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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
ESTRATEGIAS UTILIZADAS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA Y BACHILLERATO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE LA OLIMPIADA
DE MATEMÁTICAS
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
PRESENTA:
Guillermina Flores Mora
DIRIGIDA POR:
Dr. Fernando Barrera Mora
Dr. Aarón Reyes Rodríguez
2
RESUMEN
En este trabajo se documentan y analizan las estrategias de resolución de problemas
utilizadas por 158 estudiantes, entre secundaria y bachillerato, que participaron en la fase
estatal de la Olimpiada de Matemáticas del Estado de Hidalgo. Los estudiantes resolvieron
13 problemas, diez de los cuales fueron de opción múltiple y tres de respuesta abierta. El
análisis de la información se basó en el marco de resolución de problemas, principalmente
las ideas de Polya y Schoenfeld, así como en el constructo de la demanda cognitiva,
centrando la atención en los procesos cognitivos puestos en práctica por los estudiantes
durante la identificación de los datos, la incógnita y la construcción de estrategias de
solución. Entre los principales resultados se destaca que muchas de las dificultades al
resolver los problemas se presentan durante la fase de entendimiento del problema,
asimismo se identifican diferentes procesos cognitivos que resultan útiles para resolver este
tipo de problemas.
ABSTRACT
In this research we document and analyze problem solving strategies employed by 158
middle and high school students, who solved thirteen problems in a paper and pencil
environment. Students’ written productions were analyzed based on problem solving
framework, particularly some ideas from Polya and Schoenfeld, as well as on the construct
of cognitive demand. The attention in the analysis was centered in cognitive processes
developed by students during the process of resources selection and construction of
problem solving strategies. Some relevant results of this research are: (i) several students’
difficulties to solve a problem were originated in the problem understanding phase, and (ii)
were identified some cognitive processes might help students to solve problems of the kind
employed in this research, in an effective way.
3
ÍNDICE
Contenido Página
CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1. Introducción y revisión de literatura 5
1.2. Planteamiento del problema y objetivo 10
CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL
2.1. Introducción 12
2.2 Las cuatro fases del proceso de resolución de un problema 15
2.3 Los recursos y las heurísticas 16
2.4 Demanda cognitiva de las tareas de aprendizaje 18
CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA
3.1. Introducción 22
3.2 Características de los estudiantes 22
3.3 El examen de la fase estatal de la Olimpiada de Matemáticas 2011 23
3.4 Ventajas y desventajas de los exámenes escritos 23
3.5 Características de los problemas 24
3.6 Análisis preliminar de los problemas 26
3.7 Procedimiento para analizar las respuestas de los estudiantes 34
4
Página
CAPÍTULO 4. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
4.1 Introducción 35
4.2 Análisis de los resultados de las preguntas 35
CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
5.1 Introducción 95
5.2 Conclusiones 95
5.3 Implicaciones didácticas. 97
5.4 Propuestas a futuro. 98
REFERENCIAS 99
APÉNDICES
Apéndice A. El examen 102
Apéndice B. Resumen de los resultados 104
Apéndice C. Concentrado de resultados 112
5
CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1. Introducción
Diversas propuestas curriculares de carácter internacional como los Principios y Estándares
para la Educación Matemática (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM],
2000) resaltan la importancia de la resolución de problemas en el aprendizaje de las
matemáticas. Resolver problemas se ha considerado como un elemento central en la
construcción de una forma matemática de pensar. Es a través de la resolución de problemas
que el estudiante puede adquirir familiaridad con una amplia variedad de heurísticas, y
desarrollar flexibilidad para utilizar los conocimientos que posee, así como una disposición
para el aprendizaje de la disciplina.
En una instrucción basada en la resolución de problemas se proponen situaciones y tareas
cuya solución no está al alcance inmediato de los estudiantes, más bien se busca que el
problema les ofrezca un reto mediante el cual desarrollen una actividad cognitiva de alto
nivel, al utilizar los conocimientos que poseen para establecer conexiones entre éstos y las
ideas o conceptos involucrados en el problema. El desarrollo de procesos cognitivos de alto
nivel por los estudiantes al resolver problemas será la base para la construcción de un
aprendizaje con entendimiento (Hiebert, et al., 1997). El aprendizaje con entendimiento es
importante porque “proporciona fundamentos para recordar o reconstruir hechos y métodos
matemáticos, para resolver problemas nuevos o desconocidos, y para generar nuevo
conocimiento” (National Research Council [NRC], 2002, p. 11).
En una propuesta de aprendizaje basada en la resolución de problemas los estudiantes
aprenden matemáticas a partir de la exploración de relaciones, la formulación de preguntas
y conjeturas, el uso de diferentes formas de argumentación y justificación, el
establecimiento de conexiones, así como la comunicación de resultados, todo ello en una
comunidad que valora la construcción de conocimiento matemático (Santos-Trigo, 2007).
Así, un elemento esencial del proceso de instrucción lo constituyen los problemas con alta
demanda cognitiva (Smith y Stein, 1998); es decir, problemas que no tienen solución única
o que pueden resolverse por diversos caminos o rutas, y que ofrecen al estudiante
oportunidades para desarrollar su creatividad e ingenio.
6
Existe un consenso entre la comunidad de investigadores en educación matemática de que
el tipo de tareas o problemas que los estudiantes aborden determinan las características del
conocimiento que construyen (NCTM, 2000; Stein y Smith, 1998; Kilpatrick, Swafford y
Findell, 2001). Asimismo, propuestas curriculares en México (RIES, 2006) también
reconocen que el aprendizaje a través de la resolución de problemas ofrece a los estudiantes
oportunidades para entender ideas o conceptos matemáticos.
[Durante el proceso de enseñanza] no se trata de que el maestro busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino de que analice y proponga problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces. Seguramente el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas con base en actividades de estudio cuidadosamente seleccionadas resultará extraño para muchos maestros compenetrados con la idea de que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir información. Sin embargo, vale la pena intentarlo, pues abre el camino para experimentar un cambio radical en el ambiente del salón de clases. (SEP, 2006, pp. 11-12)
Es importante que los estudiantes resuelvan diversos problemas durante sus experiencias de
aprendizaje. Los problemas son la base para el entendimiento de conceptos, el desarrollo de
hábitos de trabajo y de aptitudes para la experimentación, la investigación, la formulación
de conjeturas, la comunicación y la justificación, porque no solamente dirigen la atención
de los estudiantes hacia aspectos específicos de los conceptos o contenidos matemáticos,
sino también a las formas en que organizan y procesan la información (Cai, 2003).
El profesor tiene como una de sus funciones primordiales diseñar tareas con alta demanda
cognitiva, implementarlas en el salón de clase y seguir la actividad de los estudiantes al
abordarlas, con el objetivo de determinar si éstas permiten a los estudiantes estructurar sus
conocimientos previos con aquellos conceptos que se busca que aprendan, y si durante el
proceso de solución los estudiantes ponen en práctica elementos del pensar
matemáticamente como la formulación de conjeturas, la justificación de resultados, la
comunicación de ideas y la construcción de conexiones entre conceptos.
Por otra parte, discutir y analizar las estrategias que los estudiantes utilizan al resolver
problemas brinda al profesor la oportunidad de identificar el origen de las dificultades de
los estudiantes, además de conocer los alcances y limitaciones de las estrategias didácticas
y de las acciones que se llevan a cabo en el aula. Así, en este trabajo se propone
7
documentar las estrategias que utilizan estudiantes de secundaria y bachillerato al resolver
problemas de la olimpiada de matemáticas, con la finalidad de analizar detalladamente esas
estrategias, así como los procesos cognitivos desarrollados durante el proceso de
elaboración e implementación de las mismas. La razón de centrar la atención en problemas
de la olimpiada de matemáticas es que éstos son tareas no rutinarias para la mayoría de los
estudiantes de secundaria y bachillerato; de ahí que sean útiles para observar la puesta en
práctica de procesos cognitivos de alto nivel, a diferencia de los procesos rutinarios que se
llevan a cabo al abordar problemas en los que únicamente se tienen que implementar
métodos o algoritmos estándar (English, 1993).
Es importante considerar que muchas veces, como profesores, no tenemos la formación
adecuada para poder preparar a los estudiantes que participan en la olimpiada de
matemáticas, por lo que este trabajo puede ser de utilidad para los docentes, al sugerir
algunas orientaciones pedagógicas que apoyen el aprendizaje de estrategias y formas de
pensamiento relevantes para abordar este tipo de problemas.
Revisión de la literatura
El análisis de las estrategias que utilizan estudiantes para resolver problemas ha sido fuente
de interés en el ámbito de la investigación en educación matemática. Algunos trabajos han
analizado las diferencias entre las estrategias para resolver tareas no rutinarias planteadas
por estudiantes talentosos y no talentosos en matemáticas (Heinze, 2005), otros han
documentado la selección de estrategias para resolver problemas específicos como el de las
torres de Hanoi (Fum y Del Missier, 2001) o se han interesado en desarrollar teorías para
explicar las formas en que los estudiantes elaboran estrategias de solución de tareas en las
que intervienen configuraciones geométricas (Lee y Johnson-Laird, 2004).
English (1993), por ejemplo, analizó las estrategias y procesos de razonamiento empleados
por estudiantes entre 9 y 12 años, para resolver problemas no rutinarios de combinatoria y
razonamiento. Las estrategias que utilizaron los estudiantes fueron variadas e incluyeron
procedimientos de ensayo y error, hasta estrategias de patrones uniformes, cíclicos o la
estrategia del odómetro. Asimismo, se observó que los procesos de razonamiento de
8
estudiantes clasificados como de bajo desempeño en matemáticas fueron similares a los de
sus pares clasificados como estudiantes de alto desempeño en matemáticas.
En el caso específico de problemas típicos de la olimpiada de matemáticas Valle-Espinosa,
Juárez-Ramírez y Guzmán-Ovando (2007) identificaron las estrategias generales utilizadas
por estudiantes que participaron en la olimpiada estatal de matemáticas del estado de
Puebla. Entre las estrategias utilizadas por los estudiantes se encuentran: ensayo y error,
usar una variable, buscar un patrón, hacer una lista, resolver un problema más simple, hacer
una figura, usar un razonamiento directo y usar un razonamiento indirecto. De acuerdo con
la investigación, existe evidencia de que únicamente el 35% de los estudiantes comprendió
el problema. Sin embargo, en la investigación antes mencionada no se realizó un análisis
detallado de los procesos cognitivos involucrados en la resolución de estos problemas. Este
último aspecto será el centro de atención de esta tesis.
Otros investigadores enumeran algunas estrategias que pueden ayudar a la resolución de un
problema matemático: estrategia pictórica, uso de figuras, dibujos o diagramas que sirvan
para representar el problema; ensayo y error, incluye algunas direcciones dependiendo el
tipo de ensayo que seleccione; relaciones, en el que se puede pensar en una
correspondencia entre los datos conocidos y lo que se desea conocer; semialgebraico,
cuando se trata de conocer algún dato desconocido por medio de combinaciones que
ayuden a resolver el problema; algebraico, representando la información con el
planteamiento de ecuaciones y gráfico, para representar el problema utilizando un gráfico
que muestre la relación entre los datos para resolver el problema; se usan algunos de ellos
dependiendo el problema que se presente (Santos-Trigo, 2007).
En otros trabajos se hace referencia a la estructura profunda de los problemas, el tipo de
preguntas planteadas y las formas en que puede resolverse (Santos-Trigo, 1997). Entre los
resultados se destaca que al abordar una situación problemática, el estudiante debe
centrarse en formular constantemente preguntas, respuestas y explicaciones durante el
proceso de solución. También se han identificado algunos procesos matemáticos que se
deben considerar en la resolución de un problema: el uso de tablas para el tratamiento
numérico de la información, la representación gráfica o visual, la representación algebraica,
análisis de casos particulares, identificación de patrones y generalización del problema.
9
Destacan la importancia de realizar un análisis global del proceso de solución y la búsqueda
de conexiones entre otros problemas con la situación problemática original (Barrera y
Santos, 2001).
En esta misma línea de ideas, Pujol-Pujol, Figueiras-Ocaña y Deulofeu-Piquet (2011),
refieren que en la resolución de problemas se debe promover la experimentación,
observación, búsqueda de patrones y regularidades, formular conjeturas y justificar
resultados. Durante el proceso de solución también resulta útil encontrar un problema
similar más sencillo, considerar casos particulares, dividir el problema en partes, variar las
condiciones del problema, buscar un problema relacionado y examinar el problema desde
un campo más amplio.
A partir de la revisión de la literatura se observó que algunas de las estrategias más
comunes que se utilizan para la resolución de un problema son buscar semejanzas con otros
problemas, reducir lo complicado a lo simple, considerar casos particulares, hacer un
dibujo, estudiar todos los casos posibles, elegir una notación adecuada, hacer
modificaciones al problema incorporando algún elemento adicional, por ensayo y error,
trabajar hacia atrás, utilizar el razonamiento directo o indirecto, aprovechar la simetría en
caso de los problemas de geometría, aritmética y álgebra, utilizar técnicas generales,
realizar cálculos simbólicos, identificar patrones.
Disponer de un repertorio amplio de estrategias o heurísticas es de gran ayuda para tener
éxito al resolver problemas matemáticos. Sin embargo, es necesario tener presente que las
heurísticas no son infalibles, son únicamente un recurso que puede apoyar el proceso de
solución. También se observó que la mayoría de los artículos enlistan las estrategias
utilizadas por los estudiantes, pero no realizan un análisis de los procesos cognitivos
llevados a cabo durante el proceso de construcción o aplicación de dichas estrategias.
En este trabajo se realizará un análisis de algunos procesos mentales de alto nivel (Smith y
Stein, 1998), utilizados por los estudiantes para resolver problemas de la olimpiada de las
matemáticas. Establecer relaciones entre procesos cognitivos utilizados permitirá visualizar
un panorama de la cognición de los estudiantes, de forma que pueda facilitarse en gran
10
medida las tareas de aprendizaje, identificando la forma en que el estudiante entiende,
razona, analiza, trata la información y la transforma hasta llegar a un resultado.
1.2. Planteamiento del problema y objetivos
El análisis de las estrategias de resolución de problemas es importante en términos
didácticos, porque ofrece al profesor medios para entender cómo piensan sus estudiantes,
conocer cuáles son las dificultades de aprendizaje e implementar acciones didácticas que le
permitan afrontar esas dificultades. En este contexto, esta tesis tiene como objetivo general
documentar y caracterizar las estrategias que utilizan estudiantes de secundaria y
bachillerato para resolver problemas de la olimpiada de matemáticas. Con los resultados del
trabajo se pretende contribuir al análisis de los procesos cognitivos que aparecen al resolver
este tipo de problemas, los cuales han recibido una atención limitada en la literatura sobre
resolución de problemas, profundizando en los elementos mentales puestos en juego por los
estudiantes al resolver este tipo de problemas.
Con esta investigación se busca contribuir a incrementar el interés en la resolución de
problemas de la olimpiada de matemáticas mostrando algunas propuestas de solución a los
planteamientos y algunos de los procesos realizados por los estudiantes, ya que ello
permitirá a los profesores familiarizarse con diversas heurísticas, poner en práctica sus
conocimientos previos y desarrollar formas de construcción del conocimiento consistentes
con el quehacer de la disciplina. El que los profesores de matemáticas conozcan estrategias
útiles para resolver problemas de la olimpiada de las matemáticas, y una caracterización de
las mismas según el grado de complejidad, les proporcionará oportunidades para preparar
de una mejor forma a los estudiantes que participan en este tipo de eventos. Asimismo les
consentirá reflexionar sobre el porqué los estudiantes eligen alguna estrategia en particular
y los obstáculos para reorganizar y reestructurar los conocimientos que se poseen, con
nuevos conocimientos.
11
Objetivos específicos
1. Caracterizar las estrategias que estudiantes de secundaria y bachillerato utilizan para
resolver problemas de las olimpiadas de matemáticas.
2. Analizar los procesos cognitivos que desarrollan los estudiantes al resolver problemas de
la olimpiada de matemáticas.
3. Identificar algunos principios didácticos que pueden ser de utilidad para mejorar el
desempeño de los estudiantes al resolver problemas tipo de la olimpiada de matemáticas.
Preguntas de investigación
1. ¿Qué tipo de estrategias implementan los estudiantes de secundaria y bachillerato al
resolver problemas de la olimpiada de matemáticas? Con esta pregunta se pretende conocer
cuáles son las estrategias más comunes que los estudiantes de secundaria y bachillerato
utilizan para resolver problemas de la olimpiada de matemáticas e identificar cuál es el
grado de efectividad de esas estrategias para resolver los problemas. La respuesta a esta
pregunta puede ser de utilidad, ya que permitirá a los profesores tener un referente de las
estrategias más usuales, así como las dificultades mostradas por los estudiantes al resolver
este tipo de problemas.
2. ¿Cuáles son los procesos cognitivos que los estudiantes ponen en práctica al resolver
problemas de la olimpiada? Con esta pregunta de investigación se pretende conocer si la
clase de problemas que integran los exámenes de las olimpiadas de matemáticas pueden
apoyar el hecho de que los estudiantes desarrollen un entendimiento conceptual de las
matemáticas y desarrollen una forma matemática de pensar, así como una disposición hacia
el aprendizaje de la disciplina; además de ayudar a los estudiantes que presentan
dificultades para el aprendizaje de las matemáticas al entender su forma de pensar
abordando este tipo particular de situaciones problemáticas. Aunado a ello, permitirá contar
con un “mapa” de la actividad mental de los estudiantes al resolver problemas con alta
demanda cognitiva.
12
CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL
2.1. Introducción
Un marco de investigación es el fundamento del que se dispone para estructurar las diversas
etapas del proceso investigativo; particularmente en lo que respecta a la recolección de la
información, la descripción y análisis de los datos, así como a la interpretación de las
relaciones de las variables que integran el fenómeno que se estudia. El marco de
investigación es un recurso que permite articular elementos teóricos y prácticos, los
supuestos y la experiencia empírica del investigador, para comprender con profundidad el
problema de interés, ya que proporciona una forma particular de mirar al mismo y a las
relaciones que en él se desarrollan.
De acuerdo con Eisenhart (1991) existen tres tipos de marcos de investigación: teóricos,
prácticos y conceptuales. Se considera que el marco conceptual es de mayor utilidad por ser
flexible en el sentido de que puede construirse con base en elementos de diferentes
aproximaciones teóricas, y de la experiencia práctica del investigador siempre y cuando
exista compatibilidad entre los diversos elementos teóricos. Un marco conceptual está
conformado por un conjunto de conceptos y sus posibles relaciones, así como por
justificaciones acerca de por qué esos conceptos y relaciones son útiles para explicar o
entender el fenómeno que se estudia (Lester, 2005).
Toda investigación requiere de un marco conceptual ya que éste orientará las acciones que
desarrolle el investigador, pues un mismo problema puede analizarse desde diferentes
perspectivas; por ejemplo, al analizar por qué los estudiantes muestran bajo rendimiento en
las clases de matemáticas se puede optar por centrar la atención en el profesor, así la
observación se dirigirá a las actividades que propone y en las acciones que desarrolla en el
aula; en cambio, si se adopta una posición sociológica se intentará explicar el fenómeno a
partir de las características del contexto social en que se desarrollan los estudiantes, de sus
condiciones socioeconómicas o familiares.
El marco conceptual de esta investigación se estructura fundamentalmente en torno a la
propuesta de resolución de problemas de Polya (2008) particularmente en lo que se refiere a
las cuatro fases para resolver un problema. Se consideran también a algunas de las variables
13
que influyen en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas entre las que se
encuentran los recursos y las heurísticas (Schoenfeld, 1985). Finalmente, se hace uso del
constructo de la demanda cognitiva de las tareas de aprendizaje (Stein y Smith, 1998).
Concepción de las matemáticas y el aprendizaje
Explicitar las concepciones que un investigador sostiene sobre las matemáticas, el
aprendizaje y la enseñanza de la disciplina es parte fundamental de todo marco conceptual;
por esta razón se presentarán dos concepciones de lo que son las matemáticas y sus
consecuencias en términos del aprendizaje y la enseñanza que se derivan de ellas, así como
la posición que se adopta en este trabajo. Existen diferentes concepciones sobre las
matemáticas desde la concepción en el aula; en una de ellas se considera que la disciplina
es una ciencia formal, que parte de axiomas y sigue un razonamiento lógico, a partir del
cual se estudian las propiedades y relaciones entre objetos matemáticos (números, figuras
geométricas y símbolos). Además, se concibe a las matemáticas como un conjunto de
hechos dados de una vez y para siempre. Desde este punto de vista, el aprendizaje se reduce
a la memorización de un conjunto de definiciones, reglas y algoritmos para llegar a un
resultado, es decir, aprender matemáticas consiste en entender algoritmos y ejercitarse en
aplicarlos, mientras que la verdad matemática se determina cuando el profesor ratifica una
respuesta o método de solución (Lampert, 1990).
La otra concepción se basa en el marco de resolución de problemas, en la que las
matemáticas se conciben como una ciencia que se encuentra en constante cambio, al igual
que las demás ciencias. La disciplina se conceptualiza como la ciencia de los patrones, y el
aprendizaje se entiende como una actividad que incluye formular conjeturas y justificarlas,
buscar diversos procedimientos para resolver problemas, aplicar de forma flexible los
conocimientos que se poseen para explorar una situación problemática, así como elaborar
extensiones y generalizaciones de los problemas. En este sentido, aprender matemáticas va
más allá de memorizar y aplicar procedimientos y reglas algorítmicas, se trata más bien de
imaginar, probar, equivocarse, experimentar, conjeturar, observar relaciones, establecer
conexiones entre los conocimientos que ya se poseen para construir nuevos conocimientos
al resolver problemas, justificar conjeturas y comunicar resultados, lo cual involucra poner
14
en práctica procesos cognitivos de alto nivel, sin restar importancia a la habilidad para
llevar a cabo procesos rutinarios con rapidez y eficiencia.
Aprender matemáticas a través de la resolución de problemas, permite desarrollar formas
de pensar que favorecen la construcción de un aprendizaje con entendimiento y la
construcción de significados de los conceptos, en contextos matemáticos y extra –
matemático.
Veamos, en consecuencia, qué es un problema y, particularmente, qué es un problema
matemático.
¿Qué es un problema?
De acuerdo con el marco de resolución de problemas, un problema consiste en una tarea
para la cual el estudiante no tiene un algoritmo o proceso de solución inmediata (Santos-
Trigo, 2007). El uso de problemas en el aprendizaje de las matemáticas permite que los
estudiantes pongan en práctica procesos cognitivos de alto nivel, y no solamente acciones
mecanizadas y memorísticas. La resolución de problemas permite a los estudiantes
desarrollar diversos elementos del pensamiento matemático, análogos a los que llevan a
cabo los matemáticos profesionales durante la generación de nuevos conocimientos
disciplinares.
Un problema también es una tarea o situación en la que existe un interés de una persona o
grupo de personas para encontrar una solución, además de que el resolutor no conoce una
ruta mediante la cual pueda encontrar una solución de forma inmediata, la tarea puede
resolverse de diversas maneras y puede ser que no exista una única solución. “Un problema
es tal hasta que existe un interés y se emprenden acciones específicas para intentar
resolverlo” (Santos-Trigo, 2007, p. 51). La principal idea de lo que es un problema “es que
el alumno se enfrente a una variedad de situaciones en donde sea necesario analizar y
evaluar diversas estrategias en las diferentes fases de solución” (ibid).
Los elementos teóricos que se utilizan en esta tesis para interpretar los datos obtenidos en la
fase del trabajo de campo son: definición de problema, las cuatro fases de resolución de un
problema, recursos y heurísticas, demanda cognitiva de un problema.
15
2.2. Las cuatro fases del proceso de resolución de un problema
En el proceso de resolución de un problema, de acuerdo con Polya, se pueden distinguir
cuatro fases: (1) comprender el problema, (2) concebir un plan, (3) ejecutar el plan y (4)
visión retrospectiva.
A continuación se explicará con mayor detalle cada una de las cuatro fases.
1. Comprender el problema. Es importante destacar que aún no se ha estudiado con
profundidad qué significa entender un problema, sin embargo sí podemos decir que cuando
un estudiante ha entendido el enunciado del problema puede identificar los datos explícitos,
los implícitos y la incógnita (en la terminología de Polya, la incógnita hace referencia a lo
que se desconoce, o solicita el problema), que le permitirán diseñar una posible ruta de
solución. Esta es una fase crucial en el proceso de solución, en ella el estudiante debe ser
capaz de expresar el enunciado del problema con sus propias palabras. Aquí se identifican
los datos y la incógnita, además de determinar si los datos son suficientes para determinar a
la incógnita o se requiere de información adicional, la cual debe ser proporcionada por el
propio estudiante. Algunas heurísticas que se pueden implementar con el objetivo de
apoyar el entendimiento del problema se encuentra el dibujar una figura en la cual se
resalten los datos y la incógnita, además de introducir una notación para identificar los
elementos que constituyen el problema. En esta fase resulta importante que el profesor
determine si los estudiantes poseen los conocimientos previos suficientes para abordar el
problema, ya que en caso de que esto no sea así, los estudiantes pueden perder el interés en
abordar la situación problemática.
2. Concebir un plan. En la segunda fase los estudiantes deben tener una idea acerca de
cuáles de sus conocimientos previos pueden ser de utilidad para resolver el problema y de
cómo los aplicarán en el proceso de solución. El éxito en esta fase depende en gran medida
de la experiencia previa de los estudiantes, ya que a través de ésta podrán determinar si han
resuelto algún problema similar o han implementado algún procedimiento o forma de
solucionar un problema que les pueda ser de utilidad. Algunas heurísticas que resultan
útiles durante esta etapa consisten en resolver un problema más simple, relajar las
16
condiciones o enunciar el problema en una forma diferente. La concepción del plan consiste
esencialmente en trazar una ruta que articule los datos con la incógnita.
3. Implementación del plan. Acto seguido, en el proceso de solución se pone en práctica el
esquema general de solución establecido en la fase previa, es decir, se llevan a cabo
acciones que permitan conectar a los datos con la incógnita. En muchas ocasiones la
implementación del plan requiere de ingenio y creatividad para determinar las posibles
formas en que se puede realizar la conexión entre los datos y la incógnita. Aquí resultan de
utilidad heurísticas tales como agregar trazos auxiliares y verificar cada paso del proceso de
implementación.
4. Visión retrospectiva. Es una de las fases más instructivas porque en ella se re-examina la
solución y el proceso que nos condujo a ella. Aquí se verifica que la solución tiene sentido
en función del contexto del problema. Heurísticas importantes en esta fase consisten en
encontrar diferentes formas de solución y extender o generalizar el problema.
2.3. Los recursos y las heurísticas
Las actividades o problemas son el medio que permite a los estudiantes desarrollar una
actividad matemática significativa, análoga a la que llevan a cabo los matemáticos
profesionales durante la creación de nuevos conocimientos, lo cual incluye experimentar,
observar relaciones, formular conjeturas, justificar y comunicar resultados. Para que una
tarea sea un auténtico problema, los estudiantes no deben contar con un algoritmo o
procedimiento el cual puedan implementar de forma inmediata para obtener una solución;
sin embargo, deben disponer de conocimientos previos suficientes para abordar el problema
y realizar avances en el proceso de solución.
Para que un estudiante construya un aprendizaje con entendimiento a través de la
resolución de problemas, debe tener interés por abordar las tareas, lo cual se favorece en un
ambiente que fomenta el desarrollo de una actitud inquisitiva y en la que se problematice el
aprendizaje de las matemáticas. Problematizar el aprendizaje de las matemáticas permite al
estudiante asombrarse ante los hechos matemáticos, permitirle investigar, buscar soluciones
y resolver dilemas, permitirle formular problemas que estimulen su curiosidad y su
habilidad para dar sentido a los conceptos matemáticos (Hiebert et al., 1996).
17
Como dijimos con anterioridad, otro elemento fundamental del marco conceptual lo
constituyen las diversas variables que influyen en el desempeño de los estudiantes al
resolver problemas, entre ellas se encuentran los recursos, las heurísticas, el control y el
sistema de creencias (Schoenfeld, 1985). Para la presente tesis de maestría se consideran
todas las variables, excepto el sistema de creencias, que no es posible determinar con base
en una prueba escrita como la que constituye la fuente de información de este proyecto.
Los recursos constituyen un inventario de los hechos, procedimientos y habilidades de los
que dispone un estudiante para abordar un problema. En los recursos se incluyen también
los hechos o ideas erróneas que el estudiante sostiene. Una clase amplia de recursos que
poseen los estudiantes se refiere a los datos que conocen, en los cuales se encuentra su
conocimiento sobre las formas de argumentación que son válidas en matemáticas. Otras
clases de recursos están integradas por los procedimientos algorítmicos que el estudiante es
capaz de implementar (trazar perpendiculares, realizar multiplicaciones), los
procedimientos rutinarios (abordar problemas que requieran resolver ecuaciones de primer
o segundo grado) y las competencias relevantes (seleccionar los conocimientos previos que
puede utilizar y relacionarlos con los datos y la incógnita del problema).
Las heurísticas son reglas de carácter general que ayudan a entender el problema o a
avanzar en la solución del mismo, pero que no aseguran el que se obtenga la solución. Entre
estas estrategias se incluye considerar analogías, introducir elementos auxiliares en una
construcción geométrica, argumentar por contradicción, trabajar hacia atrás, considerar
problemas relacionados, relajar las condiciones del problema, considerar el problema
resuelto, realizar un dibujo, elaborar una configuración dinámica en la que se puedan variar
de forma controlada la mayor cantidad de parámetros, trazar lugares geométricos, entre
otras (Schoenfeld, 1985; Espinosa-Pérez, 2006).
El control se refiere a la forma en que los individuos usan la información que se encuentra
potencialmente a su disposición. Se refiere a las acciones principales acerca de qué hacer
ante un problema. El tipo de comportamientos que forman parte de esta categoría incluye
elaborar planes, plantear objetivos y sub-objetivos, monitorear y evaluar soluciones y la
forma en que estas evolucionan, así como revisar y abandonar planes cuando así se
requiera.
18
2.4. Demanda cognitiva de las tareas de aprendizaje
Como parte del marco de las tareas de aprendizaje Stein y Smith (1998) incluyen el
constructo de la demanda cognitiva de las tareas de aprendizaje. Se refiere a la medida en
que una tarea permite al estudiante construir conexiones entre conceptos (aprendizaje con
entendimiento en la terminología de Hiebert), y dar significado a los conceptos
matemáticos. Las tareas, de acuerdo con este marco, se dividen en dos grandes grupos,
tareas con baja demanda cognitiva y tareas con alta demanda cognitiva. A su vez, cada una
de las clasificaciones cuenta con dos subcategorías (Tabla 1).
19
Baja demanda cognitiva Alta demanda cognitiva
Memorización
• Involucra por un lado reproducir hechos aprendidos previamente, fórmulas o definiciones o por otro, almacenar hechos, reglas, fórmulas o definiciones en la memoria.
• No pueden resolverse usando procedimientos porque no existe un procedimiento o porque el tiempo en el que se debe desarrollar la tarea es demasiado corto para usar un procedimiento.
• No son ambiguas, estas tareas involucran la reproducción exacta de material abordado previamente y lo que se reproduce se establece de forma clara y directa.
• No hay conexiones con los conceptos o significados que subyacen los hechos, reglas, fórmulas o definiciones que se están aprendiendo o reproduciendo.
Procedimientos con conexiones
• Enfocan la atención del estudiante en el uso de procedimientos con el propósito de desarrollar niveles profundos de entendimiento de conceptos e ideas matemáticas.
• Sugiere rutas que seguir (explícita o implícitamente) que son procedimientos generales amplios que tienen estrecha conexión con las ideas conceptuales subyacentes.
• Usualmente pueden utilizar representaciones múltiples (diagramas visuales, objetos manipulables, símbolos, situaciones problemáticas). Realizar conexiones entre las múltiples representaciones ayuda al desarrollo de significados.
• Requieren cierto grado de esfuerzo cognitivo. Aunque se pueden seguir procedimientos generales, éstos no se siguen sin pensar. Los estudiantes necesitan involucrase con las ideas conceptuales que subyacen los procedimientos para completar exitosamente las tareas y desarrollar entendimiento.
Procedimientos sin conexiones
• Son algorítmicas. El uso de procedimientos es específicamente diseñado para el problema o su uso es evidente basado en instrucciones previas, experiencia o por el contexto de la tarea.
• Requiere de limitada actividad mental para completarla exitosamente. Hay poca ambigüedad respecto a lo que debe hacerse y cómo hacerlo.
• No existen conexiones con los conceptos o significados que subyacen a los procedimientos que se utilizan.
• Están enfocadas en la producción de respuestas correctas más que en desarrollar un entendimiento matemático.
• No requieren explicaciones o requieren explicaciones que se enfocan solamente en describir el procedimiento utilizado.
Hacer matemáticas
• Requieren un pensamiento complejo y no algorítmico, es decir que no hay una ruta predecible y bien determinada sugerida explícitamente por la tarea, las instrucciones de la tarea o un ejemplo resuelto previamente.
• Requiere que los estudiantes exploren y entiendan la naturaleza subyacente de los conceptos, procesos o relaciones matemáticos.
• Demanda auto-monitoreo o auto-regulación de nuestros propios procesos cognitivos.
• Requiere que los estudiantes accedan a conocimientos y experiencias relevantes y hagan un uso apropiado de ellas a través de su trabajo en la tarea.
• Requiere que los estudiantes analicen la tarea y examinen activamente las restricciones de la tarea que pueden limitar las posibles estrategias de solución o las soluciones.
• Requiere de un considerable esfuerzo cognitivo y puede involucrar cierto grado de ansiedad para los estudiantes debido a la naturaleza impredecible que requiere el proceso de solución.
Tabla 1. Caracterización de los niveles de demanda cognitiva de las tareas (Smith y Stein, 1998)
Los elementos que integran el marco conceptual se complementan en el proceso de
resolución de problemas. Intervienen en este proceso las cuatro fases de resolución de
problemas, los recursos, las heurísticas, la demanda cognitiva y el control de actividades
(Diagrama 1). Se parte de un problema o situación problemática y una de las primeras
20
acciones que debe llevar a cabo el resolutor es comprender el enunciado del problema,
considerando la información con la que cuenta, así como la que hace falta y discriminar
entre la que es relevante para abordar la tarea de aquella que no lo es.
Una vez identificados los elementos anteriores, es necesario concebir y estructurar un plan
de solución, considerando la incógnita, es decir, lo que pide el problema, mediante la
elección, organización y estructuración de los recursos del resolutor y la información o
datos de los que dispone. De esta manera puede ejecutarse el plan haciendo uso de las
habilidades, considerar problemas relacionados, estableciendo conexiones, introduciendo
elementos auxiliares, utilizando representaciones, argumentando ya sea de manera directa o
indirecta (puede ser por contradicción, relajar las condiciones del problema, trabajar hacia
atrás considerando el problema como resuelto, identificar las ideas erróneas, utilizar
procedimientos algorítmicos).
Otra fase importante en el proceso de solución de un problema, consiste en monitorear los
avances, así como la efectividad de las estrategias utilizadas, con el objetivo de determinar
si se continúa o se abandona una ruta de solución. Finalmente, si se ha obtenido una
solución es necesario evaluar si ésta tiene sentido en términos de las condiciones
expresadas en el enunciado del problema, si no es así, entonces se debe revisar el plan y
buscar otros caminos o rutas posibles de solución. Durante la solución de un problema las
fases de diseño del plan e implementación del mismo no pueden separarse, se debe realizar
un análisis conjunto de ambas fases debido a que el estudiante se encuentra en un proceso
en el que debe probar y replantear sus ideas, aplica al problema las estrategias que posee en
su repertorio y abandonarlas si es necesario, redefiniendo cada vez que lo considera
necesario.
21
Diagrama 1. Integración del marco conceptual al proceso de solución de problemas
Monitorear.
MARCO CONCEPTUAL
Control
Fases de resolución de
problemas Heurísticas Recursos Demanda cognitiva
Fase 3. Ejecutar el plan. Fase 2. Concebir un plan.
Fase 4. Visión retrospectiva.
Fase 1. Comprender el
problema.
Hechos. Introducir elementos auxiliares.
Representaciones.
Procedimientos con conexiones.
Habilidades.
Trabajar hacia atrás.
Argumentar por contradicción.
Procedimientos algorítmicos.
Ideas erróneas.
Considerar problemas relacionados.
Relajar las condiciones del problema.
Considerar el problema resuelto.
Revisar planes.
Plantear objetivos.
Evaluar soluciones.
Abandonar planes.
Solución del problema.
Problema.
22
3. METODOLOGÍA
3.1. Introducción
Como hemos dicho en apartados anteriores, para la realización de esta investigación se
realizó un análisis cualitativo de las estrategias que utilizan los estudiantes para resolver
problemas de la olimpiada de matemáticas con el fin de conocer de qué manera piensan los
estudiantes cuando resuelven problemas. Aproximar estas formas de pensamiento es de
utilidad para diseñar estrategias didácticas que puedan utilizarse como herramientas de
apoyo para la preparación de los estudiantes que participen en este tipo de competencias.
La Olimpiada Hidalguense de Matemáticas se ha llevado a cabo últimamente durante el
mes de marzo de cada año. Para esta competencia el Estado de Hidalgo se divide en 13
sedes y el examen se aplica de manera simultánea en todas las sedes, en día sábado, en un
horario de 10:00 a 14:00 hrs. Los participantes son estudiantes de secundaria y estudiantes
de hasta cuarto semestre de bachillerato, cuyas edades fluctuaron entre 13 y 19 años. Para
la realización del examen se permite el uso de juego de geometría, pero no el uso de algún
tipo de calculadora, formularios, libros, cuadernos o algún otro material de apoyo.
3.2 Características de los estudiantes
En este trabajo se analizaron las respuestas de 158 exámenes, pertenecientes a la región de
Pachuca que es una de las 13 sedes participantes, correspondientes a la fase estatal de las
olimpiadas de las matemáticas del año 2011. Del total de exámenes analizados, el 38.60%
fueron contestados por mujeres y el 61.40% por hombres. El 34.18% de los participantes
son del nivel secundaria y 65.82% pertenecen al nivel medio superior. En ambos casos los
estudiantes provienen de escuelas tanto públicas como privadas. El rango de edades de los
participantes es de 13 a 19 años, siendo la edad promedio de 16 años. Los exámenes que se
analizaron en este trabajo fueron proporcionados por el Comité Olímpico Estatal.
Es importante señalar que durante este tipo de pruebas, los estudiantes se encuentran
sometidos a cierta presión psicológica, dado que el tiempo que tienen para resolver el
examen es acotado. Así, este factor se considerará como una variable que influyó en los
resultados del análisis ya que probablemente se obtendrían diferentes resultados si la
23
resolución de los problemas se llevara a cabo en un ambiente en el que el estudiante pudiera
disponer de más y diferentes herramientas para llevar a cabo el proceso de solución.
3.3 El examen de la fase estatal de la Olimpiada de Matemáticas 2011
El examen fue diseñado por un comité de examen, integrado por profesores del Área
Académica de Matemáticas y Física de la UAEH, designado por el Comité Olímpico del
Estado de Hidalgo. Este examen se integró de dos partes: la primera consistió en diez
problemas de opción múltiple, con cuatro opciones de respuesta cada una, mientras que la
segunda parte consistió en tres problemas de respuesta abierta. En los años anteriores a
2011, el examen de la Olimpiada de Matemáticas del Estado de Hidalgo consistía
únicamente de problemas de respuesta abierta, siendo el año 2011 el primero en el que se
incluyeron problemas de opción múltiple. Los problemas que integraron el examen
corresponden a tres grandes áreas de las matemáticas: aritmética, geometría y combinatoria.
3.4 Ventajas y desventajas de los exámenes escritos
Aunque el examen escrito es el más usual, es en el que se debe tener más cuidado al ofrecer
una respuesta, se cuenta con mayor tiempo para responder que en un examen oral lo que
permite analizar detenidamente el problema y dar una respuesta. El examen puede incluir
preguntas con respuestas de opción múltiple o abiertas; cuando las respuestas son de opción
múltiple entonces hay una solución correcta y las demás opciones pueden parecer correctas
y generar confusión en los estudiantes. Las ventajas que ofrece este tipo de examen es que
cada pregunta aporta la respuesta correcta, dando la opción a reconocerla y seleccionarla; la
desventaja es cuando todas las respuestas parecen ser las correctas y es difícil distinguir la
opción correcta de entre ellas; para seleccionar la adecuada es necesario manejar de manera
adecuada el tema y tener la capacidad para comprender las diferencias que presenten.
El examen escrito de respuesta abierta es aquel en el que el estudiante debe proporcionar
una explicación, descripción o argumentación de la solución, la ventaja de esta prueba es
que si se está familiarizado con el contenido proporciona seguridad al poder explicar los
argumentos, además de que se cuenta con espacio para poder mostrar el proceso que sigue
para la resolución o para expresar la respuesta, la desventaja es que se puede no entender la
pregunta y responder otra cuestión que no se está solicitando, en este caso es recomendable
24
asegurarse de que se entendió el sentido del problema, distribuir el tiempo disponible,
responder primero lo que se sabe y destinar tiempo al final para reflexionar y corregir si es
necesario.
Moreno-Bayardo (2004), indica que el examen escrito es un recurso de evaluación
mediante el cual el estudiante expresa por escrito los conocimientos, aplicaciones o juicios
que se le soliciten, presenta algunas ventajas como dar oportunidad al estudiante de
recapitular sobre lo escrito y hace posible la revisión por el estudiante de aciertos y errores;
presenta también la desventaja de que facilita la copia entre estudiantes no responsables.
3.5 Características de los problemas
El examen de la olimpiada de matemáticas se caracteriza por contener verdaderos
problemas, entendiendo por problema una actividad o tarea para la cual el estudiante no
tiene una forma inmediata para resolverlo; sin embargo, gracias a los recursos con los que
cuentan, los estudiantes pueden abordar los problemas y proponer soluciones mediante una
o varias rutas, cabe mencionar que los problemas son bien estructurados.
Los problemas de opción múltiple fueron: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10; los de respuesta
abierta: 11, 12 y 13 (ver apéndice A).
Con base en el marco de la demanda cognitiva (Stein y Smith, 1998) se identificó que los
problemas con baja demanda cognitiva son: 1, 2, 4, 5 y 6; ya que se usan procedimientos
específicamente diseñados para el problema o su uso es evidente basado en instrucciones
previas, experiencia o el contexto de la tarea; mientras que los de alta demanda cognitiva
son: 3, 7, 8, 9,10, 11, 12 y 13; en los que se requiere que el estudiante enfoque su atención
en el uso de procedimientos con el propósito de desarrollar niveles profundos de
entendimiento de ideas matemáticas, sugiere rutas a seguir, usualmente pueden utilizar
representaciones múltiples y realizar conexiones entre ellas, requieren cierto grado de
actividad cognitiva.
La tabla 2, muestra la clasificación de los problemas de acuerdo al área del conocimiento
matemático que corresponde cada uno: Aritmética, Geometría y Combinatoria.
25
PROBLEMAS DE ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
1. Cuando Esteban nació, su papá tenía 28 años. Si ahora Esteban tiene un tercio de la edad de su papá,
¿cuántos años tiene Esteban?
2. En la terminal de autobuses de Xicotlán de las Flores sale un autobús de la Línea A cada 9 minutos a partir
de las 6:00 AM, un autobús de la línea B cada 13 minutos a partir de las 7:00 AM y un autobús de la Línea C
cada 11 minutos a partir de las 8:00 AM. ¿Cuántos autobuses de las líneas A, B y C salen de la terminal
desde las 6:00 AM y hasta las 5:00PM?
3. ¿Cuáles son los dos últimos dígitos del número 20112011?
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
6. Un cuadrado de área 4 está inscrito en un triángulo isósceles como se muestra en la figura. La distancia de
un vértice de la base del triángulo al vértice más próximo del cuadrado es 1. ¿Cuál es el área del triángulo
más grande?
7. Un cuadrado de área 16 se divide en cuatro cuadrados iguales como se muestra en el dibujo. ¿Cuál es el
área delimitada por la circunferencia que pasa por los centros de los cuatro cuadrados pequeños?.
10. En la siguiente figura los centros de las circunferencias interiores se encuentran sobre un diámetro de la
circunferencia mayor y cada circunferencia toca a cada una de sus vecinas en un sólo punto. Sea A el
perímetro de la circunferencia mayor y B la suma de los perímetros de las circunferencias sobre el diámetro
de la circunferencia grande. ¿Cuál es la relación entre A y B?
11. Considera un triángulo ABC (es decir, el triángulo con vértices A, B y C) y sea M el punto medio del
lado AC. Sea P un punto cualquiera en el segmento MB. Demuestra que las áreas de los triángulos APB y
CPB son iguales.
12. Una escalera de 10 metros está apoyada sobre una pared vertical de tal forma que el pie de la escalera se
encuentra a 6 metros de la pared. Un gato que está subiendo por la escalera se encuentra a una distancia de 7
26
metros de la base de la pared. ¿Qué distancia le falta al gato para llegar a la cima de la escalera?
PROBLEMAS DE COMBINATORIA
4. Se escriben todos los números del 1 al 1000. ¿Cuántas veces aparece el dígito 5?
5. Un torneo es de eliminación simple si cada partido se juega entre dos equipos y el equipo que pierde
abandona el torneo. Si en un torneo de eliminación simple (en el que no se permiten los empates) participan
1024 equipos, ¿Cuántos partidos se juegan para determinar al campeón?
9. En un bote hay 100 canicas de cada uno de 5 diferentes colores. Se extraen las canicas de una a una sin
ver. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que se necesitan sacar para garantizar que hay al menos 10 de un
mismo color?
8. ¿Cuántos números enteros mayores que 100 y menores que 1000 tienen la propiedad que la suma de sus
dígitos es 13?
13. Una cuadrícula de 2011 x 2011 se llena escribiendo la palabra “HIDALGO”, una letra por cada casilla,
en el orden que se indica en la figura. ¿Cuántas veces aparece la letra “H” en la primera columna (la que está
más a la izquierda) de la cuadrícula?
Tabla 2. Clasificación de los problemas por área de conocimiento.
A continuación se realizará un análisis preliminar de los problemas con el propósito de
contar con un panorama de los recursos y los procesos cognitivos que podrían poner en
práctica los estudiantes durante el proceso de solución, enfatizando que no se espera que los
estudiantes sigan exactamente las rutas a aproximaciones propuestas.
3.6 Análisis preliminar de los problemas.
1. Cuando Esteban nació, su papá tenía 28 años. Si ahora Esteban tiene un tercio de la
edad de su papá, ¿Cuántos años tiene Esteban?
27
Los datos explícitos del problema son la edad del padre y la relación que existe con
respecto a la edad de Esteban, el dato implícito es que la edad del padre debe ser mayor de
28 años; la incógnita es la edad de Esteban. La propuesta de solución puede partir
proponiendo una ecuación adecuada que resuelva el problema. Como es una pregunta con
respuestas de opción múltiple, puede también descartar las posibilidades que tiene en las
respuestas, proponer la solución y probar el resultado. El problema es de baja demanda
cognitiva para aquellos estudiantes que tengan habilidad para resolver problemas que
implican el uso de un sistema de ecuaciones, aunque la solución se puede reducir a una sola
ecuación, la demanda cognitiva de este problema se incrementará si el estudiante no tiene
conocimientos de este tipo de herramienta matemática puesto que se verá impulsado a
utilizar otras estrategias, tales como la elaboración de listas sistémicas o algunas otras
estrategias.
2. En la terminal de autobuses de Xicotlán de las Flores sale un autobús de la Línea A
cada 9 minutos a partir de las 6:00 AM, un autobús de la línea B cada 13 minutos a partir
de las 7:00 AM y un autobús de Línea C cada 11 minutos a partir de las 8:00 AM.
¿Cuántos autobuses de las líneas A, B y C salen de la terminal desde las 6:00 AM y hasta
las 5:00PM?
Los datos explícitos del problema son los horarios en que comienzan los recorridos de cada
línea, el tiempo en que de cada línea sale un autobús; la incógnita, el número de autobuses
que salen de la terminal desde las 6:00 a.m. y hasta las 5:00 p.m., la propuesta de solución
puede ser dividir el número de salidas que puede haber en el horario establecido para cada
línea y posteriormente verificar el número de minutos restantes para asegurar las salidas o
bien establecer una línea de tiempo y formar la conjetura para proporcionar el resultado. Es
un problema de baja demanda cognitiva para aquellos estudiantes que tengan habilidad en
la simplificación de cálculos al identificar un patrón, para aquellos que no lo tengan el
problema puede ser de alta demanda al tener que involucrarse con las ideas conceptuales
que subyacen los procedimientos para completar las tareas, en este caso deben considerar
que lo que se está contando es tiempo.
28
3. ¿Cuáles son los dos últimos dígitos del número 20112011?
El problema presenta únicamente datos explícitos, el número 2011 debe elevarse a la
potencia 2011, y la incógnita que es determinar los dos últimos dígitos del resultado de la
operación. Para resolver es conveniente realizar algunas pruebas y elevar 2011 a algunas
potencias como 1, 2 y 3 y ver si en ellas se puede identificar un patrón que permita formar
una conjetura. Es un problema de alta demanda cognitiva puesto que requiere cierto grado
de esfuerzo cognitivo y el estudiante debe involucrarse con las ideas conceptuales, debe
tener claro que lo que busca es el resultado de una base elevada a una potencia y no
solamente una multiplicación simple. Su resolución puede ser a través de aritmética
modular, con la dificultad de que el que la utilice debe identificar la congruencia módulo
100 y no cometer errores en los cálculos para tener éxito en la resolución. Si no se conoce
aritmética modular entonces puede hacer uso de operaciones aritméticas utilizando la
estrategia de dejar de lado información no relevante y centrarse solamente en los dos
últimos dígitos, en el proceso se puede identificar un patrón que le permita no realizar
cálculos. Al decidir utilizar operaciones aritméticas puede realizarse toda la multiplicación
que también es una estrategia funcional aunque requiere de mucho tiempo y se obtiene
información no necesaria para proporcionar una respuesta.
4. Se escriben todos los números del 1 al 1000. ¿Cuántas veces aparece el dígito 5?
Los datos explícitos del problema son los números entre los cuales se quiere determinar
cuántas veces aparece el dígito 5, la incógnita es el número de veces que aparece el dígito
5. Una propuesta de solución consiste en calcular el número de dígitos 5 que aparecen en
cada grupo de 100 números y sumar los resultados. Este problema requiere de hacer una
buena representación de la información, está enfocada en la producción de una respuesta
más que en desarrollar un entendimiento matemático, por lo que el problema es de baja
demanda cognitiva. Se puede hacer uso de listas sistemáticas en las que se ubiquen
únicamente los números que contienen el dígito 5, sin exceptuar algún número pero
descartando información no relevante. En este proceso puede identificarse un patrón a
través de las distintas formas de agrupación de la información.
29
5. Un torneo es de eliminación simple si cada partido se juega entre dos equipos y el
equipo que pierde abandona el torneo. Si en un torneo de eliminación simple (en el que no
se permiten los empates) participan 1024 equipos, ¿Cuántos partidos se juegan para
determinar al campeón?
El sistema de competencia y el número de participantes son los datos explícitos del
problema; la incógnita, el número de partidos que se deberán jugar para obtener un
campeón. La propuesta de solución es eliminar cada vez la mitad de los equipos hasta llegar
a un equipo que será el campeón, posteriormente sumar todos los resultados obtenidos. Es
un problema que requiere de limitada actividad mental y existe poca ambigüedad respecto a
lo que debe hacerse y cómo hacerlo, es un problema de baja demanda cognitiva. A través
de series de operaciones aritméticas y conteo puede obtenerse una solución exitosa,
también puede hacerse uso de la estrategia de trabajar hacia atrás en la que si se identifica
que sólo hay un ganador entonces los equipos que perdieron jugaron un partido debido a
que el torneo es de eliminación simple.
6. Un cuadrado de área 4 está inscrito en un triángulo isósceles como se muestra en la
figura. La distancia de un vértice de la base del triángulo al vértice más próximo del
cuadrado es 1. ¿Cuál es el área del triángulo más grande?
El área del cuadrado, el tipo de triángulo y la distancia proporcionada son los datos
explícitos del problema, la medida de los lados del cuadrado es un dato implícito que
también es la base del triángulo del que se pide calcular el área que es la incógnita del
problema. Partiendo de los datos que presenta el problema y teniendo clara la incógnita, se
puede establecer congruencia de triángulos y obtener el área de los triángulos pequeños;
como son congruentes con el triángulo grande, entonces la suma de sus áreas más el área
del cuadrado es igual al área del triángulo solicitado. Es un problema de alta demanda
cognitiva, el estudiante debe identificar sub-figuras y sus propiedades a través de la
deducción de semejanza de triángulos, son necesarios procedimientos con conexiones
(cálculo de áreas, semejanza de triángulos, hacer deducciones y justificar resultados), debe
agregar elementos auxiliares que le permitan determinar la razón de semejanza.
30
7. Un cuadrado de área 16 se divide en cuatro cuadrados iguales como se muestra en el
dibujo. ¿Cuál es el área delimitada por la circunferencia que pasa por los centros de los
cuatro cuadrados pequeños?
El área del cuadrado es el dato explícito del problema, los datos implícitos son los
cuadrados pequeños en que se divide el cuadrado, las medidas de los lados del cuadrado y
por lo tanto las de los cuadrados pequeños y el centro de los cuadrados pequeños por los
que es por donde pasa la circunferencia, la incógnita es el área de la circunferencia; por lo
que el plan podría partir de establecer las relaciones entre los datos explícitos y los
implícitos, de esta manera se puede determinar el radio de la circunferencia y dar una
respuesta acertada al problema. Es un problema de alta demanda cognitiva puesto que
requiere de la utilización de diversas representaciones y el desarrollo de niveles profundos
de entendimiento de conceptos matemáticos.
8. ¿Cuántos números enteros mayores que 100 y menores que 1000 tienen la propiedad
que la suma de sus dígitos es 13?
Los datos explícitos del problema son los números entre los cuales se quiere encontrar la
propiedad de que la suma de sus dígitos es 13 que es la incógnita. Para la solución se puede
determinar entre grupos de 100 (por ejemplo de 100 – 199, 200 – 299, etc.) cuántos
números de ese grupo cumplen con la propiedad y posteriormente sumar los que de cada
grupo cumplen y proporcionar una respuesta adecuada. El problema requiere de atención
inmediata en el enunciado ya que puede prestarse a confusión entre números y dígitos, por
lo que el problema es de alta demanda cognitiva aun cuando se pueden seguir
procedimientos generales, no deben seguirse sin reflexionar, los estudiantes deben
involucrarse con las ideas conceptuales que subyacen los procedimientos para tener éxito
en la resolución del problema.
9. En un bote hay 100 canicas de cada uno de 5 diferentes colores. Se extraen las canicas
de una a una sin ver. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que se necesitan sacar para
garantizar que hay al menos 10 de un mismo color?
31
Los datos explícitos del problema son el número de canicas de cada color que contiene el
bote y la forma de extracción; la incógnita el número de canicas que deben extraerse para
que haya al menos 10 canicas de un mismo color. La solución podría abordarse simulando
la extracción de canicas y cuantas quedan dentro del bote después de cada extracción, hasta
llegar al número solicitado; otra forma de abordar el problema es dibujar un diagrama con
casillas en las que se coloca de manera simbólica cada canica extraída, de esta manera el
estudiante puede visualizar los resultados de cada extracción que realiza. Es un problema de
alta demanda cognitiva, requiere que el estudiante utilice diversas representaciones, sugiere
rutas a seguir y requiere esfuerzo cognitivo, el estudiante debe considerar diversas formas
de crear conjuntos y conteo.
10. En la siguiente figura los centros de las circunferencias interiores se encuentran sobre
un diámetro de la circunferencia mayor y cada circunferencia toca a cada una de sus
vecinas en un solo punto. Sea A él perímetro de la circunferencia mayor y B la suma de los
perímetros de las circunferencias sobre el diámetro de la circunferencia grande. ¿Cuál es
la relación entre A y B?
El perímetro de la circunferencia mayor y la suma de los perímetros de las circunferencias
sobre el diámetro de la circunferencia grande que son los datos explícitos, la incógnita es la
relación que existe entre estos datos. Para la resolución es importante considerar la forma
en que se calcula el perímetro de una circunferencia, con ello se puede identificar que la
suma de los diámetros de las circunferencias pequeñas es el diámetro de la circunferencia
grande, una vez establecidas estas relaciones puede determinarse la solución. Es un
problema de alta demanda cognitiva, los estudiantes deben saber calcular perímetros,
aunque puede considerar un problema más sencillo o casos particulares, al hacer uso de los
casos particulares debe verificar que los datos propuestos son congruentes con la
información proporcionada. Aunque el problema es de alta demanda cognitiva tiene
potencial para extenderse y realizar preguntas de otro estilo, como qué ocurre si las
32
circunferencias interiores tienden a hacerse más pequeñas casi hasta parecerse al perímetro
de la circunferencia grande.
11. Considera un triángulo ABC (es decir, el triángulo con vértices A, B y C) y sea M el
punto medio del lado AC. Sea P un punto cualquiera en el segmento MB. Demuestra que
las áreas de los triángulos APB y CPB son iguales.
Los datos explícitos del problema son el triángulo y el punto medio sobre un segmento del
mismo, la incógnita es demostrar que las áreas de los triángulos formados por el segmento
que une un vértice del triángulo con un punto ubicado en cualquier parte del segmento y el
punto medio indicado. Si se elabora una figura para poder visualizar el problema se puede
identificar como es que los triángulos formados comparten un mismo lado, que se puede
tomar como base, y como el segmento en el que se encuentra el punto medio proporciona
además la altura para cada triángulo, entonces si los triángulos tienen la misma base y la
misma altura, ambos tienen áreas iguales. Es un problema de alta demanda cognitiva,
sugiere rutas a seguir en las que se encuentran inmersos las ideas matemáticas subyacentes,
requiere de representaciones visuales y realizar conexiones entre los datos presentados.
Requiere de conocimientos de geometría, propiedades de congruencia y semejanza de
triángulos, puede ayudar la resolución de casos particulares pero al final realizar la
generalización que es lo que pide el problema.
12. Una escalera de 10 metros está apoyada sobre una pared vertical de tal forma que el
pie de la escalera se encuentra a 6 metros de la pared. Un gato que está subiendo por la
escalera se encuentra a una distancia de 7 metros de la base de la pared. ¿Qué distancia le
falta al gato para llegar a la cima de la escalera?
El problema proporciona la altura de la escalera, la distancia entre el pie de la escalera y la
pared y la distancia a la que se encuentra el gato de la base de la pared, los datos implícitos
que presenta es que entre la pared, el piso y la escalera se forma un triángulo rectángulo,
33
que va a ser determinante para calcular la altura de la pared, la incógnita es la distancia que
le falta al gato para llegar a la cima de la escalera. Estableciendo la relación entre la
distancia del pie de la escalera y la altura de la escalera, se puede determinar la altura de la
pared, se pueden trazar rectas auxiliares y establecer la relación entre los lados conocidos y
los desconocidos para proporcionar una solución. Es un problema con alta demanda
cognitiva, enfoca la atención del estudiante en el uso de procedimientos con el propósito de
desarrollar niveles profundos de entendimiento de conceptos e ideas matemáticas. El
estudiante debe considerar todos los datos y las relaciones que puede establecer entre ellos,
es importante que conozca conceptos de geometría y trigonometría, propiedades de los
triángulos y que haga uso de elementos auxiliares, para tener éxito en su respuesta.
13. Una cuadrícula de 2011 x 2011 se llena escribiendo la palabra “HIDALGO”, una letra
por cada casilla, en el orden que se indica en la figura. ¿Cuántas veces aparece la letra
“H” en la primera columna (la que está más a la izquierda) de la cuadrícula?
Los datos del problema son el tamaño de la cuadrícula, el número de letras que forman la
palabra HIDALGO, la dirección en que se colocan las letras y el hecho de que solamente se
coloca una letra en cada casilla, la incógnita es el número de veces que aparece la letra H en
la primera columna. La propuesta de solución es identificar cuántas veces aparece la letra H
en cada una de las filas, puede hacerse una simulación e identificar un patrón que permita
realizar el cálculo. Es un problema de alta demanda cognitiva, requiere un cierto grado de
esfuerzo cognitivo y utilizar representaciones adecuadas de la información. El estudiante
debe tener elementos para reconocer un patrón y determinar la solución, además de que
requiere realizar operaciones sobre las representaciones (Ejemplo: “Desdoblar la
cuadrícula”).
34
3.7 Procedimiento para analizar las respuestas de los estudiantes
Con base en las producciones escritas de los estudiantes se realizó un análisis de las
estrategias utilizadas al resolver cada uno de los problemas. Este análisis se dividió en dos
partes, uno para los problemas cuya respuesta es de opción múltiple y otro para los de
respuesta abierta. El análisis de las respuestas se llevó a cabo en dos momentos: en el
primero de ellos se analizó el entendimiento del enunciado del problema, mientras que en el
segundo, el foco de atención fue la selección y estructuración de los recursos para la
elaboración e implementación del plan de solución y las principales dificultades a las que se
enfrentó el estudiante. “En lo que respecta a los errores, la necesidad de analizarlos es aún
más evidente, pues sólo este análisis permite saber con qué dificultades se ha enfrentado el
niño y permite determinar los medios para remediar la situación” (Vergnaud, 2004, p. 3)
Fase 1 Entendimiento del enunciado:
1. En esta fase se determinará si el estudiante identificó los datos explícitos e implícitos del
enunciado del problema.
2. Se determina si el estudiante fue capaz de identifica la incógnita.
Fase 2 Elaboración e implementación del plan:
1. Los conocimientos previos que fueron seleccionados por el estudiante para resolver el
problema.
2. Las estrategias utilizadas por los estudiantes.
3. Identificación de las principales dificultades a que se enfrentaron los estudiantes en el
proceso de resolución.
35
CAPÍTULO 4. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
4.1 Introducción.
En el presente capítulo se realiza un análisis de las respuestas de los 158 estudiantes de la
sede Pachuca, que participaron en la Fase Estatal de la Olimpiada de Matemáticas, en el
Estado de Hidalgo.
Se describen y analizan las estrategias más comunes utilizadas por los estudiantes
mostrando algunos ejemplos de ellas; utilizando las respuestas que ofrecen mejor claridad
al proporcionar su respuesta, se realizó un conteo de aquellos que resolvieron los problemas
de manera correcta y la estrategia que utilizaron para llegar al resultado. Se realizó un
análisis detallado de los procesos cognitivos que utilizaron los participantes al implementar
las estrategias, se identificaron los datos explícitos y los relacionaron con los datos
implícitos del problema y las relaciones establecidas entre los datos.
4.2 Análisis de los resultados de las preguntas.
En la realización del análisis de resultados se elaboró un diagrama para cada problema
como una herramienta de apoyo para proyectar de alguna manera los procesos mentales que
los estudiantes llevaron a cabo al resolver el problema. El diagrama captura el análisis
previo de los problemas, así como lo que los estudiantes realizaron para resolver los
problemas. Sin embargo, se toma en cuenta que los estudiantes piensan de manera distinta,
no obstante existen muchas coincidencias en la forma de abordar los problemas y en el
proceso de solución. El análisis de los resultados también aportó algunas propuestas para
llevar a cabo actividades de entrenamiento de estudiantes participantes en la Olimpiada de
Matemáticas.
Se muestran algunos ejemplos de las estrategias utilizadas por los estudiantes al resolver los
problemas, las imágenes fueron seleccionadas de los que respondieron o realizaron el
procedimiento con mayor claridad o mostraron procesos mentales o estrategias novedosas o
características de una forma particular de pensar.
En el caso de los estudiantes que no realizaron algún procedimiento, no se cuenta con
elementos para determinar el proceso cognitivo que llevaron a cabo y la forma en la que
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eligieron alguna de las respuestas. En el apéndice B, se muestran las tablas de frecuencia de
los resultados obtenidos del análisis de los exámenes.
Análisis de las preguntas de respuesta de opción múltiple
Pregunta 1. Cuándo Esteban nació, su papá tenía 28 años. Si ahora Esteban tiene un tercio de la edad de su papá, ¿Cuántos años tiene Esteban?
Diagrama 2. Muestra la secuencia para llegar a una estrategia de solución.
Para resolver el problema 1, el 39.24% de los estudiantes no realizaron algún
procedimiento, de ellos el 53.22% seleccionó una respuesta incorrecta y 46.77% una
correcta.
Problema.
Edad de Esteban.
Presentar solución.
La edad actual del padre debe ser mayor que 28 años, puesto que ya ha transcurrido tiempo desde que nació Esteban.
Identificación de
la incógnita
Identificación de datos
Implícitos
Explícitos
Edad del padre cuándo Esteban nació. Relación que existe entre las edades actuales.
Evaluar solución.
E=1/3 P E=1/3(28+E) 3E=28+E 2E=28 E=14
Representación
de la
información y
relacionar los
datos
Procedimientos algorítmicos.
P: Edad actual del padre E: Edad actual de Esteban
E=
P= 28 + E
Visión
retrospectiva
¿Tiene sentido la relación planteada entre los datos?
E P 0 28 1 29 2 30 . . .
.
.
. 14 42
Recursos
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Para responder a al primer problema 24.05% de los estudiantes dividieron entre tres la edad
del padre para obtener una respuesta, sin embargo no consideraron que transcurrió tiempo
desde que Esteban nació, por lo tanto su respuesta es incorrecta; también hubo algunos
errores en el algoritmo mostrando deficiencias durante la realización de procesos rutinarios.
Este proceso de solución muestra como a partir de la identificación de datos el estudiante
realiza algunas operaciones para proporcionar una respuesta, como se muestra en la figura
1. Aun cuando fue la estrategia más utilizada no es la adecuada para la resolución del
problema.
Figura 1. Uso de procedimientos algorítmicos.
El 1.26% de los estudiantes establecieron una relación incorrecta de las edades, y como
consecuencia obtuvieron una respuesta incorrecta.
Figura 2. Ejemplo del planteamiento propuesto por los estudiantes.
En el caso del 13.29% de los estudiantes que obtuvieron la respuesta correcta probando con
las opciones propuestas, sumando la edad del padre y una de las opciones de respuesta,
probaron su resultado multiplicando por 3, obteniendo la respuesta correcta. El proceso de
verificación de las opciones, significa que los estudiantes entendieron el enunciado del
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problema, aunque es una estrategia útil no es aplicable para todos los problemas de la
Olimpiada. El probar resultados resulta una estrategia útil siempre que se tenga claro el
objetivo y se considere la relación existente entre los datos explícitos e implícitos (ver
figura 3).
Figura 3. Verificación de las condiciones a partir de las respuestas.
El 5.06% de los estudiantes realizaron una lista con las opciones de respuesta, establecieron
las relaciones entre las edades y encontraron la respuesta correcta. Esto resulta muy eficaz
para los estudiantes que no tienen habilidad en el planteamiento de sistemas de ecuaciones,
sin embargo requiere de tiempo en la realización de la lista además de que no todas las
relaciones encontradas que cumplen las condiciones del problema pueden ser soluciones
correctas (ver figura 4).
Figura 4. Uso de listas.
El 1.89% de los estudiantes sumaron 14 tercios a la edad del padre cuando nació Esteban,
obteniendo la respuesta correcta, es elegido de las propuestas de solución encontrando la
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relación correcta para el problema. Es un proceso aleatorio en el que el estudiante
selecciona una de las opciones de respuesta al azar o pensando que es la respuesta correcta
y realiza el procedimiento para probar su resultado (ver figura 5).
Figura 5. Operaciones aritméticas.
El 0.63% de los estudiantes utilizó una estrategia semi-algebraica: estableció una relación
correcta entre las edades, dividió la edad del padre cuando tenía dos terceras partes de la
edad actual y encontró la respuesta correcta (ver figura 6). Una estrategia de las menos
utilizadas por los estudiantes debido a que generalmente les resulta complicado trasladar los
datos de un problema a lenguaje común y viceversa, sin embargo es una estrategia
adecuada y exitosa.
Figura 6. Estrategia semi-algebraica.
Del total de estudiantes, el 12.65% formularon una ecuación, 45% de ellos la plantearon y
resolvieron de manera correcta y su respuesta fue correcta, 20% la plantearon de forma
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incorrecta pero obtuvieron la respuesta correcta y 35% la plantearon de manera incorrecta y
su repuesta fue incorrecta. El planteamiento de ecuaciones es la estrategia sugerida para
resolver este tipo de problemas, aunque en este caso fue utilizada por muy pocos
estudiantes debido a los requerimientos para el planteamiento, que es mostrado por los
estudiantes que la utilizaron de manera inadecuada (ver figura 7).
Figura 7. (a) Estrategia algebraica correcta.
Figura 7. (b) Estrategia algebraica incorrecta
En el análisis realizado puede apreciarse que algunos de los estudiantes no identificaron los
datos implícitos del problema, en general utilizaron algoritmos de suma, multiplicación y
ecuaciones, algunos probaron las respuestas proporcionadas para llegar a una solución. Uno
de los procesos más utilizados por los estudiantes fue el uso de procedimientos algorítmicos
como realizar una división, aunque fue uno de los más utilizados es el menos eficaz para
resolver este problema; el proceso que, a pesar de tener un grado de dificultad un poco
mayor, es la estrategia algebraica en la que se plantea un sistema de ecuaciones que puede
reducirse a resolver solamente una ecuación de primer grado, además que ofrece resultados
más certeros.
Al hacer uso de listas los estudiantes deben verificar que la respuesta seleccionada cumple
con las condiciones establecidas por el problema, de lo contrario pueden proporcionar una
respuesta incoherente con lo establecido en el mismo, el uso de una lista para este problema
resulta apropiado porque la relación de edades tiene características específicas, aunque no
es el proceso más recomendado debido a que puede haber cantidades que cumplan con la
condición pero que no sean acordes con la respuesta.
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Pregunta 2. En la terminal de autobuses de Xicotlán de la Flores sale un autobús de la
Línea A cada 9 minutos a partir de las 6:00 AM, un autobús de la línea B cada 13 minutos
a partir de las 7:00 AM y un autobús de Línea C cada 11 minutos a partir de las 8:00 AM.
¿Cuántos autobuses de las líneas A, B y C salen de la terminal desde las 6:00 AM y hasta
las 5:00PM?
Diagrama 3. Muestra el proceso que se espera realice el estudiante para llegar a la solución.
El 30.37% de los estudiantes no realizaron algún proceso, de ellos 22.91% acertaron su
respuesta y 77.08% tuvieron una respuesta incorrecta.
Problema.
Número de autobuses que salen de la terminal desde las 6:00a.m. y hasta las 5:00p.pm.
Presentación de solución.
Horarios en que comienzan los recorridos de cada línea. El tiempo en que de cada línea sale un autobús.
Visión retrospectiva.
Identificación de la incógnita
Identificación de datos
Explícitos
Rectas numéricas Tablas.
Representación de la
información
Recursos
Operaciones aritméticas.
Conteo.
En función de las representaciones.
Estrategias
No considerar las horas de 60 minutos al realizar las operaciones.
No considerar los residuos en las operaciones.
Error en el conteo.
Dificultades
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De los estudiantes participantes, el 48.73% solamente dividieron el número de horas entre
los minutos en los cuales salía cada línea de autobuses, su respuesta fue incorrecta, debido a
que no consideran en algunos casos que las horas son de 60 minutos y que al realizar las
operaciones existe tiempo restante de cada hora. Es muy común que los estudiantes sólo
pretendan proporcionar una respuesta y tengan en cuenta los datos con los que se está
trabajando, en este caso se trata de tiempo, esto reduce su procedimiento en la resolución de
operaciones aritméticas y proporcionar un resultado sin realizar una visión retrospectiva de
su solución.
Figura 8. Operaciones aritméticas.
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De los participantes el 8.22% calcularon el número de autobuses que salían por hora y
después los multiplicaron por el número de autobuses de cada línea que proporcionó el
servicio, obtuvo una respuesta incorrecta al no considerar los residuos de tiempo de cada
hora. La estrategia pudo haber sido funcional si se hubiese considerado que se opera con
tiempo, es un error común entre los estudiantes.
Figura 9. Procedimientos aritméticos.
El 10.75% de los estudiantes realizaron una lista sistémica de los minutos en los cuales
salía cada línea, de ellos el 58.82% realizaron mal los cálculos y obtuvieron una respuesta
incorrecta y el 41.17% realizaron bien los cálculos y obtuvieron una respuesta correcta; la
lista es muy útil, sin embargo, requiere de tiempo para realizarla, de forma tal que al
hacerla con rapidez se puede cometer algún error en los cálculos. Esto muestra que el
estudiante necesita representar físicamente un suceso para poder concretar la solución de un
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problema. El uso de listas es útil y funcional para este tipo de problemas, aunque requieren
de tiempo para su elaboración (ver figura 10), por lo que no es recomendable si se cuenta
con poco tiempo para resolver una serie de problemas como lo fue en este caso, también se
corre el riesgo de cometer errores en el conteo o en las operaciones por la cantidad de
números con los que se trata.
Figura 10 (a). Uso de listas.
Figura 10 (b). Uso de listas.
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El 1.89% de los participantes dividieron el número de horas entre los minutos en los cuales
salía cada autobús de las líneas, sumaron los minutos restantes de cada hora, calcularon el
número de autobuses que salieron en ese tiempo y obtuvieron una respuesta correcta. Es
una estrategia útil y funcional puesto que los e