3. Calculo diferencial

Matemticas administrativas

Clculo diferencial y sus aplicaciones

C

O

N

T

E

N

I

D

O

N

U

C

L

E

A

R

Estructura del Contenido nuclear

Metodologa de trabajo

Presentacin de la Unidad

Competencia especfica y propsitos

Problemtica

La derivada

Concepto, frmulas y reglas de derivacin

Razn o tasa promedio e instantnea de cambio e incertidumbre

Derivadas de orden superior

Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal

Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad

Clculo de mximos y mnimos

Funciones crecientes y decrecientes

Criterio de la primera y segunda derivada

Estructura del Contenido nuclear

Aplicacin de la funcin de ingresos, beneficios y costos en problemas de

maximizacin

Diferencial de una funcin

Diferencial implcita

Diferencial logartimica

Elasticidad

Cierre de Unidad

Recursos de apoyo para el aprendizaje

Fuentes de consulta

Recuerda:

Consultar la Foro de la unidad, en dicho espacio tu docente publicar la planeacin

de cada unidad.

Revisar el documento Actividades.(Se encuentra en Material de apoyo)

Metodologa

de trabajo

A continuacin se presenta el contenido del curso donde abordars el

estudio sobre la importancia y utilidad del Clculo diferencial y sus

aplicaciones en escenarios empresariales reales y que adems forman

parte de la vida diaria de cualquier profesionista, por ello, es importante que

tu aprendizaje sea significativo.

Con esta nueva metodologa vivirs experiencias referentes a situaciones

reales que te llevan desde el inicio a ubicar la importancia de los mtodos

cuantitativos en la toma de decisiones a nivel empresarial.

Asimismo, el contenido nuclear representa el inicio de las temticas que

comprende este curso, por lo que es necesario que tu participacin sea

activa y constante en las actividades que tu docente en lnea te

proporcionar, mismas que debers entregar en tiempo y forma.

Recuerda que en esta modalidad tu aprendizaje es autogestivo;

adicionalmente podrs contar con el apoyo de tu docente en lnea, quien te

apoyar para que puedas alcanzar las competencias de esta asignatura.

Presentacin de la Unidad

En las unidades anteriores se vieron 7las funciones ms comunes,

los lmites y continuidad de una funcin y los conceptos derivados de

dichos temas.

En la presente unidad se estudiarn los conceptos y reglas de

derivacin, lo que ayudar en la solucin de problemas de

optimizacin de utilidades y su impacto en las funciones de ingreso y

costo total, asimismo se ver la aplicacin e interpretacin de la

derivada en el anlisis marginal y su definicin como la razn o tasa

promedio e instantnea de cambio, as como su aplicacin en los

conceptos de elasticidad de demanda.

Finalmente, estudiars la diferencial cuyo significado se encuentra implcito dentro de la derivada,

as como su importancia para generar resultados que permitan dar una mejor interpretacin a los

problemas que en las reas econmico-administrativas se pueden presentar.

Aplica el clculo diferencial para la solucin de problemas de

lmites y continuidad de una funcin y determinar su impacto a

travs de frmulas y conceptos del clculo diferencial integral y

su aplicacin en las matemticas financieras.

Identificars los elementos del lgebra de lmites y terico

prctico de la continuidad de una funcin.

Aplicars los elementos del lgebra de lmites para

determinar el alcance de un proceso desde el punto de

vista econmico-administrativo.

Calculars la continuidad de una funcin en relacin a los

puntos en los que el proceso de produccin presenta una

tendencia diferente de costos.

Competencia especfica

Propsitos

Competencia especfica y propsitos

Problemtica

Hasta el momento has comprendido que los eventos cotidianos de una

empresa pueden ser representados a travs de una funcin, la cual puede

ser evaluada con base en los conceptos de lmite y continuidad.

Percepciones que permiten a la empresa confirmar si la rentabilidad de la

organizacin est comprometida, pero no son los nicos asuntos que

interesan a una empresa, muchos empresarios se cuestionan

constantemente:

Y es aqu donde las reglas de derivacin aplicadas a la funcin en cuestin,

permiten obtener las respuestas adecuadas a las preguntas previamente

referidas.

Problemtica

La derivada

El modelado de los procesos econmico-administrativos est

asociado a la identificacin del valor que optimiza a una

funcin, esto es, que si se trata de un problema de costos se

requiere conocer el costo mnimo y el valor para el que se

produce, as como para ingresos y utilidades es de inters

saber cmo se alcanzan los valores mximos que se pueden

tener a partir de una produccin o venta, ya sea de un producto

o servicio.

As es como se ve la importancia de la derivada dentro de los

problemas de optimizacin y sus aplicaciones en las

situaciones de oferta, demanda, elasticidad y productividad.

Problemtica

Conceptos, frmulas y reglas de derivacin

La

derivada

Es la representacin del cambio infinitesimal de una funcin a medida que

va cambiando el valor de la variable independiente, as, la derivada de una

funcin f(x) se representa como f(x), que se lee: f prima y se define para cualquier funcin f(x) de la siguiente manera:

x y y: incrementos de las variables x, y, respectivamente.

, representa a la razn o tasa promedio de cambio de y con

respecto a x en el intervalo (x1, x2), esto es que tanto vara el

valor de y por cada unidad de cambio en x.

, se interpreta como la razn o tasa instantnea de cambio

de y con respecto a x, en el punto x1

En donde:

1

2

3

De manera

prctica la

notacin para la

derivada es:

que se lee: la derivada de y con respecto a x.


Al igual que con los lmites existen frmulas y reglas que

permiten calcular las derivadas de funciones algebraicas, para lo

cual se presenta a continuacin un formulario en el que se

deber tomar en cuenta que:

Reglas y

frmulas

de

derivacin

u, v, w: son funciones cuya variable

independiente es x

a, b, c, n: son nmeros constantes

e: 2.71828...

Ln u: es el logaritmo natural de u, en donde

u > 0.


Frmulas y reglas de derivacin

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

A continuacin se resuelven las derivadas de algunas funciones utilizando las frmulas y reglas de derivacin:

De las

derivadas

Sea la f(x) = 4, cul ser su derivada?

Solucin: Se tiene que para una funcin

constante se utiliza la frmula 1:

en donde para este caso: c = 4, por lo que

sustituyendo se tiene que:

Determine la derivada de: f(x) = x5

Solucin: De acuerdo con la regla de derivacin

3:

se tiene que para este caso: c = 1, x = x, n = 5

por lo que:

1 2


Problemtica

Sea la funcin , determine su derivada:

Solucin: Aplicando la regla 4 de derivacin, se tiene que:

En donde:

u = 4x6 v = 5x4 w = -7x3 y = -x z = 12

para las cules aplican las siguiente reglas:

Por lo que se tiene que la derivada de la funcin h(x) es:


3

Problemtica

Cul es la derivada de la funcin ?

Solucin: Para este caso la frmula que se aplica es:

Para la que en este caso:

As, sustituyendo en la frmula, la derivada de la funcin g(x) con respecto a

x: g(x), queda:

4

u = x3 2x v = -3x2 + 5


Problemtica


Determina la derivada de la funcin:

Solucin: En este caso en particular, lo conveniente es plantear la funcin

de la siguiente manera:

Para la cual aplica la frmula:

En este caso:

c = 1 x = x n = 6/4

As, se tiene que:

5

Problemtica

Es aplicada cuando se tiene una funcin dentro de una funcin

elevada a una potencia, sea la siguiente funcin:Regla de la

cadena

La frmula general de la regla de la cadena dice que:

Sin embargo, una manera ms fcil de interpretarla es mediante el siguiente

enunciado:

Calcular la derivada de la funcin en el interior del parntesis y multiplicarla

por la derivada del exterior.


Problemtica


Es decir, si se toma en cuenta la funcin mostrada en el ejemplo, se tiene que:

Representa a la funcin en el interior del parntesis y cuya derivada es:

Ahora bien, con respecto a la derivada del exterior, se refiere al exponente fuera del

parntesis que encierra a la funcin, as, se tomara como funcin exterior a:

Finalmente, siguiendo el enunciado que dice que hay que multiplicar la derivada del interior por la derivada del exterior, se tiene que la derivada de:

Ser

Que corresponde a la

derivada del interior

Y considerando a la funcin dentro del parntesis

como si fuera una sola variable, as se tiene que

la derivada del exterior estara dada de la

siguiente manera:

Problemtica

Razn o tasa promedio e instantnea de

cambio e incertidumbre

Como se vio anteriormente, la razn o tasa

promedio de cambio se define como:

Considerando que la oferta O de un determinado artculoen funcin del precio p sigue la siguiente funcin:

Solucin: De acuerdo

a la definicin de razn

o tasa promedio de

cambio, se tiene que:

Determine cul ser la razn promedio de cambio en la oferta cuando el precio vara de p = 10 a

p = 11?

Asimismo, la razn o tasa

instantnea de cambio se

define como:

Razn o tasa promedio e instantnea de

cambio e incertidumbre

Tomando en cuenta los datos del problema anterior,

determine cul ser la razn de cambio en la oferta con

respecto al precio de venta, cuando p = 10 (cambio

instantneo)?

Solucin: De acuerdo con la

definicin de razn o tasa

cambio instantnea, se tiene

que calcular la derivada de la

funcin de oferta:

Por lo que cuando el precio de venta es: p = 10, la razn de cambio instantneo ser:

= 140

Es decir que, cuando el precio es de 10, la oferta cambia en 140 unidades cuando el

precio cambia una unidad.

Problemtica

Hasta ahora se ha calculado la primera derivada de una funcin, sin embargo, tambin es posible,

siempre que no se llegue a un valor de cero, obtener la segunda, tercera, cuarta, quinta, y n-simaderivada de una funcin.

La primera derivada se representa o denota como:

La segunda derivada se representa o denota como:

La tercera derivada se representa o denota como:

Y as sucesivamente hasta llegar a la n-sima derivada de una funcin.

o

Determine la tercera

derivada de la:

Solucin: La primera derivada estar dada

por:

As, la segunda derivada ser

Derivadas de orden superior


Ingreso marginalDescribe cmo se ven afectados los ingresos por cada unidad nueva que se produce y se vende, y se determina como la derivada de la funcin de ingresos, lo que representa una aproximacin del ingreso real cuando se vende una unidad ms de cierto producto o servicio.

As, considerando que representa a los ingresos obtenidos al vender x nmero de artculos, el

ingreso marginal muestra cul ser el ingreso que se obtiene al vender el artculo x + 1, esto es:

Es decir, los ingresos de venta de x nmero de artculos incrementada en 1, menos los ingresos de

la venta de x artculos.

Finalmente, cmo se considra el incremento de unidades de artculos, esto es: lo que

implica una razn de cambio de los ingresos cuando aumenta la produccin en una unidad; es

decir:

Lo que corresponde a

la derivada de la

funcin de ingreso, la

cual representa al

ingreso marginal.

Problemtica

Una compaa turstica tiene un ingreso mensual en la venta de sus

paquetes regionales representado por la siguiente funcin:

Pesos cuando produce y vende x unidades por

mes.


Solucin: Para calcular el ingreso adicional que genera la implementacin y venta del

paquete turstico nmero 21, con la funcin de ingreso marginal que es la derivada de la

funcin de ingreso, se tiene que:

Y para el caso particular del paquete nmero 20, se obtiene que:

Hasta el da de hoy, la compaa ofrece 20 paquetes

vacacionales, sin embargo, planea aumentar a 21 el nmero

de paquetes que ofrece. Cul ser el ingreso que generar la

implementacin y venta del paquete vacacional nmero 21?

Este valor sera una

aproximacin al ingreso que

generara por incorporar en

sus paquetes tursticos

regionales el paquete 21.

Problemtica


Sin embargo, si se desea

conocer cul sera el

ingreso exacto al

incorporar y vender el

paquete 21, se tiene que:

Ya que dentro de esta operacin ya est incorporado el paquete 21, en (x + 1), entonces se

sustituye x por 20 en la expresin encontrada:

Que representara el ingreso exacto al incorporar y vender el paquete 21 en la lista de

paquetes tursticos regionales en la compaa turstica.

Problemtica

Costo marginal

Es la derivada de la

funcin de costo: el valor

que se obtiene es una

aproximacin al costo

verdadero cuando se

produce o genera una

unidad ms de cierto

producto o servicio.

As, si se requiere saber el costo

que implica el producir x

unidades de un artculo ms una

unidad, es recomendable recurrir

a la derivada del costo y de

manera similar al ingreso

marginal se tiene que para los

costos marginales se cumple:


Problemtica

Los costos de produccin de x tarjetas de felicitacin en una imprenta

se representan por la siguiente funcin:

Pesos


Determina cmo ser el costo de producir 200 tarjetas

con respecto a la produccin de una tarjeta ms.

Solucin: Primero se determinar

la funcin de costo marginal:

De acuerdo a esto, se

tiene que el costo

aproximado de producir

201 tarjetas de

felicitacin ser de:

Problemtica


Ahora bien, ya que se requiere conocer cmo es el costo aproximado con respecto al real,

se tiene que:

Sustituyendo ahora el valor de x = 200, para as obtener el costo de produccin de 201 tarjetas

de felicitacin:

Con lo que se observa que la diferencia entre el costo exacto y el costo marginal es mnima:

0.8005 pesos, as se puede concluir que con el costo marginal tambin se obtienen

resultados confiables al igual que con la frmula de ingreso marginal.

Problemtica

Costo promedio o medio marginal


Es la derivada de la funcin de costo promedio: el valor que se obtiene

es una medida de la razn de cambio de la funcin de costo promedio

en funcin del nmero de unidades o servicios producidos/ vendidos.

El costo total de produccin mensual de x nmero de taparroscas

para envases de agua embotellada est dado por:

Pesos

Determine cmo ser el costo de producir la unidad

1001 de taparroscas si actualmente se producen 1000

tapas por mes.

Problemtica

Solucin: Primero se determinar la funcin de costo promedio:


A continuacin se obtiene la funcin de costo promedio marginal, derivando la funcin de costo

promedio:

De acuerdo a esto, se

tiene que el costo

aproximado de producir

1001 de taparroscas

ser de:

Problemtica

Utilidad marginal


Es la derivada de la funcin de utilidad: y es una aproximacin a la

utilidad obtenida de la produccin y venta de una unidad ms de cierto

producto o servicio.

As, si se requiere saber cules son las utilidades que generar el producir

x unidades de un artculo ms una unidad, es recomendable recurrir a la

derivada de las utilidades, con lo que se demuestra que:

En una fbrica se determin que cuando se producen x nmero de

artculos, se tena que:

Miles de pesos

Y que cada artculo vendido generaba ingresos de $10.00 pesos.

Determine las utilidades que se generarn si se producen y venden 100 unidades.

Problemtica

Solucin: Primero se determinar la funcin de utilidad, si se sabe que:


En donde para este caso:

Miles de pesos

Se tiene que:

Por lo que la utilidad marginal ser:

De acuerdo a esto, se tiene que las utilidades generadas aproximadamente al producir 100

artculos sern de:

Lo que significa que se

tienen -63.34 miles de pesos

de prdidas en este proceso

Problemtica


La elasticidad de la demanda, , es una aproximacin del cambio porcentual de la

demanda y es originado por un incremento

del 1% en el precio y est representada por

la siguiente frmula:

Y se interpreta de la siguiente

manera:

Problemtica


Si la demanda y el precio de ciertos envases de plstico estn

representados por:

Para 0 p , determine el punto de elasticidad de la demanda en que es elstica la demanda, en funcin de los precios de los envases

de plstico.

Solucin: Se sabe que:

En donde para este caso en particular

As, la elasticidad de la demanda ser:

Problemtica


Ahora bien, la demanda de los envases ser elstica si:

Por lo que la demanda ser elstica cuando el precio sea superior a 93.

Problemtica

Clculo de mximos y mnimos

Generalmente en nuestra vida estamos buscando formas para

resolver problemas. Las matemticas y en particular el clculo

diferencial nos ayudan a encontrar las respuestas que estamos

buscando.

Entre los valores que puede tener una funcin (y) puede haber

uno que sea el ms grande y otro que pueda ser ms pequeo.

A esto valores se le pueden llamar punto mximo y punto

mnimo.

Problemtica

Funciones crecientes y decrecientes

Una funcin es creciente en el intervalo I, si para dos

nmeros x1, x2 cualesquiera en I, tales que x1 < x2, se

tiene que:f(x1) < f(x2).

Una funcin es decreciente en el intervalo I, si para dos

nmeros x1, x2 cualesquiera en I, tales que x1 < x2, se

tiene que:

f(x1) > f(x2).

A continuacin se muestra

grficamente cmo decrece y

crece una funcin:

Problemtica


Los criterios de la primera y segunda derivada ayudan a determinar el comportamiento de

una funcin mediante un clculo exacto y analtico.

Criterio de la

primera derivada

Los pasos a seguir para evaluar una funcin con el criterio de la primera derivada son:

1. Obtener la derivada de la funcin.

2. Determinar los valores crticos, esto es, los valores de x en la derivada de la funcin

cuando:

3. Se marcan los valores crticos en la recta numrica y se escoge un valor cualquiera entre

cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la derivada, con lo que se

determinar el signo de la derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes

y despus del valor crtico.

Problemtica

4. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el

siguiente criterio:

Si los signos son (+)(-), se tiene un mximo local. Si los signos son (-)(-), se tiene un mnimo local. Si los signos son (+)(+) o (-)(-), no hay extremo local.


Considerando el criterio de la primera derivada, determine los

intervalos en donde la funcin: es creciente o

decreciente.

Solucin: Aplicando el criterio de la primera derivada se tiene lo siguiente:

Calculado la primera derivada de la funcin:

Igualando

a cero la

derivada

de la

funcin:

Problemtica

Que son las races o valores de x, con lo que se puede observar que los intervalos establecidos

para x en la derivada sern (valores crticos en la recta numrica):


Ahora bien, evaluando la derivada de la funcin en los intervalos establecidos, esto es:

para los valores entre , como por ejemplo 1, entonces se tiene que la derivada de la funcin

en ese punto dar:

Y como entonces la funcin es creciente en

para los valores entre , como por ejemplo 1, entonces se tiene que la derivada de la

funcin en ese punto dar:

Y como entonces la funcin es creciente en


para x = 0, se tiene que la derivada de la funcin en ese punto dar:

Y como entonces la funcin es decreciente en

Es decir, que si se aplica el criterio de la primera derivada para determinar si hay extremos

locales, se tiene:

Problemtica

Criterio de la

segunda derivada

Los pasos a seguir para evaluar una funcin con el criterio de la segunda derivada son:

1. Obtener la segunda derivada de la funcin.

2. Determinar los puntos de inflexin, esto es, los valores de x en la segunda derivada de la

funcin cuando es cncava hacia arriba o hacia abajo.

3. Se marcan los puntos de inflexin en la recta numrica y se escoge un valor cualquiera entre

cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la segunda derivada, con lo que se

determinar el signo de la segunda derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos

antes y despus de los puntos de inflexin.


Problemtica

4. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica

el siguiente criterio:

Si , entonces la funcin es cncava hacia arriba en ese intervalo.

Si , entonces la funcin es cncava hacia abajo en ese intervalo.

Considerando el criterio de la segunda derivada, determine los

intervalos en donde la funcin: es cncava hacia

arriba o hacia abajo.

Solucin: Aplicando el criterio de la segunda derivada, se tiene lo siguiente:

Calculado hasta la segunda derivada de la funcin:


Problemtica

Igualando a cero la segunda derivada de la funcin:

Que son las races o valores de x, con lo que se puede observar que los intervalos establecidos

para x en la derivada sern (puntos de inflexin en la recta numrica):

Ahora bien, evaluando la derivada de la funcin en los intervalos establecidos, esto es:

para los valores entre como por ejemplo 5, entonces se tiene que la segunda derivada de

la funcin en ese punto dar:

Y como entonces la funcin es cncava hacia arriba en,


Problemtica

para los valores entre como por ejemplo 5, entonces se tiene que la derivada de la funcin en ese punto dar:


Y como entonces la funcin es cncava hacia abajo en

Es decir, que si se aplica el criterio de la segunda derivada para determinar la concavidad de

la funcin, se tiene:

Finalmente se puede resumir que

para el uso de los criterios de la

primera y segunda derivada, es ms

prctico llenar la siguiente tabla gua:

Problemtica

Interpretacin del concepto de ingreso y costo

marginal

Dentro de la prctica profesional en las reas

econmico-administrativas, es muy importante la

determinacin de maximizacin de la ganancia o la

utilidad, as como el minimizar los costos de venta y

produccin, esto es, en general, optimizar los recursos

de la empresa, es decir, maximizar los beneficios y

minimizar los costos.

Al maximizar el beneficio en

cualquier empresa, se puede

lograr lo siguiente:

Problemtica

Interpretacin del concepto de ingreso y costo

marginal

Ahora bien, para determinar el valor mximo en una funcin se requiere la primera

derivada de la funcin, al igual que se requiere obtener la segunda derivada para

determinar el comportamiento de dicha funcin, esto es, que si se habla de utilidades

U(x), ingresos I(x) y costos C(x), entonces se est trabajando con los valores marginales

de las funciones, los cuales se muestran representados a continuacin.

En esta grfica se observa que:

La utilidad mxima se obtiene cuando

bien cuando

Se puede observar que los valores marginales de una

funcin son muy tiles, no slo para conocer los

niveles de utilidad, sino para determinar el impacto de

las utilidades cuando se presentan variaciones en los

insumos.

Problemtica

Aplicacin de la funcin de ingresos, beneficios y

costos en problemas de maximizacin

Una empresa en servicio de telefona pretende incrementar sus

ventas promocionando sus servicios por televisin, para lo cual

realiz varios estudios para determinar los costos que dicha

publicidad le generar y obtuvieron las siguientes funciones de costo

por publicidad y de demanda de servicios de telefona:

En donde:

C(x) = costos por servicio de telefona en funcin de los costos de publicidad.

p(x) = precio por servicio de telefona que se presta.

x = nmero de servicios de telefona.

Determine la cantidad de servicios que se

requiere vender para maximizar la ganancia.

Problemtica



Solucin: Considerando la funcin de demanda, se puede obtener la funcin de ingresos de la

empresa, recordando que:

Por lo que para este caso en particular los ingresos sern:

Ahora bien, para obtener la mxima ganancia, se requiere de los valores marginales tanto de

los ingresos como de los costos, as para el ingreso marginal se tiene:

Y para el costo marginal:

Y ya que para maximizar la ganancia se requiere que el ingreso marginal sea igual al costo

marginal:

Problemtica



Y aplicando los criterios de derivada

para obtener los valores mximos,

se comienza por despejar el valor de

x de la ecuacin que qued arriba:

Comprobando que se obtiene un mximo, se

calcula la segunda derivada tanto de los

ingresos como de los costos:

Es decir, se cumple que:

Por lo que se obtiene efectivamente la mxima

utilidad.

Por lo tanto, cuando la compaa de servicio

en telefona da 37,500 servicios, la utilidad

ser maximizada.

Problemtica

La diferencial

Problemtica

Incremento de una funcin

. Al trabajar con diferenciales se comparan entre los distintos valores que toman las variables dependiente e independiente, para as observar y medir los cambios que se originen.

. Es por eso que al considerar los cambios en los valores de las variables, la diferencial llega a tener una relacin directa con la derivada como razn o tasa de cambio.

Si se considera que , se observa que se ver afectada la variable y, ya que se encuentra

en funcin de los valores que tome x.

As, cuando la variable x cambia desde un valor inicial , hasta un valor final , , el

cambio se determina calculando la diferencia ( , , lo que se conoce como cambio o

incremento de una variable y se representa como:

Y que sirve para determinar los cambios ente una y otra variable y, de manera general, para

determinar los cambios en una funcin, ya sea de ingreso, costo, demanda o utilidad,

evaluando los valores iniciales y finales en la funcin correspondiente:

Problemtica


Una empresa desea determinar en cunto deber incrementar su

nivel de gastos si aumenta la produccin debido al aumento en la

demanda de sus artculos, para lo que obtiene la siguiente funcin:

En donde actualmente la demanda de artculos es de 95:

Determine en cunto se incrementarn los gastos si la produccin aumenta a 100 unidades.

Determine la razn de cambio que se dar en los gastos al incrementarse la produccin en una unidad.

Se sabe que la produccin en el inicio es de 95 unidades, por lo que los gastos iniciales sern:

Es decir, que cuando la empresa tiene una produccin de 95 unidades sus gastos son de 30125 pesos.

Ahora bien, cuando la produccin aumenta a 100 unidades, entonces se tiene que , por lo que

los gastos finales sern de:

Esto es, que aumentan en $4875.00 pesos.

Para determinar la razn de cambio se tomarn en cuenta los datos anteriores, de lo que se observa

que:


Por lo que:

Por lo tanto:

As, para la razn de cambio se tiene que:

Con lo que se observa que los gastos de

produccin por unidad se incrementan en

$975.00 pesos por unidad.

Problemtica

Diferencial de una funcin

Problemtica

Diferencial implcita

Diferencial logartmica

Tomando en cuenta las leyes

logartmicas:

Aplicando las leyes de

logaritmos a las funciones es

posible aplicar la diferencial

logartmica:

As, para obtener la diferencial logartmica dy de una

funcin es necesario aplicar las leyes de los logaritmos

a la funcin dada.

Problemtica


Empleando la diferencial logartmica determine a partir de la siguiente

funcin:

Solucin: Aplicando a la funcin

leyes de logaritmos, se tiene:Ahora bien, diferenciando implcitamente se tiene:

Aplicando:

Se tiene la diferencial de cada parte de la funcin,

as para:

Para:

Para:

Problemtica


Y finalmente para:

Por lo que sustituyendo en la diferencial:

Factorizando a dx:

Despejando a dy:

Como:

Sustituyendo en dy, sustituyendo en:

Problemtica

Elasticidad

La elasticidad es un indicador

de la magnitud que cambiar

la variable dependiente si la

variable independiente se

modifica en una unidad y se

representa como:

Una manera de determinarla es a travs de

la diferencial con logaritmos y as obtener:

Problemtica

Determine la elasticidad de la demanda si:

Elasticidad

Solucin: Si se aplican logaritmos

a la funcin de demanda:

Diferenciando implcitamente a la

demanda en funcin del precio:

1

2

Por lo que al aplicar la frmula de

elasticidad en la demanda:

Por lo que:

3

3

As, la elasticidad de la demanda es de -3, lo que

significa que al incrementarse el precio en una unidad

monetaria, la demanda de los artculos disminuir 3

unidades.

Problemtica

Cierre de Unidad

En esta unidad estudiaste el concepto de

la derivada, las frmulas y los mtodos de

derivacin, as como el concepto de la

diferencial, el cual te permitir tener los

conocimientos necesarios para

comprender el anlisis marginal y sus

implicaciones en los procesos econmicos

y administrativos de una empresa.

Recursos de apoyo para el aprendizaje

Se ha seleccionado una serie de recursos en lnea con el fin de ofrecerte

un panorama general de la unidad y alternativas en caso de que se te

dificulte la comprensin de algn concepto o proceso.

Si deseas saber ms de estos temas se te sugiere revisar las siguientes

ligas:

Calculo diferencial e integral. Recuperado de

http://www.youtube.com/watch?v=JeMxAoJyoPQ

Derivadas mximos y mnimos, crecimiento y decrecimiento.

Recuperado de http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-

maximos-y-minimos.htm

Introduccin al Clculo Diferencial de Una Variable. Recuperado de

http://matematicasbachiller.com/libros/introduccion-al-calculo-

diferencial-de-una-variable

Fuentes de consulta

Chiang (2006). Mtodos fundamentales en economa matemtica. Mxico: McGraw-Hill.

Cissell, R., et al. (1999). Matemticas Financieras. Mxico: CECSA.

Garca, E. (1998). Matemticas Financieras por medio de Algoritmos, Calculadora Financiera y PC. Mxico: McGraw-Hill.

Harshbarger, R. J. et al. (2005). Matemticas Aplicadas a la Administracin, Economa y Ciencias Sociales. Mxico: McGraw-Hill.

Hernndez, A. (1998). Matemticas Financieras Teora y Prctica. Mxico: Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales.

Leithold, L. (2006). El clculo. Oxford: Cspide.

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Fuentes de consulta

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3. Calculo diferencial