TRABAJO COLABORATIVO 1

SISTEMAS DINAMICOS

WILBERT MURILLO MOSQUERA 16495599 JEFFERSON JAIR LOSADA RUBIANO

ANDRES GERARDO CASTRO WILLIAM MARTINEZ

YEISON STIP QUIROGA

GRUPO

201527_33

TUTOR

ING. DIEGO SENDOYA LOSADA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIAS E INGENIER IAS

OCTUBRE DE 2011

INTRODUCCIÓN

Mediante la elaboración del trabajo colaborativo podremos observar y poner en práctica los conocimientos adquiridos durante el transcurso del período académico, reconocer los aspectos fundamentales y la terminología referente al área de control, adquirir destrezas en el manejo matemático para el modelado de los sistemas dinámicos, como lo es la transformada de Laplace. Desarrollar en el estudiante la habilidad para el manejo de un conjunto de herramientas analíticas que le permitan modelar y analizar plantas y sistemas de control lineales e invariantes en el tiempo tanto continuo como discreto. Poner en práctica los conocimientos adquiridos en el programa Matlab, para la construcción del producto final.

Desarrollo:

Para el sistema híbrido que se muestra en la figura, represente el modelo matemático que relacione el voltaje a la entrada ( ) i e t y la posición angular a la salida θ (t) , mediante: 1. Una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo. 2. La función de transferencia ( )/ ( ) i Θ s E s . 3. Un diagrama de bloques general y su correspondiente reducción. 4. Una representación matricial en espacio de estados. Se deben tener en cuenta los siguientes parámetros a definir: Velocidad Angular (θ ) Fuerza Electromotriz inducida (eb) Tensión de alimentación del motor (ei) Resistencia eléctrica (R) Ω Inductancia Eléctrica (L)H

Momento de inercia del rotor (j) 2

2

s

Km

Coeficiente de amortiguamiento del sistema mecánico (b) N ms

Constante de fuerza electromotriz ke Amp

Nm

Constante de Torque o armadura kt Amp

Nm

donde R=cc(1)+cc(2), L=cc(2)+cc(3), J=cc(3)+cc(4), b=cc(4)+cc(5) Observamos el ejercicio y obtenemos un sistema eléctrico y un sistema mecánico.

Sistema eléctrico Por la ley de Kirchhoff tenemos que, la suma algebraica de las caídas de tensión en el circuito eléctrico es igual a cero, así: 0=−−− bLRi eVVe Obtenemos blRi eVVe ++= (1) Como VR y VL son las caídas de tensión que se presentan en la resistencia R y la bobina L, respectivamente, por Ley de Ohm obtenemos:

RiVR .= Y t

iL d

dLV =

Reemplazando estas dos igualdades en la ecuación (1) resulta,

bt

ii e

d

dLRie +−= . (2)

En cuanto a sistema mecánico tenemos Velocidad angular,ω ,

ωθ =dt

d (3)

dt

dKcte

θ=)( (4)

Con todo esto obtenemos la ecuación

)()(

)()( tebd

tadLtiRte

t

iaai ++=

Remplazando

dt

dKc

d

tadLtiRte

t

iaai

θ++=)(

)()(

Como el motor funciona con una fuerza entonces tenemos Tm = Fuerza par motor

)()(21 tLftiKKTm a= Tenemos condiciones constantes : )(tKiTm a= Par de carga

lm TTT +=

dt

dB

dt

dJTaPardec l

θθ +==2

2

arg

Usamos la transformada )()()()( sKsILsIRsE csasaai Θ++=

)()()( 2 sBssIssTl Θ+Θ=

)()()( BIsSssTl +Θ=

LaSRa

ebsEisIa

−−= )(

)(

)()( sKIasIa =

Igualando T

)())((

sIaK

BJssS =+Θ

)()()(

)()(

)( sKcSBJSK

sLaSSBJs

K

sRaSsEi Θ++Θ++Θ=

++++Θ= KcSBJS

K

LaSBJS

K

RaSssEi )()()()(

2

KcSBJSSK

RaBISS

K

LasEi

s

++++=Θ

)()(

1

)(

)(

2

++++=Θ

KcBJSK

RaBJS

K

LaSS

sEi

s

)()(

1

)(

)(

( )

++

+=Θ

KcBJSK

Ra

K

LaSS

sEi

s 1

)(

)(

Modelamiento matematico de un motor DC con SIMULINK

CÓDIGO EN FUENTE %%MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA CC %Definición de los parámetros J=7; b=5; K=0.02; R=13; L=9; Ke=12 Kt=8 %Creación de la función de transferencia num=K; den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)]; sys=tf(num,den) %Respuesta al impulso en lazo abierto: impulse(sys) title('Respuesta al impulso en lazo abierto'); grid; xlabel('Tiempo'); ylabel('Amplitud'); %Respuesta al escalón en lazo abierto figure; step(sys) title('Respuesta al escalón en lazo abierto'); grid; xlabel('Tiempo'); ylabel('Amplitud'); %Variables de estado A=[-b/J K/J -K/L -R/L]; B=[0 1/L]; C=[1 0]; D=0; sysss=ss(A,B,C,D) %Respuesta al impulso en lazo abierto: figure; impulse(sysss) title('Respuesta al impulso en lazo abierto'); grid; xlabel('Tiempo'); ylabel('Amplitud'); %Respuesta al escalón en lazo abierto figure; step(sysss) title('Respuesta al escalón en lazo abierto'); grid;

xlabel('Tiempo'); ylabel('Amplitud'); %Función de transferencia del controlador PID input('Ingrese el valor de la parte proporcional '); Kp=ans; input('Ingrese el valor de la parte integral '); Ki=ans; input('Ingrese el valor de la parte derivativa '); Kd=ans; numc=[Kd, Kp, Ki]; denc=[1 0]; %Se determina la función del sistema retroalimentado numa=conv(num,numc); dena=conv(den,denc); [numac,denac]=cloop(numa,dena); figure; step(numac,denac) %Utilizando el lugar geométrico de las raíces con un compensador por atraso de fase. figure; rlocus(num,den)%LGR en lazo abierto z1=1; p1=0.01; numa = [1 z1]; dena = [1 p1]; numb=conv(num,numa); denb=conv(den,dena); figure; rlocus(numb,denb) sgrid(.8,0) title('LGR con un compensador por atraso de fase') %Permite ver la respuesta del lazo cerrado con el compensador por %atraso de fase input('Ingrese el valor de la ganancia '); %Permite ingresar el valor de la ganancia desde la línea de comandos k=ans; [numc,denc]=cloop(k*numb,denb,-1); figure; step(numc,denc) title('Respuesta escalón con un compensador')