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Algunos factores implicadosAlgunos factores implicados(que se han de cuidar, controlar, adaptar y mejorar)(que se han de cuidar, controlar, adaptar y mejorar)
� Generales�� Los conocimientos y las creenciasLos conocimientos y las creencias�� La inercia y los interesesLa inercia y los intereses�� Las claves del entorno socioculturalLas claves del entorno sociocultural�� La voluntad de ciudadanos, padres y polLa voluntad de ciudadanos, padres y polííticosticos�� La cooperaciLa cooperacióón de todosn de todos
�� EspecEspec ííficosficos�� Los planes de formaciLos planes de formacióón de profesoresn de profesores�� La polLa políítica educativatica educativa�� Los finesLos fines�� Los mediosLos medios�� La evaluaciLa evaluacióónn
44
Sobre las matemáticas . . .
carácter instrumental; lenguaje; utilidad limitada; sirven para resolver problemas; materia difícil; no son necesarias para vivir;
Sobre el aprendizaje. . .
Difícil de comprender y aprender; sólo para especialmente dotados; la ejercitación, la memoria y el esfuerzo personal lo importante; Dominar las matemáticas es saber contenidos y conceptos, técnicas y destrezas y cultura matemática;
Sobre la enseñanza. . .
difícil de enseñar; importante: la explicación y la resolución de problemas verbales; No hay medios suficientes; Los alumnos no están motivados;
Sobre la evaluación. . .
consiste en comprobar que el alumno es capaz de reproducirlas tareas y los conocimientos que se han utilizado en el proceso.
A modo de ejemplo . . .A modo de ejemplo . . .afectan a la calidad de la Educaciafectan a la calidad de la Educacióón Matemn Matemáática, las tica, las
creencias y conocimientos parcialmente ciertos:creencias y conocimientos parcialmente ciertos:
5
Claves para una nueva formaciClaves para una nueva formacióón n matemmatemáática de calidadtica de calidad
•• Propuestas generalesPropuestas generales
•• AlfabetizaciAlfabetizacióón Matemn Matemááticatica
•• ComprensiComprensióón de las Matemn de las Matemááticasticas
•• Competencias: tipos y nivelesCompetencias: tipos y niveles
•• Aprender a Aprender a matematizarmatematizar
•• Situaciones DidSituaciones Didáácticas. Ejemploscticas. Ejemplos
•• Proceso DidProceso Didáácticoctico
•• Objetivos, contenidos, capacidades, competencias y Objetivos, contenidos, capacidades, competencias y
situaciones didsituaciones didáácticascticas
•• DiseDiseñño de Unidades Dido de Unidades Didáácticas. Ejemplocticas. Ejemplo
6
� Igualdad: matemáticas para todos; respeto a las diferencias; atención a la diversidad; necesidades educativas especiales: Tratamiento didáctico unificado y espacio didáctico común + apoyo y tratamiento compensatorio
� Currículo : bien estructurado y articulado y basado en matemáticas importantes
� Enseñanza: Medio rico en experiencias matemáticas motivadoras y clima adecuado para aprender
� Aprendizaje: APRENDIZAJE CON COMPRENSIÓN� Evaluación: Formativa y técnicas múltiples� Tecnologías: Recursos imprescindibles
(ver: Principios y estándares. NCTM-SAEM Thales. 2000)
Algunas propuestas y principios generalesAlgunas propuestas y principios generales(NCTM, Junta de Andaluc(NCTM, Junta de Andalucíía, Investigaciones en Educacia, Investigaciones en Educacióón n
MatemMatemáática)tica)
7
PropPropóósito fundamental:sito fundamental:FormaciFormacióón para la alfabetizacin para la alfabetizacióón matemn matemááticatica
•• Pensar con ideas matemPensar con ideas matemááticasticas empleando un conjunto de empleando un conjunto de instrumentos y capacidades mateminstrumentos y capacidades matemááticasticas en las relaciones en las relaciones cotidianas con el entorno, de manera cotidianas con el entorno, de manera espontespontáánea y con plena nea y con plena concienciaconcienciade su importancia y necesidad;de su importancia y necesidad;
• Comprensión, dominio y desarrollo de conceptos, procedimientos y actitudes; técnicas y destrezas; utilidad social; relaciones con los valores de equidad, objetividad y rigor; creatividad, ingenio y bellezade las matemáticas en contextos (aplicación) siempre que sea posible;
• La comprensión y los conocimientos como medios y no como fines o metas del proceso conducen a la alfabetización satisfactoria, y esta se manifiesta en términos de competencias
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¿¿CCóómo se adquieren, desarrollan y consolidan mo se adquieren, desarrollan y consolidan las competencias matemlas competencias matemááticas especticas especííficas y su ficas y su
contribucicontribucióón a las competencias bn a las competencias báásicas?sicas?
•• Aprendiendo a Aprendiendo a matematizarmatematizar o o ““hacer hacer matemmatemááticasticas””
•• Mediante Mediante tareas y situaciones didtareas y situaciones didáácticascticasadecuadasadecuadas
•• Organizadas en Organizadas en procesos didprocesos didáácticoscticos bien bien planificadosplanificados
9
¿¿CCóómo se aprende a mo se aprende a matematizarmatematizar??
Haciendo matemHaciendo matemááticasticas
lo que significa:lo que significa:
•• 1.1.-- Identificar y localizar un problema (real o ficticio)Identificar y localizar un problema (real o ficticio)
•• 2.2.-- Organizar la informaciOrganizar la informacióón de acuerdo con conceptos n de acuerdo con conceptos matemmatemááticosticos
•• 3.3.-- Generalizar, decidir, formalizar y Generalizar, decidir, formalizar y modelizarmodelizar
•• 4.4.-- Resolver el problema (aumentar/mejorar la Resolver el problema (aumentar/mejorar la informaciinformacióón inicial de manera relevante)n inicial de manera relevante)
•• 5.5.-- Discutir y dar sentido a la soluciDiscutir y dar sentido a la solucióónn
1010
Procesos de Procesos de matematizacimatematizacióónn�� matematizacimatematizaci óónn horizontalhorizontal
traducir el problema a ttraducir el problema a téérminos matemrminos matemááticos: identificar ticos: identificar los conceptos relevantes, representar, analizar y los conceptos relevantes, representar, analizar y comprender las relaciones, encontrar regularidades y comprender las relaciones, encontrar regularidades y patrones, reconocer problemas similares, patrones, reconocer problemas similares, modelizarmodelizar, , utilizar herramientas adecuadas para resolverutilizar herramientas adecuadas para resolver
�� matematizacimatematizaci óónn verticalverticalutilizar diferentes representaciones, utilizar el lenguaje utilizar diferentes representaciones, utilizar el lenguaje en sus diferentes facetas, ajustar y refinar los modelos, en sus diferentes facetas, ajustar y refinar los modelos, argumentar y generalizarargumentar y generalizar
�� reflexireflexi óón, interpretacin, interpretaci óón y validacin y validaci óónnjustificar los resultados, analizar los argumentos, justificar los resultados, analizar los argumentos, comunicar el proceso y la solucicomunicar el proceso y la solucióón, criticar el modelo n, criticar el modelo
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Proceso de Proceso de matematizacimatematizaci óónn y su relaciy su relaci óón con n con las competencias matemlas competencias matem ááticas PISAticas PISA --OCDEOCDE
Validación y reflexión
Matematizaciónhorizontal Situación real
Situación traducida a términos matemáticos
PENSAR Y RAZONAR
ARGUMENTAR, JUSTIFICAR,
GENERALIZAR
REPRESENTARSIMBOLIZAR PLANTEAR Y
RESOLVER PROBLEMAS
Matematizaciónvertical
COMUNICAREXPLICAR
MODELIZAR
Resolución(utilización de conceptos y
procedimientos matemáticos)
1212
Competencias MatemCompetencias Matemááticas especticas especííficas y ficas y tareas y ntareas y núúcleos de actividad matemcleos de actividad matemáática tica
escolar (adelanto de aspectos a tratar) escolar (adelanto de aspectos a tratar) MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
(Análisis y organización / estructuración matemática de la información; situaciones susceptibles de ser modelizadas
matemáticamente)
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS(Gestión matemática de la información ya estructurada / organizada para obtener nueva información)
PEV(problemas de enun. verbal)
SITUACIONES REALES
MATERIAL DIDÁCTICO
INSTRUMENTOS, TERMINOS Y CONOCIMIENTOS BÁSICOS
REPRESENTACIÓN, EXPRESIÓN, ARGUMENTACIÓN, COMUNICACIÓN MATEMÁTICA
(Transmisión y validación de la información)
EJERCICIOS, PRÁCTICA
JUEGOS Y PASATIEMPO
EXPLICACIONES EJEMPLOS
1313
Tareas y Situaciones DidTareas y Situaciones Did áácticas:cticas:Algunas categorAlgunas categor íías relevantes para el as relevantes para el
desarrollo de las competencias bdesarrollo de las competencias b áásicas y sicas y matemmatem ááticasticas
I. Por Niveles de funcionalidad didácticaII. Por Niveles de complejidad de capacidades y
competenciasIII. Por características metodológicas
1414
VII.VII. -- Por Niveles de funcionalidad didPor Niveles de funcionalidad didáácticacticaSe pueden establecer Niveles de potencialidad didáctica creciente, en los que las tareas
superiores incluyen a las inferiores en conocimientos y relaciones
Tarea 1.- Efectúa la siguiente multiplicación: 385x 64
Contenidos: A) algoritmo de multiplicar, las tablas de multiplicar, la suma con llevadas.Competencias: A) PR, REP
Tarea 2.- Completa:
Contenidos: B) A) + sistema posicional, iniciación al álgebra, variable, igualdadCompetencias: B) A) + PRP, ARG
Tarea 3.- Un rectángulo tiene 24.640 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus medidas exactas sabiendo que el largo es menor de 4 hectómetros siendo 8 la cifra de los decámetros y que el ancho es menor que un hectómetro y es 8 la cifra que indica los metros?.
Contenidos: C) B) + longitud, superficie, área, medida, rectángulo, área del rectángulo
Competencias: C) B) + MO
8 x 4
5 0 2 1 0 2 6 0
1515
VII.VII. -- Por Niveles de funcionalidad didPor Niveles de funcionalidad didáácticactica
Tarea 3 . . .
Tarea 4.- Un tasador de parcelas rústicas dispone para medir de una cuerda de 10 metros de longitud. Mide una parcela pero extravía algunos datos. Sabe que la parcela mide 24.640 metros cuadrados, que el ancho mide un número de veces la cuerda, que es menor que 10, más cuatro metros y que el largo es una medida que termina en 8 y que es menor que 40 veces la cuerda. ¿Qué puede hacer el tasador para convencer al dueño de cuáles son las dimensiones de la parcela?
Contenidos: D) C) + problema real, tasación, parcela, rústicoCompetencias: D) C) + CO
Tarea 5.- Una Inmobiliaria encarga a una sociedad de tasación que realice un estudio en una zona rústica que se va a parcelar para la construcción de viviendas. Las parcelas deben ser rectangulares y de distintos tamaños de acuerdo con varias clases de viviendas . . Hay que hacer un informe y exponerlo al Consejo . .
Contenidos: E) D) + economía, precios, tiempo invertido, costes, etc.Competencias: E) D) matemáticas y otras
1616
VIII.VIII. -- Por Niveles de complejidad de Capacidades y Por Niveles de complejidad de Capacidades y Competencias MatemCompetencias Matemááticas especticas especííficasficas
� Tres Niveles de complejidad por grupos de competencias (niveles teóricos): reproducción, conexiones y reflexión
� Dos tipos de Conexiones por el contenido: matemáticas y no matemáticas
� Dos tipos de Conexiones por su complejidad: primarias y secundarias
Lo que da lugar a:� seis tipos de situaciones didácticas o tareas
1717
VIII.VIII. -- Por Niveles de complejidad de Capacidades y Por Niveles de complejidad de Capacidades y Competencias MatemCompetencias Matemááticas especticas especííficasficas
� seis tipos de situaciones didácticas o tareas
- REPRODUCCIÓN Y ELEMENTOS BÁSICOS
- CONEXIONESPRIMARIAS NO MATEMÁTICASPRIMARIAS MATEMÁTICASSECUNDARIAS NO MATEMÁTICASSECUNDARIAS MATEMÁTICAS
- REFLEXIÓN
Características:• Elementos básicos: Conceptos, procedimientos, técnicas, destrezas básicas,
expresiones, fórmulas, terminología y representación.• Competencias a nivel primario elemental• Conocimiento como fin• Descontextualizado• situaciones elementales típicamente escolares• Situaciones totalmente estructuradas, simples, cercanas e inmediatas• Vocabulario, terminología, ejemplos
Situaciones y tareas:• ejercitación y práctica (“ejercicios de matemáticas”; prácticas de algoritmos,
técnicas y destrezas básicas; procedimientos);• lectura y escritura matemática; terminología. Representación y lenguaje
matemático;• memorización (tablas, fórmulas, reglas);• cultura matemática: explicaciones, ejemplos, historia, curiosidades
A).- Elementos básicos y tareas de reproducción y representación
B1).- Conexiones primarias no matemáticasSituaciones estructuradas de modelización primaria o elemental
Características:• Comprensión y Competencias a nivel primario elemental• Conocimiento como medio,• contextualizado y aplicado• situaciones elementales,• Muy estructuradas, simples, cercanas e inmediatas• Primeras aplicaciones, primeras relaciones
Situaciones y tareas• Modelos manipulativos. Material Didáctico específico para Matemáticas
(regletas, bloques multibase, ábacos, etc.)• Recursos orientados específicamente (uso restringido a un contenido)• Juegos y pasatiempos relacionados con las Matemáticas• Modelos reales elementales. Situaciones reales o ficticias copiadas de la
realidad, pero con carácter específico o restringidas a un conocimiento matemático concreto (problemas tradicionales de enunciado verbal con contenido no matemático).
B1).- Conexiones primarias no matemáticasEJEMPLOS
DIVISIÓN 1.- ¿Cuántos Tetra Brik® de leche puedo colocar en una estantería de 140 cm de longitud si cada Tetra Brik®mide 6 cm? ¿Sobra espacio en la estantería?
1.Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.
Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Área
Perímetro
¿Encuentras algún triedro en el aula?¿donde?
¿Se te ocurre algún lugar donde aparezcan tetraedros?
B1).- Conexiones primarias no matemáticasEJEMPLOS
¿Qué altura alcanza el agua en esta pecera, sabiendo que contiene 171 litros de agua?
80 cm
15 cm
B2).- Conexiones primarias matemáticasSituaciones estructuradas de contenido matemático; pensamiento matemático elemental
Características:• Comprensión y Competencias a nivel primario elemental• Conocimiento como medio,• contextualizado y aplicado a las matemáticas• situaciones elementales,• Muy estructuradas, simples, cercanas e inmediatas• Primeras aplicaciones, primeras relaciones matemáticas
Situaciones y tareas• Tareas de relación de un conocimiento concreto con otros conocimientos
matemáticos: relaciones “verticales” (previos (referentes), siguientes (en los que se utiliza)) y relaciones “horizontales” (con otros contenidos matemáticos o bloques del mismo o distinto nivel).
• Tareas de análisis (multiplicación con cifras desconocidas, cuadrado mágico, etc.)
• Problemas de enunciado verbal de contenido matemático específico (restringido a un contenido concreto)
B2).- Conexiones primarias matemáticasEJEMPLOS
x 3 7 0 35
2 4 6 9 01 2 3 4 5 1 5 1 8 4 3 5
(a) ¿Sabrías determinar cuántas cifras tiene el multiplicador? Justifica tu respuesta.
(b) ¿Sabrías determinar cuántas cifras tiene el multiplicando? Justifica tu respuesta.
El perímetro de la base de un cilindro es de 18,84 cm (π = 3,14), y su altura la mitad del radio de la base. Calcular el área total.
C1).- Conexiones secundarias no matemáticasSituaciones no estructuradas de modelización avanzada
Características:• Comprensión y Competencias a nivel secundario o global;• Conocimiento como medio, contextualizado y aplicado de carácter avanzado• Orientado a situaciones no elementales no estructuradas o poco estructuradas
y complejas;• Aplicaciones y relaciones amplias y en toda su extensión dependiendo del
nivel
Situaciones y tareas• Material manipulativo general, no específico• Recursos generales no orientados (uso amplio en variedad de temas)• Realidad en toda su extensión. Visión global. Relaciones amplias• Problemas modelizables con toma de decisiones y gestión de la información.
C1).- Conexiones secundarias no matemáticasEJEMPLOS
• Necesito controlar lo que gasto mensualmente en transporte• Tengo que hacer una planificación del trabajo para la semana que viene
con objeto de preparar los exámenes.• Voy a pintar mi habitación . . . ¿cuánta pintura necesito?¿de qué
precio?¿cuánto me va a costar? . . • El partido empieza a las nueve y estoy lejos de la casa. ¿A qué hora
límite tengo que salir para llegar a tiempo y verlo desde el principio?¿qué tengo que averiguar?¿si no dispongo de información exacta, qué debo hacer?
• Me quiero comprar una bicicleta. ¿Cuánto tiempo aproximado debo estar ahorrando hasta tener la cantidad total si ingreso una media semanal de 100 euros y un gasto medio semanal de 70 euros?
• Estoy pensando en comprar una vivienda, pero como máximo puedo dedicar 600 euros al mes. ¿qué posibilidades tengo?¿qué tipo de vivienda me puedo comprar? Quiero que la vivienda esté en el centro, que sea grande, soleada, con garaje y con calidades excepcionales. ¿cómo puedo compatibilizar mis deseos con mi disponibilidad económica?
• Quiero invitar a todos mis amigos a mi fiesta de cumpleaños . . . ¿cómo lo hago?, ¿qué necesito?
C2).- Conexiones secundarias matemáticasSituaciones no estructuradas de contenido matemático avanzado; pensamiento
matemático avanzado
Características:• Comprensión y Competencias a nivel secundario o global;• Conocimiento como medio, contextualizado y aplicado de carácter avanzado• Orientado a situaciones matemáticas no elementales no estructuradas o poco
estructuradas y complejas;• Aplicaciones y relaciones amplias y en toda su extensión dependiendo del
nivel
Situaciones y tareas• Problemas amplios y complejos de contenido matemático o no ubicables
fácilmente dentro de un contenido matemático específico• Propiedades, teoremas. Teorías matemáticas y sus relaciones con otros
conocimientos.
C2).- Conexiones secundarias matemáticasEjemplos
Demostración de que 1+3+5+7=42
¿cómo sería el caso general? . . .
C2).- Reflexión
Características:• reflexión, validación y formalización
• razonamiento y argumentación para resolver problemas originales
• Conocimiento como fin,
• recapitulación; institucionalización.
3434
Competencias MatemCompetencias Matemááticas especticas especííficas: Pensamiento, situaciones y Nivelesficas: Pensamiento, situaciones y Niveles
Pensamiento matemático Conocimientos y tareas Tipos de situaciones didácticas
Niveles de competencias matemáticas
1.-Pensamiento matemático básico o de reproducción
Contenidos, destrezas, técnicas, términos, tareas de
reproducción,
AReproducción
ELEMENTALES
2.-Pensamiento matemático aplicado simple
Aplicaciones prácticas puntuales; problemas de enunciado verbal
de contenido no matemático
B1Conexiones no
matemáticas elementales
ELEMENTALES
3.-Pensamiento matemático heurístico elemental
Aplicaciones matemáticas elementales. Problemas de
enunciado verbal de contenido matemático
B2
�� Conexiones Conexiones matemmatemááticas ticas elementaleselementales
ELEMENTALES
4.-Pensamiento matemático aplicado complejo, integrado o globalizado
Aplicaciones reales complejas. Situaciones no estructuradas. Visión global; conexiones y
relaciones amplias
C1
�� Conexiones no Conexiones no matemmatemááticas ticas complejascomplejas
AVANZADAS
5.-Pensamiento matemático avanzado
Situaciones de reflexireflexióón. n. Conocimiento matemático
profundo. Teorías y conexiones matemáticas amplias
C2 y D
�� Conexiones Conexiones matemmatemááticas ticas complejascomplejas
AVANZADAS
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Un Ejemplo: polUn Ejemplo: políígonos (Primaria)gonos (Primaria)
•• AA..-- polpolíígono y poligonal; clases de polgono y poligonal; clases de políígonos; nombres; algunas gonos; nombres; algunas
propiedades; fpropiedades; fóórmulas de rmulas de ááreas de polreas de políígonos; representacigonos; representacióón; etc.n; etc.
•• B1B1..-- problemas de enunciado verbal de contenido no problemas de enunciado verbal de contenido no
matemmatemáático; mosaicos; tico; mosaicos; geoplanogeoplano; tramas isom; tramas isoméétricas; tricas; tangramtangram; ;
teselacionesteselaciones del planodel plano
•• B2B2..-- dibujo de poldibujo de políígonos con regla y compgonos con regla y compáás; problemas de s; problemas de
enunciado verbal de contenido matemenunciado verbal de contenido matemáático; ctico; cáálculo de lculo de ááreas y reas y
perperíímetros;metros;
•• C1C1..-- Pavimentos; decoraciPavimentos; decoracióón; cajas; disen; cajas; diseñño gro grááfico;fico;
•• C2C2..-- Formas matemFormas matemááticas; belleza; apilamiento; encaje; estudio ticas; belleza; apilamiento; encaje; estudio
matemmatemáático de mosaicos; estabilidad; naturaleza; armontico de mosaicos; estabilidad; naturaleza; armoníía; a;
volvolúúmenes, plano y espacio;menes, plano y espacio;
•• DD..-- Explicaciones; ejemplos; definiciones; propiedades Explicaciones; ejemplos; definiciones; propiedades
topoltopolóógicas, proyectivas y gicas, proyectivas y eucleuclíídeasdeas; geometr; geometríía del plano; etc.a del plano; etc.
36
Competencias y desarrollo del Proceso DidCompetencias y desarrollo del Proceso Didáácticoctico
A
D y A
B2
Conexiones Matemáticas
C2
A
Inicio del proceso didáctico
Conexiones no Matemáticas
B1
C1
Competenciaselementales
Competenciasavanzadas
Procesos de matematización
Procesos de matematización
Procesos de matematización
Procesos de matematización
Mayor complejidad
Mayor complejidad
A
A y D
A y D
D y A
A
3737
Tareas y Situaciones DidTareas y Situaciones Did áácticas por sus cticas por sus caractercaracter íísticas metodolsticas metodol óógicasgicas
(se centran en la competencia matemática y sus componentes pero al mismo tiempo favorecen la adquisición de las competencias básicas según el contenido y la metodología)
A) Introducción/Motivación/Utilidad/Situac. fundamentalB) Situaciones reales
– Realidad Cívico - Social Realidad Físico - Natural Otras
– tienen que ver con las competencias básicas correspondientes, la motivación y la comprensión
C) Tareas Lúdicas (Juegos y pasatiempos)D) Tareas Manipulativas (Recursos y Material didáctico)
– tienen que ver con la motivación y las competencias básicas (comunicación lingüística, comportamientos sociales, etc.)
– tienen que ver con la motivación y la comprensión
E) Problemas de enunciado verbal– tienen que ver con la aplicación matemática, aprender a aprender, aurtonomía e iniciativa personal)
F) Explicaciones. Ejemplos. LecturasG) Tareas instrumentales (Ejercicios, algoritmos, terminología)
– tienen que ver con las técnicas y prerrequisitos
3838
Competencias MatemCompetencias Matemááticas especticas especííficas y ficas y tareas y ntareas y núúcleos de actividad matemcleos de actividad matemáática tica
escolarescolarMODELIZACIÓN MATEMÁTICA
(Análisis y organización / estructuración matemática de la información; situaciones susceptibles de ser modelizadas
matemáticamente)
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS(Gestión matemática de la información ya estructurada / organizada para obtener nueva información)
PEV(problemas de enun. verbal)
SITUACIONES REALES
MATERIAL DIDÁCTICO
INSTRUMENTOS, TERMINOS Y CONOCIMIENTOS BÁSICOS
REPRESENTACIÓN, EXPRESIÓN, ARGUMENTACIÓN, COMUNICACIÓN MATEMÁTICA
(Transmisión y validación de la información)
EJERCICIOS, PRÁCTICA
JUEGOS Y PASATIEMPO
EXPLICACIONES EJEMPLOS
3939
Necesidades urgentesNecesidades urgentesNecesidades urgentesNecesidades urgentesNecesidades urgentesNecesidades urgentesNecesidades urgentesNecesidades urgentes
�� MMáás tiempo dedicado a las matems tiempo dedicado a las matemááticasticas�� Nuevos fines y nuevo enfoque del trabajo en el Nuevos fines y nuevo enfoque del trabajo en el
aula. Innovaciaula. Innovacióón y trabajo en equipon y trabajo en equipo�� Libro de texto. ProgramaciLibro de texto. Programacióón n �� Material didMaterial didááctico adecuado y medios para ctico adecuado y medios para
adquirirloadquirirlo�� Apoyo al profesoradoApoyo al profesorado�� Mejora sustancial de los programas de Mejora sustancial de los programas de
preparacipreparacióón especn especíífica del profesorado fica del profesorado (Did(Didááctica de la Matemctica de la Matemáática)tica)
�� MMáás informacis informacióón en el curso sobre el teman en el curso sobre el tema