las fuerzas aplicadas

exteriormente a dicho cuerpo.

Etapas en el trazado de un diagrama de slido libre:

1. Decidir qu cuerpo o parte de un cuerpo o grupo de

cuerpos hay que aislar y analizar. Preparar un esquema del

contorno exterior del cuerpo seleccionado.

2. Representar todas las fuerzas, conocidas y desconocidas,

aplicadas por otros cuerpos al cuerpo aislado, mediante

vectores en sus posiciones correctas.

3. Si se desconoce el sentido de alguna de las fuerzas, se

puede suponer y una vez finalizados los clculos, se

concluye su sentido.


Geolgica, Minera y

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RESULTANTE DE DOS FUERZAS

CONCURRENTES

Dos fuerzas concurrentes F1 y F2 que actan sobre un cuerpo

se pueden sustituir por una fuerza Resultante R, que producir

sobre el cuerpo el mismo efecto que las dos originales. La suma

se realiza de dos formas:

Grficamente: Suma vectorial aplicando la regla del

paralelogramo o regla del tringulo

Matemticamente: Ecuacin vectorial: F1 + F2 = R = F2 + F1


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Metalrgica

Los mtodos grficos exigen un dibujo preciso a escala si se

quieren obtener resultados ptimos.

En la prctica se obtienen resultados numricos utilizando

mtodos trigonomtricos basados en los teoremas del seno

y del coseno junto con el esquema del sistema de fuerzas.

En el tringulo de la figura siguiente el teorema del seno se

expresa as:

sen

c

sen

b

sen

a

y el teorema del coseno se expresa as:

cos2222 abbac


Geolgica, Minera y

Metalrgica

RESULTANTE DE TRES O MS FUERZAS

CONCURRENTES

El mtodo de la regla del paralelogramo o del tringulo se puede

extender a los casos de tres o ms fuerzas concurrentes.

En definitiva, se construyen polgonos de fuerzas dando igual

el orden en que sumemos las fuerzas. Ejemplo:


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DESCOMPOSICIN DE UNA

FUERZA EN COMPONENTES

As como podemos sumar dos o ms fuerzas

para obtener una resultante, una fuerza se

puede sustituir por un sistema de dos o ms

fuerzas (componentes de la original).

El proceso de descomposicin no da un

conjunto nico de componentes vectoriales.

En la resolucin de muchos problemas

prcticos no es corriente utilizar componentes

oblicuas de una fuerza pero si es habitual el

empleo de componentes ortogonales

(rectangulares).


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COMPONENTES RECTANGULARES DE

UNA FUERZA

En el caso bidimensional el proceso de

obtencin de componentes rectangulares es

muy sencillo ya que se origina un tringulo

rectngulo, y solo hay que aplicar Pitgoras.

En forma vectorial podemos escribir:

F = Fx + Fy = Fx i +Fy j

Donde:

cos.FFx senFFy .

22

yx FFF x

y

F

Farctan


Geolgica, Minera y

Metalrgica

En casos tridimensionales, una fuerza F en el espacio se puede

descomponer en tres componentes rectangulares mutuamente

ortogonales.

F = Fx + Fy + Fz = Fx i +Fy j + Fz k =

F = F cosx i +F cosy j +F cosz k

222

zyx FFFF

x2cos + y

2cos+ z2cos = 1

Los cosenos directores deben cumplir la

relacin:


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Si un ngulo es mayor

que 90, su coseno es

negativo, lo que indica

que el sentido de la

componente es opuesto

al sentido positivo del eje

de coordenadas

correspondiente.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

RESULTANTES POR COMPONENTES

RECTANGULARES

Rx = Fx = F1x + F2x + F3x + + Fnx = (F1x + F2x + F3x + + Fnx) i = Rx i

Ry = Fy = F1y + F2y + F3y + + Fny = (F1y + F2y + F3y + + Fny) j = Ry j

En el caso de un sistema cualquiera de fuerzas coplanarias

concurrentes y tras determinar las componentes rectangulares

de todas las fuerzas, tenemos:


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Metalrgica

Y segn la regla del paralelogramo:

R = Rx + Ry = Rx i + Ry j

El mdulo de R se calcula aplicando Pitgoras:

22

yx RRR

Adems, el ngulo que forma la recta soporte de R con el eje x es:

x

y

xR

Rarctan

R

Rxx arccos

R

Ryarcsenx


Geolgica, Minera y

Metalrgica

En el caso general de tres o ms fuerzas concurrentes en el

espacio y tras obtener sus componentes rectangulares, se tiene:

Fx = F1x + F2x + F3x + + Fnx = (F1x + F2x + F3x + + Fnx) i = Rx i

Fy = F1y + F2y + F3y + + Fny = (F1y + F2y + F3y + + Fny) j = Ry j

Fz = F1z + F2z + F3z + + Fnz = (F1z + F2z + F3z + + Fnz) k = Rz k

Rx =

Ry =

Rz =

R = Rx + Ry + Rz = Rx i + Ry j + Rz k

El mdulo de R se calcula as: 222

zyx RRRR

R

Rxx arccos R

Ryy arccos

R

Rzz arccos

Los ngulos que forma R con los

semiejes de coordenadas positivos son:


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Metalrgica

PROB - SOL


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Metalrgica

PROBLEMAS

Cul es la resultante en

cada caso?


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMAS

Calcular la fuerza vectorial

en el eje xy Mostrar la fuerza en forma vectorial

Calcular la fuerza A, si el

sistema esta en equilibrio


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Dos cables se amarran juntos en C y se cargan

como se muestra en la figura. Determine la

tensin en : a) en cable AC y b) el cable BC.

PROB - SOL


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Metalrgica

DCL BTAT

600

BA 87,36

16

12

A

Atag

6,43

21

20

B

Btag

B

AAB

AABB

AABB

TT

TT

Fx

senTsenT

Fy

cos

cos

0coscos

0

0600

0

(1)

(2)

SOLUCION

lbT

lbT

B

A

18,487)6.43cos(

)87,36cos(441

44136,1

600


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Los tirantes de cable AB y AD sostienen al poste AC. Se

sabe que la tensin es de 500 N en AB y 160 N en AD,

ahora determine grficamente la magnitud y la direccin

de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en

A usando a) la ley del paralelogramo y b) la regla del

tringulo.

PROB - SOL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Calculamos: = 51.3, = 59

Calculamos: R = 575 N, = 67

SOLUCION


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Determine la magnitud y la direccin de la fuerza P requerida

para mantener el sistema de fuerzas concurrentes en

equilibrio.

60

120

45

F1 = 2 kN

F3 = 0.5 kN

F2 = 2 kN

P

z

y

x

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Un recipiente esta sostenido por tres cables que se atan al

techo como se muestra. Determnese el peso W del

recipiente sabiendo que la tensin en el cable AD es 4.3 kN

PROB - SOL


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A(0,0,0) B(-450,600,0) C(0,600,-320) D(500,600,360)

)360,600,500(

)320,600,0(

)0,600,450(

AD

AC

AB

860

680

750

AD

AC

AB

kji

kj

ji

AD

AC

AB

42.07.058.0

47.088.0

8.06.0

0f

0)()42.07.058.0()47.088.0()8.06.0(

0

0

WjTkjiTkjTji

WTTT

WTTT

ADACAB

WADADACACABAB

ADACAB

SOLUCION

kNW

kNT

kNT

AC

AB

71.9

84.3

16.4


Geolgica, Minera y

Metalrgica

2DA. SEMANA

Equilibrio en el plano y en el espacio.

Equilibrio en el espacio; diagrama de

cuerpo libre; tipos de reacciones y

ligaduras y reacciones estticas; grados

de hiperestaticidad: general, exterior e

interior; equilibrio en el plano.

1ra prctica calificada


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Las condiciones necesarias para que un cuerpo se

encuentre en equilibrio, en forma sencilla debe cumplir

lo siguiente:

Fx = 0; Fy = 0; Fz = 0

Mx = 0; My = 0; Mz = 0

Donde el termino F representa las fuerzas aplicadas

sobre el cuerpo en las direcciones x, y, z, de un

sistema coordenado ortogonal. Anlogamente, el

termino M esta referido a los momentos que se ejercen

en el cuerpo, en las direcciones x, y, z.

EQUILIBRIO EN EL PLANO Y ESPACIO


Geolgica, Minera y

Metalrgica

48

LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIN EN EL ESPACIO

Por cada grado de libertad restringido aparecer una reaccin. tipos de ligaduras ms comunes son:

Empotramiento: Restringe todos los grados de libertad

Tres desplazamientos (u, v, w )

Tres giros (Fx, Fy, Fz)

Punto en el espacio

( 6 grados de libertad)

6 Reacciones 3 Fuerzas

3 Momentos

Articulacin: Restringe los tres desplazamientos 3 Reacciones 3 Fuerzas


Geolgica, Minera y

Metalrgica

49

Por cada grado de libertad restringido aparecer una reaccin. tipos de ligaduras ms comunes son:

Dos desplazamientos (u, v )

Un giro (Fz)

Punto en el Plano

( 3 grados de libertad)

LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIN EN EL PLANO


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Articulacin intermedia. No se trata de una ligadura con el entorno sino de un elemento de unin entre dos partes del slido elstico. Permite el giro entre las dos partes del slido.

Reacciones proporcionales a los desplazamientos

Ligaduras Reales. En la realidad, la mayor parte de las ligaduras no restringen totalmente los desplazamientos y/o giros en un punto. Este tipo de ligaduras se estudian asimilndolas a muelles

lineales (impiden parcialmente los desplazamientos) o muelles a torsin (impiden parcialmente los

giros).

Cada articulacin nos proporciona una ecuacin de equilibrio adicional, ya que el momento en ese punto

es nulo al estar permitido el giro.

LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIN


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Las reacciones son fuerzas externas que se calculan aplicando equilibrio esttico. Sea R el nmero de reacciones (igual al nmero de grados de libertad impedidos) y sea E el nmero de ecuaciones de

equilibrio disponibles. En un sistema de barras sin contornos cerrados:

Si R = E Sistema ISOSTTICO

Si R < E Sistema HIPOESTTICO Mecanismo

El nmero de ecuaciones es suficiente

para el clculo de las reacciones

SISTEMA HIPOESTATICO E ISOSTATICO


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Si R > E Sistema HIPERESTTICO El nmero de ecuaciones no es suficiente.

GH = R-E GRADO DE

HIPERESTATICIDAD

Hay que aadir tantas ecuaciones de

compatibilidad de deformaciones como GH

tenga el sistema

SISTEMA HIPERESTATICO: GRADO DE HIPERESTATICIDAD


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Cojinete de bolas

El cojinete de bolas ideal (liso) tiene por misin

transmitir una fuerza R en una direccin

perpendicular al eje del cojinete.

Si el cojinete tiene la direccin del eje y, la accin

del cojinete se representa en el DSL por las

componente Rx y Rz.

Gozne (Bisagra)

Normalmente destinado a transmitir una fuerza R en una

direccin perpendicular al eje del pasador del gozne. Su

diseo puede tambin permitir transmitir una componente

de la fuerza a lo largo del eje del pasador. Ciertos goznes

pueden transmitir pequeos momentos respecto a ejes

perpendiculares a ejes del pasador.

Las parejas de goznes alineadas adecuadamente slo

transmiten fuerzas en las condiciones de utilizacin

normales.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Cojinete de empuje

Transmiten componentes de fuerza tanto

perpendiculares como paralelas al eje del cojinete.

Ciertos cojinetes de empuje transmiten pequeos

momentos respecto a ejes perpendiculares al eje

del rbol. Las parejas de cojinetes alineados

adecuadamente, transmiten fuerzas en condiciones

normales de funcionamiento.

Cojinete de friccin (Chumacera)

Transmite una fuerza R en una direccin

perpendicular a su eje. Ciertas chumaceras

transmiten pequeos momentos respecto a

ejes perpendiculares al eje del rbol. Las

parejas de chumaceras alineadas

adecuadamente slo transmiten fuerzas

perpendiculares al eje del rbol.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Articulacin lisa de pasador

Transmite una fuerza R en una

direccin perpendicular al eje del

pasador, pero tambin transmite

una componente de fuerza segn

dicho eje. Tambin transmite

pequeos momentos respecto a

ejes perpendiculares al eje del

pasador. Apoyo fijo (Empotramiento)

Puede resistir tanto una fuerza R

como un par C. Se desconocen los

mdulos y direcciones de fuerza y

par por lo que en el DSL se

representan las tres componentes

rectangulares de cada uno.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

Dibujar el diagrama de slido libre de la viga

de la figura.

PROB - SOL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

Dibujar el diagrama de slido libre de la viga de la

figura. Despreciar el peso de la viga.

PROB - SOL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSLs

Un cilindro se apoya sobre una superficie lisa

formada por un plano inclinado y una armadura

de dos barras. Dibujar el diagrama de slido

libre para el cilindro, para la armadura de dos

barras y para el pasador en C.

PROB - SOL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

- 59 -

DSLs

Dibujar el diagrama de slido

libre para la polea, para el poste

AB y la viga CD.

PROB - SOL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

Dibujar el diagrama de slido libre de la barra curva

soportada por una rtula en A, un cable flexible en B

y una articulacin de pasador en C. Desprciese el

peso de la barra.

PROB - SOL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Cuerpos (miembros) de 2 fuerzas

Ejemplo: barra de conexin de peso despreciable

(figura). Las fuerzas que sobre la barra ejercen los

pasadores lisos situados en A y B se pueden

descomponer en componentes segn el eje de la barra

y perpendicular a l. Aplicado ecuaciones de equilibrio:

Las fuerzas Ay y By forman un par que debe ser nulo si

la barra est en equilibrio, por tanto:

As pues, en los miembros de dos fuerzas, el equilibrio

exige que las fuerzas sean de igual mdulo y recta

soporte, pero opuestas. La forma del miembro no

influye en este sencillo requisito. Los pesos de los

miembros deben ser despreciables.

yyyyy

xxxxx

BABAF

BABAF

00

000 yy BA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Cuerpos (miembros) de 3 fuerzas

El equilibrio de un cuerpo bajo la accin de tres fuerzas

constituye tambin una situacin especial.

Si un cuerpo est en equilibrio bajo la accin de tres fuerzas las

rectas soportes de stas deben ser concurrentes (pasar por

un punto comn).

Si no fuera as, la fuerza no concurrente ejercera un momento

respecto al punto de concurso de las otras dos fuerzas.

Caso particular: Un cuerpo sometido a tres fuerzas paralelas. El

punto de concurso es el infinito.

DSL de AB


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Reacciones hiperestticas y

ligaduras parciales Tenemos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas coplanarias. Este puede

sustituirse por uno equivalente formado por una fuerza que pase por un punto arbitrario

A y un par.

Para que el cuerpo est en equilibrio, los apoyos deben poder

ejercer sobre el cuerpo un sistema fuerza-par igual y opuesto

(ligaduras). Ejemplo: Consideremos los apoyos de la figura (a)

El pasador en A puede ejercer fuerzas en x y en y que eviten la

traslacin del cuerpo pero no puede ejercer un momento que

impida la rotacin entorno a A. La barra B origina una fuerza en y

generando as un momento respecto a A que impida la rotacin

del cuerpo. Cuando las ecuaciones de equilibrio sean suficientes

para determinar las fuerzas incgnitas en los apoyos el cuerpo

est determinado estticamente con ligaduras adecuadas

(isostticas).


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Tres reacciones vinculares para un cuerpo sometido a un sistema de

fuerzas coplanario no siempre garantizan que el cuerpo est determinado

estticamente con ligaduras isostticas.

Ejemplo 1: El pasador en A puede ejercer fuerzas en x y en y que eviten la

traslacin del cuerpo, pero como la recta soporte de Bx pasa por A, no

ejerce el momento necesario para evitar la rotacin en torno a A.

El cuerpo est ligado parcialmente (insuficientemente) y las ecuaciones de

equilibrio no son suficientes para determinar todas las reacciones

incgnitas. Lo mismo ocurre en el siguiente ejemplo:


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Ejemplo 2: Sus tres conexiones pueden evitar la rotacin en torno a un punto

cualquiera y la traslacin del cuerpo en la direccin y pero no la traslacin del

cuerpo en la direccin x.

Un cuerpo con un nmero adecuado de reacciones est insuficientemente

ligado cuando las ligaduras estn dispuestas de tal manera que las fuerzas

en los apoyos sean concurrentes o paralelas.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Los cuerpos ligados parcialmente pueden estar en equilibrio bajo la

accin de sistemas de fuerzas especficos.

Ejemplo: Las reacciones RA y RB de la viga se pueden determinar

usando

Sin embargo, la viga est insuficientemente ligada ya que se movera en

la direccin x si cualquiera de las cargas aplicadas tuviera una pequea

componente segn x.

0

0

A

y

M

F


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Los cuerpos ligados con apoyos de ms estn indeterminados

estticamente ya que sern necesarias relaciones referentes a

propiedades fsicas del cuerpo (sistemas hiperestticos). Los apoyos que

no son necesarios para mantener el equilibrio del cuerpo se llaman

superabundantes. Ejemplos:

Si en vez de una conexin rgida en B colocamos un pasador, se obtiene una

reaccin adicional Bx que no es necesaria para evitar el movimiento del

cuerpo. As, las 3 ecuaciones independientes de equilibrio no proporcionan

suficiente informacin para determinar las 4 incgnitas.

DSL DSL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

Una armadura conectada mediante pasadores est

cargada y apoyada en la forma que se indica en la figura.

El cuerpo W tiene una masa de 100 kg. Determinar las

componentes de las reacciones en los apoyos A y B.

PROB - SOL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

Una viga est cargada y apoyada en la forma que

se indica en la figura. Determinar las

componentes de las reacciones en los apoyos A

y B.

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

Una viga est cargada y apoyada en la forma que se indica en

la figura. Determinar las componentes de las reacciones en

los apoyos A y B.

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

Un entramado conectado mediante pasadores est cargado

y apoyado segn se indica en la figura. Determinar las

reacciones en los apoyos A y B.

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSLs

Un entramado de dos barras conectado por pasadores

est cargado y apoyado segn se indica en la figura.

Determinar las reacciones en los apoyos A y B.

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

Una barra que pesa 1250 N est soportada por un poste y

un cable segn se indica en la figura. Se suponen lisas

todas las superficies. Determinar la tensin del cable y las

fuerzas que se ejercen sobre la barra en las superficies

de contacto.

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSLs

PROBLEMA

Un cilindro de masa 50 kg se apoya sobre un

plano inclinado y un entramado de dos barras

articulado por pasador. Suponiendo lisas

todas las superficies, determinar:

a) Las fuerzas que sobre el cilindro ejercen

las superficies de contacto.

b) Las reacciones en los apoyos A y C del

entramado de dos barras.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas se

determina descomponiendo cada fuerza del sistema en una

fuerza igual y paralela que pase por un punto dado (O origen de

coordenadas) y un par.

El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) :

Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con mdulo, direccin y sentido igual a los de las fuerzas del

sistema original.

Un sistema de pares no coplanarios.

Equilibrio en tres dimensiones


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

Una placa que pesa 2,5 kN est soportada por un rbol AB y

un cable C. En A hay un cojinete de bolas y en B un cojinete

de empuje. Los cojinetes estn alineados adecuadamente

de forma que solo trasmiten fuerzas. Determinar las

reacciones en los cojinetes A y B y la tensin en el cable C

cuando se apliquen a la placa las tres fuerzas indicadas.

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

Un poste y un soporte sostienen una

polea. Un cable que pasa sobre la

polea transmite una carga de 2500 N

en la forma indicada. Determinar la

reaccin en el apoyo A del poste.

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

Las masas de las cajas que descansan sobre la

plataforma son 300 kg, 100 kg y 200 kg respectivamente.

La masa de la plataforma es de 500 kg. Determinar las

tensiones de los tres cables A, B y C que la soportan.

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

DSL

El tablero de la figura tiene una masa de 25 kg y lo

mantienen en posicin horizontal dos goznes y una barra.

Los goznes estn alineados adecuadamente de forma que

solo ejercen reacciones de fuerza sobre el tablero.

Supngase que el gozne en B resiste toda fuerza dirigida

segn el eje de los pasadores de los goznes. Determinar

las reacciones en los apoyos A, B y D.

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Una torre de transmisin se sostiene por tres alambres los cules estn

anclados mediante pernos en B, C y D. a) Si la tensin en el alambre AD es de

315 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el

perno en D. b) Si la tensin en el alambre AB es de 525 lb, determine las

componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en B. c) Si la

tensin en el alambre AC es de 425 lb, determine las componentes de la fuerza

ejercida por el alambre sobre el perno en C. Ver figura.

PROB - SOL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ngulos x, y y z y despus obtener las componentes de la fuerza. _________________

d = (dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AD son:

dx = 74 ft, dy = 100 ft, dz = -20 ft

______________________

d = (74 ft)2 + (100 ft)2 + (-20 ft)2

d = 126 ft

Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d Cos x = 74 ft/126 ft = 0.5873; x = cos-1 0.5873 = 54. Fx = F cos x. Fx = 315 lb x 0.5873 = Fx = 185 lb. Cos y = 100 ft/126 ft = 0.7936; y = cos-1 0.7936 = 37.4. Fy = F cos y. Fy = 315 lb x 0.7936 = 245 lb. Cos z = - 20 ft/126 ft = - 0.1587. z = cos-1 - 0.1587 = . Fz = F cos z. Fz = 315 lb x 0.1587 = -50 lb.

SOLUCION a)


Geolgica, Minera y

Metalrgica


d = (dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son:

dx = - 25 ft, dy = 100 ft, dz = -20 ft

______________________

d = (-25 ft)2 + (100 ft)2 + (-20 ft)2

d = 105 ft

Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d; Cos x = -25 ft/105 ft = - 0.2380. x = cos-1 - 0.2380 = 103.7; Fx = F cos x. Fx = 525 lb x - 0.2380 = Fx = - 125 lb.

Cos y = 100 ft/105 ft = 0.9523; y = cos-1 0.9523 = 17.7. Fy = F cos y. Fy = 525 lb x 0.9523 = 500 lb. Cos z = - 20 ft/105 ft = - 0.1904; z = cos-1 - 0.1904 = . Fz = F cos z. Fz = 525 lb x 0.1904 = -100 lb.

SOLUCION b)


Geolgica, Minera y

Metalrgica


d = (dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son:

dx = - 18 ft, dy = 100 ft, dz = 60 ft

______________________

d = (-18 ft)2 + (100 ft)2 + (60 ft)2

d = 118 ft

Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d Cos x = -18 ft/118 ft = - 0.1525; x = cos-1 - 0.1525 = 98.7. Fx = F cos x. Fx = 425 lb x - 0.1525 = Fx = - 64.8 lb. Cos y = 100 ft/118 ft = 0.8474; y = cos-1 0.8474 = 17.7. Fy = F cos y. Fy = 425 lb x 0.8474 = 360 lb; Cos z = 60 ft/118 ft = 0.5084 z = cos-1 - 0.5084 = Fz = F cos z. Fz = 425 lb x 0.5084 = 216 lb.

SOLUCION c)


Geolgica, Minera y

Metalrgica

3RA. SEMANA

Fuerzas distribuidas.

Fuerzas distribuidas a lo largo de una

lnea y de una superficie.

Seminario


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Se emplean tres cables para amarrar al globo mostrado en la

figura de abajo. Se sabe que la tensin en el cable AC es de

444 N, suponiendo que el globo est en equilibrio, determine el

valor de las tensiones de los cables AB y AD.

PROB - SOL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Para hallar las componentes de la cuerda AC, primero hallamos la distancia total de acuerdo a las distancias dadas en la figura:

_________________

d = (dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son:

dx = - 4.2 m, dy = 5.6 m, dz = 2.4 m

______________________

d = (-4.2 m)2 + (5.6 m)2 + (2.4 m)2

d = 7.4 m

Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d Cos x = - 4.2 m /7.4 m = - 0.5675; x = cos-1 - 0.5675 = 124.6. Fx = F cos x. Fx = 444 N x - 0.5675 = Fx = - 252 N. Cos y = 5.6 m /7.4 m = 0.7567; y = cos-1 0.7567 = 40.8. Fy = F cos y. Fy = 444 N x 0.7567 = 225.7 N. Cos z = 2.4 m /7.4 m = 0.3243; z = cos-1 0.3243 = 71. Fz = F cos z. Fz = 444 N x 0.3243 = 144 N.

SOLUCION


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Ahora sacamos la distancia total, para el cable AB, como puede verse en la figura, el perno B, est exactamente situado sobre el eje X, por lo cual solamente tiene componente en Y y en Z, los cuales son:

__________

d = (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son:

dy = 5.6 m, dz = - 4.2 m

______________________

d = (5.6 m)2 + (-4.2 )2

d = 7 m. Ahora se sacan los ngulos y y z para la cuerda AB: Cos y = dy/d, cos z = dz/d ; Cos y = 5.6 m /7 m = 0.8 y = cos-1 0.8 = 36.8; FyAB = AB cos x. FyAB = AB (0.8) = Cos z= -4.2 m /7 m = -0.6 ; z = cos-1 - 0.6 = 126.8. FzAB = AB (-0.6)

SOLUCION


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Ahora sacamos la distancia total, para el cable AD, como puede verse en la figura, el perno D, est exactamente situado sobre el eje Z, por lo cual solamente tiene componente en X y en Y, los cuales son:

__________

d = (dx2) + (dy2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AD son:

dx = 3.3 m, dy = 5.6 m

______________________

d = (3.3 m)2 + (5.6 m )2

d = 6.5 m. Ahora se sacan los ngulos x y y para la cuerda AD: Cos x = dx/d, cos y = dy/d; Cos x = 3.3 m /6.5 m = 0.5076 x = cos-1 0.5076= 59.4; FxAD = AD cos x. FxAD = AD (0.5076) = Cos y= 5.6 m /6.5 m = 0.8615 ; y = cos-1 0.8615 = 30.5. FyAD = AD (0.8615); sumatoria de fuerzas: Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0. Fx = - 252 N + AD (0.5076) = 0; Fx = AD (0.5076) = 252 N. Ahora despejamos AD: AD = 252/0.5076 N = 496.4 N.

Fy = 225.7 N + AB (0.8) = 0; Fy = AB (0.8) = - 225.7 N. despejando AB, tenemos: AB = 225.7/ 0.8 N = 282.12 N.

SOLUCION


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Una placa rectangular est sostenida por los 3 cables

mostrados en la figura. Sabiendo que la tensin en el cable AB

es de 408 N, determine las componentes de la fuerza ejercida

sobre la placa en B.

PROB - SOL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ngulos x, y y z y despus obtener las componentes de la fuerza AB. _________________


dx = -13 cm, dy = 48 cm, dz = -32 cm

__________________________

d = (-13 cm)2 + (48 cm)2 + (- 32 cm)2

d = 59.1 cm

Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d Cos x = -13 cm/59.1 cm = - 0.2199; x = cos-1 - 0.2199 = 102.7. Fx = F cos x. Fx = 408 N x - 0.2199 = Fx = - 89.7 N. Cos y = 48 cm /59.1 cm = 0.8121; y = cos-1 0.8121= 35.7. Fy = F cos y. Fy = 408 N x 0.8121 = 331.3 N. Cos z = - 32 cm/59.1 cm = - 0.5414; z = cos-1 - 0.5414 = 122.7 Fz = F cos z. Fz = 408 N x 0.5414 = - 220.8 N.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Una placa rectangular est sostenida por los 3

cables mostrados en la figura anterior .

Sabiendo que la tensin en el cable AD es de

429 N, determine las componentes de la fuerza

ejercida sobre la placa en D.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ngulos x, y y z y despus obtener las componentes de la fuerza AD. _________________


dx = 36 cm, dy = 48 cm, dz = -25 cm

__________________________

d = (36 cm)2 + (48 cm)2 + (- 25 cm)2

d = 65 cm

Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d; Cos x = 36 cm/65 cm = 0.5538. x = cos-1 0.5538 = 56.3; Fx = F cos x. Fx = 429 N x 0.5538= Fx = 237.5 N.

Cos y = 48 cm /65 cm = 0.7384; y = cos-1 0.7384= 42.4. Fy = F cos y. Fy = 429 N x 0.7384 = 316.7 N; Cos z = - 25 cm/65 cm = - 0.3846.

z = cos-1 - 0.3846= 112.6; Fz = F cos z. Fz = 408 N x 0.3846 = - 165 N.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

a) La expresin vectorial F=(300 N) i + (150 N) j + (100

N) k, define el sentido y la direccin de una fuerza en

el espacio, hallar el ngulo que definen dicha fuerza

con respecto al eje Y si su magnitud es de 600 N.

Cos y = Fy/F; Cos y = 150 N/600 N = 0.25

y = cos-1 0.25 = 75.52.

b) La expresin vectorial F=(300 N) i + (150 N) j+ (100

N) k define el sentido y la direccin de una fuerza en el

espacio, hallar el ngulo que definen dicha fuerza con

respecto al eje X si su magnitud es de 600 N.

Cos x = Fx/F; Cos x = 300 N/600 N = 0.5

x = cos-1 0.5 = 60.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

c) La expresin vectorial F=(300 N) i + (150 N) j+ (100 N) k define el sentido y la direccin de una fuerza en el espacio. Hallar el ngulo que definen dicha fuerza con respecto al eje Z. ____________________

F= Fx2 + Fy2 + Fz2

________________________

F = (300 N)2 + (150 N)2 + (100)2 ____________

F= 122500 N2 = 350 N Cos z = Fz/F; Cos z = 100 N/350N = 0.2857 z = cos-1 0.2857= 73.40. d) Una fuerza F= (100 N) i + (200 N) j +(300) k define la tensin de una cuerda que

sostiene un poste de madera. Calcular el ngulo que forma la fuerza con el eje Y.

F= Fx2 + Fy2 + Fz2

________________________

F = (100 N)2 + (200 N)2 + (300)2

____________

F= 140000 N2 = 374.16 N; Cos z = Fz/F; Cos z = 300 N/374.16 N = 0.8017; z = cos-1 0.8017= 56.69.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

e) El vector distancia d= (40 m) i +(20 m) j (60 m) k define la direccin de la fuerza F cuyo valor es de 1000 N. Hallar la expresin vectorial de la fuerza.

____________

d= dx2 + dy2 + dz2

________________________

d = (40 m )2 + (20 m)2 + (- 60 m)2

____________

d= 5600 m2 = 74.83 m.

F = dx F + dy F + dz F

d d d

F = 40 m 1000 N +20 m 1000 N -

74.83 m 74.83 m

60 m 1000 N

74.83 m

F = (534.54 N) i + (267.27 N) j - (801.81 N) k.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

f) El vector distancia d= (40 m) i +(20 m) j (60 m) k define la direccin de la fuerza F cuyo valor es de 1000 N. Hallar el ngulo que forma con respecto al eje Y.

____________

d= dx2 + dy2 + dz2

________________________

d = (40 m )2 + (20 m)2 + (- 60 m)2

____________

d= 5600 m2 = 74.83 m.

Fy = 20 m (1000 N ) = 267.27 N

74.83 m

Cos y = Fy/F

Cos y = 267.27 N = 0.2672

1000 N

y = cos-1 0.2672 = 74.5.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Momentos y sus caractersticas

El momento de una fuerza respecto a un

punto o respecto a un eje es una medida de

la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor

del punto o del eje.

Ejemplo:

El momento de F respecto de O es una

medida de la fuerza a hacer girar el cuerpo

alrededor del eje AA.

La recta AA es perpendicular al plano que

contiene a la fuerza F y al punto O.

Punto O: Centro del momento.

d: Brazo del momento.

Recta AA: Eje del momento.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

El momento tiene mdulo, direccin y sentido y se

suma de acuerdo con la regla de adicin del

paralelogramo.

Magnitud vectorial

Mdulo: Producto del mdulo de la F por la

distancia d medida desde la recta soporte de la

fuerza al eje AA.

Sentido del momento:

Se indica mediante una flecha curva en torno al

punto.

Por definicin:

Rotacin anti horaria: momento positivo Rotacin horaria: momento negativo

dFMM OO .Unidades: N .

m


Geolgica, Minera y

Metalrgica

- 99 -

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

El momento M de la resultante R de un

sistema de fuerzas respecto a cualquier

eje o punto es igual a la suma vectorial de

los momentos de las distintas fuerzas del

sistema respecto a dicho eje o punto.

Los mdulos de los momentos respecto al

punto O de la resultante R y de las

fuerzas A y B son:

Principio de los momentos, Teorema de Varignon

)cos(

)cos(

)cos(

hBBbM

hAAaM

hRRdM

B

A

R

En la figura se ve que:

Por lo que: coscoscos BAR

BAR MMM


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA

Para cada caso,

calcular el momento

respecto al punto O


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA

Calcular las reacciones en A y B


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Representacin vectorial de un Momento

Vectorialmente, El momento de una fuerza F respecto a

un punto O, ser:

Donde r es el vector de posicin de O a A de la recta

soporte de F. As: MO = r x F = (r F sen ) e

: es el ngulo que forman los dos vectores (r y F)

e : es el vector unitario perpendicular al plano que contiene a

los vectores r y F.

(r . sen a) : distancia d del centro del momento O a la recta

soporte de F

MO = r x F


Geolgica, Minera y

Metalrgica

En la figura apreciamos que la distancia d

es independiente de la posicin de A

sobre la recta soporte:

332211 senrsenrsenr

Podemos escribir la ecuacin vectorial del momento como:

MO = r x F = (r F sen a) e = F d e = MO e

La direccin y sentido del vector unitario

e estn determinados por la regla de la

mano derecha (los dedos de la mano

derecha se curvan de manera de llevar

el sentido positivo de r sobre el sentido

positivo de F y el pulgar seala el

sentido de MO


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Momento de una fuerza respecto a un punto

r = rA/B = rA - rB = (xA xB) i + (yA yB) j + (zA zB) k

El vector r que va del punto respecto del cual hay que determinar

el momento (B) a un punto cualquiera de la recta soporte de la

fuerza F (A) se puede expresar as:

MO = r x F

La ecuacin vectorial de

clculo del momento de

una fuerza respecto a un

punto:

Es aplicable tanto al caso

bidimensional como al

tridimensional.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Consideremos 1 el momento MO respecto del origen de

coordenadas de una fuerza F contenida en el plano xy:

F = Fx i + Fy j; r = rx i + ry j

MO = r x F =

i j k

rx ry 0

Fx Fy 0

= (rxFy ryFx) k = Mz k

* MO es perpendicular al plano xy (segn eje z)

* MO positivo (sentido antihorario)

* MO negativo (sentido horario)

Caso bidimensional


Geolgica, Minera y

Metalrgica

El momento MO respecto del origen de coordenadas de una fuerza

F con orientacin espacial se determinar as:

F = Fx i + Fy j + Fz k; r = rx i + ry j+ rz k

MO = r x F = =

i j k

rx ry rz Fx Fy Fz

M= Mx i + My j + Mz k = MO e

= (ry Fz rz Fy) i + (rz Fx rx Fz) j + (rx Fy ry Fx) k =

222

zyxO MMMM Donde:

e = i + j + k xcos ycos zcos

Caso tridimensional


Geolgica, Minera y

Metalrgica

O

xxM

Mcos

O

y

yM

Mcos

O

zzM

Mcos

Los cosenos directores asociados al vector unitario e son:

Los momentos obedecen todas las leyes del Algebra vectorial y

puede considerarse que son vectores deslizantes cuyas

rectas soporte coinciden con los ejes de momentos.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

El Teorema de Varignon no est limitado a dos fuerzas concurrentes sino

que se puede extender a cualquier sistema de fuerzas.

pero

por tanto

Entonces

Ecuacin que indica que el momento de la resultante de un nmero

cualquiera de fuerzas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas

individuales.

RrM O

nFFFR ...21

nnO FrFrFrFFFrM ...... 2121

nRO MMMMM ...21


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Momento de una fuerza respecto a un eje

El momento de una fuerza respecto de un punto no tiene significado fsico en

mecnica por que los cuerpos giran en torno a ejes y no alrededor de puntos.

El momento MOB de una fuerza respecto a un eje n se puede obtener:

1 Calculando el momento MO respecto a un punto O del eje.

2 Descomponiendo MO en una componente M paralela al eje n y otra M perpendicular a este:

MOB = M = (MO . en) en = [(r x F) . en] en = MOB en

Donde:

enx, eny y enz son las

componentes

cartesianas (cosenos

directores) del vector

unitario en.

MOB = (r x F). en= enx eny enz rx ry rz Fx Fy Fz


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Pares

Dos fuerzas de igual mdulo, paralelas, no colineales y de

sentidos opuestos forman un par. As, la suma de las dos fuerzas

es nula en cualquier direccin, por lo que un par tender

solamente a hacer girar el cuerpo al que est aplicado.

El momento de un par es la suma de

los momentos de las dos fuerzas que

constituyen el par.

dFM A 2 dFM B 1

FFF 21 FdMM BA

El mdulo del momento de un par

respecto a un punto de su plano es

igual al mdulo de una de las fuerzas

por la distancia que las separa.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

La suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a un punto

cualquiera O es:

y como: 2211 FrFrMO 12 FF

11211211 /)()( FrFrrFrFrM BAO

edFesenFrFrMBA

BAO 111 ...//

r A/B vector posicin y e vector

unitario (regla mano derecha).

Por la ecuacin anterior, el

momento de un par no depende de

la situacin de O por lo que el

momento de un par es un vector

libre.

Pares


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Las caractersticas de un par, que rigen su

efecto exterior sobre los cuerpos rgidos, son:

El mdulo del momento del par El sentido del par (sentido de rotacin) La direccin o pendiente del plano del par (definida por la normal al plano n)

Se pueden efectuar diversas

transformaciones del par sin que varen sus

efectos exteriores sobre un cuerpo:

Un par puede trasladarse a una posicin paralela en su plano o a cualquier plano

paralelo.

Un par puede hacerse girar en su plano. El mdulo de las dos fuerzas del par y las distancia que las separa se pueden variar

mientras se mantenga constante el producto

F.d

Pares


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Un nmero cualquiera de pares coplanarios pueden sumarse algebraicamente

para dar un par resultante.

Un sistema de pares en el espacio (como el de la figura) pueden combinarse para

dar un par resultante nico. Como el momento de un par es un vector libre

colocamos cada par en el origen de un sistema de coordenadas,

descomponemos cada par segn sus componentes rectangulares y sumamos las

componentes correspondientes.

eCkCjCiCCCCC zyxzyx

222 zyx CCCC kjie zyx coscoscos

C

C

C

C

C

C

z

z

y

y

x

x

arccos

arccos

arccos

Pares


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Descomposicin de una fuerza en una fuerza y un par

En muchos problemas conviene descomponer una fuerza en una

fuerza paralela y un par (figura).

Recprocamente, una fuerza y un par coplanario con ella se

pueden combinar dando una fuerza nica en el plano en

cuestin. As, el nico efecto exterior de combinar un par con

una fuerza es desplazar a una posicin paralela la recta soporte

de la fuerza.


Geolgica, Minera y

Metalrgica


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Sistemas de fuerzas coplanarias

Su resultante puede determinarse mediante las

componentes rectangulares de las fuerzas en cualquier

pareja conveniente de direcciones perpendiculares.

eRjRiRRRR yxyx

R

F

R

F

jie

FFR

FR

FR

y

y

x

x

yx

yx

yy

xx

cos

cos

coscos

22


Geolgica, Minera y

Metalrgica

La situacin de la recta soporte de la resultante respecto a un punto

arbitrario O se puede utilizar aplicando el principio de los momentos:

OnnR MdFdFdFdFRd ...332211

Luego: R

Md

O

R

Sentido de dR : (horario o antihorario) segn OM

La situacin de la recta soporte de la resultante respecto a O se

puede especificar tambin determinando la interseccin de la

recta soporte de la fuerza con uno de los ejes de coordenadas.

y

O

RR

Mx

Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas

coplanarias puede ser o una fuerza R o un par C.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Sistemas de fuerzas no coplanarias

Si todas las fuerzas de un sistema tridimensional son paralelas, la

fuerza resultante tiene por mdulo su suma algebraica y la recta

soporte de la resultante se determina mediante el principio de los

momentos:

nnO

n

FrFrFrRrM

kFkRFFFR

...

...

2211

21

La interseccin con el plano xy de

la recta soporte de la fuerza

resultante se localiza as:

R

My

R

Mx

MyFyFyFRy

MxFxFxFRx

x

R

y

R

xnnR

ynnR

;

...

...

2211

2211


Geolgica, Minera y

Metalrgica

- 120 -


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Sistemas de fuerzas cualesquiera

La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas cualesquiera

(figura 1) se puede determinar descomponiendo cada fuerza del

sistema en una fuerza igual y paralela que pase por un punto dado

(O origen de coordenadas) y un par. (figura 2)

El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) :

Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con mdulo, direccin y sentido igual a los de las fuerzas del sistema

original.

Un sistema de pares no coplanarios.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Cada una de las fuerzas y cada uno de los pares de los

dos sistemas se pueden descomponer en componentes

segn los ejes de coordenadas (figuras 1 y 2)

La resultante del sistema de fuerzas concurrentes

es un fuerza R que pasa por el origen y la

resultante del sistema de pares no coplanarios es

un par C.

Casos particulares:

R = 0 C = 0 R = 0 y C = 0 (Sistema en equilibrio)

Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas cualquiera

puede ser o una fuerza R o un par C o una fuerza ms un par.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Casos especiales:

Par C perpendicular a la fuerza resultante R

El sistema ser equivalente a una fuerza nica R cuya recta

soporte se halle a una distancia d = C/R del punto O en una

direccin y sentido que haga que el momento de R respecto a O

sea igual al momento de C.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Par C oblicuo a la fuerza resultante R

El par C se ha descompuesto en dos componentes, una paralela y

otra perpendicular a la fuerza resultante R.

La fuerza resultante R y la componente del par perpendicular a ella

CI, se pueden combinar.

dems, se puede trasladar la componente paralela CII del par

hasta hacerla coincidir con la recta soporte de la fuerza resultante

R. La combinacin del par CII con la fuerza resultante R recibe el

nombre de torsor.

Casos especiales:


Geolgica, Minera y

Metalrgica

La accin del torsor puede describirse como un empuje (o

traccin) ms una torsin en torno a un eje paralelo al empuje

(o traccin).

Cuando la fuerza y el momento son vectores de igual sentido, el torsor es positivo (hoja anterior).

Cuando la fuerza y el momento son vectores de sentidos opuestos el torsor es negativo (figura siguiente).


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA

Para cada caso, calcular el

momento respecto al punto O


Geolgica, Minera y

Metalrgica


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMAS


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROB - SOL


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMAS


Geolgica, Minera y

Metalrgica

4TA. SEMANA

Centro de gravedad.

Centro de masa, gravedad y centroides;

teoremas de Pappus y Guldinus.

Centros de gravedad de arcos, reas y

volmenes.

2da prctica calificada


Geolgica, Minera y

Metalrgica

INTRODUCCIN

En muchos casos, las cargas no estn concentradas

en un punto sino que estn distribuidas a lo largo de

una lnea o sobre una superficie. Son cargas cuya

distribucin puede ser uniforme o no. La fuerza

distribuida est caracterizada por su intensidad y por

su direccin y sentido.

Cuando las zonas a las que se aplican las cargas

son considerables frente al tamao del cuerpo, ya no

es vlida la hiptesis de fuerza concentrada.

Otras fuerzas llamadas msicas, debidas a efectos

gravitatorios, elctricos o magnticos, se distribuyen

por toda la masa del cuerpo (se miden en N/m3).

La fuerza distribuida sobre una superficie ejercida

normalmente a sta se denomina presin y se mide

en N/m2.

La fuerza distribuida sobre una lnea ejercida

normalmente a sta se mide en N/m.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

En el anlisis de muchos problemas de ingeniera aparecen expresiones que

representan momentos de masas, fuerzas, volmenes, superficies o lneas

respecto a ejes o planos. Ejemplo: Momento de una superficie A (contenida en el

plano xy) respecto al eje y.

A

iiy

n

i

iiy dAxModAxM1

La superficie puede considerarse por un gran nmero

de elementos de superficie muy pequeos de rea

dA, siendo el momento del elemento respecto al eje:

Y el momento total de la superficie A respecto del eje

y ser:

iii dAxdM

El momento de una masa, fuerza, volumen, superficie o lnea respecto a un eje o a

un plano puede definirse de manera anloga recibiendo el nombre de primer

momento de la magnitud que se considere. Este puede ser nulo y su signo positivo

o negativo ya que las coordenadas pueden ser positivas o negativas.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

CENTRO DE MASA (CDM)

Punto de un sistema de puntos materiales o de un cuerpo fsico en donde

podra concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa

concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento

respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida.

Centro de masa y centro de gravedad

Si consideramos un sistema de n puntos

materiales, las distancias a los planos de

coordenadas del CDM G del sistema de puntos

materiales son:

n

i

ii

n

i

iixy

n

i

ii

n

i

iizx

n

i

ii

n

i

iiyz

zmm

zseaozmzmM

ymm

yseaoymymM

xmm

xseaoxmxmM

11

11

11

1

1

1

Donde:

n

i

imm1


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Las ecuaciones anteriores se resumen en una ecuacin vectorial nica as:

kjikji

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii zmymxmzmymxm111

de donde

n

i

iiii zyxmzyxm1

)()( kjikji

que se reduce a

n

i

ii

n

i

iiO mm

seaomm11

1rrrrM

ya que el vector de posicin del punto i-simo respecto al origen es

kjir iiii zyx

y el vector de posicin del CDM respecto al origen es

kjir zyx


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Si los puntos formasen un cuerpo continuo, las sumas se sustituyen por

integrales extendidas a toda la masa del cuerpo.

dmzm

zseaodmzzmM

dmym

yseaodmyymM

dmxm

xseaodmxxmM

xy

zx

yz

1

1

1Donde:

dmm

Vectorialmente:

Vm

Vm

dVm

dmm

dVdmm

rrr

rrr

11

donde r es el vector de posicin del elemento dm del cuerpo respecto al

origen, es la densidad del elemento y dV es su volumen


Geolgica, Minera y

Metalrgica

CENTRO DE GRAVEDAD (CDG)

El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas msicas distribuidas que la Tierra

ejerce sobre los puntos materiales que constituyen el cuerpo.

El punto G del cuerpo en el que acta el peso es el CDG del cuerpo.

El mdulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo

depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro

de la Tierra. En la prctica se supone que todos los puntos del cuerpo experimentan

la misma aceleracin gravitatoria g. Adems, debido al tamao de la Tierra, las

rectas soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales

concurren en el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos

hiptesis dan un centro de gravedad que coincide con el CDM ya que:

Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el clculo

del CDM tendremos:

dWzW

zseaodWzzWM

dWyW

yseaodWyyWM

dWxW

xseaodWxxWM

xy

zx

yz

1

1

1 Donde:

dWW

gmW


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su CDG podr determinarse

considerando que el cuerpo est constituido por infinitos elementos cada

uno de los cuales tenga un peso dW dado as: dVdW

donde es el peso especfico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo ser:

V

dVW

Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso

W sea paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un

elemento ser )( dVxdWxdM y

Por definicin de CDG: )( VVy dVxdVxWxM

as pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W ser:

V

V

dV

dVxx

)(

y anlogamente:

V

V

V

V

dV

dVzz

dV

dVyy

)(y

)(


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA

Para cada caso, calcular el centro

de masa respecto al eje z y punto

O, asuma valores


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Centroides de volmenes, superficies y lneas

CENTROIDES DE VOLUMENES

Cuando sea constante el peso especfico de un cuerpo tendremos que:

Estas coordenadas (centroide) solo dependen de la configuracin geomtrica del cuerpo y son independientes de sus propiedades fsicas.

El centroide de un volumen coincide en posicin con el CDG G del cuerpo si este es homogneo. Cuando el peso especfico vara de unos puntos a

otros, el CDG G del cuerpo y el centroide no tienen por que coincidir.

VVV

dVzV

zdVyV

ydVxV

x111

Ejemplo: En el caso de la figura, como el

peso especfico de la parte inferior del

cono es mayor que el de la parte superior,

el CDG, que depende del peso de las dos

partes, se hallar por debajo del centroide

C que solo depende del volumen de

dichas partes.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

CENTROIDES DE SUPERFICIES

El CDG G de una placa delgada, homognea, de espesor t uniforme y

superficie de rea A, se puede determinar considerando un elemento

infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en funcin de un elemento

infinitesimal de superficie dA de la placa en la forma siguiente: dV = t dA.

As pues, en el caso de una placa delgada tendramos:

AAA

dAzA

zdAyA

ydAxA

x111

CENTROIDES DE LINEAS

El CDG G de un alambre curvo, homogneo, de pequea seccin recta de

rea A y de longitud L, se puede determinar considerando un elemento

infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en funcin de un

elemento infinitesimal de longitud en la forma: dV = A dL.

As pues, para una varilla o alambre finos tendramos:

LLL

dLzL

zdLyL

ydLxL

x111


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Centroides de cuerpos compuestos

Si puede dividirse una lnea, superficie o volumen en partes cuyos respectivos

centroides tengas posiciones conocidas, se podr determinar sin integracin el

momento de la lnea, superficie o volumen total obteniendo la suma algebraica de los

primeros momentos (producto de la longitud, rea o volumen por la distancia del

centroide al eje o plano) de las partes en que se haya dividido la lnea, superficie o

volumen.

Ejemplo: Si tenemos una superficie compuesta por la superficies A1, A2, , An y las coordenadas de los centroides de las respectivas partes son tendremos: nxxx ...,,, 21

n

i

iix

n

i

iix

n

i

ii

yn

i

iiy

nnny

yAAA

MyyAyAM

xAAA

MxxAxAM

xAxAxAxAAAM

11

11

221121

1seao

teanlogamen

1seao

...)...(Si se considera un agujero

como parte integrante de un

cuerpo compuesto, su rea

se considerar magnitud

negativa.

Se pueden desarrollar

ecuaciones anlogas para L,

V, m y W.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

- 144 -

Centroides en algunas lneas y superficies


Geolgica, Minera y

Metalrgica

- 145 -

Centroides en lneas y superficies


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Centroides de algunos volmenes


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Calcular el centro de masa del

alambre de seccin transversal

constante con respecto a cada

eje

PROBLEMA


Geolgica, Minera y

Metalrgica

PROBLEMA

Calcular el centro de masa de la superficie

sombreada, respecto al eje x e y


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Teoremas de Pappus y Guldin

Teorema 1: El rea de la superficie de

revolucin generada al girar una curva

plana de longitud L alrededor de un

eje coplanario con ella y que no la

corte es igual al producto de la

longitud de la curva por la longitud del

camino que recorre su centroide.

Teorema 2: El volumen V del slido

de revolucin generado al hacer

girar una superficie plana de rea A

alrededor de un eje coplanario que

no la corte es igual al producto del

rea de dicha superficie por la

longitud del camino que recorre el

centroide de la superficie.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Problema: calcular el centro de gravedad


Geolgica, Minera y

Metalrgica

5TA. SEMANA

Momentos de inercia plano y de masas.

Momentos de inercia, productos de

inercia, momento polar de inercias; radios

de giro. Teorema de ejes paralelos

teorema de Steiner. Teorema de ejes

rotados. Ejes y momentos principales de

inercia.

Seminario


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Introduccin

En el anlisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y rboles (ejes que

trabajan a torsin) se encuentran frecuentemente expresiones de la forma

A

dAx2

Donde dA es un elemento de superficie, y x la distancia de este elemento a un

cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a l.

Son siempre positivos y sus dimensiones sern L4 (unidades: mm4 o cm4).

En el anlisis del movimiento de rotacin de un cuerpo rgido, aparecen

expresiones de la forma

segundo momento de la superficie

m

dmr 2

Donde dm representa un elemento de masa y r la distancia de este elemento a

un eje. Son siempre positivos y sus dimensiones sern ML2 (unidades: kg.m2).

Momento de inercia (de masa)


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Segundo momento de una superficie plana

El segundo momento de una superficie respecto a un eje (indicado con

subndices) se representar por el smbolo I cuando el eje est en el plano de

la superficie y por J cuando el eje sea perpendicular a ella.

Los segundos momentos rectangulares de

la superficie A respecto a los ejes x e y del

plano de la superficie son:

dAxIedAyIA

y

A

x 22

Anlogamente, el segundo momento polar

de la superficie A respecto al eje z, que es

perpendicular al plano de la superficie en el

origen O del sistema de coordenadas xy, es

yxAAAA

z IIdAydAxdAyxdArJ 22222


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Teorema de Steiner para segundos momentos de superficie

Cuando se haya determinado el segundo momento de una superficie respecto

a un eje dado, se podr obtener el correspondiente a un eje paralelo a ste

aplicando el Teorema de Steiner. Demostracin:

Si uno de los ejes pasa por el Centroide de la

superficie, el segundo momento de superficie

respecto a un eje x paralelo a l es

AAAA

x dAydAyydAydAyyI2

22

2

el segundo trmino es nulo ya que se trata del

momento primero de superficie respecto al eje x

que pasa por el centroide de la superficie:

AyII xCx2

donde IxC es el segundo momento de la superficie

respecto al eje x que pasa por el centroide; y es la

separacin de los ejes x y x.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Por tanto, el Teorema de Steiner dice que:

El segundo momento de una superficie respecto a un eje cualquiera

contenido en el plano de la superficie es igual al segundo momento de

la superficie respecto a un eje paralelo que pase por el Centroide de la

superficie ms el producto del rea de sta por el cuadrado de la

separacin de los ejes.

Este teorema solo es vlido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal,

o al revs, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a l.

anlogamente, se puede demostrar que

AdJAyxJJ zCzCz 222

donde JzC es el segundo momento polar de la superficie respecto al eje z

que pasa por el centroide y d es la distancia que separa los ejes z y z.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Radio de giro de una superficie

El segundo momento de una superficie (al tener las dimensiones de la cuarta

potencia de una longitud) se podr expresar como producto del rea A de la

superficie por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. As pues,

A

Jk

A

Ik

A

Ik

kAdArJkAdAxIkAdAyI

zz

y

yx

x

A

zz

A

yy

A

xx

222222

Y como 222

yxzyxz kkkIIJ

Al igual que cuando vimos el Teorema de Steiner para momentos segundos de

superficie, existir una relacin correspondiente entre los radios de giro de la

superficie respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pase por el

centroide de la superficie.

222222222222 dkyxkkxkkykk zCzCzyCyxCx


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Segundos momentos de superficies compuestas

Frecuentemente, en la prctica, la superficie A es irregular pero se puede

descomponer en superficies sencillas A1, A2, A3, , An para las cuales las integrales ya estn calculadas y tabuladas.

As, el segundo momento de la superficie compuesta, respecto a un eje es

igual a la suma de los momentos segundos respecto a dicho eje de las

distintas partes.

Los momentos segundos de una superficie respecto a cualquier sistema de

ejes de coordenadas x, y, z se han definido en la forma:

dArJdAxIdAyIA

z

A

y

A

x 222

n

n

xxx

AAAA

x IIIdAydAydAydAyI ...... 2121

2222

Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su

segundo momento deber restarse del segundo momento de dicha

superficie mayor para obtener el segundo momento resultante.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Segundos momentos de superficies planas


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Propiedades de algunas formas de perfiles (Steel Construction)


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Problema, calcular el segundo momento


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Segundos momentos mixtos de superficies

El segundo momento mixto (producto de inercia de

superficie) dIxy del elemento de superficie dA respecto a

los ejes x e y es:

dAyxdI xy

As el segundo momento mixto (producto de

inercia de superficie) de la superficie total A

respecto a los ejes x e y ser:

A

xy dAyxI

Como el producto xy puede ser positivo o negativo, el

segundo momento mixto podr ser positivo, negativo o

nulo.

De hecho, el segundo momento mixto de una superficie

respecto a dos ejes ortogonales cualesquiera ser nulo

cuando uno de dichos ejes sea eje de simetra.


Geolgica, Minera y

Metalrgica

El Teorema de Steiner para momentos

segundos mixtos se deducen a partir de

la figura en donde los ejes x e y pasan

por el centroide C de la superficie y son

paralelos, respectivamente a los ejes x e y. As,

AAAA

AA

yx

dAyxdAxydAyxdAyx

dAyyxxdAyxI

Las integrales segunda y tercera son nulas por ser centroidales los

ejes x e y.

En consecuencia, el segundo momento mixto respecto a un par de

ejes paralelos a dos ejes centroidales ortogonales es

AyxII xyCyx


Geolgica, Minera y

Metalrgica

Segundos momentos mixtos de superficies planas


Geolgica, Minera y

Metalrgica

El segundo momento de la superficie A de la figura

respecto al eje x que pasa por O variar con el ngulo . Los ejes x e y utilizados para obtener el segundo

momento polar Jz respecto a un eje z que pase por

O eran dos ejes ortogonales cualesquiera del

plano de la superficie que pasaran por O; por

tanto,

yxyxz IIIIJ

Donde xe yson dos ejes ortogonales cualesquiera que pasen por O. Como la suma de Ix e Iy es constante, Ix ser mximo y el correspondiente Iy mnimo

para un valor particular de . El sistema de ejes para el cual los momentos segundos son mximo y mnimo

se denominan ejes principales de la superficie en el punto O y se les designa

por eje u y eje v (estos ejes son importantes en Resistencia de materiales al

estudiar vigas y columnas). As los momentos segundos principales as

obtenidos respecto a estos ejes se designan por Iu e Iv.

Segundos momentos principales


Geolgica, Minera y

Metalrgica

6TA. SEMANA

Momentos de inercia plano y de masas.

Crculo de Mohr. Momento de inercia de

masas.

3ra practica calificada


Geolgica, Minera y

Metalrgica

CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENTO

y s e nxu c o s

x s e nyv c o s


Geolgica, Minera y

Metalrgica

De la figura, relacionamos los ejes para un elemento dA:

Anlogamente, obtenemos:

Finalmente, deducimos:

y s e nxu c o s


x s e nyv c o s

dAxsenydAvu22 )co s(

dAxsenxydAsendAyu2222 co s2co s

22 c o s2c o s s e ns e nP yx yxu

22 c o sc o s2 yx yxv s e nPs e n

c o s)( c o sc o s 22 s e ns e nPs e nP yx yxu v

vuyxz IIIIJ


Geolgica, Minera y

Metalrgica

De la figura, relacionamos los ejes para un elemento dA:

22cos22

senPxyyxyx

u

22cos22

senPxyyxyx

v

2cos22

xy

yx

uv PsenP

2222 )2

()2

( xyyx

uv

yx

u PP

2

yx

med

))

2(( 22 xy

yxPR

Rm ed m ax

Rm ed m in

))2

((2

22

minmax, xy

yxyxP



Geolgica, Minera y

Metalrgica

))2

((2

22

minmax, xy

yxyxP



Geolgica, Minera y

Metalrgica

Mtodo para graficar el crculo de Mohr

A continuacin describiremos un procedimiento para graficar el crculo de

Mohr para un elemento diferencial.

Su tomarn la siguiente convenciones:

Los segundos momentos se representarn en la abscisa y los productos de inercia en la ordenada.

Los segundos momentos (positivos) se ubicarn en la parte derecha de la abscisa.

Los productos de inercia se tomarn como positivos si en su plano de accin hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del

reloj y se ubicarn en la parte superior de las ordenadas.



Geolgica, Minera y

Metalrgica

Los pasos a seguir son:

1. Graficar los puntos (Ix, Pxy) y (Iy,

Pyx), que indican los esfuerzos que

actan sobre los planos x e y

respectivamente.

2. Trazar una lnea que una los puntos

(Ix, Pxy) y (Iy, Pyx) y definir la

direccin x, como se muestra.

Observe que la lnea trazada corta

el eje de las abscisas en el valor

Imed.

3. Con centro en el punto (Imed, 0),

trazar una circunferencia que pase

por los puntos (Ix, Pxy) y (Iy, Pyx).

Nota: Si Pxy hace girar al elemento en

sentido antihorario es positivo y

negativo en sentido contrario.

CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENT

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1Clase Mecanica Cuerpo Rigido 2014 I