cap3_01_MODELOS DISCRETOS DETERMINISTICOS.pdf

1G (s) y (s)u (s)

u (t) ko

u(kTo) (tkT

o).

y(t) ko

u(kTo) g(tkT

o).

CAPITULO 3

3. MODELOS DISCRETOS DETERMINISTICOS

3.1 Funcin de Transferencia de Impulsos.

La funcin de transferencia de un sistema monovariable continuo est definida comola relacin de la transformada de Laplace de la seal de salida respecto de latransformada de la entrada, para condiciones iniciales nulas.

Es importante extender este concepto para el tratamiento de los sistemas de tiempodiscreto, para los cuales se puede definir la Funcin de Transferencia de Impulsoscomo la relacin de la transformada de Laplace de la seal discretizada de salidarespecto de la transformada de la seal discretizada de entrada para condicionesiniciales nulas.

Referido a la Fig. 3.1.1, se define la funcin de transferencia de impulsos comoG (s)

(3.1-1)

Fig. 3.1.1. Sistema muestreado.

Siendo una seal continua, el tren de impulsos a la entrada del proceso es, segnu(t)Ec. 2.3-7

(3.1-2)La seal de salida continua se calcula mediante la sumatoria de convolucin entrey(t)la entrada y la funcin de peso o respuesta al impulso ,g(t)

(3.1-3)Cuando la salida continua se muestrea sincrnicamente con la entrada, lay(t)Ec. 3.1-3 puede escribirse en tiempo discreto

Control Digital Directo Modelos Discretos Determinsticos

2

y(nTo)

kou(kT

o) g[(nk)T

o)].

y (s) n0

y(nTo)e nTos.

y (s) n0

ko

u(kTo) g[(nk)T

o]e nTos.

q nky (s)

qkk0

u(kTo) g(qT

o) e qTos e kTos.

y (s) qk

g(qTo)e qTos

k0u(kT

o)e kTos.

y (s) q0

g(qTo)e qTos u (s).

G (s) q0

g(qTo)e qTos.

(3.1-4)La transformada de Laplace de la salida muestreada es

(3.1-5)Reemplazando y(nT

o)

(3.1-6)Haciendo un cambio de variable

(3.1-7)

Reordenando

(3.1-8)La funcin representa los valores de tiempo discreto de la funcin de peso g(qT

o) g(t)

del sistema y se denomina Secuencia de Ponderacin. La segunda sumatoria de laEc. 3.1-8 representa la transformada de Laplace de la entrada muestreada .u (s)Considerando que por causalidad del sistema es con , resulta,g(qT

o)0 q


3

z e Tos

G(z) y(z)u(z) q0 g(qTo)z q

G(z) g(qTo).

T dy(t)dt

y(t) K u(t).u(t) (t)g(t) Ke t/T

T.

g(kTo) Ke kTo/T

T

3.2 Funcin de Transferencia de Tiempo Discreto.

La funcin de Transferencia de Tiempo Discreto, tambin denominada Funcin deTransferencia , se obtiene reemplazando en la Ec. 3.1-10 de la Funcin deTransferencia de Impulsos, la siguiente igualdad

obtenindose

(3.2-1)

(3.2-2)Esto es, la funcin de transferencia de tiempo discreto puede obtenerse realizando laTransformada de la secuencia de ponderacin . g(qT0)A modo de ejemplo se calcula la funcin de transferencia de tiempo discreto para unsistema de primer orden. Un sistema tal est definido en el dominio temporal por suecuacin diferencial de primer orden, donde representa la entrada, e la salida.u(t) y(t)

(3.2-3)Resolviendo esta ecuacin diferencial para una entrada impulsiva

se obtiene la respuesta impulsiva que es una funcin exponencial decrecienteg(t)

(3.2-4)Tratndose de un sistema muestreado, la respuesta impulsiva de tiempo discreto, osecuencia de ponderacin, ser

(3.2-5)que se representa en la Fig. 3.2.1.

De acuerdo con la Ec. 3.2-2, se puede obtener la funcin de transferencia de tiempo


4

G(z) KT k0 e kTo/T z k KT k0 (e To/Tz)k.

G(z) KT

z

ze To/T K/T1e To/T z 1 .

G(z) bo1 a1z 1 y(z)u(z) .

y(z) a1y(z)z 1 bou(z).y(kT

o) a1y[(k1)To] bo u(kTo)

discreto

(3.2-6)

Fig. 3.2.1. Secuencia de ponderacin de un sistema de primer orden.

En forma cerrada la Ec. 2.3-6 toma la siguiente forma

(3.2-7)queda para un sistema de primer ordenG(z)

(3.2-8)La Ec. 3.2-8, puede tambin expresarse como

(3.2-9)Antitransformando al dominio temporal, se obtiene

(3.2-10)La Ec. 3.2-10, que representa una ecuacin en diferencias de primer orden, podrahaberse obtenido por discretizacin de la ecuacin diferencial, Ec. 3.2-3.


5

am

d my(t)dt m

... a1 dy(t)dt y(t) b

m

d mu(t)dt m

... b1 du(t)dt bou(t).

G(s) y(s)u(s) bo b1s ... bms m1 a1s ... ams m B(s)A(s) .

y(k) a1y(k1) ... amy(km) bou(k) b1u(k1) ... bmu(km).

y(z) a1y(z)z 1 ... amy(z)z m bou(z) b1u(z)z 1 ... bmu(z)z m .

G(z) y(z)u(z) bo b1z 1 ... bmz m1 a1z 1 ... amz m .

G(z 1) B(z 1)A(z 1)

Para sistemas de mayor orden se pueden generalizar estos conceptos. La ecuacindiferencial de un sistema de orden tendr, en su caso ms general, la formamrepresentada en la Ec. 3.2-11.

(3.2-11)L a

funcin de transferencia, es

(3.2-12)En el campo discreto se puede plantear la ecuacin en diferencias de orden quemtendr la forma

(3.2-13)La Ec. 3.2-13 se puede transformar en aplicando el teorema de desplazamiento a laderecha, obtenindose

(3.2-14)A partir de Ec. 3.2-14 se obtiene la funcin de transferencia discreta del sistema deorden .m

(3.2-15)En forma compacta se expresa comoG(z)

(3.2-16)

donde representan los polinomios de numerador y denominador respectivamenteB, A


6

y(k) a1y(k1)... amy(km) bou(k) ... b

mu(km).

y(k) mi1

aiy(ki) mi0

biu(ki)

y el exponente negativo de es una notacin que indica que la funcin de transferenciazdiscreta esta expresada en trminos de potencias negativas de . Multiplicandoznumerador y denominador por se puede obtener una expresin de en trminosz m G(z)de potencias positivas de lo que resulta de utilidad en algunos casos particulares.zDespejando de la ecuacin en diferencias Ec. 3.2-13 se obtieney(k)

Esta forma de expresar la ecuacin en diferencias se denomina modelo ARMA delproceso. El nombre generalizado de modelo ARMA proviene de su nombre en inglsautoregressive (AR), moving average (MA). La parte autoregresiva se refiere a aquellaque contiene los trminos pasados (regresivos) de la propia (auto) variable de salidaen un nmero igual al orden del proceso. El concepto de media mvil (MA) se refiereal caso en que siendo una entrada estocstica, los coeficientes realizan unau(k) bmedia pesada de los ltimos valores de la entrada . Como esta media se vam u(k)actualizando con , se la denomina mvil. Este concepto de media fue extendido a losksistemas determinsticos y conserva el nombre.

Cuando son los coeficientes se tiene un modelo de media mvil puro (modeloai 0MA). Esto es, los valores pasados de no influyen en el valor presente.y(k)

Cuando son los coeficientes se tiene un modelo autoregresivo puro (modelo AR).bi 0Bajo esta condicin, el modelo no es sensible a entradas y slo tiene la dinmicapropia.

El modelo ARMA, expresado en forma de sumatoria tiene la forma


7

G(z 1) B(z 1)A(z 1)

G(z 1) c0 c1z 1 c2z 2 ...

D(s) e Ts.T dT

o

D(z) z d.

G(z) B(z 1)A(z 1)

z d

3.3 Caractersticas y propiedades de la Funcin de transferencia discreta.

3.3.1 Realizabilidad.

representa un sistema realizable si haciendo el cociente,G(z)

(3.3-1)resulta

(3.3-2)sin trminos con potencias positivas de , impuesto por condiciones de causalidad.zObsrvese que los , representan en el dominio temporal los valores de la secuenciacide ponderacin del sistema (Ec. 3.2-5). Esto implica que el orden del denominadorpuede ser igual o mayor que el del numerador pero no menor, cuando se expresaG(z)en potencias positivas de .z

3.3.2 Retardo puro.

La funcin de transferencia de un retardo puro, tiempo muerto o demora , seTrepresenta como

(3.3-4)Si el tiempo de demora se expresa en mltiplos de intervalos de muestreo esT T

o

(3.3-5)con . La funcin de transferencia en , serd 1, 2, 3,... z

(3.3-6)Un proceso como el representado en la Fig. 3.3-1 que tiene un retardo puro de dintervalos de muestreo, tendr como funcin de transferencia discreta

(3.3-7)


8

limk

y(k) limz1

z1z

y(z) limz1

z1z

G(z)u(z)

u(z) zz1

K limz1

G(z) b0 b1 ... bm1 a1 ... am .

G(z) 11 z 1 b0 b1z 1 ... bmz m1 d1z 1 ... dm1z (m1)

11 z 1 B(z 1)D(z 1)

Fig. 3.3.1 Proceso con retardo puro.

3.3.3 Constante de proporcionalidad.

La constante de proporcionalidad de un sistema se obtiene utilizando el teorema delKvalor final. est dado por el valor final de para una entrada escaln unitario.K y(k)

siendo

por ser un escaln unitario, resulta

(3.3-8)

3.3.4 Constante de integracin.

La constante de integracin de un sistema se obtiene en base a la determinacin dela pendiente de la salida en estado estacionario para una entrada escaln unitario.

Si el sistema tiene comportamiento integral tendr un polo en el origen del plano oSbien en en el plano , el cual se puede sacar como factor comn.z 1

(3.3-9)

Siendo la transformada de la seal de variacin de la salida,


9

y(z) y(z)(1z 1)


10

y(z) B(z 1)D(z 1)

z

z 1.

KI b0 b1 ... bm1 d1 ... dm1

GT(z) y(z)u(z) {G1(s) G2(s)} {GT(s)}

para una entrada escaln unitario, con resultau(z) 1.z/(z1)

Utilizando el teorema del valor final, se obtiene el gradiente de crecimiento de la salida,el cual se denomina constante de integracin.

(3.3-10)

3.4 Operaciones con funciones de transferencia discretas.

Para realizar la transformada del sistema en cascada representado en la Fig. 3.4.1,debe primero efectuarse el producto , al no estar separados losG1(s)G2(s) GT(s)bloques por un muestreador sincrnico.

(3.4-1)

Fig. 3.4.1 Bloques en cascada.

Si ambos bloques estn separados por un muestreador sincrnico como en la Fig.3.4.2, se realizan las transformadas independientemente

Fig. 3.4.2 Bloques separados por muestreador.


11

GM(z) y(z)u(z) G1(s) G2(s) G1(z)G2(z)

GM(z) GT(z).

GT(z) y(z)r(z)

y(z) GP(z) GC(z)[r(z) y(z)]GT(z) GP(z)GC(z)1 GP(z)GC(z)

(3.4-2)

resultando en general

La funcin de transferencia discreta para el sistema de la Fig. 3.4.3, es

Fig. 3.4.3. Sistema realimentado.

con

resulta

(3.4-3)


12

G(s) y(s)u(s) K1 sT K/T1/T s .

G(z) y(z)u(z) bo1 a1z 1

y(k) a1y(k1) bou(k).y(k) a1y(k1) 0.

y(1) a1y(0)0y(2) a1y(1) a 21 y(0)

.

.

.

y(k) a1y(k1) a k1 y(0).

3.5 Condiciones de estabilidad de sistemas de tiempo discreto.

Para analizar conceptualmente la estabilidad de los sistemas de tiempo discreto sehace primeramente el estudio en base a la ubicacin de un polo real nico. La funcinde transferencia continua de un sistema con un polo real nico es

De acuerdo a la Ec. 3.2-8, resulta

(3.5-1)

tiene un polo en .G(z) z1 a1La correspondiente ecuacin en diferencias de es G(z)

La ecuacin homognea en diferencias que corresponde a la evolucin libre resulta

Si la condicin inicial es , se puede analizar la evolucin temporal de eny(0) 0 y(k)forma recursiva.

De estaexpresin se observa que el sistema con la funcin de transferencia en representadazen Ec. 3.5-1, tendr una evolucin tendiendo a cero -sistema estable- si . Pora1 < 1el contrario, con , la salida crece indefinidamente. La condicin a1 > 1 y(k) a1 1representa el lmite de estabilidad. El valor de fija la posicin del polo en el plano a1 . En la Fig. 3.5.1 se representan distintas posiciones de un polo real y sucorrespondiente comportamiento temporal.


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z1 a1 e Tos1s1 1/T.

G(s) y(s)u(s) Ns(s)(ss1) (ss2)s1,2 a j1

Fig. 3.5.1. Polos reales y comportamiento temporal

Los polos en los planos y estn relacionados porS

Los polos reales en el plano , comprendidos en el rango correspondenS < si < a polos reales en el plano comprendidos en el rango . Esto es, solamente 0 < zi < polos reales positivos en . Polos reales negativos en no tienen correspondencia en el plano . S

Para extender este concepto a los sistemas con polos complejos, se considera unsistema cuya ecuacin caracterstica tenga un par de polos complejos conjugados. Lafuncin de transferencia en variable tendr la formas


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G(z) y(z)u(z) Nz(z)(zz1) (zz2)

z1,2 e aTo e j1To M e j1To M [1To]

y(k) M k cos(1 kTo) y(0)

Transformando al dominio se obtiene

Los poloscomplejos son

Para valores existe correspondencia entre los polos en y en . En un contextoM > 0 Sdigital es posible la existencia de polos con . Estos polos no tienenM < 0correspondencia en el dominio , ya que no es posible su transformacin. Este tipo deSpolos tienen poca significacin prctica ya que la discretizacin de un sistema continuoreal generar solo polos en con . M > 0Considerando un sistema discreto con un par de polos complejos conjugados, lasolucin de la ecuacin en diferencias homognea, para evolucin libre a partir de unacondicin inicial , tiene la formay(0)

La salida del sistema permanecer acotada si y solo si es . Esto es, ely(k) M 1sistema ser estable si los polos complejos se encuentran dentro del circulo de radiounitario en el plano .En la Fig. 3.5.2 se representan distintas posiciones de un par de polos complejosconjugados y sus correspondientes evoluciones temporales esquemticas.

Para ngulos se obtienen las representaciones a, b y c en las cuales se1To < 90cumple correctamente el teorema de Shannon ya que la frecuencia de muestreo essuficientemente alta en relacin a la frecuencia de la armnica producida por el par depolos complejos. Cuando los polos se ubican sobre el eje imaginario. En1To 90este caso la seal se anula para y su signo cambia alternativamentey(k) k 1, 3, 5, ...para (representacin d). El amortiguamiento est definido por el valor dek 0, 2, 4, ...

. Para ngulos se obtienen las representaciones e, f y g en las queM 1To > 90comienza a violarse el teorema de Shannon.


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(zz1)(zz2)...(zzm) 0

zi


16

3.6 Modelos para la representacin de sistemas multivariables de tiempo discreto.

En forma general se define proceso multivariable, a aquel que tiene ms de unaentrada y ms de una salida. Sin embargo, cuando cada salida esta vinculada a unay slo una entrada, como se muestra en la Fig. 3.6.1 (a), entonces ms que un procesomultivariable, se tiene un conjunto de procesos de una entrada y una salida, cuyotratamiento se puede hacer en forma individual para cada uno de ellos, con lasherramientas de control monovariable conocidas hasta ahora y se podrn controlar conlazos individuales de control. Comnmente se los denomina sistemas desacoplados,y no presentan ningn problema adicional. Ms especficamente un proceso esmultivariable cuando adems de tener mltiples entradas y mltiples salidas, cadaentrada est vinculada a ms de una salida, y cada salida a ms de una entrada, eneste caso toman el nombre de procesos acoplados, como se muestra en la Fig. 3.6.1(b).

Fig. 3.6.1 Esquema de sistemas multivariables.(a). Entradas y salidas desacopladas.(b). Entradas y salidas acopladas.

La particularidad ms importante de los procesos acoplados es la interaccin entreentradas y salidas, de manera que no se puede tratar por separado cada relacinentrada-salida, sino que se debe realizar un estudio en conjunto, lo que lleva a aplicarel clculo matricial-vectorial.

3.6.1 Estructuras cannicas para procesos multivariables.

Los procesos multivariables se pueden representar bajo modelos denominadosestructuras cannicas. Las ms importantes son la estructura cannica P y laestructura cannica V, ilustrados en Fig. 3.6.2 (a) y (b) respectivamente. En laestructura cannica P todas las entradas actan sobre cada salida, mientras que en laestructura cannica V todas las salidas se conectan a cada entrada. La estructura V sedefine para igual nmero de entradas y salidas.


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yi(z) ej1

Gij(z)uj(z)

yi(z) Gii(z)[ui(z) sj1

Gij(z)yj(z)]

(a) (b)

Fig. 3.6.2. Estructuras cannicas ms importantes(a) Estructura P. (b) Estructura V ( ).es

3.6.2 Modelo matemtico para las estructuras cannicas multivariables.

Se puede considerar que cada salida se vincula a una entrada a travs de una funcinde transferencia de tiempo discreto de manera que para entradas y salidas see stiene

(3.6-1)con para el caso de una estructura P y i1, ... ,s

(3.6-2)con si , para la estructura V.Gij 0 i jConsiderando todas las salidas y representando el sistema de ecuaciones en forma


18

y1(z)y2(z)y

s(z)

G11(z) G12(z) G1e(z)G21(z) G22(z) G2e(z) G

s1(z) Gs2(z) Gse(z)u1(z)u2(z)u

e(z)

y(z) G(z)u(z) .y1(z)y2(z)y

s(z)

G11(z) 0 0

0 G22(z) 0 0 0 G

ss(z)

u1(z)u2(z)u

s(z)

0 G12(z) G1s(z)

G21(z) 0 G2s(z) G

s1(z) Gs2(z) 0y1(z)y2(z)y

s(z)

y(z) G1(z) [u(z) G ,2(z) y(z)].y(z) G1(z) u(z) G1(z) G ,2(z) y(z)y(z) [I G1(z) G ,2(z)]1 G1(z) u(z).G (z) [I G1(z) G ,2(z)]1 G1(z)

matricial, para la estructura P se tiene

(3.6-3)

o con notacin vectorial-matricial(3.6-4)

Para la estructura V

(3.6-5)

En formacompacta

(3.6-6)Operando en Ec. 3.6-6 se tiene

(3.6-7)

(3.6-8)Denominando:

(3.6-9)


19

y(z) G (z)u(z) .

y(z) Ga(z)u(z) Gb(z)u(z)

y(z) Ga(z) [ u(z) G 1a (z)Gb(z)u(z)].

u(z) G 1(z)y(z)y(z) Ga(z) [ u(z) G 1a (z)Gb(z)G 1(z)y(z)].G1(z) Ga(z)G ,2(z) G 1a (z)Gb(z)G 1(z).

(3.6-10)Comparando Ec. 3.6-10 con Ec. 3.6-4, se deduce que se ha transformado unaestructura V en una P.

Para pasar de P a V es ms complejo. La Ec. 3.6-4 se estructura de la forma(3.6-11)

o tambin

(3.6-12)con diagonal conteniendo slo los elementos .G

a(z) Gii

Despejando de Ec. 3.6-4u(z)

(3.6-13)

(3.6-14)Comparando Ec. 3.6-6 con Ec. 3.6-14

(3.6-15)

(3.6-16)Las funciones de transferencia se denominan elementos principales si yGij i jelementos de acoplamiento si , y la estructura se dice simtrica si parai j GijGji

.i j3.6.3 Ecuacin caracterstica y factor de acoplamiento.

Suponiendo una realimentacin desacoplada del sistema mediante una matriz derealimentacin de la forma


20

H(z) H11(z) 0 0 0

0 H22(z) 0 0 0 0 H

ee(z) 0

u(z) M(z)r(z) H(z)y(z).y(z) G(z) [M(z)r(z) H(z)y(z)].y(z) [I G(z)H(z)]1 G(z)M(z)r(z)G (z) [I G(z)H(z)]1 G(z)M(z) .

(3.6-17)

y un vector de referencia vinculado a travs de una matriz , se busca obtenerr(z) M(z)la matriz de transferencia de lazo cerrado. Puesto que es la referencia deseadar(z)para , e tienen la misma dimensin. El vector de entrada sery(z) r(z) y(z)

(3.6-18)Reemplazando Ec. 3.6-18 en Ec. 3.6-4 se obtiene

(3.6-19)Reordenando se encuentra

(3.6-20)de manera que la matriz de transferencia de lazo cerrado es

(3.6-21)

Dado que la dimensin de es (s x e), de es (e x s), y de es (e x s), entonces G H M G es (s x s). En la Fig. 3.6.3 se puede observar un diagrama en bloques del modelo multivariable delazo cerrado.

Fig. 3.6.3. Diagrama en bloques de un sistema multivariablerealimentado.

Puesto que la matriz inversa se define como


21

[I G(z)H(z)]1 Adj[IG(z)H(z)]det[I G(z)H(z)]

G (z) Adj[IG(z)H(z)]G(z)M(z)det[I G(z)H(z)]

det[I G(z)H(z)] 0

det[I Gc(z)G(z)] det [1Gc11G11] Gc11G12Gc22G21 [1Gc22G22] 0.

[1Gc11G11] [1Gc22G22] G12G21Gc11Gc22 0

[1Gc11G11][1Gc22G22] 1 G12G21G11G22 Gc11G11Gc22G22[1Gc11G11] [1Gc22G22] 0

Gri(z) Gcii(z)Gii(z)1 Gcii(z)Gii(z)

(3.6-22)

sta se puede reemplazar en Ec. 3.6-21 obtenindose

(3.6-23)

y por lo tanto la ecuacin caracterstica del proceso multivariable de lazo cerrado es

(3.6-24)es decir una generalizacin del polinomio caracterstico estudiado para el caso de unaentrada y una salida.

Un caso particular de bastante importancia se presenta cuando es una matrizHidentidad en el caso de procesos de dos entradas y dos salidas y adems se coloca encascada con un sistema desacoplado , de manera que se tieneG Gc

(3.6-25)

Desarrollando el determinante

sacando factor comn el primer trmino y multiplicando y dividiendo en el segundo por G11 G22se obtiene

Definiendo la funcin de transferencia de lazo cerrado desacoplada

(3.6-26)y e l

factor de acoplamiento dinmico


22

fad(z) G12(z)G21(z)G11(z)G22(z)

(1 Gc11G11) (1 Gc22G22) (1 fadGr1Gr2) 0.

fae G12(1)G21(1)

G11(1)G22(1)

(3.6-27)

el polinomio caracterstico queda

En esta ltima ecuacin los dos primeros factores son los polinomios caractersticos delos lazos simples desacoplados y slo el tercer trmino depende de las funciones detransferencia cruzadas, agregando races al polinomio caracterstico debidas alacoplamiento. De acuerdo con la ecuacin del factor de acoplamiento dinmico, ya sea G12o o ambas igual a cero, no se modificar el conjunto de autovalores del sistemaG21desacoplado.

Los resultados anteriores son difciles de generalizar para procesos de ms de dosentradas y dos salidas, sin embargo se puede demostrar que slo se necesita que unade las dos funciones de transferencia cruzada para todo y todo sean ceroGij, Gji i jpara que se conserven los autovalores del sistema desacoplado.

Tambin se puede definir un factor de acoplamiento esttico como

(3.6-28)La matriz

constituye el controlador del proceso, y se puede elegir de manera que el efectoGcde acoplamiento sea mnimo.

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