Analisis Matematico Name:2015APrimer Parcial17/4/2015Tiempo: 115 Minutos

Este examen contiene 2 paginas (incluida esta) y 5 problemas.Total of points is 86.

No olvide escribir sus respuestas de manera clara y ordenada. Justifique cada argu-mento dado.

Puntaje (no lo llene, no vaya a ser que peque de optimismo)

Question Points Score

1 6

2 20

3 20

4 20

5 20

Total: 86

1. (6 points) Considere la funcion f(x) = 2x + 1 en el intervalo [1, 3]. Sea P = {1, 32, 2, 3}.

(a) (3 points) Calcular L(f, P ), U(f, p) y U(f, P )− L(f, P ).

(b) (3 points) Describir que pasa al valor de U(f, P ) − L(f, P ) si se le anade 52

a laparticion.

2. (20 points) Considere la funcion

f(x) =

{1 x ∈ [0, 1)2 x = 1

(a) (5 points) Demostrar que L(f, P ) = 1 para toda particion P .

(b) (5 points) Obtener P tal que U(f, P ) < 1 + 110

.

(c) (10 points) Dado ε > 0 obtener P tal que U(f, P ) > 1 + ε.

3. (20 points) Sea f : [a, b] → R una funcion que satisface la condicion de Lipschitz, esdecir, |f(x)− f(y)| ≤ k · |x− y|, ∀x, y ∈ [a, b]. Demostrar que f es Riemmann integrableen [a, b], ademas si Pn es la particion de [a, b] en n partes iguales

0 ≤ U(Pn, f)−∫ b

a

f ≤ k · (b− a)2

n

Analisis Matematico Primer Parcial - Pag. 2 de 2 17/4/2015

4. (20 points) Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del calculo.

5. (20 points) Supongase que.

1. f es continua ∀x ≥ 0.

2. f ′ existe ∀x > 0.

3. f(0) = 0.

4. f ′ es monotona creciente.

Sea g(x) = f(x)x∀x > 0. Demostrar que g es monotona creciente.