Problemas sobre modulaciones analógicas de pulsos, sistemas PCM y multiplex por división en tiempo.

Objetivos: Consolidar los conocimientos adquiridos en conferencias. Realcionar el teorema del muestreo de Nyquist con los sistema que

empleen, modulaciones analógicas de pulsos, PCM, o una combinación con MDT.

Problemas sobre modulaciones analógicas de pulsos.

Problema 1

Problema 2 Una señal x(t) continua y limitada a 4KHz en banda debe transmitirse usando MPP. Por conservación del ancho de banda de transmisión (BT) la duración de los pulsos se fija en 20s.

a) Calcule el desplazamiento máximo que puede tener el pulso si se utiliza un tiempo de guarda de 10s. Estime el valor de BT.

b) Calcule la (S/N)D usando la expresión dada en clase para MPP

c) Si la modulación fuera MDP con el mismo BT y el mismo tiempo de guarda. Repita los incisos anteriores si por razones técnicas mín = 20s.

Otros problemas sobre modulaciones de pulsos y multiplexación por división en el tiempo.

1. Veinticinco señales de voz, cada una limitada en banda a W = 3KHz, van a ser transmitidas mediante MAP-MA (Modulación por amplitud de pulsos-Modulación de amplitud). Si se dejan 2KHz para la banda guarda de reconstrucción, determine el ancho de banda mínimo de transmisión requerido. Dibuje lo diagramas en bloque del transmisor y el receptor.

2. Diez señales, cada una limitada en banda a 4KHz, van a ser transmitidos mediante MDT-MPP. Tomando = s y dejando un tiempo de guarda de 2s y una banda guarda de reconstrucción de 2KHz, calcule el desplazamiento máximo posible por pulso. Estime la reducción resultante de la relación señal a ruido por canal, en comparación con un sistema de canal MPP que tenga la misma duración de pulso, la misma banda de guarda, un décimo de la potencia promedio y un décimo del ancho de banda de transmisión.

3. Se desean transmitir 24 canales más un canal adicional de sincronización, cada canal limitado en banda a 3.3KHz. Los mismos son muestreados a una frecuencia de 8KHz. Calcule el ancho de banda mínimo requerido a transmitir todos estos canales en un sistema MDT-MAP.

Problemas sobre sistemas PCM1. Mediciones de temperatura cubren el rango de –40 a +40ºC con una precisión de ½ ºC, las

muestras son tomadas a intervalos consecutivos de 1 segundo. Las mismas son

convertidas a formato binario para su transmisión empleando un sistema PCM. Encuentre cual es la velocidad de bit requerida para esta aplicación.

2. La lectura de 100 censores de presión que cubren el rango de 10 a 5psi (pounds per square inchs) con una resolución de 0.25psi, se toma cada 10 segundos y son transmitidos utilizando técnicas de MDT-PCM. Las muestras son codificadas empleando códigos binarios.

a) ¿Encuentre cual es la velocidad de salida del sistema PCM?b) Estime aproximadamente cuál es el ancho de banda necesario para transmitir la

señal PCM.

3. Suponga que se tiene el sistema PCM de 10 canales mostrados en la figura.

a) ¿Cuál sería la mínima frecuencia de muestreo posible?b) Si se toman 30 000 muestras/seg. :

b.1) ¿Cuál sería la velocidad de bit [bit/seg.] a la salida del sistema PCM (punto C)?b.2) ¿Cuál es el ancho de banda mínimo requerido en los puntos A, B, y C?

Otros problemas sobre MDT - PCM4. Diez canales limitados en banda a 10KHz se muestrean y multiplexan a razón de 25 000

muestras/seg. por canal. Cada muestra es codificada con 6 dígitos binarios. a) Encuentre la velocidad de la señal PCM final en bits/seg. b) Estime el ancho de banda necesario para transmitir la señal PCM. c) Empleando la misma cantidad de niveles de cuantificación que en el caso anterior

suponga ahora que cada muestra se transmite como una secuencia de pulsos de cuatro niveles posibles. ¿Cuál sería entonces la velocidad de transmisión en bits/seg en este caso y cual sería el ancho de banda necesario para transmitir la nueva señal PCM? (Vtrans = Vseñalizaciónlog2N)

5. Se tiene un canal telefónico con frecuencias en el rango de 300 a 3300Hz. El canal es muestreado a una frecuencia de 8KHz y las muestras resultantes son transmitidas empleando indistintamente un sistema MAP o un sistema PCM.

a) Calcule el ancho de banda mínimo de un sistema MAP.

H(f)

H(f)

. . . .

. . . .

. . . .

f1(t)

f10(t)

Muestreador

y

Multiplexor

Cuantificador

128 niveles

A Codificador binario

B Señal

PCM

C

H(f)

10-10 f [KHz]

b) En el sistema PCM las muestras son cuantificadas a 8 niveles y transmitidas empleando codificación binaria. Encuentre el ancho de banda requerido para el sistema PCM y compárelo con el del sistema MAP.

c) Repita el inciso b) si el cuantificador empleado es de ahora de 128 niveles. Compare los valores de la relación señal a ruido de cuantificación para ambos casos suponiendo que el swing de voltaje pico a pico de señal de entrada al cuantificador P, es 2 volts.

6. Una señal continua se muestrea y cuantifica uniformemente y se transmite codificando en binario la amplitud de sus muestras. Si cada muestra debe tener un error de cuantificación menor que el 1% que el valor pico a pico del cuantificador.

a) Calcule el número de bits que debe tener cada palabra de código. b) Calcule BT suponiendo la señal continua limitada en banda a 4KHz.

7. Una señal de voltaje en el rango de frecuencias de 100 a 4 000Hz se limita a un swing pico a pico de 3v. Se muestrea a una frecuencia de 8KHz y se cuantifica a 64 niveles uniformemente espaciados. Calcule y compare los anchos de banda y las relaciones señal a ruido de cuantificación entre el caso descrito y otro en el que el cuantificador fuera de 256 niveles, también uniforme.

8. Un sistema PCM utiliza cuantificación a 7 bits y compresión de ley , con = 255. El voltaje máximo a la entrada del compresor está limitado a 2v. Compare las relaciones señal a ruido de cuantificación para dos señales, ambas modeladas con estadística laplaciana, una de ellas con desviación estándar de 0.4v y la otra con desviación estándar de 0.02v. (Ver complemento).

9. (Ejercicio complementario ver solución al final de este documento) La función densidad de probabilidad de una señal analógica x(t) se muestra en la figura a continuación.

a) Hallar un cuantificador uniforme de 4 niveles y calcular el ruido de cuantificación. b) Calcular la mejor (S/N)D posible.

Problemas sobre Modulación delta 1. Dibuje una señal analógica cualquiera que varíe lentamente en el tiempo y que arranque

de un valor próximo a cero, suponga que el segmento de señal que dibuja caben 10 muestras representativas de la señal, o sea, tomadas a una frecuencia que cumple con el criterio de Nyquist (fs ≥ 2W). Estas muestras son suministradas a un cuantificador de 2 niveles que forma parte de un sistema de modulación delta. Para proceder con la obtención de la señal de salida que va dando el cuantificador inicie el sistema comparando la primera muestra de señal tomada con respecto a cero. Suponga que para la estimación del valor de muestra siguiente solo se tiene en cuenta la muestra anterior,

use la regla de estimación gj = 0.9 donde es el estimado de la muestra j-i anterior.

a) Dibuje la secuencia de salida del modulador delta con paso k ´ fijo escogido por Ud.

f(x)

1

-1 1

1-x1+x

x

b) Dibuje la secuencia de salida del modulador delta tomando inicialmente un paso k ´ relativamente grandes siguiendo la señal mediante los estimados gj = 0.9

, reduzca posteriormente el valor de k ´ hasta que verifique que ocurre sobrecarga en el modulador.

2. Considere la señal sinusoidal de prueba siguiente x(t) = A sen mt. Dibuje la señal en el intervalo de tiempo -/2 < mt < /2. Suponga que la señal se muestrea a una frecuencia fs muy superior a la frecuencia de señal fm, (fs>>fm).

a) Demuestre gráficamente que si ocurre sobrecarga del modulador. (k ´ es el paso)

b) Demuestre que si la sobrecarga comienza en el punto mt = -/4.

Complemento sobre el cálculo de la SNR de cuantificación en sistemas con compresión (Ley ).

[Tema completamente desarrollado pp. 125-131 Mischa-Schwartz 1994]

En este caso se entra a analizar la estadística de la señal de entrada para conocer cuales son sus intervalos de amplitudes más probables. Las funciones densidad de probabilidad de las señales nos dicen como se distribuyen las amplitudes estadísticamente. Conociendo esto lo más lógico es diseñar un cuantificador que tenga la mayor cantidad de niveles posible concentrados en esa zona de amplitudes más probables de la señal de entrada para reducir al mínimo el ruido de cuantificación. Tenemos tres ejemplos de funciones densidad de probabilidad de señales de entrada posibles, estas son la función densidad de probabilidad laplaciana, la gaussiana y la uniforme, sus expresiones son las siguientes:

Función densidad de probabilidad Laplaciana.

Función densidad de probabilidad Gaussiana.

Función densidad de probabilidad Uniforme

Se definen los siguientes parámetros:

f(x)

0 x

f(x)

x0

f(x)

x0

Como resultado del desarrollo se obtiene que la expresión de la relación señal a ruido de cuantificación en sistemas con compresión de Ley es (Conf. 7):

Solución al ejercicio complementario.

Tenemos que diseñar un cuantificador uniforme de 4 niveles para procesar señales cuya función densidad de probabilidad obedece la descripción dela figura. (Recordar que la función densidad de probabilidad nos dice como se distribuyen estadísticamente los posibles valores de una variable aleatoria continua VAC, en nuestro caso x(t) que es la señal de entrada y que puede ser modelada como una VAC.)

f(x) nos está diciendo como se comporta x(t) con respecto a sus amplitudes, observando f(x) podemos decir que los valores de amplitud más probables de x(t) son aquellos que se encuentran próximos a cero.

Error cuadrático medio que se comete por la aproximación xj.

Valor cuadrático medio total del ruido de cuantificación. Potencia promedio total de ruido de cuantificación.

Es la varianza de la distribución de la señal que se desea cuantificar. Potencia promedio total de la señal si esta tiene componente de CD nula.

Es el valor esperado del módulo de la señal de entrada.

Definición de la relación señal a ruido de cuantificación. Esta expresión toma formas específicas según sea el cao de cuantificación uniforme, no uniforme, con diferentes funciones de compresión, etc.

Tenemos que definir un cuantificador de 4 niveles para una señal de entrada que tiene un swing máximo de 2v pico a pico, este dato lo sacamos directamente gráfico.

Calculemos el espaciamiento entre niveles consecutivos a. De la conferencia sabemos que:

De donde, con P = 2v, y M = 4 niveles tenemos a = 0.5. Y los valores de los niveles discretos serán:

Superpongamos sobre la figura de f(x) la distribución de estos valores discretos.

En clase se vio una expresión para el cálculo del valor cuadrático medio del error.

pero esto solo tiene valor cuando se emplean gran número de niveles en donde a es bastante pequeño.

En este caso particular, podremos calcular el valor cuadrático medio del error o lo mismo, la potencia de ruido de cuantificación de la forma que viene especificada en las dos primeras expresiones de la tabla de la parte complementaria este documento. La expresión de la que estamos hablando es la siguiente

f(x)

1

-1 1

1-x1+x

x

4

3x1

4

3x 4

4

1x 3 4

1x 2

donde

Calculemos:

M = 4

= a = 0.5, /2 = 0.25

f(x) = 1 – x x 0

f(x) = 1 + x x 0

[xj]= -¾, -¼, ¼, ¾ = -0.75, 0.25, 0.25, 0.75.

Entonces:

de donde el valor cuadrático medio de ruido (o la potencia promedio total de ruido)de cuantificación es, a falta de calcular las integrales previas, el valor de E(2) de la expresión anterior.

Si suponemos que la señal de entrada es una realización de un proceso ergódico, o sea, que sus promedios temporales son iguales que sus promedios a lo largo de las distintas realizaciones posibles del proceso, podemos calcular la potencia promedio de la señal de forma estadística según:

Como la señal x(t) tiene valor medio nulo = 0, que se puede observar de las propiedades del gráfico de f(x) nos queda:

que la varianza (potencia de AC de la señal es su potencia promedio total)

y entonces podemos calcular:

que es un parámetro estadístico, si la señal no perteneciera a un proceso ergódico (como hemos asumido) tendríamos que calcular su potencia promedio total en el dominio del tiempo según:

cosa que no podemos hacer de todas formas porque no contamos con la señal en el tiempo.

Entonces calcularemos según:

Nuevamente, dejamos el cálculo de las integrales al lector y expresamos finalmente (y triunfalmente) la SNR de cuantificación como la potencia promedio total de la señal entre la potencia total de ruido, según:

Sería de interés ver como varía este valor de SNR calculado si se emplearan en vez de la cuantificación uniforme que hemos estado tratando en el ejemplo, una cuantificación no uniforme igualmente de 4 niveles de forma que estos estén más concentrados hacia la zona entorno a f(x) = 0. ¿Mejorará la SNR de cuantificación?¿Por qué?