3. Estabilidad de sistemas discretos.€¦ · Cuando un componente continuo forma parte de un sistema de control discreto, resulta importante poder calcular su respuesta a señales

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-1

3. Estabilidad de sistemas discretos.

3.1. Discretización de sistemas continuos.

3.1.1. Conversión a ecuación de diferencias de la ecuación diferencial de un elemento continuo.

Cuando un componente continuo forma parte de un sistema de control discreto, resulta

importante poder calcular su respuesta a señales muestreadas y asimismo analizar su influencia

sobre la estabilidad global del sistema. Si se cuenta con la descripción analítica del elemento

continuo bajo la forma de una ecuación diferencial ordinaria lineal, resulta posible discretizarla,

es decir convertirla en una ecuación de diferencias.

Sea

1

1 1 0 1 01

n n m

n mn n m

d y d y dy d u dua a a y b b b u

dt dt dt dt dt

(3.1)

la ecuación diferencial del elemento continuo de la Fig. 3.1.

Elemento

Continuo

u(t) y(t)

Fig. 3.1.

Si la señal u(t) es muestreada con período T e interesa conocer los valores de y(t) en los

instantes de muestreo, la ecuación (3.1) puede ser discretizada, reemplazando las derivadas

primeras por diferencias retrógradas sobre el período de muestreo.

( ) ( 1)( )

t kT

y kT y k Tdy y kT

dt T T

(3.2)

Las derivadas de orden superior se forman como diferencias de diferencias:

2

2

2 2

2

( ) ( 1) ( 1) ( 2)( ) 1

( ) 2 ( 1) ( 2)

t kT

y kT y k T y k T y k Ty kTd y

dt T T T T

y kT y k T y k T

T

(3.3)

3

3

3 3 3

( ) 3 ( 1) 3 ( 2) ( 3)( )

t kT

y kT y k T y k T y k Ty kTd y

dt T T

(3.4)


y así sucesivamente. Observamos que las expresiones (3.2) a (3.4) son tanto más exactas cuanto

menor sea el período de muestreo T respecto de las constantes de tiempo dominantes del

elemento lineal.

Remplazando en (3.1) las derivadas por las correspondientes diferencias obtenemos

1 2

0 1

( ) ( 1) ( 2) ( )

( ) ( 1) ( )

n

m

y kT y k T y k T y k n T

u kT u k T u k m T

(3.5)

esta ecuación de diferencias representa una relación entre un número n de valores precedentes

de la señal de salida y los m valores anteriores de la señal de excitación. Obsérvese que m y n

se corresponden con el orden de las derivadas presentes en la ecuación diferencial original (3.1).

Por cierto, aplicando transformación z sobre (3.5), podemos obtener la función de transferencia

de pulsos correspondiente al elemento discretizado.

1 2 1

1 2 0 1

1

0 1

1 2

1 2

( ) 1 ( )

( ) .

( ) 1

n m

n m

m

m

n

n

Y z z z z U z z z

z zY z

U z z z z

(3.6)

3.1.2. Transformación z exacta.

Muy frecuentemente la operación de una planta continua se encuentra insertada en una lazo

discreto de control, recibiendo la señal del controlador digital a través de un actuador que es

operado por un convertidor A/D dotado de un dispositivo de retención. La variable controlada es

medida y convertida en señal digital a través de un conversor A/D que opera como muestreador,

de acuerdo al esquema general de las figuras (2.1) y (2.3) del capítulo precedente, cuyas

principales características resumimos en la Fig. 3.2.

1 Tse

s

u* y(t) y(kT) DEL CONTROLADOR DIGITAL

( )G s

A/D

CONV. D/A CON RETENCION

PLANTA CONTINUA

CONV. A/D y MUESTREADOR

( )U z ( )Y z

Fig. 3.2 Planta continua bajo control discreto.

Nuestra tarea consistirá en calcular la función de transferencia de pulsos de la planta continua

cuya función de transferencia es (3.7), complementada por el dispositivo de retención para un

cierto valor del período T de muestreo.


1 0

1 0

( )m

m

n

b s b s bG s

s a s a

(3.7)

Observemos que el problema propuesto ya ha sido resuelto para un caso particular en el punto

2.3.2. (expresiones (2.65) a (2.68)) del capítulo precedente. Formalmente entonces tendremos:

( ) 1 1 ( )

( ) ( )( )

Ts

o

Y z e z G sG z G s

U z s z s

Z Z (3.8)

G(s) puede ser descompuesta en fracciones parciales. Denominaremos R a los residuos

calculados sobre los polos s , supuestos simples, de G(s).

1

( )( )

n R GG s

s s

(3.9)

Por la propiedad de linealidad de la trasformación z, resulta posible transformar los sumandos

originados por (3.9) en forma individual y luego sumarlos, con lo que (3.8) queda:

1

1

( )1( )

n

o

t kT

R GzG z

z s s s

LZ (3.10)

Para s 0 resulta de acuerdo a la tabla del Apéndice A:

11( )

1

s T

s T

t kT

e zR G R

s s s s z z e

LZ . (3.11)

Para s = 0 aparece un polo doble en el origen, y es

1

22

( )

1t kT

R G T R z

s z

LZ . (3.12)

En cada sumando se puede simplificar (z–1) del denominador con el factor de la sumatoria

(3.10). Una z en el numerador se puede asimismo simplificar con el divisor de la sumatoria.

Empleando la definición

s T

z e

se obtiene para s 0

1

( ) 1( )

n

o

R G zG z

s z z

. (3.13)


Por cierto, si se dispone de Matlab

, se procederá como se hizo en el punto 2.3.2, empleando la

función c2d(sys,T,'zoh') para convertir el sistema continuo sys en discreto empleando un

dispositivo de retención de orden cero 'zoh'.

3.1.3. Transformación z aproximada.

La transformación z exacta emplea la relación Tsz e , por lo que en principio debiera ser

posible emplear la relación inversa s =

ln(z)/T, para transformar la función de transferencia

continua. Lamentablemente la relación inversa no conduce a una función de transferencia

racional en z. En consecuencia, se buscan relaciones simples que, aunque aproximadas,

conduzcan a cocientes polinómicos sencillos.

Partiendo de la función de transferencia continua 1

( )G ss

que representa a un integrador,

buscaremos funciones discretas que aproximen la integración.

Recordando el método numérico de integración por la regla del rectángulo tenemos dos

posibilidades: operar con la suma superior o con la suma inferior sobre el paso de integración T,

que por cierto coincide con nuestro período de muestreo.

1

Suma superior: 1 ( ) 1 ( )

( ) ;

( ) 1

y k y k T u k Y z T U zz

Y z T z

U z z

(3.14)

1 1

Suma inferior: 1 1 ( ) 1 ( )

( ) .

( ) 1

y k y k T u k Y z T U zz z

Y z T

U z z

(3.15)

Tenemos entonces inicialmente dos alternativas de sustitución para la variable s

1 1

, es decir: 1

T z zs

s z T z

(3.16)

o bien

1 1

, es decir: 1

T zs

s z T

. (3.17)

Una mejor aproximación al integrador continuo es la que proporciona la regla del trapecio para

la integración numérica

1 1

1 1 ( ) 1 1 ( ) 2 2

T Ty k y k u k u k Y z U z

z z

(3.18)


( ) 1

( ) 2 1

Y z T z

U z z

, (3.19)

que conduce a la substitución

1 1 2 1

, es decir 2 1 1

T z zs

s z T z

. (3.20)

Notamos por una parte que la regla del trapecio corresponde a la semisuma de los resultados que

brindan la suma inferior y la suma superior de la regla del rectángulo: de (3.16) y (3.17)

obtenemos (3.20)

1 1

2 1 1 2 1

T z T T z

z z z

.

Por otra parte, del desarrollo en serie del logaritmo de variable compleja

3 51 1 1 1 1

ln( ) 21 3 1 5 1

z z zz

z z z

(3.21)

truncado en el primer término, también se obtiene:

2 1

1

zs

T z

, (3.22)

que es denominada fórmula de Tustin.

Fig. 3.3 Realizaciones de integradores discretos.

3.1.4. Comparación gráfica de las transformaciones z exacta y sus aproximaciones.

La transformación z exacta (Fig. 3.4) transforma rectas paralelas al eje imaginario del plano s en

circunferencias centradas en el origen de z. El eje imaginario es transformado en la

circunferencia unitaria del plano z. Rectas paralelas al eje real de s se mapean en rectas que

pasan por el origen del plano z.

( )Y z ( )U z ( )U z ( )U z ( )Y z

( )Y z

Suma superior Suma inferior Regla del trapecio (Tustin)


Fig. 3.4 Transformación exacta.

La transformación según la suma inferior por la regla del rectángulo, brinda una mala

aproximación (véase Fig. 3.5).

Fig. 3.5 Mapeo por suma inferior (regla del rectángulo).

Aplicando la transformación por la suma superior, obtenemos la Fig. 3.6:

Fig. 3.6 Mapeo por suma superior (regla del rectángulo).

Para períodos de muestreo pequeños con respecto a las constantes de tiempo dominantes del

sistema, la aproximación de Tustin (regla de integración del trapecio) brinda un mapeo

relativamente bueno.


Fig. 3.7 Mapeo por la fórmula de Tustin (regla trapecial).

3.2. Análisis de estabilidad.

3.2.1. Definiciones y condiciones generales de estabilidad.

Al igual que en el caso continuo, un sistema discreto es estable si, sometido a una señal de

entrada de amplitud limitada, responde con una señal de salida también limitada en amplitud.

Recordemos lo tratado en el Capítulo 2, punto 2.2.2. Allí considerábamos un sistema lineal cuya

respuesta impulsiva es g(t), excitado por una secuencia de impulsos u(kT) de amplitud finita.

g(t) u(kT) y(t)

Como el sistema es lineal, la respuesta total y(t) puede ser calculada como la superposición de

las respuestas parciales a cada uno de los impulsos actuantes, es decir:

0

( ) ( ) ( )k

y t u kT g t kT

La precedente, es la Ec. (2.21) y representa una sumatoria de convolución, por lo que si la

respuesta impulsiva no tiende a cero para tiempos crecientes, entonces y(t) crecería fuera de todo

límite y el sistema resultaría inestable.

Un sistema de tiempo discreto que es excitado por una secuencia acotada |u(k)| <

c posee

estabilidad de entrada/salida (en inglés BIBO1 stability) si su respuesta impulsiva converge hacia

cero para k

lim ( ) 0k

g k

. (3.23)

1 BIBO = Bounded Input Bounded Output (entrada acotada salida acotada).


La función de transferencia de pulsos es la transformada z de la respuesta impulsiva

( ) ( )G z g kZ , (3.24)

y puede ser descompuesta en fracciones parciales, cuando se conocen sus polos. En caso de

polos simples se obtiene

1

( )n R z

G zz z

(3.25)

siendo z los polos y R los residuos correspondientes. Por otra parte y de acuerdo a la

expresión (B.15) del Apéndice B, g(k) admite el desarrollo en serie

1

1

( )n

kg k R z

. (3.26)

Vemos entonces que, para que g(k) converja hacia cero para k , es necesario que cada uno

de los sumandos de (3.26) tienda a cero, lo cual obviamente requiere que | z | <

1, ya que los R

son constantes. El mismo análisis es igualmente válido para polos múltiples.

Hemos demostrado entonces que un sistema de tiempo discreto es estable, cuando todos los

polos de la función de transferencia de pulsos se encuentran en el interior del círculo unitario en

el plano z.

El desarrollo de las herramientas de software para simulación de sistemas discretos, induce la

tendencia simplista de querer comprobar la estabilidad en forma ‘directa’ simulando la respuesta

del sistema a una entrada conocida. Si la simulación da estable, entonces el sistema debiera ser

estable. Pero ello no es necesariamente verdadero, tal como lo demuestra el siguiente ejemplo,

desarrollado a partir de la Fig. 3.8.

1 Tse

s

xe xa

2

2 3

( 1) ( 1) 1

s

s s

Fig. 3.8 Ejemplo de oscilaciones ocultas.

La excitación de entrada es un escalón xe(kT) =(kT) con transformada ( )

1e

zX z

z

.

La salida se calcula con las tablas del Apéndice A:


2

2 2 2

1 2 3( ) ( )

( 1) ( 1) 1

1 1 1 sin( )

1 ( 1) 1 1 2 cos( )

a e

T

T T T

z sX z X z

z s s

z z z e T

s s s z z e z ze T e

Z

Z

(3.27)

con lo que

( ) 1 sin( )kT kT

ax kT e e kT (3.28)

En (3.28) el término senoidal posee amplitud creciente, debido a la exponencial positiva. Ahora

bien, si el período de muestreo es T=, el seno desaparece y la respuesta que se obtiene es

( ) 1 k

ax k e (3.29)

aparentemente estable. La inestabilidad ha quedado ‘oculta’ enmascarada por un valor del

período de muestreo que no permite su observación.

Lo que acabamos de exponer se grafica en la Fig. 3.9, donde se observa claramente la

inestabilidad de la salida para un período de muestreo diferente de T=.

Fig. 3.9 Respuestas al escalón del sistema de la Fig 3.8

para diferentes tiempos de muestreo.

3.2.2. Condiciones numéricas de estabilidad.

En este apartado daremos algunos criterios, mediante los cuales puede probarse si las raíces de

un polinomio

2

0 1 2( ) 0, con 1n

n nP z a a z a z a z a (3.30)

se encuentran en el interior del círculo unitario del plano z. Particularmente nos interesa el caso

en que P(z)=0 es la ecuación característica de un sistema a lazo cerrado.


Por supuesto puede objetarse que, si se dispone de Matlab, Maple u de otro software aplicativo

matemático, el problema práctico de la determinación de las raíces de un polinomio se encuentra

resuelto y por lo tanto pudiera parecer ocioso hablar de condiciones numéricas de estabilidad.

Sin embargo estas condiciones y los métodos asociados a las mismas permiten resolver

problemas generalizados donde no se encuentran definidos la totalidad de los coeficientes del

polinomio, tales como la determinación de rangos de parámetros de controladores que aseguren

el funcionamiento estable del sistema discreto.

3.2.2.1. Transformación bilineal.

Empleando la transformación bilineal

1

1

wz

w

(3.31)

el interior del círculo unitario en z, se mapea sobre el semiplano izquierdo de w. En

consecuencia, el problema de determinar la existencia de raíces de P(z) en el interior del círculo

unitario se reduce a determinar si todas las raíces de P(w) se encuentran en el semiplano

izquierdo de w por aplicación del criterio de Routh2 sobre P(w).

Como la transformación bilineal resulta en la práctica un método trabajoso de aplicar, existe la

tendencia de emplear otros criterios que brindan condiciones aplicables directamente sobre P(z).

3.2.2.2. Condiciones necesarias.

Para evitar cálculo innecesarios, es siempre conveniente conocer condiciones simples, ya sean

necesarias o solamente suficientes para asegurar la estabilidad de un sistema discreto lineal.

Existen multitud de tales condiciones, de las cuales son realmente útiles aquéllas que puedan

verificarse con facilidad.

Sin demostración3, enunciaremos algunas condiciones necesarias aplicables al polinomio P(z):

1. 0 na a . (3.32)

2. 0 (1) 2 , 0 ( 1) ( 1) 2n n nP P (3.33)

donde n es el grado del polinomio P(z).

3. 0

2 , 0, 1, , 1n

i k

k

a a i n

(3.34)

4. Desarrollando el producto 1 2( ) ( ) ( ) ( ), 1,n nP z z z z z z z a se obtiene para 1iz

2 Véase al respecto: K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna, capítulo 6.

3 Recomendamos al lector curioso la obra de E.I. Jury, Theory and application of the z-transform method. New

York: J. Wiley 1964.


la condición necesaria

, 0, 1, , 1i

na i n

i

. (3.35)

Para polinomios con coeficientes reales, algunas de estas condiciones pueden especificarse aún

más:

0 1

0 1 2

0 1 2 3

2 1 , 2

3 1 , 1 3 , 3

4 1 , 4 , 2 6 , 4 .

n a a

n a a a

n a a a a

(3.36)

3.2.2.3. Condiciones suficientes.

El cumplimiento de alguna de las siguientes condiciones es suficiente para asegurar que las

raíces del polinomio P(z) se encuentran en el interior del círculo unitario:

1. 1

0

n

n k

k

a a

. (3.37)

2. Cuando todos los coeficientes del polinomio 0 1( ) n

nP z a a z a z son positivos,

entonces sus raíces pertenecen a la región anular m z M donde m y M son el menor y el

mayor de los valores correspondientes a:

1 2 0

1 1

, , n n

n n

a a a

a a a

(3.38)

Para el caso m =

0, M

= 1 se obtiene la condición suficiente de estabilidad

0 10 na a a . (3.39)

3.2.2.4. Test de Jury.

El test de estabilidad de Jury (conocido también como criterio de Jury-Blanchard4) da las

condiciones necesarias y suficientes para que las raíces de P(z) se hallen en el interior del círculo

unitario (condición de estabilidad estricta).

Ha de verificarse:

(1) 0, ( 1) ( 1) 0nP P , (3.40)

y además han de cumplirse las (n–1) restricciones

0 0 1 0 2 0 2 ; ; ; n n na a b b c c q q ; (3.41)

4 E. I. Jury – J. Blanchard: A Stability Test for Linear Discrete Systems in Table Form. Proc. IRE 49, N°12,

Diciembre 1961, págs. 1947-1948.


donde bi, ci, . . . qi, se obtienen de la tabulación de Jury:

0 1 2 1

0 1 2 1

1 2 1 0

0 1 2 1

1 2 3 0

0 1 2 2

2 3 4 0

0 1 2 3

3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

2n-5

2n-4

2n-3

Fila

n k n n

n k n n

n n n k

n k n

n n n k

n

n n n

z z z z z z

a a a a a a

a a a a a a

b b b b b

b b b b b

c c c c

c c c c

p p p p

p p p p

0 1 2 q q q

Tabla 3.1. Arreglo tabular de Jury

Los elementos de la tabla quedan definidos por

0 0 1 0 2

1 2

0 3 0 1

0 2

3 0 3 2

; ; ;

;

n k n k n k

k k k

n k n k n k

a a b b c cb c d

a a b b c c

p p p pq q

p p p p

(3.42)

Nótese que en la tabulación de Jury los elementos de las filas pares (2k+2) tienen los mismos

elementos que las filas impares precedentes (2k+1) escritos en orden inverso.

Para el cálculo de la tabla de Jury se cuenta con programas Matlab disponibles en internet5.

Forma matricial de la prueba de Jury. Una forma fácilmente sistematizable de calcular el test

de Jury es la siguiente. Dado el polinomio a investigar (3.30) que repetimos a continuación,

ordenado en potencias descendentes de z

1 2 2

1 2 2 1 0( ) 0, con 1n n n

n n n nP z a z a z a z a z a z a a

se forman dos matrices cuadradas V y W de dimensión (n–1)(n–1) según el siguiente esquema

5 Véase por ejemplo el programa de J. Epperlein en el enlace

https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/13904-jury

https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/13904-jury


1 2 3 2 2 3 2 1 0

1 4 3 3 4 1 0

5 4 4 5 0

1 1 0

0

0 0

0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

n n n n n

n n n n

n n n

n n

n

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a

a a a a

a a

V W

luego se calculan la matrices suma y diferencia: H1=V+W y H2=V–W.

Las condiciones necesarias para que todas las raíces de P(z) se encuentran en el interior del

círculo unitario son

P(1) >0 (i)

(–1)n P(–1) >0 (ii)

y la condición suficiente es que tanto H1 como H2 sean «positivas en sentido interior». Ello

significa que todos los subdeterminantes centrales de las matrices H deben ser positivos.

Si el grado de P(z) es par, por ejemplo n=4 entonces la dimensión de H1 y H2 es

(n–1)(n–1)=33 y las condiciones suficientes deberán ser:

1,11 1,12 1,13 1,11 1,12 1,13

1 1,21 1,22 1,23 1,22 1,21 1,22 1,23

1,31 1,32 1,32 1,31 1,32 1,32

2,11 2,12 2,13

2 2,21 2,22 2,23 2,

2,31 2,32 2,32

; det 0; det 0 ;

; det

h h h h h h

h h h h h h h

h h h h h h

h h h

h h h h

h h h

H

H

2,11 2,12 2,13

22 2,21 2,22 2,23

2,31 2,32 2,32

0; det 0

h h h

h h h

h h h

Si en cambio el grado de P(z) es impar, p.ej.: n=5 entonces la dimensión de H1 y H2 es

(n–1)(n–1)=44 y las condiciones suficientes deberán valer:

1,11 1,12 1,13 1,14 1,11 1,12 1,13 1,14

1,21 1,22 1,23 1,24 1,22 1,23 1,21 1,22 1,23 1,24

1

1,31 1,32 1,33 1,34 1,32 1,33 1,31 1,32 1,33 1,34

1,41 1,42 1,43 1,44 1,41

; det 0; det

h h h h h h h h

h h h h h h h h h h

h h h h h h h h h h

h h h h h

H

1,42 1,43 1,44

2,11 2,12 2,13 2,14 2,11 2,12 2,13 2,14

2,21 2,22 2,23 2,24 2,22 2,23 2,21 2,22 2,23 2,24

2

2,31 2,32 2,33 2,34 2,32 2,33 2,31 2,

2,41 2,42 2,43 2,44

0 ;

; det 0; det

h h h

h h h h h h h h

h h h h h h h h h h

h h h h h h h h

h h h h

H32 2,33 2,34

2,41 2,42 2,43 2,44

0 h h

h h h h

Como veremos en un ejemplo, la forma matricial del criterio de Jury, resulta fácil de aplicar.


3.2.3. Análisis gráfico de la estabilidad – Lugar de Raíces.

En las aplicaciones técnicas, resulta de mucho interés el cálculo de la estabilidad de sistemas de

control cuya función de transferencia z de lazo abierto es conocida, como asimismo sus

singularidades (polos y ceros).

1

1

( ) ( )( )( ) ,

( ) ( ) ( )

c cmo

p pn

z z z zN zG z K K m n

D z z z z z

(3.43)

El factor de amplificación K es un parámetro de fácil ajuste. La ecuación característica de lazo

cerrado vale

1 ( ) 0 ( ) ( ) 0 , o bien ( ) 1o oG z D z K N z G z . (3.44)

El lugar de raíces es el lugar geométrico de los ceros de (3.44) dependiente del parámetro K. Su

trazado responde a las reglas conocidas de cursos precedentes, por lo que no se repetirán aquí.

Reiteramos que, en el caso de sistemas de tiempo discreto el dominio de estabilidad está

restringido al interior del círculo unitario.

A modo de ejemplo, sea determinar el rango de valores de K para los que se garantiza la

estabilidad del sistema de control de la Fig. 3.10.

1 Tse

s

T=1

–

1.25

( 1)

sKe

s s

Fig. 3.10. Sistema de control muestreado.

1.25

2 2

(1 ) ( 0.03)( 1.755)( ) 0.2223

( 1) ( 1)( 0.368)

Ts s

o

e K e z zG z K

s s z z z

Z (3.45)

Emplearemos los siguientes comandos Matlab para obtener el trazado del lugar de raíces:

>> G=zpk([-0.03 –1.755],[0 0 1 0.368],[0.2223],1)

Zero/pole/gain:

0.2223 (z+0.03) (z+1.755)

-------------------------

z^2 (z-1) (z-0.368)

Sampling time: 1

La función invocada posee la sintaxis zpk([Ceros],[Polos],[Ganancia],T) siendo T el

período de muestreo (en nuestro caso T=1). Definido el sistema G, invocamos ahora

>> rlocus(G)


para obtener el gráfico.

Lugar de Raíces

Eje Real

Eje

Im

agin

ario

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

K=16.8K=0.687

Fig. 3.11. Lugar de raíces del sistema de la Fig. 3.10.

Observando el lugar de raíces de la Fig. 3.11 deducimos que el sistema propuesto es estable para

valores de K pertenecientes al rango 0 <

K

<

0.687 .

Verificamos ahora por el método matricial de Jury. Para ello calculamos la forma polinómica de

la función de transferencia (3.45)

2

2

4 3 2

0.2223( 0.03)( 1.755)( ) 0.2223

( 1)( 0.

0.3968 0.01176 ( )

1.36368) 8 0.368 ( )o

z zG z K K K

z z N z

z z z D zz z z

La ecuación característica de del sistema a lazo cerrado es P(z)= D(z)+K N(z) = 0 es decir:

z4 – 1.368 z

3 + (0.368+0.2233*K) z

2 + 0.3986*K z + 0.01176*K = 0

Aplicando las condiciones necesarias (i) y (ii) del test de Jury obtenemos

P(1)= 0.6337*K >0 K>0 (a)

P(-1)= 2.736 - 0.1635*K >0 K<16.73 (b)


Pasamos a calcular las condiciones suficientes. Para ello formamos las matrices V, W, H1 y H2.

V=[1 -1.368 (0.368+0.2233*K); 0 1 -1.368 ; 0 0 1]

W=[(0.368+0.2233*K) 0.3986*K 0.01176*K; 0.3986*K 0.01176*K 0; 0.01176*K 0 0]

H1=[(0.2223*K+1.368) (0.3986*K-1.368) (0.2356*K+0.368); 0.3986*K (0.01176*K+1) -1.368; 0.01176*K 0 1]

H2=[(0.632-0.2223*K) (-0.3986*K-1.368) (0.21154*K+0.368);

-0.3986*K (1-0.01176*K) -1.368;

-0.01176*K 0 1]

De los subdeterminantes centrales de H1 se deducen las condiciones:

0.01176*K+1 >0 K > –85.034 (c)

-3.2508e-005*K3 - 0.16548*K

2 + 0.80235*K + 1.368 >0

-1.3366 < K < 6.1789 (d)

mientras que las condiciones deducidas de los subdeterminantes centrales de H2 son:

1-0.01176*K >0 K > +85.034 (e)

-2.9255e-005*K3 - 0.16023*K

2 - 0.7937*K + 0.632 >0

-5.6566 < K < 0.69793 (f)

De las condiciones (a),(b),…,(f) podemos inferir que tanto las condiciones necesarias

como las suficientes son simultáneamente satisfechas si la ganancia vale 0 < K < 0.69793

Debe notarse aquí la coincidencia entre los resultados determinados gráficamente en el lugar de

raíces de la Fig. 3.11 y los calculados analíticamente mediante el test matricial de Jury.

3.3. Análisis en estado de régimen.

Al igual que para los sistemas continuos, resulta posible aplicar para sistemas de control

muestreado los conceptos de error de posición, error de velocidad y error de aceleración.

( )oG z w e y

–

Fig. 3.12. Sistema de lazo cerrado.


Para variables de comando w en escalón, rampa y parábola se desea calcular el error de régimen

lim ( )k

e kT

por aplicación del teorema del valor final (ver B.8) de la transformada z.

El error estacionario de un sistema de control estable es:

1 1

( 1) ( )lim ( ) lim ( 1) ( ) lim

1 ( )k z zo

z W ze kT z E z

G z

(3.46)

Para una entrada en escalón ( ) ( ) , ( ) /( 1)w t t W z z z se tiene un error de posición

1

:1 (1)

p

o

eG

(3.47)

Evidentemente, el error de posición se anula si ( )oG z posee un polo en 1z .

Si el comando es una rampa 2( ) , ( ) /( 1)w t t W z Tz z aparece un error de velocidad

1

:lim( 1) ( )

v

oz

Te

z G z

(3.48)

y el error de velocidad se anula si ( )oG z posee un polo doble en 1z .

Para una entrada parabólica 2 2 31

2( ) , ( ) ( 1) / 2( 1)w t t W z T z z z tendremos un error de

aceleración

2

2

1

:lim( 1) ( )

a

oz

Te

z G z

(3.49)

que se hará cero, si ( )oG z posee un polo triple en 1z .

Para el error e(kT) en los instantes de muestreo, resulta indiferente si las integraciones

corresponden a los polos de un controlador discreto en z =

1 o a los polos en s

=

0 de la parte

continua. Sin embargo, el comportamiento entre los instantes de muestreo es diferente en uno y

otro caso y el sistema será capaz de seguir a la entrada en forma exacta, si los integradores

corresponden a la parte continua (incluyendo en ella al dispositivo de retención de orden cero).

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3. Estabilidad de sistemas discretos.€¦ · Cuando un componente continuo forma parte de un sistema de control discreto, resulta importante poder calcular su respuesta a señales