Independencia de Sucesos

Clase Nº 2

Mg. Stella Figueroa

2do C.2018

Independencia de Sucesos

Dos sucesos A y B son

independientes

cuando la ocurrencia de A

no tiene influencia en la

ocurrencia de B.

Dos sucesos A y B son

dependientes cuando

la ocurrencia o presencia de

A es requisito para la

presencia u ocurrencia de B

Teorema del producto de

probabilidadesP(A ∩ B) = P(A).P(B/A)

donde / se lee:

“sabiendo que A ocurrió”

Ejemplo de sucesos dependientes e independientes

De un grupo de 50 empleados, 30 tiene una antigüedad de más

de 10 años. Se eligen dos empleados al azar. Calcular la

probabilidad de que los dos tengan una antigüedad menor de 10

años.

b) Con reposición a) Sin reposición

Si A y B son independientes entonces

P(B/A) = P(B) y además

P(A B) = P(A).P(B)

Probabilidad Condicional

Sean dos sucesos A y B asociados a un experimento.

Del teorema del producto de probabilidades,

Se define probabilidad condicional del suceso A si

ocurrió B, a la expresión:

Con P(B) distinta de cero. )(

)()/(

BP

BAPBAP

( )( / )

( )

P A BP B A

P A

Análogamente, con P(A)

distinta de cero,

Probabilidad Condicional

La tabla muestra la distribución de los empleados de una

empresa

A = { El empleado es gerencial}

B = { El empleado es universitario}

Calcular P(A/B) y P(B/A)

Universitarios No

Universitarios

Total

Gerenciales 25 5 30

No

Gerenciales

75 195 270

Total 100 200 300

Generalización del teorema del producto de probabilidades

1 2 1 3 1 2 1 2 1( ). ( / ). ( / , ).... ( / , ,... )n nP A P A A P A A A P A A A A 1 2( ......... )nP A A A

Ejemplo1 : A B

Un mecanismo está formado por dos componentes en serie que trabajan

independientemente. Cada componente tiene una probabilidad p de no

funcionar. ¿ Cuál es la probabilidad de que el mecanismo funcione?

¿Y si el sistema estuviera

conectado en paralelo?A

B

Ejemplo 2 :

Ejercicio Integrador

La probabilidad de que un artículo tenga un defecto tipo A

ó tipo B es ¾.

La probabilidad de que dicho artículo no tenga defectos

tipo B es 2/3 y la probabilidad de que no tenga defectos

tipo A ó no tenga defectos tipo B, es 5/6.

Hallar la probabilidad de que el artículo no tenga defectos

tipo B sabiendo que tiene defectos tipo A.

Teorema de la Probabilidad Total o

de la Probabilidad Completa

B1 B2

B3B4

AB4

AB3

AB1

AB2

B1,B2,....,Bn

representan

una partición

de S, es

decir:

A

SBn

i

i

1

ji BB para i j

( ) 0iP B Para todo i

Teorema de la Probabilidad Total o de la Probabilidad Completa

1 2 3Si A S A= A B A B A B ...... A Bn

1 2 3P(A) = P A B P A B P A B ...... P A Bn

n

i ii BPBAPAP1

./

A, B y C licitan por un contrato para la construcción de un

puente. La probabilidad de que A obtenga el contrato es

el triple de que lo obtenga B, y las probabilidades para B

y C son iguales. Si lo obtiene A, elegirá a E como

subcontratista con probabilidad 0,8. Si lo obtiene B o C

será elegido E con probabilidad 0,4 y 0,1

respectivamente. Antes de ser concedido contrato, ¿Cuál

es la probabilidad de que E obtenga finalmente el

subcontrato?

Problema

Teorema de Bayes o de las Probabilidades de las Hipótesis

A partir de las probabilidades de las hipótesis, (que

suman 1, por ser los Bi una partición del espacio

muestral S,) se vuelve a calcular una probabilidad “a

priori” pero ahora con una información adicional: ocurrió

el suceso A. Es decir, determinaremos las

probabilidades condicionales

1

( ) ( / )( / )

( ) ( / )

j j

j n

i i

i

P B P A BP B A

P B P A B

jP(B /A) 1,2,......,j n

AP

ABPABP

j

j

/

Problema 1

El 70 % de los pacientes de un hospital son

mujeres y el 20% de ellas son fumadoras. Por

otro lado el 40 % de los pacientes hombres son

fumadores. Se elige al azar un paciente del

hospital. ¿Cuál es la probabilidad de que sea

fumador?

Problema 2

Los chips de un circuito integrado son probados con

cierto instrumento y la probabilidad de que se detecten

los defectuosos si realmente lo son, es 0,99. Por otro

lado hay una probabilidad de 0,95 de que un chip sea

declarado como bueno si efectivamente lo es. Si el 1%

de todos los chips son defectuosos. ¿Cuál es la

probabilidad de que un chip que es declarado como

defectuoso sea en realidad bueno?

Preguntas sobre los temas tratados

1. ¿Cómo reconocer analíticamente a dos sucesos

independientes?

2. ¿En qué consiste la probabilidad condicional?

3. ¿Cómo diferenciar la probabiidad conjunta de la condicional?

4. ¿Cuáles son las hipótesis del Teorema de la probabilidad

total? ¿Para qué sirve este teorema?

5. ¿Qué dice el Teorema de Bayes? ¿Cuáles son sus hipótesis?

¿Cuándo se aplica?

6. ¿Cómo diferenciar sucesos independientes de los

mutuamente excluyentes ?