2º SEMINARIO DE ALGEBRA - PRE-2008-I-

8/3/2019 2 SEMINARIO DE ALGEBRA - PRE-2008-I-...

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIN 2008-ISEMINARIO N 02

10. Resolver:

x 2 x 6

x 1 x

+ +

Si S es el conjunto solucin, entonces:

A) S 1; 1 B) S [2; +

C) [ 2; 2] S D) S ; 1] =

E) ; 2] S11. Sea la ecuacin:

1x 1 x 4

x 1 x+ + + =

+

Si S es su conjunto solucin, entoncesA) S = B) S [2;

C) ; 1/2] S D) S \ [0; 2] = E) S {1; 2; 3}

12. Determine el conjunto por extensin

A x= { }4( x 1) ( x 5 )(3 x 4 < + +;a] [b;c , halle : a + b + c

A) 7

3B)

5

3C) 1

D) 2

3E)

1

3

13. Sea la inecuacin:

( )9

2 3 2 5 4

2 7 999

x 3 (x 6) (x 4x 5) (x 3)0

(x 1) (x 3) (x 3)

+ + +

+

Si S es el conjunto solucin, entonces.

A) 3; 1 S B) S = C) 0; 4 S D) E) S \ 6; 3 = S

14. Para la inecuacin:214 x x 15 , su conjunto solucin

S cumple:

A) S = B)14; 14 S

C) 4; + S D

E) 6; 8 S

15. Sean los conjuntos

A x= { }1 2 1 2 8( x 3 ) (5 x )(2 x 1) ( x 1) (1 2+

B x= 3 2 3 2

5 3

( x 8 x 4 x 48 )0

x 9

( x 4 ) ( x 1 3 x 1 2 )

+ +

+ +M = {x N / x A x B}Halle el cardinal del conjunto M.A) 2 B) 3 C) 4D) 6 E) 8

16. Sea S el conjunto solucin de lasinecuaciones:

12 x x 7 1 3x 20 + Podemos afirmar que:

A) S [13; B) 7 SC) S [8; 11] D) S [13;

E) S + = [8; 12]

17. Determine el nmero de solucionesenteras del sistema:

y x2

+ 2x + 5y 4x 0

3y x 0A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

18. Graficar el conjunto

{ }2 2xA (x;y) / x y 1 x y=

CEPRE-UNI LGEBRA 2

x

y

A)

x

y

B)

x

y

C)

x

y

D)


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19. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) delas siguientes afirmaciones:

I. f = {(|x|, |y|) / x = 2y, x }

es una funcin con dominio [0; +

.II. g={(x3|x|, x) / x }no es

una funcin.

III. h = {(|x|, x) / x } esfuncin.

A) VVF B) VFV C) VFFD) FFF E) VVV

20. Se define la funcin:

{ }2 2f (x;y) / 2x y y x= + =Determine el conjunto: Domf RanfA) B) + C) { }12

+

D)12

0; E) 12[0;

21. De la funcin definida por:2 2f : / f(x) x 8x 16 x 2 = + + +

Cules de los siguientes enunciadosson correctos:I. Es constante en [ 4; 1]II. Es creciente si x > 1III. Es decreciente si x < 4A) I, II y III B) solo I C) solo IID) solo III E) solo II y III

22. Si2x 6x

f(x)| x 6 |

=

, determine su rango.

A) 6; + B) 6; +

C) [3; + D) 3; + E) [1; +

23. Dadas las siguientes relaciones:

( ){ }1

R t 1; 2t / t +

=

( ){ }2

R t | t |; t 1 / t= +

( ){ }3

R t 1;| t | 3 / t= +

Dar el valor de verdad de lassiguientes afirmaciones:I. R1 no es funcin.II. R2 es una funcin.III. R3 es una funcin.A) VVV B) FFV C) VFVD) FVV E) FFF

24. Sea f una funcin definida mediante2x 1 ; x 4

f(x)x 4 3;x 4


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A) [1; 4] B) [ 4; 1]

C) ; 4] [3; 4]D) 4; 1] [3;4E) [ 4; 4] {2}

27. Si f es una funcin definida porf(x) = mx + n, cuya grfica pasa por elpunto (2; 1) y es tangente a lagrfica de la funcin g; g(x) = x2 + 3.Entonces el valor de m.n es:A) 22 B) 24 C) 26D) 28 E) 30

28. Determine el rango de la funcin:

2

x

f(x) ; x 0x 4= >+

A) Ranf = {0; 1} B) Ranf {0; 1}C) Ranf = {0} D) Ranf = {1}

E) Ranf [1; 2]

29. Si el rango de la funcin f, definida por

2f(x) 2 2x 4x 1= , es F, entonces

A) F [1; 6] B) F +

C) 1; 1 F D) F {0}C

= E) [0; 4] F

30. Si el rango de la funcin

f : [ 4; 10 definida porf(x) = |x + 2| 2|3 x| es [a; b].Determine a + b.A) 7 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

31. Se forma una caja sin tapa a partir deuna pieza rectangular de cartn de 8pulgadas y 10 pulgadas cortandocuadrados iguales de lado x pulgada

(x ) en cada esquina, paradespus doblar hacia arriba losrectngulos. Determine el volumen dela caja menor, si sus aristas sonenteros.A) 48 B) 24 C) 22D) 30 E) 12

32. Dada la funcin f(x) = x2 2x + 4;

x [1; + , hallar{ }1f ( 5;12]) x Domf / f(x) 5;12 =

A) [0; 4] B) [2; 4] C) [1; 4]

D) E) [ 4; 4]33. Halle el dominio de la funcin f

definida por: ( )x 12x 4

| x | xf(x)

sgn +

=

A) B) {1} C) {1; 1}

D) 1; +} E) 1; 1

34. Para ver un partido de ftbol se sabeque si el precio de la entrada es deS/.15 asistirn 25 000 espectadores.El precio de entrada vara entre S/15y S/40. La asistencia al estadiodisminuye en 500 espectadores porcada sol que se incrementa en elprecio de entrada. Definir la funciningreso (por recaudacin) indicando sudominio.

A) 2400000 15000 x 500 x ; x [0; 2+

B) 2400000 50000 x 100 x ; x [0; 2+

C) 2375000 17500 x 500 x ; x [0; 2+

D) 2375000 17500 x 500 x ; x [0; 2+

E) 2250000 50000 x 100 x ; x [0; 2+

35. Dos rectas L1 y L2, que pasan por elorigen, son tangentes a la grfica de

funcin f; f : , f(x) = x2 + 2x + 25en los puntos (x0, y0) y (x1, y1)

respectivamente halle 0 1 0 1x x y y+ + + .

A) 60 B) 80 C) 100D) 120 E) 150

36. Resolver : 1/ x 0= . Dar su conjuntosolucin.

A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) 4;

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37. Sea la funcin f(x) x= , x . Enqu parte de su dominio cumplef2(x) 2f(x) 2 < 0?

A) [1; 3] B) [0; 2] C) [0; 3

D) [0; 3] E) [ 1; 3

38. Sean f y g dos funciones tales que:

2

1f(x) y g(x) sgn( x

4 x

= =

.

Determine el rango de fg y de cmorespuesta su nmero de elementos.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

39. Sea la funcin:x 3

f ( x ) 2 sgn( x )| x 3 |

+= +

+

siendo sgn(x) =

1; x 0

0;x 0

1;x 0

Determine la suma de los elementos

de su rango.

A) 2 2 3 3+ + B) 2 2 3 1+ +C) 2 2 3 3+ + D) 2 2 3 1+ + E) 2 2 3 3+ +

40. La funcin 2 2f ( x ) x 1 2 x x 1= + + +

es constante en [a; b]; determinea + b.

A) 9 B) 5 C) 4D) 2 E) 3

41. Determine el valor de verdad de losenunciados siguientes:

I. f / f(x) = |x + 2| |x 2| esimpar en todo el dominio.

II.1x

g/g(x) = esestrictamente decreciente

(decreciente) en { }x 0 .III. h / h(x) = |x + 3| + |x 3|

es una funcin no creciente.

A) VVF B) VFF C) FVVD) VFV E) VVV

42. Sea f una funcin definida mediante25 2 | x | ; | x | 1

f(x) 3; | x | 1

| x |

= >

Indicar el valor de verdad de lassiguientes afirmaciones:I. f es una funcin par II. f es una funcin impar

III. f es creciente en ; 0A) VVV B) FVV C) FVF

D) FVF E) VFF

43. Se da la funcin f;2

2

x 8x 10, si 2 x 6f(x)

x 8x 10, si 6 x 2

+ =

Referido a f decir el valor de verdad delas siguientes afirmaciones:

I. Para todo x Domf secumple: f(x) = f(x).

II. Para todo x

Domf secumple: f(x) = f(x).

III. Existe un r Domf tal que:f(r) f(r) < 0.

A) VFF B) VFV C) FVVD) FVF E) VVV

44. Si f y g son dos funciones afines talesque f(2) = 8, g(1) = 2 y f(g(2)) = 14,determine el valor de (f o g)(3).

A) 10 B) 14 C) 16D) 18 E) 20

45. Sea f = {(0; 3), (2; 4), (1; 2), (3, 1)}

2

x 1; x 0; 2g(x)

x ; [2;

=

Determine la suma de los elementosdel rango de f + g.A) 19 B) 20 C) 21

D) 22 E) 23

46. Hallar una funcin f: a; b 0; 1 ,a < b, que sea biyectiva y decreciente.

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A)x a

f(x)b a

=

B)

x af(x) 1

b a

= +

C)x b

f(x)b a

=

D)

b xf(x)

b a

=

E)x b

f(x)a b+= +

47. Se dan las funciones f, : g : .Sean las siguientes proposiciones:I. Si f y g son crecientes, entonces

f + g es creciente.II. Si f es creciente y g es decreciente

entonces f g es creciente.III.Si f y g son crecientes, entonces fg

es creciente.IV.Si f es creciente, entonces f3 es

creciente.V.Si f es creciente entonces |f| es

creciente.Determine el nmero de proposicionesverdaderas.A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

48. Sean f : , g : , lasfunciones definidas por

{3 x 2, xf (x ) | x 2 | | x 2 |, g( x) 1 x, x+ = = + =

0 tal que

|f(x)| M, x A) 1 B) 1,99 C) 2D) 2,0001 E) 3

74. Dada la funcin f, definida por

2

3f(x)

16x 12x 3=

+y las siguientes

proposiciones:I. Su cota inferior es 0.II. Su cota superior es 4/3.III. Es una funcin acotada.Son correctasA) I y II B) II y III C) I, II y IIID) solo II E) solo I

75. Para la funcin

g(x) x a b x, a b= + < , halle elmenor real k > 0 tal que| g(x) | k, x Domf .

A) b a B) 2(b a)

C) 3(b a) D) 2 b a

E) a b+76. Dada la funcin

2

2

x , si x 0

f(x) x , si x [0;1

sgn(1 x ), si x 1

Indique el valor de verdad de lassiguientes afirmaciones

I. f es inyectiva.

II. f es acotada inferiormente.III. f es no creciente.

A) VVV B) VVF C) VFV

D) FVV E) FFF

77. Si4 4

1f(x)

1 x 1 x=

+de dominio

Df / x Df: |f(x)| M. Determine elmenor valor de M.

A) 1 B)1

2C)

4 8

2

D)1

4E)

1

8

78. Determine el valor de verdad de lassiguientes afirmaciones:

I. La funcin 2| x |

f(x) x 1= + esacotada.

II. La funcin g(x) | x x |= es acotada.

III. Sea la funcin h definida

por

x 3; x 0

h(x) xx 5;x 0

+ >= +

k > 0 / h(x) k, x [1; 3]A) VVV B) VFV C) FFVD) FFF E) FVF

79. Si f es una funcin definida por:2

2

x 6 x 3f ( x ) ; x

2 x 12 x 2 2

+ +=

+

; entonces el

menor valor de k tal que |f(x)| k; x Dom(f) es:A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

80. Si y vara directamente como x2 einversamente como z3. Cul es elcambio de y cuando x y z setriplican?A) y se triplicaB) y se eleva al cuboC) y permanece igualD) y se eleva al cuadradoE) y se divide entre 3

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81. Suponga que una enfermedad porhongos se origina en medio de unhuerto y afecta inicialmente a un rbol.La enfermedad de extienderadialmente a una velocidad constante

de 10 m al da. Qu rea habrafectado al cabo de 4 das?. D larespuesta con dos decimales deaproximacin.A) 4025,55 m2 B) 5025,33 m2

C) 5025,66 m2 D) 5026,55 m2

E) 5126,55 m2

82. Dada la funcin f, definida por:

f(x) (| x 5 | 1 x) 5 x= + + . Determinela funcin inversa de f, si existe.

A)21f (x) (180 x ); x 0

36

=

B)21f (x) (130 x ); x 0

25

=

C)21f (x) (100 x ); x 0

16

=

D)21f (x) (150 x ); x 0

4

=

E)21f (x) (85 x ); x 0

3

=

83. Sea la grfica de f:

En relacin a la funcin:g(x) f(| x | x 2)= , cules de lossiguientes enunciados son correctos?:

I. Domg = [ 1; + II. Rang = 1,5; 0]III. Domg Ranf = A) solo I B) solo II C) solo IIID) solo I y II E) I, II y III

84. Si f es una funcin por

f(x) || x | 2 | 1 ,= x R, entoncessu grfica.

85. Si la grfica de la funcin f definida porx 4

f(x)x a

+=

es:

Hallar a +b + c + d

A) 4

3B)

12

5C)

13

3

D)11

5E) 4

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y

A)

x21 1 2

y

B)

x2 1 1 23 3

y

C)

x3 1 1 22 3

y

D)

x3 1 1 22 3

1

y

E)

x1 1 22 0

1

y

x

d

c

3

b

y

x 3 2 1

0

1

23


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86. Sea f:;2] ;1] suryectiva f(x) b a= .Determine su grfica.

87. Graficar g(x) = 1 |f(1 x)|, si lagrfica de f es:

88. Si la grfica de f es la adjunta grafiquey f( | x |)=

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y

A)

x2

1

y

B)

x2

1

y

C)

x2

1

y

D)

x2

1

E)

y

x2

1

C)

2

y

x11

D)

2

y

x

11

1

A)

y

x0

B)

y

x0

C)

y

x0

D)

y

x0

A)

2

y

x11

B)

2

y

11x

y

x

2

1

2 11

E)

y

x

1

11 2 3

y

x0 11

1

f

E)

y

x0

E)


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89. Si la grfica de y = f(2 x) es lagrfica adjunta.Grafique y = f(x)

90. La grafica que mejor representa a lafuncin f(x) = |1 (x 3)4| es:

91. Graficar aproximadamente1

f(x) xx

= +

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y

x0

1

1

E)

y

x

A)

y

x

B)

0

C) D)

y

x

y

x

y

x

E)

A)

y

x

B)

y

x

y

x

A)

y

x0

B)

y

x0

1

12

1

1 2

C)

y

x0 1

D)

y

x0 1 2

1 1

y

x32

1

y

x


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92. Sea f una funcin con regla de

correspondencia2

2

xf(x)

x 1

=

. Si

consideramos las grficas de f, decirel valor de verdad de las siguientesafirmaciones:

I. Existen asntotas verticales en 1 yen 1.

II. Existe una asntota horizontal en 1.

III. Es creciente en 1; + .IV Es decreciente en 0; 1 .

A) VVVV B) VFVF C) VVFVD) VVFF E) VFFV

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C) D)

E)

y

x

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