21_Act_6

ACTIVIDAD 6:

TRABAJO COLABORATIVO 1

Presentado por:

Julio Cesar Carroll Jimnez

C.C. 1129.573.433

Oscar Andrs Zapata Mateus

C.C. 9.736.252

lvaro Hernando Camacho

C.C. 1125.288.330

Ral Feo

C.C. 1117.502.718

Ivan diario Gonzlez

Documento presentado a:

Miguel Montes Montao

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

Escuela de Ciencias Bsicas Tecnologa e Ingeniera

Programa de Ingeniera Electrnica

Octubre de 2011

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de Ciencias Bsicas Tecnologas e Ingeniera

299010 Matemticas especiales 2011 - 2

Introduccin

En este trabajo se desarrollarn ejercicios de transformada de Laplace partiendo desde una contextualizacin hasta una parte prctica donde se pondrn a prueba los conceptos adquiridos a lo largo de toda la unidad, este trabajo se realizar a manera de trabajo colaborativo quedando como consolidado final el aporte de todos los estudiantes de la asignatura de matemticas especiales



Objetivos

General

Conceptualizar la unidad 1 de la asignatura matemticas especiales enfocadas a la

transformada de Laplace

Especficos

Hacer una contextualizacin de la transformada de laplace.

Realizar los ejercicios propuestos en la gua de trabajo colaborativo.

Realizar el trabajo en modo colaborativo fomentando la participacin grupal.



CONCEPTUALIZACION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

NOMBRE DEL CONCEPTO: Transformada de Laplace

DEFINICIN: Transformada integral de una funcin cuyo ncleo es .

ATRIBUTOS O CARACTERSTICA:

1. Es una transformacin lineal.

2. Generalmente se representa mediante la variable s.

3. Tiene mucha aplicacin en la ingeniera de control.

4. Es un mtodo muy prctico para manejar problemas complejos.

EJEMPLOS:

1. Solucin de ecuaciones integro-diferenciales.

2. Funcin de transferencia.

3. Modelo matemtico de un fenmeno fsico.

4. Solucin de ecuaciones diferenciales a trozos y funciones peridicas.

PRINCIPIOS TERICOS QUE LO FUNDAMENTAN:

1. Integral definida.

2. Funcin de orden exponencial.

3. Transformada integral.

4. Continuidad a trozos.

PROCEDIMIENTO A SEGUIR PARA SU USO:

1. Se plantea el modelo matemtico del problema que se desea resolver, en trminos

de ecuaciones diferenciales ordinarias en el dominio de t.

2. Se aplica la transformada integral a cada uno de los trminos de la ecuacin

diferencial ordinaria, se resuelven las integrales impropias y se manipula

algebraicamente la ecuacin resultante hasta despejar la solucin (generalmente es

Y(s)) de la ecuacin en el dominio de s.



3. Se aplica la transformada integral inversa de Laplace y se obtiene la solucin de la

ecuacin diferencial en el dominio t.

SITUACIN DE APRENDIZAJE EN LAS QUE SE USA:

1. Para encontrar cuales son los lmites de operatividad de un procesos ante un

cambio en una de las variables.

2. Para disear sistemas de control de procesos.

3. Para analizar la estabilidad de un fenmeno fsico.

UTILIDAD QUE OFRECE EN EL PROCESO DE APRENDIZAJE:

1. Permite comprender como se comportan los sistemas dinmicos.

2. Permite proponer un elemento de control que estabilice un proceso.

3. Permite representar de manera ms simple el modelo de un proceso.

CRITERIOS DE EVALUACIN (CONVERTIR LOS ATRIBUTOS EN PREGUNTAS):

1. Por qu se trata una transformacin lineal?

2. Por qu se representa generalmente en trminos de la variable s?

3. Por qu se utiliza en la ingeniera de control?

4. Por qu resulta prctico resolver problemas mediante la transformada de

Laplace?



Fase 2. Transferencia de los temas de la unidad I. Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a) F(x)=2t

Se aplica la definicin de la transformada integral para obtener la transformada de

Laplace de la funcin:

Se representa la integral impropia como un lmite:

Se acomoda el trmino exponencial para expresarlo como un diferencial, y utilizar el

mtodo de integracin por partes:

En este caso:

Entonces la integral queda como:

Se acomoda el trmino exponencial para expresarlo como un diferencial e integrarlo

inmediatamente:



Se evalan los lmites de integracin:

Se aplica la regla de LHopital para obtener el lmite de la indeterminacin:

El lmite de la funcin resultante es:

Entonces, la transformada de Laplace es:

b) F(x)=3t-2t

c) F(x)=e2t



d) F(x)=cos(2t)

Como cos(2t)= 2cos2(t)-1, entonces se plantea la integral as:

Ahora, como:

Entonces:



e) F(x)=sen(3t)






(e1)

En este caso:


Reordenando trminos y aplicando integracin por partes nuevamente:



En este caso:


(e2)

Igualando las expresiones (e1) y (e2):

Despejando se obtiene el resultado de la integracin:

Evaluando los lmites de integracin:



Evaluando el lmite cuando b tiende a infinito, las funciones seno y coseno tienen su

rango entre [-1, 1], por tanto el limite cuando b tiene a infinito es cero, pues el

denominador en cada caso tiende a infinito.

Finalmente la transformada de Laplace queda como:

f) F(x)=-t2






En este caso:




Se acomoda nuevamente el trmino exponencial para expresarlo como un diferencial, y

utilizar el mtodo de integracin por partes:

En este caso:


Se acomoda nuevamente el trmino exponencial para expresarlo como un diferencial y

realizando la integral inmediata:

Se organizan los factores:

Evaluando los lmites de integracin:



Evaluando el lmite cuando b tiende a infinito:

Finalmente la transformada de Laplace queda como:

II. Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la transformada de Laplace: g) y-4y=e-4t Cuando y(0)=2

Por fracciones parciales:



Reemplazando los coeficientes A y B:

h) y-y=sin(t) Cuando y(0)=0

Se aplica la transformada de Laplace a cada trmino de la ecuacin:

Sustituyendo la condicin inicial:

Despejando Y(s):



Se separa el cociente por medio del mtodo de las fracciones parciales:

Se realizan las operaciones y se simplifican los denominadores:

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones, y se resuelve:

Entonces la descomposicin en fracciones parciales queda como:

Se halla la transformada inversa de Laplace:

Finalmente, la solucin de la ecuacin diferencial es:

i) y+5y-4y=0 Cuando y(0)=1, y(0)=0

Aplicando la Transformada de Laplace procedemos a desarrollar la ecuacin diferencial.



Se aplica el teorema de traslacin:




Finalmente, la solucin de la ecuacin diferencial es:

j) y+6y-13y=0 Cuando y(0)=0, y(0)= -3

Completando el cuadrado en el denominador obtenemos:

Para aplicar la Transformada Inversa de Laplace tenemos que convertir la funcin en

algo conocido, esto es sinh(t):

Para ello multiplicamos y dividimos por

Se aplica el teorema de traslacin:




OBTENIENDO COMO RESULTADO



CONCLUSIONES

Se logr realizar un trabajo grupal en el cual se vi el trabajo colaborativo, poniendo en

prctica los conceptos adquiridos a lo largo de la unidad 1 enfocada a la transformada de

Laplace, se reafirmaron los conceptos de esta rea.



BIBLIOGRAFIA

Mdulo de Matemticas Especiales. Recuperado el 15 de agosto de 2011, de

http://campus07.unadvirtual.org/moodle/mod/resource/view.php?id=6628

La transformada de Laplace. Referencia electrnica. Recuperado el 25 de

septiembre de 2011 de http://euler.us.es/~renato/clases/mm2/laplace.pdf

Series de Fourier y Transformada de Laplace. Referencia electrnica. Recuperado el 26 de septiembre de 2011 de

http://www.elprisma.com/apuntes/matematicas/fourierlaplace/

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