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COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI
AREA MATEMATICAS
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.Galileo Galilei
GEOMETRIAGRADO SEXTO
2012
PGF03-R03
INTRODUCCION
Cualquier objeto puede describirse mediante sus elementos geométricos más simples: puntos, líneas, superficies, ángulos, …. Por tanto a través del estudio de la Geometría, haremos que el estudiante domine y exprese estos conceptos en forma correcta, razón por la cual se inicia el presente módulo abordando este tema, en el cual se describen en forma simple los conceptos geométricos básicos de mayor uso en el estudio de la Geometría.
Para favorecer la ejercitación práctica del estudiante, se incluirán también procedimientos básicos de trazado y manejo de escuadras, transportador y compás, incluyendo una breve descripción del concepto de escala.
MATEMÁTICAS – Geometría 62
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ContenidoUNIDAD I.................................................................................................................................. 4CONCEPTOS BASICOS DE GEOMETRIA..............................................................................5PUNTO:.....................................................................................................................................5RECTA......................................................................................................................................6PLANO......................................................................................................................................8SEMIPLANO:..........................................................................................................................10METODOS GEOMETRICOS PARA LA CONSTRUCCION DE RECTAS..............................12UNIDAD II............................................................................................................................... 18ANGULOS...............................................................................................................................18DEFINICION DE ANGULO.....................................................................................................19CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS, SEGÚN SU MEDIDA ÁNGULAR..............................19
ÁNGULOS CONSECUTIVOS.............................................................................................24ÁNGULOS OPUESTOS Y ÁNGULOS ADYACENTES.......................................................24ÁNGULOS ALTERNOS Y ÁNGULOS CORRESPONDIENTES.........................................25
UNIDAD III.............................................................................................................................. 29POLIGONOS...........................................................................................................................30LINEA POLIGONAL:...............................................................................................................30DIAGONAL:.............................................................................................................................30CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS................................................................................31
POLÍGONO REGULAR.......................................................................................................31POLÍGONO IRREGULAR....................................................................................................32
TRIÁNGULO........................................................................................................................... 33CUADRILÁTERO....................................................................................................................44PERIMETRO Y AREA DE UN POLIGONO.............................................................................49UNIDAD IV..............................................................................................................................56UNIDADES DE MEDIDA.........................................................................................................57LAS UNIDADES DE MEDIDA.................................................................................................58
EL METRO..........................................................................................................................58CAMBIO DE UNA UNIDAD A OTRA...................................................................................61
PLANO CARTESIANO Y PARES ORDENADOS...................................................................70BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................80WEBGRAFIA...........................................................................................................................80
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UNIDAD I
CONCEPTOS BASICOS DE GEOMETRIA.
PROPOSITO
Describir los criterios básicos de la geometria euclidiana, realizar su representación gráfica e identificarlos en diferentes esquemas observables.
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INTRODUCCION A LA GEOMETRIA
Las matemáticas, históricamente, comenzaron con la Geometría. La Geometría se necesitaba para medir las tierras (de ahí viene su nombre), y en general para las obras (puentes, acueductos, edificios, etc.) que se realizaban.La Geometría es la rama de las Matemáticas que ha estado sometida a más cambios a lo largo de la historia. Con los griegos alcanzó su plenitud, después cayó en el olvido como consecuencia de los éxitos del Álgebra y del Cálculo. En el siglo XIX recobró la importancia que tiene actualmente.La Geometría se divide en diversas ramas: pura o elemental, analítica, diferencial y proyectiva El libro de Geometría más importante es “Elementos” cuyo autor es Euclides. El quinto postulado de Euclides es una de las cuestiones mas controvertidas de la historia de las matemáticas.Otros importantes matemáticos en la historia de la geometría han sido: Pitágoras, Tales Descartes, Euler o Gauss
CONCEPTOS BASICOS DE GEOMETRIA.
ENUNCIACION.
PUNTO:
Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.
El punto es el elemento más simple. La idea de punto se asocia a la marca que deja la punta de un lápiz sobre una hoja de papel. Los puntos se nombran o denotan con letras mayúsculas.
A Se lee punto A
Otras formas de representar un punto:
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RECTA Se considera como un conjunto infinito de puntos que se prolongan indefinidamente en dos sentidos opuestos. Tracemos dos puntos y usando el borde de una regla, unamos estos dos puntos, la línea trazada da una idea de recta.
En la representación de una recta, se trazan flechas en sus extremos para indicar que no termina. Las rectas se nombran con las letras que indican dos de sus puntos o mediante una letra mayúscula.
Se lee la recta con extremos A y B y se denota (o sea se simboliza)
A⃗BTambién se puede simbolizar con una letra
Y se lee la recta L
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Partes de una recta: semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de
sus puntos, segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos.
Partes de una recta
Posición Relativa entre dos RectasSegún la posición relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como:
rectas que se cortan: si tienen un punto en común. En este caso están contenidas en un plano,
rectas paralelas: si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso están contenidas en un plano,
rectas que se cruzan: si no se cortan ni son paralelas. En este caso no están contenidas en un plano
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Posición relativa entre dos rectas
PLANO
Tres puntos distintos que no están sobre una misma recta, determinan un plano, el plano se extiende indefinidamente.
Se lee el plano ABC.Los puntos cuando pertenecen a una misma recta entonces decimos que los puntos son colineales.
Cuando los puntos están en un mismo plano entonces son Coplanares.
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MODELACION
Ejemplo:
A partir del grafico, nombrar cada uno de los siguientes elementos geométricos.
a. una recta b. un puntoc. un planod. un par de puntos colineales
Solución:
a. Una recta puede ser BD c. Un plano: ABEb. Un punto: B d. Un par de puntos colineales A y C
Ejemplo:
Escribe si los enunciados son verdaderos (V) o falso (F), de acuerdo con la figura
a. Los puntos S y R determinan un plano (F) Ya que para que me determine un plano son tres puntos no colineales
b. Los puntos S y T son Coplanares (V)
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c. Los puntos S, R y T son Colineales (F)T no pertenece a la misma recta por donde pasan S y R
d. Los puntos P y S son Coplanares (F) P esta por fuera del plano.
SEMIPLANO:
Toda recta L en un plano, lo divide en dos regiones llamadas semiplanos. La recta L se llama frontera. Un punto que está en el plano y no pertenece a la recta, pertenece a uno de los semiplanos.
Ejemplo:
Al observar el grafico, se puede nombrar los siguientes elementos.
Un segmento que contenga el punto E es AB
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Una semirrecta que pase por el punto A es B⃗A
Un semiplano que contenga a D es ABD
Una semirrecta que con extremos en B es B⃗A
SIMULACION
1. Encuentra ejemplos en tu salón de clase que te sugieran un punto, una recta, semirrecta, un segmento y un plano.
2. Traza cada elemento:
a) Una semirrecta AB. b) Un segmento XY. c) Una recta JK d) Dos segmentos EF y GH que se corten en el punto T. 3. Se tiene 5 puntos en el plano. ¿Cuántos triángulos podemos formar con dichos puntos?
4. Observa la figura para nombrar cada elemento geométrico.
5. Realiza el grafico que corresponda a cada enunciado.
a. La recta A⃗B divide el plano ABC en dos semiplanosb. las rectas l y m no son coplanares pero tiene un punto común P.
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METODOS GEOMETRICOS PARA LA CONSTRUCCION DE RECTAS.
1. CONSTRUCCIÓN DE RECTAS PARALELAS
Para construir una recta paralela a otra, que pase por un punto dado, se siguen estos pasos.
Paso 1Se coloca una escuadra de tal manera que, uno de sus lados, queden sobre la recta.
Paso 2Se coloca una regla bajo la escuadra, para que sirva de apoyo.
Paso 3Se desliza la cuadra sobre la regla hasta el punto P.
Paso 4
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Se traza la recta m, que pase por el punto P.
La recta m es paralela a la recta l y pasa por el punto P.
CONSTRUCCION DE RECTAS PERPENDICULARES
Para construir una recta perpendicular a otra, se realiza la siguiente construcción.
Paso 1Se marcan dos puntos cualesquiera A y B sobre la recta.
Paso 2Haciendo centro en el punto A, con el compás, se traza un arco.
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Paso 3
Con la misma abertura anterior y haciendo centro en el punto B, se traza otro arco.
Paso 4Se traza una recta que pase por los puntos donde los arcos se cortaron.
EJERCITACION
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1. Observar la figura para nombrar cada elemento geométrico.
a) Dos puntos coplanares.b) Un plano.c) Un segmento.d) Un par de rectas paralelas.e) Un par de rectas perpendiculares.
2. Nombrar las rectas trazadas en esta figura. Luego, nombrar dos rectas diferentes que no se hayan trazado.
3. Escribir verdadero (v) o falso (f) según corresponda a cada enunciado.
a) Dados dos puntos distintos, hay exactamente una recta que los contiene.b) Dos rectas que se cortan siempre son coplanares.
c) Una recta divide a un plano en dos semiplanos. Si A está en uno de los semiplanos y B está en el otro semiplano, entonces el segmento AB corta a la recta.
d) Tres puntos diferentes no colineales determinan un plano.
4. Resolver cada situación y justificar la respuesta.
a) ¿Cuántos planos diferentes determinan una recta y un punto que no pertenece a ella?
b) ¿Cuántos planos diferentes determina dos rectas que se cortan?c) ¿Tres puntos diferentes son siempre colineales?d) ¿Tres puntos diferentes son siempre no colineales?
5. Realizar un gráfico que corresponda a cada enunciado.
a) La recta A⃗B dividen al plano ABC en dos semiplanos.b) Las rectas l y m no son coplanares, pero tienen un punto común P.
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6. Nombrar todos los planos diferentes que determinan los vértices de la pirámide.
7. Seguir los pasos para hacer la construcción propuesta. Luego, escribir la conclusión.
Paso 1: Dibujar un par de rectas l y m que sean perpendiculares entre sí.Paso 2: Trazar un recta r que sea paralela a la recta m.
Paso 3: ¿Cómo son las rectas r y l ?_______________________________
Conclusión: ___________________________________________________________________________________________________________________
8. Determinar, usando regla y escuadra, si cada par de rectas dadas son paralelas.
9. Indicar si cada par de rectas dadas son perpendiculares.
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10.Trazar una recta perpendicular a cada recta dada.
11.Seguir las instrucciones dadas para trazar una recta perpendicular a la recta n, que pase por el punto P.
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UNIDAD II
ANGULOS
PROPOSITO
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Reconocer las distintas formas de clasificación de ángulos, sus unidades de medida y manejar adecuadamente los instrumentos para su realización gráfica.
DEFINICION DE ANGULO
ENUNCIACION.
Un ángulo es la unión de dos semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirrectas son los lados del ángulo. El punto en común se llama vértice.Una de las formas más usuales para nombrar un ángulo es marcando sobre cada lado, un punto y se leen los puntos. La letra que indica el vértice quede en el centro.
ABC, B, 1, son tres nombres para el ángulo de la figura.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS, SEGÚN SU MEDIDA ÁNGULAR
Según su medida angular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la 90a. parte del ángulo recto), un ángulo se define como:
MATEMÁTICAS – Geometría 620
ANGULOS
Clasificación de ángulos según su medida angular
Ángulos medidos en radianes.
Se usan los grados sexagesimales para describir su medida
Convexos Cóncavos
Llano o Plano
Completo Agudos Recto Obtuso
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El siguiente mentefacto ilustra la clasificación:
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De acuerdo a la anterior clasificación, revisemos un poco sobre la utilización del GRADO, como unidad de medida de los ángulos.MEDIDAS DE ANGULOSTomemos por ejemplo una hoja de papel o de cartón y doblémosla como lo indica la figura. Se observa: la línea recta AB (borde de la hoja) se ha plegado sobre sí misma alrededor del punto C, formando otra línea recta CD. El ángulo llano ACB ha quedado dividido en dos ángulos iguales ACD Y BCD, puesto que coinciden…. Mientras permanezca el papel o el cartón doblado. Cada uno de estos ángulos recibe el nombre de Angulo Recto.
Como todos los ángulos llanos son iguales, y el ángulo recto equivale a la mitad de uno llano, se deduce que todos los ángulos rectos son iguales.
El ángulo recto es una de media. Medir un ángulo es ver las veces que dicho ángulo contiene a la unidad.
Como regularmente el ángulo recto resulta muy grande como unidad de medida, se le divide en 90 ángulos iguales, cada uno de los cuales se denomina grado. El grado a su vez se divide 60 ángulos iguales, cada uno de los cuales se denomina minuto, y cada minuto se divide en 60 ángulos pequeños, cada uno de los cuales recibe el nombre de segundo.Esta es la división llamada Sexagesimal.
MODELACION.
MATEMÁTICAS – Geometría 622
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Notación:45º 25` 15” se lee: 45 grados, 25 minutos, 15 segundos.
Ejemplo: Un ángulo de 25 grados, 15 minutos, 3 segundos, se escribe:
25º 15` 3”
¿Cuántos minutos y segundos tiene un ángulo recto?
Solución:
1 recto = 90º1º = 60`Luego 1 recto = 90 X 60 = 5.400
Ahora: Como 1 minuto = 60”1 recto = 5.400 X 60 = 324.000”
Hay instrumentos modernos de medida de ángulos, en los cuales el ángulo recto está dividido en 100 partes iguales. Cada unidad, de estas se llama Grado Centesimal y se representa 1g:
Los submúltiplos de esta unidad son: el minuto centesimal que equivale a la centésima parte del grado, y el segundo centesimal que equivale a la centésima parte del minuto.
Medir un ángulo:
Para medir la amplitud de un ángulo se utiliza el transportador. se hace coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo, y el cero, con uno de sus lados. Luego, se observa la medición que marca el otro lado.
MATEMÁTICAS – Geometría 623
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Esta figura muestra la forma de un transportador
En este caso el ángulo tiene una medida de 45º.
Ejemplo:
Construir un ángulo POR que mida 60º, utilizando el transportador
Solución
Paso 1: Se traza el lado QP
Paso 2: Se ubica el centro del transportador en el vértice Q.
Paso 3: Marcamos un punto R donde indique en el transportador 60º.
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Paso 4: Se une el punto Q con el punto P.
Continuando con la clasificación de los ángulos:
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ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Son dos ángulos ubicados uno a continuación del otro. Se denominan:
ángulos complementarios: si suman 900, ángulos suplementarios: si suman 1800.
Ángulos consecutivos
ÁNGULOS OPUESTOS Y ÁNGULOS ADYACENTES
Dos rectas que se cortan definen cuatro ángulos, los cuales, tomados en pares se definen como:
ángulos opuestos: si no poseen ninguna semirrecta común. En este caso sus medidas angulares son iguales,
ángulos adyacentes: si poseen una semirrecta común. En este caso son ángulos suplementarios.
Ángulos opuestos y Ángulos adyacentes
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ÁNGULOS ALTERNOS Y ÁNGULOS CORRESPONDIENTES
Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, se forman ocho ángulos, los cuales, considerados en pares de igual medida ángular, se denominan:
ángulos alternos, clasificados a su vez en: o ángulos alternos internos,o ángulos alternos externos,
ángulos correspondientes.
Ángulos alternos
Ángulos correspondientes
SIMULACION.
1. Construir ángulos con las siguientes medidas:
a. 45 b. 60 c. 35 d. 190 e. 270f 25 g. 90 h. 180 i. 75 j. 100
2. Hallar la medida de los siguientes ángulos:
MATEMÁTICAS – Geometría 627
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3. Clasificar los ángulos anteriores según su medida
ab + bc = 60º + 30º = 90º por tanto son complementarios.
EJERCITACION.
1. Nombrar en la figura, los elementos que cumplan cada condición.
a. Un ángulo agudob. un ángulo obtusoc. un ángulo llano d. un par de ángulos adyacentes e. un par de ángulos complementariosf. un par de ángulos opuestos por vértice.2. De acuerdo con la figura nombrar:
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Un ángulo agudoa. un ángulo obtusob. un par de ángulos adyacentes c. un par de ángulos suplementariosd. un par de ángulos opuestos por vértice.
3. Dibujar dos ángulos que tengan la misma medida y sean suplementarios.
4. De acuerdo con la figura si 3 = 90º , escribir verdadero (V) o Falso (F), según corresponda.
a. 3 y 5 son opuestos por vérticeb. 4 y 1 tiene la misma medidac. El suplemento de 1 es el 3d. el complemento de 1 es 2e. 4 y 2 son complementarios f. 1 y 5 son suplementarios
DEMOSTRACIÓN.
APLICACIÓN A LA TECNOLOGÍA.
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Construcción de un astrolabio. Un astrolabio es un instrumento matemático que estuvo en uso, hasta mediados del siglo XVIII, para medir la altura del Sol y de las estrellas. Hacia el siglo XV, los navegantes empezaron a utilizar los astrolabios para determinar la posición de los barcos. (Tomado de Aritmética y Geometría I, Editorial Santillana)
Construiremos un astrolabio sencillo para saber la posición de diferentes objetos.
MATERIALES Un transportador Un pitillo Una cuerda Un objeto pesado Cinta
CONSTRUCCION DEL ASTROLABIO. Atar uno de los extremos de la cuerda en el centro del transportador. Atar el objeto pesado en el otro extremo de la cuerda. Pegar el pitillo con una cinta a lo largo del borde del transportador. Cerrar un ojo y observar a través del pitillo hacia un objeto distante. Determinar el ángulo que se forma entre la recta que corresponde a 90º. y la cuerda.
Este ángulo corresponde a la posición que tiene el objeto observado con respecto a la horizontal.
INSTRUCCIONES DE LA ACTIVIDAD. Elaborar el astrolabio. Identificar siete objetos y realizar la medición correspondiente. Apuntar en el cuaderno el lugar, el objeto y la medida obtenida de la observación.
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UNIDAD III
POLIGONOS
PROPOSITO
Describir los elementos de un polígono, sus clases (regulares e irregulares) y calculara elementos como el número de diagonales mediante el uso dela fórmula de Euler.
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POLIGONOS
Se denomina polígono a una porción o parte del plano limitada por segmentos de recta. Estos segmentos se llaman lados del polígono y la suma de sus longitudes es el perímetro o contorno.
LINEA POLIGONAL:
Una línea poligonal es la unión de un número cualquiera de segmentos, estos segmentos, están unidos por sus extremos.
DIAGONAL:
Es el segmento de recta que une dos vértices opuestos:
Ejemplo:
La anterior figura muestra un polígono, limitado por 5 segmentos de rectas donde ellas forman 5 ángulos internos, el segmento de recta m reprenda una de sus diagonales.
FORMULA PARA AVERIGUAR LAS DIAGONALES DE UN POLIGONO
Las fórmula para calcular el número de diagonales que tiene un polígono es la siguiente:
n(n−3)2 Donde n = numero de lados del polígono
Ejemplo
MATEMÁTICAS – Geometría 632
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Para calcular el número de diagonales que posee la figura anterior, primero observamos quien es n, en este caso como es de 4 lados entonces n = 4, ahora lo reemplazamos en la formula anterior así:
n(n−3)2
=4 (4−3 )
2=
4(1 )2
= 42=2
Entonces este polígono posee 2 diagonales.
1. Proposiciona la lectura anterior 2. Encuentra las palabras desconocidas y señala en que proposición
se encuentra y busca su significado. 3. Desarrolla un resumen con lo principal de la lectura.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
Los polígonos se clasifican básicamente en:
Polígonos regulares Polígonos irregulares
POLÍGONO REGULARPolígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:
triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados, cuadrado: polígono regular de 4 lados, pentágono regular: polígono regular de 5, hexágono regular: polígono regular de 6 lados, heptágono regular: polígono regular de 7 lados, octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así
sucesivamente.
MATEMÁTICAS – Geometría 633
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polígono regular
POLÍGONO IRREGULAR
Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, se denominan:
triángulo: polígono de 3 lados, cuadrilátero: polígono de 4 lados, pentágono: polígono de 5 lados, hexágono: polígono de 6 lados, heptágono: polígono de 7 lados, octágono: polígono de 8 lados,... y así sucesivamente.
Polígono irregular
MATEMÁTICAS – Geometría 634
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SIMULACION.
1. Usa la información contenida en el módulo para asignar el nombre a los polígonos que tienen los siguientes lados
a. 6 lados b. siete lados c. ocho lados d. nueve ladose. 10 lados f. doce lados g. quince lados
2. Dibuja:
a. pentágono b. cuadrilátero c. hexágono
3. Determinar el número de diagonales que poseen los polígonos del punto 1. de esta actividad.
TRIÁNGULODefinición:
Un triángulo es un polígono de tres lados, tres ángulos y tres vértices.
Plano Vértices: puntos A, B y cLados: a, b, c, o AB, BC, y CAÁngulos: CAB, ABC, BCA
De los lados: a, se dice que es opuesto al vértice A y al ángulo BAC: b, se dice que es el lado opuesto al vértice B y al ángulo ABC; Y c, se dice que es el lado opuesto al vértice C y al ángulo BCA.
Base: La base de un triángulo es cualquiera de sus lados.Altura: L a altura de un triángulo es la perpendicular trazada de un vértice al lado opuesto o a su prolongación.
Propiedades de los triángulos.
En todo triángulo se verifican las siguientes propiedades:
1. La suma de los ángulos interiores es 180º.
MATEMÁTICAS – Geometría 635
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2. La medida de uno de sus lados es menor que la suma de las medidas de los otros lados.
MATEMÁTICAS – Geometría 636
PGF03-R03
3. A mayor lado se opone un mayor ángulo; a menor lado se opone un menor ángulo.
4. Un ángulo adyacente a un ángulo interior de un triángulo es un ángulo exterior del triángulo.
De acuerdo a la magnitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
triángulo isósceles: 2 ángulos iguales, triángulo escaleno: 3 ángulos diferentes, triángulo rectángulo: 1 ángulo recto, triángulo obtusángulo: 1 ángulo obtuso, triángulo acutángulo: 3 ángulos agudos.
MATEMÁTICAS – Geometría 637
PGF03-R03
Triángulo: polígono de 3 lados
PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
Es el triángulo rectángulo se llaman catetos los lados que forman el ángulo recto, e hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto.Sabemos que el segmento es la distancia más corta entre dos puntos, luego:
En todo triángulo un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos.Ejemplo:En un triángulo cuyos lados miden a = 2u b = 3u c = 4u
Donde u representa una unidad de medida, se cumple que:
2 < 3 + 4, 3 < 2+ 4, 4 < 3 + 2
A mayor lado se opone un mayor ángulo; a menor lado se opone un menor ángulo. Ejemplo:
MATEMÁTICAS – Geometría 638
PGF03-R03
El lado a, que es el mayor lado, le corresponde el mayor ángulo, que es el ángulo A
a = 5u A = 90º
de igual manera, el lado b que es el menor lado le corresponde el ángulo B que es el menor ángulo.
b = 3u B = 37º
Relaciones entre sus ángulos, tres ángulos de un triángulo suman 2 rectos o sea 180º.
Ejemplo:
La suma de sus ángulos interiores suma 180º.
SIMULACION.
Clasificar:
MATEMÁTICAS – Geometría 639
PGF03-R03
CONSTRUCCIONES SENCILLAS DEL TRIÁNGULO:
Instrumentos: regla y compás
CONOCIENDO DOS ÁNGULOS Y UN LADO:
Conocimientos básicos: Los 3 ángulos del triángulo suman 180 grados; se conocen 2 de ellos, luego el tercero es suplementarios.
Sobre una recta se determina el segmento a, y en sus extremos B y C construimos los ángulos dados de tal modo que queden situados en el mismo lado del segmento. (Figura 1).
Las semirrectas c y b forman el tercer ángulo D.
MATEMÁTICAS – Geometría 640
PGF03-R03
CONOCIENDO DOS LADOS Y UN ANGULO:
Se construye el ángulo dado, en este caso C, y en los lados de este se toman los lados dados.
CONOCIENDO LOS TRES LADOS:
Se toma cualquiera de sus lados y haciendo centro en sus extremos se trazan circunferencias con radios b y c respectivamente.
El punto donde se cortan las circunferencias se une con los extremos del segmento.
MATEMÁTICAS – Geometría 641
PGF03-R03
CONOCIENDO DOS LADOS Y LA ALTURA RELATIVA AL TERCERO:
Se toma una recta (r) y por cualquier punto de ésta se levanta una perpendicular igual a la altura dada. Desde el extremo de esta altura con una longitud igual a la de los lados se corta dicha recta.
MATEMÁTICAS – Geometría 642
PGF03-R03
EJERCITACION1. Consultar sobre los ángulos interiores de un triángulo
2. Usar los puntos marcados para dibujar y nombrar cinco triángulos
3. De acuerdo con la figura nombrar:
a. Un triángulob. Los ángulos interiores del triángulo nombrado en el ejercicio a.c. un lado del triángulod. un ángulo exterior al triángulo
MATEMÁTICAS – Geometría 643
PGF03-R03
DEMOSTRACION
1. Medir los ángulos y los lados de cada triángulo. Lugo, verificar las propiedades de los triángulos.
2. Hallar la medida del ángulo que hace falta en cada triángulo.
a. b. .
d.c.
3. Determinar si puede construir un triángulo con las siguientes condiciones. Justificar la respuesta.
a. a = 3 cm. b = 2 cm. c = 6 cm.b. B = 37º, C = 49º, A = 84ºc. a = 30º , b = 60º, A = 7 cm. , B = 3 cm.
4. En el triángulo ABC, 1 = 45º y 2 = 128º
MATEMÁTICAS – Geometría 644
PGF03-R03
5. Hallar la medida de los tres ángulos interiores del triángulo ABC.
6. En el triángulo DEF, F = 46º y E = 39º. Hallar la medida de:
a. D = ______b. 1 = ______c. 2 = ______d. 3 = ______e. 1 + 2 + 3 = ______
7. En el triángulo ABC, 1 y 2 tienen la misma medida.
8. Hallar la medida de 1 y 2. Justificar la respuesta.
MATEMÁTICAS – Geometría 645
PGF03-R03
9. Consultar sobre las líneas notables de un triángulo (media, altura, mediatriz,..etc.)
CUADRILÁTERO
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
Lados: Segmentos que determinan el cuadrilátero.
Ejemplo: AB, BC, CD, AD.
Vértices: Extremos de los lados.
Ejemplo: A, B, C y D
Ángulos: Los formados por cada dos de los lados consecutivos.
Vértices opuestos: Los no situados en el mismo lado: A y C; D y B.
Lados contiguos: Los que no tienen ningún vértice en común: a y b; b y c; c y d; d y a.
Lados opuestos: Los que no tienen ningún vértice en común: a y c; d y b.
MATEMÁTICAS – Geometría 646
PGF03-R03
SUMA DE LOS ANGULOS DE UN CUADRILATERO
Los ángulos de un cuadrilátero suman 4 rectos, por que la diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos y como en cada triángulo la suma de sus ángulos es 180º o sea 2 rectos. Luego la suma de los ángulos de los dos triángulos del cuadrilátero es igual a 360º o 4 rectos.
CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS
Los cuadriláteros se clasifican en:
Paralelogramo:Son los que tienen los lados opuestos paralelos, los ángulos opuestos son iguales sus diagonales se cortan en un punto medio (dividen el paralelogramo en dos partes iguales)
AB es paralelo a DC y O es el punto medio.
Todos los puntos de un lado del paralelogramo distan lo mismo del lado opuesto. Esta distancia es conocida como la Altura del paralelogramo.
Se clasifican en:
MATEMÁTICAS – Geometría 647
PGF03-R03
Paralelogramo: cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos, se denominan a su vez:
o rectángulo: paralelogramo en el cual los cuatro ángulos son rectos, pero los lados adyacentes no son de igual longitud,
o rombo: paralelogramo que no tiene ángulos rectos, pero sus lados son de igual longitud,
o romboide: paralelogramo que no tiene ángulos rectos y sus lados adyacentes no son de igual longitud,
Trapecio: cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos, se definen a su vez como: o trapecio rectángulo: trapecio que tiene dos ángulos rectos,o trapecio isósceles: trapecio en el que sus lados no paralelos son de igual
longitud, Trapezoide: cuadrilátero que no tiene lados paralelos.
Cuadrilátero: polígono de 4 lados
MATEMÁTICAS – Geometría 648
PGF03-R03
Trapecio
Es un cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y otros dos no paralelos.
La base son los lados que son paralelos, la altura es la distancia entre las dos bases.
CLASIFICACION DE TRAPECIOS
a. Isósceles:
Cuando tiene los lados no paralelos iguales:
La medida del segmento BA es igual a DC y no son paralelas.
b. Escaleno:
Si son desiguales los lados no paralelos:
El segmento AB es menor a DC
MATEMÁTICAS – Geometría 649
PGF03-R03
c. Rectángulo:
Cuando tiene dos ángulos rectos.
1 y 2 = rectos (90º)
TRAPEZOIDE
Cuando un cuadrilátero no tiene ningún par de lados opuestos paralelos recibe el nombre de trapezoide.
MATEMÁTICAS – Geometría 650
PGF03-R03
PERIMETRO Y AREA DE UN POLIGONO
ENUNCIACION.
PERIMETRO DE UN POLIGONO:
El perímetro de un polígono es la suma de la medida de todos sus lados.Para realizar la suma de estas medidas se debe tener en cuenta que la unidad de medida sea la misma.
Ejemplo.
La figura anterior es un polígono de 6 lados y su perímetro es la suma de todas las medidas, entonces
205cm+42m+155cm+13cm+50cm+55cm = 520cm
Entonces su perímetro es igual a = 520cm.
Ejemplo2:
Hallar el perímetro de un triángulo equilátero si se sabe que la base es 15,5cm.
Solución:
Se sabe que un triángulo equilátero es aquel donde la medidas de sus lados son iguales.
MATEMÁTICAS – Geometría 651
PGF03-R03
Entonces el perímetro es la suma de todos sus lados, o, como es equilátero las medidas son iguales entonces da lo mismo multiplicar un lado por 3.
15,5cm x 3 = 46,5cm Luego el perímetro es 46,5cm
MODELACION1. Hallar el perímetro de un rectángulo si su base es 12cm y la altura es 8cm
2. Hallar el perímetro de las siguientes figuras.
a.
b.
MATEMÁTICAS – Geometría 652
PGF03-R03
3. Para cercar una finca se necesitaron 1200 m de alambre de púa. ¿Cuánto alambre se gasta para cercar cada lado de la finca si esta es cuadrada?
4. Un lote tiene forma rectangular, si el perímetro del lote es 22m y el ancho es 5 m. ¿Cuál es su largo?
5. Encuentra el valor de cada lado que hace falta en las siguientes figuras. ¿Cuál es su perímetro?:
a.
.
b.
6. El perímetro de un cuadrado es 38m. ¿Cuál es la medida de cada uno de sus lados?
MATEMÁTICAS – Geometría 653
PGF03-R03
AREA DE UN POLIGONO
Para hallar el área de un polígono debemos tener en cuenta los siguientes casos.
Área del cuadrilátero:
Para hallar el área de un rectángulo se multiplica la medida del ancho con la del largo. Ejemplo:
A Rectángulo = L argoxAncho = 15 ,5mX 5,5m=85 ,25m2
O sea que el área del rectángulo anterior es 85,25m2
Área del triángulo
El área de un triángulo se puede calcular a partir del área del romboide, observemos el siguiente grafico, que la línea divide el romboide en dos triángulos iguales.
Como vimos antes el área del Romboide es base por altura, entonces el área del rectángulo seria:
A Triángulo =
Base x Altura2
Luego el área del triángulo anterior es:
A Triángulo =
4cm x 3cm2
=122
=6cm2
No olvidar que cm. x cm. = cm2
MATEMÁTICAS – Geometría 654
PGF03-R03
Área de un polígono regular
El área del octágono puede calcularse a partir del área de los triángulos en que se descompone
Los triángulos que se forman en este polígono son 8, uno por cada lado, además estos triángulos son isósceles.
El área del octágono es entonces la suma de las áreas de los 8 triángulos, como todos tiene la misma área entonces, se reduce a multiplica el área de un triángulo por 8, o sea:
8 x ( BasexAltura2
)
La altura de los triángulos se denomina Apotema.
Entonces en conclusión para hallar el área de un polígono regular se reduce a hallar el perímetro del polígono y multiplicarlo por su Apotema, así la formula general esta dada de la forma:
A Polígono Regular = PerimetroxApotema
2= PxA
2
MATEMÁTICAS – Geometría 655
PGF03-R03
EJERCITACION
1. Hallar el área de un rectángulo cuyo ancho es 4,2 cm. Y el largo es 6cm. (dibújalo)
2. Si el Área de un rectángulo es 60m2 y el ancho es 5m. ¿Cuál es el largo?
3. Hallar el área de un rectángulo donde su ancho es 12,3cm y el largo es el triple del ancho? .
4. Hallar el área de cada triángulo:
a. base 7cm y altura 8cm. b. base 5cm. y altura 10cm.c. base 8,5cm. y la altura 6,5cm. d. Base 12 y altura la tercera parte del la base
5. Hallar el área de la parte no sombreada de la figura si: el perímetro de A es 92 cm y el de B es 64 cm.
6. Hallar el área de los siguientes polígonos regulares.
MATEMÁTICAS – Geometría 656
PGF03-R03
7. Calcula el perímetro y área de un heptágono regular, cuyo lado mide 12cm. y la apotema 12,4cm.
8. Encuentra las medidas del lado y de la apotema de un octágono regular, si su perímetro es 32cm.y su área 60,8 cm2
9. El centro comercial luna verde tiene forma de Dodecágono regular. Si tiene un área de 5850m2 y su apotema mide 90m. ¿Cuál es su perímetro?
MATEMÁTICAS – Geometría 657
PGF03-R03
UNIDAD IV
UNIDADES DE MEDIDA
PROPOSITO
Establecer la importancia del uso de unidades de medida estandarizados, aplicando conversiones para identificar las equivalencias entre diferentes sistemas.
MATEMÁTICAS – Geometría 658
PGF03-R03
UNIDADES DE MEDIDA
LECTURA AFECTIVA
Las comunidades antiguas, dedicadas generalmente a la agricultura, tuvieron que enfrentar el problema del almacenamiento de alimentos sobrantes. Se han encontrado restos de bodegas excavadas en grandes hoyos y forradas con paja y esteras, que datan del período neolítico.
La preparación de alimentos con cereales implicó, además del almacenamiento, la fabricación de vasijas para contener líquidos calientes. La confección de vasijas de cerámica parece ser originaria de oriente y desplazó a los utensilios hechos en piedra. Posteriormente también se fabricaron utensilios de metal.
Resuelto el problema del almacenamiento surgieron problemas de determinación de las cantidades almacenadas. Por ejemplo, en un papiro egipcio anterior al año 1.500 a. De C. puede leerse cálculos de la cantidad de granos contenidos en un recipiente y de la cantidad de granos provenientes de una superficie cultivada.
La civilización china desde antes del año 200 a. De C., conocía fórmulas para determinar el área de superficies rectangulares, circulares, triangulares y trapezoidales, y podían calcular el volumen de una pirámide.
Son muchos también los aportes de los matemáticos griegos a los conceptos de área y volumen. Demócrito ( 470 - ?a. de C. ), por ejemplo, estableció la fórmula para calcular el volumen de un cono y de una pirámide y Eudoxio de Cuido resolvió el problema de cómo calcular el área de figuras poligonales.
El desarrollo dado por los griegos a la matemática fue tan grande que llegaron a construir un cúmulo de conocimientos imposibles de transmitir verbalmente. Los griegos escribieron muchos libros en donde resaltaron la importancia de la matemática no sólo por su uso, sino por la satisfacción que se obtenía al estudiarla y Encontrar relaciones matemáticas. El teorema de Pitágoras, que se expuso desde hace más de 2000 años, era ya conocido en el siglo XVII por la mayoría de los matemáticos de occidente.
MATEMÁTICAS – Geometría 659
PGF03-R03
SIMULACION.
Indica de todas las proposiciones del texto cuáles son relevantes y organiza un escrito con ellas.
LAS UNIDADES DE MEDIDA
ENUNCIACION.
Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física. En general, una unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras unidades definidas previamente. Las primeras se conocen como unidades básicas o de base (o, no muy correctamente, fundamentales), mientras que las segundas se llaman unidades derivadas. Un conjunto consistente de unidades de medida en el que ninguna magnitud tenga más de una unidad asociada es denominado sistema de unidades.
En 1.670 el abate Gabriel Mauton sentó las bases para universalizar un sistema de pesas y medidas, a partir de las cuales Charles Talleyrand en el siglo XVII logró la formulación de una comisión internacional para la creación del sistema métrico decimal.
El sistema métrico decimal (SMD) es el conjunto de medidas que tienen su origen en el metro y siguen el principio de la numeración decimal, en virtud de lo cual cada unidad de orden superior es diez veces mayor que la inmediatamente inferior.
El metro es la principal unidad de longitud y se designa por la letra m. Su longitud es la equivalente a la de una barra de iridio y platino que se encuentra en la oficina de pesas y medidas en París. Con base en el metro se pueden crear los múltiplos y los submúltiplos que aumentan o disminuyen de 10 en 10
EL METRO.
La unidad principal de longitud es el metro, que es la distancia entre dos rayitas señaladas en una barra de platino iridiado, que se encuentra en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de París.
MATEMÁTICAS – Geometría 660
PGF03-R03
El metro se escribe abreviadamente m.
Múltiplos del metro.
Para medir distancias largas como una carrera por el parque usamos medidas más grandes que el metro, que se llaman múltiplos. Son éstos:
1 decámetro es igual a 10 metros: 1 Dm = 10 m. 1 hectómetro es igual a 100 metros: 1 Hm = 100 m. 1 kilómetro es igual a 1000 metros: 1 Km = 1000 m. 1 miriámetro es igual a 10000 metros: 1 Mm = 10000 m
Contesta a estas preguntas en metros:
3 Hm =8 Dm =7 Km =5 Mm =2 Dm =
MATEMÁTICAS – Geometría 661
gel
PGF03-R03
1 Hm =4 Km =6 Mm =
Submúltiplos del metro.
Para medir distancias pequeñas como el largo y ancho de una hoja de papel usamos unidades menores que el metro: son los submúltiplos. Son éstos:
1 decímetro es igual a 0,1 metro: 1 dm = 0,1 m. 1 metro tiene 10 decímetros. 1 centímetro es igual a 0,01 metro: 1 cm = 0,01 m. El metro tiene 100 centímetros. 1 milímetro es igual a 0,001 metro: 1 mm = 0,001 m. El metro tiene 1.000 milímetros.
Contesta en metros:
3 cm =5 dm =2 mm =4 dm =7 mm =6 cm =
CAMBIO DE UNA UNIDAD A OTRA. Cada unidad de longitud es 10 veces mayor que la inmediata inferior, y 10 veces menor que la inmediata superior.
MATEMÁTICAS – Geometría 662
PGF03-R03
Para pasar de hm a dam multiplicaremos o correremos la coma decimal un lugar a la derecha.
Ejemplos: 7 hm = 70 dam = 700 m ; 3 km = 30 hm = 300 dam = 3000 m . 7,35 m =73,5 dm = 735 cm = 7350 mm.
Contesta a estas preguntas en metros:
7,28 Km =8 Hm =
6,3 Dm =5,12 Mm =
3,2 m =83 cm =
CAMBIO DE UNA UNIDAD A OTRA SUPERIOR.
Para pasar de m a dam dividiremos la cantidad por 10 o correremos la coma un lugar a la izquierda.
Ejemplos: 70 m = 7 dam; 325 m = 32,5 dam = 3,25 hm = 0,325 km = 0,0325 mam. Contesta en metros:
637 cm =38 mm =471 m =
1.243 dam =25 hm =
SIMULACION
Realiza estos problemas sobre un papel y contesta escribiendo la solución:
1. Roberto da un paseo en bicicleta y recorre 4,2 km. Cuántos m ha recorrido?2. Una pieza de tela mide 3 Dm y 7 m y se han vendido 2 Dm y 3 m. ¿Cuántos dm de tela quedan por vender?
MATEMÁTICAS – Geometría 663
PGF03-R03
3. ¿Cuántos cm quedan de una tabla que mide 65 dm de larga si se corta un trozo de 257 cm?4. Una calle mide 450 m de larga, ¿cuántos m se deben añadir para que mida 1 km de larga?5. Un chico quiere recorrer 7 km. Si ha andado 2345 m, ¿cuántos m le faltan para llegar al final?La XI conferencia de pesas y medidas propuso cambios fundamentales en el sistema métrico decimal (SMD) y formuló un nuevo nombre: Sistema Internacional de Unidades (SI), este sistema es inglés.
Unidades en el sistema inglés y sus equivalencias exactas con el metro:
Unidad de Medida Equivalencia ExactaAproximación
La yarda 0,9144m 0,9m
La vara 0,835m 0,8m
La pulgada 0,0254m 0,03m
El pie 0,3048m 0,3m
Milla terrestre 1.609,344m 1.609m
Milla náutica 1.853,2m 1.850m
Para expresar una unidad de medida del sistema métrico decimal (SMD) en una unidad el sistema inglés, se divide la unidad SMD expresada en metros entre su equivalencia o aproximación.
Ejemplo: Expresar 10,73 Dm en pies.
Primero reducimos los Dm a m: 10,73 x 10 = 107,3 mLuego dividimos el resultado entre 0,3m:
107 ,3÷0,3 paraquitar el decimalmultiplicamos por 10
MATEMÁTICAS – Geometría 664
PGF03-R03
Finalmente tenemos que 10,73 Dm son 357,6 pies.
Ejemplo: Expresar 5 yardas en dm.
Multiplicamos por la equivalencia de yardas: 5 x 0,9m = 4,5mReducimos el resultado de m a dm y como hay un lugar multiplicamos por 10.4,5 x 10 = 45dm.Luego 5 yardas son 45dm.
EJERCITACION
1. Enuncia ejemplos de la vida diaria donde utilices diversas medidas de longitud.
2. Coloca al frente a cada actividad, si debes medir longitud o perímetro
a. Colocar los rieles para el tren entre dos ciudades__________________________b. Cercar un terreno___________________c. Colocar el guarda – escoba de una habitación____________________________
3. Realiza las siguientes conversiones:
MATEMÁTICAS – Geometría 665
a. 1.326Dm en dm b. 86,3 Mm en cm
c. 248 Hm en mm d. 0,08 Dm en mm
e. 238,93dm en m f. 3.411mm en dm
PGF03-R03
4. Completa:
a. 15,9Km =___________Hm = ___________Dm = ______________m
b. 0,9Dm =___________ m = ___________dm = ______________cm
c. 2,125m = ___________Dm = ___________Hm = ______________Km
MATEMÁTICAS – Geometría 666
5. Javier y Sandra, estudiantes del grado sexto, salieron a caminar el domingo pasado a la ciclo vía. Javier caminó 4Km, 8Dm y 6m y Sandra caminó 3Km, 160Dm y 85m. ¿Quién caminó más?
¿Cuál es la diferencia entre los dos recorridos?
PGF03-R03
MATEMÁTICAS – Geometría 667
6. Una pista de atletismo tiene 15Hm, 18Dm y 34m de longitud. ¿Cuántos m de largo tiene en total la pista?.
7. Dos viajeros salen de la misma ciudad. El primero, rumbo al sur; el segundo hacia el norte. El primero avanza 5 Km, 7 Km., 7 Dm., 8 m. El segundo recorre 3 Km. 4 Hm., y 9 Dm.; establece cuántos m separan los viajeros.
PGF03-R03
MATEMÁTICAS – Geometría 668
a. ¿Cuántos Km. tiene el recorrido entre Lorica y Montería?
b. ¿ Cuántos Km. Viajamos desde Montería hasta Corozal.?
c. ¿ Cuál es la Longitud del recorrido entre Lorica y Corozal? (En Kilómetros).
PGF03-R03
MATEMÁTICAS – Geometría 669
9. Una tractomula recorre un promedio diario de 180 Km., 9 Hm., y 8 Dm. ¿Cuántos cm recorre la tractomula en 3 días?
10. 7 pulgadas en metros.
11. Patricia está conversando a través de la red con su amigo Jhon, quien vive en Nueva York. Patricia le cuenta que mide 1,78 metros de estatura mientras que Jhon le responde que él tiene 5,5 pies de talla. ¿Quién es más alto.?
12. Un automóvil recorre una velocidad de 120 Km por hora y otra una velocidad de 80 millas por hora. ¿Cuál de los dos autos es más veloz?
PGF03-R03
MATEMÁTICAS – Geometría 670
PGF03-R03
15. Halla el perímetro de las siguientes figuras:
MATEMÁTICAS – Geometría 671
a.
4,09 Km 2,63HM
4,86 Mm
b.
5,03 cm.
c. 3 cm
5,17 m276 mm
6,23 m
d.
2,46 m
13,5cm
PGF03-R03
PLANO CARTESIANO Y PARES ORDENADOS.
Coordenadas de puntos en el plano
¿Has oído hablar alguna vez de “un sistema de coordenadas”? Vamos a aprender aquí a interpretar y representar puntos en un sistema de coordenadas, pero antes hemos de saber representar un punto sobre un eje…
REPRESENTACIÓN DE PUNTOS SOBRE UN EJE
Un eje es una línea recta, horizontal o vertical, sobre la que señalamos un punto de referencia, llamado origen, y sobre el que representamos los números enteros:
Si el eje es horizontal, hacia la derecha se representan los enteros positivos, y hacia la izquierda los enteros negativos.
Si el eje es vertical, hacia arriba se representan los enteros positivos, y hacia abajo los enteros negativos.
Por ejemplo, si representamos los puntos A(3), B(-2), C(5), D(-3), E(-1) y F(1), tendremos que contar desde el origen, el cero, tantas unidades hacia la derecha (si el número es positivo) o hacia la izquierda (si el número es negativo) como indique el valor sin signo (a ese valor se le llama valor absoluto) del número que queremos representar:
SISTEMA DE COORDENADAS
Un sistema de coordenadas está formado por dos ejes perpendiculares, que se cortan en un punto O, que se llama origen de coordenadas. Sobre cada eje se señalan unas marcas o que se corresponden con los números enteros, positivos y negativos, tal y como acabamos de ver, al representar puntos sobre un eje.
Al eje horizontal se le llama eje de abscisas, y se le representa por la letra X.
Al eje vertical se le llama eje de ordenadas, y se le representa por la letra Y.
Si prolongamos los dos ejes, vemos que el plano queda dividido en cuatro regiones, llamadas cuadrantes, que se numeran así:
MATEMÁTICAS – Geometría 672
PGF03-R03
Un punto P del plano quedará determinado por un par de números (x, y), que son las coordenadas cartesianas del punto P.
Para facilitar la lectura de las coordenadas de cualquier punto marcado en el plano, o para representar un punto del que conocemos sus coordenadas, a veces el sistema de coordenadas aparece cuadriculado.
Veamos ahora, con algunos ejemplos, las coordenadas de puntos en cada uno de los cuadrantes, y sobre los ejes de coordenadas.
Primer cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas positivas (+, +). Por ejemplo, los puntos A(3, 1), B(2, 2) y C (4, 3) pertenecen al I cuadrante:
MATEMÁTICAS – Geometría 673
PGF03-R03
Segundo cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son negativa la x y positiva la y (-, +). Por ejemplo, los puntos D (-3, 1), E (-2, 2) y F (-4, 3) pertenecen al II cuadrante:
Tercer cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas negativas (-, -). Por ejemplo, los puntos G (-3, -1), H (-2, -2) e I (-4, -3) pertenecen al III cuadrante:
MATEMÁTICAS – Geometría 674
PGF03-R03
Cuarto cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son positiva la x y negativa la y (+, -). Por ejemplo, los puntos J (3, -1), K (2, -2) y L (4, -3) pertenecen al IV cuadrante:
Sobre los ejes de coordenadas.
En este caso, de coordenadas de puntos que están sobre los ejes de coordenadas, pueden darse dos situaciones: que el punto esté sobre el eje X o que esté sobre el eje Y.
Si está sobre el eje X, las coordenadas del punto serán (x, 0), siendo x positiva o negativa, según si está a la derecha o a la izquierda del origen. Por ejemplo, los puntos M(1, 0), N (-1, 0) y P (4, 0) están sobre el eje X:
MATEMÁTICAS – Geometría 675
PGF03-R03
Si el punto está sobre el eje Y, las coordenadas del punto serán (0, y), siendo y positiva o negativa, según si está por encima o por debajo del origen. Por ejemplo, los puntos Q (0, -3), R (0, 1) y S (0, -1) están sobre el eje Y:
MATEMÁTICAS – Geometría 676
PGF03-R03
EJERCITACION.
1. Determinar en el siguiente plano cartesiano los puntos :
a, (1, 2)
b. (-1 , 2)
c.(-2 , -1 )
d. (2, – 3 )
e. (3 , - 4 )
f. (-5 , 2)
g. (3- , -4 )
h. (-3 , 0 )
i. (0 , 3 )
j. ( -4 , -3 )
k ( 0 , -6 )
l. ( 4 , 0 )
m.(-7,10)
MATEMÁTICAS – Geometría 677
PGF03-R03
MATEMÁTICAS – Geometría 678
PGF03-R03
5.Trazar las líneas que pasan por los puntos:a. (1 , 2 ) y (3 , 4 )b. (-2 , 1 ) y ( -4 , 4 )c. (-3 , -2 ) y (- 1, -7 )d. (2 , 4) y ( 5 ,- 2 )e. (3 , 0 ) y (0, 4 )f. (-4 , 0 ) y (0 , -2 )g. (-4 , 5 ) y ( 2 , 0)h. (-3 , -6 ) y ( 0 , 1 )
MATEMÁTICAS – Geometría 679
PGF03-R03
4. Ubica en el plano cartesiano cada uno de los puntos y asígnale el nombre a cada una de las figuras:
a. (0,6 ) (3, 0) y (-3 , 0)
b. (1 , -1 ) (1 , -3 ) (6 , - 1) y (6 ,-3)
c. (1 , 4 ) (3 , 1 ) (5 , 4) y (3 ,7)
d. Dibujar la recta que pasa por ( 4 , 0) y (0,6) y la recta que pasa por (0 ,1 ) y (4 ,
5) y hallar el punto de intersección de las dos rectas.
MATEMÁTICAS – Geometría 680
PGF03-R03
SISTEMAS DE MEDIDAS
MEDIDAS DE LONGITUD
5.Completa el siguiente mentefacto:
MATEMÁTICAS – Geometría 681
PGF03-R03
BIBLIOGRAFIA
ES. Frank. Álgebra Moderna. Editorial: Mc Graw Hill. 1.991
WEBGRAFIA
http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/01-punto.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_de_medida
MATEMÁTICAS – Geometría 682
