2. Programación lineal : Formulación matemática del problema

Jorge Eduardo Ortiz Triviñojeortizt@unal.edu.co

Objetivos del Capítulo

Fijar los requerimientos para establecer un modelo de programación lineal.

Representación gráfica de un modelo de programación lineal.

Ventajas del modelo de programación lineal:* Obtención de una solución óptima única.* Obtención de soluciones alternativas* Modelos no acotados.* Modelo no factibles.

.

Conceptos de análisis de sensibilidad:* Reducción de costos.* Rango de optimalidad.* Precios sombra.* Rango de factibilidad.* Holgura complementaria.* Agregar restricciones/variables.

Obtención de una solución por métodos computacionales:

Introducción a la Programación Lineal

Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.

Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente:* Un conjunto de variables de decisión* Una función objetivo* Un conjunto de restricciones

PROGRAMACIÓN LINEAL

Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre actividades que compiten, de la forma mas óptima posible.

Supuestos de la P.L.• Proporcionalidad• Aditividad• Divisibilidad• Certidumbre• Objetivo único• No negatividad

PROGRAMACIÓN LINEAL

FORM ULACIO N MATEM ATICA

METODO G RAFICO METODO ALGEBRAICO(SIM PLEX)

PR OB LEMA GEN ERAL

PROBLEM AS DE TR ANSPORTE PR OBLEMAS D E ASIGNACIÓ N

PR OBLEM AS ESPECIALES

PROGR AM ACIO N LIN EAL

La importancia de la programación lineal:

* Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la programación lineal.

* Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.

* La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.

Formulación matemática básica en un problema de I.O. (PL) Ejemplo: Una multinacional minera extrae un tipo de mineral de dos minas diferentes, el cuales es sometido a un proceso de trituración, con tres grados: alto , medio y bajo. La compañía han firmado un contrato para proveer de mineral a una planta de fundición, cada semana, 12 toneladas de mineral de grado alto, 8 toneladas de grado medio y 24 toneladas de grado bajo. Cada una de las minas tiene diferentes procesos de fabricación.

 Mina Costo por día (miles de Euros) Producción(toneladas/día)

Alto Medio Bajo

X 180 6 3 4

Y 160 1 1 6

 ¿Cuántos días a la semana debería operar cada mina para cumplir el contrato con la planta de fundición con el que se comprometió la multinacional?

Formulación matemática básica en un problema de I.O.

Es necesario buscar una solución que minimice el costo de producción global de la empresa, sujeta a las restricciones impuestas por los proceso productivos asociados a cada mina así como el contrato con la planta de fundición.

 Traducción del problema en términos matemáticos

1. definir las variables

2. las restricciones

3. el objetivo

Formulación matemática básica en un problema de I.O.

Variables

Representan las decisiones que puede tomar la empresa:

Dx = número de días a la semana que la mina X produce

Dy= número de días a la semana que la mina Y produce

Notar que Dx0 y Dy0

Restricciones

Se recomienda primero plantear las restricciones con palabras antes de pasar a su formulación matemática.

Restricción 1. refleja el balance entre las limitaciones productivas de la fábrica y el contrato con la plante de fundición

Grado

Alto 6Dx+1Dy12

Medio 3Dx+1Dy8

Bajo 4Dx+6Dy24

Restricción 2. días de trabajo disponibles a la semana

Dx5 y Dy5

Objetivo

Como objetivo buscamos minimizar el costo

180Dx+160Dy

Formulación matemática básica en un problema de I.O.

La representación completa del problema tomaría la siguiente forma:

Minimizar 180Dx+160Dy

s.a.

6Dx+1Dy12

3Dx+1Dy8

4Dx+6Dy24

Dx5, Dy5

Dx0, Dy0

PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos

PROBLEMA DE LA MEZCLA DE PRODUCTOSUna compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos: transistores y bobinas.Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble, dos minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de tiempo en empaque.Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo en Control de Calidad y dos minutos en empaque.Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y 400 minutos en Empaque disponibles cada día. Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la utilidad.La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la utilidad total.

PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos

Solución:

Formulación

Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar

Maximizar las utilidades de la compañía (U).{dólares/día}

Paso 2: Identificar las variables de decisión que se desea determinar

X….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día}

Y….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día}

Paso 3: Identificar las restricciones del modelo

R1) Tiempo disponible en el depto. de Ensamble por día 300 min.

R2) Tiempo disponible en el depto. de C. Calidad por día de 400 min.

R3) Tiempo disponible en el depto. de Empaque por día de 400 min.

R4) No Negatividad.

PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos

Paso 4: Construcción del modelo matemático

F.Objetivo

MAX { U = X + Y }

Sujeto a :

R1) X + 2Y 300

R2) 2X + Y 400

R3) X + 2Y 400

R4) X , Y 0

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Métodos de Resolución Método GráficoEmpleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el modelo.

Método Algebraico (SIMPLEX)Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a funcionar.

Problemas típicos• Problema del transporte• Problema de flujo con coste mínimo en red• Problema de asignación• Problema de la mochila (knapsack)• Problema del emparejamiento (matching)• Problema del recubrimiento (set-covering)• Problema del empaquetado (set-packing)• Problema de partición (set-partitioning)• Problema del coste fijo (fixed-charge)• Problema del viajante (TSP)• Problema de rutas óptimas

Problema del transporte

Minimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta

Zx,x

m..i,ax

n..j,bx

.a.s

xc Min

ijij

i

n

1jij

j

m

1iij

m

1i

n

1jijij

0

1

1

xij: unidades a enviar de origen i a destino jcij: coste unitario de transporte de i a j

ai: unidades de oferta en el punto origen ibj: unidades de demanda en el punto destino j

Se supone oferta total igual a demanda total

Algunas reflexiones • Hemos pasado de la definición del problema a su

formulación matemática.• Error de especificación, el error más frecuente consiste en

descuidar las limitaciones (restricciones, características de las variables, etc,)

En el ejemplo anterior:

a) Todas las variables son continuas (admitimos fracciones de día)

b) Existe un único objetivo (minimizar los costes)

c) El objetivo y las restricciones son lineales

Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que denominamos un problema de Programación Lineal PL

Algunas reflexiones El ejercicio anterior plantea un PROBLEMA DE DECISIÓN

Se ha tomado una situación real y se ha construido su equivalente matemático MODELO MATEMÁTICO

Durante la formulación del modelo matemático se considera el método cuantitativo que (esperanzadamente) nos permitirá resolver el modelo numéricamente ALGORITMO

El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de manera gradual producen una solución numérica

Otra definición de I.O.

Ciencia para la representación de problemas reales mediante modelos matemáticos que junto con métodos cuantitativos nos permiten obtener una solución numérica a los mismos

Dificultades

Dificultades de este tipo de enfoques:• Identificación del problema (debemos ignorar partes o tratar el

problema entero).• Elección del modelo matemático adecuado así como el

algoritmo adecuado para resolverlo (validación del algoritmo).• Dificultades en la implementación.• Velocidad (costes) que supone llegar a una solución.• Calidad de la solución.• Consistencia de la solución.