2011 FISICA GENERAL - · PDF file2011 (Desde el 2009) FISICA GENERAL UNA INTRODUCCION A LOS FLUIDOS, VIBRACIONES Y TERMODINAMICA Con numerosos ejemplos e ilustraciones S O L

2011 (Desde el 2009)

FISICA

GENERAL

UNA INTRODUCCION A LOS

FLUIDOS, VIBRACIONES Y TERMODINAMICA

Con numerosos ejemplos

e ilustraciones

S O L D O V I E R I

LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

(EN EDICION Y REVISION)

Terenzio Soldovieri C.

www.cmc.org.ve/tsweb

http://www.cmc.org.ve/tsweb

SOLDOVIERI C., TERENZIO

Licenciado en Física

Profesor agregado del Departamento de Física

Facultad de Ciencias - La Universidad del Zulia (LUZ)

[email protected]

[email protected]


FISICA GENERALUna introducción a los fluidos, vibraciones y termodinámica

con numerosos ejemplos e ilustraciones

1era edición (preprint)

(EN CONSTRUCCION Y REVISION)Comenzado en el 2009 - Actualización 2011 (versión 7)

Escrito usando LATEX

Copyright c 2011 por Terenzio Soldovieri C.

República Bolivariana de Venezuela

? ? ? ? ? ? ??

[email protected]

[email protected]


ÍNDICE

I MECANICA DE FLUIDOS 1

1 Hidrostática 3

1.1 Densidad absoluta, densidad relativa y peso específico . . . . . . . . . . . 41.1.1 Densidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Densidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Peso específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Acciones mecánicas sobre los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Fuerzas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 La presión y sus unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 La presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Manómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Rango de presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Ecuaciones fundamentales de la Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Presión Vs orientación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Variación de la presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8.1 Con la profundidad (medida de la presión ejercida por un fluidoen reposo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8.2 Con la altura (medida de la presión atmosférica) . . . . . . . . . . . 271.9 Vasos comunicantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.10 Teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.10.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.10.2 Prensa hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

I

ÍNDICE

1.11 Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.11.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.11.2 Equilibrio de los cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.11.3 Equilibrio de los cuerpos flotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Hidrodinámica 57

2.1 Métodos de análisis utilizados para describir el estado de movimiento deun fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.1.1 Método de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.1.2 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2 Características generales del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3 Trayectorias y líneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.4 Ecuaciones fundamentales de la Hidrodinámica . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4.1 Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4.2 Ecuación de Bernoulli (Teorema de Bernoulli) . . . . . . . . . . . . . . 67

2.5 Aplicaciones de las ecuaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5.1 Cálculo de la velocidad de un líquido que sale del tapón de un

grifo en la base de un recipiente (Teorema de Torricelli) . . . . . . . 742.5.2 Efecto Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Aplicaciones del efecto Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.3 Tubo o medidor de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5.4 Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

II VIBRACIONES 105

3 Oscilaciones 107

3.1 Oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.1.1 Significado físico de ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.1.2 Significado físico de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.1.3 Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Para una solución del tipo x (t) = ACos (!t+ 'o) . . . . . . . . . . . . 110Para una solución del tipo x (t) = A Sen (!t+ 'o) . . . . . . . . . . . . 112

3.2 Resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2.1 Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: II

ÍNDICE

3.2.2 Unidades de k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.2.3 Energía de un oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.3 Algunos sistemas armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.3.1 El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.3.2 El péndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.4 El oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.4.1 Ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.4.2 Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.4.3 Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.5 Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.6 Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3.6.1 Resonancia en la amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.6.2 Resonancia en la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4 Movimiento ondulatorio 193

4.1 Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.2 Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.2.1 Según el medio en que se propaguen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954.2.2 Según el número de dimensiones que involucran . . . . . . . . . . . 1964.2.3 Según la relación entre la vibración y la dirección de propagación 1974.2.4 De acuerdo a las fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974.2.5 Períodicas y no periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.3 Pulso, tren de ondas, frente de onda y rayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.4 Descripción de la propagación de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004.5 Ecuación de onda y principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.6 Ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2044.7 Fase, constante de fase y velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.7.1 Fase y constante de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.7.2 velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

4.8 Velocidad de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.8.1 Ondas transversales en una cuerda tensa . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.8.2 Ondas logitudinales en una barra elástica . . . . . . . . . . . . . . . 2174.8.3 Ondas longitudinales en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.9 Energía y potencia para una onda armónica en una cuerda . . . . . . . . 2304.10 Intensidad de una onda tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.11 Ondas longitudinales armónicas de sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: III

ÍNDICE

4.12 Interacción de las ondas con las barreras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454.12.1 Reflexión y transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454.12.2 Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

4.13 Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.13.1 Interferencia constructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2524.13.2 Interferencia destructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

4.14 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2554.14.1 En una cuerda fija en ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2594.14.2 En una cuerda fija en uno de sus extremos . . . . . . . . . . . . . . . 2654.14.3 En tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

En un tubo abierto en ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . 270En un tubo cerrado en uno de sus extremos . . . . . . . . . . . . . . 275

4.15 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.15.1 La fuente y el observador se mueven en la misma dirección y sentido283

La fuente trata de adelantar al observador . . . . . . . . . . . . . . . 283El observador trata de adelantar a la fuente . . . . . . . . . . . . . . 284

4.15.2 La fuente y el observador se mueven en la misma dirección y sen-tidos opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Acercándose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Alejándose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

4.16 Ondas de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2884.17 El sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

4.17.1 La naturaleza del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2924.17.2 El sonido y su propagación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2924.17.3 Sonido físico y sensación sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2934.17.4 Cualidades del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294Tono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Timbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

4.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

III TERMODINAMICA FENOMENOLOGICA 313

5 Temperatura y dilatación térmica 319

5.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3195.2 Termómetros y escalas de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: IV

ÍNDICE

5.3 Dilatación térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3225.3.1 Dilatación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3225.3.2 Dilatación volumétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

5.4 Compresión térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3265.5 Asignaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

6 Calorimetría 335

6.1 Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3356.2 Capacidad calorífica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3386.3 Calor específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3396.4 Calor de fusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3406.5 Calor de vaporización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3406.6 Calor de combustión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3416.7 Equilibrio térmico y ley cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3456.8 Equivalente en agua de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3506.9 Calor específico de un sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3516.10 Calor específico de los líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3536.11 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

7 Leyes 1 y 2 de la termodinámica 359

7.1 Gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3597.2 Gases reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3607.3 El calor y el trabajo mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3617.4 Energía interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3667.5 Primera ley de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

7.5.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3687.5.2 Algunas ejemplos donde se aplica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

7.6 Energía interna de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3757.7 Capacidades caloríficas de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3757.8 Energía interna de un gas real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3817.9 Procesos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3827.10 Procesos reversibles e irreversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3847.11 Máquina térmica de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3867.12 Entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

7.12.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3927.12.2 Entropía de algunos sistemas termodinámicos notables . . . . . . . 396

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: V

ÍNDICE

Entropía de un cuerpo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396Entropía de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397Entropía de un gas de van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

7.13 Segunda ley de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3987.13.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

7.14 Tercera ley de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3997.15 Máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

7.15.1 Máquinas térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4017.15.2 Refrigeradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

7.16 Motores de combustión externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4037.16.1 Máquina de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

7.17 Motores de combustión interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4067.17.1 Motor de explosión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4067.17.2 Motor diesel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

7.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

A Factores de Conversión 419

B Derivación 423

B.1 Definición de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423B.2 Segunda derivada y derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . 423B.3 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424B.4 Derivadas de las funciones más comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

C Ecuaciones diferenciales 427

D Minibiografías 431

D.1 Newton, Isaac (1642-1727) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431D.2 Pascal, Blaise (1623-1662) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432D.3 Arquímedes (287-212 a.C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433D.4 Lagrange, Joseph Louis, Conde de (1736-1813) . . . . . . . . . . . . . . . . 434D.5 Euler, Leonhard (1707-1783) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434D.6 Bernoulli, Daniel (1700-1782) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435D.7 Torricelli, Evangelista (1608-1647) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435D.8 Venturi, Giovanni Battista (1746-1822) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: VI

ÍNDICE

D.9 Pitot, Henri (1695-1771) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436D.10 Joule, James Prescott (1818-1889) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437D.11 Carnot, Nicolas Léonard Sadi (1796-1832) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437D.12 Boyle, Robert (1627-1691) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437D.13 Mariotte, Edme (1620-1684) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438D.14 Galileo (Galileo Galilei) (1564-1642) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439D.15 Fahrenheit, Daniel Gabriel ( 1686-1736) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439D.16 Celsius, Anders (1701-1744) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440D.17 Kelvin, Lord o Thomson, William (1824-1907) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440D.18 Davy, Sir Humphry (1778-1829) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441D.19 Mayer, Julius von (1814-1878) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442D.20 Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442D.21 Clausius, Rudolf Emanuel (1822 -1888) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442D.22 Arrhenius, Svante August (1859-1927) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443D.23 Planck, Max Karl Ernst Ludwig (1858-1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443D.24 Van der Waals, Johannes Diderik (1837-1923) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444D.25 Doppler, Christian (1803-1853) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: VII

ÍNDICE

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: VIII

LISTA DE ILUSTRACIONES

1.1 Fuerza de volumen y fuerza de superficie sobre un elemento de volumendV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 La componente tangencial de la fuerza de superficie en un fluido en re-poso debe ser nula porque, de lo contrario, dicha componente haría queel fluido fluyera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Diagrama de cuerpo libre de un elemento de volumen para la obtenciónde las ecuaciones fundamentales de la Hidrostática. . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Elemento de volumen soportando fuerzas de volumen con diferentes di-recciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 En un mismo punto, p no depende de la orientación. . . . . . . . . . . . . . 19

1.6�!G para un campo gravitacional donde la aceleración debida a la gra-vedad esté dirigida a lo largo del eje z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7 Los puntos del plano imaginario � están sometidos a la misma presión. . . 21

1.8 Variación de la presión con la altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9 Presión medida desde la superficie libre de un fluido . . . . . . . . . . . . . 22

1.10 Ejemplo 1.13: Cálculo de la fuerza total sobre el fondo de una piscina confondo inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11 Ejemplo 1.18: Columna de mercurio en un tubo vertical abierto en suextremo inferior en una cubeta abierta de mercurio. . . . . . . . . . . . . . 25

1.12 Ejemplo 1.19: Cálculo de fuerzas en un depósito cúbico. . . . . . . . . . . 26

1.13 Vasos comunicantes en forma de U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.14 Ejemplo 1.25: Tubo en forma de U con agua y mercurio. . . . . . . . . . . . 30

1.15 Ejemplo 1.26: Cálculo de niveles en un tubo en forma de U con agua ymercurio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

IX


1.16 Ejemplo 1.27: Cáculo de la fuerza sobre el fondo de un matraz lleno deagua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.17 Prensa hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.18 Determinación del empuje

�!E de Arquímedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.19 Empuje vs Peso de un cuerpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.20 (a) un cuerpo asciende en el seno de un líquido cuando el empuje es

mayor que su peso; (b) pero, a medida que emerge, el empuje dismiuye.Entonces (c) cuando las dos fuerzas son de igual módulo, el cuerpo flota. 40

1.21 Ejemplo 1.31. Empuje sobre un cuerpo sumergido, suspendido medianteuna cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.22 Ejemplo 1.32: Tina rectangular hecha de una capa delgada de cementoque flota en un lago. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.23 Ejemplo 1.35: Globo de plomo lleno de aire, con radio externo R, total-mente sumergido en un tanque de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.24 Problema 43: Cable anclado en el fondo de un lago que sostiene unaesfera hueca de plástico bajo su superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.25 Problema 44: Dos depósitos que contienen agua y que están unidos me-diante un conducto que puede abrirse o cerrarse mediante una llave. . . 52

1.26 Problema 64: Cálculo de presión en un tubo en forma de U con uno desus extremos cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.27 Problema 67: Cálculo de la fuerza que debe aplicarse en la palaca deun gato hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.28 Problema 71: Cilindro de madera de roble de longitud L flotando parcial-mente sumergido en agua dulce, suspendido por uno de sus extremos deun hilo a una altura h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.29 Problema 72: Cálculo de la fuerza que actúa sobre la superficie plana deuna presa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.1 Diagrama de línea de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2 (A) Líneas de corriente o flujo laminar. (B) Flujo turbulento. . . . . . . . . . . 602.3 Línea de corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.4 Tubo de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5 Ecuación de continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.6 Ejemplo 2.7: Confluencia de dos corrientes que forman un río. . . . . . . . 662.7 Flujo de fluidos: Para la derivación de la Ecuación de Bernoulli. . . . . . . . 682.8 Teorema de Torricelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.9 Ejemplo 2.15: Tanque lleno de fluido al cual se le ha hecho una per-

foración lateral a cierta profundidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: X


2.10 El tubo o medidor de Venturi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.11 Ejemplo 2.21: Conducto horizontal con estrechamiento y con un tubo en

forma de U anexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.12 Ejemplo 2.22: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales. 842.13 Sección transversal de un tubo de Pitot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.14 Ejemplo 2.28: Diagrama de velocidades relativas para un avión que se

desplaza hacia el Norte en presencia de un viento en contra hacia elOste del Sur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.15 Problema 25: Cálculo de la velocidad del fluido que sale por un orificiolateral de un depósito, tomando en cuenta la velocidad de la superficiedel fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.16 Problema 26.: Depósito de agua unido a un conducto horizontal condiferentes secciones transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.17 Problema 27: Cálculo de la velocidad del agua en una tubería empal-mada a un tubo en forma de T de menor sección con tubos manométri-cos anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.18 Problema 28: Tubería en la que hay instalado un medidor de Venturi conmercurio como líquido manométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.19 Problema 34: Cálculo de la profundidad en la confluencia de dos co-rrientes que forman un río. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.20 Problema 38: Cálculos de presión y área en una toma de agua de unapresa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.21 Problema 42: Cálculo de la distancia horizontal a la que cae un fluidoque sale por un orificio lateral de un depósito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.22 Problema 43: Tanque sellado y sometido a cierta presión absoluta quecontiene gasolina, al cual se le ha efectuado un disparo. . . . . . . . . . . 97

2.23 Problema 44: Tubo en forma de U que contiene un fluido, al cual se lesopla aire sobre uno de sus extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.24 Problema 45: Presa con un tapón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.25 Problema 46: Sifón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.26 Problema 47: Jarra con orificio en el fondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.27 Problema 52: Agua que fluye por un tubo que tiene un estrechamiento. . 1012.28 Problema 53. Depósito abierto unido a un conducto con diferentes sec-

ciones transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.29 Problema 55: Depósitos abiertos muy grandes unidos por un conducto. . 1022.30 Problema 57: Tubo horizontal con estrechamiento, al cual se ha anexado

un tubo en forma de U que sirve de manómetro. . . . . . . . . . . . . . . . 102

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: XI


2.31 Problema 62: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales.1032.32 Problema 63: Dispositivo automático para un calentador de agua. . . . . 104

3.1 Una partícula de masa m se mueve sometida a una fuerza del tipo �kx. . 1083.2 Interpretación de 'o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.3 Ejemplo 3.6.: Una masa de m que está conectada a un resorte ligero. . . 1233.4 Energía en el oscilador armónico simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.5 Fuerzas actuantes en un péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.6 Fuerzas en un péndulo físico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.7 Ejemplo 3.26: Varilla delgada y uniforme de largo L y masa M sostenida

por uno de sus extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.8 Ejemplo 3.30: Un anillo de radio r suspendido de una varilla. . . . . . . . . 1443.9 Ejemplo 3.31: Una esfera de radio R suspendida desde un punto fijo por

una cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.10 Oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.11 Oscilador sub-amortiguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.12 Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.13 Variación de A en un oscilador forzado ( �1 < �2). . . . . . . . . . . . . . . . 1703.14 Variación de la amplitud de la velocidad respecto a !f . . . . . . . . . . . . 1713.15 Problema 39: Sistemas con dos resortes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.16 Problema 45: Masa unida a dos resortes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.17 Problema 46: Péndulo físico formado por una varilla y dos esferas macizas. 1783.18 Problema 91: Péndulo simple con punto de inflexión. . . . . . . . . . . . . . 1853.19 Problema 114: Péndulo cónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.20 Problema 117: Barra homogénea delgada que cuelga de un punto me-

diante dos hilos inextensibles y sin masa atados a sus extremos. . . . . . . . 1893.21 Problema 119: Dos resortes están enganchados por uno de sus extremos

a un bloque que puede desplazarse sin rozamiento sobre una superficiehorizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.22 Problema 121: Varilla metálica delgada y uniforme que pivota sin roza-miento sobre un eje que pasa por su extremo superior y es perpendiculara la varilla y que esta unida a un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.1 Ejemplo de la propagación de una perturbación. . . . . . . . . . . . . . . . 1944.2 Ondas superficiales que se forman al arrojar una piedra en un estanque

tranquilo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964.3 Una onda (a) longitudinal y (b) onda transversal. . . . . . . . . . . . . . . . 1974.4 (a) Pulso y (b) tren de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: XII


4.5 (a) Frente de onda plano, (b) frente de onda cilíndrico, (c) frente deonda circular y (d) frente de onda esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.6 Cuerda en la cual se hace propagar una perturbación o pulso hacia laderecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.7 Ilustración de un pulso del tipo f (x� vt) que se mueve en sentido +x yf (x+ vt) que se mueve en sentido �x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4.8 Superposición de dos pulsaciones que viajan en direcciones opuestas enla misma cuerda tensa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.9 Onda senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

4.10 Representación de una onda senoidal progresiva. . . . . . . . . . . . . . . 205

4.11 Efecto de la constante de fase 'o sobre una onda. Nótese que en unagráfica contra t “adelante de” significa “a la izquierda de”, mientrasque en una gráfica contra x “adelante de” significa “a la derecha de”. 209

4.12 Pulso en una cuerda tensa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.13 (a) “Instantánea” de un pulso de onda que se mueve hacia la derechaen la cuerda con una velocidad v. (b) Fuerzas sobre la pequeña (perono infinitesimal) parte del pulso de longitud �`. . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

4.14 Barra eslástica antes y después de ser deformada. . . . . . . . . . . . . . . 218

4.15 Elemento de una barra elástica de sección S en la posición x de anchuradx que, a causa de una perturbación, se traslada , y se deforma d, demodo que la nueva anchura del elemento es dx+ d. . . . . . . . . . . . . 218

4.16 Fuerzas sobre un elemento de una barra elástica. . . . . . . . . . . . . . . . 219

4.17 Tubo de sección recta constante S, que contiene el fluido. . . . . . . . . . 220

4.18 Elemento de fluido de masa masa �oSdx en el cual se muestran las pre-siones aplicadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

4.19 Ejemplo 4.10: Trazo del desplazamiento en función de la posición en eltiempo t = 0, para una onda transversal que viaja por una cuerda. . . . . 227

4.20 Ejemplo 4.11: Alambre tenso sobre el cual se generen pulsaciones en susextremos, separadas por un intervalo de tiempo �t. . . . . . . . . . . . . . 228

4.21 Elemento de masa �m y longitud �x de una cuerda sobre la cual viajauna onda senoidal hacia la derecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

4.22 Intensidad de una onda esférica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

4.23 Pistón que al oscilar armónicamente produce ondas sonoras armónicasunidimensionales armónicas en un tubo largo y delgado que contiene unfluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

4.24 Comparación entre s y �p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: XIII


4.25 Pulsos reflejado y transmitido en dos cuerdas unidas de diferente densi-dad lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

4.26 Cuerda unida a un punto que puede moverse libremente. . . . . . . . . . 2484.27 Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un

agujero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.28 Esquema de la interacción de un frente de onda plano con un obstáculo

que tiene un agujero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.29 Esquema de la interacción de un haz de partículas con un obstáculo que

tiene un agujero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2504.30 Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un

agujero cuya dimensión es grande con respecto a la longitud de onda. . 2504.31 Dos ondas armónicas coherentes 1 y 2 que se originan en fuentes pun-

tuales y cuya interferencia queremos calcular en cierto punto O. . . . . . 2514.32 Interferencia constructiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2534.33 Interferencia destructiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2544.34 Interferencia entre dos ondas (caso intermedio). . . . . . . . . . . . . . . . 2554.35 Cuerda tensada de longitud ` sujeta en ambos extremos a dos soportes

fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2604.36 Primeros tres armónicos de una cuerda fija en ambos extremos. . . . . . . 2614.37 Cuerda fijada, en uno de sus extremos, a una pared. . . . . . . . . . . . . . 2654.38 Algunos armónicos para la cuerda fija en uno de sus extremos. . . . . . . 2664.39 Ejemplo 4.42: Cuerda sujeta en uno de sus extremos y con el otro extremo

unido a un anillo sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barrasin fricción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

4.40 Tubo de órgano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2704.41 Algunos armónicos para el caso de un tubo abierto en ambos extremos.

La perturbación sonora es generada por un parlante en uno de los ex-tremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

4.42 Algunos armónicos para el caso de un tubo cerrado en uno de sus ex-tremos. La perturbación sonora es generada por un parlante en el ex-tremo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

4.43 Ejemplo 4.54: Aparato que puede emplearse para medir la velocidad delsonido en el aire usando la condición de resonancia. . . . . . . . . . . . . 279

4.44 Efecto Doppler para una velocidad de movimiento de la fuente emisoramenor que la velocidad de propagación de la onda. . . . . . . . . . . . . 282

4.45 Efecto Doppler para fuente y observador en movimiento en ls misma di-rección y sentido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: XIV


4.46 Ejemplo 4.61: Fuente sonora que se mueve en una trayectoria circularcon rapidez constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

4.47 Ondas de choque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2894.48 Onda de choque en una cubeta de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2894.49 Ejemplo 4.64: Estampido sónico originado por un avión supersónico. . . . 2904.50 Ejemplo 4.65: Estampido sónico originado por un avión supersónico. . . . 2914.51 Problema 23: Onda de choque de un avión supersónico. . . . . . . . . . . 3024.52 Estructura de un fenómeno termodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3174.53 Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

5.1 Pirómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3225.2 Problema 29: Lámina rectangular sometida a un aumento de temperatura.330

6.1 Calorímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3356.2 Dispositivo utilizado por Joule para medir el equivalente mecánico del calor3376.3 Capacidad calorífica de distintos sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3386.4 Calor de fusión del hielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3406.5 Calor de vaporización del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3416.6 Calorímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

7.1 Proceso termodinámico genérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3617.2 Trabajo realizado por un gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3637.3 Diagrama para un gas ideal que experimenta un proceso isotérmico . . . 3637.4 Procesos isocórico e isobárico para un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . 3647.5 Comparación de comportamientos isotérmico y adiabático para un mol

de gas ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3737.6 Gas ideal encerrado en un dispositivo de cilindro y émbolo. . . . . . . . . . 3757.7 La temperatura dada de una masa de gas aumenta en la misma can-

tidad ya sea por un proceso a presión constante ab o por un proceso avolumen constante ac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

7.8 Diversos estados de un gas cuando efectúa un ciclo . . . . . . . . . . . . . 3837.9 Representación gráfica del ciclo en un diagrama pV . . . . . . . . . . . . . 3837.10 Proceso reversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3857.11 Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3877.12 Todo ciclo reversible puede aproximarse mediante una serie de ciclos de

Carnot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3927.13 La integral

HdS de la entropía para un ciclo reversible es igual a cero. Por

tanto, la diferencia de entropía entre los estados a y b, Sa � Sb =R badS, es

la misma para la trayectoria I que para la II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: XV


7.14 Máquina de combustión externa (izquierda) y máquina de combustióninterna (derecha). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

7.15 Máquina térmica real (izquierda) y máquina térmica perfecta (derecha). 4027.16 Refrigerador real (izquierda) y refrigerador “perfecto” (derecha). . . . . . 4037.17 Refrigerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4037.18 Caldera de vapor. (A) cilindro con agua y vapor, (B) válbula de se-

guridad, (C) tubo de conducción del vapor, (D) entrada del agua a lacaldera, (E) manómetro, (F) nivel, (G) chimenea, (H) fogón, (I) seccióntubular de la caldera, (J) tabiques deflectores del calor y (K) colector decenizas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

7.19 Cilindro o distribuidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4057.20 Transformación del movimiento rectilíneo en circular en la máquina de

vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4067.21 Motor de explosión de cuatro tiempos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4077.22 Carburador (partes fundamentales). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4087.23 Sistema de encendido del motor de un automóvil. . . . . . . . . . . . . . . 4097.24 Motor diesel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4107.25 Problema 12: Ciclo reversible efectuado por un gas ideal monoatómico- 4127.26 Problema 13: Ciclo reversible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4137.27 Problema 16: Sistema termodinámico que pasa de su estado inicial A

hasta otro estado B y regresa de nuevo a A a través del estado C comolo muestra la trayectoria ABCA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.28 Problema 17: Cilindro que contiene gas y que está cerrado por un ém-bolo móvil. El cilindro se sumerge en una mezcla de hielo y agua. . . . . . 414

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: XVI

LISTA DE TABLAS

1.1 Densidad de algunos sólidos y líquidos a 20oC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.1 Velocidad del sonido en algunos medios gaseosos, líquidos y sólidos, a1atm y 0oC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.1 Coeficientes de dilatación promedio a 20oC de algunos sólidos. . . . . . . 3235.2 Coeficientes de dilatación promedio a 20oC de algunos líquidos y gases. . 324

6.1 Calor específico a 20oC y presión constante de 1 atm. . . . . . . . . . . . . 339

XVII

Prefacio

El presente texto constituye un intento de ...

XIX

Parte I

MECANICA DE FLUIDOS

1

CAPÍTULO 1

Hidrostática

Antes de definir lo que es la hidrostática, es necesario definir lo que es un fluido:

Se denomina fluido toda aquella sustancia que cede inmediatamente acualquier fuerza tendente a alterar su forma, con lo que fluye y se adapta a laforma del recipiente. Los fluidos pueden ser líquidos o gases.

Las partículas que componen un líquido no están rígidamente adheridas entre sí,pero están más unidas que las de un gas. El volumen de un líquido contenido enun recipiente hermético permanece constante, y el líquido tiene una superficie límitedefinida. En contraste, un gas no tiene límite natural, y se expande y difunde en elaire disminuyendo su densidad. A veces resulta difícil distinguir entre sólidos y fluidos,porque los sólidos pueden fluir muy lentamente cuando están sometidos a presión,como ocurre por ejemplo en los glaciares.

Se denomina hidrostática a la parte de la mecánica de fluidos que estudiael equilibrio de los mismos.

En el presente estudio, la estructura molecular exacta de un fluido no desempeñaun papel directo, así, podremos considerar que los fluidos son medios continuos. Unamasa dada de fluido tiene un volumen definido. Como el fluido es completamente de-formable, toma la forma de su recipiente. Este ejerce una fuerza sobre él, que debe sernormal a la superficie, porque cualquier componente tangencial ejercería una fuerzacortante sobre el fluido y éste respondería deformándose hasta que desapareciera lafuerza de corte.

3

CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA

1.1 Densidad absoluta, densidad relativa y peso específico

Si deseamos estudiar el comportamiento de un fluido bajo ciertas condiciones ola de un sólido inmerso total o parcialmente en un determinado fluido, existen mag-nitudes físicas que atañen por igual a los sólidos y a los líquidos y que, además, sonpropias de cada sustancia en particular. Estas cantidades son:

1.1.1 Densidad absoluta

La densidad absoluta (o simplemente densidad) � se define como la razón entrela masa de una sustancia y su volumen. Matemáticamente se escribe:

� =m

V(1.1)

donde m es la masa de una cantidad de sustancia cuyo volumen es V .

A diferencia de la masa o el volumen, que dependen de cada objeto, su cocientedepende solamente del tipo de material de que está constituido y no de la formani del tamaño de aquél. Se dice por ello que la densidad es una propiedad o atri-buto característico de cada sustancia. En los sólidos la densidad es aproximadamenteconstante, pero en los líquidos, y particularmente en los gases, varía con las condi-ciones de medida. Así en el caso de los líquidos se suele especificar la temperaturaa la que se refiere el valor dado para la densidad y en el caso de los gases se ha deindicar, junto con dicho valor, la presión (de la cual hablaremos más adelante).

La unidad de medida en el S.I. de Unidades es Kg=m3, también se utiliza frecuente-mente la unidad g=cm3.

En la tabla 1.1 se muestran las densidades de algunos sólidos y líquidos a 20oC

(Tomadas de [12] págs.36� 37)1.

1 En [3] pág. 385 y en [4] pág. 252, podemos encontrar también tablas con las densidades de ciertosmateriales.

SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 4

1.1. DENSIDAD ABSOLUTA, DENSIDAD RELATIVA Y PESO ESPECÍFICO

Sustancia Densidad (g=cm3) Sustancia Densidad (g=cm3)

Acero 7; 7� 7; 9 Oro 19; 31

Aluminio 2; 7 Plata 10; 5

Cinc 7; 15 Platino 31; 46

Cobre 8; 93 Plomo 11; 35

Cromo 7; 15 Silicio 2; 3

Estaño 7; 29 Sodio 0; 975

Hierro 7; 88 Titanio 4; 5

Magnesio 1; 76 Vanadio 6; 02

Níquel 8; 9 Wolframio 19; 34

Sustancia Densidad (g=cm3) Sustancia Densidad (g=cm3)

Aceite 0; 8� 0; 9 Bromo 3; 12

Acido sulfúrico 1; 83 Gasolina 0; 68� 0; 72Agua 1; 0 Glicerina 1; 26

Agua de mar 1; 01� 1; 03 Mercurio 13; 55

Alcohol etílico 0; 79 Tolueno 0; 866

Tabla (1.1): Densidad de algunos sólidos y líquidos a 20oC.

1.1.2 Densidad relativa

La densidad relativa (o gravedad específica) �R de una sustancia es la relacióno cociente entre la densidad de la misma y la correspondiente a otra sustancia quese toma como patrón. En los sólidos y líquidos la densidad relativa se suele referir alagua a 40C. La abreviaremos �R y es un número sin dimensiones. Matemáticamente:

�R =�

�H20 (40C)

(1.2)

Como la densidad del agua a 40C es 1; 00 g=cm3 = 1; 00:103Kg=m3; la densidad rela-tiva de cualquier sustancia será prácticamente igual, numéricamente, a su densidadespecificada en g=cm3 o 10�3 veces su densidad especificada en Kg=m3:

La determinación de densidades de líquidos tiene importancia no sólo en la física,sino también en el mundo del comercio y de la industria. Por el hecho de ser la den-sidad una propiedad característica (cada sustancia tiene una densidad diferente)su valor puede emplearse para efectuar una primera comprobación del grado depureza de una sustancia líquida.



1.1.3 Peso específico

Se denomina peso específico de una sustancia al producto de su densidadpor la aceleración de la gravedad y representa la fuerza con que la tierra atrae a unvolumen unidad de la misma sustancia considerada.

Matemáticamente podemos escribir,

=w

V(1.3)

donde w es el peso de la sustancia. O al utilizar (1.1) y tener presente que w = mg,entonces,

= �g (1.4)

Como podemos notar de (1.3) el peso específico de una sustancia depende de laintensidad g del campo gravitacional en el cual dicha sustancia se encuentre inmersa.Es fácil notar que lo mismo no ocurre con su densidad ¿por qué?.

Ejemplo 1.1: Hallar la densidad y la densidad relativa de la gasolina sabiendo que 51gde ésta ocupan un volumen de 75 cm3.

Solución: Al usar (1.1),

� =m

V=

51 g

75 cm3= 0; 68 g=cm3

y, al usar (1.2),

�R =�

�H20 (40C)

=0; 68 g=cm3

1; 00 g=cm3= 0; 68

Ejemplo 1.2: Hallar el volumen que ocupan 300 g de mercurio sabiendo que su densi-dad es de 13; 6 g=cm3.


V =m

�=

300 g

13; 6 g=cm3= 22; 1 cm3

Ejemplo 1.3: Calcular la densidad, el peso específico y la densidad relativa del alu-minio, sabiendo que 3 m3 pesan 8100 Kp.



Solución: La masa se obtiene a partir de,

m =w

g=8100:9; 8 N

9; 8 m=s2= 8100 Kg

ahora, al usar (1.1), (1.3) y (1.2), se obtiene,

� =m

V=8100 Kg

3 m3= 2700 Kg=m3

=w

V=8100 Kp

3 m3= 2700 Kp=m3

�R =�

�H20 (40C)

=2700 Kg=m3

1; 00:103 g=cm3= 2; 7

Ejemplo 1.4: Una estrella de neutrones es mucho menor que nuestro Sol, y tiene ladensidad de un núcleo atómico. Una estrella de neutrones característica tieneun radio de 10 Km y una masa de 2:1030 Kg, la masa del Sol. ¿Cuánto pesaríaun volumen de 1 cm3 de esa estrella, bajo la influencia de la gravedad en lasuperficie de la Tierra?.

Solución: Primero calculemos la densidad �est de la estrella. A partir de (1.1),

�est =mest

Vest(1)

y si suponemos que la estrella es esférica de radio rest, entonces su volumen Vest vienedado por,

Vest =4

3�r3est (2)

ahora, al sustituir (2) en (1), obtenemos,

�est =3

4

mest

�r3est=3

4

2:1030Kg

3; 14: (10:103m)3= 0; 5:1018

Kg

m3

= 0; 5:1012g

cm3

Por último, la masa de 1 cm3 de esa estrella, a partir de (1.1), vendrá dada por,

m = �estV = 0; 5:1012 g

cm3:1cm3 = 0; 5:1012g

y su peso w es,

w = mg = 0; 5:1012g:980cm

s2= 4; 90:1014dinas

= 4; 90:109 N



Ejemplo 1.5: Determinar la masa y el peso del aire en una habitación, cuya área delsuelo es de 20 m2 y la altura, 3; 0 m. Densidad del aire 1; 29 Kg=m3.

Solución: El volumen V de la habitación será,

V = 20 m2:3; 0 m = 60 m3

por lo tanto, al usar (1.1), resulta,

m = �V = 1; 29Kg=m3:60 m3 = 77; 4 Kg

y el peso w será,w = mg = 77; 4 Kg:9; 8

m

s2= 7; 6:102 N

Ejemplo 1.6: El oro puede aplastarse hasta obtener un grosor de 0; 10 �m. ¿Qué super-ficie puede recubrirse con una hoja de oro si su masa es de 2; 0 g?. Densidad deloro 1; 93:104 Kg=m3.

Solución: Si S y d la superficie y el grosor de la hoja de oro respectivamente, en-tonces su volumen V vendrá dado por,

V = Sd

que al sustituirlo en (1.1), resulta,

� =m

Sd) S =

m

�d

y teniendo presente que 1 �m = 10�6m,

S =2; 0:10�3Kg

1; 93:104Kg=m3:0; 10= 1; 04 m2

Ejemplo 1.7: Una pieza de hierro fundido con volumen exterior de 3; 1 dm3 posee lamasa de 21 Kg. ¿Existen en ella oquedades? Si existen, ¿qué volumen ocupan?.Densidad del hierro fundido 7; 4:103Kg=m3.

Solución: Lo primero que debemos hacer es calcular la densidad de la pieza dehierro a ver si corresponde con la densidad conocida del hierro. Al usar (1.1) conV = Vext (volumen exterior de la pieza), resulta,

� =m

Vext=

21Kg

3; 1:10�3m3= 6; 8:103

Kg

m3



que, como no son iguales, significa que la pieza posee oquedades. Ahora, siendo Vel volumen real del hierro que constituye la pieza y Voq el volumen de las oquedades,podemos escribir,

V = Vext � Voq

que al sustituir en (1.1), resulta,

� =m

V=

m

Vext � Voq) Voq = Vext �

m

�

y si sustituimos los valores correspondientes,

Voq = 3; 1:10�3m3 � 21Kg

7; 4:103Kg=m3

= 2; 6:10�4m3

Ejemplo 1.8: Una aleación de oro y plata con densidad de 1; 4:104 Kg=m3 tiene la masade 0; 40 Kg. Determinar el porcentaje y la masa de oro en la aleación, con-siderando que el volumen de la aleación es igual a la suma de los volúmenes desus partes integrantes.Se sabe que la densidad del oro es 1; 93:104 Kg=m3 y la dela plata es 1; 05:104 Kg=m3.

Solución: Sea m, V y � la masa, el volumen y la densidad de la aleación; mAu, VAu y�Au la masa, el volumen y la densidad del oro; y mAg, VAg y �Ag la masa, el volumen y ladensidad de la plata. El porcentaje de oro en la aleación vendrá dado por mAu

m:100%.

Al cociente mAu

mlo denominaremos f por comodidad.

La masa de la aleación vendrá dada por,

m = mAu +mAg (1)

que al dividirla por m resulta,1 =

mAu

m+mAg

m(2)

o también,1 = f +

mAg

m) mAg

m= 1� f (3)

Por otro lado, el volumen de la aleación vendrá dado por,

V = VAu + VAg (4)

pero, por (1.1),V =

m

�(5)



VAu =mAu

�Au(6)

VAg =mAg

�Ag(7)

Al sustituir estos tres volúmenes en (4) obtenemos,

m

�=mAu

�Au+mAg

�Ag(8)

que al dividir por m queda como,

1

�=

1

�Au

�mAu

m

�+

1

�Ag

�mAg

m

�(9)

o también,1

�=

1

�Auf +

1

�Ag

�mAg

m

�(10)

Ahora, al sustituir (3) en (10) para mAg

mresulta,

1

�=

1

�Auf +

1

�Ag(1� f) (11)

de donde,

f =�Au�

�� Ag�Au � �Ag

�(12)

que al sustituir los valores correspondientes a las densidades resulta,

f = 0; 548 (13)

es decir, la aleación contiene un 54; 8 % de oro.

Por último, la masa de oro la encontramos a partir de la definición que le dimos af , es decir,

f =mAu

m) mAu = fm

) mAu = 0; 548:0; 40 Kg = 0; 22 Kg

1.2 Acciones mecánicas sobre los fluidos

Para estudiar la estática de un fluido es conveniente dividir las fuerzas actuantessobre un elemento de volumen en dos categorías principales:


1.2. ACCIONES MECÁNICAS SOBRE LOS FLUIDOS

1.2.1 Fuerzas de superficie

Son las fuerzas que ejercen los elementos en contacto con el elemento dV , comootros elementos de fluido, paredes, cuerpos en contacto, etc.

Lo anterior es en el sentido de que el volumen considerado puede pensarse estarencerrado en una especie de película de contorno que lo mantiene separado detodo aquello que le circunda. La denotaremos como

�!F S:

1.2.2 Fuerzas de volumen

Son aquellas acciones ejercidas por elementos capaces de ejercer fuerzas pro-porcionales al volumen dV del elemento considerado

Por ejemplo: la fuerza gravitacional o la fuerza centrífuga, que siendo proporciona-les a la masa dm contenida en el elemento de volumen dV , resultan proporcionales almismo volumen por efectode la relación dM = �dV; con � uniforme dentro de dV: Ladenotaremos como

�!F V .

Figura (1.1): Fuerza de volumen y fuerza de superficie sobre un elemento de volumen dV .

Considerando un elemento de volumen dV en forma de paralelepípedo, como elmostrado en la figura 1.1, donde una de sus caras tiene un área dS cuyo vector normales �!n ; la fuerza de superficie que del exterior se ejerce sobre dS; está representada pord�!F S:

La fuerza de volumen saliente del elemento de volumen dV es indicada con d�!F V y

puede ser expresada mediante la relación:

d�!F V =

�!Gdm (1.5)



que evidencia la proporcionalidad directa a la masa, donde�!G representa un vector

que tiene las dimensiones de una aceleración. Por ejemplo, en el caso de que lafuerza de volumen sea sólo el peso, se tiene que

�!G = �!g ; donde �!g es la aceleración

debida a la gravedad.

Es de utilidad el descomponer d�!F S en una componente d

�!F Sn normal a dS y una

componente d�!F St tangencial a dS: Estas componentes se les denominan esfuerzos y

se definen como:

p =dF SndS

(esfuerzo normal) (1.6)

� =dF StdS

(esfuerzo tangencial o de corte) (1.7)

Notemos que los esfuerzos, que son cantidades escalares, poseen las dimensionesde una fuerza por unidad de superficie.

1.3 La presión y sus unidades

1.3.1 La presión

Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que pro-voca dependen no sólo de su intensidad, sino también de cómo esté repartida sobrela superficie del cuerpo. Así, un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado haceque penetre más en la pared de lo que lo haría otro clavo sin punta que recibiera elmismo impacto. Un individuo situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda sehunde, en tanto que otro de igual peso que calce raquetas, al repartir la fuerza sobreuna mayor superficie, puede caminar sin dificultad.

Existe una diferencia en la manera en que una fuerza superficial actúa sobre unfluido y sobre un sólido. En un sólido no existe ninguna restricción respecto a la direc-ción de tal fuerza, pero en un fluido en reposo, la fuerza superficial debe estar siempredirigida perpendicularmente a la superficie de dicho fluido (ver figura 1.2). Un fluido enreposo no puede soportar una fuerza tangencial, ya que, en ese caso, las diferentescapas de fluido simplemente resbalarían unas sobre las otras (de hecho, es esta habi-lidad de los fluidos para resistir dichas fuerzas tangenciales lo que les permite cambiarsu forma o fluir). Por lo tanto, para un fluido sin movimiento el esfuerzo de corte (1.7)es nulo, siendo no nulo el esfuerzo normal (1.6) al cual se le da el nómbre de presión.Podemos escribirla simplemente como,


1.3. LA PRESIÓN Y SUS UNIDADES

Figura (1.2): La componente tangencial de la fuerza de superficie en un fluido en reposo debe ser nulaporque, de lo contrario, dicha componente haría que el fluido fluyera.

p =dF

dS(1.8)

donde suponemos de antemano que dF es el elemento de fuerza normal aplicadosobre el elemento de superficie dS. Entonces,

La presión es la fuerza por unidad de superficie que ejerce un líquido o ungas perpendicularmente a dicha superficie.

En forma no diferencial,

p =F

S(1.9)

1.3.2 Unidades

De acuerdo con (1.8) las unidades de presión se obtienendividiendo las unidadesde fuerza entre las unidades de superficie.

En el sistema M.K.S.C. la unidad de presión es el pascal, se representa porPa y se define como la presión correspondiente a una fuerza de un newtonde intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de unmetro cuadrado. 1 Pa equivale, por tanto, a 1 N=m2.

Existen, no obstante, otras unidades de presión que sin corresponder a ningún sis-tema de unidades en particular han sido consagradas por el uso y se siguen usandoen la actualidad junto con el pascal. Entre ellas se encuentran la atmósfera y el bar.

La atmósfera (atm) se define como la presión que a 0oC ejercería el peso deuna columna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm2 de sección sobre su base.



Es posible calcular su equivalencia en N=m2 sabiendo que la densidad del mercurioes igual a 13; 6:103 Kg=m3 y recurriendo a las siguientes relaciones entre magnitudes:

Peso (N) = masa (Kg):9; 8 m=s2

Masa = volumen:densidad

Presión =Fuerza

Superficie

Como el volumen del cilindro que forma la columna es igual a la superficie de labase por la altura, se tendrá:

Presión = 1 atm =masa.9; 8m=s2

Superficie

=Superficie:0; 76m:13; 6:103Kg=m3:9; 8m=s2

Superficie

es decir:1 atm = 1; 013:105 Pa

En el sistema C.G.S.S. la unidad de presión es la baria (o bar), se representapor bar y se define como la presión correspondiente a una fuerza de una dinade intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de uncentímetro cuadrado. 1 bar equivale, por tanto, a 1 din=cm2.

En meteorología se emplea con frecuencia el milibar (mbar) o milésima parte delbar,

1 mbar = 102 Pa

1 atm = 1013 mbar

1 bar = 1din

cm2= 0; 1 Pa

Ejemplo 1.9: Calcular la presión, en pascales, ejercida por una tachuela cuya puntatiene una sección transversal de 0; 02mm2, cuando sobre ella se aplica una fuerzade 0; 5 Kp.


p =F

S=

0; 5:9; 8 N

0; 02:10�6 m2= 2; 45:108 Pa


1.3. LA PRESIÓN Y SUS UNIDADES

Ejemplo 1.10: Un cuerpo en forma de cubo tiene una arista de 16 cm y un peso especí-fico de 2; 4 p=cm3. Calcular la presión que ejerce sobre el suelo apoyándose sobreuna de sus caras.

Solución: La superficie S de una cara del cubo de arista a vendrá dada por (por sercuadradas las caras de un cubo),

S = a2

y su volumen por,V = a3

Por otro lado, al usar (1.3),w = V = F

Entonces, al usar (1.9),

p =F

S= V

S= a3

a2= a

= 2; 4p

cm3:16 cm = 38; 4

p

cm2

Ejemplo 1.11: Calcular la fuerza que actúa sobre el tapón de un colchón de aire delos usados en las playas, sabiendo que tiene una presión de 1; 4 atm y que el radiodel tapón es de 1; 5 mm.

Solución: La superficie S de un tapón circular de radio r es dada por,

S = �r2

entonces, al usar (1.9),

F = pS = �r2p

= 3; 14:�1; 5:10�4m

�2:

�1; 4:1; 013:105

N

m2

�= 0; 01 N

Ejemplo 1.12: Calcular la presión que ejerce una columna de concreto de 6 cm deradio y 1; 8 m de altura, si tiene un peso específico de 4; 3 p=cm3.

Solución: El volumen V de una columna cilíndrica de radio r y altura h viene dadopor,

V = �r2h

y la superficie S de la base viene dada por,

S = �r2



Por otro lado, a partir de (1.3) su peso w que es igual a la fuerza F que la mismaejerce, viene dado por,

w = V = F

entonces, al usar (1.9),

p =F

S= V

�r2= �r2h

�r2= h

= 4; 3p

cm3:1; 8.102 cm = 774

p

cm2

Es interesante hacer notar que la presión no depende del radio de la columna deconcreto y sólo depende de su altura. Un comportamiento análogo observaremos,más adelante, para columnas de fluido en reposo sobre una superficie.

1.4 Manómetros

La mayoría de los medidores de presión, o manómetros, miden la diferencia entrela presión de un fluido y la presión atmosférica local. Para pequeñas diferencias depresión se emplea un manómetro que consiste en un tubo en forma de U con unextremo conectado al recipiente que contiene el fluido y el otro extremo abierto a laatmósfera. El tubo contiene un líquido, como agua, aceite o mercurio, y la diferenciaentre los niveles del líquido en ambas ramas indica la diferencia entre la presión delrecipiente y la presión atmosférica local. Para diferencias de presión mayores se utilizael manómetro de Bourdon, llamado así en honor al inventor francés Eugène Bourdon.Este manómetro está formado por un tubo hueco de sección ovalada curvado enforma de gancho. Los manómetros empleados para registrar fluctuaciones rápidas depresión suelen utilizar sensores piezoeléctricos o electrostáticos que proporcionan unarespuesta instantánea.

Un manómetro es un instrumento que, en generál, mide la diferencia entrela presión de un fluido determinado almacenado en un contenedor y la presiónatmosférica local

Debido a lo anterior, hay que sumar presión atmosférica al valor indicado por elmanómetro para hallar la presión absoluta. Una lectura negativa del manómetro co-rresponde a un vacío parcial.

Las presiones bajas en un gas (hasta unos 10�6 mm de mercurio de presión abso-luta) pueden medirse con el llamado dispositivo de McLeod, que toma un volumenconocido del gas cuya presión se desea medir, lo comprime a temperatura constante


1.5. RANGO DE PRESIONES

hasta un volumen mucho menor y mide su presión directamente con un manómetro.La presión desconocida puede calcularse a partir de la ley de Boyle-Mariotte. Parapresiones aún más bajas se emplean distintos métodos basados en la radiación, laionización o los efectos moleculares.

1.5 Rango de presiones

Las presiones pueden variar entre 10�8 y 10�2 mm de mercurio de presión abso-luta en aplicaciones de alto vacío, hasta miles de atmósferas en prensas y controleshidráulicos.

Con fines experimentales se han obtenido presiones del orden de millones de at-mósferas, y la fabricación de diamantes artificiales exige presiones de unas 70000 at-mósferas, además de temperaturas próximas a los 3000 �C.

En la atmósfera, el peso cada vez menor de la columna de aire a medida queaumenta la altitud hace que disminuya la presión atmosférica local. Así, la presiónbaja desde su valor de 101325 Pa al nivel del mar hasta unos2350 Pa a 10700 m (35000pies, una altitud de vuelo típica de un reactor).

Por presión parcial se entiende la presión efectiva que ejerce un compo-nente gaseoso determinado en una mezcla de gases.

La presión atmosférica total es la suma de las presiones parciales de sus compo-nentes (oxígeno, nitrógeno, dióxido de carbono y gases nobles).

1.6 Ecuaciones fundamentales de la Hidrostática

Consideremos el elemento de volumen mostrado en la figura 1.3. Encontremos laconsecuencia de imponer la condición de equilibrio traslacional sobre las fuerzas desuperficie dirigidas a lo largo del eje y. En esta dirección intervienen sólo las contribu-ciones de la fuerza de superficie relativas a las caras ABCD y EFGH, mientras que lascontribuciones de las otras fuerzas son ortogonales al eje y, por lo tanto:

d�!F SEFGH � d

�!F SABCD + d

�!F Vy = 0 (1.10)

Ahora, indicando con (x; y; z) las coordenadas de la cara EFGH y con (x; y + dy; z)las coordenadas de la cara ABCD; la expresión 1.10 se puede escribir como:



Figura (1.3): Diagrama de cuerpo libre de un elemento de volumen para la obtención de las ecuacionesfundamentales de la Hidrostática.

p (x; y; z) dxdz � p (x; y + dy; z) dxdz + �Gydxdydz = 0 (1.11)

pudiéndose escribir, depués de unos cambios triviales, como (verificarlo):

@p

@y= �Gy (1.12)

Procediendo de manera análoga con los otros dos ejes, se obtiene (ejercicio):8>>>><>>>>:@p

@x= �Gx

@p

@y= �Gy

@p

@z= �Gz

(1.13)

que representan las ecuaciones fundamentales de la hidrostática.

1.7 Presión Vs orientación

Consideremos un elemento de fluido en equilibrio como el mostrado en la figura1.4: la cara ABCD es perpendicular al eje y y tiene un área dS, la cara EFGH tieneuna normal bn0 que forma un ángulo � con el eje y y su área es dS 0, mientras que elvolumen del elemento es dV = dS4y: La proyección de la fuerza a lo largo del eje ydebe dar una suma nula (¿por qué?):

pdS � p0dS 0Cos�+ �GydS4y = 0 (1.14)


1.7. PRESIÓN VS ORIENTACIÓN

Figura (1.4): Elemento de volumen soportando fuerzas de volumen con diferentes direcciones.

Si hacemos tender 4y a cero la contribución de la fuerza de volumen �GydS4y esinfinitésimo de orden superior a los términos pdS y p0dS 0Cos� y ,por lo tanto, puede serdespreciado. Entonces:

Figura (1.5): En un mismo punto, p no depende de la orientación.

pdS � p0dS 0Cos� = 0 (1.15)

pero de la figura ?? es trivial encontrar que (verificar):

dS 0Cos� = dS (1.16)

en consecuencia,

p = p0 (en un mismo punto) (1.17)



En cada punto, la presión posee un valor independiente de la orientaciónde la superficie sobre la cual ella es ejercida (ver figura 1.5).

1.8 Variación de la presión

Supongamos que la aceleración debida a la gravedad esté dirigida a lo largo deleje z como se muestra en la figura 1.6, por lo tanto se tiene que el vector

�!G de las

ecuaciones (1.13), para este caso en particular, es:

Figura (1.6):�!G para un campo gravitacional donde la aceleración debida a la gravedad esté dirigida

a lo largo del eje z.

�!G = (0; 0;�g) (1.18)

donde g es el módulo de la aceleración debida a la gravedad en el lugar consideradoy el signo negativo es debido a la orientación con respecto al eje z.

Consideremos el caso en el cual la fuerza de volumen sea el peso. En este caso lafuerza de volumen sobre un elemento de masa dm = �dV tiene la expresión:

d�!F V =

�!G�dV = �!g �dV (1.19)

entonces, para este caso en particular, las ecuaciones 1.13 quedan escritas como:


1.8. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN

Figura (1.7): Los puntos del plano imaginario � están sometidos a la misma presión.

8>>>><>>>>:@p

@x= 0

@p

@y= 0

@p

@z= ��g

(1.20)

indicándonos que:

Los planos horizontales en un fluido en equilibrio por acción de la gravedadson superficies isobáricas (Ver figura 1.7).

1.8.1 Con la profundidad (medida de la presión ejercida por un fluidoen reposo)

La conclusión de la sección anterior nos indica que, en un campo gravitacinalcomo el mostrado en la figura 1.6, la presión depende sólo de la coordenada z: p =p (z) : Por lo tanto la tercera ecuación de las (1.20), se escribe ahora:

@p

@z=dp

dz= ��g ) dp = ��gdz (1.21)

y, al integrar la ecuación (1.21) con las condiciones mostradas en la figura 1.8, resulta:

pA = pB + �gh (Ley de Stevino) (1.22)



Figura (1.8): Variación de la presión con la altura

o también, al usar (1.4), podemos escribir,

pA = pB + h (1.23)

La cantidad �gh corresponde a la presión hidrostática ph ejercida sobre labase de una columna homogénea de fluido en equilibrio de altura h, por efectode la fuerza de gravedad.

Figura (1.9): Presión medida desde la superficie libre de un fluido

ph = �gh = h (1.24)

Para las situaciones ordinarias de un líquido en un recipiente abierto (como el aguade una piscina, un lago o el océano) existe una superficie libre en la parte superior, porlo tanto, es conveniente medir las distancias desde esta superficie, es decir, hacemosque h sea la profundidad en el líquido como se muestra en la figura 1.9 donde pB = porepresenta la presión debida a la atmósfera de encima. Entonces,

p = po + �gh (1.25)



En estas circunstancias, a la diferencia p � po, o lo que es lo mismo �gh, se ledenomina presión manométrica y p se denomina presión absoluta.

Su nombre proviene de los manómetros ya que, como vimos en la sección 1.4, estasería justametnte la que mediría un instrumento de este tipo.

Ejemplo 1.13: Una piscina tiene un fondo inclinado de modo que en un extremo laprofundidad es de 3; 5 m y en el otro de 1 m. La piscina tiene 15 m de largo y 7 mde ancho. Hallar la fuerza total sobre el fondo.

Solución: La situación está representada en la figura 1.10.

Figura (1.10): Ejemplo 1.13: Cálculo de la fuerza total sobre el fondo de una piscina con fondo inclinado.

Si tomamos como base la cara abcd que es un trapecio, entonces el volumen interiorde la piscina de largo L y ancho A vendrá dado por,

V =(h1 + h1)L

2A (1)

Ahora bien, la fuerza F total sobre el fondo de la piscina no es más que el peso wdel líquido contenido en ella. Este peso, vendrá dado por,

w = mg = F (2)

pero según (1.1),m = �V (3)

entonces, al sustituir (1) en (3) y el resultado obtenido en (2),

F = �g(h1 + h1)L

2A (4)

que al sustituir los valores respectivos resulta,

F = 1:103Kg

m3:9; 8

m

s2:(1m+ 3; 5m) :15m

2:7m

= 2315250 N



Ejemplo 1.14: Un tanque en forma de paralelepípedo de 10 x 15 cm de sección rectay 30 cm de altura, está lleno de gasolina. Calcular la presión y la fuerza sobre elfondo del tanque. Se sabe que el tanque está sellado y que la densidad de lagasolina es 0; 68 g=cm3.

Solución: Como el tanque está sellado po = 0, por lo tanto, a partir de (1.25),lapresión sobre el fondo será,

p = �gh = 0; 68g

cm3:980

cm

s2:30 cm = 19992

dinas

cm2

Por otro lado, La superficie S del fondo del tanque vendrá dada por,

S = 10 cm:15 cm = 150 cm2

que al introducirla en (1.9), resulta,

F = pS = 19992dinas

cm2:150 cm2 = 3:106 dinas

Es fácil mostrar que esta fuerza corresponde al peso del volumen de gasolina con-tenido en el tanque (ejercicio).

Ejemplo 1.15: Calcular la presión necesaria en un sistema de alimentación de aceiteque ha de elevarse 25; 5 m en vertical. Densidad del aceite 3; 12 g

cm3 .

Solución: Al usar (1.25) con po = 0,

p = �gh = 3; 12g

cm3:980

cm

s2:25; 5:102cm

= 7; 79:106dinas

cm2

Ejemplo 1.16: La sección recta de un pistón de una bomba es de 35 cm2. Hallar lafuerza que se debe aplicar para elevar gasolina a 42m de altura. La densidad dela gasolina es 0; 68 g=cm3. Resp.: 135 Kp.

Solución: A partir de (1.9),

p =F

Sy a partir de (1.25) con po = 0,

p = �gh

que al igualarlas resulta,F

S= �gh) F = �ghS

entonces,F = 0; 68

g

cm3:980

cm

s2:42:102cm:35cm2 = 1; 08:107 dinas



Ejemplo 1.17: ¿Cuál es la presión a 1 m de la superficie del océano?. Densidad delagua de mar 1; 03:103 Kg=m3 y que po = 1; 01:105 Pa es la presión atmosférica en lasuperficie del océano.

Solución: Al usar (1.25) se obtiene,

p = po + �gh = 1; 01:105Pa+ 1; 03:103

Kg

m3:9; 8

m

s2:1m

= 1; 01:105Pa+ 1; 00:105Pa = 2; 01:105Pa

Ejemplo 1.18: Una columna de mercurio en un tubo vertical abierto en su extremoinferior está en una cubeta abierta de mercurio. La columna está cerrada en suextremo superior, después de evacuar todo el aire de la parte vacía; creandouna región al vacío. ¿Cuál es la altura H de la columna de mercurio?. Densidaddel mercurio 13; 6:103 Kg=m3 y presión atmosférica 1; 01:105 Pa.

Figura (1.11): Ejemplo 1.18: Columna de mercurio en un tubo vertical abierto en su extremo inferior enuna cubeta abierta de mercurio.

Solución: Al usar (1.22), con pA = p1, pB = p2 y h = H, se obtiene,

p1 = p2 + �gH ) H =p1 � p2�g

pero p2 = 0, puesto que hemos evacuado todo el aire en este punto y p1 es la presiónatmosférica, entonces,

H =1; 01:105Pa

13; 6:103Kgm3 :9; 8

ms2

= 0; 76 m

Ejemplo 1.19: Un depósito cúbico, sellado, de 1; 5m de arista está lleno de agua. Hallarla fuerza que se ejerce (a) sobre el fondo y (b) sobre una de las caras laterales.

Solución:



(a) La presión ejercida sobre el fondo viene dada por (1.25) con po = 0,

p = �gh (1)

la superficie del fondo, por ser cuadrada,

S = L2 (2)

donde L es la arista del cubo, y la fuerza por (1.9),

F = pS (3)

Ahora, al sustituir (1) y (2) en (3),

F = �ghS = �gL3 (4)

= 1:103Kg

m3:9; 8

m

s2: (3m)3 = 264600 N

(b) La figura 1.12 muestra una de las caras del cubo, en la cual se ha dibujado unelemento de superficie dS que viene dado por,

Figura (1.12): Ejemplo 1.19: Cálculo de fuerzas en un depósito cúbico.

dS = Ldz (5)

y además,de (1.8),

p =dF

dS(6)

por lo tanto,dF = pLdz (7)

y de (1.21),

dz = �dp�g

(8)



Ahora, al sustituir (8) en (7) se obtiene,

dF = � L�gpdp (9)

que al ser integrada, Z F

0

dF = � L�g

Z 0

�gL

pdp

F =L

�g

Z �gL

0

pdp

F =L

�g

(�gL)2

2

F =1

2�gL3 (10)

que al comparar con (4), nos damos cuenta que es su mitad, por lo tanto,

F = 132300 N

es la fuerza sobre una de sus caras.

1.8.2 Con la altura (medida de la presión atmosférica)

Si suponemos que la densidad � es proporcional a la presión en la atmósfera te-rrestre,

�

�o=p

po(1.26)

(Ley de Boyle pV =ctte 2) con �o = 1; 20 Kg=m3 (a 20 oC) y po = 1; 01:105 Pa la densidaddel aire y la presión atmosférica al nivel del mar respectivamente, se puede tener unaidea razonable de la variación de la presión con la altura (ecuación barométrica).Usando esta suposición y la de que se pueden despreciar las variaciones de g con laaltura, podemos encontrar la presión p a una altura y por encima del nivel del mar,encontrándose que:

p = p0e�g �0p0

!z

(1.27)

donde z es la altura sobre el nivel del mar, �0 y p0 son la densidad y la presión atmos-

férica a nivel del mar respectivamente, siendo g��0p0

�= 0; 116 Km�1 y p0 = 1 atm. De

esta manera (1.27) queda como,

p = p0e�0;116Km�1z (1.28)

2 En [7] pág. 345, se presenta un estudio más detallado de esta Ley.



Ejemplo 1.20: Encuentre la altura a la cual la presión atmosférica es de 0; 5 atm.

Solución: Al usar (1.28) resulta,

p = p0e�0;116Km�1z ) ln

�p

p0

�= �0; 116Km�1z ) z = �

ln�pp0

�0; 116Km�1

) z = �ln�0;5 atm1 atm

�0; 116Km�1 ) z = 5; 98 Km

Ejemplo 1.21: Encuentre el valor de la presión atmosférica a una altura de 3000 m.


p = p0e�0;116Km�1z = 1 atm e�0;116Km

�1:3 Km

= e�0;348 atm = 0; 706 atm

Ejemplo 1.22: Calcular la fuerza que ejerce la atmósfera terrestre sobre un cuerpocuya sección transversal es de 10 m2 a una altura de 5 Km sobre el nivel del mar.


p = p0e�0;116Km�1z = 1 atm e�0;116Km

�1:5 Km

= e�0;58 atm = atm

y ahora de (1.9),

F = pS = :10m2 = Pa

1.9 Vasos comunicantes

Con el término de vasos comunicantes se entiende un sistema de recipientesunidos entre sí mediante conductos y que presentan hacia el exterior dos o másaberturas, no pequeñas, de manera tal que los efectos de capilaridad sean despre-ciables.

Un vaso comunicante típico es el tubo en forma de U mostrado en la figura 1.13.


1.9. VASOS COMUNICANTES

Figura (1.13): Vasos comunicantes en forma de U

Supongamos inicialmente que este tubo está parcialmente lleno de un líquido 1 dedensidad �1; luego vertimos otro líquido 2 de densidad �2 por uno de los lados hastaque queda a una distancia d sobre el nivel del líquido 1.

Los puntos sobre C están a la misma presión (¿por qué?), por lo tanto, la disminuciónde la presión desde C en cada superficie es la misma, puesto que, cada superficie estáa la presión atmosférica (los extremos están descubiertos). De todo esto podemosescribir:

h1h2=�2�1

(1.29)

En un sistema de vasos comunicantes, con líquidos en equilibrio, las alturasalcanzadas por éstos son inversamente proporcionales a las densidades de loslíquidos.

Al anterior enunciado se le conoce como la ley de los vasos comunicantes.

La ecuación (1.29) puede ser escrita en función de los pesos específicos al usar(1.4), resultando,

h1h2= 2 1

(1.30)

Ejemplo 1.23: En un tubo en forma de U hay dos líquidos no miscibles que alcanzanalturas de 14 cm y 9 cm, respectivamente. Si el más denso tiene un peso específicode 1; 3 p=cm3, calcular el peso específico del más liviano.

Solución: Al usar (1.30), siendo h1 = 9 cm, h2 = 14 cm y 1 = 1; 3 p=cm2, se obtiene,

2 =h1h2 1 =

9cm

14cm:1; 3

p

cm3= 0; 83

p

cm3



Ejemplo 1.24: Se dispone de un tubo en forma de U, cuyas ramas tienen seccionesiguales a 5 cm2. En una de las ramas hay mercurio cuyo peso específico es 13; 6p=cm3 y en la otra 250 cm3 de agua de peso específico 1 p=cm3. Calcular la dife-rencia de niveles entre las dos columnas.

Solución: Sean 1, h1 el peso específico y la altura de la columna de mercurio res-pectivamente; y 2, h2 lo mismo pero para la columna de agua entonces, según (1.30),

h1h2= 2 1

(1)

La altura h2 vendrá dada por,

V2 = Sh2 ) h2 =V2S=250cm3

5cm2= 50 cm (2)

donde V2 es el volumen de agua y S es la sección del tubo. Al sustituir (2) en (1), seobtiene,

h1 = 2 1h2 =

1 pcm3

13; 6 pcm3

50 cm = 3; 70 cm

entonces, la diferencia de niveles d vendrá dada por,

d = h2 � h1 = 50 cm� 3; 70 cm = 46; 3 cm

Ejemplo 1.25: Se vierten mercurio y agua por un tubo en forma de U de sección trans-versal 2 cm2. Si se vierten 163; 2 cm3 de agua y a continuación cierta cantidad demercurio, como se señala en la figura 1.14, calcular la diferencia de niveles entrelos líquidos.

Figura (1.14): Ejemplo 1.25: Tubo en forma de U con agua y mercurio.


1.9. VASOS COMUNICANTES

Solución: Si el subíndice 1 es para el mercurio y el 2 para el agua, entonces la alturade la columna de agua vendrá dada por:

V2 = Sh2 ) h2 =V2S=163; 2 cm3

2 cm2= 81; 6 cm

entonces, al usar (1.29), se obtiene,

h1h2=�2�1) h1 = h2

�2�1= 81; 6 cm

1 gcm3

13; 6 gcm3

= 6 cm

por lo tanto, la diferencia de niveles d vendrá dada por,

d = h2 � h1 = 81; 6 cm� 6 cm = 75; 6 cm

Ejemplo 1.26: Un tubo en U simple contiene mercurio. Cuando en su rama derecha sevierten 13; 6 cm de agua, ¿a qué altura se eleva el mercurio en el brazo izquierdoa partir de su nivel inicial?. Densidad del mercurio 13; 6 g=m3.

Solución: La figura 1.15(a) muestra el tubo en forma de U cuando contiene sólomercurio y la figura 1.15(b) cuando se ha vertido agua en él.

Figura (1.15): Ejemplo 1.26: Cálculo de niveles en un tubo en forma de U con agua y mercurio.

Es fácil notar que la altura a la cual se eleva el mercurio con respecto a su nivel enla figura 1.15(a) es,

h =hHg2

(1)

donde hHg es la altura de la columna de mercurio con respecto al eje que pasa por lainterface como se muestra en la figura 1.15(b).

hHghH2O

=�H2O�Hg

) hHg =�H2O�Hg

hH2O (2)



Ahora bin, al sustituir (2) en (1) nos queda,

h =1

2

�H2O�Hg

hH2O (3)

y al sustituir los valores correspondientes,

h =1

2

1 gcm3

13; 6 gcm3

13; 6 cm = 0; 5 cm

1.10 Teorema de Pascal

1.10.1 Enunciado

Las ecuaciones fundamentales de la hidrostática (1.13) fueron obtenidas para unafuerza de volumen cualquiera, que en el caso particular de la fuerza de gravedad(fuerza conservativa) se reducen al sistema (1.20).

En el caso en el cual la fuerza de volumen dada por (1.5),

d�!F V =

�!Gdm (1.31)

sea una fuerza conservativa cualquiera, las componentes de�!G pueden ser escritas

como, 8>>>><>>>>:Gx = �

@U

@x

Gy = �@U

@y

Gz = �@U

@z

(1.32)

donde U = U(x; y; z) es la función potencial (energía potencial por unidad de masa).Por ejemplo, en el caso particular de la fuerza de gravedad, como vimos antes,

�!G = (0; 0;�g) (1.33)

se obtiene, a partir de (1.32),

U(x; y; z) = U(z) = gz + ctte (1.34)

que no es más que el conocido potencial gravitatorio.

Las ecuaciones fundamentales de la hidrostática (1.13), pueden ser escritas, usando(1.32), como, 8>>>><>>>>:

@p

@x= �Gx = ��

@U

@x@p

@y= �Gy = ��

@U

@y@p

@z= �Gz = ��

@U

@z

(1.35)


1.10. TEOREMA DE PASCAL

Estas ecuaciones nos permiten encontrar la diferencia de presión existente entreel punto P � (x; y; z) y el punto Q � (x+ dx; y + dy; z + dz) en términos de la variacióncorrespondiente de energía potencial, de la siguiente manera,

dp = p (x+ dx; y + dy; z + dz)� p (x; y; z)

=@p

@xdx+

@p

@ydy +

@p

@zdz

= ��@U@xdx� �@U

@ydy � �@U

@zdz

= ��dU

de aquí que,dp = ��dU (1.36)

En el interior de un fluido homogéneo (densidad constante), la diferencia de presiónentre dos a y b puntos a distancia finita puede ser obtenida integrando (1.36) comosigue, Z b

a

dp = ��Z b

a

dU ) pb � pa = �� (Ub � Ua)

) �p = ��U (1.37)

concluyéndose, que para una fuerza de volumen conservativa,

En un fluido homogéneo, las superficies isobáricas �p = 0 coinciden con lassuperficies equipotenciales �U = 0.

Esta propiedad generaliza el caso particular, ya visto, de la fuerza de gravedad,para el cual los planos horizontales (equipotenciales) eran isobáricos.

Una consecuencia de (1.36) es el denominado teorema de Pascal que se enunciaasí:

En un fluido homogéneo en reposo, un incremento de presión, producidoen un punto cualquiera del fluido (líquido o gas), se transmite inalterado a cual-quier otro punto del fluido.

A partir de (1.36) se deduce que, en un campo conservativo, la diferencia de pre-sión4p entre dos puntos de un fluido homogéneo en reposo depende de la diferencia4U de energía potencial de la fuerza de volumen entre los dos puntos. Pero 4U de-pende sólo de las coordenadas espaciales y por lo tanto, en particular, no dependede la fuerza de superficie, por consiguiente ninguna presión adicional puede hacervariar 4p: En otras palabras, el fluido realiza una transmisión hidráulica total de la pre-sión ejercida sobre su superficie.



Ejemplo 1.27: El cuello de un matraz tiene una sección transversal de 3 cm2 y el fondode 36 cm2. Si se llena totalmente con agua y se trata de introducir un corchoempleando una fuerza de 9 Kp. ¿Cuál es la fuerza sobre el fondo adicional a laya aplicada por el fluido que contiene?.(ver figura 1.16).

Figura (1.16): Ejemplo 1.27: Cáculo de la fuerza sobre el fondo de un matraz lleno de agua.

Solución: Aquí intervienen dos presiones, la presión debida al agua contenida enel matraz y la presión originada al introducir el corcho. Estamos interesados en éstaúltima.

Al usar (1.9), la presión p en el cuello del matraz originada por el corcho, viene dadapor,

p =F

S=9 Kp

3 cm2= 3

Kp

cm2

De acuerdo con el teorema de Pascal este incremento de presión se transmiteinalterado a todos los puntos del fluido. Por lo tanto, según (1.9), la presión p0 sobre elfondo del matraz es,

p0 = p =F 0

S 0) F 0 = pS 0 = 3

Kp

cm2:36cm2 = 108 Kp

Si se quiere hallar la fuerza total sobre el fondo, entonces debe sumarse la fuerzadebida al fluido que contiene.

Ejemplo 1.28: La sección interna del cuello de una botella mide 4 cm2 y la sección dela base mide 50 cm2. Está totalmente llena con un fluido de densidad igual a 1; 09g=cm3. Para taparla con un tapón hay que aplicar una fuerza de 2Kp. Calcular la


1.10. TEOREMA DE PASCAL

fuerza total que actúa sobre la base de la botella supuesta en posición vertical,sabiendo que la distancia desde el tapón hasta la base es de 30 cm.

Solución: Aquí intervienen dos presiones, la presión pf debida a la columna defluido sobre la base de la botella y la presión pt originada por el tapón que, según elteorema de Pascal, se trasmite a todo el fluido con la misma intesidad.

La pf la encontramos al usar (1.25),

pf = po + �fgh

pero po = 0 (la presión atmosférica no actúa sobre la superficie del fluido por estartapada la botella), entonces,

pf = �fgh = 1; 09g

cm3:980

cm

s2:30 cm = 32046

din

cm2

y la presión pt por (1.9), que calculamos en el cuello,

pt =Ft

Scuello=2:9; 8:105 din

4 cm2= 490000

din

cm2

la cual te trasmite íntegramente hasta el fondo de la botella.

Por lo tanto, la presión total pT sobre el fondo de la botella es,

pT = pf + pt = 32046din

cm2+ 490000

din

cm2= 522046

din

cm2

y de aquí que, al usar (1.9), la fuerza total FT sobre el fondo sea,

FT = pTSfondo = 522046din

cm2:50cm2 = 26102300 din

= 26; 635 Kp

1.10.2 Prensa hidráulica

Existen numerosos aparatos que aprovechan este teorema, entre ellos está la lla-mada Prensa Hidráulica. La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamentaldel principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su signifi-cado.

La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca deArquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye elfundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráuli-cos de la maquinaria industrial. Consiste, en esencia, (ver figura 1.17) en doscilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está com-pletamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite.



Figura (1.17): Prensa hidráulica

Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada unode los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobreel émbolo de menor sección Si se ejerce una fuerza Fi la presión pi (el subíndice i

representa las catidades que llamaremos de entrada) que se origina en el líquido encontacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto dellíquido, de modo que, si las mismas cantidades se representan mediante el subíndiceo (el subíndice o representa las catidades que llamaremos de entrada) para el émbolode mayor sección, podemos escribir:

pi = po (1.38)

FiSi=FoSo

(1.39)

o finalmente,

SoSi=FoFi

(1.40)

A la cantidad FoFi

se le denomina ganancia mecánica de la prensahidráulica y es igual a la razón de las superficies.

Ejemplo 1.29.: Las secciones transversales de los émbolos de una prensa hidráulica son1200 cm2 y 30 cm2. Si se aplica al émbolo más pequeño una fuerza de 10 Kp, ¿cuáles la fuerza resultante sobre el otro émbolo?, ¿Cuál es su ganancia mecánica?.


1.11. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Solución:

FoSo=FiSi) Fo = Fi

SoSi= 10Kp

1200 cm2

30 cm2= 400 Kp

ganancia mecánica =SoSi=1200 cm2

30 cm2= 40

lo que significa que la fuerza aplicada sobre el émbolo menor será multiplicada por40.

Ejemplo 1.30: El émbolo grande de una prensa hidráulica tiene un radio de 50 cm ¿quéfuerza debe aplicarse al émbolo pequeño de radio 4; 5 cm para elevar un cochede masa 4800 Kg?.

Solución: Si rg y rp son los radios del émbolo grande y del pequeño respectivamente,estonces sus secciones transversales serán,

Sg = �r2g (1)

Sp = �r2p (2)

y de (1.40),SgSp=FgFp) Fp =

SpSgFg (3)

Por último, al sustituir (1) y (2) en (3),

Fp =�r2p�r2g

Fg =

�rprg

�2Fg (4)

y como Fg es el peso que va a elevar el émbolo grande, es decir,

Fg = 4800 Kg:9; 8m

s2= 47040 N

entonces,

Fp =

�4; 5 cm

50 cm

�2:47040 N = 381; 024 N

1.11 Principio de Arquímedes

1.11.1 Enunciado

El Principio de Arquímedes se enuncia como sigue:



Un cuerpo inmerso total o parcialmente recibe, en un campo gravitatorio,un empuje

�!E (empuje de Arquímedes) vertical orientado hacia arriba, cuyo

módulo es igual a la fuerza peso de la masa fluida desalojada y cuyo punto deaplicación coincide con el centro de gravedad de la masa fluida del cuerpo.

Consideremos el cilindro mostrado en la figura 1.18, el cual se encuentra sumergidototalmente en un fluido de densidad �f que está contenido en un recipiente que estásometido a una presión externa po. La base y la tapa poseen un área S y están sepa-radas por una altura h: El fluido ejerce una presión, según (1.22), dada por,

p1 = po + �fgh1 (1.41)

contra la tapa del cilindro, y la fuerza debida a esta presión es:

Figura (1.18): Determinación del empuje�!E de Arquímedes.

F1 = p1S =�po + �fgh1

�S (1.42)

dirigida hacia abajo. De manera análoga, es trivial encontrar que la fuerza F2 sobre elfondo del cilindro viene dada por,

F2 =�po + �fgh2

�S (1.43)

dirigida hacia arriba. La fuerza resultante debida a la presión del fluido, que es elempuje de Arquímedes

�!E ; actúa hacia arriba y tiene una magnitud,

E = F2 � F1 = �fgV (1.44)

o también, al usar (1.4), podemos escribir,

E = f V (1.45)



donde V = Sh es el volumen del cilindro puesto que está completamente sumergidoo el volumen de la parte sumergina si estuviera parcialmente sumergido.

Para un cuerpo cualquiera, V corresponde al volumen de fluido desalojadopor la parte del cuerpo sumergida o la totalidad de su volumen si está comple-tamente sumergido.

Como �f es la densidad del fluido, el producto �fgV = mfg es el peso del fluidoque tiene un volumen igual al del cilindro, de este modo, la fuerza de empuje sobre elcilindro es igual al peso del fluido que éste desaloja. El resultado se cumple indepen-dientemente de la forma del objeto y notemos que no depende de la acción externadebida a po.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas el empuje y el peso del cuerpo, queno tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto (ver figura1.19).

Figura (1.19): Empuje vs Peso de un cuerpo.

En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos ypor tanto coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.

A la diferencia entre el peso real w = mg de un cuerpo y el empuje originadopor un fluido en el cual se encuentra inmerso, se le denomina peso aparente wade dicho cuerpo,

wa = w � E (1.46)

El aire es un fluido y también ejerce una fuerza de empuje. Los objetos comunespesan menos en el aire que cuando están en el vacío. Debido a que la densidad delaire es muy pequeña, el efecto para los sólidos comunes es apenas perceptible. Sin



embargo, existen ciertos objetos que flotan en el aire, por ejemplo los globos llenos dehelio.

1.11.2 Equilibrio de los cuerpos sumergidos

De acuerdo con el principio de Arquímedes:

Para que un cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio, la fuerzade empuje E y el peso w han de ser iguales en magnitudes y, además, han deaplicarse en el mismo punto.

En tal caso la fuerza resultante R es cero y también lo es el momento � , con lo cualse dan las dos condiciones de equilibrio. La condición E = w equivale de hecho aque las densidades del cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio delcuerpo sumergido es indiferente.

Si el cuerpo no es homogéneo, el centro de gravedad no coincide con elcentro geométrico, que es el punto en donde puede considerarse aplicada lafuerza de empuje. Ello significa que las fuerzas E y w forman un par que harágirar el cuerpo hasta que ambas estén alineadas.

1.11.3 Equilibrio de los cuerpos flotantes

Si un cuerpo sumergido sale a flote es porque el empuje predomina sobre el peso(E > w) (ver figura 1.20).

En el equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán alineadas;tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas, por ejemplo.

Figura (1.20): (a) un cuerpo asciende en el seno de un líquido cuando el empuje es mayor que su peso;(b) pero, a medida que emerge, el empuje dismiuye. Entonces (c) cuando las dos fuerzas son de igualmódulo, el cuerpo flota.



Si por efecto de una fuerza lateral, como la producida por un golpe de una olaen el mar, el eje vertical del navío se inclinara hacia un lado, aparecerá un par defuerzas que harán oscilar el barco de un lado a otro. Cuanto mayor sea el momento� del par, mayor será la estabilidad del navío, es decir, la capacidad para recuperarla verticalidad. Ello se consigue diseñando convenientemente el casco y repartiendola carga de modo que rebaje la posición del centro de gravedad, con lo que seconsigue aumentar el brazo del par.

En general, un objeto flota en un fluido si su densidad es menor que la deéste.

Ejemplo 1.31.: Una pieza fundida pesa 40 Kp y ocupa un volumen de 5 dm3. Por mediode una cuerda se suspende en un líquido de densidad relativa 0; 76. Hallar elempuje de Arquímedes y la tensión de la cuerda.

Solución:

Figura (1.21): Ejemplo 1.31. Empuje sobre un cuerpo sumergido, suspendido mediante una cuerda.

El empuje de Arquímedes viene dado por,

E = �fgV = �R�H2OgV

= 0; 76:1:103Kg

m3:9; 8

m

s25:10�3 m3

= 37; 24 N = 3; 8 Kp

La tensión T de la cuerda vendrá dada por el peso aparente del cuerpo en el agua(ver figura 1.21), por lo tanto,



Figura (1.22): Ejemplo 1.32: Tina rectangular hecha de una capa delgada de cemento que flota en unlago.

T = wa = w � E = 40 Kp� 3; 8 Kp = 36; 2 Kp

Ejemplo 1.32.: Una tina rectangular hecha de una capa delgada de cemento tieneuna longitud L = 1 m, ancho a = 80 cm y profundidad d = 60 cm; su masa esM = 200 Kg. La tina flota en un lago, ¿cuántas personas de 80 Kg de masa cadauna pueden estar en la tina sin que esta se hunda?.

Solución: La situación planteada en el problema se representa en la figura 1.22. Simp es la masa de cada persona, entonces el peso total wT de n personas vendrá dadopor,

wT = nmpg (1)

y el peso wtin de la tina por,wtin =Mg (2)

entonces, el peso total w de la tina más las n personas será,

w = wtin + wT =Mg + nmpg (3)

y además, el empuje E originado por el volumen de agua desplazada VH2O, según(1.44), viene dado por,

E = �H2OgVH2O (4)

Vayámonos al caso límite. La mayor cantidad de agua que puede desplazar latina es cuando se hunde hasta su borde. En este cado VH2O = adL, por lo tanto (4) lapodemos escribir como,

E = �H2OgadL (5)

Para que la tina quede en equilibrio, debe cumplirse que w = E. Entonces, de (3) y(5),

Mg + nmpg = �H2OgadL

n =�H2OadL�M

mp



y al sustituir los valores correspondientes,

n =1:103Kg

m3 :0; 8 m:0; 6 m:1 m� 200 Kg80 Kg

= 3; 5

es decir, 3 personas.

Ejemplo 1.33.: Hallar la fracción de volumen que se sumergirá al flotar en bromo untrozo de magnesio. La densidad del bromo es 3; 12 g=cm3 y la del magnesio 1; 76g=cm3.

Solución: La masa mMg del trozo de magnesio, según (1.1), viene dada por,

mMg = �MgVMg (1)

donde �Mg y VMg son la densidad y el volumen total del trozo de magnesio respectiva-mente. Entonces su peso wMg es,

wMg = mMgg = �MggVMg (2)

Por otro lado, al usar (1.44), el empuje E originado por el bromo será,

E = �BrgVMg(s) (3)

donde �Br y VMg(s) son la densidad del bromo y el volumen del trozo de magnesio quese encuentra sumergido (que corresponde al volumen de bromo desalojado). Ahorabien, cuando el trozo de magnesio flota, debe cumplirse que wMg = E. Por lo tanto,de (2) y (3) se obtiene,

�MggVMg = �BrgVMg(s)

VMg(s)

VMg

=�Mg

�Br

que es la fracción de volumen pedida. Al sustituir los valores correspondientes,

VMg(s)

VMg

=1; 76 g

cm3

3; 12 gcm3

= 0; 564

que representa un 56; 4 %.

Ejemplo 1.34.: Una esfera metálica pesa 29; 4 N en el aire y 18; 5 N en el agua. ¿Cuáles su densidad?.



Solución: Si we = 29; 4 N es el peso real de la esfera (que es igual a su peso real,puesto que, el aire ejerce un empuje despreciable) waH2O = 18; 5N es su peso aparenteen el agua, entonces de (1.46) podemos escribir,

waH2O = we � E (1)

Por otro lado, el empuje de Arquímedes E que ejerce el agua sobre la esferametálica viene dado (con �f igual a la densidad del agua �H2O), según (1.44), por,

E = �H2OgV (2)

donde V es el volumen de fluido (agua) desalojado por la esfera, que como estácompletamente sumergida, es igual a su volumen Ve. Por lo tanto, al sustituir (2) en (1),se obtiene,

waH2O = we � �H2OgVe

Ve =we � waH2O�H2Og

(3)

Por último, la densidad de la esfera la podemos encontrar usando (1.1), esto es,

�e =me

Ve(4)

y sustituyendo (3) en (4) resulta,

�e = �H2Omeg

we � waH2O(5)

pero meg = we, entonces,�e = �H2O

wewe � waH2O

(6)

que al sustituir los correspondientes valores, resulta,

�e = 1:103Kg

m3

29; 4N

29; 4N � 18; 5N = 2; 7:103Kg

m3

Ejemplo 1.35.: Un globo de plomo lleno de aire, con radio externo R = 0; 1 m, se en-cuentra totalmente sumergido en un tanque de agua. ¿Cuál es el espesor t dela capa de plomo, si el globo ni flota ni se hunde (se encuentra en equilibrio)?. Ladensidad del plomo es �Pb = 11; 3:103 Kg=m3.

Solución: En la figura 1.23 se muestra esquemáticamente la situación mostrada enel problema, donde r representa el radio interno del globo.



Figura (1.23): Ejemplo 1.35: Globo de plomo lleno de aire, con radio externo R, totalmente sumergidoen un tanque de agua.

El volumen del plomo VPb entre el radio exterior y el interior resulta de restarle elvolumen contenido hasta el radio interior Vint, del volumen contenido hasta el radioexterior Vext, por lo tanto,

VPb = Vext � Vint (1)

pero,

Vext =4

3�R3 (2)

Vint =4

3�r3 =

4

3� (R� t)3 (3)

entonces, al sustituir (2) y (3) en (1),

VPb =4

3�R3 � 4

3� (R� t)3 = 4

3��R3 � (R� t)3

�(4)

Con este volumen y la densidad del plomo, al usar (1.1), podemos calcular la masamPb del plomo como sigue [usando (4)],

mPb = �PbVPb =4

3��Pb

�R3 � (R� t)3

�(5)

y, por lo tanto, su peso wPb será [usando (5)],

wPb = mPbg =4

3��Pbg

�R3 � (R� t)3

�(6)

El peso del aire contenido en el globo es despreciable ¿por qué?.

Por otro lado, el empuje de Arquímedes E que ejerce el agua sobre el globo vienedado (con �f igual a la densidad del agua �H2O), según (1.44), por,

E = �H2OgV (7)



donde V es el volumen de fluido (agua) desalojado por el globo, que como estácompletamente sumergido, es igual a su volumen externo (V = Vext). Por lo tanto, alusar (2),

E = �H2OgVext =4

3��H2OgR

3 (8)

Ahora bien, como el globo se encuentra en equilibrio,

wPb = E (9)

entonces, al sustitur 6 y 8 en 9, obtenemos,

4

3��Pbg

�R3 � (R� t)3

�=

4

3��H2OgR

3

�Pb�R3 � (R� t)3

�= �H2OR

3

t = R

�1� 3

r1�

�H2O�Pb

�de aquí que,

t = 0; 1 m

1� 3

s1�

1:103Kgm3

11; 3:103Kgm3

!= 0; 003 m = 3 mm

1.12 Problemas

1. El patrón del kilogramo de masa está hecho de una aleación que consta del 90por 100 de platino y el 10 por 100 de iridio. Determinar la densidad de la aleacióny el volumen del patrón, considerando el volumen de la aleación igual a la sumade los volúmenes de las partes integrantes. Densidad del platino 2; 15:104 Kg=m3 ydensidad del iridio 2; 24:104 Kg=m3. Resp.: 2; 16:104 Kg=m3; 4; 62:10�5 m3.

2. Una aleación está compuesta por 2; 92 Kg de estaño y 1; 46 Kg de plomo. ¿Quédensidad tendrá la aleación si se considera que su volumen es igual a la suma delos volúmenes de las partes integrantes?. Resp.: 8; 3:103 Kg=m3.

3. Un cuerpo permanece en equilibrio en la zona de separación entre dos líquidos nomiscibles, de densidad �1 y �2 respectivamente (�1 < �2) ; con una fracción f2 de suvolumen total inmerso en el líquido 2. Mostrar que la densidad del cuerpo vienedada por: � = �1 + f2 (�2 � �1) : La fracción f2 = Vi

VTdonde Vi es el volumen inmerso

del cuerpo y VT es su volumen total.

4. Obtener la segunda y tercera de las ecuaciones (1.13).

5. Integrar (1.21), para obtener (1.22).


1.12. PROBLEMAS

6. Obtener (1.27).

7. Muestre que, en general, un objeto flota en un fluido si su densidad es menor que lade éste.

8. Hallar la densidad absoluta y relativa del alcohol etílico, sabiendo que 63; 3 g ocu-pan un volumen de 80; 0 cm3. Resp.: 0; 791 g=cm3, 0; 79L:

9. Calcular el volumen de 40 Kg de tetracloruro de carbono cuya densidad relativa esde 1; 60. Resp.: 25 L:

10. Calcular el peso de medio metro cúbico de aluminio cuya densidad relativa vale2; 70. Resp.: 1350 Kp:

11. Un bidón tiene capacidad para contener 110 Kp de agua o 72; 6 Kp de gasolina.Hallar:

11.1. La capacidad del bidón en m3. Resp.: 0; 11 m3.

11.2. la densidad de la gasolina en g=cm3, la densidad relativa de la gasolina. Resp.:0; 66g=cm3; 0; 66.

11.3. el peso específico en Kp=m3. Resp.: 660 Kp=m3.

12. El metal osmio, denso, y el butano líquido a la temperatura ambiente, ligero, tienendensidades relativas de 22; 5 y 0; 6, respectivamente. Calcular el peso específico delosmio en Kp=cm3 y la densidad del butano en Kp=L. Resp.: 2; 25:10�2 Kp=cm3; 0; 6Kp=L.

13. Un volumen de 0; 7752 m3 de aire pesa 1 Kp. Hallar la densidad del aire en g=cm3 yen g=L. Resp.: 1; 29:10�3-g=cm3 y 1; 29 g=L.

14. Una plancha de goma espuma, de 33 x 24 x 6; 40 cm, tiene una masa de 350 g. Unaesponja de celulosa, de 7 x 12 x 2; 5 cm, tiene 12 g dc masa. La lana de vidrio deuna balsa tiene un peso específico de 160 Kp=m3 y el corcho de los tapones 240Kp=m3. Hallar las densidades relativas de estos productos sintéticos y del corcho.Resp.: 0; 069; 0; 057; 0; 16, y 0; 24.

15. Un depósito cúbico de 3 m de lado está lleno de agua. Hallar la fuerza que seejerce sobre el fondo y sobre una de las caras laterales. Resp.: 2; 7:104 Kp; 1; 35:104

Kp.



16. Un profesor observa la “eterna negrura” del océano a 1000 m bajo la superficiea través de un ocular de cuarzo fundido de forma circular de 15 cm de diámetro.Calcular la fuerza que soporta el ocular a dicha profundidad. La densidad relativadel agua del mar es de 1; 03. Resp.: 18200 Kp.

17. Una esfera hueca de acero inoxidable, de 20 cm de radio, se evacúa, de modoque en su interior se haga vacío. (a)¿Cuál es la suma de las magnitudes de lasfuerzas que actúan tratando de comprimir la esfera?, (b) hay un agujero circular de4 cm de diámetro en un lado de la esfera, para tener acceso al interior, calcule lafuerza necesaria para jalar una placa plana y destapar el agujero, una vez hechoel vacío. ¿Piensa usted que podría quitar esa tapa tirando de ella?.Resp.: (a) 5; 1:104N ; (b) 1; 3:102 N que equivale a levantar 13 Kg..

18. Suponiendo que la atmósfera en la superficie del Sol tiene la misma presión que enla superficie de la Tierra, 1 atm, y sin tener en cuenta los efectos de la temperatura,¿cuál sería la altura de una columna de mercurio en un barómetro en el Sol?. Repitalo anterior para el planeta Marte, que tiene un valor en la superficie de g igual alde Mercurio. Para el Sol g = 274 m=s2, para Mercurio g = 3; 73 m=s2 y densidad delmercurio 13; 3:103 Kg=m3. Resp.: 0; 027 m y 2; 0 m.

19. En una cámara de presión para pruebas, una persona comienza a actuar enforma anormal cuando la presión manométrica es mayor que 40 lbf=pulg2. La pre-sión manométrica es la presión en exceso a la presión atmosférica. Es un efectobien conocido que limita la profundidad a la cual se zambullen los buzos sin es-cafandra, y a la que pueden respirar aire puro (de sus tanques de aire). En el aguade mar, cuya densidad es 1; 03 g=cm3, ¿a qué profundidad debe limitarse el buzo?.Resp.: 27; 3 m.

20. De una plancha rectangular de 50 x 100 cm y espesor uniforme se corta un cuadradode 25 cm de lado, cuyo centro se halla a 12; 5 cm por encima de la arista inferior de100 cm, Se sumerge la plancha verticalmente con las aristas de 100 cm paralelas ala superficie de manera que la arista superior queda a 6 m de la superficie libre deagua. Hallar la fuerza que actúa sobre la plancha. Resp.: 7970 Kp.

21. Un tanque en forma de paralelepípedo de 30 x 40 cm de sección recta y 20 cm dealtura, está lleno de agua. Calcular la presión y la fuerza sobre el fondo del tanque:

21.1. En unidades M.K.S.C. Resp.: 1; 96.103 N=m2; 2; 35:102 N .

21.2. en unidades C.G.S.S. Resp.: 1; 96:104 din=cm2; 2; 35:107 din.


1.12. PROBLEMAS

22. Un recipiente de forma cúbica, de 50 cm de arista, está cerrado por su parte su-perior. En una de sus caras laterales se coloca un tubo vertical con su centro a 30

cm del fondo. La altura de agua en el tubo, por encima del centro del orificio, esde 70 cm y la sección recta del tubo vale 100 cm2. Hallar la fuerza sobre cada cara,incluyendo la superior e inferior. Resp.: 1230 N sobre la cara superior, 2450 N sobrela inferior, 1760 N sobre la cara lateral que contiene el orificio para el tubo y 1840 Nsobre las demás caras.

23. Calcular la presión necesaria en un sistema de alimentación de agua que ha deelevarse 50 m en vertical. Resp.: 5:104 Kp=m2. o bien, 500 Kp=cm2.

24. La sección recta de un pistón de una bomba es de 45 cm2. Hallar la fuerza que sedebe aplicar para elevar agua a 30 m de altura. Resp.: 135 Kp.

25. El diámetro del pistón grande de una prensa hidráulica es de 60 cm y la secciónrecta del pistón pequeño de 5 cm2. Se aplica a este último pistón una fuerza de 50Kp; hallar la fuerza ejercida sobre el pistón grande. ¿Qué presiones se ejercen sobrecada pistón en Kp=cm2?. Resp.: 28260 Kp; 10 Kp=cm2.

26. Un depósito que contiene aceite de densidad relativa 0; 80 pesa 160 Kp al colo-carlo sobre una báscula. Se sumerge en el aceite, colgado de un hilo, un cubo dealuminio, de densidad relativa 2; 7 de 20 cm de arista. Hallar:

26.1. La tensión en el hilo. Resp.: 15; 2 Kp.

26.2. la lectura que indicaría la báscula. Resp.: 166; 4 Kp.

27. Para sumergir totalmente en agua y luego en aceite un bloque de madera, senecesitan aplicar fuerzas hacia abajo de 21 y 7 Kp, respectivamente, Si el volumendel bloque es de 85 dm3, hallar la densidad relativa del aceite. Resp.: 0; 835.

28. Hallar la aceleración del movimiento de una bola de hierro de densidad relativa7; 8:

28.1. Al caer por su propio peso en agua. Resp.: 8; 5 m=s2.

28.2. al elevarse cuando se la sumerge en mercurio de densidad relativa 13; 5. Resp.:7; 15 m=s2.

29. Un cubo de metal de 10 cm de arista pesa 7 Kp cuando se sumerge en agua.Calcular su peso aparente al sumergirlo en glicerina, cuya densidad relativa vale1; 26. Resp.: 6; 74 Kp.



30. Un globo tiene una capacidad de 1000 m3. Hallar su fuerza ascensional cuando sellena con gas helio. Peso específico medio del aire = 1; 29 Kp=m3, peso específicomedio del helio 0; 18 Kp=m3. Resp.: 1110 Kp.

31. Una pieza de aleación de magnesio pesa 0; 50 Kp en aire, 0; 30 Kp en agua y 0; 32Kp en benceno. Calcular la densidad relativa de la aleación y del benceno. Resp.:2; 5 y 0; 9.

32. Un resorte pesa 3; 572 p en aire y 3; 1468 p en agua. ¿De qué aleación, bronce olatón está constituido el resorte en cuestión? Las densidades relativas de ambasaleaciones son 8; 8 y 8; 4 respectivamente. Resp.: Latón.

33. Una pirámide metálica cuadrangular, cuya base mide 12 cm por lado, tiene 5; 5 Kgde masa. ¿Cuál es la presión que ejerce esta pirámide sobre la mesa en la quese encuentra?. Suponga que aumenta la temperatura ambiente y que el metal sedilata, ¿aumentará o disminuirá la presión como resultado de la dilatación?. Resp.:3; 7:103 N

m2 ; disminuye.

34. Hallar la fracción de volumen que se sumergirá al flotar en mercurio un trozo decuarzo. La densidad relativa del cuarzo es 2; 65 y la del mercurio 13; 6. Resp.: 0; 195.

35. Un cuerpo pesa 10 Kp en aire y 6 Kp en un líquido cuya densidad relativa vale 0; 8.Hallar la densidad relativa del cuerpo. Resp.: 2.

36. Sobre un cubo de madera, flotando en agua, se coloca un bloque de 0; 2 Kp. Alretirar el bloque, el cubo se eleva 2 cm. Calcular la arista de dicho cubo. Resp.: 10cm.

37. Un corcho pesa 0; 5 p en aire. Un plomo pesa 8; 6 p en agua. El corcho se une alplomo y el conjunto pesa 7; 1 p en agua. Calcular la densidad relativa del corcho.Resp.: 0; 25.

38. Un hombre y una piedra están en una balsa que flota en una piscina de 10 m delargo por 7 m de ancho. La piedra pesa 35 Kp y tiene una densidad relativa de 2; 5.Si el hombre arroja la piedra fuera de borda, ¿en cuánto se elevará el nivel de aguade la piscina por el cambio que se ha experimentado?. Se desprecia la superficiede la balsa. Resp.: 0; 35 mm.

39. Se coloca un cubo de hielo en un vaso con agua, ¿qué fracción del cubo sobre-sale del nivel del agua? (�hielo = 917 Kg=m3 y �agua = 1:103 Kg=m3). Resp.: 8; 3%.


1.12. PROBLEMAS

40. Hallar a qué altura la presión atmosférica es 1=5 de la presión a nivel del mar. Resp.:13; 9 Km.

41. Un trozo de aluminio se suspende de una cuerda y después se sumerge por com-pleto en un recipiente con agua. La masa del aluminio es 1; 0 Kg y su densidad es2; 7.103 Kg=m3. Calcule la tensión en la cuerda antes y después de que se sumergeel aluminio. Resp.: 9; 8N antes y 6; 2N después.

42. Disponemos de una plancha de cierto material de 1 dm de espesor. Calcular lasuperficie mínima que se debe emplear para que flote en agua, sosteniendo a unnaufrago de 70 Kg. La densidad del material es de 0; 3 g=cm3. Nota: entendemospor superficie mínima la que permite mantener al hombre completamente fueradel agua aunque la tabla esté totalmente inmersa en ella. Debe considerarse elpeso de la plancha y del naufrago. Resp.: 1 m2.

43. Un cable anclado en el fondo de un lago sostiene una esfera hueca de plásticobajo su superficie (ver fig. 1.24). El volumen de la esfera es V = 0; 3m3 y la tensión delcable 900 N . (a) ¿Qué masa tiene la esfera?, (b) El cable se rompe y la esfera subea la superficie. Cuando está en equilibrio, ¿qué fracción del volumen de la esferaestará sumergida?. Densidad del agua de mar 1; 03 g=cm3. Resp.: (a) 217; 2 Kg; (b)70%.

Figura (1.24): Problema 43: Cable anclado en el fondo de un lago que sostiene una esfera hueca deplástico bajo su superficie.

44. El depósito de la figura 1.25 contiene agua. (a) Si abrimos la llave de paso, ¿quéaltura tendrá el agua en cada lado del depósito cuando se alcance el equilibrio?,(b) ¿qué cantidad de agua pasará de un recipiente al otro hasta que se alcance



el equilibrio?. Resp.: (a) 553m (izquierda) y 25

3m (derecha); (b) 33; 33 (de la derecha al

de la izquierda).

Figura (1.25): Problema 44: Dos depósitos que contienen agua y que están unidos mediante un con-ducto que puede abrirse o cerrarse mediante una llave.

45. Un recipiente tiene la forma de un prisma de base cuadrada de 10 cm de lado.Contiene mercurio hasta una altura de 8 cm. y encima del mismo, agua hasta unaaltura de 10 cm. sobre el mercurio. Calcular la presión manométrica y la fuerza totalsobre el fondo. También la presión en un punto a 4m, 8 cm, 13 cm y a 18 cm del fondo.Resp.: 113; 8 p=cm2; 11; 88 Kp; 64; 4 p=cm2; 5 p=cm2; 0.

46. Un tanque rectangular lleno de agua tiene 6 m de largo, 4 m de ancho y 5 m deprofundidad. Calcular la fuerza total sobre el fondo y sobre cada pared. Resolverel mismo problema suponiendo que la superficie del agua se encuentra a 50 cm delborde del tanque. Resp.: 1; 2:105 Kp; 5:104 Kp; 7; 5:104 Kp.

47. El tanque del problema anterior está tapado herméticamente. En su tapa se hahecho un orificio y se ha ajustado en el mismo un tubo vertical de 6 m de largo, demodo que el tanque y el tubo están llenos de agua. Calcular la fuerza total sobreel fondo, sobre cada pared y sobre la tapa. Resp.: 2; 64:105 Kp; 1; 70:105 Kp; 2; 55:105

Kp; 1; 44:105 Kp.

48. Una piscina tiene un fondo inclinado de modo que en un extremo la profundidades de 3 m y en el otro de 1; 2 m. La piscina tiene 25 m de largo y 10 m de ancho.Hallar la fuerza total sobre el fondo. Resp.: 5; 25:105 Kp.

49. Una represa tiene un muro de contención de 50 m de altura estando el nivel delagua a 1 m del borde. En la base del muro hay una compuerta rectangular de 4 m


1.12. PROBLEMAS

de altura y 5 m de ancho. Qué fuerza debe ejercerse sobre la compuerta para queel agua no la abra? Resp.: 9; 40:105 Kp.

50. Un pedazo de metal pesa 180 p en el aire y 140 p en el agua. ¿Cuál es el volumeny la densidad del metal?. Resp.: 40 cm3; 4; 5 g=cm3.

51. Un cuerpo experimenta un empuje de 25 p si se sumerge en agua, y de 23 p si sesumerge en aceite. Hallar la densidad del aceite. Resp.: 0; 92 g=cm3.

52. Una batisfera, que es un recipiente utilizado para la investigación, tiene 2; 4 m dediámetro y 8400 Kg de masa. Se suelta de un submarino, a 50 m bajo la superficiedel agua. ¿Flotará o se hundirá?. Densidad del agua de mar 1; 03:103 Kg=m3. Resp.:Se hunde.

53. Una caja cúbica cuyo contenido se ignora, flota en el agua con el 25 % de su volu-men sobre la superficie. ¿Cuál es la densidad promedio de la caja y su contenido?.Resp.: 7; 5:102 Kg=m3

54. Un grupo de Boy Scouts trata de construir una balsa y recorrer un río. La masa decuatro, con sus equipos, es de 400 Kg. Hay árboles con diámetro promedio de 20cm y una densidad relativa de 0; 8. Determine el área mínima de la balsa de troncosque les permitirá flotar sin mojarse. Resp.: 12; 7 m2.

55. Considérese un globo esférico lleno de helio, con una densidad de 0; 18 Kg=m3. Ladensidad del aire es 1; 3 Kg=m3. ¿Cuál debe ser el radio del globo para elevar unacarga de 100 Kg, incluyendo la masa propia?. Resp.: 2; 8 m.

56. Un recipiente de 50 g de masa contiene 1; 2 Kg de agua y descansa en una bás-cula. De otra báscula de resorte se cuelga un bloque de aluminio de 1; 5 Kg. Ladensidad relativa del aluminio es 2; 7. El bloque se sumerge por completo en agua.Calcule las indicaciones de ambas básculas. Resp.: 17; 7 N y para la de resorte9; 3N .

57. Una esfera de radio R, de material con densidad media 0; 75 g=cm3, se sumerge enagua. ¿Cuál es la altura de la parte de la esfera que sobresale del agua?. Resp.:0; 65R.

58. Un bloque de madera tiene un volumen de 150 cm3. Para mantenerlo sumergidoen agua hace falta ejercer sobre él una fuerza hacia abajo de 60 p. Hallar su densi-dad.Resp.: 0; 6 p=cm3.



59. Una esfera de hierro que pesa 136 p y tiene una densidad igual a 7; 8 g=cm3 flota enmercurio. Calcular el volumen del casquete emergente. Qué fuerza sería necesarioejercer sobre la esfera para mantenerla sumergida?. Resp.: 7; 5 cm3, 102 p.

60. Una cadena que pesa 21 p está fabricada con una aleación de cobre y oro.Cuando la cadena se suspende de un dinamómetro, mientras está sumergida enagua sin tocar las paredes ni el fondo del recipiente donde está el agua , el di-namómetro indica 19; 5 p. ¿Cuál es el peso del oro en la aleación , si su densidad es19; 3 p=cm3 y la del cobre es 8; 9 p=cm3?. Resp.:14; 2 p.

61. Un depósito lleno de agua tiene un peso total de 18; 5 Kp. Una piedra de volumen1; 5 dm3 se suspende de una cuerda y se introduce en el agua sin tocar las paredesni el fondo del depósito, mientras el depósito está sobre una balanza. ¿Cuántos Kpindicará la balanza con la piedra sumergida?. Resp.: 20 Kp.

62. El émbolo grande de una prensa hidráulica tiene un radio de 20 cm ¿qué fuerzadebe aplicarse al émbolo pequeño de radio 2 cm para elevar un coche de peso1500 Kp?. Resp.: 33 lbf .

63. Un corcho posee una densidad de 200 Kg=m3. Determinar que fracción del volu-men del corcho se sumerge cuando el corcho flota en agua. Resp.: 0; 2 es decir20%.

64. Determinar la presión en A debida al desnivel de mercurio (densidad 13; 6 g=cm3)en las ramas del tubo en U de la figura 1.26. La distancia CD es de 20 cm y la DE de4 cm. Resp.: 131327; 2 Pa.

Figura (1.26): Problema 64: Cálculo de presión en un tubo en forma de U con uno de sus extremoscerrados.


1.12. PROBLEMAS

65. Un tubo en U se coloca verticalmente y se llena parcialmente con mercurio (den-sidad 13; 6 g=cm3). En una de las ramas se vierte una columna de 10 cm de agua.(a) ¿Cuál será el desnivel entre las superficies libres de mercurio de ambas ramas?.A continuación se vierte aceite en la otra rama del tubo hasta conseguir nivelar lassuperficies libres del mercurio, para lo que se necesita una columna de 12 cm deaceite. ¿Cuál es la densidad del aceite?. Resp.: (a) 7; 35 mm; b) 833 Kg=m3.

66. Un cilindro vertical, de 30 cm de diámetro, contiene agua, sobre cuya superficiedescansa un émbolo perfectamente ajustado al cilindro y atravesado por un tuboabierto por sus dos extremos, de 1 cm de diámetro. El peso del émbolo con el tuboes de 10 Kg ¿Hasta qué altura por encima de la base inferior del émbolo subirá elagua por el interior del tubo?. Resp.: 14; 2 cm.

67. Dado el gato hidráulico representado en la figura 1.27, calcular la fuerza mínimaque hay que realizar sobre la palanca para iniciar el movimiento de elevación deun coche de 800 Kg de masa. Datos: DA = 2 cm, DB = 10 cm, CE = 75 cm, CD = 5

cm. Resp.: 22; 25 N , perpendicular a la barra.

Figura (1.27): Problema 67: Cálculo de la fuerza que debe aplicarse en la palaca de un gato hidráulico.

68. Un iceberg flota sobre el agua del mar (densidad 1; 03 g=cm3) y tiene sumergidasnueve décimas de su volumen. Hallar la densidad del hielo. Resp.: 0; 927 g=cm3.

69. Un bloque de madera flota sobre el agua, teniendo sumergidos los dos tercios desu volumen; en el aceite, sumerge nueve décimos de su volumen. Hallar la densidaddel aceite y de la madera. Resp.: 0; 74 g=cm3 y 0; 67 g=cm3.

70. Una pelota de ping-pong, de masa 3 g y con un volumen externo de 24 cm3, estásujeta mediante un hilo ligero al fondo de un recipiente que contiene agua. Calcu-lar: (a) La tensión del hilo, (b) se somete al recipiente a una aceleración vertical yhacia arriba de 4; 9 m=s2. Calcular la nueva tensión del hilo, (c) ¿cuál será la tensión



del hilo en caída libre? y (d) se somete al recipiente a una aceleración de 4; 9 m=s2

en dirección horizontal. Calcular la tensión del hilo y el ángulo que forma con lavertical. Resp.: (a) 0; 2058 N ; (b) 0; 3087 N ; (c) 0 N y (d) 0; 2301 N ; 26; 57�.

71. Un cilindro de madera de roble (de densidad 800Kg=m3) de 1m de longitud y 1 cm2

de sección, se halla flotando parcialmente sumergido en agua dulce, suspendidopor uno de sus extremos de un hilo a una altura h = 225 mm, tal como se muestraen la figura 1.28. Calcular: (a) La longitud de la parte sumergida y el ángulo queforma el cilindro con la horizontal, (b) la fuerza de empuje que ejerce el agua sobreel cilindro y (c) la tensión en el hilo. Resp.: (a) 0; 55 m; 30; 2o; (b) 0; 542 N y (c) 0; 242 N .

Figura (1.28): Problema 71: Cilindro de madera de roble de longitud L flotando parcialmente sumergidoen agua dulce, suspendido por uno de sus extremos de un hilo a una altura h.

72. Determinar la fuerza que actúa sobre la superficie plana de la presa (ver figura1.29) y la situación de la línea de acción (recta soporte) de dicha fuerza sobre eldique. La anchura de la presa a = 10 m; la profundidad del agua h = 5 m. Resp.:1; 225:106 N aplicada a 3; 33 m por debajo del nivel del agua.

Figura (1.29): Problema 72: Cálculo de la fuerza que actúa sobre la superficie plana de una presa.

73. La sección interna del cuello de una botella mide 3; 5 cm2 y la sección de la basemide 45 cm2. Está totalmente llena con un fluido de peso específico igual a 0; 86

p=cm3. Para taparla con un tapón hay que aplicar una fuerza de 600 p. Calcularla fuerza total que actúa sobre la base de la botella supuesta en posición vertical,sabiendo que la distancia desde el tapón hasta la base es de 25 cm. Resp.: 8; 68 Kp.


CAPÍTULO 2

Hidrodinámica

Ahora pasamos del estudio de los fluidos en reposo al estudio más complicado delos fluidos en movimiento,

La rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de las leyes de los fluidosen movimiento es la denominada hidrodinámica.

Muchos aspectos del movimiento de los fluidos todavía no se entienden por com-pleto; aún así, adoptando algunas simplificaciones, puede obtenerse una buena com-prensión de esta materia.

2.1 Métodos de análisis utilizados para describir el estadode movimiento de un fluido

Para conocer el estado de movimiento de un fluido en cada instante de tiempopueden emplearse dos métodos. El primero es conocido con el nombre de Lagrangey el segundo, con el nombre de Euler1.

2.1.1 Método de Lagrange

Este método fue aplicado primeramente por Joseph Louis Lagrange y es una ge-neralización directa del concepto de la mecánica de las partículas.

1 En [8] pág. 91 se estudian, con bastante profundidad y detalle, ambos métodos.

57

CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA

Consiste en dividir el movimiento de un fluido en elementos de volumen in-finitesimales, a los cuales podemos llamar partículas del fluido, y entonces seguirsu movimiento.

Como puede imaginarse, este procedimiento implica un esfuerzo formidable. Po-dríamos indicar las coordenadas (x; y; z) a cada una de las partículas del fluido y en-tonces especificarlas como función del tiempo t. Luego las coordenadas (x; y; z) en eltiempo t de la partícula que se encontraba en (xo; yo; zo) en el instante to quedarían de-terminadas por las funciones x (xo; yo; zo; to; t) ; y (xo; yo; zo; to; t) ; z (xo; yo; zo; to; t) (es decir,las trayectorias de las partículas) que describirían el movimiento del fluido.

2.1.2 Método de Euler

Fue ideado por Leonhard Euler.

El método de Euler no sigue a cada partícula como el anterior, sino queobserva todas las que pasan por un determinado punto del espacio a travésdel tiempo. Consiste en describir el movimiento de un fluido especificando ladensidad � (x; y; z; t) y la velocidad

�!V (x; y; z; t) en el punto (x; y; z) y el tiempo t.

Cualquier cantidad usada al describir el estado del fluido, por ejemplo la presiónp, tendría entonces un valor definido en cada punto del espacio y en cada instantedel tiempo. Aunque esta descripción del movimiento del fluido se enfoque a un puntoen el espacio, más que a una partícula del fluido, no podemos evitar seguir a laspartículas mismas, por lo menos durante intervalos de tiempo cortos dt, ya que son aellas, después de todo, y no a los puntos del espacio, a las que se aplican las leyes dela mecánica.

El método que seguiremos en el desarrollo de nuestro estudio de la Hidrodinámicaserá el de Euler.

2.2 Características generales del flujo

Antes entendamos bien lo que es un flujo.

Se entiende como flujo al movimiento de las partículas del medio fluido con-tinuo, tales como gases, vapores o líquidos, por canales o conductos cerradoso abiertos.


2.2. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL FLUJO

Un gráfico de velocidades se llama diagrama de línea de flujo, como el mostradoen la figura 2.1.

Figura (2.1): Diagrama de línea de flujo.

Ahora bien, para entender la naturaleza de las simplificaciones que hagamos, con-sideremos primero algunas características generales del flujo de los fluidos:

1. Puede ser estacionario (permanente) o no estacionario (no permanente). Se diceque un flujo es estacionario cuando la velocidad �!v del fluido en cualquier puntono varía con el tiempo, en cualquier otro punto una partícula puede viajar con unavelocidad diferente, pero otra partícula que pase por este segundo punto se com-porta allí justo como lo hizo la primera partícula cuando pasó por ese punto. Estascondiciones pueden conseguirse cuando las velocidades del flujo son pequeñas.Por otro lado, un flujo se dice que es no estacionario cuando las velocidades �!v sonuna función del tiempo en un punto dado.

2. Puede ser rotacional o irrotacional. Se dice que un flujo es irrotacional cuando unelemento de fluido en un punto dado no tiene una velocidad angular neta alrede-dor de dicho punto. Esto podemos visualizarlo al imaginar una pequeña rueda depaletas sumergida en un líquido que fluye. Si la rueda de paletas se mueve sin girar,el flujo es irrotacional; si gira, entonces el flujo es rotacional. El flujo rotacional incluyeel movimiento vertical como ocurre en los remolinos.

3. Puede ser compresible o incompresible. Por lo general podemos considerar quelos líquidos fluyen incompresiblemente. Pero un gas muy compresible puede, enocasiones, sufrir cambios tan poco importantes en su densidad que entonces suflujo puede considerarse casi como incompresible.



4. Puede ser viscoso o no viscoso. La viscosidad2 en el movimiento de los fluidos esel análogo de la fricción en el movimiento de los sólidos. En muchos casos, talescomo en los problemas de lubricación, es sumamente importante. Sin embargo,a veces puede ignorarse. La viscosidad introduce fuerzas tangenciales entre lascapas del fluido en movimiento relativo y se traduce en una disipación de la energíamecánica.

Figura (2.2): (A) Líneas de corriente o flujo laminar. (B) Flujo turbulento.

Podemos distinguir dos tipos principales de flujo (ver figura 2.2):

1. Si el flujo es uniforme de modo que los estratos contiguos del mismo se deslicen entresí de manera continua, se dice que el flujo es una línea de corriente o flujo laminar .Al rebasar cierta velocidad que depende de un gran número de factores, el flujose hace turbulento.

2. El flujo turbulento se caracteriza por círculos pequeños a manera de remolinos, errá-ticos, llamados corrientes parásitas o remolinos. Las corrientes parásitas absorbenuna gran cantidad de energía y aunque cierta cantidad de fricción interna debidaa la visocosidad se presenta en los flujos laminares, ésta es mucho mayor cuando elflujo es turbulento.

El estudio del movimiento de un fluido que se hará en este texto se limita a la di-námica de fluidos para flujos de régimen estacionario, incompresibles, no viscosos eirrotacionales.

2 Viscosidad, propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza.Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyencon facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capasadyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tieneun orificio de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es unamedida de su viscosidad.


2.3. TRAYECTORIAS Y LÍNEAS DE CORRIENTE

2.3 Trayectorias y líneas de corriente

Ya hemos definido las trayectorias como el camino recorrido por cada una delas partículas cuando describimos el método de Lagrange en la sección 2.1.1. Lapregunta ahora es ¿cuáles serán las líneas características del movimiento si usamos elmétodo de Euler descrito en la sección 2.1.2?.

Figura (2.3): Línea de corriente.

Considérese un punto P dentro de un fluido (ver figura 2.3). Como la ve-locidad en dicho punto no cambia en el transcurso del tiempo (régimen esta-cionario), toda partícula que llega a P pasa con la misma rapidez y en la mismadirección y sentido. Lo mismo sucede con otros puntos en el fluido, digamos Qy R. Por consiguiente, al trazar la trayectoria de la partícula, esta curva serála trayectoria de toda partícula que llegue a P . Esta curva se llama línea decorriente.

Las líneas de corriente no pueden cortarse en un punto regular, pues si así sucediera,la partícula que acertase a pasar en el instante t por el punto de intersección tendríasimultáneamente dos velocidades distintas, que serían tangentes a cada una de lasdos líneas.

La condición de tangencia entre línea de corriente y velocidad se expresa mate-máticamente por el paralelismo entre la cuerda infinitésima y la dirección de la veloci-dad. En consecuencia:

dx

vx=dy

vy=dz

vz(2.1)

Las (2.1) constituyen un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden,cuya integración da dos parámetros. Para cada par de valores de estos parámetros



se tiene una curva, por lo que las líneas de corriente son un sistema doblemente infinito(las trayectorias constituyen una familia triplemente infinita) en cada instante t:

Puede apreciarse claramente la diferencia entre trayectorias y líneas de corriente:

Las trayectorias se refieren a cada partícula, mientras que las líneas de co-rriente están definidas por las velocidades de todas en cada instante.

En un flujo estacionario, la distribución de las líneas de corriente del flujo es esta-cionario en el tiempo. En este tipo de flujo la trayectoria de la partícula y la línea deflujo coinciden.En principio podríamos dibujar una línea de corriente que pasara por

Figura (2.4): Tubo de flujo.

cualquier punto del fluido.

Supongamos que el flujo es estacionario y escojamos un número finito delíneas de corriente para formar un haz como el mostrado en la figura 2.4. Estaregión tubular se denomina tubo de flujo.

Los límites de dicho tubo están formados por líneas de corriente y siempre sonparalelos a la velocidad de las partículas del fluido. Por lo tanto, el fluido no puedecruzar el borde de un tubo de flujo comportándose (el tubo), en cierta manera, comouna tubería que tuviese la misma forma. El fluido que entra por un extremo debe salirpor el otro.

2.4 Ecuaciones fundamentales de la Hidrodinámica

2.4.1 Ecuación de continuidad

Estudiemos ahora el flujo laminar estacionario de un tubo de flujo como el mos-trado en la figura 2.5 y determinemos la variación de la rapidez del fluido con relación


2.4. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRODINÁMICA

al tamaño del tubo. Escojamos el tubo lo suficientemente pequeño para que la ve-locidad a través de cualquier sección transversal sea, en esencia, constante.

En la figura 2.5, �!v1 representa la velocidad cuando pasa a través del área de sec-ción transversal S1 y �!v2 la velocidad cuando pasa a través del área de sección trans-versal S2:

El flujo de masa Qm (también denominado caudal másico) se define comola masa 4m de fluido que pasa por un punto dado por unidad de tiempo 4t:

Qm =4m4t =

�4V4t =

�S4l4t = �Sv (2.2)

En la figura 2.5 el volumen de fluido que pasa por S1 en el tiempo 4t es exacta-mente S14l1 donde 4l1 es la distancia que el fluido recorre en el tiempo 4t: Como la

velocidad del fluido que pasa por S1 es v1 =4l14t ; el flujo de masa

4m4t a través de S1

es ( donde 4V1 = S14l1 es el volumen de masa 4m), viene dado por:

Qm en S1 = �1S1v1 (2.3)

Figura (2.5): Ecuación de continuidad.

De manera análoga, para S2 se puede escribir:

flujo de masa en S2 = �2S2v2 (2.4)

ahora, debido a las características de un tubo de flujo (ver sección 2.3), el flujo demasa en S1 debe ser igual al flujo de masa en S2; por lo tanto:

�1S1v1 = �2S2v2 (2.5)



que es la denominada ecuación de continuidad. Si el flujo es incompresible, entonces�1 = �2 y por lo tanto:

S1v1 = S2v2 (2.6)

La ecuación de continuidad (2.6) establece que:

Donde el área de la sección transversal de un tubo de flujo (o simplementede un tubo) es grande, la velocidad es baja; y que donde el área es pequeña,la velocidad es alta.

Por último, al igual que definimos flujo de masa Qm, podemos definir también flujode volumen QV de la siguiente manera:

El flujo de volumen QV (también denominado caudal) se define como elvolumen 4V de fluido que pasa por un punto dado por unidad de tiempo 4t:

QV =4V4t =

S4l4t = Sv (2.7)

y, por lo tanto, al comparar (2.7) con (2.2),

Qm = �QV (2.8)

Ejemplo 2.1.: Por una tubería uniforme de 8 cm de diámetro fluye aceite con una ve-locidad media de 3 m=s. Calcular el caudal QV entonces, si S1 = 40 cm2; S2 = 10

cm2; � = 1:103Kg=m3 y QV = 3000 cm3=s expresándolo en a) m3=s, b) m3=h.

Solución: Al usar la ecuación(2.7) y siendo D el diámetro de la tubería, obtenemos,

QV�m3=s

�= Sv =

1

4�D2 =

1

4� (0; 08 m)2 3 m=s = 0; 015 m3=s

QV�m3=s

�= 0; 015m3=s

3600 s

1 h= 54

m3

h

Ejemplo 2.2.: Sabiendo que la velocidad del agua en una tubería de D1 de diámetroes 2m=s, hallar la velocidad que adquiere al circular por una sección de la tuberíade la mitad del diámetro.

Solución: Al usar la ecuación de continuidad (2.6), siendo S1 = 14�D2

1 y S2 = 14�D2

2, yademás, D2 =

12D1obtenemos:

1

4�D2

1v1 =1

16�D2

1v2 ) v2 = 4v1 ) v2 = 8m

s



Ejemplo 2.3.: Por una tubería horizontal (de sección S1) de 15 cm de diámetro fluyeagua y tiene un estrechamiento de sección S2 de 5 cm de diámetro. La velocidaddel agua en la tubería es de 50 cm=s, hallar la velocidad v2 en el estrechamiento.

Solución: Al usar la ecuación de continuidad (2.6), obtenemos:

1

4�D2

1v1 =1

4�D2

2v2 ) v2 =

�D1

D2

�2v1 ) v2 = 450

cm

s

Ejemplo 2.4.: Por una tubería de 15; 5 cm de diámetro circula agua con una velocidadmedia de 5 m=s. Hallar el caudal o flujo volumétrico.

Solución: La sección transversal de la tubería es,

S =1

4�D2 ((1))

y, de (2.7), se tiene,QV = Sv ((2))

ahora bien, al sustituir (1) en (2),

QV =1

4�D2v

entonces,

QV =1

4�D2v =

1

4�:�15; 5:10�2m

�:5m

s= 1; 22

m3

s

Ejemplo 2.5.: La velocidad de la glicerina en una tubería de 24 cm de diámetro esde 7; 5 m=s. Hallar la velocidad que adquiere en un estrechamiento de 5 cm dediámetro.

Solución: Si V1, S1 son la velocidad de la glicerina en la tubería y la sección trans-versal de la tubería respectivamente; y V2, S2 la velocidad de la glicerina en el estre-chamiento y la sección transversal del estrechamiento respectivamente, entonces, apartir de (2.6),

V2 =S1S2V1 (1)

pero,

S1 =1

4�D2

1 (2)

S2 =1

4�D2

2 (3)


V2 =14�D2

114�D2

2

V1 =

�D1

D2

�2V1



de aquí que,

V2 =

�24 cm

5 cm

�2:7; 5

m

s= 172; 8

m

s

Ejemplo 2.6.: La sangre circula desde una porción de arteria gruesa de 0; 35 cm deradio, donde su velocidad es 8; 6 cm=s, a otra región en donde el radio se hareducido a 0; 15 cm, debido a un engrosamiento de las paredes (arteriosclero-sis).¿Cuál es la velocidad de la sangre en la zona más estrecha?.

Solución: De la misma forma que en el ejemplo anterior, si V1, S1 son la velocidad dela sangre en la arteria gruesa y la sección transversal de la arteria gruesa de diámetroD1 respectivamente; y V2, S2 la velocidad de la sangre en la arteria reducida y lasección transversal de la arteria reducida de diámetro D2 respectivamente, entonces,a partir de (2.6),

V2 =

�D1

D2

�2V1 =

�0; 35 cm

0; 15 cm

�2:8; 6

cm

s= 46; 82

m

s

Ejemplo 2.7.: La figura 2.6 muestra la confluencia de dos corrientes que forman unrío. Una corriente tiene una anchura de 10 m, una profundidad de 4 m, y unavelocidad de 3 m=s. La otra corriente tiene 7 m de anchura, 2 m de profundidad,y fluye a razón de 1 m=s. La anchura del río es de 12 m y la velocidad de sucorriente es de 5 m=s. ¿Cuál es su profundidad?.

Figura (2.6): Ejemplo 2.7: Confluencia de dos corrientes que forman un río.

Solución: Aquí tenemos dos flujos Q1 y Q2 que representan las corrientes que con-fluyen. Tenemos también un tercero Q3 que representa el flujo de la corriente resul-tante. Si a1,h1 son el ancho y la profundidad de la corriente 1 respectivamente; a2,h2 elancho y la profundidad de la corriente 2 respectivamente y a3,h3 el ancho y la profun-



didad de la resultante respectivamente, entonces,

S1 = a1h1 (1)

S2 = a2h2 (2)

S3 = a3h3 (3)

y, a partir de (2.7) tomando en cuenta (1), (2) y (3),

Q1 = S1v1 = a1h1v1 (4)

Q2 = S2v2 = a2h2v2 (5)

Q3 = S3v3 = a3h3v3 (6)

Ahora, por conservación de la masa, el flujo suministrado por la corriente 1 más elsuministrado por la corriente 2 debe ser igual al flujo de la corriente resultante, por lotanto,

Q1 +Q2 = Q3 (7)

y sustituyendo (4), (5) y (6) en (7),

a1h1v1 + a2h2v2 = a3h3v3 ) v3 =a1h1v1 + a2h2v2

a3h3(8)

entonces,

h3 =10 m:4 m:3 m

s+ 7 m:2 m:1 m

s

12 m:5 ms

= 2; 23 m

2.4.2 Ecuación de Bernoulli (Teorema de Bernoulli)

Fue formulado en 1738 por el matemático y físico suizo Daniel Bernoulli, y anterior-mente por Leonhard Euler.

El teorema afirma que la energía total de un sistema de fluidos con flujouniforme permanece constante a lo largo de la trayectoria de flujo, trayendocomo consecuencia, que el aumento de velocidad del fluido debe verse com-pensado por una disminución de su presión.

El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avión o las hélicesde un barco. Las alas están diseñadas para que obliguen al aire a fluir con mayorvelocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobreesta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presión proporcionala fuerza de sustentación que mantiene al avión en vuelo. Una hélice también esun plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de



presión que se produce al girar la hélice proporciona el empuje que impulsa al barco.El teorema de Bernoulli también se emplea en las toberas, donde se acelera el flujoreduciendo el diámetro del tubo, con la consiguiente caída de presión. Asimismo seaplica en los caudalímetros de orificio, también llamados tubos de venturi, que midenla diferencia de presión entre el fluido a baja velocidad que pasa por un tubo deentrada y el fluido a alta velocidad que pasa por un orificio de menor diámetro, conlo que se determina la velocidad de flujo y, por tanto, el caudal.

Para deducir la ecuación de Bernoulli, supongamos que el flujo tiene las siguientescaracterísticas:

1. es laminar.

2. es incompresible y

3. la viscosidad es lo suficientemente pequeña para ignorarla.

Figura (2.7): Flujo de fluidos: Para la derivación de la Ecuación de Bernoulli.

De manera general, consideremos un tubo de flujo que varía (a lo largo de la lon-gitud del tubo) en sección transversal así como en altura sobre un nivel de referencia(ver figura 2.7). Consideremos la cantidad de fluido marcada más oscura y calculemosel trabajo realizado para moverla desde la posición mostrada en (a) a la mostrada en(b). En este proceso el fluido en 1 fluye una distancia 4l1 y fuerza al fluido en 2 a mo-verse una distancia 4l2. El fluido a la izquierda del punto 1 ejerce una presión p1 sobreel fluido y realiza una cantidad de trabajo dada por:



W1 = F14l1 = p1S14l1 (2.9)

y en el punto 2; el trabajo realizado es,

W2 = �p2S24l2 (2.10)

el signo negativo es debido a que la fuerza ejercida sobre el fluido se opone al mo-vimiento. Así mismo se realiza un trabajo sobre el fluido por medio de la fuerza degravedad y como, el efecto neto del proceso mostrado en la figura 2.7 es mover unamasa m de volumen S14l1 (= S24l2) del punto 1 al punto 2, el trabajo hecho por lagravedad es:

W3 = �mg (z2 � z1) (2.11)

el signo negativo es debido a que, en la figura 2.7, el movimiento es hacia arribacontra la fuerza de gravedad. Entonces, el trabajo total W realizado sobre el fluidoviene dado por:

W = W1 +W2 +W3 (2.12)

= p1S14l1 � p2S24l2 �mg (z2 � z1)

ahora, al aplicar el teorema del trabajo y la energía:

1

2mv22 �

1

2mv21 = p1S14l1 � p2S24l2 �mgz2 +mgz1 (2.13)

que podemos escribir como (ejercicio):

p1 +1

2�v21 + �gz1 = p2 +

1

2�v22 + �gz2 (2.14)

que es la expresión matemática del teorema de Bernoulli y se denomina ecuación deBernoulli. Como los puntos 1 y 2 pueden ser cualesquiera dos puntos a lo largo de untubo de flujo, la ecuación de Bernoulli puede escribirse como:

p+1

2�v2 + �gz = ctte (2.15)

en todos los puntos del fluido.

Ejemplo 2.8.: En el ejemplo 2.3 encontrar la presión p2 en el estrechamiento si la presiónen la tubería es de 1; 2 Kp=cm2.



Solución: Al usar la ecuación de Bernoulli (2.14), y por ser la tubería horizontal (z1 =z2) obtenemos:

p1 +1

2�v21 = p2 +

1

2�v22 ) p2 = p1 +

1

2��v21 � v22

�= 1; 2

Kp

cm2+1

2103

Kg

m3

��0; 50

m

s

�2��4; 50

m

s

�2�= 1; 2

Kp

cm2� 1

9; 8

Kp

cm2= 1; 098

Kp

cm2

Ejemplo 2.9.: Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimenpermanente. En un punto en que la presión vale 9:104 Pa la velocidad es de 6

m=s. Hallar la presión en otro punto de la conducción en el que la velocidad decirculación es de 14 m=s.

Solución: Si v1, p1 son la velocidad del agua y la presión respectivamente en elprimer punto; y v2, p2 son la velocidad del agua y la presión respectivamente en elsegundo punto, entonces, de (2.14),

p1 +1

2�v21 + �gz1 = p2 +

1

2�v22 + �gz2

y como el tubo es horizontal z1 = z2,

p2 = p1 +1

2��v21 � v22

�de aquí que,

p2 = 9:104Pa+1

2:1:103

Kg

m3

��6m

s

�2��14m

s

�2�= 9:104Pa� 8:104Pa= 1:104Pa

Ejemplo 2.10.: Una pequeña fuente de jardín arroja un chorro de agua vertical, conun flujo de 0; 10 L=s, alcanzando una altura de 0; 50 m. (a) ¿Cuál es la velocidadinicial del chorro, y cuál es el radio del agujero por el que sale el agua? (b) ¿Quépresión debe suministrar la bomba de la fuente (suponga que está inmediata-mente abajo del chorro que sale)? (c) ¿Cuál es la velocidad del chorro a unaaltura de 0; 25 m, y cuál es el radio de la columna de agua?. No tenga en cuentalos efectos de la turbulencia, como es la desintegración del chorro. Densidad delagua 1:103 Kg=m3. Resp.: (a) 3; 1m=s; 0; 32 cm; (b) 4; 9:103 Pa, manométricos; (c) 2; 2m=s; 0; 38 cm.



Solución:

(a) Para calcular la velocidad voz del chorro en el extremo del tubo usamos la ecua-ción de Bernoulli (2.14),de manera que,

po +1

2�v2oz + �gzo = p+

1

2�v2z + �gz

Si colocamos el origen de nuestro sistema de referencia en el extremo del tubo,entonces zo = 0 y z = h. Además, vz = 0, po = p, por lo tanto,

1

2v2oz = gh

voz =p2gh =

r2:9; 8

m

s2:0; 50m = 3; 1

m

s

Por otro lado, al usar (2.7),QV = Svoz = �r

2ovoz

de aquí que,

ro =

rQV�voz

=

s0; 10:10�3m3=s

3; 1�ms

= 0; 0032 m = 0; 32 cm

(b) La presión suministrada por la bomba será la misma presión (manométrica) que enla base de una columna de agua en reposo de la misma altura que la del chorro,por lo tanto al usar la ley de Stevino de la hidrostática (1.22),

p� po = �gh

�p = �gh = 1:103Kg

m3:9; 8

m

s2:0; 5m = 4; 9:103Pa

(c) Para calcular la velocidad vz del chorro a la altura de 0; 25 m, usamos nuevamentela ecuación de Bernoulli (2.14),de manera que,

po +1

2�v2oz + �gzo = p+

1

2�v2z + �gz

1

2v2oz =

1

2v2z + gh

vz =pv2oz � 2gh =

r�3; 1

m

s

�2� 2:9; 8m

s2:0; 25m = 2; 2

m

s

y el radio del chorro a esa altura vendrá dado por la ecuación de continuidad (2.6),

Sovoz = Svz

�r2ovoz = �r2vz

r =

rvozvzro =

s3; 1m

s

2; 2ms

0; 32cm = 0; 38 cm



Ejemplo 2.11.: El agua, cuya densidad es 1:103 Kg=m3, pasa por un tubo horizontal.El área de sección transversal, en una parte del tubo, es de 60 cm2. Cuando ellíquido entra a otra parte del tubo, con 100 cm2 de área transversal, la presiónmanométrica es 5; 0:103 Pa mayor que en la primera parte. Calcule las veloci-dades del líquido en las dos partes del tubo.

Solución: Si v1, S1 son la velocidad del líquido y la sección transversal del tubo enla parte más angosta; y v2, S2 son la velocidad del líquido y la sección transversal deltubo en la parte más ancha, entonces, de (2.6),

S1v1 = S2v2 ) v2 =S1S2v1 (1)

De (2.14),

p1 +1

2�v21 + �gz1 = p2 +

1

2�v22 + �gz2 (2)

y como el tubo es horizontal z1 = z2, entonces,

p2 � p1 =1

2��v21 � v22

�= �p (3)

ahora, al sustituir (1) en (3) y despejar v2,

1

2�

�v21 �

S21S22v21

�= �p) v1 = S2

s2�p

� (S22 � S21)(4)

que es muy parecida a la ecuación del tubo de Venturi que veremos más adelante.Entonces,

v1 = 1; 00:10�2m

s2:5; 0:103Pa

1:103Kgm3 :�(1; 00:10�2m)2 � (0; 60:10�2m)2

�= 4; 0

m

s

y al sustituir este resultado en (1),

v2 =60 cm2

100 cm2:4; 0

m

s= 2; 4

m

s

Ejemplo 2.12.: El agua (considerada como incompresible) circula a través de una casa,en un sistema de calefacción por agua caliente. Si se bombea el agua con unarapidez de 0; 80 m=s por un tubo de 7; 0 cm de diámetro en el sótano bajo la pre-sión de 6; 0 atm, ¿cuál será la rapidez de flujo y la presión en un tubo de 5; 6 cm dediámetro ubicado en el segundo piso 8; 0 m arriba?.



Solución: Si se asigna el subíndice 1 a las cantidades medidas en el sótano y con 2a las medidas en el segundo piso, entonces, de (2.6),

S1v1 = S2v2 ) v2 =S1S2v1 (1)

pero,

S1 =1

4�D2

1 (2)

S2 =1

4�D2

2 (3)

ahora, al sustituir (2) y (3) en (1),

v2 =14�D2

114�D2

2

v1 ) v2 =

�D1

D2

�2v1 (4)

de aquí que,

v2 =

�7; 0 cm

5; 6 cm

�2:0; 80m=s = 1; 25

m

s

Por otro lado, a partir de(2.14),

p1 +1

2�v21 + �gz1 = p2 +

1

2�v22 + �gz2

p2 = p1 +1

2��v21 � v22

�+ �g (z1 � z2)

nótese que de acuerdo a como se ha planteado el problema, la altura h a la cual seencuentra el punto 2 con respecto al 1 es,

h = z2 � z1 ) z1 � z2 = �h

por lo tanto,

p2 = p1 +1

2��v21 � v22

�� gh

de aquí que,

p2 = 6; 0:1; 013:105Pa+1

2:1:103

Kg

m3

��0; 80

m

s

�2��1; 25

m

s

�2��1:103Kg

m3:9; 8

m

s2:8; 0 m

= 6; 08:105Pa� 461; 25 Pa� 78400 Pa= 5; 3:105Pa



2.5 Aplicaciones de las ecuaciones fundamentales

La ecuación de Bernoulli y la de continuidad pueden ser aplicadas a una granvariedad de situaciones, entre ellas están:

2.5.1 Cálculo de la velocidad de un líquido que sale del tapón de ungrifo en la base de un recipiente (Teorema de Torricelli)

Consideremos la figura 2.8 en la que v1 es la velocidad con la que sale el líquidocontenido en el recipiente a través del grifo colocado en su base a una profundidadh con respecto a la superficie del fluido.

Figura (2.8): Teorema de Torricelli.

Suponiendo que el diámetro del recipiente es grande comparado con el del grifo,se puede suponer v2 ' 0 (velocidad con que la superficie del líquido disminuye enaltura respecto a la base del recipiente); entonces a partir de la ecuación de Bernoulli(2.14) se obtiene,

v1 =p2gh (2.16)

resultado que se conoce como Teorema de Torricelli.

El teorema de Torricelli relaciona la velocidad de salida de un líquido através del orificio de un recipiente, con la altura del líquido situado por encimade dicho agujero.

Aunque se observa que es un caso especial de la ecuación de Bernoulli, fue des-cubierto un siglo antes que Bernoulli por Evangelista Torricelli, de ahí su nombre.


2.5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES FUNDAMENTALES

Ejemplo 2.13.: Hallar la velocidad teórica de salida de un líquido a través de un orificiosituado 12; 5 m por debajo de la superficie libre del mismo. Suponiendo que lasección dcl orificio vale 3 cm2, ¿ qué volumen de fluido sale durante un minuto?.


v =p2gh =

r2:9; 8

m

s2:12; 5 m = 15; 7

m

s

Por otro lado, el volumen de fluido que sale durante 1 min viene dado por (2.7),

QV =V

t= Sv ) V = Svt

de aquí que,V = 3:10�4m2:15; 7

m

s:60 s = 0; 28 m3

Ejemplo 2.14.: Hallar el caudal, expresándolo en L=s, de un líquido que fluye por unorificio de 0; 5 cm2 de sección a 5 m por debajo de la superficie libre del mismo.

Solución: De la misma forma que en el ejemplo anterior, al usar (2.16),

v =p2gh =

r2:9; 8

m

s2:5 m = 9; 9

m

s

Por otro lado, el volumen de fluido que sale durante 1 min viene dado por (2.7),

QV = Sv

de aquí que,

QV = 0; 5:10�4m2:9; 9

m

s= 5; 0:10�4

m3

s

Ejemplo 2.15.: Un gran tanque (ver figura 2.9) de almacenamiento se llena hasta unaaltura ho. Si el tanque se perfora a una altura hmedida desde el fondo del tanque, ¿a qué distancia de la pared del tanque cae la corriente?.

Solución: Al usar (2.16), la rapidez con que sale el fluido por el orificio será,

v =p2g (ho � h) (1)

La corriente realiza un movimiento análogo a un lanzamiento horizontal de proyectiles.Al usar las ecuaciones para este tipo de movimiento estudiadas en el curso de física I,(ver, por ejemplo [3], cap. 4) podemos encontrar el tiempo de caida tc mediante,

z = zo + voz (t� to)�1

2g (t� to)2 (2)



Figura (2.9): Ejemplo 2.15: Tanque lleno de fluido al cual se le ha hecho una perforación lateral a ciertaprofundidad.

que, tomando to = 0, voz = 0 (por ser un lanzamiento horizontal) zo = h y que cuandotoca el suelo z = 0 (se ha tomado un sistema de referencia cuyo origen se encuentraal mismo nivel del fondo del tanque), queda como,

0 = h� 12gt2 ) t =

s2h

g= tc (tiempo que tarda en llegar al suelo) (3)

Por otro lado, el alcance horizontal R viene dado por,

R = vxtc (4)

donde vx = v [dada por (1)], por lo tanto, al sustituir (1) y (3) en (4), se obtiene,

R =p2g (ho � h)

s2h

g

= 2ph (ho � h)

que es la distancia pedida.

Ejemplo 2.16.: El tanque de la figura 2.9, se llena hasta una altura de 10 m. Si el tanquese perfora a una altura 3 m medida desde el fondo del tanque y se sabe que elflujo volumétrico en el orificio es de 30 L=min, ¿cuál es la sección del orificio?.

Solución: Al usar (2.16), la rapidez con que sale el fluido por el orificio será,

v =p2g (ho � h) (1)

y de (2.7),

QV = Sv ) S =QVv

(2)



Ahora, al sustituir (1) en (2),

S =QVp

2g (ho � h)(3)

entonces,

S =30:103

60cm3

sp2:980m

s2: (1000 m� 300 m)

= 0; 427 cm2

Ejemplo 2.17.: Un tanque como el mostrado en la figura 2.9 se le practica un orificiode 15 cm2 a una profundidad de 4 m con respecto a la superficie del agua quecontiene. Este tanque es utilizado para llenar un pequeño depósito en forma deparalelepípedo cuyas dimensiones son 4 m x 3 m x 1 m, ¿en cuánto tiempo sellena el pequeño depósito?.

Solución: Lo primero que se debe calcular es el flujo volumétrico en el orificio prac-ticado. Entonces, al usar (2.16), la rapidez con que sale el fluido por el orificio será,

v =p2gh (1)

y el volumen del depósito será,

V = 4 m:3 m:1 m = 12 m3 (2)

De (2.7),

QV =V

t= Sv ) t =

V

Sv(3)

y,Ahora, al sustituir (1) y (2) en (3),

t =V

Sp2gh

=12 m3

15:10�4 m2p2:9; 8m

s2:4 m

= 903; 5 s = 15; 1min

Ejemplo 2.18.: El flujo volumétrico de un fluido contenido en un gran tanque, comoel mostrado en la figura 2.9, a través de un orificio practicado en la pared esde 0; 1 m3=s. Si la sección transversal del orificio es de 1:10�2m2, calcular a quéprofundidad se encuentra el orificio respecto de la superficie del fluido contenidoen el tanque.



Solución: Al usar (2.16), la profundidad a la que se encuentra el orificio es,

v =p2gh) h =

v2

2g(1)

Por otro lado, a partir de (2.7),la velocidad de salida del fluido a través del orificio es,

QV = Sv ) v =QVS

(2)


h =1

2g

�QVS

�2(3)

entonces,

h =1

2:9; 8ms2

0; 1m

3

s

1:10�2m2

!2=

1

19; 6

s2

m:0; 22

m2

s2

= 5; 1 m

2.5.2 Efecto Venturi

El efecto Venturi consiste en que la corriente de un fluido dentro de un conductocerrado disminuye la presión del fluido al aumentar la velocidad cuando pasa poruna zona de sección menor. Si en este punto del conducto se introduce el extremode otro conducto, se produce una aspiración del fluido contenido en este segundoconducto.

El efecto Venturi se explica por el Principio de Bernoulli y el principio de continuidadde masa estudiados antes. Si el caudal de un fluido es constante pero la seccióndisminuye, necesariamente la velocidad aumenta. Por el teorema de conservaciónde la energía si la energía cinética aumenta, la energía determinada por el valor dela presión disminuye forzosamente.

Aplicaciones del efecto Venturi

1. Aeronáutica: Aunque el efecto Venturi se utiliza frecuentemente para explicar lasustentación producida en alas de aviones el efecto Venturi por sí solo no es sufi-ciente para explicar la sustentación.

2. Motor: el carburador aspira el carburante por efecto Venturi, mezclándolo con elaire (fluido del conducto principal), al pasar por un estrangulamiento.



3. Tubos de Venturi: Medida de velocidad de fluidos en conducciones y aceleraciónde fluidos.

También son aplicaciones de este fenómeno la trompa de agua, que es un aparatoutilizado en los laboratorios para hacer el vacío, los pulverizadores y el mechero Bun-sen.

2.5.3 Tubo o medidor de Venturi

Un tubo de Venturi es un dispositivo inicialmente diseñado para medir la veloci-dad de un fluido aprovechando el efecto Venturi. Sin embargo, algunos se utilizanpara acelerar la velocidad de un fluido obligánole a atravesar un tubo estrecho enforma de cono. Estos modelos se utilizan en numerosos dispositivos en los que la ve-locidad de un fluido es importante y constituyen la base de aparatos como el carbu-rador.

La aplicación en la medida de velocidad de un fluido consiste en un tubo formadodos secciones cónicas unidas por un tubo estrecho en el que el fluido se desplazaconsecuentemente a mayor velocidad (ver figura 2.10). La presión en el tubo Venturipuede medirse por un tubo vertical en forma de U conectando la región ancha y lacanalización estrecha. La diferencia de alturas del líquido en el tubo en U permitemedir la presión en ambos puntos y consecuentemente la velocidad.

Para encontrar la expresión matemática que permite calcular la velocidad, supong-amos que un líquido de densidad � fluye a través de la tubería, cuya sección transver-sal tiene un área S1 (sección de entrada) como se muestra en la figura 2.10.

En la garganta, esta área se reduce a S2 (sección de salida) y allí se fija un tubomanométrico, tal como se muestra. Supongamos que el líquido manométrico, porejemplo, mercurio, tuviese una densidad �0, al aplicar la ecuación de Bernoulli (2.14)y la ecuación de continuidad (2.5) en los puntos 1 y 2, se puede demostrar que larapidez del flujo en S1 viene dada por:

v1 = S2

s2 (�0 � �) gh� (S21 � S22)

(2.17)

ahora, si se quiere determinar el flujo de volumen, sólo tenemos que usar la ecuación(2.7):



Figura (2.10): El tubo o medidor de Venturi.

La ecuación (2.17) también puede ser escrita como,

v1 = S2

s24p

� (S21 � S22)(2.18)

donde 4p = p1 � p2 es la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2.

Si D1 es el diámetro de la sección de entrada y D2 el de la sección de salida, en-tonces las ecuaciones (2.17) y (2.18) pueden ser escritas, respectivamente, como,

v1 = D22

s2 (�0 � �) gh� (D4

1 �D42)

(2.19)

v1 = D22

s24p

� (D41 �D4

2)(2.20)

Cuando se utiliza un tubo de Venturi hay que tener en cuenta un fenómenoque se denomina cavitación. Este fenómeno ocurre si la presión en alguna sec-ción del tubo es menor que la presión de vapor del fluido. Para este tipo partic-ular de tubo, el riesgo de cavitación se encuentra en la garganta del mismo, yaque aquí al ser mínima el área y mínima la velocidad, la presión es la menor quese puede encontrar en el tubo. Cuando ocurre la cavitación se generan bur-bujas localmente, que se trasladan a lo largo del tubo. Si estas burbujas llegana zonas de presión elevada, pueden colapsar produciendo as?icos de presiónlocal con el riesgo potencial de dañar la pared del tubo.

Ejemplo 2.19: Por un tubo de Venturi que tiene un diámetro de 40 cm en la secciónde entrada y de 20 cm en la sección más angosta, circula agua. La caída o



diferencia de presiones entre la sección mayor y la de garganta, medida en elaparato, es de 5:105 N=m2. Hallar el valor del caudal.

Solución: Al usar (2.20) encontramos la rapidez de la gasolina en la sección deentrada,

v1 = D22

s24p

� (D41 �D4

2)

entonces, si D1 = 40 cm = 40:10�2 m, D2 = 5 cm = 5:10�2 m, � = 1:103Kg=m3 y 4p = 5:105

N=m2,

v1 =�20:10�2m

�2s 2:5:105 Nm2

1:103Kgm3

�(40:10�2m)4 � (20:10�2m)4

�= 0; 04 m2

vuut 106Kg:m

s2

m2

1:103Kgm3 [25; 6:10�3m4 � 1; 6:10�3m4]

= 0; 04 m2

s106 Kg

m:s2

24 Kg:m

= 0; 04 m2

r4; 17:104

1

m2:s2

= 0; 04 m2:204; 211

m:s

= 8; 2m

s

y ahora, al usar (2.7),

QV = S1v1

=�D2

1

4v1

=� (40:10�2m)

2

4:8; 2

m

s

= 1; 03m3

s

Ejemplo 2.20: Un tubo de Venturi tiene un diámetro de 30 cm y una garganta de 10 cmde diámetro. La presión del agua en el tubo es 70 KPa y en la garganta es de 20KPa. Calcule el flujo de volumen a través del tubo.

Solución: Al usar (2.20) encontramos la rapidez de la gasolina en la sección deentrada,

v1 = D22

s24p

� (D41 �D4

2)



entonces, si D1 = 30 cm = 30:10�2 m, D2 = 10 cm = 10:10�2 m, � = 1:103Kg=m3 y 4p = 70KPa� 20 KPa = 50 KPa = 50:103 Pa.

v1 =�10:10�2m

�2s 2:50:103 Nm2

1:103Kgm3

�(30:10�2m)4 � (10:10�2m)4

�= 1:10�2 m2

vuut 100:104Kg:m

s2

m2

1:103Kgm3 [8; 1:10�3m4 � 1:10�4m4]

= 1:10�2 m2

s106 Kg

m:s2

8 Kg:m

= 1:10�2 m2

r1; 25:105

1

m2:s2

= 1:10�2 m2:353; 61

m:s

= 3; 5m

s


QV = S1v1

=�D2

1

4v1

=� (30:10�2m)

2

4:3; 5

m

s

= 0; 25m3

s

Ejemplo 2.21: La sección transversal del tubo ilustrado en la figura 2.11 es de 60 cm2

en las partes anchas y de 30 cm2 en el estrechamiento. La descarga de aguadel tubo es de 4000 cm3=s. (a) Hállense las velocidades de las partes ancha y es-trecha, (b) hállese la diferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la dife-rencia de altura h entre las columnas de mercurio del tubo en U (�Hg = 13; 6:103

Kgm3 ).

Solución: Si el subíndice 1 se refiere a la sección ancha y el 2 a la sección estrecha,entonces, S1 = 60 cm2, S2 = 30 cm2, � = 1 g=cm3 y QV1 = QV2 = 4000 cm3=s (QV debe serconstante en todas las secciones transversales del tubo).

(a) Al usar (2.7),

QV1 = S1v1 (sección ancha) ) v1 =QV1S1

)

v1 =4000 cm

3

s

60 cm2

= 66; 67cm

s



Figura (2.11): Ejemplo 2.21: Conducto horizontal con estrechamiento y con un tubo en forma de Uanexo.

y, al usar (2.6),

S1v1 = S2v2

v2 =60 cm2

30 cm2:66; 67

cm

s

= 133; 34cm

s

(b) Al usar (2.18),

v1 = S2

s24p

� (S21 � S22))4p = 1

2�v21

"�S1S2

�2� 1#)

4p =1

2:1g

cm3:�66; 67

cm

s

�2 "�60 cm2

30 cm2

�2� 1#

= 6; 67:103din

cm2

(c) De (2.17) y (2.18),

4p = (�� ) gh) h =4p

(�� ) g )

h =6; 67:103 din

cm2�13; 6 g

cm3 � 1 gcm3

�:980 cm

s2

h =6; 67:103 g

cm:s2

12348 gcm2:s2

h = 0; 54 cm



Ejemplo 2.22: Consideremos un tubo de Venturi con tres tomas de presión estáticaverticales (ver figura 2.12). Los radios internos de la sección principal y del estre-chamiento son 40 y 10 cm respectivamente. Cuando circula un caudal de aguade 300 L=s, el nivel del agua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentraa 5; 00 m por encima del eje de la tubería. a) ¿Hasta qué altura subirá el aguapor el tubo central?, b) ¿Cuál es la presión manométrica en los puntos A y B?, c)¿Para qué caudal de agua se succionará aire por el tubo central?.

Figura (2.12): Ejemplo 2.22: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales.

Solución:

DA = 2rA = 2:40 cm = 80 cm

DB = 2rB = 2:10 cm = 20 cm

(a) Al usar (2.6),

QVA = QVB = QVC = SAvA )

vA =QVC�r2A

vA =300:103 cm

3

s

� (40 cm)2

vA = 59; 68cm

s




vA = vC = D2B

s24p

� (D4A �D4

B))4p = 1

2�v2A

"�SASB

�2� 1#)

4p =1

2�v2A

"��r2A�r2B

�2� 1#

4p =1

2�v2A

"�rArB

�4� 1#

4p =1

2:1g

cm3:�59; 68

cm

s

�2:

"�40 cm

10 cm

�4� 1#

4p = 454117; 06din

cm2= pA � pB

Por otro lado, la presiones manométricas en A y B son,

pA = �H2OgH

pB = �H2Ogh

por lo tanto,

4p = pA � pB = �H2Og (H � h)) h = H � 4pg�H2O

h = 500 cm�454117; 06 din

cm2

980 cms2:1 gcm3

h = 500 cm�1; 97:105 g

cm:s2

980 cms2:1 gcm3

h = 36; 6 cm

(b) Las presiones manométricas en A y B vienen dadas por,

pA = �H2OgH = 1g

cm3:980

cm

s2:500 cm = 4; 9:105

din

cm2

pB = �H2Ogh = 1g

cm3:980

cm

s2:36; 6 cm = 3; 6:104

din

cm2

(c) Para que succione aire por el tubo central, la presión en pB tiene que ser nula, porlo tanto,

4p = pA � pB = 4; 9:105din

cm2



y al usar (2.20),

vA = vC = D2B

s24p

� (D4A �D4

B)

= (20 cm)2

s2:4; 9:105 din

cm2

1 gcm3

�(80 cm)4 � (20 cm)4

�= (20 cm)2

s2:4; 9:105 g

cm:s2

4; 08:107g:cm

= 62cm

s

entonces, al usar (2.7),el caudal viene dado por,

QVA = QVB = QVC = SAvA

= �rAvA

= � (40 cm)2 :62cm

s

= 3; 12:105cm3

s

2.5.4 Tubo de Pitot

El Tubo de Pitot es un aparato se usa para medir la rapidez del flujo de un gas dedensidad � mediante el uso de un manómetro anexo (ver figura 2.13).

En el caso del tubo de Pitot mostrado en la figura 2.13, el manómetro es un tuboen forma de U que contiene un fluido de densidad �0. Consideremos a dicho gas,por ejemplo el aire, fluyendo por las aberturas en a. Estas aberturas son paralelas a ladirección del flujo y están situadas lo suficientemente lejos como para que la velocidady la presión fuera de ellas tengan los valores del flujo libre.

Por lo tanto la presión en el brazo izquierdo del manómetro, que está conectadoa estas aberturas, es la presión hidrostática pa; de la corriente de gas. La aberturadel brazo derecho del manómetro es perpendicular a la corriente. La velocidad sereduce a cero en el punto b y el gas se estanca en ese sitio. La presión en b es la presióntotal de empuje pb: Por lo tanto, al aplicar la ecuación de Bernoulli en los puntos a y bobtenemos:

v =

s2�0gh

�(2.21)

la cual determina la rapidez del gas.



Figura (2.13): Sección transversal de un tubo de Pitot.

Ejemplo 2.23: Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de aireal medir la diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en eltubo en forma de U es mercurio

��Hg = 1; 36:10

4 Kg=m3�

y h = 10; 00 cm, encuentrela velocidad del flujo del aire. Tome �Aire = 1; 25 Kg=m3.


v =

s2�0gh

�

=

s2:1; 36:104 Kg

m3 :9; 8ms2:10; 00:10�2 m

1; 25Kgm3

= 146m

s

Ejemplo 2.24: Se utiliza un fluido de densidad 820 Kg=m3 como líquido manométricoen un tubo de Pitot montado en un avión para medir la velocidad del aire. Si ladiferencia máxima de altura entre las columnas de líquido es de 0; 8 m, ¿cuál esla velocidad máxima del aire que se puede medir?. La densidad del aire es 1; 3Kg=m3.


v =

s2�0gh

�

=

s2:820 Kg

m3 :9; 8ms2:0; 8 m

1; 3Kgm3

= 99; 5m

s



Ejemplo 2.25: Un tubo de Pitot está montado sobre un soporte en un túnel de viento,en el cual circula un gas de densidad 0; 2Kg

m3 , el manómetro diferencial acopladoal tubo de Pitot indica un desnivel entre sus dos ramas de 0; 05 cm de mercurio(densidad 13; 6 :103Kg

m3 ). ¿Cuál es la velocidad del avión?.


v =

s2�0gh

�

=

s2:13; 6:103Kg

m3 :9; 8ms2:0; 05:10�2 m

0; 6Kgm3

= 14; 90cm

s

Ejemplo 2.26: Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de ungas al medir la diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido enel tubo en forma de U es mercurio (�Hg=13; 6:103 Kg=m3), la velocidad del flujo deaire es de 103 m=s y h = 5cm, encuentre la densidad del gas.


v =

s2�0gh

�) � =

2�0gh

v2)

� =2:13; 6:103Kg

m3 :9; 8ms2:0; 05m�

103ms

�2= 1; 26

Kg

m3

Ejemplo 2.27: Una avioneta que vuela hacia el norte tiene un tubo de Pitot para medirsu velocidad. La avioneta tiene un viento en contra de vv = 56 Km=h, 45o haciael Oste del Sur : (a) si la diferencia de niveles en el mercurio es de 3 cm, ¿cuáles la velocidad aparente de la avioneta?, (b) ¿cuál es la velocidad real sobre elsuelo?. Se sabe que: �Hg = 13; 6

Kgm3 y �Aire = 1; 293:10�3

Kgm3 .

Solución:

(a) A partir de (2.21), la velocidad registrada por el tubo de Pitot (velocidad aparentede la avioneta) es,

vapar =

s2�Hggh

�Aire

=

s2:13; 6Kg

m3 :9; 8ms2:3:10�2m

1; 293:10�3Kgm3

= 78; 6m

s= 283

Km

h


2.6. PROBLEMAS

(b) Por ser el viento en contra, el tubo de Pitot registra mayor velocidad de la querealmente lleva el avion respecto del suelo. Llamemos va a la velocidad aparente

Figura (2.14): Ejemplo 2.28: Diagrama de velocidades relativas para un avión que se desplaza hacia elNorte en presencia de un viento en contra hacia el Oste del Sur.

(la que mide el indicador), vvx a la componente de la velocidad del viento que vahacia el Sur y va a la velocidad del avión. Entonces, de la figura 2.14, podemosescribir,

va = vapar � vvx = vapar � vv Cos 45o = 243; 4Km

h

Como podemos ver, el avión viaja hacia el Norte a menos velocidad de la queregistra el tubo de Pitot.

2.6 Problemas

1. Por una tubería de 10 cm de diámetro circula agua con una velocidad media de 3m=s. Hallar el caudal y expresarlo en m3=s, en m3=h y L=min. Resp.: 23; 55:10�3 m3=s;84; 78m3=h; 1413 L=min.

2. La velocidad de la glicerina en una tubería de 15 cm de diámetro es de 5m=s. Hallarla velocidad que adquiere en un estrechamiento de 10 cm de diámetro. Resp.: 11; 25m=s.

3. Hallar la velocidad teórica de salida de un líquido a través de un orificio situado 8 mpor debajo de la superficie libre del mismo. Suponiendo que la sección dcl orificio



vale 6 cm2, ¿ qué volumen de fluido sale durante un minuto?. Resp.:12; 5 m=s; 0; 45m3.

4. Por un canal de 1; 0 m de profundidad y 0; 5 m de ancho, pasa agua a un flujo de2 toneladas métricas por segundo. En determinado punto, el canal se ensancha a0; 8 m. ¿Qué velocidad tiene el agua en el canal más ancho?. Resp.: 2; 5 m=s.

5. Se usa una bomba de diafragma para sacar agua de dentro de un barco. Eldiámetro de la manguera de la bomba es 3; 0 cm y el agua es impulsada por lamanguera hacia arriba, y sale por una escotilla a 5; 0 m sobre el nivel del agua, auna velocidad de 4; 0 m=s. Calcule la potencia de bombeo. Resp.: 1; 6:102 Watt.

6. Por la cabina de un barco pasan rachas de viento a 60 mi=h. En la cabina el aireestá en reposo, y su presión es de 1 atm. ¿Cuáles son la presión fuera de la cabina,y la presión neta sobre las paredes por las que pasa el viento?. Resp.: �4; 7:102 Pa;manométricas �p =.4; 7:102 Pa.

7. Una pequeña fuente de jardín arroja un chorro de agua vertical, con un flujo de0; 10 L=s, alcanzando una altura de 0; 50 m. (a) ¿Cuál es la velocidad inicial delchorro, y cuál es el radio del agujero por el que sale el agua? (b) ¿Qué presióndebe suministrar la bomba de la fuente (suponga que está inmediatamente abajodel chorro que sale)? (c) ¿Cuál es la velocidad del chorro a una altura de 0; 25 m,y cuál es el radio de la columna de agua?. No tenga en cuenta los efectos de laturbulencia, como es la desintegración del chorro. Resp.: (a) 3; 1m=s; 0; 32 cm; (b)4:9:103 Pa, rnanométricos; (c) 2; 2 m=s; 0; 38 cm.

8. Un líquido, cuya densidad es 1; 4:103 Kg=m3, pasa por un tubo horizontal. El área desección transversal, en una parte del tubo, es de 75 cm2. Cuando el líquido entraa otra parte del tubo, con 150 cm2 de área transversal, la presión manométrica es2; 0:104 Pa mayor que en la primera parte. Calcule las velocidades del líquido en lasdos partes del tubo. Resp.: . v1 = 6; 2 m=s, v2 = 3; 1 m=s, ambas a lo largo del tubo.

9. Un tanque abierto de agua está sobre una superficie plana. La superficie del aguaen el tanque está a una altura h sobre la superficie. Se abre un pequeño agu-jero a una profundidad z por debajo de la superficie de agua. (a) Demuestre queel chorro de agua llegará a la superficie plana a una distancia D de la orilla deltanque, siendo

D =p4z(h� z)

(b) Demuestreque el agujero se debe colocar a una profundidad

z =h

2


2.6. PROBLEMAS

para que el chorro llegue a una distancia horizontal máxima.

10. Hallar el caudal, expresándolo en L=s, de un líquido que fluye por un orificio de 1cm2 de sección a 2; 5 m por debajo de la superficie libre del mismo. Resp.: 0; 7 L=s.

11. Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen perma-nente. En un punto en que la presión vale 0; 46 Kp=cm2 la velocidad es de 2 m=s.Hallar la presión en otro punto de la conducción en el que la velocidad de circu-lación es de 4 m=s. Resp.: 0; 4 Kp=cm2.

12. Verificar la ecuación (2.18). Ayuda: Suponer un tubo horizontal al utilizar la ecua-ción (2.14) y luego usar la ecuación (2.6).

13. Por un tubo de Venturi que tiene un diámetro de 20 cm en la sección de entrada yde 10 cm en la sección más angosta, circula gasolina dc densidad relativa 0; 82. Lacaída o diferencia de presiones entre la sección mayor y la de garganta, medidaen el aparato, es de 0; 3 Kp=cm2. Hallar el valor del caudal. Resp.: 4; 11 m3=min.

14. El agua (considerada como incompresible) circula a través de una casa, en unsistema de calefacción por agua caliente. Si se bombea el agua con una rapidezde 0; 50 m=s por un tubo de 4; 0 cm de diámetro en el sótano bajo la presión de 3; 0atm, ¿cuál será la rapidez de flujo y la presión en un tubo de 2; 6 cm de diámetroubicado en el segundo piso 5; 0 m arriba? [usar las ecuaciones (2.6) y (2.14)]: Resp.:1; 2m

s; 2; 5:105Pa.

15. Un fluido A fluye tres veces más rápido que el fluido B a través del mismo tubohorizontal. ¿Cuál tiene más densidad y cuántas veces más?. Resp.: �B = 3�A.

16. En un proceso de enfriamiento industrial, el agua circula a través de un sistema. Siel agua se bombea desde el primer piso a través de un tubo de 6; 0cm de diámetrocon una rapidez de 0; 45 m=s bajo una presión de 400 torr ¿cuál será la presión en elpiso siguiente 4; 0m arriba en un tubo con un diámetro de 2; 0 cm?. Resp.: 5; 7:103 Pa.

17. El agua fluye a través de un tubo horizontal de 7; 0 cm de diámetro bajo una presiónde 6; 0 Pa con un flujo volumétrico de 25 L=min. En un punto los depósitos de calcioreducen el área transversal del tubo a 30 cm2. ¿Cuál es la presión en este punto?(suponga que el agua es un fluido ideal). Resp.: 2; 2 Pa.

18. El flujo volumétrico de agua a través de una manguera de jardín es de 66 cm3=s,la manguera y la boquilla tienen una sección transversal de 6; 0 cm2 y 1; 0 cm2, res-pectivamente. (a) Si la boquilla está a 10 cm arriba del grifo, ¿cuál es la rapidez de



flujo a través del grifo y la boquilla? (b) ¿cuál es la diferencia de presión entre estospuntos? (suponga que el agua es un fluido ideal).

19. Una manguera de 2; 0 cm de diámetro es utilizada para llenar con agua una cu-beta de 20; 0 L. Si se tarda 1; 00 min para lenar la ubeta, ¿cuál es la velocidad a lacual el agua sale de la mangera? (1L = 1000cm3). Resp.: 106 cm=s.

20. Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de aire al medir ladiferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en el tubo en formade U es mercurio (�Hg = 1; 36:104 Kg=m3) y h = 5; 00 cm, encuentre la velocidad delflujo del aire. Tome �Aire = 1; 25 Kg=m3. Resp.: 103 m=s.

21. Un tubo horizontal de 10; 0 cm de diámetro tiene una reducción uniforme que loconecta a un tubo de 5; 0 cm de diámetro. Si a presión del agua en el tubo másgrande es de 8; 0:104 Pa y la presión en el tubo más pequeño es de 6; 0:104 Pa, ¿quévalor tiene el flujo volumétrico en los tubos?. Resp.: 0; 0128 m3=s.

22. Deduzca la ecuación (2.16).



25. En la figura 2.15 tome en cuenta la rapidez de la superficie del fluido en el tanquey muestre que la rapidez del fluido que sale por el agujero de la base es (S1 y S2 sonlas secciones transversales del orificio y del tanque respectivamente),

v1 = S2

s2gh

S22 � S21

Muestre, además, que si S2 � S1 entonces,

v1 =p2gh

que es el resultado del Teorema de Torricelli.

26. Del gran depósito de agua mostrado en la figura 2.16, cuyo nivel se mantieneconstante fluye agua que circula por los conductos de la figura hasta salir por laabertura D, que está abierta al aire. La diferencia de presión entre los puntos A yB es PB � PA = 500 Pa. Sabiendo que las secciones de los diferentes tramos dela conducción son SA = SC = 10 cm2 y SB = 20 cm2, calcular las velocidades y laspresiones del agua en los puntos A, B, C, de la conducción. La presión en C es laatmosférica, igual a 105 Pa. Resp.: vA = vC = 2

p33m=s, vB =

p33m=s, pA = pC = 105 Pa,

pB = 100500 Pa.


2.6. PROBLEMAS

Figura (2.15): Problema 25: Cálculo de la velocidad del fluido que sale por un orificio lateral de undepósito, tomando en cuenta la velocidad de la superficie del fluido.

Figura (2.16): Problema 26.: Depósito de agua unido a un conducto horizontal con diferentes seccionestransversales.

27. Para saber la velocidad del agua en una tubería empalmamos en ella un tubo enforma de T de menor sección (ver fig. 2.17), colocamos tubos manométricos A yB, como indica la figura y medimos la diferencia de altura (5 cm) entre los nivelessuperiores del líquido en tales tubos. (a) Sabiendo que la sección del tubo estrechoes 10 veces menor que la tubería, calcular la velocidad del líquido en ésta, (b)Calcúlese el flujo de volumen QV , si el área de la sección mayor es 40 cm2. Resp.: (a)99; 5 m=s, (b) 0; 4 L=s.

28. El QV en una tubería por la que circula agua (ver fig. 2.18) es 208 L=s. En la tuberíahay instalado un medidor de Venturi con mercurio como líquido manométrico. Silas secciones de las tuberías son 800 y 400 cm2, calcular el desnivel h que se produceen el mercurio. Densidad del mercurio 13; 6 g=cm3. Resp.:h = 8; 2 cm.

29. La sangre circula por una arteria aorta de 1 cm de radio a 30 cm=s. ¿Cuál es el flujode volumen?. Resp.: 5; 65 L=min.



Figura (2.17): Problema 27: Cálculo de la velocidad del agua en una tubería empalmada a un tubo enforma de T de menor sección con tubos manométricos anexos.

Figura (2.18): Problema 28: Tubería en la que hay instalado un medidor de Venturi con mercurio comolíquido manométrico.

30. La sangre circula desde una porción de arteria gruesa de 0; 3 cm de radio, dondesu velocidad es 10 cm=s, a otra región en donde el radio se ha reducido a 0; 2 cm,debido a un engrosamiento de las paredes (arteriosclerosis).¿Cuál es la velocidadde la sangre en la zona más estrecha?. Resp.: 22; 5 cm=s.

31. En la pared de un recipiente con agua se practican dos agujeros uno sobre elotro, de área 0; 2 cm2. La distancia entre los agujeros es 50 cm. En el recipiente seintroducen cada segundo 140 cm de agua de manera que el nivel de la mismapermanece constante. Encontrar el punto de intersección de los dos chorros deagua que salen del orificio. Resp.: x = 2; 089 m y z = 3; 200 m. con respecto a unsistema de coordenadas cartesianas cuyo origen se sitúa en la superficie del fluido.

32. Un tubo de 34; 5 cm de diámetro conduce agua que circula a razón de 2; 62 m=s.¿Cuánto tiempo le tomará descargar 1600 m3 de agua?. Resp.: 1 h 49 min.


2.6. PROBLEMAS

33. Una manguera de jardín que tiene un diámetro interno de 0; 75 pulg está conec-tada a un aspersor que consta simplemente de un accesorio con 24 orificios, cadauno de 0; 050 pulg de diámetro. Si el agua de la manguera tiene una velocidad de3; 5 pies=s, ¿a qué velocidad sale por los orificios del aspersor?. Resp.: 32; 81 pies=s.

34. La figura 2.19 muestra la confluencia de dos corrientes que forman un río. Unacorriente tiene una anchura de 8; 2 m, una profundidad de 3; 4 m, y una velocidadde 2; 3 m=s. La otra corriente tiene 6; 8 m de anchura, 3; 2 m de profundidad, y fluyea razón de 2; 6 m=s. La anchura del río es de 10; 7 m y la velocidad de su corriente esde 2; 9 m=s. ¿Cuál es su profundidad?. Resp.: 3; 9 m.

Figura (2.19): Problema 34: Cálculo de la profundidad en la confluencia de dos corrientes que formanun río.

35. Se bombea continuamente agua que se extrae de un sótano inundado con unavelocidad de 5; 30 m=s por medio de una manguera uniforme de 9; 70 mm de ra-dio. La manguera pasa por una ventana situada a 2; 90 m sobre el nivel del agua.¿Cuánta potencia proporciona la bomba?. Resp.: 44; 52Watts.

36. Un río de 21 m de anchura y 4; 3 m de profundidad irriga una superficie de 8500

Km2 donde la precipitación (pluvial) promedio es de 48 cm=a~no. Una cuarta partede ésta regresa posteriormente a la atmósfera por evaporación, pero el resto correfinalmente por el río. ¿Cuál es la velocidad promedio de la corriente del río?. Resp.:1; 1 m=s.

37. ¿Cuánto trabajo efectúa la presión al bombear 1; 4m3 de agua por un tubo de 13mm de diámetro interno si la diferencia de presión entre los extremos del tubo es de1; 2 atm?. Resp.: 1; 7:105 J .

38. La toma de agua de una presa (véase la figura 2.20) tiene un área de seccióntransversal de 7; 60 pies2. El agua fluye en ella a una velocidad de 1; 33 pies=s. En laplanta Hidroeléctrica que está situada a 572 pies abajo del punto de toma, el aguafluye a razón de 31 pies=s. (a) Halle la diferencia de presión, en lbf=pulg2, entre la



toma y la descarga. (b) Halle el área del tubo de descarga. La densidad promediodel agua es de 62; 4 lb=pies3. Resp.: (a) 241; 37 lbf=pulg2; (b) 0; 32 pies2.

Figura (2.20): Problema 38: Cálculos de presión y área en una toma de agua de una presa.

39. Por una tubería con un área de la sección transversal de 4; 20 cm2 circula el agua auna velocidad de 5; 18 m=s. El agua desciende gradualmente 9; 66 m mientras queel área del tubo aumenta en 7; 60 cm2. (a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en el nivelinferior? (b) La presión en el nivel superior es de 152 KPa; halle la presión en el nivelinferior. Resp.: (a) 2; 86 m=s; (b) 256 KPa.

40. Durante un huracán está soplando aire (densidad = 1; 2 Kg=m3) sobre el tejadode una casa a una velocidad de 110 Km=h. (a) ¿Cuál es la diferencia de presiónentre el interior y el exterior que tiende a levantar el tejado? (b) ¿Cuál sería la fuerzaascensional en un tejado de 93 m2 de área?. Resp.: (a) 560 Pa; (b) 52097 N .

41. Un líquido fluye por una tubería horizontal cuyo radio interior es de 2; 52 cm. Latubería se dobla hacia arriba hasta una altura de 11; 5 m donde se ensancha y seune con otra tubería horizontal de 6; 14 cm de radio interior. ¿Cuál debe ser el flujovolumétrico si la presión en las dos tuberías horizontales es la misma?. Resp.: 23; 2m=s.

42. Un tanque está lleno de agua hasta una altura H. En una de sus paredes se tal-adra un orificio a una profundidad h bajo la superficie del agua (véase figura 2.21).(a) Demuestre que la distancia x desde la base de la pared hasta donde cae lacorriente al suelo está dada por

x = 2[h(H � h)]1=2:

(b) Podría taladrarse un orificio a otra profundidad de modo que esta segundacorriente tuviese el mismo alcance? De ser así, a qué profundidad? (c) ¿A qué


2.6. PROBLEMAS

profundidad debería estar el orificio para hacer que la corriente de salida caiga alsuelo a la distancia máxima a partir de la base del tanque? ¿Cuál es esta distanciamáxima?. Resp.: (b) sí, a una profundidad H � h; (c) h = H=2.

Figura (2.21): Problema 42: Cálculo de la distancia horizontal a la que cae un fluido que sale por unorificio lateral de un depósito.

43. Un francotirador dispara una bala de rifle contra un tanque de gasolina, hacién-dole un orificio a 53; 0 m bajo la superficie de la gasolina. El tanque se ha sellado yse ha sometido a una presión absoluta de 3; 10 atm, como se muestra en la figura2.22. La gasolina almacenada tiene una densidad de 660Kg=m3. ¿A qué velocidadcomienza la gasolina a salir disparada por el orificio?. Resp.: 36; 3 m=s.

Figura (2.22): Problema 43: Tanque sellado y sometido a cierta presión absoluta que contiene gasolina,al cual se le ha efectuado un disparo.

44. Si una persona sopla aire a una velocidad de 15; 0 m=s en la parte superior de unlado de un tubo en U que contiene agua (ver figura 2.23), ¿cuál será la diferencia



entre los niveles del agua en los dos lados? Suponga que la densidad del aire seade 1; 20 Kg=m3. Resp.: 0; 0137 m.

Figura (2.23): Problema 44: Tubo en forma de U que contiene un fluido, al cual se le sopla aire sobre unode sus extremos.

45. El agua dulce embalsada tras la cortina de una presa tiene una profundidad de15; 2 m. Un tubo horizontal de 4; 30 cm de diámetro pasa a través de la cortina a 6; 15m bajo la superficie del agua, como se muestra en la figura 2.24. En la salida deltubo se ha colocado un tapón. (a) Halle la fuerza de fricción entre el tapón y lasparedes del tubo. (b) Se retira el tapón. ¿Qué volumen de agua sale por el tubo en3; 00 h?. Resp.: (a) 234 N ; (b) 172 m3.

Figura (2.24): Problema 45: Presa con un tapón.

46. Un sifón es un aparato para extraer líquido de un recipiente sin inclinarlo. Funcionacorno se muestra en la figura 2.25. El tubo debe estar lleno inicialmente, pero unavez se ha hecho esto, el líquido fluirá hasta que el nivel descienda por debajo de laabertura del tubo en A. El líquido tiene una densidad � y una viscosidad desprecia-ble. (a) ¿A qué velocidad sale el líquido del tubo en C? (b) ¿Cuál es la presión del


2.6. PROBLEMAS

líquido en el punto más elevado B? (c) ¿Cuál es la mayor altura h posible a la que elsifón puede elevar el agua?. Resp.: (a) vC = [2g(d+h2]1=2; (b) pB = po��H2Og(h1+d+h2);(c) x = 10; 33 m.

Figura (2.25): Problema 46: Sifón.

47. Una jarra contiene 15 vasos de jugo de naranja. Cuando se abre la espita3 delfondo transcurren 12; 0 s para llenar de jugo un vaso. Si dejamos la espita abierta(ver figura 2.26), ¿cuánto tiempo tardarán en llenarse los 14 vasos restantes hastaagotar el jugo?. Resp.: 341; 9 s.

48. Un tubo de Pitot está montado en el ala de un aeroplano para determinar lavelocidad del aeroplano con relación al aire, el cual tiene una densidad de 1; 03

Kg=m3. El tubo contiene alcohol e indica una diferencia de nivel de 26; 2 cm. ¿Cuáles la velocidad del aeroplano respecto al aire? La densidad del alcohol es de 810Kg=m3. Resp.: v = 63; 5 m=s.

49. Una placa cuadrada de 9; 10 cm de lado y 488 g de masa está embisagrada a lolargo de uno de los lados. Si se sopla aire sobre la superficie superior únicamente,

3 Tubo de longitud y grosor no muy grandes que se mete en el agujero de una cuba u otra vasija, paraque por él salga el licor que esta contiene.



Figura (2.26): Problema 47: Jarra con orificio en el fondo.

¿qué velocidad debe tener el aire para mantener horizontal a la placa?. El airetiene una densidad de 1; 21 Kg=m3. Resp.: v = 30; 9m=s.

50. Un aeroplano tiene un área total (de las dos alas) de 25 m2. A cierta velocidaddel aire, éste fluye sobre la superficie superior del ala a razón de 49; 8 m=s y sobre lasuperficie inferior del ala a 38; 2 m=s. (a) Halle la masa del aeroplano. Suponga queel aeroplano viaja a velocidad constante y que los efectos de la fuerza ascensionalasociados con el fuselaje y el conjunto de la cola son pequeños. Explique la fuerzaascensional si el aeroplano, que vuela a la misma velocidad que el aire está (b) envuelo nivelado; (c) ascendiendo a 15o y (d) descendiendo a 15o. La densidad delaire es de 1; 17 Kg=m3. Resp.: (a) m = 1523; 38 Kg; (b), (c) y (d) el ángulo no afecta.

51. Un tubo de Venturi tiene un diámetro de 25; 4 cm y una garganta de 11; 3 cm dediámetro. La presión del agua en el tubo es 57; 1 KPa y en la garganta es de 32; 6KPa. Calcule el flujo de volumen a través del tubo. Resp.: QV = 0; 071 m3=s.

52. Fluye agua por un tubo de 3; 0 mm de diámetro que tiene un estrechamiento de2; 5 mm de diámetro. Si el nivel del agua en los tubos verticales es 1; 21 m y 1; 20 m,como se ilustra en la figura 2.27, ¿cuál es la velocidad del agua en el tubo de 3; 0mm de diámetro?. Resp.: 1; 12 m=s.

53. Desde un depósito fluye agua en régimen estacionario, como se ilustra en la figura2.28. La altura del punto 1 es 10m, la de los puntos 2 y 3 es 1m. La sección transversalen el punto 2 es de 0; 04 m2 y de 0; 02 cm2 en el punto 3. La superficie del depósitoes muy grande comparada con las secciones transversales del conducto. (a) Cal-cúlese la presión manométrica en el punto 2. (b) Calcúlese el caudal expresado enmetros cúbicos por segundo. Resp.:


2.6. PROBLEMAS

Figura (2.27): Problema 52: Agua que fluye por un tubo que tiene un estrechamiento.

Figura (2.28): Problema 53. Depósito abierto unido a un conducto con diferentes secciones transver-sales.

54. El área de la sección transversal de una tubería horizontal por la que circula aguaes de 10 cm2. En una sección, el área de la sección transversal es de 5 cm2. Ladiferencia de presiones entre ambas secciones es 300 Pa. ¿Cuántos metros cúbicosde agua saldrán de la tubería en 1 min?. Resp.:

55. Dos depósitos abiertos muy grandes A y F (véase figura 2.29), contienen el mismolíquido. Un tubo horizontal BCD que tiene un estrechamiento en C sale del fondodel depósitoA, y un tubo verticalE se abre en el estrechamiento de C y se introduceen el líquido del depósito F . Supóngase que el régimen es laminar y que no hayviscosidad. Si la sección transversal en C es la mitad que en D y si D se encuentra auna distancia h1, por debajo del nivel del líquido en A, ¿qué altura h2 alcanzará ellíquido en el tubo E? A) Exprésese la respuesta en función de h1. Despréciense lasvariaciones de la presión atmosférica con la altura. Resp.:

56. La diferencia de presión entre la conducción principal y el estrechamiento de unmedidor de Venturi es de 105 Pa. Las áreas de la conducción y el estrechamientoson 0; 1 m2 y 0; 005 m2, respectivamente. ¿Cuántos metros cúbicos por segundo cir-



Figura (2.29): Problema 55: Depósitos abiertos muy grandes unidos por un conducto.

culan por el conducto? El líquido del conducto es agua. Resp.:

57. La sección transversal del tubo ilustrado en la figura 2.30 es de 40 cm2 en las partesanchas y de 10 cm2 en el estrechamiento. La descarga de agua del tubo es de 3000cm3=s. (a) Hállense las velocidades de las partes ancha y estrecha, (b) hállese ladiferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la diferencia de altura h entrelas columnas de mercurio del tubo en U (�Hg = 13; 6:103Kg

m3 ). Resp.: (a) 75 cms

y 300cms

;(b) 4; 22:104 dincm2 y (c) 3; 4 cm.

Figura (2.30): Problema 57: Tubo horizontal con estrechamiento, al cual se ha anexado un tubo en formade U que sirve de manómetro.


2.6. PROBLEMAS

58. Se utiliza agua como líquido manométrico en un tubo de Pitot montado en unavión para medir la velocidad del aire. Si la diferencia máxima de altura entre lascolumnas de líquido es de 0; 1 m, ¿cuál es la velocidad máxima del aire que sepuede medir? La densidad del aire es 1; 3 Kg=m3?. Resp.: 38; 8m

s.

59. Supóngase que el líquido manométrico del problema anterior es mercurio. ¿Cuáles la velocidad máxima del aire que se puede medir?. Se sabe que: �Hg = 13; 6

Kgm3 .

Resp.: 4; 53ms

.

60. En un experimento realizado en un túnel aerodinámico, la presión sobre la super-ficie superior del ala de un avión fue de 0; 90:105 Pa y la presión sobre la superficieinferior de 0; 91:l05 Pa. Si el área de cada superficie es 40 m2, ¿cuál es la fuerza desustentación neta sobre el ala?. Resp.:

61. Un avión de 6000 Kg de masa tiene un ala de 60 m2 de área. Si la presión sobre lasuperficie inferior del ala es de 0; 60:105 Pa en vuelo horizontal a una altura de 4000m, ¿cuál es la presión sobre la superficie superior del ala?. Resp.:

62. Consideremos un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales (verfigura 2.31). Los radios internos de la sección principal y del estrechamiento son 25 y10 cm respectivamente. Cuando circula un caudal de agua de 200 L=s, el nivel delagua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentra a 3; 00 m por encima deleje de la tubería. a) ¿Hasta qué altura subirá el agua por el tubo central?, b) ¿Cuáles la presión manométrica en los puntos A y B?, c) ¿Para qué caudal de agua sesuccionará aire por el tubo central?. Resp.: a) 98; 5 cm; b) 0; 29 atm; 0; 095 atm; c) 244L=s.

Figura (2.31): Problema 62: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales.

63. Un dispositivo automático para un calentador de agua funciona según el esquemaindicado en la figura 2.32. Si la válvula V que da la salida al gas necesita una fuerzade 6 N para abrirse, determine el flujo volumétrico de agua mínimo necesario paraponer en marcha el dispositivo. Resp.: 0; 5 L=s.



Figura (2.32): Problema 63: Dispositivo automático para un calentador de agua.

64. Un tubo de Pitot está montado en el ala de una avioneta. Cuando la avionetaestá a una altura en la que la densidad del aire es de 1; 20 g=L, el manómetro dife-rencial acoplado al tubo de Pitot indica un desnivel entre sus dos ramas de 15 cmde alcohol (densidad 0; 81 g=cm3). ¿Cuál es la velocidad del avión?. Resp.: 44; 5147m=s (unos 160 Km=h).

65. Un depósito abierto, de grandes dimensiones, que desagua a través de una tu-bería de 10 cm de diámetro, recibe un aporte de agua de 50 L=s. El diámetro deldepósito es mucho mayor que la tubería de desagüe. Después de abrir la llave dela tubería, se alcanza el estado estacionario en el que el nivel de agua permanececonstante. ¿Cuál es este nivel?. (Suponer un coeficiente de contracción Cc = 0; 5).Resp.: 8; 27 m.

66. Un depósito abierto, cilíndrico de eje vertical y sección recta S1, está lleno deagua hasta una altura H por encima de su fondo. Determinar el tiempo necesariopara que se vacíe el depósito a través de un orificio bien perfilado, de área S2,practicado en su fondo. Se sabe que: S1 = 2m2; S2 = 10cm2; H = 3m. Resp.: 1564; 92 s(unos 26 minutos).


Parte II

VIBRACIONES

105

CAPÍTULO 3

Oscilaciones

Los procesos que se distinguen por uno u otro grado de repetición, reciben elnombre de oscilaciones, es decir, movimientos repetidos de un lado a otro en tornoa una posición central, o posición de equilibrio.

En dependencia de la naturaleza física del proceso que se repite se distinguen lassiguientes oscilaciones: mecánicas, electromagnéticas, electromecánicas, etc. Eneste capítulo sólo consideraremos las mecánicas.

Las oscilaciones más sencillas son las armónicas, es decir, aquellas dondela magnitud que oscila varía con el tiempo según la ley del seno o coseno.

Este tipo de oscilaciones es de particular importancia por las siguientes razones:

1. En la naturaleza y en física aplicada las oscilaciones tienen, con frecuencia, uncarácter próximo al de las armónicas y,

2. los procesos periódicos de otra índole (con otra dependencia del tiempo) puedenser representados como la superposición (suma) de varias oscilaciones armónicas.

Es buena idea, a este nivel, hacer un repaso referente a la cinemática del mo-vimiento circular uniforme (m.c.u.) estudiados en el curso de física I, pues existe unarelación estrecha entre el movimiento oscilatorio y el m.c.u. Podría consultar, por ejem-plo, el capítulo 4 del texto [3] o del texto [17].

107

CAPÍTULO 3. OSCILACIONES

3.1 Oscilador armónico simple

Consideremos una partícula que puede moverse a lo largo del eje x como semuestra en la figura 3.1 en virtud de una fuerza externa de la forma,

Figura (3.1): Una partícula de masa m se mueve sometida a una fuerza del tipo �kx.

F (x) = �kx (3.1)

donde k es una constante positiva.

La Segunda Ley de Newton establece que,

F =dp

dt= m

d2x

dt2(3.2)

donde p es el momentum linealmdx

dtde la partícula estudiada. Entonces, de (3.1) y de

(3.2), podemos escribir:

md2x

dt2= �kx) d2x

dt2+ !2x = 0 (3.3)

donde,

!2 =k

m(3.4)

que, como puede observarse, es una constante para un sistema dado. La expresión(3.3) recibe el nombre de ecuación de movimiento del oscilador armónico simple.

Se denomina oscilador armónico simple a toda partícula cuyo momimientoeste gobernado por una ecuación de movimiento del tipo (3.3).

Al resolver la ecuación (3.3) podemos encontrar la manera como la posición x dela partícula con respecto al tiempo. Cuando sabemos como depende la posición deuna partícula con respecto al tiempo, conocemos también su trayectoria.

Sus soluciones son (ver apéndice C):


3.1. OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE

x (t) = A Cos (!t+ 'o) (3.5)

x (t) = A Sen (!t+ 'o) (3.6)

La cantidad (!t+ ') se llama la fase del movimiento y la constante 'o se denominaconstante de fase o fase inicial, que es un ángulo que mediremos en radianes (rad)1.

Usaremos de ahora en adelante (3.5) como solución, a menos que sea indicado locontrario.

3.1.1 Significado físico de !

Determinemos ahora el significado físico de la constante !: Si en la solución (3.5)

se aumenta el tiempo t en2�

!, nos queda (verificarlo):

x

�t+

2�

!

�= ACos

�!

�t+

2�

!

�+ '

�= ACos (!t+ ') (3.7)

y, como podemos observar, la solución simplemente se repite a sí misma después de

un tiempo t =2�

!, por lo tanto2,

2�

!es el período � del movimiento y ! es la frecuencia angular.

Entonces, de (3.4), podemos escribir,

� =2�

!= 2�

rm

k(3.8)

de aquí que, la frecuencia f del oscilador venga dada por:

# =1

�=1

2�

rk

m(3.9)

La frecuencia angular ! tiene como unidades3,

rad

s,rad

min,rad

h, etc.

1 Un radián (rad) es la medida del águlo que sustenta un arco cuya longitud es igual a su radio.2 En el capítulo 5 (sección 5.9) del texto [2] se definen los términos: periodo, frecuencia y frecuencia

angular en un Movimiento Circular (que son los mismos para que para el OAS, pues está estrechamenterelacionado con él), mostrándose además, las relaciones matemáticas entre ellos (ver asignación ?? alfinal de este capítulo).

3 En la práctica obviamos la unidad rad.



y la frecuencia #,

1

só s�1 = Hertz (Hz)

1

minó min�1 = revoluciones por minuto (rpm)

1

hó h�1, etc.

3.1.2 Significado físico de A

La costante A tiene un significado físico sencillo. La función coseno puede tomarlos valores de �1 a 1. El desplazamiento x medido desde la posición central de equi-librio x = 0 tiene, por lo tanto, el valor máximo de A [ver ecuación (3.5)]. Así pues,

A es la amplitud del movimiento.

Como A no queda determinada por la ecuación diferencial (3.3), de ella resultanmuchos posibles movimientos de amplitudes distintas, pero todas ellas tienen la mismafrecuencia y período. La frecuencia en un oscilador armónico simple es indepen-diente de la amplitud del movimiento.

Dos movimientos armónicos simples pueden tener la misma amplitud y fre-cuencia pero distinta constante de fase 'o:

En la figura 3.2 se ilustra el significado de 'o, para lo cual se han tomado comoejemplo dos oscilaciones,

x(t) = A Sen (!t)

x(t) = A Sen (!t+ 'o)

que están desfasadas en 'o radianes. Observamos que la fase 'o corresponde a undeslizamiento de la curva de posición en función del tiempo hacia tiempos menoreso mayores.

3.1.3 Velocidad y aceleración

Para una solución del tipo x (t) = ACos (!t+ 'o)

La velocidad y la aceleración de la partícula serán, a partir de (3.5), las siguientes,

v =dx

dt= �!A Sen (!t+ 'o) (3.10)



Figura (3.2): Interpretación de 'o.

a =dv

dt= �!2ACos (!t+ 'o) = �!2x (3.11)

Es obvio que la velocidad y la aceleración máxima vienen dadas por,

vm�ax = �!A (3.12)

am�ax = �!2A (3.13)

la vm�ax resulta cuando el argumento del seno en (??) toma valores de �2, 3�2

, 5�2

, 7�2

,... esdecir,

(2n� 1)�2

, con n = 1; 2; 3; ::: (3.14)

y la am�ax resulta cuando el argumento del coseno en (??) toma valores de 0, �, 2�, 3�,... es decir,

(n� 1)�, con n = 1; 2; 3; ::: (3.15)

Por lo tanto, los tiempos para los cuales ocurren (??) y (??) son, respectivamente (ejer-cicio),

t =1

!

�(2n� 1)

2� � 'o

�, para vm�ax (3.16)

t =1

![(n� 1)� � 'o] , para am�ax (3.17)

La distancia total d (NO EL DESPLAZAMIENTO) recorrida por la partícula, transcurridoun tiempo �t de su movimiento, viene dada por,

d =2A

�(!�t+ 'o) (3.18)

que puede ser obtenida sabiendo que en un período completo la distancia recorridapor la partícula es de 4A y sabiendo que !t = 2� rad.



Para una solución del tipo x (t) = A Sen (!t+ 'o)

La velocidad y la aceleración de la partícula serán, a partir de (3.6), las siguientes,

v =dx

dt= !ACos (!t+ 'o) (3.19)

a =dv

dt= �!2A Sen (!t+ 'o) = �!2x (3.20)

Es obvio que la velocidad y la aceleración máxima vienen dadas por,

vm�ax = �!A (3.21)

am�ax = �!2A (3.22)

que son las mismas obtenidas en la sección anterior.

La vm�ax resulta cuando el argumento del coseno en (3.19) toma valores de 0, �, 2�,3�,... es decir,

(n� 1)�, con n = 1; 2; 3; ::: (3.23)

y la am�ax resulta cuando el argumento del seno en (3.20) toma valores de �2, 3�2

, 5�2

, 7�2

,...es decir,

(2n� 1)�2

, con n = 1; 2; 3; ::: (3.24)

Aquí, como vemo, se invierten los resultados con respecto a los de la sección ante-rior. Por lo tanto, los tiempos para los cuales ocurren vm�ax y am�ax son, respectivamente(ejercicio),

t =1

![(n� 1)� � 'o] , para vm�ax (3.25)

t =1

!

�(2n� 1)

2� � 'o

�, para am�ax (3.26)

La distancia total d (NO EL DESPLAZAMIENTO) recorrida por la partícula, transcurridoun tiempo �t de su movimiento, viene dada por,

d =2A

�(!�t+ 'o) (3.27)

que es la misma obtenida en la sección anterior, como era de esperarse.

Ejemplo 3.1: La posición de una partícula en está dada por la expresión

x (t) = 8; 0mCos�5; 0�t+

�

2

�donde x está dada en metros y t en segundos. Determine: (a) frecuencia yperíodo del movimiento, (b) la amplitud del movimiento, (c) la constante de fase,y (d) la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en t = 0; 5 s.



Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada consu correspondiente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se correspondecon (3.5). Por lo tanto, al compararlas, encontramos que,

A = 8; 0 m

! = 5; 0�rad

s

'o =�

2rad

(a) Como ! = 5; 0� rads

, entonces,

� =2�

!=

2:�

5; 0� rads

= 0; 4 s

y,

# =1

�=

1

0; 4 s= 2; 5 s�1 = 2; 5 Hz

(b) La amplitud fue encontrada por comparación resultando,

A = 8; 0 m

(c) De la misma manera, la constante de fase 'o fue encontrada por comparaciónresultando,

' =�

2rad

(d) A partir de la ecuación dada,

x (t) = 8; 0mCos�5; 0�t+

�

2

�para t = 0; 5s,

x = 8; 0 mCos

�5; 0:�

rad

s:0; 5 s+

�

2rad

�= 8; 0 mCos

�2; 5� rad+

�

2rad�

= 8; 0 mCos (3�)

= �8 m

Para hallar la velocidad usamos (3.10),

v =dx

dt= �!A Sen (!t+ 'o)

= �5; 0�rads:8; 0m Sen

�5; 0�:0; 5 s+

�

2

�= �5; 16 m

s



y, por último, al usar (3.11),

a =dv

dt= �!2ACos (!t+ 'o) = �!2x

= ��5; 0�

rad

s

�2: (�8 m)

= 1; 97:103m

s2

Ejemplo 3.2: Una partícula se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x en un MASa partir del origen en t = 0, siguiendo la ecuación,

x (t) = 4; 00 cm Sen (1; 00�t)

Determine: (a) La velocidad máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre, (b)la aceleración máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre y (c) la distanciatotal recorrida entre t = 0 y t = 2; 00 s.


A = 4; 00 cm

! = 1; 00�rad

s'o = 0 rad

(a) Según (3.21),

vm�ax = �!A = �1; 00�rad

s:4; 00 cm = �4�cm

s

Por otro lado,según (3.19) la ecuación para la rapidez correspondiente a la soluciónsenoidal viene dada por (puesto que ' = 0 rad),

v = !A Cos (!t)

al hacer v = vm�ax (pues como se desplaza hacia la derecha la primera vm�ax espositiva), podemos encontrar el tiempo en la que esta ocurre como sigue,

vm�ax = !A Cos (!t)) Cos (!t) =vm�ax!A

) t =1

!Cos�1

�vm�ax!A

�SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 114


entonces,

t =1

!Cos�1

�vm�ax!A

�=

1

1; 00� rads

Cos�1

4� cm

s

1; 00� rads:4; 00 cm

!=

1

1; 00�

s

radCos�1 (1)

=1

1; 00�

s

rad:0 rad

= 0 s

o también, al usar (3.25) para n = 1 (¿por qué?),

t =1

![(n� 1)� � 'o]

=1

1; 00� rads

:0 rad

= 0 s

(b) Según (3.22),

am�ax = �!2A = ��1; 00�

rad

s

�2:4; 00 cm = �4�2 cm

s2

Por otro lado,según (3.20) la ecuación para la aceleración correspondiente a lasolución senoidal viene dada por (puesto que ' = 0 rad),

a = �!2A Sen (!t)

al hacer a = am�ax (tomando am�ax positiva pues se desplaza hacia la derecha), po-demos encontrar el tiempo en la que esta ocurre como sigue,

am�ax = �!2A Sen (!t)) Sen (!t) = �am�ax!2A

) t =1

!Sen�1

��am�ax!2A

�entonces,

t =1

!Sen�1

��am�ax!2A

�=

1

1; 00� rads

Sen�1

"�

�4�2 cms2�

1; 00� rads

�2:4; 00 cm

#=

1

1; 00�

s

radSen�1 (1)

=1

1; 00�

s

rad:�

2rad

= 0; 5 s




t =1

!

�(2n� 1)

2� � 'o

�=

1

1; 00� rads

1

2�

= 0; 5 s

(d) Al usar (3.27),

d =2A

�(!�t+ 'o) =

2:4 cm

�

�1; 00�

rad

s:2s+ 0

�= 16 cm

Ejemplo 3.3: La posición de una partícula viene dada por,

x = 5cmCos (9:90t)

(a) ¿cuál es la velocidad máxima y en qué tiempo se da?, (b) ¿cuál es la acele-ración máxima y en qué tiempo se da?. Se sabe que t está dado en segundos.

Solución:

(a) Según (3.12),

vm�ax = �!A = �9:90rad

s:5cm = �49; 5cm

s

Por otro lado, al usar (3.16) para n = 1 (¿por qué?),

t =1

!

�(2n� 1)

2� � 'o

�=

1

9:90 rads

1

2�

= 0; 159 s

(b) Según (3.13),

am�ax = �!2A = ��7; 0

rad

s

�2:25; 0 cm = �1225cm

s2

Por otro lado, al usar (3.17) para n = 1 (¿por qué?),

t =1

![(n� 1)� � 'o]

=1

7; 0 rads

(0)

= 0 s



Ejemplo 3.4: La posición de un objeto es

x (t) = 25; 0 cmCos (7; 0t+ �=4)

donde x está dada en metros y t en segundos. Calcule: (a) la velocidad y laaceleración en t = �=3 s, (b) la velocidad máxima y el primer tiempo a la cualésta ocurre, y (c) la aceleración máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre.

Solución:

(a) Por ser cosenoidal la ecuación para la velocidad y la aceleración vienen dadaspor (3.10) y (3.11) respectivamente, por lo tanto,

v =dx


= �7; 0rads:25; 0 cm Sen

�7; 0

rad

s:�

3s+

�

4rad

�= �175cm

sSen

�31

12� rad

�= 169; 04

cm

s

a =dv

dt= �!2A Cos (!t+ 'o)

= ��7; 0

rad

s

�2:25; 0 cm Cos

�7; 0

rad

s:�

3s+

�

4rad

�= �1225cm

s2:Cos

�31

12� rad

�= 317; 05

cm

s2

(b) Según (3.12),

vm�ax = �!A = �7; 0rad

s:25; 0 cm = �175cm

s

Por otro lado, como vimos antes,

v = �!A Sen (!t+ 'o)

al hacer v = vm�ax (la primera vm�ax es positiva), podemos encontrar el tiempo en laque esta ocurre como sigue,

vm�ax = �!A Sen (!t+ 'o)) Sen (!t+ 'o) = �vm�ax!A

) t =1

!

hSen�1

��vm�ax!A

�� 'o

iSOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 117


entonces,

t =1

!

hSen�1

��vm�ax!A

�� 'o

i=

1

7; 0 rads

"Sen�1

�

175 cms

7; 0 rads:25; 0 cm

!� �4rad

#=

1

7

s

rad:hSen�1 (�1)� �

4radi

=1

7

s

rad:

�3�

2rad� �

4rad

�=

1

7s:5

4�

= 0; 56 s


t =1

!

�(2n� 1)

2� � 'o

�=

1

7; 0 rads

�3

2� � 1

4�

�= 0; 56 s

(c) Según (3.13),

am�ax = �!2A = ��7; 0

rad

s

�2:25; 0 cm = �1225cm

s2

Por otro lado,según (3.11) la ecuación para la aceleración correspondiente a lasolución senoidal viene dada por,

a = �!2A Cos (!t+ 'o)

al hacer a = am�ax (tomando am�ax positiva pues se desplaza hacia la derecha), po-demos encontrar el tiempo en la que esta ocurre como sigue,

am�ax = �!2A Cos (!t+ 'o)) Cos (!t+ 'o) = �am�ax!2A

) t =1

!

hCos�1

��am�ax!2A

�� 'o

iSOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 118


entonces,

t =1

!

hCos�1

��am�ax!2A

�� 'o

i=

1

7; 0 rads

"Cos�1

�

1225 cms2�

7; 0 rads

�2:25; 0 cm

!� �4rad

#=

1

7; 0

s

rad

hCos�1 (�1)� �

4radi

=1

7; 0

s

rad:�� rad� �

4rad�

=1

7; 0

s

rad:3

4� rad

= 0; 33 s


t =1

![(n� 1)� � 'o]

=1

7; 0 rads

�� 1

4�

�= 0; 33 s

Ejemplo 3.5: Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple a lo largo del eje x. Sudesplazamiento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación,

x (t) = 4; 00mCos��t+

�

4

�donde t está en segundos y los ángulos en el argumento del coseno están enradianes. Determine: (a) La amplitud, la frecuencia y el período del movimiento,(b) la posición, velocidad y aceleración del cuerpo en t = 1; 00 s, (c) la velocidady aceleración máxima del cuerpo, (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 1; 00 s,y (e) la fase del movimiento en t = 2; 00 s.


A = 4; 00 m

! = �rad

s

'o =�

4rad



(a) Como podemos ver A = 4; 00 m y ! = � rads

. Ahora,

# =!

2�=� rad

s

2�= 0; 5 Hz

�# = 1) � =1

#=

1

0; 5 Hz= 2 s

(b) Para encontrar la posición usamos la ecuación dada,

x (t) = 4; 00mCos��t+

�

4

�= 4; 00mCos

��:1; 00 +

�

4

�= 4; 00m (�0; 707)= �2; 83 m

y, al usar (3.10) y (3.11),

v = �!A Sen (!t+ 'o)

= ��1s:4; 00m: Sen

��:1; 00 +

�

4

�= �:4�m

s(�0; 707)

= 8; 89m

s

a = �!2ACos (!t+ 'o)

= ��1

s

�2:4; 00mCos

��:1; 00 +

�

4

�= �4; 00:�2 (�0; 707) m

s2

= 27; 9m

s2

(c) Al usar (3.12) y (3.13),

vm�ax = �A! = ��1

s:4; 00m = �4�m

s

am�ax = �A!2 = ��1

s

�2:4; 00m = �4�2m

s2

(d) Para calcular el desplazamiento entre t = 0 y t = 1; 00 s, primero calculamos laposición xo en t = 0, luego calculamos la posición x para t = 1; 00 s y por último las


3.2. RESORTES

restamos,

xo = 4; 00mCos��:0 +

�

4

�= 4; 00mCos

��4

�= 4; 00m (0; 707)

= 2; 83 m

x = 4; 00mCos��:1; 00 +

�

4

�= 4; 00mCos

�5�

4

�= 4; 00m (�0; 707)= �2; 83 m

entonces, el desplazamiento vendrá dado por,

�x = x� xo = �2; 83 m� 2; 83 m = �5; 66 m

(e) La fase del movimiento es el argumento del coseno en la ecuación para la posi-ción, por lo tanto,

fase = �t+�

4= �:2; 00 +

�

4=9

4�

3.2 Resortes

3.2.1 Ley de Hooke

Los resortes dan lugar al movimiento armónico simple. La ley de fuerza para elresorte es la Ley de Hooke, según la cual,

La fuerza ejercida por un resorte cuando se re deforma (comprimiéndolo oestirándolo) es proporcional a dicha deformación.

Si el extremo del resorte lo cambiamos de la posición �!r o a la posición �!r , entoncesla fuerza ejercida por el resorte al resistirse a ser deformado vendrá dada por,

�!F = �k (�!r ��!r o) (3.28)

donde K es la llamada constante de elasticidad del resorte, cuyo valor depende delmaterial que lo constituye.



Aquí nos concentraremos sólo en movimientos en una dimensión, por ejemplo enel eje x. En este caso (3.28), se escribe,

F = �kx (3.29)

si colocamos el origen de nuestro sistema de referencia en la posición inicial del ex-tremo del resorte a estirar, de manera que xo = 0. Así, la fuerza es proporcional a laposición del extremo. El signo menos de la ecuación (3.29) hace que la fuerza seafuerza de restauración. Un desplazamiento en dirección +x da lugar a una fuerza queactúa en dirección�x, y viceversa. La segunda ley de Newton nos da la relación entrela fuerza y la aceleración,

F = �kx = ma (3.30)

donde m es la masa de la partícula sujeta al resorte y a su aceleración. Así, la acele-ración de una masa en el extremo de un resorte es proporcional a su desplazamientodel punto de equilibrio,

a = � kmx (3.31)

Como ya vimos antes, una partícula que esté sometida a una fuerza del tipo (3.29)realiza un movimiento armónico simple, por lo tanto, los resortes originan este tipo demovimiento (si despreciamos la fricción).

3.2.2 Unidades de k

Es fácil notar que las unidades de k están formadas por el cociente entre unaunidad de fuerza y una unidad de longitud, por lo tanto, en el sistema M.K.S.C., launidad es,

N

m=Kg

s2

en el c.g.s.s.,din

cm=g

s2

y en el sistema inglés,lbf

pie

El período y la frecuencia vienen dadas por (3.8) y (3.9) respectivamente.

Ejemplo 3.6: Una masa de 200 g está conectada a un resorte ligero cuya constantede elasticidad es 5; 00 N=m y puede oscilar libremente, sobre una pista horizontalsin fricción. Si la masa se desplaza 5; 00 cm desde el equilibrio y se suelta a par-tir del reposo como se muestra en la figura 3.3. Encuentre: (a) El período de su


3.2. RESORTES

movimiento, (b) la velocidad máxima, (c) la aceleración máxima y (d) el despla-zamiento, la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo. Supóngaseque la posición viene dada por (3.5).

Figura (3.3): Ejemplo 3.6.: Una masa de m que está conectada a un resorte ligero.

Solución: La amplitud se define como la máxima posición de la partícula con res-pecto a su posición de equilibrio, punto en el cual la partícula debe tener velocidadnula (está en reposo). Por lo tanto, en este caso la amplitud es,

A = 5; 00 cm = 5; 00:10�2 m

(a) Al usar (3.8),

� = 2�

rm

k= 2�

s0; 2 Kg

5; 00N=m= 1; 26 s

(b) Al usar (3.8),

� =2�

!) ! =

2�

�=

2�

1; 26 s= 5; 00

rad

s

entonces, de(3.12),

vm�ax = �A! = �5; 001

s:5; 00:10�2m = �0; 250m

s

(c) Al usar (3.13),

am�ax = �A!2 = ��5; 00

1

s

�2:5; 00:10�2m = �1; 25m

s2

(d) Al usar (3.5), (3.10), (3.11) y tomar 'o = 0 (pues no se sice nada sobre esta cons-tante) obtenemos,

x (t) = ACos (!t+ 'o)

= 5; 00:10�2mCos (5; 00t)



v =dx


= �5; 001s:5; 00:10�2m Sen (5; 00t)

= �0; 250 msSen (5; 00t)

a =dv

dt= �!2A Cos (!t+ 'o)

= ��5; 00

1

s

�2:5; 00:10�2m Cos (5; 00t)

= �1; 25 ms2Cos (5; 00t)

Ejemplo 3.7: Una masa de 20; 00 Kg cuelga del extremo inferior de un resorte verticalfijo a una viga. La masa se pone a oscilar verticalmente con un período de 7; 30s. Encuentre la constante de elasticidad del resorte.


� = 2�

rm

k) k =

�2�

�

�2m

entonces,

k =

�2�

7; 30s

�2:20; 00 Kg = 14; 81

N

m

Ejemplo 3.8: Un automóvil de 1300 Kg se construye con un armazón soportado porcuatro resortes. Cada resorte tiene una constante de elasticidad de 20000 N=m.Si dos personas que viajan en el auto tienen una masa combinada de 160 Kg.Encuentre: (a) La frecuencia de vibración del auto cuando pasa por un bacheen una calle y (b) el tiempo que tarda el automóvil en ejecutar dos vibracionescompletas. Suponga que la masa está distribuida uniformemente.

Solución: Si la masa está distribuida uniformemente, entonces cada resorte soporta1/4 de la masa total (masa del automóvil + masa de las personas). Por lo tanto, lamasa soportada por cada resorte es,

m =1300 Kg + 160 Kg

4= 365 Kg


3.2. RESORTES

(a) Al usar (3.9),

# =1

2�

rK

m

=1

2�

s20000N

m

365 Kg

=1

2�

s20000Kg

s2

365 Kg

= 1; 18 Hz

(b) El período es,

� =1

1; 18 Hz= 0; 85 s

que es el tiempo empleado para realizar una oscilación completa. Para dos es eldoble, por lo tanto,

2:0; 85 s = 1; 70 s

Ejemplo 3.9: Un resorte se estira 0; 400 m cuando se le cuelga una masa de 1; 00 Kg.El resorte se estira una distancia adicional de 0; 200 m de su punto de equilibrio yluego se suelta. Determínese (a) la constante k del resorte, (b) la amplitud de laoscilación, (c) la velocidad máxima, (d) la aceleración máxima y (e) el período yla frecuencia.

Solución:

(a) La constante k la calculamos a partir de la deformación que sufre el resorte aconsecuencia de aplicarle una fuerza igual a peso correspondiente a la masa de1; 00 Kg, por lo tanto, al usar (3.30),

F = �kz ) k = �Fz) k = �(�mg)

y) k =

mg

z

entonces,

k =1; 00Kg:9; 8m

s2

0; 400 m= 24; 5

N

m

(b) La amplitud va a ser la máxima separación a partir del punto de equilibrio. Cuandoal resorte se le cuelga la masa dada, éste se estira y alcanza una posición de equi-librio. A partir de allí, se estira una distancia adicional de 0; 200 m, en consecuencia,

A = 0; 200 m



(c) A partir de (3.4), la frecuencia angular viene dada por,

! =

rk

m=

s24; 5N

m

1; 00Kg= 4; 95

rad

s

y la máxima rapidez se obtiene a partir de (3.12),

vm�ax = �!A = �4; 95rad

s:0; 200 m = �0; 99 m

s

(d) A partir de (3.13), la aceleración máxima viene dada por,

am�ax = �!2A = ��4; 95

rad

s

�2:0; 200 m = �4; 9m

s2

(e) A partir de (3.8),

� =2�

!=

2�

4; 95 rads

= 1; 269 s

y a partir de (3.9),

# =1

�=

1

1; 269 s= 0; 78 Hz

Ejemplo 3.10: Un bloque de masa desconocida se une a un resorte de constante iguala 3; 00 N=m y experimenta un MAS con una amplitud de 15; 0 cm. Cuando la masaestá a la mitad del camino entre su posición de equilibrio y el punto extremo,se mide su velocidad y se encuentra un valor igual a +5; 00 cm=s. Calcule (a) lamasa del bloque, (b) el período del movimiento y (c) la aceleración máxima delbloque. Supóngase que la posición viene dada por (3.5).

Solución: Primeramente tomamos 'o = 0, pues no ne dice nada sobre esta cons-tante. Además, mientras no se diga lo contrario, nuestra ecuación de x(t) será detipo cosenoidal (3.5), pues es la solución que escogimos para desarrollar el presentecapítulo.

(a) Como v es positiva significa que el bloque se está moviendo hacia la derechaentonces, en este momento, a la mitad del camino entre su posición de equilibrio yel punto extremo x es positiva y vale x = A=2, por lo tanto,

x = ACos (!t)) A

2= ACos (!t)) !t =

�

3(1)

Ahora bien, según (3.10), la rapidez para ' = 0 correspondiente a esta soluciónviene dada por,

v = �!A Sen (!t) (2)


3.2. RESORTES

y, al sustituir (1) en (2),v = �!A Sen

��3

�(3)

pero, según (3.4),

! =

rk

m(4)

entonces, al sustituir (4) en (3),

v = �rk

mA Sen

��3

�) v2 =

kA2

mSen2

��3

�) m = k

�A

v

�2Sen2

��3

�que al sustituir los valores correspondiente,

m = 3; 00N

m

�15; 0 cm

5; 00 cms

�2Sen2

��3

�= 20; 25 Kg

(b) A partir de (4),

! =

s3; 00N

m

20; 25 Kg= 0; 385

rad

s

y, usar (3.8),

� =2�

!=

2�

0; 385 rads

= 16; 3 s

(c) Por último, a partir de (3.13),

am�ax = �!2A = ��0; 385

rad

s

�2:15; 0 cm

= �2; 2cms2

3.2.3 Energía de un oscilador armónico simple

Como vimos antes, la posición de una partícula cuya ecuación de movimientosea (3.3) es,

x (t) = ACos (!t+ 'o) (3.32)

por lo tanto, la energía cinética T vendrá dada por (ejercicio):

T =1

2mv2 =

1

2m

�dx

dt

�2=1

2m!2A2 Sen2 (!t+ 'o) (3.33)



que, al usar la conocida identidad Sen2 � = 1 � Cos2 � y la ecuación (3.32); puede serescrita como (ejercicio),

T =1

2m!2

�A2 � x2

�(3.34)

de la cualpodemos observar que T es máxima para x = 0 y nula cuando x = A (en losextremos).

Al combinar (3.33) y (3.34), obtenemos,

1

2mv2 =

1

2m!2

�A2 � x2

�) v = �!

pA2 � x2 (3.35)

La velocidad máxima se obtiene cuando x = 0 obteniéndose, en concordancia con(??),

v = �!A (3.36)

La energía potencial vendrá dada por el trabajo realizado para desplazar a la par-tícula desde una posición 0 hasta una posición x en contra de la fuerza (3.1); por lotanto:

U(x) = �Z x

0

F (x) dx (3.37)

de aquí que, al usar (3.1) en (3.37), nos queda (ejercicio):

U(x) =1

2kx2 (3.38)

Entonces, la energía mecánica total E de la partícula será (ejercicio):

E = T + U =1

2kA2 (3.39)

que, como es fácil apreciar, es una constante para una amplitud dada. Como laenergía mecánica es constante, se dice que el OAS es un sistema es conservativo

De lo anterior podemos observar que durante una oscilación hay un intercambiocontinuo de energías potencial y cinética. Al alejarse de la posición de equilibrio,la energía potencial aumenta a expensas de la energía cinética; lo inverso sucedecuando la partícula se acerca hacia la posición de equilirio.

La figura 3.4 es la representación gráfica de la energía potencial (3.38). Para unaenergía total dada E, correspondiente a la línea horizontal, los límites de la oscilaciónestán determinados por sus intersecciones con la curva de energía potencial ( a estospuntos se les da el nombre de puntos de retorno y en ellos T = 0 ). Como la parábolaes simétrica, los límites de oscilación (puntos de retorno) se encuentran a distancias


3.2. RESORTES

Figura (3.4): Energía en el oscilador armónico simple.

iguales a �A del origen. En cualquier punto x la energía cinética T está dada por ladistancia entre la curva U(x) y la línea E:

Ejemplo 3.11: ¿Cuál es la energía total de una masa m que se mueve con amplitudde 25 cm en una mesa plana sin fricción, y está fija a un resorte cuya constante es33 N=m?.

Solución: Al usar la ecuación (3.39),

E =1

2kA2 =

1

2:33N

m:�25:10�2m

�2= 1; 03 J

Ejemplo 3.12: Un automóvil que tiene una masa de 2500 Kg se dirige hacia un murode ladrillos en una prueba de seguridad. El parachoques se comporta como unresorte de constante igual a 8; 0:106 N=m y se comprime 5; 00 cm cuando el auto selleva al reposo. ¿cuál fue la velocidad del auto antes del impacto, suponiendoque no se pierde energía durante el impacto con la pared?.

Solución: Aquí, por conservación de la energía, toda la energía cinética T queposeía el automóvil antes de detenerse se convierte en energía potencial U del para-choques que se comporta como resorte, de aquí que,

T = U (1)

pero por (3.33),

T =1

2mv2 (2)

y por (3.38),

U =1

2kx2 (3)




1

2mv2 =

1

2kx2 ) v =

rk

mx

por lo tanto,

v =

s8; 0:106N

m

2500 Kg:5; 00:10�2m = 2; 83

m

s

Ejemplo 3.13: Una masa de 0; 500 Kg conectada a un resorte ligero de k = 20; 0 N=m

oscila sobre una pista horizontal sin fricción. Calcular: (a) La energía total delsistema y la velocidad máxima de la masa si la amplitud del movimiento es 3; 00cm, (b) la velocidad de la masa cuando la posición es 2; 00 cm, (c) la energíacinética y potencial del sistema cunado x = 2; 00 cm y (d) los valores de x para loscuales la velocidad de la masa es igual a 0; 100 m=s.

Solución:

(a) Al usar la ecuación (3.39),

E =1

2kA2 =

1

2:20; 0

N

m:�3; 00:10�2m

�2= 9; 00:10�3 J

La velocidad máxima se consigue cuando la energía potencial de la masa se hacecero, por lo tanto, su energía cinética T se hace igual a la energía total E [verecuación (3.39)], entonces, al usar(3.33),

T =1

2mv2 = E ) v =

r2E

m

de aquí que,

v =

s2:9; 00:10�3 J

0; 500 Kg

=

s18; 00:10�3 Kg:m

2

s2

0; 500 Kg

= 0; 190m

s

(b) Según (3.4),

! =

s20; 0N=m

0; 500Kg= 6; 32

rad

s


3.2. RESORTES

entonces, de (3.35),

v = �!pA2 � x2

= �6; 321s

q(3; 00:10�2m)2 � (2; 00:10�2m)2

= �0; 141 ms

(c) Al usar (3.34),

T =1

2m!2

�A2 � x2

�=

1

2:0; 500 Kg:

�6; 32

1

s

�2 h�3; 00:10�2m

�2 � �2; 00:10�2m�2i= 4; 99:10�3J

y de (3.38),

U(x) =1

2kx2

=1

2:20; 0

N

m:�2; 00:10�2m

�2= 4; 00:10�3J

Observemos que,T + U t 9; 00:10�3J = E

(d) Al usar (3.35),

v = �!pA2 � x2 ) x = �

rA2 �

� v!

�2entonces,

x = �

s(3; 00:10�2m)2 �

�0:100 m

s

6; 321s

�2= �0; 0255 m = �2; 55 cm

Ejemplo 3.14: Una persona de 120 Kg salta desde una ventana a una red contra in-cendio 10 m abajo, con lo que ésta se estira 2; 0 m. (a) Suponga que la red secomporta como un resorte simple y calcule cuánto se estiraría si la persona es-tuviera encima de ella, (b) ¿cuánto se estiraría si la persona se arrojara desde 15m?.

Solución: Tomemos mp la masa de la persona, h la distancia entre la ventana y lared, y x el estiramiento de la red.



Lo primero que tenemos que calcular es la constante de elasticidad k de la red.Para esto, calculamos primero la rapidez v de la persona cuando llega a la red. Estemovimieto lo realiza en caida libre, por lo que,

v2 = 2gh (1)

y la energía cinética T en este momento es, por (3.33),

T =1

2mv2 (2)

y la energía potencial U adquirida por la red debido al estiramiento x (puesto que lared se comporta como un resorte) por (3.38),

U =1

2kz2 (3)

donde se ha usado z en vez de x ya que el movimiento es vertical.

Por conservación de la energía, toda la energía cinética que tenía la persona altocar la red debe convertirse en energía potencial de la red cuando detiene a lapersona, por lo tanto,

T = U (4)

Al sustituir (2) y (3) en 4 tomando en cuenta (1),

1

2m (2gh) =

1

2kz2 ) k =

2mgh

y2(5)

por lo tanto,

k =2:120Kg:9; 8m

s2:10 m

(2; 0 m)2= 5; 88:103

N

m

(a) La persona aplica una fuerza F sobre la red igual a su peso w,

F = w = �mg (6)

Por otro lado, según (3.29), la fuerza que aplica la red sobre la persona es,

F = �kz (7)

entonces, al igualar (6) y (7) resulta,

�mg = �kz ) z =mg

k

por lo tanto,

z =120Kg:9; 8m

s2

5; 88:103Nm

= 0; 2 m


3.2. RESORTES

(b) Al usar (5),

k =2mgh

y2) z =

r2mgh

k

entonces,

z =

s2:120Kg:9; 8m

s2:15m

5; 88:103Nm

= 2; 4 m

Ejemplo 3.15: Una masa de 5; 0 Kg, fija a un resorte, tiene MAS a lo largo del eje x, ysu período es 1; 0 s. Si la energía total de resorte y masa es 750; 0 J , ¿cuál es laamplitud de la oscilación?.


� = 2�

rm

k) k =

�2�

�

�2m

entonces,

k =

�2�

1; 0 s

�2:5; 0 Kg = 197; 39

N

m

Ahora, al usar la ecuación (3.39),

E =1

2kA2 ) A =

r2E

k

entonces,

A =

s2:750; 0 Nm

197; 39Nm

= 2; 76 m

Ejemplo 3.16: Un resorte con un pollo de 3; 5 Kg en su extremo, se comprime 5 cm

respecto al equilibrio y se suelta. La constante del resorte es k = 10 N=m. Con laconservación de la energía, calcular la rapidez máxima del pollo.

Solución: Al usar la ecuación (3.39), la energía mecánica total viene dada por,

E =1

2kA2 (1)

y de (3.33), la energía cinética viene dada por,

T =1

2mv2 (2)

Por conservación de energía, el pollo alcanza la rapidez máxima cuando toda laenergía mecánica E se hace igual a su energía cinética T , por lo tanto,

E = T (3)




1

2kA2 =

1

2mv2 ) v =

rk

mA (4)

por lo tanto,

v =

s10N

m

3; 5Kg:5 cm = 8; 45

cm

s

Es de hacer notar que (4) corresponde con (3.12) puesto que ! =q

km

.

Ejemplo 3.17: La posición de una partícula ligada a un resorte de constante 1:103 Nm

enestá dada por la expresión,

x (t) = 8; 0mCos�5; 0�t+

�

2

�donde x está dada en metros y t en segundos. Determine: (a) la energía mecá-nica total, (b) la energía cinética y la potencial en t = 0; 19 s.


A = 8; 0 m

! = 5; 0�rad

s

'o =�

2rad

(a) Al usar (3.39),

E =1

2kA2

=1

2:1:103

N

m: (8; 0 m)2

= 3; 2:104 J

(b) En t = 5 s,

x (t) = 8; 0mCos�5; 0�:0; 19 +

�

2

�= 8; 0 m: (0; 9968)

= 7; 97 m

y, al usar (3.34),

T =1

2m!2

�A2 � x2


3.3. ALGUNOS SISTEMAS ARMÓNICOS

pero de (3.4),

!2 =k

m

entonces,

T =1

2k�A2 � x2

�=

1

2:1:103

N

m:�(8; 0 m)2 � (7; 97 m)2

�= 2; 40:102 J

Por último, a partir de (3.38),

U =1

2kx2

=1

2:1:103

N

m: (7; 97 m)2

= 3; 18:104J

Observemos que,T + U = 3; 2:104J = E

3.3 Algunos sistemas armónicos

3.3.1 El péndulo simple

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida delpunto O por una cuerda de longitud ` y de masa despreciable como se muestraen la figura 3.5.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones debemos encontrar la ecuaciónde movimiento de la partícula. Esta se mueve en un arco de circunferencia de radio`: Las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso �!w = m�!g y la tensión de lacuerda que denotaremos como

�!T c: De la figura se ve que la componente tangencial

del peso es,

wx = �mg Sen � (3.40)

donde el signo menos se debe a que se opone siempre al desplazamiento s = CA: Laecuación de movimiento tangencial vendrán dada entonces, a partir de (3.2), por:

Fx = wx = max (3.41)



Figura (3.5): Fuerzas actuantes en un péndulo simple.

en la que la aceleración tangencial ax viene dada por,

ax =d2s

dt2=d2 (`�)

dt2= `

d2�

dt2(3.42)

puesto que s = CA = `� (longitud de arco). Entonces, de (3.40), (3.41) y (3.42) podemosescribir,

d2�

dt2+g

`Sen � = 0 (3.43)

ahora, si cuponemos oscilaciones de pequeña amplitud (esto es, � pequeño), en-tonces:

Sen � ' � (3.44)

por lo tanto, (3.43) se escribe ahora como:

d2�

dt2+g

`� = 0 (3.45)

que es idéntica a (3.3) con,

!2 =g

`(3.46)

entonces, el período de un péndulo simple es:

� = 2�

s`

g(3.47)



donde podemos notar que el período es independiente de la masa del pédulo. Sufrecuencia será,

# =1

�=1

2�

rg

`(3.48)

Ejemplo 3.18: Un péndulo simple tiene un período de 7; 50 s en la Tierra, (a)¿cuál es sulongitud?, (b) ¿cuál sería su período en la luna donde gluna = 1; 67 m=s2?.

Solución:

(a) A partir de (3.47),

� = 2�

s`

g) ` =

� �2�

�2g

entonces,

` =

�7; 50 s

2�

�2:9; 8

m

s2= 13; 96 m

(b) Igualmente, a partir de (3.47),

�Luna = 2�

s`

gLuna= 2�

s13; 96 m

1; 67m=s2= 18; 17 s

Ejemplo 3.19: Un péndulo simple tiene una longitud de 10; 00 m. Determine el cambioen su período si éste se toma desde un punto donde g = 9; 80 m=s2 hasta unaelevación donde la aceleración en caída libre disminuye a 9; 70 m=s2.


� = 2�

s`

g

para el primer caso,

� 1 = 2�

s10; 00 m

9; 80ms2

= 6; 346975 s

y para el segundo caso,

� 2 = 2�

s10; 00 m

9; 70ms2

= 6; 379608 s

entonces el cambio �P en el período vendrá dado por,

�� = � 2 � � 1 = 6; 379608 s� 6; 346975 s = 3; 26:10�2s

es decir, el período aumentó cuando el péndulo fue elevado hasta su nueva posición.



Ejemplo 3.20: El péndulo de un reloj (tomado como pédulo simple) tiene un períodode 2 s cuando g = 9; 8 m=s2. Si la longitud del péndulo, se incrementa en 4 mm¿cuánto se atrasará el reloj en 24 horas?.


� = 2�

s`

g) ` =

� �2�

�2g

entonces,

` =

�2 s

2�

�2:9; 8

m

s2= 0; 9929 m

Ahora, si esta longitud la incrementamos en 1mm = 10�3m,

� = 2�

s0; 9929 m+ 0; 004m

9; 8ms2

= 2; 003 s

por lo tanto, el período se incrementa en 0; 003 s cada 2 s. En 24 h, que son 86400 s, esteincremento corresponderá a un tiempo de,

86400:0; 003 s

2= 129; 6 s

que representa el atraso del reloj debido al incremento en la longitud del péndulo.

Ejemplo 3.21: Un péndulo simple de 0; 50 m de longitud se cuelga en un lugar donde ges 9; 79 m=s2. ¿Cuál es el período del péndulo?.


� = 2�

s`

g

por lo tanto,

� = 2�

s`

g= 2�

s0; 50 m

9; 79ms2

= 1; 42 s

Ejemplo 3.22: Un péndulo simple tiene una frecuencia de 0; 50 Hz. La longitud de suhilo es 1; 00 m. ¿Cuál es el valor local de g?.


# =1

2�

rg

`) g = 4�2# 2`

por lo tanto,

g = 4�2�0; 50

1

s

�2:1; 00 m = 9; 87

m

s2



Ejemplo 3.23: El lector necesita medir la altura de un recinto. Tiene un reloj, pero nocinta métrica. Un péndulo con una masa puntual en su extremo cuelga del techohasta el piso, y tiene un período � = 12 s. ¿Cuál es la altura del recinto?.

Solución: Como el péndulo llega al suelo, su longitud es igual a la altura del recinto.A partir de (3.47),

� = 2�

s`

g) ` =

� �2�

�2g

por lo tanto,

` =

�12 s

2�

�2:9; 8

m

s2= 35; 75 m

Ejemplo 3.24: La diferencia de temperatura del verano al invierno hace que la longi-tud de un péndulo de un reloj, cuyo período es de 2 s, varíe en una parte en 10000.¿Qué error en la medida del tiempo se presentará en 1 d�{a?.


� = 2�

s`

g) ` =

� �2�

�2g

entonces,

` =

�2 s

2�

�2:9; 8

m

s2= 0; 992947 m

Ahora, si esta longitud la incrementamos en 110000

` = 9; 92:10�5 m,

� = 2�

s0; 9929 m+ 9; 92:10�5 m

9; 8ms2

= 2; 000052 s

por lo tanto el período se incrementa en 0; 000052 s cada 2 s. En 1 d�{a, que son 86400 s,este incremento corresponderá a un tiempo de,

86400:0; 000052 s

2= 2; 2 s

que representa el error cometido.

3.3.2 El péndulo físico

Un péndulo físico (o compuesto) es cualquier cuerpo rígido de masa m quepuede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la gra-vedad.



Figura (3.6): Fuerzas en un péndulo físico.

En la figura 3.6 se muestra un cuerpo irregular en esta situación. El torque restau-rador para el desplazamiento angular � viene dado por (verificarlo):

T = �mgd Sen � (3.49)

donde d es la posición del centro de gravedad con respecto al punto de giro. Sisuponemos ahora desplazamientos angulares pequeños, podemos escribir:

T = �mg�d (3.50)

Pero, como sabemos de nuestros estudios de la dinámica rotacional, el torque serelaciona con el momento de inercia4 I mediante:

T = I d2�

dt2(3.51)

por lo tanto, de (3.50) y (3.51) obtenemos,

d2�

dt2+

�mgdI

�� = 0 (3.52)

que tiene la misma forma que (3.3), con:

!2 =mgdI

(3.53)

de aquí que el período � del péndulo físico sea,

4 Para refrescar conocimientos, revisar el capítulo 9 del volumen I del texto [4] Movimiento rotacionalalrededor de un eje.



� =2�

!= 2�

sI

mgd(3.54)

y su frecuencia será,

# =1

�=1

2�

rmgdI

(3.55)

Notemos que todo el razonamiento anterior se aplica a un objeto laminar de cual-quier forma y que el pivote puede estar localizado en cualquier punto del cuerpo.

Para refrescar conocimientos acerca del cáculo del momento de inercia de uncuerpo puede consultarse el capítulo 12 (sección 12.5) del [3] o capítulo 10 (sección10.5) del [17], por ejemplo.

Del curso de física I sabemos que (teorema de Steiner),

I = Icm +mD2 (3.56)

que nos dice que el momento de inercia I con respecto a un eje paralelo al que pasapor el centro de masa es igual al momento de inercia del cuerpo con respecto alcentro de masa Icm más el producto de la masa m del cuerpo por el cuadrado dela distancia que separa dichos ejes D. Por lo tanto, (3.54) y (3.55) pueden ser escritasahora como,

� = 2�

sIcm +mD

2

mgd(3.57)

# =1

2�

smgd

Icm +mD2(3.58)

Ejemplo 3.25: Una manera fácil de medir el momento de inercia de un objeto alrede-dor de cualquier eje es medir el período de oscilación alrededor de ese eje. Porejemplo, supóngase que una barra no uniforme de 5; 0 Kg puede equilibrarse enun punto de 20 cm del eje de giro. Si se hace oscilar alrededor de ese extremo, lohace con una frecuencia de 1; 0 Hz.. ¿Cuál es su momento de inercia alrededorde ese extremo?.

Solución: La distancia entre el punto de equilibrio y el eje de giro es d. Al usar laecuación (3.55),

# =1

2�

rmgdI

) I =mgd(2�#)2

entonces,

I =5; 0Kg:9; 8m

s2:20:10�2m�

2�:1; 01s

�2 = 0; 248 Kg:m2



Ejemplo 3.26: Una varilla delgada y uniforme (ver figura 3.7) de largo L = 2; 00 m ymasa M = 250 g está sostenida por uno de sus extremos. (a)¿Cuál es su período?,(b) ¿Cuál será la longitud de un péndulo simple que tenga el mismo período?. (Elmomento de inercia de una varilla delgada alrededor de un eje que pase poruno de sus extremos es

I =1

3ML2

donde L es la longitud de la varilla y M es su masa. El centro de gravedad deuna varilla uniforme se encuentra a la mitad de su longitud).

Figura (3.7): Ejemplo 3.26: Varilla delgada y uniforme de largo L y masa M sostenida por uno de susextremos.

Solución:

(a) Al usar (3.54), al tener presente que el momento de inercia es I = 13ML2 y que

como la barra es homogénea su centro de gravedad se encuentra a d = L2

conrespecto a sus extremos, podemos escribir,

� = 2�

sI

Mgd= 2�

s13ML2

MgL2

= 2�

s2L

3g

entonces,

� = 2�

s2:2; 00m

3:9; 8ms2

= 2; 32 s

(b) A partir de la ecuación para el período del péndulo simple (3.47),

� = 2�

sL

g) L =

� �2�

�2g



entonces, al sustituir el período encontrado en (a),

L =

�2; 32 s

2�

�2:9; 8

m

s2= 1; 34 m

Ejemplo 3.27: Calcule el período de una regla métrica homogénea que gira alrede-dor de uno de sus extremos y que oscila en un plano vertical, como se muestraen la figura 3.7.

Solución:

(a) Al usar (3.54), al tener presente que el momento de inercia es I = 13ML2 y que

como la regla es homogénea su centro de gravedad se encuentra a d = L2

conrespecto a sus extremos, podemos escribir,

� = 2�

sI

Mgd= 2�

s13ML2

MgL2

= 2�

s2L

3g

entonces, debido a que la longitud de la regla es de 1 m,

� = 2�

s2:1m

3:9; 8ms2

= 1; 64 s

Ejemplo 3.28: Un péndulo físico en forma de un cuerpo plano efectúa un movimientoarmónico simple con una frecuencia de 0; 450 Hz. Si el péndulo tiene una masade 2; 20 Kg y el pivote se localiza a 0; 350 m del centro de masa, determine elmomento de inercia del péndulo.

Solución:Al usar (3.55) y tener presente que d = 0; 350 m con respecto a sus extremos, pode-

mos escribir,

# =1

2�

rMgdI

) I =Mgd4�2#2

entonces,

I =2; 20Kg:9; 8m

s2:0; 350 m

4�2�0; 4501

s

�2= 0; 944 Kgm2

Ejemplo 3.29: Un objeto plano tiene un momento de inercia I�respecto a su centro demasa. Cuando se hace girar alrededor del punto P1, que se encuentra a unadistancia h1 del centro de masa. oscila con un período � . Existe otro punto P2



en el lado opuesto del centro de masa, a una distancia h2 del centro de masa,respecto al cual el objeto oscila con el mismo período. Demuestre que

h1 + h2 =g� 2

4�2

Solución: Al usar (3.57) para P1 se tiene que,

� = 2�

sIcm +mD

21

mgd1= 2�

sI�+mh21mgh1

(1)

y para P2,

� = 2�

sIcm +mD

22

mgd2= 2�

sI�+mh22mgh2

(2)

Ahora, si despejamos I�en cada caso,

� = 2�

sI�+mh21mgh1

) I�= mgh1

� �2�

�2�mh21 (3)

� = 2�

sI�+mh22mgh2

) I�= mgh2

� �2�

�2�mh22 (4)

Por último, al igualar (3) con (4),

mgh1

� �2�

�2�mh21 = mgh2

� �2�

�2�mh22

g� 2

4�2(h2 � h1) = h22 � h21

g� 2

4�2= h2 + h1

como se quería demostrar.

Ejemplo 3.30: Un anillo de 0; 10 m de radio está suspendido de una varilla como seilustra en la figura 3.8. Determinar su período de oscilación.

Solución: El momento de inercia con respecto al centro de masa Icm del anillo es,

Icm = mR2 (1)

Para encontrar el momento de inercia I con respecto al eje que pasa por O, usamosel teorema de Stainer,

I = Icm +mD2 = mR2 +mD2 (2)



Figura (3.8): Ejemplo 3.30: Un anillo de radio r suspendido de una varilla.

de la figura es fácil notar que D = R, por lo tanto,

I = mR2 +mR2 = 2mR2 (3)

Por otro lado, a partir de (3.57),

� = 2�

sI

mgd= 2�

sI

mgR(4)

puesto que d = R.

Por último, al sustituir (3) en (4),

� = 2�

s2mR2

mgR= 2�

s2R

g(5)

entonces,

� = 2�

s2R

g

= 2�

s2:0; 10 m

9; 8ms2

= 0; 88 s

Ejemplo 3.31 Una esfera (ver figura 3.9) de radio R está suspendida desde un punto fijopor una cuerda, de modo que la distancia desde el centro de la esfera al puntode suspensión es `. Encontrar el período del péndulo.

Solución: No podemos considerar el péndulo como simple, a menos que ` sea muygrande comparado con R. El momento de inercia Icm de una esfera con respecto a



Figura (3.9): Ejemplo 3.31: Una esfera de radio R suspendida desde un punto fijo por una cuerda.

un eje que pasa por su centro de masa es,

Icm =2

5mR2 (1)

Ahora, el momento de inercia I con respecto al punto de suspensión lo encontramosa partir del teorema de Stainer,

I = Icm +mD2 =

2

5mR2 +mD2 (2)

pero como D = `, entonces,

I =2

5mR2 +m`2 (3)


� = 2�

sI

mgd= 2�

sI

mg`(4)

puesto que d = `.

Por último, al sustituir (3) en (4),

� = 2�

s25mR2 +m`2

mg`= 2�

vuut `

g

"1 +

2

5

�R

`

�2#

3.4 El oscilador amortiguado

3.4.1 Ecuación de movimiento

Si ahora el sistema mostrado en la figura 3.1 lo introducimos en un medio queofrece resistencia al movimiento (ver figura 3.10), y supongamos además, que la fuerza


3.4. EL OSCILADOR AMORTIGUADO

de resistencia obedece la siguiente relación:

Figura (3.10): Oscilador amortiguado

�!F roce = �b�!v (3.59)

donde b es una constante positiva relacionada con las propiedades del medio re-sistente y �!v es la velocidad de la partícula, entonces la ecuación de movimientopara la partícula será ahora:

md2x

dt2= �kx� bv (3.60)

que podemos escribir, después de arreglos triviales, como:

d2x

dt2+ 2�

dx

dt+ !2ox = 0 (3.61)

donde,

� =b

2my !2o =

k

m(3.62)

siendo !2o, como es fácil notar, la frecuencia angular sin amortiguamiento.

Las solucines de (3.61) para un amortiguamiento débil (sub-amortiguado) cuando� < !o son (en este nivel no somos capaces aún de resolver este tipo de ecuaciones,por lo tanto, tomemos la soluciones siguientes como ciertas 5),

x(t) = Aamort Sen (!amortt+ 'o) (3.63)

x(t) = AamortCos (!amortt+ 'o) (3.64)

donde,

5 Para los lectores curiosos y que desean siempre ir un paso adelante, es recomendada la lectura de lasección 3.7.1, pág. 169 del texto [11].



!amort =

q!2o � �2 =

rk

m� b2

4m2(3.65)

Aamort = �Aoe��t (3.66)

Usaremos como solución (3.63) a menos que se indique lo contrario. La ecuación(3.65) indica que el efecto del amortiguamiento es disminuir la frecuencia de las os-cilaciones.

Figura (3.11): Oscilador sub-amortiguado.

Debido al exponente negativo, la amplitud Aamort decrece a medida que el tiempoaumenta, resultando un movimiento amortiguado (ver figura 3.11).

Si el amortiguamiento es muy grande, � puede ser mayor que !o; por lo tanto (3.65)se hace imaginaria (oscilador sobre-amortiguado). En este caso no hay oscilaciones yla partícula, si se la desplaza y se le deja libre, se aproxima gradualmente a la posiciónde equilibrio sin pasarla o, a lo más, pasándola una sola vez. En el caso en que �

sea igual a !o, se dice que el oscilador posee un amortiguamiento crítico. La energíaperdida por la partícula en oscilaciones amortiguadas es absorbida por el medio quele rodea.



3.4.2 Velocidad y aceleración

La velocidad viene dada por la primera derivada con respecto del tiempo de laecuación (3.63), por lo tanto,

v =dx

dt=d

dt

�Aoe

��t Sen (!amortt+ 'o)�

= Aod

dt

�e��t Sen (!amortt+ 'o)

�= Aoe

��t [!amortCos (!amortt+ 'o)� � Sen (!amortt+ 'o)] (3.67)

o también,v = ��x+ !amort

q(Aoe��t)

2 � x2 (3.68)

y la aceleración viene dada por,

a =d2x

dt2=dv

dt

=d

dt

�Aoe

��t [!amortCos (!amortt+ 'o)� � Sen (!amortt+ 'o)]

= �Aoe��t�2�!amortCos (!amortt+ 'o) +

�!2amort � �2

�Sen (!amortt+ 'o)

�(3.69)

o también,a =

��2 � !2amort

�x� 2�!amort

q(Aoe��t)

2 � x2 (3.70)

Ejemplo 3.32: Una masa en un resorte con frecuencia angular natural !o = 38 rad=s, secoloca en un ambiente en el cual hay una fuerza de amortiguamiento propor-cional a la velocidad de la masa. Si la amplitud se reduce a 0; 82 veces su valorinicial en 9; 9 s, ¿cuál es la frecuencia angular del movimiento amortiguado?.

Solución: Aquí Aamort = 0; 82 Ao y t = 9; 9s, entonces al usar (3.66),

Aamort = Aoe��t ) 0; 82 Ao = Aoe

�9;9s �

) � = � 1

9; 9sln (0; 82)) � = 0; 02

rad

s

Ahora, al usar (3.65),

!amort =

q!2o � �2

=

s�38rad

s

�2��0; 02

rad

s

�2= 37; 999995

rad

s



Ejemplo 3.33: Un oscilador armónico, con período natural � o = 1; 5 s, se coloca en unambiente donde su movimiento se amortigua, con una resistencia proporcionala su velocidad. La amplitud de la oscilación baja a 50 % de su valor original en9; 0 s. ¿Cuál es el período del oscilador en el nuevo ambiente?.

Solución: Aquí Aamort = 50% Ao = 0; 5Ao y t = 9; 0s, entonces al usar (3.66),


�9;0 s �

) � = � 1

9; 0sln (0; 5)) � = 0; 08

rad

s

y a partir de (3.8),

!o =2�

� o=

2�

1; 5s= 4; 18

rad

s


!amort =

q!2o � �2

=

s�4; 19

rad

s

�2��0; 08

rad

s

�2= 4; 18

rad

sentonces,

�Amort =2�

!amort=

2�

4; 18 rads

= 1; 503 s

Ejemplo 3.34: Supón que se está examinando la suspensión de un carro de 2000; 0 Kgde masa. La suspensión se comprime 10; 0 cm debido a todo el peso del carro.Además, la amplitud de la oscilación disminuye en 50% durante una oscilacióncompleta. Calcula los valores de la constante de elasticidad k del resorte yde amortiguamiento b del sistema amortiguador en cada rueda. Considera quecada rueda soporta 500; 0 Kg.

Solución: La constante de elasticidad de cada resorte, según (3.30), vendrá dadapor,

k = �Fz= �(�mg)

z=500; 0Kg:9; 8m

s2

0; 10m= 4; 90:104

N

m

Por otro lado, aquí Aamort = 50% Ao = 0; 5Ao y como lo hace en una oscilación completat = � = 2�

!amort, entonces al usar (3.66),


� 2�!amort

�

) 2��p

!2o � �2| {z }Por (3.65)

= � ln (0; 5)) 2��p

!2o � �2= 0; 693

) b = 1086Kg

s



donde debemos tener presente que por (3.62) � = b2m

.

Ejemplo 3.35: Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de ma-nera que su posición viene dada por,

x(t) = 10m e��3t Sen

�2�

5t+

�

3

�donde x está en metros y t en segundos. Encuentre: (a) La frecuencia angular,la constante de fase y �; (b) la amplitud al cabo de 1; 0 s; (c) la velocidad yaceleración en t = 2; 0 s.

Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con(3.63), por lo tanto, al compararlas, encontramos que,

Ao = 10 m

!amort =2�

5

rad

s

'o =�

3rad

� =�

3

rad

s

(a) De lo anterior,

!amort =2�

5

rad

s

'o =�

3rad

� =�

3

rad

s

(b) En este caso la amplitud Aamort viene dada por,

Aamort = 10m e��3t

= 10m e��3

= 3; 5 m

(c) Al usar (3.67),

v = Aoe��t [!amortCos (!amortt+ 'o)� � Sen (!amortt+ 'o)]

= 10m e��3t

�2�

5s�1Cos

�2�

5t+

�

3

�� 3s�1 Sen

�2�

5t+

�

3

��SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 151


que, en t = 2; 0 s,

v = 10m

s�e�

2�3

�2

5Cos

�17�

15

�� 13Sen

�17�

15

��= �0; 89m

s

y al usar (3.69),

a = �Aoe��t�2�!amortCos (!amortt+ 'o) +

�!2amort � �2


�= �10m e�

�3t

�4�2

15s�2Cos

�2�

5t+

�

3

�+11�2

225s�2 Sen

�2�

5t+

�

3

��que, en t = 2; 0 s,

a = �10ms2�2e�

�3t

�4

15Cos

�17�

15

�+11

225Sen

�17�

15

��= 9; 13

m

s2

Ejemplo 3.36 Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de ma-nera que su posición viene dada por,

x(t) = 25cm e��10t Sen

�3�

5t

�donde x está en metros y t en segundos. Encuentre: (a) la constante de fase y �;(b) el período; (c) la amplitud al cabo de 5; 0 s; (d) la velocidad y aceleración ent = 1; 0 s.


Ao = 25 cm

!amort =3�

5

rad

s'o = 0 rad

� =�

10

rad

s

(a) De lo anterior,

'o = 0 rad

� =�

10

rad

s



(b) El período viene dado por,

�amort =2�

!amort

=2�

3�5s�1

= 3; 33 s

(c) En este caso la amplitud Aamort viene dada por,

Aamort = 25 cm e��10:5;0

= 25 cm e��2

= 5; 2 cm

(d) Al usar (3.67),


= 25cm e��10t

�3�

5s�1Cos

�3�

5t

��

10s�1 Sen

�3�

5t

��que, en t = 1; 0 s,

v = 25cm

s�e�

�10

�3

5Cos

�3�

5

�� 1

10Sen

�3�

5

��= �16; 1cm

s

y al usar (3.69),

a = �Aoe��t e��10t�2�!amortCos (!amortt+ 'o) +

�!2amort � �2


�= �25cm e�

�10t

�3�2

25s�2Cos

�3�

5t

�+7�2

20s�2 Sen

�3�

5t

��que, en t = 1; 0 s,

a = �25cms2�2e�

�10

�3

25Cos

�3�

5

�+7

20Sen

�3�

5

��= �53; 3cm

s2

Ejemplo 3.37 ¿Cuál es la ecuación que describe el movimiento de un cuerpo de 10

Kg que está unido a un resorte de constante k = 200 N=m y que oscila a lo largodel eje x en un medio viscoso cuya constante de amortiguamiento es 50 Kg=s,sabiendo que el movimiento se inició cuando el cuerpo se encontraba a 1; 0 m

del punto en el cual el resorte estaba en su posición relajada. Suponga que laposición del cuerpo viene dada por (3.63).




� =b

2m

=50Kg

s

2:10 Kg

=5

2s�1

y, al usar (3.65),

!amort =

rk

m� �2

=

s200N

m

10 Kg��5

2s�1�2

=

s20

Kg ms2

m

Kg� 254s�2

= 3; 70 s�1

entonces, a partir de (3.63),

x(t) = 1; 0 m e�52t Sen (3; 70t)

donde se ha tomado 'o = 0, por no mencionarse nada adicional sobre ella en elenunciado.

Ejemplo 3.38 Un resorte se estira 20 cm cuando se le cuelga una masa de 30Kg (puestoen posición vertical). Si a este resorte se le une un cuerpo de 25 Kg de tal maneraque el sistema se mueva a lo largo del eje x en un medio cuya constante deamortiguamiento es de 30 Kg=s y si la amplitud inicial es de 55 cm, encuentre (a)la posición del cuerpo en función del tiempo, (b) la posición del cuerpo al cabode 1; 5 s. Suponga que la posición del cuerpo viene dada por (3.63).

Solución: A partir de la ley de Hooke (3.29),

F = �kz

donde F es el peso del cuerpo, por lo tanto,

�mg = �kz ) k =mg

z

entonces,

k =30Kg:9; 8m

s2

0; 20 m

= 1470N

m



(a) Al usar (3.62),

� =b

2m

=30Kg

s

2:25 Kg

=3

5s�1

y, al usar (3.65),

!amort =

rk

m� �2

=

s1470N

m

25 Kg��3

5s�1�2

=

s58; 8

Kg ms2

m

Kg� 9

25s�2

= 17; 1s�1

entonces, a partir de (3.63),

x(t) = 55 cm e�35t Sen (17; 1t)

donde se ha tomado 'o = 0, por no mecinarse nada adicional sobre élla en elenunciado.

(b) Para t = 1; 5 s,

x(t) = 55 cm e�35:1;5 Sen (17; 1:1; 5)

= 11 cm

Ejemplo 3.39 Un cuerpo oscila con movimiento amortiguado a lo largo del eje x. Sudesplazamiento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación,

x (t) = 4; 00 m e�t Sen (5t)

donde t está en segundos y x en metros. Determine: (a) La frecuencia y elperíodo del movimiento, (b) la posición, velocidad y aceleración del cuerpo ent = 1; 00 s.




Ao = 4; 00 m

!amort = 5rad

s'o = 0 rad

� = 1rad

s

(a) La frecuencia viene dada por,

#amort =5s�1

2�= 0; 80 Hz

y el período,

�amort =1

#amort

=1

0; 80s�1

= 1; 25 s

(b) Según se indica en el enunciado del problema, la posición viene dada por,

x (t) = 4; 00 m e�1 Sen (5)

= �1; 41 m

La velocidad, según (3.67), viene dada por,


= 4; 00 m e�t�5s�1Cos (5t)� s�1 Sen (5t)

�que, en t = 1; 00 s,

v = 4; 00m

se�1 [5 Cos (5)� Sen (5)]

= 3; 50m

s

y al usar (3.69),

a = �Aoe��t�2�!amortCos (!amortt+ 'o) +

�!2amort � �2


�= �4; 00 m e�t

�10s�2Cos (5t) + 24s�2 Sen (5t)



que, en t = 1; 00 s,

a = �4; 00ms2e�1 [10Cos (5) + 24 Sen (5)]

= 29; 7m

s2

Ejemplo 3.40 Un péndulo de 1; 00 m de longitud es soltado desde un ángulo inicial de15; 0o. Después de 1000 s, su amplitud se reduce a 5; 50o. ¿Cuál es el valor de �?.

Solución: Aquí usaremos la expresión (3.66),

Aamort = Aoe��t

pero aquí las amplitudes son los ángulos, de manera que Aamort = 5; 50o y Ao = 15; 0o.Entonces,

5; 50o = 15; 0oe��1000s ) � = � 1

1000sln

�5; 50o

15; 0o

�= 1; 00:10�3s�1

3.4.3 Energía

Como la energía mecánica E de un oscilador es proporcional al cuadrado de laamplitud, la energía de un oscilador sub-amortiguado (valor promedio en un ciclo)también disminuye exponecialmente con el tiempo si � � 1. En efecto,

E = T + U =1

2mv2 +

1

2kx2 (3.71)

y al usar (3.68) resulta,

E =1

2m

��x+ !amort

q(Aoe��t)

2 � x2�2+1

2kx2

=1

2m

264�2x2 � 2�x!amortq(Aoe��t)2 � x2| {z }'0 por ser ��1

+ !2amort�A2oe

�2�t � x2�375+ 1

2kx2 (3.72)

pero como � � 1, entonces de (3.65),

!amort =

q!2o � �2 ' !o =

rk

m) !2amort = !

2o =

k

m

de aquí que,

E =1

2kA2oe

�2�t

o también,E = Eoe

�2�t (3.73)



con,Eo =

1

2kA2o (3.74)

Se acostumbra describir el grado de amortiguamiento de un sistema oscila-torio amortiguado en términos del factor de calidad o factor Q del sistema,

Q =!o2�

(3.75)

El factor de calidad es adimensional. Mientras mayor sea Q menor es el amor-tiguamiento del sistema. Podemos relacionar Q con la pérdida relativa de energía porciclo. Al derivar (3.73) con respecto al tiempo se obtiene,

dE

dt=d

dt

�Eoe

�2�t� = �2�Eoe�2�t = �2�E (3.76)

Si el amortiguamiento es lo suficientemente débil para que la pérdida de energíapor ciclo sea pequeña, podemos reemplazar dE por �E y dt por el período � en (3.76).Por lo tanto j�Ej =E en un ciclo (un período) viene dado por,

�E

�= �2�E )

�j�EjE

�ciclo

= 2�� =2�

!o=2�

Q(3.77)

es decir,

Q =2�

(j�Ej =E)ciclo,

j�EjE

� 1 (3.78)

de manera que Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía porciclo.

Ejemplo 3.41 Un oscilador tiene un factor Q de 373. ¿ En qué porcentaje disminuye suenergía durante un período?.

Solución: De (3.77), �j�EjE

�ciclo

=2�

Q=2�

373= 0; 0168 = 1; 68%

Ejemplo 3.42 Mostrar que el cambio de la energía mecánica total, con respecto altiempo, para un oscilador amortiguado viene dada por,

dE

dt= �bv2

y por lo tanto es siempre negativa. Ayuda: Derivar la expresión para la energíamecánica total E = 1

2mv2 + 1

2kx2 y usar (3.60).



Solución: La energía mecánica total es,

E =1

2mv2 +

1

2kx2 (1)

Al tomar la derivada con respecto al tiempo resulta,

dE

dt= mv

dv

dt+ kx

dx

dt(2)

pero,dvdt= d2x

dt2dxdt= v (3)

entonces al sustituir (3) en (2) resulta,

dE

dt= mv

d2x

dt2+ kxv (4)

y al usar (3.60) resulta,dE

dt= v (�kx� bv) + kxv

o,dE

dt= �bv2 < 0

Ejemplo 3.43 Un objeto de 4; 0 Kg oscila con una amplitud inicial de 4; 0 cm con unresorte de constante k = 300 N=m. La energía disminuye en 2; 0 % por período.Hallar: (a) La energía inicial total, (b) el período, (c) el factor Q, y (d) la constantede amortiguamiento b.

Solución: Del enunciado del problema,

!2o =k

m=300N

m

4; 0Kg= 75

rad2

s2) !o = 8; 66

rad

s�j�EjE

�ciclo

= 2; 0% = 0; 02

(a) La energía inicial total viene dada por (3.74),

Eo =1

2kA2o =

1

2:300

N

m: (0; 04m)2 = 0; 240 J

(b) El período viene dado por,

� =2�

!o=

2�

8; 661s

= 0; 726 s



(c) El factor Q viene dado por (3.78),

Q =2�

(j�Ej =E)ciclo=

2�

0; 02= 314; 2

(d) De (3.77), �j�EjE

�ciclo

= 2�� ) � =1

2�

�j�EjE

�ciclo

de aquí que,

� =1

2:0; 726 s:0; 02 = 0; 024

rad

s

y como � = b2m

entonces,

b = 2m� = 2:4; 0:0; 0241

s= 0; 192

Kg

s

Ejemplo 3.44 Cuando se pulsa la nota do-central en el piano (frecuencia 262 Hz), lamitad de su energía se pierde en 4 s. (a) ¿Cuál es el valor de �?, (b) ¿cuál es elfactor Q de esta cuerda de piano? y (c) ¿cuál es la pérdida de energía relativapor ciclo?.

Solución:

(a) Del enunciado E = 12Eo, por lo tanto a partir de (3.73) se tiene que,

E = Eoe�2�t ) 1

2Eo = Eoe

�2�t ) 1

2= e�2�t

de aquí que,

� = � 12tln

�1

2

�= � 1

2:4sln

�1

2

�= 0; 087

rad

s

(b) Al usar (3.75),Q =

!o2�

pero,!o = 2�#

entonces,

Q =�#

�=�:2621

s

0; 0871s

= 9; 50:103

(c) Por último, de (3.77), �j�EjE

�ciclo

=2�

Q=

2�

9; 50:103= 6; 61:10�4



Ejemplo 3.45 Demostrar que el cociente de las amplitudes de dos oscilaciones sucesi-vas en un oscilador forzado es constante.

Solución: De (3.66),Aamort (t) = Aoe

��t

y trascurrido un tiempo igual a un período � tendríamos,

Aamort (t+ �) = Aoe��(t+�)

entonces el cociente pedido será,

Aamort (t)

Aamort (t+ �)=

Aoe��t

Aoe��(t+�)= e�� = constante

Ejemplo 3.46 Un oscilador tiene un período de 4; 5 s. Su amplitud disminuye en un 7%durante cada ciclo. (a) ¿En cuánto disminuye su energía durante cada ciclo?,(b) ¿cuál es el valor de �? y (c) ¿cuál es el factor Q?.

Solución: Del enunciado del problema,��A

A

�ciclo

= 7%

(a) Al derivar con respecto a A la expresión E = 12kA2 resulta,

dE = kAdA

y al dividir entre E ambos miembros,

dE

E=kAdA

E=kAdA12kA2

= 2dA

A

y si el amortiguamiento es lo suficientemente débil para que la pérdida de energíapor ciclo sea pequeña, podemos reemplazar dE por �E y dA por �A, entonces,�

�E

E

�ciclo

= 2

��A

A

�ciclo

de aquí que, ��E

E

�ciclo

= 2:7% = 14%

(b) Al usar (3.77), �j�EjE

�ciclo

= 2�� ) � =1

2�

�j�EjE

�ciclo

entonces,� =

1

2:4; 5s:0; 14 = 0; 016

rad

s



(c) Por último, al usar (3.78),

Q =2�

(j�Ej =E)ciclo=

2�

0; 14= 44; 9

Ejemplo 3.47 Un oscilador posee un factor Q igual a 35; 7. (a) ¿En qué fracción dismi-nuye la energía en cada ciclo?, (b) utilizar la ecuación (3.65) para determinar ladiferencia en porcentaje entre !amort y !o. Sugerencia: Utilizar la aproximación(1 + x)1=2 � 1 + 1

2x para valores pequeños de x.

Solución:

(a) Al usar (3.77), �j�EjE

�ciclo

=2�

Q=

2�

35; 7= 0; 176 = 17; 6 %

(b) De (3.65),

!amort =

q!2o � �2

que podemos escribir como,

!amort = !o

s1� �

2

!2o= !o

s1� 1

4

�2�

!o

�2pero de (3.75),

2�

!o=1

Q

entonces,

!amort = !o

�1� 1

4Q2

�1=2y al usar la aproximación (1 + x)1=2 � 1 + 1

2x, con x = 1

4Q2, resulta,

!amort = !o

�1 +

1

8Q2

�Ahora bien,

!amort � !o!o

=1

!o

�!o

�1 +

1

8Q2

�� !o

�= � 1

8Q2

entonces,!amort � !o

!o= � 1

8: (35; 7)2= �9; 81:10�5 = �9; 81:10�3 %



Ejemplo 3.48 Un sistema masa-resorte amortiguado oscila con una frecuencia de 200Hz. La constante � del sistema es 0; 25 rad=s. En el tiempo t = 0, la amplitud dela oscilación es 6; 0 cm y la energía del sistema oscilante es 60 J . (a) ¿Cuáles sonlas amplitudes de oscilación para t = 2; 0 s y t = 4; 0 s? y (b) ¿cuánta energía sedisipa en el primer intervalo de 2 s y en el segundo intervalo de 2 s?.

Solución: Del enunciado del problema Ao = A (t = 0) = 6; 0 cm y Eo = E (t = 0) = 60J .

(a) De (3.66),Aamort (t) = Aoe

��t

o,Aamort (t) = (6; 0 cm) e

��t

entonces, (Para t = 2; 0s: Aamort = (6; 0 cm) e�0;25

1s:2;0s = 3; 64 cm

Para t = 4; 0s: Aamort = (6; 0 cm) e�0;251s:4;0s = 2; 21 cm

(b) De (3.73),E (t) = Eoe

�2�t

o,E (t) = (60 J) e�2�t

entonces, (Para t = 2; 0s: E (2; 0s) = (60 J) e�2:0;25

1s:2;0s = 22; 1 J

Para t = 4; 0s: E (4; 0s) = (60 J) e�2:0;251s:4;0s = 8; 12 J

de aquí que la energía disipada en el primer intervalo de 2 s es,

Eo � E (2; 0s) = 60 J � 22; 1 J = 37; 9 J

y la energía disipada en el segundo intervalo de 2 s es,

E (2; 0s)� E (4; 0s) = 22; 1 J � 8; 12 J = 14; 0 J

Ejemplo 3.49 Se ha establecido que la Tierra en vibración posee un período de reso-nancia de 54; 0 min y un factor Q de aproximadamente 400; 0, y que después deun gran terremoto, la Tierra suena (se produce una vibración continua) durantedos meses. (a) ¿Cuál es la fracción de la energía perdida en un período?, (b)demuestra que después de n períodos, la energía es En = (0:9843)nE0, siendo E0la energía inicial, (c) si la energía inicial de vibración de un terremoto es E0, ¿cuáles la energía al cabo de 2; 0 d?.



Solución:

(a) De (3.77), �j�EjE

�ciclo

=2�

Q=

2�

400; 0= 0; 0157 = 1; 57 % (1)

(b) La energía después del primer período será,

E1 = Eo � Eo�j�EjE

�ciclo

= Eo

�1�

�j�EjE

�ciclo

�(2)

después del segundo período,

E2 = E1 � E1�j�EjE

�ciclo

= E1

�1�

�j�EjE

�ciclo

�= Eo

�1�

�j�EjE

�ciclo

�| {z }

Por (2)

�1�

�j�EjE

�ciclo

�

= Eo

�1�

�j�EjE

�ciclo

�2(3)

y después del tercer período,

E3 = E2 � E2�j�EjE

�ciclo

= E2

�1�

�j�EjE

�ciclo

�= Eo

�1�

�j�EjE

�ciclo

�2| {z }

Por (3)

�1�

�j�EjE

�ciclo

�

= Eo

�1�

�j�EjE

�ciclo

�3(4)

entonces podemos fácilmente argüir de (2), (3) y (4) que,

En = Eo

�1�

�j�EjE

�ciclo

�ny al usar el resultado (2),

En = (0:9843)nE0

(c) Lo primero que debemos encontrar es cuántos períodos de 54 min están con-tenidos en 2d. Un cálculo trivial arroja 53; 3. Por lo tanto al usar el resultado anteriorpara n = 53; 3 resulta,

E2 días = E53;3 = (0:9843)53;3E0 = 0; 430E0


3.5. OSCILADOR FORZADO

3.5 Oscilador forzado

Apliquemos ahora, al sistema estudiado en la sección anterior, una fuerza externaarmónica de la forma (ver figura 3.12):

Fexterna = FoCos (!f t) (3.79)

que la denominaremos fuerza impulsora, donde !f es su frecuencia angular.

Figura (3.12): Oscilador forzado

La ecuación de movimiento de la partícula es ahora:

md2x

dt2= �kx� bv + FoCos (!f t) (3.80)

que, después de arreglos triviales, queda como,

d2x

dt2+ 2�

dx

dt+ !2ox =

FomCos (!f t) (3.81)

La ecuación (3.81) es similar a (3.61) excepto en que el miembro derecho no esnulo.Para resolver esta ecuación se deben tener conocimientos previos en soluciónde ecuaciones diferenciales no homogéneas 6, sin embargo, mediante considera-ciones físicas podemos darle solución. Parece lógico que en este caso la partículano oscilará con su frecuencia angular no amortiguada !o ni con la frecuencia angularamortiguada

p!2o � �2. En su lugar, la partícula será forzada a oscilar con la frecuen-

cia angular !f de la fuerza impulsora aplicada. Por esto, supondremos como posiblesolución de la ecuación (3.81), una expresión de la forma,

x(t) = A Sen (!f t+ 'o) (3.82)

Una sustitución directa de (3.82) en (3.81) demuestra que será satisfecha si la amplitudes dada por,

6 Para el lector curioso es recomendada la lectura de la sección 3.7.2, pág. 175 del texto [11].



A =

Fomq�

!2f � !2o�2+ 4�2!2f

(3.83)

y la fase inicial del desplazamiento por,

tan'o =2�!f!2o � !2f

(3.84)

Notemos que tanto la amplitud (3.83) como la fase inicial (3.84) no son constan-tes arbitrarias, sino cantidades fijas (pues son proporcionadas por las fuerza impulsora)que dependen de la frecuencia !f de la fuerza externa aplicada lo que, matemá-ticamente, significa que hemos encontrado una “solución particular” a la ecuacióndiferencial (3.81): La solución (3.82) nos muestra que las oscilaciones forzadas no es-tán amortiguadas, pero tienen amplitud constante y frecuencia igual a la de la fuerzaexterna aplicada. Esto significa que la fuerza aplicada supera a la fuerza de amor-tiguamiento, proporcionando la energía necesaria para mantener las oscilaciones.

Todo sistema tiene una frecuencia a la que puede oscilar en forma natural, la cuales llamada frecuencia natural del sistema !o.

Se define la frecuencia natural de un oscilador !o como aquella que tendríasi no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor (fuerzaexterna).

Por ejemplo, la frecuencia angular natural de un resorte es !o =pk=m, que ya

habíamos estudiado.

Ejemplo 3.50 Una masa de 2; 00 Kg unida a un resorte es accionada por una fuerzaexterna,

F = 3; 00N Cos (2�t)

si la constante de elasticidad del resorte es 20; 0 N=m, determine (a) la amplituddel movimiento, (b) el período y (b) 'o. Suponga que no hay amortiguamiento.Aquí t es dado en segundos.

Solución: Aquí es fácil notar que Fo = 3; 00N , !f = 2� rads � = 0 (por no haber amor-tiguamiento). Además,

!2o =k

m=20; 0N

m

2; 00Kg= 10; 0

1

s2


3.5. OSCILADOR FORZADO

(a) La amplitud viene dada por (3.83),

A =

Fomq�

!2f � !2o�2+ 4�2!2f

entonces,

A =

3; 00N

2; 00Kgq�4� 1

s2� 10; 0 1

s2

�2+ 0

= 0; 05m = 5cm

(b) El período vendrá dado por,

� =2�

!f=2�

2� 1s

= 1s

(c) Por último, de (3.84),

tan'o =2�!f!2o � !2f

=0

!2o � !2f= 0) 'o = tan

�1 (0)

'o = 0

Ejemplo 3.51 Considérese un oscilador forzado no amortiguado (� = 0). Mostrar que,

x (t) = ACos (!f t)

es una solución de (3.81) si A esdado por (3.83).

Solución: Suponemos que la solución x (t) dada es cierta y la sustituimos en (3.81)para así buscar el valor de A que hace que la igualdad se satisfaga.

Al sustituir la solución dada en el enunciado, en (3.81), con � = 0 resulta,

d2

dt2[ACos (!f t)] + !

2o [ACos (!f t)] =

FomCos (!f t)

o,�A!2f Cos (!f t) + !2o [ACos (!f t)] =

FomCos (!f t)

y al simplificar,

A�!2o � !2f

�=Fom) A =

Fom

!2o � !2fque es, justamente, (3.83) para � = 0.



Ejemplo 3.52 Un peso de 70; 0 N está suspendido de un resorte que tiene una cons-tante de elasticidad de 150 N=m. El sistema no está amortiguado y está sujetoa una fuerza armónica de frecuencia # = 7; 00 Hz, originando un movimientoforzado de amplitud 1; 50 cm. Determinar el máximo valor de dicha fuerza.

Solución: Primeramente,

!f = 2�# = 2�:7; 00s�1 = 44; 0

rad

s

!2o =k

m=

gk

w|{z}m=w=g

=9; 8m

s2:150N

m

70; 0N= 21

rad2

s2

A partir de (3.83) con � = 0 (ya que no hay amortiguamiento),

A =

Fom

!2f � !2o) Fo =

w

gA�!2f � !2o

�| {z }

m=w=g

entonces,

Fo =70; 0N

9; 8ms2

:0; 015m:

"�44; 0

1

s

�2� 21 1

s2

#Fo = 205 N

Ejemplo 3.53 El amortiguamiento es despreciable para una masa de 0; 050 Kg quepende de un resorte liviano de constante 3; 50 N=m. El sistema está sometido auna fuerza oscilatoria de amplitud 1; 10 N . ¿A qué frecuencia hará la fuerza vibrarla masa una amplitud de 0; 330 m?.

Solución: Primeramente,

!2o =k

m=3; 50N=m

0; 050Kg= 70

rad2

s2

A partir de (3.83) con � = 0 (ya que el amortiguamiento es despreciable),

A =

Fomq�

!2f � !2o�2 ) A = �

Fom�

!2f � !2o� ) !f =

r!2o �

FoAm

entonces,

!f1 =

r!2o +

FoAm

=

r70 rad

2

s2+

1; 10N

0; 330m:0; 050Kg= 11; 7 rad

s

!f2 =

r!2o �

FoAm

=

r70 rad

2

s2� 1; 10N

0; 330m:0; 050Kg= 1; 83 rad

s


3.6. RESONANCIA

por lo tanto, las frecuencias serán,

#1 =!f12�=

11;7 1s

2�= 1; 87 Hz

#2 =!f22�=

1;83 1s

2�= 0; 291 Hz

3.6 Resonancia

La resonancia es una situación en la que un sistema mecánico, estructural oacústico vibra en respuesta a una fuerza aplicada con la frecuencia natural del sis-tema !o o con una frecuencia próxima.

Si se excita un sistema mediante la aplicación continuada de fuerzas externas conesa frecuencia, la amplitud de la oscilación va creciendo y puede llevar a la destruc-ción del sistema. El hundimiento del puente colgante de Tacoma Narrows en PugetSound, Washington (EEUU), que tuvo lugar en 1940, fue causado por vibraciones conla frecuencia natural de la estructura producidas por el viento.

En cambio, las vibraciones cuya frecuencia no es la natural ni una de sus frecuen-cias armónicas (múltiplos enteros de la frecuencia natural) tienden a amortiguarserápidamente. Por ejemplo, el arco de un violín excita las cuerdas del instrumento enuna amplia gama de frecuencias. Sin embargo, sólo persiste la frecuencia básica dela cuerda, junto con sus diversos armónicos, cuya amplitud es menor. Para impedirque una estructura resuene a una frecuencia determinada suele cambiarse su rigidezo su masa. El aumento de la rigidez aumenta la frecuencia natural, mientras que elaumento de la masa la disminuye.

En física atómica y nuclear también se producen fenómenos de resonancia; porejemplo, una radiación electromagnética de determinadas frecuencias puede exci-tar a los átomos y hacerlos subir a niveles de mayor energía, mientras que una ra-diación no resonante no los afecta.

Se acostumbra describir el grado de amortiguamiento de un sistema oscila-torio en términos del factor de calidad o coeficiente de calidad Q del sistema,

Q � !R2�

(3.85)

Mientras el amortiguamiento es menor, Q se hace mayor.



3.6.1 Resonancia en la amplitud

La representación de la amplitud A en función de !f es mostrada en la figura ??para un valor dado de b: Observemos que A (!f ) presenta un máximo muy notoriocuando el denominador de (3.83) tiene su valor mínimo, es decir, esto ocurre para lafrecuencia !f = !RA (frecuencia de resonancia en la amplitud) dada por,

!RA =

q!2o � 2�2 =

rk

m� b2

2m2(3.86)

Cuando la frecuencia !f de la fuerza restauradora es igual a !RA; se diceque hay resonancia en amplitud.

Cuanto menor es el amortiguamiento más pronunciada es la resonancia, y cuandob = 0, la amplitud de resonancia es infinita y ocurre para:

!RA = !o =

rk

m(3.87)

No ocurre resonancia si �2 > !o2

, puesto que !RA es imaginaria y A decrece monó-tonamente con el incremento de !f . En la figura 3.13 se muestra la variación de laamplitud A en función de la frecuencia !f para diferentes valores de la constante deamortiguamiento b.


3.6. RESONANCIA

Figura (3.13): Variación de A en un oscilador forzado ( �1 < �2).

3.6.2 Resonancia en la energía

La velocidad del oscilador forzado viene dada por (ejercicio):

v =dx

dt= !fACos (!f t+ 'o) (3.88)

Comparando con la expresión F = FoCos (!f t) de la fuerza aplicada, podemosobservar que 'o representa el desfasaje de la velocidad con respecto a la fuerza. Laamplitud de la velocidad es:

vo = !fA =!fFomq�

!2f � !2o�2+ 4�2!2f

(3.89)

la cual puede escribirse también en la forma (ejercicio):

vo =Fos�

m!f �k

!f

�2+ b2

(3.90)

La cantidad vo varía con !f , como se indica en la figura 3.14, y adquiere su máximovalor cuando la cantidad dentro del paréntesis del denominador de (3.90) es cerosiendo en este momento !f = !RE (frecuencia de resonancia en la energía),

m!RE �k

!RE= 0) !RE =

rk

m= !o (3.91)



Figura (3.14): Variación de la amplitud de la velocidad respecto a !f .

A esta frecuencia de la fuerza aplicada, la velocidad e igualmente la energíacinética (¿por qué?) de las oscilaciones son máximas, entoces se dice que hay reso-nancia en la energía.

Cuando se da la resonancia en la energía, la transferencia de energía dela fuerza externa aplicada al oscilador es máxima.

Cuando el amortiguamiento es muy pequeño no hay gran diferencia entre las fre-cuencias correspondientes a la resonancia en la amplitud y la resonancia en la ener-gía.

3.7 Problemas

1. Mediante sustitución directa, mostrar que las soluciones (3.5) y (3.6) satisfacen laecuación de un OAS (3.3).

2. Mediante sustitución directa mostrar que la solución (3.63) satisface la ecuación demovimiento para un oscilador amortiguado (3.61):

3. Encuentre la velocidad y la aceleración de un oscilador amortiguado.

4. Obtener la ecuación (??).

5. La posición de una partícula en t = 0; 2 s está dada por la expresión

x (t) = 4; 0mCos (3; 0�t+ �)


3.7. PROBLEMAS

donde x está dada en metros y t en segundos. Determine: (a) frecuencia y períododel movimiento, (b) la amplitud del movimiento, (c) la constante de fase, y (d) laposición de la partícula en t = 0; 25s. Resp.: (a) 1; 50 Hz y 0; 667s; (b) 4; 00 m; (c) � rad;(d) 2; 83 m.

6. Un péndulo de 0; 50 m de longitud es soltado desde un ángulo inicial de 20; 0o. De-spués de 500 s, su amplitud se reduce a 7; 50o. ¿Cuál es el valor de �?. Resp.:1; 00:10�3s�1.

7. El desplazamiento de un objeto es

x (t) = 18; 0 cmCos (2; 0t+ �=3)

donde x está dada en metros y t en segundos. Calcule: (a) la velocidad y la ace-leración en t = �=2 s, (b) la velocidad máxima y el tiempo anterior (t > 0) en el cualla partícula tiene esta velocidad, y (c) la aceleración máxima y el tiempo ante-rior (t > 0) en el cual la partícula tiene esta aceleración. Resp.: (a) 31; 17 cm=s; 36; 0cm=s2, (b) 36; 0 cm=s; 1; 83 s, (c) 72; 0 cm=s2; 1; 05 s.

8. Una partícula se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x en un MAS a partir delorigen en t = 0, siguiendo la ecuación,

x (t) = 2; 00 cm Sen (3; 00�t)

Determine: (a) La velocidad máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre, (b) laaceleración máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre, y (c) la distancia totalrecorrida entre t = 0 y t = 1; 00 s. Resp.: (a) 6� cm=s y 0; 666 s; (b) 18�2 cm=s2 y 0; 166 s;(c) 12; 0 cm.

9. Un bloque de masa desconocida se une a un resorte de constante igual a 6; 50 N=my experimenta un MAS con una amplitud de 10; 0 cm. Cuando la masa está a lamitad del camino entre su posición de equilibrio y el punto extremo, se mide su ve-locidad y se encuentra un valor igual a +3; 00 cm=s. Calcule (a) la masa del bloque,(b) el período del movimiento y (c) la aceleración máxima del bloque. Resp.: (a)54; 2 Kg, (b) 18; 1 s, (c) 1; 20 cm=s2.

10. Una masa de 7; 00 Kg cuelga del extremo inferior de un resorte vertical fijo a unaviga. La masa se pone a oscilar verticalmente con un período de 2; 60 s. Encuentrela constante de elasticidad del resorte. Resp.: 40; 9 N=m.

11. Una masa de 0; 50 Kg unida a un resorte de 8; 0 N=m de constante de elasticidadvibra en un MAS con una amplitud de 10 cm. Calcule: (a) el valor máximo de su



velocidad y aceleración, (b) la velocidad y la aceleración cuando la masa está a6; 0 m de la posición de equilibrio y (c) el tiempo que tarda la masa en moverse dex = 0 a x = 8; 0 cm. Resp.: (a) 0; 400 m=s; 1; 60 m=s2, (b) �0; 320 m=s; -0; 960 m=s2, (c)0; 232 s.

12. Un bloque de 1; 5 Kg que está en reposo sobre una mesa se une a un resortehorizontal con una constante de 19; 6 N=m. Al principio el resorte no está extendido.Se aplica una fuerza constante horizontal de 20; 0 N al objeto causando que elresorte se extienda. (a) Determine la velocidad del bloque después de que se hamovido 0; 30 m a partir del equilibrio si la superficie entre el bloque y la mesa nopresenta fricción, (b) conteste el inciso (a) si �k = 0; 20. Resp.: (a) 2; 61 m=s , (b) 2; 11m=s.

13. Un automóvil que tiene una masa de 1000 Kg se dirige hacia un muro de ladrillosen una prueba de seguridad. El parachoques se comporta como un resorte deconstante igual a 5; 0:106 N=m y se comprime 3; 16 cm cuando el auto se lleva alreposo. ¿cuál fue la velocidad del auto antes del impacto, suponiendo que no sepierde energía durante el impacto con la pared?. Resp.: 2; 23 m=s.

14. Una masa m fija a un resorte cuya constante es k, se aparta una distancia x de suposición de equilibrio, y se suelta sin rapidez inicial: (a) ¿Cuál es la rapidez máximaque alcanza la masa en el movimiento que sigue? y ¿en qué momento se alcanzaesa rapidez por primera vez?. Resp.: (a) !x, (b) �

2

pmk

.

15. La amplitud de un sistema que se mueve con un MAS se duplica. Determine elcambio en (a) la energía total, (b) la velocidad máxima, (c) la aceleración máximay (d) el período. Resp.: (a) se cuadruplica, (b) se duplica, (c) se duplica y (d) nocambia.

16. Una partícula ejecuta un MAS con una amplitud de 3; 00 cm. ¿A qué desplaza-miento desde el punto medio del movimiento su velocidad es igual a la mitad desu velocidad máxima? Resp.: �2; 60 cm.

17. Un péndulo simple tiene un período de 2; 50 s (a)¿cuál es su longitud?, (b) ¿cuálsería su período en la luna donde gluna = 1; 67 m=s2?. Resp.: (a) 1; 55 m y (b) 6; 06 s.

18. Un péndulo simple tiene una longitud de 3; 00 m. Determine el cambio en superíodo si éste se toma desde un punto donde g = 9; 80 m=s2 hasta una elevacióndonde la aceleración en caída libre disminuye a 9; 79 m=s2. Resp.: aumenta en1; 78:10�3 s.


3.7. PROBLEMAS

19. Una varilla delgada y uniforme, de masaM y longitud L, oscila respecto de uno desus extremos como péndulo físico. ¿Cuál es el período del movimiento oscilatoriopara ángulos pequeños?. Calcule la longitud ` del péndulo simple que tenga elmismo período que la varilla oscilante.. Resp.: �=2�

q2L3g

; ` = 23L.

20. Una masa de 2; 00 Kg unida a un resorte es accionada por una fuerza externa,

Fexterna = 3; 00N Cos (2�t)

si la constante de elasticidad del resorte es 20; 0 N=m, determine (a) el período y (b)la amplitud del movimiento. Suponga que no hay amortiguamiento. Ayuda: utilicela ecuación (3.83) con � = 0 (esto indica que no hay amortiguamiento). Resp.: (a)1; 98 s, (b) 5 cm.

21. Un peso de 40; 0 N está suspendido de un resorte que tiene una constante de elas-ticidad de 200 N=m. El sistema no está amortiguado y está sujeto a una fuerza ar-mónica de frecuencia # = 10; 0 Hz, originando un movimiento forzado de amplitud2; 00 cm. Determinar el máximo valor de dicha fuerza. Resp.: 318 N .

22. Un oscilador posee un factor Q igual a 20. (a) ¿En qué fracción disminuye la ener-gía en cada ciclo?, (b) utilizar la ecuación (3.65) para determinar la diferencia enporcentaje entre !amort y !o. Sugerencia: Utilizar la aproximación (1 + x)1=2 � 1 + 1

2x

para valores pequeños de x. Resp.: (a) 0; 314; (b) �3; 13:10�2 %.

23. Un oscilador tiene un período de 3 s. Su amplitud disminuye en un 5% durante cadaciclo. (a) ¿En cuánto disminuye su energía durante cada ciclo?, (b) ¿cuál es el valorde �? y (c) ¿cuál es el factor Q?. Resp.: (a) 10%; (b) 0; 017 rad

s; (c) 62; 8.

24. El amortiguamiento es despreciable para una masa de 0; 150 Kg que pende deun resorte liviano de constante 6; 30 N=m. El sistema está sometido a una fuerzaoscilatoria de amplitud 1; 70 N . ¿A qué frecuencia hará la fuerza vibrar la masa unaamplitud de 0; 440 m?. Resp.: 1; 31 Hz ó 0; 641 Hz.

25. Un oscilador tiene un factor Q de 200. ¿ En qué porcentaje disminuye su energíadurante un período?. Resp.: 3; 14 %.

26. Un objeto de 2; 0 Kg oscila con una amplitud inicial de 3; 0 cm con un resorte deconstante k = 400 N=m. La energía disminuye en 1; 0 % por período. Hallar: (a)La energía inicial total, (b) el período, (c) el factor Q, y (d) la constante de amor-tiguamiento b. Resp.: (a) 0; 180 J ; (b) 0; 444 s; (c) b = 0; 045 Kg=s; (d) Q = 628; 0.



27. Un resorte se estira 0; 150 m cuando se le cuelga una masa de 0; 300 Kg. El resortese estira una distancia adicional de 0; 100 m de su punto de equilibrio y luego sesuelta. Determínese (a) la constante k del resorte, (b) la amplitud de la oscilación,(c) la velocidad máxima, (d) la aceleración máxima y (e) el período y la frecuencia.Resp.: (a) 19; 6 N=m; (b) 0; 1 m ; (c) 0; 808 m=s; (d) 6; 53 m=s2; (e) 0; 777 s y 1; 29 Hz.

28. Una masa de 0; 50Kg se mueve en dirección x bajo la influencia de un resorte cuyaconstante es k = 2; 0 N=m. El origen del eje x se define como el punto de equilibriode la masa, lo cual quiere decir que es el punto en el cual la fuerza del resorte escero. Cuando t = 0 s, la masa está en el origen y se mueve con una rapidez de 0; 5m=s en dirección +x. (a) ¿En qué momento t1 llega la masa por primera vez a sumáxima extensión? y (b) ¿cuál es la máxima extensión?. Resp.: 0; 79 s; 0; 25 m.

29. Una manera fácil de medir el momento de inercia de un objeto alrededor de cual-quier eje es medir el período de oscilación alrededor de ese eje. Por ejemplo, supón-gase que una barra no uniforme de 1; 6 Kg puede equilibrarse en un punto de 42cm del eje de giro. Si se hace oscilar alrededor de ese extremo, lo hace con unafrecuencia de 2; 5 Hz. ¿Cuál es su momento de inercia alrededor de ese extremo?.Resp.: I = 0; 027 Kg:m2.

30. Una varilla delgada y uniforme de largo ` = 1; 00 m y masa m = 160 g está sostenidapor uno de sus extremos. (a)¿Cuál es su período?, (b) ¿Cuál será la longitud de unpéndulo simple que tenga el mismo período?. (El momento de inercia de una varilladelgada alrededor de un eje que pase por uno de sus extremos es

I =1

3m`2

donde ` es la longitud de la varilla y m es su masa. El centro de gravedad de unavarilla uniforme se encuentra a la mitad de su longitud). Resp.: (a) 1; 64 s; (b) 0; 67 m.

31. (a) ¿Cuál es la ecuación que describe el movimiento de un resorte que se haestirado 20 cm a partir del equilibrio y luego se suelta oscilando con un períodode 3=2 s?, (b) ¿Cuál será su posición luego de 1; 8 s?. Use (3.5). Resp.: (a) 0; 20 mCos

�43�t�; (b) 6; 2 cm.

32. Un resorte vibra con una frecuencia de 2; 4Hz cuando se le cuelgan 0; 80Kg. ¿Cuálsería su frecuencia si sólo se le colgaran 0; 50 Kg?. Resp.: 3; 0 Hz.

33. Dos resortes idénticos, paralelos, cada uno con una constante elástica k, soportanun bloque de masa m. ¿Cuál será la frecuencia de vibración?. Resp.: 1

2�

q2km

.


3.7. PROBLEMAS

34. La posición de un OAS en función del tiempo está dada por

x(t) = 2; 4m Cos

�5�

4t+

�

6

�donde t está en segundos y x en metros. Encuentre: (a) El período y la frecuencia,(b) la posición y la velocidad en t = 0, (c) la velocidad y la aceleración en t = 0; 1 s.Resp.: (a) 1; 60 s y 0; 62 Hz; (b) 2; 1 m y �4; 7 m=s; (c) �7; 5 m=s y �22; 5 m=s2.

35. (a) ¿A qué desplazamiento de un OAS es la energía mitad cinética y mitad poten-cial?; (b) ¿Qué fracción de la energía total de un OAS es cinética y qué fracción espotencial cuando el desplazamiento es la mitad de la amplitud?. Resp.: (a) A=

p2;

(b) 1=4 es potencial y 3=4 es cinética.

36. Se necesita una fuerza de 60 N para comprimir el resorte de una pistola 0; 10 m

para cargar una bala de 0; 200 Kg. ¿Con qué rapidez saldrá disparada la bala?.Resp.: 5; 5 m=s.

37. Una persona de 70 Kg salta desde una ventana a una red contra incendio 15 m

abajo, con lo que ésta se estira 1; 2 m. (a) Suponga que la red se comporta comoun resorte simple y calcule cuánto se estiraría si la persona estuviera encima de ella,(b) ¿cuánto se estiraría si la persona se arrojara desde 30 m?. Resp.: 4; 6 cm; 1; 7 m.

38. ¿Cuánto debe medir un péndulo simple si debe realizar exactamente una vibra-ción (oscilación) completa por segundo?. Resp.: 0; 248 m.

39. Encuentre el período para los sistemas mostrados en la figura 3.15.

Figura (3.15): Problema 39: Sistemas con dos resortes.

Resp.: (a) � = 2�q

m(k1+k2)k1k2

; (b) � = 2�q

mk1+k2

.



40. Usando la ecuación para la energía total,

E = T + U

encuentre x en función del tiempo para un OAS donde, como ya sabemos, E =12kA2, T = 1

2m�d2xdt2

�y U = 1

2kx2. Resp.: x(t) = A Cos (!t+ ').

41. Un resorte de constante elástica 250N=m vibra con una amplitud de 8; 00 cm cuandose le cuelga una masa de 0; 300Kg. (a) ¿Cuál es la ecuación que describe este mo-vimiento en función del tiempo?. Suponga que la masa pasa a través del puntode equilibrio, hacia el sentido positivo de x, en t = 0; 060 s, (b)¿en qué tiempos ten-drá el resorte sus longitudes máxima y mínima?, (c) ¿cuál es la fuerza que ejerceel resorte en t = 0?, (d) ¿cuál es el desplazamiento en t = 0, (e) ¿cuál es la rapi-dez máxima cuando es alcanzada por primera vez después de t = 0?. Use (3.6).Resp.: (a) x (t) = 0; 0800m Sen [28; 9 (t� 0; 060)]; (b) t = 0; 114 + 0; 217n para el máximoy t = 0; 005 + 0; 217n para el mínimo, donde n = 0; 1; 2; :::; (c) 19; 7 N ; (d) �7; 89 cm; (e)2; 31 m=s en 0; 060 s.

42. Considere una masa m que oscila en el extremo de un resorte de constante k ycuya masa ms es pequeña en comparación con m pero no despreciable. Muestreque la “masa equivalente” del sistema que vibra es

�m+ 1

3ms

�, de modo que el

período de vibración es,

� = 2�

sm+ 1

3ms

k

(Sugerencia: Suponga que el resorte se estira y se comprime de manera uniforme alo largo de su longitud y que todas las partes oscilan en fase).

43. Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su des-plazamiento varía de acuerdo con la expresión

x (t) = 5 cmCos(2t+ �=6)

Donde x está en cm y t en s. En t = 0 encuentre (a) el desplazamiento, (b) su veloci-dad, (c) su aceleración y (d) determinar el período y la amplitud del movimiento.Resp.: (a)5

p32cm, (b) �5 cm=s, (c) �10

p3cm=s2, (d) � s y 5cm.

44. El péndulo de un reloj (tomado como pédulo simple) tiene un período de 2 s

cuando g = 9; 8 m=s2. Si la longitud del péndulo se incrementa en un milímetro,¿cuánto se atrasará el reloj en 24 h?. Resp.: 43; 5 s:


3.7. PROBLEMAS

Figura (3.16): Problema 45: Masa unida a dos resortes.

45. Hallar el período de la oscilación de un bloque de masa M = 250 g unido a los dosmuelles elásticos (k1 = 30 N=m y k2 = 20 N=m) como se indica en la figura 3.16. Sesupone que no hay rozamiento.Resp.: �

10

p2 s.

46. Un péndulo físico está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitudy dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5 cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cmde radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra (ver figura 3.17). El péndulose haya suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro dela esfera superior. Hállese el período. Ayuda: Momento de inercia de una varillamL2

12, donde L es la longitud y m su masa; y el de una esfera 2mr2

5, donde r es el radio

y m su masa. Resp.: 0; 992 s.

Figura (3.17): Problema 46: Péndulo físico formado por una varilla y dos esferas macizas.

47. ¿Cuál es la energía total de una masa de m que se mueve con amplitud de 12 cmen una mesa plana sin fricción, y está fija a un resorte cuya constante es 49 N=m?.Resp.: 0; 35 J:

48. Una masa de 1; 2 Kg, fija a un resorte, tiene movimiento armónico simple a lo largo



del eje x, y su período es � = 2; 5 s. Si la energía total de resorte y masa es 2; 7 J ,¿cuál es la amplitud de la oscilación?. Resp.: 0; 85 m:

49. Un resorte con un pescado de 1 Kg en su extremo, se comprime 3 cm respecto alequilibrio y se suelta. La constante del resorte es K = 2 N=m. Con la conservaciónde la energía, calcular la rapidez máxima del pescado. Resp.: 4; 24 cm

s:

50. Se tiene una masam, moviéndose a lo largo del eje x, cuya energía potencial estáexpresada por

U(x) =1

2m!2x2

Demuestre que el movimiento de esta masa es armónico simple con frecuenciaangular !, empleando dE

dt= 0, donde E es la energía total, constante, del cuerpo.

51. Una masa m fija al extremo de un resorte se suelta, partiendo del reposo, cuandot = 0 s, desde una posición estirada xm�ax. La masa m = 0; 2 Kg, y la constante K = 1

N=m. Después de 0; 5 s, se mide la rapidez de la masa y resulta 1; 5 m=s. Calculexm�ax, la rapidez máxima del movimiento, y la energía total. Resp.: 0; 74 m; 1; 67 m=s y0; 27 J:

52. Un péndulo simple de 1; 20 m de longitud se cuelga en un lugar donde g es 9; 82m=s2. ¿Cuál es el período del péndulo?. Resp.: 2; 20 s.

53. Un péndulo simple tiene una frecuencia de 0; 342 Hz. La longitud de su hilo es 2; 12m. ¿Cuál es el valor local de g?. Resp.: 9; 78m

s2.

54. El lector necesita medir la altura de un recinto. Tiene un reloj, pero no cinta métrica.Un péndulo con una masa puntual en su extremo cuelga del techo hasta el piso, ytiene un período � = 3 s. ¿Cuál es la altura del recinto?. Resp.: 2; 23 m.

55. La diferencia de temperatura del verano al invierno hace que la longitud de unpéndulo de un reloj, cuyo período es de 2 s, varíe en una parte en 20; 000. ¿Quéerror en la medida del tiempo se presentará en 1 d�{a?. Resp.: 2; 2 s.

56. Una masa en un resorte con frecuencia angular natural !o = 38 rad=s, se colocaen un ambiente en el cual hay una fuerza de amortiguamiento proporcional a lavelocidad de la masa. Si la amplitud se reduce a 0; 82 veces su valor inicial en 9; 9s, ¿cuál es la frecuencia angular del movimiento amortiguado?. Resp.: 37; 999995rad=s.


3.7. PROBLEMAS

57. Un oscilador armónico, con período natural � o = 1; 5 s, se coloca en un ambientedonde su movimiento se amortigua, con una resistencia proporcional a su veloci-dad. La amplitud de la oscilación baja a 50 % de su valor original en 9; 0 s. ¿Cuál esel período del oscilador en el nuevo ambiente?. Resp.: 1; 503 s.

58. Se cuelga una masa de 10 Kg de un resorte que se estira 4 cm. El soporte del cualcuelga el resorte se pone en movimiento senoidal. ¿A qué frecuencia esperaríausted un comportamiento resonante?. Resp.: 2; 5 Hz.

59. Demuestre que la resonancia en la amplitud se presenta en el movimiento ar-mónico forzado cuando,

!RA =

r!2o �

b2

2m2

La frecuencia de resonancia se presenta cuando la amplitud tiene un máximocomo función de la frecuencia.

60. Un resorte determinado tiene una constante de 3; 2 N=m, y una masa de 2; 2 Kg ensu extremo. Cuando este resorte se sumerge en un medio viscoso, el movimientoresonante se presenta cuando la frecuencia angular es 1; 2 rad=s. ¿Cuáles son (a)el parámetro de amortiguamiento debido al medio viscoso, (b) la vida media delsistema, y (c) la agudeza del pico de resonancia?. Resp.: (a) 0; 38 N:s=m; (b) 5; 9 s;(c) �! = 0; 34 rad=s; Q = 5; 4.

61. En 1; 0 min una partícula efectuó 300 oscilaciones. Determinar el período y la fre-cuencia de las oscilaciones. Resp.: 0; 2 s; 5; 0 Hz.

62. Una partícula oscila con la frecuencia y 10KHz. Encontrar el período y la cantidadde oscilaciones por minuto. Resp.: 1; 0:10�4 s; 6; 0:105 min.

63. Encontrar la posición de una partícula que realiza oscilaciones armónicas parat1 = 0; t2 = �=12; t3 = �=4; t4 = �=2. La fase inicial de las oscilaciones 'o = 0 y laamplitud de oscilaciones es A. Use (3.6). Resp.: 0; A=2; A; 0.

64. ¿En cuánto tiempo una partícula, que realiza oscilaciones armónicas, pasa laprimera mitad de la amplitud y la segunda mitad de la misma?. Use (3.6). Resp.:�=12; �=6.

65. Escribir las ecuaciones de las oscilaciones armónicas para los siguientes paráme-tros: (1) A = 10 cm, 'o =

�4rad, ! = 2� rad

s; (2) A = 5; 0 cm, 'o =

�2rad, � = 2; 0 s; (3) A = 4; 0

cm, 'o = � rad, # = 2; 0 Hz. Use (3.6) Resp.: (1) x(t) = 10 cm Sen�2�t+ �

4

�, (2) x(t) = 5; 0

cm Sen��t+ �

2

�, (3) x(t) = 4; 0 cm Sen (4�t+ �).



66. Una partícula efectúa oscilaciones armónicas supeditándose a la ley

x = 2 cm Sen��4t+

�

2

�donde x viene expresado en cm y t en s. Determinar: (a) la amplitud de las oscila-ciones A, (b) la fase inicial 'o y (c) el período de oscilaciones � . Resp.: (a) 2 cm; (b)�2rad; (c) 8; 0 s.

67. (a) Escribir la ecuación de las oscilaciones armónicas para: A = 5; 0:10�2 m, 'o = 0,� = 0; 010 s. Determinar: (b) la frecuencia de las oscilaciones #, (c) la frecuenciaangular !, (d) la vm�ax y la am�ax y (e) la energía total de las oscilaciones armónicaspara un cuerpo con masa m = 0; 10 Kg. Use (3.6). Resp.: (a) x = 5; 0 cm Sen (200�t),(b) 100 Hz, (c) 200� rad=s, (d) 10� m=s, �2; 0:103�2 m=s2, (e) 5�2J = 49 J .

68. Un cuerpo con masa de 0; 10 Kg efectúa oscilaciones armónicas según la ley,

x(t) = 10 cm Sen�314�t+

�

2

�Encontrar: (a) la amplitud del desplazamiento A, (b) la fase inicial 'o, (c) la angular!o, (d) la frecuencia de oscilaciones #, (e) el período de oscilaciones � ; (f) vm�ax yam�ax, y (g) la energía cinética máxima. Resp.: (a) 10; 0 cm, (b) �

2rad, (c) 314 rad=s, (d)

50 Hz, (e) 2:10�2s, (f) 31; 4 m=s, �9; 86:103 m=s2, (g) 49; 3 J .

69. Una partícula, que realiza oscilaciones armónicas con una frecuencia de 10 Hz,pasa la posición de equilibrio a la velocidad de 6; 28 m=s. Encontrar (a) la posicióny la aceleración máximas y (b) escribir la ecuación de las oscilaciones armónicas,siendo la fase inicial nula. Use (3.6) .Resp.: (a) 10 cm, �394 m=s2, (b) x(t) = 10 cm

Sen (62; 8t).

70. La velocidad de un cuerpo, que efectúa oscilaciones armónicas, varía según laley

v (t) = 6; 0cm

sSen (100t)

(a) Escribir la ecuación de las oscilaciones armónicas y encontrar (b) los valoresmáximos de la velocidad y aceleración del cuerpo oscilatorio, (c) la energía de lasoscilaciones armónicas para un cuerpo, cuya masa es igual .a 2; 0:10�1 Kg. Resp.:(a) x(t) = �6; 0:10�2 cm Cos (100t), (b) 6; 0 cm

s; 6; 0:102 cm

s2, (c) 3; 6:10�4 J .

71. La velocidad de una partícula varía supeditándose a la ley

v (t) = 20�cm

sCos 2�t


3.7. PROBLEMAS

Determinar: (a) la aceleración máxima, (b) la posición de la partícula al cabo det = 5=12 s desde el comienzo de las oscilaciones y (c) el trayecto que recorrió lapartícula en este tiempo. Resp.: (a) 40�2 cm=s2, (b) 5; 0 cm, (c) 15 cm.

72. Basándose en la ecuación

x (t) = 20 cm Sen (�t)

encontrar: (a) La posición de la partícula al cabo de 1; 5 s contando desde elinicio de las oscilaciones, (b) el trayecto que recorrió esta partícula durante esetiempo, (c) la fuerza recuperadora, que actúa en este instante sobre una partículaoscilante, cuya masa es igual a 0; 20 Kg. Resp.: (a) �20 cm, (b) 60 cm, (c) 39; 4:102 N .

73. Ateniéndose a los datos del problema anterior, encontrar: (a) la posición, (b) laaceleración, (c) la fuerza recuperadora y (d) la energía potencial al cabo de 1=6 scontando desde el instante en que surgieron las oscilaciones. Resp.: (a) 10 cm, (b)�10�2 cm=s2, (c) �2; 0:10�2 N , (d) 1:10�3�2J .

74. En un soporte horizontal, que efectúa oscilaciones armónicas en dirección vertical,yace una partícula. ¿Qué aceleración máxima puede tener el soporte para que lapartícula aún no se desprenda de él? ¿Cuál será la amplitud de las oscilaciones eneste caso, si el período de las mismas es de 0; 50 s?. Resp.: g.

75. Una tabla horizontal realiza oscilaciones armónicas en dirección horizontal con unperíodo de 2; 0 s. ¿Cuál deberá ser la amplitud de las oscilaciones de la tabla paraque un cuerpo que yace en ella comience a deslizarse?. El coeficiente de fricciónestático �s es de 0; 20. Resp.: A � kg�2

4�2t 0; 2 m.

76. Un cilindro, cuya masa es igual a m y el área de la base S, flota en un líquido dedensidad �. Primero lo sumergieron un poco más y luego lo soltaron. Encontrar elperíodo de las oscilaciones arrnónicas del cilindro. Menospréciese la resistencia delmedio. Resp.: � = 2�

qm�gS

.

77. Un tubo en forma de U contiene un líquido con masa m. El líquido puesto fueradel estado de equilibrio, realiza un movimiento oscilatorio. La densidad del líquidoes � y el área de la sección transversal de cada rama del tubo es S. Determinar elperíodo de las oscilaciones del líquido. Resp.: � = 2�

qm2�gS

.

78. Adoptando los datos del problema anterior, encontrar el período de oscilacionesdel líquido, si las áreas de la sección transversal de las ramas det tubo son iguales aS1, y S2, respectivamente. Resp.: � = 2�

qm

�g(S1+S2).



79. Un cuerpo con masa de 0; 10 Kg, suspendido en un muelle, efectúa oscilacionesverticales con una amplitud de 4; 0 cm. Encontrar: (a) El período de las oscilacionesarmónicas del cuerpo, si para alargar elásticamente el muelle en 1; 0 cm se necesitauna fuerza de 0; 10N , (b) la energía total de las oscilaciones armónicas del péndulo.Menospréciese la masa del muelle. Resp.: (a) 0; 63 s, (b) 8; 0:10�3 J .

80. Una partícula con masa m, yacente sobre una superficie horizontal lisa inmóvil, esarrastrada con una fuerza F = mg mediante un muelle de constante k y luego lasueltan, (a) escribir la ecuación de las oscilaciones armónicas de la partícula, (b)determinar la energía de las oscilaciones, (c) ¿Cómo variará el período de oscila-ciones de la partícula, si este sistema se traslada a la Luna?. Menospréciese la masadel muelle. Use (3.6). Resp.: (a) x (t) = mg

kSen

�qkmt�

, (b) (mg)2

2k, (c) no variará.

81. Una partícula con masa de 0; 20 Kg, suspendida en un muelle, efectúa 30 oscila-ciones por minuto con una amplitud de 0; 10 m. Encontrar: La constante de elasti-cidad del muelle y la energía cinética de la partícula al cabo de 1=6 de período,contando desde instante en que pasó la posición de equilibrio. Use (3.6). Resp.: 2N=m; 2; 5:10�3J .

82. Una partícula con masam se cuelga a dos muelles imponderables, cuyas constan-tes son k1 y k2 respectivamente. Determinar el período de las oscilaciones armónicasde la partícula al unir los muelles (a) en serie y (b) en paralelo, si la partícula está sus-pendida en el centro entre ellos en una barra imponderable. Resp.: (a) 2�

qmk1+k2

k1k2,

(b) 2�qmk1+k2

4k1k2.

83. Un péndulo matemático (simple) con longitud de 99; 5 cm realiza 30 oscilacionescompletas por minuto. Encontrar el período de oscilación del péndulo y la acelera-ción de la caída libre en el lugar en que se encuentra el péndulo. Resp.: 2; 0 s; 9; 82m=s2.

84. Encontrar el período de las oscilaciones armónicas de un péndulo simple, cuyalongitud es igual a 1; 0 m, si la aceleración de la caída libre es de 9; 81 m=s2. ¿Encuántas veces y de qué manera será necesario modificar la longitud del péndulo,para que el período de oscilaciones aumente el doble?. Resp.: 2; 05 s; aumentarlacuatro veces.

85. Determinar la longitud de un péndulo simple que efectúa una oscilación com-pleta durante 2 s, si la aceleración de la caída libre es de 9; 81 m=s2. ¿En cuántasveces será necesario cambiar la longitud del péndulo para que la frecuencia desus oscilaciones aumente el doble?. Resp.: 99; 4 cm; disminuirla cuatro veces.


3.7. PROBLEMAS

86. ¿Qué relación existirá entre las longitudes de dos péndulos simples, si en un mismotiempo el primer péndulo realizó 10 oscilaciones, mientras que el segundo, 20 oscila-ciones?. Resp.: `2

`1= 1

4.

87. ¿En cuántas veces se diferencia el período de oscilaciones de un péndulo ma-temático en la Luna del período de oscilaciones del mismo péndulo en la Tierra?(gL t gT

6). Resp.: �L = 2; 45 �T .

88. Dos péndulos simples están colgados en el techo. En el transcurso de un mismotiempo un péndulo realizó 5 oscilaciones y el otro 3 oscilaciones. ¿Qué longitudtiene cada péndulo, si la diferencia de sus longitudes es igual a 48 cm?. Resp.: 0; 27m; 0; 75 m.

89. Dos péndulos matemáticos con longitudes de 0; 996 y 0; 294 m empiezan oscilar almismo tiempo en fases iguales. ¿Dentro de cuánto tiempo mínimo las fases de susoscilaciones de nuevo coincidirán y con qué frecuencia esto se repetirá?. Adópteseg t 9; 81 m=s2. Resp.: 2; 0 s; las fases coincidirán dentro de cada dos oscilaciones delsegundo péndulo o una oscilaci;on del primero.

90. Dos bolitas están suspendidas en hilos inextensibles de una misma longitud. Una deellas se eleva hasta el punto de suspensión, la segunda, estando el hilo estirado, sedesvía en un pequeño ángulo respecto a la vertical de manera que sus oscilacionespueden considerarse armónicas. Las bolitas se sueltan simultáneamente. ¿Cuál deellas alcanzará antes la posición de equilibrio?. Resp.: La bolita que cae librementedel punto de suspención, llegará antes a su punto de equilibrio.

91. ¿Cuánto tiempo necesitará para realizar una oscilacion completa el péndulo sim-ple representado en la figura 3.18, si el punto de la inflexión del hilo B se encuentraen la misma vertical que el punto de suspensión C distando de `=2 de éste?. Resp.:�q

`g

�1 + 1p

2

�.

92. ¿En cuántas veces y de qué manera diferirá el período de oscilaciones armónicasde un péndulo matemático en un planeta, cuyos masa y radio superan 4 vecesestos parámetros de la Tierra, del período de oscilaciones de semejante pénduloen la Tierra?. Se sabe que

gp =Gmp

R2p

donde G = 6; 67:10�11Nm2

Kg2es la constante de gravitación universal, gp es la acelera-

ción de gravedad en el planeta estudiado y Rp su radio. El radio de la Tierra es RTt 6; 4:103 Km. Resp.: �P

�T= 2.



Figura (3.18): Problema 91: Péndulo simple con punto de inflexión.

93. ¿En cuánto se retrasará un reloj con péndulo durante un día entero, si lo trasla-damos desde el polo al ecuador?. Considérese que en el polo el reloj funcionabacorrectamente. (gp t 9; 832 m=s2, ge t 9; 78 m=s2). Resp.: �t = t1

�qgpge� 1�

, donde

t1 = 8; 64:104 s; el reloj se retrasará cada día entero en 3 min 49 s.

94. Un reloj con péndulo marcha correctamente a nivel del mar. ¿En cuánto se re-trasará dicho reloj durante un día entero, si lo elevamos a la altura h = 4; 0 Km?. Elradio de la Tierra es RT t 6; 4:103 Km. Resp.: �t = th

RTt 54 s.

95. El punto de suspensión de un péndulo matemático con longitud ` se desplazapor la vertical con una aceleración a. Determinar el período de oscilaciones delpéndulo cuando el punto de suspensión se mueve siendo su aceleración a < g:hacia arriba; hacia abajo. Resp.: 2�

q`g+a

, 2�q

`g�a .

96. El período de oscilaciones de un péndulo simple en un cohete, que asciende ver-ticalmente, es dos veces inferior a dicho período en la Tierra. Considerando que laaceleración de la caída libre es constante e igual a g, determinar la aceleracióndel cohete. Resp.: 3g.

97. Determinar el período de oscilaciones de un péndulo simple en una nave espacialdespués de desconectar los motores. Examinar el carácter del movimiento de pén-dulo después de desconectar los motores si: (1) en el instante en que esto ocurrióel péndulo se encontraba en la posición extrema; (2) el péndulo se encontraba enmovimiento. Resp.: 2�

q`g+a

. En el instante en que se desconectan los motores surgela ingravidez, la fuerza recuperadora se anula, no habrá oscilaciones; (1) el péndulopermanecerá en la posición extrema; (2) si las condiciones de fijación del péndulolo permiten, éste realizará el movimiento describiendo una circunferencia.


3.7. PROBLEMAS

98. El punto de suspensión de un péndulo matemático se mueve horizontal y rectilínea-mente con la aceleración a. ¿En cuántas veces diferirá el período de oscilacionesarmónicas � 1, en caso de este movimiento acelerado del período de oscilaciones� del mismo péndulo cuando su punto de suspensión permanece inmóvil o bienrealiza un movimiento rectilíneo y uniforme?. Resp.: En ambos casos �1

�

qgpg2+a2

.

99. El punto de suspensión de un péndulo simple se mueve en el plano vertical conaceleración constante a, dirigida formando el ángulo � respecto a la vertical. En-contrar el período de las oscilaciones armónicas del péndulo, cuya longitud es `. Laaceleración de la caída libre es g. Resp.: 2�

q`p

g2+a2�2agCos�.

100. Un péndulo matemático, suspendido en el vagón de un tren que se mueve poruna curvatura de radio R a velocidad constante, oscila con un período n vecesinferior que el correspondiente al movimiento rectilíneo uniforme del tren a la mismavelocidad. Encontrar la velocidad de movimiento del tren. La aceleración de lacaída libre es g. Resp.: v = 4

p(n4 � 1) g2R2.

101. Una nave espacial se mueve lejos de los cuerpos celestes. Basándose en elperíodo de oscilaciones � de un péndulo simple con longitud `, suspendido en lacabina de la nave, encontrar la aceleración que a la nave le comunican los mo-tores en funcionamiento. Resp.: a = 4�`

�2.

102. Un péndulo simple, que es en sí una bolita pesada de masa m suspendida en unhilo de longitud `, realiza oscilaciones armónicas, desviándose en un pequeño án-gulo � respecto a la vertical. Encontrar: (a) la energía de las oscilaciones armónicasdel péndulo, (b) su velocidad máxima. La aceleración de la caída libre es g. Resp.:(a) 1

2mg`�2, (b) vm�ax = �

pg`, donde � es el ángulo en radianes.

103. Un péndulo matemático de masam, que realiza oscilaciones armónicas con am-plitud A, pcsee la energía E. Encontrar: (a) La frecuencia de las oscilaciones delpéndulo, (b) la longitud del hilo, (c) ¿cambiará la energía de las oscilaciones ar-mónicas, si aumentamos al doble la amplitud de las mismas, reduciendo al mismotiempo la frecuencia a la mitad?. Resp.: (a) # = 1

�

qE2m

, (b) ` = mgA2

2E, (c) No.

104. Un péndulo simple, desviado en un hilo tensado a un pequeño ángulo � respectoa la vertical, pasa la posición de equilibrio a la velocidad v. Considerando quelas oscilaciones son armónicas, determinar el período de las oscilaciones. Resp.:

2�v

gp2(1�Cos�)

t 2�v�g

.



105. Una varilla de 1m de largo está suspendida de uno de sus extremos de tal maneraque constituye un péndulo compuesto. Encontrar el período y la longitud del pén-dulo simple equivalente. Encontrar el período de oscilación si la varilla se cuelgade un eje situado a una distancia de uno de sus extremos igual a la longitud delpéndulo equivalente previamente encontrada. Resp.: 1; 64 s; 2

3m; 1; 64 s.

106. Un disco sólido de radio R puede colgarse de un eje horizontal a una distancia hde su centro. (a) Encontrar la longitud del péndulo simple equivalente. (b) Encontrarla posición del eje para el cual el período es un mínimo. (c) Representar el períodoen función de h. Resp.:

107. Una varilla de longitud L oscila con respecto a un eje horizontal que pasa porun extremo. Un cuerpo de igual masa que la varilla está situado sobre la varilla auna distancia h del eje. (a) Obtener el período del sistema en función de h y de L.(b) ¿Hay algún valor de h para el cual el período es el mismo como si no hubiera

masa?. Resp.: (a) 4�hh2+ 1

3L2

g(2h+L)

i 12

; (b) No.

108. Un cubo sólido, de lado a, puede oscilar alrededor de un eje horizontal coinci-dente con un borde. Encontrar su período. Resp.:

109. Demostrar que si el péndulo compuesto oscila alrededor de O� (Fig. 3.6) en lu-gar de O, su período es el mismo y la longitud del péndulo simple equivalente per-manece inalterable.

110. Una particula realiza un movimiento armónico lineal respecto a x = 0 con unafrecuencia de 0; 25 s�1. Si la elongación inicial es 0; 37 cm y la velocidad inicial esnula, calcular: (a) El período, la frecuencia angular y la amplitud, (b) la velocidadmáxima y la aceleración máxima, (c) la elongación, la velocidad y la aceleraciónen el instante t = 3 s. Resp.: (a) � = 4 s; ! = �=2 rad=s; A = 3; 7:10�3 m; (b) vmax =�5; 81:10�3 m=s; amax = �9; 13:10�3 m=s2; (c) x = 0; # = 5; 81:10�3 m=s2; a = 0.

111. Un partícula de 25 g de masa es atraida hacia un punto fijo O por una fuerza pro-porcional a la distancia que los separa. La particula realiza un movimiento rectilíneo.Calcular el período del movimiento y las energías cinética y potencial cuando lapartícula dista de O la mitad de la amplitud del movimiento, sabiendo que A = 1cmy que k = 0; 1 N=m. Resp.: � = �s; K = 3; 75:10�6 J ; U = 1; 25:10�6J .

112. Un oscilador armónico lleva una velocidad de 2 cm=s cuando su elongación es 6cm y 1; 5 cm=s cuando su elongación es 8 cm. Calcular: amplitud, período, velocidadmáxima y aceleración máxima. Resp.: A = 0; 1 m; � = 8 s; vmax = �0; 025 m=s;amax = �6; 25:10�3 m=s2.


3.7. PROBLEMAS

113. Un cuerpo de masa m gira, unido a un resorte de masa despreciable y constanterecuperadora k, con velocidad angular ! en un plano horizontal sin rozamiento,siendo ` la longitud del resorte sin estirar. (a) ¿Cuál es el radio de la trayectoriacircular descrita? y (b) ¿cuánto vale la energía total del sistema?. Resp.: (a) k`

k�m!2 ;(b) 1

2km!2`2 k+m!2

(k�m!2)2 .

114. Cuando la plomada de un péndulo cónico describe una trayectoria circular, elhilo de longitud barre un cono de semiángulo (Figura 3.19). Determinar el períododel movimiento de la plomada. Resp.: � = 2�

q`gCos �.

Figura (3.19): Problema 114: Péndulo cónico.

115. Un resorte vertical, de masa despreciable, cuelga de un soporte y lleva en suextremo inferior una masa de 5 g. Se le aplica a la masa una fuerza vertical de0; 5 N , con lo que el muelle se alarga 4 cm, y se suelta. Calcular la frecuencia y laenergía total del movimiento que se produce. Resp.: # = 7; 96 Hz; E = 0; 01 J .

116. El péndulo de un reloj de pared esta formado por una varilla de 1 m de longitud ymasa m, en cuyo extremo hay soldado un disco macizo homogéneo de masa 3 m.Calcúlese el valor del radio del disco para que el péndulo funcione con un períodoigual a 2 s. DATOS: g = �2m=s2); Icmvarilla

= m`2=12; Icmdisco= mR2=2. Resp.: 5; 16 cm.

117. Se tiene una barra homogénea delgada de 26 cm de longitud que cuelga delpunto O mediante dos hilos inextensibles y sin masa de 26 cm atados a sus extremos(Figura 3.20). Si hacemos oscilar la barra con una pequeña amplitud alrededor deun eje perpendicular al papel que pase por O, calcular el período de las oscila-ciones. DATO: Icmbarra

= m`2=1, donde es la longitud de la barra. Resp.: 1; 004 s.

118. De un resorte está colgado un platillo de una balanza con pesas. El período delas oscilaciones verticales es igual a 0; 5 s. Después de añadir más pesas al platillo,



Figura (3.20): Problema 117: Barra homogénea delgada que cuelga de un punto mediante dos hilosinextensibles y sin masa atados a sus extremos.

el período de las oscilaciones verticales se hizo igual a 0; 6 s. ¿Qué alargamientoprovocaron en el muelle las pesas añadidas? (tome g = 10 m=s2). Resp.: 2; 786 cm.

119. Dos resortes, cada uno de 0; 2m de longitud natural y de constantes recuperado-ras k1 = 1 N=m y k2 = 3 N=m, están enganchados por uno de sus extremos a unbloque que puede desplazarse sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Losotros dos extremos se unen a dos postes fijos situados a 0; 1 m de los mismos, segúnse indica en la Figura 3.21. Determinar: (a) La posición de equilibrio del bloquecuando se hayan sujetado los resortes a los postes, (b) la constante recuperadoradel conjunto, (c) el período de la oscilación que se produce cuando separamos elbloque ligeramente de la posición de equilibrio y lo soltamos. Resp.: (a) a 0; 25 m

del poste derecho; (b) 4 N=m; (c) 0; 99 s.

Figura (3.21): Problema 119: Dos resortes están enganchados por uno de sus extremos a un bloque quepuede desplazarse sin rozamiento sobre una superficie horizontal.

120. Un bloque de 50 g de masa se sujeta al extremo libre de un resorte ideal de 40N=mde constante elástica. El bloque, que puede deslizarse sobre una superficie hori-zontal sin fricción, se pone en movimiento proporcionándole una energía potencialinicial de 2 J y una energía cinética inicial de 1; 5 J . (a) Determinar la amplitud de


3.7. PROBLEMAS

la oscilación, (b) ¿cuál es la velocidad del bloque cuando pasa por la posición deequilibrio?, (c) ¿cuál será el desplazamiento del bloque cuando la energía cinéticay potencial coincidan?, (d) si el desplazamiento inicial fue positivo y la velocidadinicial negativa, obtener la fase inicial del movimiento y (e) escribir la ecuación delmovimiento , con las condicionantes del apartado anterior. Resp.:(a) 41; 83 cm; (b)11; 83 m=s; (c) 29; 58 cm; (d) 2; 28 rad; (e) x = 0; 4183m Sen

�20p2t+ 2; 28

�.

121. Una varilla metálica delgada y uniforme de longitud ` y de masa m pivota sinrozamiento sobre un eje que pasa por su extremo superior y es perpendicular a lavarilla. Un resorte horizontal de constante elástica k se une al extremo inferior dela varilla por un lado y a un soporte fijo rígido por el otro (Figura 3.22), de tal formaque cuando la varilla está en posición vertical el resorte tiene su longitud natural. Sila varilla se separa un pequeno ángulo de la vertical y se suelta, (a) demostrar quese mueve con un movimiento armónico simple [es decir, que su ecuación de movi-miento es análoga a (3.3)] y (b) calcular su período. Resp.: (a) d2�

dt2= �

�3g2`+ 3k

m

��; (b)

� = 2�q

2m`3mg+6k`

.

Figura (3.22): Problema 121: Varilla metálica delgada y uniforme que pivota sin rozamiento sobre un ejeque pasa por su extremo superior y es perpendicular a la varilla y que esta unida a un resorte.

122. Un cuerpo de 2Kg de masa oscila unido a un muelle de constante elástica k = 400N=m. La constante de amortiguamiento es b = 2 Kg=s. El cuerpo es impulsado poruna fuerza senoidal de 10 N de valor máximo y 10 rad=s de frecuencia angular.Calcular: (a) La amplitud de las oscilaciones, (b) la amplitud de las vibracionescuando el sistema se haya en resonancia de amplitud. Resp.: (a) 0; 04975 m; (b)0; 3538 m.

123. Un oscilador tiene una masa de 0; 05Kg y un período de 2 s. La amplitud disminuye



en un 5% en cada ciclo. Calcular: (a) El valor de la constante de amortiguamientoy (b) el porcentaje de energía del oscilador disipada en cada ciclo. Resp.: (a)b = 2; 565:10�3 Kg=s; (b) 9; 75% de la inicial.

124. Un cuerpo de 0; 5 Kg de masa oscila unido a un resorte de constante elástica k =300N=m. Durante los primeros 10 s pierde una energía de 0; 5 J debido al rozamiento.Si la amplitud inicial era de 15 cm, calcular: (a) El tiempo que ha de transcurrir desdeel inicio del movimiento para que la energía se reduzca a 0; 1 J , y (b) la “ frecuenciaangular ” de la oscilación. Resp.: (a) 219; 5 s; (b) 24; 5 rad=s.

125. Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de manera que suposición viene dada por,

x(t) = 5m e��t Sen

�5�

3t+

�

6

�donde x está en metros y t en segundos. Encuentre: (a) La frecuencia angular, laconstante de fase y �; (b) la amplitud al cabo de 0; 5 s; (c) la velocidad y acelera-ción en t = 1 s. Resp.: (a) 5�

3rads

,�6rad, � rad

s; (b) 1; 04 m; (c) 1; 3m

s; �4; 3m

s2.

126. Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de manera que suposición viene dada por,

x(t) = 17cm e��2t Sen

��6t�

donde x está en metros y t en segundos. Encuentre: (a) la constante de fase y �;(b) el período; (c) la amplitud al cabo de 2 s; (d) la velocidad y aceleración en t = 3s. Resp.: (a) 0 rad, �

2rads

; (b) 12 s; (c) 0; 73 cm; (d) 0; 24 cms

; �0; 33 cms2

.

127. ¿Cuál es la ecuación que describe el movimiento de un cuerpo de 5 Kg queestá unido a un resorte de constante k = 5 N=m y que oscila a lo largo del eje x enun medio viscoso cuya constante de amortiguamiento es 5 Kg=s, sabiendo que elmovimiento se inició cuando el cuerpo se encontraba a 0; 5 m del punto en el cualel resorte estaba en su posición relajada. Resp.: x(t) = 0; 5m e�

12t Sen

�p32t�

.

128. Un resorte se estira 20 cm cuando se le cuelga una masa de 30 Kg (puesto enposición vertical). Si a este resorte se le une un cuerpo de 25 Kg de tal maneraque el sistema se mueva a lo largo del eje x en un medio cuya constante de amor-tiguamiento es de 30 Kg=s y si la amplitud inicial es de 55 cm, encuentre (a) la posi-ción del cuerpo en función del tiempo, (b) la posición del cuerpo al cabo de 1; 5 s.Resp.: (a) x(t) = 55 cm e�

35t Sen (17; 1t), (b) 11 cm.


3.7. PROBLEMAS

129. Un cuerpo oscila con movimiento amortiguado a lo largo del eje x. Su desplaza-miento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación,

x (t) = 4; 00 m e�t Sen (5t)

donde t está en segundos y x en metros. Determine: (a) La frecuencia y el períododel movimiento, (b) la posición, velocidad y aceleración del cuerpo en t = 1; 00 s.Resp.: (a) 0; 80 Hz; 1; 25 s; (b) �1; 41 m; 3; 50m

s; 29; 7m

s2.




CAPÍTULO 4

Movimiento ondulatorio

4.1 Ondas

En el capítulo de oscilaciones la protagonista era una partícula, la cual ocupabauna posición de equilibrio estable. Un agente externo le cedía energía y bajo la ac-ción de una fuerza recuperadora vibraba haciendo continuamente cambios entre suenergía cinética y su energía potencial.

Consideremos ahora un conjunto de partículas las cuales ocupan todas posicionesde equilibrio estables pero a su vez ellas de alguna forma están “comunicadas”, ycomo consecuencia si una de ellas se hace oscilar las partículas contiguas reciben de“ella idéntica orden”. Obviamente las contiguas comienzan a oscilar con algún des-fase frente a la partícula que “ordena”, ya que el mensaje se demora algún intervalode tiempo en viajar. A su vez estas partículas envían el mensaje a las vecinas y asísucesivamente todo el sistema de partículas entra a oscilar. En este modo de propa-gación cada partícula solo vibra alrededor de su posición de equilibrio mas no sufreun desplazamiento neto (cuando dejen de oscilar quedan nuevamente en su posiciónde equilibrio). Mas sin embargo se propaga energía de un oscilador a otro : En defin-itiva hay propagación de energía y no de materia . A este modo de propagación sele denomina movimiento ondulatorio (onda).

195

CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO

Se denomina onda al proceso mediante el cual una perturbación (o pulso)se propaga con velocidad finita de un punto (emisor o fuente) al otro del espa-cio (receptor) sin que se produzca transporte neto de materia, sólo se transportaenergía y cantidad de movimiento.

Un pulso es cada una de las perturbaciones individuales que se propaganpor cada oscilación generada por el agente externo. A una colección de pul-sos lo denominaremos tren de ondas.

En cualquier punto de la trayectoria de propagación se produce un desplaza-miento periódico, u oscilación, alrededor de una posición de equilibrio. Puede seruna oscilación de moléculas de aire, como en el caso del sonido que viaja por la at-mósfera, de moléculas de agua (como en las olas que se forman en la superficie delmar) o de porciones de una cuerda o un resorte. En todos estos casos, las partículasoscilan en torno a su posición de equilibrio y sólo la energía avanza de forma continua.

Figura (4.1): Ejemplo de la propagación de una perturbación.

Un ejemplo podría ser el sistema ilustrado en la figura 4.1. Se trata de un conjunto depéndulos acoplados mediante débiles resortes. Supongamos que el primer péndulo sele hace oscilar y se mantiene su oscilación mediante la acción de un agente externo.La vibración de este se comunica al siguiente a través del resorte (se podría hacer elexperimento sin el acople de los resortes y la vibración se comunicaría a través de labarra donde cuelgan, pero de una manera poco eficaz), y así sucesivamente comen-zaría todos los péndulo a oscilar. Las masas pendulares no se mueven en conjuntosegún la dirección en que se propaga el “mensaje”. Ellas solo oscilan alrededor desus posiciones de equilibrio. Concluimos que la energía que suministra nuestro agente


4.2. TIPOS DE ONDAS

externo al sistema se propaga a través de este sin desplazamiento neto de las masaspendulares.

Esto mismo sucede cuando dejamos caer una piedra en un estanque con aguacomo se muestra en la figura 4.2, o cuando hacemos oscilar una cuerda, o cuandoel sonido se propaga en el aire, o cuando hacemos oscilar a un slinky. En todos estosejemplos las partículas del sistema están comunicadas a través de las interaccioneseléctricas que hacen el papel de “resortes microscópicos”. Además en todos estosejemplos hay algo en común: la energía se propaga a través de la vibración de lamateria. Como veremos un poco más adelante hay otro tipo de ondas que se propa-gan a través de la vibración de campos eléctricos y magnéticos y no a través de lavibración de la materia. Ejemplos de estas últimas son las ondas de radio, las ondas detelevisión y la luz.

4.2 Tipos de ondas

La diversidad de los fenómenos ondulatorios hace que establecer una clasificaciónde las ondas resulte complejo. Pueden clasificarse según la manera de originarse, osegún el medio en que se propagan, o también, por ejemplo, por la relación exis-tente entre la dirección del movimiento de las partículas del medio y la dirección depropagación de la energía.

4.2.1 Según el medio en que se propaguen

1. Ondas mecánicas: Las ondas mecánicas necesitan de un medio material parapoderse propagar. En estas la energía se propaga a través de la vibración de lamateria, aprovechando la elasticidad de esta. En ella hay conversión de energíacinética en potencial y viceversa, lo que permite la propagación. En un medioelástico, una deformación produce tensiones elásticas que afectan a las regionescontiguas y también en ellas provoca perturbaciones. Como consecuencia dela inercia del medio material, esta perturbación prosigue con una velocidad finitatanto más lenta, cuanto mayor es la densidad. Por otra parte, la velocidad depropagación es tanto mayor cuanto más grande es la tensión que produce unadeterminada deformación, es decir cuanto mayor sea el módulo de elasticidad delmedio. Son ejemplos de este tipo de ondas: las ondas en una cuerda, la vibraciónde un edificio, las ondas en el agua, las ondas sísmicas, las ondas en un resorte, y



un ejemplo por excelencia son las ondas sonoras (el sonido). El sonido es vibraciónde materia por lo que no se puede propagar en el vacío.

2. Ondas electromagnéticas: Las ondas electromagnéticas en cambio no necesitande un medio material para propagarse. En estas la energía se propaga a travésde la vibración de los campos eléctricos y magnéticos. Aquí la conversión de ener-gía eléctrica en magnética y viceversa debido a la inducción mutua entre amboscampos, permite la propagación. La velocidad con que se propaga la onda elec-tromagnética dependerá de las propiedades eléctricas y magnéticas del medio.Son ejemplos , las ondas de radio y televisión, las microondas, los rayos x , y un ejem-plo por excelencia es la luz. La luz es vibración de campos eléctricos y magnéticospor lo que se puede propagar en el vacío.

4.2.2 Según el número de dimensiones que involucran

Figura (4.2): Ondas superficiales que se forman al arrojar una piedra en un estanque tranquilo.

Las ondas pueden también clasificarse como unidimensionales, bidimensiona-les y tridimensionales, de acuerdo con el número de dimensiones en que se propaguela energía. Por ejemplo, las ondas que se mueven a lo largo de una cuerda o de unresorte [ver figuras 4.3(a) y (b)] son unidimensionales. Las ondas superficiales o rizos deagua que se forman al arrojar una piedra a un estanque tranquilo (ver figura 4.2), sonbidimensionales. Las ondas de sonido y de luz que viajen radialmente partiendo deuna pequeña fuente son tridimensionales.


4.2. TIPOS DE ONDAS

4.2.3 Según la relación entre la vibración y la dirección de propagación

1. Transversales: Son aquellas ondas en las cuales la oscilación es perpendicular ala dirección de propagación de la onda. Por ejemplo: en una cuerda tensa [verfigura 4.3(a)] la onda se propaga de izquierda a derecha (en caso particular) pero,en cambio, la oscilación de un punto concreto de la cuerda se produce de arribahacia abajo, es decir, perpendicularmente a la propagación.

Figura (4.3): Una onda (a) longitudinal y (b) onda transversal.

2. Longitudinales: En este tipo de propagación es paralela a la oscilación. Por ejem-plo: si apretamos un resorte [ver figura 4.3(b)] , las espiras oscilan de izquierdaa derecha (como caso particular), paralelas en cualquier caso a la dirección depropagación.

Ciertas ondas no son ni puramente longitudinales ni puramente transversales. Porejemplo, en las ondas que vemos sobre la superficie del agua las partículas de éstase mueven tanto de arriba abajo como en vaivén, trazando trayectorias elípticas almoverse.

4.2.4 De acuerdo a las fronteras

En este caso las ondas se clasifican en viajeras y estacionarias.

1. Ondas viajeras: En las ondas viajeras el medio a través del cual se propaga la ener-gía se considera sin fronteras.

2. Ondas estacionarias: En las estacionarias el medio está ligado, tiene fronteras : porejemplo una cuerda atada en sus extremos.



4.2.5 Períodicas y no periódicas

Atendiendo a la periodicidad de la perturbación local que las origina, las ondas seclasifican en: Periódicas y no períódicas.

1. Periódicas: Corresponden a la propagación de perturbaciones de característicasperiódicas, como vibraciones u oscilaciones que suponen variaciones repetitivas dealguna propiedad. Así, en una cuerda unida por uno de sus extremos a un vibradorse propagará una onda periódica.

2. No periódicas: La perturbación que las origina se da aisladamente y en el casode que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Lasondas aisladas, como en el caso de las fichas de dominó, se denominan tambiénpulsos como ya habíamos visto antes.

4.3 Pulso, tren de ondas, frente de onda y rayo

Podemos producir una pulsación (un pulso) que viaje por una cuerda estiradaaplicándole un solo movimiento lateral en su extremo como lo muestra la figura 4.4(a).Cada partícula permanece en reposo hasta que la pulsación llega hasta ella, luegose mueve durante un tiempo corto y luego permanece nuevamente en reposo.

Se denomina pulso a una perturbación aislada, no periódica, que tienelugar en un movimiento ondulatorio de algún tipo

Figura (4.4): (a) Pulso y (b) tren de ondas.

Si continuamos moviendo el extremo de la cuerda en vaiven como lo muestra lafigura 4.4(b), produciremos un tren de ondas que viajará a lo largo de la cuerda. Si


4.3. PULSO, TREN DE ONDAS, FRENTE DE ONDA Y RAYO

nuestro movimiento es periódico, produciremos un tren de ondas periódico, dondecada partícula de la cuerda tendrá un movimiento periódico. El caso especial mássencillo de una onda periódica es una onda armónica, donde cada partícula experi-menta un movimiento armónico simple.

Figura (4.5): (a) Frente de onda plano, (b) frente de onda cilíndrico, (c) frente de onda circular y (d)frente de onda esférico.

Imaginemos una piedra lanzada a un lago tranquilo. Los rizos circulares se esparcenhacia afuera desde el punto en que la piedra entró al agua como muestra la figura4.5(c). A lo largo de un rizo circular dado, todos los puntos están en el mismo estado demovimiento. Esos puntos definen una superficie llamada frente de onda. Si el medio esde densidad uniforme, la dirección del movimiento de las ondas está en ángulo rectoal frente de la onda. Una línea normal a los frentes de onda, que indique la direcciondel movimiento de las ondas, se llama rayo.

Los frentes de onda pueden tener muchas formas. Una fuente central en la super-ficie del agua produce ondas bidimensionales con frentes de onda circulares y rayosque salen hacia afuera a partir del punto de la perturbación como en la figura 4.5(c).En cambio, un palo muy largo arrojado horizontalmente al agua produciria (cerca desu centro) perturbaciones que viajan como lineas rectas, y cuyos rayos serían líneasparalelas. La analogía tridimensional, en la cual las perturbaciones viajan en una soladireccion, es la onda plana. En un instante dado, las condiciones son las mismas entodas partes de cualquier plano perpendicular a la dirección de propagacion. Losfrentes de onda son planos, y los rayos son líneas rectas paralelas como lo muestra



la figura 4.5(a). La analogía tridimensional de las ondas circulares son las ondas es-féricas. Aquí, la perturbación se propaga hacia afuera en todas direcciones desdeuna fuente puntual de ondas. Los frentes de onda son esferas, y los rayos son líneasradiales que salen de la fuente puntual en todas direcciones como lo muestra la figura4.5(d). Lejos de esta fuente los frentes de onda esféricos tienen una curvatura muy pe-queña, y dentro de una región limitada pueden considerarse a menudo como planos.Por supuesto, existen otras muchas formas de frentes de onda posibles, entre ellas lascilídricas como lo muestra la figura 4.5(b).

4.4 Descripción de la propagación de una onda

Supongamos que tenemos una cuerda en la cual hacemos propagar un pulso.

La representación matemática de la perturbación, , debe ser una función de laposición y el tiempo, = f (x; t). La forma de la perturbación se obtendrá medianteuna "fotografía" o instantánea de la perturbación. Así, la forma en t = 0, será(x; t)t=0 =f (x; 0) = f (x). Generalmente, su forma variará al moverse.

Figura (4.6): Cuerda en la cual se hace propagar una perturbación o pulso hacia la derecha.

Consideremos la posibilidad más simple; que la perturbación se propague, sin variarsu forma, mientras avanza a velocidad constante, v, hacia la derecha. En la figura4.6a se muestra un pulso en una cuerda en el instante t = 0 en un sistema S inercial(es decir, un sistema que puede estar en reposo o en movimiento rectilíneo y uniformecon respecto a otro lo cual, como sabemos, no modifica la física del fenómeno). La


4.4. DESCRIPCIÓN DE LA PROPAGACIÓN DE UNA ONDA

forma de la cuerda en este instante puede representarse por una función (x; t)t=0 =f (x; 0) = f (x). Establezcamos un nuevo sistema S0 tal que tal que x = x0 = 0, ent = t0 = 0, que viaje junto con el pulso a velocidad constante v (es decir S0 es comóvilcon el pulso), por lo tanto, un cierto tiempo después (ver figura 4.6b), el pulso se hadesplazado por la cuerda, pero permanece estacionario en este nuevo sistema y tienela misma forma que tenía en S para t = 0 (ya que por hipótesis la forma del pulso novaría), para cualquier valor de t en S0, por tanto 0 = f (x0). Las coordenadas de losdos sistemas de referencia estarán relacionadas por,

x = x0+ vt (4.1)

y por lo tanto,0 = f (x0) = f (x� vt) (4.2)

Obsérvese que si la descripción correspondiera a una onda propagándose en elsentido negativo de las x la ecuación vendría dada por,

Figura (4.7): Ilustración de un pulso del tipo f (x� vt) que se mueve en sentido +x y f (x+ vt) que semueve en sentido �x.

= f (x+ vt) (4.3)

Podemos, pues, decir que, independientemente de la forma de la perturbación, lasvariables x, t, deben aparecer en la función como una variable simple de la formax� vt. En la figura 4.7 se muestran los dos casos.

La función de onda se expresa también como una función de t� (x=v),

= f (x� vt) = g�t� x

v

�(4.4)

que indica, directamente, que todo punto x, sufre la misma perturbación que hasufrido el origen, pero con un retraso de �t = x=v. Como antes, una onda quese propague en el sentido negativo de las x, se describirá mediante la función =

g (t+ x=v) si la forma de la perturbación en x = 0 viene dada por g (t).



4.5 Ecuación de onda y principio de superposición

La perturbación, , se describe mediante una función de dos variables, posicióny tiempo. La aparición de una función de onda deberá surgir como solución de algúnproblema físico. La aplicación de las leyes conocidas a ese problema deben con-ducirnos a una ecuación diferencial del movimiento, al igual que hemos visto en elcaso de los osciladores. Sin embargo, la función de onda depende de dos variables,posición y tiempo, por lo que es de suponer que la ecuación sea, en este caso, enderivadas parciales. No nos planteareamos, ahora, esta forma de trabajo. Ahora nosplantearemos la cuestión inversamente y desde un punto de vista estrictamente ma-temático: ¿qué tipo de ecuación diferencial en derivadas parciales tiene por soluciónfunciones del tipo f (x� vt)?. Hay una relación sencilla entre las derivadas parcialesrespecto a x y respecto a t de la función de onda (x; t). Si hacemosx0 = x � vttenemos,

@

@x=@f

@x0@x0@x

=@f

@x0 (4.5)

y,@

@t=@f

@x0@x0@t

= �v @f@x0 (4.6)

entonces, al sustituir (4.5) en (4.6),

@

@t= �v @f

@x0 (4.7)

Así pues, para ondas unidimensionales que se propaguen en uno y otro sentido enla dirección x, la rapidez de cambio de con t y la de con x son iguales salvo unaconstante. La ecuación (4.7) es el primer ejemplo de ecuación de onda. Su solu-ción general representa una perturbación de forma arbitraria, pero que permaneceinvariable (rígida) propagándose según x con velocidad v.

Para evitar los signos � de la ecuación (4.7) tomamos las segundas derivadas de(4.5) y (4.6), así,

@2

@x2=@2f

@x02y,

@2

@t2=

@

@t

��v @f@x0

�= �v @

@t

�@f

@x0

�= �v @

@x0

�@f

@t

�= �v @

@x0

�@f

@x0@x0@t

�= �v @

@x0

�(�v) @f

@x0

�= v2

@2f

@x02

de donde obtenemos,@2

@t2= v2

@2

@x2(4.8)


4.5. ECUACIÓN DE ONDA Y PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Esta ecuación diferencial lineal recibe el nombre de ecuación lineal de onda osimplemente ecuación de onda. Para llegar a la ecuación de onda hemos partidode una onda progresiva y hemos visto que las derivadas respecto a x y a t guardanesa relación sencilla. De manera inversa, si sabemos que la derivada segunda res-pecto al espacio de una cantidad,, es proporcional a la derivada segunda respectoal tiempo de la misma cantidad, entonces (x; t) es una onda o una superposiciónde ondas. Además, el cuadrado de la velocidad de propagación debe ser igual alcociente constante entre las segundas derivadas, temporal y espacial.

La idea de (x; t) como superposición de ondas es consecuencia de la linealidadde la ecuación de onda, ya que si dos funciones de onda diferentes 1 y 2 son,cada una, solución diferente de la ecuación de onda, cualquier combinación linealde ambas,

= A1 +B2 (4.9)

es también una solución. A esto se le denomina principio de superposición.

Según esto la ecuación de onda se satisface, de una manera más general, por unafunción de onda de la forma,

= Af1 (x� vt) +Bf2 (x+ vt) (4.10)

donde A y B son constantes. La solución corresponde a la suma de dos ondas queviajan en sentidos opuestos a lo largo de x, con la misma velocidad pero no teniendo,necesariamente, la misma forma.

El principio de superposición establece que cuando dos o más ondas semueven en el mismo medio lineal, el desplazamiento resultante del medio (laonda resultante) en cualquier punto es igual a la suma algebraica de todos losdesplazamientos originados por las ondas individuales.

Para las ondas mecánicas en medios elásticos, el principio de superposición esválido cuando la fuerza de restitución varía linealmente con el desplazamiento. Paralas ondas electromagnéticas, el principio de superposición es válido porque los cam-pos eléctricos y magnéticos se relacionan linealmente.

Hay casos en los que no se cumple. Supongamos, por ejemplo, que una de las on-das tiene una amplitud tan grande que supera el límite elástico del medio. La fuerzade restitución ya no es directamente proporcional al desplazamiento de una partículaen el medio. Entonces, sin importar cual sea la amplitud de la segunda onda (inclusosi es muy pequeña), su efecto en un punto no es una función lineal de su amplitud.



Además, la segunda onda cambiará al pasar a través de la región no lineal y su com-portamiento posterior se alterará. Esta situación surge sólo muy raramente, y en lamayoria de los casos es válido el principio de superposición.

Figura (4.8): Superposición de dos pulsaciones que viajan en direcciones opuestas en la misma cuerdatensa.

La figura 4.8 muestra una secuencia de tiempo de "instantáneas" de dos pulsa-ciones que viajan en direcciones opuestas en la misma cuerda tensa. Cuando laspulsaciones se superponen, el desplazamiento de la cuerda es la suma algebraicade los desplazamientos individuales de la cuerda provocados por cada una de lasdos pulsaciones por separado, como lo exige la expresión (4.9). Las pulsaciones semueven simplemente entrecruzándose viajando cada una de ellas a lo largo como sila otra no existiera.

4.6 Ondas armónicas

Las expresiones (4.2) y (4.3), si bien son correctas, no obstante son de una ge-neralidad tan amplia que su estudio no es sencillo y tampoco aportaría datos muysignificativos. Por esta razón, es conveniente particularizar al caso de ondas armóni-cas.

Estudiaremos las que tienen forma senoidal (ver figura 4.9). Su importancia radica


4.6. ONDAS ARMÓNICAS

Figura (4.9): Onda senoidal.

en el hecho de que cualquier otra forma se puede obtener como superposición deondas armónicas. Tomemos como perfil o forma de la perturbación la función (verfigura 4.10),

(x; t)t=0 = (x; 0) = A Sen (kx) = f (x) (4.11)

donde k es un parámetro positivo y kx está en radianes y el valor máximo de (x) esA que se conoce como amplitud de la onda. A los puntos más altos se le denominancrestas y a los má bajos se le denominan valles.

Figura (4.10): Representación de una onda senoidal progresiva.

La amplitud A de una onda es el valor máximo que alcanza la perturbaciónen un punto y, por tanto, sus unidades son aquellas en que se mide la pertur-bación. En una onda transversal, la amplitud es la distancia máxima que separacada punto de la onda de su posición de equilibrio. En una onda longitudinal,corresponde a la máxima compresión.

En el caso de la propagación de una onda por una cuerda, la amplitud es la dis-tancia máxima que separa cada punto de la cuerda de su posición de equilibrio y



se expresará en unidades de longitud. Si se trata de ondas de presión en un gas, laamplitud de la onda representa la máxima presión que soporta un punto del gas y seexpresará en unidades de presión.

Para representar con (x; t) una onda progresiva armónica que viaje a velocidadv en el sentido positivo de las x, bastará escribir (ver figura 4.10),

(x; t) = A Sen k (x� vt) (4.12)

que corresponde al tipo de funciones f (x� vt) solución de la ecuación de onda.

La expresión (4.12) tiene dos períodos diferentes, uno en el espacio, � =longitud deonda, y otro en el tiempo � :

1. Para el período espacial, un �x = �� debe dejar inalterada,

(x; t) = (x+ �; t) = (x� �; t)

de aquí que (4.12) se pueda escribir como (variando el argumento de la funciónseno en �2�),

Sen k (x� vt) = Sen k [(x+ �)� vt] = Sen [k (x� vt) + 2�]

donde se ha tenido presente que,

Sen (� � ') = Sen �Cos'� Cos � Sen'

por lo tanto, los argumentos de los dos últimos senos deben ser iguales, entonces,

k [(x+ �)� vt] = [k (x� vt) + 2�]

o,jk�j = 2� (4.13)

La ongitud de onda �, es la distancia entre dos puntos consecutivos deuna onda que tienen el mismo estado de vibración. En una onda transversal,la longitud de onda es la distancia entre dos crestas o valles sucesivos. En unaonda longitudinal, corresponde a la distancia entre dos compresiones o entredos enrarecimientos sucesivos.

Por ejemplo, la longitud de onda de las olas marinas es la distancia entre dos crestasconsecutivas o entre dos valles. La longitud de onda representa un concepto funda-mental en la resolución de cualquier tipo de movimiento ondulatorio, y puede variarde valores muy grandes —por ejemplo, cientos de metros para radioondas largas— avalores muy pequeños —por ejemplo, de millonésimas de millón (10�12) para los rayosgamma.


4.7. FASE, CONSTANTE DE FASE Y VELOCIDAD DE FASE

2. De forma análoga, para el período temporal,

(x; t) = (x; t+ �)

de aquí que (4.12) se pueda escribir como,

Sen k (x� vt) = Sen k [x� v (t+ �)] = Sen [k (x� vt) + 2�]

por lo tanto, los argumentos de los dos últimos senos deben ser iguales, entonces,

k [x� v (t+ �)] = [k (x� vt) + 2�]

o,jkv� j = 2� (4.14)

Ahora, como las cantidades en (4.13) y (4.14) son todas positivas,

kv� = 2� = k�

resultando,� =

�

v(4.15)

con,� =

2�

k(4.16)

A k se le da el nombre de número de onda.

El número de onda es el número de longitudes de onda en la distancia 2�.

Aquí podemos emplear la expresión conocida para la frecuencia # = 1=� o númerode ondas por unidad de tiempo, (ciclos=s = Hertz = Hz) y también la expresión parala frecuencia angular, ! = 2�=� = 2�# (rad=s).

En el movimiento ondulatorio, un período � es la cantidad de tiempo re-querido para completar un ciclo completo de la onda, es decir, por ejemplo, eltiempo entre dos crestas o dos valles consecutivos.

4.7 Fase, constante de fase y velocidad de fase

4.7.1 Fase y constante de fase

El argumento de la función armónica (4.12) recibe el nombre de fase ' de la onda.

' = k (x� vt)



o en general,' = k (x� vt)� 'o (4.17)

donde 'o es la fase inicial o constante de fase.

El significado físico de la fase de una onda es el mismo que para los osciladores,sólo que en este caso la fase de la onda cambia tanto temporalmente como espa-cialmente ' = ' (x; t). La fase se mide en radianes.

En una onda viajera todos los osciladores contenidos en una longitud de ondatienen diferencias de fases que están entre 0 y 2� radianes, 0 � ' � 2�. Por cadaperíodo un oscilador se desfasa en 2� radianes . Además dos osciladores que esténseparados una distancia equivalente a una longitud de onda están desfasados en 2�radianes.

De lo anterior se sigue que, una forma más general de una onda senoidal puedeescribirse como,

(x; t) = A Sen [k (x� vt)� 'o] (4.18)

La costante de fase no afecta a la forma de la onda; mueve a la ondahacia adelante o hacia atrás en el espacio o en el tiempo.

Para ver esto, consideraremos una onda senoidal progresiva y con constante defase negativa,

(x; t) = A Sen [k (x� vt)� 'o] (4.19)

reescribiremos la expresión (4.18) en las siguientes dos formas equivalentes,

(x; t) = A Senhk�x� 'o

k

�� !t

i(4.20)

(x; t) = A Senhkx� !

�t+

'o!

�i(4.21)

La figura 4.11(a) muestra una “instantánea” en cualquier tiempo t de las dos ondasrepresentadas por las expresiones (4.12) en la cual 'o = 0 y (4.19). Observemos quecualquier punto en particular de la onda descrita por la ecuación (4.20) (digamoscierta cresta de onda) está a una distancia 'o=k adelante del punto correspondientede la onda descrita por (4.12).

En forma equivalente, si observáramos el desplazamiento en una posición fija x

resultante de cada una de las dos ondas representadas por las expresiones (4.12) y(4.19) obtendríamos el resultado el resultado indicado en la figura 4.11(b). La ondadescrita por la expresión (4.21) está similarmente adelante de la onda (4.12) que tienea 'o = 0, en este caso por una diferencia de tiempo 'o=!.



Figura (4.11): Efecto de la constante de fase 'o sobre una onda. Nótese que en una gráfica contrat “adelante de” significa “a la izquierda de”, mientras que en una gráfica contra x “adelante de”significa “a la derecha de”.

Cuando la constante de fase en la expresión (4.19) es positiva la onda co-rrespondiente está adelante de una onda descrita por la misma expresión con'o = 0. Por esta razón, introdujimos a la constante de fase con signo negativoen la expresión (4.19). Cuando una onda está adelante de otra en el tiempo oen el espacio, se dice que es la “guía”. En cambio, al poner una constante defase negativa en (4.19), se mueve la onda correspondiente detrás de otra quetenga 'o = 0; tal onda se dice que es “rezagada”.

4.7.2 velocidad de fase

Como ' = ' (x; t), entonces la frecuencia angular (o rapidez de cambio de fase conel tiempo) vendrá dada por,

! =

��@'@t�x=const.

�� (4.22)

También podemos calcular el número de onda (o rapidez de cambio de fase con ladistancia) de la siguiente forma,

k =

��@'@x�t=const.

�� (4.23)



Por otro lado, el diferencial total de ' viene dado por,

d' =@'

@xdx+

@'

@tdt

y si la fase es constante (d' = 0) entonces,�@x

@t

�'=const.

= ��@'@t

�x=const.�

@'@x

�t=const.

(4.24)

donde el primer término representa la velocidad de propagación de un punto de faseconstante, entonces, al sustituir (4.22) y (4.23) en (4.24) resulta,�

@x

@t

�'=const.

= �!k= �v (4.25)

que corresponde a la velocidad con que se mueve el perfil de la onda y que se de-nomina velocidad de fase debido a que describe la velocidad de la fase (o forma) dela onda. El signo positivo corresponde a cuando la onda se mueve en el sentido de lasx positivas; como ' = k (x� vt) =constante, cuando t aumenta, x debe aumentar; y elnegativo para el caso contrario. Ahora, en virtud de (4.16) y (4.25) es posible escribir,

! =2�v

�(4.26)

o también,# =

v

�(4.27)

puesto que ! = 2�#.

En virtud de todo lo anterior, la expresión general para una onda armónica (4.18)puede escribierse ahora como,

(x; t) = A Sen [(kx� !t)� 'o] (4.28)

donde se ha usado (4.25).

Ejemplo 4.1 Sabiendo que la ecuación que describe cierto movimiento ondulatorio esde la forma

= 0; 60 Sen(2; 50x� 10; 0t)

donde todas las magnitudes vienen expresadas en el Sistema Internacional, cal-cúlese: (a) el período, la frecuencia, la longitud de onda y la amplitud de dichomovimiento; (b) su velocidad de propagación; (c) la energía cinética máxima deuna partícula de 0; 70g que se ve sometida a dicho movimiento.



Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,

A = 0; 60m; k = 2; 50rad

m; ! = 10; 0

rad

s

(a) De lo anterior se tiene que,

� =2�

!=

2�

10; 01s

= 0; 63s

# = ��1 = (0; 63s)�1 = 1; 59Hz

� =2�

k| {z }Por (4.16)

=2�

2; 50 1m

= 2; 51m

A = 0; 60m

(b) Al usar (4.25),

v =!

k=10; 0 rad

s

2; 50 radm

= 4m

s

(c) La energía cinética viene dada por,

T =1

2mv2

pero,

v =@

@t=@

@t[0; 60 Sen(2; 50x� 10; 0t)]

= 0; 60: (�10; 0) :Cos(2; 50x� 10; 0t)= 6; 00:Cos(2; 50x� 10; 0t)

y su valor máximo se da cuando Cos(2; 50x� 10; 0t) = �1, por lo tanto,

vmáx = 6; 00m

s

entonces,

Tmáx =1

2mv2máx =

1

2:0; 70:10�3Kg:

�6; 00

m

s

�2= 0; 0126J

Ejemplo 4.2 Una perturbación queda descrita en el sistema internacional por la expre-sión

= x3 � 6x2t+ 12xt2 � 8t3

Determínese su velocidad de propagación. El tiempo está dado en segundos yla posición en metros. Resp.: 2 m=s.



Solución: De la expresión dada,

@

@t= �6x2 + 24xt� 24t2 �! @2

@t2= 24x� 48t (1)

@

@x= 3x2 � 12xt+ 12t2 �! @2

@x2= 6x� 12t (2)

Ahora bien, para hallar la velocidad de propagación debemos usar (4.8),

@2

@t2= v2

@2

@x2

entonces al sustituir los resultados (1) y (2) en la expresión anterior obtenemos,

24x� 48t = v2 (6x� 12t)

o,4 (6x� 12t) = v2 (6x� 12t)

de aquí que,v = 2

m

s

Ejemplo 4.3 La ecuación de una onda transversal que viaja a lo largo de una cuerdaestá dada por,

= 5; 35:10�2 Sen (16; 0x� 400t)

donde x y están en metros y t está en segundos. Halle (a) la amplitud, (b) lafrecuencia, (c) la velocidad, (d) la longitud de onda y (e) la velocidad transversalmáxima de una partícula de la cuerda.


A = 5; 35:10�2m; k = 16; 0rad

m; ! = 400

rad

s

(a) De lo anterior se tiene que,A = 5; 35:10�2m

(b) La frecuencia viene dada por,

# = ��1 =!

2�=4001

s

2�= 63; 7Hz

(c) Al usar (4.25),

v =!

k=400 rad

s

16; 0 radm

= 25; 0m

s



(d) De (4.16),

� =2�

k=

2�

16; 0 1m

= 0; 39m

(e) La velocidad transversal viene dada por,

v =@

@t=@

@t

�5; 350:10�2 Sen (16; 0x� 400t)

�= 5; 35:10�2: (�400)Cos (16; 0x� 400t)= �21; 4Cos (16; 0x� 400t)

el valor máximo vendra dado cuando Cos (16; 0x� 400t) = �1, por lo tanto,

vmáx = 21; 4m

s

Ejemplo 4.4 La ecuacion de una onda transversal que viaja a lo largo deuna cuerdamuy larga está dada por,

= 8; 0 Sen(0; 50�x� 2; 7�t)

donde x y están expresadas en centímetros y t en segundos. Calcule (a) laamplitud, (b) la longitud de onda, (c) la frecuencia, (d) la velocidad, (e) la direc-ción de propagación de la onda, y (f) la velocidad transversal máxima de unapartícula de la cuerda.


A = 8; 0cm; k = 0; 50�rad

cm; ! = 2; 7�

rad

s

(a) De lo anterior se tiene que,A = 8; 0cm

(b) De (4.16),

� =2�

k=

2�

0; 50� 1cm

= 4cm

(c) La frecuencia viene dada por,

# = ��1 =!

2�=2; 7� 1

s

2�= 1; 4Hz

(d) Al usar (4.25),

v =!

k=2; 7� rad

s

0; 50� radcm

= 5; 4cm

s



(e) Por el signo en el argumento del seno en la función dada, la onda se propagahacia el eje x positivo.

(f) La velocidad transversal viene dada por,

v =@

@t=@

@t[8; 0 Sen(0; 50�x� 2; 7�t)]

= 8; 0: (�2; 7�) Cos(0; 50�x� 2; 7�t)= �21; 6�Cos(0; 50�x� 2; 7�t)

el valor máximo vendrá dado cuando Cos(0; 50�x� 2; 7�t) = �1, por lo tanto,

vmáx = 21; 6�cm

s

Ejemplo 4.5 La función de onda de una onda armónica que se mueve en una cuerdaes,

(x; t) = 0; 03m Sen (2; 2x� 3; 5t)

donde x está en metros y t en segundos. (a) ¿En qué sentido se propaga estaonda y cuál es su velocidad?, (b) determinar la longitud de onda, la frecuenciay el período, (c) ¿cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento dela cuerda? y (d) ¿cuàl es la velocidad máxima de cualquier segmento de lacuerda?.

Solución:Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,

A = 0; 03m; k = 2; 2rad

m; ! = 3; 5

rad

s

(a) La onda se propaga en el sentido +x y su velocidad puede ser calculada a partirde (4.25),

v =!

k=3; 5 rad

s

2; 2 radm

= 1; 59m

s

(b) De (4.16),

� =2�

k=

2�

2; 2 1m

= 2; 86m

La frecuencia viene dada por,

# = ��1 =!

2�=3; 51

s

2�= 0; 557Hz

y el período será,

� = #�1 =

�0; 557

1

s

��1= 1; 80s


4.8. VELOCIDAD DE LAS ONDAS

(c) El desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda será la amplitudde la onda A = 0; 03m.

(d) La velocidad transversal viene dada por,

v =@

@t=@

@t[0; 03m Sen (2; 2x� 3; 5t)]

= 0; 03m: (�3; 5) 1sCos (2; 2x� 3; 5t)

= �0; 105msCos (2; 2x� 3; 5t)

el valor máximo vendrá dado cuando Cos (2; 2x� 3; 5t) = �1, por lo tanto,

vmáx = 0; 105m

s

4.8 Velocidad de las ondas

La velocidad con que se propaga la energía (con que viaja el “mensaje”) entrelos osciladores (que es diferente a la velocidad de vibración de estos) corresponde ala velocidad de propagación de la onda. Obviamente depende de propiedades delmedio: como veremos más adelante, en el caso de las ondas mecánicas dependeráde la densidad del medio y de un factor que caracteriza la elasticidad de éste; y enel caso de las ondas electromagnéticas dependerá de la permitividad y de la perme-abilidad. Si la onda se propaga en medios homogéneos su velocidad de propagaciónes constante.

Por ejemplo, la velocidad del sonido de la bocina de un automóvil depende sólode las propiedades del aire y no del movimiento del automóvil.

4.8.1 Ondas transversales en una cuerda tensa

En el caso de los pulsos de onda en una cuerda (ver figura 4.12), es fácil demostrarque cuanto mayor es la tensión, más rápidamente se propagan las ondas. Además,las ondas se propagan más rápidamente en una cuerda ligera que en una cuerdapesada bajo la misma tensión.

Obtendremos ahora, mediante un análisis mecánico, la velocidad para un pulsode onda sobre una cuerda tensa. La figura 4.13(a) muestra una “instantánea” de unpulso de onda que se mueve hacia la derecha en la cuerda con una velocidad v.Escogeremos un sistema de referencia comóvil con el pulso (que se mueva con la



Figura (4.12): Pulso en una cuerda tensa.

velocidad del pulso), de manera que veremos el pulso siempre fijoy es la cuerda laque se mueve hacia la izquierda.

Concentrémonos ahora en una pequeña (pero no infinitesimal) parte del pulso delongitud �` [ver figura 4.13(b)]. Esta pequeña parte forma, aproximadamente, un pe-queño arco de circunferencia de radio R. Si la cuerda tiene una densidad lineal demasa �, entonces el pequeño arco tendrá una masa �m = ��`. La tensión T enla cuerda es un tirón tangencial en cada extremo de este pequeño segmento decuerda. La resultande de las componentes horizontales y verticales son,

Tx = 0

Ty = 2T Sen � ' 2T�

pero como � es pequeño, entonces Sen � ' � de manera que,

Ty ' 2T� = 2T�`

R(4.29)

que debe ser igual a la fuerza centrípeta Fc sobre el pequeño arco de cuerda dadapor,

Fc = �mv2

R(4.30)

por lo tanto, al igualar (4.29) con (4.30),

�mv2

R= 2T

�`

R

y puesto que �m = ��` resulta,

v =

sT

�(4.31)



Figura (4.13): (a) “Instantánea” de un pulso de onda que se mueve hacia la derecha en la cuerda conuna velocidad v. (b) Fuerzas sobre la pequeña (pero no infinitesimal) parte del pulso de longitud �`.

que es la velocidad buscada.

Si la amplitud del pulso fuese muy grande en comparación con la longitud de lacuerda, no habríamos tenido la posibilidad de usar la aproximación Sen � ' �. Además,la tensión T de la cuerda cambiaría por la presencia del pulso, mientras que hemossupuesto que T no cambia a partir de la tensión original de la cuerda tensionada(estirada). Por lo tanto, el resultado (4.31) se cumple únicamente para desplazamien-tos transversales de la cuerda relativamente pequeños, un caso que es ámpliamenteaplicable en la práctica.

4.8.2 Ondas logitudinales en una barra elástica

Si provocamos una perturbación golpeando el extremo de una barra elástica conun martillo, la perturbación (sonido) se propaga a lo largo de la barra.

En esta sección deduciremos la expresión de la velocidad de propagación de unaonda en una barra elástica en términos de sus propiedades mecánicas (módulo deelasticidad y densidad del material).



Figura (4.14): Barra eslástica antes y después de ser deformada.

A medida que se propaga la perturbación los elementos de la barra se deforman(se alargan y se contraen) y se desplazan. Existe una relación de proporcionalidadentre el esfuerzo (fuerza por unidad de área) y deformación unitaria (deformación porunidad de longitud) que viene dada por,

F

S= Y

`� òò

(4.32)

donde ò es la longitud inicial de la barra, ` es la logitud de la barra después de ser de-formada (ver figura 4.14) y la constante de proporcionalidad Y se denomina módulode Young y es característico de cada material.

Figura (4.15): Elemento de una barra elástica de sección S en la posición x de anchura dx que, a causade una perturbación, se traslada , y se deforma d, de modo que la nueva anchura del elemento esdx+ d.

Consideremos un elemento de la barra de sección S en la posición x (ver figura4.15), que tiene una anchura ò = dx. A causa de la perturbación el elemento setraslada , y se deforma d, de modo que la anchura del elemento es ` = dx + d.Entonces, la fuerza necesaria para producir esta deformación viene dada por,

F

S= Y

dx+ d� dxdx



o,F

S= Y

@

@x(4.33)

donde, a efectos de notación (derivada parcial) recuérdese que el desplazamiento, es una función de dos variables x (posición) y t (tiempo).

Figura (4.16): Fuerzas sobre un elemento de una barra elástica.

La parte izquierda de la barra ejerce una fuerza F sobre el elemento, a la vez quela parte derecha de la barra ejerce una fuerza F 0 (ver figura 4.16), por lo tanto la fuerzaresultante sobre dicho elemento viene dada por,

F � F 0 = dF = SY @2

@x2dx (4.34)

La segunda ley de Newton afirma que la fuerza es igual al producto de la masa(densidad por volumen) por la aceleración (derivada segunda del desplazamiento),por lo tanto,

dF = (�Sdx)@2

@t2(4.35)

Ahora, al igualar (4.34) y (4.35) se obtiene,

@2

@t2=Y

�

@2

@x2(4.36)

que tiene la forma de la ecuación de onda (4.8) con,

v =

sY

�(4.37)

que es la velocidad buscada.



Figura (4.17): Tubo de sección recta constante S, que contiene el fluido.

4.8.3 Ondas longitudinales en un fluido

Estudiemos, con un cierto detalle, las ondas elásticas que se propagan en un fluidodebido a variaciones de presión.

Consideremos un tubo de sección recta constante S, que contiene el fluido. Seanpo y �o la presión y la densidad, en condiciones de equilibrio, y consideremos que to-das las partículas de una sección recta sufren el mismo desplazamiento con la pertur-bación. Al variar la presión el elemento de volumen Sdx, figura 4.17, se desplaza de talforma que la cara situada en x va a x + s y la situada en x + dx va a x + s + dx + ds,variando el espesor. Como la masa debe conservarse,

m = �oSdx = �S(dx+ ds) (4.38)

siendo � la densidad del fluido perturbado. Simplificando podemos escribir,

�o = �

�1 +

@s

@x

�(4.39)

donde se ha escrito derivada parcial ya que s no es solo función de x sino tambiénuna función del tiempo t. Pero � = �o +��, por lo tanto de (4.39),

� = (�o +��)

�1 +

@s

@x

�= �o + �o

@s

@x+��+��

@s

@x

que, despreciando el último término frente a los dos anteriores (ya que ambos factoresson generalmente pequeños), resulta,

�� = ��o@s

@x(4.40)



de esta manera, la variación de presión provoca una variación de densidad.

Por otro lado, la presión está relacionada con la densidad mediante una expresióndel tipo p = p (�), que recibe el nombre de ecuación de estado, cuya forma explícitano concemos. Sin embargo, podemos desarrollarla en serie de Taylor (suponiendoque las variaciones de la densidad son pequeñas) en torno a la posición de equilibrio� = �o, y quedarnos con la aproximación de primer orden,

p = po +

�@p

@�

�o

�� (4.41)

pero como m = V �, diferenciando,

0 = �dV + V d�

de donde,� dVV=d�

�(4.42)

Definamos ahora el módulo elástico para un fluido que se denomina módulo de com-presibilidad B, el cual relaciona el esfuerzo (sobrepresión) y la deformación (variaciónunitaria de volumen), y por lo tanto también la variación unitaria de densidad,

B = �Vo�@p

@V

�o

= �o

�@p

@�

�o

(4.43)

de aquí que, al sustituir (4.43) en (4.41), podamos escribir,

p� po =B

�o�� (4.44)

que relaciona la presión y la densidad en cualquier punto.

Ahora bien, de (4.40) y (4.44) resulta,

p� po = �B@s

@x(4.45)

que relaciona la presión en cualquier punto con la deformación.Además, si aplicamos la segunda ley de Newton a la masa �oSdx, cuyo diagrama

es mostrado en la figura 4.18 resulta

dF = dma �! pS � (p+ dp)S| {z }� por apuntar hacia �x

= �oSdx@2s

@t2

�! �Sdp = �oSdx@2s

@t2



Figura (4.18): Elemento de fluido de masa masa �oSdx en el cual se muestran las presiones aplicadas.

o también,

� @p

@x= �o

@2s

@t2(4.46)

que relaciona las presiones y el de desplazamiento.

Por último. para obtener la variación con el espacio y el tiempo de s, p, o � bastaeliminar las otras variables. Así, derivando la expresión (4.45) respecto a x (teniendopresente que po es constante) se obtiene,

@p

@x= �B @

2s

@x2(4.47)

que al sustituirla en (4.46) resulta,@2s

@t2=B

�o

@2s

@x2(4.48)

obteniéndose una ecuación de onda como la (4.8), de la cual podemos identificar,

v =

sB

�o(4.49)

donde B lo podemos escribir también como,

B = � �P

�V=V(4.50)

es decir, el cociente (con signo negativo) entre el cambio en la presión y el correspon-diente cambio en el volumen por unidad de volumen.

Si queremos obtener la propagación de la perturbación de la presión debemosderivar la expresión (4.45) dos veces respecto al tiempo t y la expresión (4.46) una vezrespecto a x, resultando,

@2p

@t2= �B @3s

@t@x2



@2p

@x2= �o

@3s

@x@t2

de las cuales, al combinarlas, resulta,

@2p

@t2=B

�o

@2p

@x2(4.51)

que no es más que la ecuación de propagación de la onda de presión que se des-plaza, como es obvio, a la misma velocidad que la onda de desplazamiento s. Parala densidad � se verifica también que,

@2�

@t2=B

�o

@2�

@x2(4.52)

que no es más que la ecuación de propagación de la onda de densidad.

En el caso particular de las ondas (sonido) en un gas, la velocidad viene dada por,

v =

r RT

M(4.53)

donde,

1. T es la temperatura absoluta medida en Kelvins (K), la cual está relacionada conla temperatura en Celsius Tc mediante,

T = 273 + Tc (4.54)

2. es una constante que depende del tipo de gas. Para moléculas diatómicas comoel O2 y N2, tiene el valor de 1; 4 y como el O2 y el N2 constituyen el 98% de la atmós-fera, éste es el valor que corresponde también al aire (para moléculas monoatómi-cas como el He tiene un valor de 1; 67).

3. R es la constante universal de los gases,

R = 8; 314J

mol:K(4.55)

4. M es la masa molar del gas, es decir, la masa de 1 mol de gas. Para el aire es,

M = 29:10�3Kg

mol(4.56)

Al comparar (4.31), (4.37) y (4.49) podemos notar que, en general, la velocidad delas ondas depende de una propiedad elástica del medio (la tensión en el caso delas ondas de las cuerdas, el módulo de Young en el caso de una barra elástica y el



Medio velocidad (m=s)

Aire (0 oC) 331

Aire (20 oC) 343

Helio 965

Hidrógeno 1284

Agua (0 oC) 1402

Agua (20 oC) 1482

Agua de mar a 20 oC y 3; 5 % de salinidad. 1522

Aluminio 6420

Acero 5941

Granito 6000

Tabla (4.1): Velocidad del sonido en algunos medios gaseosos, líquidos y sólidos, a 1atm y 0oC.

módulo de compresibilidad en el caso de las ondas en un fluido) y de una propiedadinercial del mismo (la densidad de masa lineal o la densidad de masa volumétrica), esdecir,

v =

spropiedad elástica del mediopropiedad inercial del medio

La tabla 4.1 muestra la velocidad del sonido en algunos medios gaseosos, líquidosy sólidos.

Ejemplo 4.6 Calcule la velocidad de una onda transversal en una cuerda de 1; 25 mde longitud y 85; 5 g de masa bajo una tensión de 395 N .

Solución: La densidad lineal � de la cuerda es,

� =85; 5:10�3Kg

1; 25m= 0; 068

Kg

m

entonces, al usar (4.31), resulta,

v =

sT

�=

s395N

0; 068Kgm

= 76; 2m

s

Ejemplo 4.7 La velocidad de una onda en una cuerda es de 100m=s cuando la tensiónes de 100N , ¿en qué valor debería ser aumentada la tensión con objeto de elevarla velocidad de la onda a 200 m=s?.

Solución: Lo primero que debemos hacer es calcular el valor de la densidad lineal� de la cuerda. Al usar (4.31),

� =T1v21



Ahora, calculemos la tensión para la segunda velocidad usando nuevamente (4.31),

T2 = �v22 =

T1v21v22 = T1

�v2v1

�2de manera que el aumento de tensión �T será,

�T = T2 � T1 = T1

"�v2v1

�2� 1#= 100N

"�200m

s

100ms

�2� 1#

= 300N

Ejemplo 4.8 El sonido de un tren en marcha llega a cierto punto 9; 00 s antes por la vía(recta) que por el aire. ¿A qué distancia está el tren de dicho punto?. Datos delacero: Y = 21300 Kp=mm2; � = 7; 8 g=cm3. Velocidad del sonido en el aire: 340 m=s.

Solución: Supongamos que la distancia desde el tren hasta el mencionado puntoes d. Esta distacia será recorrida por el sonido en el aire en un tiempo taire a unavelocidad vaire, por lo tanto,

d = vairetaire �! taire =d

vaire(1)

Esa misma distancia la recorrerá el sonido por el acero en un tiempo tacero a una ve-locidad vacero, por lo tanto,

d = vacerotacero �! tacero =d

vacero(2)

por lo tanto, el retraso en tiempo �t de una señal con respecto a la otra será,

�t = taire � tacero = d

�1

vaire� 1

vacero

�(3)

Pero, la velocidad del sonido en el acero vendrá dada por (4.37) de la siguiente ma-nera,

vacero =

sYacero

�acero(4)

entonces, al sustituir (4) en (3), resulta,

�t = d

�1

vaire�r�acero

Yacero

�de aquí que,

d =�t

1vaire

�q

�aceroYacero

=9; 00s

1340m=s

�q

7;8:103Kg=m3

21300:9;8:106N=m2

= 3275m



Ejemplo 4.9 La ecuación de una onda transversal de una cuerda es

= 3; 0 Sen(15; 0x+ 274t)

donde x está en metros, está en milímetros, y t en segundos. La cuerda estasometida a una tensión de 20; 0 N . Halle la densidad de masa lineal de la cuerda.


A = 3; 0mm; k = 15; 0rad

m; ! = 274

rad

s

La densidad lineal de la cuerda la podemos hallar a partir de (4.31) como,

� =T

v2(1)

pero por (4.25),v =

!

k(2)

entonces al sustituir (2) en (1),

� = T

�k

!

�2= 20; 0N

15; 0 rad

m

274 rads

!2= 0; 060

Kg

m

Ejemplo 4.10 Una onda transversal armónica simple se está propagando a lo largode una cuerda hacia la izquierda (o �x). La figura 4.19 muestra un trazo deldesplazamiento en función de la posición en el tiempo t = 0. La tensión de lacuerda es de 3; 6 N y su densidad lineal es de 25 g=m. Calcule (a) la amplitud, (b)la longitud de onda, (c) la velocidad de la onda, (d) el período, y (e) escriba unaecuación que describa a la onda viajera y encuentre la velocidad máxima deuna partícula de la cuerda.

Solución:

(a) De la figura 4.19 es fácil ver que A = 5; 0cm.

(b) De la figura 4.19 es fácil ver que � = 40cm.

(c) A partir de (4.31),

v =

sT

�=

s3; 6N

25:10�3Kg=m= 12

m

s

(d) A partir de (4.15),

� =�

v=40:10�2m

12ms

= 0; 033s



Figura (4.19): Ejemplo 4.10: Trazo del desplazamiento en función de la posición en el tiempo t = 0, parauna onda transversal que viaja por una cuerda.

(e) Calculemos antes el número de onda k y la frecuencia angular !. A partir (4.16),

k =2�

�=

2�

40:10�2m= 15; 71

rad

m= 0; 16

rad

cm(1)

y,

! =2�

�=

2�

0; 033s= 190

rad

s(2)

La ecuación buscada tiene la forma de (4.28) con signo positivo porque se mueveen la dirección de �x. Por lo tanto,

= A Sen (kx� !t+ 'o) (3)

Ahora, al sustituir los resultados (1) y (2) y el valor de la amplitud calculado en (a),

= 5; 0cm Sen (0; 16x� 190t+ 'o) (4)

Sólo nos queda por calcular la fase. La figura 4.19 muestra la gráfica de (4) parat = 0. Hagamos t = 0 en (4) y tomemos (x;) de la gráfica, (x;) = (0; 4cm),

4cm = 5; 0cm Sen (0; 16:15 + 'o)

entonces,Sen (0; 16:15� 'o) =

4

5) 'o = 0; 93

entoces, de (4), = 5; 0cm Sen (0; 16x� 190t+ 0; 93)

Ejemplo 4.11 Un alambre de 12; 0m de longitud y una masa de 50; 0 g se estira bajo unatensión de 300 N . Si se generan dos pulsaciones,separadas en tiempo por 15; 5ms,una en cada extremo del alambre, ¿dónde se encuentran las pulsaciones?.



Figura (4.20): Ejemplo 4.11: Alambre tenso sobre el cual se generen pulsaciones en sus extremos, sepa-radas por un intervalo de tiempo �t.

Solución: La densidad lineal de masa del alambre vendrá dada por,

� =m

`(1)

y la velocidad de las ondas en el alambre mediante (4.31),

v =

sT

�(2)


v =

rT`

m(3)

En la figura 4.20 se muestra la situación descrita en el enunciado del problema. Si ala pulsación generada en 1 le toma un tiempo t1 = t en llegar al punto de encuentro,entonces a la pulsación generada en 2 le tomará un tiempo t2 = t � �t (donde �t =15; 5 ms). Por lo tanto, de la figura 4.20,

` = d1 + d2 = v1t1 + v2t2 = vt+ v (t��t)

de aquí que,

t =1

2

�`

v+�t

�(4)


t =1

2

rm`

T+�t

!(5)

y la distancia de encuentro será, respecto al pulso 1,

d1 = vt (6)



Por último, al sustituir (3) y (5) en (6),

d1 =1

2

rT`

m

rm`

T+�t

!=1

2

`+�t

rT`

m

!por lo tanto,

d1 =1

2

12; 0m+ 15; 5:10�3s

s300N:12; 0m

50; 0:10�3Kg

!= 3; 92m

Ejemplo 4.12 Encuentre la velocidad del sonido en el agua, la cual tiene un módulode compresibilidad B = 2; 1:109 N=m2 a una temperatura de 0�C y una densidadde �o = 1; 00:103 Kg=m3.


v =

sB

�o=

s2; 1:109N=m2

1; 00:103Kg=m3= 1; 4

Km

s

Ejemplo 4.13 Calcular la velocidad del sonido en el aire (a) a 10�C y (b) a 45�C.

Solución: Sabemos que para el aire = 1; 4 y que por (4.55) R = 8; 314 Jmol:K

y (4.56)M = 29:10�3 Kg

mol.

Al usar (4.49),

v =

r RT

M(1)

pero por (4.54),T = 273 + Tc (2)

entonces, al sustituir (2) en (1),

v =

r R (273 + Tc)

M

(a) A una temperatura Tc = 10�C,

v =

s1; 4:8; 314 J

mol:K: (273 + 10)K

29:10�3 Kgmol

= 337m

s

(b) A una temperatura Tc = 45�C,

v =

s1; 4:8; 314 J

mol:K: (273 + 45)K

29:10�3 Kgmol

= 357m

s



Ejemplo 4.14 La velocidad del sonido en el mercurio es de 1410 m=s. ¿Cuál es el mó-dulo de compresibilidad del mercurio?. Tomar �o = 13; 6:103Kg=m3.


B = v2�o = (1410m=s)2 13; 6:103Kg=m3 = 2; 7:1010

N

m2

Ejemplo 4.15 Calcular la velocidad de las ondas sonoras en el hidógeno a 550 K.Tomar M = 2g=mol y = 1; 4.

Solución: Sabemos que por (4.55) R = 8; 314 Jmol:K

. Entonces, al usar (4.49),

v =

r RT

M=

s1; 4:8; 314 J

mol:K:550K

2:10�3Kg=mol= 1789

m

s

4.9 Energía y potencia para una onda armónica en unacuerda

Consideremos una onda senosoidal que viaja sobre una cuerda como lo muestrala figura 4.21. La fuente de la energía es algún agente externo en el extremo izquierdode la cuerda, el cual realiza trabajo al producir las oscilaciones. Como el agenteexterno realiza trabajo en el extremo de la cuerda, moviéndola hacia arriba y haciaabajo, la energía penetra el sistema de la cuerda y se propaga a lo largo de toda suextensión.

Figura (4.21): Elemento de masa�m y longitud�x de una cuerda sobre la cual viaja una onda senoidalhacia la derecha.

Enfoquémonos en un elemento de la cuerda de longitud �x y masa �m. Este ele-mento se moverá verticalmente realizando un movimiento armónico simple al igualque todos los demás elementos de la cuerda, permitiéndonos así modelar cada ele-mento de la cuerda como un oscilador armónico simple a lo largo del eje y. Debidoa que todos los elemento están ligados por la cuerda y que además suponemos que


4.9. ENERGÍA Y POTENCIA PARA UNA ONDA ARMÓNICA EN UNA CUERDA

no hay pérdida de energía (la onda mantiene su forma), todos los elementos de lacuerda tienen la misma frecuencia angular ! y la misma amplitud A.

Ahora bien, como sabemos, la energía cinética T para una partícula que se muevecon velocidad v viene dada por,

T =1

2mv2

Si aplicamos esta expresión al elemento de cuerda mencionado antes, vemos que suenergía cinética �T viene dada por,

�T =1

2�mv2y (4.57)

y si � es la densidad lineal de masa de la cuerda, entonces �m = ��x, por lo tanto,

�T =1

2��xv2y (4.58)

Supongamos ahora que la ecuación de la onda es la dada por la expresión (4.28)pero para una onda que se mueve hacia la derecha y con 'o = 0,

(x; t) = y = A Sen (kx� !t)

entonces,

vy =@(x; t)

@t= �!ACos (kx� !t)

de aquí que (4.58) pueda escribirse como,

�T =1

2�!2A2Cos2 (kx� !t)�x (4.59)

La energía cinética promedio dT en un período � de movimiento vendrá dada por,

�T =1

�

Z t+�

t

�Tdt =1

2�!2A2�x

1

�

Z t+�

t

Cos2 (kx� !t) dt

pero,1

�

Z t+�

t

Cos2 (kx� !t) dt = 1

2

entonces,

�T =1

4�!2A2�x (4.60)

Por un análisis análogo podemos escontrar que,

�U =1

4�!2A2�x (4.61)



de aquí que, a partir de (4.60) y (4.61), la energía total promedio �E sea,

�E = �T +�U =1

2�!2A2�x (4.62)

que es el mismo resultado que para una masa ��x unida a un resorte que oscila conun movimiento armónico simple,

�E =1

2m!2A2 (4.63)

Por último, (4.62) es la cantidad de energía que pasa por un punto dado sobre lacuerda durante un intervalo de tiempo de un período de oscilación, de aquí que, lapotenciapromedio P asociada con la onda venga dada por,

P=�E�t

=1

2�!2A2

��x

�

�o,

P=12�!2A2v (4.64)

De (4.62) y (4.64) podemos observar que tanto la energía promedio como la poten-cia promedio son proporcionales al cuadrado de la frecuencia angular y al cuadradode la amplitud de la onda. En particular, de (4.64), podemos observar que la potenciapromedio no depende de x ni de t, por lo tanto su dependencia con el cuadrado dela frecuencia angular y el cuadrado de la amplitud es así, en general, para todos lostipos de ondas.

La expresión (4.64) también puede escribirse como,

P=�v (4.65)

con,� =

1

2�!2A2 (4.66)

que es la energía media por unidad de longitud de cuerda.

Ejemplo 4.16 Una cuerda de 13m tiene una masa de 73 g y está sometida a una tensiónde 60 N . Se mueven a lo largo de la cuerda de izquierda a derecha unas ondasde frecuencia 150 Hz y amplitud 12mm. (a) ¿Cuál es la energía total de las ondasen la cuerda? y (b) ¿cuál es la potencia transmitida que pasa por un puntodeterminado de la cuerda?.

Solución:



(a) Al usar (4.66), la energía por unidad de longitud viene dada por,

� =1

2�!2A2

pero ! = 2�#, � = m=` y � = E=`, entonces

E = 2�2m#2A2 = 2�2:73:10�3Kg

�150

1

s

�2 �12:10�3m

�2= 4; 7 J

(b) Al usar (4.65),P=�v

pero por (4.31),

v =

sT

�

entonces,

P=�

sT

�

y como � = E=` y � = m=`,

P=ErT

m`= 4; 7 J

s60N

73:10�3Kg:13m= 37W

Ejemplo 4.17 Una cuerda tensa para la cual � = 3; 70:10�2Kg=m está bajo una tensiónde 44; 5 N . ¿Cuánta potencia debe ser suministrada a la cuerda para generarondas senoidales a una frecuencia de 49; 0 Hz y una amplitud de 4; 00 cm?.

Solución: La potencia suministrada viene dada, en virtud de (4.64), por,

P=12�!2A2v (1)

pero, a partir de (4.31), la velocidad de la onda es,

v =

sT

�(2)

y además,! = 2�# (3)



por lo tanto, al sustituir (2) y (3) en (1) resulta,

P=2 (�#A)2pT�

entonces,

P=2��49; 0

1

s:4; 00:10�2m

�2r44; 5N:3; 70:10�2

Kg

m= 97; 3W

Ejemplo 4.18 Si en el ejemplo anterior la cuerda debe transferir energía a una razónde 500W , ¿cuál debe ser la amplitud requerida si todos los otros parámetros per-manecen constantes?.

Solución: Las potencias vieja Pv y nueva Pn vendrán dadas, en virtud de (4.64), porlas siguientes expresiones,

Pv =1

2�!2A2vv (1)

Pn =1

2�!2A2nv (2)

ahora al dividir miembro a miembro (1) entre (2) resulta,

Pv

Pn=

12�!2A2vv12�!2A2nv

=A2vA2n

por lo tanto,

An = Av

sPn

Pv= 4; 00cm

s500W

97; 3W= 9; 07 cm

Ejemplo 4.19 Una cuerda tensa tiene una masa de 0; 300 Kg y una longitud de 4; 50 m.¿Cuál es la potencia que debe ser suministrada a la cuerda para generar ondassenoidales que tengan una amplitud de 0; 300 m y una longitud de onda de 0; 700m que viaje con una velocidad de 20; 0 m=s?.


P=12�!2A2v (1)

pero por (4.27),# =

v

�(2)

y además,! = 2�# (3)



entonces, al sustituir (2) en (3) y el resultado de esto en (1), resulta,

P=2�2m�A

�

�2v3

`

donde se ha tenido presente que � = m=`. Por lo tanto,

P=2�20; 300Kg:�0; 300m

0; 700m

�2 �20; 0ms

�34; 50m

= 1934W

Ejemplo 4.20 Ondas senoidales de 3; 00 cm de amplitud están siendo transmitidas a lolargo de una cuerda de densidad lineal de masa 7; 00:10�2 Kg=m. Si la fuentepuede entregar una potencia de 500W y la cuerda está bajo una tensión de 150N , ¿cuál es la frecuencia más alta a la cual la fuente puede operar?.


P=12�!2A2v (1)

pero de (4.31),

v =

sT

�(2)

y además,! = 2�# (3)


P=2�2�#2A2sT

�

de aquí que,

#=1

�A

sP

2pT�

por lo tanto,

#=1

�3; 00:10�2m

vuut 500W

2q150N:7; 00:10�2Kg

m

= 93; 2 Hz

Ejemplo 4.21 Una onda senoidal sobre una cuerda es descrita mediante,

(x; y) = 0; 30m Sen (x� 20t)

donde x y están en metros y t en segundos. Si la masa por unidad de longitudde esta cuerda es 50; 0 g=m; determinar (a) la velocidad de la onda, (b) la longitudde onda, (c) la frecuencia, y (d) la potencia transmitida a la onda.




A = 0; 30 m; k = 1rad

m; ! = 20

rad

s

(a) La onda se propaga en el sentido +x y su velocidad puede ser calculada a partirde (4.25),

v =!

k=20 rad

s

1 radm

= 20m

s

(b) De (4.16),

� =2�

k=2�

1 1m

= 6; 28 m

(c) La frecuencia viene dada por,

# = ��1 =!

2�=201

s

2�= 3; 18 Hz

(d) La potencia suministrada viene dada, en virtud de (4.64), por,

P=12�!2A2v

entonces,

P=12:50; 0:10�3

Kg

m:

�201

s

�2: (0; 30 m)2 :20

m

s= 18W

Ejemplo 4.22 La función de onda para una onda sobre una cuerda tensa es,

(x; y) = 0; 550m Sen��x� 5�t� �

3

�donde x y están en metros y t en segundos. (a) ¿Cuál es la rata promedio ala cual la energía es transmitida a lo largo de la cuerda si la densidad lineal demasa es 100 g=m? y (b) ¿Cuál es la energía contenida en cada ciclo de la onda?.


A = 0; 550 m; k = �rad

m; ! = 5�

rad

s

(a) La potencia suministrada, en virtud de (4.64), viene dada por,

P=12�!2A2v (1)

pero, partir de (4.25),v =

!

k(2)


4.10. INTENSIDAD DE UNA ONDA TRIDIMENSIONAL

entonces, al sustituir (2) en (1) resulta,

P= 1

2k�A2!3

de aquí que,

P= 1

2:� 1m

:100:10�3Kg

m: (0; 550m)2

�5�1

s

�3= 18; 7W

(b) La energía contenida en cada ciclo de la onda vendrá dada por,

E = P� (3)

pero,

� =2�

!(4)

entonces, al sustituir (4) en (3) resulta,

E = 2�P!

de aquí que,

E = 2�18; 7W

5� 1s

= 7; 48 J

4.10 Intensidad de una onda tridimensional

A menudo es más útil especificar la intensidad de la onda en una onda tridimen-sional, como en el caso de una onda de luz o una onda de sonido que proviene deuna fuente puntual.

La intensidad I se define como la potencia promedio por unidad de super-ficie transmitida a través de una superficie S normal a la dirección en que viajala onda. Matemáticamente se expresa como,

I =PS

(4.67)

Si las ondas fluyen hacia afuera de la fuente en todas direcciones se forma unaonda tridimensional. Ejemplos son el sonido que se transmite en el aire, las ondas sís-micas y las ondas de luz. Si el medio es isótropo (igual en todas direcciones) entoncesla onda es esférica (ver figura 4.22). A medida que la onda se mueve hacia afuera,se dispersa en una superficie cada vez mayor debido a que el área superficial de unaesfera de radio r es 4�r2. Podemos inferir que a medida que crece la superficie S, laamplitud A debe disminuir. En efecto, a partir de (4.63),



Figura (4.22): Intensidad de una onda esférica.

�E =1

2m!2A2

pero m = �V , donde � es la densidad del medio y V su volumen. Asimismo, el volumenV = S` donde S es el área de la sección transversal que recorre la onda y ` es ladistancia que recorre la onda en un tiempo t, es decir ` = vt, entoces podemos escribir,

�E =1

2�Svt!2A2 (4.68)

de manera que la potencia promedio P vendrá dada por,

P = �E

�t=1

2�Sv!2A2 (4.69)

y como la pontencia se mantiene constante,

P1 = P2 =)1

2�S1v!

2A21 =1

2�S2v!

2A22 =)A22A21

=S1S2

(4.70)

o,

A2 =

rS1S2A1 (4.71)

por lo tanto, si S2 > S1 entonces A2 < A1. Como S = 4�r2, a partir de (4.70), podemosescribir también,

A2A1

=r1r2

(4.72)

de este modo la amplitud disminuye de forma inversamente proporcional con la dis-tancia a la fuente. Cuando la onda se encuentra al doble de la distancia a la fuente,la amplitud se ha reducido a la mitad y así sucesivamente (no tomando en cuenta elamortiguamiento).


4.10. INTENSIDAD DE UNA ONDA TRIDIMENSIONAL

Por otro lado, de (4.67),P = IS (4.73)

entonces, de forma análoga al procedimiento anterior,

P1 = P2 =) I1S1 = I2S2 =)I2I1=S1S2

(4.74)

o, debido a que S = 4�r2,I2I1=r21r22

(4.75)

Ejemplo 4.23 Compare las amplitudes (a) las intensidades y (b) las amplitudes de unaonda sísmica cuando pasa por dos puntos a 5 Km y a 25 Km de la fuente.

Solución:

(a) A partir de (4.75),I2I1=r21r22=(5Km)2

(25Km)2=1

25

(b) A partir de (4.72),A2A1

=r1r2=5Km

25Km=1

5

Ejemplo 4.24 La intensidad de una onda sísmica particular es 1; 0:106W=m2 a una dis-tancia de 80 Km de la fuente. (a) ¿Cuál era la intensidad cuando pasó un puntoa sólo 1; 0 Km de distancia de la fuente? y (b) ¿cuál era la potencia total quepasaba a través de una superficie de 3; 5 m2 a una distancia de 1; 0 Km?.

Solución:


I1 =

�r2r1

�2I2 =

�80Km

1; 0Km

�21; 0:106

W

m2= 6; 4:109

W

m2

(b) A partir de (4.73),

P = IS = 6; 4:109Wm2:3; 5m2 = 2; 2:1010W

ya que la intensidad para una distancia de 1; 0 Km fue calculada en (a).

Ejemplo 4.25 Si la intensidad de una onda sísmica es de 3; 3:105W=m2 a 78 Km de lafuente, ¿cuál era a 600 m?.




I1 =

�r2r1

�2I2 =

�78Km

0; 60Km

�23; 3:105

W

m2= 5; 6:109

W

m2

Ejemplo 4.26 Un alto parlante emite una onda esférica en el espacio homogéneo ytransparente (libre de amortiguamiento). La potencia de la fuente es de 15 W .Calcular la intensidad de la onda acústica a una distancia de 2 m y de 4 m.


I =PS

y como S = 4�r2,

I =P4�r2

(a) En este caso,

I =15W

4� (2m)2= 0; 30

W

m2

(b) y en este,

I =15W

4� (4m)2= 7; 46:10�2

W

m2

4.11 Ondas longitudinales armónicas de sonido

Podemos producir ondas sonoras periódicas unidimensionales en un tubo largo yestrecho, lleno de gas, mediante un pistón que oscila senosoidalmente en uno de susextremos como se muestra en la figura 4.23. Las regiones oscuras representan zonasdosde el fluido es comprimido, estando la densidad y la presión por encima de susvalores en el equilibrio. Las regiones de compresión son originadas cuando el pistón esempujado hacia la derecha dento del tubo.

La región comprimida, denominada compresión, se mueve a través del tubo comoun pulso, comprimiendo continuamente la región justo enfrente de ella. Cuando elpistón se mueve en sentido contrario, el fluido enfrente de él se dilata y, en conse-cuencia, en esta región (representadas por las zonas más claras) la presión y la den-sidad caen por debajo de sus valores en el equilibrio. Estas zonas de baja presión,denominadas rarefracciones, también se propagan a lo largo del tubo, siguiendo alas compresiones. Ambas regiones se mueven con una velocidad igual a la velocidaddel sonido en el medio.


4.11. ONDAS LONGITUDINALES ARMÓNICAS DE SONIDO

Figura (4.23): Pistón que al oscilar armónicamente produce ondas sonoras armónicas unidimensionalesarmónicas en un tubo largo y delgado que contiene un fluido.

Ahora bien, como el pistón oscila senosoidalmente, las regiones de compresión yrarefracción son formadas continuamente. La distancia entre dos compresiones suce-sivas (o dos rarefracciones sucesivas) es igual a la longitud de onda �. Como estasregiones viajan a través del tubo, cualquier elemento pequeño del medio se muevecon movimiento armónico simple paralelo a la dirección de la onda. Si s (x; t) es laposición del pequeño elemento en relación a su posición de equilibrio, podemos es-cribir,

s (x; t) = soCos (kx� !t) (4.76)

donde so es la amplitud de la oscilación del pequeño elemento, denominado confrecuencia amplitud de desplazamiento de la onda, k es el número de onda y ! es lafrecuencia angular del pistón. Notemos que el desplazamiento del pequeño elementoes a lo largo x, en la dirección de propagación de la onda de sonido, que signifigaque tratamos con una onda longitudinal.

La variación en la presión del fluido �p medida desde su valor en el equilibrio estambién periódica. En efecto, al sustituir (??) en (4.46) se obtiene,

@p

@x= ��o

@2

@t2[soCos (kx� !t)] = �o!2soCos (kx� !t)

de aquí que,

�p =�o!

2sok

[Sen (kx� !t)]

o, en virtud de (4.25),�p = �o!vso Sen (kx� !t)

que también podemos escribir como,

�p = �po Sen (kx� !t) (4.77)



Figura (4.24): Comparación entre s y �p.

con,�po = �o!vso (4.78)

así, podemos ver que la onda sonora puede ser considerada como una onda dedesplazamiento de amplitud so o como una onda de presión de amplitud �po. Unacomparación entre las expresiones (4.76) y (4.77) muestra que la onda de presión estádesfasada en �=2 con respecto a la onda de desplazamiento. Nótese también que lavariación de la presión tiene un máximo cuando el desplazamiento desde el equilibrioes cero, y el desplazamiento desde el equilibrio es máximo cuando la variación de lapresión es cero. La figura 4.24 muestra una comparación entre s y �p.

Ejemplo 4.27 (a) ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una ondasonora de frecuencia 85 Hz y amplitud de presión 10�3 atm?, (b) la amplitud deldesplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 233 Hz es10�6 m, ¿cuál es la amplitud de presión de esta onda?. Tomar como veloci-dad del sonido 340 m=s y densidad del aire 1; 29 Kg=m3 y tener presente que1atm = 101:3KPa.

Solución:


4.11. ONDAS LONGITUDINALES ARMÓNICAS DE SONIDO

(a) Por (4.78),

so =�po�o!v

pero como ! = 2�#,

so =10�3:101; 3:103Pa

2�:1; 29Kgm3 :85

1s:340m

s

= 4; 32:10�4 m

(b) En virtud de (4.78),�po = �o!vso

pero como ! = 2�#,�po = 2��o#vso

de aquí que,

�po = 2�:1; 29Kg

m3:233

1

s:340

m

s:10�6m = 0; 64 Pa

Ejemplo 4.28 La presión de una onda sonora viajera está dada par la ecuación

�p = 2; 00Pa Sen (4�x� 400�t)

donde x está en metros y t en segundos. Halle (a) la amplitud de la presión, (b)la frecuencia, (c) la longitud de onda, y (d) la velocidad de la onda.


�po = 2; 00 Pa; k = 4�rad

m; ! = 400�

rad

s

(a) La amplitud de la presión es,�po = 2; 00 Pa

(b) La frecuencia vendrá dada por,

# =!

2�=400� 1

s

2�= 200 Hz

(c) De (4.16),

� =2�

k=

2�

4� 1m

= 0; 5 m

(d) Al usar (4.25),

v =!

k=400� 1

s

4� 1m

= 100m

s



Ejemplo 4.29 El sonido más tenue que el humano puede detectar a una frecuenciade 1000 Hz corresponde a una intensidad cerca de 1; 00:10�12 W=m2 (umbral deaudición). El sonido más alto que el oido puede tolerar a esta frecuencia corres-ponde a una intensidad cerca de 1; 00 W=m2 (umbral de dolor). Determinar laamplitud de desplazamiento y la amplitud de presión asociados con estos doslímites. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s y densidad del aire 1; 20 Kg=m3.

Solución: La intensidad es, en virtud de (4.67),

I =PS

(1)

pero por (4.69),

P = 1

2�oSv!

2s2o (2)

donde hemos tenido presente que para este caso A = so entonces al sustituir (2) en(1),

so =1

2�#

s2I

�ov(3)

ya que ! = 2�#. Ahora bien, para el primer umbral,

so =1

2�10001s

s2:1; 00:10�12 W

m2

1; 20Kgm3 :343

ms

= 1; 11:10�11 m

y para el segundo umbral,

so =1

2�10001s

s2:1; 00 W

m2

1; 20Kgm3 :343

ms

= 1; 11:10�5 m

Por otro lado, en virtud de (4.78),

�po = 2�#�ovso (4)

ya que ! = 2�#. Entonces, para el primer umbral,

�po = 2�10001

s:1; 20

Kg

m3:343

m

s:1; 11:10�11m = 2; 87:10�5 Pa

y para el segundo umbral,

�po = 2�10001

s:1; 20

Kg

m3:343

m

s:1; 11:10�5m = 28; 7 Pa


4.12. INTERACCIÓN DE LAS ONDAS CON LAS BARRERAS

4.12 Interacción de las ondas con las barreras

4.12.1 Reflexión y transmisión

Todo movimiento ondulatorio al incidir sobre la superficie que separa dos mediosde distintas propiedades mecánicas, ópticas, etc., en parte se refleja y en parte setransmite.

La reflexión es la propiedad del movimiento ondulatorio por la que unaonda retorna al propio medio de propagación tras incidir sobre una superficie.

La velocidad de propagación de las ondas cambia al pasar de un medio a otro,pero no cambia la frecuencia angular !.

Supongamos un movimiento ondulatorio se propaga a lo largo de dos cuerdas, lacuerda de la izquierda tiene una densidad lineal �1 y la cuerda de la derecha tieneuna densidad lineal �2 (ver figura 4.50).

El movimiento ondulatorio transversal se propagará en ellas con velocidades re-spectivas de,

v1 =

sT

�1(4.79)

v2 =

sT

�2(4.80)

Las figuras 4.25(a) y 4.25(b) muestran un pulso sobre dos cuerdas de diferente pesoque han sido unidas. En esta situación tendremos los siguientes casos:

1. Si la primera cuerda es menos pesada que la segunda como se muestra en la figura4.25(a), el pulso reflejado en la superficie límite se invierte.

2. Si la primera cuerda es más pesada que la segunda como se muestra en la figura4.25(b), el pulso reflejado no se invierte.



Figura (4.25): Pulsos reflejado y transmitido en dos cuerdas unidas de diferente densidad lineal.

3. En ambos de los anteriores casos, el pulso transmitido no se invierte.

Las siguientes reglas generales se aplican a las ondas reflejadas:

1. Cuando una onda o pulso viaja desde un medio 1 a un medio 2 y v1 > v2 (elmedio 2 es más denso que el 1), es invertida bajo reflexión.

2. Cuando una onda o pulso viaja desde un medio 1 a un medio 2 y v1 < v2 (elmedio 1 es más denso que el 2), no es invertida bajo reflexión.

Por otro lado, cuando no existe un segundo medio, se verifica que si:

1. Si la cuerda está unida a un punto fijo, el pulso de refleja y se invierte, como semuestra en la figura 4.12.1.

2. Si la cuerda está unida a un punto que puede moverse libremente (por ejemploa un anillo que puede moverse sin fricción sobre un eje perperdicular al eje depropagación), el pulso de refleja y se invierte, como se muestra en la figura 4.26.aaa


4.12. INTERACCIÓN DE LAS ONDAS CON LAS BARRERAS

4.12.2 Difracción

La difracción es el fenómeno del movimiento ondulatorio en el que una ondade cualquier tipo se extiende después de pasar junto al borde de un objeto sólido oatravesar una rendija estrecha, en lugar de seguir avanzando en línea recta. Es decir,cuando la onda encuentra un obstáculo tiende a bordearlo.

Casi toda la difracción de una onda se produce en aquella parte del frente deonda que está a una distancia de pocas longitudes de onda de los límites del ob-stáculo. En aquellas zonas de la onda que están más alejadas, el efecto del obstáculo,es decir la difracción, es imperceptible y la onda se propaga en línea recta en la di-rección de los rayos incidentes. Cuando una onda se encuentra con una barrera conuna pequeña abertura (un agujero) de unas pocas logitudes de onda de diámetro, laparte de la onda que la atraviesa pasa toda ella a una distancia de pocas longitudesde onda de los bordes. Así:

1. Los frentes de onda planos se curvan y se propagan adoptando la forma circular oesférica (ver figura 4.27 y 4.28).

2. En contraste, si un haz de partículas incide sobre un obstáculo con una abertura,las partículas que lo atraviesan no cambian su dirección (ver figura 4.29).



Figura (4.26): Cuerda unida a un punto que puede moverse libremente.

La difracción es una de las características fundamentales que distingue lasondas de las partículas.

Aunque las ondas que encuentran un obstáculo o abertura siempre se curvan, odifractan, la magnitud de este fenómeno depende de la relación que existe entre sulongitud de onda y el tamaño del obstáculo o abertura. Tenemos dos posibles casos:

1. Si la longitud de onda es grande en relación con la abertura, como en las figuras4.27 y 4.28, los efectos de la difracción son grandes y las ondas se dispersan al atrav-esar la abertura como si procediesen de una fuente puntual localizada en la mismaabertura.

2. Si la longitud de onda es pequeña en relación con la abertura, el efecto de difrac-ción es pequeño como se muestra en la figura 4.30. Cerca de los bordes de laabertura los frentes de onda se distorcionan y las ondas se curvan ligeramente. Sinembargo, los frentes de onda no se ven afectados en su mayor parte y las ondas sepropagan en líneas rectas como si se tratase de un haz de partículas.


4.13. INTERFERENCIA

Figura (4.27): Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un agujero.

Figura (4.28): Esquema de la interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene unagujero.

4.13 Interferencia

La interferencia es el fenómeno físico que se produce cuando dos o más ondasse solapan o entrecruzan. Cuando las ondas interfieren entre sí, la amplitud (inten-sidad o tamaño) de la onda resultante depende de las frecuencias, fases relativas(posiciones relativas de crestas y valles) y amplitudes de las ondas iniciales.

La luz visible está formada por ondas electromagnéticas que pueden interferir en-tre sí. La interferencia de ondas de luz causa, por ejemplo, las irisaciones que se vena veces en las burbujas de jabón. La luz blanca está compuesta por ondas de luz dedistintas longitudes de onda. Las ondas de luz reflejadas en la superficie interior de laburbuja interfieren con las ondas de esa misma longitud reflejadas en la superficie ex-terior. En algunas de las longitudes de onda, la interferencia es constructiva, y en otrasdestructiva. Como las distintas longitudes de onda de la luz corresponden a diferentescolores, la luz reflejada por la burbuja de jabón aparece coloreada. El fenómeno de



Figura (4.29): Esquema de la interacción de un haz de partículas con un obstáculo que tiene un agujero.

Figura (4.30): Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un agujero cuyadimensión es grande con respecto a la longitud de onda.

la interferencia entre ondas de luz visible se utiliza en holografía e interferometría.

La interferencia puede producirse con toda clase de ondas, no sólo ondas de luz.Las ondas de radio interfieren entre sí cuando rebotan en los edificios de las ciudades,con lo que la señal se distorsiona. Cuando se construye una sala de conciertos hayque tener en cuenta la interferencia entre ondas de sonido, para que una interferen-cia destructiva no haga que en algunas zonas de la sala no puedan oírse los sonidosemitidos desde el escenario. Arrojando objetos al agua estancada se puede observarla interferencia de ondas de agua, que es constructiva en algunos puntos y destructivaen otros.

Consideraremos aquí la interferencia entre ondas denominadas ondas coherentes.


4.13. INTERFERENCIA

Figura (4.31): Dos ondas armónicas coherentes 1 y 2 que se originan en fuentes puntuales y cuyainterferencia queremos calcular en cierto punto O.

Se dice que dos ondas son coherentes cuando sus longitudes de onda,frecuencia y amplitud son iguales, y que sus fases o bien son iguales, o bienpresentan una cierta discrepancia que permanece constante.

Ahora bien, supongamos que tenemos dos ondas armónicas coherentes 1 y 2 yqueremos calcular el efecto que hacen sobre un cierto punto O (ver figura 4.25). Laposición de las fuentes (puntuales) de dichas ondas no tienen por qué coincidir, por loque las distancias al puntoO serán distintas, y las llamaremos d1 y d2; estonces podemosescribir,

1 = A Sen (kd1 � !t) (4.81)

2 = A Sen (kd2 � !t) (4.82)

y para hallar la onda resultante en O aplicamos el principio de superposición yamencionado antes, de forma que,

= 1 +2

= A [Sen (kd1 � !t) + Sen (kd2 � !t)] (4.83)

ahora, si usamos la identidad trigonométrica,

Sen (�) + Sen (�) = 2 Sen

��+ �

2

�Cos

�� 2

�(4.84)



la expresión (4.83) puede ser escrita como,

= 2A Sen

�kd1 � !t+ kd2 � !t

2

�Cos

�kd1 � !t� kd2 + !t

2

�o,

= 2A Sen

�kd1 + d22

� !t�Cos

�kd1 � d22

�y como la función coseno es par, obtenemos finalmente,

= 2A Sen

�kd1 + d22

� !t�Cos

�kd2 � d12

�(4.85)

Interpretar la expresión (4.85) es sencillo. Si hacemos el cambio,

d =d1 + d22

la expresión (4.85) podrá ser escrita como,

= 2ACos

�kd2 � d12

�| {z }

Amplitud

Sen (kd� !t) (4.86)

y tendremos que la onda resultante es una onda que parece provenir de una distanciad, que es la semisuma de las distancias a ambas fuentes, pero cuya amplitud A no esconstante y viene dada por,

A = 2ACos�kd2 � d12

�(4.87)

y que, por lo tanto, va a variar según el punto O del plano y las relaciones entre lasdistancias a las fuentes.

Cuando emiten simultáneamente las fuentes 1 y 2. El punto O describe un movi-miento armónico simple que es la composición de dos movimientos armónicos simplesde la misma dirección y frecuencia. Los casos más importantes son aquellos en los quedichos movimientos están en fase o interferencia constructiva y en oposición de faseo interferencia destructiva.

4.13.1 Interferencia constructiva

La amplitud (4.87) será máxima en los lugares en los cuales,

Cos

�kd2 � d12

�= 1


4.13. INTERFERENCIA

o,

kd2 � d12

= n�, con n = 0; 1; 2; ::: (4.88)

es decir, que aquellos puntos que verifiquen (4.88) tendrán una amplitud máxima. Enellos se producirá lo que se denomina interferencia constructiva.

La interferencia constructiva se produce cuando dos o más ondas se com-binan de tal forma que originan una onda cuya amplitud es mayor que la delas ondas originales. Si las ondas están perfectamente en fase (si las crestas y losvalles de una onda coinciden exactamente con las crestas y los valles de otra)entonces la amplitud resultante es la suma de las amplitudes individuales de lasondas interactuantes.

Figura (4.32): Interferencia constructiva.

La expresión (4.88) puede ser escrita en función de � al usar (4.16) resultanto,

d2 � d1 = n� (4.89)

que constituye una expresión mucho más inteligible que la (4.88). Resulta que parapuntos O separados una longitud entera de � la interferancia es constructiva, ya queambas ondas se encuentran exactamente en fase, porque la función seno es perió-dica y se repite cuando se ha avanzado espacialmente una longitud �.

Un ejemplo de este tipo de interferencia se ve representado en la figura 4.32. Enesta figura las ondas 1 y 2 coinciden a la perfección y por eso se ve como si fuerauna.



4.13.2 Interferencia destructiva

La amplitud (4.87) será mínima en los lugares en los cuales,

Cos

�kd2 � d12

�= 0

o,

kd2 � d12

= (2n+ 1)�

2, con n = 0; 1; 2; ::: (4.90)

es decir, que aquellos puntos O que verifiquen (4.90) tendrán siempre una amplitudigual a cero, independientemente del tiempo transcurrido. En estos puntos se pro-ducirá lo que se denomina interferencia destructiva. A estos puntos con amplitud nulase les denominan nodos y a las líneas que los unen se las denominan líneas nodales.

La interferencia destructiva se produce cuando dos o más ondas se combi-nan de tal forma que originan una onda cuya amplitud es menor que la de lasondas originales. Si las ondas están perfectamente fuera de fase (si las crestasde una onda coinciden exactamente con los valles de otra y viceversa) en-tonces sus amplitudes se cancelan, no resultando una onda.

La expresión (4.90) puede ser escrita en función de � al usar (4.16) resultanto,

d2 � d1 =�n+

1

2

�� (4.91)

lo cual significa que para puntos separados un cierto número entero de �más la mitad

Figura (4.33): Interferencia destructiva.

de una, resulta que las ondas se encuentranen contra-fase, o bien que una es justo la


4.14. ONDAS ESTACIONARIAS

opuesta de la otra1 y por tanto ambas se anulan simultáneamente dándose así unainterferancia destructiva.

Un ejemplo de este tipo de interferencia se muestra en la figura 4.33. Notemos queel resultado de las dos ondas interactuantes es una línea recta, es decir, una onda deamplitud nula. La figura 4.34 muestra un caso intermedio, es decir, donde la constantede fase no es ni 0 ni �.

Figura (4.34): Interferencia entre dos ondas (caso intermedio).

Cuando las ondas que se cruzan o solapan tienen frecuencias diferentes o no es-tán exactamente en fase ni desfasadas, el esquema de interferencia puede ser máscomplejo.

4.14 Ondas estacionarias

Esta sección analizaremos el resultado de hacer interferir dos ondas armónicascoherentes pero que viajan una hacia la otra. Matemáticamente lo que tenemos esque una onda presenta la forma,

1 (x; t) = A Sen (kx� !t) (4.92)

y la otra, por propagarse en sentido contrario, será,

2 (x; t) = A Sen (kx+ !t) (4.93)

siendo la resultante , al usar el principio de superposición,

(x; t) = 1 (x; t) + 2 (x; t) = A [Sen (kx� !t) + Sen (kx+ !t)]1 Esto es debido a que Sen (�+ �) = �Sen�.



que al usar la identidad trigonométrica (4.84) se puede escribir como,

(x; t) = 2A Sen

�kx� !t+ kx+ !t

2

�Cos

�kx� !t� kx� !t

2

�(x; t) = 2A Sen (kx)| {z }

Amplitud

Cos (!t) (4.94)

que es la expresión de una onda estacionaria.

Las ondas estacionarias son aquellas que se forman a partir de la super-posición de dos ondas armónicas (por ejemplo dos senosoidales) que tienenla misma frecuencia angular, amplitud y longitud de onda pero que viajan ensentido contrario.

Notemos que:

1. No puede representar a una onda viajera, porque x y t no aparecen en la com-binación kx � !t exigida por una onda viajera, sino que aparecen por separado.Debido a esto es la denominación de onda estacionaria.

2. La energía no se puede propagar por la cuerda. Esto es debido a que aquellospuntos para los cuales Sen (kx) = 0 van a estar siempre en reposo puesto que nopresentan niguna otra dependencia. Evidentemente la energía no podrá rebasarestos puntos para propagarse al otro lado.

3. Un punto cualquiera de la cuerda se limitará a moverse de forma armónica en eltiempo, debido al factor Cos (!t) con una amplitud 2A Sen (kx).

4. Una partícula en cualquier posición x determinada ejecuta un movimiento armónicosimple en el transcurso del tiempo, y todas las partículas vibran con la misma fre-cuencia angular !. En una onda viajera cada partícula de la cuerda vibra conla misma amplitud. Sin embargo, en una onda estacionaria, la amplitud no es lamisma para todas las partículas sino que varía con la posición x de la particula.

A los puntos que cumplen con

Sen (kx) = 0 (4.95)

y que, por tanto, van a estar siempre en reposo, se les denomina nodos. En conse-cuencia, tendremos nodos en las posiciones,

kx = n�, con n = 0; 1; 2; 3; ::: (4.96)



o bien, en virtud de (4.16), las posiciones de los nodos vendrán dadas por,

x = n�

2, con n = 0; 1; 2; 3; ::: (4.97)

es decir,x = 0;

�

2; �;

3�

2; ::: (4.98)

Por otro lado, los puntos que cumplen con

Sen (kx) = 1 (4.99)

se les denomina antinodos. En consecuencia, tendremos antinodos cuando,

kx = n�

2, con n = 1; 3; 5::: (4.100)

o bien, en virtud de (4.16), las posiciones de los antinodos vendrán dadas por,

x = n�

4, con n = 1; 3; 5::: (4.101)

es decir,x =

�

4;3�

4;5�

4; ::: (4.102)

Como podemos ver, tanto los nodos como los antinodos están separados entre sípor 1=2 de longitud de onda. La separación entre un nodo y un antinodo adyacenteses de 1=4 de longitud de onda.

Ejemplo 4.30 El desplazamiento de una onda estacionaria está dado por,

(x; t) = 3; 0 Sen (�x) Cos (5�t)

donde x y están en centímetros y t en segundos. (a) ¿Cuál es la distancia entrelos nodos?, (b) ¿cuál es la amplitud, frecuencia y velocidad de cada una de lasondas componentes?, (c) ¿cuál es la velocidad de una de las partículas de lacuerda en x = 2; 00 cm cuando t = 3; 00 s?.

Solución: Al comparar la función dada con (4.94),

2A = 3; 0 cm; k = �rad

cm; ! = 5�

rad

s


� =2�

k

pero como los nodos están separados por una distancia d = �=2 entonces,

d =�

2=�

k=

�

� 1cm

= 1 cm



(b) Queda claro que,

A =1

2:3; 0 cm = 1; 5 cm

También, como ! = 2�# entonces,

# =!

2�=5� 1

s

2�= 2; 5 Hz

y por último, de (4.25),

v =!

k=5� 1

s

� 1cm

= 5cm

s

(c) La velocidad vendrá dada por,

v =@

@t=@

@t[3; 0 Sen (�x) Cos (5�t)]

= �3; 0:5� Sen (�x) Sen (5�t)

entonces para x = 2; 00 cm y t = 3; 00 s,

v = �3; 0:5� Sen (�:2; 00) Sen (5�:3; 00)= 0

cm

s


(x; t) = 0; 095 Sen (40; 5x) Cos (377t)

donde x y están en metros y t en segundos. Determinar la velocidad de lasondas compunentes sobre la cuerda y la distancia entre los nodos para las ondasestacionarias.


2A = 0; 095 m; k = 40; 5rad

m; ! = 377

rad

s

entonces de (4.25),

v =!

k=3771

s

40; 5 1m

= 9; 31m

s

y, por otro lado, a partir de (4.16),

� =2�

k

pero, como ya vimos, los nodos y antinodos están separados entre sí por una distanciad = �=2 entonces,

d =�

2=�

k=

�

40; 5 1m

= 0; 08 m




(x; t) = 12 Sen (7�x) Cos (9�t)

donde x y están en centímetros y t en segundos. (a) Determinar la amplituddel movimiento armónico simple de un elemento del medio localizado en x = 4; 0cm, (b) determinar las posiciones de los nodos y antinodos si uno de los extremosde la cuerda está en x = 0, (c) ¿cuál es el valor máximo de la posición en elmovimiento armónico simple de un elemento localizado en un antinodo?.


2A = 12 cm; k = 7�rad

cm; ! = 9�

rad

s

(a) La amplitud de esta onda estacionaria viene dada por el coeficiente del coseno,por lo tanto,

Amplitud = 12 Sen (7�x) = 12 Sen (7�:4; 0) = 0 cm

(b) En virtud de (4.96) la posición de los nodos vendrá dada por,

x = n�

k, con n = 0; 1; 2; 3; :::

por lo tanto,

x = n�

7� 1cm

=1

7n cm

y, en virtud de (4.100), la posición de los antinodos vendrá dada por,

x = n�

2k, con n = 1; 3; 5:::

por lo tanto,

x = n�

2:7�=1

14n cm

(c) El valor máximo de la posición en el movimiento armónico simple de un elementolocalizado en un antinodo viene dado por la amplitud máxima de la onda esta-cionaria. Como se dijo en (a) la amplitud de esta onda estacionaria es Amplitud=12 Sen (7�x) y su valor máximo se dará cuando Sen (3; 0x) = �1, por lo anto,

Amplitud máxima = �12 cm



Figura (4.35): Cuerda tensada de longitud ` sujeta en ambos extremos a dos soportes fijos.

4.14.1 En una cuerda fija en ambos extremos

Supongamos que tenemos una cuerda tensada de longitud ` y de densidad linealde masa � puesta en forma horizontal, sujeta en ambos extremos a dos soportes fijos(ver figura 4.35). Este es un caso interesante y con variadas aplicaciones prácticas.Como ejemplo, en cualquier instrumento de cuerda tendremos una disposición deeste tipo.

Vamos a hacer un análisis semi-cuantitativo de este fenómeno. Como la cuerdadebe estar sujeta en ambos extremos, significa que dichos extremos no van a podermoverse, constituyéndose en nodos. Esto nos lleva a afirmar que Sen (k0) = 0 y Sen (k`) =0 donde se ha colocado el origen del sistema de referencia en x = 0 (extremo izquierdode la cuerda). La primera condición es trivial y es siempre cierta, pero de la segundapodemos escribir,

k` = n�, con n = 0; 1; 2; ::: (4.103)

que es una relación entre el número de onda k y la longitud de la cuerda `. Ahorabien, puesto que la longitud de la cuerda es un parámetro que podemos variar anuestro antojo, lo que tenemos realmente es que el número de onda no puede sercualquiera, sino que debe cumplir con,

k =n�

`, con n = 0; 1; 2; ::: (4.104)

es decir, ser discreto y con unos valores concretos. A cada uno de estos n patronesde oscilación se les denomina modos normales. Esta situación en la cual sólo ciertasfrecuencias de oscilación son permitidas se le denomina cuantización2. Entonces, en(4.104), kn significa el número de onda para el n-ésimo modo normal de oscilación.

Si, en virtud de (4.16), expresamos estos valores en función de la longitud de onda�, resulta,

�n = 2`

n, con n = 1; 2; 3; ::: (4.105)

2 La cuantización ocurre comúnmente cuando las ondas están sujetas a condiciones de frontera.



y las frecuencias naturales #n asociadas con estos modos pueden ser obtenidas apartir de la expresión (4.15) y de que � = #�1, donde la velocidad de la onda es lamisma para todas las frecuencias, de la siguiente forma,

#n =v

�n= n

v

2`, con n = 1; 2; 3; ::: (4.106)

Estas frecuencias naturales son también denominadas frecuencias cuantizadas aso-ciadas con la cuerda vibrante sujeta en ambos extremos.

Ahora, si usamos (4.31) para sustituir la velocidad v en (4.106), podemos tambiénexpresar las frecuencias naturales como,

#n =n

2`

sT

�, con n = 1; 2; 3; ::: (4.107)

La frecuencia natural para n = 1 es denominada fundamental o frecuenciafundamental.

La frecuencia fundamental vendrá dada, por lo tanto, al sustituir n = 1 en (4.107),de forma que,

#1 =1

2`

sT

�(4.108)

y es fácil verificar que las frecuencias de los restantes modos normales son múltiplosenteros de la frecuencia fundamental, es decir,

#n = n#1 (4.109)

Cuando las frecuencias de los modos normales exhiben este tipo de rela-ciones de múltiplos enteros como la anterior, forman una serie denominada se-rie armónica, y los modos normales correspondientes se denominan armónicos.

La frecuencia fundamental #1 es la frecuencia del primer armónico; la frecuencia#2 = 2#1 es la frecuencia del segundo armónico y la frecuencia #n = n#1 es la frecuen-cia del n-ésimo armónico. La figura 4.36 muestra los tres primeros armónicos para lacuerda fija en ambos extremos.

Otros sistemas oscilantes, tales como los tambores, exhiben modos nor-males, pero las frecuencias no son múltiplos enteros de la frecuencia funda-mental. Por lo tanto, no usamos el término armónico para este tipo de sistemas.

Los resultados (4.106) y (4.107) son la razón fundamental del funcionamiento de losinstrumentos de cuerda, como por ejemplo una guitarra. Como la frecuencia de la



Figura (4.36): Primeros tres armónicos de una cuerda fija en ambos extremos.

oscilación se propaga en el aire y se escucha como sonido, entonces es posible variarla nota cambiando la longitud de la cuerda, por ejemplo, poniendo el dedo sobreun traste3 y acortando esta longitud en cierta cantidad determinada; o variando lavelocidad de propagación de la onda en la cuerda: aumentando o disminuyendo latensión de la cuerda, o variando la densidad de la cuerda colocando una primera envez de una segunda, o una tercera, etc.

Ejemplo 4.33 Una cuerda de 2; 0m de longitud es impulsada por un vibrador de 240 Hzen su extremo. La cuerda resuena en cuatro segmentos. ¿Cuál es la velocidadde las ondas transversales sobre la cuerda?.

Solución: Al usar (4.106) con n = 4,

v =`

2#4 =

2; 0m

2:240

1

s= 240

m

s

Ejemplo 4.34 Una cuerda de un piano tiene 90 cm de longitud y tiene una masa de5; 0 g. ¿A qué tensión debe estar la cuerda si debe vibrar con una frecuenciafundamental de 120 Hz?, (b) ¿cuáles son las frecuencias de los primero cuatroarmónicos?.

Solución:3 Se le da el nombre de traste a cada uno de los resaltos de metal o hueso que se colocan a trechos en

el mástil de la guitarra u otros instrumentos semejantes, para que, oprimiendo entre ellos las cuerdas,quede a estas la longitud libre correspondiente a los diversos sonidos.




T = 4`2�#21

pero � = m=`, entonces,

T = 4`m#21

de aquí que,

T = 4:90:10�2m:5; 0:10�3Kg:

�120

1

s

�2= 259 N


#n = n#1

entonces,

#2 = 2:120Hz = 240 Hz

#3 = 3:120Hz = 360 Hz

#4 = 4:120Hz = 480 Hz

y el primer armónico es el fundamental que ya fue dado en el enunciado del ejem-plo.

Ejemplo 4.35 Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 1; 30 m entre sí y seajusta la tensión hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es de 260 Hz.¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?.

Solución: De (4.106),

v =2`#nn

entonces, para n = 1 (fundamental),

v = 2`#1 = 2:1; 30m:2601

s= 676

m

s

Ejemplo 4.36 Una cuerda que está fija en sus extremos tiene una longitud de 2; 5 m,una densidad lineal de masa de 0; 0040 Kg=m y se le han medido dos frecuenciasresonantes consecutivas a 250Hz y 310Hz. Determinar la frecuencia fundamentalde la cuerda y comprobar si una cuerda como esta es adecuada para colocarlaen un instrumento musical, teniendo en cuenta que si la tensión de la mismasobrepasa los 500 N hay problemas de seguridad.



Solución: Supongamos que la primera frecuencia resonante se da para n = na y lasegunda para n = nb entonces, en virtud de (4.109),

#na = na#1

#nb = nb#1

ahora, al restar miembro a miembro las anteriores expresiones,

#nb � #na = #1 (nb � na)

y como las frecuencias resonantes dadas son consecutivas se cumple que nb � na = 1,por lo tanto,

#1 = #nb � #na = 310 Hz � 250 Hz = 60 Hz

Por otro lado, al usar (4.108),#1 = 12`

qT�

T = 4`2�#21 = 4: (2; 5m)2 :0; 0040

Kg

m:

�601

s

�2= 360 N

por lo tanto, la cuerda es segura.

Ejemplo 4.37 Una cuerda fija por ambos extremos tiene 1; 5 m de largo. Resuena ensu segundo armónico a una frecuencia de 85 Hz. ¿Cuál es la velocidad de lasondas transversales en ella?.


v =2`#nn

entonces, para n = 2,

v = `#2 = 1; 5m:851

s= 128

m

s

Ejemplo 4.38 La función de onda (x; t) para cierta onda estacionaria sobre unacuerda fija en ambos extremos es dada por,

(x; t) = 8; 0 Sen��4x�Cos (100�t)

donde x y están en centímetros y t está en segundos. (a) ¿Cuáles son la lon-gitud de onda y la frecuencia de esta onda?, (b) ¿Cuál es la velocidad de lasondas transversales en esta cuerda?, (c) si la cuerda está vibrando en su tercerarmónico, ¿cuál es su longitud?.


2A = 8; 0 cm; k =�

4

rad

cm; ! = 100�

rad

s




� =2�

k=2��41cm

= 8 cm

También, como ! = 2�# entonces,

# =!

2�=100� 1

s

2�= 50 Hz

(b) De (4.25),

v =!

k=100� 1

s�41cm

= 400cm

s

(c) Al usar (4.106),` =

nv

2#nentonces, para n = 3,

` =3v

2#3=3:400 cm

s

2:501s

= 12 cm

4.14.2 En una cuerda fija en uno de sus extremos

Supongamos que tenemos una cuerda de longitud `, que vamos a poner en formahorizontal fijándola en uno de sus extremos a una pared (ver figura 4.37) y por el otroextremo la sujetamos a un anillo de masa despreciable y que puede deslizarse libre-mente (sin fricción) sobre un eje que es perpendicular al eje que contiene a la cuerda.Si propagamos ahora una onda armónica por la cuerda, tarde o temprano, llegará ala pared y rebotará en ella. Tendremos entonces una interferencia que se produciráen la cuerda, debida a dos ondas iguales, con la excepción de que se propagan ensentido contrario.

Figura (4.37): Cuerda fijada, en uno de sus extremos, a una pared.

En el extremo fijo (extremo izquierdo) x = 0 (si colocalos el origen de nuestro sistemade referencia en este punto), debe cumplirse que,

Sen (kx) = Sen (k0) = 0 (4.110)



condición que es trivial y es siempre cierta. En el extremo libre tenemos un antinodo ydebe cumplirse, en virtud de (4.99), que,

Sen (kx) = Sen (k`) = 1 (4.111)

o,k` = n

�

2, con n = 1; 3; 5::: (4.112)

y en consecuencia, por (4.16),

` = n�

4, con n = 1; 3; 5::: (4.113)

con lo cual,�n =

4`

n(4.114)

y si usamos (4.15) y que � = #�1, las frecuencias naturales (también llamadas de reso-nancia) vendrán dadas por,

#n =v

�n= n

v

4`(4.115)

de manera que la frecuencia la frecuencia fundamental viene dada por,

#1 =v

4`(4.116)

y es fácil verificar que,#n = n#1 (4.117)

La figura 4.38 muestra algunos armónicos para la cuerda fija en uno de sus ex-tremos.

Ejemplo 4.39 Una cuerda de 5; 2 m de longitud es sujetada en uno de sus extremos yel otro extremo es sujetado a un resorte liviano de forma que es libre de moverse.La velocidad de las ondas en la cuerda es 13; 1 m=s. Encontrar la frecuencia (a)fundamental, (b) segundo armónico y (c) tercer armónico.

Solución:

(a) Al usar (4.116) para n = 1,

#1 =v

4`=13; 1m

s

4:5; 2m= 0; 63 Hz

(b) No hay segundo armónico, pues n sólo puede tomar valores impares.

(c) Al usar (4.117) para n = 3,

#3 = 3#1 = 3:0; 63 Hz = 1; 89 Hz



Figura (4.38): Algunos armónicos para la cuerda fija en uno de sus extremos.

Ejemplo 4.40 Una cuerda fija en uno de sus extremos está vibrando sólo en su modofundamental. La función de onda es,

(x; t) = 0; 09 Sen (3; 00x) Cos (300t)

donde y x están en metros y t está en segundos. (a) ¿Cuál es la longitud deonda de la onda?, (b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? y (c) ¿Cuál es la veloci-dad de las ondas transversales sobre la cuerda?.


2A = 0; 09 m; k = 3; 00rad

m; ! = 300

rad

s


� =2�

k=

2�

3; 00 1m

= 2; 09 m

(b) A partir de (4.114) para n = 1,

` =�14=2; 09 m

4= 0; 523 m

(c) De (4.25),

v =!

k=3001

s

3; 00 1m

= 100m

s



También es posible encontrarla a partir de (4.116) para n = 1 y teniendo presenteque # = !

2�,

v =2

�`!

Ejemplo 4.41 Una cuerda de 2 m es fijada en uno de sus extremos y está vibrando ensu tercer armónico con una amplitud de 3 cm y una frecuencia de 100 Hz. (a)Escriba la función de onda para esta vibración, (b) escriba una expresión para laenergía cinética de un segmento de la cuerda de longitud dx en un punto x paraalgún tiempo t. ¿En qué tiempo es la energía cinética un máximo? y ¿cuál es laforma de la cuerda en este momento?.

Solución:

(a) Del enunciado del ejemplo 2A = 3 cm = 0; 03 m: Por otro lado,

! = 2�# = 2�:1001

s= 200�

rad

s

y a partir de (4.112) para n = 5,

k =5�

2`=

5�

2:2m=5�

4

rad

m

por lo tanto, en virtud de (4.94),

(x; t) = 2A Sen (kx) Cos (!t) = 0; 03 Sen

�5�

4x

�Cos (200�t)

con y x en metros y t en segundos.

(b) La energía cinética vendrá dada por,

dK =1

2dmv2

y como dm = �dx, entonces,

dK =1

2�v2dx (1)

pero,

v =@

@t=@

@t

�0; 03 Sen

�5�

4x

�Cos (200�t)

�= �6� Sen

�5�

4x

�Sen (200�t) (2)

de aquí que, al sustituir (2) en (1),

dK = 18�2�

�Sen

�5�

4x

�Sen (200�t)

�2dx (3)



Esta energía será un máximo si Sen�5�4x�= 1 y Sen (200�t) = 1; por lo tanto,

Sen (200�t) = 1) 200�t =�

2) t = 2; 5:10�3s

Para encontrar su forma en el anterior tiempo, evaluamos (x; t) en ese instante,

�x; t = 2; 5:10�3s

�= 0; 03 Sen

�5�

4x

�Cos

�200�:2; 5:10�3

�= 0

siendo, entonces, su forma recta.

Ejemplo 4.42 Un extremo de una cuerda de 2; 35 m se mantiene fijo. El otro extremoestá unido a un anillo sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra sinfricción como se muestra en la figura 4.39. ¿Cuáles son las tres longitudes de ondamás grandes posibles de ondas estacionarias en la cuerda?.

Figura (4.39): Ejemplo 4.42: Cuerda sujeta en uno de sus extremos y con el otro extremo unido a un anillosin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra sin fricción.

Solución: De (4.114),

�n =4`

n

entonces las tres mayores longitudes de onda serán para n = 1, n = 3 y n = 5,

�1 = 4` = 4:2; 35 m = 9; 40 m

�3 =4`

3=4

3:2; 35 m = 3; 13 m

�5 =4`

5=4

5:2; 35 m = 1; 88 m



4.14.3 En tubos

Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primerosinstrumentos musicales. Emitían sonido soplando por un extremo. El aire contenido enel tubo entraba en vibración emitiendo un sonido.

Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetasy los clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchasnotas dentro de una amplia gama de frecuencias acústicas.

Un tubo de órgano constituye un ejemplo familiar del empleo de ondas estacionar-ias en columnas de aire. El órgano es un instrumento formado por muchos tubos enlos que cada tubo da una sola nota. El tubo de órgano es excitado por el aire queentra por el extremo inferior (ver figura 4.40). El aire se transforma en un chorro en lahendidura entre el alma (una placa transversal al tubo) y el labio inferior. El chorro deaire interacciona con la columna de aire contenida en el tubo. Las ondas que se pro-pagan a lo largo de la corriente turbulenta mantienen una oscilación uniforme en lacolumna de aire haciendo que el tubo suene. Las frecuencias del tubo dependeránde su longitud y de que su extremo esté abierto o cerrado. Cerca de la boca, queestá abierta a la atmósfera, se forma un nodo de presión.

Figura (4.40): Tubo de órgano.



En un tubo abierto en ambos extremos

En un tubo abierto, la presión en ambos extremos es igual a la presión atmosféricay no varía. Por lo tanto, existirá un nodo de presión en ambos extremos del tubo, oequivalentemente, un antinodo de desplazamiento ya que, como vimos en la sec-ción 4.11, la onda de presión está desfasada 90� con respecto a la onda de desplaza-miento. Este resultado está basado en la hipótesis de que la onda sonora en el tubo esunidimensional, lo cual es aproximadamente cierto si el diámetro del tubo es muchomenor que la longitud de onda.

En el extremo abierto donde incide la onda se produce una reflexión, originándoseuna onda reflejada desfasada en 180� con respecto a la incidente, originándose asíondas estacionarias.

Parece extraño que en un extremo abierto se pueda producir una reflexión. Siem-pre que una onda pase de un medio a otro, habrá reflexión y refracción de la misma,sin embargo, en nuestro caso la onda pasa del aire al aire, es decir, no cambia demedio. Pero, el sonido es una onda de presión y una zona de compresión está limi-tada por los lados del tubo mientras dicha zona esté dentro del tubo. Cuando la zonade compresión está en el extremo abierto del tubo, la limitación impuesta por las pare-des de éste desaparece y el aire comprimido es libre de expandirse en la atmósfera.De esta manera se produce un cambio de carácter entre el medio que está dentro yel que está afuera del tubo, incluso, aunque no exista cambio en el medio material.Este cambio en carácter es suficiente para permitir alguna reflexión.

En la práctica, los nodos de presión están ligeramente más allá de los extremos deltubo. La longitud efectiva èf del tubo es,

èf = `+�` (4.118)

donde�` es la corrección de los extremos. Para un tubo de sección circular,�` ' 0; 6Rdonde R es el radio del tubo.

De todo lo anterior,

Las ondas estacionarias en el aire que contiene un tubo abierto por ambosextremos dan lugar a un nodo de presión (y un antinodo de desplazamiento)cerca de cada extremo. La condición de onda estacionaria es la misma quela de una cuerda fija por los dos extremos.

Por lo tanto, se cumplen las mismas expresiones estudiadas para el caso de unacuerda fija por los dos extremos, sólo que ahora ` es la longitud efectiva del tubo



Figura (4.41): Algunos armónicos para el caso de un tubo abierto en ambos extremos. La perturbaciónsonora es generada por un parlante en uno de los extremos.

(corrección que será ignorada a menos que se indique lo contrario.). La figura 4.41muestra algunos armónicos en tubos de este tipo, donde las perturbaciones de presión(ondas sonoras) son generadas mediante un parlante.

Ejemplo 4.43 Calcular la longitud de un tubo que tiene una frecuencia fundamentalde 307 Hz si el tubo es abierto en ambos extremos. Tomar como velocidad delsonido 343 m=s.

Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambosextremos. Al usar (4.106),

` =nv

2#n

entonces para n = 1,

` =v

2#1=343m

s

2:3071s

= 0; 559 m

Ejemplo 4.44 Un tubo de vidrio de 98 cm de longitud está abierto en ambos extremos.Encuentre las frecuencias en las cuales resuena con ondas de sonido de 343 m=s.

Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambosextremos, por lo tanto, al usar (4.106),

#n =nv

2`



entonces,

#n =343m

s

2:98:10�2mn = 175n Hz

Ejemplo 4.45 Un tubo de vidrio (abierto en ambos extremos) de longitud ` es posi-cionado cerca de un parlante de audio cuya frecuencia es de 545 Hz. ¿Paraqué valores de ` resonará el tubo con el parlante?. Tomar como velocidad delsonido 343 m=s.

Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambosextremos. Al usar (4.106),

` =nv

2#n=343m

s

2:5451s

n = 0; 315n m

Ejemplo 4.46 Una sección de un tubo de drenaje de 3; 00m de longitud hace un sonidocuando exhala aire. (a) Determinar las frecuencias de los primeros tres armónicosdel tubo si es cilíndrico y abierto en ambos extremos. Tomar como velocidad delsonido 340 m=s. (b) ¿Cuántos armónicos hay dentro del rango de audibilidad delhumano (20 a 20000 Hz)?.

Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambosextremos.

(a) Al usar (4.106),

#n =nv

2`

entonces,

#n =340m

s

2:3; 00mn = 56; 7n Hz

de aquí que,

#1 = 56; 7:1 Hz = 56; 7 Hz

#2 = 56; 7:2 Hz = 113 Hz

#3 = 56; 7:3 Hz = 170 Hz

(b) Aquí sólo tenemos que dividir el extremo superior del rango de audibilidad entre elarmónico funfamental,

20000 Hz

56; 7 Hz= 353



Ejemplo 4.47 La longitud total de un piccolo es 20; 0 cm. La columna de aire resonantevibra como en un tubo abierto en ambos extremos. (a) Determinar la frecuenciade la nota más baja que el piccolo puede ejecutar, suponiendo que la velocidaddel sonido en el aire es 343 m=s. (b) Abrir hoyos en un lado recorta efectivamentela longitud de la columna resonante. Si la nota más alta que el piccolo puedeproducir es 5148 Hz, encuentre la distancia entre los antinodos adyacentes paraeste modo de vibración.


(a) Al usar (4.106),#n =

nv

2`

entonces,

#n =343m

s

2:20; 0:10�2 mn = 858n Hz

de aquí que,#1 = 858 Hz


�n = 2`

n(1)

pero en virtud de,

n =2`#nv

(2)

entonces al sustituir (2) en (1),

�n =v

#n=343m

s

51481s

= 0; 067 m

pero, como ya vimos, los nodos y antinodos están separados entre sí por unadistancia d = �=2 entonces,

d =�

2=0; 067 m

2= 0; 0335 m = 33; 5 mm

Ejemplo 4.48 Cuando un tubo de metal abierto es cortado en dos, la frecuencia deresonancia más baja para la columna de aire en una de esas partes es 300 Hzy para la otra es 520 Hz. (a) ¿Qué longitud tenía éste?, (b) ¿cuál frecuenciaresonante habría producido el tubo original?. Tomar como velocidad del sonido340 m=s.




(a) Al usar (4.106),` =

nv

2#n

entonces para n = 1,` =

v

2#1

de aquí que, si à y `b son las longitudes de ambos trozos de tubo,

à =v

2#1a=340m

s

2:3001s

= 0; 57 m

`b =v

2#1b=340m

s

2:5201s

= 0; 33 m

entonces la longitud original ` del tubo será,

` = à + `b = 0; 57 m+ 0; 33 m = 0; 90 m

(b) Al usar nuevamente (4.106),#n =

nv

2èntonces para n = 1,

#1 =v

2`=

340ms

2:0; 90 m= 189 Hz

Ejemplo 4.49 Con un tocado particular, una flauta produce una nota con frecuencia797 Hz a 20; 0 �C. La flauta es abierta por ambos extremos. (a) Encuentre la longi-tud de la columna de aire y (b) determine la frecuencia cuando la temperaturaambiente es de 5; 00 �C. Tómese velocidad del sonido 343 m=s a 20; 0 �C y 328 m=sa 5; 00 �C.


(a) Al usar (4.106),` =

nv

2#n

entonces para n = 1,` =

v

2#1

de aquí que,

` =343m

s

2:7971s

= 0; 215 m



(b) Al usar nuevamente (4.106),

#n =nv

2`


#1 =v

2`

de aquí que,

#1 =328m

s

2:0; 215 m= 763 Hz

En un tubo cerrado en uno de sus extremos

En un tubo cerrado en uno de sus extremos, el extremo cerrado es un nodo dedesplazamiento debido a que la pared en este extremo no permite movimiento lon-gitudinal del aire. Como resultado, en el extremo cerrado del tubo, la onda sonorareflejada está desfasada 180� con respecto a la onda incidente. Además, debido aque la onda de presión está desfasada 90� con respecto a la onda de desplazamiento,el extremo cerrado de una columna de aire corresponde a un antinodo de presión. Elextremo abierto es aproximadamente un antinodo de desplazamiento y un nodo depresión de la misma manera como fue discutido en la anterior sección.

Figura (4.42): Algunos armónicos para el caso de un tubo cerrado en uno de sus extremos. La pertur-bación sonora es generada por un parlante en el extremo abierto.

De todo lo anterior,



Las ondas estacionarias en el aire que contiene un tubo abierto por unextremo y cerrado por el otro, dan lugar a un antinodo de desplazamiento enel extremo abierto (un nodo de presión) y un nodo de desplazamiento en elcerrado (un antinodo de presión). La condición de onda estacionaria es lamisma que la de una cuerda fija por uno de sus extremos (el cual correspondeal extremo cerrado del tubo).

Por lo tanto, se cumplen las mismas expresiones estudiadas para el caso de unacuerda fija por uno de sus extremos, sólo que ahora ` es la longitud del tubo. La figura4.42 muestra algunos armónicos en tubos de este tipo, donde las perturbaciones depresión (ondas sonoras) son generadas mediante un parlante.

Leyes de BernoulliTodo lo anterior se resume en las llamadas leyes de Bernoulli:

La frecuencia del sonido en un tubo es:

1. Directamente proporcional a la velocidad del sonido v en el gas que contiene eltubo.

2. Inversamente proporcional a la longitud del tubo `.

3. En un tubo abierto se puede producir el sonido que corresponde a la frecuenciafundamental (n = 1) y sus armónicos (n = 2; 3; 4; :::).

4. En un tubo cerrado se puede producir el sonido que corresponde a la frecuenciafundamental (n = 1) y los armónicos impares (n = 3; 5; 7; :::).

5. En dos tubos idénticos y con el mismo gas, uno abierto y otro cerrado, el abiertoproduce un sonido cuya frecuencia (fundamental) es el doble que la del cerrado.

Ejemplo 4.50 Ondas de compresión (ondas de sonido) son producidas en un tubo de83; 5 cm de longitud cerrado en uno de sus extremos. El tubo resuena en variasfrecuencias, la más pequeña de las cuales es 67 Hz. (a) Encuentre la velocidadde las ondas de sonido en el aire, (b) ¿a qué otras frecuencias resonará el tubo?.

Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de susextremos.

(a) De (4.115),

v =4`#nn


v = 4`#1 = 4:83; 5 cm:671

s= 2; 2:104

cm

s



(b) De (4.117),#n = n#1 = 67n Hz

Ejemplo 4.51 Determine la longitud más corta de un tubo cerrado en uno de sus ex-tremos que resuena en el aire debido a una fuente sonora cuya frecuencia es de125 Hz. Tómese la velocidad del sonido igual a 343 m=s.

Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de susextremos. De (4.115),

` =vn

4#n


` =v

4#1=343m

s

4:1251s

= 0; 686 m

Ejemplo 4.52 Un largo y estrecho tubo cerrado en uno de sus extremos no resuenacon un diapasón que tiene una frecuencia de 300 Hz hasta que la longitud dela columna de aire alcanza 28 cm. ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire?y ¿cuál es la siguiente longitud de la columna de aire que resuena con el dia-pasón?.


(a) De (4.115),

v =4#n`

n


v = 4`#1 = 4:28 cm:3001

s= 3; 4:104

cm

s

(b) Nuevamente, de (4.115),` =

vn

4#n

entonces para n = 3 y como la frecuencia permanece constante (#3 = #1),

` =3v

4#3=3:3; 4:104 cm

sv

4:3001s

= 85 cm

Ejemplo 4.53 Un tubo de órgano cerrado en uno de sus extremos tiene una longitud de50; 0 cm. ¿Cuáles son las frecuencias de los primeros tres sobretonos si la velocidaddel sonido es 328 m=s?.



Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de susextremos. De (4.115),

#n =vn

4`


#1 =v

4`=

328ms

4:50; 0:10�2m= 164 Hz


#n = n#1 = 164n Hz

de aquí que los primeros tres sobretonos sean,

#3 = 164:3 Hz = 492 Hz

#5 = 164:5 Hz = 820 Hz

#7 = 164:7 Hz = 1148 Hz

Ejemplo 4.54 La figura 4.43 muestra un aparato que puede emplearse para medir lavelocidad del sonido en el aire usando la condición de resonancia. Encima de untubo cilíndrico parcialmente lleno de agua se sostiene un pequeño parlante. Alajustar el nivel de agua subiendo y bajando el depósito de agua, la longitud de lacolumna de aire puede cambiarse hasta que el tubo esté en resonancia, en cuyopunto puede oirse un incremento en la intensidad del sonido. Para cierto tubo,el valor más pequeño de ` para el cual se produce una resonancia es 7; 50 cm.Determínese (a) la frecuencia del parlante, (b) los valores de ` para las próximasdos frecuencias de resonancia. Tómese 328 m=s como velocidad del sonido.


(a) De (4.115),

#n =nv

4`


#1 =v

4`=

328ms

4:7; 50:10�2m= 1093 Hz

(b) Nuevamente de (4.115),

` =nv

4#n



Figura (4.43): Ejemplo 4.54: Aparato que puede emplearse para medir la velocidad del sonido en el aireusando la condición de resonancia.

por lo tanto debido a que la frecuencia del parlante permanece constante (#1 =#3 = #5),

` =3v

4#3=3:328m

s

4:10931s

= 0; 225 m

` =5v

4#5=5:328m

s

4:10931s

= 0; 375 m

Ejemplo 4.55 Una columna de aire en un tubo de vidrio está abierto en uno de susextremos y cerrado en el otro mediante un pistón móvil. Un diapasón de 384 Hzes mantenido en el extremo abierto. Se escucha resonancia cuando el pistónestá a 22; 8 cm del extremo abierto y nuevamente cuando está a 68; 3 cm. (a)¿Cuál es la velocidad del sonido? y (b) ¿cuán lejos del extremo abierto debeestar el pistón para que se escuche la próxima resonancia?.


(a) Las distancias dadas son aquellas donde se dan antinodos. Como sabemos queentre nodo y nodo o antinodo y antinodo hay una distancia de �=2 entonces,

�

2= 68; 3 cm� 22; 8 cm) � = 91 cm



de manera que de (4.27),

v = �# = 91:10�12 m:3841

s= 350

m

s

(b) Nuevamente de (4.115) para n = 5 y como la frecuencia se mantiene constante(#1 = #3 = #5),

` =5v

4#5=5:350m

s

4:3841s

= 1; 14 m

Ejemplo 4.56 Un diapasón con una frecuencia de 435 Hz es colocado cerca del ex-tremo abierto del tubo mostrado en la figura 4.43. El nivel del agua es bajadode tal manera que la longitud ` se incrementa lentamente de su valor inicial de20; 0 cm. Determinar los próximos dos valores de ` que corresponden a modosresonantes Tómese 343 m=s como velocidad del sonido.

Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de susextremos. Calculemos primero dónde se produce la primera resonancia. De (4.115)para n = 1,

` =v

4#1=343m

s

4:4351s

= 0; 197 m

Teniendo presente que la frecuencia se mantiene constante (#1 = #3 = #5), los próximosdos valores de ` se dan cuando n = 3 y n = 5 ,

` =3v

4#3=3:343m

s

4:4351s

= 0; 591 m

` =5v

4#5=5:343m

s

4:4351s

= 0; 986 m

Ejemplo 4.57 Un diapasón de 460 Hz causa resonancia en el tubo de la figura 4.43cuando la parte superior del tubo está a 18; 3 y 55; 8 cm sobre la superficie delagua. (a) Determinar la velocidad del sonido en el aire, (b) ¿cuál es la correcciónen el extremo abierto por el hecho de que el antinodo no se origina exactamenteen el extremo del tubo abierto?.


(a) Las distancias dadas son aquellas donde se dan antinodos. Como sabemos queentre nodo y nodo o antinodo y antinodo hay una distancia de �=2 entonces,

�

2= 55; 8 cm� 18; 3 cm) � = 75 cm



de manera que de (4.27),

v = �# = 75:10�12 m:4601

s= 345

m

s

(b) Para la frecuencia fundamental, el nivel del agua está en ` = 18; 3 cm y el primernodo de presión está en

�

4=75 cm

4= 18; 75 cm

entonces la corrección buscada vendrá dada por,

�` =�

4� ` = 18; 75 cm� 18; 3 cm = 0; 45 cm

4.15 Efecto Doppler

El efecto Doppler es la variación aparente de la frecuencia de cualquier ondaemitida cuando existe un movimiento relativo entre la fuente de la onda y el obser-vador.

El principio explica por qué, cuando una fuente de sonido de frecuencia cons-tante avanza hacia el observador, el sonido parece más agudo (de mayor frecuen-cia), mientras que si la fuente se aleja parece más grave. Este cambio en la frecuen-cia puede ser percibido por un observador que escuche el silbato de un tren rápidodesde el andén o desde otro tren. Las líneas del espectro de un cuerpo luminosocomo una estrella también se desplazan hacia el rojo si la estrella se aleja del obser-vador. Midiendo este desplazamiento puede calcularse el movimiento relativo de laTierra y la estrella. En la figura 4.44 se muestra la causa de este efecto. Cuando lafuente emisora está en movimiento, los máximos de la onda emitida llegan con mayorfrecuencia cuendo la fuente va al encuentro del receptor, y con menor frecuenciacuando la fuente se aleja del receptor.

Es importante no confundir la variación de la frecuencia, la cual solamente ocurrecuando hay movimiento relativo entre fuente y observador, con la variación en inten-sidad que únicamente depende de la distancia entre la fuente y el observador.

Con relación a las ondas sonoras (que tomaremos como ejemplo de las ondasmecánicas) el efecto Doppler analiza únicamente la variación en frecuencia (sonidomás agudo o más grave) que se presenta cuando hay movimiento relativo entrefuente y observador.

Evidentemente pueden presentarse tres casos:


4.15. EFECTO DOPPLER

Figura (4.44): Efecto Doppler para una velocidad de movimiento de la fuente emisora menor que lavelocidad de propagación de la onda.

1. La fuente se acerca al observador moviéndose en la misma dirección y sentido.

2. La fuente se acerca al observador moviéndose en la misma dirección y sentidocontrario.

Para nuestros cálculos siempre la velocidad de la fuente o del observador es menorque la velocidad de la onda.

4.15.1 La fuente y el observador se mueven en la misma dirección ysentido

La fuente trata de adelantar al observador

Consideremos la situación que se muestra en la figura 4.45. Una fuente de ondas F(emisor) se mueve hacia la derecha con una velocidad vf mientras que el observadorO (receptor) se mueve también hacia la derecha con una velocidad vo (consider-aremos sólo el móvimiento de la onda hacia la derecha). En el instante inicial t = 0

en el que la fuente emite una onda, la distancia entre el emisor y el receptor es ò,llegando la onda al observador en un tiempo t. Durante ese tiempo el observador harecorrido una distancia vot y la distancia total que la onda ha recorrido en ese tiempot es ò + vot.

Por otro lado, si v la velocidad de propagación de la onda, la anterior distanciatambién viene dada por vt. Por lo tanto,

vt = ò + vot



Figura (4.45): Efecto Doppler para fuente y observador en movimiento en ls misma dirección y sentido.

o,

t =ò

v � vo(4.119)

Transcurrido un tiempo �t la fuente habrá avanzado una distancia vf�t y emiteuna nueva onda que llegará al observador transcurrido un tiempo t0 medido desde elorigen de tiempos común. La distancia recorrida por la onda será ahora (ò � vf�t) +vot0 que, ya que esta segunda onda ha viajado durante un tiempo (t0 ��t) a unavelocidad v resulta,

v (t0 ��t) = ò � vf�t+ vot0

o,

t0 = ò + (v � vf )�tv � vo

(4.120)

por lo que el intervalo en el que llegan al observador las dos ondas emitidas por lafuente con una separación �t es,

�t0 = t0 � t = v � vfv � vo

�t (4.121)

Si la fuente emite ondas con una frecuencia #, en el intervalo de tiempo �t habráemitido #�t ondas. Como esas mismas ondas las recibe el observador en un intervalode tiempo �t0, entonces,

#�t = #0�t0

o,

#0 = #�t�t0 (4.122)

que es el número de ondas que recibe el observador en un intervalo de tiempo �t0.Esta expresión puede ser escrita como,

#0 = v � vov � vf

# (4.123)

y que nos da la relación entre la frecuencia # con que emite la fuente y la frecuencia#0 con que el observador recibe la señal.



El observador trata de adelantar a la fuente

Si es el observador quien trata de adelantar a la fuente, es fácil demostrar que,

#0 = v + vov + vf

# (4.124)

Por lo tanto, en general podemos escribir,

#0 = v � vov � vf

# (4.125)

4.15.2 La fuente y el observador se mueven en la misma dirección ysentidos opuestos

Acercándose

Supongamos que la fuente se mueve hacia la derecha y el observador hacia laizquierda. En este caso sólo tenemos que cambiar vo por �vo en la expresión (4.123),resultando,

#0 = v + vov � vf

# (4.126)

Alejándose

Supongamos ahora que la fuente se mueve hacia la izquierda y el observadorhacia la derecha. En este caso sólo tenemos que cambiar vf por �vf en la expresión(4.123), resultando,

#0 = v � vov + vf

# (4.127)

En general tendremos,

#0 = v � vov � vf

# (4.128)

Ejemplo 4.58 Una sirena de policía en reposo emite un sonido a 1150 Hz. (a) ¿Quéfrecuencia oirías cuando la sirena se aproxima a ti a una velocidad de 80 m=s? y(b) ¿qué frecuencia oirías cuando la sirena se aleja de ti a una velocidad de 80m=s?. Tomar la velocidad del sonido igual a 340 m=s.

Solución: Aquí, en ambos casos, la velocidad del observador es cero.

(a) En este caso usamos (4.128) con los signos superiores, por lo tanto,

#0 = v + vov � vf

# =340m

s

340ms� 80m

s

1150Hz = 1504 Hz



(b) En este caso usamos (4.128) con los signos inferiores, por lo tanto,

#0 = v � vov + vf

# =340m

s

340ms+ 80m

s

1150Hz = 931 Hz

Ejemplo 4.59 La sirena de un auto de la policía emite un tono puro a una frecuenciade 1400 Hz. Halle la frecuencia que usted percibiría en su automóvil bajo lassiguientes circunstancias: (a) su auto está en reposo, el de la policía se muevehacia usted a 60 m=s; (b) el auto de la policía está en reposo, su auto se muevehacia él a 60 m=s; (c) su auto y el de la policía se mueven uno hacia el otro a 40m=s; (d) su auto se mueve a 30 m=s, y el de la policía le sigue a usted a 40 m=s.Usar 343 m=s como velocidad del sonido.

Solución:

(a) En este caso la velocidad del observador es cero. Al usar (4.128) con los signossuperiores,

#0 = v + vov � vf

# =343m

s

343ms� 60m

s

1400Hz = 1697 Hz

(b) En este caso la velocidad de la fuente es cero. Al usar (4.128) con los signos supe-riores,

#0 = v + vov � vf

# =343m

s+ 60m

s

343ms

1400Hz = 1645 Hz

(c) Al usar (4.128) con los signos superiores,

#0 = v + vov � vf

# =343m

s+ 40m

s

343ms� 40m

s

1400Hz = 1770 Hz

(d) En este caso usamos (4.123),

#0 = v � vov � vf

# =343m

s� 30m

s

343ms� 40m

s

1400Hz = 1446 Hz

Ejemplo 4.60 ¿A qué frecuencia se oye el chillido de 23; 3 KHz de las turbinas de losmotores de un aeroplano que vuela a una velocidad de 210 m=s por el piloto deun segundo aeroplano que trata de adelantar al primero con una velocidad de275 m=s?. Usar 343 m=s como velocidad del sonido.

Solución: En este caso usamos (4.125) con los signos superiores,

#0 = v + vov + vf

# =343m

s+ 275m

s

343ms+ 210m

s

23; 3KHz = 26; 0 KHz



Ejemplo 4.61 Un silbato de 437 Hz de frecuencia se mueve en un círculo de 60; 0 cm deradio con una velocidad angular de 12; 0 rad=s. ¿Cuáles son (a) la frecuencia másbaja, y (b) la frecuencia más alta captada por un oyente que está gran distancia(respecto al radio de la circunferencia descrita por el silbato) en reposo respectoal centro del círculo?. Usar 343 m=s como velocidad del sonido.

Solución: La figura 4.46 muestra la situación descrita en el enunciado del ejemplo.

Figura (4.46): Ejemplo 4.61: Fuente sonora que se mueve en una trayectoria circular con rapidez cons-tante.

Lo primero que tenemos que hacer el calcular la rapidez con que se mueve lafuente. Como ta fuente realiza un movimiento circular uniforme, entonces,

v = !R = 12; 01

s:60; 0cm = 720

cm

s= 7; 20

m

s

Como d es una distancia grande respecto al radio de la circunferencia descrita por elsilbato, entonces todos los movimientos pueden ser considerados como si fuesen a lolargo del eje x.

(a) La frecuencia más baja se da cuando la fuente está en la posición A. En estemomento la fuente se aleja del observador en reposo con velocidad v, por lotanto al usar (4.125) con los signos inferiores,

#0 = v � vov + vf

# =343m

s

343ms+ 7; 20m

s

437Hz = 428 Hz

(b) La frecuencia más alta se da cuando la fuente está en la posición B. En estemomento la fuente se acerca al observador en reposo con velocidad v, por lotanto al usar (4.125) con los signos superiores,

#0 = v + vov � vf

#343m

s

343ms� 7; 20m

s

437Hz = 446 Hz



Ejemplo 4.62 La frecuencia de la corneta de un carro es 333 Hz. Determinar (a) lafrecuencia observada, y (b) la longitud de onda del sonido si el carro se muevecon una velocidad de 20 m=s hacia un observador en reposo. Tómese comovelocidad del sonido 340 m=s. (c) Encuentre la frecuencia observada si el carroestá en reposo y el receptor se mueve con una velocidad de 20 m=s hacia elcarro.

Solución:

(a) Al usar (4.125) con los signos superiores,

#0 = v + vov � vf

#340m

s

340ms� 20m

s

333Hz = 353; 8 Hz

(b) Al igualar (4.16) y (4.25) por medio del número de onda k,

!

v=2�

�

y puesto que ! = 2�#, entonces,� =

v

#

o también,

�0 = v

#0 =340m

s

353; 8 1=s= 0; 961 m

(c) Si el carro (fuente) está en reposo y el receptor (observador) se mueve hacia elcarro. entoces usamos (4.128) con los signos superiores, por lo tanto,

#0 = v + vov � vf

# =340m

s+ 20m

s

340ms

333Hz = 352; 6 Hz

4.16 Ondas de choque

Un caso especial se tiene cuando la velocidad relativa entre el observador y lafuente es mayor que la velocidad de propagación v de la onda.

En este caso, la fuente avanza con más rapidez que el frente de onda. La superficietangente a todas las ondas sucesivas es un cono cuyo eje es la línea recta descrita porla fuente en su movimiento y cuyo ángulo de apertura viene dado por,

Sen� =v

vf(4.129)


4.16. ONDAS DE CHOQUE

Figura (4.47): Ondas de choque.

En este caso el movimiento ondulatorio es una onda cónica (ver figura 4.47) quese propaga en las direcciones perpendiculares a la envolvente, a la que se denominaonda de Mach u onda de choque. Esta onda es el sonido brusco que se escuchacuando un avión que viaja a una velocidad superior a la del sonido pasa cerca denosotros, aunque también se observa en otras circunstancias, como cuando un barcode mueve sobre el agua a una velocidad mayor que la velocidad de las ondas super-ficiales en el agua. La figura 4.48 muestra ondas de choque formadas en una cubetade ondas.

La razón entre la velocidad de la fuente vf y la velocidad de la onda v es denomi-nada número de Mach:

Número de Mach =vfv

(4.130)

Ejemplo 4.63 La velocidad de la luz en el agua es de 2; 25:108 m=s (alrededor de Instres cuartas partes de la velocidad en el vacío). Un haz de electrones a altavelocidad que parte de un betatrón emite radiación Cherenkov4 en el agua,

4 Fenómeno descubierto en 1934 por el físico ruso Pável Alexéievich Cherenkov y que consiste en laemisión de una radiación luminosa azulada o violeta cuando los electrones u otras partículas atómicascon carga atraviesan un medio transparente no conductor con una velocidad mayor que la de la luzen ese mismo medio (la velocidad de la luz en cualquier medio transparente es menor que la velocidad



Figura (4.48): Onda de choque en una cubeta de ondas.

formando el frente de onda un cono de un ángulo de 58; 0�. Halle la velocidadde los electrones en el agua.

Solución: Al usar (4.129) podemos escribir,

vf =v

Sen�=2; 25:108m

s

Sen 58; 0�= 2; 65:108

m

s

Ejemplo 4.64 Un avión supersónico se encuentra sobre un punto A volando hacia elEste a una altura de 21 Km (ver figura 4.49). El estampido sónico se oye en elpunto A cuando el avión está a 27; 5 Km al Este de dicho punto. ¿Cuál es lavelocidad del avión supersónico?. Usar 340 m=s como velocidad del sonido.

Solución: De la figura, a partir del 4ABC, es fácil ver que (teorema de Pitágoras),

AC =

qAB

2+BC

2=

q(21 Km)2 + (27; 5 Km)2 = 34; 60 Km

entonces,

Sen � =AB

AC=

21 Km

34; 60 Km= 0; 6069

Por último. de (4.129),

vf =v

Sen �=340m

s

0; 6069= 560

m

s

Ejemplo 4.65 Un aeroplano vuela a 396 m=s a una altitud constante. El choque sónicollega a un observador en tierra 12; 0 s después de que el aeroplano ha pasadosobre su cabeza. Halle la altitud del aeroplano. Suponga que la velocidad delsonido es de 330 m=s. Resp.: 7; 16 Km.

de la luz en el vacío). Esta radiación luminosa se propaga en capas cónicas que envuelven la direcciónseguida por la partícula. Es una onda tipo estela análoga a las que se observan en la superficie del aguaal paso de un cuerpo en movimiento. El efecto Cherenkov se utiliza en los detectores y contadores departículas.


4.16. ONDAS DE CHOQUE

Figura (4.49): Ejemplo 4.64: Estampido sónico originado por un avión supersónico.

Solución: La situación descrita en el enunciado del ejemplo es ilustrada en la figura(4.50).

Figura (4.50): Ejemplo 4.65: Estampido sónico originado por un avión supersónico.

Supongamos que el observador está en el punto A. De la figura podemos escribir(teorema de Pitágoras),

AC =

qAB

2+BC

2(1)

y además,

Sen � =AB

AC(2)



entonces,

Sen � =ABq

AB2+BC

2(3)

pero,

BC = vf t (4)

por lo tanto,

Sen � =ABq

AB2+ (vf t)

2(5)

Por otro lado, de (4.129) podemos escribir,

Sen � =v

vf(6)

entonces, al igualar (5) y (6) resulta,

ABqAB

2+ (vf t)

2=v

vf

o,

AB =vtr

1��vvf

�2 = 330ms:12; 0sr

1��330m

s

396ms

�2 = 7; 16 Km

4.17 El sonido

4.17.1 La naturaleza del sonido

Las ondas sonoras constituyen un tipo de ondas mecánicas que tienen la virtudde estimular el oído humano y generar la sensación sonora. En el estudio del sonidose deben distinguir los aspectos físicos de los aspectos fisiológicos relacionados conla audición. Desde un punto de vista físico el sonido comparte todas las propieda-des características del comportamiento ondulatorio, por lo que puede ser descritoutilizando los conceptos sobre ondas. A su vez el estudio del sonido sirve para mejorarla comprensión de algunos fenómenos típicos de las ondas. Desde un punto de vistafisiológico sólo existe sonido cuando un oído es capaz de percibirlo.


4.17. EL SONIDO

4.17.2 El sonido y su propagación

Las ondas que se propagan a lo largo de un muelle como consecuencia de unacompresión longitudinal del mismo constituyen un modelo de ondas mecánicas quese asemeja bastante a la forma en la que el sonido se genera y se propaga. Las ondassonoras se producen también como consecuencia de una compresión del medio a lolargo de la dirección de propagación. Son, por tanto, ondas longitudinales.

Si un globo se conecta a un pistón capaz de realizar un movimiento alternativomediante el cual inyecta aire al globo y lo toma de nuevo, aquél sufrirá una secuen-cia de operaciones de inflado y desinflado, con lo cual la presión del aire contenidodentro del globo aumentará y disminuirá sucesivamente. Esta serie de compresiones yencarecimientos alternativos llevan consigo una aportación de energía, a intervalos,del foco al medio y generan ondas sonoras. La campana de un timbre vibra al sergolpeada por su correspondiente martillo, lo que da lugar a compresiones sucesivasdel medio que la rodea, las cuales se propagan en forma de ondas . Un diapasón,la cuerda de una guitarra o la de un violín producen sonido según un mecanismoanálogo.

En todo tipo de ondas mecánicas el medio juega un papel esencial en la propa-gación de la perturbación, hasta el punto de que en ausencia de medio material, lavibración, al no tener por donde propasarse, no da lugar a la formación de la ondacorrespondiente. La velocidad de propagación del sonido depende de las caracterís-ticas del medio. En el caso de medios gaseosos, como el aire, las vibraciones son trans-mitidas de un punto a otro a través de choques entre las partículas que constituyen elgas, de ahí que cuanto mayor sea la densidad de éste, mayor será la velocidad dela onda sonota correspondiente. En los medios sólidos son las fuerzas que unen entresí las partículas constitutivas del cuerpo las que se encargan de propagar la pertur-bación de un punto a otro. Este procedimiento más directo explica que la velocidaddel sonido sea mayor en los sólidos que en los gases.

4.17.3 Sonido físico y sensación sonora

No todas las ondas sonoras pueden ser percibidas por el oído humano, el cual essensible únicamente a aquellas cuya frecuencia está comprendida entre los 20 y los20000 Hz. En el aire dichos valores extremos corresponden a longitudes de onda quevan desde 16 metros hasta 1; 6 centímetros respectivamente. En general se trata deondas de pequeña amplitud.



Cuando una onda sonora de tales características alcanza la membrana sensibledel tímpano, produce en él vibraciones que son transmitidas por la cadena de huese-cillos hasta la base de otra membrana situada en la llamada ventana oval, ventanalocalizada en la cóclea o caracol. El hecho de que la ventana oval sea de 20 a 30 ve-ces más pequeña que el tímpano da lugar a una amplificación que llega a aumentarentre 40 y 90 veces la presión de la onda que alcanza al tímpano. Esta onda de pre-sión se propaga dentro del caracol a través de un líquido viscoso hasta alcanzar otramembrana conectada a un sistema de fibras fijas por sus extremos a modo de cuer-das de arpa, cuyas deformaciones elásticas estimulan las terminaciones de los nerviosauditivos. Las señales de naturaleza eléctrica generadas de este modo son enviadasal cerebro y se convierten en sensación sonora. Mediante este proceso el sonido físicoes convertido en sonido fisiológico.

4.17.4 Cualidades del sonido

El oído es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferen-cias que puedan existir entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidadesque caracterizan todo sonido y que son la intensidad, el tono y el timbre. Aun cuandotodas ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadas con diferentes propie-dades de las ondas sonoras.

Intensidad

La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se captecomo fuerte o como débil, está relacionada con la intensidad de la onda sonoracorrespondiente, también llamada intensidad acústica. La intensidad acústica esuna magnitud que da idea de la cantidad de energía que está fluyendo por el mediocomo consecuencia de la propagación de la onda.

La magnitud de la sensación sonora depende de la intensidad acústica, pero tam-bién depende de la sensibilidad del oído. El oido humano puede detectar sonidos conuna intensidad de al menos 10�12 W=m2 y cuando mucho de 1 W=m2 (e incluso may-ores, aunque por arriba de este límite es doloroso). Este es un intervalo increiblementeamplio de intensidad, mediando un factor de 1012 entre el más tenue y el más fuerte.Presumiblemente debido a este amplio intervalo, lo que percibimos como volumenno es directamente proporcional a la intensidad. En realidad, mientras mayor sea laintensidad, más fuerte es el sonido.Pero para producir un sonido que suene el doblede fuerte se requiere una onda sonora que tenga diez veces la intensidad anterior.


4.17. EL SONIDO

Esto se cumple a primera aproximación para cualquier nivel de sonido. Por ejemplo,una onda sonora de intensidad 10�9 W=m2 cualquier persona la percibe como si fuerael doble de fuerte que una cuya intensidad fuera 10�10 W=m2; una intensidad de 10�2

W=m2 suena como el doble de fuerte que una de 10�3 W=m2 y cuatro veces más fuerteque una de 10�4 W=m2.

Debido a esta relación entre la sensación subjetiva de volumen y la cantidad físi-camente medible como intensidad, es común especificar los niveles de la intensidaddel sonido usando una escala logarítmica.

El nivel de intensidad, �, de cualquier sonido se define en términos de suintensidad, I, como,

� (en dB) = 10 logI

Io(4.131)

La unidad de esta escala logarítmica es el Bel, o en forma más general, el decibel(dB) que es 1

10Bel (1dB = 0; 1Bel). La cantidad Io es la intensidad de algún nivel de

referencia, el cual se toma usualmente como la mínima intensidad audible para unapersona promedio, “el umbral de audibilidad”, que es Io = 1; 0:10�12 W=m2.

Otro de los factores de los que depende la intensidad del sonido percibido es la fre-cuencia. Ello significa que para una frecuencia dada un aumento de intensidad acús-tica da lugar a un aumento del nivel de sensación sonora, pero intensidades acústicasiguales a diferentes frecuencias pueden dar lugar a sensaciones distintas.

Ejemplo 4.66 Calcular el nivel de intensidad de una onda sonora que tiene una inten-sidad de 7; 90 �W=m2.


� = 10 logI

Io= 10 log

7; 90:10�6 Wm2

1; 0:10�12 Wm2

= 69; 0 dB

Ejemplo 4.67 Dos máquinas idénticas están posicionadas a la misma distancia de untrabajador. La intensidad del sonido enviado por cada máquina en la local-ización del trabajador es de 5; 0:10�7 W=m2. Determinal el nivel del sonido es-cuchado por el trabajador (a) cuando está funcionando solamente una máquinay (b) cuando ambas máquinas están funcionando.

Solución:



(a) Al usar (4.131),

� = 10 logI

Io= 10 log

5; 0:10�7 Wm2

1; 0:10�12 Wm2

= 57 dB

(b) Cuando ambas máquinas están funcionando la intensidad se duplica, por lo tanto,al usar nuevamente (4.131),

� = 10 logI

Io= 10 log

10; 0:10�7 Wm2

1; 0:10�12 Wm2

= 60 dB

observándose que si duplicamos la intensidad, el nivel del sonido sólo aumentaen 3 dB.

Ejemplo 4.68 Un anuncio en un altoparlante de alta calidad dice que éste reproduce,a todo volumen, frecuencias de 30 Hz a 18000 Hz con una intensidad uniformede �3 dB. Es decir, sobre este intervalo de frecuencias, el nivel de intensidad novaría en más de 3 dB del promedio. ¿En qué factor cambia la intensidad para elcambio de nivel de intensidad máximo de 3 dB?

Solución: Si , I es la intensidad promedio y � es el nivel promedio, entonces laintensidad máxima Imáx, corresponde a un nivel �máx = � + 3dB. Ahora, al usar (4.131),

�máx � � = 10 logImáx

Io� 10 log I

Io

0; 30 = logImáx

IImáx

I= 2; 0

Ejemplo 4.69 Un limpiador de vacío tiene un nivel de intensidad de 30; 0 dB. ¿Cuál esla intensidad de este sonido en W=m2?.


� = 10 logI

Io) I = Io10

�10

por lo tanto,

I = 1; 0:10�12W

m2:10

30;010 = 1; 0:10�9

W

m2

Ejemplo 4.70 Una fuente sonora tiene una potencia de 50 W de potencia. (a) Si estapotencia se distribuye uniformemente en todas direcciones, ¿cuál es el nivel deintensidad sonora a una distancia de 30 m?, (b) ¿cuál sería el nivel de intensidadde dos fuentes emitiendo al mismo tiempo si cada una de ellas desarrolla unapotencia de 50W?.


4.17. EL SONIDO

Solución:

(a) Primero calculamos la intensidad a la distancia de 5 m. De (4.67),

I =P4�r2

donde se ha tenido presente que S = 4�r2. Entonces,

I =50W

4� (30m)2= 4; 42:10�3

W

m2

Ahora, en virtud de (4.131), el nivel de intensidad a esta distancia será,

� = 10 logI

Io= 10 log

4; 42:10�3 Wm2

1; 0:10�12 Wm2

= 96; 5 dB

(b) Para este caso, a partir de (4.131),

� = 10 log2I

Io= 10 log

2:4; 42:10�3 Wm2

1; 0:10�12 Wm2

= 99; 5 dB

Ejemplo 4.71 ¿Cuál es el nivel de intensidad de un sonido cuya intensidad es 9; 8:10�7

W=m2?, (b) ¿cuál es la intensidad de un sonido cuyo nivel de intensidad es 70 dB?.

Solución:

(a) Al usar (4.131),

� = 10 logI

Io= 10 log

9; 8:10�7 Wm2

1; 0:10�12 Wm2

= 60 dB

(b) Al usar (4.131),

� = 10 logI

Io) I = Io10

�10

por lo tanto,

I = 1; 0:10�12W

m2:10

7010 = 1; 0:10�5

W

m2

Ejemplo 4.72 ¿Cuál debería ser el nivel de intensidad de una onda sonora en el aireque correspondiera a una amplitud de esplazamiento de moléculas de aire envibración de 3; 0 mm a 100 Hz?. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s ydensidad del aire 1; 29 Kg=m3.



Solución: La intensidad es, en virtud de (4.67),

I =PS

(1)

pero por (4.69),

P = 1

2�oSv!

2s2o (2)

donde hemos tenido presente que para este caso A = so entonces al sustituir (2) en(1),

I = 2�2�ov#2s2o (3)

ya que ! = 2�#. Entonces,

I = 2�2:1; 29Kg

m3:343

m

s:

�100

1

s

�2:�3; 0:10�3m

�2= 786

W

m2


� = 10 logI

Io= 10 log

786 Wm2

1; 0:10�12 Wm2

= 149 dB

Tono

El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oído le asigna un lugar enla escala musical, permitiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. Lamagnitud física que está asociada al tono es la frecuencia.

Los sonidos percibidos como graves corresponden a frecuencias bajas, mientrasque los agudos son debidos a frecuencias altas. Así el sonido más grave de una gui-tarra corresponde a una frecuencia de 82; 4 Hz y el más agudo a 698; 5 Hz.

Junto con la frecuencia, en la percepción sonora del tono intervienen otros factoresde carácter psicológico. Así sucede por lo general que al elevar la intensidad se elevael tono percibido para frecuencias altas y se baja para las frecuencias bajas. Entrefrecuencias comprendidas entre 1000 y 3000Hz el tono es relativamente independientede la intensidad.

Timbre

El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentesde diferentes instrumentos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido aesta misma cualidad es posible reconocer a una persona por su voz, que resultacaracterística de cada individuo.


4.18. PROBLEMAS

El timbre está relacionado con la complejidad de las ondas sonoras que llegan aloído. Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros, sólo los diapasonesgeneran este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representadospor una onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar aun sonido más rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibración complejapuede considerarse compuesta por una serie de vibraciones armónico simples de unafrecuencia y de una amplitud determinadas, cada una de las cuales, si se consider-ara separadamente, daría lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales escaracterística de cada instrumento y define su timbre. Debido a la analogía existenteentre el mundo de la luz y el del sonido, al timbre se le denomina también color deltono.

4.18 Problemas

1. Sabiendo que la ecuación que describe cierto movimiento ondulatorio es de laforma

= 0; 32 Sen(1; 8x� 12; 6t)

donde todas las magnitudes vienen expresadas en el Sistema Internacional, cal-cúlese: (a) el período, la frecuencia, la longitud de onda y la amplitud de dichomovimiento; (b) su velocidad de propagación; (c) la energía cinética máxima deuna partícula de 1; 6g que se ve sometida a dicho movimiento. Resp.: (a) � = 0; 5s ;# = 2Hz; � = 3; 5m ; A = 0; 32m; (b) 7m=s; (c) 0; 013J .

2. La ecuación de una onda transversal que viaja a lo largo de una cuerda está dadapor,

= 2; 30:10�3 Sen (18; 2x� 588t)

donde x y están en metros y t está en segundos. Halle (a) la amplitud, (b) lafrecuencia, (c) la velocidad, (d) la longitud de onda y (e) la velocidad transversalmáxima de una partícula de la cuerda. Resp.: (a) 2; 30:10�3m; (b) 93; 6Hz; (c) 32; 3m

s;

(d) 0; 35m; (e) 1; 35ms

.

3. La ecuacion de una onda transversal que viaja a lo largo deuna cuerda muy largaestá dada por,

= 6; 0 Sen(0; 020�x+ 4; 0�t)

donde x y están expresadas en centímetros y t en segundos. Calcule (a) la ampli-tud, (b) la longitud de onda, (c) la frecuencia, (d) la velocidad, (e) la dirección depropagación de la onda, y (f) la velocidad transversal máxima de una partícula de



la cuerda. Resp.: (a) 6; 0cm; (b) 100cm; (c) 2Hz; (d) 200 cms

; (e) hacia el eje x negativo;(f) 24� cm

s.

4. Calcule la velocidad de una onda transversal en una cuerda de 2; 15 m de longitudy 62; 5 g de masa bajo una tensión de 487 N . Resp.: 129; 6m

s.

5. La velocidad de una onda en una cuerda es de 72 m=s cuando la tensión es de123 N , ¿en qué valor debería ser aumentada la tensión con objeto de elevar lavelocidad de la onda a 180 m=s?. Resp.: 646N .

6. El sonido de un tren en marcha llega a cierto punto 7; 52 s antes por la vía (recta)que por el aire. ¿A qué distancia está el tren de dicho punto?. Datos del acero:Y = 21300 Kp=mm2; � = 7; 8 g=cm3. Velocidad del sonido en el aire: 340 m=s. Resp.:2736 m.

7. La ecuación de una onda transversal de una cuerda es

= 1; 8 Sen(23; 8x+ 317t)

donde x está en metros, está en milímetros, y t en segundos. La cuerda estasometida a una tensión de 16; 3 N . Halle la densidad de masa lineal de la cuerda.Resp.: 91; 9 g

m.

8. Un alambre de 10; 3 m de longitud y una masa de 97; 8 g se estira bajo una tensiónde 248 N . Si se generan dos pulsaciones,separadas en tiempo por 29; 6 ms, una encada extremo del alambre, ¿dónde se encuentran las pulsaciones?. Resp.: 7; 54m.

9. Calcular la velocidad del sonido en el aire (a) a 0�C y (b) a 20�C. Resp.: (a) 331ms

;(b) 343m

s.

10. Calcular la velocidad de las ondas sonoras en el hidógeno a 300 K. Tomar M =

2g=mol y = 1; 4. Resp.: 1321; 3ms

.

11. Un hilo de acero de 7m de largo tiene una masa de 100g. Si está sometido a unatensión de 900 N , ¿cuál es la velocidad de un pulso de onda transversal en estehilo?.

12. Sobre un alambre de 80 cm de longitud que está bajo una tensión de 550 N viajanondas transversales a 150 m=s. ¿Cuál es la masa del alambre?.

13. Una cuerda de piano de acero tiene 0; 7m de longitud y una masa de 5 g. Se tensamediante una fuerza de 500 N . (a)¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales


4.18. PROBLEMAS

en la cuerda?, (b) para reducir la velocidad de la onda en un factor de 2 sin modi-ficar la tensión, ¿qué masa de alambre de cobre habrá que enrrollar alrededor delhilo de acero?.

14. Demostrar explícitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuación deonda: (a) (x; t) = (x+ vt)3; (b) (x; t) = Aeik(x�vt), donde A y k son constantes ei =

p�1; (c) (x; t) = ln [k (x+ vt)].

15. Demostrar que la función(x; t) = A Sen (kx) Cos (!t) satisface la ecuación de onda.

16. La función de onda para una onda armónica en una cuerda es,

(x; t) = 0; 001m Sen (62; 8x+ 314t)

donde x está en metros y t en segundos. (a) ¿En qué sentido se desplaza estaonda y cuál es su velocidad?, (b) hallar la longitud de onda, la frecuencia y elperíodo de la misma y (c) ¿cuál es la velocidad máxima de un segmento (o unpunto) cualquiera de la cuerda?.

17. La función de onda de una onda armónica que se mueve en una cuerda es,

(x; t) = 0; 10m Sen (1; 7x� 4; 8t)

donde x está en metros y t en segundos. (a) ¿En qué sentido se propaga estaonda y cuál es su velocidad?, (b) determinar la longitud de onda, la frecuencia yel período, (c) ¿cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de lacuerda? y (d) ¿cuàl es la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda?.

18. Una sirena de policía en reposo emite un sonido a 1200 Hz. (a) ¿Qué frecuenciaoirías cuando la sirena se aproxima a ti a una velocidad de 30 m=s? y (b) ¿quéfrecuencia oirías cuando la sirena se aleja de ti a una velocidad de 30 m=s?. Tomarla velocidad del sonido igual a 340 m=s. Resp.: (a) 1316 Hz; (b) 1103 Hz.

19. La sirena de un auto de la policía emite un tono puro a una frecuencia de 1125

Hz. Halle la frecuencia que usted percibiría en su automóvil bajo las siguientescircunstancias: (a) su auto está en reposo, el de la policía se mueve hacia usted a29 m=s; (b) el auto de la policía está en reposo, su auto se mueve hacia él a 29 m=s;(c) su auto y el de la policía se mueven uno hacia el otro a 14; 5 m=s; (d) su autose mueve a 9 m=s, y el de la policía le sigue a usted a 38 m=s. Usar 343 m=s comovelocidad del sonido. Resp.: (a) 1229 Hz; (b) 1220 Hz; (c) 1224 Hz; (d) 1232 Hz.



20. ¿A qué frecuencia se oye el chillido de 15; 8 KHz de las turbinas de los motores deun aeroplano que vuela a una velocidad de 193 m=s por el piloto de un segundoaeroplano que trata de adelantar al primero con una velocidad de 246 m=s?. Usar343 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 17; 4 KHz.

21. Un silbato de 538 Hz de frecuencia se mueve en un círculo de 71; 2 cm de radio conuna velocidad angular de 14; 7 rad=s. ¿Cuáles son (a) la frecuencia más baja, y (b)la frecuencia más alta captada por un oyente que está gran distancia (respecto alradio de la circunferencia descrita por el silbato) en reposo respecto al centro delcírculo?. Usar 343 m=s como velocidad del sonido. Resp.: (a) 522 Hz; (b) 555 Hz.

22. La frecuencia de la corneta de un carro es 400 Hz. Determinar (a) la frecuenciaobservada, y (b) la longitud de onda del sonido si el carro se mueve con una ve-locidad de 34 m=s hacia un observador en reposo. Tómese como velocidad delsonido 340 m=s. (c) Encuentre la frecuencia observada si el carro está en reposo yel receptor se mueve con una velocidad de 34 m=s hacia el carro. Resp.: (a) 0; 765m; (b) 444 Hz; (c) 440 Hz.

23. Un avión supersónico se encuentra sobre un punto A volando hacia el Este a unaaltura de 15 Km (ver figura 4.51). El estampido sónico se oye en el punto A cuandoel avión está a 22 Km al Este de dicho punto. ¿Cuál es la velocidad del aviónsupersónico?. Usar 340 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 605 m=s.

Figura (4.51): Problema 23: Onda de choque de un avión supersónico.

24. Un reactor se mueve a un Mach de 2; 5 a una altitud de 5000 m. (a) ¿Cuál esel ángulo que la onda de choque forma con la trayectoria del reactor?(suponerque la velocidad del sonido a esta altura sigue siendo 340 m=s) y (b) ¿dónde seencontrará el reactor cuando una persona en el suelo oiga la onda de choque?.


4.18. PROBLEMAS

25. Calcular la velocidad del sonido en el gas neón a 27�C. El neón es un gas monoa-tómico con M = 20; 18 Kg=Kmol y = 1; 67. Resp.: 454 m=s.

26. Encuentre la velocidad del sonido en un gas diatómico ( = 1; 40) cuya densidades 3; 50 Kg=m3 y que está a una presión de 215 KPa. Suponga que el gas es ideal ypor lo tanto se cumple que PV = (m=M)RT , donde P es la presión, V es el volumen,m es la masa y T es la temperatura en Kelvin. Resp.: 293 m=s.

27. Una vara de metal de 60 cm de longitud está sujeta en su centro y vibra a 3; 00

KHz. ¿Cuál es el módulo de Young para el material con que está hecha la vara?.La densidad del metal es 8700 Kg=m3. Resp.: 1; 1:1011 N=m2.

28. Un carro que se mueve a 20 m=s con su corneta sonando con una frecuencia de1200 Hz está persiguiendo a otro carro que va a 15 m=s. ¿Cuál es la frecuenciaaparente de la corneta que escucha el conductor que está siendo perseguido?.Usar 340 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 1; 22 KHz.

29. Determine la velocidad del sonido en el dióxido de carbono (M = 44 Kg=Kmol y = 1; 30) a una presión de 0; 50 atm y a una temperatura de 400�C. Suponga que elgas es ideal y por lo tanto se cumple que PV = (m=M)RT , donde P es la presión, Ves el volumen, m es la masa y T es la temperatura en Kelvin. Resp.: 0; 41 Km=s.

30. Encuentre la masa molecular M de un gas para el cual = 1; 40 y en el cual lavelocidad del sonido es 1260 m=s a 0�C. Resp.: 2; 00 Kg=Kmol (hidrógeno).

31. Encuentre la velocidad de las ondas de compresión en una vara de metal cuyomaterial tiene un módulo de Young de 1; 20:1010 N=m2 y una densidad de 8920Kg=m3.Resp.: 1; 16 Km=s.

32. Un carro de carreras se acerca con su motor girando a 5100 r:p:m. Después depasar se observa una disminución aparente de 25 Hz en la frecuencia del sonidoemitido por el motor. ¿Cuál es la velocidad del carro?. Velocidad del sonido en elaire: 340 m=s. Resp.: 48; 96 m=s.

33. Dos trenes se mueven acercándose a la misma velocidad, un décimo de la delsonido en el aire. Uno de ellos hace sonar un silbato cuya frecuencia es de 500 Hz.Determínese la frecuencia del sonido que escuchan: (a) un pasajero de ese tren;(b) un observador inmóvil situado entre ambos trenes junto a la vía; (c) un pasajerodel otro tren. Resp.: (a) 500 Hz; (b) 555; 6 Hz; (c) 611; 1 Hz.

34. La función de onda correspondiente a una onda armónica en una cuerda es

(x; t) = 0; 001 Sen(62; 8x+ 314t)



estando y x en metros y t en segundos. (a) ¿En qué dirección se mueve esta onday cuál es su velocidad?, (b) hallar la longitud de onda, la frecuencia y el períodode esta onda y (c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de un segmento cualquierade la cuerda?. Resp.: (a) izquierda, 5 m=s; (b) 10 cm; 50 Hz; 0; 02 s; (c) 1 mm.

35. Una cuerda de piano de acero tiene 0; 70 m de longitud y una masa de 5; 0 g.Se tensa mediante una fuerza de 500 N . (a) ¿Cuál es la velocidad de las ondastransversales en el hilo? y (b) ¿para reducir la velocidad de la onda en un factor 2 sinmodificar la tensión, ¿qué masa de alambre de cobre habrá que enrollar alrededordel hilo de acero?. Resp.: (a) 265 m=s; (b) 15 g.

36. Una cuerda de 20 m tiene una masa de 60 g y está sometida a una tensión de50 N . Se mueven a lo largo de la cuerda de izquierda a derecha unas ondas defrecuencia 200 Hz y amplitud 10mm. (a) ¿Cuál es la energía total de las ondas en lacuerda? y (b) ¿cuál es la potencia transmitida que pasa por un punto determinadode la cuerda?. Resp.: (a) 4; 7 J ; (b) 31W .

37. Una cuerda tensa para la cual � = 5; 00:10�2Kg=m está bajo una tensión de 80; 0 N .¿Cuánta potencia debe ser suministrada a la cuerda para generar ondas senoidalesa una frecuencia de 60; 0 Hz y una amplitud de 6; 00 cm?. Resp.: 512W .

38. Si en el ejemplo anterior la cuerda debe transferir energía a una razón de 1000W ,¿cuál debe ser la amplitud requerida si todos los otros parámetros permanecenconstantes?. Resp.: 8; 39 cm.

39. Una cuerda tensa tiene una masa de 0; 180 Kg y una longitud de 3; 60 m. ¿Cuál esla potencia que debe ser suministrada a la cuerda para generar ondas senoidalesque tengan una amplitud de 0; 100 m y una longitud de onda de 0; 500 m que viajecon una velocidad de 30; 0 m=s?. Resp.: 1066W .

40. Ondas senoidales de 5; 00 cm de amplitud están siendo transmitidas a lo largo deuna cuerda de densidad lineal de masa 4; 00:10�2 Kg=m. Si la fuente puede entregaruna potencia de 300 W y la cuerda está bajo una tensión de 100 N , ¿cuál es lafrecuencia más alta a la cual la fuente puede operar?. Resp.: 55; 1 Hz.

41. Una onda senoidal sobre una cuerda es descrita mediante,

(x; y) = 0; 15m Sen (0; 80x� 50t)

donde x y están en metros y t en segundos. Si la masa por unidad de longitud deesta cuerda es 12; 0 g=m; determinar (a) la velocidad de la onda, (b) la longitud de


4.18. PROBLEMAS

onda, (c) la frecuencia, y (d) la potencia transmitida a la onda. Resp.: (a) 62; 5ms

;(b) 7; 85 m; (c) 7; 96 Hz; (d) 21; 1W .

42. La función de onda para una onda sobre una cuerda tensa es,

(x; y) = 0; 350m Sen�3�x� 10�t� �

4

�donde x y están en metros y t en segundos. (a) ¿Cuál es la rata promedio a lacual la energía es transmitida a lo largo de la cuerda si la densidad lineal de masaes 75; 0 g=m? y (b) ¿Cuál es la energía contenida en cada ciclo de la onda?. Resp.:(a) 15; 1W ; (b) 3; 02 J .

43. Compare las amplitudes (a) las intensidades y (b) las amplitudes de una ondasísmica cuando pasa por dos puntos a 10 Km y a 20 Km de la fuente. Resp.: (a) 1=4;(b) 1=2.

44. La intensidad de una onda sísmica particular es 1; 4:106W=m2 a una distancia de 100Km de la fuente. (a) ¿Cuál era la intensidad cuando pasó un punto a sólo 2; 0 Kmde distancia de la fuente? y (b) ¿cuál era la potencia total que pasaba a travésde una superficie de 5; 0 m2 a una distancia de 2; 0 Km?. Resp.: (a) 3; 5:109 W

m2 ; (b)1; 7:1010W .

45. Si la intensidad de una onda sísmica es de 1; 0:106W=m2 a 100 Km de la fuente,¿cuál era a 400 m?. Resp.: 6; 3:1010W=m2.

46. Un alto parlante emite una onda esférica en el espacio homogéneo y transpar-ente (libre de amortiguamiento). La potencia de la fuente es de 10 W . Calcularla intensidad de la onda acústica a una distancia de 3 m y de 6 m. Resp.: (a)8; 84:10�2W=m2; (b) 2; 21:10�2W=m2.

47. (a) ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonorade frecuencia 100 Hz y amplitud de presión 10�4 atm?, (b) la amplitud del desplaza-miento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 300 Hz es 10�7 m, ¿cuáles la amplitud de presión de esta onda?. Tomar como velocidad del sonido 340m=sy densidad del aire 1; 29 Kg=m3 y tener presente que 1atm = 101:3KPa. Resp.: (a)3; 67:10�5 m; (b) 8; 27:10�2 Pa.

48. Un observador mide una intensidad de 1; 13 W=m2 a una distancia desconocidamedida desde una fuente de ondas esféricas cuya potencia de salida es tambiéndesconocida. El observador camina 5; 30 m acercándose a la fuente y mide en-tonces una intensidad de 2; 41 W=m2 en esta nueva posición. Calcule la potenciade salida de la fuente.



49. La presión de una onda sonora viajera está dada par la ecuación

�p = 1; 48Pa Sen (1; 07�x� 334�t)

donde x está en metros y t en segundos. Halle (a) la amplitud de la presión, (b) lafrecuencia, (c) la longitud de onda, y (d) la velocidad de la onda. Resp.: (a) 1; 48Pa; (b) 167 Hz; (c) 1; 87 m; (d) 312; 2m

s.

50. Una fuente puntual emite ondas de sonido con una potencia de salida promediode 80; 0 W . (a) Determinar la intensidad a 3; 00 m de la fuente, (b) determinar ladistancia en la cual la intensidad del sonido es 1; 00:10�8 W=m2. Resp.: (a) 0; 707W=m2; (b) 2; 52:104 m.

51. La intensidad de una onda sonora a una distacia fija de un parlante que vibra a1; 00 KHz es 0; 600 W=m2. (a) Determinar la intensidad si la frecuencia es incremen-tada a 2; 50 KHz mientras es mantenida una amplitud de desplazamiento cons-tante, (b) calcular la intensidad si la frecuencia es reducida a 0; 500 KHz y la ampli-tud de desplazamiento es duplicada. Resp.: (a) 3; 75W=m2; (b) 0; 600W=m2.

52. Dos máquinas idénticas están posicionadas a la misma distancia de un trabajador.La intensidad del sonido enviado por cada máquina en la localización del traba-jador es de 2; 0:10�7 W=m2. Determinal el nivel del sonido escuchado por el traba-jador (a) cuando está funcionando solamente una máquina y (b) cuando ambasmáquinas están funcionando. Resp.: (a) 53 dB; (b) 56 dB.

53. Calcular el nivel de intensidad de una onda sonora que tiene una intensidad de4; 00 �W=m2. Resp.: 66; 0 dB.

54. Un limpiador de vacío tiene un nivel de intensidad de 30; 0 dB. (a) ¿Cuál es laintensidad de este sonido enW=m2?, (b) ¿Cuál es la amplitud de presión del sonido?.Resp.: (a) 1; 00:10�5 W=m2; (b) 90; 7 mPa.

55. El ladrido de un perro supone alrededor de 1mW de potencia. (a) Si esta potenciase distribuye uniformemente en todas direcciones, ¿cuál es el nivel de intensidadsonora a una distancia de 5 m?, (b) ¿cuál sería el nivel de intensidad de dos perrosladrando al mismo tiempo si cada uno de ellos desarrolla una potencia de 1 mW?.Resp.: (a) 65 dB; (b) 68 dB.

56. ¿Cuál es el nivel de intensidad de un sonido cuya intensidad es 7; 5:10�8 W=m2?, (b)¿cuál es la intensidad de un sonido cuyo nivel de intensidad es 35 dB?. Resp.: (a) 49dB; (b) 3; 2:10�9 W=m2.


4.18. PROBLEMAS

57. ¿Cuál debería ser el nivel de intensidad de una onda sonora en el aire que corre-spondiera a una amplitud de esplazamiento de moléculas de aire en vibración de1; 2mm a 80 Hz?. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s y densidad del aire 1; 29Kg=m3. Resp.: 139 dB.

58. Si dos matracas5 producen un nivel de intensidad de 95 dB en cierto lugar, ¿cuálserá el nivel de intensidad si sólo se hace sonar una?. Resp.: 92 dB.

59. Una onda sonora de 75 dB llega a un tímpano cuya superficie es de 5; 0:10�5 m2.¿Cuánta energía absorbe el tímpano por segundo?. Resp.: 1; 6:10�9 W .

60. Un amplificador estéreo tiene 25W de salida a 1000 Hz. La salida cae por 2 dB a 20Hz. ¿Cuál es la potencia de salida a 20 Hz?. Resp.: 16W .

61. En los sistemas de comunicaciones y de audio, la ganancia � en decibeles sedefine como,

� = 10 logP sal

Pent

donde Pent es la potencia promedio de entrada al sistema y P sal es la potenciapromedio de salida. Un amplificador estéreo proporciona 35 W de potencia a unaentrada de 1 mW . ¿Cuál es la ganancia en decibeles?. Resp.: 45 dB.

62. (a) Muestre que el nivel de intensidad, �, puede escribirse en términos de la ampli-tud de la presión �po como,

� (dB) = 20 log�po�p0o

donde �p0o es la amplitud de la presión en algún nivel de referencia. (b) La presiónde referencia �p0o se toma a menudo como 3; 5:10�5 Pa, que corresponde a unaintensidad de 1; 0:10�12 W=m2, ¿cuál sería el nivel de intensidad si �po fuera 1 atm?.

63. El nivel de intensidad a 12 m de una bocina colocada en un lugar abierto es 100dB. ¿Cuál es la potencia acústica de salida de la bocina?. Resp.: 18; 1W .

64. El sonido de una sirena se oye a 3 m con un nivel de intensidad de 60 dB. ¿A quédistancia de dicha sirena ya no se oye nada?, ¿cuántas sirenas harían falta paraque a esa distancia se volvieran a oír con una sonoridad de 60 dB?. Resp.: 3 Km;106 sirenas.

5 Rueda de tablas fijas en forma de aspa, entre las que cuelgan mazos que al girar ella producen ruidogrande y desapacible. Se usa en algunos conventos para convocar a maitines, y en Semana Santa enlugar de campanas.



65. El desplazamiento de una onda estacionaria está dado por,

(x; t) = 5; 6 Sen (0; 66x) Cos (53t)

donde x y están en centímetros y t en segundos. (a) ¿Cuál es la distancia entre losnodos?, (b) ¿cuál es la amplitud, frecuencia y velocidad de cada una de las ondascomponentes?, (c) ¿cuál es la velocidad de una de las partículas de la cuerda enx = 2; 10 cm cuando t = 1; 25 s?. Resp.: (a) 4; 8 cm; (b) 2; 8 cm; 8; 4 Hz; 80 cm

s; (c) 80 cm

s.

66. Una cuerda de un piano tiene 1; 10 m de longitud y tiene una masa de 9; 0 g. ¿Aqué tensión debe estar la cuerda si debe vibrar con una frecuencia fundamentalde 131Hz?, (b) ¿cuáles son las frecuencias de los primero cuatro armónicos?. Resp.:(a) 680 N ; (b) 262 Hz; 393 Hz; 524 Hz.

67. Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0; 70 m entre sí y se ajusta latensión hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es la nota La de 440 Hz.¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?. Resp.: 616m

s.

68. Una cuerda que está fija en sus extremos tiene una longitud de 3 m, una densidadlineal de masa de 0; 0025 Kg=m y se le han medido dos frecuencias resonantes con-secutivas a 252 Hz y 336 Hz. Determinar la frecuencia fundamental de la cuerday comprobar si una cuerda como esta es adecuada para colocarla en un instru-mento musical, teniendo en cuenta que si la tensión de la misma sobrepasa los 700N hay problemas de seguridad. Resp.: 84 Hz; la tensión es 635 N , por lo tanto lacuerda es segura siempre y cuando la tensión no aumente en forma significativa.


(x; t) = 0; 024 Sen (52; 3x) Cos (480t)

donde x y están en metros y t en segundos. Determinar la velocidad de las on-das compunentes sobre la cuerda y la distancia entre los nodos para las ondasestacionarias. Resp.: 9; 18m

s; 0; 06 m.

70. Una cuerda fija por ambos extremos tiene 3m de largo. Resuena en su segundo ar-mónico a una frecuencia de 60Hz. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversalesen ella?. Resp.: 180m

s.

71. Una cuerda es tensada entre dos puntos fijos apartados 0; 7 m y la tensión es ajus-tada hasta que es alcanzada la frecuencia fundamental a 440 Hz. ¿Cuál es lavelocidad de las ondas transversales en la cuerda?. Resp.: 616 m=s.


4.18. PROBLEMAS

72. La función de onda (x; t) para cierta onda estacionaria sobre una cuerda fija enambos extremos es dada por,

(x; t) = 4; 2 Sen (0; 20x) Cos (300t)

donde x y están en centímetros y t está en segundos. (a) ¿Cuáles son la longitudde onda y la frecuencia de esta onda?, (b) ¿Cuál es la velocidad de las ondastransversales en esta cuerda?, (c) si la cuerda está vibrando en su cuarto armónico,¿cuál es su longitud?. Resp.: (a) 31 cm; 48 Hz; (b) 15 m=s; (c) 63 cm.

73. Una cuerda de violín de 40 cm de longitud y 1; 2 g de masa tiene una frecuenciade 500 Hz cuando vibra en su modo fundamental. (a) ¿Cuál es la longitud de ondade las ondas estacionarias en la cuerda?, (b) ¿cuál es la tensión?, (c) ¿dónde sedebería colocar el dedo para incrementar la frecuencia a 650 Hz?.(a) 0; 8m; (b) 480N ; (c) 9; 2 cm del extremo.

74. Una cuerda con densidad lineal de masa 4:10�3 Kg=m está bajo una tensión de 360N y está fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 375 Hz yla próxima es 450 Hz. (a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de esta cuerda, (b)¿cuáles son los armónicos dados?, ¿cuál es la longitud de la cuerda?. Resp.: (a) 75Hz; (b) 5to, 6to; (c) 2 m.

75. Una banda de goma tiene una longitud de 0; 80m cuando no se ejerce tensión so-bre ella y una masa de 6:10�3 Kg, se estira a 1; 20m cuando se aplica una tensión de7; 60 N . ¿Cuál es la frecuencia fundamental de oscilación de esta banda cuandose estira entre dos postes fijos separados 1; 20 m?. Resp.: 16; 2 Hz.

76. Una cuerda de 4 m de longitud es sujetada en uno de sus extremos y el otro ex-tremo es sujetado a un resorte liviano de forma que es libre de moverse. La veloci-dad de las ondas en la cuerda es 20 m=s. Encontrar la frecuencia (a) fundamental,(b) segundo armónico y (c) tercer armónico. Resp.: (a) 1; 25Hz; (b) No hay segundoarmónico, pues n sólo puede tomar valores impares; (c) 3; 75 Hz.


(x; t) = 8; 0 Sen (3; 0x) Cos (2; 0t)

donde x y están en centímetros y t en segundos. (a) Determinar la amplitud delmovimiento armónico simple de un elemento del medio localizado en x = 2; 3 cm,(b) determinar las posiciones de los nodos y antinodos si uno de los extremos de lacuerda está en x = 0, (c) ¿cuál es el valor máximo de la posición en el movimiento



armónico simple de un elemento localizado en un antinodo?. Resp.: (a) 4; 6 cm; (b)nodos en n�

3cm con n = 0; 1; 2; 3; ::: y antinodos en n�

6cm con n = 1; 3; 5; :::; (c) �8; 0

cm.

78. Encontrar la frecuencia fundamental y las siguientes tres frecuencias que puedencausar patrones de ondas estacionarias en una cuerda de 30; 0 m de longitud, quetiene una masa por unidad de longitud de 9; 00:10�3 kg=m y está sometida a unatensión de 20; 0 N . Resp.: 0; 786 Hz; 1; 57 Hz; 2; 36 Hz; 3; 14 Hz.

79. Una cuerda de masa 8; 00 g y longitud 5; 00 m tiene un extremo unido a una paredy el otro extremo pasa a través de una polea y es atado a un objeto que cuelga de4; 00 Kg de masa. Si la cuerda es perturbada, ¿cuál es su frecuencia fundamental?.Resp.: 15; 7 Hz.

80. Mediciones muestran que la longitud de onda de una onda de sonido en un ciertomaterial es 18; 0 cm. La frecuencia de la onda es 1900 Hz. ¿Cuál es la velocidad dela onda de sonido?. Resp.: 342 m=s.

81. Una cuerda horizontal tiene 5; 00 m de longitud y una masa de 1; 45 g. ¿Cuál debeser la tensión en la cuerda si la longitud de onda de una onda de 120 Hz en dichacuerda es 60; 0 cm?. ¿Cuál debe ser la masa que debe colgarse en su extremo (através de una polea, por ejemplo) para producir esta tensión?. Resp.: 1; 50 N ; 0; 153Kg.

82. Una cuerda de banyo6 de 30 cm de longitud resuena en su fundamental con unafrecuencia de 256 Hz. ¿Cuál es la tensión en la cuerda si 80 cm de dicha cuerdatiene una masa de 0; 75 g?. Resp.: 22 N .

83. Una cuerda sujeta en sus dos extremos vibra en cinco segmentos a una frecuenciade 460 Hz. ¿Cuál es la frecuencia fundamental?, (b) ¿cuál frecuencia causará unavibración en tres segmentos?. Resp.: (a) 92; 0 Hz; (b) 276 Hz.

84. Una cuerda sujeta en sus dos extremos y resuena a 420 Hz y a 490 Hz sin haberfrecuencias resonantes entre ellas. Encuentre la frecuencia de resonancia funda-mental. Resp.: 70; 0 Hz.

85. Una cuerda de violín resuena en su fundamental a 196 Hz. ¿Dónde se debe colo-car el dedo de manera que su fundamental sea a 440 Hz?. Resp.: L2=L1 = 0; 045.

6 Instrumento musical de cuerda que se compone de una caja de resonancia redonda cubierta por unapiel tensada, un mástil largo con trastes y un número variable de cuerdas que se hacen sonar con losdedos o con púa.


4.18. PROBLEMAS

Es decir, para obtener la resonancia deseada, el dedo debe ser colocado sobre lacuerda a 0; 445 de su longitud original.

86. Un tubo de vidrio de 70 cm de longitud está abierto en ambos extremos. Encuentrelas frecuencias en las cuales resuena con ondas de sonido de 340 m=s. Resp.: 243nHz.

87. Una sección de un tubo de drenaje de 1; 23m de longitud hace un sonido cuandoexhala aire. (a) Determinar las frecuencias de los primeros tres armónicos del tubosi es cilíndrico y abierto en ambos extremos. Tomar como velocidad del sonido 343m=s. (b) ¿Cuántos armónicos hay dentro del rango de audibilidad del humano (20a 20000 Hz)?. Resp.: (a) 139 Hz, 278 Hz, 417 Hz; (b) 144.

88. La longitud total de un piccolo es 32; 0 cm. La columna de aire resonante vibracomo en un tubo abierto en ambos extremos. (a) Determinar la frecuencia de lanota más baja que el piccolo puede ejecutar, suponiendo que la velocidad delsonido en el aire es 340 m=s. (b) Abrir hoyos en un lado recorta efectivamente lalongitud de la columna resonante. Si la nota más alta que el piccolo puede producires 4000 Hz, encuentre la distancia entre los antinodos adyacentes para este modode vibración. Resp.: (a) 531 Hz; (b) 42; 5 mm.

89. Calcular la longitud de un tubo que tiene una frecuencia fundamental de 240 Hzsi el tubo es abierto en ambos extremos. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s.Resp.: 0; 715 m.

90. Un tubo de vidrio (abierto en ambos extremos) de longitud ` es posicionado cercade un parlante de audio cuya frecuencia es de 680 Hz. ¿Para qué valores de `

resonará el tubo con el parlante?. Tomar como velocidad del sonido 343m=s. Resp.:0; 252n m; con n = 1; 2; 3; :::

91. Cuando un tubo de metal abierto es cortado en dos, la frecuencia de resonanciamás baja para la columna de aire en una de esas partes es 256 Hz y para la otraes 440 Hz. (a) ¿Qué longitud tenía éste?, (b) ¿cuál frecuencia resonante habríaproducido el tubo original?. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s. Resp.: (a)1; 06 m; (b) 162 Hz.

92. Con un tocado particular, una flauta produce una nota con frecuencia 880 Hz a20; 0 �C. La flauta es abierta por ambos extremos. (a) Encuentre la longitud de lacolumna de aire y (b) determine la frecuencia cuando la temperatura ambiente esde 5; 00 �C. Tómese velocidad del sonido 343m=s a 20; 0 �C y 328m=s a 5; 00 �C. Resp.:(a) 0; 195 m; (b) 841 Hz.



93. Ondas de compresión (ondas de sonido) son producidas en un tubo de 90 cm delongitud cerrado en uno de sus extremos. El tubo resuena en varias frecuencias,la más pequeña de las cuales es 95 Hz. Encuentre la velocidad de las ondas desonido en el aire. Resp.: 3; 4:104 cm=s.

94. ¿A qué otras frecuencias resonará el tubo descrito en el problema 93?. Resp.: 95nHz, con n = 3; 5; 7; 9; :::

95. Determine la longitud más corta de un tubo cerrado en uno de sus extremosque resuena en el aire debido a una fuente sonora cuya frecuencia es de 160 Hz.Tómese la velocidad del sonido igual a 340 m=s. Resp.: 0; 531 m.

96. Un largo y estrecho tubo cerrado en uno de sus extremos no resuena con un di-apasón que tiene una frecuencia de 300 Hz hasta que la longitud de la columnade aire alcanza 28 cm. ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire? y ¿cuál es lasiguiente longitud de la columna de aire que resuena con el diapasón?. Resp.: (a)3; 4:104 cm=s; (b) 85 cm.

97. Un tubo de órgano cerrado en uno de sus extremos tiene una longitud de 61; 0 cm.¿Cuáles son las frecuencias de los primeros tres sobretonos si la velocidad del sonidoes 342 m=s?. Resp.: 420 Hz; 700 Hz; 980 Hz.

98. Para cierto tubo en el aparato mostrado en la figura 4.43, el valor más pequeño de` para el cual se produce una resonancia es 9; 00 cm. Determínese (a) la frecuenciadel parlante, (b) los valores de ` para las próximas dos frecuencias de resonancia.Tómese 343 m=s como velocidad del sonido. Resp.: (a) 953 Hz; (b) 0; 270 m; 0; 450 m.

99. La frecuencia de un tubo de órgano abierto por ambos extremos correspondea una media C (261; 6 Hz en la escala cromática musical). La tercera resonanciade un tubo de órgano cerrado en uno de sus extremos tiene la misma frecuencia.¿Cuáles son las longitudes de los dos tubos?. Resp.: 0; 656 m; 1; 64 m.

100. Un diapasón con una frecuencia de 512 Hz es colocado cerca del extremoabierto del tubo mostrado en la figura 4.43. El nivel del agua es bajado de talmanera que la longitud ` se incrementa lentamente de su valor inicial de 20; 0 cm.Determinar los próximos dos valores de ` que corresponden a modos resonantesTómese 343 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 0; 502 m; 0; 837 m.

101. Un diapasón de 500 Hz causa resonancia en el tubo de la figura 4.43 cuando laparte superior del tubo está a 16; 0; 50; 5; 85; 0; y 119; 5 cm sobre la superficie del agua.(a) Determinar la velocidad del sonido en el aire, (b) ¿cuál es la corrección en el


4.18. PROBLEMAS

extremo abierto por el hecho de que el antinodo no se origina exactamente en elextremo del tubo abierto?. Resp.: (a) 345 m=s; (b) 1; 25 cm.

102. Un extremo de una cuerda de 120 cm se mantiene fijo. El otro extremo está unidoa un anillo sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra sin fricción comose muestra en la figura 4.39. ¿Cuáles son las tres longitudes de onda más grandesposibles de ondas estacionarias en la cuerda?. Resp.: 480 cm; 160 cm; 96 cm.

103. Una cuerda fija en uno de sus extremos está vibrando sólo en su modo funda-mental. La función de onda es,

(x; t) = 0; 02 Sen (2; 36x) Cos (377t)

donde y x están en metros y t está en segundos. (a) ¿Cuál es la longitud de ondade la onda?, (b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? y (c) ¿Cuál es la velocidad delas ondas transversales sobre la cuerda?. Resp.: (a) 2; 66 m; (b) 0; 665 m; (c) 160m

s.




Parte III

TERMODINAMICA FENOMENOLOGICA

317

METODOS TERMODINAMICO Y ESTADISTICO DE INVESTIGACION

El número de átomos (moléculas) que hay en un cuerpo cualquiera es enorme. Porejemplo, en 1 cm3 de un gas de propiedades próximas al perfecto, en condicionesnormales (0 oC y 1 atm de presión), hay 2; 7:1019 moléculas. En los estados condensa-dos -sólido y líquido- este número es del orden de 1022 part�{culas=cm3. Si se consideraque el movimiento de cada átomo (molécula) de una sustancia cumple la segundaley de Newton, es imposible hablar no sólo de resolver las ecuaciones diferencialesdel movimiento de las partículas de la sustancia por separado, sino incluso de escribirestas ecuaciones. Por esto, el comportamiento de una molécula (átomo) de la sus-tancia aisladamente, por ejemplo, su trayectoria o la sucesión de las variaciones desu estado, no puede ser estudiado por los métodos de la mecánica clásica.

1. METODO ESTADISTICO

Las propiedades macroscópicas de los sistemas compuestos por un número muygrande de partículas se estudian por el método estadístico.

Este método se basa en la utilización de la teoría de probabilidades y dedeterminados modelos de estructura de los sistemas que se estudian. La partede la física teórica en que las propiedades físicas de los sistemas se estudian va-liéndose del método estadístico se llama física esdadística (o estadística física).

En el comportamiento conjunto de un gran número de partículas se ponen de ma-nifiesto regularidades especiales llamadas leyes estadísticas. En un sistema compuestopor un gran número de partículas existen ciertos valores medios de las magnitudes físi-cas que caracterizan todo el conjunto de las partículas. Así, en un gas existen valoresmedios de las velocidades del movimiento térmico de las moléculas y de sus energías.En un sólido existe una energía media correspondiente a cada grado de libertad delmovimiento oscilatorio de las partículas, etc. Todas las propiedades de un sistema departículas están condicionadas no sólo por las propiedades individuales de las mis-mas partículas, sino también por las peculiaridades de sus movimientos conjuntos yde los valores medios de las características mecánicas de las partículas (velocidadesmedias, energías medias, etc.).

Aparte de las leyes estadísticas existen las leyes dinámicas que definen los movimien-tos de las partículas aisladas. La ligazón entre las leyes dinámicas y estadísticas semanifiesta en que las leyes del movimiento de las partículas aisladas influyen en ladescripción de las propiedades del sistema de partículas estudiado por el métodoestadístico.


2. METODO TERMODINAMICO

Además del método estadístico de investigación de los fenómenos físicos existe elmétodo termodinámico,

En el ,étodo termodinámico no se tiene en cuenta la estructura interna delas sustancias de los cuerpos (sistemas) que se estudian ni el carácter del mo-vimiento de las partículas aisladas. El método termodinámico se basa en elestudio de las distintas transformaciones de la energía que se producen en elsistema.

Las condiciones de estas transformaciones y las relaciones entre las distintas formasde la energía permiten estudiar las propiedades físicas de los sistemas que se investigandurante los procesos más diversos en que dichos sistemas participan. La parte de lafísica en que las propiedades físicas de los sistemas se estudian por medio del métodotermodinámico se llama termodinámica (termodinámica fenomenológica).

TERMODINAMICA

La termodinámica se ocupa de la energía y sus transformaciones en lossistemas desde un punto de vista macroscópico. Sus leyes son restricciones ge-nerales que la naturaleza impone en todas esas transformaciones. [13].

La termodinámica se basa sobre dos leyes fundamentales (llamadas leyes de latermodinámica), establecidas gracias a la generalización de un conjunto de hechosexperimentales y en el teorema del calor de Nernst o tercera ley de la termodinámica.Por esta causa, las conclusiones de termodinámica tienen un carácter muy general[5].

La termodinámica es una teoría de una gran generalidad, aplicable a sistemasde estructura muy elaborada con todas las formas de propiedades mecánicas, eléc-tricas y térmicas complejas. Puesto que la termodinámica se focaliza en las propie-dades térmicas, es conveniente idealizar y simplificar las propiedades mecánicas yeléctricas de los sistemas que estudiaremos. En nuestro estudio de la termodinámicaidealizaremos nuestros sistemas para que sus propiedades mecánicas y eléctricas seanlo más triviales posibles. Cuando el contenido esencial de la termodinámica haya sidodesarrollado, será una cuestión simple extender el análisis a sistemas con estructurasmecánicas y eléctricas relativamente complejas. La cuestión esencial es señalar que


las restricciones en los tipos de sistemas considerados no son limitaciones básicas so-bre la generalidad de la teoría termodinámica, y sólo se adoptan meramente para lasimplificación expositiva. Restringiremos (temporalmente) nuestra atención a sistemassimples, definidos como sistemas que son macroscópicamente homogéneos, isótro-pos, y desprovistos de carga eléctrica, que son lo suficientemente grandes para quelos efectos de frontera puedan ser ignorados, y que no se encuentran bajo la acciónde campos eléctricos, magnéticos o gravitacionales [14].

El sistema termodinámico más simple se compone de una masa fija de un fluidoisótropo puro no influenciado por reacciones químicas o campos externos. Tales sis-temas se caracterizan por las tres coordenadas mensurables: presión p, volumen V ytemperatura T . A estos sistemas se les da el nombre de sistemas pV T [13].

Un SISTEMA puede ser cualquier objeto, cualquier cantidad de materia,cualquier región del espacio, etc., seleccionado para estudiarlo y aislarlo (men-talmente) de todo lo demás, lo cual se convierte entonces en el ENTORNO delsistema [13].

El sistema y su entorno forman el UNIVERSO (ver figura 4.52).

Figura (4.52): Estructura de un fenómeno termodinámico

La envoltura imaginaria que encierra un sistema y lo separa de sus inmediaciones(entorno) se llama FRONTERA del sistema y puede pensarse que tiene propiedadesespeciales que sirven para:

a. aislar el sistema de su entorno o para

b. permitir la interacción de un modo específico entre el sistema y su ambiente.

Llamamos SISTEMA, o MEDIO INTERIOR, la porción del espacio limitado por una su-perficie real o ficticia, donde se sitúa la materia estudiada. El resto del universo es el


Figura (4.53): Tipos de sistemas

MEDIO EXTERIOR. La distinción entre sistema y entorno es arbitraria: el sistema es lo queel observador ha escogido para estudiar [15].

Si la frontera permite la interacción entre el sistema y su entorno, tal interacciónse realiza a través de los canales existentes en la frontera. Los canales pueden serinespecíficos para interacciones fundamentales tales como el calor o la interacciónmecánica o eléctrica, o muy específicos para interacciones de transporte.

Los sistemas pueden ser aislados, cerrados y abiertos:Un Sistema aislado es el sistema que no puede intercambiar materia ni energía con

su entorno, un Sistema cerrado es el sistema que sólo puede intercambiar energía consu entorno, pero no materia y por último, un Sistema abierto es el sistema que puedeintercambiar materia y energía con su entorno (ver figura 4.53).


CAPÍTULO 5

Temperatura y dilatación térmica

5.1 Temperatura

En la vida cotidiana, la temperatura denota lo caliente o frío que está un objeto.Un horno caliente se dice que tiene una temperatura elevada en tanto que un trozode hielo se dice que tiene una temperatura baja. La temperatura es la propiedadde los sistemas que determina si están en equilibrio térmico (en la próxima sección seprofundizará sobre este particular). El concepto de temperatura se deriva de la ideade medir el calor o frialdad relativos y de la observación de que el suministro de calor aun cuerpo conlleva un aumento de su temperatura mientras no se produzca la fusióno ebullición. En el caso de dos cuerpos con temperaturas diferentes, el calor fluyedel más caliente al más frío hasta que sus temperaturas sean idénticas y se alcance elequilibrio térmico. Por tanto, los términos de temperatura y calor, aunque relacionadosentre sí, se refieren a conceptos diferentes: la temperatura es una propiedad de uncuerpo y el calor es un flujo de energía entre dos cuerpos a diferentes temperaturas.

Muchas propiedades de la materia cambian con la temperatura. Por ejemplo, lamayor parte de los materiales se dilatan cuando se calientan. Una viga de hierro esmayor cuando está caliente que cuando está fría; el pavimento y las aceras de con-creto se expanden y se contraen ligeramente de acuerdo con la temperatura, razónpor la que se dejan intersticios a intervalos regulares. La resistencia eléctrica de la ma-teria cambia con la temperatura y también el color radiado por los objetos, al menosen altas temperaturas quizá haya observado que la resistencia de una parrilla eléctricase pone rojiza cuando se calienta; a temperaturas elevadas, los sólidos como el hierrose tornan naranja e incluso blancos; la luz blanca proveniente de una bombilla de

323

CAPÍTULO 5. TEMPERATURA Y DILATACIÓN TÉRMICA

luz incandescente ordinaria tiene su origen en un alambre de tungsteno sumamentecaliente.

5.2 Termómetros y escalas de temperatura

El termómetro es un instrumento diseñado para medir la temperatura.

Existen muchos tipos de termómetros, pero todos en común se basan en algunapropiedad de la materia que cambia con la temperatura. La mayor parte de los ter-mómetros más comunes se basan en la dilatación de un material con un incrementoen la temperatura. El primer termómetro inventado por Galileo, se basa en la expan-sión de un gas. Los termómetros comunes actualmente constan de un tubo de vidriohueco lleno con mercurio o alcohol coloreado con tintura roja. El líquido se dilata másque el vidrio cuando se incrementa la temperatura, de modo que el nivel del líquidose eleva en el tubo [4].

Los termómetros poseen una escala para medir la temperatura. Existen diferentesescalas:

a. Una de las primeras escalas de temperatura, todavía, empleada para medidas nocientíficas, en los países anglosajones es la escala Fahrenheit (�F ), fue diseñada porel físico alemán Gabriel Daniel Fahrenheit. Según esta escala, a la presión atmos-férica normal, el punto de solidificación del agua (y de fusión del hielo) es de 32 �F ,y su punto de ebullición es de 212 �F .

b. La escala centígrada o Celsius (�C), ideada por el astrónomo sueco Anders Celsiusy utilizada en casi todo el mundo, asigna un valor de 0 �C al punto de congelacióndel agua y de 100 �C a su punto de fusión.

c. En ciencia, la escala más empleada es la escala absoluta o Kelvin (K), inventadapor el matemático y físico británico William Thomson , lord Kelvin. En esta escala, elcero absoluto, que está situado en �273; 15 �C, corresponde a 0 K, y una diferenciade un kelvin equivale a una diferencia de un grado en la escala centígrada. Lamagnitud de su unidad, llamada kelvin y simbolizada por K, se define como igual aun grado Celsius.

d. Otra escala que emplea el cero absoluto como punto más bajo es la escala ab-soluta Fahrenheit o Rankine (oR) (escala termodinámica internacional), en la quecada grado de temperatura equivale a un grado en la escala Fahrenheit. En la


5.2. TERMÓMETROS Y ESCALAS DE TEMPERATURA

escala Rankine, el punto de congelación del agua equivale a 492 �R, y su punto deebullición a 672 �R.

La relación entre estas escalas viene dada por las siguientes expresiones:

T (�C) = T (K)� 273; 15 (5.1)

T (�C) =5

9[T (oF )� 32] (5.2)

T (�R) = T (oF ) + 460 (5.3)

de aquí es fácil encontrar la relación entre T (K) y T (oF ).

Ejemplo 5.1 La temperatura normal del cuerpo humano es de 98; 6 oF . ¿A cuántoequivale esto en �C?.


T (�C) =5

9[98; 6� 32] = 37�C

Ejemplo 5.2 Los puntos de ebullición y de fusión, a la presión atmosférica, del mercurioson 675oF y �38; 0oF respectivamente. Expresar dichas temperaturas en �C.


T (�C) =5

9[675� 32] = 357�C

T (�C) =5

9[�38; 0� 32] = �38; 9�C

Ejemplo 5.3 ¿A cuántos �C equivale una temperatura de 100K?


T (�C) = 100� 273; 15 = �173; 15�C

Ejemplo 5.4 ¿A cuántos �R equivale una temperatura de �40 oF?


T (�R) = �40 + 460 = 420�R



5.3 Dilatación térmica

La mayor parte de las sustancias aumentan de volumen cuando se calientan y dis-minuyen de volumen cuando se enfrían. A este cambio de volumen se le da el nombrede dilatación térmica. Este cambio varía en cantidad dependiendo del material.

5.3.1 Dilatación lineal

La dilatación es un aumento de volumen, pero cuando en un cuerpo dominauna dimensión sobre las otras, por ejemplo, la longitud, interesa sobre todo estudiarla dilatación en esa dimensión, despreciando la que tiene en las otras, dándosele eneste caso el nombre de dilatación lineal.

Para estudiar la dilatación lineal empleamos el dilatómetro (ver figura 5.1), llamadotambién pirómetro de cuadrante.

Figura (5.1): Pirómetro

Los experimentos muestran que el cambio de longitud �L = L�Lo (L =logitud finaly Lo =longitud inicial) de la mayor parte de todos los sólidos es, hasta una muy buenaaproximación, directamente proporcional al cambio de temperatura �T = T �To (T =temperatura final y To = temperatura inicial). Como era de esperarse, el cambio enla longitud también es proporcional a la longitud original del objeto, Lo. Por lo tanto,podemos escribir,

�L = �Lo�T (5.4)

donde � es el denominado coeficiente de dilatación lineal. Este coeficiente dependedel material estudiado y tiene unidades de (oC)�1.

Los valores de � para distintos sólidos a 20oC son mostrados en la tabla 5.1. Cabeseñalar que � varía sólo ligeramente con la temperatura (razón por la que los ter-


5.3. DILATACIÓN TÉRMICA

MATERIAL � (oC)�1 � (oC)�1

SólidoAluminio 22:10�6 75:10�6

Latón 19:10�6 56:10�6

Mármol 1; 4� 3; 5:10�6 4� 10:10�6

Plomo 29:10�6 87:10�6

Vidrio (pyrex) 3; 2:10�6 9:10�6

Vidrio (ordinario) 9:10�6 27:10�6

Cobre 17:10�6 51:10�6

Hule duro 80:10�6 240:10�6

Hielo 51:10�6 153:10�6

Invar 0; 7:10�6 2; 1:10�6

Hierro o acero 12:10�6 36:10�6

Quarzo 0; 4:10�6 1:10�6

Concreto y ladrillos � 12:10�6 � 36:10�6

Tabla (5.1): Coeficientes de dilatación promedio a 20oC de algunos sólidos.

mómetros hechos de diferentes materiales no concuerdan con exactitud). Sin em-bargo, es una regla que si el intervalo de temperatura no es muy grande, la variaciónpuede ignorarse.

Ejemplo 5.5 Se va a graduar una escala métrica de acero de tal manera que los in-tervalos de 1 milímetro sean exactos con una precisión de a una cierta tempe-ratura. ¿Cuál es la variación máxima de la temperatura permisible durante lagraduación?.


�L = �Lo�T ) �T =�L

�Lo

�T =5:10�5mm

12:10�6 (oC)�1 :1mm' 4; 2oC

Entonces la temperatura que debe mantenerse durante el tiempo de graduacióndebe ser la misma que cuando se use la escala y debe ser constante con una pre-cisión de unos 4; 2oC.

Ejemplo 5.6 La longitud de un alambre de cobre a 20oC es de 40; 5 m. ¿Cuál será sulongitud a la temperatura de 50oC?.



MATERIAL � (oC)�1

LIQUIDOSGasolina 950:10�6

Mercurio 180:10�6

Alcohol etílico 1100:10�6

Glicerina 500:10�6

Agua 210:10�6

GASESAire (y la mayor parte de los gases a 1 atm) 3400:10�6

Tabla (5.2): Coeficientes de dilatación promedio a 20oC de algunos líquidos y gases.


�L = �Lo�T = 17:10�6 (oC)�1 :40; 5m: (50oC � 20oC)

= 0; 020m

entonces,

�L = L� Lo ) L = Lo +�L

L = 40; 5m+ 0; 020m = 40; 52m

5.3.2 Dilatación volumétrica

Ahora, si las tres dimensiones de un cuerpo son igualmente importantes, entoncesla dilatación recibe el nombre de dilatación volumétrica.

El cambio en el volumen �V de un material que sufre un cambio de temperatura�T sigue una relación similar a la ecuación (5.4), la cual podemos escribir como,

�V = �Vo�T (5.5)

donde � es el denominado coeficiente de dilatación volumétrica. Este coeficientedepende, al igual que �, del material estudiado y tiene unidades de (oC)�1, �V =

V � Vo (V =volumen final y Vo =volumen inicial) y �T = T � To (T =temperatura final yTo =temperatura inicial). Es posible demostrar, que para los sólidos, � ' 3� (ejercicio). Es


5.3. DILATACIÓN TÉRMICA

de hacer notar que esto no se cumple para los sólidos que no son isótropos1 y ademásque la dilatación lineal no tiene sentido para los líquidos y los gases puesto que notienen forma definida. Los valores de � para distintos sólidos, líquidos y gases a 20oC

son mostrados en la tabla 5.1 y 5.2.

Ejemplo 5.7 El tanque de gasolina de acero de un auto tiene una capacidad de 70L y se llena hasta el tope con gasolina a 20oC. Luego el auto se expone al Soly el tanque alcanza una temperatura de 50oC. ¿Cuánta gasolina derramará eltanque?.


a. Para la gasolina:

�VGas = �GasVoGas�T = 950:10�6 (oC)�1 :70L: (50oC � 20oC)

= 2; 0 L

b. El tanque también se dilata, por lo tanto,

�VTan = �AceroVoTan�T = 36:10�6 (oC)�1 :70L: (50oC � 20oC)

= 0; 075 L

de manera que la dilatación del tanque tiene un efecto mínimo. Si el tanque llenose expone al Sol se derramarían unos dos litros de gasolina.

Ejemplo 5.8 Una esfera de aluminio tiene un volumen de 50 cm3 a una temperatura de20oC. Calcular su volumen a una temperatura de 100oC.


�VEsf = �AlVoEsf�T = 75:10�6 (oC)�1 :50cm3: (100oC � 20oC)

= 0; 3cm3

por lo tanto, su volumen final será,

�VEsf = VEsf � VoEsf ) VEsf = VoEsf +�VEsf = 50cm3 + 0; 3cm3 = 50; 3cm3

1 Isotrópico significa que tiene las mismas propiedades en cualquier dirección. Lo contrario ocurre paraun anisotrópico (no isotrópico).



5.4 Compresión térmica

En algunas situaciones los extremos de una varilla o placa de material están rígi-damente fijos, lo que evita la dilatación o la contracción. Si cambiara la temperatura,se presentarían grandes esfuerzos de tensión o de compresión; en algunas ocasioneséstos se denominan esfuerzos térmicos

Su magnitud puede calcularse usando el concepto de módulo elástico. Para cal-cular los esfuerzos internos, podemos pensar que este proceso ocurre en dos etapas.La varilla se expande (o se contrae) por una cantidad�L dada por la ecuación (5.4) yluego se aplica una fuerza para comprimir (o dilatar) el material de vuelta a su longitudoriginal. La fuerza F que se necesita en este caso está dada por la ecuación,

�L =1

E

F

SLo (5.6)

donde E es el módulo de Young para el material. Para calcular la fuerza de com-presión, F , hacemos �L en la ecuación (5.4) igual a �L en la ecuación anterior yencontramos

F = �ES�T (5.7)

Ejemplo 5.9 Dos bloques de concreto [E = 20:109 N=m2 y � = 12:10�6 (oC)�1] de 10 m delargo se colocan uno junto al otro sin un espacio entre ellos que permita la dilata-ción. Si los bloques se colocan a una temperatura de 10 oC, ¿cuál será la fuerzade compresión cuando la temperatura alcance 40 oC? El área de contacto entrecada bloque es de 0; 20 m2.

Solución: Al usar (5.7),obtenemos,

F = �ES�T

= 12:10�6 (oC)�1 :20:109N=m2:0; 20m2:30 oC

= 1; 4:106 N

5.5 Asignaciones

Problemas1. Convertir:


5.5. ASIGNACIONES

1.1. 68 oF , 5 oF y 176 oF en oC. Resp.: 20 oC, �50 oC y 80 oC.

1.2. 30 oC, 5 oC y.�20 oC en oF . Resp.: 86 oF , 41 oF y �4 oF .

1.3. �195; 5 oC en oF . Resp.: �319; 9 oF .

1.4. �430 oF en oC Resp.: �256; 7 oC.

1.5. 1705 oC en oF . Resp.: 3101 oF .

1.6. 212 oF , 50 oF , �200 oF y �70 oF en oR. Resp.: 672 oR, 510 oR, 260 oR, y 390 oR.

2. ¿Cuáles son las siguientes temperaturas en escala Kelvm: (a) 37 oC, (b) 80 oF , (c)�196 oC? Resp.: 310 K, 300 K y 77 K

3. Los puntos de fusión y de ebullición, a la presión atmosférica, del alcohol etílicoson �117 oC y �78; 5 oC respectivamente. Convertir estas temperaturas a la escalafahrenheit. Resp.: 173 oF y �179 oF .

4. Los puntos de ebullición y de fusión, a la presión atmosférica, del mercurio son 675oF y �38; 0 oF respectivamente. Expresar dichas temperaturas en unidades de laescala centígrada. Resp.: 357 oC y �38; 9 oC.

5. ¿A qué temperatura las lecturas de dos termómetros, uno de ellos graduado enescala centígrada y el otro en fahrenheit, indican la misma lectura?. Resp.: �40 oC.

6. (a) La temperatura de la superficie del Sol es de unos 6000K. Expresarla en la escalaFahrenheit. (b) Expresar la temperatura normal del cuerpo humano, que es de 98; 6oF , en la escala Celsius. (c) En los Estados Unidos continentales la mayor tempe-ratura registrada es de 134 oF en Death Valley, California, y la menor es de �70 oF

en Rogers Pass, Montana. Expresar estos valores extremos en la escala Celsius. (d)Expresar el punto de ebullición normal del oxigeno que es de �183 oC en la escalaFahrenheit.

7. ¿A qué temperatura coinciden las siguientes parejas de escalas (a) la Fahrenheit yla Kelvin; (b) la Celsius y la Kelvin?. Resp.: (a) 575 o y (e) No coinciden.

8. La temperatura del hielo seco (de sublimación a la presión normal) es de - 109 oF .¿Es más alta o más baja que la temperatura de ebullición del etano que vale �88oC?. Resp.: Más alta.

9. Calcular el aumento de longitud de una barra de cobre de 500 cm de largo cuandose calienta desde 12 oC a 32 oC. El coeficiente de dilatación lineal del cobre vale17.10�6 (oC)�1. Resp.: 0; 17 cm.



10. Una varilla de 3 m de longitud se alarga 3 mm al elevar su temperatura en 100 oC.Hallar el coeficiente de dilatación lineal correspondiente. Resp.: 10�5 (oC)�1.

11. A 15 oC una rueda tiene un diámetro de 30; 00 cm y el diámetro interior de la llantade acero es 29; 96 cm. ¿A qué temperatura debe calentarse la Ilanta para quepueda entrar en la rueda?. El coeficiente de dilatación lineal del acero vale 11.10�6

(oC)�1. Resp.: 136 oC.

12. Una bola de acero de 6 cm de diámetro tiene 0; 010 mm más de diámetro que elcorrespondiente al orificio de una plancha de latón donde se debe alojar cuandotanto la bola como la plancha están a una temperatura de 30 oC. ¿A qué tempe-ratura -tanto de la bola como de la plancha- podrá pasar la bola por el orificio?.El coeficiente de dilatación lineal del acero vale 12:10�6 (oC)�1 y del latón, 19:10�6

(oC)�1. Resp.: 54 oC.

13. (a) Una vara métrica de aluminio mide correctamente (calibrada) a 5 oC y conella se mide una cierta longitud a 35 oC, resultando el valor 88; 42 cm. Hallar el errorcometido en la medición, debido a la dilatación de la vara. (b) ¿Cuál seria, enlas condiciones anteriores, la longitud correcta que se ha déterminado a 35 oC? Elcoeficiente de dilatación lineal del aluminio vale 22.10�6 (oC)�1. Resp.: 0; 06 cm; 88; 48cm.

14. Hallar el aumento de volumen que experimentan 100 cm3 de mercurio cuando sutemperatura se eleva de 10 oC a 35 oC. El coeficiente de dilatación cúbica delmercurio es 18.10�5 (oC)�1. Resp.: 0; 45 cm3.

15. El coeficiente de dilatación lineal del vidrio vale 9.10�6 (oC)�1. ¿Qué capacidadtendrá un frasco de vidrio a 25 oC, si su valor a 15 oC es de 50 cm3?. Resp.: 50; 014 cm3.

16. Hallar la variación de volumen experimentada por un bloque de fundición de 5 x10 x 6 cm, al calentarlo desde 15 oC a 47 oC. El coeficiente de dilatación lineal de lafundición es 10�5 (oC)�1. Resp.: 0; 29 cm3.

17. Una vasija de vidrio está llena justamente con 1 L de terpentina a 50 oF . Hallar elvolumen de liquido que se derrama si se calienta hasta 86 oF . El coeficiente de di-latación lineal del vidrio vale 9.10�6 (oC)�1 y el de dilatación cúbica de la terpentinaes 97.10�5 (oC)�1. Resp.: 19 cm3.

18. La densidad del oro, a 20 oC es 19; 30 g=cm3 y su coeficiente de dilatación lineal vale14; 3:10�6 (oC)�1. Hallar la densidad del oro a 90 oC. Resp.: 19; 24 g=cm3.


5.5. ASIGNACIONES

19. Una barra de cobre mide 8 m a 15 oC. Hallar la variación que experimenta sulongitud al calentarla hasta 35 oC. El coeficiente de dilatación lineal del cobre vale17:10�6 (oC)�1. Resp.: 2; 72 mm.

20. Un eje de acero tiene un diámetro de 10; 000 cm a 30 oC. Calcular la temperaturaque deberá existir para que encaje perfectamente en un agujero de 9; 997 cm dediámetro. El coeficiente de dilatación lineal del acero vale 11:10�6 (oC)�1. Resp.: 2; 7oC.

21. Con una cinta métrica de acero se mide una varilla de cobre y resulta el valor90; 00 cm a 10 oC. Deducir la lectura .que se obtendría a 30 oC. Los coeficientes dedilatación lineal del cobre y del acero, son respectivamente, 17:10�6 (oC)�1 y 11:10�6

(oC)�1. Se supone que la cinta métrica de acero mide correctamente a 10 oC. Resp.:90; 01 cm.

22. Un bulbo de vidrio está lleno con 50; 00 cm3. de mercurio a 18 oC. Calcular elvolumen (medido a 38 oC) que sale del bulbo si se eleva su temperatura hasta 38oC. El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es 9:10�6 (oC)�1, y el correspondientecúbico del mercurio vale 18:10�5 (oC)�1. Resp.: 0; 15 cm3.

23. La densidad del mercurio a 0 oC es 13; 60 g=cm3, y el coeficiente de dilatacióncúbica, 1; 82:10�4 (oC)�1. Hallar la densidad del mercurio a 50 oC. Resp.: 13; 48 g=cm3.

24. Los extremos de una varilla de acero de, exactamente, 1 cm2 de sección recta,se mantienen con rigidez entre dos puntos fijos a una temperatura de 30 oC. Hallarla fuerza mecánica a la que se encontrará sometida la varilla si se produce en elsistema una disminución de temperatura hasta 20 oC. El módulo de Young del acerovale 2; 3:106 Kp=cm2, y su coeficiente de dilatación lineal es 18:10�5 (oC)�1. Resp.: 253Kp.

25. El espejo dç vidrio Pyrex del telescopio del observatorio de Monte Palomar tieneun diámetro de 200 plg. En dicho lugar la temperatura varía desde �10 hasta 50oC. Determinar el cambio máximo en el diámetro del espejo. El coeficiente dedilatación lineal del vidrio Pyrex es 3; 2:10�6 (oC)�1. Resp.: 0; 038 plg.

26. Un orificio circular en una lámina de aluminio es de 2; 540 cm de diámetro a 0 oC.¿Cuál es su diámetro cuando la temperatura de la lámina se eleva a 100 oC?. Elcoeficiente de dilatación lineal del aluminio es 23:10�6 (oC)�1.

27. Las vías de un ferrocarril se tienden cuando la temperatura es de 0 oC. En esecaso, la longitud de un tramo normal de riel es de 12; 0 m. ¿Qué espacio debe



dejarse entre las secciones de los rieles para que no exista una compresión cuandola temperatura se eleva hasta 42 oC?. El coeficiente de dilatación lineal del aceroes 11:10�6 (oC)�1. Resp.: 0; 55 cm.

28. Una varilla de acero tiene un diámetro de 3; 000 cm a 25 oC. Un aro de latón tiene undiámetro interior de 2; 992 cm a 25 oC. ¿A qué temperatura común podrá deslizarseexactamente el anillo sobre la varílla?. El coeficiente de dilatación lineal del aceroes 11:10�6 (oC)�1 y el del latón es 19:10�6 (oC)�1.

29. El área S de una lámina rectangular es ab. Su coeficiente de dilatación lineal es �.Después de un aumento �T de la temperatura, el lado a aumenta en �a y el ladob aumenta en �b. Demostrar que si despreciamos la pequeña cantidad �a�a

ab(ver

figura 5.2), entonces�S = 2�S�T

Figura (5.2): Problema 29: Lámina rectangular sometida a un aumento de temperatura.

30. Una ventana de vidrio tiene exactamente 20 cm por 30 cm a 10 oC. ¿En cuántoaumentará su área si la temperatura es de 40 oC?. El coeficiente de dilatación linealdel vidrio es 9:10�6 (oC)�1. Resp.: 0; 32 cm2.

31. Demostrar que, si despreciamos las cantidades notablemente pequeñas, el cam-bio en volumen �V de un sólido al dilatarse debido a un aumento de temperatura�T está dado por

�V = 3�V�T

donde � es el coeficiente de dilatación lineal.

32. Encontrar el cambio en volumen de una esfera de aluminio de 10; 0 cm de radiocuando se calienta desde 0 hasta 100 oC. El coeficiente de dilatación lineal delaluminio es 23:10�6 (oC)�1. Resp.: 29 cm3.


5.5. ASIGNACIONES

33. La densidad es la masa por unidad de volumen. Si el volumen V depende dela temperatura, también lo hará la densidad �. Demostrar que el cambio �� dedensidad correspondiente a un cambio �T en la temperatura, está dado por

�� = ��T

donde � es el coeficiente de dilatación cúbica. Explicar la causa del signo nega-tivo.

34. Demostrar que cuando la temperatura de un líquido en un barómetro cambia enuna cantidad �T , y la presión es constante, entoøces la altura h cambia por

�h = �h�T

en donde � es el coeficiente de dilatación volumétrica.

35. (a) Demostrar que si las longitudes de dos varillas de diferentes sólidos son inver-samente proporcionales a sus respectivos coeficientes de dilatación lineal a unacierta temperatura inicial, la diferencia de longitud entre ellas será constante a to-das las temperaturas. (b) ¿Cuáles serían las longitudes de unas varillas de acero yde latón a 0 oC si a cualquier temperatura la diferencia entre sus longitudes fuese de0; 30 m?. El coeficiente de dilatación lineal del acero es 11:10�6 (oC)�1 y el del latónes 19:10�6 (oC)�1. Resp.: Acero 71 cm; latón 41 cm.

36. Considérese un termómetro de mercurio en vidrio. Supóngase que la seccióntransversal del capilar tiene un valor constante Ao, y que Vo, es el volumen del bulbode mercurio a 0; 00 oC. Si el mercurio llena justo al bulbo a 0; 08 oC, demostrar que lalongitud L de la columna de mercurio en el capilar a una temperatura T oC es

L =VoAo(� � 3�)T

es decir, que es proporcional a la temperatura, en donde � es el coeficiente dedilatación volumétrica del mercurio y � es el coeficiente de dilatación lineal delvidrio.

37. Una taza de aluminio de 0; 1 L de capacidad está llena con mercurio a 12 oC.¿Cuánto mercurio se derrama, si así sucede, si la temperatura de la taza se elevaa 18 oC?. El coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es 1; 8:10�4 (oC)�1.Resp.: 70 mm3.

38. Un reloj de péndulo hecho de Invar tiene un período de 0; 500 s a 20 oC. Si se usadicho reloj en un clima cuya temperatura media sea de 30 oC, ¿qué corrección



(aproximada) debe aplicarse después de 30 días a la hora que indica el reloj?. Elcoeficiente de dilatación lineal del Invar es 0; 7:10�6 (oC)�1.

39. (a) Demostrar que el cambio del momento de inercia I con la temperatura de unobjeto sólido está determinada por

�I = 2�I�T

(b) Demostrar que el cambio con la temperatura del período P de un péndulo físicoes

�P =1

2�P�T

40. Un tubo vertical de vidrio de 1; 0m de largo se llena hasta la mitad con un líquido a20 oC, ¿Cuánto cambia la altura de la columna líquida cuando el tubo se calientaa 30 oC?. Tomar �vidrio = 1; 0:10�5 (oC)

�1 y �l�{quido = 4:10�5 (oC)�1. Resp.: Aumenta en

0; 10 mm.

41. La distancia entre dos torres del tramo principal del puente Golden Gate en SanFrancisco es de 4200 pies. La flecha del cable en el punto medio entre las torres es de470 pies a 50 oF . Tomar � = 6; 5:10�6 (oF )�1 para el cable y calcular (a) el cambio enla longitud del cable y (b) el cambio en la flecha para un cambio de temperaturade �20 a 110 oF . Se supone que las torres no sufren curvaturas ni separaciones y queel cable tiene una forma parabólica. Resp.: (a) 3; 7 pies y (b) 6; 5 pies.

42. Una autopista de concreto está construida con losas de 26 m de largo. ¿Quéancho deben tener los intersticios entre las losas para evitar que se traslapen, porcausa de la expansión, si el intervalo de temperatura es de �20 oC a +50 oC?. Elcoeficiente de dilatación lineal del concreto es 12:10�6 (oC)�1.

43. Una cinta métrica de acero se calibra a 20 oC a 40 oC, (a) ¿su lectura será másgrande o más chica? y (b) ¿cuál será su error porcentual? Resp.: (a) menor, (b)0; 024 %.

44. Para hacer una junta segura con frecuencia se emplean remaches de mayordiámetro que el agujero y luego se enfría (por lo regular en hielo seco) antes deponerlo en el agujero. Un remache de acero de 2; 385 cm de diámetro va a colo-carse en un agujero de 2; 382 cm de diámetro. ¿A qué temperatura debe enfriarseel remache si debe ajustar en el agujero a 20 oC?. El coeficiente de dilatación linealdel acero es 12:10�6 (oC)�1. Resp.: �85 oC.

45. Sí la densidad de mercurio es 13; 59:l03 Kg=m3 a 20 oC, ¿cuál será su densidad a 65oC?. El coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es 180:10�6 (oC)�1.


5.5. ASIGNACIONES

46. Una esfera de acero tiene 28; 0 cm de diámetro. ¿Cuál será su cambio en volumensi se calienta de 20 oC a 200 oC?. El coeficiente de dilatación volumétrica del aceroes 35:10�6 (oC)�1.

47. Si una varilla de longitud original L1 cambia su temperatura de T1 a T2, determineuna fórmula para su nueva longitud en términos de T1 y T2 y �. Suponga (a) que � =constante, (b) � = � (T ) es función de la temperatura y (c) � = �o + bT donde �o yb son constantes. Resp.: (a) L2 = L1 [1 + � (T2 � T1)], (b) L = L1

h1 +

R T2T1� (T ) dT

iy (c)

L2 = L1 [1 + �o (T2 � T1)] + b2(T 22 � T 21 ).

48. Un vaso ordinario se llena hasta el borde con 288; 3 mL de agua a 10 oC. Si luegose incrementa la temperatura a 30 oC, ¿cuánta agua se derramará del vaso? Elcoeficiente de dilatación volumétrica del agua es 210:10�6 (oC)�1. Resp.: 1; 6 mL.

49. Una viga de acero horizontal en forma de I„ de área de sección transversal de0; 016m2 está conectada en forma rígida a dos trabes de acero verticales. Si la vigase instaló cuando la temperatura era de 25 oC, ¿qué esfuerzo se desarrolla en éstacuando la temperatura disminuye a �14 oC?, (b) ¿qué esfuerzo se desarrolla si laviga es de concreto y tiene un área de sección transversal de 0; 13 m2?. El módulode Young del acero vale 200:109 N=m2, y su coeficiente de dilatación lineal es 12:10�6

(oC)�1. Resp.: (a) 9; 4:107 N=m2 y (b) 9; 4:106 N=m2.

50. Un tonel de vino de 122; 860 cm de diámetro a 20 oC se debe ajustar con un aro deacero. Este tiene un diámetro interior de 122; 848 cm a 20 oC. Tiene 8; 7 cm de anchoy 0; 55 cm de grueso. (a) ¿A qué temperatura debe calentarse el aro de maneraque ajuste en el barril? (b) ¿Cuál será la tensión en el aro cuando se enfríe a 20 oC?.El coeficiente de dilatación lineal del acero es 12:10�6 (oC)�1 y su módulo de Youngvale 200:109 N=m2.




CAPÍTULO 6

Calorimetría

La calorimetría (también llamada termometría) es la ciencia que mide la canti-dad de energía generada en procesos de intercambio de calor.

El calorímetro (ver figura 6.1) es el instrumento que mide dicha energía.

El tipo de calorímetro de uso más extendido consiste en un envase cerrado y per-fectamente aislado con agua, un dispositivo para agitar y un termómetro.

Figura (6.1): Calorímetro

6.1 Calor

El calor Q es la transferencia de energía de una parte a otra de un cuerpo, oentre diferentes cuerpos, en virtud de una diferencia de temperatura.

339

CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA

El calor es energía en tránsito; siempre fluye de una zona de mayor temperatura auna zona de menor temperatura, con lo que eleva la temperatura de la segunda y re-duce la de la primera, siempre que el volumen de los cuerpos se mantenga constante.La energía no fluye desde un objeto de temperatura baja a un objeto de temperaturaalta si no se realiza trabajo.

Hasta principios del siglo XIX, el efecto del calor sobre la temperatura de un cuerpose explicaba postulando la existencia de una sustancia o forma de materia invisi-ble, denominada calórico. Según la teoría del calórico, un cuerpo de temperaturaalta contiene más calórico que otro de temperatura baja; el primero cede parte delcalórico al segundo al ponerse en contacto ambos cuerpos, con lo que aumentala temperatura de dicho cuerpo y disminuye la suya propia. Aunque la teoría delcalórico explicaba algunos fenómenos de la transferencia de calor, las pruebas ex-perimentales presentadas por el físico británico Benjamin Thompson en 1798 y por elquímico británico Humphry Davy en 1799 sugerían que el calor, igual que el trabajo,corresponde a energía en tránsito (proceso de intercambio de energía). Entre 1840 y1849, el físico británico James Prescott Joule, en una serie de experimentos muy pre-cisos, demostró de forma concluyente que el calor es una transferencia de energía yque puede causar los mismos cambios en un cuerpo que el trabajo.

Los procesos físicos por los que se produce la transferencia de calor sonla conducción y la radiación. Un tercer proceso, que también implica el mo-vimiento de materia, se denomina convección. La conducción requiere con-tacto físico entre los cuerpos -o las partes de un cuerpo- que intercambian ca-lor, pero en la radiación no hace falta que los cuerpos estén en contacto ni quehaya materia entre ellos. La convección se produce a través del movimiento deun líquido o un gas en contacto con un cuerpo de temperatura diferente.

UNIDADES: En las ciencias físicas, la cantidad de calor se expresa en las mismasunidades que la energía y el trabajo, es decir, en Joules, Ergios, etc. Otra unidad(c.g.s.s.) es la caloría (cal) , definida como la cantidad de calor necesaria para elevarla temperatura de 1 g de agua a 1 atm de presión desde 15 hasta 16�C. Esta unidadse denomina a veces caloría pequeña o caloría gramo para distinguirla de la unidad(M.K.S.C.) kilocaloría (Kcal), también denominada caloría grande o kilogramo caloría,que equivale a 1000 calor�{as (incidentalmente, la “caloría” que se usa para medir elcontenido energético de los alimentos es, en realidad, una kilocaloría)y se emplea ennutrición.

1 Kcal = 1000cal (6.1)


6.1. CALOR

La energía mecánica puede convertirse en calor a través del rozamiento, y eltrabajo mecánico necesario para producir 1 calor�{a se conoce como equivalentemecánico del calor. A una caloría le corresponden 4; 1855 Joules.

1 cal = 4; 1855 Joules (6.2)

que se le da el nombre de equivalente mecánico del calor. Según la ley de con-servación de la energía, todo el trabajo mecánico realizado para producir calor porrozamiento aparece en forma de energía en los objetos sobre los que se realiza el tra-bajo. Esta conexión fue sugerida por Rumford (1798) y calculada por Joule a mediadosdel siglo XIX mediante en un experimento clásico: calentó agua en un recipiente ce-rrado haciendo girar unas ruedas de paletas y halló que el aumento de temperaturadel agua era proporcional al trabajo realizado para mover las ruedas (ver fig. 6.2).

Figura (6.2): Dispositivo utilizado por Joule para medir el equivalente mecánico del calor

En el Sistema Inglés, la unidad de calor es la unidad térmica británica (Btu), quese define como el calor necesario para elevar la temperatura de una libra de aguadesde 63oF a 64oF . A un Btu le corresponden 252 cal.

1Btu = 252 cal (6.3)

Otras equivalencias son,

1 cal = 0; 427 Kpm (6.4)

1 Kcal = 427 Kpm (6.5)



6.2 Capacidad calorífica

Se denomina capacidad calorífica C a la relación del calor Q proporcionado aun cuerpo y el aumento correspondiente �T de su temperatura, es decir,

C =Q

�T(6.6)

La palabra “capacidad” puede ser mal interpretada como “la cantidad de calorque un cuerpo puede contener”, mientras que lo que en realidad significa es simple-mente la energía que debe suministrarse en forma de calor para que la temperaturadel cuerpo aumente en un grado (ver fig. 6.3 como ejemplo ilustrativo).

Figura (6.3): Capacidad calorífica de distintos sólidos

Para considerar la dependencia de C con respecto de T , podemos escribir la ecua-ción en forma diferencial como,

dQ = CdT (6.7)

por lo tanto, el calor Q que se requiere para cambiar la temperatura de T1 a T2 es,

Q =

Z T2

T1

CdT (6.8)

UNIDADES: La capacidad calorífica puede medirse en,

caloC

oBtuoF

(6.9)


6.3. CALOR ESPECÍFICO

SUSTANCIA KcalKg:oC

JKg:oC

Aluminio 0; 22 900

Cobre 0; 093 390

Vidrio 0; 20 840

Hielo (�5oC) 0; 50 2100

Hierro o acero 0; 11 450

Plomo 0; 031 130

Mármol 0; 21 860

Plata 0; 056 230

Madera 0; 4 1700

Alcohol etílico 0; 58 2400

Mercurio 0; 033 140

Agua (15oC) 1; 00 4186

Vapor (110oC) 0; 48 2010

Cuerpo humano (promedio) 0; 83 3470

Proteínas 0; 4 1700

Tabla (6.1): Calor específico a 20oC y presión constante de 1 atm.

6.3 Calor específico

Se denomina calor específico c a la capacidad calorífica por unidad de masade un cuerpo y es característica del material del cual está compuesto el mismo, esdecir,

c =C

m=1

m

Q

�T(6.10)

Se interpreta como la cantidad de calor que hay que suministrar a un cuerpo demasa un gramo para que su temperatura aumente en un grado. La tabla 6.1 muestrael calor específico de algunas sustancias a 20 oC y a una presión constante de 1 atm.

En forma diferencial,

dQ = mcdT (6.11)

UNIDADES: El calor específico puede medirse en,

cal

goCen el c.g.s.s. (6.12)

oBtu

lboFen el Sistema Inglés



6.4 Calor de fusión

Se llama calor de fusión Lf de una sustancia a la magnitud que mide el númerode calorías que absorbe 1 g de dicha sustancia al pasar del estado sólido al estadolíquido, a la temperatura de fusión, quedando ésta fíja.

De aquí que, el calor necesario para fundir el sólido venga dado por,

Q = mLf (6.13)

donde m es su masa de la sustancia.

Figura (6.4): Calor de fusión del hielo

Por ejemplo,

Lfhielo = 80cal

goKcal

Kg(a 0 oC y 1atm): (6.14)

significando que para que 1 g de hielo pueda pasar al estado líquido necesita ab-sorber 80 cal. De la misma maner, un gramo de agua cuando se congela desprende80 cal (ver figura 6.4).

6.5 Calor de vaporización

Se denomina calor de vaporización Lv de una sustancia a la magnitud que mideel número de calorías que absorbe 1g de dicha sustancia para pasar del estadolíquido al gaseoso a su temperatura de ebullición, quedando esta fija.

De aquí que, el calor necesario para vaporizar un líquido venga dado por,

Q = mLv (6.15)

donde m es su masa.


6.6. CALOR DE COMBUSTIÓN

Figura (6.5): Calor de vaporización del agua

Por ejemplo,

Lvagua = 540cal

goKcal

Kg(a 100 oC y 1atm): (6.16)

significando que 1 g de agua absorbe 540 cal; cuando pasa del estado líquido al ga-seoso a la temperatura de 100 oC. De la misma manera 1 g de agua en estado gaseosoa 100 oC desprende 540 cal cuando se condensa a esa temperatura (ver figura 6.5).

6.6 Calor de combustión

Se llama calor de combustión Lc de una sustancia a la magnitud que mide elnúmero de calorías que desprende 1 g de dicha sustancia al quemarse en atmósferade oxígeno.

El calor de combustión, denominado también poder calorífico de los combustibles,es de suma importancia en la técnica para el estudio de los motores de combustión.

En dietética, el calor de combustión se estudia para determinar el valor nutritivo delas sustancias.

Si un cuerpo tiene una masam y su calor de combustión es Lc, la cantidad de calorque desprende al quemarse totalmente en atmósfera de oxígeno es,

Q = mLc (6.17)

Ejemplo 6.1 ¿Cuánto calor se requiere para elevar la temperatura de 10 Kg de plomode 5 oC a 45 oC?. El calor específico del plomo es 0; 031 Kcal

Kg:oC.

Solución: Al usar (6.10), se obtiene,

Q = mc�T

= 10Kg:0; 031Kcal

Kg:oC: (45oC � 5oC)

= 12; 4 Kcal



Ejemplo 6.2 ¿Cuánto calor se requiere para elevar la temperatura de 20 Kg de hierrode 10 oC a 90 oC?. El calor específico del hierro es 0; 11 Kcal

Kg:oC.


Q = mc�T

= 20Kg:0; 11Kcal


= 180 Kcal

Ejemplo 6.3 (a) Hallar la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de100 g de cobre desde 10 oC a 100 oC. (b) Suponiendo que a 100 g de aluminio a 10oC se le suministrase la cantidad de calor del apartado (a), deducir qué cuerpo,cobre o aluminio, estará más caliente. El calor específico del cobre es 0; 093 cal

g:oC

y el del aluminio 0; 217 calg:oC

.

Solución:(a) Al usar (6.10), se obtiene,

Q = mc�T

= 100g:0; 093cal

g:oC: (100oC � 10oC)

= 840 cal

(b) Como el calor específico del cobre es menor que el del aluminio, a igual masa,se necesita más calor para elevar 1 oC la temperatura del aluminio que la del cobre,por lo tanto, el cobre estará más caliente.

Ejemplo 6.4 Una caldera de vapor es de acero, pesa 400 Kp (400 Kg de masa) y con-tiene 200 Kg de agua. Suponiendo que sólo el 70 % del calor comunicado seemplea en calentar la caldera y el agua, hallar el número de calorías necesariaspara elevar la temperatura del conjunto desde 5 oC a 85 oC. El calor específicodel acero es 0; 11 cal

g:oCo 0; 11 Kcal

Kng:oC.


� Calor ganado por la caldera:

Qcal = mc�T

= 400Kg:0; 11Kcal


= 3; 52:103 Kcal


6.6. CALOR DE COMBUSTIÓN

� Calor ganado por el agua:

QH2O = mc�T

= 200Kg:1Kcal


= 16:103 Kcal

Por lo tanto, el calor total Q necesario será,

Q = Qcal +QH2O

= 3; 52:103 Kcal + 16:103 Kcal

= 19; 52:103 Kcal

pero como sólo el 70% del calor es empleado, entonces,

Q = 0; 70:19; 52:103 Kcal = 1; 36:104 Kcal

Ejemplo 6.5 En un calorímetro de cobre se queman, exactamente, 3 g de carbón pro-duciéndoce CO2. La masa del calorímetro es de 1; 5 Kg y la masa de agua delaparato es de 2Kg. La temperatura inicial de la experiencia fue de 20 oC y la finalde 31oC. Hallar el poder calorífico del carbón (cantidad de calor por él suminis-trado entre su masa) expresándolo en cal=g. El calor específico del cobre es 0; 093calg:oC

.


� Calor ganado por el calorímetro:

Qcal = mc�T

= 1500g:0; 093cal

g:oC: (31oC � 20oC)

= 1530 cal

� Calor ganado por el agua:

QH2O = mc�T

= 2000g:1cal

g:oC: (31oC � 20oC)

= 22000 cal



Por lo tanto, el poder calorífico o calor de combustión del carbón será, al usar (6.17),

Lc =Qcarbmcarb

=Qcal +QH2O

mcarb

=1530 cal + 22000 cal

3g

= 7; 8:103cal

g

Ejemplo 6.6 Hallar el calor que se debe extraer de 20 g de vapor de agua a 100 oC

para condensarlo y enfriarlo hasta 20 oC.

Solución:

� Calor liberado en la condensación de 20 g de vapor a 100 oC a agua a 100 oC: Alusar (6.15) y (6.16), obtenemos,

Qvapor = Lvagua :mvapor

= 540cal

g:20 g

= 10800 cal

� Calor liberado en el enfriamiento de 20 g de agua desde 100 oC a 20 oC: Al usar (6.10),obtenemos,

QH2O = mH2OcH2O�T

= 20g:1cal

g:oC: (100oC � 20oC)

= 1600 cal

Por lo tanto, el calor total Q liberado es,

Q = Qvapor +QH2O

= 10800 cal + 1600 cal

= 12400 cal

Ejemplo 6.7 Hallar el número de kilocalorías absorbidas por una nevera eléctrica alenfriar 3 Kg de agua a 15 oC y transformarlos en hielo a 0 oC.


6.7. EQUILIBRIO TÉRMICO Y LEY CERO

Solución:

� Calor absorbido al enfriar agua a 15 oC en agua a 0 oC: Al usar (6.15) y (6.16), obte-nemos,

QH2O = mH2OcH2O�T

= 3Kg:1Kcal


= 45 Kcal

� Calor absorbido en la transformación de 3 Kg de agua en hielo: Al usar (6.13) y(6.14), obtenemos,

Qhielo = Lfhielo :mhielo

= 80Kcal

Kg:3Kg

= 240 Kcal

Por lo tanto, el calor total Q absorbido es,

Q = QH2O +Qhielo

= 45 Kcal + 240 Kcal

= 285 Kcal

6.7 Equilibrio térmico y ley cero

Las propiedades termodinámicas de un sistema vienen dadas por los atributosfísicos macroscópicos observables del sistema, mediante la observación directa o me-diante algún instrumento de medida. Un sistema está en equilibrio térmico cuando nose observa ningún cambio en sus propiedades termodinámicas a lo largo del tiempo.

Se da el nombre de estado de equilibrio (estado de equilibrio termodiná-mico) el estado del sistema que no varía con el tiempo (estado estacionario),no dependiendo el carácter estacionario del estado de los procesos que tienenlugar en el medio exterior. El estado de equilibrio se establece en el sistemacuando las condiciones externas son constantes, y se mantiene en él duranteun tiempo arbitrariamente largo. En todas partes del sistema que se encuentraen equilibrio termodinámico, la temperatura es la misma.



Los estados de equilibrio son, por definición, estados independientes del tiempo[14]. El estado de equilibrio termodinámico se caracteriza por la anulación por com-pensación de flujos de intercambio y la homogeneidad espacial de los parámetrosque caracterizan el sistema que ya no dependen del tiempo.

Un estado de no equilibrio es un estado con intercambios netos de masa o energíay sus parámetros característicos dependen en general de la posición y del tiempo. Sino dependen de este último, necesitan la intervención del entorno para mantener susvalores (estado estacionario fuera del equilibrio).

Si un sistema no está en equilibrio térmico en un momento, no podemos siquieraasignar una presión o una temperatura al sistema. Por ejemplo, si se calienta una ollade agua sobre una estufa, distintas partes del agua registrarán diferentes temperaturas(que pueden no estar cláramente definidas y cambiarán continuamente); no pode-mos asignar una temperatura a la olla como un todo hasta que cesa el calentamientoy el agua por último alcance una temperatura uniforme; sólo entonces estará en equi-librio térmico.

Si ahora tenemos dos sistemas diferentes cuyas presiones y temperaturas son dife-rentes, entonces si se mantienen alejados de manera que no interactúen entre sí1 y porende no puedan influir el uno sobre el otro, pueden permanecer a distintas presionesy temperaturas. Ahora, si los ponemos en contacto de modo que interactúen entresí2,se dicen que están en contacto térmico.

Un procedimiento para determinar si dos sistemas X y Y están en equilibrio térmicopodría ser el siguiente: Hagamos uso de un tercer sistema Z (podría ser un termómetro),supongamos ahora que X y Z está en equilibrio térmico y que lo mismo ocurre con lossistemas Y y Z, se ha comprobado a partir de nuestra experiencia y una gran catidadde experimentos que es correcto llegar a la conclusión de que, entonces, los sistemasX y Y están en equilibrio térmico entre sí.

Si dos sistemas están en equilibrio térmico con un tercero, entonces ambosestán en equilibrio térmico entre sí.

A este postulado se le da el nombre de Ley cero de la termodinámica.

1 Pueden estar separados por una pared adiabática, entendieéndose con este término una pared queactúa como aislante térmico perfecto, es decir, que no permite el flujo de calor.

2 Se dice en este caso que están conectados por una pared diatérmica, siendo esta pared un buenconductor del calor (una delgada lámina de metal por ejemplo).



Bien, como hemos visto, cuando varios cuerpos a temperaturas diferentes se ponenen contacto, los cuerpos calientes ceden calor a los cuerpos fríos, hasta que despuésde cierto tiempo todos estarán a la misma temperatura. En este proceso la capacidadcalorífica C del sistema de cuerpos permanece invariable, de modo que se cumplesiempre la siguiente igualdad, llamada ley de intercambio calórico,

Calor absorbido Qabs = Calor despedido Qdes (6.18)

expresando que el número total de unidades de calor despedidas por los cuerposcalientes iguala al número total de unidades de calor absorbido por los cuerpos fríos.

La relación (6.18) tiene muchas aplicaciones en el llamado método de las mezclas.

Ejemplo 6.8 Hallar la temperatura T resultante de la mezcla de 150 g de hielo a 0 oC y300 g de agua a 50 oC.

Solución:

� Calor para fundir el hielo Qhielo: Al usar (6.13) y (6.14), obtenemos,


= 80cal

g:150 g

= 1; 20:104 cal

� Calor para elevar la temperatura de 150 g de agua de 0 oC a la temperatura final dela mezcla Tf : Al usar (6.10), obtenemos,

QH2O(1) = mH2OcH2O�T

= 150g:1cal

g:oC: (Tf � 0oC)

= 150caloC:Tf

� Calor perdido por 300 g de agua: Al usar (6.10), obtenemos,



QH2O(2) = mH2OcH2O�T

= 300g:1cal

g:oC: (50oC � Tf )

= 300caloC: (50oC � Tf )

Al alcanzarse el equilibrio se cumple (6.18), por lo tanto,

Calor absorbido = Calor perdido

QH2O(2) = Qhielo +QH2O(1)

300caloC: (50oC � Tf ) = 1; 20:104 cal + 150

caloC:Tf

Tf = 6; 7 oC

Ejemplo 6.9 Un sistema termodinámico está constituido por la mezcla de 500 g de aguay 100 g de hielo a la temperatura de equilibrio 0oC. Si se introducen en este sistema200 g de vapor de agua a 100 oC. Hallar la temperatura final y la composición dela mezcla.

Solución:



= 80cal

g:100 g

= 8000 cal

� Calor para elevar la temperatura de 600 g de agua de 0 oC a la temperatura final dela mezcla Tf : Al usar (6.10), obtenemos,

QH2O = mH2OcH2O�T

= 600g:1cal

g:oC: (Tf � 0oC)

= 600caloC:Tf



� Calor perdido por 200 g vapor al condensarse: Al usar (6.15) y (6.16), obtenemos,

Qvapor = Lvagua :mvapor

= 540cal

g:200 g

= 108000 cal

� Calor perdido por 200 g vapor al enfriarse (ya condensado, es decir, convertido enagua líquida) hasta la temperatura Tf : Al usar (6.10), obtenemos,

Qvapor = mvaporcvapor�T

= 200g:1cal

g:oC: (100oC � Tf )

= 200caloC: (100oC � Tf )

Al alcanzarse el equilibrio se cumple (6.18), por lo tanto,

Calor absorbido por el cuerpo frío = Calor perdido por el cuerpo caliente

Qhielo +QH2O = Qvapor +Qvapor

8000 cal + 600caloC:Tf = 108000 cal + 200

caloC: (100oC � Tf )

Tf = 150 oC

Este resultado indica que se introduce en el sistema más vapor que el necesariopara elevar la temperatura del hielo y del agua a 100oC. Por lo tanto, la temperaturafinal de la mezcla es de 100oC y lo que ocurre es que permanece parte del vapor sincondensar.

Si m es la masa de vapor condensado, podemos escribir,



= 80cal

g:100 g

= 8000 cal



� Calor para elevar la temperatura de 600 g de agua de 0 oC a la temperatura final dela mezcla 100 oC Al usar (6.10), obtenemos,

QH2O = mH2OcH2O�T

= 600g:1cal

g:oC: (100oC � 0oC)

= 60000 cal

� Calor perdido por m gramos vapor al condensarse: Al usar (6.15) y (6.16), obtene-mos,

Qvapor = Lvagua :m

= 540cal

g:m

Entonces, al usar (6.18), obtenemos,

Qhielo +QH2O = Qvapor

8000 cal + 60000cal = 540cal

g:m

m = 126 g

De aquí que la mezcla final contiene 200 g � 126 g = 74 g de vapor y 600 g + 126 g = 726g de agua, todo a 100oC.

6.8 Equivalente en agua de un cuerpo

En cuestiones prácticas se compara el calor ganado o perdido por un cuerpocon la masa de agua que gana o pierde la misma cantidad de calor. Dicha masaes el equivalente en agua del cuerpo. En otras palabras, se denomina equivalenteen agua de un cuerpo a la masa de agua en gramos, numéricamente igual a lacapacidad calorífica del mismo.

Por ejemplo, supongamos que se tiene una masa de hierro de 50 g. Como el calorespecífico del hierro es de c = 0; 115 cal

goC, su capacidad calorífica es,

C = 50g:0; 115cal

goC= 5; 75

caloC

(6.19)


6.9. CALOR ESPECÍFICO DE UN SÓLIDO

Por lo tanto, el equivalente en agua de esa masa de hierro es de 5; 75 g de agua,porque esta masa tiene una capacidad calorífica también de 5; 75 caloC

. Térmicamenteson equivalentes 50g de hierro y 5; 75g de agua; absorben o desprenden la misma can-tidad de calor por cada grado que varíen sus temperaturas.

6.9 Calor específico de un sólido

Para determinar el calor específico de los sólidos, se emplea el calorímetro demezclas. Está formado por un recipiente metálico de paredes delgadas y pulidas queva colocado dentro de otro recipiente de mayor diámetro apoyado en un soporte decorcho u otra sustancia mala conductora del calor (ver figura 6.6).

El vaso externo también está pulido y tiene por objeto reflejar el calor irradiadotanto por el recipiente interno, el cual forma propiamente el calorímetro, como porel calor externo del medio ambiente. El aparato se cierra con una tapa aisladoratérmica que tiene dos orificios para introducir el termómetro sensible y el agitador. Esteúltimo está formado por un anillo metálico de la misma naturaleza que el calorímetroy lleva una palanca para desplazario verticalmente, con el fin de mover el líquido.

Figura (6.6): Calorímetro

El procedimiento es el siguiente:

a. Se calienta el cuerpo, cuyo calor específico se quiere determinar y cuya masa mc,se conozca, hasta la temperatura T1.

b. Se introduce luego en el calorímetro, el cual contiene una masa de agua mH2O. ala temperatura ambiente T2. El sólido comunica calor al agua. Después de cierto



tiempo, cuando la temperatura del agua deja de ascender, se anota su valor. Esésta la temperatura final que designamos por T simplemente, por ser la temperaturafinal.

Es de advertir que debe conocerse previamente la masa del calorímetro, que des-ignamos como mcal, y su calor específico ccal. Aquí se supone que entra la masa delagitador y su calor específico. La del termómetro se puede despreciar.

Se establece con los datos tomados de la experiencia la ecuación del equilibriotérmico.

Qdes (cuerpo) = Qab (agua + calorímetro) (6.20)

Absorben calor, el agua y el calorímetro; desprende calor, el sólido.

� Calor despedido por el cuerpo:

Qc = mccc (T1 � T ) (6.21)

� Calor absorbido por el agua:

QH2O = mH2OcH2O (T � T2) (6.22)

� Calor absorbido por el calorímetro:

Qcal = mcalccal (T � T2) (6.23)

Ahora bien, al alcanzarse el equilibrio térmico debe cumplirse que,

Qc = QH2O +Qcal (6.24)

mccc(T1 � T ) = mH2OcH2O (T � T2) +mcalccal (T � T2) (6.25)

de aquí que,

cc =(mH2OcH2O +mcalccal) (T � T2)

mccc (T1 � T )(6.26)

Se debe hacer notar que en el planteamiento de la igualdad, T representa la tem-peratura final, y que cuando los cuerpos pierden calor, a su temperatura se le resta T ,y cuando ganan calor, a la temperatura T se resta la temperatura de la sustancia.


6.10. CALOR ESPECÍFICO DE LOS LÍQUIDOS

6.10 Calor específico de los líquidos

Se emplea el mismo calorímetro que para los sólidos, pero en él se coloca unamasa ml�{q del líquido, cuyo calor específico cl�{q se quiere determinar y está a la tem-peratura T1 ambiente, lo mismo que el calorímetro. Se introduce en el líquido uncuerpo de masa mc de calor específico conocido cc y calentado a la temperaturaT2. Tomemos, además, mcal como la masa del calorímetro y ccal como su calor especí-fico.

Absorben calor: el líquido y el calorímetro hasta llegar a la temperatura final de lamezcla T y desprende calor el cuerpo. Por lo tanto,

Qdes (cuerpo) = Qab (líquido + calorímetro) (6.27)

pero,

� Calor despedido por el cuerpo:

Qc = mccc (T2 � T ) (6.28)

� Calor absorbido por el agua:

Ql�{q = ml�{qcl�{q (T � T1) (6.29)

� Calor absorbido por el calorímetro:

Qcal = mcalccal (T � T1) (6.30)

entonces,

Qc = Ql�{q +Qcal (6.31)

mccc (T2 � T ) = ml�{qcl�{q (T � T1) +mcalccal (T � T1) (6.32)

de aquí que,

cl�{q =mccc (T2 � T )�mcalccal (T � T1)

ml�{q (T � T1)(6.33)



6.11 Problemas

1. Hallar la cantidad de calor necesaria para calentar, desde 15 oC hasta 650 oC: a) 1g de agua, b) 5 g de vidrio, c) 20 g de platino. El calor específico del vidrio es 0; 20calg:oC

y el del platino, 0; 032 calg:oC

. Resp.: 50 cal; 50 cal; 32 cal.

2. Calcular el número de calorías que se deben extraer para enfriar desde 85 oC hasta15 oC: a) 1 Kg de agua, b) 2 Kg de cuero, c) 3 Kg de asbesto. El calor específico delcuero es 0; 36 cal

g:oCy el del asbesto 0; 20 cal

g:oC. Resp.: 70:103 cal; 50; 4:103 cal; 42:103 cal.

3. La combustión de 5 g de coque eleva la temperatura de 1L de agua desde 10 oC

hasta 470 oC. Hallar el poder calorífico del coque. Resp.: 7; 4 Kcalg

.

4. El petróleo utilizado en un horno tiene un poder calorífico de 5000 Kcalkg

. Suppniendoque solo se aprovecha el 70 % del calor desprendido en su combustión, hallar lacantidad de combústible necesaria para calentar 500 Kg de agua desde 10 oC

hasta 80 oC. Resp.: 10 Kg.

5. Un tanque de 1000 L de capacidad está lleno de agua y se calienta desde 5 oC

hasta 75 oC, empleando carbón con un poder calorífico de 8000 kcalkg

. Calcular lacantidad de cárbón que se necesita suponiendo que sólo se aprovecha el 50 % delcalor liberado. Resp.: 17; 5 Kg.

6. Un calorímetro de 55 g de cobre contiene 250 g de agua a 18 oC. Se introducen enél 75 g de una aleación a una temperatura de 100 oC, y la temperatura resultante esde 20; 4 oC. Hallar el calor específico de la aleación. El calor específico del cobre es0; 093 cal

g:oC. Resp.: 0; 102 cal

g:oC.

7. Hallar la temperatura de la mezcla de 1 Kg de hielo a 0 oC con 9 Kg de agua a 50oC. Resp.: 37 oC.

8. Calcular la cantidad de calor necesaria para transformar 10 g de hielo a 0 oC envapor a 100 oC. Resp.: 7; 2 Kcal.

9. Se hacen pasar 5 Kg de vapor a 100 oC por 250 Kg de agua a 100 oC. Hallar latemperatura resultante. Resp.: 23; 25 oC.

10. Hallar el calor de fusión del hielo a partir de los siguientes datos:

10.1. Masa del calorímetro 60 g.

10.2. Masa del calorímetro más la del agua 460 g.


6.11. PROBLEMAS

10.3. Masa del calorímetro más la del agua y hielo 618 g.

10.4. Temperatura inicial del agua 38 oC.

10.5. Temperatura de la mezcla 5 oC.

10.6. Calor específico del calorímetro 0; 10 calg:oC

. Resp.: 79; 8 calg

.

11. Un calorímetro, cuyo equivalente en agua es de 2; 5Kg, contiene 22; 5Kg de aguay 5 Kg de hielo a 0 oC. Hallar la temperátura final si se introducen en él 2; 5 Kg devapor a 100 oC. Resp.: 36; 9 oC.

12. Hallar la temperatura final que resulta introduciendo en un calorímetro, que con-tiene 200 g de agua y 20 g de hielo a 0 oC con un equivalente de 30 g, 100 g de vapora 100 oC. Resp.: 49; 4 g de vapor condensado; temperatura final 100 oC.

13. Un calorímetro de 50 g de equivalente en agua contiene 400 g de agua y 100 g dehielo a 0 oC. Se introducen en él 10 g de vapor a 100 oC. Hallar la temperatura final.Resp.: 79; 9 g de hielo fundido; temperatura final 0 oC.

14. ¿Qué cantidad de calor absorben 625 g de agua a 15 oC, para que su temperaturasea de 60 oC? Resp.: 28125 cal.

15. Se mezclan 250 g. de agua a 40 oC con 375 g. de agua a 15 oC. ¿Cuál es latemperatura final de la mezcla? Resp.: 25 oC.

16. ¿Qué cantidad de calor se necesita para que los 35 g de mercurio de un ter-mómetro eleven su temperatura 30 oC?. Calor específico del Hg = 0; 033 cal

g:oC. Resp.:

34; 65 cal.

17. ¿Qué cantidad de calor desprende un trozo de cobre de 5 Kg, si su temperaturadesciende desde 100 oC a 50 oC? Determinar también la temperatura a la cual seelevará una masa de agua de 2375 g a 12 oC con el calor desprendido por el cobre.Calor específico del cobre: 0; 095 cal

g:oC: Resp.: 23750 cal; .22 oC

18. Un calorímetro de cobre de 150 g. El calor específico es 0; 095 calg:oC

. Calcular lascalorías que desprende al pasar su temperatura de 40 oC a 15 oC. Determinar elequivalente en agua de dicho calorímetro. Resp.: 356; 25 cal; 14; 25 g.

19. En 178 g de agua a 19 oC se introduce un trozo de hierro de 60 g. a 100 oC. Cuandose establece el equilibrio térmico, la mezcla tiene una temperatura de 22 oC. ¿Cuáles el calor específico del metal? Resp.: 0; 114 cal

g:oC.



20. Un calorímetro contiene 400 g de agua a 12 oC y se introducen en él 200 g de plomoa 83 oC. La temperatura final es de 13 oC. Y el equivalente en agua del calorímetroes de 20 g. Determinar el calor específico del plomo. Resp.: 0; 03 cal

g:oC.

21. Se tienen 500 g de agua a 100 oC y se reemplazan 100 g. de esa agua por 150 g deagua a 0 oC. Cuando se establece el equilibrio térmico se repite la operación dosveces más. Calcular las temperaturas del agua en cada una de las operaciones.Resp.: 1) 80 oC; b) 64 oC; c) 51; 2 oC.

22. Determinar el calor específico de la terebentina, si un trozo de cobre a 100 oC essumergido en 800 g de terebentina, la cual eleva su temperatura de 6 oC a 8; 5 oC yel mismo trozo de cobre sumergido en 500 g. de agua, hace elevar la temperaturade ésta de 5; 1 oC a 6; 8 oC. Resp.: 0; 417 cal

g:oC.

23. En un vaso hay agua a 4 oC y en otro agua a 84 oC. ¿Que cantidad de agua debetomarse de cada vaso para obtener una mezcla de 1200 g de agua a 24 oC, en unrecipiente de latón de 500 g cuya temperatura es de 12 oC siendo su calor específico0; 095 cal

g:oC?. Resp.: 892; 875 g.

24. Un termómetro de mercurio tiene una masa de 60 g, se le calienta a 110 oC; se leintroduce en un calorímetro cuyo equivalente en agua es 160 g. El agua eleva sutemperatura de 6 a 10 oC. Determinar la masa del mercurio y la masa del vidrio quetiene el termómetro. Calor específico del mercurio, 0; 03 cal

g:oCy calor específico del

vidrío, 0; 19 calg:oC

. Resp.: 31; 25 g y 28; 75 g.

25. En 625 g de agua a 46 oC se colocan 125 g de hielo a 0 oC. ¿Cuál será la temperaturafinal de la mezcla?. Resp.: 25 oC.

26. Para determinar el calor de fusión del hielo, se introducen 25 g de hielo a 0 0 oC en225 g de agua a 20 oC. La temperatura de la mezcla es de 10 oC. ¿Cuál es el calorde fusión del hielo?. Resp.: 80 cal

g.

27. En 1700 g de agua a 15 oC se van colocando poco a poco trocitos de hielo a 0 oC.La temperatura de la mezcla es de 5 oC. Determinar la masa del hielo depositadaen el agua. Resp.: 200 g.

28. Un trozo de hielo a �5 oC tiene forma de paralelepípedo cuyas dimensiones son:40 cm., 20 cm., y 10 cm. Su densidad es 0; 9 g=cm3. Se le coloca en agua. la cual estáa 20 oC, y la temperatura desciende a 15 oC. Determinar la masa del agua. Calorespecífico del hielo, 0; 5 cal

g:oC, y calor de fusión, 80 cal

g:oC. Resp.: 140400 g.


6.11. PROBLEMAS

29. Una hornilla puede calentar 1 Kg de agua de 10 a 15 oC en un minuto. ¿Cuántotiempo tardará en fundir 1 Kg de hielo a �10 oC y elevar la temperatura del aguaproducida a 15 oC?. Resp.: 20 min.

30. Calcular la masa de hielo necesaria para bajar la temperatura del agua de unabañera de 50 oC a 40 oC, si tiene 120 L de agua cuya masa es de 120Kg. El hielo estáa �20 oC. Resp.: 10378; 3 g.

31. En 1500 g de agua a 10 oC se introduce una masa de cobre de 200 g a 100 oC y 500g de hielo a 0 oC. La temperatura queda a 0 oC. ¿Qué masa de hielo se funde?.Resp.: 211; 25 g.

32. El calor de evaporación del agua a 100 oC es de 537 calg:oC

. ¿Qué cantidad de calorse necesita para calentar 500 g de agua a 15 oC y evaporarla a 100 oC?. Resp.: 311000cal:

33. ¿Cuántos litros de vapor de agua a 100 oC se necesitan para calentar 4m3 de aguade 20 oC a 80 oC, sabiendo que un litro de vapor de agua a 100 oC tiene una masade 0; 8 g?. Resp.: 5386000 L.

34. Un calorímetro cuyo equivalente en agua es 15 g contiene 365 g de agua a 20 oC.Se Introducen en él 100 g de hielo a �10 oC y luego una corriente de vapor de aguaa 100 oC de 50 L. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla?. Resp.: 47; 2 oC.

35. Un calorímetro contiene agua y hielo. Se introducen en él 1233 g de plomo a 25 oC,fundIéndose 120 g de hielo. En otro experimento se colocan en el mismo calórímetro801 g de plomo fundido a la temperatura de solidificación 335 oC fundiéndose 159 gde hielo. Calcular el calor específico del plomo en estado sólido y su calor de fusión.Resp.: 0; 0314 cal

g:oC; 5; 37 cal

g.

36. Se dispara una bala de plomo de 10 g sobre una placa de acero. ¿Cuál debe serla velocidad mínima de la bala, para que con el impacto se funda totalmente?. Latemperatura inicial de la bala es de 15 oC y absorbe el 80% del calor producido enel choque. Resp.: 41357 cm=s.

37. En un cristal de tierra refractaria se colocan 100 g de estaño a 15 oC. En él sederraman 125 g de cobre a 600 oC. ¿Cuál será la temperatura final admitiendo queno hay pérdida de calor?. Calor específico del cobre, 0; 092 cal

g:oC. Calor específico

de estaño sólIdo, 0; 056 calg:oC

. Calor de fusión del estaño, 14 calg

. Temperatura de fusióndel estaño, 232 oC. Resp.: 324 oC.




CAPÍTULO 7

Leyes 1 y 2 de la termodinámica

7.1 Gases ideales

Un gas ideal es aquél que tiene las más sencillas propiedades debido a quela interacción entre las moléculas es despreciablemente pequeña. La interacciónentre las moléculas de todo gas será menospreciablemente débil con gran enrare-cimiento, es decir, con pequeñas densidades del gas.

Con suficiente enrarecimiento, cualquier gas real se aproxima por sus propiedadesa un gas ideal. Ciertos gases, tales como el aire, nitrógeno, oxígeno, incluso a condi-ciones normales, es decir, a temperatura ambiente y presión atmosférica, poco sediferencian de un gas ideal. En particular, por sus propiedades, el helio e hidrógeno,se aproximan a un gas ideal.

Con pequeñas densidades, los gases se supeditan con suficiente precisión a laecuación,

pV = nRT (7.1)

que es la denominada ecuación de estado de un gas ideal o ley de los gases ideales.Aquí, p es la presión, V el volumen, n el número de moles de gas, R es la constante uni-versal de los gases (encontrada experimentalmente igual para todos los gases) 8; 314Jmol�1K�1 = 1; 986 cal mol�1K�1 = 1; 986 cal mol�1 (oC)�1 (puesto que K se define comoigual a un grado Celsius. Ver la sección dedicada a las escalas de temperaturas) y Tes la temperatura en la escala Kelvin.

363

CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA

Un mol es la unidad básica del Sistema Internacional de unidades, definidacomo la cantidad de una sustancia que contiene tantas entidades elementales(átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas) como átomos hay en0; 012 Kg (12 g) de carbono 12.

Esa cantidad de partículas es aproximadamente de 6; 0221:1023, el llamado númerode Avogadro. Por tanto, un mol es la cantidad de cualquier sustancia cuya masaexpresada en gramos es numéricamente igual a la masa atómica1 de dicha sustancia.

7.2 Gases reales

La ecuación de estado del gas ideal (7.1) no es del todo correcta: los gases realesno se comportan exactamente así. En algunos casos, la desviación puede ser muygrande. Por ejemplo, un gas ideal nunca podría convertirse en líquido o sólido pormucho que se enfriara o comprimiera. Por eso se han propuesto modificaciones dela ley de los gases ideales. Una de ellas, muy conocida y particularmente útil, es laecuación de estado determinada en 1873 por van der Waals,�

p+an2

V 2

��V

n� b�= RT (7.2)

donde a y b son parámetros ajustables determinados a partir de medidas experimen-tales en gases reales. Son parámetros de la sustancia y no constantes universales,puesto que sus valores varían de un gas a otro. Por ejemplo, para el CO2 el mejorajuste se obtiene para a = 3; 6:10�3 Nm4

mol2y b = 4; 2:10�5 m3

mol.

El análisis de van der Waals se basa en la teoría cinética y toma en cuenta:

a. El tamaño finito de las moléculas (en un gas ideal se desprecia el volumen total delas propias moléculas, en comparación con el volumen total del recipiente, suposi-ción que se aparta de la realidad cuando la densidad aumenta y las moléculas sejuntan).

b. Las moléculas interaccionan entre sí. La interacción es muy repulsiva a corta distan-cia, se hace ligeramente atractiva a distancias intermedias y desaparece a distan-cias más grandes. La ley de los gases ideales debe corregirse para considerar lasfuerzas atractivas y repulsivas. Por ejemplo, la repulsión mutua entre moléculas tieneel efecto de excluir a las moléculas vecinas de una cierta zona alrededor de cada

1 Se denomina masa atómica Ar de un elemento químico, a la razón entre la masa del átomo de esteelemento y 1

12 de la masa del átomo 12C (así se designa el isótopo de carbono con peso atómico 12).


7.3. EL CALOR Y EL TRABAJO MECÁNICO

molécula. Así, una parte del espacio total deja de estar disponible para las molécu-las en su movimiento aleatorio. En la ecuación de estado, se hace necesario restareste volumen de exclusión b del volumen del recipiente; de ahí el término V

n� b

(en un gas ideal se supone que las fuerzas intermoleculares actúan sólo durante lascolisiones, cuando las moléculas están en “contacto”).

Los gases reales se subordinan a la ecuación de Van der Waals sólo deforma aproximada. Un gas imaginario que por completo se supedita a la ecua-ción (7.2) recibe el nombre de gas de Van der Waals.

7.3 El calor y el trabajo mecánico

El calor Q es una forma de energía y esta última es la capacidad para realizartrabajoW , por lo tanto existe una relación entre el calor y el trabajo. Es de hacer notar,como mencionamos antes, que el calor es una energía que fluye de un cuerpo a otroen virtud de una diferencia de temperaturas, mientras que el trabajo es la energía quese transmite de un sistema a otro de tal manera que no esté involucrada directamenteuna diferencia de temperaturas.

Figura (7.1): Proceso termodinámico genérico

La figura 7.1 muestra un proceso termodinámico genérico, en el cual definimosclaramente el sistema y su entorno (medio ambiente externo). En la figura se ha dibu-jado una superficie cerrada que rodea al sistema para definirlo indicando así su fron-tera. Bien, la figura indica lo siguiente:

a. En (a) el sistema se encuentra en su estado inicial, en equilibrio con su entorno,



b. en (b) el sistema interactúa con su entorno mediante un proceso termodinámicoparticular. Durante este proceso puede entrar o salir energía del sistema en formade calor y de trabajo. Las flechas que representan el flujo deQ y deW deben cruzarla frontera

c. y ,por último, en (c) el sistema ha alcanzado su estado final y de nuevo se encuentraen equilibrio con su entorno.

A un proceso termodinámico en el cual la frontera de un sistema no permiteel intercambio de calor con su entorno se denomina proceso adiabático. Porotro lado, cuando en un proceso termodinámico la temperatura permanececonstante se dice que es isotérmico, si se mantiene constante la presión se diceentonces que es isobárico y si se manteiene constante el volumen se dice quees isocórico.

Bien, supóngase que tenemos un gas confinado en un recipiente cilíndrico comoel que muestra la figura 7.2. Debemos tener cuidado en definir con exactitud nues-tro sistema. En este caso, elegimos al gas como nuestro sistema; de tal modo quelas paredes del recipiente y el émbolo son partes del medio circundante (entorno).Calcularemos ahora el trabajo que efectúa el gas al expandirse cuasiestáticamente,con lo que queremos decir que el proceso se lleva a cabo con extrema lentitud (in-finitamente lento), de manera que el sistema pasa por una sucesión de estados deequilibrio infinitesimalmente cercanos; en esta forma p y T se definen en el sistema entodos los instantes2.

Ahora bien, la fuerza ejercida sobre el émbolo por el gas viene dada por,

F = pS (7.3)

donde S es la sección transversal del émbolo. Por ende, el trabajo realizado paramover el émbolo una distancia infinitesimal d

�!l es,

dW =�!F � d�!l = pSdl = pdV (7.4)

Si el gas se comprimiera, de modo que d�!l apuntara hacia el gas, el volunmen se

reduciría y dV < 0, entonces el trabajo realizado por el gas sería negativo, lo queequivale a decir que se efectúa un trabajo positivo sobre el gas y no es él quien lorealiza.

2 Si el gas se expandiera o comprimiera rápidamente, habría turbulencia y partes diferentes estarían adiferente presión y temperatura.



Figura (7.2): Trabajo realizado por un gas

Para un cambio finito de V1 a V2, se tiene que el trabajo realizado por el gas vienedado por,

W =

ZdW =

Z V2

V1

pdV (7.5)

Las ecuaciones (7.4) y (7.5) son válidas para el trabajo realizado en cualquier cam-bio de volumen (de un gas, líquido o sólido) siempre y cuando se efectúe en formacuasiestática.

Para integrar la ecuación (7.5), necesitamos saber cómo varía la presión durante elproceso, lo cual depende del tipo de proceso.

Figura (7.3): Diagrama para un gas ideal que experimenta un proceso isotérmico

En forma muy particular, podemos calcular el trabajo realizado en el caso de ungas ideal o gas perfecto.



Consideremos primero un gas ideal que experimenta un proceso isotérmico. Paratener la certeza de que la temperatura permanece constante, suponemos que nues-tro gas está en contacto térmico con un reservorio de calor,

Un reservorio de calor es un cuerpo cuya masa es tan grande, idealmente,de modo que su temperatura no cambia de manera significativa cuando inter-cambia calor con nuestro sistema.

Este proceso es representado en la figura 7.3, siendo el área entre la curva pV y eleje V (porción sombreada en la figura) exactamente el trabajo que se efectúa eneste proceso en concordancia con la ecuación (7.5). En este caso, a partir de (7.5) yde (7.1), podemos escribir,

W =

Z V2

V1

pdV = nRT

Z V2

V1

dV

V= nRT ln

�V2V1

�(proceso isotérmico) (7.6)

Estudiemos ahora una forma distinta de llevar al gas del estado 1 al 2. Para estoseguiremos los siguientes pasos:

Figura (7.4): Procesos isocórico e isobárico para un gas ideal

a. Reducimos la presión del gas de p1 a p2 como se muestra en el segmenta ab de lafigura 7.4 (proceso isocórico),

b. ahora, a partir de aquí el gas se expande de V1 a V2 a presión constante P2 (procesoisobárico), como es indicado por el segmento bc de la figura 7.4.

Bien, en ab no se efectúa trabajo puesto que dV = 0,

W = 0 (proceso isocórico) (7.7)

mientras que, en bc la presión permanece constante de modo que,



W =

Z V2

V1

pdV = p2 (V2 � V1) (proceso isobárico) (7.8)

que para un gas ideal es,

W == nRT2

�1� V1

V2

�(proceso isobárico gas ideal) (7.9)

En este caso, el trabajo realizado también se representa por medio del área entrela curva abc sobre el diagrama pV y el eje V , representado por el área sombreada enla figura 7.4. Nótese, además, que la temperatura no permanece costante durante elproceso isobárico, aunque es la misma en los puntos finales del proceso isocórico másel proceso isobárico (abc en la figura 7.4: T1 = T2).

Es fácil notar que el trabajo para llevar el sistema desde el estado 1 al estado 2 esdiferente para ambos procesos, lo cual es un resultado general que podemos enunciarde la siguiente manera:

El trabajo efectuado para llevar un sistema desde un estado A a otro B

depende no sólo de su estado inicial y final, sino también del tipo de proceso(o “trayectoria”).

Lo mismo se cumple para el calor. El calor de entrada necesario para pasar el gasdel estado 1 al 2 depende del proceso. Para el proceso isotérmico de la figura 7.3resulta ser mayor que para el proceso abc de la figura 7.4. En general:

La cantidad de calor que se suministra o se extrae al llevar un sistema de unestado A a otro B depende no sólo de los estados inicial y final sino también dela trayectoria o proceso.

Ejemplo 7.1 ¿Cuánto trabajo realizan 8; 0 moles de gas O2 inicialmente a 0 oC y a 1 atmcuando se duplica su volumen (a) en un proceso isotérmico y (b) en un procesoisobárico?.

Solución:

a. Al usar (7.6) con V2 = 2V1, y T1 = 0 oC = 273; 15 K = T2 [ver (5.1)], obtenemos:

W = nRT2 ln

�V2V1

�= nRT2 ln

�2V1V1

�= nRT2 ln (2)

= 8; 0 moles:8; 314Jmol�1K�1:273; 15K:0; 69

= 1; 25:104 J



No usamos (7.9) porque aquí T no se mantiene constante al cambiar el volumen.

b. Al usar (7.8) con V2 = 2V1 y p1 = 1 atm obtenemos:

W = p2 (V2 � V1)= p2 (2V1 � V1)= p2V1

que al usar (7.1) para sustituir V1, resulta

W = p2nRT1p1

y como p2 = p1, entonces,

W = nRT

= 8; 0 moles:8; 314Jmol�1K�1:273; 15K

= 1; 8:104 J

Ejemplo 7.2 Determine el trabajo que realizan n moles de un gas de van der Waalscuando se expande desde el volumen V1 hasta V2 isotérmicamente.

Solución: Sabemos de (7.5) que,

W =

Z V2

V1

pdV

Por lo tanto, al despejar la presión p de la ecuación de estado de van der Waals(7.2) y sustituirla en la anterior y teniendo presente que en un proceso isotérmico T

se mantiene constante, obtenemos,

W =

Z V2

V1

�nRT

V � nb �an2

V 2

�dV

que al ser integrada resulta,

W = nRT ln

�V2 � nbV1 � nb

�+ an2

�1

V2� 1

V1

�

7.4 Energía interna

Llamamos energía interna U de cualquier cuerpo, a aquella de la que se hasustraído la energía cinética del cuerpo como un todo y la energía potencial de ésteen el campo exterior de fuerzas.


7.5. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

Por ejemplo, al determinar la energía interna de cierta masa de gas no debemostomar en consideración la energía de movimiento del gas junto con el recipiente yla energía condicionada por hallarse el gas en el campo de fuerzas de la atracciónterrestre.

Es decir, en la noción de energía interna se incluyen la energía del movimientocaótico de las moléculas, la energía potencial de interacción entre ellas y la energíaintermolecular3.

La energía interna de un sistema es igual a la suma de las energías internasde cada uno de los cuerpos por separado y de la energía de interacción entrelos cuerpos, que de por sí es la energía de interacción intermolecular en unafina capa en la superficie de separación entre los cuerpos.

Este último tipo de energía es tan pequeña, en comparación con la de los cuerposmacroscópicos, que puede ser despreciada y se considera que la energía interna deun sistema de cuerpos macroscópicos es igual a la suma de las energías internas de loscuerpos que lo constituyen. De este modo, la energía interna es una magnitud aditiva.

La energía interna es función del estado del sistema, lo que significa quecada vez que el sistema se encuentra en el estado dado, su energía internatoma el valor propio de dicho estado, independientemente de la prehistoriadel sistema.

Por consiguiente, durante el paso de un sistema de un estado a otro, la variación dela energía interna siempre será igual a la diferencia de los valores de la energía internaen dichos estados independientemente del camino por el que se realizó la transición,es decir, sin que dependa de la transformación o del conjunto de transformacionesque provocaron la transición del sistema de un estado a otro.

7.5 Primera ley de la termodinámica

La primera ley de la termodinámica identifica el calor como una forma de ener-gía. Esta idea, que hoy nos parece elemental, tardó mucho en abrirse camino y nofue formulada hasta la década de 1840, gracias a las investigaciones de Mayer y deJoule principalmente. Anteriormente, se pensaba que el calor era una sustancia in-destructible y sin peso (el calórico) que no tenía nada que ver con la energía.

3 Esta definición debe ser considerada como previa. En la física estadística la noción de energía internase precisa. La aclaración de dicha precisión sale de los márgenes del presente texto.



La primera ley de la termodinámica es una ley de conservación de la energía. Elcalor y el trabajo son mecanismos por los que los sistemas intercambian energía entresí.

El primer reconocimiento del principio de conservación, por Leibniz en 1693, serefería sólo a la suma de la energía cinética (1

2mv2) y la energía potencial (mgh) de

una masa mecánica simple situada en el campo gravitacional terrestre. En la medidaen que se consideraron nuevos tipos de sistemas, la forma establecida del principiode conservación fallaba repetidamente, pero en cada caso, fue posible revivirlo me-diante la incorporación de un nuevo término matemático (una “nueva clase de ener-gía”). El principio de la conservación de la energía es uno de los más fundamentales,generales y significantes principios de la teoría física [14].

En cualquier máquina, hace falta cierta cantidad de energía para producir trabajo;es imposible que una máquina realice trabajo sin necesidad de energía. Una máquinahipotética de estas características se denomina móvil perpetuo de primera especie.La ley de conservación de la energía descarta que se pueda inventar nunca unamáquina así. A veces, la primera ley se enuncia como la imposibilidad de la existenciade un móvil perpetuo de primera especie.

7.5.1 Enunciado

Para un sistema cerrado (de masa constante) la primera ley de la termodinámicase expresa matemáticamente por medio de:

�ET = Q�W (7.10)

donde �ET es el cambio total de energía del sistema, Q es el calor agregado al sis-tema y W el trabajo realizado por el sistema. La primera ley de la termodinámica sóloproporciona la expresión cuantitativa del principio de conservación de la energía. Enpalabras, expresa que:

el cambio total de energía de un sistema cerrado es igual al calor trans-ferido al sistema, menos el trabajo efectuado por el sistema.

Puesto que �ET = �Ek + �Ug + �U , donde �Ek, �Ug, �U son las variaciones dela energía cinética, potencial gravitacional(energías externas) e interna del sistemarespectivamente, la ecuación (7.10) puede escribirse ahora como,

�Ek +�Ug +�U = Q�W (7.11)



En el caso frecuente donde las energías potencial y cinética del sistema no cam-bian, (7.11) se convierte en:

�U = Q�W (7.12)

o, en forma diferencial,

dU = �Q� �W (7.13)

y todo el intercambio de energía con el entorno sirve para cambiar sólo la energíainterna4.

De la primera ley podemos deducir que:

a. Si el proceso no es cíclico �U 6= 0.

b. Si no se realiza trabajo mecánico �U = Q.

c. Si el sistema está aislado térmicamente �U = �W .

d. Si el sistema realiza trabajo, U disminuye.

e. Si se realiza trabajo sobre el sistema, U aumenta.

f. Si el sistema absorbe calor al ponerlo en contacto térmico con un foco a tempera-tura superior, U aumenta.

g. Si el sistema cede calor al ponerlo en contacto térmico con un foco a una tempe-ratura inferior, U disminuye.

Debemos tener presente que:

a. Q es positivo cuando el calor se introduce en el sistema, y negativo, cuando seextrae calor del mismo.

b. W es positivo cuando el sistema realiza trabajo exterior, y negativo, cuando seaplica o se introduce en el mismo.

4 dU representa un cambio infinitesimal en el valor de U y la integración da una diferencia entre dosvalores Z U2

U1

dU = U2 � U1

mientras que � denota una cantidad infinitesimal y la integración da una cantidad finitaZ�Q = Q y

Z�W =W



7.5.2 Algunas ejemplos donde se aplica

Las ecuaciones (7.6), (7.7) y (7.8) permiten calcular el trabajo para un procesoisotérmico, isocórico e isobárico respectivamente si el sistema está constituido por ungas ideal.

Bien, en esta sección será mostrado cómo se aplica la primera ley de la termodi-námica, mediante algunos ejemplos, a cada uno de estos procesos.

Ejemplo 7.3 Supongamos que 2; 00 moles de un gas ideal de volumen V1 = 3; 50 m3 aT1 = 300 K se deja expandir hasta V2 = 7; 00 m3 a T2 = 300 K. El proceso seefectúa (a) isotérmicamente; (b) a lo largo de la trayectoria abc de la figura 7.4,por lo que se permite que la presión descienda a volumen constante a lo largo dela trayectoria ab y después el volumen aumenta a presión constante a lo largo dela trayectoria bc. Para cada proceso, (a) y (b), determine el trabajo que efectúael gas, el calor que se suministra al gas, así como el cambio en su energía interna.

Solución:

(a) El trabajo realizado por el gas viene dado por la ecuación (7.6), entonces,

W = nRT ln

�V2V1

�= 2; 00 mol:8; 314 J mol�1K�1:300 K: ln

�7; 00m3

3; 50m3

�= 3460 J

Puesto que para un gas ideal U sólo depende de la temperatura [ver ecuación(7.23)] y en este proceso no cambia la temperatura, entonces,

�U = 0

Por lo tanto, de acuerdo con (7.12), podemoes escribir,

Q = �U +W = W = 3460 J

(b) Este proceso incluye dos partes: En la trayectoria ab tenemos que,



Wab = 0

según (7.7) y en la trayectoria bc tenemos que,

Wbc = nRT2

�1� V1

V2

�= 2; 00 mol:8; 314 J mol�1K�1:300 K:

�1� 3; 50m

3

7; 00m3

�= 2490 J

Por lo tanto, el trabajo total realizado en la trayectoria abc es,

W = 0 + 2490 J = 2490 J

y como �U = 0, entonces,

Q = �U +W = W = 2490 J

Ejemplo 7.4 Determínese (a) el trabajo y (b) el cambio en la energía interna de 1; 00Kg de agua cuando hierve para convertirse en vapor a 100 oC. Suponga unapresión constante de 1 atm = 1; 01:105 N

m2 . Se sabe que el calor que se requierepara hervir 1 Kg de agua (calor de vaporización) es de 539 Kcal = 22; 6:105 J yque 1 Kg de agua a 100 oC tiene un volumen de 1; 00:10�3 m3 y que 1 Kg de vapora 100 oC tiene un volumen de 1; 67 m3.

Solución:

(a) En este caso, según (7.8), obtenemos,

W = p (V2 � V1)

= 1; 01:105N

m2:�1; 67m3 � 1; 00:10�3m3

�= 1; 69:105 J

(b) Al usar ahora la primera ley de la termodinámica (7.12), se obtiene,

�U = Q�W = 22; 6:105J � 1; 69:105 J = 20; 9:105J

Ejemplo 7.5 Mostrar que se cumple,



pV = ctte

para un gas ideal que experimenta un proceso adiabático (proceso que transcurre sinintercambio de calor con el entorno del sistema), donde = Cp

CV. Esta ecuación recibe

el nómbre de ecuación adiabática de un gas ideal o ecuación de Poisson y la curvadefinida con esta ecuación es llamada adiabática.

Solución: Bien, a partir de la primera ley de la termodinámica (7.12),

Q = �U +W (7.14)

pero para un proceso adiabático Q = 0 y W = p�V . Cómo el gas es ideal, U sólodepende de la temperatura y viene dado por (??), entonces,

0 = nCV�T + p�V ) �T = �p�VnCV

(7.15)

Ahora, si p, V y T sufren pequeñas variaciones, a partir de (7.1) podemos escribir,

(p+�p) (V +�V ) = nR (T +�T ) (7.16)

pV + p�V + V�p+�p�V = nRT + nR�T (7.17)

que, al despreciar la cantidad �p�V y tomar en cuenta (7.1), nos queda como,

p�V + V�p = nR�T ) �T =p�V + V�p

nR(7.18)

Bien, ahora si igualamos (7.15) con (7.18) y tomamos en cuenta (7.32), obtenemos,

p�V Cp + V�pCV = 0)�p

p+

�V

V= 0 (7.19)

siendo en el caso límite de cambios diferenciales,

dp

p+

dV

V= 0 (7.20)

que al ser integrada (suponiendo constante) resulta,

ln p+ lnV = ctte ) pV = ctte (7.21)

que se cumple para un proceso adiabático en el que intervenga un gas ideal.El valor de la constante es proporcional a la cantidad de gas. En la figura 7.5 se

comparan los comportamientos isotérmico y adiabático de un gas.

Por otro lado, para un proceso isotérmico se cumple que,



Figura (7.5): Comparación de comportamientos isotérmico y adiabático para un mol de gas ideal.

pV = ctte (7.22)

la cual proviene de (7.1) al hacer la temperatura T constante y recibe el nómbre deecuación isotérmica de un gas ideal mientras que la curva definida con esta ecuaciónes llamada isoterma.

Ejemplo 7.6 En cada uno de los siguientes casos, hallar la variación de energía internadel sistema: (a) Un sistema absorbe 500 cal y realiza 40 Kpm de trabajo, (b) unsistema absorbe 300 cal y se le aplica un trabajo de 419 J y (c) de un gas seextraen 1500 cal a volumen constante.

Solución: Al usar (7.12), en donde Q, W y �U se deben expresar en las mismasunidades de energía. Q es positivo cuando el calor se introduce en el sistema, y nega-tivo, cuando se extrae calor del mismo. W es positivo cuando el sistema realiza trabajoexterior, y negativo, cuando se aplica o se introduce en el mismo. Ahora bien,

(a) Para este caso,

�U = Q�W = 500cal � 40=0; 427cal = 406; 33cal

(b) y en este,�U = Q�W = 300cal � (�419=4; 19cal) = 400cal

(c) Por último, como no existe variación de volumen (proceso isocórico), no se realizatrabajo alguno, entonces

�U = Q�W = �1500cal � 0 = �1500cal



Ejemplo 7.7 En cada una de las siguientes transformaciones adiabáticas, hallar la va-riación de energía interna: (a) Un gas produce, en un a expansión adiabática,0; 5 Kpm de trabajo exterior y (b) durante una compresión adiabática se aplica aun gas un trabajo de 80 J .

Solución: En un proceso adiabático no hay transferencia de calor entre el sistemay el medio exterior, por lo tanto, Q = 0 y al usar (7.12), nos queda,

(a) en este caso,�U = Q�W = 0� 0; 5Kpm = �0; 5Kpm

y aquí,�U = Q�W = 0� (�80 J) = 80 J

Ejemplo 7.8 Un kilogramo de vapor a 100 oC y 1 atm ocupa un volumen de 1; 673 m3.(a) Hallar el porcentaje, respecto al calor de vaporización del agua (540 Kcal=Kga 100 oC y 1 atm), del trabajo exterior producido al transformarse agua en vapora 100 oC, venciendo la presión atmosférica. Sabiendo que 1 Kg de agua a 100oC tiene un volumen de 0; 001 m3, determinar el incremento de energía interna alformarse 1 Kg de vapor a 100 oC.

Solución:

(a) El trabajo realizado en la transformación de 1 Kg de agua en 1 Kg de vapor apresión constante viene dado por, según (7.8),

W = p(V2 � V1) = 1:104 Kp=m2:(1; 673 m3 � 0; 001 m3)

= 16720 Kpm

El calor equivalente a

16720 Kpm = 16720 Kpm:1=427 Kcal=Kpm

= 39; 16 Kcal

y el porcentaje pedido

= (39; 16 Kcal)=(540 Kcal) = 0; 0725 = 7; 25 %

(b) ahora, al usar (7.12),

�U = Q�W = 540 Kcal � 39; 16 Kcal= 500; 84 Kcal


7.6. ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL

7.6 Energía interna de un gas ideal

La energía interna de un gas ideal monoatómico viene dada por,

U =3

2nRT (7.23)

que es una predicción de la teoría cinética estableciendo que la energía internade un gas ideal es proporcional a la temperatura Kelvin y sólo depende de la tem-peratura y del número de moles de gas, siendo independiente de la presión y delvolumen.

Si las moléculas del gas contienen más de un átomo, debe tomarse en cuenta laenergía rotacional y vibracional de las moléculas. La energía interna será mayor acualquier temperatura que para el caso de un gas monoatómico, pero seguirá siendosólo función de la temperatura.

7.7 Capacidades caloríficas de un gas ideal

Como vimos, el calor específico c de una sustancia es el calor que la unidad demasa requiere para sufrir un cambio de una unidad en su temperatura. Una unidadde masa conveniente es el mol. La capacidad calorífica correspondiente recibe elnombre de Capacidad calorífica molar C. Matemáticamente se escribe,

C =Q

n�T(7.24)

En los gases, sólo son importantes dos tipos de capacidad calorífica molar:Las consideradas a volumen constante CV y a presión constante Cp.

Figura (7.6): Gas ideal encerrado en un dispositivo de cilindro y émbolo.



Consideremos un cierto número de moles de un gas ideal encerrados en un dispo-sitivo de cilindro y émbolo como el mostrado en la figura 7.6(a). El cilindro se apoyasobre un depósito de calor cuya temperatura puede aumentarse o disminuirse a vo-luntad, de modo que se pueda añadir calor al sistema o extraérselo, según se desee.El gas tiene una presión p, tal que la fuerza hacia arriba que ejerce sobre el émbolo(sin fricción) equilibra justamente al peso del émbolo y de su carga de arena. El es-tado del sistema está representado por el punto a en el diagrama pV de la figura 7.7;este diagrama muestra dos lineas isotérmicas o isotermas, puesto que todos los pun-tos de una de ellas corresponden a una temperatura T y todos los puntos de la otracorresponden a una temperatura mayor T +�T .

Figura (7.7): La temperatura dada de una masa de gas aumenta en la misma cantidad ya sea por unproceso a presión constante ab o por un proceso a volumen constante ac.

Ahora aumentamos la temperatura del sistema en �T , incrementando lentamentela temperatura del depósito. A medida que esto ocurre, añadimos arena al émbolo,de modo que su volumen V no cambie. Este proceso a volumen constante hacepasar al sistema del estado inicial de la figura 7.6(a) al estado final de la figura 7.6(c).También podemos decir que pasa del punto a al punto c en la en la figura 7.7.

Por (7.24) CV tenemos que,

Q = nCV�T (7.25)

y además �V = 0) W = p�V = 0, por lo tanto al aplicar la primera ley de la termodi-námica (7.12), se obtiene,

�U = nCV�T (7.26)

que en forma diferencial se escribe,


7.7. CAPACIDADES CALORÍFICAS DE UN GAS IDEAL

dU = nCV dT (7.27)

Ahora hagamos que el sistema regrese a su estado original y que su temperaturaaumente de nuevo en �T , pero esta vez evitando que la carga de arena se altere, demanera que la presión p no cambie. Este proceso a presión constante lleva al sistemadesde su estado inicial en la figura 7.6(a) a su estado final en la figura 7.6(b) o, lo quees lo mismo, lo lleva desde el punto a hásta el punto b en la figura 7.7.

Bien, por (7.24),

Q = nCp�T (7.28)

y por ser el proceso isobárico, a partir de (7.8),

W = p�V (7.29)

y además, como los procesos ab y ac de las figuras 7.6 y 7.7 implican el mismo cambio�T en la temperatura, también deben implicar el mismo cambio �U en la energíainterna, es decir, el que establece (7.26). Así, en un proceso a presión constante, laprimera ley de la termodinámica (7.12) nos permite escribir,

nCp�T = nCV�T + p�V (7.30)

que al usar la ecuación de estado de un gas ideal (7.1) para el proceso a presiónconstate ab, tomando diferencias, es decir,

p�V = nR�T (7.31)

se obtiene,

Cp � CV = R (7.32)

La ecuación (7.32) demuestra que la capacidad calorífica molar de un gas ideal,a presión constante, es siempre mayor que la obtenida a volumen constante, en unacantidad igual a la constante universal de los gases R.

A partir de (6.10), podemos escribir,

Q = mcV�T (7.33)

Q = mcp�T (7.34)



y al dividir miembro a miembro (7.25) entre (7.33), se obtiene,

Q

Q=

nCV�T

mcV�T) CV =

m

ncV

) CV =McV (7.35)

donde,

M =m

n(7.36)

es la denominada masa molecular del gas. Análogamente,

Cp =Mcp (7.37)

Ahora bien, al usar (7.35) y (7.37), la ecuación (7.32), se puede escribir como,

cp � cV =R

M(7.38)

A partir de (7.23) y (7.27) en el límite de cambios diferenciales, encontramos que,

CV =1

n

dU

dT=3

2R (7.39)

Este resultado de t 3 calmol:K

es bastante aproximado para los gases monoatómicos,sin embargo, está en serio desacuerdo con los de los gases diatómicos y poliatómi-cos. Esto sugiere que (7.23) no es del todo correcta y como dicha relación se obtuvodirectamente del modelo de la teoría cinética, se sugiere un cambio en el modelosi queremos que la teoría cinética sobreviva como una aproximación útil al compor-tamiento de los gases reales. Al sustituir (7.39) en (7.32), obtenemos,

Cp =5

2R (7.40)

Ahora, para los gases biatómicos, la teoría cinética predice que,

CV =5

2R (7.41)

que al sustituir en (7.32), resulta,

Cp =7

2R (7.42)

Ejemplo 7.9 El calor específico del nitrógeno a volumen constante es cV = 0; 177 calg:oC

.Hallar su calor específico a presión constante cp. Masa molecular del N2 = 28; 0gmol

.


7.7. CAPACIDADES CALORÍFICAS DE UN GAS IDEAL

Solución:Al usar (7.38), se obtiene,

cp � cV =R

M) cp =

1; 986 cal mol�1 (oC)�1

28; 0 g mol�1+ 0; 177

cal

g:oC

) cp = 0; 248cal

g:oC

o también, al usar (7.42) por ser el N2 un gas biatómico y teniendo presente (7.37),

cp =7

2

R

M=7

2

1; 986 cal mol�1 (oC)�1

28; 0 g mol�1= 0; 248

cal

g:oC

Ejemplo 7.10 Calcular los calores específicos cp y cV del gas O2, cuya masa molecularvale 32; 00 g

mol.

Solución: Al usar (7.42) por ser el O2 un gas biatómico y teniendo presente (7.37), seobtiene,

cp =7

2

R

M=7

2

1; 986 cal mol�1 (oC)�1

32; 00 g mol�1= 0; 217

cal

g:oC

Por otro lado, al usar (7.41) por ser el O2 un gas biatómico y teniendo presente (7.35),se obtiene,

cV =5

2

R

M=5

2

1; 986 cal mol�1 (oC)�1

32; 00 g mol�1= 0; 155

cal

g:oC

Ejemplo 7.11 Se comprime adiabáticamente un volumen de 22; 4 L de nitrógeno ga-seoso a 0 oC y 1 atm a 1=10 de su volumen inicial. Hallar: (a) la presión final, (b) latemperatura final, (c) el trabajo que hay que realizar sobre el sistema. Para el gasN2, = 1; 40; cV = 0; 178 cal

g:oCy masa molecular = 28; 0 g

mol.

Solución:

a. Al usar (7.21),

p1V 1 = p2V

2 ) p2 = p1

�V1V2

� pero V2 = 1

10V1, entonces,

p2 = p1 (10) = 1 atm (10)1;40 = 25; 1 atm

b. Al usar (7.21) y sustituir T a partir de (??), obtenemos,

p1V 1 = p2V

2 )

nRT1V1

V 1 =nRT2V2

V 2

) T1V �11 = T2V

�12 ) T2 = T1

�V1V2

� �1SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 383


pero como V2 = 110V1 y por (5.1) T1 = 273; 15K, entonces,

T2 = T1 (10) �1 = 273; 15 K (10)0;40 = 686 K

c. Cómo el proceso es adiabático entonces Q = 0, por lo tanto a partir de la primeraley de la termodinámica (7.12),

�U = Q�W ) W = ��U

Ahora, al usar (7.26),W = nCV�T = �nCV (T2 � T1)

pero CV =McV según (7.35), entonces,

W = �nMcV (T2 � T1)

luego, para un mol de gas,

W = �1 mol:28; 0 g

mol:0; 178

cal

g:oC(686 K � 273; 15 K)

= �2; 06:103 cal = �8; 62:103 J

donde se ha tenido presente que 1cal = 4; 1855 Joules. El resultado es negativo puesse realiza trabajo sobre el sistema.

Ejemplo 7.12 La temperatura de 5Kg de N2 gaseoso se eleva desde 10 oC a 130 oC. (a)Si se realiza el proceso a presión constante, hallar la cantidad de calor necesariapara ello, el incremento de energía interna, �U , y el trabajo exterior W realizadopor el gas y (b) calcular la cantidad de calor necesaria, si el proceso se lleva acabo a volumen constante. Los calores específicos del gas N2 son cp = 0; 248 Kcal

Kg:K

y cV = 0; 177 KcalKg:K

y su masa molecular = 28; 0 gmol

.

Solución:

(a) Al usar (7.34),

Q = mcp (T2 � T1) = 5 Kg:0; 248Kcal

Kg:K:120K

= 149 Kcal

por otro lado, al usar (7.8),W = p (V2 � V1)


7.8. ENERGÍA INTERNA DE UN GAS REAL

pero como V = nRTp

según (??) y n = mM

según (7.36), entonces,

W = p

�nRT2p

� nRT1p

�) W = nR (T2 � T1)

) W =m

MR (T2 � T1)

entonces,W =

5 Kg

28; 0 gmol

:1; 986cal

mol K:120 K = 42; 5 Kcal

y por último, al usar (7.12),

�U = Q�W = 149 Kcal � 42; 5 Kcal = 106; 5 Kcal

(b) A volumen constante (proceso isocórico), W = 0 y según (7.12),

Q = �U = mcV (T2 � T1) =

= 5 Kg:0; 177Kcal

Kg:K:120 K = 106; 2 Kcal

7.8 Energía interna de un gas real

La energía interna de los gases reales también depende principalmente de latemperatura, pero en donde se desvían del comportamiento del gas ideal, dependede la presión y del volumen.

La energía interna del gas de Van der Waals debe contener, además de la energíacinética de las moléculas, la energía de interacción entre éstas. Con el fin de hallar laenergía interna de un gas de Van der Waals, hagamos uso del hecho que el trabajoW que se realiza durante la dilatación de un gas contra las fuerzas de la atracciónrecíprocas de las moléculas, es igual al incremento de la energía de interacción Ep, esdecir,

dW = dEp (7.43)

Las fuerzas de atracción entre las moléculas se tuvieron en cuenta en la ecuación(7.2) con ayuda de una adición a la presión igual a an2

V. Correspondientemente, el tra-

bajo W contra las fuerzas de interacción entre las moléculas puede ser representadocomo,

dW =an2

V 2dV (7.44)



en concordancia con (7.5). Así, pues,

dEp =an2

V 2dV (7.45)

La integración de la anterior expresión nos da,

Ep = �an2

V+ ctte (7.46)

La energía interna de un gas de Van der Waals depende tanto del volumen, comode la temperatura. Por lo tanto, la expresión para �U tiene la forma,

�U = f (T )� an2

V(7.47)

donde la constante de la expresión (7.46) ha sido incluida en f (T ).

En el límite, cuando el volumen tiende al infinito, la anterior expresión debe conver-tirse en la (7.26) para la energía interna de un gas ideal. Por consiguiente,

U = nCV T �an2

V(7.48)

Con esta ecuación se pueden hallar los valores aproximados de la energía internade los gases reales.

La energía interna de los líquidos y de los sólidos es bastante complicada, ya queincluye la energía potencial asociada con las fuerzas (o enlaces “químicos”) entreátomos y moléculas.

7.9 Procesos cíclicos

Un ciclo es una serie de transformaciones que llevan a un cuerpo o sistema decuerpos al estado inicial.

Consideremos un gas encerrado en un cilindro por medio de un émbolo cuyo es-tado inicial (1) se caracteriza por las condiciones

(p1; V1; T1) (7.49)

como se muestra en la figura 7.8.En la figura 7.9, el estado (1) está representado por el punto N de coordenadas

(V1; p1).


7.9. PROCESOS CÍCLICOS

Figura (7.8): Diversos estados de un gas cuando efectúa un ciclo

El émbolo puede moverse entre los topes N y M . Si se ejerce una fuerza sobre elémbolo por medio de pesas, se puede calentar el gas hasta que ejerza la presión p2con el mismo volumen V1.

Figura (7.9): Representación gráfica del ciclo en un diagrama pV

Las nuevas condiciones son ahora

(p2; V1; T2) (7.50)

La figura 7.9 representa esta situación por el punto P , cuyas coordenadas son(V1; p2).

Si se continúa dando calor al gas y no se colocan más pesas, se dilata a la presiónp2 constante. El nuevo estado está dado por las siguientes condiciones:

(p2; V2; T3) (7.51)

El punto Q del plano representa esta nueva situación de coordenadas: (V2; p2).



Si se colocan nuevas pesas que ejerzan la presión p1 enfriando el gas para obte-nerla, el volumen permanece constante a V2. Las condiciones ahora son:

(p1; V2; T1) (7.52)

El punto M del plano representa esta nueva situación, cuyas coordenadas son:(V2; p1)

Al continuar enfriando el gas se puede llegar a la temperatura T1, y a la presión p1,o sea que ha recobrado las condiciones iniciales. Gráficamente se vuelve al punto N .Se dice entonces que el gas ha recorrido un ciclo.

Analizando las diversas transformaciones, se tiene:

1. Desde N a P , el gas no ha hecho trabajo, lo ha recibido del medio externo, porqueno ha variado el volumen.

2. Desde P a Q, el gas ha hecho trabajo, dado por el área del rectángulo V1PQV2.

3. En el trayecto QM tampoco se realiza trabajo, no hay variación de volumen.

4. En el recorrido MN , el trabajo recibido del exterior está representado por el áreadel rectángulo V2MNV1.

5. El trabajo entregado al exterior por el sistema está dado por la diferencia de las dosáreas.

W = � V1PQV2 �� V2MNV1 (7.53)

Como ha sido recorrido el ciclo en el sentido de la aguja del reloj, el trabajo reali-zado es positivo y ejecutado por el sistema. En caso contrario, el trabajo sería negativo,o sea recibido por el sistema y realizado por el exterior.

7.10 Procesos reversibles e irreversibles

Un proceso reversible es aquel que se efectúa infinitamente despacio, de ma-nera que el proceso puede considerarse como una serie continua de estados deequilibrio y todo el proceso puede hacerse en sentido inverso sin cambiar la magni-tud del trabajo realizado o del calor que se intercambia. Estos procesos que ocurrencon mucha lentitud reciben el nombre de cuasiestáticos.


7.10. PROCESOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES

Los procesos cuasiestáticos pueden ser o no reversibles, pero aquí sólo consider-aremos los reversibles.

Un ejemplo de proceso reversible es la expansión adiabática de un gas. Imagine-mos un cilindro de paredes perfectamente aisladoras del calor (ver fig. 7.10), y en suinterior un gas encerrado a preión p y a temperatura T por medio de un émbolo queocupa la posición AB en su estado inicial. Encima del émbolo se colocan unas pesas,y como la presión p es mayor que la ejercida por el émbolo, se sujeta por medio de lostopes S.

Figura (7.10): Proceso reversible

Al quitar los topes el gas se dilata adiabáticamente, ya que por estar encerrado enel cilindro térmicamente aislado no intercambia calor con el entorno del sistema.

En su ascensión, el émbolo llega a la posición CD, donde se equilibra la presión delgas y la presión de las pesas. Allí se le detiene de nuevo por los topes S 0 para queno descienda, pues de lo contrario quedaría oscilando. Al quitar los topes, el émbolodesciende y llega de nuevo a la posición AB, donde se le sujeta.

La anterior transformación efectuada es reversible por lo siguiente:

a. En la posición CD, el volumen del gas ha aumentado.

b. La presión ha disminuido.

c. Se ha realizado un trabajo exterior levantando la pesa; luego su temperatura hadisminuido.

Al volver a la posición inicial AB, se tiene:



a. Ha recuperado el volumen inicial.

b. La presión es también la inicial.

c. Por efecto de la compresión ha aumentado su temperatura, llegando a la quetenía.

El trabajo lo ha ejecutado la pesa. Como el gas al dilatarse y luego comprimirseha recuperado las condiciones iniciales y pasado por las condiciones intermedias, latransformación es reversible.

Una transformación es irreversible cuando no existe ningún procedimientoideal, por el cual los elementos que intervienen en la transformación puedenrecuperar su estado inicial.

Los fenómenos y procesos de la naturaleza son irreversibles; por lo tanto las transfor-maciones reversibles son imaginarias (ideales).

7.11 Máquina térmica de Carnot

La idea básica detrás de cualquier máquina térmica es que la energía mecánicapuede obtenerse del calor sólo cuando éste se deja fluir de una temperatura alta Tc

a una temperatura baja Tf ; en el proceso cierta cantidad de calor puede transfor-marse en trabajo mecánico. En una máquina térmica “perfecta” o ideal todo el calorsuministrado se transforma íntegramente en trabajo mecánico.

Las temperaturas elevada y baja Tc y Tf , se denominan temperaturas de operaciónde la máquina; por simplicidad, supondremos que estas temperaturas se mantienenpor medio de dos reservorios de calor a temperatura uniforme Tc y Tf . Nos interesaránsólo las máquinas que realicen procesos cíclicos.

El motor térmico más simple posible fue estudiado, en forma teórica, porSadi Carnot. Se trata de un motor ideal, debido a que se supone que operamediante procesos cuasiestáticos sin rozamiento y el fluido termodinámico em-pleado es un gas ideal.

La máquina de Carnot utiliza el denominado ciclo de Carnot, el cual se ilustra en lafigura 7.11 (Para un gas real, el diagrama pV sería un poco diferente).

Tomaremos el punto A como el estado inicial. El gas se expande primero isotérmi-camente y reversiblemente, trayectoria AB a temperatura Tc; para que esto ocurra,


7.11. MÁQUINA TÉRMICA DE CARNOT

Figura (7.11): Ciclo de Carnot

podemos imaginar que el gas está en contacto con un reservorio térmico a tempera-tura Tc que entrega el calor jQcj a nuestra sustancia de trabajo (el gas). Después el gasse expande adiabáticamente y reversiblemente, trayectoria BC; no se intercambiacalor y la temperatura del gas se reduce a Tf . La tercera etapa es una compresiónisotérmica reversible, trayectoria CD, en contacto con un reservorio térmico a bajatemperatura, Tf , durante el cual fluye el calor jQf j hacia afuera de la sustancia detrabajo. Por último, el gas se comprime adiabáticamente, trayectoria DA, regresandoa su estado original. De modo que un ciclo de Carnot se compone de dos procesosisotérmicos y de dos adiabáticos.

Es fácil mostrar que el trabajo neto que se realiza en un ciclo en una máquina deCarnot (o por cualquier otra máquina que efectúe un ciclo reversible) es igual al áreaencerrada por la curva que representa el ciclo en el diagrama pV , la curva ABCD enla figura 7.11.

Para un ciclo completo de Carnot, como para cualquier ciclo, se tiene que,

�U = 0 (7.54)

de manera que al usar la primera ley de la termodinámica (7.12) nos queda,

Q�W = 0) Q = W (7.55)

Si indicamos con jQcj y jQf j los módulos de la cantidad de calor que el fluido inter-cambia con las dos fuentes a lo largo de la isoterma caliente y fría respectivamente,se tiene que,

Q = jQcj � jQf j (7.56)



que al usar (7.55) podemos escribir,

W = jQcj � jQf j (7.57)

Por definición, se llama rendimiento o eficiencia � de un motor a la razónentre el trabajo que realiza y el calor Qc = jQcj que el mismo absorbe de lafuente caliente, esto es,

� =W

jQcj(7.58)

que al usar (7.57), podemos escribir como,

� =jQcj � jQf j

jQcj= 1� jQf jjQcj

(7.59)

Calcularemos ahora el rendimiento � en función de los valores que los parámetrostermodinámicos T y V adquieren en los estados A, B, C y D del ciclo (ver fig. 7.11).

Para la expansión isotérmica cuasiestática desde A hasta B, al usar la primera leyde la termodinámica, se obtiene que,

Qc = WAB (7.60)

puesto que para la isoterma de un gas ideal �U = 0. Entonces,

WAB = nRTc ln

�VBVA

�(7.61)

según la ecuación (7.6).

Puesto que VB > VA ) WAB > 0, entonces de (7.60) y (7.61) se obtiene que,

jQcj = Qc = nRTc ln�VBVA

�(7.62)

Análogamente, para la compresión de C a D,

Qf = WCD = nRTf ln

�VDVC

�(7.63)

y puesto que VD < VC ) WCD < 0, entonces,

jQf j = �Qf = nRTf ln�VCVD

�(7.64)

Ahora, de (7.62) y (7.64) obtenemos,



jQf jjQcj

=TfTc

ln�VCVD

�ln�VBVA

� (7.65)

Por otro lado, para las trayectorias AB y CD la temperatura es constante (son isoter-mas), por lo tanto, a partir de (7.22), podemos escribir respectivamente,

pAVA = pBVB (7.66)

pCVC = pDVD (7.67)

y para las trayectorias AD y BC los procesos son adiabáticos, por lo tanto, a partir de(7.21),

pBV B = pCV

C (7.68)

pDV D = pAV

A (7.69)

Multiplicando, miembro a miembro, (7.66), (7.67), (7.68) y (7.69), obtenemos,

(VBVD) �1 = (VCVA)

�1 ) VBVA

=VCVD

(7.70)

Sustituyendo ahora (7.70) en (7.65), resulta,

jQf jjQcj

=TfTc

(7.71)

Por último, al sustituir este resultado en (7.59), se obtiene,

� = 1� TfTc

(7.72)

Sería posible imaginar otros ciclos reversibles factibles que podrían emplearse parauna máquina ideal reversible. De acuerdo al teorema establecido por Carnot:

Todas las máquinas reversibles que operan entre las mismas dos temperatu-ras tienen lel mismo rendimiento; ninguna máquina irreversible que opere entrelas mismas dos temperaturas puede tener un rendimiento mayor que éste.

El anterior teorema se conoce como teorema de Carnot y establece que la ecua-ción (7.72), se aplica a cualquier máquina reversible y que esta ecuación representael máximo rendimiento posible para una máquina real (irreversible).



Ejemplo 7.13 Una máquina de vapor opera entre 490 oC y 265 oC. ¿Cuál es el máximorendimiento posible de esta máquina?.

Solución: Lo primiero que debemos hacer es transformar las temperaturas aK. Bien,usando la ecuación (5.1), obtenemos

T (K) = T (�C) + 273; 15

entonces,

Tf = 265oC = (265 + 273; 15)K = 538; 15K

Tc = 490oC = (490 + 273; 15)K = 763; 15K

Ahora, al usar (7.72), obtenemos,

� = 1� TfTc= 1� 538; 15K

763; 15K= 0; 29

que representa un 29 %.

Ejemplo 7.14 Calcular el rendimiento ideal de una máquina térmica que funciona en-tre dos focos a 100 oC y 400 oC de temperatura, respectivamente.

Solución: Igual que en el ejemplo anterior, lo primiero que debemos hacer es trans-formar las temperaturas a K. Bien, usando la ecuación (5.1), obtenemos

T (K) = T (�C) + 273; 15

entonces,

Tf = 100oC = (100 + 273; 15)K = 373; 15K

Tc = 400oC = (400 + 273; 15)K = 673; 15K


� = 1� TfTc= 1� 373; 15K

673; 15K= 0; 445

que representa un 44; 5 %.

Ejemplo 7.15 Una máquina de Carnot opera entre dos fuentes a temperaturas de Tc =500 K y Tf = 300 K. Calcular:



a. El rendimiento de la máquina. Calcular también el rendimiento de la máquina enlos casos en que:

b. Tc se aumente en �T = 20 K y Tf se mantenga en 300 K;

c. Tc se mantenga en 500 K y Tf se disminuya en �T = 20 K.

Solución:

a. Al usar (7.72), obtenemos,

� = 1� TfTc= 1� 300K

500K= 0; 4


b. De la misma manera,

� = 1� TfTc +�T

= 1� 300K

500K + 20K= 0; 42


c. Por último,� = 1� Tf ��T

Tc= 1� 300K � 20K

500K= 0; 44


Ejemplo 7.16 Una máquina térmica de gas ideal opera en un ciclo de Carnot entre227 oC y 127 oC. Absorbe 6; 0:104 cal de la temperatura mayor (a) ¿cuál es la efi-ciencia de la máquina? y (b) ¿cuánto trabajo por ciclo es capaz de produciresta máquina?.

Solución:

(a) Al usar (7.72), obtenemos,

� = 1� (127 + 273; 15)K(227 + 273; 15)K

= 1� 400; 15K500; 15K

= 0; 2


(b) Al usar (7.58), resulta,

W = � jQcj = 0; 2:6; 0:104 cal = 1; 2:104 cal



7.12 Entropía

7.12.1 Definición

El concepto de entropía S fue introducido por primera vez por el ingeniero francésR. J. Clausius a mediados del siglo XIX. La entropía (que es una finción de estado),permite la formulación matemática de la segunda ley que fue propuesta por el mismoingeniero en los años 1860.

Como vimos al estudiar el motor térmico de Carnot tenemos, según (7.71), quepara el ciclo reversible de Carnot,

jQf jjQcj

=TfTc

(7.73)

En la ecuación anterior, si eliminamos las barras de valor absoluto y tenemos pre-sente que Q es positivo cuando representa un flujo de calor hacia el sistema (comoQc) y negativo cuando sale del sistema (como Qf ), podemos escribir,

QcTc+QfTf

= 0 (7.74)

Si ahora consideramos cualquier ciclo reversible, como el representado por mediode la curva continua (en forma de óvalo) de la figura 7.12, llegamos a la conclusiónde que:

Todo ciclo reversible puede aproximarse como una serie de ciclos deCarnot.

Figura (7.12): Todo ciclo reversible puede aproximarse mediante una serie de ciclos de Carnot.

La figura 7.12 muestra sólo ocho ciclos de Carnot (las isotermas, se conectan pormedio de trayectorias adiabáticas para cada una) y la aproximación se vuelve mejor


7.12. ENTROPÍA

Figura (7.13): La integralHdS de la entropía para un ciclo reversible es igual a cero. Por tanto, la dife-

rencia de entropía entre los estados a y b, Sa � Sb =R badS, es la misma para la trayectoria I que para la

II.

a medida que aumentamos el número de ciclos. La ecuación (7.74) es válida paracada uno de estos ciclos, por lo que podemos escribir,

X Q

T= 0 (7.75)

Ahora, notemos que el calor de salida Qf de un ciclo es aproximadamente igualal negativo del calor de entrada Qc del ciclo que le sigue (la igualdad real se daen el límite de un número infinito de ciclos de Carnot infinitamente pequeños); enconsecuencia, el calor que fluye en las trayectorias internas de todos estos ciclos deCarnot se cancela, de manera que el calor neto que se transfiere, así como el trabajorealizado, son los mismos para las series de los ciclos de Carnot y para el ciclo original.Por lo tanto, en el límite de un número infinito de ciclos de Carnot, la ecuación (7.75)se aplica a cualquier ciclo reversible; en este caso (7.75) se convierte en,I

�Q

T= 0 (7.76)

donde �Q representa un flujo de calor infinitesimal yH

significa que tomamos la integralalrededor de una trayectoria cerrada. La integral puede iniciarse en cualquier puntode la trayectoria tal como a o b en la figura 7.12 y proceder en cualquier dirección.

Si dividimos el ciclo de la figura 7.12 en dos partes como se indica en la figura 7.13,podemos reescribir (7.76) como,

Z b

aI

�Q

T+

Z a

bII

�Q

T= 0 (7.77)



y si una trayectoria se toma en sentido inverso, por ejemplo II, �Q en cada punto sevuelve ��Q, ya que la trayectoria es reversible. Por lo tanto, podemos escribir,

Z b

aI

�Q

T=

Z b

aII

�Q

T(7.78)

Cómo nuestro ciclo es arbitrario, la ecuación (7.78) nos dice que la integral de �QT

entre cualesquiera dos estados de equilibrio a y b, no depende de la trayectoria delproceso. En consecuencia, podemos definir una nueva cantidad, la cual denominare-mos entropía S, por medio de la relación,

dS =�Q

T(7.79)

donde Q es la cantidad de calor absorbida por un cuerpo en proceso isotérmico y Tla temperatura del cuerpo donador de calor.

La expresión (7.79) establece que la variación de entropía de un sistema,entre dos estados de equilibrio cualesquiera, se obtiene llevando el sistema alo largo de cualquier camino reversible que una dichos estados, dividiendo elcalor que se entrega al sistema en cada punto del camino por la temperaturadel sistema y sumando los coeficientes así obtenidos.

De la ecuación se observa que dS y �Q tienen el mismo signo, por consiguiente, elcarácter de la variación de la entropía puede servir para determinar en qué sentidose realiza el intercambio de calor: Cuando un cuerpo se calienta �Q > 0 su entropíacrece dS > 0 y cuando se enfría �Q < 0 su entropía decrece dS < 0.

De (7.78) y (7.79) podemos escribir que para un ciclo reversible,IdS = 0 (7.80)

y de (7.79) para un proceso reversible,

�S = Sb � Sa =Z b

a

dS =

Z b

a

�Q

T(7.81)

la cual es independiente de la trayectoria entre los punto a y b. A esta integral sele da el nombre de integral de Clausius Este es un importante resultado y nos diceque la diferencia de entropía Sb � Sa, entre dos estados de equilibrio de un sistema nodepende de la forma en que se llega de un estado al otro.


7.12. ENTROPÍA

En consecuencia, la entropía es una variable de estado, es decir, su valordepende sólo del estado del sistema y no del proceso o de la historia por la quellega al nuevo estado. Esto se distingue claramente de Q y de W , que no sonvariables de estado; sus valores dependen del proceso que se siga.

La entropía para un proceso irreversible no viene dada por (7.79), en este caso parapoder calcularla debemos resolver algún otro proceso reversible que siga el sistemaentre los mismos dos estados de equilibrio del irreversible y calculamos �S para esteproceso reversible. Este valor será igual al �S para el proceso irreversible, ya que �Sdepende sólo de los estados inicial y final del sistema.

En la práctica, generalmente los procesos no son del todo reversibles por lo quela entropía aumenta , no es conservativa y ello es en gran parte el misterio de esteconcepto.

La entropía puede considerarse como una medida de lo próximo o no quese halla un sistema al equilibrio; también puede considerarse como una medidadel desorden (espacial y térmico) del sistema.

UNIDADES: Las unidades comunes de la entropía son JK

o bien calK

De todo lo anterior podemos resumir lo siguiente:

1. La entropía se define solamente para estados inicial y final de equilibrio.

2. Solamente pueden calcularse variaciones de entropía �S. En muchos problemasprácticos, como el diseño de una máquina de vapor, consideramos únicamentediferencias de entropía. Por conveniencia, se considera nula la entropía de unasustancia en algún estado de referencia conveniente. Así se calculan las tablas devapor, en donde se supone cero la entropía del agua cuando se encuentra en faselíquida a 0 oC y presión de 1 atm.

3. La variación de entropía de un sistema depende sólo de sus estados, inicial y finaly no de los procesos reversibles o irreversibles para pasar de un estado al otro ni dela historia por la que llega al nuevo estado. En consecuencia, la entropía es unavariable de estado5.

5 La energía potencial gravitacional Ug, la energía interna U , la presión p y la temperatura T son otrasvariables de estado y para todas ellas se cumple una ecuación de la forma

HdX = 0 siempre que se

sustituya por X el símbolo apropiado. El calor Q y el trabajo W no son variables de estado y sabemosque, en general,

H�Q 6= 0 y

H�W 6= 0.



4. Sí un cuerpo describe un ciclo formado únicamente de transformaciones reversibles,la entropía del sistema de cuerpos que intervino no experimenta variación según(7.80).

5. Sí en un sistema aislado se efectúa una transformación irreversible cíclica o no, laentropía del sistema aumenta. Por ejemplo: Considérese un sistema aislado quecontenga 2 secciones separadas con gases a diferentes presiones. Al quitar la se-paración ocurre un cambio altamente irreversible en el sistema al equilibrarse lasdos presiones. Pero el mediono ha sufrido cambio durante este proceso, asi quesu energia y su estado permanecen constantes, y como el cambio es irreversible laentropía del sistema a aumentado.

Como en el Universo se verifican continuamente transformaciones irreversibles, de-duce Clausius que la energía del Universo es constante, pero que su entropía crececontinuamente tendiendo a un máximo.

7.12.2 Entropía de algunos sistemas termodinámicos notables

Al sustituir (7.13) en (7.81), resulta la expresión,

�S =

Z b

a

dU + �W

T(7.82)

Entropía de un cuerpo sólido

En la hípótesis de que el calor específico c sea independiente de la temperatura ydespreciando el trabajo �W debido a la dilatación, podemos escribir a partir de (7.13),

dU = �Q� �W (7.83)

= �Q (7.84)

y al usar (6.11),

dU = mcdT (7.85)

que al sustituir en (7.82) resulta,


7.12. ENTROPÍA

�S =

Z b

a

dU

T(7.86)

= mc

Z b

a

dT

T(7.87)

�S = mc lnTbTa

(7.88)

Entropía de un gas ideal

Para un gas ideal, según (7.27),

dU = nCV dT (7.89)

y además, al usar (7.4) y (7.1),

�W = pdV =nRT

VdV (7.90)

que al sustituir en (7.82) e integrar resulta,

�S = nCV lnTbTa+ nR ln

VbVa

(7.91)

Entropía de un gas de van der Waals

La energía interna para un gas de van der Waals viene dada por (7.48),

U = nCV T �an2

V(7.92)

que al diferencial resulta,

dU = nCV dT +an2

V 2dV (7.93)

Por otro lado, de (7.2), se sabe que,

p =nRT

V � nb �an2

V 2(7.94)

y de aquí, a usar (7.4) , obtenemos,

�W =

�nRT

V � nb �an2

V 2

�dV (7.95)




�S =

Z b

a

nCV dT +an2

V 2dV +

�nRTV�nb �

an2

V 2

�dV

T

que al ser integrada resulta,

�S = nCV lnTbTa+ nR ln

Vb � nbVa � nb

(7.96)

7.13 Segunda ley de la termodinámica

No es posible convertir completamente calor en trabajo, pero sí trabajo en calor.Así pues, mientras, según la primera ley, calor y trabajo son formas equivalentes deintercambio de energía, la segunda ley varía radicalmente su equivalencia, ya queel trabajo puede pasar íntegramente a calor pero el calor no puede transformarseíntegramente en trabajo.

Desde el punto de vista de la primera ley de la termodinámica, los dos procesos(trabajo y calor) son equivalentes. El calor puede transformarse en trabajo, o el trabajoen calor. Esta equivalencia se pierde si consideramos la segunda ley. El trabajo es unaforma más “coherente” de energía. Siempre podemos transformarlo en calor, pero lainversa no siempre es posible.

La segunda ley afirma que la entropía, o sea, el desorden, de un sistema aisladonunca puede decrecer. Por tanto, cuando un sistema aislado alcanza una configura-ción de máxima entropía, ya no puede experimentar cambios: ha alcanzado el equi-librio. La naturaleza parece pues “preferir” el desorden y el caos. Puede demostrarseque el segundo principio implica que, si no se realiza trabajo, es imposible transferircalor desde una región de temperatura más baja a una región de temperatura másalta.

El segundo principio impone una condición adicional a los procesos termodinámi-cos. No basta con que se conserve la energía y cumplan así el primer principio. Unamáquina que realizara trabajo violando el segundo principio se denomina “móvil per-petuo de segunda especie”, ya que podría obtener energía continuamente de unentorno frío para realizar trabajo en un entorno caliente sin coste alguno. A veces, elsegundo principio se formula como una afirmación que descarta la existencia de unmóvil perpetuo de segunda especie.


7.14. TERCERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

7.13.1 Enunciado

La segunda ley de la termodinámica puede establecerse de las siguientes man-eras equivalentes:

1. Enunciado de Clausius: Es imposible realizar un proceso termodinámico cuyoúnico resultado sea el pasar calor de un cuerpo a temperatura inferior a unode temperatura superior.

2. Enunciado de Kelvin-Planck: Es imposible realizar un proceso termodinámicocuyo único resultado sea absorber calor de una sola fuente y transformarloíntegramente en trabajo.

3. Los procesos naturales tienden a moverse hacia un estado de mayor desor-den o entropía. Este es el más general y puede reformularse más precisa-mente como: La entropía total S de cualquier sistema más la de sus alrede-dores aumenta como resultado de todo proceso natural:

�S > 0 (7.97)

La segunda ley de la termodinámica señala la dirección en la cual los pro-cesos tienden a desencadenarse; es por esto, que la entropía también recibe elnombre de “flecha del tiempo ”. A medida que el tiempo transcurre, la energíase degrada a formas menos útiles (es decir, está menos disponible para efectuartrabajo útil).

De la segunda ley de la termodinámica se sigue que el trabajo y el calor no son dosformas equivalentes de transmisión de la energía.

7.14 Tercera ley de la termodinámica

La segunda ley de la termodinámica sugiere la existencia de una escala de tem-peratura absoluta con un cero absoluto de temperatura.

La tercera ley de la termodinámica afirma que el cero absoluto no puedealcanzarse por ningún procedimiento que conste de un número finito de pasos.Es posible acercarse indefinidamente al cero absoluto, pero nunca se puedellegar a él.



Ejemplo 7.17 Un trozo de hielo de 1; 00 Kg a 0oC se funde muy lentamente hasta con-vertirse en agua a 0oC. Supóngase que el hielo está en contacto con un reservoriode calor cuya temperatura es sólo infinitesimalmente mayor que 0oC. Determineel cambio en la entropía de (a) el cubo de hielo, (b) del reservorio de calor.

Solución:

(a) El proceso se realiza a temperatura cosntante de T = (0 + 273; 15)K = 273; 15K [ver(5.1)] y en forma reversible (lentamente), por lo que podemos utilizar la ecuación(??) como sigue,

�Shielo =

Z�Q

T=1

T

Z�Q =

Q

T

Ahora, como el calor que se requiere para fundir el hielo se obtiene de (6.13) ytomando en cuenta el calor de fusión del hielo (6.14), entonces,

Q = mLf = 1; 00 Kg:80Kcal

Kg= 80 Kcal

de aquí que,

�Shielo =80 Kcal

273; 15 K= 0; 292

Kcal

K

(b) El calor necesario para fundir el hielo se extrae del reservorio de calor, por lo que(puesto que T = 273; 15 K y es constante),

�Sreservorio = �Q

T= �0; 292 Kcal

K

Notar que el cambio total en la entropía �Shielo +�Sreservorio = 0.

Ejemplo 7.18 Un pedazo de hierro de 2; 0 Kg calentado al rojo a una temperatura T1 =880K se lanza a un enorme lago cuya temperatura es T2 = 280K. Suponga que ellago es tan grande que su aumento de temperatura es insignificante. Determineel cambio en la entropía (a) del hierro, (b) del medio que lo rodea (el lago). Calorespecífico del hierro 0; 11 Kcal

Kg:K.

Solución:

(a) El proceso es irreversible (se reliza en forma rápida), pero el mismo cambio deentropía ocurrirá en un proceso reversible. Suponemos que el calor específico delhierro es constante, en consecuencia, al usar (7.88) obtenemos,

�Shierro = mc lnT2T1= 2; 0Kg:0; 11

Kcal

Kg:Kln280K

880K= �0; 25Kcal

K


7.15. MÁQUINAS

(b) Las temperaturas final e inicial del lago son las mismas, T = 280 K. El lago recibedel hierro una cantidad de calor dada por (6.10),

Q = mc�T = 2; 0Kg:0; 11Kcal

Kg:K(880 K � 280 K) = 130Kcal

Estrictamente hablando, éste es un proceso irreversible (el lago se calienta local-mente antes de que se alcance el equilibrio), pero es equivalente a una transferen-cia isotérmica reversible de calor Q = 130 Kcal a T = 280 K. Por consiguiente,

�Slago =Q

T=130Kcal

280K= 0; 46

Kcal

K

Podemos observar que, aun cuando la entropía del hierro en realidad disminuye, elcambio total en la entropía del hierro más la de los alrededores es positiva,

�Shierro +�Slago = 0; 21Kcal

K

7.15 Máquinas

7.15.1 Máquinas térmicas

Las máquinas o motores térmicos son mecanismos que transforman la energíacalórica en energía mecánica.

Se pueden dividir en dos clases, máquinas de combustión externa y máquinas decombustión interna (ver figura 7.14): En las dos primeras la producción del calor a partirde los combustibles se efectúa en hogares o calderas exteriores al motor propiamentedicho. Son de este tipo las máquinas de vapor reciprocante y las turbinas de vapor. Enlos motores de combustión interna, el calor se produce dentro del motor; son de estaclase el motor de explosión, el motor diesel, el motor semidiesel y otros.

Como mencionamos al estudiar el motor térmico de Carnot, la idea básica detrásde cualquier máquina térmica es que la energía mecánica puede obtenerse del calorsólo cuando éste se deja fluir de una temperatura alta a una temperatura baja; en elproceso cierta cantidad de calor puede transformarse en trabajo mecánico. En unamáquina térmica “perfecta ” todo el calor suministrado se transforma íntegramenteen trabajo mecánico.(ver figura 7.15).



Figura (7.14): Máquina de combustión externa (izquierda) y máquina de combustión interna (derecha).

Figura (7.15): Máquina térmica real (izquierda) y máquina térmica perfecta (derecha).

7.15.2 Refrigeradores

En el caso de un refrigerador o de otra bomba de calor (tal como la que seemplea para producir un flujo de calor hacia el interior o el exterior de una casa; eneste último caso se denomina acondicionador de aire), el principio de operación esexactamente lo inverso de una máquina térmica (ver figura 7.16).

Al realizar trabajo W se toma calor de una región de baja temperatura Tf (en elinterior de un refrigerador, por ejemplo), y de una cantidad mayor de calor se expulsaa elevada temperatura Tc (la habitación). Podemos sentir esta expulsión de calor de-trás de un refrigerador. El trabajo W lo efectúa casi siempre un motor compresor quecomprime el fluido de trabajo (gas) como se muestra en la figura 7.17.

En un refrigerador “perfecto”, el calor fluirá del depósito a menor temperatura alde mayor temperatura sin que se necesite proporcionar ningún trabajo a la máquina(ver figura 7.16).


7.16. MOTORES DE COMBUSTIÓN EXTERNA

Figura (7.16): Refrigerador real (izquierda) y refrigerador “perfecto” (derecha).

Figura (7.17): Refrigerador

7.16 Motores de combustión externa

7.16.1 Máquina de vapor

Una máquina de vapor está formada por tres dispositivos fundamentales.

a. Un generador de vapor.

Al quemar un combustible (leña, carbón, gas-oil) se produce una gran cantidad decalor, parte de la cual se utiliza en calentar el agua de una caldera a temperaturassuperiores a los 100 oC. El vapor producido ejerce presión sobre el agua, por lo cual supunto de ebullición6 sube. Se suministra agua a la caldera a medida que el vapor seutiliza.

6 Temperatura a la que la presión de vapor de un líquido se iguala a la presión atmosférica existentesobre dicho líquido. A temperaturas inferiores al punto de ebullición (p.e.), la evaporación tiene lugar



Las calderas son de tipo tubular, es decir, que están formadas por una serie de tubosque reciben directamente el calor y un tanque superior llamado acumulador. Lostubos están unidos al tanque, presentan gran superficie de radiación calórica; de estaforma la producción de vapor es rápida y abundante. Los vapores se acumulan en laparte superior a grandes presiones. Cuando la presión es superior al límite estipulado,salen por la llamada válvula de escape o de seguridad, parecida en cierto modo ala válvula de las ollas a presión que hemos visto en nuestros hogares. Lleva tambiénindicaciones de nivel. del agua, manómetro, termómetro, etc. (ver figura 7.18).

Figura (7.18): Caldera de vapor. (A) cilindro con agua y vapor, (B) válbula de seguridad, (C) tubo deconducción del vapor, (D) entrada del agua a la caldera, (E) manómetro, (F) nivel, (G) chimenea, (H)fogón, (I) sección tubular de la caldera, (J) tabiques deflectores del calor y (K) colector de cenizas.

b. Un cilindro o distribuidor.

El vapor de la caldera es conducido por medio de tuberias de presión hasta el cilin-dro distribuidor, de paredes resistentes, dentro del cual se puede desplazar un émbolo.El vapor ejerce presión sucesivamente en las dos caras del émbolo y lo desplaza en unsentido u otro, produciendo un movimiento de vaivén. Es un émbolo de doble acción.En la figura 7.19 se indican las cuatro etapas. En la etapa (1) llega el vapor por la partesuperior; están cerradas las válvulas V2 y V3, y abiertas V1, y V4. Entra el vapor por la

únicamente en la superficie del líquido. Durante la ebullición se forma vapor en el interior del líquido,que sale a la superficie en forma de burbujas, con el característico hervor tumultuoso de la ebullición.Cuando el líquido es una sustancia simple o una mezcla azeotrópica (disolución que contiene la mismaproporción de componentes químicos antes y después de la destilación), continúa hirviendo mientrasse le aporte calor, sin aumentar la temperatura; esto quiere decir que la ebullición se produce a unatemperatura y presión constantes con independencia de la cantidad de calor aplicada al líquido.

Cuando se aumenta la presión sobre un líquido, el p.e. aumenta.


7.16. MOTORES DE COMBUSTIÓN EXTERNA

V1, empuja elo émbolo hacia la derecha y expulsa los vapores o aire que están en elcilindro.

Figura (7.19): Cilindro o distribuidor

En la etapa (2) están cerradas las válvulas V1, V2 y V3, y está abierta la V4. El émboloestá terminando su recorrido hacia la derecha, imprimiendo por medio de la biela elmovimiento de rotación al volante, en un cuarto de vuelta.

En la etapa (3) están ; cerradas las válvulas V1 y V4, y están abiertas V2 y V3; el vaporentra por la V2, empuja al émbolo hacia la izquierda y expulsa el vapor anterior por laválvula V3; el volante ha girado otro cuarto de vuelta.

Por último, en la etapa (4), están cerradas las válvulas V1, V2 y V4, permaneciendoabierta la V3. Elvapor, al expandirse, continúa desplazando el émbolo, el cual estállegando al final de su recorrido hacia la izquierda. El volante sigue su movimiento degiro.

c. El dispositivo transformador del movimiento.

Este dispositivo cambia el movimiento rectilíneo del émbolo en movimiento circu-lar. El vástago del émbolo se articula a la biela, y ésta a la manivela, que se mueve



alrededor del eje del volante. El movímiento se comunica al resto de la máquina quelo utiliza. La manivela es sustituida a veces por una excéntrica (ver figura 7.20).

Figura (7.20): Transformación del movimiento rectilíneo en circular en la máquina de vapor.

Otros dispositivos importantes son el regulador de Watt y el condensador. El primeroregula la entrada del vapor al cilindro y hace que el movimiento sea uniforme. Elcondensador es el recinto con agua fría, al él llega el vapor expulsado por el émboloy se condensa. Representa la fuente fría en el ciclo, mientras que la caldera es lafuente caliente.

7.17 Motores de combustión interna

7.17.1 Motor de explosión

Este tipo de motor usa un combustible inflamable, al cual comprime previamentey luego lo quema. Como la combustión se verifica bruscamente en forma de ex-plosión, estos motores se llaman motores de explosión. El funcionamiento se efectúaen dos tiempos o en cuatro tiempos; tiempo significa aquí etapa. De ahí que existanmotores de explosión de dos tiempos y de cuatro tiempos.

Ahora será explicado brevemente el funcionamiento de uno de cuatro tiempos.Todo motor tiene uno o varios cilindros generalmente en número par cuando son va-rios. El cilindro (ver figura 7.21) lleva un pistón que ajusta exactamente por medio deanillos. El émbolo está unido por medio de una biela con el codo del cigüeñal; sellama así al eje en forma de zig-zag que recibe todas las bielas. La biela y el codo omanivela transforman el movimiento rectilíneo del émbolo en movimiento circular delcigüeñal, el cual, por el sistema de transmisión utiliza el motor para los fines apropiados.


7.17. MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA

Figura (7.21): Motor de explosión de cuatro tiempos.

El espacio que queda en la parte superior del cilindro cuando el émbolo estásubido se denomina cámara de combustión. Lleva dos válvulas llamadas: válvula deadmisión y válvula de escape. La primera permite la entrada de la mezcla gaseosaa la cámara de combustión. La otra deja escapar los gases producidos en la com-bustión.

El sistema de ignición o encendido lo forma una bujía, que no es otra cosa queun conductor eléctrico aislado que penetra en la cámara, y que al producirse unacorriente eléctrica salta la chispa eléctrica entre dos puntas produciendo la explosión.

Los cuatro tiempos son:Primer tiempo: Admisión.-Se llama así porque al bajar el émbolo produce un va-

cio en el cilindro, se abre la válvula de admisión y penetra en él la mezcla explosivaformada por aire y el combustible volatilizado (ver 1 de la figura 7.21). La válvula deescape está cerrada.

Segundo tiempo: Compresión-El émbolo asciende; se cierra la válvula de admisióny la mezcla explosiva queda comprimida en la cámara de combustión. Las dos válvu-las están cerradas. La mezcla está a una temperatura alta por efecto de la compre-sión (ver 2 de la figura 7.21).

Tercer tiempo: Combustión-En el mismo instante que el émbolo termina su carrera



de compresión. salta la chispa eléctrica provocando instantáneamente la combustiónde la mezcla en forma de explosión.

La explosión lanza al pistón con fuerza hacia afuera. y su eje mueve a la biela yésta comunica un movimiento de giro al cigüeñal. Durante todo este proceso. las dosválvulas han permanecido cerradas (ver 3 de la figura 7.21).

Cuarto tiempo: Expulsión-Con la inercia que ha adquirido el cigüeñal, desplazapor medio de la biela el émbolo hacia arriba y expulsa los gases originados en lacombustión por la válvula de escape, que se abre en ese instante. La válvula deadmisión permanece cerrada (ver 3 de la figura 7.21). A continuación se repite elciclo.

Figura (7.22): Carburador (partes fundamentales).

El carburador tiene por objeto preparar la mezcla explosiva. El combustible gene-ralmente empleado está en el estado líquido como la gasolina. Para que se quemebruscamente debe mezclarse en proporciones debidas con el oxígeno del aire y estaren estado gaseoso. Este proceso se denomina carburación (ver figura 7.22).

Un carburador está formado esencialmente por un pequeño depósito de com-bustible líquido que proviene de un tanque mas grande. Este depósito tiene un flotadorque cierra la válvula de admisión y hace que siempre tenga la misma cantidad.

El depósito comunica por medio de un tubo estrecho con el tubo ancho de ad-misión del aire exterior hacia el cilindro. El tubo estrecho tiene una aguja en su centroy hace que el combustible salga en forma de diminutas gotas, favoreciendo la eva-poración. El tubo de admisión del aire está provisto de dos válvulas, una superior, que


7.17. MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA

regula la entrada del aire; se denomina válvula “choque” o estranguladora, y la in-ferior, es la válvula reguladora de la admisión de la mezcla explosiva; se denominaobturador y se acciona por medio de la palanca llamada acelerador.

Figura (7.23): Sistema de encendido del motor de un automóvil.

Entre las dos válvulas, el tubo presenta una estrangulación formando un tubo deVenturi y una tobera. En la parte estrecha es precisamente donde termina el tubo pul-verizador. De esta forma se provoca una evaporación rápida y una mezcla simultáneacon el aire.

El sistema de encendido puede obtenerse por la corriente eléctrica de una bateríao bien por la que genera un magneto. Cuando el motor tiene varios cilindros, la chispaeléctrica debe llegar a tiempo a cada uno de ellos; esto se efectuará por el distribuidor(ver figura 7.23).

Todo motor de explosión genera gran cantidad de calor; una pequeña parte setransforma en energía mecánica, el resto debe sustraerse del sistema por medio delrefrigerador o sistema de enfriamiento. Los motores de explosión se enfrían por aire opor agua.

7.17.2 Motor diesel

El motor diesel tiene algunas diferencias con relación al motor de explosión. Laspartes esenciales son las mismas; no emplea la chispa eléctrica para la ignición, notiene carburador para preparar la mezcla (ver figura 7.24).



Los cuatro tiempos en este motor son:Primer tiempo: Admisión.-El pistón desciende, se abre la válvula de admisión y el

cilindro se llena de aire solamente.

Segundo tiempo: Compresión.-Asciende el émbolo, comprime el aire adiabática-mente de modo que su temperatura asciende a un punto superior al punto de infla-mación del combustible7. Han quedado cerradas las dos válvulas. La temperatura esde 600 oC y la presión de unas 40 atm.

Figura (7.24): Motor diesel.

Tercer tiempo: Combustión.-Cuando se ha completado la compresión se inyectaen la cámara de combustión el combustible por medio de un inyector que lo pulveriza.El combustible se quema bruscamente por efecto de la alta temperatura.

La expansión producida por la combustión de los gases desplaza el émbolo haciaabajo.

Cuarto tiempo: Expulsión.-El émbolo se desplaza de nuevo hacia arriba, se abre laválvula de escape, por la cual salen los gases originados en la combustión.

7 Temperatura a la cual el combustible se quema por sí sólo.


7.18. PROBLEMAS

El motor diesel es el motor térmico de mayor rendimiento; el combustible que con-sume es aceite pesado sin refinar, no emplea sistema de ignición eléctrica ni otrossistemas complicados. Es el motor más útil para grandes potencias. Se emplea encamiones, locomotoras, barcos, etc.

7.18 Problemas

1. (a) Hallar el calor específico a volumen constante, cV , del gas monoatómico argón(Ar), para el cual cp = 0; 125 cal

g:oCy = 1; 67. (b) Calcular el valor de cp del gas

biatómico óxido de nitrógeno (NO) para el cual cV = 0; 166 calg:oC

y = 1; 40. Resp.: (a)0; 0749 cal

g:oCy (b) 0; 232 cal

g:oC.

2. Calcular los calores específicos cp y cV del gas (a) monoatómico neón (Ne), (b)biatómico hidrógeno (H2). Las masas moleculares del Ne y del H2 son 20; 18 y 2; 016g=mol, respectivamente. Resp.: (a) 0; 148 cal

g:oCy 0; 247 cal

g:oCy (b) 2; 47 cal

g:oCy 3; 45 cal

g:oC.

3. Hallar el trabajo que hay que suministrar a un gas para comprimirlo desde un volu-men de 30 L a 1 atm hasta un volumen de 3 L, permaneciendo constante la tempe-ratura. Resp.: 6990 J .

4. Se comprime adiabáticamente, hasta un tercio de su volumen inicial, 5 moles degas neón a 2 atm y 27 oC. Hallar la presión y la temperatura finales y el trabajo quese ha suministrado al gas. Para el gas Ne, = 1; 67, cV = 0; 148 cal

g:oCy 1 mol = 20; 18 g.

Resp.: 12; 5 atm; 6260 K; 2; 04:104 J .

5. Cálcular el rendimiento teórico máximo de una máquina de vapor en la que elfluido entra a 400 oC y abandona el cilindro a 105 oC. Resp.: 43; 8 %.

6. Hallar el rendimiento termodinámico ideal de una máquina térmica que funcionaentre 50 oC y 150 oC. ¿Cuál debe ser la temperatura del foco caliente para que elrendimiento sea del 40 %?. Resp.: 0; 24 %; 265; 33 oC.

7. Hallar el trabajo exterior en la expansión de un gas que, en contra de una presiónconstante de 2 atm, pasa de ocupar un volumen de 3 L a otro de 30 L. Resp.: 5470J .

8. Calcular el trabajo que realiza un gas cuyo volumen inicial es de 3 L y cuya tem-peratura aumenta de 27 oC a 227 oC, al expansionarse en contra de una presiónconstante de 2 atm. Resp.: 405 J .



9. La temperatura de ebullición del agua a 1 atm vale 100 oC. En estas condiciones, sesabe que 1 g de agua ocupa un volumen de 1 cm3, 1 g de vapor ocupa 1671 cm3 yel calor de vaporización es de 540 cal

g. Hallar el trabajo exterior que se produce al

formarse 1 g de vapor a 100 oC y el aumento correspondiente de energía interna.Resp.: 169 J o 40; 4 cal; 500 cal.

10. La temperatura de 3Kg del gas criptón (Kr) se eleva desde �20 oC hasta 80 oC. (a)Si el proceso se realiza a presión constante (proceso isobárico), calcular la cantidadde calor necesaria, el aumento de energía interna y el trabajo exterior producidopor el gas y (b) hallar la cantidad de calor necesaria para llevar a cabo la transfor-mación a volumen constante (proceso isocórico). En cuanto al gas monoatómicocriptón, cV = 0; 0357 cal

g:K, cp = 0; 0595 cal

g:Ky masa molecular M = 83; 7g=mol. Resp.: (a)

17; 8 Kcal; 10; 7 Kcal; 7; 1 Kcal y (b) 10; 7 Kcal.

11. Un mol de óxido de carbono (CO) gaseoso se calienta de 15 oC a 16 oC. Calcularel aumento que experimenta su energía interna cuando el proceso se realiza (a) avolumen constante (proceso isocórico), (b) a presión constante (proceso isobárico).Asimismo, hallar el trabajo exterior realizado por un mol de CO al elevarse su tem-peratura de 15 oC a 16 oC, cuando el calentamiento se lleva a cabo, (c) a volu-men constante, (d) a presión constante. La masa molecular del CO vale 28; 01 g

mol,

cp = 0; 248calg:oC

y = 1; 40. Resp.: (a) 4; 96 ca1; (b) 4; 96 cal; (c) 0; (d) 1; 99 cal.

12. Calcular el rendimiento del ciclo reversible efectuado por un gas ideal monoató-mico y que está constituido de dos isócoras y dos isóbaras, como se muestra en lafigura 7.25. PA = 4 atm, PD = 2 atm, VA = 1 L y VB = 4 L. Resp.: � = 0; 188.

Figura (7.25): Problema 12: Ciclo reversible efectuado por un gas ideal monoatómico-

13. Calcular el rendimiento del ciclo reversible representado en la figura 7.26, en lahipótesis de que el fluido termodinámico sea un gas perfecto biatómico. La transfor-


7.18. PROBLEMAS

mación AB es sotérmica, la BC isócora y la CA adiabática. Se sabe que VA=VB = 3.Resp.: � = 0; 19.

Figura (7.26): Problema 13: Ciclo reversible.

14. Una masa de 100 g de agua, inicialmente a temperatura T1 = 30 oC es refrigeradaa presión atmosférica para obtener hielo a 0 oC. Calcular la variación de la entropíadel agua sabiendo que el calor específico del agua es de 1 cal

g:oCy el del hielo 0; 5

calg:oC

; el calor de fusión del hielo es 80 calg

. Supóngase que el calor específico no varíaen el intervalo de temperatura considerado. Resp.: �S = �0; 042 cal

K.

15. Calcular:

15.1. La variación de la entropía �Sa de una masa m = 2 Kg de agua, inicialmentea temperatura T1 = 10 oC, puesta en contacto con una fuente a temperaturaT2 = 100

oC asta que la temperatura del agua sea la de la fuente.

15.2. ¿Cuánto vale la variación de entropía �Sf de la fuente?.

15.3. ¿Cuánto vale la variación de entropía�Suniv del universo?. Resp.: �Sa = 552 calK ,�Sf = �483 calK y �Suniv = 69 calK

16. Se hace que un sistema termodinámico pase de su estado inicial A hasta otroestado B y regrese de nuevo a A a través del estado C como lo muestra la trayec-toria ABCA del diagrama p � V de la figura 7.27-a. (a) Completar la tabla de lafigura 7.27-b con los signos + o � adecuados a las indicaciones de los signos delas cantidades termodinámicas asociadas con cada proceso. (b) Calcular el valornumérico del trabajo efectuado por el sistema en un ciclo completo ABCA.

17. La figura 7.28-a muestra un cilindro que contiene gas y está cerrado por un ém-bolo móvil. El cilindro se sumerge en una mezcla de hielo y agua. Rápidamente



Figura (7.27): Problema 16: Sistema termodinámico que pasa de su estado inicial A hasta otro estado By regresa de nuevo a A a través del estado C como lo muestra la trayectoria ABCA.

se empuja el émbolo hacia abajo desde la posición (1) hasta la posición (2). Semantiene el émbolo en la posición (2) hasta que el gas se encuentre de nuevo a0 oC y entonces se le levanta lentamente hasta regresar a la posición (1). La figura7.28-b es un diagrama p� V de este proceso. Si durante el ciclo se funden 100 g dehielo, ¿cuánto trabajo se ha efectuado sobre el gas?. El calor de fusión del hielo es80 cal

g. Resp.: 8000 cal.

Figura (7.28): Problema 17: Cilindro que contiene gas y que está cerrado por un émbolo móvil. El cilindrose sumerge en una mezcla de hielo y agua.

18. (a) Una máquina de Carnot opera entre un recipiente caliente a 320 K y un re-cipiente frío a 260 K. Si absorbe 500 J de calor del recipiente caliente, ¿cuántotrabajo produce? (b) Si la misma máquina, trabajando en reversa, funciona comoun refrigerador entre los mismos dos depósitos, ¿cuánto trabajo debe sumínístrárselepara extraer 1000 J de calor del recipiente frío?. Resp.: (a) 94 J y (b) 230 J .

19. En una máquina térmica de dos etapas, en la primera se absorbe una cantidadde calor Q1 a una temperatura T1 y se hace un trabajo W1 cediendo una cantidad


7.18. PROBLEMAS

de calor Q2. a una temperatura inferior T2. En la segunda etapa se absorbe elcalor cedido en la primera, se efectúa un trabajo W2,y se cede una cantidad decalor Q3 a una temperatura inferior T3. Demostrar que el rendimiento de la máquinacombinada es:

� =T1 � T3T1

20. Una turbina que funciona mediante una combinación de mercurio y de vapor deagua, toma vapor de mercurio saturado en una caldera a 876 oF y lo invierte en ca-lentar una caldera de vapor de agua a 460 oF . La turbina de vapor recibe el vapora esta temperatura y lo cede a un condensador a 100 oF .¿Cuál es el rendimientomáximo de la combinación?. Resp.: 58 %.

21. Usando la ecuación de estado de un gas ideal (7.1) y la ecuación que describeun proceso adiabático para un gas ideal (7.21), demostrar que la pendiente dp=dV ,de una adiabática en un diagrama p� V , puede escribirse como,

dp

dV= � p

V

y la de una isoterma [ver ecuación (7.22)] como,

dp

dV= � p

V

Con estos resultados, demostrar que las adiabáticas tienen mayor pendiente quelas isotermas.

22. Si se provocan pocas perturbaciones en el agua, se puede extraer calor del aguaa 0 oC y a la presión atmosférica sin hacer que se congele. Supóngase que elagua se enfría hasta �5; 0 oC antes de que empiece a formarse el hielo. ¿Cuál esel cambio de la entropía por unidad de masa que tiene lugar durante el repentinocongelamiento que ocurre entonces? Resp.: �0; 30 cal

g:K.

23. En un experimento de calor específico se mezclan 200 g de aluminio c = 0; 215 calg:oC

a100 oC con 50 g de agua a 20 oC. Encontrar la diferencia entre la entropía del sistemaal final y su valor antes de la mezcla.

24. Un cubo de hielo de 8; 00 g a �10; 0 oC se deja caer en un termo que contiene 100cm3 de agua a 20; 0 oC. ¿Cuál es el cambio de la entropía del sístema cuando sealcanza un estado final de equilibrio?. El calor específico de hielo es de 0; 52 cal

g:oC.

Resp.: 0; 15 calK

.



25. Un cubo de hielo de 10 g a �10 oC se coloca en un lago cuya temperatura es de 15oC. Calcular el cambio de la entropía del sistema cuando el cubo de hielo quedaen equilibrio térmico con el lago.

26. Un gas ideal monoatómico se expande lentamente hasta que su presión se re-duce a la mitad de su valor riginal. ¿Cómo cambia su volumen si el proceso es (a)adiabático y (b) isotérmico?. Resp.: (a) V2

V1= 1; 52 y (b) V2

V1= 2; 0.

27. Un gas ideal se comprime a una presión constante de 2; 0 atm desde 10; 0 L hasta2; 0 L. (En este proceso un poco de calor circula hacia afuera y la temperaturadisminuye.) Después suministra calor al gas, manteniendo el volumen constante yse deja que la presión y la temperatura aumenten hasta que esta última alcancesu valor original. Calcule (a) el trabajo total que realiza el gas en el proceso y (b) elflujo de calor total hacia el gas. Resp.: (a) 1; 6 KJ y (b) 1; 6 KJ .

28. Una barra vertical de acero en forma de I se encuentra en la base de un edificio,mide 6; 0 m de altura, su masa es de 300 Kg y soporta una carga de 3; 0:105 N . Si latemperatura de la barra desciende 4; 0 oC, calcule el cambio en su energía internaconsiderando que para el acero cp es de 0; 11 Kcal

Kg:Ky que el coeficiente de dilatación

lineal es igual a 11:10�6 (oC)�1. Resp.: �5; 5:105 J .

29. ¿Cuál será el aumento de temperatura si se suministran 80Kcal de calor a 300molesde CO2 mantenido a presión constante?. Resp.: 13 oC.

30. ¿Cuánto calor debe suministrarse a 12; 0 m3 de gas nitrógeno a 20 oC para duplicarsu volumen a una presión de 1; 00 atm?. Resp.: 4; 25:106 J .

31. Una muestra de 800 moles de gas nitrógeno se mantiene a una presión constantede 1; 00 atm en un recipierite flexible. El gas se calienta de 40 oC a 180 oC. Calcule (a)el calor que se suministra al gas, (b) el trabajo realizado por el gas y (c) el cambioen la energía interna. Resp.: (a) 780 Kcal,(b) 220 Kcal y (c) 560 Kcal.

32. A temperaturas muy bajas, la capacidad calorífica de un gran número de sustan-cias varía con el cubo de la temperatura absoluta:

C = kT 3

T 3o

que en ocasiones se denomina ley de Debye. Para la sal gema, To = 281K y k = 1940J

mol:K. Determine el calor que se necesita para elevar la temperatura de 3; 5 moles

de sal gema de 12; 0 K a 38; 0 K. Resp.: 158 J .


7.18. PROBLEMAS

33. Demuestre, empleando las ecuaciones (7.4) y (7.21), que el trabajo realizado porun gas que se expande lentamente en un proceso adiabático desde la presión p1y el volumen V1 hasta p2, V2, está determinado por,

W =p1V1 � p2V2 � 1

34. ¿Cuál es el rendimiento máximo de una máquina térmica cuyas temperaturas deoperación son 480 oC y 305 oC?. Resp.:

35. La temperatura de escape de una máquina térmica es de 280 oC. ¿Cuál debe serel valor de la temperatura mayor si el rendimiento de Carnot debe ser del 32 %?.Resp.: 540 oC.

36. Una máquina que funciona a la mitad de su rendimiento teórico (de Carnot)opera entre 525 oC y 290 oC cuando produce trabajo a razón de 850 KW . ¿Cuántocalor se desecha por hora?. Resp.: 1; 77:1010 J=h.

37. Una máquina térmica utiliza una fuente de calor a 610 oC y tiene un rendimiento deCarnot de 27 %. Para incrementar la eficiencia hasta 35 %, ¿cuál será la temperaturade la fuente de calor?. Resp.: 713 oC.

38. Cuando 2; 0 Kg de agua a 20 oC se mezclan con 1; 0 Kg de agua a 80 oC en unrecipiente bien aislado, ¿cuál es el cambio en la entropía del sistema?. Resp.: 50J=K.

39. ¿Cuánto trabajo realizan 8; 0 moles de gas 02 inicialmente a 0 oC y a 1 atm cuandose duplica su volumen (a) en un proceso isotérmico y (b), a presión constante?.Resp.: (a) 13 KJ y (b) 18 KJ .




APÉNDICE A

Factores de Conversión

Longitud1 kilómetro (Km) =1000 metros (m)

1 m = 100 centímetros (cm)1 cm = 10�2 m1 milímetro (mm) = 10�3 m1 micra (�) (micrómetro) = 10�3 mm1 milimicra (m�) = 10�9 m

1 angstrom (o

A) = 10�10 m1 pulgada (pulg) = 2; 540 cm1 pie = 30; 48 cm1 milla (mi) = 1; 609 Km1 mi = 10�3 pulg1 cm = 0; 3937 pulg1 m = 39; 37 pulg1 Km = 0; 6214 miArea

1 m2 = 10; 76 pie2

1 pie2 =929 cm2

1 mi2 = 640 acres1 acre = 43560 pies2

Volumen1 litro (L) = 1000 cm3=1057 cuartillos (qt) = 61; 02 pulg3

= 0; 03532 pies3

1 m3 = 1000 L = 35; 32 pies3

423

APÉNDICE A. FACTORES DE CONVERSIÓN

1 pie3 = 7; 481 galones (E.E. U.U.) = 0; 02832 m3 = 28; 32 L1 galón (E.E. U.U.) = 231 pulg3= 3; 785 L1 galón británico = 1; 201 galones (E.E. U.U.) = 227; 4 pulg3

Masa1 kilogramo (Kg) = 2; 2046 lb = 0; 06852 slug

1 gramo (g) = 10�3 Kg1 libra (lb) = 453; 6 g = 0; 03108 slug1 slug = 32; 174 lb = 14; 59 KgVelocidad

1 Km=h = 0; 2778 m=s = 0; 6214 mi=h = 0; 9113 pies=s1 mi=h = 1; 467 pies=s = 1; 609 Km=h = 0; 4470 m=sDensidad

1 g=cm3 = 103 Kg=m3= 62; 43 lb=pie3 = 1; 940 slug=pie3

1 lb=pie3 = 0; 01602 g=cm3

1 slug=pie3 = 0; 5154 g=cm3

Fuerza1 newton (N) = 105 dinas = 0; 1020 Kgf = 0; 2248 lbf

1 1ibra fuerza (lbf) = 4; 448 N = 0; 4536 Kgf = 32; 17 poundals1 kilogramo fuerza (Kgf) o kilopondio (Kp) = 2; 20; lbf = 9; 807 N1 tonelada (E.E. U.U.) = 2000 lbf ;1 tonelada grande = 2240 lbf ;1 tonelada métrica = 2205 lbfEnergía

1 joule (J) = 1 N:m = 107 ergios = 0; 7376 pies:lbf= 0; 2389 caloría (cal) = 9; 481:10�4 Btu

1 pie:lbf = 1; 356 J = 0; 3239 cal = 1; 285:10�3 Btu1 cal = 4; 186 J = 3; 087 pie:lbf = 3; 968:10�3 Btu1 Btu (unidad térmica británica) = 778 pie:lbf = 1055 J

= 0; 293W:h1 kilowatt hora (KWh) = 3; 60:106 J = 860 Kcal = 3413 Btu1 electrón voltio (ev) = 1; 602:10�9 JPotencia

1 watt (W ) = 1 J=s = 107 ergios=s = 0; 2389 cal=s1 caballo de fuerza (hp) = 550 pie:lbf=s = 33000 pie:lbf=min

= 745; 7W1 kilowatt (KW ) = 1; 341 hp = 737; 6 pie:lbf=s =0; 9483 Btu=sPresión


1 N=m2 = 105 dinas=cm2 = 9; 869:10�8 atmósferas (atm)= 2; 089:10�2 lbf=pie2

1 lbf=pulg2 = 6895 N=m2 = 5; 171 cm de mercurio (cmHg)= 27; 68 pulg agua

1 atm = 1; 013:105 N=m2 = 1; 013:108 dinas=cm2

= 14; 70 lbf=pulg2 = 76 cmHg = 406; 8 pulg agua.


APÉNDICE A. FACTORES DE CONVERSIÓN


APÉNDICE B

Derivación

B.1 Definición de Derivada

Sea la función:

F = f(x; y) =y = F (x) ; x�Xg (B.1)

y sea p 6= 0, positivo o negativo, que tenga la propiedad de que (x+ p) �X; llamaremos

derivada de F (x) con respecto a x y la denotaremosdF (x)

dxa límite:

dF (x)

dx= L�{m

p!0

F (x+ p)� F (x)p

(B.2)

En otros textos es denotada por: F 0 (x) ó DxF (x) :

Si una función F es derivable en todos los púntos de un intervalo, se dice que esderivable sobre el intervalo y si es derivable en a, entonces se dice que F es continuaen a:

B.2 Segunda derivada y derivadas de orden superior

Consideremos la función (B.1) y su derivada:

dF

dx=

�(x; y) =y =

dF (x)

dx; x�X

�(B.3)

y sea p 6= 0: Si existe una funciónd2F

dx2con la propiedad:

427

APÉNDICE B. DERIVACIÓN

d2F (x)

dx2= L�{m

p!0

dF (x+ p)

dx� dF (x)

dxp

(B.4)

para algunos valores de x�X; entonces:

L�{mp!0

dF (x+ p)

dx� dF (x)

dxp

(B.5)

se denomina segunda derivada de F (x) con respecto a x:

La derivada ded2F

dx2recibe el nombre de tercera derivada de F y se denota por

d3F

dx3: Las derivadas superiores siguen esta pauta.

B.3 Derivadas parciales

Sea la función:

F = f(x; y; z) =y = F (x; y) ; (x; y) �Dg (B.6)

y sea p 6= 0 para el cual (x+ p; y) �D; se denomina derivada parcial de F (x; y) con

respecto a x y la denotaremos por@F (x; y)

@xal límite:

@F (x; y)

@x= L�{m

p!0

F (x+ p; y)� F (x; y)p

(B.7)

En otros textos se denota como: DxF (x; y), @xF (x; y) ó Fx (x; y) :

Por otro lado, consideremos nuevamente (B.6) y se p 6= 0 para el cual (x; y + p) �D; se

denomina derivada parcial de F (x; y) con respecto a y y la denotaremos por@F (x; y)

@yal límite:

@F (x; y)

@y= L�{m

p!0

F (x; y + p)� F (x; y)p

(B.8)

En otros textos se denota como: DyF (x; y), @yF (x; y) ó Fy (x; y) :


B.4. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES MÁS COMUNES

B.4 Derivadas de las funciones más comunes

F (x) F 0 (x) =dF

dxy = c (c = ctte) y0 = 0

y = xn y0 = nxn�1

y = x

1

n y0 =1

nx

1

n�1=1

n

1npxn�1

( n entero > 0 )

y = x�1

n y0 = � 1nx�1

n�1= � 1

n

1npxn+1

( n entero > 0 )

y = ln x y0 =1

x( con x > 0 )

y = Sen x y0 = Cos x

y = Cos x y0 = � Sen xy = tanx y0 = sec2 x

y = cotx y0 = � csc2 xy = ex y0 = ex

y = ax y0 = ax ln a

y = arcsinx y0 =1p1� x2

y = arccosx y0 =�1p1� x2

y = arctan x y0 =1

1 + x2

y = ar cotx�11 + x2

y = [F (x)]n y0 = n [F (x)]n�1 F 0 (x)

y = [F (x)]'(x) y0 = [F (x)]'(x)�'(x)F 0(x)

F (x)+ '0 (x) lnF (x)

�y de aquí que:

y = xx y0 = xx (1 + ln x)


APÉNDICE B. DERIVACIÓN


APÉNDICE C

Ecuaciones diferenciales

Se presentará el procedimiento parae darle solución a una ecuación diferencialhomogeneas de segundo orden con coeficientes constantes.

Las ecuaciones diferenciales de este tipo son de la forma:

d2y

dx2+ a

dy

dx+ by = 0 (C.1)

donde a y b son constantes.

Se obtiene una solución particular de (C.1), determinando el valor de la constanteR de manera que se satisfaga por:

y = eRx (C.2)

que al derivarla, se obtiene:

dy

dx= ReRx (C.3)

d2y

dx2= R2eRx (C.4)

y al ser sustituidas en (C.1), resulta:

R2 + aR + b = 0 (C.5)

es decir, la expresión (C.2) es una solución particular de la ecuación dada si R esuna raíz de (C.5) ; que recibe el nombre de Ecuación Auxiliar o Característica de laecuación (C.1) :

431

APÉNDICE C. ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Caso A:

La ecuación auxiliar o característica tiene raices reales diferentes. Entonces:

y = C1eR1x + C2e

R2x (C.6)

1. Caso B:

La ecuación característica tiene raices reales iguales. En este caso, a partir de(C.6) ; tenemos:

y = (C1 + C2) eRx (C.7)

1. Caso C:

La ecuación característica tiene raices imaginarias conjugadas. En este caso,las soluciones son del tipo: R1 = a+ bi y R2 = a� bi; entonces:

eR1x = eax [Cos (bx) + i Sen (bx)] (C.8)

eR2x = eax [Cos (bx)� i Sen (bx)] (C.9)

y, por lo tanto, la solución general se escribe como:

y = eax [(C1 + C2) Cos (bx) + i (C1 + C2) Sen (bx)] (C.10)

que, al hacer,

A = C1 + C2 (C.11)

B = i (C1 + C2) (C.12)

la (C.10) nos queda como:

y = eax [ACos (bx) +B Sen (bx)] (C.13)

Por otro lado, si definimos,

� =pA2 +B2 (C.14)

la solución (C.13) puede entonces escribirse como,


y = �eax��A

�

�Cos (bx) +

�B

�

�Sen (bx)

�(C.15)

que al definir un ángulo � de manera que,

Sen � =A

�(C.16)

Cos � =B

�(C.17)

la (C.15) queda como,

y = �eax Sen (bx+ �) (C.18)

que finalmente, dependiendo de la definición exacta de �; podemos escribirla como:

y = �eax Sen (bx+ �) (C.19)

y = �eaxCos (bx+ �) (C.20)


APÉNDICE C. ECUACIONES DIFERENCIALES


APÉNDICE D

Minibiografías

D.1 Newton, Isaac (1642-1727)

Matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos dela historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Susdescubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicosdesarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán GottfriedWilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominadacálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes delmovimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal.

Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente entonces;el 4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano vigente en la actualidad), enWoolsthorpe, Lincolnshire. Cuando tenía tres años, su madre viuda se volvió a casar ylo dejó al cuidado de su abuela. Al enviudar por segunda vez, decidió enviarlo a unaescuela primaria en Grantham. En el verano de 1661 ingresó en el Trinity College de laUniversidad de Cambridge y en 1665 recibió su título de bachiller.

Después de una interrupción de casi dos años provocada por una epidemia depeste, Newton volvió al Trinity College, donde le nombraron becario en 1667. Recibióel título de profesor en 1668. Durante esa época se dedicó al estudio e investigaciónde los últimos avances en matemáticas y a la filosofía natural, que consideraba lanaturaleza como un organismo de mecánica compleja. Casi inmediatamente realizódescubrimientos fundamentales que le fueron de gran utilidad en su carrera científica.

435

APÉNDICE D. MINIBIOGRAFÍAS

D.2 Pascal, Blaise (1623-1662)

Físico, matemático y filósofo francés. Nació el 19 de junio de 1623 en ClermontFerrand, Francia y murió el 19 de agosto de 1662 en París.

A los 17 años escribió un tratado de las secciones cónicas y a los 18 inventó unamáquina calculadora. Demostró más tarde que la presión atmosférica aumenta laaltura de una columna de mercurio en un tubo.

En 1648 realizó una experiencia con el barómetro en Puy de Dome, que corroborólos resultados antes obtenidos por su inventor, el italiano Torricelli. Otros experimentosfísicos fueron resumidos en una obra magisterial sobre el equilibrio de los fluidos.

Descubrió la teoría de la probabilidad y la del análisis combinatorio, base del cál-culo de probabilidades, del que publicó una parte en 1654 con el título De aleaegeometria.

En los últimos años de su vida, se entregó a las prácticas ascéticas, enseñó apolo-gética cristiana en Port Royal y redactó una serie de notas, las cuales después de sumuerte, acaecida prematuramente, fueron publicadas por los jansenistas bajo el títulode Pensées.

Principio de Pascal: La presión ejercida sobre una parte de la superficie de un fluidose transmite con igual intensidad a toda la masa y en todas las direcciones.

Pascal sostenía que se lograra o no la salvación, el último destino de la humanidades pertenecer después de la muerte a un reino sobrenatural que puede conocersesolamente de forma intuitiva.

En los escritos de Pascal, que defienden la aceptación de un modo de vida cris-tiano, se aplica frecuentemente el cálculo de probabilidades; argumentaba que elvalor de la felicidad eterna es infinito y que, aunque la probabilidad de obtener dichafelicidad por la religión pueda ser pequeña, es infinitamente mayor que siguiendocualquier otra conducta o creencia humana.

Pascal fue uno de los más eminentes matemáticos y físicos de su época y unode los más grandes escritores místicos de la literatura cristiana. Sus trabajos religiososse caracterizan por su especulación sobre materias que sobrepasan la comprensiónhumana. Se le clasifica, generalmente, entre los más finos polemistas franceses, espe-cialmente en Provinciales, un clásico de la literatura de la ironía. El estilo de la prosade Pascal es famoso por su originalidad y, en particular, por su total falta de artificio


D.3. ARQUÍMEDES (287-212 A.C.)

Obras: Cartas provinciales, Ensayo sobre las secciones cónicas, Nuevas experien-cias sobre el vacío, Tratado de las facultades numéricas, Pensamientos.

D.3 Arquímedes (287-212 a.C.)

Notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geo-metría plana y del espacio, aritmética y mecánica.

Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. En el campo de lasmatemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia mo-derna, como el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de figurassólidas curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró también que el volumen deuna esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.

En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como elinventor de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto inventó el ’tornillo sinfin’ para elevar el agua de nivel. Arquímedes es conocido sobre todo por el descubri-miento de la ley de la hidrostática, el llamado principio de Arquímedes, que estableceque todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una pérdida de peso igual alpeso del volumen del fluido que desaloja. Se dice que este descubrimiento lo hizomientras se bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba.

Arquímedes pasó la mayor parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores,dedicado a la investigación y los experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público,durante la conquista de Sicilia por los romanos se puso a disposición de las autoridadesde la ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa deSiracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la cata-pulta y un sistema de espejos -quizá legendario- que incendiaba las embarcacionesenemigas al enfocarlas con los rayos del sol.

Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado porun soldado romano que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena.Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendió alintruso al decirle: ”No desordenes mis diagramas”. Todavía subsisten muchas de susobras sobre matemáticas y mecánica, como el Tratado de los cuerpos flotantes, Elarenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la imaginación desu pensamiento matemático.



D.4 Lagrange, Joseph Louis, Conde de (1736-1813)

Matemático y astrónomo francés nacido en Turín (Italia), en cuya universidad es-tudió. Fue nombrado profesor de geometría en la Academia Militar de Turín a los 19años y en 1758 fundó una sociedad que más tarde se convertiría en la Academia deCiencias de Turín. En 1766 fue nombrado director de la Academia de Ciencias deBerlín, y 20 años después llegó a París invitado por el rey Luis XVII. Durante el períodode la Revolución Francesa, estuvo al cargo de la comisión para el establecimiento deun nuevo sistema de pesos y medidas (véase Sistema métrico decimal). Después dela Revolución, fue profesor de la nueva École Normale y con Napoleón fue miembrodel Senado y recibió el título de conde. Fue uno de los matemáticos más importantesdel siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones, sistematizó el campo de las ecuacionesdiferenciales y trabajó en la teoría de números. Entre sus investigaciones en astronomíadestacan los cálculos de la libración de la Luna y los movimientos de los planetas. Suobra más importante es Mecánica analítica (1788).

D.5 Euler, Leonhard (1707-1783)

Matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo delas matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basileay estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licen-ciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fuemiembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nom-brado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesorde matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Fe-derico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hastasu muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obrasmatemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.

En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamientoanalítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geo-metría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formulóla regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas ade-cuadamente. También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las sec-ciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado endos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones),


D.6. BERNOULLI, DANIEL (1700-1782)

la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la as-tronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Insti-tuciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) eIntroducción al álgebra (1770).

D.6 Bernoulli, Daniel (1700-1782)

Científico suizo nacido en Holanda que descubrió los principios básicos del com-portamiento de los fluidos. Era hijo de Jean Bernoulli y sobrino de Jacques Bernoulli,dos investigadores que hicieron aportaciones importantes al primitivo desarrollo delcálculo.

Bernoulli nació en Groningen (Países Bajos), el 29 de enero de 1700 y desde muypronto manifestó su interés por las matemáticas. Aunque consiguió un título médicoen 1721, fue profesor de matemáticas en la Academia Rusa de San Petersburgo en1725. Posteriormente dio clases de filosofía experimental, anatomía y botánica en lasuniversidades de Groningen y Basilea, en Suiza.

Bernoulli promovió en Europa la aceptación de la nueva física del científico inglésIsaac Newton. Estudió el flujo de los fluidos y formuló el teorema según el cual la presiónejercida por un fluido es inversamente proporcional a su velocidad de flujo (Teoremade Bernoulli). Utilizó conceptos atomísticos para intentar desarrollar la primera teoríacinética de los gases, explicando su comportamiento bajo condiciones de presión ytemperatura cambiantes en términos de probabilidad. Sin embargo, este trabajo notuvo gran repercusión en su época. Bernoulli murió el 17 de marzo de 1782 en Basilea.

D.7 Torricelli, Evangelista (1608-1647)

Matemático y físico italiano, conocido sobre todo por el invento del barómetro.Nació en Faenza y estudió en el Collegio di Sapienza en Roma. De 1641 a 1642 fue ayu-dante de Galileo. A la muerte de éste en 1642, Torricelli le sucedió como profesor defilosofía y matemáticas en la Academia Florentina. Descubrió y determinó el valor dela presión atmosférica y en 1643 inventó el barómetro. Fue autor de Trattato dei moto(Tratado sobre el movimiento, c. 1640) y Opera geometrica (Obra geométrica, 1644).Una unidad de medida, el torr, utilizada en física para indicar la presión barométricacuando se trabaja en condiciones cercanas al vacío, se denomina así en su honor.



D.8 Venturi, Giovanni Battista (1746-1822)

Físico italiano inventor del llamado tubo de Venturi, empleado en hidráulica.

Nacido en Babiano, fue profesor de física en la Escuela de Ingenieros Militares deMódena y posteriormente en la Universidad de Pavía. Especialista en dinámica defluidos, orientó sus trabajos de investigación hacia la hidráulica. Se distinguió en esadisciplina al inventar y fabricar el llamado tubo de Venturi, una tubería dotada de unestrangulamiento.

El tubo de Venturi se emplea para medir el caudal de un fluido: permite determinarla diferencia de presión entre la sección normal y la sección estrechada del tubo,diferencia que, según el teorema de Bernoulli, es proporcional al cuadrado del caudal.

Venturi también realizó investigaciones sobre la gama de sonidos audibles y sobrelos colores.

D.9 Pitot, Henri (1695-1771)

Físico e ingeniero naval francés que participó en la construcción del canal del Midien ese país y desarrolló un dispositivo para medir velocidades en los fluidos.

Nacido en Aramon, en la región francesa del Gard, ingresó en la Academia deCiencias en 1724. Como ingeniero jefe de los estados del Languedoc (1740), participóen la construcción de un gran número de obras públicas, como el acueducto deSaint-Clément en Montpellier. También fue director del canal del Midi, conocido enaquella época como canal del Languedoc. Sus investigaciones sobre las bombas y elrendimiento de las máquinas hidráulicas supusieron grandes aportaciones a la termo-dinámica y la hidrodinámica. Pitot publicó también varias memorias sobre geometría.En 1871 el gobierno francés adoptó su teoría sobre la maniobra de los navíos.

Pitot puso a punto una sonda que, dirigida en el sentido del flujo, permite medir lapresión estática en un fluido. El dispositivo está perforado con pequeños orificios late-rales suficientemente alejados del punto de parada (punto del flujo donde se anulala velocidad) para que las líneas de corriente sean paralelas a la pared. Esta sonda,combinada con una sonda de presión de impacto (perpendicular a la dirección deflujo), forma una sonda de presión cinética llamada tubo de Pitot. Este dispositivo seemplea a menudo en aeronáutica: situado en un lugar de poca turbulencia, permitemedir la velocidad de avance de un avión con respecto al aire.


D.10. JOULE, JAMES PRESCOTT (1818-1889)

D.10 Joule, James Prescott (1818-1889)

Físico británico, nacido en Salford (Lancashire). Uno de los más notables físicos desu época, es conocido sobre todo por su investigación en electricidad y termodiná-mica. En el transcurso de sus investigaciones sobre el calor desprendido en un circuitoeléctrico, formuló la ley actualmente conocida como ley de Joule que establece quela cantidad de calor producida en un conductor por el paso de una corriente eléc-trica cada segundo, es proporcional a la resistencia del conductor y al cuadrado dela intensidad de corriente. Joule verificó experimentalmente la ley de la conservaciónde energía en su estudio de la conversión de energía mecánica en energía térmica.

Utilizando muchos métodos independientes, Joule determinó la relación numéricaentre la energía térmica y la mecánica, o el equivalente mecánico del calor. Launidad de energía denominada julio se llama así en su honor; equivale a 1 vatio-segundo. Junto con su compatriota, el físico William Thomson (posteriormente lordKelvin), Joule descubrió que la temperatura de un gas desciende cuando se expandesin realizar ningún trabajo. Este fenómeno, que se conoce como efecto Joule-Thomson,sirve de base a la refrigeración normal y a los sistemas de aire acondicionado.

Joule recibió muchos honores de universidades y sociedades científicas de todo elmundo. Sus Escritos científicos (2 volúmenes) se publicaron en 1885 y 1887 respectiva-mente.

D.11 Carnot, Nicolas Léonard Sadi (1796-1832)

Físico e ingeniero militar francés, hijo de Lazare Carnot, nació en París y estudióen la Escuela Politécnica. En 1824 describió su concepción del motor ideal, el llamadomotor de Carnot, en el que se utiliza toda la energía disponible. Descubrió que el calorno puede pasar de un cuerpo más frío a uno más caliente, y que la eficacia de unmotor depende de la cantidad de calor que es capaz de utilizar. Este descubrimientoes la base de la segunda ley de la termodinámica.

D.12 Boyle, Robert (1627-1691)

Científico británico, uno de los primeros defensores de los métodos científicos yuno de los fundadores de la química moderna.



Nació en Lismore, Irlanda, y estudió en Ginebra. Se estableció en Inglaterra y sededicó a la investigación científica. Boyle es considerado uno de los fundadores delos métodos científicos modernos porque creyó en la necesidad de la observaciónobjetiva y de los experimentos verificables en los laboratorios, al realizar los estudioscientíficos.

Boyle fue el primer químico que aisló un gas. Perfeccionó la bomba de aire y sus es-tudios le condujeron a formular, independientemente de su colega francés Edme Ma-riotte, la ley de física conocida hoy como ’ley de Boyle-Mariotte’. Esta ley estableceque a una temperatura constante, la presión y el volumen de un gas son inversamenteproporcionales. En el campo de la química, Boyle observó que el aire se consume enel proceso de combustión y que los metales ganan peso cuando se oxidan. Recono-ció la diferencia entre un compuesto y una mezcla, y formuló su teoría atómica de lamateria basándose en sus experimentos de laboratorio. En su obra El químico escép-tico (1661), Boyle atacó la teoría propuesta por el filósofo y científico griego Aristóteles(384-322a.C.) según la cual la materia está compuesta por cuatro elementos: tierra,aire, fuego y agua. Propuso que partículas diminutas de materia primaria se com-binan de diversas maneras para formar lo que él llamó corpúsculos, y que todos losfenómenos observables son el resultado del movimiento y estructura de los corpúscu-los. Boyle fue también el primero en verificar las diferencias entre ácidos, bases y sales(véase Ácidos y bases). Entre sus obras están Origen de formas y características segúnla filosofía corpuscular (1666) y Discurso de las cosas más allá de la razón (1681). Boylefue uno de los miembros fundadores de la Sociedad Real de Londres.

D.13 Mariotte, Edme (1620-1684)

Físico francés que descubrió, independientemente de su colega británico RobertBoyle, la ley de compresibilidad de los gases, conocida como ley de Boyle-Mariotte;fue uno de los pioneros de la física experimental en Francia.

En 1660 emprendió investigaciones sobre las deformaciones elásticas de los sólidosy enunció una ley al respecto. En su tratado De la naturaleza del aire (1676) formulóla ley de compresibilidad de los gases: “a temperatura constante, el volumen de ungas varía en razón inversa a su presión”. Mariotte también realizó estudios sobre óptica,hidrodinámica y mecánica de fluidos, y fue autor de numerosos escritos sobre la visión,los colores, las previsiones meteorológicas, los movimientos de los fluidos o los choquesentre cuerpos. En 1666 fue nombrado miembro de la Academia de Ciencias francesa.


D.14. GALILEO (GALILEO GALILEI) (1564-1642)

D.14 Galileo (Galileo Galilei) (1564-1642)

Físico y astrónomo italiano que, junto con el astrónomo alemán Johannes Ke-pler, comenzó la revolución científica que culminó con la obra del físico inglés IsaacNewton. Su nombre completo era Galileo Galilei, y su principal contribución a la as-tronomía fue el uso del telescopio para la observación y descubrimiento de las man-chas solares, valles y montañas lunares, los cuatro satélites mayores de Júpiter y lasfases de Venus. En el campo de la física descubrió las leyes que rigen la caída delos cuerpos y el movimiento de los proyectiles. En la historia de la cultura, Galileo seha convertido en el símbolo de la lucha contra la autoridad y de la libertad en lainvestigación.

Nació cerca de Pisa el 15 de febrero de 1564. Su padre, Vincenzo Galilei, ocupóun lugar destacado en la revolución musical que supuso el paso de la polifonía me-dieval a la modulación armónica. Del mismo modo que Vincenzo consideraba quelas teorías rígidas impedían la evolución hacia nuevas formas musicales, su hijo mayorveía la teología física de Aristóteles como un freno a la investigación científica. Galileoestudió con los monjes en Vallombroso y en 1581 ingresó en la Universidad de Pisa paraestudiar medicina. Al poco tiempo cambió sus estudios de medicina por la filosofía ylas matemáticas, abandonando la universidad en 1585 sin haber llegado a obtenerel título. Durante un tiempo dio clases particulares y escribió sobre hidrostática y elmovimiento natural, pero no llegó a publicar nada. En 1589 trabajó como profesorde matemáticas en Pisa, donde se dice que demostró ante sus alumnos el error deAristóteles, que afirmaba que la velocidad de caída de los cuerpos era proporcionala su peso, dejando caer desde la torre inclinada de esta ciudad dos objetos de pe-sos diferentes. En 1592 no le renovaron su contrato, posiblemente por oponerse a lafilosofía aristotélica. Ese mismo año fue admitido en la cátedra de matemáticas de laUniversidad de Padua, donde permaneció hasta 1610.

D.15 Fahrenheit, Daniel Gabriel ( 1686-1736)

Físico alemán, que nació en Danzig (actualmente Gdañsk, Polonia). Se instaló enlos Países Bajos y se dedicó a la fabricación de instrumentos meteorológicos. En 1714construyó el primer termómetro con mercurio en vez de alcohol. Con el uso de estetermómetro, concibió la escala de temperatura conocida por su nombre. Fahrenheittambién inventó un higrómetro de diseño perfeccionado. Descubrió que además delagua, hay otros líquidos que tienen un punto de ebullición determinado y que estos



puntos de ebullición varían con los cambios de presión atmosférica.

D.16 Celsius, Anders (1701-1744)

Astrónomo sueco, fue el primero que propuso el termómetro centígrado, que tieneuna escala de 100 grados que separan el punto de ebullición y el de congelacióndel agua. Desde 1730 hasta 1744 fue catedrático de astronomía en la Universidadde Uppsala, construyó el observatorio de esta ciudad en 1740, y fue nombrado sudirector. En 1733 publicó su colección de 316 observaciones sobre la aurora boreal yen 1737 formó parte de la expedición francesa organizada para medir un grado delatitud en las regiones polares.

D.17 Kelvin, Lord o Thomson, William (1824-1907)

Matemático y físico británico, uno de los principales físicos y más importantes pro-fesores de su época.

Nació en Belfast el 26 de junio de 1824 y estudió en las universidades de Glasgow yCambridge. Desde 1846 hasta 1899 fue profesor de la Universidad de Glasgow.

En el campo de la termodinámica, Kelvin desarrolló el trabajo realizado por JamesPrescott Joule sobre la interrelación del calor y la energía mecánica, y en 1852 am-bos colaboraron para investigar el fenómeno al que se conoció como efecto Joule-Thomson. En 1848 Kelvin estableció la escala absoluta de temperatura que sigue lle-vando su nombre. Su trabajo en el campo de la electricidad tuvo aplicación en latelegrafía. Estudió la teoría matemática de la electrostática, llevó a cabo mejoras enla fabricación de cables e inventó el galvanómetro de imán móvil y el sifón registra-dor. Ejerció como asesor científico en el tendido de cables telegráficos del Atlánticoen 1857, 1858, 1865 y 1866. Kelvin también contribuyó a la teoría de la elasticidade investigó los circuitos oscilantes, las propiedades electrodinámicas de los metalesy el tratamiento matemático del magnetismo. Junto con el fisiólogo y físico alemánHermann Ludwig von Helmholtz, hizo una estimación de la edad del Sol y calculó laenergía irradiada desde su superficie. Entre los aparatos que inventó o mejoró se en-cuentran un dispositivo para predecir mareas, un analizador armónico y un aparatopara grabar sonidos en aguas más o menos profundas. También mejoró aspectos dela brújula marina o compás náutico.


D.18. DAVY, SIR HUMPHRY (1778-1829)

Muchas de sus obras científicas se recopilaron en sus Ponencias sobre electricidady magnetismo (1872), Ponencias matemáticas y físicas (1882, 1883, 1890) y Cursos yconferencias (1889-1894). Kelvin fue presidente de la Sociedad Real de Londres en1890, y en 1902 recibió la Orden del Mérito. Murió el 17 de diciembre de 1907.

D.18 Davy, Sir Humphry (1778-1829)

Célebre químico británico, conocido especialmente por sus experimentos en elec-troquímica y por su invento de la lámpara de seguridad en la minas.

Davy nació el 17 de diciembre de 1778, en Penzance, Cornualles. En 1798 comenzólos experimentos sobre las propiedades médicas de los gases, durante los cuales des-cubrió los efectos anestésicos del óxido nitroso (gas hilarante). Davy fue designadoprofesor adjunto de química en la recién fundada Institución Real de Londres en 1801y al año siguiente se le nombró profesor de química en esa misma institución.

Durante los primeros años en dicha institución, Davy comenzó sus investigacionessobre los efectos de la electricidad en los compuestos químicos. En 1807 recibió elpremio Napoleón del Instituto Francés por su trabajo teórico y práctico iniciado el añoanterior. Fabricó la mayor batería construida hasta entonces, con 250 células y pasóuna corriente eléctrica potente a través de soluciones de varios compuestos sospe-chosos de contener elementos químicos no descubiertos. Davy aisló rápidamente coneste método electrolítico el potasio y el sodio. También preparó calcio con el mismométodo. En experimentos posteriores, no descritos, descubrió el boro y demostró queel diamante está compuesto de carbono. Davy mostró, asimismo, que las llamadastierras raras eran óxidos de metales en lugar de elementos. Sus experimentos con losácidos indicaron que es el hidrógeno, y no el oxígeno, el que produce las característi-cas de los ácidos. Davy también realizó descubrimientos notables sobre el calor.

En el campo de la ciencia aplicada, Davy inventó la lámpara de seguridad paralos mineros en 1815. Por esto y por las investigaciones descritas recibió la medallas deoro y plata de Rumford de la Sociedad Real. En 1823 propuso un método para evitarla corrosión de los fondos de cobre de los barcos que consistía en hacer revestimientosde hierro y cinc. Fue nombrado sir en 1812 y fue elevado al rango de baronet en 1818.En 1820 fue presidente de la Sociedad Real. Davy murió el 29 de mayo de 1829 enGinebra.

Entre sus obras destacan Elementos de la filosofía química (1812) y Elementos de laquímica agrícola (1813).



D.19 Mayer, Julius von (1814-1878)

Médico y físico alemán, conocido por ser el primero en establecer el equiva-lente mecánico del calor. Nació en Heilbronn y estudió medicina en la Universidadde Tubinga. En 1842 publicó un ensayo en el que daba un valor para el equivalentemecánico del calor. Su cifra estaba basada en el aumento de la temperatura dela pasta de papel cuando se la removía con un mecanismo accionado por un ca-ballo. Mayer fue también el primero en establecer el principio de conservación de laenergía, en especial en los fenómenos biológicos y en los sistemas físicos.

D.20 Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716)

También conocido como barón Gottfried Wilhelm von Leibniz. Filósofo, matemá-tico y estadista alemán, considerado como uno de los mayores intelectuales del sigloXVII. Nacido en Leipzig, se educó en las universidades de esta ciudad, de Jena y deAltdorf. Desde 1666 (año en que fue premiado con un doctorado en leyes) trabajópara Johann Philipp von Schönborn, arzobispo elector de Maguncia, en diversas ta-reas legales, políticas y diplomáticas. En 1673, cuando cayó el régimen del elector,Leibniz marchó a París. Permaneció allí durante tres años y también visitó Amsterdamy Londres, donde dedicó su tiempo al estudio de las matemáticas, la ciencia y lafilosofía. En 1676 fue designado bibliotecario y consejero privado en la corte de Han-nover. Durante los 40 años siguientes, hasta su muerte, sirvió a Ernesto Augusto, duquede Brunswick-Lüneburg, más tarde elector de Hannover, y a Jorge Luis, elector de Han-nover, después JorgeI, rey de Gran Bretaña.

Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra abordano sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diploma-cia, política, historia, filología y física.

D.21 Clausius, Rudolf Emanuel (1822 -1888)

Físico y matemático alemán, uno de los fundadores de la termodinámica. Nacióen Köslin (actualmente Koszalin, Polonia) y estudió en las universidades de Berlín y Halle.Desde 1855 hasta su muerte fue sucesivamente profesor en el Instituto Politécnico deZurich y en las universidades de Würzburg y Bonn. Clausius fue el primero en enunciarla denominada segunda ley de la termodinámica (1850): el calor no puede pasar por


D.22. ARRHENIUS, SVANTE AUGUST (1859-1927)

sí mismo de un cuerpo más frío a un cuerpo más caliente. Fue uno de los primerosque aplicó las leyes de la termodinámica, especialmente el concepto de entropía, ala teoría de la máquina de vapor. También tuvo un papel importante en el desarrollode la teoría cinética de los gases. Su teoría de la electrólisis se adelantó en parte a lateoría iónica del químico sueco Svante Arrhenius.

D.22 Arrhenius, Svante August (1859-1927)

Químico sueco que ayudó a fijar las bases de la química moderna. Nació cercade Uppsala, estudió en la Universidad de Uppsala y se doctoró el año 1884. Mientrastodavía era un estudiante, investigó las propiedades conductoras de las disolucioneselectrolíticas (que conducen carga). En su tesis doctoral formuló la teoría de la di-sociación electrolítica. Esta teoría mantiene que en las disoluciones electrolíticas, loscompuestos químicos disueltos, se disocian en iones. Arrhenius también sostuvo que elgrado de disociación aumenta con el grado de dilución de la disolución, una hipótesisque posteriormente resultó ser cierta sólo para los electrolitos débiles. Inicialmente secreyó que esta teoría era errónea y le aprobaron la tesis con la mínima calificaciónposible. Sin embargo, más tarde, la teoría de la disociación electrolítica de Arrheniusfue generalmente aceptada y finalmente se convirtió en una de las piedras angularesde la química física y la electroquímica modernas.

D.23 Planck, Max Karl Ernst Ludwig (1858-1947)

Físico alemán, premiado con el Nobel, considerado el creador de la teoría cuán-tica.

Planck nació en Kiel el 23 de abril de 1858 y estudió en las universidades de Munichy Berlín. Fue nombrado profesor de física en la Universidad de Kiel en 1885, y desde1889 hasta 1928 ocupó el mismo cargo en la Universidad de Berlín. En 1900 Planck for-muló que la energía se radia en unidades pequeñas separadas denominadas cuantos.Avanzando en el desarrollo de esta teoría, descubrió una constante de naturaleza uni-versal que se conoce como la constante de Planck. La ley de Planck establece quela energía de cada cuanto es igual a la frecuencia de la radiación multiplicada porla constante universal. Sus descubrimientos, sin embargo, no invalidaron la teoría deque la radiación se propagaba por ondas. Los físicos en la actualidad creen que laradiación electromagnética combina las propiedades de las ondas y de las partícu-las. Los descubrimientos de Planck, que fueron verificados posteriormente por otros



científicos, fueron el nacimiento de un campo totalmente nuevo de la física, cono-cido como mecánica cuántica y proporcionaron los cimientos para la investigaciónen campos como el de la energía atómica. Reconoció en 1905 la importancia de lasideas sobre la cuantificación de la radiación electromagnética expuestas por AlbertEinstein, con quien colaboró a lo largo de su carrera. Véase Átomo.

Planck recibió muchos premios por este trabajo, especialmente, el Premio Nobel deFísica, en 1918. En 1930 Planck fue elegido presidente de la Sociedad Kaiser Guillermopara el Progreso de la Ciencia, la principal asociación de científicos alemanes, quedespués se llamó Sociedad Max Planck. Sus críticas abiertas al régimen nazi que habíallegado al poder en Alemania en 1933 le forzaron a abandonar la Sociedad, de laque volvió a ser su presidente al acabar la II Guerra Mundial. Murió en Gotinga el 4de octubre de 1947. Entre sus obras más importantes se encuentran Introducción a lafísica teórica (5 volúmenes, 1932-1933) y Filosofía de la física (1936).

D.24 Van der Waals, Johannes Diderik (1837-1923)

Físico holandés, premiado con el Nobel. Nació en Leiden y estudió en la universi-dad de esta ciudad. Desde 1877 hasta 1907 fue profesor de física en la Universidad deAmsterdam. Van der Waals estuvo interesado principalmente en la termodinámica;desarrolló una teoría sobre la continuidad de los estados líquido y gaseoso de la mate-ria que se expresa en la ecuación de van der Waals. Por estos descubrimientos recibióen 1910 el Premio Nobel de Física. Estudió también las fuerzas de atracción entre lasmoléculas; se llamaron fuerzas de van der Waals en su honor.

D.25 Doppler, Christian (1803-1853)

Físico y matemático austriaco, nacido en Salzburgo. Estudió en dicha ciudad yposteriormente en Viena. Fue profesor en el Instituto técnico de Praga (Checoslo-vaquia) y en el Instituto politécnico de Viena, y ocupó el cargo de director del Institutode Física de la Universidad de Viena en 1850. Describió el fenómeno físico que seconoce hoy como efecto Doppler en su artículo monográfico sobre los colores de laluz de las estrellas dobles, Acerca de la luz coloreada de las estrellas dobles (1842).


BIBLIOGRAFÍA

[1] Mencuccini C. e Silvestrini V. Física I. Liguori Editori, Napoli-Italia, (1992)

[2] Alonso M. y Finn E.J. Física. Volumen I, Addison-Weeley Iberoamericana, USA,(1986).

[3] Resnick R. y Halliday D. Física. Parte I, CIA Editorial Continental, SA de CV - México,(1984).

[4] Giancoli D.C. Física General. Volumen I, Prentice-Hall Hispanoamericana, SA -México, (1988).

[5] Savéliev I.V. Mecánica - Física Molecular. Tomo I, Editorial MIR - Moscú, (1989).

[6] Hewitt P.G. Conceptos de Física. Editorial Limusa - México. Primera edición, (1992).

[7] Ander P. y Sonnessa A.J. Principios de Química. Editorial Limusa, (1978).

[8] Balloffet A., Gotelli L.M. y Meoli G.A. Hidráulica. Tomo I, Editorial EDIAR - BuenosAires, segunda edición, (1952).

[9] Taylor H.E. y Wade T.L. Cálculo diferencial e integral. Editorial Limusa - México,(1981).

[10] Braun M. Differential Equations and Their Applications. Springer - Verlag, (1984).

[11] Boyce W.E. y DiPrima R.C. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en laFrontera. Editorial Limusa - México, tercera edición, (1992).

[12] Koshkin, Shirkévich. Manual de Física Elemental. Edtorial Mir.

449

BIBLIOGRAFÍA

[13] Abbott, M.M., Vanness, H.C. Termodinámica. McGraw-Hill - México, 2a. edición,(1991).

[14] Callen, H.B. Thermodynamics. Wiley & Sons - New York, (1985).

[15] Thellier, M., Ripoll, C. Bases Thermodynamiques de la Biologie Cellulaire. Masson -Paris, (1992).

[16] Fishbane, Paul M., Gasiorowicz, Stephen y Thornton, Stephen T. Física para Cien-cias e Ingeniería. Volumen I. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. - Mexico Engle-wood Cliffs. (2000).

[17] Serway, Raymond A. Física. Tomo I. McGraW-Hill. - Mexico 4ta. edición, (1997).


Documents

2011 FISICA GENERAL - · PDF file2011 (Desde el 2009) FISICA GENERAL UNA INTRODUCCION A LOS FLUIDOS, VIBRACIONES Y TERMODINAMICA Con numerosos ejemplos e ilustraciones S O L