1er Examen Domiciliario

7/26/2019 1er Examen Domiciliario

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Universidad Nacional de San Cristbal deHuamangaEscuela: Ingeniera Civil Asignatura: Introduccin a loselementos Finitos

PRACTICA CALIFICADA DE ELEMENTOS FINITOS

I. Problema N 01 (Reerencia UPC !. "arate#$

Deducir la expresin del principio del principio de los trabajos Virtuales a

partir de las ecuaciones diferenciales de la barra a traccin Deducir laexpresin de la matri! de rigide! " el vector de fuer!as para el elementobarra de # nodos Comparar con la solucin analtica

a# %educcin de la &'resin del rinciio del rinciio de lostraba)os *irtuales a artir de las ecuaciones dierenciales de labarra a traccin.Solo nos iden +acer todos los c,lculos ero cuando la barra estea traccin- es or ello ue ara este roblema solo nos interesalas uer/as a'iales- anali/ando una euea orcin.

1

0 :

( ) 0

( ) 0 ( )

n

i

Fx

N N N b x x

N b x x I

=

=

+ + = + =

$ $ $ $ $

Aplicando la le" de %oo&e

.................( )

N u

E EA x

uN A E II

x

= = =

=

Donde u:Despla!amiento en el eje 'ori!ontal

derviando la Ec (II)

*+g ,


2/15


2

2

uA E

N x

x x

uN A E xx

=

=

-eempla!ando en la Ec(I)

+ =

+ =

+ =

+ =

.

.

.

.

.

.

( ) /

( ) /

( ) /

( )/ (Ec Diferencial de 0obierno)

N b x x

uA E x b x x

x

uA E b x

x

u b x

A Ex

Integrando una ve! la ecuacin anterior:

0 0

( )

( )

( ) ( )

uL

x u b x

xx A E

u L b x

x A E

uA E L b x III

x

=

=

=

$ $ $ $ $

=

=

=

-e -e

-e -e

*or el principio de trabajos virtuales1 tenemos:

2ambi3nsecumple:

4i5u5eseldespla!amiento%ori!ont

Virtual Externo Virtual Interno

Virtuales ales Virtuales ales

ales Virtuales ales Virtuales

W W

F

F

alreal1entonces565ser+eldespla!amiento%ori!ontal

virtual

'allando el trabajo de las fuer!as reales:

*+g .


3/15


=

=

=

= +

=

-e

/( )

Donde

/ *ara7uesecumplaelprincipiodecontinuidaddeuncampovirtualdefue

Virtual Externo ales Virtuales

L

Virtual Externo x L

x L

W F

W b x w x F w

w rza

= /

$uego:

( )L

Virtual ExternoW b x w x

'allando el trabajo de los esfuer!os reales:

Re0

0

V

Virtual Interno ales Virtuales

V

Virtual Interno

W V

N wW V

A x

=

=

Donde:

=

= Virtuales

uN A E

x

w

x

luego:

=

/L

Virtual Interno

u wW A E x

x x

4abemos:

0 0( )

( )

( ) ( )

Virtual Interno Virtual Externo

L L

W Wu w

A E x b x w xx x

uA E w b x w L

x

uA E b x L IV

x

=

=

=

=

$ $ $ $ $

Comparando las Ecs (III) " (IV)1 demostramos el *rincipio de 2rabajos Virtuales a

partir de las ED

*+g #


4/15


( ) ( )

( ) ( )

uA E L b x III

x

uA E b x L IV

x

=

=

$ $ $ $ $

$ $ $ $ $

b) Utili/ando mtodos de elementos 2nitos ara resolver la ecuacin

dierencial- rimero de2nimos los elementos anali/ados$

A%ora proponemos un modelo matem+tico (una funcin de aproximacin) para

solucionar la ecuacin diferencial del problema:

Ec Diferencial (ED)

( )

( )

uA E b x L

x

u b x L

x A E

=

=

Escogemos una funcin de aproximacin

2

1 2 3( )u x c c x c x= + +

Formando la 8atri! de *andermonde

1

2

2 3 2 2

2

3 3 2 3

0 , 0, 0

2 , ,4 2

, ,

Para x u c

L LPara x L u u c c u

Para x L u u L c L c u

= = =

= = + =

= = + =

Formando el sistema de Ecs

*+g 9


5/15


2

3 2 2

2

3 2 3

4 2

L Lc c u

L c L c u

+ =

+ =

8atricialmente

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 22

2

1

2

1

2

2

2

1

1

4

1

4 2

11

4 2

4 21

4 2

1

4

cL

c

c

c

c

c

Lu

uL

Lu

uLL

uL L

uL

c

cL L

u

L L u

=

= =

=

$uego:

2 2 1

3 2 12 2

2

4

4

u uc L

c u uL L

L=

= +

-eempla!ando:

( )

[ ]

2

2 1 2 12 2

1 22 2

2

1 2

2

4 2( )

2 4

4

4( )

2

( )

4 4

u x u u x u u xL L

u x u x x u x xL L

x xL

u x u u

L L

L L

L

x xL

L

= + +

= + +

+ =

4iendo los vectores ;


6/15


=

+ = +

/

.

. ./

.

9

9 @

@ 99

LT

LL

L L

K B E B x

xL

K E x x x L LL x

L

Integrando obtenemos :

+ +

= + +

B ? # 9 .

9

9 . 9 .

9 ?#### ,. ,. #.

#

,. ,. #. 9@ C 9

# #

L L L L L

LLK EL L L L

L L

II. Problema N 03 (Reerencia UPC !. "arate#$

-esolver la ecuacin utili!ando una malla de . elementos de . nodos

05

''

=+ Q

IO= 5 2 Cal/m

F O= 3q1= 2 Cal

2 m

Calcular " dibujar la distribucin de " comparar la ecuacin analtica

Solucin$

8odelacin del problema4uponiendo 7ue el sentido de la lnea de ujo de calor es de la siguientemanera:G 7ue la temperatura en el centro es de @Hc

K = 5 2 Cal/m

F O= 3

q1= 2 Calq1= 2 Cal

F O= 3

a# anal4tica$ sabemos 7ue:

*+g


7/15

x

F O= 3

q1= 2 Cal

0 m 1 m


0)(2

2

= TTKA

h

dX

Td

c

p

02

2

=+ TKA

hT

KA

h

dX

Td

c

p

c

p

055

1'' =+

Q

055

12

2

=+ Q

dX

d

4i comparamos estas dos ecuaciones veremos 7ue:

5

1

*=

c

p

AK

h

1=c

p

A

h

QTAK

h

c

p=

*

Q=5

3

$uego:

025

3

5

12

2

=+

dX

d

Ecuacin diferencial asolucionar

Aplicando m3todos de solucin de las ecuaciones diferencial

d

d

xd

d ''2

2

=

025

3

5

'' =+

d

d

03525'

' =+

d

d

= 0)35(25

'' dd

Integrando " ordenando:

1

2' )3

2

5(

25

2c+=

Integrando por segunda ve!:

*+g B


8/15


=+

x

dx

c

d

031

2 55

65

Jbtenemos:

x!

!=

++

++

1

1

2

55/1895/12

55/6)5/3(ln5

*ara x K ,1

K @Hc

C, K .//

$uego tenemos la ecuacin buscada:

+ + =

.( #L ?) L ? ,//9?? ln

,. x

MMMM (I)

b# &mleando mtodos de elementos 2nitos$

Discreti!aremos en una malla de dos elementos de dos nodos:

F O= 3 F O= 3

0 m

F O= 8

1 m

2 m

4upondremos una ecuacin parablica:

2

321 X!X!! ++=

*ara N K / 1

K #2

321 )0()0(3 !!! ++=

1!

K #

*ara N K , 1

K @2

321 )1()1(8 !!! ++=

532 =+!!

*ara N K . 1

K #

*+g @


9/15


2

321 )2()2(3 !!! ++=

042 32 =+ !!

31=!

102=!

53 =!

$a ecuacin buscada es:

25103 XX+=

2abulando para diferentes puntos:

5 S.6nal4tica

S.7&!

/./?/B/,/

###?#@9/B9@///

9@B?B??B?@//

/, /. /# /9 /? / /B /@ / , ,,/

.

9

@

,/

8R6!IC9 C97P6R6:I*9

Analitica FE8

5

;

III. PR9 (R&!&R&NCI6 UNI. H. SC6=&::I#$

*ara la viga en voladi!o de longitud $ " reaccin constante empotrada en elextremo xK/ " sometido a una carga cual7uiera *1 la energa *otencial es:

= ./ /

,( ) (I)

.

L LIIEI V dx V Pdx

*+g


10/15


Con la comparacin

. #, .VKO x PO x

determine

1y

2

usando el m3todo

de -a"leig% Q-it! " obtengaV(L) G V

'

(L)

a) 4egRn la teora d vigas:

=

.

( ). #

x

Px xL

EIV

Compare " comente

;ota: Considere el caso particular de cara concentrada en el extremo " unafuer!a uniformemente repartida ?@A.

q

L

i# Cuando la carga es distribuida uniorme en toda la barra.

Sabemos ue- la uncin de aro'imacin B sus derivadas$

. # I II, . , . , .

.VKO x PO x VK.O xP #O x V K. O P O x

SustituBendo en la &c. (I#

( )

=

= + + + +

.

. #( ) , . , .

/ /

# 9. . . , .

, , . .

,.O PO x ( ) (O x PO x ).

O O. (O # O O # O ) ( )

# 9

L L

v EI dx q wdx

L LEI L L q

*+g ,/


11/15


= => + =

= => + =

=

=

..

, .

,

.

., .

.

.,

.

.

,

/ ,. ,@ (,)

/ .9 9@ (.)

De las Ecs , " . obtenemos las matrices

,. ,@ ,

.9 9@ ,

-esolviendo el sistema de Ecs

?

.9

d qL

d EI

d qLd EI

L qL

L EI

qL

EI =

= + = +

= =

.

. .. # .

# .

.

,.

? ?( ) " ( )

.9 ,. ,. 9

$a solucion Analitica para xK$ " *KS7

( ) ( 9 ) " ( ) (.9

I

I

qLy

EI

qL qL qL qLV x x x V x x x

EI EI EI EI

Px Px V x x L x V x x EI EI

= =

=

9 9

#

# )

'aciendo la comparacion para xK$ " *KS7

-a"leig%Srit! Analitica

( ) ( )@ @

( )

I

L

qL qLV L V L

EI EI

qLV L

EI=

#

( )

I qLV LEI

*+g ,,


12/15


13/15


= =

=

# #

.

'aciendo la comparacion para xK$ " *KS7

-a"leig%Srit! Analitica

( ) ( )

( ).

I

qL qLV L V L

EI EI

qLV L

EI=

.

( ).

I qLV LEI

I*. PR9


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$a funcin 7ue se Aproximada " sus respectivas derivadas ser+n:

= = =

= =

.

# 9

Ux U Ux U Uxsin cos sin

$ $ $ $ $

U Ux U Ux cos sin

$ $ $ $

I II

III Iv

V A V A V A

V A V A

Entonces - lo denimos de la siguiente manera:

= +

9Ux Ux

sin$ $

b! EI K A P

a# 6licando Colocacin

-K/

= +

9Ux Ux

sin$ $

b

PA

EI K

b# 6licando 8alerD4n

4abemos 7ue:

*+g ,9


15/15


=

+ =

+ + =

=

+

9

.

/

9

9

/

Ux Ux Ux

sin sin /$ $ $

Uxsin .

Ux x Ux$cos , /

Ux$U $9

$

Ux

cos ,U $

Ux x

.$

.

x

b

b

b

"!dy

EI K A P dx

LPEI K A

LP

A

EI K

Uxsin .

$

Ux9

$

( )( )

= = = + +

99

CJ$JCACIJ; 0A$E-G; 'E2E;EII

.

U U x

.U

$b

b

PP LPA A A

EI KEI K

( )( )

++

sin sin( )

. cos% cos( )b

L L

K L L

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