2º de Ciencias I.E.S. Teobaldo Powerteobaldopower.org/matematicas/cuadernillos/Cuadernillo b2c 16-17.pdf · 4.- Determinar los coeficientes a y b de la parábola y ax2 bx c, sabiendo

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2º de Ciencias

Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power

1

1.- Calcular los siguientes límites:

1

25lim)

3

5lim)

7

35lim)

6

127lim)

2

2

4

4

4

3

x

xd

x

xxc

xx

xb

x

xxa

xxxx

2.- Calcular los límites:

x

x

xxd

x

xxc

x

xx

x

xb

x

xxa

xxxx 6

3lim)

12lim)

3lim)

12lim)

2

3

4

2

322

¿Es lo

mismo calcular estos límites si x ? 3.- Calcular los límites:

3lim)3lim)

1·

5lim)

2

5·

1lim) 22

3

4

2

xxdxxcxx

xb

xx

xa

xxxx

4.- Calcular los límites:

2

2

32

1

2

2

2

2

2

35

22

2

223

2

1

13lim)12913lim)

2lim)

42

14lim)

5

2lim)

11

11lim)

3

13lim)

5

7lim)

7

5lim)

11lim)

7

31lim)

1lim)

4

2lim)11lim)

36

21lim)lim)

2

x

xx

x

x

x

x

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

xx

x

xax

xxxx

x

xoxxxñ

xx

xxn

xx

xm

x

xl

xx

xxk

x

xji

hxx

xg

xf

ax

axaxe

x

xdxxc

x

xbxxxa

5.- Dadas las siguientes funciones representarlas gráficamente y calcular los límites en los puntos que se indican:

1,2,02)()0,3,3

315

334

31

)()

7,001

04)()3,0

01

01)()

2

2

22

xxxenxxxtdxxxen

xsix

xsi

xsix

xrc

xxenxsix

xsixxgbxxen

xsix

xsixxfa

2º de Ciencias


2

Interpretación geométrica de la derivada: La derivada de una función f en un punto x= a representa la pendiente de la recta tangente a

la curva en el punto )(, afaA .La ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto

)(, afaA es: )·()(')( axafafy

Cálculo de derivadas Suma gfy ''' gfy

Producto gfy · '·'·' gfgfy

Cociente g

fy

2

'·'·'

g

gfgfy

Potencia

nxy 1·' nxny

nfy '··' 1 ffny n

Raíz cuadrada

xy x

y2

1'

fy f

fy

2

''

Logaritmo neperiano

xy ln x

y1

'

fy ln f

fy

''

Exponencial

xx ayey , aayey xx ·ln','

ff ayey , aafyefy xf ·ln'·','·'

Seno xseny xy cos'

fseny ffy '·cos'

Coseno xy cos senxy '

fy cos xsenfy '·'

Tangente

xtgy xtgx

y 2

21

cos

1'

ftgy ')·1(cos

'' 2

2fftg

f

fy

Arco seno xsenarcy 21

1'

xy

Arco coseno xarcy cos 21

1'

xy

Arco tangente xtgarcy 21

1'

xy

Nota: En las funciones potencial-exponencial recordar que primero se aplica logaritmo neperiano

y después se deriva.

2º de Ciencias


3

Derivar las funciones siguientes:

2

2

2

2

2ln

332

3

25233

232

2

2

33

32

322232

.301

2.291.28

2

1.27

1

1ln.26.25

.24.231.22

.21ln.201

ln.19

2

3.18.171.16

2.15ln.14

1

1ln.13

.122141.111

3.10

5

1.91ln.8

cos1.7

1

1ln.6

1

ln.5.4

1.34

1.241.1

xsenarcyx

xtgarcyxtgarcy

xsenarcy

xx

xxyxy

xsenyxyeseny

xyxseneye

ey

eeyeyxey

xsenarcyxy

xsen

xseny

xba

x

ba

xyxxy

xxxy

xxyxxy

x

xseny

x

xy

x

xxyxxxy

xyx

xyxxy

x

xxsenx

xx

x

x

xx

xsenx

Y para entretenerse:

22

2

4

1

2

22

2222

222

1

22

21

21ln)

2

1

1

1ln)

2ln

2

1

2

cos)

42ln24)ln)

2

2)

24ln

2

1

cos2)

x

xtgarc

xx

xxyg

xtgarcx

xyf

xtg

xsen

xye

x

xxyd

x

xaaaxayc

xtg

ba

batgarc

bayb

xtg

x

senxya

2º de Ciencias


4

RECUERDA:

Continuidad de funciones:

1. Las funciones polinómicas son continuas en R. 2. Las funciones racionales no son continuas en los puntos que anulan al denominador 3. Las funciones con radicales con índice de la raíz par no existen en los valores que hacen al

radicando negativo. Si el índice es impar, son continuas en R 4. Las funciones logarítmicas no son continuas en los puntos en los que la expresión de la que

queremos hallar el logaritmo se convierte en cero o en un número negativo. 5. De las funciones trigonométricas, la única función que no es continua es f(x)= tg x, ya que no

existe en

Derivabilidad de funciones:

Para calcular extremos absolutos en un intervalo [a,b]:

1. Si la función es continua y derivable, se estudiará en los puntos de abscisas que anulen a la derivada y en los extremos f(a) y f(b).

2. Si la función no es derivable en algún punto del intervalo, se deberá estudiar también. 3. Y si no es continua en algún punto, se deberá estudiar en las cercanías de dicho punto.

2º de Ciencias


5

1.- Hallar el dominio de las siguientes funciones y estudiar su continuidad:

xsenydxxycx

eyb

x

xya

x

5)ln)

)13

13)

2

2.- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: 1

55)

1)

22

3

x

xyb

x

xya

3.- La función

34

32)(

23

xsix

xsiaxxxf es continua en R. Hallar el valor de a.

4.- Esbozar la gráfica de una función que sea continua en R, salvo en x=1, donde tiene una discontinuidad. Estudiar todas las posibilidades.

5.- Se sabe que la función Rf

5,0 dada por:

521

20)(

2

xsixb

xsiaxxxf es continua en el intervalo

[0,5] y además verifica que f(0)=f(5). Hallar a y b y dibujar la gráfica.

6.- Calcular a y b para que

12

102

01

)( 2

xsix

bxsiax

xsie

xf

x

sea continua en x=0 y en x=1.

7.- Dada

21611

21

10

)( 3

xsix

xsibxax

xsi

xf , hallar a y b para que sea continua en R. Gráfica de f.

8.- Dada la función x

xxf )( , determinar su dominio, dibujar su gráfica y razonar si se puede asignar un

valor a f(0) para que la función sea continua en todo R.

9.- Sea la función xxf 749)( . Estudiar su continuidad. Hallar su conjunto imagen en el

intervalo 14,0

10.- El consumo de potencia eléctrica de una fábrica durante un día está representado por la función (x en

horas):

2421944.3161

21624500

6080

)( 2

xsix

xsixx

xsi

xf

Representar la gráfica y hallar el consumo máximo en ese día, así como la hora en la que se alcanza. 11.- Un cierto día, la fuerza de las olas, medidas en newtons, en función del tiempo t (en horas) es

ttF 50400)( . Si la fuerza es menor que 50 newtons, no se puede practicar surfing, porque la mar

está demasiado en calma. Si es superior a 200 newtons, las normas de seguridad impiden practicarlo. Con estos datos, si t varía desde las 0 a las 24 horas de ese día, ¿en qué horario puede practicarse surfing?

2º de Ciencias


6

1.- Hallar a y b para que la función:

023

01

12

)(2 xsix

xsibax

xsiax

xf sea continua. Para esos valores de a y b

estudiar la derivabilidad de f.

2.- ¿Es derivable en el punto x = 1 la función 1)( xxxf ? Justificar la respuesta.

3.- Determinar de manera razonada todas las funciones f que son polinómicas de tercer grado y verifican que f’(-1)=f’(1)=0. ¿Puede existir alguna de las funciones determinadas anteriormente que verifique que f(0)=f(1)=0?

4.- Determinar los coeficientes a y b de la parábola cbxaxy 2 , sabiendo que la recta tangente en el

punto en que x = 1 es la recta y = -2x.

5.- Hallar la tangente a la elipse 422 yx en el punto en donde corta a la bisectriz del primer

cuadrante. 6.- Determinar los valores del parámetro b, para que las tangentes a la curva de la función

93)( 232 xbxxbxf en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

7.- Dada la función:

12

13)(

2

xsiax

xsiaxxf ;a) ¿Para qué valores del parámetro a es continua? b) ¿Para

qué valores de a es derivable?

8.- Hallar los valores de a y b para que la función 1)( 23 xbxaxxf tenga un máximo en el punto x

= 1 y un mínimo en x = 2. 9.- hallar dos números positivos cuya suma sea 20 y su producto sea máximo. 10.- Estudiar el crecimiento de xexxxf 223)( . Obtener los máximos y mínimos relativos.

11.- Hallar el valor de x que hace máxima la función 1ln 2 xxy . ¿Cuál es el dominio de dicha

función? 12.- Un depósito abierto de latón, con base cuadrada y capacidad para 4.000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? (suponer que el depósito tiene forma de prisma y después de cilindro) 13.-Encontrar de entre todas las rectas que pasan por el punto (1,2) aquella que forma con las partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área mínima.

2º de Ciencias


7

14.- Una página rectangular ha de contener 2300 cm de letra impresa. Los márgenes superior e inferior

de la página tienen cada uno una anchura de 2’5 cm. Los márgenes laterales tienen 2 cm. ¿Cuáles han de ser las dimensiones de la página de modo que la cantidad de papel a emplear sea mínima?

15.- Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de la función 462)( 23 xxxf en su punto de

inflexión.

16.- Sea 7)( 23 bxaxxxf . Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f tenga para x = 1

una inflexión cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45o con el eje OX.

17.- Obtener los máximos, mínimos y puntos de inflexión de 22)( 23 xxxxf .

18.- Estudiar el crecimiento de xexxf )1()( . Determinar los máximos, mínimos y los puntos de

inflexión.

19.- La curva cbxaxxy 23 corta el eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en

9

1,

3

2 .

Hallar a, b y c.

20.- ¿Existe alguna función dcxbxaxxf 23)( que tenga un mínimo relativo en (0,0), un máximo

relativo en (2,2) y un punto de inflexión en (3,3)?

21.- Consideremos la función 1

)(2

x

xxf . Se pide:

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos. b) Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. c) Asíntotas.

22.- Dada la función 2

3

1)(

x

xxf

a) Calcular las asíntotas de la función. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Calcular los máximos y mínimos de la función. d) Calcular los puntos de inflexión y la tangente a la curva en estos puntos. e) Dibujar la gráfica de la función con todos los datos obtenidos.

23.- Hallar el dominio de definición, los límites cuando x y cuando x , los ceros, las asíntotas

y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 18

)(2

2

x

xxxf . Dibujar un esquema sencillo

de su gráfica.

24.- Representar gráficamente la curva 1

232

2

x

xxy

25.- Calcular el punto en que la curva 2

3

1

x

xy y su asíntota oblicua se cortan.


1

2)(

x

xxf , calcular:

a) Dominio y asíntotas horizontales y verticales. b) Máximos y mínimos.

27.- Calcular los puntos de corte con los ejes de coordenadas y las asíntotas de la función 2

1ln)(

x

xxf .

2º de Ciencias


8

28.- Dada la función 222)( xxf , estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x) en el

punto x = 1.

29.- Hallar los valores de a y b para que la función

0

0)(

2 xsibaxx

xsisenxxf sea continua y

derivable.

30.- Calcular los valores que deben tomar los parámetros a y c para que la función

1ln

1)(

2

xsix

xsicaxxf

sea derivable.

31.- Hallar los valores de a y b para los que la recta tangente a la curva baxxy 2 en el punto P(3,0)

tenga de pendiente 2.

32.- Se considera la función

22

3

22

20

0

)(

2

xsix

xsibax

xsix

xf. Calcular los valores de a y b para que sea

continua en R. ¿En qué puntos es derivable esta función?

33.- ¿En qué puntos las rectas tangentes a la curva 433 xxy tienen la menor pendiente?

34.- Se considera la función x

xxf

1)( . Estudiar su derivabilidad. Calcular f’’(x).

35.- Dada la función

axsiaax

axsixxf

122

1)(

2

, se pide:

a) Estudiar para qué valores de a es continua. b) En caso de ser continua dibujar su gráfica. c) ¿Es derivable en a en algún caso?

36.- Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de ortoedro sabiendo que el volumen ha de ser 9 m3, su altura 1 m y el coste de construcción por m2 es de 30 € para la base, 35 € para la tapa y 20 € para las paredes laterales. 37.- Dividir un segmento de 6 cm de longitud en dos partes tales que sea mínima la suma de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre ellas. 38.- Un segmento de longitud 5 cm apoya sus extremos en los semiejes positivos OX y OY, de manera que forma un triángulo rectángulo. Hallar las dimensiones del triángulo de área máxima así construido. 39.- Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y absolutos de la

función 22)( 2 xxxf en el intervalo

2

3,

2

1 .

40.- Hallar el valor de k que hace que la función kx

exf

x

2)( tenga un extremo relativo único. ¿Se trata

de un máximo o un mínimo?

2º de Ciencias


9

1.- Calcular qué punto de la parábola 221 xy está más cerca del punto P(2,0).

2.- Averiguar qué punto P(x,0), del semieje positivo de abscisas hace mínima la suma de distancias a A(0,3), B(1,4). ¿Y si no se especifica el punto del eje? 3.- Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo que se ha desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos de 32 y 40 cm, respectivamente. Hallar las dimensiones del espejo rectangular de área máxima que se puede obtener recortando el espejo roto. 4.- Se consideran todos los rectángulos que tienen un lado sobre el semieje positivo de abscisas, otro

sobre el semieje positivo de ordenadas y u vértice sobre la gráfica de la función xey 2 . Calcular el área

del que la tenga máxima. ¿Hay algún rectángulo de área mínima? Razonar la respuesta. 5.- Determinar el punto de la recta x + 2y + 5 = 0 cuya distancia al punto P(3,1) es mínima.

6.- Determinar el punto P de la curva xxy 33 en el que la recta tangente tiene pendiente máxima.

7.- Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un triángulo isósceles cuya altura es el triple que la base. 8.- Se considera una ventana rectangular rematada en la parte superior por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6’6 m, hallar sus dimensiones para que su superficie sea máxima. 9.- Una piedra preciosa pesa 12 g. Sabiendo que el valor de una piedra preciosa es proporcional al cuadrado de su peso y que su valor es de 1.440 €, calcular, cuando dicha piedra se divide en dos trozos, el peso de cada uno de ellos cuando la depreciación sea máxima. 10.- Un triángulo isósceles de perímetro 10 m gira alrededor de la altura correspondiente al lado desigual y engendra un cono. Hallar los lados para que el cono tenga volumen máximo. 11.- Calcula dos números positivos de modo que al sumarlos resulte 10 y la resta de uno deellos menos el inverso del otro sea máxima. 12.- Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar obreros y comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra “x” máquinas y contrata “y” obreros, el número de unidades de producto que puede fabricar viene dado por la función:

2··90),( yxyxf . Cada máquina le supone una inversión de 2.500 € y cada contrato de un nuevo obrero

le cuesta 1.500 €. Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 22.500 € para este fin, determina el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción.

2º de Ciencias


10

13.- Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. ¿Qué dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área posible? 14.- Queremos vallar un terreno de forma rectangular que tenga una superficie de 400 metros cuadrados. El precio del metro lineal de valla es de 4 euros. ¿Qué Dimensiones debemos dar a dicho terreno para que el coste de la valla utilizada sea mínimo? 14.- Supongamos que el solar del problema anterior tiene 200 metros cuadrados y uno de Sus lados, a lo largo del río, requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. ¿Quédimensiones darán el coste más bajo? 15.- Un aparejador sabe que el rendimiento de los operarios de una constructora, a medida que avanza la

jornada laboral, viene dado por 32·5,1030)( tttR , siendo t el número de horas transcurridas desde el

inicio de la jornada laboral (0 < t < 8). Determina cuándo se producen los rendimientos máximo y mínimo. 16.- Una bióloga marina sabe que los ingresos por venta de ejemplares de “lubina” en una planta de

cultivo de peces es 204,02000)( qqql , y los costes de alimentación vienen dados por la función2001,01001000000)( qqqC , donde q=nº unidades de lubina. Halla:

a) La función beneficio. b) ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo?

Para pensar: ¿A qué distancia debe ubicarse un observador cuyos ojos están situados a una

altura de 1’80 m para divisar, bajo un ángulo máximo, una estatua de 3 m de altura, colocada sobre un pedestal de 2 m?

2º de Ciencias


11

Regla de L’Hôpital: Sean dos funciones f y g, derivables en E(a) (Entorno de a), salvo, quizás en x=a, Si

0)(lim,0)(lim

xgxfaxax

, y existe )('

)('lim

xg

xf

ax, entonces:

)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

axax

Si al aplicar la regla de L’Hôpital se produce una segunda indeterminación, puede aplicarse otra vez dicha regla.

Interpretación geométrica:

Si existe )('

)('lim

xg

xf

ax, significa que las pendientes de las rectas tangentes de las dos funciones

tienden a estabilizarse, por lo tanto el cociente de las ordenadas de las gráficas también tiende a estabilizarse en el mismo valor.

Aplicaciones de la regla de L’Hôpital en otras

indeterminaciones:Podemos transformas distintas indeterminaciones en

indeterminaciones de la forma 0

0

Indeterminación

)(

)(lim

xg

xf

ax: En este caso

)(

1

)(

1

lim)(

)(lim

xf

xg

xg

xf

axax

Indeterminación

·0)()·(lim xgxfax

: En este caso si

)(lim,0)(lim xgxfaxax

,

entonces:

)(

1

)(lim)()·(lim

xg

xfxgxf

axax

Indeterminaciones de la forma 1,0, 00 , se reducen a las formas anteriores

aplicando primero logaritmos neperianos.

Infinitésimos: Una función f definida en un entorno de a, esun infinitésimo en a si se verifica que:

0)(lim

xfax

Si f y g son infinitésimos en a diremos que f es de orden superior a g si: 0)(

)(lim xg

xf

ax. En

este caso se escribe )(0 gf .

Si f y g son infinitésimos en a diremos que f es equivalente a g si: 1)(

)(lim xg

xf

ax. En este

caso se escribe gf ~ .

Si en un límite aparece un infinitésimo como factor, éste puede sustituirse por otro equivalente. No es cierto que un infinitésimo pueda sustituirse por un equivalente en una suma o en una diferencia.

2º de Ciencias


12

Tabla de infinitésimos equivalentes:

0x

n

xx

ax

ax

axax

axe

axaxtgarc

axaxsenarc

axaxtg

axaxsen

n

ax

11

2cos1

1ln

1

2

1x

11

1ln

xxsen

xx

Ejemplos:

2

1

12

1lim

22

lnlim1~ln

0

0

22

lnlim

2

2

·lim

cos1

·lim

2~cos1

~

~

0

0

cos1

·lim

1lim1

1lnlim~1

~1ln

0

0

1

1lnlim

55

lim5

lim5~50

05lim

111

2002

0

000

000

x

x

x

xxx

x

x

x

xx

x

xtgxsen

xx

xxtg

xxsen

x

xtgxsen

x

x

e

xxe

xx

e

x

x

x

x

xsenxxsen

x

xsen

xxx

xxx

xxx

x

xx

xxx

2º de Ciencias


13

1.- Resolver los siguientes límites:

1

1:

1

1lim)

33lim)

1lim)lim)

1

1lim)

1

1lim)

133

12lim)

149

65lim)

3

3

2

2

13223

3223

22

2

33

66

7

5

17

5

23

2

12

2

2

x

x

x

xh

axaaxx

axaaxxg

ax

axaxf

ax

axe

x

xd

x

xc

xxx

xxb

xx

xxa

xax

axax

xx

xx

2.- Resolver los límites:

222

33lim)3242lim)

21

32lim)

3

234lim)

11

11lim)12913lim)

416

39lim)

3

21lim)

11lim)

3

22

3

2

01

2

030

x

xixxxh

x

xxg

x

xxf

xx

xxexxxd

x

xc

x

xb

x

xa

xxx

xxx

xxx

3.- Resolver:

2

2

2

2

32

2

23

12

2lim)

12

1lim)

1

12lim)

5

2lim)

1

1lim)

1

1lim)

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xf

x

xe

x

xd

x

xc

x

xb

x

xa

4.- Hallar el valor de k para que se verifiquen las igualdades correspondientes:

3

2

2

8

12

2lim)

21lim)

3

7lim)

ex

kxc

xkxxb

ex

xa

px

x

x

kx

x

5.- Poner ejemplos de una función que tenga: a) Una discontinuidad evitable en x = 2. b) Una discontinuidad esencial en x = -2. c) Una discontinuidad de salto finito en x = 1. d) Una discontinuidad evitable en x = 2, una discontinuidad esencial en x = -2.

2º de Ciencias


14

1.- Calcular, aplicando la regla de L’Hôpital, los límites:

x

x

xsen

x

x

x

xtg

xxx

xx

xx

xx

x

x

xxx

x

x

xx

x

x

xx

x

xxx

axx

xxsenf

xtgxxx

xxe

e

ectgxxd

xsen

x

x

x

xx

e

ec

x

senxx

senxe

xe

x

eeb

xtg

x

x

x

xx

xxxa

1·lim21

1limlim)

lim1·lnlnlim1

·lnlim)

2

2lim·cos1lim15lim)

1

limcos1

1lnlim

1lnlim)

cos1lim

1

coslim

2lim)

3

21lnlim

1lnlim

23

6116lim)

0

1

00

01

0

1

2

2

003

2

2

0020

002

23

2

2.- Resolver los límites:

xxxxx

xxxe

x

xx

xxx

x

x

x

xd

xx

xxxsen

x

xc

xxexxsenx

xarxsenxb

x

ee

ax

axaxxarctgxa

xxx

xxx

x

x

tgx

x

x

x

xxxx

senxx

xaxx

·lnlim4

11

1lim··

lim)

1·lnlimlim

1

1ln

1lim)

1lnlimlim

1

1lim)

1

1

1

1lim

1

1

1

1lim

coslim)

lim1

lim·ln2

lim)

006

532

2

00

1

2

1

0

21110

3033

2

Y una bobería:

Si 21lim 2

xaxx

x, ¿cuánto vale a?

¿Cómo se calcula

xx

a

x1lim 2 ?

2º de Ciencias


15

RECUERDA:

Para representar gráficamente una funcióny = f(x) hay que calcular:

1º Dominio de f.

2º Puntos de corte con los ejes de coordenadas:

0:

0:

xOY

yOX

3º Regiones:

OXdedebajoPorxf

OXdeencimaPorxf

0)(

0)(

4º Asíntotas:

mxxfn

x

xfm

sinmxyOblicuas

xfsiaxVerticales

bxfsibyesHorizontal

x

x

ax

x

)(lim

)(lim

:

)(lim:

)(lim:

5º Cálculo de la primera derivada:

crecienteFuncióny

extremoposibley

edecrecientFuncióny

0'

0'

0'

6º Cálculo de la segunda derivada:

..0''',0''

0''

0''

0''

0''0'

IPyy

Cóncavay

Convexay

my

Myy

7º Simetrías respecto a:

)()(

)()(

xfxfsiO

xfxfsiOY

8º Periodicidad: Una función es periódicacon período P si verifica que:

)(xfPxf

2º de Ciencias


16

AUTOEVALUACIÓN 1ª PARTE DEL CURSO 1. a) Derivar las siguientes funciones, dando los resultados simplificados al máximo:

xx

xx

ee

eexg

xsenxxarcsenxf

22

2222

ln)(1

4)(

b) Calcular los siguientes límites: b1)

; b2)

2. Se considera la función definida por:

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad, en función de los parámetros a y b

b) Para los valores de los parámetros, en donde la función sea derivable en R, expresar como sería la función f’(x)

3. Representar gráficamente la función 1

2

x

xy , calculando dominio, puntos de corte con los ejes de

coordenadas, asíntotas, regiones, intervalos de crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos.

4. En un concurso se da a cada participante un alambre de 2 m de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso.

5. Sabiendo que la recta tangente a la gráfica de la función en su punto de

inflexión es y = 2x+3. a) Calcular las coordenadas del punto de inflexión. b) Calcular los valores de a y b.

baxxxy 23 122

2º de Ciencias


17

El CálculoInfinitesimal tiene dos ramas: Cálculo Diferencial y Cálculo Integral.

El Cálculo Diferencial surgió durante el intento de resolver problemas aparentemente diversos pero intrínsecamente relacionados y urgentes para la Ciencia del siglo XVII: el problema del movimiento no uniforme y el del cálculo de la recta tangente a una curva por uno de sus puntos. El problema del movimiento no uniforme, consiste en calcular la velocidad de un móvil en un instante dado, es decir, la velocidad instantánea. El segundo problema consiste en trazar la tangente a una curva en cualquiera de sus puntos. Ambos problemas fueron resueltos mediante un método general llamado antiguamente “método de las tangentes” o “diferenciación” y que actualmente se conoce con el nombre de derivación. Dicho método fue descubierto por el inglés Isaac Newton y por el alemán Leibniz, independientemente uno del otro. El Cálculo Integral surgió durante el intento de resolver el problema de la integración que consiste en calcular longitudes de arcos de curva, áreas limitadas por curvas, y volúmenes limitados por superficies curvas. Cierto es que los griegos habían encontrado un engorroso método llamado de exhaución para resolver algunos casos particulares: longitud de una circunferencia, área de un círculo, volumen de una esfera, etc. Sin embargo, el descubrimiento crucial de Newton y Leibniz consistió en relacionar el antiguo método de exhaución con el recientemente inventado método de derivación, demostrando que el problema de la integración podía resolverse mediante un proceso inverso de la derivación, es decir, calculando primitivas. No obstante, desde que Newton y Leibniz comenzaron a desarrollar y manejar las, nociones del Cálculo Infinitesimal, hubo de pasar casi siglo y medio hasta que Cauchy, a comienzos del siglo XIX, sistematizó estas ideas en un cuerpo teórico bien construido y prácticamente con la misma forma en que hoy lo utilizamos para iniciarnos en los primeros pasos del Análisis.

Nuestro agradecimiento a Cauchy (principios del siglo XIX), Riemman (mediados del siglo XIX) y Lebesgue (principios del XX) será eterno, puesto que han sido los orfebres sucesivos que se han dedicado a perfeccionar esta joya clásica que es la integral.

Como curiosidad diremos que en el siglo XX ha habido extensiones muy importantes de la teoría, con lo que se ha podido abordar problemas inaccesibles para la teoría clásica. La teoría de la medida es una prolongación natural del Cálculo Integral. Una de sus creaciones interesantes es la medida de Hausdorff. Se trata de medir y estudiar ciertos conjuntos de puntos tan pequeños que, desde el punto de vista de la integral de Lebesgue, son despreciables, de medida cero. La medida de Hausdorff viene a ser como un nuevo “microscopio” capaz de calibrar conjuntos que para el de Lebesgue pasan desapercibidos. La irrupción del ordenador en la segunda mitad del siglo XX (especialmente del microordenador, posibilitando el cálculo numérico rápido, la iteración de procesos de cálculo y la representación gráfica de objetos matemáticos), ha favorecido la creación de nuevas e inexploradas teorías como la de los fractales, que se han convertido en un instrumento muy adecuado para estudiar otro de los fenómenos científicos que han surgido a partir de los años 60, la aparición del caos matemático en multitud de campos diferentes como la Biología, la Meteorología, ... Podemos terminar diciendo que:

“El Cálculo infinitesimal, como edificio conceptual básico fabricado por el hombre a lo

largo de más de tres siglos, merece tanto aprecio, o más, que las obras de arte más

estimadas de la historia de la humanidad”.

2º de Ciencias


18

La historia del problema del área resulta interesante. En los primeros tiempos de la antigua

Babilonia se creía que el área de una figura dependía de su perímetro. Sin embargo, los métodos correctos para obtener áreas de rectángulos y de triángulos rectángulos eran conocidos antes del 2200 a.C. El paso siguiente, el de hallar áreas de figuras planas limitadas por curvas específicas, tales como un arco parabólico, no se alcanzó (que se sepa) hasta los tiempos de Arquímedes. Se dio cuenta que el problema de la determinación de volúmenes limitados por superficies curvas era análogo al problema de la determinación del área y que ambos podían plantearse haciendo uso de aproximaciones cada vez mayores. Mucho más adelante, en el siglo XVII, Newton entre otros, formalizó la integración, estableciendo su relación con la derivación. Intuitivamente, definamos el área de un rectángulo como el producto de las longitudes de dos lados adyacentes. Tomando esto como punto de partida, vamos a definir áreas de figuras cada vez más complejas, pero que estén en concordancia con lo que intuitivamente podemos esperar. Empezando por figuras rectilíneas, dos triángulos rectángulos iguales forman un rectángulo, por lo

tanto el área del triángulo tiene que ser alturaxbase2

1 . Teniendo en cuenta esto, se puede calcular el

área de cualquier figura rectilínea considerando ésta como formada por triángulos rectángulos y rectángulos. Sin embargo surgen dificultades al considerar el área de una región limitada por una curva. Para

estudiar este caso vamos a ver un ejemplo concreto:Las piscinas Dollan (piscinas escocesas para

pruebas olímpicas), cuyo edificio se alza en un inmenso arco parabólico, con una luz de 100 m y con una altura máxima de 20 m por encima del nivel del suelo. Una vez decidida la forma, el arquitecto tuvo que calcular el área de la sección transversal para poder hallar la presión sobre la estructura.

Para estudiar el área primero debemos ver la función cuya gráfica coincida, en parte, con la curva

del edificio. Se deduce fácilmente que la función es125

20)(2x

xf

Intentamos calcular el área que queda por debajo de la gráfica. El dibujo se dividirá en dos partes: 1. Aproximaremos el área mediante rectángulos, obteniendo aproximaciones por defecto y por

exceso del área buscada y los haremos en dos casos: i. Cuando OC se divide en 5 intervalos iguales.

ii. Cuando OC se divide 10 intervalos iguales. 2. Determinación de los intervalos para que el error sea menor que 1 m2.

20

50 -50

2º de Ciencias


19

1.- Cálculo por aproximaciones: El arco parabólico es simétrico, por lo tanto el área representada por AOBC es el doble de la representada por OBC.Haciendo, por comodidad, una tabla de valores:

x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

f(x) 20 19’8 19’2 18’2 16’8 15 12’8 10’2 7’2 3’8 0

i) Utilizando 5 intervalos para la semiárea calculamos el área formada por los rectángulos:

El área total por exceso será: 2520.12'78'128'162'1920102 mx

El área total por defecto será: 2120.102'78'128'162'19102 mx

Así pues, para 5 intervalos, la mejor aproximación del área será: 213202

120.1520.1m

y el error

cometido será: 22002

120.1520.1m

ii) Para 10 intervalos:

El área total por exceso será: 2430.18'3...8'192052 mx

El área total por defecto será: 2230.108'3...8'1952 mx

Así pues, para 10 intervalos, la mejor aproximación del área será: 213302

230.1430.1m

y el error

cometido será: 21002

230.1430.1m

2.- Determinación de los intervalos para que el error sea menor que 1 m2. Analizando los casos del apartado anterior, se observa que el error máximo posible coincide con el área del mayor rectángulo, por lo tanto, en este caso, el área del mayor rectángulo debe ser menor o igual que 1 m2, con lo que el “ancho” debe ser, a lo sumo, de 0’05 m, ya que 2 x 0’05=1 m2.Es decir, el

número total de intervalos para que el error sea menor o igual que 1 m2, debe ser 000.105'0

50

Análogamente, para que el área tuviera una aproximación mayor que, por ejemplo, 0’1 m2, se necesitarían, por lo menos, 10.000 intervalos. De lo expuesto anteriormente, se deduce que, a medida que se aumenta el número de intervalos, el valor del área se hace cada vez más precisa. Se observa también que las diferencias entre las área de los rectángulos pequeños y grandes son cada vez menores.

Supongamos que utilizamos este método para obtener aproximaciones del área por defecto y por exceso, considerando conjuntos de rectángulos cada uno con n términos. Si a la suma de los rectángulos grandes la llamamos Sn y a la de los pequeños sn, siendo n un número natural, de modo que si a n se le van dando sucesivamente los valores 1, 2, 3, ... obtenemos las sucesiones:

S1, S2, S3,... de límite S. s1, s2, s3, ... de límite s.

Los términos de la primera sucesión serán mayores que el área buscada y los de la segunda serán menores, pero la diferencia entre ambas sucesiones, a medida que aumenta el valor de n, son cada vez más pequeñas, por lo que ambas tendrán el mismo límite, límite que podemos considerar como el área de la región. Debido a que este límite tiene aplicaciones muy importantes en cuestiones distintas del cálculo de áreas le daremos un nombre muy especial: integral definida entre a y b de la función f y lo

escribiremos de la forma: b

a

dxxf )(

El símbolo , una “S” alargada, representa un sumatorio y se llama integral porque el sumatorio

recibía el nombre de “integer”, a y b son los extremos de la integral, o límites.

2º de Ciencias


20

Sumas de Riemann:Dada una función acotada baf ,: , para cada partición

nxxx ,...,, 10 de [a,b] se consideran unos ciertos puntos nttt ,...,, 21 con iii xtx 1 (para i = 1,

2, ..., n) que se llamarán puntos intermedios, se llama suma de Riemann a la expresión

n

i

ii xtf1

.

Se demuestra que la función f es integrable en [a,b] si y sólo si, para n se verifica que la suma de Riemann tiene límite, este límite es la integral de f en el intervalo, es decir:

n

i

iin

b

axtfdxxf

1

lim)(

Propiedades de la integral:Las propiedades de la integral definida son:

Aditividad respecto al intervalo. Sean a, b, c tres números reales, tales que

a<b<c. Una función integrable en [a,b] verifica que: b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()(

Linealidad de la integral. Si existen b

adxxf )( y

b

adxxg )( , entonces:

b

a

b

a

b

adxxgkdxxfkdxxgkxfk )('·)(·)('·)(·

Integración y relación de orden. . Si existen b

adxxf )( y

b

adxxg )( , entonces:

b

a

b

adxxgdxxf

ba

xgxf)()(

)()(

Integral del valor absoluto.Si f(x) es integrable en [a,b] también lo es )(xf y se

verifica que: b

a

b

adxxfdxxf )()(

Regla de Barrow:Si f es continua en [a,b] y F es una primitiva de f en dicho intervalo,

entonces: b

a

b

axFaFbFdxxf )()()()(

2º de Ciencias


21

Función primitiva: Dada la función y = f(x), se llama primitiva de f a toda función y

= F(x) que verifique que F’(x) = f(x).

Integral indefinida:Al conjunto de primitivas de una función se le denomina integral

indefinida de la función y se escribe: CxFdxxf )()(

Propiedades de la integral indefinida: De la definición se deducen las siguientes

propiedades:

Si K = cte: dxxfkdxxfk )(·)(·

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Tabla de integrales inmediatas

Tipo Simple Compuesta

Potencial

1n C

n

xdxx

nn

1

1

Cn

fdxff

nn

1'·

1

Logarítmico Cxdxx

ln1

Cfdxf

f ln

'

Exponencial Cedxe xx Cedxef ff '·

Seno Cxdxxsen cos Cfdxfsenf cos'·

Coseno Csenxdxx cos Cfsendxff '·cos

Tangente

Cxtgdxx

Cxtgdxxtg

Cxtgdxx

2

2

2

cos

1

1

sec

Cftgdxf

f

Cftgdxftgf

Cftgdxff

2

2

2

cos

'

1'·

'·sec

Arco seno Cxsenarcdxx

21

1 Cfsenarcdx

f

f

21

'

Arco tangente Cxtgarcdxx

21

1 Cftgarcdx

f

f

21

'

Neperiano- Arco tangente

eirreduciblcbxaxM

gentearconeperianodxcbxax

NMx

2

2

0

tan

2º de Ciencias


22

Por partes: La integración por partes se basa en la derivada de un producto de funciones:

)(')·()()·('')()·( xgxfxgxfxgxf

dxxfxgxgxfdxxgxf )(')·()()·()(')·(

Tipo: dx ; dx; dx ; dx (cíclicas): dx ; dx

Integración por sustitución o cambio de variable: Consiste en efectuar un cambio de variable. Estos cambios pueden ser:

x = h(t), por lo que la integral queda de la forma dtththfdxxf )(')()(

t = h(x) Hay que tener en cuenta que una vez resuelta la integral hay que «deshacer los cambios»

Transformación de funciones racionales:

Para integrar funciones racionales (de la forma )(

)(

xQ

xP, donde P(x) y Q(x) son

polinomios) el grado del polinomio del numerador tiene que ser estrictamente menor que el grado del polinomio del denominador, en caso contrario, se realizará la división y se descompondrá la integral en una polinómica y otra racional en la que el grado del polinomio numerador es estrictamente menor que el del denominador. Se estudiarán los casos siguientes:

1. Denominador de grado uno: Es una integral inmediata:

Cbaxabax

dxln

1

2. Denominador con raíces reales simples: Se descompone en fracciones simples:

dx

bx

Bdx

ax

Adx

bxax

xP )(,

con lo que resultan dos integrales del caso anterior. 3. Denominador con raíces múltiples: Se descompone en suma de fracciones de la

siguiente forma:

dxbx

Ddx

ax

Bdx

ax

Adx

bxax

xP22

)(

con lo que resultan dos integrales del primer caso y una potencial. 4. Denominador de segundo grado irreducible: Es una integral del neperiano-arco

tangente.

2º de Ciencias


23

Integrales irracionales: Son integrales de la forma dxbaxbaxxR

qp...,,, (R función racional)

Estas integrales se resuelven haciendo el cambio ax + b = tM, siendo M = m.c.m. (p, q, ...)

Integración de funciones trascendentes: Consideraremos en este caso dos tipos de funciones:

5. Funciones trigonométricas del tipo Nmndxxxsen mn ,,cos

Si n es impar: se hace el cambio cos x = t

Si m es impar: se hace el cambiosen x = t

Si m y n son pares: hay que hacer transformaciones trigonométricas. En este caso hay que

tener en cuenta las fórmulas del ángulo doble y ángulo mitad:

2

2cos1cos

2

2cos1

2

2

xx

xxsen

6. Funciones exponenciales del tipo dxeR bax (R función raciona)

Se hace el cambio te bax

2º de Ciencias


24

Cambio de variable: dxx 21

En este caso podemos hacer el cambio dttdxsentx cos

Sustituyendo nos queda:

Cxxxsenarc

Cttsent

Ctsent

dtt

dt

dtt

dttdtttsendxx

2

1

2

2

cos

24

2

22

2cos

2

12

2cos1coscos11

2

222

Para resolver esta última parte se han utilizado las siguientes fórmulas trigonométricas:

22 1cos,cos22,cos2

12cossensensen

¿Qué sucede si no se recuerdan las expresiones anteriores? Se podría resolver la integral por partes.

Integración por partes: xdx2cos

Supongamos que en el caso anterior se ha llegado a la integral tdt2cos y no se recuerda las

fórmulas trigonométricas; entonces:

sentvtdtdv

sentdtdututdtttdt

cos

cos·coscoscos 2 Por tanto:

tdtttsentdtttsenttdtsentsenttdt 2222 cos·coscos1·cos·coscos

Despejando: Cttsent

tdt 22

·coscos 2

2º de Ciencias


25

Integración de funciones racionales 1. Denominador con raíces reales simples:

dx

xxx

xxdx

xxx

xx

321

41210

652

41210 2

23

2

En este caso:

321

213132

321321

41210 2

xxx

xxDxxBxxA

x

D

x

B

x

A

xxx

xxTeniendo

en cuenta que: 21313241210 2 xxDxxBxxAxx

Para calcular los valores de A, B y C se puede o bien darle valores a x o resolver el

sistema formado por los coeficientes de ambos polinomios dado que al ser iguales deben ser

iguales los coeficientes correspondientes a términos del mismo grado.

Cálculo de los coeficientes por valores de x:

55052:3

4605·3·:2

162·3:1

DDx

BBx

AAx

Resolución del sistema:

4236

124

10

DBA

DBA

DBA

La integral por lo tanto queda de la forma:

Cxxx

x

dx

x

dx

x

dxdx

xxxdx

xxx

xx

3ln52ln41ln

3

5

2

4

13

5

2

4

1

1

652

4.121023

2

2. Denominador con raíces reales múltiples:

dx

xx

x2

1

2

En este caso:

2

2

22 1

11

111

2

xx

DxxBxxA

x

D

x

B

x

A

xx

x Una vez calculados los

coeficientes (A = 2, B = -2, D = 3) la integral queda de la forma:

C

xxx

x

dx

x

dx

x

dxdx

xx

x

1

31ln2ln2

1

3

1

22

1

222

2º de Ciencias


26

3. Denominador con algún factor de grado 2 irreducible: 12 xxx

dx

En este caso:

1

1

11

12

2

22

xxx

xNMxxxA

xx

NMx

x

A

xxx

Sustituyendo los valores obtenidos (A = 1, M = -1, N = -1) se obtiene:

dx

xx

xxdx

xx

x

x

dxdx

xxx

dx

1

1ln

1

1

1 222

Basta pues resolver la integral

dx

xx

x

1

12

:

En este caso, mediante transformaciones sencillas podemos descomponer la integral en dos, una inmediata y la otra que se resuelve por cambio de variable:

12

1

1

12

2

1

1

22

2

1

1

12222 xx

dxdx

xx

xdx

xx

xdx

xx

x

13

23

4

13

4

4

3

4

3

4

3

2

11

1ln1

12

222

22

22

u

du

u

du

u

du

x

dx

xx

dx

xxdxxx

x

,

(Se hizo elcambio de variable dudxux 2

1), haciendo un nuevo cambio de variable

dtdutu2

3

3

2 , nos queda:

2

1

3

2

3

32

3

2

3

32

3

32

12

3·

3

4

13

23

422

xtgarcutgarcttgarct

dt

u

du

Sustituyendo en la integral inicial, se obtiene:

Cxtgarcxxx

xxx

dx

2

1

3

2

3

31ln

2

1ln

12

2

2º de Ciencias


27

Integrales inmediatas:

dxx

xdxxtgdx

x

xsendxeedx

x

x

dxeedxxsendxx

xdx

x

x

xx

dx

dxxdxxdxxxdxx

xdxx

xx

dxxdxx

xxdxxxdxxdx

x

dxx

xdxxdxx

x

dxdxx

xx

xx

2

lncos2512242322

ln21

12012193

181

1712

16

215214132

2122

11

10232

93238877

36

54321

22

3 22

222

10232

32

23 22

4

3 2

2

3

Integrales racionales:

39

28

237

44

16

43

325

654

43

3

542

2

321

22343

2232

2

2

x

dx

xxx

dxdx

xx

x

dxxx

xdx

xxx

x

xx

dxx

dxdx

x

xxdx

x

x

Integrales por cambio de variable:

dx

e

edx

x

xxsen

e

dxdx

xx

xx

x

x 14

cos1

cos3

22

11

2

Integración por partes:

dxxxdxxdxsenxxdxxe x 22 ln4ln123221

2º de Ciencias


28

Integrar:

dxx

xdx

x

xdx

e

e

xx

dxdx

x

xdx

e

e

dxxtgdxx

dxx

dxexsendxxsenxdxx

dxexdxexdxxe

dxdxdxe

dxxctgdxxtgdxxsen

xsen

dxx

xdx

x

xdx

xx

x

x

x

x

x

xxxsenx

x

xxx

46

2

26

2

2

2

2

2

2

41

12

2

3

2

23

2

124

123

122

ln121

1

320

119

6618cos

417sec316

153·1412cos13

212cos1110

3

29387

651

24

83

12

5

131

22

1.- Hallar una primitiva de f(x) = 2x cuya gráfica pase por el punto P(1,3). ¿Y si pasa por el origen de coordenadas?

2.- Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de la función xxxf 4)( 2 y el eje OX.

3.- Las funciones xxgxxf 3)(,1)( 3 determinan dos recintos acotados en el primer cuadrante.

Calcular el área de los dos recintos.

4.- Hallar el área limitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX en el intervalo 2,0 .

5.- Hallar el área limitada por la curva xxxy 86 23 y el eje OX.

6.- Hallar el área limitada por las gráficas de las funciones:

2)(,1)())(,)())(,)() 2322 xxgxxxfcxxgxxfbxxgxxfa

7.- Calcular el valor de a para que el área limitada por la curva axxf 2)( y la recta y=0 sea igual a 4

u.s.

8.- Sea el recinto limitado por la parábola de ecuación 12 xy y la recta y = a, donde a es un número

menor que 1. Determinar el valor de a para que el área del recinto sea 3

28

2º de Ciencias


29


24

21

1

)(

xsix

xsix

xsixx

xf

a) Hallar los puntos en los que f es derivable. b) Estudiar si existen máximos y mínimos relativos y, en su caso, obtenerlos.

c) Calcular 4

0)(3 dxxf

10.- Encontrar el área del recinto limitado por la parábola yx 22 , el eje de ordenadas y la tangente a la

parábola de pendiente –1. Hacer un dibujo de este recinto.

11.- Hallar el área limitada por las curvas xyexy 22 .

12.- Hallar el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función 34)( 2 xxxf y el eje OX.

13.- a) Representar gráficamente la función 1)( xxxf

b) ¿En qué puntos es diferenciable dicha función? c) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función anterior y la recta y = 2. ¿Se podría

obtener el resultado sin la ayuda del cálculo integral? ¿Por qué?

14.- Calcular el área de la región del plano limitada por la parábola 562 xxy , la recta tangente en x

= 2 y el eje de ordenadas.

15.- Calcular el área del recinto limitado por la parábola 22xy y la secante a dicha parábola que pasa por

los puntos de abscisas x = 2, x = 8. 16.- Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones:

3,31)

,)

4,4

,1

)

2

23

xxrectaslasyxyc

xxyxxyb

xyx

yx

ya

2º de Ciencias


30

Resolver las siguientes integrales:

dxxsen

xxsendxxdxxe

dxxsen

xgdx

x

xsendxxxsen

xx

dx

xx

dxdx

x

x

dxx

xdxtgxarcxdxxsenx

xx

dxdx

xx

x

e

dxx

xdx

x

dx

xx

dx

x

x

2

3323

2

322

343

22

1

cos.181ln.17.16

2

2cot.15

2cos

2.142cos2.13

11.12

1313.11

1

1.10

1

1ln.9.822.7

1.6

1.5

2.4

1.3

4.2

ln2.1

19.- Encontrar una función y = f(x) sabiendo que f’’(x) = 12x – 12,y que, además, se cumple que f’(1) = f(1) = -1.

20.- Hallar una función y = f(x) sabiendo que se verifica effexf x 4)1(,2)0(,)('' .

21.- De una función y = f(x) se sabe que xxf 2sec)('' 2 , que su gráfica pasa por el punto (0,1) y que

2

3

8'

f . Obtener razonadamente la expresión de la función.

22.- Determinar una función y = f(x) sabiendo que f’’’(x) = 24x, f(0) = 3, f’(1) = 1, f’’(0)=2. 23.- Hallar el área del recinto limitado por las funciones:

xyx

yycxxyxxybxxyxya 4,4

,4

1),)4,3) 2332

Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado cuadrado de 40 m de lado. Sabiendo que la longitud de la cuerda es de 50 m, calcular la superficie de hierba que puede comer la vaca.

2º de Ciencias


31

1.- Como no sabe usted calcular 1

2dx

x

e x

, puede hallar sus sumas

superiores e inferiores respecto de la partición

2,4

7,

2

3,

4

5,1P del intervalo [1,2]. ¿Qué información

dan esta sumas respecto de la integral? Explíquelo con un ejemplo.

2.- Calcular el área comprendida entre la curva x

x

e

ey

1 y las rectas y =-1, x = 1, x = 2.

3.- Considérese la región acotada que determinan las curvas xx eyey 2, y la recta x=a. Hallar el área

de dicha región para a = 1 y hallar a > 0 para que el área sea 2 u.s.

4.- Hallar el área limitada por la curva 2xxey , el eje de abscisas, la ordenada en x = 0 y la ordenada en

el máximo de la curva.

5.- Calcular el área de la región del plano limitada por las curvas xyxy 2,3 2 .

6.- Representar la curva 12

2

x

xy y calcular el área del recinto limitado por la curva, su asíntota y las

rectas x = 0, x = 1. 7.- Calcular el área del recinto plano, contenido en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de las

funciones: xxyxxybxxyxya 2,6)810,) 2223

8.- ¿Y si en el problema anterior se elimina la frase “contenido en el primer cuadrante”?

Para pensar: Sean A y B dos puntos de la parábola 2xy . Sea C el punto de

intersección de las tangentes a la parábola en los puntos A y B. Si el área de la región del plano comprendida entre la parábola y la recta AB es 20 u.s., calcular el área del triángulo ABC.

Y otro: Buscar dos puntos de la parábola 2xy de manera que las tangentes a la parábola en dichos

puntos sean perpendiculares y que el área comprendida entre la parábola y el segmento AB sea 36 u.s.

2º de Ciencias


32

Inmediatas:

dxx

xxdxxtgdx

xsen

dx

x

dxdxx

x

dxxedxxx

dxxsenx

dxx

dxxx

xxxdxx

x

xx

exx

1

21

10

52

8551

1

21

1

1

4

53

51

3863

5 22

11

22

5 3

2

22

33 232

Cambio de variable:

dxxtgdxxedxxxdxx

xee

dx

x

dx

xsendx

e

edxxxsen

x

dxx

x

dxxdx

xsen

x

x

dxx

x

xx

x

23 322

2

2

42

1ln

1

2cos

42312

12cos

21

Por partes:

dxxtgxsendx

x

xdxedx

x

xx

dxtgxarcxdxxtgarcxdxxdxx

xsenarc lnln

1

1ln

cosln

3

Racionales:

dxx

xxdx

xx

x

xx

dx

x

dxx

xx

dxdx

xx

xxx

x

xx

dxdx

xx

x

1

1

11

1

1

112852

3296

73

9612

75

2

3

2

3

2

22

222

2º de Ciencias


33

Ce

xedxxe

Cxx

xx

dx

Cxxdx

x

xx

Cxxx

xdx

x

x

x

Cxx

dxxxx

x

Cx

xxdxxx

xx

Cxarctgxdxx

x

Cx

xdxxxx

xx

Cxxxx

arctgdxxxx

xx

Cxdxx

x

Ceee

dxe

eee

Cxxxdxx

xx

Cedxee

e

Cxxdxx

x

Cxedxex

Cxedxex

exex

xxxx

xxx

x

xx

x

xx

xx

1.16

13ln333

33

.15

34

3

2

3.14

1ln21

211

.13

12

3

1

2

133

12.12

1

11ln3ln

13

12.11

21

1.10

1

31ln2

1

172.9

1ln1ln3

12

3

32

122

133.8

1ln2

1

1.7

3

1

2

11.6

1ln6241

468.5

112

.4

1lnln·lnlnln

.3

12

1.2

11.1

1

33

3 23

2

1

3

2

6

5

3

1

2

1

223

2

2

2

2

23

2

2

23

2

2

2

324

32

22

1

2

23

22

22

2º de Ciencias


34

1.- Resolver:

Cxsenxsenx

xdxxsene

Cx

dxsenxxd

Cxctgxtgxxsen

dxc

Cxdxx

senxb

Cxsen

dxxsen

xsena

48

2

64

4

16cos)

4

coscos)

cos)

cos21cos21

)

1318

1

13

2)

342

43

22

6272

2.- Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de 2

)(,1

1)(

2

2

xxg

xxf

. ..

6

23suS

3.- Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de 3,0,42 xyxy . ..3

22suS

4.- Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de xxxgxxf 2)(,5)( 22 y las

rectas x = a, x = b, siendo a y b las abscisas de los extremos de f y g respectivamente. ..3

14suS

5.- La recta x = a divide a la región limitada por las gráficas de la funciones 2)( xxf y

xxxg 62)( 2 en dos recintos de igual área. Hallar el valor de a. 1a

6.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de 23 23 xxy , el eje OX y las abscisas

correspondientes a los extremos de la función. ..2

5suS

7.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de xxxf 3)( 2 y las tangentes a f(x) en

los puntos de corte con el eje de abscisas. ..4

9suS

2º de Ciencias


35

Matriz:Una matriz es una tabla numérica rectangular, es decir, una “caja de números”

distribuidos en filas y columnas:

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

La matriz A es una matriz de m y n columnas. Diremos que es una matriz mxn. Los elementos aij son números reales y los subíndices indican la fila (i) y la columna (j) a la que pertenece el elemento.

Para simplificar, una matriz se puede expresar de la forma nmij

njmiij aa

,,...,1,...,1

Matrices cuadradas:Si en una matriz m = n, se dice que la matriz es cuadrada de orden n:

Los elementos a11, a22,...,ann se denominan elementos diagonales y la línea que los une diagonal principal.

La línea que une los elementos a1n, a2n-1,...,an1 se denomina diagonal secundaria. Se llama matriz diagonal a una matriz cuadrada en la sus elementos no diagonales son nulos:

nna

a

a

a

0000

............

0000

0000

0000

33

22

11

Igualdad de matrices:Dos matrices son iguales si son del mismo orden y además coinciden

término a término:

ijij

ij

ijbaBA

bB

aA

Traspuesta de una matriz: Dada una matriz A se llama Traspuesta de nmijaA

, , y se

escribe mnji

t aA,

, a la matriz que se obtiene al cambiar en A filas por columnas conservando el

orden:

mnnn

m

m

t

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

aaa

aaa

aaa

A

...

......

...

...

...

......

...

...

21

22212

12111

21

22221

11211

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

2º de Ciencias


36

Operaciones con matrices: Para sumar matrices es necesario que éstas tengan el mismo orden. En este caso se suman término a

término:

nmijij

nmij

nmijbaBA

bB

aA

,,

,

Las propiedades de la suma de matrices son:

Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)

Conmutativa: A + B = B + A

Elemento neutro: La matriz nula (la que tiene todos sus elementos nulos) es el elemento neutro de la suma: A + 0 = A.

Elemento opuesto: A + (-A) = 0 si ijij aAaA

Para multiplicar un escalar (número) por una matriz, se multiplica por el número cada término de la

matriz: ijij kaakAk ··

Las propiedades del producto de un escalar por una matriz (siendo a y b escalares y A y B matrices) son:

a·(b·A) = (a·b)·A

(a + b)·A = a·A + b·A

a·(A + B) =a·A + a·B

1·A = A Para multiplicar matrices es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número

de filas de la segunda:

CbaBA

pnbB

aA

pm

n

k

kjik

kj

nmik

,1

,··

,

La matriz C resultante tiene tantas filas como A (m) y tantas columnas como B (p). Las propiedades del producto de matrices son:

Asociativa: qppnnmqppnnm CBaCBA ,,,,,, ····

NO es conmutativa: De hecho, dadas dos matrices A y B puede existir el producto A·B y no existir el producto B·A. En el caso en el que existan ambos productos, éstos pueden ser distintos.

Distributiva respecto de la suma:

CBCACBA

CABACBA

···

···

Matriz unidad:Se llama matriz unidada una matriz diagonal en la que sus

elementos diagonales son 1, es decir:

Matriz inversa:Diremos que una matriz cuadrada A tiene inversa si existe otra matriz A-1 tal queA·A-

1 = A-1·A = I. NO todas las matrices cuadradas tienen inversa. Si una matriz tiene inversa, ésta es única, y la caracterización de una matriz inversible viene dada por el siguiente teorema: “Una matriz es inversible, si y sólo si, su determinante es distinto de cero”. Uno de los métodos para calcular la inversa de una matriz es el llamado método de los determinantes, que se basa en la aplicación de la siguiente fórmula: dondeAij es el adjunto del elemento aij de la matriz A.

Rango de una matriz: Llamamos rango de una matriz al número de filas (o columnas)

linealmente independientes.

1...00

0...

0...10

0...01

nI

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AA

...

......

...

...

1

21

22212

12111

1

2º de Ciencias


37

Determinante:A una matriz cuadrada

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

...

21

22221

11211

se le asocia un número

llamado determinante de A A , que se escribe:

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

...

21

22221

11211

Menor complementario:Se llama menor complementario de un elemento aij de la

matriz A, al determinante que resulta de suprimir en A la fila y la columna correspondiente al elemento aij. Se designará como Mij.

Adjunto: Se llama adjunto de un elemento aij al número ijji

ij MA ·1

Cálculo de un determinante:Si A es una matriz cuadrada, el determinante de A se

obtiene de la siguiente forma:

1111,1 aaAnSi

nnn

nn MaMaMaAaAaAaAnSi 111

121211111112121111 ·)1(...···...··,1

Regla de Sarrus:Un determinante de orden 3 consta de 6 productos, 3 precedidos del

signo “+” y otros 3 por el signo “-“. Para desarrollar este determinante hay que multiplicar cada elemento por los otros dos que no pertenecen a su misma fila y columna, llevando el signo “+” los productos paralelos a la diagonal principal y el signo “-“ los paralelos a la diagonal secundaria.

Propiedades de los determinantes:Dado que el desarrollo de un determinate de

orden n tendría un total de n! (n!=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1) sumandos, raras veces se recurre a la fórmula para resolverlo; lo usual es aplicar las diversas propiedades, de ahí la importancia de dominarlas.

Un determinante no varía si se intercambian filas por columas conservando el orden:

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

...

......

...

...

...

......

...

...

21

22212

12111

21

22221

11211

Si una columna (o fila) se multiplica por un número k, el valor del determinante queda

multiplicado por k:

nnnjn

nj

nj

nnnjn

nj

nj

aaa

aaa

aaa

k

aaka

aaka

aaka

......

...

......

......

·

...·...

...

...·...

...·...

1

2221

1111

1

2221

1111

Si cada elemento de una columna (o fila) es suma de dos sumandos, el determinante

2º de Ciencias


38

es igual a la suma de los determinantes que se forman al sustituir dicha columna (o fila) por

cada uno de los sumandos:

nnnin

ni

nnnin

ni

nnninin

nii

aba

aba

aaa

aaa

abaa

abaa

......

...

......

......

...

......

......

...

......

1

1111

1

1111

1

11111

Un determinante que tenga dos columnas (o filas) iguales, vale cero:

0

.........

.........

.........

.........

1

22221

11111

nnninin

nii

nii

aaaa

aaaa

aaaa

El determinante de la matriz unidad vale 1:

1

1...000

........

0...100

0...010

0...001

nI

Un determinante que tenga una columna (o fila) de ceros, vale cero:

0

...0...

......

...0...

1

111

nnn

n

aa

aa

Si se intercambian dos columnas (o filas) el determinante cambia de signo:

nnninjn

nij

nnnjnin

nji

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

.........

.........

.........

.........

......

.........

1

11111

1

11111

Si a una columna (o fila) se le suma una combinación lineal de las demás, el determinante no

varía:

nnnkknin

nkki

nnnin

ni

aaaa

aaaa

aaa

aaa

......

......

......

......

......

......

1

11111

1

1111

Los vectores columnas (o filas) de un determinante son linealmente independientes (L.I.) si y

sólo si el determinante es distinto de cero.

Observación:En general, el modo correcto de elegir los signos de los adjuntos de los elementos de

una matriz se obtiene sin dificultad, siguiendo el siguiente esquema:

.......

.......

...

...

2º de Ciencias


39

1.- Dadas las matrices

514

101

312

,

676

514

321

,

512

501

231

CBA , se pide:

CBAcACBAbCBAa tt ·6)·)6·)


p

BnAp

n

00

004,

100

10

004, calcular:

BAhBAgBAdABc

BAcBAcBbAatt

tttt

·)·)·)·)

·)·)))2

22222

3.- Hallar las matrices A y B, sabiendo que

DBA

CBA

32, siendo

504

204,

053

102DC

4.- Hallar la matriz X tal que XX 2870

532

3

1

210

321


31

60,

15

03BA , calcular X si tBIAX 52·

6.- Calcular 22 YX , siendo X e Y las matrices solución del sistema

BYX

AYX

23

32, donde

92

11

154

02BA

7.- Hallar una matriz A de dimensión 2 tal que:

42

232A

8.-a) Hallar todas las matrices cuadradas de dimensión 2 tales que: IA 2

b) Calcular AAAt ··21 , siendo

53

21A .

9.- Hallar, si existen, todas las matrices A de dimensión 2 tal que:

00

102A

10.- Resolver la ecuación matricial AXB = C, siendo

200

121

012

,

122

011

112

,

100

110

011

CBA

2º de Ciencias


40

11.- Dada la matriz

21

13A , hallar otra B tal que: ABBAbBABAa ··)·)

12.- Se sabe que A es una matriz cuadrada que verifica 0352 IAA , comprobar que A es inversible y calcular su inversa.

13.- Encontrar, si existen, las inversas de

654

1383

321

,

347

235

562

BA .

14.- a) Calcular 37A si

000

100

010

A . b) Calcular 100A si

621

831

1452

A .

c) Calcular 35A si

100

0107

1

7

11

A .

15.- Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

031

211

211

110

011

001

··

100

110

011

)

175

53

21

32··

15

23)

62

51·

42

53)

Xc

Xb

Xa

16.- Calcular el rango de la matriz

21

11

1

kk

k

kk

A en función de los valores del parámetro. ¿Para qué

valores del parámetro la matriz admite inversa? En caso de ser posible, calcular la inversa para k = 0, k = 2. 17.- Resolver los siguientes determinantes:

963

842

741

)

444

444

444

)

504880

302460

201210

)

153

315

531

)

541

321

111

)cos

cos)

fed

cbsen

sena

18.- Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes son nulos:

bacacb

cbadc

zzsenz

yyseny

xxsenx

b

bac

cab

aba

a

555

)

0270

23215

40258

)

2coscos

2coscos

2coscos

)

1

1

1

)22

22

22

19.- Calcular los valores de t para los que el determinante

103

12

02

t

t

toma valores positivos. ¿Cuál es el

mayor valor que alcanza el determinante?

2º de Ciencias


41

1.- Demostrar que 53936

674

125

,

528

174

231

.

2.- Obtener una expresión simplificada de los determinantes:

aaa

aaa

aaa

abccbcb

abbcb

aababc

cba

cba

1

1

1

,

3

2,555

101010

222

22

2

222

3.- Resolver la ecuación 0

1221

1212

1212

xxx

xxx

xxx

4.- Hallar el rango de la matriz

3603

1414

0615

3012

1201

A

5.- Comprobar, aplicando propiedades, que cdbdbcadacab

dcba

dcba

dcba

3333

2222

1111

6.- Calcular:

222222 300log30log3log

300log30log3log

111

)555

101010

) b

cba

cbaa

7.- Obtener, en función de a, b y c, el determinante

1111

1111

1111

1111

c

b

a

8.- Resolver los determinantes:

d

c

b

a

f

b

a

dce

xz

zy

yxd

cdcba

b

rzyx

rx

z

zyy

a

000

321

700

690

)

200

120

00

3405

)

01

01

01

1110

)

55017

00013

12010

50121

20010

)

3143

2234

1342

)

10000

2

050

0040

03

)

2º de Ciencias


42

1.- Todos los elementos de una matriz cuadrada de orden n se multiplican por –1. ¿En qué afecta a su determinante? 2.- Sea A una matriz cuadrada que verifica A2 + A = I. Calcular (simplificada) la matriz (A + I)2 – (A + I). 3.- Siendo A, B y C tres matrices cuadradas del mismo orden, es sabido que de la igualdad A·B =A·C no

puede deducirse que sea B = C. Probar, no obstante, que si 0A sí puede obtenerse como conclusión

que B = C. 4.- Si el determinante de una matriz cuadrada de orden n vale D, ¿cuál es el valor del determinante que se obtiene multiplicando por 5 todos los elementos de dicha matriz? Razonar la respuesta. 5.- Si A es una matriz cuadrada de orden n, At es su traspuesta y A-1 su inversa ¿qué relación tienen sus determinantes? ¿Por qué?

6.- Si la matiz

fed

cbaA , tiene rango 2, ¿La matriz

fed

cfbead

cba

B puede ser también de

rango 2?

7.- Sabiendo que una matriz cuadrada A es tal que A2 = A, demostrar que 01 AóA .

8.- Sabiendo que 5

111

203

zyx

, calcular, sin desarrollar, los siguientes determinantes:

111

314

111

)

111

33333)

111

102

3222

)

zyx

c

zyx

zyx

zyx

b

zyx

a

9.- Se sabe que A es una matriz cuadrada tal que 0352 IAA , comprobar que A es inversible y hallar su inversa.

10.- Calcular AB –BA, siendo

100

211

112

,

142

521

333

BA

2º de Ciencias


43

1.- Hallar una matriz A tal que A·B = C, siendo

505

1371,

412

321CB

2.- Resolver las ecuaciones matriciales siguientes:

1422

46,

23

24,

43

11)

642

531,

315

124,

210

303

020

)

111

121

011

,112

113,

10

12

21

2)

CBACAXBc

CBACBXAb

CBACCXABXa

3.- Siendo

301

204

231

,

610

412

100

,

216

814

251

CBA , calcular:

ttt

ttt

tt

AAfBABAe

CBCdBBCAc

CBAAbCBAa

)··)

3·7)67)

3)36)

4.- Hallar las matrices inversas de :

100

0cos

0cos

)

521

130

211

)

113

024

112

)

110

230

001

)

sen

sen

dcba

5.- Resolver las ecuaciones siguientes:

0

7512753

6411642

43322

)0

1259

253

511

)

0

16413

41312

1212

)0

9993

8442

111

)

2

32

32

32

xxx

xxx

xxx

d

x

xc

xxx

xxx

xxx

b

xxx

xxx

xxx

a

2º de Ciencias


44

1.- a) Dada la matriz

43

21A , calcular AAAt 21

b) Dada la matriz

010

001

100

A , calcular 2006AAt

2.- Hallar YX 2 , donde X e Y son las soluciones del sistema

92

1123

154

0235

YX

YX

3.- Calcular X, sabiendo que:

a)

11

31

10

,

21

10

11

,

100

021

011

, CBACBAX

b)

1

0,

21

13,

02

21, CBACBXAX

4.- Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A2 = 2A + I.

a) Demostrar que tiene inversa y calcularla en función de A.

b) Dada la matriz

m

mB

11

11, hallar los valores de m que verifican la igualdad B2 = 2B + I.

Para dichos valores, calcular la inversa.

5.- Sabiendo que xA

ihg

fed

cba

A

, , hallar el valor de:

cab

igh

fde

c

ihig

fefd

cbca

bAa t

963

32

642

)

2

2

2

)3)

2º de Ciencias


45

Sistemas de ecuaciones lineales: Un sistema de ecuaciones lineales de tipo (m,n)

es un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, relacionadas de la forma:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

..............

...

...

2211

22222121

11212111

Las letras nxxx ...,,, 21 se llaman incógnitas, los números ija coeficientes y los

jb términos

independientes.

Clasificación de sistemas:Según las soluciones que tengan los sistemas de ecuaciones, se

clasifican de la siguiente manera:

Compatible (S. C.): Si el sistema tiene solución, y a su vez de la forma: o Determinado (S.C.D.): Si tiene solución única. o Indeterminado (S.C.I.): Si tiene infinitas soluciones.

Incompatible (S. I.): Si no tiene solución.

Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones: Los coeficientes y los términos

independientes de un sistema de ecuaciones lineales forman las matrices A y A’, llamadas, respectivamente, matriz del sistema y matriz ampliada, la expresión de dichas matrices es la siguiente:

mmnmm

n

n

mnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

A

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

',

...

............

...

...

21

222221

111211

21

22221

11211

Teorema de Rouché-Frobenius: Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y

sólo si se verifica que:rang (A) = rang (A’) Si el sistema es compatible y r = rang (A) y n es el número de incógnitas, entonces:

...

...

ICSnr

DCSnr

Sistemas con parámetros:En algunos sistemas de ecuaciones lineales existen coeficientes

que no tienen un valor constante, en estos casos dichos coeficientes se denominan parámetros. En estas ocasiones hay que estudiar el sistema para todos los valores posibles del parámetro, resolviéndolo para aquellos valores que lo hacen compatible e indicando qué valores del parámetro hacen incompatible el sistema. Lo que se estudia en estos casos no es propiamente un sistema sino que es un conjunto de sistemas, que se obtiene al darle distintos valores al parámetro.

Sistemas homogéneos:un sistema se llama homogéneo si todos sus términos

independientes son nulos. Evidentemente todos los sistemas homogéneos son compatibles puesto que admiten, al menos, la solución trivial. La condición necesaria y suficiente para que un sistema

homogéneo admita solución distinta de la trivial es que 0A .

2º de Ciencias


46

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro escalonado y después resolverlo de abajo arriba. Para conseguirlo se efectúan cuatro transformaciones lineales:

Multiplicar una ecuación (o fila de la matriz) por un número distinto de cero.

Sumar a una ecuación (o fila de la matriz) otra multiplicada por un número.

Intercambiar ecuaciones (o fila de la matriz).

Cambiar el orden de las incógnitas. Dado que las transformaciones sólo afectan a los coeficientes de las incógnitas y a los términos independientes, se puede trabajar con la matriz ampliada del sistema. Al proceso por el que se eliminan algunos términos se le suele llamar hacer ceros. Si una fila está formada toda ella de ceros se elimina. La matriz asociada al sistema toma finalmente, una de las formas siguientes:

¡000

¡0'0

¡0

¡

Es un S.C.D., hay tantas ecuaciones como incógnitas.

¡00

¡0

¡

Es un S.C.I., hay menos ecuaciones que incógnitas.

Si aparece una fila de ceros, salvo el último elemento, significa que se ha llegado a una ecuación de la forma 00...00 ktyx , que es una igualdad imposible, por tanto es un S.I.

Ejemplos:

...

56

19

9

700

230

121

13

19

9

150

230

121

5

10

9

112

111

121

52

10

92

22533

12312 DCS

zyx

zyx

zyx

FFF

FFFF

Tiene una única solución, que se da en forma de terna (x, y, z).

...1

3

110

021

0

1

3

000

110

021

5

1

3

550

110

021

1

4

3

512

131

021

152

43

32

253123

12 ICS

zyx

zyx

yx

FFFF

FF

Tiene infinitas soluciones. Se obtienen dos de las incógnitas en función de los valores de la tercera.

..

2

1

1

000

101

111

4

1

1

212

101

111

422

1

1

2213 IS

zyx

zx

zyx

FFF

No tiene solución.

2º de Ciencias


47

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por determinantes

Se llama sistema de Cramer a cualquier sistema de ecuaciones lineales cuya matriz A sea cuadrada y cuyo determinante sea distinto de cero.

Regla de Cramer: Todo sistema de Cramer es compatible y determinado, además si lo escribimos

de la forma:

nnnnnn

nn

nn

bxaaaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

............

...

...

2211

22222121

11212111

los valores de las incógnitas xi vienen dados por las expresiones:

A

aabaa

aabaa

x nnninnin

nii

......

............

......

111

11111111

(donde A es el determinante de la matriz de los coeficientes)

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por determinantes:

La resolución de un sistema lineal compatible se puede reducir a un sistema de Cramer: Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:

mnmnmm

nn

nn

bxaaaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

............

...

...

2211

22222121

11212111

Para resolverlo por determinantes, hay que empezar por calcular los rangos de A (matriz de los coeficientes) y de A’ (matriz ampliada), supongamos rang (A) = r; sabemos que para que el sistema sea compatible los rangos de ambas matrices tienen que ser iguales. Por tanto supongamos que los rangos coinciden. Entonces se podrán suprimir todas aquellas ecuaciones que sean combinaciones lineales de las demás, por otra parte se tomarán como incógnitas aquellas cuyos coeficientes sirvieron para el cálculo del menor complementario. Por tanto el sistema quedará de la forma:

rrrrrr

rr

rr

cxaaaxa

cxaxaxa

cxaxaxa

...

............

...

...

2211

22222121

11212111

2º de Ciencias


48

1.- Resolver, por el método de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

333

12

1

)

033

02

1

)

7233

02

1

)

zyx

zyx

zyx

c

zyx

zyx

zyx

b

zyx

zyx

zyx

a

2.- Resolver, por el método de Cramer, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

32

22

12

)

15

22

53

)

323

232

132

)

zyx

zy

yx

c

zy

zyx

zyx

b

zyx

zyx

zyx

a

3.- Escribir como sistema de ecuaciones la ecuación matricial:

2

1

0

120

221

305

X

4.- Escribir los siguientes sistemas en forma matricial (AX=B):

0

0

0

)2

132)

yx

zx

zx

bzyx

zyxa

5.- Escribir y resolver el sistema cuya matriz ampliada es

3¡210

1¡004

0¡321

1¡111

.

6.- Discutir, y resolver en su caso, los siguientes sistemas según los valores del parámetro:

12

12

2

)

92112

22

22121

)

0

2335

123

)

1

)

31

31

31

)

013

1352

123

)

2

2

34

23

2

zyx

zyx

zyx

f

zyx

yx

zyx

e

zyx

zyx

zyx

d

zyx

zyx

zyx

c

zyx

zyx

zyx

b

zyx

zyx

zyx

a

7.- Dadas el sistema

432

523

zyx

zyx, añadir una ecuación para que el sistema sea:

a) Incompatible; b) Compatible indeterminado; c) Compatible determinado.

8.- Hallar las soluciones comunes de los sistemas

1222

6,

8

02

zx

zx

yx

zyx.

2º de Ciencias


49

9.- Resolver los siguientes sistemas homogéneos:

0987

0654

032

)

023

02

0

)

zyx

zyx

zyx

b

zyx

yx

zyx

a

10.-a) Discutir y resolver el sistema

03

22

1

zyx

zyx

zyax según los valores del parámetro a.

b) Hallar para qué valores de a el sistema

0

9

3

zyax

zyx

zayx

es de Cramer.

11.- Se tienen tres tipos de café: el de clase A, que cuesta 9’80 €/kg; el de clase B, que cuesta 8’75 €/kg; y el de clase C, que cuesta 9’50 €/kg. Se desea hacer una mezcla para vender 1.050 kg a 9’40 €/kg. ¿Cuántos kg de cada clase hay que poner si del tercer tipo debe entrar el doble de los otros dos juntos? 12.- Fulano de Tal quiere hacer una fiesta e invitar a sus amigos a unas tortillas, así que va a la venta y compra una docena de huevos, una bolsa de papas y una botella de aceite. Dado el éxito obtenido decide repetir la fiesta, y vuelve a comprar una docena de huevos y dos botellas de aceite. Cuando llega a su casa, se acuerda de que no tiene papas. Vuelve a la venta para comprar papas y decide llevar otra docena de huevos. En la primera ocasión gastó 12 €, en la segunda 13 € y en la tercera 7 €. Calcular, si es posible, los precios de los huevos, las papas y el aceite.

Para pensar: Un librero vende libros de tres precios: 10, 20 y 30 €. Cuando un alumno

de 2º de Bachillerato de Ciencias le pregunta qué tal le va, el librero contesta que la semana pasada vendió igual número de los libros más baratos que de los más caros, y que en total

vendió 400 libros. Pide que le perdonen por no decir exactamente cuántos libros vendió de cada tipo, pero no considera adecuado que se sepa cuánto dinero ingresa. El alumno le contesta que lo comprende y se va de lo más divertido porque, sin saber cuántos libros de cada tipo vendió, sí sabe que la semana pasada ingresó 8.000 €. ¿Cómo lo sabe este alumno?

14.- Dada la matriz

321

101

123

A , determinar todas las matrices no nulas

z

y

x

X que verifican la

igualdad AX = mX para algún valor de m. 15.- Discutir y resolver, en función de los valores del parámetro a, los sistemas:

2

2

2

2

11,

22

321

azyax

azayaax

azyax

zy

azyxa

ayax

16.- Discutir y resolver, en función de los valores del parámetro m, los sistemas.

3

3

22

)

0

3

2

142

)

11

0

1

)

yx

myx

myx

c

zyx

mzx

mzy

zyx

b

mmzymx

zmx

yx

a

2º de Ciencias


50

17.- Dado el sistema

4622

2

zyx

zyx

:

a) Estudiar si para algún valor de el sistema es compatible.

b) Escribir, en función de , la expresión general de todas las soluciones del sistema en los casos en los que sea compatible.

Para razonar:Encontrar todas las A matrices cuadradas de orden 2 que verifican:

a) Sus elementos son números naturales. b) Los elementos de la diagonal principal son iguales.

c) Verifica la igualdad 0522 IAA .

19.- Hallar los valores de a, b y c para que la matriz

c

b

ba

00

00

0

coincida con su inversa.

20.- Resolver la ecuación matricial M·X + N = P siendo

121

031

102

100

113

211

110

122

101

PNM

2º de Ciencias


51

AUTOEVALUACIÓN 2ª PARTE DEL CURSO 1.-Estudiar las posibles soluciones del siguiente sistema para los distintos valores de m:

1+m=z+y+x

m=1)z-(m+y+mx

1=z+my+x

2.- Calcular usando las propiedades de los determinantes el valor de:

1

1

1

aaa

aaa

aaa


14

11,

12

11BA , comprobar que 222 BABA .

4.- Calcular la matriz X que verifica A·X=B, siendo

321

232

213

,

100

010

101

BA

5.- Resolver las siguientes integrales: a) xdxx 3cos ; b)

11

222 xx

xdx

6.- Resolver las siguientes integrales: a) 122 xx

x

ee

dxe; b) dx

xx

xx

3

7.- Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de: 3,322 yxxy

8.- Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de la función 12

2

x

xy , su asíntota y las rectas

x = -1, x = 1.

2º de Ciencias


52

Vectores y componentes: En el espacio, los vectores se definen como en el plano. Si 321321 ,,,, bbbByaaaA son dos

puntos cualesquiera del espacio, las componentes de

AB son: 332211 ,, ababab El

módulo del vector 321 ,, vvvv

es: 23

22

21 vvvv

Los vectores 321321 ,,,, uuuuyvvvv

tienen la misma dirección o son

paralelos si 3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u

El conjunto de vectores libres del espacio se denomina V3.

Suma y producto por un escalar: Dados dos vectores 321321 ,,,,, uuuuvvvv

y un escalar , se define la suma de vectores

de la siguiente forma: 332211 ,, vuvuvuvu

.

El producto de un escalar por un vector se define: 321 ,, vvvv

.

Si el vector

v

v

uv1

0 es un vector unitario.

Base de vectores: Tres vectores,

wvu ,, , son coplanarios si uno es combinación lineal de los otros dos, es decir,

vuw , esto equivale a:

0

333

222

111

wvu

wvu

wvu

Si

wyvu , no son coplanarios forman una base. Todo vector

x se puede expresar de la

forma

wxvxuxx 321 , para unos únicos escalares, x1, x2, x3, que se denominan

componentes de

x .

Producto escalar de vectores: Dados dos vectores libres, no nulos,

yx , , se define su producto escalar, y se escribe

yx· ,

como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, es decir:

yxyxyx ,·cos·· .

Si alguno de los vectores es el vector nulo, el producto escalar vale cero.

2º de Ciencias


53

Propiedades del producto escalar: Conmutativa:

xyyxVyx ··:, 3

Distributiva respecto de la suma:

zxyxzyxVzyx ···:,, 3

Para cualquier número real se verifica:

yxyxyx ···

Vectores ortogonales: Dos vectores libres no nulos son ortogonales si su producto escalar vale cero

Vectores ortonormales: Dos vectores libres son ortonormales si son ortogonales y unitarios. Los vectores (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), unitarios y ortogonales, forman una base del espacio llamada

base canónica y se representa:

kjiB ,, , siendo 1,0,0,0,1,0,0,0,1

kji

Expresión analítica del producto escalar:Sea

321 ,, uuuB una base ortonormal de

V3, los vectores

332211332211 , uyuyuyyuxuxuxx , entonces:

332211332211332211 ·· yxyxyxuyuyuyuxuxuxyx

Espacio euclídeo tridimensional:El espacio V3 de los vectores libres del espacio dotado del

producto escalar recibe el nombre de espacio euclídeo y se representa por: ,·,3 V (donde (+)

representa la suma de vectores libres y (·) el producto de escalares por vectores.

Producto vectorial de vectores: Sean

321 ,, uuuB una base ortonormal de V3 y

332211332211 , uyuyuybuxuxuxa , se llama producto vectorial de

a y

b , y se escribe

bxa ,

al vector:

321

212

13

131

32

32u

yy

xxu

yy

xxu

yy

xxbxa

En la práctica se escribe de la forma:

321

321

321

yyy

xxx

uuu

bxa

2º de Ciencias


54

Propiedades del producto vectorial:

Es evidente que

bbxa

abxa

basenbabxa ,·· . Es muy interesante su interpretación geométrica, es decir: el

módulo del producto vectorial equivale al área del paralelogramo de lados los módulos de los vectores.

axbbxa (Esta propiedad se conoce con el nombre de anticonmutativa)

aaxa ,0 . El módulo es cero puesto que sen 0 = 0.

Los vectores de la base canónica se relacionan de la siguiente forma:

jixkikxjkjxi ,,

Aplicaciones del producto vectorial:

Cálculo del área de un triángulo ABC:

ACxABS ABC2

1

Obtención de un vector ortogonal a otros dos: Para calcular un vector ortogonal a dos dados basta calcular el producto vectorial de dichos vectores.

Distancia de un punto a una recta: Se puede recurrir al producto vectorial construyendo un paralelogramo a partir del punto y un vector director de la recta y del punto dado. Bastaría, en este caso, calcular la altura de dicho paralelogramo a través del área del mismo.

Distancia entre rectas que se cruzan: A través de la distancia de un punto a un plano.

Producto mixto de vectores: Dados tres vectores de V3:

cba ,, se llama producto mixto, y se escribe

cba ,, , al número que se

obtiene de la siguiente forma:

cxbacba ·,,

Si 321321321 ,,,,,,,, ccccbbbbaaaa

la expresión analítica del producto mixto será:

321

321

321

21

21

31

31

32

32321 ,,·,,·,,

ccc

bbb

aaa

cc

bb

cc

bb

cc

bbaaacxbacba

2º de Ciencias


55

Ecuaciones de la recta: Sea A un punto del espacio y

v un vector libre no nulo. La recta que pasa por A y tiene

la dirección del vector

v es el conjunto de todos los puntos Xdel espacio tales que:

vtAX · . El par

vA, se denomina determinación lineal de la recta. Si tomamos como

sistema de referencia el sistema de ejes cartesianos podemos obtener la:

Ecuación vectorial de la recta:

vtax

Si zyxXyzyxAvvvv ,,,,,,, 000321

podemos escribir las :

Ecuaciones paramétricas de la recta:

30

20

10

tvzz

tvyy

tvxx

Si 0,0,0 321 vvv , despejando t en las ecuaciones anteriores, se obtiene la:

Ecuación continua de la recta:3

0

2

0

1

0

v

zz

v

yy

v

xx

Es evidente que un punto X pertenecerá a la recta si y solo si el sistema de tres ecuaciones con

una incógnita (t):

03

02

01

zztv

yytv

xxtv

es compatible determinado, lo que significa que

1

03

02

01

3

2

1

zzv

yyv

xxv

rg

v

v

v

rg . Por transformaciones sencillas en el sistema se obtienen las:

Ecuaciones reducidas de la recta:

qnxz

pmxy

Si sólo se conocen dos puntos, A y B, de la recta, es sencillo comprobar que se obtiene la:

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

33

3

22

2

11

1321321 :,,,,,

ab

az

ab

ay

ab

axbbbBaaaA

Ecuaciones del plano:

Sea P un punto de espacio y

vyu dos vectores libres linealmente independientes. El plano

que pasa por P determinado por

vyu es el conjunto de puntos X del espacio que verifican:

vtusPX . La terna

vuP ,, se denomina determinación lineal del plano. Tomando

como sistema dce referencia el sistema de ejes cartesianos del espacio podemos escribir la :

Ecuación vectorial del plano:

vtusax

Si 000321321 ,,,,,,, zyxPuuuuvvvv

se obtienen las:

2º de Ciencias


56

Ecuaciones paramétricas del plano:

330

220

110

tvsuzz

tvsuyy

tvsuxx

Los parámetros s y t, al variar, proporcionan las coordenadas (x,y,z) de cada punto del plano.

Recíprocamente , si (x,y,z) son las coordenadas de un punto del plano, existen dos valores, uno de s y otro de t que sustituidos en las ecuaciones paramétricas las verifican. Por tanto un punto X(x,y,z) pertenece al

plano si y solo si el sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas t y s:

033

022

011

zztvsu

yytvsu

xxtvsu

es

compatible determinado, lo que significa que:

02

321

321

000

033

022

011

33

22

11

vvv

uuu

zzyyxx

zzvu

yyvu

xxvu

rg

vu

vu

vu

rg , condición que debe cumplir un

punto X(x,y,z) del espacio para pertenecer al plano. Desarrollando el determinante anterior por los adjuntos de la primera fila se obtiene la:

Ecuación general del plano: 0 DCzByAx

Es evidente que si 321321321 ,,,,,,,, cccCbbbBaaaA son tres puntos no alineados del espacio, hay un

único plano que los contiene. Basta tener en cuenta que

ACABA ,, es una determinación lineal del

plano. La ecuación de este plano por medio de un determinante sería: 0

33333

22222

11111

azacab

ayacab

axacab

,

determinante equivalente a 0

0001

333333

222222

111111

azacaba

ayacaba

axacaba, sumando la primera columna a las otras

tres, se obtiene:

Ecuación del plano que pasa por tres puntos: 0

1111

333

222

111

zcba

ycba

xcba

2º de Ciencias


57

Determinación lineal de planos

Caso 1. Sea r una recta y P un punto exterior a ella. Existe un único plano que pasa por el punto

y contiene a la recta. Si

vA, es una determinación lineal de la recta, los vectores

v y

AP son

linealmente independientes, por tanto

APvA ,, es una determinación lineal del plano .

Caso 2. Sean r y s dos rectas que se cortan en un punto P. Existe un único plano que contiene a

ambas rectas. Es evidente que si

uP, y

vP, son determinaciones lineales de r y s, respectivamente,

vuP ,, es una determinación lineal del plano que contiene a ambas rectas.

Vector perpendicular a un plano:

Hay muchas direcciones paralelas a un plano, pero sólo una perpendicular a él. La dirección de un plano y de todos los planos paralelos a él queda caracterizada por cualquier vector perpendicular a ellos. Si Ax + By +Cz + D = 0 es la ecuación general de un plano , el vector (A,B,C)es perpendicular al plano y recibe el nombre de vector director del plano.

Medida de ángulos: A partir de la definición de producto escalar, podemos encontrar el ángulo que forman dos

vectores:

vu

vuvu

·

·,cos

Por tanto, para calcular los ángulos formados por rectas y planos bastará tener en cuenta lo siguiente:

Para calcular el ángulo que forman dos rectas r y r’, bastará calcular el ángulo

',vv que

forman sus vectores directores. Es decir:

',', vvrr .

Para calcular el ángulo que forman dos planos ' y , bastará con calcular el ángulo

',dd

formado por sus vectores directores. Es decir:

',', vv .

Para calcular el ángulo que forman una recta r y un plano , bastará con calcular el ángulo

formado por los vectores directores de la recta

v y el plano

d . Pero en este caso hay que

tener en cuenta que:

dvr ,º90, .

2º de Ciencias


58

Relaciones de incidencia:

Posición relativa de dos rectas: Sean

''''',

''''

zyx

zyxr

dzcybxa

dczbyaxr

Siendo

''''

''''',

'''

'''

dcba

dcba

Acba

cba

A las matrices del sistema se observa que:

Si rg(A) = rg(A’) = 2 Las rectas coinciden. Si rg(A) = 2 y rg(A’) = 3 Las rectas son paralelas. Si rg(A) = rg(A’) = 3 Las rectas se cortan en un punto. Si rg(A’) = 4 Las rectas se cruzan.

Posición relativa de una recta y un plano:

zyx

dzcybxa

dczbyaxr ,

''''

Siendo

''''',''' dcba

dcba

Acba

cba

A las matrices del sistema, se observa que:

Si rg(A) = rg(A’) = 2 La recta está contenida en el plano. Si rg(A) = 2 y rg(A’) = 3 La recta y el plano son paralelos. Si rg(A) = rg(A’) = 3 La recta y el plano se cortan en un punto.

Posición relativa de dos planos: ''''', dzcybxadczbyax

Siendo

''''',

''' dcba

dcbaA

cba

cbaA las matrices del sistema, se observa que:

Si rg(A) = rg(A’) = 1 Los planos coinciden. Si rg(A) = 1 y rg(A’) = 2 Los planos son paralelos. Si rg(A) = rg(A’) = 2 Los planos se cortan en una recta.

Posición relativa de tres planos:'''''''''',''''', dzcybxadzcybxadczbyax

Siendo

''''''''

''''',

''''''

'''

dcba

dcba

dcba

A

cba

cba

cba

A las matrices del sistema, se observa que:

Si rg(A) = rg(A’) = 1 Los tres planos coinciden. Si rg(A) = 1 y rg(A’) = 2 Los planos son paralelos (dos puedencoincidir). Si rg(A) = rg(A’) = 2 Los planos se cortan en una recta. Si rg(A) = 2 y rg(A’) = 3 Los planos se cortan dos a dos o dosson paralelos Si rg(A) = rg(A’) = 3 Los planos se cortan en un punto.

2º de Ciencias


59

Haz de planos: Dada una recta r se define haz de planos de arista r como el conjunto de planos que contienen a

la recta r.

Si

0''''

0

DzCyBxA

DCzByAxr con 2

'''

CBA

CBArg , existen dos números reales m y n, no

simultáneamente nulos, tales que la relación: 0'?'' DzCyBxAnDCzByAxm

corresponde a un plano cuya ecuación general sería:

0'''' nDmDznCmCynBmBxnAmA .

La ecuación m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 con m y n no simultáneamente nulos, recibe el nombre de haz de planos de arista r.

Distancias:

Distancia entre dos puntos: La distancia entre dos puntos 111000 ,,,,, zyxQzyxP es el

módulo del vector PQ , por tanto: 2012

012

01, zzyyxxQPd

Distancia de un punto a una recta: la distancia de un punto P a una recta r es la longitud del segmento de la perpendicular trazada desde el punto a la recta. Es la mínima distancia entre el punto dado y cualquier punto de la recta. Hay varios métodos para calcular dicha distancia:

o Sobre la recta “el punto Q de enfrente a P” está en un plano que pasa por P y es

perpendicular a la recta; por tanto, basta calcular la ecuación de dicho plano y la distancia del punto a la recta será la misma que la distancia de P al punto Q de corte de la recta con el plano. Es decir: d(P,r) = d(P,Q).

o Se calcula la distancia de P a un punto genérico de la recta. Dado que la distancia del

punto a la recta es el valor mínimo, bastará mediante el cálculo de la derivada obtener dicho valor.

o Siendo Q un punto genérico de la recta, el vector PQ será un vector variable, el

vector buscado será perpendicular a la recta, basta pues calcular el módulo del vector

PQ que verifica 0· vPQ , siendo v el vector director de la recta.

o Tomando el triángulo formado por P, un punto cualquiera Q de la recta y el vector

director de la misma, sabemos que dvS ·2

1 (siendo d la distancia del punto a la

recta); por otra parte sabemos (por las propiedades del producto vectorial) que

PQxvS2

1 , por tanto:

v

PQxvrPd ,

2º de Ciencias


60

Distancia de un punto a un plano: Hay diversos métodos para calcular la distancia de un

punto 000 ,, zyxP a un plano 0 DCzByAx , pero basta con calcular el punto de

corte Q de la recta r (perpendicular al plano y que contiene a P) con el plano, es decir:

222

000,CBA

DCyByAxPQPd

Distancia entre dos rectas: Si las rectas se cortan, la distancia es cero. Si las rectas son paralelas bastará tomar un punto de una de ellas y calcular la distancia de dicho punto a la otra recta. Si las rectas se cruzan siempre hay un vector perpendicular a ambas que tiene los extremos en dichas rectas. Hay varios métodos para calcular dicha distancia:

o Se toman dos puntos, P y Q, genéricos, en ambas rectas (r y s respectivamente), de

todos los posibles vectores PQ el vector buscado será ortogonal a los vectores

directores de ambas rectas. Una vez hallado dicho vector su módulo coincidirá con la

distancia entre ambas rectas:

vxu

vxuPQsrd

·, .

o Si las recta r y s tienen como vectores directores u y v , respectivamente, basta construir un plano paralelo a r que contenga a s, por tanto bastará calcular la distancia de un punto cualquiera de la recta s al plano . Una determinación lineal

del plano sería vuP ,, , siendo P un punto cualquiera de r.

Distancia de una recta a un plano: Si la recta y el plano se cortan, la distancia es cero. Si no se cortan son paralelos, por tanto la distancia de la recta r al plano coincidirá con la distancia

de un punto P de la recta al plano. Es decir: ,, Pdrd .

Distancia entre dos planos: Si se cortan la distancia es cero. Si no se cortan son paralelos; en este caso bastará con calcular la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano.

2º de Ciencias


61

Vectores en el espacio:

1.- Sean 4,1,1,3,1,2

vu dos vectores. Se pide:

a) El ángulo que forman. b) El área del triángulo que los tiene por lados. c) Los vectores unitarios que son ortogonales a ambos vectores.

d) Un vector coplanario con

vyu y ortogonal a

u .

2.- Dados los vectores 1,4,5,1,3,2

vu , descomponer

v en suma de dos vectores

bya que sean:

uno de ellos paralelo a

u y el otro perpendicular a

u .

3.- Sean

cba ,, tres vectores tales que 6

,,4

,,3

,,2,

accbbaacab , Hallar el ángulo que

forman los vectores u y v , siendo cbvbau 2, .

4.- Dados los vectores wvu ,, tales que 0,4,1,3 wvuwvu , calcular uwwvvu ··· .

5.- ¿Puede haber dos vectores vu, tales que 2,1,3· vuvu ? ¿Qué se puede decir del ángulo que

forman dos vectores si verifican que yxyx ·· ? Justificar las respuestas.

6.- Dados los puntos ,2,1,1,,0,,1,1 CBA

a) Probar, utilizando vectores, que los puntos no están nunca alineados. b) Obtener, en función del parámetro, el área del triángulo ABC.

7.- Dados los vectores 1,1,3,2,1,1 vu , hallar el conjunto de vectores que siendo ortogonales a u ,

pertenecen al plano generado por ambos vectores.

8.- Si los vectores 321 ,, eee son linealmente independientes, ¿qué se puede decir de los vectores

21321321 3,2,2 eeeeeeee ? ¿Y de los vectores 2121 2, eeee ?

9.- Sean bya dos vectores cuyos módulos valen 3 y 5, respectivamente. Razonar si es posible cada una

de las siguientes igualdades: 9)1) babbaa .

Espacio afín: 1.- Sea r la recta que pasa por los puntos A(-2,1,6), B(2,3,4). Se pide:

a) Un vector director de la recta. b) Ecuaciones paramétricas de la recta. c) Punto de corte de la recta con el plano XY. d) Un punto de la recta que tenga iguales su primera y segunda coordenada.

2º de Ciencias


62

2.- Dado un plano que pasa por los puntos A(2,-1,1), B(3,-3,0) y que es paralelo a la recta que pasa por los puntos M(1,2,-4) y N(4,3,-2), encontrar:

a) Dos vectores de dirección de que sea linealmente independientes. b) Las ecuaciones paramétricas del plano. c) Las ecuaciones en forma de determinante del plano. d) La ecuación general del plano. e) Punto de corte del plano con el eje X. f) El punto del plano que tiene iguales sus tres coordenadas.

3.- Se considera las rectas 2

1

4

2

3

5,

632

032

zyxs

zyx

zyxr el punto A(1,-3,2) Hallar:

a) Dos puntos cualesquiera de r. b) Dos planos cualesquiera que pasen por s. c) La ecuación general del plano que pasa por A y es paralelo a las rectas.

4.- Dadas las rectas

azyx

azyxs

tz

ty

tx

r23

32,

34

21

3

, se pide:

a) Hallar el valor de a sabiendo que las rectas son paralelas. b) Para el valor de a hallado, determinar la ecuación general del plano que contiene a ambas rectas.

5.- Dadas las rectas 2

31,

012

03 z

n

yxs

zx

zyxr

, se pide:

a) Hallar el valor de n sabiendo que las rectas son paralelas. b) Para el valor de n hallado, determinar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.

6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,3,2), corta a la recta r y paralela al plano ,

siendo: 15412

12

zyx

zyx

zyxr .

7.- Estudiar la posición relativa de los planos siguientes, en función de los valores del parámetro:

zyxzyxzyx 795,53,33 321 . Cuando la intersección sea una recta, hallar

dos puntos de ella. 8.- Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos

421

2

31

',22

z

y

x

zyx .

9.- Hallar el valor del parámetro k sabiendo que los puntos A(2,1,1), B(1,3,2), C(-1,5,2)y D(2,2,k) son coplanarios. 10.- Estudiar la posición relativa de los planos siguientes, en función de los valores del parámetro: 1,1,1 zyaxzayxazyx . En los casos en los que sea

posible, calcular la intersección de dichos planos.

2º de Ciencias


63

11.- Dada la recta

53

13

zyx

zyxr indicar si el punto P(6,2,2) se halla o no sobre la recta paralela a r que

pasa por el origen de coordenadas. Razonar la respuesta. 12.- Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto P(1,1,1) y es paralelo al plano

1

23

321

z

y

x

.

13.- Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta 3

4

2

22

zyxr y es paralelo a la recta

tz

ty

tx

s 21

31

14.- Supongamos que es un plano cuya dirección está generada por el sistema de vectores

1,3,1,1,2,0 . Se pide:

a) Razonar si los puntos P(1,1,1) y Q(0,1,2) pueden pertenecer, simultáneamente a dicho plano. b) Razonar si el plano es o no paralelo, respectivamente a la recta zyxr , al plano

022' zyx .

15.- Estudiar, explicando el método seguido, si los puntos (1,1,1), (2,3,4) y (-5,0,-2) están alineados. En caso afirmativo, hallar las ecuaciones paramétricas y continua de la recta que definen; en caso negativo hallar la ecuación general del plano correspondiente.

16.- ¿Determinan las rectas

1

2

1

,

z

ty

tx

s

tz

ty

tx

r un plano en el espacio? Justificar la respuesta.

17.- Sea el plano 01 zyax y las rectas

zy

xr

zy

xr

z

xr

3

3'',

2

2',

1

1. Determinar el valor

de a para que los puntos de corte del plano con cada una de las rectas estén alineados. 18.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-1,0) y se apoya en las

rectas zyx

szyx

zyxr

12

32

43

19.- Estudiar, en función de los valores del parámetro a, la posición relativa del plano 1 zayx y

la recta

1

22

azyx

azyxr .

20.- Escribir la ecuación de un plano que contenga al punto P(1,2,3) y nunca corte al plano z = 10.

2º de Ciencias


64

21.- Dados los planos:

0

016532

01

3

2

1

zayx

zyx

yx

, donde a es un parámetro, probar que, salvo para un cierto

valor de dicho parámetro, los planos se cortan en un punto. Determinar ese valor de a y probar que para dicho valor los planos se cortan dos a dos determinando un conjunto de tres rectas paralelas.

Espacio euclídeo: 22.- Determinar la ecuación de la recta perpendicular al plano x – y + 2z = 0 y que contiene al origen de coordenadas. Obtener asimismo el punto de contacto entre la recta y el plano. 23.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,3,-4) y que corta a los semiejes positivos X, Y, Z en puntos que están a igual distancia del origen. 24.- Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A(1,2,1) y corta perpendicularmente a la recta

2

1

zx

zyxs .

25.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(-3,1,4) y es perpendicular a los planos 02137,015352 21 zyxzyx .

26.- Dada la recta de ecuación

2

12

zyx

zyxr y el punto P(1,0,0) exterior a la misma, encontrar la

ecuación de la recta perpendicular a r que contiene a dicho punto. 27.- Dado el triángulo de vértices A(1,2,1), B(1,-1,0), C(2,1,1) se traza por cada vértice un plano perpendicular a la recta determinada por los otros dos vértices. Estudiar la posición relativa de dichos planos. 28.- Dados los puntos A(1,0,1), B(1,1,1) y C(1,6,a) se pide:

a) Hallar para qué valores del parámetro a los puntos están alineados. b) Estudiar si existen valores del parámetro para los que los puntos son vértices consecutivos de un

paralelogramo de área 3. En caso afirmativo, hallar dichos valores. c) Hallar la ecuación de la recta que pasando por el origen de coordenadas corte

perpendicularmente a la recta AB. 29.- Dada la familia de planos 2mx + (m+1)y –3(m-1)z + 4 = 0:

a) Calcular la ecuación del plano de esta familia que pasa por el punto (1,-1,2).

b) Calcular la ecuación del plano de esta familia perpendicular a la recta

025

013

zy

zxr

30.- Hallar la ecuación del plano perpendicular a 0625 zyx y pasa por los puntos

A(3,2,-1), B(1,-1.1).

31.- Dada la recta 1

2

21

1

zyxr y el plano 0322 zmyx , hallar razonadamente:

a) Los valores de m para que la recta y el plano sean paralelos. b) El valor de m para que la recta y el plano sean perpendiculares. c) ¿Existe algún valor de m para que la recta esté contenida en el plano?

2º de Ciencias


65

1.- Sea cbxaxxxf 23)( , determinar los valores de a, b y c de modo que la función tenga un

extremo relativo en x = 0, la recta tangente a la gráfica en x = 1 sea paralela a y - 4x=0, y el área comprendida entre la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas x=0, x = 1, sea 1. 2.- La recta que pasa por los puntos (4,0), (0,2) es la derivada de una función y=f(x), estudiar la monotonía, concavidad-convexidad, extremos relativos y puntos de inflexión de la función interpretando la gráfica de la derivada. 3.- Resolver las integrales:

dxx

x

ee

dxdx

x

x

dxxx

xxdx

e

e

x

dx

xx

x

x

49

2

31

6323

1

1cos

22

3

32

3

4.- Discutir según los valores de m la continuidad y derivabilidad de la función:

12

13)(

2

xsimx

xsimxxf

5.- a) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de 2;;2 yxyxy .

b) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de 72

3;

4;2 xy

xyxy

c) Dibujar el recinto plano limitado por las curvas de ecuaciones respectivas ,2;6 22 xyxxy y

calcular su área. d) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de 42 xxxy y el eje OX.

e) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de xx

xy

4

22

y las rectas y=0, x=1, x=3.

f) Dibujar la región del plano limitada por las gráficas de 322 xxy y de y=5. Calcular también el

área de dicha región. 6.- Discutir según los valores de los parámetros la continuidad y derivabilidad de la función

1

111

)( xsiax

xsibxxf .

7.- Hallar razonadamente los valores de m y n para que la función

113

15)(

2

xsix

xsinxmxxf sea

continua y derivable.


4)(

2

bxxxf , calcular el valor de b para que la función:

a) Sea continua en R. b) Tenga un solo punto de discontinuidad.

9.- Determinar los valores de k para que

053

05)( 3 xsixx

xsikxxf sea continua y derivable en R.

2º de Ciencias


66

10.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de

21

25)( 2 xsixnx

xsimxxf en función de los valores de los

parámetros.

11.- Calcular los valores de a, b, c y d en la función dcxbxaxxf 23)( , sabiendo que su gráfica pasa

por los puntos A(-1,0), B(2,3) y tiene un punto de inflexión en (3,-6). 12.- Se quiere construir una ventana rectangular de 1 m2 de superficie. El coste por metro del marco horizontal se estima en 1’60 €, mientras que el del marco vertical vale 2’50 €. Diseñar el marco más económico. 13.- Dos postes de 20 y 40 m de altura respectivamente se encuentran a 30 m de distancia. Se han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el suelo a los extremos de los postes. ¿Dónde se han de fijar los cables para que la cantidad de cable a emplear sea mínima?


012

01

1

)(

2

2

xsixx

bax

xsix

x

xf , determinar los valores de a y b sabiendo que es

continua en x=0 y que tiene un mínimo en x=2. ¿Es derivable en R?

15.- Dada la función 241 xxy , estudiar su continuidad y deivabilidad y calcular la ecuación de la

recta tangente en x=-2. 16.- Calcular los valores de los parámetros a y b para que la función siguiente sea continua en todos los

puntos:

2

213

1

)(3

2

xsiabx

xsibxax

xsibax

xf . Estudiar su derivabilidad.

17.- a) Calcular 42x

dx

b) Encontrar el valor del área determinada por la curva 4

12

x

y y las rectas x=-1, x=1, y=-5.

c) Calcular dxx2ln .

d) Encontrar el valor del área determinada por la curva 2ln xy , el eje de abscisas y las rectas x=9, x=12.

18.- Determinar una recta tangente a la parábola 22 xy que sea paralela a la recta de ecuación

2x+y=4.

19.- Sea 2)( wxvxuxp un polinomio de coeficientes u, v y w desconocidos. Si se sabe que p(1)=2,

p(2)=2 y p(3)=4, hallar dichos coeficientes.

2º de Ciencias


67


20

0

31

,111

21

BA . a) ¿Para qué valores del parámetro existe 1· BA ?b)

¿Para qué valores del parámetro existe 1· AB ?c) dados dos números cualesquiera a y b, ¿puede ser

compatible el sistema

b

a

z

y

x

A· ?

21.- Calcular una matriz X sabiendo que A·X=X·A, siendo

10

11A . Hallar XAA ·2 12

22.- Resolver las ecuaciones siguientes:

031

211

211

110

011

001

··

100

110

011

)

175

53

21

32··

15

23)

62

51·

42

53)

Xc

Xb

Xa

23.- Calcular los valores del parámetro que hacen que el sistema

012

01

0

zpypx

yppx

zypx tenga una solución

distinta de la trivial.

24.- Hallar las potencias enésimas de las matrices

0

0

0

1

10

1

C

a

aB

aA

25.- Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la identidad: 3

22

111

22 babbaa

baba

26.- Sabiendo que 7

21

21

20

x

y

z

, hallar, si desarrollar el valor de

213

213

23

yyy

xxx

zzz

27.- Sea la matriz

13

01A y n un número natural cualquiera. Encontrar el valor de nA para cada n y

hallar 250350 AA . 28.- Discutir y resolver en función de los valores de los parámetros, e interpretar geométricamente:

aazyx

zyx

zax

f

zyx

kzky

zkx

e

zayx

zyx

yx

d

zay

zyax

azyx

c

zyx

zyx

zyx

bzyx

ppzx

pyx

a

8

72

152

)

03

02

)

0

016532

01

)

1

04)

9115

1242

253

)53

02

)

2º de Ciencias


68

29.- hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,3,0), es paralelo al plano 12 zyx y

perpendicular a la recta 3

1

2

5

1

2

zyxs .

30.- Hallar las ecuaciones de dos rectas r y s sabiendo que son paralelas a 12 zyx y

perpendiculares entre sí. 31.- Dados los planos 4ax+3y-az=9, ax+2z=15, 2ax+y+az=a-8. Determinar el valor de a para que los planos se corten en una recta. Hallar dos puntos de dicha recta. 32.- Calcular las ecuaciones de dos planos que pasan por los puntos A(1,-1,0) y B(1,1,-1). Hallar la recta r intersección de los dos planos. ¿Depende la recta de los dos planos que se hayan elegido?

33.- De todos los planos que contienen a la recta

21

2

z

y

x

r , calcular el que contiene al origen de

coordenadas.

34.- Dados los vectores 20,310,10/ vuvuvyu , hallar el ángulo que forman.

35.- Hallar un vector unitario y ortogonal a 5,3,1,4,3,2 vu .

36.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,-1,0) y corta a las rectas

1

1

23

2,

21

2

1

zyxs

zyxr .

37.- hallar la ecuación del plano que es perpendicular a x-3y+z=0 y pasa por los puntos P(1,3,0) y Q(4,-2,1). 38.- Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (0,0,0), está contenida en el plano 3x+2y=6 y

es perpendicular 2

3

1

2

zyxs .

39.- Dados los puntos A(0,1,2), B(1,2,3) y C(3,r+s,r-s), calcular r y s para que: a) Los puntos estén alineados.

b) ACAB

c) Los puntos determinen un plano. 40.- Dados los puntos del espacio A(2,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,3)

a) Determinar la ecuación del plano que los contiene. b) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a dicho plano. c) Calcular el área del triángulo ABC.

41.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1,2) y es perpendicular al plano determinado por los puntos (1,0,1), (3,2,1) y (2,-1,0). Expresarla como intersección de dos planos.

2º de Ciencias


69

42.- Determinar para qué valores del parámetro a el plano azyax 2 es paralelo a la recta de

ecuaciones

1

1

azax

zayxr .

43.- Considerar las rectas

032

013,

022

03

zx

ys

zx

yxr y calcular un vector director de cada

recta. Determinar si existe y, en su caso, calcular su ecuación: a) Plano paralelo a la recta s que contiene a la recta r. b) Plano perpendicular a la recta s que contiene a la recta r. c) Recta perpendicular a ambas que pasa por el origen de coordenadas.

44.- Sea π el plano de ecuación x-y+2z=3 y el punto P(1,1,0)

a) Determinar la ecuación de la recta perpendicular al plano que pasa por P. b) Calcular la intersección de dicha recta y el plano.

45.- Sean las rectas

22

03,

3

21

53

zyx

zyxs

z

ty

tx

r

a) Hallar la ecuación de un plano que pasa por A(-1,-1,0) y es paralelo a las dos rectas. b) Hallar la intersección de dicho plano con los ejes de coordenadas.

46.- Resolver, si es posible, la siguiente ecuación matricial:

10

10

00

·

201

441

321

X

47.- Resolver la ecuación matricial tAXAX 2 , siendo

013

100

025

A .

48.- Determinar la abscisa de los puntos en los que la recta tangente a la función

1

1ln)(

x

xxf es

paralela a la recta de ecuación 2x+3y=4. Obtener la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa x=3.

49.- Hallar la función f(x) tal que 1)(,0)1(,1

)(''2

effx

xf .

50.- Dados los vectores 4,1,1,3,1,2 vu , se pide:

a) Ángulo que forman. b) Área del triángulo que forman dichos vectores. c) Vectores unitarios y ortogonales a dichos vectores.

d) Vector coplanario con dichos vectores y ortogonal a u .


42

223,

433

323

kykx

zys

kkzx

zxr , determinar el valor de k para que ambas

rectas estén en un mismo plano. Para dicho valor de k, encontrar la ecuación del plano que las contiene.

2º de Ciencias


70

52.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1,1,3) y corta a las rectas

52

13,

12

32

zyx

zyxs

zyx

zyxr

53.- Sean los puntos P(3,1,5) y Q(-1,7,3). Por el punto medio del segmento PQ se traza un plano perpendicular a PQ. Este plano corta a los ejes de coordenadas en los puntos A, B y C. Calcular el área del triángulo ABC.


1

1,

3

2

2

13

zyx

zyxs

zy

a

xr , calcular el valor de a sabiendo que

forman un ángulo de 60o. 55.- Calcular el valor del parámetro a para que las rectas r y s se cortan en un punto.

01

01,

1

4

4 zyax

zayxs

z

a

yaxr . Calcular la ecuación del plano que las contiene.

56.- Calcular el valor de m para que los puntos A(0,2,2), B(1,1,m2-1) y C(2,0,2m) estén alineados. 57.- Calcular el valor de m para que los puntos A(0,1,2), B(1,0,3), C(1,m,1) y D(m,-1,2m) sean coplanarios. 58.- Ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1,2,3) y corta a los ejes X y Z.

59.- Resolver el determinante

xyxyxy

xxyxyy

yxyxyx

xyyxxy

22

22

22

22

2º de Ciencias


71

AUTOEVALUACIÓN FINAL

1.- Hallar m para que la función:

12

13)(

2

xsimx

xsimxxf sea continua. Para esos valores de m estudiar

la derivabilidad de f.

2.- a) Representar gráficamente 4

82

x

xy calculando los elementos necesarios.

b) Calcular dos números positivos, sabiendo que suman 10 y que la resta de uno de ellos menos el inverso del otro es máxima.

3.- Resolver las integrales:

dx

x

xbdx

xx

xa

4

1)

2)

2

32

4.- Calcular a y b, sabiendo que la función 1)( 23 xbxaxxf tiene sus extremos en los puntosde

abscisa x=1, x=2 .Calcular los puntos de inflexión y hacer un esbozo de la gráfica.

5.- a) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de xxxf 3)( 3 y el eje OX.

b) Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones 22 6)(,2)( xxxgxxf .

6.- Discutir y resolver, en función de los valores del parámetro, el sistema

4

53

4

zykx

zyx

zkyx

. Dar la

interpretación geométrica en cada caso.

7.- Resolver la ecuación matricial A·X = A + B, siendo

011

131

202

,

111

012

201

BA

8.- Determinar los valores de a y b para que el plano determinado por los puntos A(-1,1,1), B(0,a,-2) y C(-2,5,5) sea perpendicular al la recta determinada por los puntos D(-3,3,b) y E(5,5,-3).

Documents

2º de Ciencias I.E.S. Teobaldo Powerteobaldopower.org/matematicas/cuadernillos/Cuadernillo b2c 16-17.pdf · 4.- Determinar los coeficientes a y b de la parábola y ax2 bx c, sabiendo