2 UNIDAD ESTADISTIK I.pdf

8/17/2019 2 UNIDAD ESTADISTIK I.pdf

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UniversidadCatólica de

Trujillo

BENEDICTO XVI

Lic. Ylder Heli Vargas Alva, Mg(c)

Estadística IEstadística IEstadística IEstadística I

Medidas de Resumen.

Medidas de Tendencia Central: Media, mediana, moda, media

geométrica, cuartiles y percentiles.

Lic. Ylder Helí Vargas Alva, Mg(c).


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BENEDICTO XVI


Objetivos

Al finalizar la clase deberían saber :

o Calcular la media aritmética, la mediana y las moda.

o Explicar las características, empleo, ventajas y desventajas de

cada promedio.

o Identificar la posición de la media aritmética, la mediana, la

moda, tanto para distribuciones simétricas como asimétricas o

sesgadas.


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MEDIDAS DE RESUMEN

¿Por qué resumir?Para simplificar la comprensión y la comunicación de los datos.Las medidas resúmenes son útiles para comparar conjuntos de datoscuantitativos y para presentar los resultados de un estudio y se clasifican

en:

Medidas de posición o localización ⇒ Una medida de posición es unnúmero que pretende indicar dónde se encuentra el centro de ladistribución de un conjunto de datos. Son: Media aritmética, mediana,

moda, media geométrica, cuartiles y percentiles

Medidas de dispersión o escala ⇒ Describen cuán cercanos seencuentran los datos entre ellos, o cuán cerca se encuentran de algunamedida de posición. Son: Varianza, desviación estándar y coeficiente de

variación.

Medidas de Asimetría ⇒ Miden la mayor o menor simetría de ladistribución. asimetría y apuntamiento.


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BENEDICTO XVI


MEDIDAS DE RESUMEN

MEDIDAS DE POSICIÓN:

Una medida de posición es un número que pretende indicar dóndese encuentra el centro de la distribución de un conjunto de datos.

Media aritmética Mediana Moda Media Geométrica Cuartiles Percentiles


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MEDIA ARITMETICA

Datos Agrupados:

x: Media Aritmética

xi :Marca de Clase o i-ésimo valor observado

k : N° de clases

fi : Frecuencia absoluta de la clase i

n : Tamaño de la muestra

n x

k

i

i i f x ∑=

=1

La media aritmética es la clase que determina el centro de gravedadde un conjunto de datos, es decir es el valor más representativo


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MEDIA ARITMETICA

Cuadro Nº 03Ingreso mensual promedio de las familias del Distrito de Moche.

li ls

1 320 - 413 366,50 4

2 413 - 506 459,50 5

3 506 - 599 552,50 6

4 599 - 692 645,50 11

5 692 - 785 738,50 15

6 785 - 878 831,50 5

7 878 - 971 924,50 4

50

x=

Intervalos xi fi

Fuente: Encuestada realizada por empresa xxxxx xxx

Datos Agrupados:


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MEDIA ARITMETICA

Cuadro Nº 03Ingreso mensual promedio de las familias del Distrito de Moche.

li ls

1 320 - 413 366,50 4 1.466,00

2 413 - 506 459,50 5 2.297,50

3 506 - 599 552,50 6 3.315,00

4 599 - 692 645,50 11 7.100,50

5 692 - 785 738,50 15 11.077,50

6 785 - 878 831,50 5 4.157,50

7 878 - 971 924,50 4 3.698,00

50 33.112,00

x= 662,24

Intervalos xi fi xifi


Datos Agrupados:


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En la Empresa Industrialito S.A., se realizaron estudiosrespecto al tiempo que demora cada una de las máquinas en

producir cierto producto. Los valores se tabularon en una

distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud.

Si se tienen marcas de clase: m2 = 40 y m4 = 80, Frecuencias:h1 = h6; h3 = h5; h4 = 0,25; h2 = h4 - h1; h3 = h1+0,10 y F6 =60.

• Elaborar el cuadro de distribución de frecuencias• Interpretar h1; h3; H5; F6.

• Hallar la media aritmética, la mediana y la moda


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Datos NO Agrupados:

MEDIA ARITMETICA

n x

n

i

i x ∑== 1

x : Media Aritmética

n : Tamaño de la Muestra

xi : i-ésimo valor observado


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Datos NO Agrupados:

Se ha efectuado la medición de cuanto demora la atención a los

clientes en un Supermercado. Se ha tomado una muestra de 10clientes y los resultados obtenidos son :

Calcular el promedio de las atenciones.

MEDIA ARITMETICA


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Datos NO Agrupados:

Se ha efectuado la medición de cuanto demora la atención a los

clientes en un Supermercado. Se ha tomado una muestra de 10clientes y los resultados obtenidos son :

MEDIA ARITMETICA


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Media de una Población

MEDIA ARITMETICA


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MEDIA ARITMETICA


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MEDIA ARITMÉTICA - PROPIEDADES


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LA MEDIANA

Es la medida de tendencia central que corresponde al valor de la variableque divide a la frecuencia total en dos partes iguales .

Me

a) MEDIANA DE DATOS NO AGRUPADOS

En este caso se procede de la siguiente manera :

1º Se ordena el conjunto de valores en orden creciente2º Se halla el valor que ocupa la posición media3º Si el número es impar, el valor central es la mediana4º Si el número es par, el promedio de los dos centrales es la mediana


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Datos NO Agrupados:

Ejemplo:

LA MEDIANA


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Datos NO Agrupados:

Ejemplo:

LA MEDIANA


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Datos NO Agrupados:

Ejemplo:

LA MEDIANA


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Datos NO Agrupados:

Ejemplo:

LA MEDIANA


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Datos Agrupados:

LA MEDIANA

Donde :li : limite inferior del intervalo de la clase que contiene a la Me

c : Tamaño del intervalo de clase (amplitud del intervalo)

n : Total de frecuencias absolutas (numero de datos)

Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase que contiene a la Me

fi : frecuencia absoluta de la clase que contiene a la Me

−

+=−

f F li

i

i

n

c Me 12*


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LA MEDIANA

Ejemplo :La gerencia de mercadeo de unHotel ha decidido realizar un

estudio acerca de la edadpromedio de los clientes delCafé Bar “El Sol”. Se ha elegidouna muestra de 300 clientesrecogida durante todo un mes

típico . Aplicada la encuesta sehan obtenido los siguientesresultados :

Datos Agrupados:


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LA MEDIANA

Ejemplo :La gerencia de mercadeo de unHotel ha decidido realizar un

estudio acerca de la edadpromedio de los clientes delCafé Bar “El Sol”. Se ha elegidouna muestra de 300 clientesrecogida durante todo un mes

típico . Aplicada la encuesta sehan obtenido los siguientesresultados :

Datos Agrupados:

El valor de n/2 es = 300/2 = 150, este valor se encuentra ubicado en el 6º intervalo

El 50% de los asistentes al Café Bar “El Sol” está en elintervalo de 19 a 39.55 años y el 50% restante está en elintervalo de 39.55 a 55 años.


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LA MEDIANA


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Datos agrupados:

LA MODA

Es la medida de tendencia central que corresponde al valor de la clase cuyafrecuencia es la que más repite (fi mayor).

Donde :li : limite inferior del intervalo de la clase que contiene a la Moda

c : Tamaño del intervalo de clase (amplitud)

n : Total de frecuencias absolutas (Tamaño de la muestra)

fi+1 : Frecuencia absoluta posterior a la clase que contiene a la Moda

fi-1 : frecuencia absoluta anterior de la clase que contiene a la Moda

+

+=

−+

+

f f

f l

ii

i

i c Mo

11

1*


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Datos agrupados:

LA MODA

Ejemplo :La gerencia de mercadeo de un Hotel hadecidido realizar un estudio acerca de la

edad más frecuente de los clientes del CaféBar “El Sol”. Se ha elegido una muestra de300 clientes recogida durante todo un mestípico . Aplicada la encuesta se han obtenidolos siguientes resultados :


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Trujillo

BENEDICTO XVI


Datos agrupados:

LA MODA

+

+=

−+

+

f f

f

l ii

i

i

c Mo

11

1*

Ejemplo :La gerencia de mercadeo de un Hotel hadecidido realizar un estudio acerca de la

edad más frecuente de los clientes del CaféBar “El Sol”. Se ha elegido una muestra de300 clientes recogida durante todo un mestípico . Aplicada la encuesta se han obtenidolos siguientes resultados :

La frecuencia mayor se encuentra ubicada en el 5º intervalo = 67 clientes

La edad más frecuente de los asistentes alCafé Bar “ El Sol ” es de 37.19 años.


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Datos NO Agrupados:

Es el valor que ocurre con mayor frecuencia: el valor máscomún.

• Puede que no exista moda.

• Puede que exista más de un valor Modal

LA MODA


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LA MODA


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Relación empírica entre Media, Mediana y Moda :

x=Me=Mo x Me Mo Mo Me x

Simetrica Asimétrica a la Derecha Asimétrica a la Izquierda

U i id d


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Relación empírica entre Media, Mediana y Moda :

La asimetría también se puede calcular de la siguiente, manera :

x=Me=Mo x Me Mo Mo Me xSimetría Asimétrica a la Derecha Asimétrica a la Izquierda

Me

Universidad


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0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

0,3500

0,4000

0,4500

0,5000

4 5 6 70 1 2 3

Q1 Q2 Q3 Q4

Moda

Media

Aritmética

Mediana

Rango

Medidas de Tendencia

Universidad


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BENEDICTO XVI


En muchas ocasiones los valores de la distribución no son de naturaleza

propiamente aditiva como ocurre en los casos de los números índices o

porcentajes que representan la evolución de una característica con

respecto al valor que tiene en un periodo o situación que llamamos

base.

Cuando se desea obtener promedios de magnitudes tales como tipos de

interés, tasas, porcentajes, números índices, etc., la media aritmética

pierde la propiedad de tener un claro significado ya que la suma de

dichas magnitudes no representa un total de recursos como en lasmagnitudes de naturaleza aditiva. En estos casos debe de emplearse la

media geométrica como la medida de posición central mas

representativa cuando la variable presenta variaciones acumulativas.

LA MEDIA GEOMÉTRICA

Universidad

É


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BENEDICTO XVI


La media geométrica es otro estadígrafo detendencia central, pero de poca utilización. El

cálculo de la media geométrica se puedehacer en datos con frecuencia y datos sinfrecuencias

Datos sin Frecuencias

Media geométrica

Intervalos Cerrados

Datos Con Frecuencias

Inter. Cerrados / Abiertos

MEDIA GEOMÉTRICA I

Universidad

É


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Católica de

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Para el cálculo de la media geométricasin frecuencias se aplica la siguientesexpresión:

nn321 x·.......···x x xG=

MEDIA GEOMÉTRICA II

Universidad

É


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Católica de

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30

34

11

133

7

Su media geométricasería:

Si los datos fueran los siguientes:

MEDIA GEOMÉTRICA III

11,267·2·13·11·43·036 ==G

Universidad

M di G é i IV


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Católica de

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BENEDICTO XVI


Media Geométrica IV

Para datos en tablas Frecuencias

fi ni

30 2

34 4

11 5

13 62 3

7 4

)nLogf ...........nLogf n(1

k k 2211 ⋅++⋅+⋅⋅= Log f N

G

Se aplica lasiguiente

expresión:

1,05 7313113430G24 426542

=⋅⋅⋅⋅⋅=

UniversidadC tóli d i G é i


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Católica de

Trujillo

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Media Geométrica V

Para intervaloscerrados, se considera la

marca de clase de cadaintervalo por sufrecuencia absoluta.

Intervalos Cerrados xi ni

60 64 62 30

64 68 66 34

68 72 70 1172 76 74 13

76 80 78 3

80 84 82 7

La media Geométrica se calculará con el valorde la Marca de clase de los intervalos

multiplicados con la frecuencias absoluta.

1,178827874706662G 98 7313113430 =⋅⋅⋅⋅⋅=

UniversidadCatólica de CUANTILES


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Católica de

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Se llaman cuantiles de orden k a aquellas que dividen a la distribuciónen k partes, de tal forma que en cada una de esas partes haya el mismonúmero de elementos.

De entre todas las medidas de posición destacan los Cuartiles, losdeciles y los percentiles.

Los cuartiles dividen a la distribución en cuatro partes iguales, Los deciles en diez y

Los percentiles en cien.

Habrá, por tanto:

Tres (3) cuartiles: Q1, Q2, Q3

Nueve (9) deciles: D1, D2, D3, … , D8,D9 y, Noventa y nueve percentiles (99) :P1, P2, P3, … , P99.

El 2º cuartil, el 5º decil y el 50º percentil son iguales y coinciden con lamediana.

CUANTILES



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Católica de

Trujillo

BENEDICTO XVI


CUANTILES

UniversidadCatólica de CUARTILES


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Católica de

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CUARTILES

a !" # " $N%&

!l valor o"tenido al reali#ar el c$lculo en una serie de datos nos proporciona el valor %ue

representa el &' de esa serie de datos. am"ién, nos indica %ue el &' de de la serie de

datos est$ "a*o él y so"re él, se encuentra el +' de los datos de la serie.

' !( # ( $N%&

ara el cuartil &, se tiene como caso especial, primero por%ue su valor representa la mitad de la serie

de datos, igual %ue la mediana. -egundo, "a*o esté valor se encuentra el ' de la serie de datos y

tercero, so"re ese valor calculado se encuentra el otro ' de la serie de datos.

c !) # ) $N%&

!l cuartil /, nos indica %ue el valor o"tenido representa "a*o s0 el +' de la distri"ucin de los datos

y so"re s0, se encuentra el &' de la distri"ucin de datos.

d !& # & $N%&

!l cuartil 2, nos indica %ue el valor o"tenido tiene "a*o s0 el 1 de la distri"ucin de datos. or lo

general no se calcula, ya %ue es un 3ec3o %ue el 4ltimo valor de la distri"ucin él lo representa

UniversidadCatólica de CUARTILES


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BENEDICTO XVI


CUARTILES



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BENEDICTO XVI




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BENEDICTO XVI


Datos NO Agrupados:

En este caso el cálculo es idéntico al de la mediana, siendo ahora (rn/k) elvalor de discusión.

Se procede de la siguiente manera :

1º Se ordena el conjunto de valores en orden creciente2º Se halla el valor que ocupa la posición (rn/k)

r: Número de cuartil, decil o percentil a hallar.

k: 4 para cuartiles, 10 para deciles y 100 para percentiles.n: Número de datos (elementos de la muestra)

Si (rn/k) no es entero, se redondea. El valor entero inmediato mayor que (rn/k) indica laposición del k-ésimo cuantil.

Si (rn/k) es entero, el k-ésimo percentil es el promedio de los valores de los datos ubicadosen los lugares (rn/k) e (rn/k) +1.

CUANTILES


T jill CUANTILES


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Trujillo

BENEDICTO XVI


CUANTILES

1. !n & prue"as de evaporacin, de la

sustancia M56, se registran las

siguientes variaciones de temperaturas

a presin atmos7érica: 218, '8, &98,

//8, 28, 2&8, '/8, /'8, &68, /98, /+8,2/8, /28, /18, 228, '+8, /&8, 2'8, 28,

268.


Trujillo CUANTILES


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Trujillo

BENEDICTO XVI


CUANTILES

Calculando el valor del cuartil 1:

*aso "+ ;rdenar los datos de menor a mayor .

&68, &98, /18, /&8, //8, /28, /'8, /+8, /98, 28, 218, 2&8, 2/8, 228, 2'8, 28, 268, '8, '/8, '+8.

*aso (+


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BENEDICTO XVI


CUANTILES


*aso "+ ;rdenar los datos de menor a mayor.

&68, &98, /18, /&8, //8, /28, /'8, /+8, /98, 28, 218, 2&8, 2/8, 228, 2'8, 28, 268, '8, '/8, '+8.

*aso (+


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Trujillo

BENEDICTO XVI


CUANTILES



&68, &98, /18, /&8, //8, /28, /'8, /+8, /98, 28, 218, 2&8, 2/8, 228, 2'8, 28, 268, '8, '/8, '+8.

*aso (+


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j

BENEDICTO XVI


CUANTILES



&68, &98, /18, /&8, //8, /28, /'8, /+8, /98, 28, 218, 2&8, 2/8, 228, 2'8, 28, 268, '8, '/8, '+8.

*aso (+


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BENEDICTO XVI


EjemploSe ha realizado una encuesta a 10 estudiantes de la UCT respecto a su edad.

CU S

Para esto, primero ordenamos:

Encontrar los cuartiles 1,2, y 3

x 23 19 24 18 19 22 21 24 20 20 26 22

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x 18 19 19 20 20 21 22 22 23 24 24 26

Q1=19Q2=21Q3=23Significa que el 25% de los alumnos tiene menos de 19 añosQue el 75% es mayor de 19 años

Que el 50% de alumnos son mayores que 21 y el otro 50% menores que 21Que el 25% de alumnos es mayor 23 años


Trujillo CUANTILES


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BENEDICTO XVI


&. La estatura en cent0metros de los integrantes de un

e%uipo de 74t"ol es: 1+', 16, 1+1, 1+6, 161, 1+,

1+2, 1', 19, 1+, 1+&, 1+&, 1+, 1, 1+, 1',

1++.

>eterminar:

a) ?@u$l es la estura %ue de*a "a*o s0 el &'

") ?!ntre %ue estaturas est$ el +' de la serie de

datos


Trujillo

BENEDICTO XVICUANTILES


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BENEDICTO XVI


/. @ierto pro7esor de la universidad, a la 3ora de la

puntuacin, cali7ica a sus alumnos mediante el

siguiente criterio: -uspendidos 2 , Apro"ados /, Bota"les 1' , -o"resalientes 1 y Matriculas

de Honor ' . -i las notas %ue se o"tuvieron en un

eCamen 7ueron:

Calcula la mínima nota para obtener un aprobado,

notable, sobresaliente, y matricula de honor


Trujillo



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BENEDICTO XVI


Datos Agrupados:

Donde:k : Número de cuartil(1,2,3), decil (1,2,3,4…9) o percentil(1,2,3,…99) a hallar.

n : Número de datos (elementos de la muestra)

fi: : Frecuencia absolutas i de la clase del cuartil, decil o percentil.

Fi-1: : Frecuencia absolutas acumuladas anterior a la clase cuartil, decil o percentil)

li : Limite inferior del intervalo de la clase cuartil, decil o percentil.

f F lQi

i

iK

nk

c14

*

*−−

+=Cuartiles

f F l Di

i

ik

nk

c110

*

*−−

+=Deciles

f

F lQ

i

i

ik

nk

c1

100

*

*−

−

+=Percentiles

Identificamos primero la clase en la que se encuentra el cuartil, decil o percentil. Esta clasees aquella que acumula por primera vez un porcentaje mayor o igual a …..%.


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BENEDICTO XVI


Datos NO Agrupados:

EjemploCalcule el percentil 75 de los siguientes datos.


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BENEDICTO XVI


Calcule el sueldo mínimo para estar en el 15% de los trabajadores mejores pagados.

Ejemplo:La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de los 200 salarios del últimomes de los empleados de una empresa.


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Calcule la nota mínima para estar en el quinto superior.Calcule la nota máxima para estar en el 5% de las notas más bajas.

Calcule el porcentaje de personas que tuvo notas menores o iguales a 13.

Ejemplo:Las notas de un curso se muestran en la siguiente distribución de frecuencias.


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Cuadro Nº 03Ingreso mensual promedio de las

familias del Distrito de Moche.


Ejemplo

Hallar el segundo cuartil, el quinto decil y el

quincuagésimo percentil

li

ls

1 320 - 413 366.50 4 4

2 413 - 506 459.50 5 9

3 506 - 599 552.50 6 154 599 - 692 645.50 11 26

5 692 - 785 738.50 15 41

6 785 - 878 831.50 5 46

7 878 - 971 924.50 4 50

50

Intervalosi xi fi Fi


Trujillo



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Cuadro Nº 03Ingreso mensual promedio de las

familias del Distrito de Moche.


EjemploHallar el segundo cuartil, el quinto decil y elquincuagésimo percentil

55.68311

1525*93599

11

15450*2

*935992

=−

+=

−

+=Q

55.68311

1525*9359911

15

100

50*50

*9359950

=−+=

−

+=P

55.68311

1525*93599

11

1510

50*5

*935995

=−

+=

−

+= D

li

ls

1 320 - 413 366.50 4 4

2 413 - 506 459.50 5 9

3 506 - 599 552.50 6 154 599 - 692 645.50 11 26

5 692 - 785 738.50 15 41

6 785 - 878 831.50 5 46

7 878 - 971 924.50 4 50

50

Intervalosi xi fi Fi

P DQ 5052 ==←


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BENEDICTO XVIEJERCICIOS


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EjemploPara hallar la nota de una evaluación, se hace la media de cuatro exámenes. Si enlos tres primeros tengo una media de 9.50. ¿qué nota tengo que sacar en el últimopara aprobar?


Trujillo



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EjemploPara hallar la nota de una evaluación, se hace la media de cuatro exámenes. Si enlos tres primeros tengo una media de 9.50. ¿qué nota tengo que sacar en el últimopara aprobar?

D1.' D 2&

D 9.' D 9.'/

&6.'E

&6.'

D 2& 2& F &6.' 1/.'

1/.' para apro"ar.


Trujillo



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EjemploLos ingenieros industriales realizan periódicamente análisis de la “medición detrabajo" con el fin de determinar el tiempo requerido para generar una unidad deproducción. En una planta de procesamiento se registró durante 50 días el númerototal de horas-obrero necesarias por día para realizar cierta tarea.

Efectúa un análisis descriptivo supuesto que los datos obtenidos fueron lossiguientes:


Trujillo



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Ejemplo


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Hallar la Media Aritmetica, la mediana, la moda.

Los cuartiles, el decil 9, el percentil &/,


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Trujillo



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