2do_Repaso Geometría 2013-2

CICLO REPASO ADMISIÓN 2013 – 2 2° Repaso Examen Ordinario

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRÍA

01. En las siguientes proposiciones decir cuáles son verdaderos: I. Dos ángulos forman un par lineal

cuando son adyacentes y los lados no comunes son rayos opuestos.

II. Los conjuntos A y B son convexos y disjuntos, entonces (A – B) es un conjunto no convexo.

III. Dos segmentos son congruentes si y solo si tienen la misma longitud.

IV. L es una recta contenida en un plano H y determina dos semiplanos H1 y H2 entonces

1 2H H L .

A) VVVV B) VFVV C) VFVF D) VFFF E) FFFF

02. En un triángulo ABC obtuso en A, se

traza la ceviana BE . Si m B 60 ,

AB EC y m ECB 2 m EBC ,

entonces m ACB es

A) 20 B) 30 C) 40 D) 15 E) 10

03. En un triángulo equilátero ABC, la

altura BH y la ceviana CM se interceptan en el punto P. Si

AM PC , entonces la medida del ángulo BCP es A) 10 B) 15 C) 20 D) 22,5 E) 24

04. En un triángulo ABC se considera el

punto interior “P” tal que: mBAP 72

y mPAC 12 . Si mABP 30 y

mPBC 18 , entonces mPCA es

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

05. Dado un triángulo donde sus ángulos

interiores miden: x y , x y y

2y x . Entonces cual es la

diferencia entre el mayor y menor valor entero que puede tomar y. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

06. Dado el triángulo ABC se ubica F

punto medio de BC y se traza FH

(H en AC ). Si AB 2HF , entonces el valor de verdad de la proposiciones siguientes es I. m FHC m BAC

II. m FHC m BAC 180

III. HA = CH A) VVV B) VVF C) FVV D) FVF E) FFF

07. En un triángulo isósceles ABC AB BC se traza la bisectriz interior

AD tal que: AD BD AC . Entonces m DAC es A) 10 B) 15 C) 16 D) 20 E) 25

08. En el triángulo UNO se traza la

ceviana NS tal que m O 2 ,

mSNO 3 y m UNS 90 . Si

NO VS , entonces es A) 15 B) 10 C) 25 D) 30 E) 12

09. Sea el triángulo ABC equilátero, por el vértice C se traza una recta L que no

intersecta al lado AB y en dicha recta se ubican los puntos D y E tales que AD CE y m BCE 60 m DAC . Si el punto E pertenece a la

prolongación de DC , entonces m BED es A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70



10. Si el número de diagonales de un polígono convexo se encuentra entre 22 y 34. Entonces la suma de las medidas de sus ángulos interiores es A) 1 080 B) 1 260 C) 1 360 D) 1 440 E) 1 620

11. El gráfico muestra el trapecio ABCD, tal que FC FD y

m BAD 2m FED . Si AB a ,

AE b y ED c , entonces CB es

A) a + c – b B) 2b + c – a C) a + 2b – c D) a + b – c E) b + 2c – a

12. En un trapecio ABCD BC // AD , se

traza la altura CH y en CD se ubica el punto M tal que CM MD 5 u .

CH interseca a BM y AM en los puntos E y F respectivamente. Si m MEF m MFE y AB toma su mayor valor entero, entonces la distancia (en u) entre los puntos medios de sus diagonales es

A) 2 B) 3 C) 19

2

D) 17

2 E)

21

2

13. En un cuadrado ABCD de centro “O”

se prolonga el lado AD hasta el punto

“P” tal que mOPA 37 y OP 5 u .

Entonces PC (en u) es

A) 38 B) 37 C) 6

D) 39 E) 2 10

14. En el cuadrilátero ABCD mostrado, BM MC , AD 4AL y

AD 2AB 18u . Entonces ML (en u)

es

A) 3,5 B) 4,0 C) 4,5 D) 5,5 E) 6,0

15. ABCM es un cuadrilátero recto en B y

en M; además A–M–D y DE es

perpendicular a AB en el punto E. Si AM MC MD , ED 14 u y

EB 5 u , entonces la distancia (en u)

del punto M a BC es A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

16. En un trapecio ABCD, BC // AD , BC AD y se ubica M punto medio

de AB . Si las distancias de B y D a

CA , son 8 u y 10 u, entonces la distancia (en u) del punto medio de

MD a AC es A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7

17. El gráfico muestra a los triángulos rectángulos BHA y BHC y sus circunferencias inscritas. Si AB 3u ,

BC 4u y AC 5u , entonces la

relación entre AE y FC es

A D E

B C

F

A L D

C M

B



A) 1

2 B)

1

3 C)

1

4

D) 2

3 E)

2

3

18. En la figura mostrada GE // AC , E y F son puntos de tangencia. Entonces la relación entre los radios de la semicircunferencias mostradas es

A) 5 1

2

B)

2

3 C) 3

D) 4

3 E)

3 2

4

19. En la figura, si AM a y CN b ,

entonces PQ es

A) 2a – b B) 2a + b C) a + 2b D) a + b

E) a b

2

20. En la figura se muestra una

circunferencia, E y F son puntos de

tangencia. Si m BAC 10 y

m DE 32 , entonces mFG es

A) 32 B) 36 C) 38 D) 42 E) 48

21. Desde un punto B, exterior a una circunferencia, se trazan las

tangentes BE y BF . Luego en EB se ubica el punto A y se traza una

semicircunferencia de diámetro AB ,

que interseca a BF en el punto C,

desde el cual se traza la tangente CD a la semicircunferencia y a la circunferencia en los puntos C y D

respectivamente. Si m FD 7 mED ,

entonces m EBF es A) 18 B) 20 C) 30 D) 36 E) 32

22. En el gráfico, los diámetros AB y

EF de la circunferencia son perpendiculares. Si E es punto de

tangencia y m SB 2 , entonces

m AQP es

A C

B

E H F

A D

E

F

G

B C

B

Q

C A

P

M N

600

F B C

A

E

D

G



A) 120 B) 90 C) 45

D) 135 E) 135

23. En una circunferencia C de centro O

está inscrito un triángulo acutángulo ABC. Si M, N y P son los vértices del triángulo ortico ó pedal del triángulo

ABC (M AB y N BC ); entonces la

medida del ángulo entre MN y OB es A) 30 B) 45 C) 90 D) 75 E) 120

24. En un triángulo ABC se trazan las

bisectrices interiores AQ , CP y BD

tal que DQ CP T . Si I es el incentro del triángulo ABC, tal que IP 5u , TI 3u y m ABI 60 ,

entonces TC (en u) es A) 12 B) 8 C) 4 D) 10 E) 9

25. En un triángulo ABC, BD es bisectriz interior. La circunferencia tangente a

AC , que pasa por los puntos B y D,

interseca a AB en el punto E y a BC en F. Si AE a , EB b , BF c y

FC d , entonces

A) ab = cd

B) 2 2 2 2a c b d

C) 2 2a c bd

D) ac = bd

E) a c b d

26. AB es un segmento tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores en el punto C, cuyos radios miden R y r. Entonces la distancia de

C a AB es

A) R r B) R r

2

C) 2 2R r D) Rr

R r

E) 2Rr

R r

27. En una circunferencia se inscribe el

triángulo ABC tal que 9AB 4AC . La

prolongación de la altura AF intercepta a la circunferencia en el

punto D. Se traza CE perpendicular al

lado AC E AC . Si mCD 3mBD

y BF 2cm , entonces ¿cuál es la

longitud (en cm) del segmento FE ?

A) 33

8 B)

44

9 C)

55

7

D) 44

7 E)

55

8

28. En una circunferencia de centro O, se

traza el diámetro MQ perpendicular a

la cuerda AB . Las prolongaciones de

la cuerda MA y del radio BO se

interceptan en el punto F tal que FQ es tangente en la circunferencia. Si

FQ , entonces la longitud de FB es

A) 2 B) 3

2 C)

5

2

D) 2 E) 3

29. En la figura, L1 es una recta tangente

a la circunferencia en el punto B y L2 // L1. La recta L2 interseca a la

prolongación de BC en el punto E. Si AB 6 cm y BC 4 cm , entonces CE

(en cm) es

A B

P E

F

Q

S



A) 4,0 B) 4,5 C) 5,0 D) 5,5 E) 6,0

30. En un trapecio rectángulo ABCD,

AB 10 m ,DC 6 m y m A m D 90 .

Se traza una semicircunferencia de

diámetro AD , tangente al lado BC en M. Si las diagonales del cuadrilátero se intersectan en “N”, entonces MN (en m) es

A) 3,0 B) 2 3 C) 3,25

D) 3,75 E) 3 2

31. En una circunferencia se inscribe

el cuadrilátero ABCD. Se ubica

el punto P en la diagonal AC tal que m ABP m DBC y

m ADP m BDC . Entonces AP

PC es

A) 3

2 B) 2 C)

4

3

D) 3 E) 1

32. En un triángulo ABC, se trazan las

alturas AM y BN . Si P y Q son puntos

medios de AB y AC respectivamente

y PQ NM F , entonces la razón entre las medidas de los ángulos PAF y BCA es

A) 2

3 B)

4

3 C) 2

D) 1 E) 1

3

33. En el gráfico se muestra a una

circunferencia, TP = TD y TO // AC . Entonces x es

A) 35

2 B) 18 C)

37

2

D) 19 E) 39

2

34. En un cuadrado ABCD, E es punto

medio de AD y se traza CQ

perpendicular a BE . Si la medida del ángulo CQD es y la longitud del lado del cuadrado es 2a, entonces la

longitud de CQ es

A) a 5

5 B)

2a 5

5 C)

3a 5

5

D) 4a 5

5 E) 5

35. En un trapecio rectángulo ABCD recto

en C y D, M es el punto medio de BC. Si m MDC m BAC , BM MC a

y AD b , entonces CD es

A) b b a B) a b a

C) ab D) b b 2a

E) b – a

36. En la figura O es el centro de una de las circunferencia y H es el ortocentro del triángulo AOB. Si NA AC ,

CB BM y PC 1m , entonces OH

(en m) es

C

B L1

L2 A

A C

B

P

D

O T

x



A) 2,0 B) 3,0 C) 4,0

D) 3 2 E) 3,5

37. En un cuadrado ABCD con diámetro

CD , se construye interiormente una semicircunferencia. Si E es un punto

de BC , tal que AE sea tangente al

CD y EC a , entonces la longitud del inradio del triángulo ABE es

A) a

2 B) a C)

2a

3

D) 3

a4

E) 4

a3

38. En un trapecio isósceles, la base

menor mide 14 cm y la diagonal que es perpendicular al lado no paralelo mide 40 cm. Entonces, la longitud (en cm) de la mediana del trapecio es A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34

39. En una semicircunferencia de

diámetro AB y centro O, se dibuja una circunferencia tangente al

diámetro AB en M y tangente al arco

AB en Q. La cuerda QT es paralela a

AB e intercepta a la circunferencia en

el punto E. Si AE es tangente a la circunferencia, entonces la medida del ángulo EAB es A) 15,0 B) 18,0 C) 22,5 D) 30,0 E) 37,0

40. Las medianas de un triángulo rectángulo ABC trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos

miden 5 m y 40 m . Entonces la

longitud (en m) la hipotenusa es

A) 2 17 B) 8 C) 2 15

D) 2 14 E) 2 13

41. En un cuadrado ABCD, con centros

en los vértices A y D, se trazan los arcos BD y AC, secantes en el punto E. En el triángulo mixtilíneo AED, se inscribe una circunferencia de centro

O, tangente en el punto M al AD . Si AB a , entonces la longitud del

inradio del triángulo AMO es

A) a

9 B)

a

8 C)

a

10

D) a

6 E)

a

5

42. En una semicircunferencia de

diámetro AD y centro O, se trazan las

cuerdas AB y AC tal que

mBC 2mAB . Si las longitudes de

las perpendiculares trazadas desde

los puntos B y C al diámetro AD son a y b, entonces la longitud de la perpendicular trazada desde el punto

B al radio OC es

A) ab B) 2 ab

C) a a b D) b a b

E)

2ab

a b

43. En un triángulo ABC, las medianas

trazadas a los lados AC y AB son perpendiculares. Si AB c , BC a y AC b , entonces ¿cuál es la relación

entre las longitudes de los lados del triángulo?

r O

H

N M C A B

P



A) 2 2 2b c 2a B) 2 2 2b c 5a

C) 2 2 2b c 3a D) 2 2 2b c 4a

E) 2 2 2b c 6a

44. En una semicircunferencia cuyo

diámetro es AC se ubica el punto B y

su proyección sobre AC es H, las proyecciones ortogonales de H sobre

AB y BC son M y N respectivamente, la recta trazada por M y N intersectan a los arcos AB y BC en P y Q. Si PM 1u y NQ 2 u , entonces

AH HB (en u2) es

A) 2 B) 8 C) 4 D) 16 E) 18

45. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, AB 4 u , la circunferencia de

centro O y diámetro BC intercepta a

AC en el punto M y la prolongación

de AO intercepta a la circunferencia

en el punto L. Si ML es perpendicular

a OC , entonces AL (en u) es

A) 4 5 B) 8 C) 4 2

D) 4 3 E) 6

46. En la figura se muestra una

circunferencia, PA // BF , A y B son puntos de tangencia. Si BF a ,

entonces EB es

A) 2a

3 B)

4a

3 C)

a

3

D) a E) a

2

47. Las circunferencias C1 y C2 son

secantes en P y Q, en la circunferencia C1 y próximo a Q se

ubica el punto A de manera que la

prolongación de AQ intercepta a la

circunferencia C2 en B. Si M es punto

medio de AB y la recta trazada por P y M intersectan a C1 en C y a C2 en D,

entonces la razón entre MC y MD es A) 2 B) 3 C) 1

D) 3

2 E)

1

2

48. En un cuadrilátero convexo ABCD, se

trazan, BT AD (T en AD ) y el cuadrado TDCL, tal que

m LCA m BAC . En BC se ubica

el punto N tal que NL LD . Si

M LT AC , LM 2 LN 8 u ,

entonces TC (en u) es

A) 12 B) 4 C) 8 2

D) 8 E) 4 2

49. En un triángulo acutángulo ABC

inscrito en una circunferencia de radio

2 m , AB 2 m , BC 6 m . Si se

traza el diámetro AD, entonces la longitud de la cuerda DC es

A) 4 3 m B) 2 3 m

C) 4 2 2 m D) 4 2 3 m

E) 2 2 m

50. En un polígono convexo ABCDE,

m ABE m BCE m CDE 90 , los triángulos BCE y CDE son semejantes. Si BC AB DE ,

BE R y AE es una cuerda de una circunferencia de radio R, entonces

m AE es

A) 90 B) 108 C) 60 D) 120 E) 72

E B F

C

P A



51. Calcule el perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos medios de tres lados no consecutivos de un hexágono regular cuyo circunradio mide 6 u. A) 9 B) 15 C) 21 D) 25 E) 27

52. E, es un punto interior en un triángulo ABC, recto en B, tal que

AC 2 6 2 5 cm , m EBC 32 . Si

m ECA 22 y m BAC 50 ,

entonces BE (en cm) es

A) 2 3 B) 2 2 C) 1,5

D) 2,0 E) 5

53. En un triángulo ABC, recto en B,

m C 9 y AC 5 1 cm . Calcule

la distancia de B a AC , en cm.

A) 1

2 B) 1 C) 2

D) 5 E) 5

2

54. Las longitudes de 2 circunferencias

coplanares están en la relación de 7 a 3 y la suma es igual a 20 u . ¿Cuál

es la posición de las 2 circunferencias?. Si además la distancia entre sus centros es 2 veces la diferencia de sus radios. ¿cuál es la posición de las 2 circunferencias? A) Exteriores B) Secantes C) Interiores D) Tangentes exteriores E) Tangentes interiores

55. En un sector circular AOB, de centro O, se inscribe una circunferencia

tangente a OA , OB y AB , en los puntos E, F y T, respectivamente. Si m AOB 60 , entonces la relación entre las longitudes de los arcos ET y AT es

A) 1 B) 5

4 C)

4

3

D) 3

2 E)

6

5

56. En un rectángulo ABCD, la

circunferencia de centro O contiene a los vértices B y C e interseca a la

prolongación de OA en el punto M. Si

MC AB N y AD 5 AN y

AM 4 u , entonces el área (en u2) de

la región rectangular ABCD es A) 32 B) 16 C) 100 D) 80 E) 70

57. En la figura ABCD es un cuadrado, P

es punto medio de CD . Si EP 2 u ,

entonces el área (en u2) de la región triangular HEP es

A) 1

3 B)

2

3 C) 1

D) 4

3 E)

5

3

58. En un triángulo ABC recto en B, se

trazan las bisectrices interiores AD y

CE . Si la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo ABC es r, entonces el área de la región triangular DBE es

A) 2r B) 2r

2 C)

22 r

3

D) 23r

4 E)

25r

3

A D

B C

P H

E



59. En un triángulo rectángulo ABC

AB BC en el interior se ubica el

punto P. Si PAB PBC PCA y

BP , entonces el área de la región triangular PBC (en u2) es

A) 2

2 B) 2 C)

2

3

D) 23

2 E) 24

3

60. En la figura se muestra la región

cuadrangular ABCD tal que AB // EC

y EB // CD . Si 2ABEA 9 u y

2ECDA 16u , entonces el área (en

u2) de la región cuadrangular ABCD.

A) 27 B) 30 C) 32 D) 35 E) 37

61. En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, las diagonales se intersecan en el punto S tal que BS 4SC . Si los lados AB y CD son

paralelos y el área de la región SCD es 4 m2, entonces el área (en m2) de la región triangular ASD es A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 32

62. En el gráfico: MF 6FP , CG // QF , QG MG y el área de la región

triangular PQM de 140 u2. Calcule el área de la región sombreada.

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 35

63. Por los vértices A, B y C de un cuadrado ABCD se trazan las rectas paralelas entre sí L1, L2 y L3; si las distancias entre L2 y L3 y entre L1 y L3 son de a y b respectivamente, entonces el área de la región es

A) 2

a b

B) 2a b

a b

C) 2a b

a b

D) 2 22b 2ab a

E) 2 22a 2ab b

64. En un cuadrado ABCD, con centro en

“D” se traza el arco CE interceptando

a la prolongación del lado AD en el punto E, en el lado BC se ubica el punto P tal que el segmento PE intercepta al lado CD en el punto H. Si las áreas de las regiones triangulares ABP y PCH son 16 m2 y 9 m2 respectivamente, entonces el área (en m2) del sector circular CDE es A) 20 B) 10 C) 15

D) 80 E) 117

A D E

B

C

P M

Q

G

C F



65. Sean las regiones equiláteras SAR e IMR, ubicadas en planos perpendiculares (M es punto medio de

AS ). Si G baricentro de la región triangular IMR, entonces m AGS es A) 30 B) 41 C) 60 D) 90 E) 120

66. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, se consideran los puntos medios M y N de las aristas CG y HG respectivamente. Entonces la medida del ángulo que forman los segmentos MN y GE es A) 45 B) 30 C) 60 D) 90 E) 53

67. En un ángulo triedro V-ABC cuyas caras miden: m BVA 90 , m BVC 90 y m AVC 60 , se

cumple VA VB VC 8 m .

Entonces la medida del diedro AC es

A) 1

arc tg3

B) 2

arc tg3

C) 2

arc tg2

D) 3

arc tg3

E) 3

arc tg2

68. Un poliedro convexo con R vértices y

21 aristas está formado por “2p” triángulos, “c” cuadriláteros y “p” pentágonos. Entonces “p” y “c” son respectivamente A) 1,8 B) 3,2 C) 2,5 D) 3,4 E) 4,1

69. Dado el octaedro regular P–ABCD–Q, AP = L. Calcule la menor distancia para ir de P hacia A pasando por todas las caras.

A) 5 L B) 2 L 6 C) L 21

D) 2 L 5 E) L 19

70. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Dos rectas paralelas a un plano

determinan un plano paralelo al anterior.

II. Un poliedro es regular cuando todas sus caras son regiones poligonales regulares.

III. Todos los poliedros regulares tienen centro de simetría.

A) VFF B) FVV C) FFF D) FVF E) VVF

71. La base de un paralelepípedo recto ABCD– A'B'C'D' es un rombo de

área S y las áreas de las secciones diagonales ACC'A ' y BDD'B' miden

S1 y S2 respectivamente. Entonces el volumen del paralelepípedo es

A) 1 22 S . S . S B) 1 2S . S . S

C) 1 2

1S . S . S

2 D) 1 2S . S . S

2

E) 1 2S . S . S

3

72. De una hoja de cartón cuadrada cuyo

lado mide 12 u, hay que hacer una caja rectangular abierta de la mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados de lado x u en los ángulos de la hoja y doblando los salientes de la figura. Entonces x es A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 2,5 E) 3,0

73. Se tiene una caja de base cuadrada sin tapa de volumen V, si el costo de la caja es mínimo, entonces la longitud de la altura de la caja es

A) 1/34V B) 2/3

V C) 1/3V

D)

1/3V

2

E)

1/3V

4



74. En un prisma recto ABC–DEF, el punto O es el centro de la cara ABED, M y N son puntos medios de las

aristas EF y CF respectivamente. Entonces la sección plana determinado en el prisma por el plano que contiene a los puntos O, M y N es A) Triangular B) Cuadrangular C) Pentagonal D) Hexagonal E) Octogonal

75. El gráfico muestra a un tronco de prisma triangular recto donde las caras EFD y ACDE son regiones poligonales regulares. Si el área de la

región EFD es 24 3 u , entonces el

volumen (en u3) del sólido que limita dicho tronco es

A) 18,07 B) 19,50 C) 19,77 D) 20,77 E) 21,00

76. En una pirámide regular E–ABCD; los puntos M y N, son puntos medios de

ED y EC , respectivamente. ¿En qué relación están los volúmenes de los sólidos E–ABNM y AMD–BNC?

A) 1

2 B)

3

5 C)

2

3

D) 1

3 E)

4

9

77. En una circunferencia cuyo radio mide R, se inscribe al triángulo ABC tal que

mAB 90 y mAC 120 . La región

triangular ABC es la base de pirámide cuya altura mide (3R–AC). Entonces, el volumen del sólido limitado por la pirámide es

A) 3R 3

3 B)

3R

2 C)

32R

3

D) 3R

4 E)

3R

5

78. La base de una pirámide regular es

una región cuadrada cuyo lado mide 10 m y su altura mide 20 m. A esta pirámide se le intercepta con un plano paralelo a la base, sobre la sección transversal que resulta se construye un prisma recto cuya base superior contiene al vértice de la pirámide. Si el volumen del sólido limitado por el tronco de pirámide de que resulta, entonces la longitud (en m) de la altura del prisma es A) 12,6 B) 13,0 C) 12,5 D) 12,0 E) 13,5

79. En un tetraedro regular A–BCD cuya

arista mide a u, se traza la altura AH .

Si M y N son puntos medios de BC y

AH respectivamente y la

prolongación de MN intersecta a AD en Q, entonces el volumen (en u3) del sólido limitado por la pirámide C–HNQD es

A) 37a 3

288 B)

37a 5

288

C) 37a 2

288 D)

37a 2

289

E) 37a 2

283

B

F

D

C

E

A



80. En una pirámide D–ABC, BC 6cm y

m BAC m BDC 90 . Entonces el

máximo valor, en cm3, del volumen del sólido determinado por la pirámide es A) 6 B) 12 C) 8 D) 9 E) 15

81. Un cubo de arista “a” fue seccionado por un plano. Calcule el volumen del sólido resultante cuyas vistas frontal, horizontal y de perfil se muestran sus

A) 37a

16 B) 325

a36

C) 325a

32

D) 32a

3 E) 317

a24

82. ABCD–EFGH es un tronco de

pirámide regular, donde el área de la sección AEGC es S1 y el área de la región equidistante de las bases es S2. Entonces la longitud de su altura es

A) 1 2

1S S

2 B) 1 1

1 2

S 2S

S S

C) 1 2

2

S 2S

2S D) 1

22

S2S

S

E) 1 2S S

2

83. Calcule el volumen del sólido que determina un tronco de pirámide regular cuadrangular, circunscrito a una esfera de longitud de radio r. Las caras laterales definen ángulos diedros de 60 de medida con el plano de la base.

A) 326r

9 B) 313

r9

C) 3100r

9 D) 3101

r9

E) 3104r

9

84. El área lateral de un cilindro oblicuo

de 2.6 cm de altura es 252 3cm

25 y

el ángulo que forma la generatriz con la base del cilindro es 60. Entonces el área (en cm2) de la sección recta del cilindro oblicuo es

A) 4

25

B)

6

25

C)

9

25

D) 11

25

E)

17

25

85. En un cilindro circular oblicuo, se

traza un plano secante que contiene a los centros de las bases cuya intersección es una región cuadrada de área 48 u2, de tal modo que la proyección de uno de sus lados sobre la otra base es un segmento tangente a la circunferencia que limita dicha base. Entonces el volumen (en u3) del sólido limitada por dicho cilindro (en u3) es A) 64 B) 36 C) 72

D) 48 E) 60

86. El gráfico muestra en un cono de

revolución cuyo centro de la base es O y a un cilindro oblicuo de bases circulares. Entonces la relación de sus volúmenes es

a

a

a

2

a

a

a

2

P F

H

a

a

a

2

a

2



A) 3

5 B)

3

6 C)

3

7

D) 3

8 E)

3

9

87. En el gráfico se muestra un cono de

revolución, tal que

3 AH 3 MB 3 MH ; si

3 m ABV 2 m AMB y

MV 2 3 cm ; entonces el volumen

del sólido limitado por dicho cono (en cm3) es

A) 36 B) 12 C) 48

D) 30 E) 24

88. En un cono de revolución se inscribe

una esfera. Si la altura del cono mide 40 m y el diámetro de su base 60 m, entonces la longitud (en m) del radio

de la curva común a la esfera y al cono es A) 18 B) 15 C) 12 D) 9 E) 6

89. En la base de un cono equilátero cuyo vértice es P, se trazan los diámetros

perpendiculares AB y CD . Si C es un punto del arco AB, tal que la distancia

entre AP y CB es 2 21

u7

, entonces

el volumen (en u3) del sólido limitado por el cono equilátero es

A) 3 B) 3

2

C)

3

3

D) 6

3

E)

6

4

90. En una esfera de radio R está inscrito

un cono de revolución equilátero. ¿A qué distancia del centro de la esfera se debe trazar un plano para que el área de la base del cono sea equivalente al área que determina el plano en la esfera y el cono?

A) R

3 B)

R

4 C)

R

5

D) R

6 E)

2R

3

91. Calcule la altura de un cono recto de

revolución que limita un volumen máximo inscrito en una esfera de radio R.

A) R

2 B)

R

3 C)

R

4

D) 4

R3

E) 5

R3

92. En un tetraedro regular la arista a esta

circunscrito una esfera de radio R ¿en

qué relación están R

a?

V

O

V

A B

M

H



A) 6

4 B)

6

3 C)

2 6

3

D) 3

64

E) 2

33

93. Se tiene un octante de esfera inscrito

en un hexaedro regular y a la vez está circunscrito a otro hexaedro regular. Calcule la relación entre las áreas totales de los hexaedros.

A) 1

6 B)

1

9 C)

1

4

D) 1

2 E)

1

3

94. Se traza un plano secante a una

esfera de modo que el área del círculo determinado es igual a la diferencia de las áreas de los dos casquetes esféricos formados. Si la distancia del plano al centro de la esfera es

5 2 u . Entonces la longitud del

radio de la esfera es

A) 1 B) 2

3 C)

6

2

D) 2 E) 3

95. El diámetro de una esfera mide 10 u y

en ella se inscribe un cilindro de revolución de 6 u de diámetro. Entonces el volumen (en u3) del sólido comprendido entre las superficies esférica y cilíndrica es

A) 128

3 B)

256

3 C)

248

3

D) 284

3 E)

824

3

96. Una esfera de radio R se divide en

dos semiesferas; en una de ellas se

inscribe otra esfera de radio R

r2

y

en la otra se inscribe un cono circular recto cuya base está sobre el borde

de la semiesfera. Halle la relación entre el volumen del cono y la esfera inscrita. A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 2,5 E) 3,0

97. En la figura, O es el centro de la circunferencia si AO r u y el arco

PQ mide 30, entonces la diferencia de los volúmenes (en u3) de los sólidos generados por las regiones sombreadas al girar una vuelta

alrededor del eje AB es

A) 3r

3

B)

3r

4

C)

3r

6

D) 3r

9

E)

3r

12

98. Cuatro esferas congruentes son

tangentes entre sí formando una pila triangular. Si el radio de la superficie esférica de una de las esferas mide R, entonces la longitud de la altura de la pila es

A) 3R3 6

2 B) 2R

3 63

C) 2R6 6

3 D) 2R

3 2 63

E) 3R6 6

5

99. Si una región triangular ABC, de

altura BH 3 u y lado AC 4 u gira

una vuelta alrededor de AC , entonces el volumen del sólido generado (en u3) es

A O B

P

Q

r



A) 10 B) 12 C) 15

D) 16 E) 20

100. Una circunferencia cuyo radio mide 3 cm, gira una vuelta completa alrededor de una recta tangente a la circunferencia. Entonces, el área (en cm2) de la superficie generada por la circunferencia es

A) 232 B) 236 C) 240

D) 242 E) 250

Documents

2do_Repaso Geometría 2013-2