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Autora: Wilmarys Berrios.C.I.: 20.422.426.
Asesora: Amelia Malave
Distribuciones Discretas
Función de Probabilidad
Se llama función de probabilidadde una variable aleatoria discreta X ala aplicación que asocia a cada valorde xi de la variable su probabilidad pi.
0 ≤ pi ≤ 1
p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1
Ejemplo:
Calcular la distribuciónde probabilidad de laspuntuaciones obtenidasal lanzar un dado.
Representación:
La representación de unadistribución discreta deprobabilidad es un diagramade barras.
Distribuciones Discretas
Función de Distribución
Sea X una variable aleatoriadiscreta cuyos valores suponemosordenados de menor a mayor.Llamaremos función de distribuciónde la variable X, y escribiremos F(x)a la función
F(x) = p(X ≤ x)
La función de distribución asocia acada valor de la variable aleatoria laprobabilidad acumulada hasta esevalor.
Ejemplo:
Calcular la función de distribución deprobabilidad de las puntuacionesobtenidas al lanzar un dado.
Representación:
La representación de unfunción de distribución deprobabilidad es una gráficaescalonada.
Distribuciones Discretas
Distribuciones de variable discreta más importantes
Distribución Binomial Distribución Binomial NegativaDistribución PoissonDistribución GeométricaDistribución Hipergeométrica
Distribuciones Discretas
Distribución Binomial:
Es una distribución de probabilidaddiscreta que cuenta el número deéxitos en una secuencia de n ensayosde Bernoulli independientes entre sí,con una probabilidad fija p deocurrencia del éxito entre los ensayos.A uno de estos se denomina éxito ytiene una probabilidad de ocurrencia py al otro, fracaso, con una probabilidadq = 1 - p.
Fórmula:
n es el número de pruebas.k es el número de éxitos.p es la probabilidad de éxito.q es la probabilidad de fracaso.El número combinatorio
Distribuciones Discretas
Ejercicio de Distribución Binomial:
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80%de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2 personas?2. Y como máximo 2.
Probabilidad de que el grupo hayan leído lanovela 2 personas:
n = 4p = 0.8q = 0.2B(4, 0.8)
Como máximo 2
Distribuciones Discretas
Distribución Binomial Negativa:
Es una distribución de probabilidaddiscreta que incluye a la distribución dePascal.
Propiedades
Su función de probabilidad es
Para enteros x mayores o iguales que k, donde
Su media es
si se cuentan también los k-1 éxitos.
Su varianza es
en ambos casos.
Distribuciones Discretas
Ejercicio de Distribución Binomial Negativa:
Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa lacontraiga es 0,40, ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a laenfermedad sea el tercero en contraerla? En este caso, X es el número de niñosexpuestos la enfermedad y
Solución:
Distribuciones Discretas
Distribución Poisson:
Se trata de un modelo discreto, peroen el que el conjunto de valores conprobabilidad no nula no es finito, sinonumerable. Se dice que una variablealeatoria X sigue la distribución dePoisson si su función de densidad vienedada por: e = es 2,71828
𝝀 = n * p (es decir, el número deveces "n" que se realiza elexperimento multiplicado por laprobabilidad "p" de éxito en cadaensayo)K = es el número de éxito cuyaprobabilidad se está calculando
Distribuciones Discretas
Ejercicio de Distribución Poisson:
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son lasprobabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
x = variable que define el número decheques sin fondo que llegan al bancoen un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ...,etc., etc.𝜆 = 6 cheques sin fondo por díae = 2.718
Solución a: Solución b:
x= variable que define el número de cheques sinfondo que llegan al banco en dos díasconsecutivos = 0, 1, 2, 3, ..., etc.𝜆 = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedioque llegan al banco en dos días consecutivosNota: 𝜆 siempre debe de estar en función de xsiempre o dicho de otra forma, debe “hablar” delo mismo que x.
Distribuciones Discretas
Distribución Geométrica:
Es cualquiera de las dosdistribuciones de probabilidad discretassiguientes: la distribución de probabilidad del
número X del ensayo de Bernoullinecesaria para obtener un éxito,contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...}
la distribución de probabilidad delnúmero Y = X − 1 de fallos antes delprimer éxito, contenido en elconjunto { 0, 1, 2, 3,... }.
Propiedades:
P(X = x) =
Distribuciones Discretas
Ejercicio de Distribución Geométrica:
Se lanza un dado hasta que aparece el número 6. ¿Cuál es la probabilidad deque el número de lanzamientos sean 3?
Solución:
En este problema el éxito es la aparición del número 6 y la probabilidad de quesalga el número 6 al lanzar un dado es 1/6, por lo que p = 1/6 y q = 5/6. Comointeresa calcular la probabilidad de que el 6 aparezca en el tercer lanzamiento,entonces:
Distribuciones Discretas
Distribución Hipergeométrica:
Es especialmente útil en todos aquelloscasos en los que se extraigan muestras ose realizan experiencias repetidas sindevolución del elemento extraído o sinretornar a la situación experimentalinicial.
La distribución hipergeométricapuede derivarse de un procesoexperimental puro o de Bernouilli conlas siguientes características:
El proceso consta de n pruebas ,separadas o separables de entre unconjunto de N pruebas posibles.
Cada una de las pruebas puede darúnicamente dos resultadosmutuamente excluyentes: A y no A.
En la primera prueba lasprobabilidades son: P(A)= p y P(A)= q ;con p+q=l.
La distribución hipergeométrica sigueel siguiente modelo:
Donde:
Distribuciones Discretas
Ejercicio de Distribución Hipergeométrica:
En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es laprobabilidad de que 3 sean blancas?
N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4
Solución:
Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolasblancas es del 35,3%.
Gracias…!
