Calculo Diferencial - Capitulo 3 - Jesus del Valle

Captulo 3

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Derivacin de funciones de variable realContenido breve Mdulo 9 Introduccin histrica de la derivada. Definicin de derivada y notacin Mdulo 10 Relacin derivada-continuidad y derivadas laterales Mdulo 11 Reglas de derivacin Mdulo 12 Derivadas de orden superior y derivacin implcita Mdulo 13 Funciones trascendentes y sus derivadas Mdulo 14 Otras funciones trascendentes y sus derivadas Mdulo 15 Lmites al infinito y asntotas de una curva Mdulo 16 Lmites infinitos y asntotas verticales Mdulo 17 Asntotas oblicuas

Se puede demostrar que la tangente a una parbola en un punto hace ngulos iguales con la recta que pasa por el punto de tangencia y el foco, y con la paralela al eje focal trazada por el punto. Esto significa que si se supone un espejo parablico perfectamente liso, todo rayo paralelo al eje de simetra de la parbola se refleja pasando por el foco. Esta propiedad, conocida como propiedad ptica de la parbola, es utilizada en la construccin de reflectores y antenas parablicas.

PresentacinEn este captulo presentamos el concepto fundamental del clculo diferencial: la derivada. Si bien el concepto de funcin es bsico, y no se puede hacer nada sin lmite y continuidad, todo lo presentado en los captulos 1 y 2 ha sido la antesala para penetrar en las ideas fundamentales del clculo infinitesimal. Hay multitud de problemas de matemticas, qumica, fsica e ingeniera que requielim ren para su solucin el clculo del lmite x 0 y x . Por esta razn, la matemtica

pura ha estudiado los mtodos para calcular estos lmites, a los cuales se les llama derivadas, para los distintos tipos de funciones. Muchas definiciones, e incluso algunos teoremas, pueden darse en trminos de problemas fsicos. De hecho, las necesidades de los fsicos constituyeron la inspiracin original para las ideas fundamentales del clculo. Pero las ideas que expondremos sern en forma matemtica y se discutir su significado en trminos de problemas matemticos.

Mdulo 18 Formas indeterminadas y la regla de LHopital Mdulo 19 Cuadro general de derivadas y solucin de ejemplos Ejercicios Captulo 3, mdulos 9 al 19

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U de @ - Educacin no presencial

9Introduccin histrica de la derivada. Definicin de derivada y notacinIntroduccinEn este mdulo se presenta una breve resea histrica de uno de los conceptos ms importantes de la matemtica, como es la derivada. Se inicia con el trabajo hecho en la antigua Grecia, se contina con el trabajo de Fermat y se culmina con las ideas de Newton y Leibniz, quienes llegaron a concebir en el siglo XVII, con ideas inicialmente poco claras, el concepto de derivada. Se presenta, adems, la definicin de derivada como el planteamiento de un lmite muy especial y las diferentes notaciones que usan para la misma los textos usuales de clculo, y que en el resto del texto seguiremos usando.Pierre de Fermat Fermat naci en Beaumont-de-Lomagne (Francia) en 1601 y muri en Castres (Francia) en 1665.

Objetivos del mdulo1. Conocer los problemas tpicos que dieron origen al clculo infinitesimal. En particular, para la derivada, los planteamientos desarrollados en la Grecia antigua (siglo III a.C.) y los mtodos sistemticos de Newton y Leibniz veinte siglos despus. 2. Presentar la derivada como un lmite del cociente de los incrementos de las variables y las diferentes notaciones usadas para la misma.

Preguntas bsicas 1. Muestre que si f (a ) existe, entonces f '( a ) = limh0

f ( a + h) f ( a h) . 2h Esta forma de la derivada se conoce como derivada numrica de f en el punto a y es la que utilizan las calculadoras grficas.

Contenidos del mdulo9.1. Introduccin histrica de la derivada 9.2. Definicin de la derivada de una funcin y notaciones usadas

Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

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Captulo 3: Derivacin de funciones de variable real

9.1 Introduccin histrica de la derivadaLos problemas tpicos que dieron origen al clculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la poca clsica de Grecia (siglo III a.C.), pero no se encontraron mtodos sistemticos de resolucin hasta 20 siglos despus (en el siglo XVII, por obra de Newton y Leibniz). En lo que atae a las derivadas, hay dos conceptos de tipo geomtrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego esttico en contraste con el concepto cinemtico de Arqumedes) y el problema de los extremos (mximos y mnimos), que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como clculo diferencial. El problema de la tangente a una curva fue analizado y resuelto primeramente por Apolonio (200 a.C.). En el libro II de su obra, este matemtico hizo el estudio de los dimetros conjugados y de las tangentes a una cnica. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de una hiprbola de centro C, Apolonio demuestra que la tangente en P corta las asntotas en los puntos L y L que equidistan de P (figura 9.1a).

Vea el mdulo 9 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

Figura 9.1

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Mdulo 9: Introduccin histrica de la derivada. Definicin de derivada y notacin En el caso de la elipse, si Q es un punto de la curva (figura 9.1b), Apolonio traza la perpendicular QN desde el punto Q al eje AA ', y halla el conjugado armnico T de N con respecto a A y A '. Es decir, el punto T de la recta AA ' es tal queAT AN = , A ' T NA '

o equivalentemente, el punto T que divide externamente al segmento AA ' en la misma razn en que N divide internamente a AA ' . Entonces, la recta que pasa por T y Q ser tangente a la elipse. Igualmente, en el libro Cnicas (V.8), Apolonio demuestra un teorema relativo a la normal a una parbola, que podra formar parte actualmente de un curso completo de clculo diferencial. En cuanto al problema de los extremos relativos de una funcin, fue Pierre de Fermat (1601-1665) quien, en 1629, hizo dos importantes descubrimientos que estn relacionados con sus trabajos sobre lugares geomtricos. En el ms importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman (Mtodos para hallar mximos y mnimos), Fermat expone un mtodo muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una funcin polinmica de la forma y = f (x) toma un valor mximo o mnimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto con el valor de f (x + E) en un punto prximo; en general, estos dos valores son distintos, pero en una cumbre o en el fondo de un valle de una curva lisa la diferencia es casi imperceptible. Por tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores mximos o mnimos de una funcin, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son casi iguales. Cuanto ms pequea sea la diferencia E entre los dos puntos, ms cerca est la igualdad de ser verdadera. As, despus de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los mximos y mnimos de la funcin polinmica. Aqu se puede ver ya, en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciacin, ya que el mtodo de Fermat es equivalente a calcularf ( x + E ) f ( x) E

Pierre de Fermat Pierre de Fermat estudi derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Interesado por las matemticas, en 1629 abord la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemtico griego Apolonio relativas a los lugares geomtricos; a tal efecto desarroll, contempornea e independientemente de Ren Descartes, un mtodo algebraico para tratar cuestiones de geometra por medio de un sistema de coordenadas. Dise as mismo un algoritmo de diferenciacin mediante el cual pudo determinar los valores mximos y mnimos de una curva polinmica, amn de trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del clculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio ms denso su velocidad disminuye, demostr que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, que lleva su nombre, se deducen las leyes de la reflexin y la refraccin. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarroll con Blaise Pascal los principios de la teora de la probabilidad. Otro campo en el que realiz destacadas aportaciones fue el de la teora de nmeros, en la que empez a interesarse tras consultar una edicin de la Aritmtica de Diofanto. Desarroll tambin un ingenio-so mtodo de demostracin que denomin del descenso infinito. Extremadamente prolfico, sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar (slo public una obra cientfica en vida) redujeron en gran medida el impacto de su obra.

lim

E 0

e igualar este lmite a cero. Esta fue la razn que asisti a Laplace a aclamar a Fermat como el verdadero descubridor del clculo diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Newton (sir Isaac Newton, 1642-1727, nacido en Woolstharpe, Inglaterra) y a Leibniz (Gottgried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, nacido en Leipzig, Alemania) a quienes se les puede atribuir justificadamente la invencin de las derivadas y de las integrales. Newton tard mucho en dar a conocer sus resultados. La notacin que usaba era ms sugestiva: lo que nosotros llamamos f (x) o y, l lo llamaba cantidades fluentes, y la derivada, D f (x), era llamaba fluxin. Adems, escriba y en lugar de D f (x). El mismo Newton escriba cosas como las siguientes: Los momentos las actuales diferenciales dejan de ser momentos cuando alcanzan un valor finito, y deben por tanto considerarse como magnitudes finitas nacientes. Frases tan confusas, que Newton deba entenderlas muy bien, pero que para otro que no fuera el inventor del mtodo suenan bastante incomprensibles.


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Captulo 3: Derivacin de funciones de variable real En 1669, Isaac Barrow (1630-1677) recibi de su alumno Isaac Newton un folleto titulado De analysi per aequationes numero terminorum infinitas. Contena, nada menos, que el esbozo casi completo del clculo diferencial e integral. Aquel mismo ao Barrow decidi que su alumno saba mucho ms que l, y que tena por tanto mucho ms derecho a la ctedra de matemticas, con ms merecimientos que el propio Barrow, su titular. Con una generosidad y un desinters difciles de igualar, Barrow cedi su ctedra a Newton. A los 40 aos, siendo profesor de matemticas de Cambridge, Newton escribi los Principia mathematica, tal vez el tratado cientfico de mayor influencia jams publicado. En l aplic los conceptos del clculo para explorar el universo, incluyendo los movimientos de la Tierra, la Luna y los planetas alrededor del Sol. Se dice que un estudiante observ: Ah va el hombre que escribi un libro que ni l ni los dems comprenden. Leibniz comparte con Isaac Newton el crdito del descubrimiento del clculo. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez aos antes. Sin embargo, la historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir las principales ideas (1665-1666), pero que Leibniz las descubri independientemente durante los aos de 1673 a 1676. Leibniz fue quiz el mayor inventor de smbolos matemticos. A l se deben losdy y dx para la derivada y la integral. Fue el primero en utilizar el trmino funcin y el uso del smbolo = para la igualdad. Por esta razn, debido a la superioridad del simbolismo, el clculo se desarroll con mucha mayor rapidez en el continente europeo que en Inglaterra, de donde era oriundo Newton.

Escuche el audio Fermat: su ltimo teorema y una historia increble de fin de siglo en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

nombres del clculo diferencial y el clculo integral, as como los smbolos

9.2 Definicin de la derivada de una funcin y notaciones usadasDefinicin Sea f una funcin definida en todos los puntos de un intervalo abierto I que contiene los puntos x1 y x1 + h. a. Se dice que f es derivable o f es diferenciable o f tiene derivada en x1 si

limh0

f ( x1 + h ) f ( x1 ) h

existe.

A dicho lmite, cuando existe, se le denota por f ( x1 ) . En consecuencia, se puede escribir en este caso

f ( x1 ) = limh 0

f ( x1 + h ) f ( x1 ) h

.

(1)

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Mdulo 9: Introduccin histrica de la derivada. Definicin de derivada y notacin Si f es derivable en todos los puntos x I , entonces la funcin

f ( x) = limh 0

f ( x + h) f ( x) h

(2)

se llamar funcin derivada de f con respecto a x. Otras notaciones para la funcin derivada de f con respecto a x son:d dy f ( x), (notacin de Leinbniz), y, dx dx las cuales se usarn en adelante de manera indistinta. Dx f ,

Observacin Al hacer x = x1 + h, entonces x x1 cuando h 0. De x = x1 + h se tiene h = x x1, y al hacer las sustituciones correspondientes en (1) se obtiene la expresin equivalente para la derivada en x1:f ( x1 ) = lim f ( x ) f ( x1 ) x x1

x x1

.

En los ejemplos resueltos 19.1 y 19.2 al final del captulo 3 se ilustra la manera de calcular la derivada de algunas funciones usando la definicin.


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10Relacin derivada-continuidad y derivadas lateralesIntroduccinComo se afirm antes, la propiedad de continuidad es una propiedad local que indica geomtricamente que la curva no se rompe en ningn punto de su dominio. Igualmente, la derivabilidad de una funcin es tambin una propiedad local, e indica que a la grfica de la funcin se le puede trazar una recta tangente en cada punto de su dominio. Parece por tanto natural que esta segunda condicin sea ms fuerte que la primera. Este resultado es el que efectivamente se da y es el que se enuncia y demuestra en la seccin 10.1.Waclaw Sierpinski cre un fractal utilizando un tringulo equiltero como semilla.

Objetivos del mdulo1. Destacar la relacin existente entre derivada y continuidad de una funcin, mediante un teorema cuyo contrarrecproco establece un criterio de discontinuidad. 2. Mostrar con ejemplos grficos el significado de las expresiones funcin derivable y no derivable y cmo influyen en el grado de suavidad de una curva. 3. Definir las derivadas laterales de una funcin en un punto y su relacin con la derivada unilateral.

Preguntas bsicas1. Cree usted que existen funciones que sean continuas en todos los puntos de su dominio (sin huecos), pero que no tienen recta tangente en ninguna parte? Trate de hacer un grfico aproximado de alguna de ellas.

Contenidos del mdulo10.1 Relacin entre la derivada y la continuidad de una funcin de variable real 10.2 Derivadas lateralesFractales Para ver los enlaces relacionados con este tema, visite la seccin Sitios de Inters del curso Elementos Bsicos de Clculo Diferencial en la plataforma educativa http://docencia.udea.edu. co/lms/moodle/


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10.1 Relacin entre la derivada y la continuidad de una funcin de variable realEl siguiente teorema establece una relacin entre las funciones continuas y las funciones derivables.Vea el mdulo 10 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

Teorema 1: Derivable Continua Si f es una funcin derivable en el punto x1, entonces f es continua en x1. Demostracin Para demostrar que f es continua en x1, basta demostrar que o

Vea la animacin Construccin del tringulo Sierpinski en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

lim equivalentemente, x x1 f ( x ) f ( x1 ) = 0.

En efecto, como f ( x ) f ( x1 ) =

f ( x ) f ( x1 ) x x1

( x x1 ) ,

x x1, se tiene que

x x1

lim f ( x ) f ( x1 ) = lim x x1

f ( x ) f ( x1 ) x x1

( x x1 ) ,

f ( x ) f ( x1 ) = lim lim x x ( x x1 ) , x x1 1 x x1 = f ( x1 ) . 0 = 0

(

)

x x1

lim

Observaciones importantes a. El recproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, existen funciones que son continuas en un punto x1 y no son derivables all. Considrese por ejemplo la funcin f ( x ) = x .

Puede demostrarse fcilmente que f es continua en x = 0. Sin embargo, f (0) no existe (es decir, f no es derivable en x = 0). En efecto, f (0) = lim h0f (0 + h) f (0) h

= limh 0

f ( h ) f ( 0) h h h .

,

= limh 0

Para determinar la existencia o no del ltimo lmite se utilizan los lmites laterales (mdulo 5). Esto es,

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Mdulo 10: Relacin derivada-continuidad y derivadas lateralesFractales en su aula

h = lim (1) = 1 + h h 0 h h 0 h h 0 lim no existe. h 0 h h h lim = lim = lim (1) = 1 h 0 h h 0 h h 0 lim + h = lim +As que f ( 0 ) = lim h0

h

h no es derivable en x = 0.b.

no existe, y de esta manera la funcin f ( x) = x

En la grfica de la funcin f ( x ) = x (figura 10.1) puede notarse que en el punto x = 0 la funcin es continua, pero all se presenta una esquina aguda o un pico, indicando con esto un argumento geomtrico sencillo para determinar los puntos del dominio en los cuales una funcin no es derivable.

Los fractales se encuentran fcilmente en la naturaleza. Se observan en el brcoli, la coliflor, los helechos, las lneas costeras del Pacfico y ms. La geometra fractal fue descubierta alrededor del ao 1970 por el matemtico polaco Benoit Mandelbrot. l estaba fascinado con los complejos patrones que vea en la naturaleza, pero no los poda describir por medio de la geometra euclidiana: las nubes no eran esfricas, las montaas no eran conos, las lneas costeras no eran crculos, la corteza de los rboles no era lisa, ni tampoco viajaban los rayos en lneas rectas. Entonces desarroll el concepto y lo denomin fractal, a partir del significado en latn de esta palabra, que encontr en un libro de texto de su hijo. Fractal significa fracturado, fragmentado o quebrado.

Los patrones fractales tienen dos caractersticas bsicas: Autosimilitud (que significa que un mismo patrn se encuentra una y otra vez). Dimensiones fractales.

Figura 10.1

Fue una gran sorpresa para los matemticos cuando descubrieron funciones que eran continuas en todas partes, pero no eran derivables en ninguna parte. Los primeros pasos en la construccin de una tal funcin se muestran en la figura 10.2.

Esta dimensin fractal describe la relacin entre los segmentos y la totalidad. Mientras ms cercano est la forma de un fractal a una lnea (dimensin 1), a un plano (dimensin 2) o a un objeto tridimensional, ms cercano estar la dimensin fractal al nmero entero que describe su forma. Hay dos clases de fractales: matemticos y naturales (al azar). Los fractales encontrados en la naturaleza tienen una caracterstica adicional: son formados por procesos aleatorios. Como ejemplo se pueden nombrar los rayos, los deltas de los ros, los sistemas de races y las lneas costeras.Fuente: Lori Lambertson, Exploratorium Teacher Institute, San Francisco, EU.


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Figura 10.2

Continuando el proceso infinitamente, se obtiene una funcin que satisface las condiciones antes establecidas. c. Muchas veces es til considerar el contrarrecproco del teorema 1, o sea: si f no es continua en x1, entonces f no es derivable en dicho punto. El siguiente ejemplo ilustra la manera de usar el teorema 1 en su forma equivalente del contrarrecproco. Sea f la funcin definida por

x si f ( x) = 1 x si 2

x 1 x 1.

Regla de derivacin 22 (RD22)Dx (csc1 u ( x)) = 1 u ( x) (u ( x))2 1 u ( x),

para u( x) > 1.

Demostracin Demostraremos solamente la regla de derivacin 17 y la regla de derivacin 21. Las reglas restantes se demuestran en forma similar y se dejan como ejercicio para el lector. Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

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Captulo 3: Derivacin de funciones de variable real Como y = sen 1 x x = sen y, entonces, derivando implcitamente la ltima igualdad, se tiene que:Dx ( x ) = Dx (sen y ) = Dy (sen y ) Dx ( y ).

Esto es, 1 = cos y

dy 1 dy = . , de donde dx cos y dx

(1)

Como cos y es positivo en el intervalo , , entonces 2 2cos y = 1 sen 2 y = 1 x 2 y sustituyendo en (1) se obtiene finalmente

dy d (sen 1 x) 1 1 = = = , siempre que x < 1. dx dx cos y 1 x2

(2)

Ahora, si u(x) es una funcin derivable y tal que u ( x) < 1, y si ademsy = sen 1 u ( x), entonces, de acuerdo a la regla de la cadena (regla de derivacin 8, mdulo 11), se tiene que

dy d du = (sen 1 u ( x )) . dx du dx

Entonces, aplicando (2), se obtiene Dx (sen 1 u ( x)) =

1 1 (u ( x)) 2

u ( x).

Para demostrar la regla de derivacin 21 se tiene que, de acuerdo a la definicin alternativa de secante inversa, 1 sec 1 u ( x) = cos 1 , siempre que u ( x) 1. u ( x)

Ahora, de acuerdo a la segunda frmula, cos 1 es, si u ( x) > 1.

1 1 < 1, esto es derivable si u ( x) u ( x)

Por tanto, sec 1 u ( x ) es derivable si u ( x) > 1. De esta forma, u ( x) , 2 2 1 u ( x) 1 u ( x) 1

Dx (sec1 u ( x)) = Dx (cos 1

1 )= u ( x)

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Mdulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadas= u ( x) 2 u ( x) 2 u ( x) 2 1 u ( x).

Como

u ( x)2 = u ( x) , entonces u ( x ) 2 = u ( x ) 2 y se tiene finalmente que1 u ( x) (u ( x)) 2 1

Dx (sec 1 u ( x)) =

u ( x), siempre que u ( x) > 1.

En el ejemplo 19.9d de la seccin 19.2 se ilustra la manera de usar las reglas de derivacin con funciones trigonomtricas inversas.


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14Otras funciones trascendentes y sus derivadasIntroduccinEn el texto de lgebra y Trigonometra de esta misma serie se presentaron con sus propiedades ms importantes dos funciones que aparecen en muchas aplicaciones de la matemtica, como son la funcin exponencial y la funcin logartmica. stas aparecen como funciones inversas una de la otra, y el conocimiento de una de ellas permite deducir el mismo comportamiento de la otra. En este mdulo asumimos que el lector conoce estas dos funciones con sus propiedades bsicas. Nos compete a nosotros presentar las reglas de derivacin de las mismas y sus respectivas generalizaciones.El Gateway Arch es un monumento ubicado en el Parque Nacional Jefferson en la ciudad de San Luis, Estado de Missouri, Estados Unidos. Tiene la forma de un arco de la catenaria.

Objetivos del mdulo1. Repasar las funciones trascendentes: exponencial y logartmica y presentar sus reglas correspondientes de derivacin. 2. Combinar adecuadamente las funciones ex y ex para generar las funciones hiperblicas, sus derivadas y algunas aplicaciones a la ingeniera.

Preguntas bsicasTeniendo en cuenta que las funciones trigonomtricas estn intimamente relacionadas con el crculo trigonomtrico, por esta razn en algunas ocasiones se les llama funciones circulares. En efecto, las ecuaciones paramtricas x = cos t, y = sen t describen el crculo unitario x2 + y2 = 1. 1. Se puede afirmar entonces que las ecuaciones paramtricas x = cosh t, y = senh t describen alguna seccin cnica conocida? 2. Por qu el nombre de hiperblicas?

Contenidos del mdulo14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 Derivada de las funciones exponencial y logartmica El nmero e como un lmite Las funciones hiperblicas y sus derivadas Las funciones hiperblicas inversas y sus derivadas Aplicaciones de las funciones hiperblicas: la catenaria y el gudermanniano

Escuche el audio Los Bernoulli y la catenaria en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.


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14.1 Derivada de las funciones exponencial y logartmicaA pesar de que la funcin f (x) = ex ha sido estudiada en el curso de lgebra y Trigonometra, nada se ha dicho acerca de su base e, excepto que es un nmero irracional cuya representacin decimal viene dada por e 2.7182818...Vea el mdulo 14 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

Existen muchas definiciones y teoremas acerca del nmero e, dependiendo en cada caso de la necesidad terica del autor. En nuestro caso se dar inicialmente la definicin del nmero e como un nmero real que satisface cierta condicin. Posteriormente se presentar como resultado de un lmite. Definiciones a. e es el nmero real que satisface la siguiente condicin:

lim

eh 1 = 1. h 0 hse define a x (funcin exponencial de base a) como:

b.

Si a > 0, a 1 y

a x = exln a .Los siguientes teoremas, que se enuncian y se demuestran a continuacin, recogen las reglas de derivacin para las funciones exponencial y logartmica. Teorema 1: Derivada de funciones exponenciales a. b.Dx (e x ) = e x .x

Regla de derivacin 23 (RD23)Dx (eu ( x ) ) = eu ( x ) u ( x).

c. d.

Dx (a x ) = a x ln a.

Regla de derivacin 24 (RD24)Dx (a u ( x ) ) = a u ( x ) u ( x ) ln a.

Demostracin a. De acuerdo a la definicin de derivada para una funcin, se tiene que:

Dx (e x ) = lim

ex+h ex h 0 h

= lim

e x eh e x , h 0 h

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Mdulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadas

= lim

e x (eh 1) (eh 1) = e x lim , h 0 h 0 h h

= e x 1 (definicin anterior, parte a).= ex .b. c. Use la parte a y la regla de la cadena (RD8).Dx ( a x ) = Dx (e x ln a ) (definicin anterior, parte b).

= e x ln a Dx ( x ln a ) (regla de derivacin 23).

= exln a ln a.

= a x ln a (definicin anterior, parte b).d. Use la parte c y la regla de la cadena (RD8).

Teorema 2: Derivada de funciones logartmicasDx (log a x) = 1 . x ln a

a.

b.

Regla de derivacin 25 (RD25)Dx (log a u ( x )) =1 Dx (ln x) = . x

u ( x) , u ( x ) ln a siendo u (x) una funcin derivable.

c. d.

Regla derivacin de 26 (RD26)Dx (ln u( x)) = u ( x) . u ( x)

Demostracin a. Sea y = log a x. De acuerdo a la definicin de la funcin logartmica,y = log a x x = a y .

Derivando con respecto a x ambos miembros de la ltima igualdad, se tiene que:Dx ( x) = Dx (a y ), 1 = a y Dx ( y ) ln a (regla de derivacin 24),

1 = x Dx (log a x) ln a.


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Captulo 3: Derivacin de funciones de variable real De donde,Dx (log a x) = 1 . x ln a

b.

Use la parte a y la regla de la cadena (RD8) En particular, cuando a = e, entonces log a x = ln x, y log a u ( x) = ln u ( x). Al sustituir en a y b se deducen inmediatamente las partes c y d.

En los ejemplos 19.9, 19.10, 19.13 y 19.15 de la seccin 19.2 al final del captulo 3, y en la seccin 14.3 de este mismo captulo, se ilustra la manera de usar las reglas de derivacin mencionadas anteriormente. Observaciones a. Teniendo en cuenta que x n = enln x , n , se tiene entonces que:Dx ( x n ) = Dx (e nln x ) = enln x Dx (n ln x),

1 = enln x n , x

= xn n x1 = n xn 1.Ntese entonces que la derivada de xn, con n , obedece a la misma frmula desarrollada en la regla de derivacin 9 (caso 2) para exponentes racionales. b. Para hallar la derivada de expresiones algebraicas de la forma f ( x ) g ( x ) se puede aplicar la derivacin logartmica, como se ilustra a continuacin. Sea y = f ( x) g ( x ) . (1)

Tomando logaritmo natural en ambos miembros de (1), se tiene que:ln y = g ( x) ln f ( x).

(2)

Derivando ambos miembros de (2) con respecto a x,se puede escribir:

Dx (ln y ) = Dx [ g ( x) ln f ( x)] ,Dx ( y ) = g ( x) ln f ( x) + g ( x) Dx (ln f ( x)), y = g ( x) ln f ( x) + g ( x) f ( x) . f ( x)

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Mdulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadas De donde,Dx ( y ) = y ( g ( x) ln f ( x) + g ( x) f ( x) ). f ( x)

Esto es,f ( x) g ( x) Dx ( f ( x ) g ( x ) ) = f ( x) g ( x) ln f ( x) + g ( x) f ( x) .

Otra forma en la que puede realizarse la derivada es escribiendo:f ( x) g ( x ) = eln f ( x ) g ( x)

= e g ( x )ln f ( x ) ,

y aplicar luego la regla de derivacin 23. En el ejemplo 19.9c de la seccin 19.2 al final del captulo 3 se ilustra la manera de proceder en estos casos.

14.2 El nmero e como un lmiteTeorema 3: El nmero e como un lmitee = lim (1 + h)1/ h .h 0

Demostracin Se hace la prueba asumiendo que la funcin ln x es continua en su dominio y adems que su derivada en x = 1 es igual a 1. Sea f (x) = ln x, entonces f '( x) = 1 y f '(1) = 1. x De otro lado, usando la definicin de derivada para la misma funcin se tiene que:f '(1) = limh0

f (1 + h) f (1) ln (1 + h) ln1 = lim , h0 h h 1 . ln (1 + h) = lim ln (1 + h)1/ h . h0 h

= limh0

Por tanto,

1 = lim ln (1 + h)1/ h . h 0

(1)

Ahora, como la funcin logartmica es continua en su dominio, se tiene que:

1 = ln lim (1 + h)1/ h (seccin 7.1.2). h 0


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Captulo 3: Derivacin de funciones de variable real y de aqu,

ln e = ln lim (1 + h)1/ h , h 0 o equivalentemente,e = lim (1 + h)1/ h .h 0

Observacin Es comn dar la definicin del nmero e mediante el lmite anterior. Es interesante hallar un valor aproximado para el nmero e. Para ello se calcula el valor de (1 + h)1/ h para valores pequeos de h (tanto positivos como negativos) (tabla 14.1).Tabla 14.1. Valores aproximados del nmero e

h 0.1 0.001 0.0001 0.00001 0.000001

(1 + h)1/ h 2.704814 2.716924

2.718146 2.718268 2.718280

h 0.1 0.001 0.0001 0.00001 0.000001

(1 + h)1/ h 2.731999 2.719642

2.718418 2.718295 2.718283

La ltima lnea de la tabla anterior nos da valores para el nmero e con una aproximacin de cinco cifras decimales. Es decir: e 2.71828.

14.3 Las funciones hiperblicas y sus derivadasEn algunos problemas de fsica e ingeniera se presentan ciertas combinaciones de las funciones ex y ex que por su inters y caractersticas especiales merecen ser consideradas con algn detenimiento. Tales combinaciones de ex y ex se llaman funciones hiperblicas y se definen de la siguiente manera: Definiciones a. La funcin coseno hiperblico, denotada por cosh x, se define comocosh x = e x + e x , x cualquier real. 2

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Mdulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadas b. La funcin seno hiperblico, denotada por senh x, se define comosenh x = e x e x , x real. 2

Observacin Las funciones senh x y cosh x son las funciones hiperblicas de ms frecuente uso. A partir de stas se definen las funciones tangente hiperblica, cotangente hiperblica, secante hiperblica y cosecante hiperblica de la siguiente manera:tanh x = senh x , x real cosh x

a.

b. c.

coth x =sech x =

cosh x , x 0. senh x1 , x real. cosh x 1 , x 0. senh x

d.

csch x =

De acuerdo con las definiciones anteriores, se tiene lo siguiente:

a.

tanh x =

e x e x , x real. e x + e x

b.

coth x =

e x + e x , x 0. e x e x2 , x real. e + e xx

c.

sech x =

d.

csch x =

2 , x 0. e x e x

En el siguiente teorema se presentan algunas identidades importantes relativas a las funciones hiperblicas y cuyas demostraciones son sencillas de realizar. Teorema 4 a. b. c. d.

cosh 2 x senh 2 x = 1.cosh x + senh x = ex . cosh x senh x = e x .senh (a b) = senh a cosh b cosh a senh b.


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Captulo 3: Derivacin de funciones de variable real e. f. g. h. i. j. k.cosh (a b) = cosh a cosh b senh a senh b.senh 2 x = 2 senh x cosh x.

cosh 2 x = cosh 2 x + senh 2 x.senh 2 x = cosh 2 x = cosh 2 x 1 . 2 cosh 2 x + 1 . 2

1 tanh 2 x = sech 2 x.

1 coth 2 x = csch 2 x.

Ejemplo 14.1 i. ii. Demuestre que cosh x > 0, para cualquier x . Demuestre que senh x 0, siempre que x 0, y senh x < 0, siempre que x < 0.

Solucin i. Puesto que e x > 0 y ex > 0 para cualquier x , entonces esto es, cosh x > 0, para todo x . En particular, cosh 0 = ii.e 0 + e 0 = 1. 1 Para x 0, se tiene que x x, y como la funcin exponencial ex es crecien-

e x + e x > 0, 2

te, entonces e x e x , de donde En particular, senh 0 =

e x e x 0 senh x 0. 2

e0 e 0 = 0. 2

Para x < 0, se tiene que x

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Calculo Diferencial - Capitulo 3 - Jesus del Valle