LA REGRESION Y CORRELACION

Consiste en establecer una relación cuantitativa entre dos o más variables.

Peso=f(talla), Consumo=f(Ingreso) Demanda=f(Precio) n: observaciones (x1,y1),..............(xn,

yn) Yi: variable dependiente Xi: variable

independiente.

FORMAS DE RELACION DIAGRAMA DE DISPERSION

Relacion Lineal Yi= a + bXi Relac.no Lineal Yi= a+bXi+cX2

Parabólico Yi= aXb ,Potencial Yi= a.bx ,

Exponencial Yi= a / Xi Hiperbola Equilatera

Diagramas de dispersión o nubes de puntos

TALLA (cm) 160 165 168 170 171 175 175 180 180 182

PESO (kg) 55 58 58 61 67 62 66 74 79 83

Modelo de Regresión lineal Simple

Proceso de estimación en la regresión lineal simple

Modelo de Regresión Lineal Simple

y = βo + β 1 x + εEcuación de Regresión Lineal Simple

E(y) = βo + β 1 x Parametros desconocidos

βo, β 1

Datos de la muestra

x y--------------X1 y1

X2 y2 . . . .

Xn yn

Ecuación estimada de RegresiónLineal Simple

^ y = bo + b 1 x

Estadísticos de la muestra

bo, b 1

bo, b 1Proporcionan estimados de

βo, β 1

MINIMOS CUADRADOS MODELO LINEAL Para el cálculo de los parámetros a y b Estimar Y* = a + bXi Suma Cuadrados de Errores Mínimo e = ∑( Yi - Y*)2

MEDIANTE DERIVADAS PARCIALES Se encuetran las Ecuaciones Normales

ECUACIONES NORMALES ∑Yi = na + b ∑Xi ∑XiYi= a ∑Xi + b ∑Xi2

CALCULO DE LOS PARAMETROS a y b a = ∑Yi ∑Xi2 - ∑Xi ∑XiYi/n ∑Xi2- (∑Xi)2

b = n ∑XiYi - ∑Xi ∑Yi / n ∑Xi2- (∑Xi)2

SUMATORIAS PARA EL CALCULO DE LOS ESTIMADORES DE βo ; β1

Talla (cm)xi

Peso (kg.)yi

XiYi X2i Y2

i

160 55 8.800 25.600 3.025

165 58 9.570 27.225 3.364

168 58 9.744 28.224 3.364

170 61 10.370 28.900 3.721

171 67 11.457 29.241 4.489

175 62 10.850 30.625 3.844

175 66 11.550 30.625 4.356

180 74 13.320 32.400 5.476

180 79 14.220 32.400 6.241

182 83 15.106 33.124 6.889

1.726 663 114.987 298.364 44.769Σ

Cálculo del estimador de βo

a = (∑Yi* ∑Xi2 - ∑Xi* ∑XiYi) / (n ∑ Xi

2 - (∑Xi)2)

a= (663*298364-1726*114987)/(10*298363-(1726)2)

a= -142,907537

Cálculo del estimador de β1

b = (n* ∑XiYi - ∑Xi*∑Yi) /( n ∑Xi2 - (∑Xi)2)

b=(10*114987-1726*663)/(10*298364-(1726)2)

b= 1,21209465 significa que por cada incremento de la talla en un centímetro el peso se incrementa en 1,21 kilogramos.

La recta de la Regresión Lineal es: Y’ = -142,9075 + 1,212Xi

Y'=-142,907+1,212X

Talla (cm)xi

Peso (kg.)yi

Y' Y-Y' (Y-Y')2 (Y-Ymedia)2 (Y'-Ymedia)2

160 55 51,0 4,0 15,8 127,7 233,2

165 58 57,1 0,9 0,8 68,9 84,9

168 58 60,7 -2,7 7,4 68,9 31,1

170 61 63,1 -2,1 4,6 28,1 9,9

171 67 64,4 2,6 7,0 0,5 3,8

175 62 69,2 -7,2 52,0 18,5 8,5

175 66 69,2 -3,2 10,3 0,1 8,5

180 74 75,3 -1,3 1,6 59,3 80,5

180 79 75,3 3,7 13,9 161,3 80,5

182 83 77,7 5,3 28,2 278,9 129,8

1.726 663 663 0 141,6 812,1 670,5

SUMA CUADRADO DE ERRORES DE (SCT;SCR; SCE)

EL ERROR ESTANDAR DE ESTIMACION O DESVIACION ESTANDAR DE LA REGRESION

VARIANZA DE LA REGRESION:

S2yx =Σ(Y-Y’)2/n-k; S2

yx= (ΣY2-aΣY-bΣXY)/n-k

Donde: n= tamaño de muestra y k nº de parámetros estimados

ERROR ESTANDAR DE ESTIMACION

Syx= √Σ(Y-Y’)2/n-k; Syx=√(ΣY2 -aΣY-bΣXY)/n-k

Syx= √(141,6)/8

Syx = √(44769-(-142,9075*663-1,2120945*114987)/8

Syx = 4,2071

DIAGRAMA DE DISPERSION y = 0,0451x - 15,902

1 7

22

27

32

37

750 850 950 1 050 1 1 50 1 250 1 350

Hor as -Hombr es

ERROR EXPLICADO POR LA REGRESION.

ERROR NO EXPLICADO POR LA REGRESION

TOTAL ERROR

Conceptos básicos Análisis de Regresión: Es un procedimiento estadístico que estudia la

relación funcional entre variables.Con el objeto de predecir una en función de la/s otra/s.

Análisis de Correlación: Un grupo de técnicas estadísticas usadas para medir la intensidad de la relación entre dos variables

Diagrama de Dispersión: Es un gráfico que muestra la intensidad y el sentido de la relación entre dos variables de interés.

Variable dependiente (respuesta, predicha, endógena): es la variable que se desea predecir o estimar

Variables independientes (predictoras, explicativas exógenas). Son las variables que proveen las bases para estimar.

Regresión simple: interviene una sola variable independiente Regresión múltiple: intervienen dos o más variables independientes. Regresión lineal: la función es una combinación lineal de los parámetros. Regresión no lineal: la función que relaciona los parámetros no es una

combinación lineal

CORRELACION Es el análisis del grado de asociación

entre las variables expresados a través de la función o modelo de Regresión.

R= Cov(Xi,Yi)/Sx.Sy

- 1< = R < = 1 R = 1 Correlac. Perfect. lineal directa R = -1 Correlac. Perfecta Lineal Inversa